第六章 相关与回归分析(修改版)
第六章 相关分析与回归分析
b＜0,y 有随 x 的增加而减少的趋势
●●●回归直线一定通过由观测值的平均值（x,y ）所组成的点：
∵ yˆ a bx
a y bx
∴ yˆ y bx bx y b(x x)
当 xx 时， yˆ y，即回归直线通过点（x,y ）
●直线回归方程配置的实例
实例：对表 6-1 的北碚大红番茄果实横径与果重进行回归分析
| r |愈接近于 1，相关愈密切 | r |愈接近于 0，相关愈不密切 0＜r＜1 时，为正相关 －1＜r＜0 时，为负相关 ●相关系数计算的实例： 实例：表 6-1 为番茄果实横径与果实重的观测值，求其相关性。
表 6-1 北碚大红番茄果实横径与果实重
果实横径（cm）
果重（g）
x
y
10.0
140
其中： r
n
[ x2 ( x)2 ][ y 2 ( y)2 ]
n
n
x、y——为两个变数的成对观测值 n——为观测值的对数（样本容量）
●●相关系数的性质：
●●●r 的符号取决于 x、y 离均差的乘积和（lxy 或 SP）；符号的
性质表示两个变数之间的相关性质，即
r＞0，表示正相关
r＜0，表示负相关
∑y2=133071.0
n=10
a=-23.834
b=16.425
r=0.9931
结论：北碚大红番茄果实横径与果实重量的回归方程为：
yˆ 23.834 16.425 x
●回归关系的显著性测定——有 3 种方法。 ●●直线回归方程的方差分析
●●●y 的总变异的分解
SS y lyy ( y y)2 [( y yˆ) ( yˆ y)]2 ( y yˆ)2 ( yˆ y)2 2 ( y yˆ)(yˆ y) ( y yˆ)2 ( yˆ y)2 其中： 2 ( y yˆ )( yˆ y) =0
第6章 相关与回归分析习题解答
第六章 相关与回归分析思考与练习一、判断题1.产品的单位成本随着产量增加而下降，这种现象属于函数关系。
答：错。
应是相关关系。
单位成本与产量间不存在确定的数值对应关系。
2.相关系数为0表明两个变量之间不存在任何关系。
答：.错。
相关系数为零，只表明两个变量之间不存在线性关系，并不意味着两者间不存在其他类型的关系。
3.单纯依靠相关与回归分析，无法判断事物之间存在的因果关系。
答：对，因果关系的判断还有赖于实质性科学的理论分析。
4.圆的直径越大，其周长也越大，两者之间的关系属于正相关关系。
答：错。
两者是精确的函数关系。
5.总体回归函数中的回归系数是常数，样本回归函数中的回归系数的估计量是随机变量。
答：对。
6.当抽取的样本不同时，对同一总体回归模型估计的结果也有所不同。
答：对。
因为，估计量属于随机变量，抽取的样本不同，具体的观察值也不同，尽管使用的公式相同，估计的结果仍然不一样。
二、选择题1.变量之间的关系按相关程度分可分为：b 、c 、da.正相关；b. 不相关；c. 完全相关；d.不完全相关； 2.复相关系数的取值区间为：aa. 10≤≤R ；b.11≤≤-R ；c.1≤≤∞-R ；d.∞≤≤-R 1 3.修正自由度的决定系数a 、b 、da.22R R ≤； b.有时小于0 ； c. 102≤≤R ；d.比2R 更适合作为衡量回归方程拟合程度的指标 4.回归预测误差的大小与下列因素有关：a 、b 、c 、da 样本容量；b 自变量预测值与自变量样本平均数的离差c 自变量预测误差；d 随机误差项的方差三、问答题1．请举一实例说明什么是单相关和偏相关？以及它们之间的差别。
答：例如夏季冷饮店冰激凌与汽水的消费量，简单地就两者之间的相关关系进行考察，就是一种单相关，考察的结果很可能存在正相关关系，即冰激凌消费越多，汽水消费也越多。
然而，如果我们仔细观察，可以发现一般来说，消费者会在两者中选择一种消费，也就是两者之间事实上应该是负相关。
第六章 相关与回归分析
2 y
xy
4 18 21 35 78
16 36 49 49 150
判断汽车使用年限和维修费用的相关程度和相关方向
r
nxy xy nx 2 (x )2 ny 2 (y )2
4 78 12 24 4 44 12
2
4 150 24
2
0.8660
（一）按变量之间的相关强度有：完全相关、 不完全相关和不相关
（二）按变量之间相关的方向分为正相关和 负相关
（三）按变量之间相关的形式分为线性相关 和非线性相关
y
非线性相关
x
（四）按影响因素的多少（即变量的多 少）分为单相关和复相关 两个变量之间的相关关系称为简单相 关，又称单相关。 三个或三个以上变量之间的相关关系 称为多元相关，又称复相关。 复相关可以分解为简单相关，即在实 际工作中，如果存在多个自变量对一 个因变量的关系，可以抓住其中最主 要的因素，研究其相关关系，将多元 相关化为简单相关。
2、双变量分组相关表 双变量分组相关表是将自变量和因变量都进行分组而制成 的相关表格，通常也称之为棋盘式表格。
家庭月支 出（元）
895-905 885-895 875-885 865-875 855-865 845-855 835-845 825-835 815-825 805-815 795-805
2
2
是自变量x的标准差； 是因变量y的标准差。
据此，上式可简化为：
r
( x x )( y y ) ( x x)
2
( y y )
2
（1）
第6章 相关分析与回归分析
❖ 4、按所研究的变量的多少分为：单相关（A与B）、复相关（A与
B、C、D）和偏相关（B、C不变A与D）
❖ 5、按相关系数分为：r=1，完全相关；0.8r1，高度相关；
0.5r0.8，显著相关；0.3r0.5，低度相关；0r0.3，微 弱相关； r＝0，不相关；
❖相关分析
❖ 涵义
❖ 利用一个指标来反映现象间相互依存关系的密切程度。用相关系数r来表示。
明现象间的相关程度。（只有显著以上的相关，进行回归分析才有意义）。
❖ 区别
❖ ◆相关分析可以反映现象间的相关方向与程度；但不能反映具体形态，也
无法从一个变量的变化推测另一个变量的情况。（变量间无地位变化）。
❖ ◆回归分析能反映现象间的具体形态，可以从一个变量的变化推出另一个
变量的变化。（变量间有地位的变化）。
非线性回归分析
❖非线性回归模型
❖ 抛物线型
❖ 采用差量法，如果Δxt接近于常数，Δy2t的绝对值也接近于常数时，变量y与
x之间的关系表现为抛物线型。其公式为：yˆ a bx cx2
❖ 双曲线型
❖ 当变量y随变量x的增加而增加（或减少）时，而且最初增加（或减少）很快，
以后逐渐趋缓，则判定变量间的关系存在双曲线趋势，可选用双曲线模型。
❖ ◆人体的体重与身高之间的关系，身高高些，体重就重些 ； ❖ ◆居民家庭的人均收入与家庭的储蓄额之间的关系 ； ❖ ◆家长年龄与家庭收入之间的关系; ❖ 相关关系：反映变量之间的一种不完全确定的依存关系。表现为：
Y f x
❖ 联系
❖ 二者具有共同的研究对象，且在应用中相互补充。相关分析依靠回归分析来表
❖ 相关表与相关图
❖ 二者是研与程度。
❖ 相关表
第六章相关与回归分析
• 总体相关系数ρ——根据总体数据计算的，
• 样本相关系数 r ——根据样本数据计算的。
6 - 12
统
计
相关关系的计算பைடு நூலகம்式
学
rSxy
(xx)y (y)
SxSy
(xx)2 (yy)2
或化简为
r
nx yxy
nx2x2 ny2y2
6 - 13
统
计
相关系数取值及其意义
相关图——也称为散点图。一对数据对应坐标图 上一个点，将成对的观察数据表现为坐标图 的散点而形成的图。
编制相关表、图的意义——有助于分析者判断 相关的有无、方向、形态、密切程度。
6 - 10
统
计
相关关系的图示
学
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
不相关
2. 一元线性（总体）回归方程的形式如下：
3.
E( y ) = α + b x
▪ 方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程
▪ α 是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期 望值，是回归直线是起始值；
▪ b 是直线的斜率，表示当 x 每变动一个单位时，y
的平均变动值。
6 - 22
统
6 - 11
统
计 学
（二）相关系数和判定系数
1. 都是对变量之间关系密切程度的度量； 2. 判定系数=相关系数的平方； 3. 不同类型的相关,相关系数的计算方法也不同.
对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相 关系数（也称直线相关系数）,常简称相关系数.
此外还有复相关系数、非线性相关系数、偏相关系 数
06第六章 相关与回归分析
3 r — 只是对线性相关关系的 度量 。
2014-3-30
第六章 相关与回归分析
17
2.2 相关系数的特征及判别标准
2. 相关关系密切程度的划分 — 无直线相关； 1 r 0 . 3 2 0 . 3 r 0 . 5 — 低度相关； 3 0 . 5 r 0 . 8 — 显著相关 — 高度相关 4 r 0 . 8
2
y y
0.1017 0.00937 0.0827 0.0677 -0.0143 0.0207 -0.0373 -0.0913 -0.0763 -0.1453
y y x x y y
2
0.01034289 0.00877969 0.00651249 0.00458329 0.00020449 0.00042849 0.00139129 0.00833567 0.00582169 0.02111209
ˆ yi
x n ，y n
残差平方和
Q x1 ，y1
0
2014-3-30
y
i
ˆ yi
2
2 ˆ ˆ yi yˆ y ！！！ β0 β2 xi i i — 1最小的直线
x
第六章 相关与回归分析
29
3.2 一元线性回归模型的参数估计
最小二（平方）乘法：
别 自、因变量—随机变量 因变量是随机变量
2014-3-30
第六章 相关与回归分析
12
1.5 相关分析与回归分析的关系
注意：
1. 进行相关和回归分析时要坚持定性分
析和定量分析相结合的原则，在定性 分析的基础上开展定量分析。
2. 只有当变量间存在高度相关时，才进
第六章 相关与回归分析
第六章相关与回归分析（一）教学目的相关与回归分析是一种常用的统计分析方法。
通过本章的学习使学生对相关的概念、类型有一定的认识，掌握相关程度的测定方法、判定相关的类别以及回归分析的基本方法。
（二）基本要求要求了解相关的概念、类型，掌握相关程度的测定方法，学会线性回归分析的方法及检验。
（三）教学要点1、相关关系的概念、种类和特点；2、回归分析的概念、种类和特点；3、线性相关下相关程度的测定及判断；4、最小二乘估计的原理。
（四）教学时数6课时（五）教学内容本章共分两节：第一节相关分析一、函数关系与相关关系（一）确定性的函数关系1. 是一一对应的确定关系设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起变化，并完全依赖于 x ，当变量 x 取某个数值时， y 依确定的关系取相应的值，则称 y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量。
各观测点落在一条线上。
2. 当一个或几个相互联系的变量取一定数值时，与之相对应的另一变量的值虽然不确定，但它仍按某种规律在一定的范围内变化，变量间的这种相互关系，称为具有不确定性的相关关系（二）相关关系1. 变量间关系不能用函数关系精确表达2.一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定3. 当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个4. 各观测点分布在直线周围二、相关关系的种类（一）按相关程度划分可分为完全相关、不完全相关、和不相关1.不相关。
如果变量间彼此的数量变化互相独立，则其关系为不相关。
自变量x变动时，因变量y的数值不随之相应变动。
2.完全相关。
如果一个变量的变化是由其他变量的数量变化所唯一确定，此时变量间的关系称为完全相关。
即因变量y的数值完全随自变量x的变动而变动，它在相关图上表现为所有的观察点都落在同一条直线上，这种情况下，相关关系实际上是函数关系。
所以，函数关系是相关关系的一种特殊情况。
3.不完全相关。
如果变量间的关系介于不相关和完全相关之间，则称为不完全相关。
第6讲相关分析与回归分析共130页
22
系数来判定两两变量间的线性关系。 偏相关分析通过计算偏相关系数
来研究变量间的相关性。 偏相关系数的含义与检验方法与
简单相关系数类似。
07.01.2020
23
例2 Pearson相关分析显示，年 收入与研究工作时间相关性最强。现
剔除x1, x3影响后，分析年收入与研 究工作时间的关系。
解 分析->相关->偏相关->y, x2调 入变量，x1,x3调入控制，选择“双侧 检验，标记显著性相关”。
2019数学建模培训
第6讲 相关分析与回归分析
一、引 言
在很多研究领域中，往往需要研 究事物间的关系。如收入与受教育程 度，子女身高与父母身高，商品销售 额与广告费用支出，农作物产量与施 肥量，上述两者间有关系吗？如果有 关系，又是怎么样的关系呢？如何来 度量这种关系的强弱？
解决上述问题的统计方法是相关
由于相关系数是用样本计算得到 的，带有一定的随机性，所以用样本 相关性估计总体相关性的可信度需要 检验。
SPPS可以自动进行检验，并分
07.01.2020
15
别用“*”,“**”标注显著性水平0.05, 0.01下的显著相关。 (2) Spearman和Kendall’s相关系数
Pearson相关系数属参数统计分 析中的矩相关系数，有一定的局限性: 当正态分布假设不成立时，检验结果 不可信；只能度量线性相关性，不能 描述非线性相关性。
下面分别介绍简单相关分析、偏 相关分析和距离相关分析。
2. 简单相关分析
简单相关主要包括Pearson相关,
Spearman相关和Kendall’s相关。
(1) Pearson相关系数
07.01.2020
第6章相关分析与回归分析
参数的显著性检验
通过了总体效果的检验，只能说明Y与k个自变量 X从整体上看线性关系显著，并不表明每个Xj都与 Y有显著的线性关系，因此还需检验每个Xj是否显 著，换句话说，就是Xj的系数bj是否显著不为 零，作进一步检验。 k=1时问题是要检验原假设
H 0 : j 0, H 1 : j 0
简单线性模型参数的最小二乘估计
对简单线性回归模型可以写为
Yi 0 1 X i u i , i 1,2, , n
给定的 0 , 1 模型残差平方和
L( 0 , 1) (Yi 0 1 X i ) 2
对上式求偏导数经整理可以得到正规方程组
ˆ ˆ X Y n i i 0 1 ˆ X ˆ X 2 Y X i i i i 0 1
案例分析
设总体表示某地死于癌症人数X(万人) 和钢铁产量Y(万吨)，近5年内的观测值见 教材。
r 22.6 2 2.8 14.8 2 2 35.6 2.8 2 0.9819
这两个指标，从数量上看高度相关， 但显然，死于癌症人数和钢铁产量高度相 关的结论是不合理的。
注
2 Sy
Yi Y
2
2 Sy
当k=1时，残差平方和可利用已知结果计算
2 Se y 2 a y b xy
判决系数一定在0~1之间，越接近1说明回归 直线模拟样本数据越好，也可说自变量解 释因变量的能力越强。
模型总体效果检验
原假设： H 0 : 1 k 0 ,
rXY t 0.990 0.990 * 0.993 0.072 (1 0.99^ 2)(1 0.993^ 2)
第六章相关与回归分析
第六章相关与回归分析6.1 实践中的统计女性在电脑市场中越来越重要。
她们已占据中国电脑市场销售的40%，而1990年时占25%。
此外，对国内的制造商更重要的是，76%的女买主选择国内品牌。
TCL从上个世纪90年代末就瞄准女性电脑市场，所生产的产品款式新型、体积小、重量轻及性能可靠，倍受女性喜爱。
2005年，TCL销售公司又向女性发起一次范围很广的直接邮寄印刷品宣传活动。
TCL销售公司市场调研人员在二手资料调查中发现，2005年女性将购买60%的新电脑，并且发现女性购电脑的特点之处。
例如，她们除了注重电脑本身的外观与质量外，还比较注意陈列室或服务处是否脏乱、嘈杂、对气味、装饰细节、总体环境也很敏感。
公司决定用实证调查验证上述结论。
随机抽取所有TCL电脑经销商6家。
一星期内，在每家经销商中随机抽取50名女性顾客进行访谈，结果如下表。
其中第一列为经销商的编号；第二列是从每家经销商购买电脑的女性比例（面访后30天跟踪调查）；第三列是每家TCL经销商总体装饰的平均分值（满分为10分，1分为极差）；第四列是每家经销商清洁度的平均值（满分为10分，1分为很脏）；第五列是面访女性的平均年龄。
TCL女性顾客调查结果问题是：1、从相关分析的角度看，哪个变量是预测电脑购买率的最好指标？2、根据女性电脑购买率和装饰分值建立回归方程、根据女性电脑购买率和清洁度分值建立回归方程。
说明两个回归分析结果，哪个变量对购买率影响更大？试解释说明之。
3、如果你是TCL的电脑销售经理，基于这一统计结果，你很可能怎么做？试解释。
又如，西方国家餐饮等服务行业有一条不成文的规定，即发生餐饮等服务项目消费时，必须给服务员一定数额的小费，虽然不是正式规定，但许多人都听说过小费应该是账单的16%左右，是否真的如此呢？让我们来考察表8-1，表中的数据是经过调查所得的样本数据，通过对这几组数据的分析与观察，我们能发现两者之间的数量具有一定的关系，即较大数额的账单对应较多的小费数额（若样本更大，可能对两者关系的判断更准确）。
第6章相关分析与回归分析
将上表计算结果代入公式为：
r
nxyxy
nx2x2 ny2y2
9202296 91 83 59 258734 0.993
9433057 66 13 627 9959454 7248972634
相关系数较大，这说明人均消费额与人均国内生产总值 高度相关。
有人测试出火灾现场的消防员人数和该场火灾造成的损 害之间有很强的正相关 ，可否认为派出的消防员越多造 成的损害越大 ？
确定因果关系的方法——定性分析。
2019/9/19
自变量与因变量
自变量：是引起某种结果变化的原因，它是可以控制、给 定的值，常用x表示； 因变量：是自变量变化的引起结果量，它是不确定的值， 常用y表示。
偏相关：在复相关的研究中，假定其他变量不
变，专门研究其中两个变量之间的相关关系时 称其为偏相关。
注意：并非所有的变量之间都存在相关关系，因此需要用 相关分析方法来识别和判断。
2019/9/19
三、相关分析
相关分析就是运用一定的方法对变量之间的依存
关系密切程度进行测定的过程。
发生车祸的次数与司机的年龄有关吗 ？ 一年的葡萄酒消耗量（平均每人喝葡萄酒摄取酒精的 升数）以及一年中因心脏病死亡的人数（每十万人死 亡人数）之间有关系吗？ 身高与足迹长度有关吗？
(a)正相关\直线相关 (b)负相关\直线相关 (c)正相关\曲线相关
2019/9/19
(d)负相关\曲线关 系
(e)负相关直线相 关(相关程度较小)
(f )不相关
2019/9/19
（三）相关系数（相关关系的测度）
相关系数的意义： （1）对变量之间关系密切程度的度量； （2）若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体
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答案：1.B
A
2.详见课本213
2 1
变差的分解
(x i ,y i )
据左图可对变差做如下分解：
y ˆy
y
x
ˆ0 + b ˆ1x yˆ b
{ { {
总平方 和 (SST) 回归平 方和 (SSR) 残差平 方和 (SSE)
y y
y y ˆ
y i y i
n
1
2
yˆi y + y i yˆ i i
相关系数
1. 相关系数是根据样本数据计算的度量两个变量之间线性关系强度的统 计量。
2. 若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为 3. 若相关系数是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为r
4. 样本相关系数的计算公式
r
(x x )(y y ) (x x ) (y y )
回归系数检验
• 用于检验自变量x对因变量y的影响是否显著
线性关系检验具体步骤
1.提出假设H0：b1=0，线性关系不显著 2.计算检验统计量F。 3.作出决策：根据确定的显著性水平，分子自由度1及分母自由度n-2查 表找出临界值F 。若F>F ，拒绝H0；若F<F ，不拒绝H0。
回归系数检验具体步骤
答案：1.D
2.CLeabharlann 一元线性回归6.2 一元线性回归
6.2.1 一元线性回归模型
回归模型
• 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称 为回归模型 一元线性回归模型
• 只涉及一个自变量的回归模型称为一元线性回归模型
• 模型表示为：y = b + b x + ，其中误差项 是随机变 量，b0 和 b1 称为模型的参数。
6.1.2 相关关系的描述与测度
相关分析及其假定 • 对两个变量之间线性关系的描述与度量就是相关分析 • 相关分析对总体的两个假定 ① 两个变量之间是线性关系 ② 两个变量都是随机变量 相关分析的描述与度量 • 散点图：由坐标及散点形成的二维数据图 • 相关系数：可准确度量两变量之间的关系强度
6.2 一元线性回归
6.2.1 一元线性回归模型
估计的回归方程
• 用样本数据求出的回归方程的估计，称为估计的回归方程
ˆ0 + b ˆ • 方程具体表示为：y ˆ b 1x
6.2 一元线性回归
6.2.2 参数的最小二乘估计
最小二乘估计
ˆ • 使因变量观察值与估计值之间离差平方和达到最小来求得b 0 ˆ 和b 的方法称为最小二乘法。 1
习题：
1.下面的陈述中错误的是（） A.相关系数是度量两个变量之间线性关系强度的统计量 B.相关系数是一个随机变量 C.相关系数的绝对值不会大于1 D.相关系数不会取负值 2.如果相关系数r=0，则表明两个变量之间（） A.相关程度很低 B.不存在任何关系 C.不存在线性相关关系 D.存在非线性相关关系
6.2 一元线性回归
6.2.3回归直线的拟合优度
♦估计标准误差 •均方残差（MSE）的平方根，称为估计量的标准差， 简称为标准误差。计算公式为：
•估计标准误差可以看作在排除了x对y的线性影响后，y随机波动大小的一
个估计量
6.2 一元线性回归
6.2.4 显著性检验
线性关系检验
• 用于检验自变量与因变量之间的线性关系是否显著
6.1 变量间关系的度量
6.1.3 相关关系的显著性检验
显著性检验就是用于考察样本相关系数可靠性的检验 显著性检验的方法是t分布检验 具体步骤如下：
1.提出假设：H0： H1： 0
t r 2.计算检验的统计量： n 2 ~ t(n 2) 2 1 r
3.进行决策：若t>t，拒绝H0 若t<t，不拒绝H0
n
2
n
2
1
1
SST = SSR + SSE
6.2 一元线性回归
6.2.3 回归直线的拟合优度
判定系数 • 回归平方和占总平方和的比例，称为判定系数，记为R2。 • 计算公式为： • 反映了回归直线对观测数据的拟合程度，取值范围为[0,1] R2 1，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟 合的越差。
习题：
1.在回归分析中，因变量的预测区间估计是指（），置信区间估计是指（）。 A.对于自变量x的一个给定值 x0 ，求出因变量y的平均值的区间 B.对于自变量x的一个给定值 x0 ，求出因变量y的个别值的区间 C.对于因变量y的一个给定值 y0 ，求出自变量x的平均值的区间 D.对于因变量y的一个给定值 y0 ，求出自变量x的个别值的区间 ˆ 10 0.5x 。 2.根据一组数据建立的线性回归方程为 y ˆ 的意义。 （1）解释截距 b 0 ˆ 的意义。 （2）解释斜率 b 1 （3）计算当x=6时的E（y）。
♦点估计 •利用估计的回归方程，对于x的一个特定值x0 ，求出y的平均值 0 的一个估计值E（y），称为平均值的点估计。 •分类： 平均值的点估计 个别值的点估计
6.2 一元线性回归
6.2.5利用回归方程进行估计和预测
♦区间估计 •对于x的一个特定值x0 ，求出y的平均值的区间估计， 称为置信区间估计。 •分类： 置信区间估计 预测区间估计
1.提出假设H0：H0: b1 = 0 (没有线性关系) H1: b1 0 (有线性关系)
2.计算检验统计量t。 3.作出决策：根据确定的显著性水平查表找出临界值t 。 t>t，拒绝 H0； t<t，不拒绝H0。
6.2 一元线性回归
6.2.5利用回归方程进行估计和预测
不同形态的散点图
非线性相关
完全正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
不相关
正线性相关
散点图是描述变量间关系的一种直观方法，可大体看出变量间关系形态及强度
一元线性回归模型的几点基本假定
1.因变量y与自变量x之间具有线性关系。
2.在重复抽样中，自变量x的取值是固定的，即假定x是非随机的。
3.误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即E(ε)=0。
4.对于所有的 x 值，ε的方差σ2都相同 5.误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。即ε~N(0 ,σ2 )
相关系数的性质
性质2：r具有对称性。即x与y之间的相关系数和y与x之间的相关系数 相等，即rxy= ryx
性质3：r数值大小与x和y的原点及尺度无关，即改变x和y的数据原点 及计量尺度，并不改变r数值大小 性质4：r仅仅是x与y之间线性关系的一个度量，它不能用于描述非线 性关系。 性质5：r虽然是两个变量之间线性关系的一个度量，却不一定意味着x 与y一定有因果关系。
2
r
或
2
n x x n y y
2 2 2
n xy x y
2
相关系数的性质
性质1：
• r 的取值范围是 [-1,1] • |r|=1，为完全相关 r =1， 为完全正相关 r =-1，为完全负相关 • r = 0，不存在线性相关关系 • • • -1r<0，为负相关 0<r1， 为正相关 |r|越趋于1表示关系越强；|r|越趋于0表示关系越弱
6.2 一元线性回归
6.2.1 一元线性回归模型
回归方程
• 描述y的平均值或期望值如何依赖于x的方程称为回归方程。
一元线性回归方程 • 方程具体表示为：E( y ) = b0+ b1 x，其中，b0是回归直线 在y 轴上的截距，是x=0时y的期望值；b1是直线的斜率， 称为回归系数，表示当x每变动一个单位时，y的平均变动 值。
第六章 相关与回归分析
Xxx xxxx xxxx Xxx xxx https://
第六章 相关与回归分析
• 6.1 变量间关系的度量 • 6.2 一元线性回归
变量间关系的度量
6.1 变量间关系的度量
6.1.1 变量间的关系
函数关系
• 设有两个变量x和y ，变量y随变量x一起变化，并完全依赖 于x ，当变量x取某个数值时，y依确定的关系取相应的值， 则称y是x的函数，记为y = f (x)，其中x称为自变量，y称 为因变量。
• 函数关系是一一对应的确定关系
• 各观测点落在一条线上
6.1 变量间关系的度量
6.1.1 变量间的关系
相关关系 • 变量间存在的不确定的数量关系 • 一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定
• 当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个
• 各观测点分布在直线周围
6.1 变量间关系的度量
即使 i 1 的取值。
(y i yˆ)
2
n
2 ˆ ˆ ( y b b x ) i 0 1 i
n
i 1
ˆ ˆ 达到最小的 b 和b 1 0
6.2 一元线性回归
6.2.3 回归直线的拟合优度
变差 • 因变量y的取值是不同的，y取值的这种波动称为变差。变差 来源于两个方面： 1.由于自变量x的取值不同造成的。 2.除x以外的其他因素 (如x对y的非线性影响、测量误差等 ) 的影响。 • 对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测 y y 来表示。而n次观察值的总变差可由 值与其均值之差 n 离差平方和 y ˆ i y 表示，记为SST。 i