初中数学竞赛精品标准教程及练习59：或者与并且.pptx
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全 (含竞赛答题技巧)
【例5】已知实数 、 、 、 互不相等，且 ，试求 的值.思路点拨：运用连等式，通过迭代把 、 、 用 的代数式表示，由解方程求得 的值.
注：一元二次方程常见的变形形式有：
(1)把方程 （ ）直接作零值多项式代换；
(2)把方程 （ ）变形为 ，代换后降次；
11、已知 、 是有理数，方程 有一个根是 ，则 的值为.
12、已知 是方程 的一个正根.则代数式 的值为.
13、对于方程 ，如果方程实根的个数恰为3个，则m值等于()
A、1B、2 C、 D、2．5
14、自然数 满足 ，这样的 的个数是()
A、2 B、1 C、3 D、4
15、已知 、 都是负实数，且 ，那么 的值是()
20、如图，锐角△ABC中，PQRS是△ABC的内接矩形，且S△ABC= S矩形PQRS，其中 为不小于3的自然数．求证： 需为无理数.
参考答案
第二讲 判别式——二次方程根的检测器
为了检查产品质量是否合格，工厂里通常使用各种检验仪器，为了辨别钞票的真伪，银行里常常使用验钞机，类似地，在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等.我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下方面有着广泛的应用：
利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；
运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围；
通过判别式，证明与方程相关的代数问题；
借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题.
【例题求解】
【例1】 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么 的取值范围是.(广西中考题)
初中数学竞赛标准教程及练习比较大小
）21初中数学竞赛精品标准教程及练习（比较大小一、内容提要比较两个代数式的值的大小，一般要按字母的取值范围进行讨论，常用求差法。
根据．不等式的性质：。
ba＜当a－b＜0时a时，＞b；当a－b＝0时，a=b；当a－b＞0通常在写成差的形式之后，用因式分解化为积的形式，然后由负因数的个数决定其符．号。
需要讨论的可借助数轴，按零点分区。
．是实数（有理数和无理数的统称）的平方是非负数，在决定符号时常用到它。
即若a．2，由此而推出一系列绝对不等式（字母不论取什么值，永远成立的不等实数，则a0≥式）。
诸如3122220+＞+a+1=(a+)a+1＞0，b)(a－a≥0，422220时，－（a－b）＜－（a+a+2）＜0当a≠－ab≤0，二、例题3的大小与a试比较a例3a=a(a+1)(a－1)解：a－33即a=aa－a=0,三个零点把全体，1以－1，04个区间，由负因数的个数决定其符号：实数分为33a ＜即3个负因数）∴aa－a＜01当a＜－1时，a+1＜0,a＜0,a－＜0（33a即aa＞－a＞0＜a＜0时a＜0,a－10（2个负因数）∴当－1＜33a即a＜－a＜00a－1＜（1个负因数）∴a＜当0＜a1时，33aa＞＞0即当a＞1时，没有负因数，∴aa－3=a a时，a=0,－1，1综上所述当3a＜a＜1时，a当a＜－1或0＜3（试总结符号规律）a＞a。
＜a＜0或a＞1时，当－1什么数比它的倒数大？例1＞0时，x －x 比它的倒数大，解：设这个数为x，则当并且只当x2?1(x?1x)(x?1)1?x －＝－101xxx以三个零点－1，0，1把实数分为4个区间，由例1可知当x＞1或－1＜x＜0时，x比它的倒数大。
例3己知步行的速度是骑车速度的一半，自行车速度是汽车速度的一半，甲、乙两人同时从A去B，甲乘汽车到中点，后一半用歩行，乙全程骑自行车，问誰先到达？解：设从A到B有x千M，步行速度每小时y 千M，那么甲、乙走完全程所用时间分别是xx5xx22??，t＝＝t乙甲4yy8y4y 1 / 3x3xx5??0t－t＞＞0，yt－t＝＞0∴∵x乙乙甲甲yy88y4地答：乙先到达B222ab+bc+ca+b＞+ca≠b≠c，求证：a己知例41222222）－+c＝ab+bc+ca×2证明：a（+ba+c+b－ab+bc+ca21222）－+2c＝（2a2ab+2bc+2ca+2b21222］+(b-c)＝［（a-b）+(c-a)22220＞0，＞0，(b-c)(c-a)∵a≠b≠c，（a-b）＞222ab+bc+ca+c＞∴a+b2222ab(1)+b，∴（a-b）＞＞0 a又证：∵a≠b2222>2ca(3)同理b2bc(2) c+c+a＞222222ab+bc+ca +c即(1)+(2)+( 3)得2aa+2b＞+2c+b＞2ab+2bc+2ca2224 +a)）与(1+a+a1例5比较3（＋a的大小2223422222-2aa+a3［（1＋)1解：3（＋a）+a］－）－(1+a+a-2a-2a)(1+a+a＝222)＋)a+a－＝2(1+a+a6a(12222-3a)=2(1＋a+a =2(1＋a+a)(1-a))( 1＋a+a31222??a)0 ≥＞＝（0，∵1＋a+a(1-a)422422）＝（1＋a(1+a+a+a)∴当a=1时，32422）＞1＋a(1+a+a+a)当a≠1时，3（4?2?2x?1?x例6解方程两个零点分为3个区间解：以－0.5,和21 x=－时，－(2x+1)－(x-2)=4, 解得当x<-0.5x=1 =4, 解得2x+1）－（x-2）时，（当－0.5≤x<25范围无解∴在x≥2)＝4解得x=2, +(x 当x≥2时，（2x+1）－31, x=1 －综上所述原方程有两个解x=21三、练习a,b,0a+b<0. 试把及其相反数记在数轴上。
初中数学趣味数学竞赛课件(共43张)
先考虑两个店主之间的得失，鞋店主先拿假钞去隔壁店主 那里换来两张50元的真钞，后来又赔给隔壁店主100元， 所以双方没得失。所以鞋店主只是损失了一双50元的鞋子 与50元现金。
24.把10个硬币放入三只杯子中，使得每只杯子 中硬币的个数仍都是奇数，请问如何能办得到？
答案：只需要把一个杯子套入另一只杯子之中即可
25. 一辆四轮赛车参加距离比赛，行程18Байду номын сангаас0千米， 轮胎都是新的，每只轮胎在1200千米内有效， 问车上最少应该带几只备用的新轮胎？
答案：2只 当车走了600米时，换下两个轮胎，当走到1200米时， 用之前换下来的两个轮胎去换另外两个轮胎。
26、盒子里有27只球，其中有一只是次品， 这个次品外观上与正品毫无区分，只是分量 略重一些。现在有一架天平，要把次球找出 来，至少要称几次？
答案：后报的取胜
15、请问如何用三根直木棒组成12个直角？
答案：把三根木棒 按东西、南北、上 下三个方位交叉 放置即可组成12个 直角。
16、有一个密封的
长方体水箱（如图）
，如果从里面量得
宽3分米，高5分米，
3
箱内水的高度是4分
米，如果将水箱向
后推倒，以它的后
5
面为底面，这时箱
内水的高度是多少
分米？
答案：先用5升壶装满后倒进6升壶里，在再将 5升壶装满向6升壶里到，使6升壶装满为止， 此时5升壶里还剩4升水将6升壶里的水全部倒 掉，将5升壶里剩下的4升水倒进6升壶里，此 时6升壶里只有4升水再将5升壶装满，向6升壶 里到，使6升壶里装满为止，此时5升壶里就只 剩下3升水了
29、一位老人有17只羊，分给三个儿子：老大 九分之一，老二三分之一，老三二分之一.三个 儿子想：羊又不能宰，这该怎么办？三人各得 多少只羊？
初中数学竞赛辅导资料课件.doc
初中数学竞赛辅导资料一元一次方程解的讨论甲内容提要1， 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
一元方程的解也叫做根。
例如：方程 2x ＋6＝0， x （x-1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解分别是： x=－3, x=0或x=1, x=±6, 所有的数，无解。
2， 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b 后，讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x=ab ； 当a=0且b ≠0时，无解；当a=0且b ＝0时，有无数多解。
（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立）3, 求方程ax=b(a ≠0)的整数解、正整数解、正数解当a ｜b 时，方程有整数解；当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解；当a 、b 同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b乙例题例1 a 取什么值时，方程a(a －2)x=4(a －2) ①有唯一的解？②无解？③有无数多解？④是正数解？解：①当a ≠0且a ≠2 时，方程有唯一的解，x=a 4 ②当a=0时，原方程就是0x= －8，无解；③当a=2时，原方程就是0x=0有无数多解④由①可知当a ≠0且a ≠2时，方程的解是x=a4,∴只要a 与4同号， 即当a>0且a ≠2时，方程的解是正数。
例2 k 取什么整数值时，方程①k(x+1)=k －2（x －2）的解是整数？②（1－x ）k=6的解是负整数？解：①化为最简方程（k ＋2）x=4当k+2能整除4，即k+2=±1，±2，±4时，方程的解是整数∴k=－1，－3，0，－4，2，－6时方程的解是整数。
②化为最简方程kx=k －6，当k ≠0时x=k k 6 =1－k6， 只要k 能整除6, 即 k=±1，±2，±3，±6时，x 就是整数当 k=1,2,3时，方程的解是负整数－5，－2，－1。
初三数学竞赛辅导教程精
1.1 因式分解一、常用公式或变形方法（此处只列出教科书以外的常用于竞赛中的内容）1. ()2222222c b a bc ac ab c b a ++=+++++（在已知c b a ++和222c b a ++时此公式常变形为()()22222c b a c b a bc ac ab ++-++=++）二、例题讲解 例1. 已知a 、b 、c 是△ABC 的三条边，且满足bc ac ab c b a ++=++222，试判断△ABC 的形状.例2. 若三个素数的乘积恰好等于它们和的23倍，求这三个素数.（2019大同杯第四题）例3. 已知实数a 、b 、c 满足0=++c b a ，2220.1a b c ++=，求444a b c ++的值.（2019年宇振杯第3题）例4. 已知0=++c b a ，0333=++c b a ，求证：0555=++c b a三、练习题 1. 已知整数a 、b 满足3031096+-=b a ab ，求b a +的值.2. 已知121+=m a ，221+=m b ，3+=m c ，求bc c ac b ab a 222222-+-++的值.3. 已知a 、b 、c 是不全相等的实数，且0≠abc ，abc c b a 3333=++，求：（1）c b a ++的值（2）⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+a b c c a b c b a 111111的值 4. 化简：2232232b ab a b ab b a a +-+--（2019大同杯第1题）5. 设非零实数a ，b ，c 满足⎩⎨⎧=++=++0432032c b a c b a ，求222c b a cabc ab ++++的值.（2019年全国初中数学联赛第一试第1题）6. 已知正数a 、b 、c 满足3=++=++=++a c ac c b bc b a ab ，求()()()111+++c b a 的值.7. 已知：5=++c b a ，15222=++c b a ，47333=++c b a ，求()()()222222a ca c c bcb b ab a++++++的值.（2019全国初中数学联赛第二试B 组第2题）1.2 对称式及轮换对称式 一、定义1. 一个n 元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。
初中数学竞赛精品标准教程及练习68选择题
初中数学竞赛精品标准教程及练习68选择题初中数学竞赛是一项培养学生数学思维能力和解题技巧的重要活动。
为了帮助学生有效备战数学竞赛，专门编写了《初中数学竞赛精品标准教程及练习68选择题(二)》一书。
本书内容全面，涵盖了初中数学竞赛的各个考点，并通过一系列精选的练习题目，帮助学生巩固相关知识点和解题思路。
以下是本书的详细内容介绍。
第一章：数与式本章主要讲解数的性质及其运算，理解数与式的关系。
通过大量的练习题目，培养学生掌握各类数与式的转化和计算技巧。
第二章：代数式与方程本章重点讲解代数式的概念及其简化、展开等技巧。
同时，介绍方程的概念和解法，引导学生灵活运用代数知识解决实际问题。
第三章：比例与相似本章主要讲解比例与相似的概念、性质和运算。
通过丰富的练习题目，帮助学生熟悉比例与相似的应用场景，提高处理实际问题的能力。
第四章：图形与几何本章包括平面图形的性质与判定、计算图形的面积和周长等内容。
通过多种几何问题的解答，培养学生观察和推理能力，提高解决几何问题的能力。
第五章：数据与概率本章主要讲解统计数据的收集、整理和分析方法，以及概率的基本概念和计算方法。
通过实际案例和统计数据的分析，提高学生的数据处理能力和概率思维能力。
第六章：综合应用本章通过综合性的竞赛题目，培养学生将多个数学知识点与解题方法综合运用的能力。
同时，通过解析竞赛题目的解题思路，引导学生掌握解题的一般方法和技巧。
本书的练习题目从易到难，题目形式多样，包括选择题、填空题和解答题等。
每道题目都有详细的解析，讲解解题思路和方法，帮助学生理解题目的解法和解题过程。
同时，书中还配有足够的例题和习题，供学生进行练习和巩固知识。
《初中数学竞赛精品标准教程及练习68选择题(二)》是一本综合性的数学竞赛辅导书籍，适用于各类初中数学竞赛的备考和自学。
通过系统学习和练习，学生可以提高解题速度和准确性，激发数学兴趣，从而在数学竞赛中取得更好的成绩。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角2第二十讲直线与圆第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手3第一讲走进追问求根公式形如a某2b某c0（a0）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。
而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式某1,2bb24ac内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了2a一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。
解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。
【例题求解】【例1】满足(n2n1)n21的整数n有个。
思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。
【例2】设某1、某2是二次方程某2某30的两个根，那么某134某2219的值等于（）A、一4B、8C、6D、0思路点拨：求出某1、某2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如某123某1，某223某2。
初中数学竞赛教程
七年级第一讲 有理数（一）一、【能力训练点】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。
2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成mn（0,,n m n ≠互质）。
4、性质：① 顺序性（可比较大小）；② 四则运算的封闭性（0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质： ① (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩ ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。
ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。
二、【典型例题解析】：1． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ）A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方2.已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。
3.如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ） A.2a B.2a - C.0 D.2b4.有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,,a b b c c ab c c a a b------中有几个负数？5.设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0，ba，b 的形式，求20062007a b +。
6.三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac=+++++则321ax bx cx +++的值是多少？7.若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。
第二讲 有理数（二）一、【能力训练点】： 1、绝对值的几何意义① |||0|a a =-表示数a 对应的点到原点的距离。
初中数学竞赛精品标准教程及练习59：或者与并且
初 中数学竞赛精品标准教程及练习（59）“或者”与“并且”一、内容提要1.“或者”与“并且”的词义是清楚的，区别也是明显的. 例如：① 正整数a 是3或5的倍数，那么a=3, 5, 6, 9, 10, 12, 15……；如果正整数b 是3的倍数且是5的倍数，那么b=15，30，45，60，…….在正整数中，设3的倍数的集合为P ，5的倍数集合为Q ，那么 ：a 是P 和Q 两个集合中的所有元素，而b 是这两个集合中的公共元素.② ⎩⎨⎧-==.12y x ，是方程x+y=1的一个解. 这里的大括号表示“并且”即当x=2并且y=－1时，等式x+y=1成立.⎩⎨⎧-==.12y x ，等价于x=2并且y=－1. 记作⇔⎭⎬⎫-==12y x x=2并且y=－1. x=2, x=－2是方程x 2－4=0 的两个解.即当x=2或者x=－2时，等式x 2－4=0成立.x=2或x=－2 可记作 x=±2 .即 x=±2⇔ x=2或x=－2.2. 用“或者”与“并且”表示命题的等价命题.①.x ≥4⇔x>4或x=4.②.－4<x<4⇔x>－4且x<4⇔⎩⎨⎧<->.44x x ， ③.x ≠2⇔x<2或x<2④.x ≠±2⇔x ≠2且x ≠－2⇔⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠≠22x x )如图：3. 判断带有“或者”词义的命题的真假：第一种，命题结论带有“或者”的. 例如：⑤ 命题3≥2，读作3大于2或等于2，它是真命题. 因为“3大于2”，“3等于2”两个命题，用“或者”连结，只要有一个成立，就是真命题.⑥命题“如果a=0,那么a 2≥0”，也是真命题，因为这个命题等价于：若a=0, 则a 2>0或a 2=0，两个结论，用“或者”连结，有一个成立即可.第二种，命题的题设出现“或者”的. 例如⑦ 命题“如果a ≥0，则a 2=0”. 读作如果a=0或a>0, 则a 2=0. 它是假命题 因为命题的两个题设都使结论成立是不可能的. 这个命题等价于： 若a=0,则a 2=0且若a>0，则a 2=0. 两个命题要同时成立才是真命题.⑧ 方程和方程组的解：方程( x －a)(x －b)=0， 同解于x －a=0或者x －b=0.方程组⎩⎨⎧=-=-.00b x a x ，同解于x －a=0并且x －b=0.⑨ 不等式和不等式组的解集：不等式组⎩⎨⎧>+>+.00b x a x ，等价于x+a>0并且x+b>0.不等式(x+a)(x+b)>0 等价于⎩⎨⎧>+>+；，00b x a x 或者⎩⎨⎧<+<+.00b x ax ，二、例题例1.写出下列命题的等价命题：①实数a, b, c 都不为零； ②实数a,b,c 不都为零； ③x=±3且y ＝±2；④⎩⎨⎧≥≤≤-.044x x ，解：①. a, b, c 都不为零.⇔a ≠0且b ≠0且c ≠0.⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≠≠≠⇔000c b a ⇔abc ≠0.②. a, b, c 不都为零⇔a, b, c 中至少有一个不为零.⇔a ≠0或b ≠0或c ≠0.⇔不是a, b, c 都等于零.⇔a 2+b 2+c 2≠0.③. x=±3且y ＝±2 ⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧±=±=23y x⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==-==⇔2233y y x x 或或⇔⎩⎨⎧==；，23y x 或⎩⎨⎧-==；，23y x 或⎩⎨⎧=-=；，23y x 或⎩⎨⎧-=-=.23y x ，④.⎩⎨⎧≥≤≤-.044x x ，⇔⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=>≤-≥0044x x x x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤-≥⇔；，，044x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧=≤-≥.044x x x ，， 例2. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=.64222y x x ， 解：由x 2=4，得x=±2.把x=±2.代入4＋y 2=6， 得y=±2.∴原方程组的解是 ⎩⎨⎧±=±=.22y x ， 即原方程组有四个解：⎩⎨⎧==；，22y x ⎩⎨⎧-==；，22y x ⎩⎨⎧=-=；，22y x ⎩⎨⎧-=-=.22y x ，例3. 已知：a, b, c 是△ABC 的三边，试按下列条件判定三边之间的大小关系：① （a －b ）(b －c)=0 ； ②（a －b ）2+(b －c)2=0.解：① ∵当a －b=0或b －c=0时，等式成立.∴a, b, c 三边的大小关系是：a=b ；或b=c ；或a=b=c.② ∵当（a －b ）2＝0且(b －c)2＝0时，等式成立.∴⎩⎨⎧=-=-.00c b b a ， ∴a, b, c 三边的大小关系是：a=b=c.例4. x 取什么值时，下列各式在实数范围内有意义？①x x -+31； ②x -41.解：① x x -+31有意义.⇔⎩⎨⎧≥-≥+.0301x x ， ⇔⎩⎨⎧≤-≥.31x x ， 这个不等式组的解集，是 －1≤x ≤3.∴当－1≤x ≤3时，x x -+31有意义.② x -41有意义.⇔⎩⎨⎧≠-≥.040x x ， ⎩⎨⎧≠≥⇔.160x x ，∴这个不等式组的解集，是：x ≥0且x ≠16.即当0≤x ＜16或x>16时，x -41有意 义.例 5. 绝对值的几何意义是：在数轴上，一个数的绝对值，就是表示这个数的点离开原点的距离.根据上述定义，解不等式：①x ＜5； ②y ＞3.解：① x ＜5，就是表示x 的点离开原点的距离小于5. （如图）即 x>－5且x<5.∴x ＜5的解集是－5＜x ＜5. ② y ＞3，就是表示y 的点离开原点的距离大于3. （如图）即y<－3 或y>3.∴y ＞3的解集，是；y<－3 或y>3 .例6. 已知：方程0221=++-x t x 无解. 求：t 的值. 解：去分母，得x+2+t(x －2)=0.整理为关于x 的一次方程， (t+1)x=2(t －1).当⎩⎨⎧≠-=+.0)1(201t t ， 时，原方程无解.解这个方程组，得： t=－1；当x=2 或x=-2时原方程也无解.（∵这是增根）.分别以x=2， x=－2代入方程 (t+1)x=2(t －1).当x=2，t 无解； 当x=－2 时， t=0.综上所述，当t=－1 或t=0 时，方程0221=++-x t x 无解. 三、练习591. 填空：① 当a=＿＿＿＿＿＿＿ 时，)3)(11+-a a （ 没有意义. ② 当x ＿＿＿＿＿＿＿＿时， 912-x 有意义. ③ 当x ＿＿＿＿＿＿＿＿时，31--x x 在实数范围内有意义.④ 当整数b=__________ 时，b3的值是整数. ⑤ 方程x+y=2 的正整数解是＿＿＿＿＿＿，非负整数解是＿＿＿＿＿＿＿＿.⑥ 平面内不重合的两条直线的位置关系有＿＿＿＿＿＿＿＿＿.⑦ 经过一点有一条＿＿只有一条直线和已知直线垂直.2. 用“或者”或“并且”连接词写出下列命题的等价命题① x ≠0⇔＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.② a ≠±3⇔＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.③ －3＜x ≤2⇔＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3. 用含有“或者”或“并且”的连接词叙述下列命题，并判断其真假.①如果x 2=16， 那么x= ±4. ②如果a=±3， 那么a =3.③如果x=0， 那么x 2≥0. ④如果y ≥0， 那么y 2>0. ⑤如果x ＜4， 那么－4<x<4. ⑥如果y ≥2， 那么y ≤－2或y ≥2.⑦如果x 是实数， 那么x 2+1≥0. …..⑧如果x ≥－3，. 那么3+x ＝x+3.4. x 取什么值时，下列各式能成立？①（x-2）(x+3)=0 ； ②(x+1)(x-2)>0； ③2＜x －1<5.5. 解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=.1322y x x ， 6. 解不等式组 ⎩⎨⎧><<-.253x x ，7. 若a 是不为0的实数，那么根式a -1的取值范围是什么？a,b 是实数，若要由a 2>b 2 能得出a>b, 那么a, b 应满足什么条件？9. △ABC 中∠A ≤∠B ≤∠C 且2∠C=5∠A ，那么∠B 的取值范围是什么？10. a, b, c 三实数不都是零，可表示为( )(A) a+b+c ≠0. (B) abc ≠0 . (C) a 2+b 2+c 2≠0. (D) ab+bc+ca ≠0.11. 已知最简根式a b a +2 与b a -7是同类根式，那么应满足条件的a, b 的值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.12. 方程x =ax+2 有一个负数根且没有正数根，那么a 的取值范围是____________.。
初一数学竞赛辅导
8、一个长方形的房间长 1.35 丈，宽 1.05 丈，要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正 方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作为边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适 合？
9、一条长阶梯，如果每步跨 2 阶，那么最后剩 1 阶；如果每步跨 3 阶，那么最后剩 2
阶；如果每步跨 4 阶，那么最后剩 3 阶；如果每步跨 5 阶，那么最后剩 4 阶；如果 每步跨 6 阶，那么最后剩 5 阶；只有每步跨 7 阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯 最少有几阶？
∴最大公约数是 2× 3， 记作（ 24，90）＝ 6 最小公倍数是 23× 32× 5＝ 360， 记作 [24,90]=360
例 3 已知 32， 44 除以正整数 N 有相同的余数 2，求 N 解：∵ 32－ 2， 44－ 2 都能被 N 整除，∴ N 是 30， 42 的公约数
∵（ 30， 42）＝ 6，而 6 的正约数有 1，2， 3， 6
初中数学竞赛辅导资料
第一讲 数的整除
一、内容提要： 如果整数 A 除以整数 B(B ≠ 0)所得的商 A/B 是整数 ,那么叫做 A 被 B 整除 . 0 能
被所有非零的整数整除 .
除数
一些数的整除特征 能被整除的数的特征
2 或 5 末位数能被 2 或 5 整除
4 或 25 末两位数能被 4 或 25 整除
如果两个整数的积等于 73，那么它们是 ______________ ； 如果两个质数的积等于 15，则它们是 ______________ 。 5、两个质数 x 和 y，已知 xy=91, 那么 x=_______,y=_______, 或 x=_______,y=_______.
a ______
例 2 已知两个整数的积等于质数 m, 求这两个数。
九年级数学竞赛课件.ppt
O
B
x
A
如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°， AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC 绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1， 此时AP1= 2 ；将位置①的三角形绕点P1顺 时针旋转到位置②，可得到点P2，此时 AP2=1+ 2 ；将位置②的三角形绕点P2顺时 针旋转到位置③，可得到点P3，此时 AP3=2+ 2 ；…，按此规律继续旋转，直至 得到点P2014为止．则AP2014=______．
A．（2，﹣2 2）
B．（2，﹣2 3）
C．（2 D．（2
32，，﹣﹣22））
如图1，已知△ABC是等腰直角三角形， ∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG， 使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG． （1）试猜想线段BG和AE的数量关系. （2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0° ＜α≤360°）， ①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证 明你的结论；
__________
已知三角形两边长分别是2和9， 第三边的长为一元二次方程x214x+48=0的一个根，则这个三角 形的周长为________.
如图，△ABC绕点A顺时针旋转 100°得到△AEF，若∠C=60°， ∠E=100°，则α的度数为____.
二次函数 y ax2 bx c与一次函数 y=ax+c在同一直角坐标系内的大致 图象是( )
某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降 到128元，已知两次降价的百分率相同，每次 降价的百分率为x，根据题意列方程________
关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2=0的两 个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0， 则m的取值范围是（ ） A.m≤1 B.m≤1且m≠0 C.m＜1 D.m＜1且m≠0
初中数学竞赛精品标准教程及练习30概念的分类
初中数学竞赛精品标准教程及练习30概念的分类
1.基础知识和基本运算技巧：
-四则运算：加减乘除
-分数、小数与百分数之间的转化
-乘方和开方
-常用的代数运算法则
2.整数与有理数：
-整数的性质与运算：绝对值、整除、最大公约数、最小公倍数
-有理数的性质与运算：加减乘除、混合运算
3.比例与百分数：
-比例的性质与运用：比例的定义、比例的性质、简单比例问题
-百分数的概念与运用：百分数的转化、百分数的计算、百分数之间的关系
4.代数式与方程：
-一元一次方程与不等式：解一元一次方程和不等式、应用题
-分式方程与不等式：解一元分式方程、一元分式不等式、应用题-二元一次方程组：解二元一次方程组、实际问题
5.图形的性质与运动：
-几何图形的性质与运动：矩形、三角形、正方形、等边三角形、圆
等的性质，平移、旋转和反射等的运动
-坐标系与直角坐标图：直角坐标系、平面坐标系、直角坐标图的应
用
6.几何推理与证明：
-几何推理与证明的基本方法：直观法、推广法、对证法等
-作图与构造法：角的平分线、垂线、垂直平分线、等腰三角形等的
构造
7.数据与统计：
-统计图表的读取与应用：表格、折线图、柱状图、条形图等
-平均数与数据分布：算术平均数、中位数、众数、极差、离差、频
数与概率
以上只是初中数学竞赛精品标准教程及练习中的一部分概念分类，每
个分类中都会有多个具体的知识点和题型，用以让学生全面掌握数学竞赛
所需的知识和技巧。
这些教程和练习旨在帮助学生建立起扎实的数学基础，并提供一定的思维训练和解题技巧，以便在数学竞赛中能够取得好成绩。
人教版七年级数学竞赛课件
风险无处不在，勇者胜！
（2）每件服装的成本是多少?
4、8a+2b+5a-b
答对加10分2，、都3x答-4对x2，+时7-3间x短+2的x加2+110分。 4、（-8）+10+2+（-1） 答对得10分其，中不x答=-或3 者答错不得分。
（2）每件服装的成本是多少?
9、6-（-12）×（-1）
1、（-10）+（+6）
人教版七年级
规则：每组每人按抽签顺序，每人口答一题。答对得10分，不答或者答错不得分。
1、什么是乘方？ 3、什么是单项式？ 5、什么是数轴？ 7、等式的性质1 9、合并同类项法则
2、什么是数a的绝对值？ 4、什么是同类项？ 6、单项式的次数？
8、一元一次方程定义？
10、什么是互为相反数？
规则：本轮两两对决，自由抢答，答对得10分，答错对方加10分。大屏幕出示题目，教师宣布 “开始抢答”后，方可按抢答器，王老师根据抢答器显示序号选出答题选手，其间不可说出答 案。题目出示30秒后无人抢答，本题作废。
7、（-1）10×2+（-2）3÷4 8、（-1）100×5+（-2）4÷4
9、3x+7=32-2x 10、5x-200=2x+100
3x
2、-6ab+ba+8ab
4、8a+2b+5a-b -2a+b
120a-603;b -120a-60
0
9 X=5
X=300
二人合作题
规则：每组组长抽取答题序号，由二人组合完成本题，一人先板演第一步后另一人板演 第二步，答题结束后举手示意老师，正确的加10分，答错不扣分。
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① （a－b）(b－c)=0 ；
②（a－b）2+(b－c)2=0.
解：① ∵当 a－b=0 或 b－c=0 时，等式成立.
∴a, b, c 三边的大小关系是：
a=b；或 b=c；或 a=b=c.
② ∵当（a－b）2＝0 且(b－c)2＝0 时，等式成立.
∴
a b
b c
0， 0.
∴a, b, c 三边的大小关系是：a=b=c. 例 4. x 取什么值时，下列各式在实数范围内有意义？
① 1 x 3 x ；
②1. 4 x
解：①
1
x
3
x
有意义.
1 x 0， 3 x 0.
x x
1 3.
这个不等式组的解集，是 －1≤x≤3.
∴当－1≤x≤3 时， 1 x 3 x 有意义.
1
x 0，
②
有意义.
4 x
4 x 0.
x x
0， 16.
∴这个不等式组的解集，是：x≥0 且 x≠16.
(C) a2+b2+c2≠0. (D) ab+bc+ca ≠0.
11.已知最简根式 a 2a b 与 ab 7 是同类根式，那么应满足条件的 a, b 的值 是
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
12. 方程 x =ax+2 有一个负数根且没有正数根，那么 a 的取值范围是
.
或－2< x<2
或 x>2 (实数 x 记在数轴上)如图：
－2
0
2
3. 判断带有“或者”词义的命题的真假： 第一种，命题结论带有“或者”的. 例如： ⑤ 命题 3≥2，读作 3 大于 2 或等于 2，它是真命题. 因为“3 大于 2”， “3 等于 2”两个命题，用“或者”连结，只要有一个成立，就是真命题. ⑥命题“如果 a=0,那么a2≥0”，也是真命题，因为这个命题等价于： 若 a=0, 则 a2>0 或 a2=0，两个结论，用“或者”连结，有一个成立即可.
⑤ 方程 x+y=2 的正整数解是＿＿＿＿＿＿，非负整数解是＿＿＿＿＿＿＿＿.
⑥ 平面内不重合的两条直线的位置关系有＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
⑦ 经过一点有一条＿＿只有一条直线和已知直线垂直.
2.用“或者”或“并且”连接词写出下列命题的等价命题
① x≠0 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
② a≠±3 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
a 是 P 和 Q 两个集合中的所有元素，而 b 是这两个集合中的公共元素.
②
x
y
2， 1.
是方程x+y=1
的一个解.
这里的大括号表示“并且”即当
x=2 并且y=－1 时，等式 x+y=1 成立.
x
y
2， 1.
等价于
x=2
并且
y=－1.
记作
x y
2 1
x=2
并且
y=－1.
x=2, x=－2 是方程 x2－4=0 的两个解. 即当 x=2 或者x=－2 时，等式 x2－4=0 成立.
方程组
x x
a b
0 0.
同解于x－a=0 并且 x－b=0.
⑨ 不等式和不等式组的解集：
不等式组
x x
a b
0 0.
等价于 x+a>0 并且 x+b>0.
若 a=0,则 a2=0 且若 a>0，
不等式(x+a)(x+b)>0
等价于
x x
a b
0
x
0；或者 x
a b
0 0.
二、例题
例 1.写出下列命题的等价命题：
解：由 x2=4，得 x=±2.
把 x=±2.代入 4＋y2=6， 得 y=± 2 .
学无止 境
∴原方程组的解是
x 2，
y
2.
x 2， x 2， x 2， x 2，
即原方程组有四个解： y
2
y
2
y
2
y 2.
例 3. 已知：a, b, c 是△ABC 的三边，试按下列条件判定三边之间的大小关系：
x=2 或 x=－2 可记作 x=±2 . 即 x=±2 x=2 或 x=－2. 2. 用“或者”与“并且”表示命题的等价命题. ①.x≥4 x>4 或 x=4.
②.－4<x<4
x>－4
且 x<4
x x
4 4.
③.x ≠2 x<2 或 x<2
④.x≠±2 x≠2 且 x≠－2 xx22
x<－2
③ －3＜x≤2 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
3.用含有“或者”或“并且”的连接词叙述下列命题，并判断其真假.
①如果 x2=16， 那么 x= ±4.
②如果 a=±3， 那么 a =3.
学无止 境
③ 如 果 x=0， 那 么 x2≥0.
④如果 y ≥0， 那么 y2>0.
⑤如果 x ＜4， 那么－4<x<4. ⑥如果 y ≥2， 那么 y≤－2 或 y≥2.
∴ x ＜5 的解集是－5＜x＜5.
－5 0 5
② y ＞3，就是表示y 的点离开原点的距离大于 3. （如图）
－3
0
3
即 y<－3 或 y>3.
∴ y ＞3 的解集，是；y<－3 或 y>3 .
例 6.
已知：方程 1 t 0 无解. x 2 x 2
求：t 的值.
解：去分母，得 x+2+t(x －2)=0.
①实数 a, b, c 都不为零；
②实数 a,b,c 不都为零；
③x=±3 且 y＝±2；
④
4 x 4， x 0.
a 0
解：①.
a,
b,
c
都不为零.
a≠0
且
b≠0
且
c≠0.
b
0
abc≠0.
c 0
②. a, b, c 不都为零 a, b, c 中至少有一个不为零. a≠0 或 b≠0 或 c≠0. 不是 a, b, c 都等于零. a2+b2+c2≠0.
学无止 境
初中数学竞赛精品标准教程及练习（59）
“或者”与“并且”
一、内容提要
1.“或者”与“并且”的词义是清楚的，区别也是明显的. 例如：
① 正整数 a 是 3 或 5 的倍数，那么a=3, 5, 6, 9, 10, 12, 15……； 如果正整数 b 是 3 的倍数且是 5 的倍数，那么 b=15，30，45，60，……. 在正整数中，设 3 的倍数的集合为P，5 的倍数集合为 Q，那么 ：
0
16
即当 0≤x＜16 或 x>16 时， 1 有意 义. 4 x
例 5. 绝对值的几何意义是：在数轴上，一个数的绝对值，就是表示这个数的点离开原点的距离.
根据上述定义，解不等式：① x ＜5； ② y ＞3.
解：① x ＜5，就是表示x 的点离开原点的距离小于 5. （如图）
学无止 境
即 x>－5 且 x<5.
⑦如果 x 是实数， 那么 x2+1≥0. …..⑧如果 x≥－3，. 那么 x 3 ＝x+3.
4. x 取什么值时，下列各式能成立？
①（x-2）(x+3)=0 ；
5. 解方程组
x2 3， x2 y 1.
②(x+1)(x-2)>0； ③2＜x －1<5.
6.
解不等式组
3 x 5， x 2.
7. 若 a 是不为 0 的实数，那么根式 1 a 的取值范围是什么？
件？
a,b 是实数，若要由 a2>b2 能得出 a>b, 那么 a, b 应 且 2∠C=5∠A，那么∠B 的取值范围是什么？
10. a, b, c 三实数不都是零，可表示为(
)
(A) a+b+c ≠0. (B) abc≠0 .
综上所述，
当 t=－1 或 t=0 时，方程
1 t 0 无解.
x 2 x 2
①
当
a=＿＿＿＿＿＿＿
时，
（a
1 1)(a
3)
没有意义.
② 当 x＿＿＿＿＿＿＿＿时， 1 有意义. x2 9
③ 当 x＿＿＿＿＿＿＿＿时， x 1 在实数范围内有意义. x 3
④ 当整数 b=
时， 3 的值是整数. b
第二种，命题的题设出现“或者”的. 例如 ⑦ 命题“如果 a≥0，则 a2=0”. 读作如果 a=0 或 a>0, 则 a2=0. 它是假命题
因为命题的两
学无止 境
个题设都使结论成立是不可能的. 这个命题等价于： 则 a2=0. 两个命题要同时成立才是真命题.
⑧ 方程和方程组的解： 方程( x－a)(x－b)=0， 同解于 x－a=0 或者 x－b=0.
③. x=±3 且 y＝±2
xy
32
xy
3或x 2或y
32
x 3，
x 3，
x ，3
x 3，
y
2
或
y
2
或
y 2；
或
y
2.
④.
x
4
0.
x
4，
x x
x
4 4 0或x
0
x 4， x 4， x 4， 或x 4，
x 0； x 0.
例
2.
解方程组x2x2
y
4， 2 6.
整理为关于 x 的一次方程， (t+1)x=2(t－1).
当
t 1 0， 2(t 1) 0.