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2020学年河北省石家庄市第二中学高二第二学期期末考试数学(理)试题(解析版)

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2021-2022学年北京市第二中学高二下学期数学期末练习试题(解析版)

2021-2022学年北京市第二中学高二下学期数学期末练习试题(解析版)

2021-2022学年北京市第二中学高二下学期数学期末练习试题一、单选题1．已知离心率为2的双曲线()222210,0x y a b a b -=>>与椭圆22184x y +=有公共焦点，则双曲线的方程为（ ） A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2213y x -=D ．2213x y -=【答案】C【分析】由双曲线与椭圆共焦点可得双曲线的2c =，双曲线离心率2ce a==，得1a =，3b =，即可求出双曲线的方程.【详解】双曲线()222210,0x y a b a b -=>>与椭圆22184x y +=有公共焦点由椭圆22184x y +=可得284=4c =-2c ∴=双曲线离心率2ce a==， 2221413a b c a ∴==-=-=，∴双曲线的方程为：2213y x -=故选：C【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线焦点以及双曲线离心率的表示方法，属于基础题. 2．函数 ()y f x =的导函数()y f x ='的图象如图所示，给出下列命题：①3-是函数()y f x =的极值点； ②1-是函数()y f x =的最小值点； ③()y f x =在区间()3,1-上单调递增； ④()y f x =在0x =处切线的斜率小于零．以上正确命题的序号是（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④【答案】C【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．【详解】根据导函数图象可知：当(),3x ∈-∞-时，()0f x '<，在()3,1x ∈-时，()0f x '≥， ∴函数()y f x =在(),3-∞-上单调递减，在()3,1-上单调递增，故③正确；则3-是函数()y f x =的极小值点，故①正确； 在()3,1-上单调递增，∴1-不是函数()y f x =的最小值点，故②不正确；函数()y f x =在0x =处的导数大于0， ∴切线的斜率大于零，故④不正确．故选：C ．3．已知x y ≠，数列x ，1a ，2a ，y 与x ，1b ，2b ，3b ，y 都是等差数列，则2121a ab b --的值是（ ） A ．43B ．34C ．54D ．45【答案】A【分析】根据等差数列的通项公式，分别表示出()213y x a a =+-，()214y x b b =+-，整理即可得答案.【详解】数列x ，1a ，2a ，y 和x ，1b ，2b ，3b ，y 各自都成等差数列，()213y x a a ∴=+-，()214y x b b =+-，()()212134a a b b ∴-=-，212143a ab b -∴=-． 故选:A ．4．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是A ．2B ．3C ．115D ．3716【答案】A【详解】直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线．由抛物线的定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题转化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P ，使得P 到点F(1,0)和直线l 2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即d min ＝4065-+＝2．5．若直线2y x b =+是曲线2lnx y a =的切线，且0a >，则实数b 的最小值是 A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-【答案】D【分析】求出函数y ＝2alnx 的导数，设切点为（m ，n ），由条件得到22am=，2m+b ＝2alnm ，即有b ＝2alna ﹣2a （a ＞0），再对b 求导，求出单调区间，极值即为最值，即可得到实数b 的最小值．【详解】y ＝2alnx 的导数为2ay x'=，由于直线y ＝2x+b 是曲线y ＝2alnx 的切线，设切点为（m ，n ），则22am=， ∴m ＝a ，又2m+b ＝2alnm ，∴b ＝2alna ﹣2a （a ＞0），b '＝2（lna+1）﹣2＝2lna ， 当a ＞1时，b '＞0，函数b 递增，当0＜a ＜1时，b '＜0，函数b 递减， ∴a ＝1为极小值点，也为最小值点，∴b 的最小值为2ln1﹣2＝﹣2． 故选D ．【点睛】本题考查利用导数求曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求最值，属于基础题．6．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，直线PF 交y 轴于点Q ，若3PF FQ =，则点P 到准线l 的距离为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】求出焦点F 的坐标，过点P 作y 轴的垂线，垂足为N ，由OF PN ∥可得||||1||||4OF FQ PN QP ==，求出||PN ，结合抛物线的定义，即可得解． 【详解】解：由抛物线2:4C y x =，可知(1,0)F ，准线l 的方程为1x =-， 过点P 作y 轴的垂线，垂足为N ， 因为OF PN ∥，所以||||1||||4OF FQ PN QP ==， 所以||4||4PN FO ==，所以点P 到准线l 的距离为415+=． 故选：C ．7．某班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决4个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”，则在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有 A ．141种 B ．140种 C ．51种 D ．50种【答案】A【详解】分析：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，都是0、1、2、3天，共四种情况，利用组合知识可得结论．详解：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有01122336656463C C C C C C C +++=141种．故选A ．点睛：本题考查组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同是关键．8．若曲线()e x mf x x=+在(,0)-∞上存在垂直y 轴的切线，则实数m 取值范围为 A ．24,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．240,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(,4]-∞D ．(0,4]【答案】B【详解】试题分析：()2'e 0xmf x x=-= 在(,0)-∞上有解2e x m x ⇒=在(,0)-∞上有解，设()()()22e '2e (0)x xg x x g x x x x =⇒=+< ，令'()02g x x =⇒=- ，当2x <- 时，'()0g x > ，当20x -<< 时，()()()24'002e g x g x g m <⇒<≤-=⇒∈240,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选B.【解析】函数的导数及其应用.【方法点晴】本题考查函数的导数及其应用，考查了转化化归思想、分类讨论思想和函数与方程思想，计算量比较大，属于较难题型.解题时首先将命题转化为2e x m x =在(,0)-∞上有解，再设()2e x g x x =，然后利用导数工具求得()()2402e g x g m <≤-=⇒∈240,e ⎛⎤⎥⎝⎦，解此类题型时，应注意积累命题转化技巧，即培养转化化归思想.9．已知1F ､2F 分别是双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，双曲线C 的右支上一点Q 满足1||OQ OF =，直线1F Q 与该双曲线的左支交于P 点，且P 恰好为线段1F Q 的中点，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y =±D ．y =±【答案】C【分析】根据给定条件导出12QF QF ⊥，再利用双曲线定义结合勾股定理计算作答. 【详解】依题意，令12||||||OQ OF OF c ===，则有12QF QF ⊥，令2||2QF t =，由双曲线定义得1||22QF a t =+，而点P 是QF 1中点且在双曲线左支上，则12||||,||3PQ PF a t PF a t ==+=+，在2Rt PQF 中，22222||||||PQ QF PF +=，即222()(2)(3)a t t a t ++=+，解得2t a =，则2||4QF a =，1||6QF a =，在12Rt FQF 中，2221212||||||QF QF F F +=，即22236164a a c +=，2213c a =，于是得2212b a =，ba=所以双曲线C 的渐近线方程为y =±. 故选：C10．设{}2n a n +为等比数列，且11a =，20a =，现有如下四个命题：①123,,a a a 成等差数列； ②5a 不是质数；③{}2n a n +的前n 项和为122n +-；④数列{}n a 存在相同的项. 其中所有真命题的序号是 A ．①④ B ．①②③ C ．①③ D ．①③④【答案】D【分析】首先根据{}2n a n +为等比数列，且11a =，20a =，得到22n n a n =-，再依次判断即可得到答案.【详解】设等比数列{}2n a n +的公比为q ，则2202211q +==+，所以22nn a n +=， 对①，因为22n n a n =-，所以31a =-，则1322a a a +=，所以123,,a a a 成等差数列，故①为真命题.对②，525257a =-=，而7为质数，所以5a 是质数，故②为假命题.对③，{}2n a n +的前n 项和为()212121222222nn n +--==+++-，故③为真命题.对④，因为20a =，424240a =-=，故④为真命题.故选：D 二、填空题11．数列{}n a 中，13.n n a a +=前99项的和9952S =，则36999a a a a ++++=___________.【答案】36【分析】易得数列{}n a 是等比数列，数列36999,,,,a a a a 是等比数列，根据等比数列的前n 项和公式求得1a ，再根据等比数列前n 项和公式即可得解. 【详解】解：因为13n n a a +=，9952S =，所以数列{}n a 是以3为公比的等比数列， 所以数列36999,,,,a a a a 是以3a 为首项，33为公比的等比数列又()99199135213a S -==-，所以()99113104a -=-，是以()()()333993136999313913910436132626a a a a a a ⎡⎤--⨯-⎢⎥⎣⎦++++====---. 故答案为：36. 三、双空题12．已知()727012712x a a x a x a x -=++++，则0a =_________，127a a a +++=______________.【答案】 1 2-【分析】令0x =即可求0a 的值，令1x =结合0a 的值，即可求127a a a +++的值.【详解】令0x =可得：()70120a -⨯=，所以01a =， 令1x =可得：()07712121a a a a -⨯=++++，即27111a a a ++++=-，所以1272a a a +++=-，故答案为：1；2-.13．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ．若210a =，540S =，则5a =________，n S 的最大值为________． 【答案】 4 42【分析】根据等差数列的前n 项和公式，可求得38a =，从而可求得数列的公差，得到数列的通项公式和前n 项和公式，可求得所需求的值. 【详解】∵数列{}n a 是等差数列，∵540S =，∴()1535524022a a a ⨯+⨯==，38a ∴=， 又210a ∴=，2d ∴=-，2(2)10(2)(2)142n a a n d n n ∴=+-⨯=+-⨯-=-， 514254a ∴=-⨯=，()122(12142)(262)13169(13)13()22224n n n a a n n n n S n n n n n ++--====-=-+=--+, ∴当6n =或7时，n S 有最大值42.故答案为：（1）4；（2）42.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，和根据二次函数的求得前n 项和的最大值，运用是需注意数列的项数应是自然数，属于基础题.14．如图，椭圆E 的左右焦点为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆过原点，且与椭圆E 在第一象限交于点P ，若过P ､1F 的直线l 与圆2F 相切，则直线l 的斜率k =______；椭圆E 的离心率e =______.【答案】3331-【解析】根据直角三角形的性质求得12PF F ∠，由此求得k ，结合椭圆的定义求得离心率.【详解】连接2PF ，由于l 是圆2F 的切线，所以12PF PF ⊥. 在12Rt PF F 中，212PF OF OF c ===， 所以21212PF F F =，所以126PF F π∠=，所以直线l 的斜率63tan 3πk ==.2211223PF F P F F c =-=，根据椭圆的定义可知1212222312331F F c c c e a a PF PF c c ======-+++. 故答案为：33；31-【点睛】本小题主要考查椭圆的定义、椭圆的离心率，属于中档题.15．已知函数()()1ln 0f x ax x a x=+>.（1）当1a =时，()f x 的极小值为______；（2）若()f x ax ≥，在()0,∞+上恒成立，则实数a 的取值范围为______. 【答案】 1 20,e ⎛⎤⎥⎝⎦【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，判断导函数的正负，求出函数的单调区间，求出函数的极小值即可； （2）问题转化为21(1ln )a x x -≤在(0,)+∞恒成立，e x ≥时显然成立，0e x <<时，问题转化为min 21[](1ln )a x x ≤-，只需求出2()(1ln )g x x x =-的最大值即可，求出函数()g x 的最大值，从而求出a 的范围即可．【详解】（1）1a =时，1()ln f x x x x=+，(0)x >，21()ln 1f x x x '=+-，令23112()ln 1,()0g x x g x x x x'=+-=+>， 故()'f x 在(0,)+∞递增，而()01f '=，故(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 递减，(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增， 故()f x 极小值(1)1f ==；（2）若()f x ax ≥在(0,)+∞上恒成立， 即21(1ln )a x x -≤在(0,)+∞恒成立， ①1ln 0x -≤即e x ≥时，0a >，(1ln )0x -≤，210x >， 故21(1ln )a x x -≤在(0,)+∞恒成立， ②1ln 0x ->即0e x <<时，问题转化为21(1ln )a x x ≤-在(0,)+∞恒成立， 即min 21[](1ln )a x x ≤-，只需求出2()(1ln )g x x x =-的最大值即可，(0e)x <<，()(12ln )g x x x '=-，令()0g x '>，解得：0x <<()0g x '<e x <<，故()g x 在递增，在e)递减，故max e ()2g x g ==，故12e e 2a ≤=， 综上，(0a ∈，2]e, 故答案为：1， 2(0,]e．四、解答题16．在①212log log 1n n a a +=+，②12n n n a a +=+，③22112n n n n a a a a ++-=（0na >）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答，已知{}n n b a -为等差数列，{}n b 的前n 项和为n S ，且12a =，12b =，314b =，__________，是否存在正整数k ，使得2021k S >？若存在，求k 的最小值：若不存在，说明理由． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 【答案】选择见解析；存在；k 的最小值为10．【分析】选①：得212log log 1n n a a +-=，所以2{log }n a 等差数列，即可求得n a 通项公式，再求得{}n b ，然后求和n S ，最后由不等式估算k 的最小值；选②：用累加法求得n a 通项公式，下同选①；选③：由22112n n n n a a a a ++-=整理得()()1120n n n n a a a a ++-+=，即可求得n a 通项公式，下同选①．【详解】选①：由21log log 1n n a a +=+得212log log 1n n a a +-=，所以2{log }n a 是首项为21log 1a =，公差为1的等差数列， 所以()2log 111n a n n =+-⨯=，故2n n a =． 又12b =，314b =，12a =，38a =， 所以110b a -=，336b a -=， 所以等差数列{}n n b a -的公差3311()()331b a b a d ---==-所以()()11131n n b a b a n d n -=-+-=-，所以()231nn b n =+-，2123133(2222)3(123)3222nn n n n S n n +-=+++++++++-=-+．由2021n S >得10n ≥，即存在正整数k ，使得2021k S >．且k 的最小值为10． 选②：由12nn n a a +=+得1212a a -=，3222a a -=， 3432a a ，…，()1122n n n a a n ---=≥，相加得1123112(12)22222212n n n n a a ----=++++==--，又12a =，所以()22nn a n =≥，显然12a =也满足()22nn a n =≥，故2n n a =．下同选①． 选③：由22112n n n n a a a a ++-=整理得()()1120n n n n a a a a ++-+=，又0n a >，所以12n n a a +=，即12n na a +=， 所以{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，所以2n n a =． 下同选①．【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．17．某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“312++”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为,,,,A B C D E 五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到[]86,100、[]71,85、[]56,70、[]41,55、[]30,40五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：而等比例转换法是通过公式计算：2211Y Y T TY Y T T --=-- 其中1Y ，2Y 分别表示原始分区间的最低分和最高分，1T 、2T 分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y 表示原始分，T 表示转换分，当原始分为1Y ，2Y 时，等级分分别为1T 、2T假设小南的化学考试成绩信息如下表：设小南转换后的等级成绩为T ，根据公式得：847585756971TT --=--，所以76.677T =≈（四舍五入取整），小南最终化学成绩为77分.已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得A 等级的学生原始成绩统计如下表：（1）从化学成绩获得A 等级的学生中任取2名，求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率；（2）从化学成绩获得A 等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为ξ，求ξ的分布列和期望. 【答案】（1）1235P =（2）见解析 【分析】（1）根据成绩换算公式，计算出等级成绩不低于96分时的原始成绩，进而得到等级成绩不低于96分的人数，根据古典概型的概率即可得到所求；（2）列出随机变量ξ的所有可能的取值，分别求出对应的概率，列出分布列，计算期望即可．【详解】（1）设化学成绩获得A 等级的学生原始成绩为x ，等级成绩为y ，由转换公式得：951008586x y x y --=--，即：()148514330861010x x y --=+=， 所以143309610x -≥，得：92.1x ≥， 显然原始成绩满足92.1x ≥的同学有3人，获得A 等级的考生有15人.恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率为113122151235C C P C ==. （2）由题意可得：等级成绩不小于96分人数为3人，获得A 等级的考生有15人，0531251524(0)91C C P C ξ===，1431251545(1)91C C P C ξ=== 2331251520(2)91C C P C ξ===，323125152(3)91C C P C ξ=== 则分布列为ξ 01 2 3 P2491 4591 2091291则期望为：45202231919191E ξ=+⋅+⋅= 【点睛】本题考查古典概型、计数原理、统计表的应用、超几何分布，考查数据处理能力和运算求解能力，属于中档题．18．如图，抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，点()2,1P 、()11,A x y 、()22,B x y 均在抛物线上.(1)求抛物线的方程；(2)若APB ∠的平分线垂直于y 轴，证明直线AB 的斜率为定值. 【答案】(1)24x y = (2)证明见解析【分析】（1）根据题意设抛物线的方程为2x ay =，将点P 的坐标代入抛物线的方程，求出a 的值，即可得出抛物线的方程；（2）分析可知直线AP 的斜率存在且不为零，利用斜率公式求出AP k 、BP k 的值，由已知可得0AP BP k k +=，求出12x x +的值，再利用斜率公式可求得AB k 的值.【详解】(1)解：根据题意设抛物线的方程为2x ay =，将点P 的坐标代入抛物线方程可得4a =，所以，抛物线的方程为24x y =.(2)证明：由题意可知直线AP 、BP 的倾斜角互补，若AP x ⊥轴，此时直线AP 与抛物线24x y =只有一个交点，不合乎题意. 所以，直线AP 的斜率存在，若直线AP y ⊥轴，则A 、B 重合，不合乎题意， 所以，直线AP 的斜率不为零，2111111124224APx y x k x x --+===--，同理224BP x k +=， 由已知12404AP BP x x k k +++==，可得124x x +=-， 因此，221212121212414ABx x y y x x kx x x x --+====---. 故直线AB 的斜率为定值1-.19．已知函数()(1)ln 1.f x x x x =---(1)求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程； (2)证明：函数()f x 有且仅有两个零点12,x x ，且12 1.x x = 【答案】(1)10x y ++= (2)见解析【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）求导，再根据导数得符号求出函数的单调区间，再根据零点的存在性定理即可得证，注意可先假设α是函数的一个零点，再证明10f α⎛⎫= ⎪⎝⎭.【详解】(1)解：由函数()(1)ln 1f x x x x =---， 得()0,x ∈+∞，12f ，()11ln 1ln x f x x x x x-'=+-=-， 则()11f '=-，所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为()21y x +=--， 即10x y ++=；(2)解：()1ln f x x x '=-，()0,x ∈+∞，因为函数1ln ,y x y x ==-在()0,x ∈+∞上递增，所以函数1ln y x x=-在()0,x ∈+∞上递增，又()()1ln 41110,2ln 2022f f -''=-<=-=>， 所以存在唯一的实数()01,2x ∈，使得()00f x '=， 当00x x <<时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x '>， 所以函数()f x 在()00,x 上递减，在()0,x +∞上递增， 故()()0120f x f <=-<，又()22e e 30f =->，所以函数()f x 在()0,x +∞上存在唯一的零点α， 则()(1)ln 10f αααα=---=， 由01x α<<，得011x α<<，又()1ln 11111()(1)ln 10f αααααααα---=---==， 所以函数()f x 在()00,x 上存在唯一的零点1α，即函数()f x 有且仅有两个零点12,x x ，且12 1.x x = 20．已知函数()(1)e 1xf x x =-+，2()(R).2ax g x a =∈(1)若1a =，求函数()g x 在点(3,(3))g 处的切线方程； (2)当(,1]x ∈-∞时，()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)6290x y --= (2)[)2,+∞【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得出答案；（2）令()()()()(]21e 1,,12x ax h x g x f x x x =-=---∈-∞，要使当(,1]x ∈-∞时，()()f x g x ≤恒成立，只要当(,1]x ∈-∞时，()0f x '≥恒成立即可，从a 的角度分类讨论求出函数的单调区间及最值，从而可得出答案.【详解】(1)解：若1a =，2()2x g x =，则()932g =，则()g x x '=，故(3)3g '=，所以函数()g x 在点(3,(3))g 处的切线方程为()9332y x -=-， 即6290x y --=；(2)解：令()()()()(]21e 1,,12x ax h x g x f x x x =-=---∈-∞，则()()()e e 1e x x xh x ax x x a '⎡⎤=-+-=-⎣⎦， 当0a ≤时，有e 0x a -<，当0x <时，()0h x '>，当01x <≤时，()0h x '<， 所以函数()h x 在(),0∞-上递增，在(]0,1上递减， 所以()()max 00h x h ==， 所以当0a ≤时，()0h x ≤恒成立， 所以0a ≤不符合题意；当0a >时，令()0h x '=，则0x =或ln a ， ①若e a ≥，则ln 1a ≥，当0x <时，()0h x '<，当01x <<时，()0h x '>， 所以函数()h x 在(),0∞-上递减，在()0,1上递增， 所以()()00h x h ≥=，所以当(,1]x ∈-∞时，()()f x g x ≤恒成立， 所以e a ≥符合题意；②若1e a <<时，则0ln 1a <<，当0x <或ln 1a x <<时，()0h x '<，当0ln x a <<时，()0h x '>， 所以函数()h x 在(),0∞-和()ln ,1a 上递减，在()0,ln a 上递增， 因为()0h x ≥恒成立，所以()()00011021eh a h a ⎧=≥⎪⎪=-≥⎨⎪<<⎪⎩，解得2e a ≤<；③若1a =，则ln 0a =， 则()0h x '≤，所以函数()h x 在(],1-∞上递减， 又()00h =，所以当10x ≥>时，()0h x <， 所以1a =不符合题意； ④若01a <<时，则ln 0a <，当ln x a <或01x <<时，()0h x '<，当ln 0a x <<时，()0h x '>， 所以函数()h x 在(),ln a -∞和()0,1上递减，在()ln ,0a 上递增， 又()00h =，所以当10x ≥>时，()0h x <， 所以01a <<不符题意，综上所述，a 的取值范围是[)2,+∞.【点睛】本题考查了导数的几何意义和利用导数求含参函数的单调区间及最值，考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想及数据分析能力.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>1F ，2F ，A为C 的上顶点，且12AF F △的周长为4+ (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l ：()0y kx m m =+≠与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，当k 为何值，22OM ON +恒为定值，并求此时MON △面积的最大值．【答案】(1)2214x y +=(2)12k =±，MON △面积的最大值为1【分析】（1）由椭圆的定义可知12AF F △的周长为224a c +=+求解；（2）联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可得()()()2222222641641241m k k OM ON k -+++=++，若22OM ON +恒为定值，则与2m 无关，即可求得k 值；将k代回可得MN ，设点O 到直线l 的距离d ，则12MON S d MN =⨯⨯△，利用均值不等式即可求解.【详解】(1)设椭圆C 的半焦距为c ．因为12AF F △的周长为4+所以224a c +=+① 因为椭圆Cc a =②由①②解得2a =，c =则1b ．所以椭圆C 的方程为2214x y +=．(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，联立2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消元得()222418440k x kmx m +++-=， 当()()2222Δ64164110k m k m =-+->，即22410k m -+>时，则122841km x x k -+=+，21224441m x x k -⋅=+， 则22222212121144x x OM ON x x +=+-++-()()2222221222324624622441k m m k x x k -++=++=++()()()22222641641241m k k k -++=++， 当22OM ON +为定值时，即与2m 无关，故2410k -=，得12k =±， 此时MN ==又点O 到直线l的距离d =所以2212122MONm m S d MN m +-=⨯⨯==△，当且仅当m =1m =±时，等号成立， 经检验，此时Δ0>成立， 所以MON △面积的最大值为1．。

河北省石家庄市第二中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(含精品解析)

河北省石家庄市第二中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(含精品解析)

2018-2019学年河北省石家庄二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（ ）A．2B．2C．4D．42．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（ ）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定3．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）A． +=1B． +=1C． +=1D． +=14．双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A．B．C．D．5．若平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（ ）A．1B．2C．D．6．已知直线l1：4x﹣3y+7=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）A．B．C．2D．7．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．128．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC =120°，AB =2，BC =CC 1=1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．9．若直线l ：y =ax ﹣1与抛物线C ：y 2=（a ﹣1）x 恰好有一个公共点，则实数a 的值构成的集合为（ ）A ．{﹣1，0}B ．{﹣1， }C ．{0， }D ．{1，，0}10．直线kx ﹣y ﹣2k +2=0恒过定点A ，若点A 是双曲线﹣=1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）A ．x +4y ﹣10=0B ．2x ﹣y ﹣2=0C ．4x +y ﹣10=0D ．4x ﹣y ﹣6=011．如图F 1、F 2是椭圆C 1： +y 2=1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知椭圆C 1：+=1（a ＞b ＞0）与双曲线C 2：﹣=1（m ＞0，n ＞0）有共同的焦点F 1，F 2，且在第一象限的交点为P ，满足2•=2（其中O 为原点）设C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2当3e 1+e 2取得最小值时，e 1的值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．设椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为 ．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，则直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为 ．15．已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，现以F2（1，0）为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的长轴长为 ．16．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交双曲线的左支于点A，过F2作直线l的垂线交双曲线的左支于点B，若直线AB过F1，则△ABF2的内切圆圆心到F2的距离为 ．三、解答题（本题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴上，离心率e=，短轴长为4．（I）求椭圆的方程（Ⅱ）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，求AB的中点坐标及弦长|AB|．18．（12分）在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角CEMN的正弦值．19．（12分）已知抛物线y2=﹣x与直线l：y=k（x+1）相交于A、B两点，点O为坐标原点．（1）求的值；（2）若△OAB的面积等于，求直线l的方程．20．（12分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则：（Ⅰ）求双曲线C的渐进线方程．（Ⅱ）当a=1时，已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．21．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．22．（12分）已知动点M到定直线x=﹣4的距离是它到定点F1（﹣1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹方程．（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与动点M的轨迹相交于不同的两点A，B，满足•=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．2018-2019学年河北省石家庄二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（ ）A．2B．2C．4D．4【分析】根据题意，将双曲线的方程变形可得标准方程，分析可得其a的值，由双曲线实轴的定义计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线方程为：2x2﹣y2=8，则其标准方程为：﹣=1，其中a==2，则其实轴长2a=4；故选：C．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意要现将其方程变形为标准方程．2．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（ ）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定【分析】先计算向量与向量的数量积，根据数量积为0得到两向量垂直，从而判断出两平面的位置关系．【解答】解： =﹣2+8﹣6=0∴⊥∴平面α与平面β垂直故选：B．【点评】本题主要考查了向量数量积以及向量垂直的充要条件，同时考查了两平面的位置关系，属于基础题．3．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）A． +=1B． +=1C． +=1D． +=1【分析】由条件根据椭圆的标准方程和简单性质可得a2﹣b2=9，0+=1，求得a2和b2的值，可得椭圆的方程．【解答】解：由题意可得a2﹣b2=9，0+=1，∴a2=18，b2=9，故椭圆的方程为+=1，故选：D．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程和简单性质，属于基础题．4．双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A．B．C．D．【分析】求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：双曲线﹣y2=1的顶点坐标（，0），其渐近线方程为x±y=0，所以所求的距离为=．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5．若平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（ ）A．1B．2C．D．【分析】求出，点A到平面α的距离：d=，由此能求出结果．【解答】解：∵平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，∴=（1，1，﹣2），点A到平面α的距离：d===．故选：C．【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．6．已知直线l1：4x﹣3y+7=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）A．B．C．2D．【分析】如图所示，过点F（1，0）作FQ⊥l1，交抛物线于点P，垂足为Q，过点P作PM⊥l2，垂足为M．则|PF|=|PM|，可知：|FQ是|抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值．【解答】解：如图所示，过点F（1，0）作FQ⊥l1，交抛物线于点P，垂足为Q，过点P作PM⊥l2，垂足为M．则|PF|=|PM|，可知：|FQ是|抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值．|FQ|==．故选：A．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（ ）A．8B．9C．10D．12【分析】先设出|PF1|=m，|PF2|=n，利用椭圆的定义求得n+m的值，平方后求得mn和m2+n2的关系，代入△F1PF2的勾股定理中求得mn的值，即可求出△F1PF2的面积．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可知m+n=2a，∴m2+n2+2nm=4a2，∴m2+n2=4a2﹣2nm由勾股定理可知m2+n2=4c2，求得mn=18，则△F1PF2的面积为9．故选：B．【点评】本题主要考查了椭圆的应用，椭圆的简单性质和椭圆的定义．考查了考生对所学知识的综合运用．8．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．【分析】【解法一】设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN 和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁．【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，]），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣）=7，∴AC=，∴MQ=；在△MQP中，MP==；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣；又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．【解法二】如图所示，补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可；BC1=，BD==，C1D=，∴+BD2=，∴∠DBC1=90°，∴cos∠BC1D==．故选：C．【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．9．若直线l：y=ax﹣1与抛物线C：y2=（a﹣1）x恰好有一个公共点，则实数a的值构成的集合为（ ）A．{﹣1，0}B．{﹣1， }C．{0， }D．{1，，0}【分析】讨论若a=1，当a=﹣1时，将直线方程代入曲线方程，运用判别式为0，解方程即可得到所求值．【解答】解：若a=1，则曲线C为y=0，直线l：y=x﹣1，即有直线与曲线的交点为（1，0），满足题意；若a=0，则曲线C为y2=﹣x，直线l：y=﹣1，即有直线与曲线的交点为（﹣1，﹣1），满足题意；若a≠1，a≠0时，则抛物线y2=（a﹣1）x的对称轴为x轴，由y=ax﹣1与抛物线y2=（a﹣1）x相切，可得：a2x2﹣（3a﹣1）x+1=0，由判别式为0，可得（3a﹣1）2﹣4a2=0，解得a=（a=1舍去），综上可得，a=0，1或．故选：D．【点评】本题考查直线与曲线的交点的个数问题，注意讨论直线与曲线相切或与对称轴平行，考查运算能力，属于中档题和易错题．10．直线kx﹣y﹣2k+2=0恒过定点A，若点A是双曲线﹣=1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）A．x+4y﹣10=0B．2x﹣y﹣2=0C．4x+y﹣10=0D．4x﹣y﹣6=0【分析】求出定点A（2，2），设A是弦P1P2的中点，且P1（x1，y1），P2（x2，y2），利用点差法能求出以A（2，2）为中点的双曲线的弦所在的直线方程．【解答】解：直线kx﹣y﹣2k+2=0恒过定点A（2，2），双曲线﹣=1方程可化为：4x2﹣y2=8，设A（2，2）是弦P1P2的中点，且P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=4．∵P1，P2在双曲线上，∴，∴4（x1+x2）（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）=0，∴4×4（x1﹣x2）=4（y1﹣y2），∴k==4，∴以A（2，2）为中点的双曲线的弦所在的直线方程为：y﹣2=4（x﹣2），整理得4x﹣y﹣6=0．故选：D．【点评】本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法和根的判别式的合理运用．11．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（ ）A．B．C．D．【分析】不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1： +y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选：D．【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．12．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（m＞0，n＞0）有共同的焦点F1，F2，且在第一象限的交点为P，满足2•=2（其中O为原点）设C1，C2的离心率分别为e1，e2当3e1+e2取得最小值时，e1的值为（ ）A．B．C．D．【分析】由2•=2，故||=2||cos∠POF2，即x P=，由焦半径公式可得：PF1=a+=x P+m⇒e1e2=2，3e1+e2取，当且仅当3e1=e2时取等号，即．【解答】解：∵2•=2，故||=2||cos∠POF2，即x P=由焦半径公式可得：PF1=a+=x P+m⇒2c2=am⇒e1e2=23e1+e2取，当且仅当3e1=e2时取等号，即故选：A．【点评】本题考查了双曲线离心率，属于中档题．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．设椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为　﹣=1　．【分析】在椭圆C1中，由题设条件能够得到a，b，曲线C2是以F1（﹣5，0），F2（5，0），为焦点，实轴长为4的双曲线，由此可求出曲线C2的标准方程．【解答】解：在椭圆C1中，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，a=13，c=5，b=12，椭圆C1的焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0），椭圆方程为：．曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，a=2，则c=5，则b=．故C2的标准方程为：，故答案为：．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，注意区分椭圆和双曲线的性质．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，则直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为 ．【分析】设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线D1B与平面MBC所成角的正弦值．【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D1（0，0，2），B（2，2，0），M（2，0，1），C（0，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（0，﹣2，1），=（﹣2，0，0），设平面MBC的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，2），设直线D1B与平面MBC所成角为θ，则sinθ===．故直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为．故答案为：．【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．15．已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，现以F2（1，0）为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的长轴长为　+1　．【分析】由题意画出图形，利用椭圆定义可得|MF1|=2a﹣1，则Rt△F1MF2中，由勾股定理求得a，则答案可求．【解答】解：如图，由题意可知，|MF2|=c=1，则|MF1|=2a﹣1，则Rt△F1MF2中，由勾股定理可得（2a﹣1）2+12=4，解得：a=．∴椭圆的长轴长为．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交双曲线的左支于点A，过F2作直线l的垂线交双曲线的左支于点B，若直线AB过F1，则△ABF2的内切圆圆心到F2的距离为　2　．【分析】设内切圆的圆心为I，由直线AF2和直线BF2垂直，运用内角平分线定可得ABF2为等腰直角三角形，运用勾股定理和三角形的等积法，可得半径r，即可得到所求距离．【解答】解：设内切圆的圆心为I，由直线AF2和直线BF2垂直，可得I在x轴上， ====1，可得三角形ABF2为等腰直角三角形，设|AF2|=m，则设|BF2|=m，|AB|=m，即有内切圆的半径r满足r•（4m﹣4）=m2，又m=2m﹣4，解得r=2，m=4+2，即有|IF2|=r=2，故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，注意定义法和内角平分线定理的运用，考查三角形的等积法和勾股定理的应用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴上，离心率e=，短轴长为4．（I）求椭圆的方程（Ⅱ）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，求AB的中点坐标及弦长|AB|．【分析】（Ⅰ）由已知， =，2b=4，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）椭圆的右焦点为（1，0），直线AB方程为：y=2（x﹣1），由，得3x2﹣5x=0，由此能求出A（0，﹣2），B（），进而能求出|AB|．【解答】解：（Ⅰ）由已知， =，2b=4，∴b=2∵b2=a2﹣c2=5c2﹣c2=4c2=4，∴c2=1，a2=5，∴椭圆的标准方程为： +=1．……………………（4分）（Ⅱ）椭圆的右焦点为（1，0），∴直线AB方程为：y=2（x﹣1）…………………………设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得3x2﹣5x=0，解得x1=0，x2=，…………………………（7分）设AB中点坐标为（x0，y0），则=，，所以AB的中点为（），…………………………（9分）∵A（0，﹣2），B（），∴|AB|==．…………………………（10分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的求法，考查椭圆、直线方程、中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．（12分）在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角CEMN的正弦值．【分析】（1）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（2）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角CEMN的余弦值，进一步求得正弦值．【解答】（1）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵M为AD中点，∴MF∥BD，∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N为BC中点，∴NF∥AC，又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（2）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则=（1，2，﹣1），=（0，2，1），设平面MEN的一个法向量为=（x，y，z），由，得，取z=2，得=（4，﹣1，2）．由图可得平面CME的一个法向量为=（1，0，0）．∴cos＜，＞==．∴二面角CEMN的余弦值为，则正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．19．（12分）已知抛物线y2=﹣x与直线l：y=k（x+1）相交于A、B两点，点O为坐标原点．（1）求的值；（2）若△OAB的面积等于，求直线l的方程．【分析】（1）联立直线与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系求出A，B两点的横纵坐标的和与积，直接运用数量积的坐标运算求解；（2）直接代入三角形面积公式求解即可【解答】解：（1）设，由题意可知：k≠0，∴，联立y2=﹣x得：ky2+y﹣k=0显然：△＞0，∴，∴=（﹣y12）（﹣y22）+y1y2=（﹣1）2+1=0，（2）∵S△OAB=×1×|y1﹣y2|===，解得：k=±，∴直线l的方程为：2x+3y+2=0或2x﹣3y+2=0．【点评】本题考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了平面向量数量积的坐标运算，训练了三角形面积的求法，是中档题．20．（12分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则：（Ⅰ）求双曲线C的渐进线方程．（Ⅱ）当a=1时，已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．【分析】（Ⅰ）由题意通过离心率推出c2=3a2，得到，然后求解双曲线的渐近线方程．（Ⅱ）当a=1时，双曲线C的方程为x2﹣．设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合已知条件求解m即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，得，∴c2=3a2∴b2=c2﹣a2=2a2，即∴所求双曲线C的渐进线方程………………（Ⅱ）由（1）得当a=1时，双曲线C的方程为x2﹣．……6分设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由，得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0（判别式△＞0），∴x0==m，y0=x0+m=2m，…………（10分）∵点M（x0，y0），在圆x2+y2=5上，∴m2+4m2=5，∴m=±1．……（12分）（本题学生用“点差法”也给分）【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，直线与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．【分析】（Ⅰ）依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得y2﹣4my﹣4=0．由此能够求出直线AB的斜率．（Ⅱ）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．由此能求出四边形OACB的面积最小值．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．…（1分）将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2﹣4my﹣4=0．…（3分）设A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1+y2=4m，y1y2=﹣4．①…（4分）因为，所以y1=﹣2y2．②…联立①和②，消去y1，y2，得．…（6分）所以直线AB的斜率是．…（7分）（Ⅱ）解：由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．…（9分）因为…（10分）=，…（12分）所以m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．…（13分）【点评】本题考查直线斜率的求法，考查四边形面积的最小值的求法，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．22．（12分）已知动点M到定直线x=﹣4的距离是它到定点F1（﹣1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹方程．（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与动点M的轨迹相交于不同的两点A，B，满足•=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设M（x，y）（x＞﹣4），由题意得==|x+4|=2+，由此能求出动点M的轨迹方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，由，得（4k2+3）x2﹣8（2k2﹣k）x+8（2k2﹣2k﹣1）=0，利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出存在直线l满足条件，其方程为x﹣2y=0．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y）（x＞﹣4），由题意得==|x+4|=2+，…………………………（2分）整理得动点M的轨迹方程为： =1．…………………………（4分）（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，由题意知直线斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，由，消去y得（4k2+3）x2﹣8（2k2﹣k）x+8（2k2﹣2k﹣1）=0，由△=64（2k2﹣k）k2﹣32（4k2+3）（2k2﹣2k﹣1）＞0，得6k+3＞0，解得k＞﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1x2=，…………………………（8分）由，得（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）=，则（x1﹣2）（x2﹣2）（k2+1）=，即[x1x2﹣2（x1+x2）+4]（k2+1）=，所以[﹣+4]（k2+1）=，整理得=，解得k=，…………………………（10分）又k＞﹣，所以k=，故存在直线l满足条件，其方程为y=，即x﹣2y=0．…………………………（12分）【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，考查根的判别式、韦达定理、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。

2020学年山东省济宁市高二下学期期末考试数学试题(解析版)

2020学年山东省济宁市高二下学期期末考试数学试题(解析版)

2020学年山东省济宁市高二下学期期末考试数学试题一、 单选题1． 已知集合{}2{0,1,2,3,4},|560A B x x x ==-+>，则A B =I （ ）A ．{0,1}B ．{4}C ．{0,1,4}D ．{0,1,2,3,4}【答案】 C【解析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由()()256320x x x x -+=-->，解得2x <，或3x >，故{}0,1,4A B =I .故选C. 【点睛】本小题主要考查两个集合交集的运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2．计算52752C 3A +的值是（ ） A ．72 B ．102 C ．5070 D ．5100【答案】B【解析】根据组合数和排列数计算公式，计算出表达式的值. 【详解】依题意，原式227576232354426010221C A ⨯=+=⨯+⨯⨯=+=⨯，故选B. 【点睛】本小题主要考查组合数和排列数的计算，属于基础题.3．设23342,log 5,log 5a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】A【解析】先根据1来分段，然后根据指数函数性质，比较出,,a b c 的大小关系. 【详解】由于203221-<=，而344log 5log 5log 41>>=，故a c b <<，所以选A. 【点睛】本小题主要考查指数函数的单调性，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于基础题.4．5(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为（ ） A ．5 B ．10 C ．20 D ．30【答案】D【解析】根据乘法分配律和二项式展开式的通项公式，列式求得3x 的系数. 【详解】根据乘法分配律和二项式展开式的通项公式，题目所给表达式中含有3x 的为()3322335512102030C x x C x x x ⋅+⋅=+=，故展开式中3x 的系数为30，故选D.【点睛】本小题主要考查二项式展开式通项公式的应用，考查乘法分配律，属于基础题.5．我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，每天的正点率X 服从正态分布2(0.98)N σ,，且(0.97)0.005P X <=，则(0.970.99)P X <<=（ ）A ．0.96B ．0.97C ．0.98D ．0.99【答案】D【解析】根据正态分布的对称性，求得指定区间的概率. 【详解】由于0.98μ=，故(0.970.99)12(0.97)0.99P X P X <<=-⨯<=，故选D. 【点睛】本小题主要考查正态分布的对称性，考查正态分布指定区间的概率的求法，属于基础题.6．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续. 7．已知函数()211x f x x +=-，其定义域是[)8,4--，则下列说法正确的是( ) A ．()f x 有最大值53，无最小值B ．()f x 有最大值53，最小值75C ．()f x 有最大值75，无最小值 D ．()f x 有最大值2，最小值75【答案】A【解析】试题分析：()2132()11x f x f x x x +==+⇒--在[)8,4--上是减函数()f x 有最大值5(8)3f -=，无最小值，故选A.【考点】函数的单调性.8．已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，若()22()f a f a ->，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．(,1)(2,)-∞-+∞UD ．(,2)(1,)-∞-+∞U【答案】A【解析】代入特殊值对选项进行验证排除，由此得出正确选项. 【详解】若0a =，()()()20212,00,120f f f -===>符合题意，由此排除C,D 两个选项.若1a =，则()()2211f f -=不符合题意，排除B 选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查分段函数函数值比较大小，考查特殊值法解选择题，属于基础题.9．如下图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为36，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为二项式5(31)x -的展开式的各项系数之和.现从0，1，2，3，4，5中任取两个不同的数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（ ）A ．115B ．215 C ．15D ．415【答案】B【解析】先求得二项式5(31)x -的展开式的各项系数之和为32.然后利用列举法求得在05:一共6个数字中任选两个，和为4的概率，由此得出正确选项. 【详解】令1x =代入5(31)x -得5232=，即二项式5(31)x -的展开式的各项系数之和为32.从0，1，2，3，4，5中任取两个不同的数字方法有：01,02,03,04,05,12,13,14,15,23,24,25,34,35,45共15种，其中和为36324-=的有04,13共两种，所以恰好使该图形为“和谐图形”的概率为215，故选B. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查列举法求古典概型概率问题，属于基础题.10．函数()21()ln 2x f x x e -=+-的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析四个图像的不同，从而判断函数的性质，利用排除法求解。

专项测试04-定序问题倍缩法(解析版)-2020-2021学年排列组合常考题型专项测试

专项测试04-定序问题倍缩法(解析版)-2020-2021学年排列组合常考题型专项测试

人教版选修2-3第一章排列组合常考题型专项测试04——定序问题倍缩法一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020·陕西高三期末）元宵节灯展后，悬挂有8盏不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，则不同的取法共有（）．A．32种B．70种C．90种D．280种【答案】B【分析】因为取灯时每次只能取一盏，所以每串灯必须先取下面的灯，由定序问题可求解.【详解】因为取灯时每次只能取一盏，所以每串灯必须先取下面的灯，即每串灯取下的顺序确定，取下的方法有88 44 4470AA A=种．2．（2020·沈阳市·辽宁实验中学）现有5名学生：甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，要求甲与乙相邻，且甲、乙、丁的左右顺序固定，站法种数为（）A．36B．24C．20D．12【答案】D【分析】由题意结合相邻问题、定序问题的解法直接计算即可得解.【详解】因为甲与乙相邻，且甲、乙、丁的左右顺序固定，所以可将甲和乙看作一个整体，共有1种站法，再与其余三人进行排列，共有442212AA=种站法.3．（2020·首都师范大学附属中学高二期中）要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（）A．84B．54C．42D．18【答案】C【分析】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案．【详解】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午，要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻，将2节语文课和2节数学课分别捆绑，然后在剩余3节课中选1节到上午，由于2节英语课不加以区分，此时，排法种数为1233232218C A AA=种；②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但2节语文课不加以区分，2节数学课不加以区分，2节英语课也不加以区分，此时，排法种数为14242224C AA=种.综上所述，共有182442+=种不同的排法.4．（2020·重庆高二期末）将4本不同的课外书全部分给3名同学，每名同学最多可分得2本，则不同的分配方法种数为A．32B．48C．54D．72【答案】C【分析】根据题意将情况分为：3个同学得到书和2个同学得到书两种情况，相加得到答案.【详解】当3名同学都得到书时有：234336C A⨯=；当2名同学都得到书时有：2224232218 C CAA⨯⨯=共有36+18=54种情况5．（2020·全国高三专题练习）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有（）A ．455314105322C C C A A B ．455214105233C C C A A C ．4551410522C C C AD ．45514105C C C【答案】A 【分析】本题涉及平均分组问题，先计算出分组的方法，然后乘以33A 得出总的方法数. 【详解】先将14种计算器械分为三组，方法数有4551410522C C C A 种，再排给3个人，方法数有455314105322C C C A A ⨯种，故选A. 6．（2020·全国高三专题练习）“花开疫散，山河无恙，心怀感恩，学子归来，行而不缀，未来可期．”武汉某高中高二年级2020年10月的月考正在进行，请你用2个0、2个2和1个6排成一个五位数，则这样的五位数有（ ）个． A ．12 B ．18 C ．20D ．24 【答案】B 【分析】首先排0，再排其他元素，除掉重复元素的顺序. 【详解】首位不能是0，所以在后面4个位置选2个位置排0，有24C 种方法，2个2和1个6全排列，但两个2是重复元素，需除以22A ，所以这样的五位数一共有23432218C A A =个.7．（2020·东至县第二中学高二月考）某次数学获奖的6名高矮互不相同的同学站成两排照相，后排每个人都高于站在他前面的同学，则共有多少种站法（ ） A ．36 B ．90C ．360D ．720【答案】B 【分析】6个高矮互不相同的人站成两排，后排每个人都高于站在他前面的同学的站法数为2223642333C C CAA，由此能求出结果．【详解】6个高矮互不相同的人站成两排，后排每个人都高于站在他前面的同学的站法数为222342633390 C C CAA⋅=，8．（2020·北京密云区·高三期末）阶段测试后，甲、乙、丙、丁、戊五位同学排成一排按序走上领奖台领奖，其中甲和乙都在丙的前面走，则不同的排序方法种数共有（）A．20B．40C．60D．80【答案】B【分析】先求出甲乙丙顺序确定时的所有方法，再考虑甲乙内部的排列即可.【详解】根据题意，若甲乙丙顺序确定，则所有排法有5533AA种，再考虑甲和乙的顺序，则所有排法有52523340AAA⨯=种.9．（2020·江苏徐州市·高三月考）4名护士和2名医生站成一排，2名医生顺序固定，则不同的排法种数为（）A．480B．360C．288D．144【答案】B【分析】先将6个元素作全排列，再除以22A可得答案.【详解】4名护士和2名医生站成一排，共有66A种，又因为2名医生顺序固定，所以不同的排法种数为6 6 2 2720360 2AA==种.10．（2021·湖北高三期末）贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗.现准备在大门的两侧各挂四盏一样的红灯笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法数为（）A．8B．1680C．140D．70【答案】D 【分析】首先计算8盏灯笼任意挂有88A 种不同的挂法，再除以左边顺序一定44A 种，右边顺序一定44A 种，即可求解.【详解】若8盏灯笼任意挂，不同的挂法由88A种，又因为左右两边4盏灯顺序一定，故有88444470A A A =种，11．（2020·河北张家口市·高三二模）今年3月10日湖北武汉某方舱医院“关门大吉”，某省驰援湖北“抗疫”的9名身高各不相同的医护人员站成一排合影留念，庆祝圆满完成“抗疫”任务，若恰好从中间往两边看都依次变低，则身高排第4的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为（ ） A ．27B ．29C ．514D ．17【答案】A 【分析】将身高从低到高的9个人依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，则9号定在正中间，两边是四个元素的定序排列，6号与9号分左右两边相邻，与6在同一边的另外3个元素(从1，2，3，4，5种任选3个)定序排列，另一边的四个元素定序排列， 最后根据古典概型的概率公式可得答案. 身高最高 【详解】将身高从低到高的9个人依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，则9号必须排在正中间，从其余8个人中任选4人排在9号的左边，剩下的4个人排在9号的右边，有4870C =种，当排名第四的6号排在最高的9号的左边时，从1，2，3，4，5中任选3个排在6号的左边，其余四个排在9号的右边，有3510C =种，同理当当排名第四的6号排在最高的9号的右边时，也有10种，所以身高排名第四的6号与最高的9号相邻的排法有10+10=20种，所以身高排第4的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为202707=. 12．（2021·全国）在探索系数A ，ω，ϕ，,b 对函数()()sin 0,0y A x b A ωϕω=++>>图象的影响时，我们发现，系数A 对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数ω对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数ϕ对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b 对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”.运用上述四种变换，若函数()sin f x x =的图象经过四步变换得到函数()2sin 213g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，且已知其中有一步是向右平移3π个单位，则变换的方法共有（ ）A ．6种B ．12种C ．16种D ．24种【答案】B 【分析】根据题意，将其转化为排列问题，并且根据平移的量得到左右平移变换在周期变换之前，根据定序问题求解即可. 【详解】根据题意，该图象变换的过程有振幅变换、周期变换、左右平移变换和上下平移变换共四步，因为左右平移变换是向右平移3π个单位，所以要求左右平移变换在周期变换之前，所以变换的方法共有442212A A =种，二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（2019·广东广州市·执信中学高三月考）有6张卡片分别写有数字1、1、1、2、2、2，从中任取4张，可排出的四位数有________个. 【答案】14 【分析】根据题意，分三种情况讨论：①取出的4张卡片有3张1、1张2；②取出的4张卡片有3张2、1张1；③取出的4张卡片有2张2、2张1.分别计算出每一种情况中的四位数数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分三种情况讨论：①取出的4张卡片有3张1、1张2，有44334A A =个四位数；②取出的4张卡片有3张1、1张2，有44334A A =个四位数；③取出的4张卡片有2张2、2张1，有4422226A A A =个四位数.综上所述，共有44614++=个四位数.14．（2020·九龙坡区·重庆市育才中学高三开学考试）如图所示，某货场有三堆集装箱，每堆2个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是____________（用数字作答）.【答案】90【分析】根据有六个集装箱，需要全部装运，得到66A种取法，再根据每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，由排列中的定序问题求解.【详解】因为有六个集装箱，需要全部装运，共有66720A=种取法，又因为每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，由排列中的定序问题，可知不同的取法有66222222720908AA A A==种.15．（2021·浙江高三月考）某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有___________种不同的答题顺序.【答案】60【分析】首先将6只灯笼全排，因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定，即除以内部排序即可.【详解】将6只灯笼全排，即66A，因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定，取谜题的方法有66323260 AA A=⋅.16．（2020·双峰县第一中学高二开学考试）书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有_____种不同的插法（具体数字作答）【答案】504【分析】利用定序相除法进行求解，先求9本书的所有排法，再求原来6本书的排法，相除可得结果.【详解】原来的6本书，加上新买的3本书，随意排列共有99A 种排法，原来的6本书随意排列共有66A 种排法，而原来特有的顺序只有1种，所以共有9966=987=504A A ⨯⨯种方法.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（2021·苏州市第三中学校）某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课 （1）如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种？（2）如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？（3）原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？ 【答案】（1）360；（2）504；（3）504. 【分析】（1）根据数学必须比语文先上定序问题的排列用除法即倍缩法可求解； （2）分别计算两类体育排在最后一节，和体育不排在最后一节，求和即可； （3）根据九科中六科的顺序一定，利用除法即倍缩法可求解. 【详解】（1）如果数学必须比语文先上，则不同的排法有66226543213602A A ⨯⨯⨯⨯⨯==种； （2）如果体育排在最后一节，有55120A =种，体育不排在最后一节有114444384C C A =种， 所以共有120384504+=种，（3）若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有9966987504A A =⨯⨯=种【点睛】方法点睛：常见排列数的求法为： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.18．（2020·全国高三专题练习）5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法： （1）男女相间；（2）女生按指定顺序排列. 【答案】（1）28800；（2）30240. 【分析】（1）男女相间排列共分两类，即男女男女…男女排列与女男女男…女男排列； （2）女生按指定顺序排列，为部分定序问题. 【详解】（1）男女相间排列共分两类，即男女男女…男女排列与女男女男…女男排列，当按照男女男女…男女顺序排列时：男生排列共55A 种，女生排列共55A 种，根据分步乘法原理，当按照男女男女…男女顺序排列时共555514400A A ⨯=种，同理，当按照女男女男…女男排列时共14400种，再根据分类加法原理，得男女相间排列共144001440028800+=种.（2）女生按指定顺序排列，为部分定序问题，10人全排列，共1010A 种，5名女生排列，共55A 种，故女生按指定顺序排列共10105530240A A =种.【点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．19．（2020·上海高三专题练习）（1）4本不同的书平均分成两堆，每堆两本，有几种分法？ （2）10人坐成一排，要求甲、乙、丙三人按从左到右的顺序就坐（不一定要相邻），有几种坐法？ 【答案】（1）3种（2）604800种 【分析】（1）根据均分的方法，直接计算，即可得出结果；（2）先求出10人任意就坐的情况，再由三人顺序确定，即可得出结果. 【详解】（1）4本不同的书平均分成两堆，每堆两本，共有224232C C ⋅=种分法；（2）10人任意就坐，有1010A 种情况；甲、乙、丙三人不同的就坐顺序有33A 种，因此甲、乙、丙三人按从左到右的顺序就坐，共有10103310!6048003!A A ==种坐法. 20．（2020·江西省靖安中学高二月考）在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（2）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）（3）现在有7个座位连成一排，仅安排4个男生就坐，怡好有两个空座位相邻的不同坐法共有多少种？ 【答案】（1）3720；（2）840；（3）480. 【分析】（1）根据题意，分2种情况讨论：①，女生甲站在右端，其余6人全排列，②，女生甲不站在右端，甲有5种站法，女生乙有5种站法，将剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，由加法原理计算可得答案； （2）根据题意，首先把7名同学全排列，再分析甲乙丙三人内部的排列共有33A 种结果，要使的甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，由倍分法分析可得答案；（3）根据题意，分2种情况：①，两个相邻空座位在两边，12或67上，第三个空座4种选择；②，两个相邻空座位在中间，可能是23，34，45，56中的一个，第三个空位有3种选择，由分类和分步计数原理计算可得答案． 【详解】（1）根据题意，分2种情况讨论：①，女生甲站在右端，其余6人全排列，有66720A =种情况，②，女生甲不站在右端，甲有5种站法，女生乙有5种站法，将剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，有55120A =种站法，则此时有551203000⨯⨯=种站法，则一共有65655572030003720A A +⨯⨯=+=种站法；（2）根据题意，首先把7名同学全排列，共有77A 种结果，甲乙丙三人内部的排列共有336A =种结果，要使的甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，则有7733840A A =种. （3）根据题意，恰好有两个空座位相邻分2种情况：①两个相邻空座位在两边，12或67上，第三个空座有4种选择；②两个相邻空座位在中间，可能是23，34，45，56中的一个，第三个空位有3种选择，4个男生全排列有4424A =种坐法，共(2443)24480⨯+⨯⨯=种选派方法．21．（2020·南京市秦淮中学）2名女生、4名男生排成一排，求：（1）2名女生不相邻的不同排法共有多少种？（2）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？【答案】（1）480种（2）360种【分析】（1）不相邻问题利用插空法法；（2）女生顺序已定，先排女生，再排男生，最后根据分步乘法计算原理计算可得；【详解】（1）2名女生不相邻的排列可以分成2步完成：第一步 将4名男生排成一排，有44A 种排法；第二步 排2名女生.由于2名女生不相邻，可以在每2名男生之间及两端共5个位置中选出2个排2名女生，有25A 种排法.根据分步计数原理，不同的排法种数是42452420480A A =⨯=.（2）女生甲必须排在女生乙左边的排列可以分成2步完成：第一步：排2名女生，女生的顺序已经确定，这2名女生的排法种数为从6个位置中选出2个位置的组合数，即为26C ；第二步：排4名男生.将4名男生在剩下的4个位置上进行排列的方法数有44A 种.根据分步计数原理，不同的排法种数是24641524360C A =⨯=.答：分别有480和360种不同的排法.22．（2017·湖北宜昌市一中）高二全体师生今秋开学前在新校区体验周活动中有优异的表现，学校拟对高二年级进行表彰；（1）若要表彰3个优秀班级，规定从6个文科班中选一个，14个理科班中选两个班级，有多少种不同的选法？（2）年级组拟在选出的三个班级中再选5名学生，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有多少种？（3）选中的这5名学生和三位年级负责人徐主任，陈主任，付主任排成一排合影留念，规定这3位老师不排两端，且老师顺序固定不变，那么不同的站法有多少种？【答案】（1）546种；（2）90种；（3）2400种【分析】（1）根据分步计算原理即可求出答案.（2）根据题意可得，5名学生分成三组，一组一人，另两组都是2人，计算其分组的方法种数，进而将三个组分到3个班，即进行全排列，计算可得答案.（3）先计算出2名学生排在两端，剩下的学生和老师全排的种数，再除以老师的顺序数，问题得以解决.【详解】（1）要表彰3个优秀班级，规定从6个文科班中选一个，14个理科班中选两个班级，有12614546C C =种；（2）5名学生分成三组，一组1人，另两组都是2人，有1225422215C C C A =种方法，再将3组分到3个班，共有331590A ⋅=种不同的分配方案；（3）先选2名学生排在两端，剩下的学生和老师全排有265614400A A =种，因为老师的顺序有336A =种，故有1440024006=种.。

河北省石家庄第二中学2023-2024学年高三下学期质量检测地理试题(解析版)

河北省石家庄第二中学2023-2024学年高三下学期质量检测地理试题(解析版)

石家庄二中集团2024年高三质量检测（2．5）地理（时间75分钟，满分100分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题（本题共16小题，每小题3分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）2023年10月26日，神舟十七号载人飞船与中国空间站完成对接。

一天文爱好者开发了空间站轨道追踪程序，探究空间站的地理现象。

图为其追踪程序的显示界面，完成下面小题。

1.中国空间站所在的大气层（）A.天气多变B.干洁空气含量多C.有臭氧层D.空气密度较小2.从10月26日至该程序界面所示时间（）A.北京正午日影越来越短B.纽约始终西北方位日落C.悉尼日出时间越来越早D.地球公转速度越来越慢【答案】1.D 2.C【解析】【1题详解】据图可知，中国空间站所在的高度为380.59千米，位于高层大气中（地面50或55km高空以上），距离地面较远，受地球的重力作用小，空气稀薄且密度较小，D正确；对流层中天气多变，A错误；受地球的重力作用，在对流层干洁空气含量多，B错误；臭氧层分布在平流层，C错误。

故选D。

【2题详解】据追踪程序的显示界面显示北京时间为2023年11月14日16点，从10月26日至该程序界面所示时间，太阳直射点位于南半球且一直向南移动，北半球正午太阳高度角较小且越来越小，北京正午日影越来越长，A错误；太阳直射南半球，有昼夜交替现象的纽约日出东南方向，日落西南方向，B错误；太阳直射点位于南半球且一直向南移动，南半球昼长夜短，且白昼时间越来越长，日出越来越早，悉尼位于南半球，日出时间越来越早，C正确；地球公转轨道的位置距离近日点（1月初）越来越近，速度越来越快，D错误。

2021-2022学年河南省信阳市高二下学期期末数学(理)试题(解析版)

2021-2022学年河南省信阳市高二下学期期末数学(理)试题(解析版)

2021-2022学年河南省信阳市高二下学期期末数学（理）试题一、单选题1．复数112izi-=+（i为虚数单位）的共轭复数是A．135i+B．135i-+C．135i-D．135i--【答案】B【分析】根据复数除法运算，化简复数，再根据共轭复数概念得结果【详解】1i13i12i5z---==+，故z的共轭复数13i5z-+=.故选B.【点睛】本题考查复数除法运算以及共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．已知袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，从中任取4个，则下列判断错误的是（）A．事件“都是红色球”是随机事件B．事件“都是白色球”是不可能事件C．事件“至少有一个白色球”是必然事件D．事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件【答案】C【分析】对事件分类，利用随机事件的定义直接判断即可．【详解】因为袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，所以从中任取4个球共有：3白1红，2白2红，1白3红，4红四种情况.故事件“都是红色球”是随机事件，故A正确；事件“都是白色球”是不可能事件，故B正确；事件“至少有一个白色球”是随机事件，故C错误；事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件，故D正确．故选：C3．如图是两个变量的散点图，y关于x的回归方程可能是（）A ．3ln 2y x =+B ．3e 1x y =-C ．322y x =-+D ．1210y x =+ 【答案】C【分析】有散点图可知y 与x 负相关，结合选项的单调性可得.【详解】由散点图可知，y 与x 负相关，易知，当0x >时，函数3ln 2y x =+单调递增，故A 错误；因为函数3e 1x y =-和1210y x =+单调递增，故BD 错误. 故选：C ．4．由曲线cos y x =，坐标轴x 轴、y 轴及直线2x π=围成的图形的面积等于（ ）A ．1B 2C 3D ．2【答案】A【分析】根据所围成图形用定积分可求得阴影部分的面积，然后根据定积分的定义求出所求即可．【详解】曲线cos y x =，坐标轴x 轴、y 轴及直线2x π=围成的图形的面积，22001cos sin |S xdx x ππ===⎰，故选：A ．5．冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬奥综合性运动会，自1924年起，每四年举办一届．第24届由中国2022年2月在北京举办，分北京赛区、延庆赛区、张家口赛区三个赛区共15个比赛项目．为了宣传奥运精神，红星实验学校组织了甲乙两个社团，利用一周的时间对外进行宣传，将每天宣传的次数绘制成如下频数分布折线图，则以下不正确的为（）A．甲社团众数小于乙社团众数B．甲社团的极差大于乙社团的极差C．甲社团的平均数大于乙社团的平均数D．甲社团的方差大于乙社团的方差【答案】C【分析】分析两社团的众数得大小，判断A;计算出两社团的极差，判断B；算出两社团的平均数，判断C，分析两社团频数的波动性，判断D.【详解】A选项，甲社团众数为2，乙社团众数为3，所以A正确；B选项，甲社团极差为3，乙社团的极差为2，所以B正确；C选项，甲社团平均数为223254337++++++=，乙社团的平均数为223433437++++++=，故两社团平均数相等，所以错误；D选项，由图可知，甲社团的频数的波动性较大，故其方差大于乙社团方差，D正确，故选：C．6．已知x y ，之间具有线性相关关系，若通过10组数据（i x ，i y ）（i =1，2， (10)得到的回归方程为ˆ 2.15yx =-+ ，且10120i i x ==∑，则101i i y =∑=（ ） A ．8 B ．0.8 C ．-2 D ．-2.1【答案】A【分析】依据回归方程ˆ 2.15yx =-+过点(,)x y ，即可求得101i i y =∑的值． 【详解】依题意知，20210x ==， 因为回归方程为ˆ 2.15yx =-+过点(,)x y ， 所以可以计算出： 2.1250.8y =-⨯+=， 所以101100.88i i y ==⨯=∑，故选：A ．7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”，合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每次讲一艺.讲座次序要求“数”不在第一次也不在第六次，“礼”和“乐”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ） A ．480种 B ．336种 C ．144种 D ．96种【答案】B【分析】根据给定条件，求出“数”不在第一次也不在第六次的不同次序数，去掉其中的“礼”和“乐”相邻的不同次序数即可计算作答.【详解】依题意，“数”不在第一次也不在第六次的不同次序数有：1545A A ，“数”不在第一次也不在第六次时，“礼”和“乐”相邻的不同次序数有：142342A A A ，所以所求“六艺”讲座不同的次序数共有：1514245342A A A A A 336-=.故选：B8．A ，B ，C 三名员工在参加了公司的某项技能比武后，都知道了自己的和他人的名次（无并列名次），随后A ，B ，C 三人一起到了车间告诉主管比赛的成绩，A 说：我不为第1名；B 说：A 没说谎；C 说：我不为第3名，公司公布了三人的名次后主管发现：B 说了假话，C 说了真话，则A ，B ，C 的比赛名次依次为（ ） A ．1，2，3 B ．1，3，2C ．2，3，1D ．3，2，1【答案】B【分析】根据主管发现B 说了假话，可知A 说谎了，从而判断A 的名次，根据C 说了真话可判断C 的名次，进而判断B 的名次.【详解】因为B 说：A 没说谎，又主管发现B 说了假话，所以A 为说谎者，所以A 为第1名．又C 说：我不为第3名，且已知C 说了真话，所以C 为第1名或第2名，又A 为第1名，所以C 为第2名， 从而B 为第3名， 故选：B ．9．某人射击一次命中目标的概率为12，且每次射击相互独立，则此人射击 7次，有4次命中且恰有3次连续命中的概率为A ．3761()2C B ．2741()2A C ．2741()2C D ．1741()2C 【答案】B【分析】由于射击一次命中目标的概率为12，所以关键先求出射击7次有4次命中且恰有3次连续命中的所有可能数，即根据独立事件概率公式得结果.【详解】因为射击7次有4次命中且恰有3次连续命中有24A 种情况，所以所求概率为7241A 2⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭.选B.【点睛】本题考查排列组合以及独立事件概率公式，考查基本分析求解能力，属中档题.10．定义1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()int x 为不超过x 的最大整数，例如()int 3.13=，()int 11=，()int 1.62-=-，若区间[],m n （n m -为正整数）在数轴上任意滑动，则区间[],m n 取盖数轴上整数的个数为（ ） A ．()()()1int sgn n m n n -+-- B ．()()()int sgn n m n n -+- C ．()()()1sgn int n m n n -+-- D ．()()()1sgn int n m n n -++-【答案】C【分析】先分析出区间[],m n 上整数的可能个数，结合sgn()x 与()int x 的定义可得答案.. 【详解】因为n m -为整数，所以当n 为整数时，m 也为整数，所以此时[],m n 覆盖数轴上1n m -+个整数， 当n 不是整数时，m 也不是整数，所以此时[],m n 数轴上覆盖n m -个整数.可以验证：区间[],m n 覆盖数轴上整数的个数为()()–1sgn i )t (n n m n n +--， 故选: C.11．用红、黄、蓝，紫四种颜色随机地给正四面体的四个顶点染色，则“恰有一个面上的三个顶点同色”的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．316【答案】D【分析】求得每个顶点各有四种涂色方法总数为256n =，再求得 “恰有一个面上的三个顶点同色“包含的基本事件个数m ，结合古典摡型的概率公式，即可求解. 【详解】用红、黄、蓝、紫四种颜色随机地给正四面体的四个顶点染色， 基本事件总数44256n ==，恰有一个面上的三个顶点同色“包含的基本事件个数111443C C C 48m ==，则“恰有一个面上的三个顶点同色“的概率为48325616m p n === 故选：D.12．二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二制数()0122k a a a a ⋯(*k N ∈）对应的十进制数记为k m ，即1001122...22k k k k k m a a a a --=⨯+⨯++⨯+⨯ ，其中01a =， {}01123i a i k ∈=⋯，（，，，，），则在0128a a a a ⋯，，，中恰好有2个0的所有二进制数0182(...)a a a 对应的十进制数的总和为（ ） A ．1910 B ．1990 C ．12252 D ．12523【答案】D【分析】利用等比数列前n 项和以及组合数问题可解【详解】根据题意得 8760812812222m a a a =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯ ，因为在0128a a a a ⋯，，，中恰好有2个0的有28C =28种可能，即所有符合条件的二进制数()01282 a a a a ⋯ 的个数为28．所以所有二进制数()01282 a a a a ⋯对应的十进制数的和中，82出现28C =28次，72，62…，2，02均出现27C =21次，所以满足0128a a a a ⋯，，，中恰好有2个0的所有二进制数()01282 a a a a ⋯对应的十进制数的和为27602878C 2+2+...+2+2+C 2=21255+28256=12523⨯⨯（）故选：D ．二、填空题13．若一组观测值()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y （10n ≥）对应的点位于同一直线上，则x ，y 的相关系数为______． 【答案】±1【分析】根据相关系数的定义可得答案.【详解】由已知条件和相关系数的定义得，x ，y 的相关系数为±1． 故答案为：±114．6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式子中各项系数之和为___________．【答案】1【分析】求二项展开式中各项系数之和，令1x =代入运算求解．【详解】令62112x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，的展开式中各项系数之和为621211⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭=1 故答案为：1.15．在如图的数表中，仅列出了前6行，照此排列规律还可以继续排列下去，则数表中第n （3n ≥）行左起第3个数为_______．【答案】262n n -+ 【分析】根据题意先确定每行最后一个数，再求结果【详解】依排列规律得，数表中第1n -行最后一个数为(1)123(1)2n n n -++++-=第()3n n ≥行左起第3个数为2(1)6322n n n n --++=. 【点睛】本题考查归纳推理，考查基本分析求解能力，属基础题. 16．已知函数43e x y -=的图象与函数ln(1)14x y --=的图象关于某一条直线l 对称，若P ，Q 分别为它们上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为______．【分析】整体代换求解直线l 的解析式，利用导数的几何意义求解函数43e x y -=的图象上到直线l 距离最短的点，即为点P ，即可求解,P Q 两点间的最短距离. 【详解】解：令1t x =-，则1x t =+，4341e =e x t y -+=，ln(1)1ln 144x t y ---==． 因为41e t y +=与ln 14t y -=关于直线y t =对称， 所以函数43e x y -=与函数ln(1)14x y --=关于直线1y x =-对称， 所以P ，Q 两点之间距离的最小值等于P 到直线1y x =-距离最小值的2倍， 函数43e x y -=在00(,)P x y 点处的切线斜率为0434e x k -=， 令0434e 1x -=得，032ln 24x -=，014y =， 所以点P 到直线1y x =-距离的最小值为d ==所以这两点之间距离的最小值为)1ln 222d +=．故答案为：ln 2)2+.三、解答题17．在复平面内，复数222(34)z a a a a i =--+-- （其中a R ∈）. （1）若复数z 为实数，求a 的值； （2）若复数z 为纯虚数，求a 的值；（3）对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1a =-或4；（2）2a =；（3）()2,4【分析】（1）根据复数为实数条件列方程解得结果，（2）根据纯虚数定义列式求解，（3）根据复数几何意义列不等式解得结果【详解】（1）因为复数z 为实数，所以2340a a --=， 所以1a =-或4；（2）因为复数z 为纯虚数，所以2220340a a a a ⎧--=⎨--≠⎩，所以2a =（3）因为z 对应的点在第四象限，所以2220340a a a a ⎧-->⎨--<⎩ 解不等式组得，24a <<， 即a 的取值范围是()2,4.【点睛】本题考查复数相关概念以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题. 18．人们生活水平的提高，国家倡导绿色安全消费，菜篮子工程从数量保障型转向质量效益型．为了测试甲、乙两种不同有机肥料的使用效果，某科研单位用西红柿做了对比实验，分别在两片实验区各摘取100个，对其质量的某项指标是否“质量优等”进行测量，由测量结果绘成如下频率分布直方图． 其中质量指数值分组区间是 [20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45]．当指标测量值不低于35时，记为“质量优等”.(1)请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关； 甲有机肥料 乙有机肥料 合计 质量优等 质量非优等 合计(2)在乙种有机肥料的测试中，根据数据分析，可以认为质量指数值Y 服从正态分布(,)N μσ，其中μ近似等于样本平均数x ， 5.6σ≈．请估计质量指数值落在区间（38.1，49.3）内的概率．（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值代替））附∶ ①()()()()()22n ad bc x a b c d a c b d -=++++②若Y 服从正态分布(,)N μσ，则()0.683P Y μσμσ-<<+=，(22)0.954P Y μσμσ-<<+=，(33)0.997P Y μσμσ-<<+=．【答案】(1)填表见解析；有99.9%的把握认为，“质量优等”与使用不同的肥料有关 (2)0.157【分析】（1）根据直方图先求得“质量优等”的频率，然后不全列联表，结合独立性检验公式，即可求解（2）根据直方图先求平均数，然后结合正态分布的对称性即可求解. 【详解】(1)由直方图可知，使用甲有机肥料的“质量优等”频数为(0.1100.010)510060+⨯⨯=，使用乙有机肥料的“质量优等”频数为(0.0400.020)510030+⨯⨯=， 由上可得2⨯2列联表为()()()()()()2222004200120018.18210010011090n ad bc x a b c d a c b d -⨯-==≈++++⨯⨯⨯2 10.8280.001P x ≥≈（）∴有99.9%的把握认为，“质量优等”与使用不同的肥料有关(2)22.50.127.50.232.50.437.50.242.50.132.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=于是Y 近似服从正态分布2(32.5,5.6)N由题知，(38.149.3)(3)P Y P Y μσμσ<<=+<<+1[(33)()]2P Y P Y μσμσμσμσ=-<<+--<<+ 1(0.9970.683)0.1572=-=19．设关于某产品的明星代言费x （百万元）和其销售额y （千万元），有如下表的统计表格：i 1 2 3 4 5 合计 ix （百万元）1.261.441.591.711.827.82iw （百万元）2.00 2.99 4.02 5.00 6.03 20.04iy （百万元）3.204.80 6.50 7.508.00 30.001.56x =， 4.01w =，6y =，5148.66i i i x y ==∑，51132.62i i i w y ==∑，()5210.20i i x x=-=∑，()52110.14i i w w=-=∑表中3(1,2,3,4,5)i i w x i ==．(1)在坐标系中，作出销售额y 关于广告费x 的回归方程的散点图；(2)根据散点图指出：ln y a b x =+，3y c dx =+哪一个适合作销售额y 关于明星代言费x 的回归方程（不需要说明理由），并求出此回归方程．附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，……，(),n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()211niii ni iu v uun u vβ==-⋅-⋅=⋅∑∑，v u αβ=-．【答案】(1)答案见解析(2)3y c dx =+适合，31.15 1.21y x =+【分析】（1）根据表中的数据，在坐标系中作出散点图即可；（2）根据散点图可看出销售额y 关于明星代言费x ，呈指数形式增长，故3y c dx =+适合作销售额y 关于明星代言费x 的回归类方程，利用最小二乘法求回归方程即可. 【详解】(1)解：散点图如下：(2)根据散点图可知，3y c dx =+适合作销售额y 关于明星代言费x 的回归类方程； 令3w x =，则y c dw =+是y 关于w 的线性回归方程，由已知条件得，()515215 1.21iii ii w y w yd w w ==⋅-⋅⋅==-∑∑，1.15c y d w =-⋅=，所以31.15 1.21 1.15 1.21y w x =+=+，故回归方程为：31.15 1.21y x =+20．如图，曲线BRA 是一段二次函数的图象，B 在y 轴上，A 在x 轴上，R 为抛物线段上一动点，以R 为切点的抛物线的切线与x 轴交于P 点，与y 轴交于Q 点，已知抛物线段上存在一点D 到x ，y 轴的距离分别为32，12，且OA ＝1，OB ＝2．过B 作BC x ∥轴，与PQ 交于C ．(1)求抛物线段BRA 的方程；(2)求图中阴影部分的面积取得最小值时，R 点到y 轴的距离．【答案】(1)()22201y x x =-≤≤2【分析】（1）根据题意可得1,0A ，()0,2B -，13,22D ⎛⎫- ⎪⎝⎭在抛物线方程上，待定系数法求解抛物线方程即可；（2）设()200,22R x x -，利用导数求解直线PQ 的方程，进而得到,C P 坐标，即可求得四边形OBCP 的面积，x ，y 轴与抛物线路段BRA 所围成的面积为定值，利用基本不等式求解四边形OBCP 的面积最小值即可.【详解】(1)解：设抛物线段BRA 的方程为()20y ax bx c a =++≠，由已知得，1,0A ，()0,2B -，13,22D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入()20y ax bx c a =++≠得，23112420c a b c a b c -=⎧⎪⎪-=++⎨⎪=++⎪⎩，解得202a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以抛物线段的方程为()22201y x x =-≤≤.(2)解：设R 点到y 轴的距离为()00(0,1)x x ∈，由已知得，()200,22R x x -，则PQ 的斜率为()200224x x '-=，所以PQ 的方程为()()2000224y x x x x --=-，令0y =得，00122x x x =+，即001,022x P x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令2y =-得，02x x =，即0,22x C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为x ，y 轴与抛物线路段BRA 所围成的面积为定值，所以图中阴影部分的面积取得最小值等价于直角梯形OBCP 的面积S 取得最小值．四边形OBCP 的面积为0000122212222x xx OP BC S OB x x ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=⋅=⋅=+， 因为()00,1x ∈，所以0012S x x ≥=+= 当且仅当0012x x =，即0x = 所以图中阴影部分的面积取得最小值时，R 点到y轴的距离为2. 21．刷抖音是现在不少人喜爱的娱乐方式，既可以在工作之余借助其消除疲劳，还可以学会不少知识，现在抖音里有一款“生活常识答题”程序游戏，其规则如下：每次点击开始答题后，需连续依次回答A ，B ，C 三类题，当回答一类题结束时会根据正确率出现“优秀”或“加油”图标，若三类题答题结束后出现一个或两个“优秀”图标，则最后会显示80分，出现三个“优秀”图标，则显示200分，否则会显示-20分.小张同学正确回答A ，B ，C 三类题出现“优秀”的概率依次分别为45，34，23.(1)记小张同学答题活动结束出现“优秀”的图标个数为X ，求X 的分布列与数学期望； (2)小张同学如果答题4次，求4次中至少有2次获得200分的概率. 【答案】(1)分布列见解析，13360； (2)328625. 【分析】（1）求出X 的所有可能值，再利用互斥事件、相互独立事件的概率公式计算各个取值的概率，列出分布列并计算期望作答.（2）利用（1）中信息，利用对立事件概率、独立重复试验的概率列式计算作答. 【详解】(1)依题意，X 的所有可能值为0，1，2，3，11114111311123(0),(1)5436054354354320P X P X ==⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，431412132134322(2),(3)543543543305435P X P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯=，所以X 的分布列为：数学期望为13132133()0123602030560E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. (2)由（1）知，小张每次获得200分的概率为25，设小张获得200分的次数为Y ，于是得041344323328(2)1(1)1(0)(1)1C ()C ()()555625P Y P Y P Y P Y ≥=-≤=-=-==--=，所以4次中至少有2次获得200分的概率为328625. 22．已知函数()21e 2x f x x =-，()()1R g x ax a =+∈．(1)求()f x 的图象在x =0处的切线方程；(2)当[)0,x ∈+∞时，()()f x g x ≥成立，求a 的取值范围．（结论：当1a > 时，函数e x y x a =--在[)0,∞+上存在唯一的零点） 【答案】(1)1y x =+ (2)(],1-∞【分析】（1）求出函数的导数，从而求出切线的斜率，根据导数的几何意义即可求得答案;（2）构造函数()()()h x f x g x =-，将[)0,x ∈+∞时，()()f x g x ≥成立的问题，转化为函数的最值问题，进而求出函数导数，根据导数的最值，分类讨论，判断导数的正负，从而判断函数的单调性，解得答案.【详解】(1)()e xf x x '=-，所以切线的斜率为()01,(0)1f f '==，所以()f x 的图象在0x =处的切线方程为()()00y f f x '-=，即1y x =+；(2)令()()()h x f x g x =-，所以21()e 12x h x x ax =---，所以，()e x h x x a '=--，设()e ,()e 1x x m x x a m x '=--∴=-， 因为[)0,x ∈+∞，所以()0m x '≥，所以()h x '在[)0,∞+上单调递增，所以()()01h x h a ''≥=-，当1a ≤时，()10h x a '≥-≥，所以21()e 12xh x x ax =---在[)0,∞+上单调递增，所以()()00h x h ≥=，所以当[)0,x ∞∀∈+，()()f x g x ≥成立；当1a >时，因为()e x h x x a '=--在()0,∞+上存在唯一的零点，不妨设为0x ，又()h x '的导函数为e 10x -≥在[)0,∞+上恒成立，所以()h x '在[)0,∞+上单调递增， 所以[]00,x x ∈时，()0h x '≤，所以()h x 在[]00,x 上单调递减，所以()()000h x h <=， 即当1a >时，存在()00,x ∈+∞，()()00f x g x <，与题意不符， 所以a 的取值范围为(],1-∞.。

河北省石家庄市2020年高二下数学期末综合测试试题含解析

河北省石家庄市2020年高二下数学期末综合测试试题含解析

河北省石家庄市2020年高二(下)数学期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．设函数()f x 定义如下表：x1 2 3 4 5 ()f x14253执行如图所示的程序框图，则输出的x 的值是（ ）A ．4B ．5C ．2D ．32．下列命题中真命题的个数是（ ） ①x R ∀∈，42x x >；②若“p q ∧”是假命题，则,p q 都是假命题；③若“x R ∀∈，320x x -+≤”的否定是“x R ∃∈，3210x x -+>” A ．0B ．1C ．2D ．33．若6名男生和9名女生身高（单位：cm ）的茎叶图如图，则男生平均身高与女生身高的中位数分别为( )A ．179，168B ．180，166C ．181，168D ．180，1684．(61x 的展开式中有理项系数之和为（ ）A ．64B ．32C ．24D ．165．定义在R 上的函数()f x 若满足：①对任意1x 、()212x x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦；②对任意x ，都有()()2f a x f a x b ++-=，则称函数()f x 为“中心捺函数”，其中点(),a b 称为函数()f x 的中心.已知函数()1y f x =-是以()1,0为中心的“中心捺函数”，若满足不等式()()2222f m n f n m +≤---，当1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，m m n +的取值范围为（ ）A ．[]2,4B ．11,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．3y x = B ．1y x =+C ．21y x =-+D ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭7．若函数()2ln f x ax x x =+-存在增区间，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭8．()sin 2x dx ππ-+⎰的值为（ ）A ．0B ．42π-C ．4πD ．42π+9．已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A ．31cm 2B ．31cm 3C ．31cm 6D ．31cm 1210．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，M ，N 是双曲线上关于原点对称的两点，P 是双曲线上的动点，直线PM ，PN 的斜率分别为1212,(0)k k k k ⋅≠，若12k k 的最小值为2，则双曲线的离心率为( )A 2B 5C 3D ．3211．已知函数()()22sin ,,123f x x x ππωϕ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦的图象如图所示，若()()12f x f x =，且12x x ≠，则()12f x x +的值为 （ ）A ．3B ．2C ．1D ．012．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A ．15B ．625C ．825D ．25二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．有一个容器，下部分是高为2m 的圆柱体，上部分是与圆柱共底面且母线长为6m 的圆锥，现不考虑该容器内壁的厚度，则该容器的最大容积为___________3m ． 14．若()21,X N σ~，()120.2P X <<=，()300.25P X -<<=，则()()015P X P X <<->=_____.15．某次测试共有100名考生参加，测试成绩的频率分布直方图如下图所示，则成绩在80分以上的人数为__________．16．已知双曲线2214y x -=的两条渐近线分别与抛物线22(0)x py p =<的准线交于A ，B 两点．O 为坐标原点．若△OAB 的面积为2，则p 的值为_______. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()ln f x x x x =+ ，(1)求()f x 的图象在1x = 处的切线方程并求函数()f x 的单调区间； (2)求证：()xe f x >' .18．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a 2=，b 3=，C 2A ∠∠=． （1）求c 的值； （2）求ABC 的面积．19．（6分）已知函数22()3ln ()f x x ax a x a R =-+∈.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的2x e ≥（e 为自然对数的底数），()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.20．（6分）（1）若6(0)ax a x ⎛-> ⎪⎝⎭展开式中的常数项为60，求展开式中除常数项外其余各项系数之和；（2）已知二项式nax x ⎛- ⎪⎝⎭（i 是虚数单位，*,a R n N ∈∈）的展开的展开式中有四项的系数为实数，求n 的值.21．（6分）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的高为3，底面边长为3，点,D E 分别为棱11B C 和1AA 的中点．（1）求证：直线DE ⊥平面BCE ； （2）求二面角E BD C --的余弦值． 22．（8分）已知函数3211()(1)()32f x x a x ax a R =+-+∈. （1）若()f x 在13x =-处取得极值，求()f x 的单调递减区间；（2）若()f x 在区间(0,1)内有极大值和极小值，求实数a 的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】 【分析】根据流程图执行循环，确定周期，即得结果 【详解】 执行循环得：(5)3,1;(3)2,2;(2)4,3;(4)5,4;x f t x f t x f t x f t ============所以周期为4，因此5,2020,x t ==结束循环，输出5x =，选B.【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．B 【解析】若1x =，42x x =则，故命题①假；若“p q ∧”是假命题，则,p q 至多有一个是真命题，故命题②是假命题；依据全称命题与特征命题的否定关系可得命题“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“32000,10x R x x ∃∈-+>”，即命题③是真命题，应选答案B ．3．C 【解析】 【分析】根据平均数和中位数的定义即可得出结果. 【详解】6名男生的平均身高为1731761781801861931816+++++=,9名女生的身高按由低到高的顺序排列为162，163，166，167，168，170，176，184， 185，故中位数为168. 故选:C.【点睛】本题考查由茎叶图求平均数和中位数,难度容易. 4．B 【解析】分析：在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数为整数，求出r 的值，再利用二项式系数的性质，即可求得展开式中有理项系数之和．详解：（）6的展开式的通项公式为 T r+1=6rC •2rx ，令2r为整数，可得r=0，2，4，6，故展开式中有理项系数之和为 06C +26C +46C +66C =25=32， 故选：B ．点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数 5．C 【解析】 【分析】先结合题中条件得出函数()y f x =为减函数且为奇函数，由()()2222f m n f n m +≤---，可得出2222m n n m +≥+，化简后得出()()20n m n m ---≤⎡⎤⎣⎦，结合1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可求出13nm≤≤，再由11m n m n m=++结合不等式的性质得出m m n+的取值范围. 【详解】由()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦知此函数为减函数.由函数()1y f x =-是关于()1,0的“中心捺函数”，知曲线()1y f x =-关于点()1,0对称，故曲线()y f x =关于原点对称，故函数()y f x =为奇函数，且函数()y f x =在R 上递减，于是得()()2222f m m f n m +≤+，2222m n n m ∴+≥+.22220n m m n ∴-+-≤，()()20n m n m ∴---≤⎡⎤⎣⎦.则当1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，令m=x ，y=n 则：问题等价于点（x，y）满足区域()y x2x0112yx⎧⎡⎤---≤⎣⎦⎪⎨≤≤⎪⎩，如图阴影部分，由线性规划知识可知n ym x=为（x，y）与（0，0）连线的斜率，由图可得[]13n ym x=∈，，111,421mnm nm⎡⎤∴=∈⎢⎥+⎣⎦+，故选：C.【点睛】本题考查代数式的取值范围的求解，解题的关键就是分析出函数的单调性与奇偶性，利用函数的奇偶性与单调性将题中的不等关系进行转化，应用到线性规划的知识，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 6．B【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性和奇偶性，逐一分析四个函数在(0,)+∞上的单调性和奇偶性，逐一比照后可得答案.【详解】对于A:3y x=是奇函数，对于B:1y x=+为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增；对于C:21y x=-+为偶函数，但在(0,)+∞上单调递减；对于D:12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数；所以本题答案为B.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法，()()f x f x -=±（正为偶函数，负为减函数）；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()1()f x f x -=±（1为偶函数，-1为奇函数）. 7．C 【解析】 【分析】先假设函数()f x 不存在增区间，则()f x 单调递减，利用()f x 的导数恒小于零列不等式，将不等式分离常数后，利用配方法求得常数a 的取值范围，再取这个取值范围的补集，求得题目所求实数a 的取值范围. 【详解】若函数()f x 不存在增区间，则函数()f x 单调递减， 此时()1210f x ax x'=+-≤在区间()0,∞+恒成立， 可得2112a x x ≤-，则22111111244x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，可得18a ≤-，故函数存在增区间时实数a 的取值范围为1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．故选C.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题. 8．C 【解析】分析：直接利用微积分基本定理求解即可.详解：()()sin 2cos 2|x dx x x ππππ--+=-+⎰()cos 2cos 24πππππ=-+---=，故选C.点睛：本题主要考查微积分基本定理的应用，特殊角的三角函数，意在考查对基础知识的掌握情况，考查计算能力，属于简单题. 9．C 【解析】分析：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个边长为1，高为1的三角形，三棱锥的高为1，根据三棱锥的体积公式得到结果.详解：由三视图可知，几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个边长为1cm ，高为1cm 的三角形，面积2111122S cm =⨯⨯=， 三棱锥的高是1cm ，所以31111326V cm =⨯⨯= 故选C.点睛：当已知三视图去还原成几何体直观图时，首先根据三视图中关键点和视图形状确定几何体的形状，再根据投影关系和虚线明确内部结构，最后通过三视图验证几何体的正确性． 10．A 【解析】 【分析】先假设点的坐标，代入双曲线方程，利用点差法，可得斜率之间为定值，再利用12||||k k +的最小值为2，即可求得双曲线的离心率． 【详解】由题意，可设点(,)M p q ，(,)N p q --，(,)P s t ．∴22221p q a b -=，且22221s t a b-=． 两式相减得222222t q b s p a -=-．再由斜率公式得：22212222t q b k k s p a -==-． 122||||b k k a+ 根据12||||k k +的最小值为2，可知22ba=，所以a=b. 所以c =∴ce a== 故选：A 【点睛】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据点的对称性，利用点差法进行化简是解决本题的关 键． 11．C 【解析】由题意得，3224312πππω⎛⎫⋅=-- ⎪⎝⎭，则2ω=，又012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即2sin 2012πϕ⎡⎤⎛⎫⨯-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，解得6π=ϕ，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令()2f x =，即2sin 226x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，262x ππ+=，解得该函数的对称轴为6x π=，则1226x x π+=，即123x x π+=，所以()122sin 21336f x x f πππ⎛⎫⎛⎫+==⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C.12．A【解析】 【分析】阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率. 【详解】因为阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：5525⨯=个，满足差的绝对值为5的有：()()()()()1,6,3,8,5,10,7,2,9,4共5个，则51255P ==. 故选：A. 【点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：P =目标事件的个数基本本事件的总个数.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．2563π【解析】 【分析】设圆柱底面圆的半径为r ，分别表示出圆柱和圆锥的体积，利用导数求得极值点，并判断在极值点左右两侧的单调性，即可求得函数的最大值，即为容器的最大容积. 【详解】设圆柱底面圆的半径为r ，圆柱体的高为2m ，则圆柱的体积为22=22V r r ππ⨯=圆柱；圆锥的高为h =，则圆锥的体积2211=33V r h r ππ⨯=圆锥所以该容器的容积为221+2+3V V V r r ππ==圆柱圆锥2212+3r r π⎛= ⎝则22114+332V r r r π⎛⎫ '=⨯ ⎝324+3r r π⎛⎫= ⎝，令0V '=，即224+3=，化简可得224r -=232r =，当232r <时，0V '>，函数2212+3V r r π⎛= ⎝单调递增， 当232r >时，0V '<，函数2212+3V r r π⎛= ⎝单调递减， 所以当232r =时，2212+3V r r π⎛= ⎝取得最大值；代入可得1256+232+3233V V V πππ==⨯⨯=圆柱圆锥， 故答案为：2563π. 【点睛】 本题考查了导数在体积最值问题中的综合应用，圆柱与圆锥的体积公式应用，属于中档题.14．0.15【解析】由题意可得：()()120.2,300.25P X P X <<=-<<=，则：()()50.50.20.250.05P X >=-+=，()()()()0151250.20.050.15P X P X P X P X <<->=<<->=-=.点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.15．25【解析】分析：先求成绩在80分以上的概率，再根据频数等于总数与对应概率乘积求结果.详解：因为成绩在80分以下的概率为(0.0050.03+0.0410=0.75+⨯），所以成绩在80分以上的概率为10.750.25-=，因此成绩在80分以上的人数为0.25100=25.⨯点睛：频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比.16．4p =-【解析】【详解】分析：求出双曲线2214y x -=的两条渐近线方程与抛物线22(0)x py p =<的准线方程，进而求出,A B 两点坐标，再由AOB ∆的面积为2，列出方程列方程求解即可. 详解：双曲线2214y x -=的两条渐近线方程2y x =±， 又抛物线()220x py p =>的准线方程是2p y =-， 故,A B 两点的横坐标坐标分别是14y p =±， 又AOB ∆的面积为1，12222p p ∴⋅⋅=， 0,p <∴得4p =-，故答案为4-.点睛：本题主要考查双曲线的几何性质以及抛物线的几何性质，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）切线方程为：21y x =- ，单调增区间为2(,)e -+∞，单调减区间是2(0,)e -（2）见解析【解析】试题分析：(1)由函数的导函数可得切线的斜率为2，据此可得切线方程为：21y x =- ，单调增区间为()2,e -+∞，单调减区间是()20,e -；(2)构造新函数()()'ln 2x x g x e f x e x =-=--，结合函数的性质即可证得题中的结论.试题解析：(1) ()ln 2f x x ='+，∴，所以切线方程为： 单调增区间为()2,e -+∞，单调减区间是()20,e- (2)设，. ∵在上单调递增，且，.∴存在唯一的零点，使得，即∴在上单调递减，在单调递增， ∴=， 又，∴上式等号不成立，∴，即18．（110；（2315【解析】【分析】 （1）由正弦定理及C 2A ∠∠=，得c 2acosA =，再代入角A 的余弦定理，求得10c =。

河北省石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)

河北省石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)

石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（时间：120分钟，分值150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列函数的求导正确的是（）A. B.C. D.2. 设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（）A. 0B.C. 2D. 33. 已知随机变量的分布列如下，随机变量满足，则随机变量的期望E(Y)等于（）012A. B. C. D.4. 函数的大致图像是（）A. B.C. D.5. 为了培养同学们的团队合作意识，在集体活动中收获成功、收获友情、收获自信、磨砺心志，2023年4月17日，石家庄二中实验学校成功举办了首届“踔厉奋发新征程，勇毅前行赢未来”25公里远足活动. 某班()22x x'-=-()2e2ex x'=()cos cos sinx x x x x'=-()()122xx x-'=⋅()e xf x a b=+()πcos2xg x c=+()02P，+ab cπX Y21Y X=-YXP1613a43835373()(1)ln1f x x x=+-现有5名志愿者分配到3个不同的小组里协助班主任摄影，记录同学们的青春光影，要求每个人只能去一个小组，每个小组至少有一名志愿者，则不同的分配方案的总数为（ ）A 120B. 150C. 240D. 3006. 的展开式中的系数为（ ）A B. 17C. D. 137. 设，，，则（ ）A. B. C. D. 8. 若方程有三个不同的解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 展开式中最大的系数为10. 已知函数，下列说法正确的有（ ）A. 若，，则函数F (x )有最小值B. 若，，则过原点可以作2条直线与曲线相切C. 若，且对任意，恒成立，则D. 若对任意，任意，恒成立，则的最小值是11 已知函数，若且，则有（ ）...()632x x ⎛- ⎝6x 17-13-35ln 23a =253e 5b =1c =c b a >>a b c >>a c b >>c a b>>()()23ln 12ln x a x ax x x--=a 224e 104e 4e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，224e 114e 4e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，()224e 10114e 4e ⎛⎫+⋃ ⎪-⎝⎭，，()224e 1014e 4e ⎧⎫+⋃⎨⎬-⎩⎭，()62601262a a x a x a x =+++⋯+3360a =-()()2202461351a a a a a a a +++-++=(6612622a a a ++⋯+=--2a ()()()2e 114ax F x m x m =++++0m =1a =-1m =-0a ≠()y F x =0a =m ∈R ()0F x >11x -<<R m ∈0x >()0F x ≥a 2e()()y f x x =∈R ()0f x >()()0f x xf x '+>A. 可能是奇函数或偶函数B. C. 当时， D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 为弘扬我国古代“六艺文化”，某夏令营主办方计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”，“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有______种排法.13. 某校辩论赛小组共有5名成员，其中女生比男生多，现要从中随机抽取2名成员去参加外校交流活动，若抽到一男一女的概率为，则抽到2名男生的概率为_____________.14. 若，使得成立（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，（1）求的值；（2）求其展开式中所有的有理项．16. 某学校为了增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛．现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有个选择题和个填空题，乙箱中有个选择题和个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答．每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中．（1）如果第一支部从乙箱中抽取了个题目，求第题抽到的是填空题的概率；（2）若第二支部从甲箱中抽取了个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目．求第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题的概率．17. 已知函数.（1）求函数的极值；（2）若对任意恒成立，求的最大整数值.18. 张强同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，前的()f x ()()11f f -<ππ42x <<()()cos22sin e cos x f x f x >()()01f >35[]0,2x ∃∈()1eln e e 1ln xa a x x a --+≥-+e 2.71828= a nx ⎛- ⎝a b 32a b +=n 5343222()ln f x x x x =+()f x ()()1k x f x -<1x >k 1312两次投篮是否命中相互之间没有影响.第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为，如果前两次投篮均未命中，则第三次投篮命中的概率为.（1）求张强同学三次投篮至少命中一次的概率；（2）记张强同学三次投篮命中的次数为随机变量，求的概率分布.19. 设定义在R 上的函数．（1）若存在，使得成立，求实数a 的取值范围；（2）定义：如果实数s ，t ，r 满足，那么称s 比t 更接近r ．对于（1）中的a 及，问：和哪个更接近？并说明理由．石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 简要答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C 【2题答案】【答案】C 【3题答案】【答案】C 【4题答案】【答案】B 【5题答案】【答案】B 【6题答案】2315ξξ()()e xf x ax a =-∈R [)01,x ∈+∞()0e f x a <-s r t r -≤-1x ≥ex1e x a -+ln x【答案】C 【7题答案】【答案】A 【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BCD 【10题答案】【答案】ACD 【11题答案】【答案】BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】##【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）4 （2）【16题答案】【答案】（1） （2）【17题答案】【答案】（1）极小值，无极大值为1441100.121e,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦42135,54,81T x T x T x-===377122e --（2）3【18题答案】【答案】（1）；（2）答案略.【19题答案】【答案】（1） （2）比更接近，理由略1115e a >ex1e x a -+ln x。

2022-2023学年陕西省榆林市第二中学高二上学期10月期中考试数学(理)试题(解析版)

2022-2023学年陕西省榆林市第二中学高二上学期10月期中考试数学(理)试题(解析版)

2022-2023学年陕西省榆林市第二中学高二上学期10月期中考试数学（理）试题一、单选题1．设命题2:,21p x Z x x ∃∈≥+，则p 的否定为（ ） A ．2,21x Z x x ∀∉<+ B ．2,21x Z x x ∀∈<+ C ．2,21x Z x x ∃∉<+ D ．2,2x Z x x ∃∈<【答案】B【分析】由特称命题的否定可直接得到结果.【详解】命题2:,21p x Z x x ∃∈≥+，则p 的否定为：2,21x Z x x ∀∈<+. 故选：B【点睛】全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题．2．已知x ，y 的取值如下表所示：若y 与x 线性相关，且0.95y x a =+，则=a （ ）A ．2.2 B ．2.9C ．2.8D ．2.6【答案】D【分析】利用平均数可得样本的中心点为()2,4.5，将中心点对应的值代入题目中的等式即可求出a 的值.【详解】由表格，得()1013424x =+++=， ()12.2 4.3 4.8 6.7 4.54y =+++=， 线性回归直线过样本中心点()2,4.5， 所以4.50.952a =⨯+，所以 2.6a =. 故选：D3．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，现有如下说法：①至少有一个黑球与都是黑球是互斥而不对立的事件；②至少有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件；③恰好有一个黑球与恰好有两个黑球是互斥而不对立的事件；④至少有一个黑球与都是红球是对立事件.在上述说法中，正确的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】利用互斥事件和对立事件的定义逐个判断即可【详解】①“至少有一个 黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误.②“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故正确.③“恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故正确.④“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故正确.上述说法中，正确的个数为3. 故选：C【点睛】此题考查互斥事件和对立事件的判断，属于基础题 4．点(1,1)M 到抛物线2y ax =的准线的距离为2，则=a （ ） A ．112-B ．11124-或 C ．14D ．124-或【答案】B【分析】根据抛物线的准线方程的公式结合抛物线的开口分类讨论求解.【详解】由题可得抛物线方程为: 21x y a =，所以12p a=， 若0a >，则抛物线开口向上，准线为124p y a=-=-， 所以点(1,1)M 到准线的距离为1124a +=解得14， 若a<0，则抛物线开口向下，准线为124p y a=-=-， 所以点(1,1)M 到准线的距离为1124a +=解得14a =（舍）或112a =-， 故选:B.5．某高中学校为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团．已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：高一年级高二年级高三年级泥塑 a b c剪纸x y z其中x：y：z＝5：3：2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的35．为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个容量为50的样本进行调查，则从“剪纸”社团的高二年级学生中应抽取的人数为（）A．4 B．6 C．9 D．10【答案】B【分析】先按分层抽样求出高二年级人数，再按样本占总体的比例得解.【详解】因为“泥塑”社团的人数占总人数的35，所以“剪纸”社团的人数占总人数的25，人数为28003205⨯=．因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为3353210 yx y z==++++，所以“剪纸”社团中高二年级人数为3 3209610⨯=．以从“剪纸”社团的高二年级学生中抽取的人数为501 9696=680016⨯=⨯．故选：B.6．执行如下所示的程序框图，则输出的a=（）A．2 B．1 C．-1D．12【答案】D【分析】由初始条件进入循环体，求出每一次a 的值，可以发现规律，最后求出答案.【详解】11,2n a ==；2,1n a ==-；3,2n a ==；14,2n a ==；…，a 的值构成以3为周期的数列，因为202036731=⨯+，所以当2020n =时，12a =. 故选：D【点睛】本题考查了循环结构的输出问题，考查了数列的周期性，考查了数学运算能力. 7．已知命题p ：x ∀∈R ，23x x <；命题q ：x ∃∈R ，321x x =-，则下列命题中为真命题的是： A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝【答案】B【详解】0x =可知: 命题p ：x ∀∈R ，23x x <为假命题，由函数图象可知命题32:,1q x R x x ∃∈=-为真命题，所以p q ⌝∧为真命题． 【解析】命题的真假判断．8．已知12F F ，分别是双曲线E :2222100x y a b a b-=>>（，）的左、右焦点，点M 在双曲线E 上，1MF 与x 轴垂直，21s 13in MF F =∠，则双曲线E 的离心率为（ ）A ．32BCD ．2【答案】B【分析】根据直角三角形边与角的关系可得213MF MF =，再利用双曲线的定义可求出12,3MF a MF a ==，利用勾股定理即可求解.【详解】在直角三角形12MF F 中，12121sin 3MF MF F MF ∠==,所以213MF MF =， 根据双曲线的定义可知21122MF MF MF a -==， 所以12,3MF a MF a ==，所以在直角三角形12MF F 中由勾股定理得22249a c a +=， 则222c a=，所以c e a ==故选:B.9．已知抛物线24y x = ， 过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ， 则||||AC BD +的最小值为（ ）A ．32B ．2C ．3D ．5【答案】B【分析】根据抛物线的定义可得2AC BD AB +=-，直线与抛物线联立求出焦点弦长，讨论最值求解.【详解】因为抛物线为24y x =，所以2p =，焦点(1,0)F 设()()1122,,,A x y B x y ， 根据抛物线的定义可得122p p AC x AF +=+=，222p pBD x BF +=+=， 所以AC BD p AF BF ++=+，所以2AC BD AF BF +=+-,即2AC BD AB +=-因为过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，所以直线的斜率不等于0， 设为1x my =+，联立241y xx my ⎧=⎨=+⎩，得2440y my --=，所以124y y m +=，212121211()242x x my my m y y m +=+++=++=+，所以212124422p pAB AF BF x x x x p m =+=+++=++=+， 所以当且仅当0m =时AB 有最小值为4， 则2AC BD AB +=-有最小值为2. 故选:B.10．如图，“天宫三号”的运行轨道是以地心（地球的中心）F 为其中一个焦点的椭圆．已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面m 千米，远地点B （离地面最远的距离）距离地面n 千米，并且F ，A ，B 在同一条直线上，地球的半径为R 千米，则“天宫三号”运行的轨道的短轴长为（ ）千米A ．2mnB ()()m R n R ++C ．mnD ．【答案】D【分析】根据题设条件可求椭圆的长半轴长和焦距的关系式，从而可求短半轴长. 【详解】由题设条件可得FB n R =+，FA R m =+，设椭圆的半长轴长为a ，半焦距为c ，则a c n R +=+，a c R m -=+，故短半轴长为b =所以短轴长为故选：D.11．设e 是椭圆2214x yk+=的离心率，且1,12e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则实数k 的取值范围是（ ）A ．()0,3B ．1633,⎛⎫⎪⎝⎭C ．()160,3,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．16,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】对k 分类讨论，确定焦点的位置，求椭圆的离心率，从而可求实数k 的取值范围. 【详解】由椭圆方程2214x y k+=， 当04k <<时，24a =，2b k =，24c k =-， 所以22244c ke a -==，由1,12e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得03k <<，当4k >时，2a k =，24b =，24c k =-，所以2224c k e a k-==，由1,12e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得163k >，故实数k 的取值范围为()160,3,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：C.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查分类讨论的数学思想，考查计算能力，属于基础题.12．已知点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点，1F 、2F 为其左、右焦点，O 为坐标原点．过点P 向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为M 、N ，则下列所述错误的是（ ） A ．PM PN ⋅为定值B ．O 、P 、M 、N 四点一定共圆C ．12PF PF ⋅的最小值为2b -D ．存在点P 满足P 、M 、1F 三点共线时，P 、N 、2F 三点也共线 【答案】D【分析】对于A ，设()00,P x y ，表示出||||PM PN ，，即可判断A ；对于B ，由题目可得，M ，N 两点在以OP 为直径的圆上，故可判断B ；对于C ，由双曲线的对称性可知2212||PF PF PO c ⋅=-， 由22||PO a ≥，故可判断C ；对于D ，利用双曲线的对称性，不妨设直线1F N 垂直一条渐近线，垂足为N ；直线2F M 垂直另一条渐近线且交双曲线于点P ，易知直线1F N 与直线2F M 的交点始终落在y 轴上，可判断D.【详解】解：设()00,P x y ，点()00,P x y 到渐近线by x a =的距离为0022bx ay PM b α-=+， 同理2020||bx ay PN a b+=+，则22220022b x a y PM PN a b-⋅=+，∵2200221x y a b-=，即22222200b x a y a b -=， ∴2222a b PM PN a b ⋅=+（定值），故A 正确；∵90OMP ONP ∠=∠=，∴OMP 和ONP △均为直角三角形，M ，N 两点在以OP 为直径的圆上，故B 正确；由双曲线的对称性可知()()222212111PF PF PO OF PO OF PO OF PO c ⋅=+⋅-=-=-，其中222c a b =+，∵22PO a ≥∴22212PF PF a c b ≥--⋅=成立，故C 正确；如图利用双曲线的对称性，不妨设直线1F N 垂直一条渐近线，垂足为N ；直线2F M 垂直另一条渐近线且交双曲线于点P ，易知直线1F N 与直线2F M 的交点始终落在y 轴上，故D 不正确.故选：D.二、填空题13．双曲线2212x y -=的渐近线方程为_________.【答案】2y = 【分析】由双曲线方程得2,1a b ==，再计算渐近线方程.【详解】由2212x y -=，得2,1a b =，故渐近线方程为22y ==， 故答案为：22y x = 14．下列命题正确的是_________.（填入序号）①若命题p 为假命题，命题q 是真命题，则()()p q ⌝∨⌝为真命题. ②命题“若a 与b 的夹角为锐角，则0a b ⋅>”及它的逆命题均为真命题.③命题“若20x x +=，则0x =或=1x -”的逆否命题为“若0x ≠且1x ≠-，则20x x +≠”. 【答案】①③【分析】通过命题的性质一一判定即可. 【详解】对于①：命题p 为假命题，命题q 是真命题， 则命题p ⌝为真命题，命题q ⌝为假命题，对于()()p q ⌝∨⌝有真为真，则()()p q ⌝∨⌝为真命题； 对于②：命题“若a 与b 的夹角为锐角，则0a b ⋅>”中， 当a 与b 的夹角为锐角，则cos ,0a b >，则cos ,0a b a b a b ⋅=⋅>， 则原命题为真命题，它的逆命题“若0a b ⋅>，则a 与b 的夹角为锐角”中， 当0a b ⋅>，则cos ,0a b a b a b ⋅=⋅>， 则cos ,0a b >，则a 与b 的夹角为锐角或0， 则它的逆命题为假命题； 对于③：对于命题“若20x x +=，则0x =或=1x -”， 它的逆否命题为“若0x ≠且1x ≠-，则20x x +≠”； 综上所述：①③正确， 故答案为：①③.15．设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()297ax f xx =+-，若“[)01x f x a ∃∈+∞<+，，（）”是假命题，则实数a 的取值范围为________. 【答案】8,7⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】先利用()y f x =是定义在R 上的奇函数求出x≥0函数的解析式,再根据“[)0()1x f x a ∃∈+∞<+，，”是假命题，可得该命题的否定是真命题，即()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，利用基本不等式求出()f x 的最小值,解不等式求出a 的范围.【详解】因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以当0x =时,()0f x =； 当0x >时,则0x -<,所以2()97a f x x x-=--+.所以()()297a f x f x x x=--=+-.因为()1f x a ≥+对一切0x ≥成立， 所以当0x =时,01a ≥+成立,所以1a ≤-；当0x >时,2971a x a x +-≥+成立,只需要2min971a x a x ⎛⎫+-≥+ ⎪⎝⎭,因为229729767a a x x a x x +-≥⨯-=-，所以671a a -≥+,解得：85a ≥或87a ≤-；综上所述：87a ≤-.故a 的取值范围为8,7⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.三、双空题16．椭圆22110036x y +=上一点P 满足到左焦点1F 的距离为8，则点P 到右焦点的距离为________，12F PF ∆的面积是________【答案】 12 15【分析】由椭圆定义可知122PF PF a +=，可得212PF =；结合余弦定理算得12os 14c P F F =-∠，再结合面积公式求解.【详解】由22110036x y +=，则10,6,8a b c ===，1216F F = 故12220PF PF a +==，且18PF =，则212PF =； 22212121212641442561cos 228124PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===-⋅⨯⨯,1221151sin 4F F P ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∠ 12Δ115812152F PF S =⨯⨯= 故答案为：12，1215四、解答题17．在① A B ⋂=∅；②“x A ∈“是“x B ∈”的充分不必要条件；③A B B ⋃=这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合{|},111|3{}A x a x a B x x =-≤≤=≤≤-+. (1)当2a =时，求A ∪B ；(2)若_______，求实数a 的取值范围. 【答案】(1){|13}B x x A -≤≤⋃= (2)答案见解析【分析】（1）由并集运算求解即可；（2）选①：由交集运算的结果列出不等式，得出实数a 的取值范围.选②：由A 是B 的真子集，结合包含关系得出实数a 的取值范围.选③：由A B ⊆，结合包含关系得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）当2a =时，集合1313{|},{|}A x x B x x =≤≤=≤≤-， 所以{|13}B x x A -≤≤⋃=. （2）若选择①A B ⋂=∅，因为11{|}A x a x a =-≤≤+，所以A ≠∅，又{|13}B x x =-≤≤，所以13a ->或11a +<-，解得4a >或2a <-， 所以实数a 的取值范围是()(),24,-∞-+∞.若选择②，“x A ∈“是“x B ∈”的充分不必要条件，则,A B A B ⊆≠， 因为11{|}A x a x a =-≤≤+，所以A ≠∅，又{|13}B x x =-≤≤，所以1113a a -≥-⎧⎨+<⎩或1113a a ->-⎧⎨+≤⎩解得02a ≤≤，所以实数a 的取值范围是[]0,2. 若选择③A B B ⋃=，则A B ⊆，因为11{|}A x a x a =-≤≤+ ，所以A ≠∅，又{|13}B x x =-≤≤，所以1113a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得02a ≤≤，所以实数a 的取值范围是[]0,2.18．已知集合{}{}34,211A x x B x m x m =-≤<=-≤≤+ （1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.（2）命题q ：“x A ∃∈，使得x B ∈”是真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1m ≥-；（2）[4,2]-.【分析】（1）B A ⊆，分B 为空集和B 不是空集两种情况讨论求解即可；（2）由x A ∃∈，使得x B ∈，可知B 为非空集合且A B ⋂≠∅，然后求解A B ⋂=∅的情况，求出m 的范围后再求其补集可得答案【详解】解：（1）①当B 为空集时，121,2m m m +<->成立. ②当B 不是空集时，∵B A ⊆，12121314m m m m +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩，∴12m -≤≤综上①②，1m ≥-.（2）x A ∃∈，使得x B ∈，∴B 为非空集合且,121,2A B m m m ≠∅+≥-≤.当A B ⋂=∅时2142m m -≥⎧⎨≤⎩，无解或132m m +<-⎧⎨≤⎩，4m <-，∴,[4,2]A B m ≠∅∈-.19．下表是某高校2017年至2021年的毕业生中，从事大学生村官工作的人数：经过相关系数的计算和绘制散点图分析，我们发现y 与x 的线性相关程度很高． (1)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的经验回归方程ˆˆˆybx a =+； (2)根据所得的经验回归方程，预测该校2023年的毕业生中，去从事大学生村官工作的人数．参考公式：()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay b x =-⋅． 【答案】(1)ˆ 1.50.5yx =+ (2)11人【分析】（1）利用最小二乘法计算可得经验回归方程； （2）将7x =代入经验回归方程即可求得所求预估值. 【详解】（1）由表格数据知：1234535x ++++==，2447855y ++++==，512812284090i ii x y==++++=∑，521149162555i i x ==++++=∑，90535ˆ 1.55559b-⨯⨯∴==-⨯，ˆ5 1.530.5a ∴=-⨯=，y ∴关于x 的经验回归方程为：ˆ 1.50.5y x =+.（2）2023年对应的7x =，则ˆ 1.570.511y=⨯+=， 即该校2023年的毕业生中，去从事大学生村官工作的人数约为11人.20．2022年9月30日至10月9日，第56届国际乒联世界乒乓球团体锦标赛在成都市高新区体育中心举行．某学校统计了全校学生在国庆期间观看世乒赛中国队比赛直播的时长情况（单位：分钟），并根据样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a 的值，并估计样本数据的中位数；(2)采用以样本量比例分配的分层随机抽样方式，从观看时长在[]200,280的学生中抽取6人．现从这6人中随机抽取3人在全校交流观看体会，记“抽取的3人中恰有2人的观赛时长在[)200,240”为事件A ，求()P A ．【答案】(1)0.004a =，中位数为160；(2)35【分析】（1）先利用频率的和为1求出a ，利用频率分布直方图计算得观看时长在160分钟以下的样本所占比例为0.5，即可得到中位数；（2）利用分层抽样确定[)200,240，[]240,280应抽取的人数，对6人进行编号，用列举法写出任取3人的所有基本事件，得出事件A 的基本事件，计数后计算概率【详解】（1）由题意得400.00050.002220.0060.0065)1(a ⨯+⨯+++=,解得0.004a =， 由频率分布直方图可知,观看时长在160分钟以下的样本所占比例为()400.00050.0020.0040.0060.5⨯+++=，所以样本数据的中位数为160；（2）由题意，观看时长在[)200,240，[]240,280对应的频率分别为0.004400.16⨯=和0.002400.08⨯=，所以采用分层随机抽样的方式在这两个区间中应分别抽取4人和2人，设观看时长在[)200,240的4人为,,,A B C D ，观看时长在[]240,280的2人为,E F ， 从中抽取3人的基本事件有：,,,,,,,ABC ABD ABE ABF ACD ACE ACF ,,,,,,ADE ADF AEF BCD BCE BCF ,,,,,,BDE BDF BEF CDE CDF CEF DEF 共20个，其中事件A 的基本事件有,,,,ABE ABF ACE ACF ,,,,ADE ADF BCE BCF ,,,BDE BDF CDE CDF 共12个，所求概率为()123205P A == 21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2． （1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值. 【答案】（1）24y x =；（2）最大值为13.【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设()00,Q x y ，由平面向量的知识可得()00109,10P x y -，进而可得20025910y x +=，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以该抛物线的方程为24y x =； （2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法 设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--， 所以()00109,10P x y -，由P 在抛物线上可得()()200104109y x =-，即20025910y x +=，据此整理可得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ，所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k y x y ===++， 当00y =时，0OQ k =； 当00y ≠时，0010925OQ k y y =+， 当00y >时，因为0092530y y +≥=， 此时103OQk <≤，当且仅当00925y y =，即035y =时，等号成立； 当00y <时，0OQ k <；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q 的轨迹方程为229525=-y x ． 设直线OQ 的方程为y kx =，则当直线OQ 与抛物线229525=-y x 相切时，其斜率k 取到最值．联立2,29,525y kx y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩得22290525k x x -+=，其判别式222940525⎛⎫∆=--⨯= ⎪⎝⎭k ，解得13k =±，所以直线OQ 斜率的最大值为13．[方法三]：轨迹方程+换元求最值法同方法一得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ． 设直线OQ 的斜率为k ，则22229525⎛⎫==- ⎪⎝⎭y k x x x． 令11009⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭t t x ，则2292255=-+k t t 的对称轴为59t =，所以21110,933≤≤-≤≤k k ．故直线OQ 斜率的最大值为13．[方法四]：参数+基本不等式法由题可设()24,4(0),(,)>P t t t Q x y ．因为(1,0),9=F PQ QF ，所以()24,49(1,)--=--x t y t x y ．于是249(1)49x t x y t y ⎧-=-⎨-=-⎩，所以21049104x t y t ⎧=+⎨=⎩则直线OQ 的斜率为2444194939424==≤=++⋅y t x t t t t t．当且仅当94t t=，即32t =时等号成立，所以直线OQ 斜率的最大值为13．【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q 的轨迹方程，得到直线OQ 的斜率关于y 的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；方法二 同方法一得到点Q 的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ 的斜率的最大值，为最优解；方法三同方法一求得Q 的轨迹方程，得到直线OQ 的斜率k 的平方关于x 的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线OQ 斜率的最大值；方法四利用参数法，由题可设()24,4(0),(,)>P t t t Q x y ，求得x,y 关于t 的参数表达式，得到直线OQ 的斜率关于t 的表达式，结合使用基本不等式，求得直线OQ 斜率的最大值.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为()5,0，离心率为53.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程. 【答案】（1）22194x y +=；（2）220013x y +=.【详解】试题分析：（1）利用题中条件求出c 的值，然后根据离心率求出a 的值，最后根据a 、b 、c 三者的关系求出b 的值，从而确定椭圆C 的标准方程；（2）分两种情况进行计算：第一种是在从点P 所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为1k 、2k ，并由两条切线的垂直关系得到121k k =-，并设从点()00,P x y 所引的直线方程为()00y k x x y =-+，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x 的一元二次方程，利用0∆=得到有关k 的一元二次方程，最后利用121k k =-以及韦达定理得到点P 的轨迹方程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P 的坐标，并验证点P 是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点P 的轨迹方程. （1）由题意知5533a a =⇒=，且有2235b -2b =，因此椭圆C 的标准方程为22194x y +=；（2）①设从点P 所引的直线的方程为()00y y k x x -=-，即()00y kx y kx =+-， 当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时，分别设为1k 、2k ，则121k k =-， 将直线()00y kx y kx =+-的方程代入椭圆C 的方程并化简得()()()222000094189360kx k y kx x y kx ++-+--=，()()()2220000184949360k y kx k y kx ⎡⎤⎡⎤∆=--⨯+--=⎣⎦⎣⎦， 化简得()2200940y kx k ---=，即()()22200009240x k kx y y --+-=，则1k 、2k 是关于k 的一元二次方程()()22200009240x k kx y y --+-=的两根，则201220419y k k x -==--， 化简得220013x y +=；②当从点P 所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P 的坐标为()3,2±±，此时点P 也在圆2213x y +=上. 综上所述，点P 的轨迹方程为2213x y +=.【解析】本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用∆的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用.。

河北省衡水中学2020-2021学年第二次联考数学(理科)试卷(全国Ⅱ) (解析版)

河北省衡水中学2020-2021学年第二次联考数学(理科)试卷(全国Ⅱ) (解析版)

2021年河北省衡水中学高考数学第二次联考试卷（理科）（全国Ⅱ）一、选择题（共12小题）.1．已知集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4，5}，B＝{0，2，4}，则A∩∁U B＝（）A．{5}B．{2，4}C．{0，2，5}D．{0，2，4，5} 2．已知sinα＞0，cosα＜0，则（）A．sin2α＞0B．cos2α＜0C．D．3．已知复数z＝a+（a﹣1）i（a∈R），则|z|的最小值为（）A．B．C．D．14．直线y＝2x﹣1被过点（0，1）和（2，1），且半径为的圆截得的弦长为（）A．B．C．D．或5．已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为（）A．B．C．D．6．已知双曲线的焦点F（c，0）到渐近线的距离为，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．7．异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“∧”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输出1，反之输出0．如十进制下的数10与9表示成二进制分别是1010，1001（即10＝1×23+0×22+1×21+0×20，9＝1×23+0×22+0×21+1×20），那么10∧9＝1010∧1001＝0011，现有运算12∧m＝1100∧n＝0001，则m的值为（）A．7B．9C．11D．138．已知奇函数f（x）的定义域为R，且满足f（2+x）＝f（2﹣x），以下关于函数f（x）的说法：①f（x）满足f（8﹣x）+f（x）＝0；②8为f（x）的一个周期；③是满足条件的一个函数；④f（x）有无数个零点．其中正确说法的个数为（）A．1B．2C．3D．49．已知三棱锥P﹣ABC的高为1，底面△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC，且P，A，B，C都在体积为的球O的表面上，则该三棱锥的底面△ABC的边长为（）A．B．C．3D．10．甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为P n，则P10的值为（）A．B．C．D．11．若P（n）表示正整数n的个位数字，a n＝P（n2）﹣P（2n），数列{a n}的前n项和为S n，则S2021＝（）A．﹣1B．0C．1009D．101112．已知函数f（x）＝e x ln|x|，a＝f（﹣ln3），b＝f（ln3），c＝f（3e），d＝f（e3），则a，b，c，d的大小顺序为（）A．a＞b＞c＞d B．d＞c＞b＞a C．c＞d＞b＞a D．c＞d＞a＞b二、填空题（共4小题）.13．若向量，满足＝（cosθ，sinθ）（θ∈R），||＝2，则|2﹣|的取值范围为．14．在一次去敬老院献爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊5名同学比带队老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到．若他们说的都为真话，从上述回答分析，5人可能到的先后顺序的不同情况种数为．15．已知等差数列{a n}满足a2＝3，a3是a1与a9的等比中项，则的值为．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD+AA1＝2，E为棱C1D1上任意一点，给出下列四个结论：①BD1与AC不垂直；②长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积最小为3π；③E到平面A1B1D的距离的最大值为；④长方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面积的最大值为6．其中所有正确结论的序号为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，△ABD为等边三角形，BD＝2，AC ＝，BC＝1．（1）求∠CBD的大小；（2）求△ADE的面积．18．为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3+1+2”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理根据选课数据得到，选择A组合的概率为，选择B组合的概率为，选择C组合的概率为，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．（1）求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；（2）记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及数学期望．19．如图，两个全等的梯形ABCD与BAEF所在的平面互相垂直，AB⊥AD，AD∥BC，AB ＝AD，BC＝2AD，P为CF的中点．（1）证明：DP∥平面ABFE；（2）求平面DEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．20．已知曲线C的方程为．（1）求曲线C的离心率；（2）设曲线C的右焦点为F，斜率为k的动直线l过点F与曲线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，证明：为定值．21．已知函数f（x）＝x+alnx，g（x）＝x2e x，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝2时，方程g（x）＝mf（x）有两个实根，求实数m的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1上存在点P到曲线C2的距离为1，求b的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x+b|，a，b∈R．（1）当a＝4，b＝1时，求不等式f（x）≤9的解集；（2）当ab＞0时，f（x）的最小值为1，证明：|+|≥．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4，5}，B＝{0，2，4}，则A∩∁U B＝（）A．{5}B．{2，4}C．{0，2，5}D．{0，2，4，5}解：由题意得∁U B＝{1，3，5}，所以A∩∁U B＝{5}．故选：A．2．已知sinα＞0，cosα＜0，则（）A．sin2α＞0B．cos2α＜0C．D．解：由sinα＞0，cosα＜0，可得α∈（2kπ+，2kπ+π），k∈Z，对于A，可得sin2α＝2sinαcosα＜0，错误；对于B，当α∈（2kπ+，2kπ+π），k∈Z时，cosα∈（﹣1，0），此时cos2α＝2cos2α﹣1∈（﹣1，1），错误；对于C，因为∈（kπ+，kπ+），k∈Z，可得，正确；对于D，因为∈（kπ+，kπ+），k∈Z，当k为偶数时，可得sin＞0，错误；故选：C．3．已知复数z＝a+（a﹣1）i（a∈R），则|z|的最小值为（）A．B．C．D．1解：因为z＝a+（a﹣1）i，所以，所以|z|的最小值为，故选：B．4．直线y＝2x﹣1被过点（0，1）和（2，1），且半径为的圆截得的弦长为（）A．B．C．D．或解：过点（0，1）和（2，1），半径为的圆的圆心（1，﹣1）或（1，3）．过点（0，1），（2，1）且半径为的圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝5或（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5，则圆心到直线y＝2x﹣1的距离为或，则弦长＝．故选：B．5．已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为（）A．B．C．D．解：设该四棱锥为P﹣ABCD，则由题意可知四棱锥P﹣ABCD满足底面ABCD为矩形，则：平面PDC⊥平面ABCD，且PC＝PD＝3，AB＝4，AD＝2．如图，过点P作PE⊥CD，则PE⊥平面ABCD，连接AE，可知∠PAE为直线PA与平面ABCD 所成的角，则，，所以．故选：C．6．已知双曲线的焦点F（c，0）到渐近线的距离为，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．解：双曲线的焦点F（c，0）到渐近线bx±ay＝0的距离为，解得，所以．又c2＝a2+b2，所以b2＝3a2．因为点在双曲线上，所以，所以a2＝3，b2＝9，所以双曲线的方程为．故选：D．7．异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“∧”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输出1，反之输出0．如十进制下的数10与9表示成二进制分别是1010，1001（即10＝1×23+0×22+1×21+0×20，9＝1×23+0×22+0×21+1×20），那么10∧9＝1010∧1001＝0011，现有运算12∧m＝1100∧n＝0001，则m的值为（）A．7B．9C．11D．13解：由12∧m＝1100∧n＝0001，可得n＝1101，表示成十进制为13，所以m＝13．故选：D．8．已知奇函数f（x）的定义域为R，且满足f（2+x）＝f（2﹣x），以下关于函数f（x）的说法：①f（x）满足f（8﹣x）+f（x）＝0；②8为f（x）的一个周期；③是满足条件的一个函数；④f（x）有无数个零点．其中正确说法的个数为（）A．1B．2C．3D．4解：因为f（2+x）＝f（2﹣x），所以f（4+x）＝f（﹣x），因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（4+x）＝﹣f（x），所以f（8+x）＝﹣f（x+4）＝f（x），所以8为f（x）的一个周期，故②正确；由f（8+x）＝f（x）可得f（8﹣x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（8﹣x）+f（x）＝0，故①正确；为奇函数满足f（x）+f（﹣x）＝0，且一条对称轴为直线x＝2，故③正确；由f（x）为奇函数且定义域为R知，f（0）＝0，又f（x）为周期函数，所以f（x）有无数个零点，故④正确．故选：D．9．已知三棱锥P﹣ABC的高为1，底面△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC，且P，A，B，C都在体积为的球O的表面上，则该三棱锥的底面△ABC的边长为（）A．B．C．3D．解：设球O的半径为R，由球的体积为可得，，解得R＝2．因为三棱锥P﹣ABC的高h为1，所以球心O在三棱锥外．如图，设点O1为△ABC的外心，则OO1⊥平面ABC．在Rt△AO1O中，由，且OO1＝R﹣h＝1，得．因为△ABC为等边三角形，所以，所以．故选：C．10．甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为P n，则P10的值为（）A．B．C．D．解：抛掷两颗正四面体骰子观察底面上的数字之和为5有4种情况，得点数之和为5的概率为，第n次由甲掷有两种情况：一是第n﹣1由甲掷，第n次由甲掷，概率为，二是第n﹣1次由乙掷，第n次由甲掷，概率为．这两种情况是互斥的，所以，即，所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以．故选：A．11．若P（n）表示正整数n的个位数字，a n＝P（n2）﹣P（2n），数列{a n}的前n项和为S n，则S2021＝（）A．﹣1B．0C．1009D．1011解：由题意得a1＝﹣1，a2＝0，a3＝3，a4＝﹣2，a5＝5，a6＝4，a7＝5，a8＝﹣2，a9＝﹣7，a10＝0，a11＝﹣1，a12＝0，…∴数列{a n}为周期数列，且周期为10，因为S10＝5，所以S2021＝5×202+（﹣1）＝1009，故选：C．12．已知函数f（x）＝e x ln|x|，a＝f（﹣ln3），b＝f（ln3），c＝f（3e），d＝f（e3），则a，b，c，d的大小顺序为（）A．a＞b＞c＞d B．d＞c＞b＞a C．c＞d＞b＞a D．c＞d＞a＞b解：因为，所以a＜b．因为函数f（x）＝e x ln|x|在区间（0，+∞）上单调递增，所以b，c，d中b最小．构造函数g（x）＝x﹣elnx，则，当x≥e时，g'（x）≥0，所以g（x）在区间[e，+∞）上单调递增，所以g（3）＝3﹣eln3＞g（e）＝0，所以3＞eln3．所以e3＞3e，所以d＞c，所以d＞c＞b＞a．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若向量，满足＝（cosθ，sinθ）（θ∈R），||＝2，则|2﹣|的取值范围为[0，4]．解：，，设与的夹角为α，则：，∵α∈[0，π]，∴0≤8﹣8cosα≤16，∴，∴的取值范围为[0，4]．故答案为：[0，4]．14．在一次去敬老院献爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊5名同学比带队老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到．若他们说的都为真话，从上述回答分析，5人可能到的先后顺序的不同情况种数为48．解：按乙到达的名次顺序进行分类：乙第二个到达有A21A22＝4种，乙第三个到达有A21A21A22＝8种，乙第四个到达有A32A22＝12种，乙最后到达有A44＝24种，所以不同的情况种数为4+8+12+24＝48．故答案为：48．15．已知等差数列{a n}满足a2＝3，a3是a1与a9的等比中项，则的值为3n或（3n2+3n）．解：设等差数列{a n}的公差为d，由a2＝3，可得a1+d＝3，①由a3是a1与a9的等比中项，可得a32＝a1a9，即（a1+2d）2＝a1（a1+8d），化为da1＝d2，②由①②可得a1＝d＝或a1＝3，d＝0，当a1＝3，d＝0时，＝a2+a4+…+a2n＝3+3+…+3＝3n；当a1＝d＝时，＝a2+a4+…+a2n＝3+6+…+3n＝（3n2+3n）．故答案为：3n或（3n2+3n）．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD+AA1＝2，E为棱C1D1上任意一点，给出下列四个结论：①BD1与AC不垂直；②长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积最小为3π；③E到平面A1B1D的距离的最大值为；④长方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面积的最大值为6．其中所有正确结论的序号为②③④．解：对于①，当长方体为正方体时，BD1⊥AC，故①错误；对于②，如图，设AD＝x，则AA1＝2﹣x（0＜x＜2），所以，当x＝1时，BD1的最小值为，即长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的直径为，所以外接球表面积的最小值为3π，故②正确；对于③，设点E到平面A1B1D的距离为h，如图，由，可得，所以由②可知，，其中，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时等号成立，，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时等号成立，所以，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时，等号成立，故③正确；对于④，该长方体的表面积为S＝2x+2x（2﹣x）+2（2﹣x）＝4+4x﹣2x2＝﹣2（x﹣1）2+6，当x＝1时，S的最大值为6，故④正确．故答案为：②③④．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，△ABD为等边三角形，BD＝2，AC＝，BC＝1．（1）求∠CBD的大小；（2）求△ADE的面积．解：（1）在△ABC中，，由余弦定理得．因为0＜∠ABC＜π，所以，所以．（2）由知，BC∥AD，所以△BCE∽△DAE，所以，所以DE＝2BE．因为BD＝2，所以．所以．18．为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3+1+2”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理根据选课数据得到，选择A组合的概率为，选择B组合的概率为，选择C组合的概率为，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．（1）求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；（2）记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及数学期望．解：用A i表示第i位同学选择A组合，用B i表示第i位同学选择B组合，用∁i表示第i 位同学选择C组合，i＝1，2，3．由题意可知，A i，B i，∁i互相独立，且．（1）三位同学恰好选择不同组合共有种情况，每种情况的概率相同，故三位同学恰好选择不同组合的概率为：．（2）由题意知η的所有可能取值为0，1，2，3，且η~B(3,)，所以，，，，所以η的分布列为η0123P所以．19．如图，两个全等的梯形ABCD与BAEF所在的平面互相垂直，AB⊥AD，AD∥BC，AB ＝AD，BC＝2AD，P为CF的中点．（1）证明：DP∥平面ABFE；（2）求平面DEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：如图，取BF的中点Q，连接PQ，AQ．因为P，Q为CF，BF的中点，所以PQ∥BC，且．又因为AD∥BC，BC＝2AD，所以PQ∥AD，且PQ＝AD，所以四边形ADPQ为平行四边形，所以DP∥AQ．又AQ⊂平面ABFE，DP⊄平面ABFE，所以DP∥平面ABFE．（2）解：因为平面ABCD⊥平面BAEF，平面ABCD∩平面BAEF＝AB，FB⊥AB，FB⊂平面BAEF，所以FB⊥平面ABCD．又BC⊂平面ABCD，所以FB⊥BC．又AB⊥FB，AB⊥BC，所以以B为坐标原点，分别以BA，BC，BF所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设BC＝2，则．设平面DEF的一个法向量为，则，令z＝1，得．易知平面BCF的一个法向量为，所以．所以平面DEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值为．20．已知曲线C的方程为．（1）求曲线C的离心率；（2）设曲线C的右焦点为F，斜率为k的动直线l过点F与曲线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，证明：为定值．【解答】（1）解：由可知，点（x，y）到点（﹣1，0），（1，0）的距离之和为4，且4＞2，根据椭圆的定义可知，曲线C为焦点在x轴上的椭圆．设椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，则2a＝4，2c＝2，所以曲线C的离心率为．（2）证明：设椭圆的短轴长为2b，由（1）可得b2＝a2﹣c2＝3，所以曲线C的方程为，则F（1，0）．由题意可知，动直线l的方程为y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由,得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，所以．设AB的中点为Q（x0，y0），则，．当k≠0时，线段AB的垂直平分线的方程为，令y＝0，得，所以，＝＝，所以．当k＝0时，l的方程为y＝0，此时，．综上，为定值．21．已知函数f（x）＝x+alnx，g（x）＝x2e x，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝2时，方程g（x）＝mf（x）有两个实根，求实数m的取值范围．解：（1）由题意知函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）＝x+alnx，a∈R，所以，①当a≥0时，f'（x）＞0在区间（0，+∞）上恒成立，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；②当a＜0时，令f'（x）＞0，得x＞﹣a，令f'（x）＜0，得0＜x＜﹣a，所以函数f（x）的单调递增区间为（﹣a，+∞），单调递减区间为（0，﹣a）；综上：当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣a，+∞），单调递减区间为（0，﹣a）；（2）方程g（x）＝mf（x）有两个实根，即关于x的方程x2e x﹣m（x+2lnx）＝0有两个实根，即函数h（x）＝x2e x﹣m（x+2lnx）有两个零点，又h（x）＝x2e x﹣m（x+2lnx）＝e x+2lnx﹣m（x+2lnx），令t＝x+2lnx，由（1）得t是关于x的单调递增函数，且t∈R，所以只需函数u（t）＝e t﹣mt有两个零点，令u（t）＝0，得，令，则，易知当t∈（﹣∞，1）时，φ（t）单调递增，当t∈（1，+∞）时，φ（t）单调递减，所以当t＝1时，φ（t）取得最大值，又因为当t＜0时，φ（t）＜0，当t＞0时，φ（t）＞0，φ（0）＝0，则函数的图象如图所示：所以当，即m∈（e，+∞）时，函数h（x）有两个零点，所以实数m的取值范围为（e，+∞）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1上存在点P到曲线C2的距离为1，求b的取值范围．解：（1）由（α为参数），消去参数α，得曲线C1的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4,由，得，令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得x﹣y＝b，所以曲线C2的直角坐标方程为x﹣y﹣b＝0．（2）设P（1+2cosα，1﹣2sinα），因为点P到直线x﹣y﹣b＝0的距离为1，所以，化简得①．若关于α的方程①有解，则曲线C1上存在点P到曲线C2的距离为1，所以②，或③由②得，由③得，所以b的取值范围为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x+b|，a，b∈R．（1）当a＝4，b＝1时，求不等式f（x）≤9的解集；（2）当ab＞0时，f（x）的最小值为1，证明：|+|≥．【解答】（1）解：由题意得f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，当x≥2时，原不等式可化为3x﹣3≤9，解得x≤4，故2≤x≤4；（1分）当﹣1≤x＜2时，原不等式可化为5﹣x≤9，解得x≥﹣4，故﹣1≤x＜2；当x＜﹣1时，原不等式可化为﹣3x+3≤9，解得x≥﹣2，故﹣2≤x＜﹣1．综上，不等式f（x）≤9的解集为[﹣2，4]．（2）证明：因为≥＝，且ab＞0，高中数学资料群734924357所以，当且仅当或时等号成立，高中数学资料群734924357。

2022-2023学年陕西省西安市高二上学期第二次考试数学(理)试题(解析版)

2022-2023学年陕西省西安市高二上学期第二次考试数学(理)试题(解析版)

2022-2023学年陕西省西安市高二上学期第二次考试数学（理）试题一、单选题1．“0m >”是“方程2212x y m+=表示椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据椭圆方程的定义即可判断结果．【详解】方程2212x y m +=表示椭圆的充要条件是0m >且2m ≠ 所以“0m >”是“方程2212x y m+=表示椭圆”的必要不充分条件． 故选：B2．命题“0x ∀>，有20x x ->”的否定是 A ．0x ∃>有20x x -≤ B ．0x ∃≤有20x x -< C ．0x ∀>有20x x -≤ D ．0x ∃≤有20x x -≤【答案】A【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可． 【详解】因为全称命题的否定是特称命题， 所以，命题p ：∀x ＞0，2x x -＞0， 则它的否定是：∃x ＞0，20x x -≤． 故选A ．【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题． 3．双曲线22149x y -=的渐近线方程是（ ）A ．23y x =± B ．49y x =± C ．94y x =±D ．32y x =±【答案】D【分析】依据双曲线性质，即可求出．【详解】由双曲线22149x y -=得，224,9a b == ，即2,3a b == ， 所以双曲线22149x y -=的渐近线方程是32b y x x a =±=±， 故选：D ．【点睛】本题主要考查如何由双曲线方程求其渐近线方程，一般地双曲线22221x y a b-=的渐近线方程是b y x a =±；双曲线22221y x a b -=的渐近线方程是a y x b =±．4．过椭圆的右焦点2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于A B ，两点，1F 为椭圆的左焦点，若1F AB 为正三角形，则椭圆的离心率为 A ．3 B ．33C ．23-D ．21-【答案】B【分析】由题意，由于1F AB ∆为正三角形，可得在12Rt AF F ∆中，有121222,23AF AF F F c AF ===，再结合椭圆的定义可得12223a AF AF AF =+=，再由椭圆离心率的公式，即可求解. 【详解】根据题意，如图所示，可得1F AB ∆为正三角形，可得在12Rt AF F ∆中，有121222,23AF AF F F c AF ===， 点A 在椭圆上，由椭圆的定义可得12223a AF AF AF =+=， 则该椭圆的离心率121233F F c c a AF AF ===+，故选B. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中注意借助直角三角形的性质分析1212,,AF AF F F 之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中， AC 与BD 的交点为M .设11111,,,===A B a A D b A A c ，则下列向量中与1B M 相等的向量是（ ）A ．1122a b c --+B ．1122a b c -++C ．1122a b c -+D ．1122a b c ++【答案】B【分析】根据1112=+=+B M B B BM c BD 代入计算化简即可.【详解】()1111112222=+=+=++=-++B M B B BM c BD c BA BC a b c故选：B.6．已知A （3，2），点F 为抛物线22y x =的焦点，点P 在抛物线上移动，为使PA PF +取得最小值，则点P 的坐标为（ ） A ．（0，0） B ．（2，2）C ．()1,2D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【分析】设点P 到准线的距离为d ，根据抛物线的定义可知PA PF PA d +=+，即可根据点到直线的距离最短求出．【详解】如图所示：设点P 到准线的距离为d ，准线方程为12x =-，所以17322PA PF PA d AB +=+≥=+=，当且仅当点P 为AB 与抛物线的交点时，PA PF +取得最小值，此时点P 的坐标为()2,2． 故选：B ．7．已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥，若12PF F △的面积为9，则b =（ ）A ．3B ．9C ．92D ．12【答案】A【分析】结合三角形的面积、勾股定理、椭圆的定义列方程，化简求得b 的值. 【详解】设12,PF m PF n ==, 依题意22221924m n a mn m n c+=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，整理得224364c a +=，即222244436,9,3a c b b b -====. 故选：A8．设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ，B 两点，则AB = AB ．6C ．12 D．【答案】C【详解】试题分析：由题意，得3(,0)4F ．又因为0k tan 30==故直线AB的方程为3)4y x -，与抛物线2=3y x 联立，得21616890x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线定义得，12AB x x p =++=168312162+=，选C ． 【解析】1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义．9．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是A ．OM OA OB OC =++ B ．23OM OA OB OC =++ C ．111222OM OA OB OC =++D ．111333OM OA OB OC =++【答案】 D【分析】首先利用坐标法，排除错误选项，然后对符合的选项验证存在,λμ使得AM AB AC λμ=+，由此得出正确选项.【详解】不妨设()()()()0,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,1O A B C .对于A 选项，()1,1,3OM OA OB OC =++=，由于M 的竖坐标31>，故M 不在平面ABC 上，故A 选项错误.对于B 选项，()231,3,6OM OA OB OC =++=，由于M 的竖坐标61>，故M 不在平面ABC 上，故B 选项错误.对于C 选项，111113,,222222OM OA OB OC ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，由于M 的竖坐标312>，故M 不在平面ABC 上，故C 选项错误.对于D 选项，11111,,133333OM OA OB OC ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，由于M 的竖坐标为1，故M 在平面ABC 上，也即,,,A B C M 四点共面.下面证明结论一定成立：由111333OM OA OB OC =++，得()()1133OM OA OB OA OC OA -=-+-，即1133AM AB AC =+，故存在13λμ==，使得AM AB AC λμ=+成立，也即,,,A B C M 四点共面.故选：D.【点睛】本小题主要考查空间四点共面的证明方法，考查空间向量的线性运算，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10．抛物线2:4W y x =的焦点为F ，点A 在抛物线上，且点A 到直线3x =-的距离是线段AF 长度的2倍，则线段AF 的长度为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】利用抛物线定义可得点A 到直线3x =-的距离是点A 到准线x ＝－1的距离的2倍，从而可得结果.【详解】解：依题意，得F （1,0），抛物线的准线为x ＝－1， 线段AF 的长等于点A 到准线x ＝－1的距离， 因为点A 到直线3x =-的距离是线段AF 长度的2倍，所以，点A 到直线3x =-的距离是点A 到准线x ＝－1的距离的2倍 设A 点横坐标为0x ，是0x ＋3＝2（0x ＋1），解得：0x ＝1， 所以，｜AF ｜＝1－（－1）＝2 故选B【点睛】本题考查了抛物线定义，考查了数形结合的思想，属于基础题.11．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的两焦点为12,F F ，若椭圆上存在点P ，使12120F PF ∠=，则椭圆的离心率e 的取值范围为.A ．B ．3(0,]4C ．D ．3[,1)4【答案】C【详解】当P 是椭圆的上下顶点时,12F PF ∠最大, 121120180,6090,F PF F PO ∴︒≤∠<︒∴︒≤∠<︒12sin 60sin sin 90,F PF ∴︒≤∠<︒11,,1cF P a F O c a ==≤<则椭圆的离心率e 的取值范围为⎫⎪⎪⎣⎭,故选C. 【点睛】本题考查了椭圆的几何意义,属于中档题目.在客观题求离心率取值范围时,往往利用图形中给出的几何关系结合圆锥曲线的定义,找出a,b,c 之间的等量关系或者不等关系, 考查学生的数形结合能力,在主观题中多考查直线与圆锥曲线的位置关系,利用方程的联立和判别式解不等式求出离心率的范围.12．已知P 为双曲线22143x y -=右支上的一点，12,F F 是该双曲线的左、右焦点，I 为12PF F ∆的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ∆∆∆=+成立，则λ的值为A BC ．32D ．233【答案】B【详解】试题分析：设12PF F ∆内切圆的半径为r ，由双曲线的定义得12124,27PF PF F F -==，12121212111,,222IPF IPF IF F S PF r S PF r S F F r ∆∆∆===，由题意得1212111222PF r PF r F F r λ=+，所以1212427727PF PF F F λ-===. 故选 B.【解析】双曲线的简单性质.【思路点睛】设三角形12PF F ∆的内切圆的半径为r ，运用双曲线的定义和三角形的面积公式可得，124PF PF -=，和1212111222PF r PF r F F r λ=+，化简整理可得1212PF PF F F λ-=，即可得到所求值.本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率和定义的运用，同时考查三角形的面积公式的运用，运算求解能力，属于中档题.二、填空题13．已知()1,2,1n =-为平面α的一个法向量，()2,,1a λ=-为直线l 的方向向量.若//l α，则λ=__________.【答案】32##1.5【分析】根据线面平行列方程，化简求得λ的值. 【详解】由于//l α，所以()()31,2,12,,12210,2n a λλλ⋅=-⋅-=-+-==. 故答案为：3214．抛物线2y ax =的焦点坐标为_____. 【答案】10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得焦点坐标.【详解】当0a >时，整理抛物线方程得21x y a=，即12p a =，由抛物线()220x py p =>的焦点为0,?2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所求焦点坐标为10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭.当a<0时，同样可得. 故答案为：10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：该题主要考查抛物线的性质，解题方法如下： （1）先将抛物线方程化为标准形式； （2）根据其性质得到其焦点坐标.15．以双曲线C ：()222103x y a a-=>的一个焦点F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则该圆的面积为________． 【答案】3π【分析】根据双曲线方程可确定焦点坐标及渐近线方程，利用焦点F 到渐近线方程的距离为圆的半径，即可得圆的面积.【详解】解：双曲线()222103x y a a-=>的2223b c a ==-，则可设焦点F 为(),0F c ，渐近线方程为：y x =0ay ±=，则F==2π3π⨯=.故答案为：3π.16．已知1F ，2F 是椭圆C :22221x ya b+=（0a b >>）的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为_______. 【答案】14【解析】求得直线AP 的方程，根据题意求得P 点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率. 【详解】如图所示，由题意知：()()()12,0,,0,,0A a F c F c --， 直线AP 的方程为)3y x a =+， 由12212120,2F F P PF F F c ∠===， 则(23)P c c 代入直线AP )332c c a =+， 整理得4a c =，∴所求的椭圆离心率为14c e a ==. 故答案为：14【点睛】本题考查了椭圆的几何性质与直线方程的应用问题，也考查了数形结合思想，是中档题.三、解答题17．设抛物线()20y mx m =≠的准线与直线1x =的距离为8，求抛物线的方程．【答案】228y x =或236y x =-【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，列出关系式求解即可.【详解】抛物线()20y mx m =≠的准线为4m x =-， 由题意知，该直线与直线1x =的距离为8，即184m--=，解得28m =或36m =-. 当28m =时，抛物线的方程为228y x =；当36m =-时，抛物线的方程为236y x =-. 所以，抛物线的方程为228y x =或236y x =-.18．已知命题p ：221373x y m m +=+-表示焦点在x 轴的双曲线，命题q ：()()52xf x m =-是增函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．【答案】3m ≤-或327m ≤< 【分析】利用双曲线方程的性质化简命题p 可得337m -<<，利用指数函数的性质化简命题q 可得m <2，由p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，可得p 、q 一真一假，分两种情况讨论即可求得实数m 的取值范围．【详解】若p 是真，则30730m m +>⎧⎨-<⎩解得337m -<<，若q 是真，只需5－2m >1即m <2 ， 由于p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， 故p 、q 中一个真，另一个为假命题， 因此，当p 真q 假时，3372m m ⎧-<<⎪⎨⎪≥⎩得m 无解； 当q 真p 假时，3m ≤-或327m ≤<；综上所述：3m ≤-或327m ≤<19．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于A ，B 两点，P 是l 上满足1PA PB ⋅=的点，求点P 的轨迹方程．【答案】()2212263x y x +=-<< 【分析】设出直线方程，联立直线与椭圆方程，得出A ，B 两点坐标的关系式，代入1PA PB ⋅=整理，即可得到结果.【详解】将椭圆化为标准方程得，22142x y +=.设动直线l 方程为()00:22l x x x =-<<. 联立直线与椭圆方程22024x y x x ⎧+=⎨=⎩可得，220240y x +-=.设()1,A m y ，()2,B m y ，则120y y +=，201242x y y -=. 设()0,P m y ，则()100,PA y y =-，()200,PB y y =-由1PA PB ⋅=，可得()()()210201212001y y y y y y y y y y --=-++= 代入整理可得，()220002622x y x +=-<<.所以，点P 的轨迹是椭圆的一部分，方程为()2212263x y x +=-<< 20．已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB的中点为()12,15N --，求E 的方程． 【答案】22145x y -=【分析】利用点差法求得E 的方程.【详解】由于()3,0F 是E 的焦点，所以双曲线焦点在x 轴上，3c =， 所以2229a b c +==①，设双曲线E 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，设()()1122,,,A x y B x y ，所以2222112222221,1x y x y a b a b-=-=，两式相减并化简得2121221212151505121234y y y y b a x x x x +----=⋅=⋅=+----， 所以2254a b =②， 由①②得224,5a b ==， 所以E 的方程为22145x y -=. 21．如图（1）图所示，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，π2BAD ∠=，1AB BC ==，2AD =，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将ABE 沿BE 折起到1A BE 的位置，如图（2）所示．(1)证明:CD ⊥平面1A OC ；(2)若平面1A BE ⊥平面BCDE ，求平面1A BC 与平面1A CD 所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解 6【分析】（1）先证BE ⊥平面1A OC ，又//CD BE ，得CD ⊥平面1A OC ；（2）由已知得1A OC ∠为二面角1A BE C --的平面角，如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系，求出平面1A BC 的法向量()1111,,n x y z =，平面1A CD 的法向量()2222,,n x y z =，面1A BC 与面1A CD 锐二面角为θ，由1226cos cos ,323n n θ===⨯，即得平面1A BC 与平面1A CD 锐二面角的余弦值. 【详解】（1）在图（1）中，因为1AB BC ==，2AD =，E 是AD 的中点，2BAD π∠=，所以BE AC ⊥则在图（2）中，1BE OA ⊥，BE OC ⊥，1OA OC O ⋂=，1OA 平面1A OC ，OC ⊂平面1A OC ， 从而BE ⊥平面1A OC ，又//CD BE ，所以CD ⊥平面1A OC ．（2）由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，平面1A BE 平面BCDE BE =，又由（1）知，1BE OA ⊥，BE OC ⊥，所以1A OC ∠为二面角1A BE C --的平面角，所以12A OC π∠=．如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系，因为111A B A E BC ED ====，//BC ED ， 则2BE =，122OB OE OC OA ====所以22B ⎫⎪⎪⎝⎭，22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，120,0,2A ⎛ ⎝⎭，22C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，得BC ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，1AC ⎛= ⎝⎭，()CD BE ==-． 设平面1A BC 的法向量()1111,,n x y z =，平面1A CD 的法向量()2222,,n x y z =，锐二面角为θ， 则11100n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111100y y ⎧=⎪⎪=，取()11,1,1n =，22100n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22200y ==，取()20,1,1n =，从而12cos ,3n n == 所以， 126cos =cos ,3n n θ=即平面1A BC 与平面1A CD ． 22．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点()1,0F ，O 为坐标原点，A 、B 是抛物线C 上异于O 的两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA 、OB 的斜率之积为12-，求证：直线AB 过x 轴上一定点．【答案】(1)24y x =； (2)证明见解析.【分析】（1）根据抛物线焦点坐标，直接求得p ，则抛物线方程得解； （2）设出直线AB 的方程，利用韦达定理，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】（1）根据题意，12p=，则2p =，故抛物线方程为：24y x =. （2）显然直线AB 的斜率不为零，且不过原点，故设其方程为(),0x my n n =+≠， 联立抛物线方程24y x =可得：2440y my n --=，216160m n =+>时， 设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则12124?,4y y m y y n +==-，()21221216y y x x n ==，由题可知，121212y y x x ⨯=-，即2412n n -=-，解得8n =，此时满足0>，8,0. 故直线AB恒过x轴上的定点()。

2019--2020学年江苏省八年级上册数学(苏科版)期末考试《勾股定理》试题分类——解答题(2)

2019--2020学年江苏省八年级上册数学(苏科版)期末考试《勾股定理》试题分类——解答题(2)

2019--2020学年江苏省八年级上册数学（苏科版）期末考试《勾股定理》试题分类——解答题（2）1．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，CD，DA＝5，∠B＝90°，求∠BCD的度数．2．如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC＝90°，CD ＝6m，AD＝8m，BC＝24m，AB＝26m，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？3．如图1，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5米．（1）这个云梯的底端离墙多远？（2）如图2，如果梯子的顶端下滑了8m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？4．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝5．点D为AC上一点，且BD＝4，CD＝3．（1）求证：BD⊥AC；（2）求AB的长．5．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB ＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的长．6．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？7．已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．（1）求CD的长．（2）求AB的长．8．如图，四边形ABCD中，AB＝10，BC＝13，CD＝12，AD＝5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积．9．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC⊥BE．10．已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．（1）如图，若E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF．求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．11．已知某校有一块四边形空地ABCD如图，现计划在该空地上种草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC ＝12m，CD＝13m，DA＝4m．若种每平方米草皮需100元，问需投入多少元？12．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）13．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．（1）在图（1）中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；（2）在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，；这个三角形的面积为．14．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当t＝2秒时，求PQ的长；（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．15．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．16．如图，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AD＝24cm，BC+CD＝34cm，C是直线l上一动点，请你探索当C离B多远时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？17．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD＝4米，CD＝3米，∠ADC＝90°，AB＝13米，BC＝12米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？18．如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E 的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？19．如图，四边形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，DA＝13cm，且∠ABC＝90°，求四边形ABCD的面积．20．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．21．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10．22．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时．一辆“小汽车”在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方50米C 处，过了6秒后，测得“小汽车”位置B与“车速检测仪A”之间的距离为130米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由．23．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）2019--2020学年江苏省八年级上册数学（苏科版）期末考试《勾股定理》试题分类——解答题（2）参考答案与试题解析一．解答题（共23小题）1．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，∠B＝90°，∴由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝32+32＝18，∵CD，DA＝5，∴CD2+AC2＝DA2，∴∠ACD＝90°，∵在Rt△ABC中，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝45°+90°＝135°．2．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接AC，在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝62+82＝102，在△ABC中，AB2＝262，BC2＝242，而102+242＝262，即AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD•AC•BCAD•CD，10×248×6＝96．所以需费用96×200＝19200（元）．3．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意可得OA＝15米，AB﹣OB＝5米，由勾股定理OA2+OB2＝AB2，可得：152+OB2＝（5+OB）2解得：OB＝20，答：这个云梯的底端离墙20米远；（2）由（1）可得：AB＝20+5＝25米，根据题意可得：CO＝7米，CD＝AB＝25米，由勾股定理OC2+OD2＝CD2，可得：，∴BD＝24﹣20＝4米，答：梯子的底部在水平方向滑动了4米．4．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵CD＝3，BC＝5，BD＝4，∴CD2+BD2＝9+16＝25＝BC2，∴△BCD是直角三角形，∴BD⊥AC；（2）解：设AD＝x，则AC＝x+3．∵AB＝AC，∴AB＝x+3．∵∠BDC＝90°，∴∠ADB＝90°，∴AB2＝AD2+BD2，即（x+3）2＝x2+42，解得：x，∴AB3．5．【答案】见试题解答内容【解答】解：设AC＝x，∵AC+AB＝10，∴AB＝10﹣x．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，即x2+32＝（10﹣x）2．解得：x＝4.55，即AC＝4.55．6．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵42+32＝52，52+122＝132，即AB2+BC2＝AC2，故∠B＝90°，同理，∠ACD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD3×45×12＝6+30＝36．答：这块钢板的面积等于36．7．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，在Rt△BCD中，∵BC＝15，DB＝9，∴CD12；（2）在Rt△ACD中，∵AC＝20，CD＝12，∴AD16，则AB＝AD+DB＝16+9＝25．8．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接AC，过点C作CE⊥AB于点E．∵AD⊥CD，∴∠D＝90°．在Rt△ACD中，AD＝5，CD＝12，AC13．∵BC＝13，∴AC＝BC．∵CE⊥AB，AB＝10，∴AE＝BEAB10＝5．在Rt△CAE中，CE12．∴S四边形ABCD＝S△DAC+S△ABC5×1210×12＝30+60＝90．9．【答案】见试题解答内容【解答】（1）△ABE≌△ACD．证明：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°．∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE．即∠BAE＝∠CAD，在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD；（2）证明∵△ABE≌△ACD，∴∠ACD＝∠ABE＝45°，又∵∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，∴DC⊥BE．10．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）证明：连接AD∵AB＝AC，∠A＝90°，D为BC中点∴ADBD＝CD且AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD＝45°在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS）∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF∵∠BDE+∠ADE＝90°∴∠ADF+∠ADE＝90°即：∠EDF＝90°∴△EDF为等腰直角三角形．（2）解：仍为等腰直角三角形．理由：∵△AFD≌△BED∴DF＝DE，∠ADF＝∠BDE∵∠ADF+∠FDB＝90°∴∠BDE+∠FDB＝90°即：∠EDF＝90°∴△EDF为等腰直角三角形．11．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝3m，DA＝4m，∴DB5（m），∵BC＝12m，CD＝13m，∴BD2+BC2＝DC2，∴△DBC是直角三角形，∴S△ABD+S△DBC3×45×12＝36（m2），∴需投入总资金为：100×36＝3600（元）．12．【答案】见试题解答内容【解答】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝13米，AC＝5米，∴AB12（米），∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，∴CD＝13﹣0.5×10＝8（米），∴AD（米），∴BD＝AB﹣AD＝12（米），答：船向岸边移动了（12）米．13．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）面积为10的正方形的边长为，∵，∴如图1所示的四边形即为所求；（2）∵，，∴如图2所示的三角形即为所求这个三角形的面积2×2＝2；故答案为：2．14．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm，BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，∵∠B＝90°，PQ2（cm）；（2）解：根据题意得：BQ＝BP，即2t＝8﹣t，解得：t；即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形；（3）解：分三种情况：①当CQ＝BQ时，如图1所示：则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝5，∴BC+CQ＝11，∴t＝11÷2＝5.5秒．②当CQ＝BC时，如图2所示：则BC+CQ＝12∴t＝12÷2＝6秒．③当BC＝BQ时，如图3所示：过B点作BE⊥AC于点E，则BE4.8（cm）∴CE3.6cm，∴CQ＝2CE＝7.2cm，∴BC+CQ＝13.2cm，∴t＝13.2÷2＝6.6秒．由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形．15．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵BQ＝2×2＝4（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣2×1＝14（cm），∠B＝90°，∴PQ（cm）；（2）BQ＝2t，BP＝16﹣t，根据题意得：2t＝16﹣t，解得：t，即出发秒钟后，△PQB能形成等腰三角形；（3）①当CQ＝BQ时，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10，∴BC+CQ＝22，∴t＝22÷2＝11秒．②当CQ＝BC时，如图2所示，则BC+CQ＝24，∴t＝24÷2＝12秒．③当BC＝BQ时，如图3所示，过B点作BE⊥AC于点E，则BE，∴CE，∴CQ＝2CE＝14.4，∴BC+CQ＝26.4，∴t＝26.4÷2＝13.2秒．综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．16．【答案】见试题解答内容【解答】解：设BC＝xcm时，三角形ACD是以DC为斜边的直角三角形，∵BC+CD＝34，∴CD＝34﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝36+x2，在Rt△ACD中，AC2＝CD2﹣AD2＝（34﹣x）2﹣576，∴36+x2＝（34﹣x）2﹣576，∴当C离点B8cm时，△ACD是以DC为斜边的直角三角形．17．【答案】见试题解答内容【解答】解：连结AC，在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝4米，CD＝3米，由勾股定理得：AC5（米），∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，该区域面积S＝S△ACB﹣S△ADC5×123×4＝24（平方米），即铺满这块空地共需花费＝24×100＝2400元．18．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵使得C，D两村到E站的距离相等．∴DE＝CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，∴AE2+AD2＝BE2+BC2，设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x），∵DA＝15km，CB＝10km，∴x2+152＝（25﹣x）2+102，解得：x＝10，∴AE＝10km，∴收购站E应建在离A点10km处．19．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接AC，∵∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，∵CD＝12cm，DA＝13cm，AC2+CD2＝52+122＝169＝132＝DA2，∴△ADC为直角三角形，∴S四边形ABCD＝S△ACD﹣S△ABCAC×CDAB×BC5×124×3＝30﹣6＝24．故四边形ABCD的面积为24cm2．20．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图①所示：（2）如图②③所示．21．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）三边分别为：3、4、5 （如图1）；（2）三边分别为：、2、（如图2）；（3）画一个边长为的正方形（如图3）．22．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意知，AB＝130米，AC＝50米，且在Rt△ABC中，AB是斜边，根据勾股定理AB2＝BC2+AC2，可以求得：BC＝120米＝0.12千米，且6秒时，所以速度为72千米/时，故该小汽车超速．答：该小汽车超速了，平均速度大于70千米/时．23．【答案】见试题解答内容【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；据勾股定理可得：（m）∴小汽车的速度为v20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．。

河北省石家庄市第二中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学(理)试题

河北省石家庄市第二中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学(理)试题

河北省石家庄市第二中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图所示的韦恩图中，全集U=R ，若{|02}A x x =≤<，{}1B x x =，则阴影部分表示的集合为（ ）．A ．{}|1xx> B ．{|12}x x << C ．{}2x xD ．{|2}x x ≥2．复平面内，复数2(1)对应的点位于 （ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知命题:p 对任意x R ∈，总有20x >；:"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ∧⌝4．不等式113x <+<的解集为（ ） A ．(0,2) B ．(2,0)(2,4)-⋃ C ．(4,0)-D ．(4,2)(0,2)--⋃5．直线1sin 70{2cos70x t y t =+=+(t 为参数)的倾斜角为 ( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°6．若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是A ．B ．C ．D ．7．设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为 （ ） A ．14-B ．4C ．2D ．12-8．设f(x)＝()2,01,0x a x x a x x ⎧-≤⎪⎨++>⎪⎩若f(0)是f(x)的最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－1，2] B ．[－1，0] C ．[1，2]D ．[0，2]9．已知实数a >0，且a ≠1，函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上是减函数，又1()x xg x a a =+，则下列选项正确的( ) A ．g (－2)<g (1)<g (3) B ．g (1)<g (－2)<g (3)C ．g (3)<g (－2)<g (1)D ．g (－2)<g (3)<g (1)10．已知函数2,1()1,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若1x ∃、2R x ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则a 的取值范围是（ ）． A ．2a >B ．2a <C ．22a -<<D ．2a <-或2a >11．将函数[]()20,1y x x x =-+∈图像绕点（1,0）顺时针旋转θ角02πθ⎛⎫<<⎪⎝⎭得到曲线C ，若曲线C 仍是一个函数的图像，则θ的最大值为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π 12．已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点()1212,x x x x <则（）A ．()()1210,2f x f x -B ．()()1210,2f x f x <<-C ．()()1210,2f x f x ><-D ．()()1210,2f x f x >>-二、填空题13．若关于x 的不等式24x x a -++<的解集是空集，则实数a 的取值范围是__________. 14．直线12y x b =+是曲线的一条切线，则实数b = ．15．已知()f x 是定义在R 上的奇函数.当0x >时,2()6f x x x =-,则不等式()f x x >的解集为___________.16．设过曲线()xf x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总有过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题17．设函数()|1(0)f x x x a a =++- （1）若2a =时，解不等式()4f x ≤；（2）若不等式()4f x ≤的对一切[,2]x a ∈恒成立，求实数a 的取值范围.18．某企业为了更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系，随机抽取了180件产品进行分析，其中设备改造前的合格品有36件，不合格品有49件，设备改造后生产的合格品有65件，不合格品有30件．根据所给数据：(1)写出2×2列联表； (2)判断产品是否合格与设备改造是否有关，说明理由．附：K 2＝，数据支持：（65×49－36×30）2=4431025 101×79×85×95=6443082519．在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=，直线l 的参数方程为:22{4x t y =-+=-（t 为参数），两曲线相交于,M N 两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若(2,4)P --，线段MN 的中点为Q ，求P 点到Q 点距离PQ20．已知定义域为R 的函数()122x x b f x a+-+=+是奇函数．（1）求,a b 的值；（2）已知()f x 在定义域上为减函数，若对任意的t R ∈，不等式()()2220(f t t f t k k -+-<为常数）恒成立,求k 的取值范围.21．设3211()232f x x x ax =-++ （1）若()f x 在2(,)3+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围；（Ⅱ）当2o a <<时，()f x 在[1,4]的最小值为163-，求()f x 在该区间上的最大值22．已知函数2()ln 1af x x x =++1）求()f x 的单调区间 2）若0x >时，ln 11x ax x >-+恒成立，求a 的范围参考答案1．D 【解析】由题设提供的韦恩图可知{|0R C A x x =<或2}x ≥，故图形中阴影部分表示的集合是(){|2}R C A B x x ⋂=≥，应选答案D ．2．B 【解析】由题设可知()21+2=-+，故依据复数的实部与虚部的符号可知该复数对应的点位于第二象限，应选答案B 。

第03讲 有理数加减法-2021-2022学年七年级数学上学期期中期末考试满分全攻略(人教版)解析版

第03讲 有理数加减法-2021-2022学年七年级数学上学期期中期末考试满分全攻略(人教版)解析版

第03讲有理数加减法考点定位精讲讲练一、有理数的加法1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．要点：利用法则进行加法运算的步骤：(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．3.运算律：有理数加法运算律加法交换律文字语言两个数相加，交换加数的位置，和不变符号语言a+b＝b+a加法结合律文字语言三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变符号语言(a+b)+c＝a+(b+c)要点：交换加数的位置时，不要忘记符号．二、有理数的减法1.定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．要点：（1）任意两个数都可以进行减法运算．（2）几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．要点：将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：三、有理数加减混合运算将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.考点一：有理数的加法运算例题1．计算：(1)(+20)+(+12)； (2)； (3)(+2)+(-11)；()a b a b-=+-1223⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4)(-3.4)+(+4.3)； (5)(-2.9)+(+2.9)； (6)(-5)+0．【答案与解析】（1）（2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条;（3）（4）属于同一类，用的是加法法则的第二条；（5）用的是第二条：互为相反数的两个数相加得0；（6）用的是法则的第三条．(1)(+20)+(+12)＝+(20+12)＝+32＝32； (2)(3)(+2)+(-11)＝-(11-2)＝-9 (4)(-3.4)+(+4.3)＝+(4.3-3.4)＝0.9 (5)(-2.9)+(+2.9)＝0； (6)(-5)+0＝-5．【总结升华】绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号，再计算绝对值． 【变式1】计算： 【答案】【变式2】计算：（1） (+10)+(-11)； （2） 【答案】（1） (+10)+(-11)=﹣(11-10)=﹣1；（2）考点二：有理数的减法运算例题1． 计算：(1)(-32)-(+5)； (2)(+2)-(-25)．【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算． 【答案与解析】法一：12121123236⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭113343⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111113333433412⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12-1+-23⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212341-1+-=-1+=-1+=-22323666法二：（1）原式=-32-5=-32+（-5）=-37；（2）原式=2+25=27【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.【变式】若（ ）﹣（﹣2）=3，则括号内的数是（ ） A ． ﹣1 B ． 1 C ．5 D ．﹣ 5【答案】B ．根据题意得：3+（﹣2）=1，则1﹣（﹣2）=3.考点三：有理数的加减混合运算例题1．计算，能用简便方法的用简便方法计算.（1） 26-18+5-16 ； （2）（+7）+（-21）+（-7）+（+21） (3)(4)（5） （6） 【答案与解析】 （1） 26-18+5-16=(+26)+(-18)+5+(-16) →统一成加法 =(26+5)+[(-18)+(-16)] →符号相同的数先加 = 31+(-34)=-3（2）（+7）+（-21）+（-7）+（+21）=[ (+7)+(-7) ] +[(-21)+(+21)] →互为相反数的两数先加=0⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111-1+1++7+-2+-832432113.587(5)5(7)3( 1.587)24⎛⎫⎛⎫--+-++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭132.25321.87584+-+1355354624618-++-（3）→同分母的数先加（4） →统一成加法→整数、小数、分数分别加（5） →统一同一形式（小数或分数），把可凑整的放一起（6）→整数，分数分别加【总结升华】在进行加减混合的运算时，(1)先将各式中的减法运算转化为加法运算；（2）观察各加数之间的关系，再运用“技巧”适当交换加数的位置，注意交换时各加数的带着符号一起交换．⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111-1+1++7+-2+-832432⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦21111-1+-2+1+-8+733224()()⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1-4+-7+74=3-34113.587(5)5(7)3( 1.587)24⎛⎫⎛⎫--+-++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113.5875573( 1.587)24⎛⎫⎛⎫=++-++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11[3.587( 1.587)](57)5324⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+++-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦312128544⎛⎫=++-= ⎪⎝⎭132.25321.87584+-+(2.25 2.75)(3.125 1.875)=-++0.55 4.5=-+=1355354624618-++-1355354624618=--++++--1355(3546)()24618=-++-+-++-18273010036-++-=+2936=【变式】用简便方法计算：(1)(-2.4)+(-4.2)+(-3.8)+(+3.1)+(+0.8)+(-0.7) (2) 2)324(83)65()851(43-++-+-+ 【答案】 (1) 原式=[(-3.8)+ (-4.2)]+[ (-2.4)+ (-0.7) +(+3.1)]+(+0.8)=-8+0.8=-7.2(2)原式=（2-1-4）+（34-58-56+38-23）=-3+[68-58+38+(-56-46)]=-3-1=-4考点四：有理数的加减混合运算在实际中的应用例题1．邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行2km 到达A 村，继续向南骑行3km 到达B 村，然后向北骑行9km 到C 村，最后回到邮局．（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向，用1cm 表示1km ，画出数轴，并在该数轴上表示出A 、B 、C 三个村庄的位置； （2）C 村离A 村有多远？ （3）邮递员一共骑了多少千米？【思路点拨】（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向用1cm 表示1km ，按此画出数轴即可；（2）可直接算出来，也可从数轴上找出这段距离；（3）邮递员一共骑了多少千米？即数轴上这些点的绝对值之和． 【答案与解析】解：（1）依题意得，数轴为：；（2）依题意得：C 点与A 点的距离为：2+4=6（千米）； （3）依题意得邮递员骑了：2+3+9+4=18（千米）．【总结升华】本题主要考查了学生有实际生活中对数轴的应用能力，只要掌握数轴的基本知识即可．【变式1】华英中学七年级(14)班的学生分成五组进行答题游戏，每组的基本分为100分，答对一题加50分，答错一题扣50分，游戏结束后各组的得分如下表：第1组第2组第3组第4组第5组100 150 350 -400 -100(1)第一名超过第二名多少分?(2)第一名超过第五名多少分?【答案】由表看出：第一名350分，第二名150分，第五名-400分．(1) 350-150＝200(分)(2) 350-(-400)＝350+400＝750(分)答：第一名超过第二名200分；第一名超过第五名750分．【变式2】某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克)如下：197，202，197，203，200，196，201，198．计算出售的粮食总共多少千克?【答案】法一：以200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这8个数的差的累计是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)＝-6200×8+(-6)＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．法二：197+202+197+203+200+196+201+198＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．考点五：数学思想在本章中的应用例题1．（1）数形结合思想：有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，-a，1的大小关系．A．-a＜a＜1 B．1＜-a＜a C．1＜-a＜a D．a＜1＜-a（2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y的值．（3）转化思想：计算：31 35()147⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭【答案与解析】解：（1）将-a在数轴上标出，如图所示，得到a＜1＜-a，所以大小关系为：a＜1＜-a．所以正确选项为：D．（2）因为| x|＝5，所以x为-5或5因为|y|＝3，所以y为3或-3．当x＝5，y＝3时，x-y＝5-3＝2当x＝5，y＝-3时，x-y＝5-(-3)＝8当x＝-5，y＝3时，x-y＝-5-3＝-8当x＝-5，y＝-3时，x-y＝-5-(-3)＝-2故（x-y）的值为±2或±8（3）原式=331 35(7)3577246 14142⎛⎫--⨯-=⨯+⨯=⎪⎝⎭【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”．【变式】若a是有理数，|a|-a能不能是负数?为什么?【答案】解：当a＞0时，|a|-a＝a-a＝0；当a＝0时，|a|-a＝0-0＝0；当a＜0时，|a|-a＝-a-a＝-2a＞0．所以，对于任何有理数a，|a|-a都不会是负数．考点六：规律探索例题1．将1，12-，13，14-，15，16-，…，按一定规律排列如下：请你写出第20行从左至右第10个数是________．【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律．【答案】1 200 -【解析】认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，……，所以第20行有20个数，从第1行到第20行共有1+2+3+…+20＝210个数，所以第20行最后一个数的绝对值应是1210；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是1210-，以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是1 200 -．【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并将规律表示出来．一、单选题1．（2021·贵州七年级期末）如图，a、b是数轴上的两个数，则b a-一定是（）A．负数B．0 C．整数D．正数【答案】D【分析】由图可知b＞0，a＜0，且|a|＞|b|，再根据有理数的加减法法则进行判断．【详解】解：由数轴得：b＞0，a＜0，且|a|＞|b|，∴b-a＞0，故选：D．【点睛】本题主要考查正数和负数，数轴等知识点，解答此题，需要用到绝对值不相等的异号两数相加的法则：取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．2．（2021·全国七年级期中）下列关于有理数的加法说法错误的是（）A．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加B．异号两数相加，绝对值相等时和为0C．互为相反数的两数相加得0D．绝对值不等时，取绝对值较小的数的符号作为和的符号【答案】D【分析】直接利用有理数的加法法则逐一判断即可；【详解】解：A 、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，正确，不合题意； B 、异号两数相加，绝对值相等时和为0，正确，不合题意； C 、互为相反数的两数相加得0，正确，不合题意；D 、绝对值不等时，取绝对值较小的数的符号作为和的符号，不正确，符合题意，应该改为：绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号作为和的符号． 故选择：D ．【点睛】本题主要考查有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，异号两数相加，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号作为和的符号，并用较大的数的绝对值减去较小数的绝对值，互为相反数的两数相加得0．熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键．3．（2021·湖北七年级期中）在一家水果店，小明买了1斤苹果，4斤西瓜，2斤橙子，1斤葡萄，共付27.6元；小惠买了2斤苹果，6斤西瓜，2斤橙子，2斤葡萄，共付32.2元．则买1斤西瓜和1斤橙子需付（ ） A ．16元 B ．14.8元 C ．11.5元 D ．10.7元【答案】C【分析】先用小惠买水果的钱减去小明买水果的钱得到1斤苹果，2斤西瓜，1斤葡萄的钱，再用小明买水果的钱减去1斤苹果，2斤西瓜，1斤葡萄的钱得到2斤西瓜和2斤橙子的钱，最后除以2即可得出答案.【详解】由题意可得：()27.632.227.62⎡⎤÷⎣⎦﹣﹣()27.64.62=÷﹣ 232=÷ 11.5=（元）．故买1斤西瓜和1斤橙子需付11.5元． 故选：C ．【点睛】本题考查了有理数的加减，解题的关键是求出1斤苹果，2斤西瓜，1斤葡萄的钱. 4．（2021·陕西七年级期中）某水库的水位将80米作为标准水位，水位为85.3米记为 5.3+米，则水位为76.8米应记为（ ） A ．76.8+米 B ．76.8-米C ． 3.2+米D ． 3.2-米【答案】D【分析】根据有理数的减法计算，互为相反意义的量的表示方法和正负数的表示方法即可求得 【详解】76.880 3.2-=- ∴水位为76.8米应记为 3.2-米故选D【点睛】本题考查了有理数的减法运算，互为相反意义的量的表示方法和正负数的表示方法，理解题意是解题的关键．5．（2021·重庆酉阳·七年级期末）我县某山区学校去年秋季期末考试时最高气温为6℃，最低气温为2-℃，那么这天的最高气温比最低气温高（ ）A ．-10℃B ．-8℃C ．8℃D ．10℃ 【答案】C 【分析】依据题意列出算式，然后根据减法法则计算即可．【详解】解：()62628--=+=℃.故选C ．【点睛】本题主要考查了有理数的减法在实际生活中的应用，掌握有理数的减法法则是解题的关键．6．（2021·北京市昌平区第二中学七年级月考）如果230x y -++=， 那么x y -的值为（ ）A ．1B ．-1C ．5D ．-5【答案】C【分析】根据非负数的性质求出x y 、的值，再计算即可．【详解】解：∵230x y -++=，∴203=0x y -=+，，即2x =，=3y -；2(3)5x y -=--=， 故选：C ．【点睛】本题考查了绝对值的非负性，解题关键是利用非负数的性质求出x y 、的值．二、填空题7．（2021·河北石家庄·七年级期中）黄河铁路大桥是一座钢架结构，0℃时，此桥长400米，气温每升高或降低1℃，钢桥伸长或缩短0.011米，某天，技术人员对桥进行实际测量，发现桥短了0.088米，据此可知当天的气温是_____℃．【答案】﹣8【分析】先计算钢桥缩短了多少个0.011米，再根据其对应关系进行计算即可．【详解】解：∵气温每升高或降低1℃，钢桥伸长或缩短0.011米，又∵桥短了0.088米，0.0880.0118÷=∴气温降低了8℃，∴当天的气温是0-8=-8（℃）故答案为：-8．【点睛】本题考查了正负数的应用，解决本题的关键是读懂题意，理解桥长与温度之间的变化关系，抓住其中的关键词，其中气温升高对应钢桥伸长，气温降低对应钢桥缩短，数量上是1℃对应0.011，本题较基础，考查了学生审题以及对有理数的应用的基本功．8．（2021·全国）绝对值不相等的异号两数相加，取____________数的符号，并用___________减去____________．【答案】绝对值较大较大的绝对值较小的绝对值9．（2021·黑龙江七年级期末）我县12月份某天早晨，气温为-23℃，中午上升了5℃，晚上又下降了6℃，则晚上气温为________℃【答案】-24【分析】根据题意列式计算即可求解．【详解】依题意可得-23+5-6=-24故答案为：-24．【点睛】此题主要考查有理数的加减运算，解题的关键是根据题意列式求解．10．（2021·辽宁）计算：15322⎛⎫⎛⎫--+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭____________．【答案】1【分析】根据有理数的加减运算法则计算即可．【详解】解：15 322⎛⎫⎛⎫--+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=15 3+22-=3﹣2 =1．故答案为：1．【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算法则和运算顺序是解答的关键．11．（2020·河南洛阳·）绝对值大于1.5并且小于3的整数之和是_________．【答案】0【分析】绝对值大于1.5并且小于3的整数的绝对值等于2，据此求出满足题意的整数有哪些，再相加即可．【详解】解：∵绝对值大于1.5并且小于3的整数的绝对值等于2，∴绝对值大于1.5并且小于3的整数是-2，2．∴-2+2=0，故答案为：0．【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法和有理数的加法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．12．（2021·浙江）计算：12345678910112013201420152016--++--++--+⋅⋅⋅+--+=______．【答案】0【分析】原式四项四项结合，计算即可得到结果．【详解】解：1-2-3+4+5-6-7+8+…+2013-2014-2015+2016=（1-2-3+4）+（5-6-7+8）+…+（2009-2010-2011+2012）+（2013-2014-2015+2016）=0．故答案为：0．【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（2021·江苏南京一中七年级月考）阅读材料：我们在求1+2+3+…+99+100的值时可以用如下方法：我们设S＝1+2+3+…+99+100①，那么S＝100+99+…+3+2+1②．然后，我们由①+②，得2S＝（100+1）+（99+2）+…+（98+3）+（99+2）+（100+1）＝100×101．得S＝100×101÷2＝5050．依据上述方法，求5+10+15+…+195+200的值为_______．【答案】4100【分析】根据阅读材料的求和方法，即可求解．【详解】解：设S ＝5+10+15+…+195+200，那么S ＝200+195+190+…+10+5，则2S ＝（5+200）+（10+195）+（15+190）+…+（195+10）+（200+5）＝205×40， ∴S ＝205×40÷2＝4100，故答案为：4100． 【点睛】本题主要考查有理数求和，理解倒序相加求和法，是解题的关键．14．（2021·辽宁大连·七年级期末）我市一月某天早上气温为-6℃，中午上升了9℃，这天中午的温度是_______℃．【答案】3 【分析】根据题意，将早上的气温加上上升了的温度即可求得答案．【详解】依题意，693-+=．故答案为3 【点睛】本题考查了有理数的加减运算的实际应用，掌握有理数的加减是解题的关键．15．（2021·全国七年级专题练习）计算：1－（＋2）＋3－（＋4）＋5－（＋6）＋…－（＋2014）＝_________．【答案】﹣1007．【分析】按照数字的顺序，两个分为一组，共1007组，计算后进一步合并即可．【详解】解：原式＝[1﹣（+2）]+[3﹣（+4）]+[5﹣（+6）]+…+[2013﹣（+2014）] ＝﹣1﹣1﹣1﹣…﹣1＝﹣1007．故答案为：﹣1007． 【点睛】此题考查有理数的加减混合运算，掌握运算方法，适当分组是解决问题的关键．16．（2021·北京市昌平区第二中学七年级月考）已知0abc ≠，则b a c a b c ++=__________． 【答案】±3或±1【分析】根据题意可分情况进行求解，即当a 、b 、c 同为正和同为负时，当a 、b 、c 有两正一负和两负一正时，然后进行求解即可．【详解】解：∵0abc ≠，∴当a 、b 、c 同为正时，则有1113b a c a b c++=++=， 当a 、b 、c 同为负时，则有()()1113b a c a b c++=-+-+-=-，当a 、b 、c 有两正一负，则有()1111b a c a b c ++=+-+=； 当a 、b 、c 有两负一正，则有()()1111b a c a b c ++=-+-+=-； 故答案为：3±或±1．【点睛】本题主要考查绝对值的意义、正负数及有理数的加法，熟练掌握绝对值的意义、正负数及有理数的加法是解题的关键．三、解答题17．（2021·全国七年级专题练习）计算下列各式：（1）（﹣1.25）+（+5.25） （2）（﹣7）+（﹣2）【答案】（1）4；（2）-9【分析】（1）根据有理数的加法法则计算，即可解答；（2）根据有理数的加法法则计算，即可解答；【详解】解：（1）（﹣1.25）+（+5.25）=5.25﹣1.25=4；（2）（﹣7）+（﹣2）=﹣（7+2）=﹣9【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．18．（2021·全国七年级专题练习）计算：55754343⎡⎤⎛⎫+--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 【答案】12-【分析】方法1 ：直接根据四则运算法则，先通分算小括号里面的，然后算中括号，最后去括号求解即可；方法2 ：运用去括号法则，先去掉括号，再根据加法的交换律，将同分母的数相加减，得出结果．【详解】方法1 ：原式552120431212⎡⎤⎛⎫=+--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 5514312⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦520141212⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦521412⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 521412=- 612=- 12=-． 方法2 ：55754343⎡⎤⎛⎫+--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦55754343⎡⎤=+--+⎢⎥⎣⎦ 55754343=--+ 57554433=--+ 24=- 12=-． 【点睛】算式有多重括号，如果按照方法一计算需要进行多次通分，完成括号内的运算从而得出结果；方法二通过观察算式的结构，括号内和括号外的数有分母相同的情况，如果去掉括号，就可以通过加法交换律让同分母的数相加减，从而减少通分，达到简算的目的．因此，在进行计算前要先观察算式的结构，不要盲目地去进行运算，但无论哪种方法都需要同学们正确运用有理数加减法运算法则．19．（2021·全国七年级专题练习）用较为简便的方法计算下列各题：（1）1112210833355⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）－8721＋531921－1279＋4221； （3）32115542⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）3195-；（2）-9942；（3）1120 【分析】（1）根据有理数的加法和减法可以解答本题；（2）根据有理数的加法和减法可以解答本题；（3）根据有理数的加法、减法和绝对值的性质可以解答本题；【详解】解：（1）1112 210833355⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++--+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=1112210833355⎛⎫⎛⎫+--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=3 8115 --=3195-；（2）－8721＋531921－1 279＋4221＝(－8721－1279)＋192 (534)2121+＝－10000＋58 ＝－9942；（3）32115542⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=1354 --+-=13 54 -+=11 20【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．20．（2021·河南七年级期中）有10筐白菜，称重后记录如下（单位：kg）： 26.5，22，27，24.5，26，23，23，22.5，24，23.5．（1）如果以每筐25kg为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，这10筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？（2）10筐白菜一共多少千克？【答案】（1）不足8千克；（2）242千克【分析】（1）根据题意，以25kg为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，将10个数据按要求表示出来，并求和即可；（2）根据（1）的结论即可求得．+-++-++-+-+-+-+-【详解】（1）1.5(3)2(0.5)1(2)(2)( 2.5)(1)( 1.5)=+-=-，4.5(12.5)8答：总计不足8千克．（2）由（1）可知总计不足8千克则10筐白菜一共：10258242⨯-=（千克），答：10筐白菜一共242千克．【点睛】本题考查了正负数的实际意义，有理数加减的应用，正确的计算是解题的关键．21．（2021·陕西七年级期中）股民王先生上周星期五买进某公司股票1000股，每股18元，本周该股票的涨跌情况如表（正数表示价格比前一天上涨，负数表示价格比前一天下跌，单位：元，注：股票周末休市）：星期一二三四五每股涨跌+2.8 +2.9 -4.1 +2 -1.5 （1）星期三收盘时，该股票每股多少元？（2）该股票本周内每股的最高价和最低价分别是多少元？（3）到周五收盘，王先生那1000股在这一周的盈亏情况如何？【答案】（1）19.6元；（2）股票星期二价格最高为23.7元，星期三价格最低是19.6元；（3）盈利2100元【分析】（1）根据表格列出算式，即可得到结果；（2）根据表格求出每天的股价，即可得到最高与最低股价；（3）根据题意列出算式，计算即可得到结果．【详解】解：（1）星期三收盘时，该股票每股价格为：18( 2.8)( 2.9)( 4.1)19.6+++++-=元．++=元，（2）星期一该股票的价格是18( 2.8)20.8++=元，星期二该股票的价格是20.8( 2.9)23.7+-=元，星期三该股票的价格是23.7( 4.1)19.6++=元，星期四该股票的价格是19.6(2)21.6+-=元，星期五该股票的价格是21.6( 1.5)20.1所以该股票星期二价格最高为23.7元，星期三价格最低是19.6元．-=元，（3）这一周每股利润20.118 2.1所以王先生那1000股在这一周的盈利1000 2.12100⨯=元．【点睛】此题考查了有理数的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．22．（2021·福建省光泽第一中学七年级开学考试）小明看一本故事书，第一天看了这本书的16，第二天看了42页，这时已看页数和未看页数的比是2：3，这本书一共有多少页？【答案】180页【分析】把这本书的页数看作单位“1”，第一天看了全书的16，第二天看了42页，这时已看了全书的223+，根据分数除法的意义，用42页除以21()236-+，就是这本书的页数．【详解】解：21 42()236÷-+2142()56=÷-74230=÷180=（页)答：这本书一共有180页．【点睛】本题考查了比的应用，解题的关键是把比转化成分数，然后根据分数除法的意义解答．23．（2021·阿荣旗孤山学校七年级期中）2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂每名工人计划每天生产300个医用口罩，一周生产2100个口罩．由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是工人小王某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）：星期一二三四五六日增减产量/个+5 ﹣2 ﹣4 +13 ﹣9 +16 ﹣8 （1）根据记录的数据可知，小王星期五生产口罩个．（2）根据表格记录的数据，求出小王本周实际生产口罩数量．【答案】（1）291；（2）2111个【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到小王星期五生产口罩的数量；（2）根据题意和表格中的数据，可以得到该厂本周生产口罩的数量．【详解】解：（1）小王星期五生产口罩数量为：300﹣9＝291（个），故答案为：291；（2）+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（个），则本周实际生产的数量为：2100+11＝2111（个）答：小王本周实际生产口罩数量为2111个；【点睛】本题考查了正数和负数，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义．。

河北省石家庄市2020版高二下学期期末数学试卷(理科)(I)卷

河北省石家庄市2020版高二下学期期末数学试卷(理科)(I)卷

河北省石家庄市2020版高二下学期期末数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）(2017·徐水模拟) 若（i为虚数单位，a，t∈R），则t+a等于（）A . ﹣1B . 0C . 1D . 22. （2分）“∵四边形ABCD为矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提为（）A . 正方形都是对角线相等的四边形B . 矩形都是对角线相等的四边形C . 等腰梯形都是对角线相等的四边形D . 矩形都是对边平行且相等的四边形3. （2分）已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)等于（）A . 0.6B . 0.4C . 0.3D . 0.24. （2分）(2018·长安模拟) 如图，三行三列的方阵中有9个数（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高一上·延边月考) 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A－BCD，则在几何体A－BCD中，下列结论正确的是（）A . 平面ABD⊥平面ABCB . 平面ADC⊥平面BDCC . 平面ABC⊥平面BDCD . 平面ADC⊥平面ABC6. （2分） (2015高一下·济南期中) 已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图像如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A . A=4B . ω=1C . φ=D . B=47. （2分） (2018高二下·中山月考) 12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变．则不同调整方法的种数是（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高二下·聊城期中) 某市对机动车单双号限行进行了调查，在参加调查的名有车人中有名持反对意见，名无车人中有名持反对意见，在运用这些数据说明“拥有车辆”与“反对机动车单双号限行”是否相关时，用下列哪种方法最有说服力（）A . 平均数与方差B . 回归直线方程C . 独立性检验D . 概率9. （2分）有两张卡片,一张的正反面分别画着老鼠和小鸡,另一张的正反面分别画着老鹰和蛇,现在有两个小孩随机地将两张卡片排在一起放在桌面上,不考虑顺序,则向上的图案是老鹰和小鸡的概率是（）A .B .C .D .10. （2分） (2020高二下·赣县月考) 曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共6分)11. （2分） (2019高三上·宁波期末) 设为虚数单位，给定复数，则的虚部为________；模为________12. （1分） (2018高三上·西宁月考) 已知函数，是函数的一个极值点，则实数 ________．13. （1分）(2019·河北模拟) 在的展开式中，含的项的系数是________．14. （1分） (2019高二下·湖北期中) 已知，若为互质的正整数)，由以上等式，可推测的值，则 ________.15. （1分）(2016·商洛模拟) 从一架钢琴挑出的7个音键中，分别选择3个，4个，5个，6个，7个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同和声数为________（用数字作答）三、解答题 (共6题；共60分)16. （10分） (2020高二上·建瓯月考)（1）设 .①求；②求；③求；（2）求除以9的余数．17. （15分） (2020高二上·深圳月考) 某地为了解居民家庭的月均用电量，通过抽样获得了100户居民家庭在近一年内的月均用电量（单位：度）数据，将这些数据分成9组：，，，并绘制成如下的频率分布直方图．（1）求a的值；（2）请估计这100户居民家庭月均用电量的中位数；（3）若从样本中月均用电量在的居民家庭中随机抽取2户家庭参与调研座谈，求恰有1户居民家庭的月均用电量在的概率．18. （10分）设数列{an}满足：a1=1且an+1=2an+1（n∈N+）．（1）求数列{an}的前n项和Sn；（2）用数学归纳法证明不等式： + +…+ ＜n（n≥2，n∈N+）．19. （10分）已知函数f（x）= ﹣alnx（a∈R）．（1）若f（x）在x=2时取得极值，求a的值；（2）求f（x）的单调区间．20. （10分） (2016高一下·枣阳期中) 已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn ，且满足a3•a4=117，a2+a5=22．（1）求通项an；（2）若数列{bn}满足bn= ，是否存在非零实数c使得{bn}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．21. （5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求函数f（x）的解析式．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共5题；共6分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、解析：三、解答题 (共6题；共60分)答案：16-1、答案：16-2、解析：答案：17-1、答案：17-2、答案：17-3、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：。

河北省石家庄二中2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题 含解析

河北省石家庄二中2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题 含解析

河北省石家庄二中2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|415A x x =-<-<，{}2|4B x x =>，则AB =（ ）A. {}|26x x <<B. {}|36x x -<<C. {}|22x x -<<D. {32x x -<<-或}26x <<【答案】D化简集合,A B ，再求AB ，得到答案.【详解】由题{}|415A x x =-<-<{|36}x x =-<<，{}2|4B x x =>{|2x x =<-或2}x >，则A B ={|32x x -<<-或26}x <<.故选：D.【点睛】本题考查了不等式的解法，集合的交集运算，属于基础题. 2.若复数51iz i-=-，则1z -=（ ） A. 2 B. 8C.10 D. 1【答案】A利用复数的除法法则将复数51iz i-=-化为一般形式，可得出复数1z -的一般形式，进而可利用复数的模长公式可求得1z -.【详解】()()()()51564321112i i i iz i i i i -+-+====+--+，则122z i -=+，因此，1z -==故选：A.【点睛】本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的四则运算，考查计算能力，属于基础题.3.下列各组函数中表示的函数不同的是（ ）A. ()f x x =，()g x =B. ()f x =()g x x =C. ()23f x x x =-，()23g t t t =- D. ()242x f x x -=-，()2g x x =+【答案】D分析各选项中函数()y f x =和()y g x =的定义域和解析式的异同，可得出结论.【详解】对于A 选项，函数()f x x =的定义域为R ，函数()g x =R ，且()g x x =，A 选项中的两个函数是同一个函数；对于B 选项，函数()f x =R ，函数()g x x =的定义域为R ，且()f x x =， B 选项中的两个函数是同一个函数；对于C 选项，函数()23f x x x =-定义域为R ，函数()23g t t t =-的定义域为R ，两个函数对应法则相同，C 选项中的两个函数是同一个函数；对于D 选项，函数()242x f x x -=-的定义域为{}2x x ≠，函数()2g x x =+的定义域为R ，两个函数的定义域不相同， D 选项中的两个函数不是同一函数. 故选：D.【点睛】本题考查函数相等的判断，一般要分析两个函数的定义域和解析式的异同，考查推理能力，属于基础题. 4.若3sin 65x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.2425B. 2425-C.725D. 725-【答案】C利用诱导公式以及二倍角余弦公式可求得所求代数式的值. 【详解】2237cos 2cos 2cos 212sin 123366525x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=--=-⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：C.【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式以及诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题. 5.若函数()cos y x ϕ=-+是R 上的奇函数，则实数ϕ的值可以为（ ） A.52π B.34π C. 54π-D. 3π-【答案】A根据函数()cos y x ϕ=-+是R 上的奇函数可得出ϕ的表达式，利用赋值法可得出结果. 【详解】由于函数()cos y x ϕ=-+是R 上的奇函数，则()2k k Z πϕπ=+∈，当2k =时，52πϕ=. 故选：A.【点睛】本题考查利用余弦型函数的奇偶性求参数，考查计算能力，属于基础题.6.函数240.25()x f x x-+=的部分图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】A先判断函数的奇偶性，再根据特殊函数值即可求出．【详解】因为()240.25x f x x-+=，所以()()f x f x -=，即()f x 为偶函数，排除B ，D. 取0.1x =，()0f x >，排除C. 故选A.【点睛】本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性，以及函数值的变化情况是关键，属于基础题.7.“2a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A求出函数()()xf x x a e =-的极值点，利用该极值点在()0,∞+内求得实数a 取值范围，利用集合的包含关系可得出结论. 【详解】()()x f x x a e =-，则()()1x f x x a e '=-+，令()0f x '=，可得1x a =-.当1x a <-时，()0f x '<；当1x a >-时，()0f x '>. 所以，函数()y f x =在1x a =-处取得极小值.若函数()y f x =在()0,∞+上有极值，则10a ->，1a ∴>.因此，“2a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用导数求函数的极值点，考查计算能力与推理能力，属于中等题. 8.函数()()cos 0f x x ωω=>在20,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上是减函数，那么ω的值可以是（ ） A.12B. 2C. 3D. 4【答案】A 根据函数在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数可以得到半周期满足的不等式，从而可以得到ω的取值范围，故可得正确的选项.【详解】由题意可知函数的最小正周期2T πω=，故223T π≥，所以23ππω≥，即302ω<≤. 故选：A ．【点睛】本题考查三角函数的图像和性质，属于基础题．9.若函数()1,121,14xxx f x a x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩的值域为(),+∞a ，则a 的取值范围为（ ） A. 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 1,14⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B分别求出当1x <，1≥x 对应的值域，再由题意解不等式组114212a a ⎧+≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，即可得出答案.【详解】当1x <时，()1,212xf x ⎛⎫∈+∞⎛ ⎪⎝⎫= ⎪⎭⎭⎝当1≥x 时，()114,4xf x a a a ⎛⎤∈+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ⎥⎝⎦ 函数()f x 的值域为(),+∞a114212a a ⎧+≥⎪⎪∴⎨⎪≤⎪⎩，即11,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故选：B【点睛】本题主要考查了由分段函数的值域求参数的范围，属于中档题. 10.已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩ 00x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】C 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t=，作出()f x的图象，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根，进而可得答案. 【详解】由题意，函数()()3y f f x=-的零点个数，即方程()()3f f x=的实数根个数，设()t f x=，则()3f t=，作出()f x的图象，如图所示，结合图象可知，方程()3f t=有三个实根11t=-，214t=，34t=，则()1f x=-有一个解，()14f x=有一个解，()4f x=有三个解，故方程()()3f f x=有5个解.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程()3f t=的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.11.在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.已知622a⎛∈⎝，1b=，且满足cos cosab C c A abc+=，则cos B的取值范围为（）A.73,124⎛⎤⎥⎝⎦B.13,24⎛⎫⎪⎝⎭C.13,24⎛⎤⎥⎝⎦D.73,124⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D利用正弦定理边角互化思想化简得出1ca=，利用余弦定理化简得出2211cos2aaB+-=，结合62a∈⎝，根据函数()1f x xx=+在3,22⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性可求得cos B的取值范围. 【详解】1b=且cos cosab C c A abc+=，所以cos cosa C c A abc+=，由正弦定理得sin cos cos sin sinA C A C ac B+=，即()()sin sin sin sinac B A C B Bπ=+=-=，0B π<<，sin 0B ∴>，所以，1ac =，则1c a=， 由余弦定理得2222211cos 22a a c ba B ac+-+-==，62a ⎛∈ ⎝，则23,22a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由于双勾函数()1f x x x =+在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 则()()2322f f a f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即22131562a a <+<，所以，73cos 124B <<. 因此，cos B 的取值范围为73,124⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查三角形内角余弦值的取值范围的求解，考查了余弦定理以及正弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题. 12.设函数()2625xmf x xe m x=+-，对任意正实数x ，()0f x ≥恒成立，则m 的取值范围为（ ） A. 20,2e ⎡⎤⎣⎦B. 3290,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. []0,2eD.1250,4e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D()0f x ≥恒成立，223e ,25x x m x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 令22()e 2x x u x =，3(),5v x m x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭利用导数研究函数22()e 2xx u x =的性质，作出(),()y u x y v x ==的图象，考虑曲线与直线相切的情况，得到答案.【详解】()0f x 等价于223e ,25x x m x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 令22()e 2x x u x =，3(),5v x m x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则 221()e 1(4),44x xx u x x e x x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭ 令 ()0u x '=，可得 120, 4.x x ==-则()u x在(,4)-∞-递增，(4,0)-递减，(0,)+∞递增，作出22()e2xxu x=，3()5v x m x⎛⎫=-⎪⎝⎭示意图如图所示：满足题意时,22()e2xxu x=的图象在直线3()5v x m x⎛⎫=-⎪⎝⎭的上方.设曲线22()e2xxu x=与直线3(05v x m x⎛⎫=-⎪⎝⎭相切, 切点坐标为P()()000,0,x y x>则00202235e2e14xxy m xxyxx m⎧⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎩，1251,e4x m==，结合际数图象可得1250,e4m⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选：D【点睛】本题考查了利用导数研究函数的图象和性质，曲线的切线问题，还考查了转化思想，数形结合思想，运算能力，难度较大.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知tan3α=，tan2β=，则()tanαβ-等于________.【答案】17利用两角差的正切公式可求得()tanαβ-的值.【详解】由两角差的正切公式得()tan tan3211tan tan1327tanαβαβαβ--===+⨯-+.故答案为：17.【点睛】本题考查利用两角差的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题.14.如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，小李在山脚处看索道AC ，发现张角0120ABC ∠=；从B 处攀登400米到达D 处，回头看索道AC ，发现张角0150ADC ∠=；从D 处再攀登800米方到达C 处，则索道AC 的长为________米．【答案】40013 【详解】在中，米，，∵，∴，得中，，（米），在中，，，，故答案为米．15.已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递减，则满足()()ln 11f x f ->-的x 的取值范围是_________. 【答案】2(1,)e由()f x 为偶函数，则(ln 1)(|ln 1|)f x f x -=-，(1)(1)f f -=，根据()f x 在区间[)0,+∞上单调递减，得|ln 1|1x -<，解不等式得到x 的取值范围.【详解】因为函数()f x 为偶函数,所以(ln 1)(|ln 1|)f x f x -=-，(1)(1)f f -=， 所以不等式()()ln 11f x f ->-等价于(|ln 1|)(1)f x f ->,又因为函数()f x 在区间[)0,+∞单调递减,所以|ln 1|1x -<，得0ln 2x << 解得21x e <<,所以x 的取值范围是2(1,)e .故答案为：2(1,)e .【点睛】本题考查了函数的奇偶性,单调性以及抽象函数不等式的解法，属于中档题. 16.已知函数()()31f x x ax b =---，x ∈R ，其中a 、b ∈R ，若()f x 存在极值点0x ，且()()10f x f x =，其中10x x ≠，则102x x +=_______.【答案】3根据()00f x '=得出()2031a x =-，再根据()()10f x f x =利用作差因式分解可得出102x x +的值.【详解】()()31f x x ax b =---，()()231f x x a '∴=--，由题意可得()()200310f x x a '=--=，则()2031a x =-，10x x ≠，100x x ∴-≠，()()10f x f x =，()()33110011x ax b x ax b ∴---=---，()()()33101011x x a x x ∴---=-，()()()()()()22101100101111x x x x x x a x x ⎡⎤∴--+--+-=-⎣⎦，()()()()()22211000111131x x x x a x ∴-+--+-==-，()()()()221100111210x x x x ∴-+----=，()()()()1010111210x x x x ∴---⋅-+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()1010230x x x x -+-=，10230x x ∴+-=，即1023x x +=故答案为：3.【点睛】本题考查利用极值点求代数式的值，主要考查因式分解，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.已知函数11()sin 333f x x x =-+. （1）求()f x 图象的对称轴方程；（2）求()f x 的最小值及此时自变量x 的取值集合.【答案】（1）3()2x k k Z ππ=+∈（2）()f x 的最小值为1，此时自变量x 的取值集合为{|6,}2x x k k Z ππ=+∈（1）化简函数()12cos 336f x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，令()136x k k Z ππ-=∈可得解；（2）当1cos 136x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，函数有最小值1，利用整体换元可得x 的取值集合.【详解】解：（1）()111sin 32cos 33336f x x x x π⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭（或2sin 333x π⎛⎫-++ ⎪⎝⎭）.令()136x k k Z ππ-=∈（或()332x k k Z πππ+=+∈）， 解得()32x k k Z ππ=+∈.故()f x 图象的对称轴方程为()32x k k Z ππ=+∈.（2）由（1）可知，()12cos 336f x x π⎛⎫=--+⎪⎝⎭，则()min 2131f x =-⨯+=.此时，1cos 136x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即()1236x k k Z ππ-=∈，解得()62x k k Z ππ=+∈.故()f x 的最小值为1，此时自变量x 的取值集合为{|6,}2x x k k Z ππ=+∈.【点睛】本题主要考查了三角函数的辅助角公式及三角函数的对称轴和最值得求解，用到了整体换元的思想，属于基础题.18.在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin cos sin cos sin b A C c A B ac B += .(1)证明：bc a = ； (2)若13,cos 6c C ==，求AC 边上的高.【答案】（1）见解析（2分析：(1)由sin cos sin cos sin b A C c A B ac B +=，结合正弦定理可得sin sin A c B =，即a bc =； （2）由1cos 6C =，结合余弦定理可得1b =，从而可求得AC 边上的高. 详解：（1）证明：因为sin sin cos sin sin cos sin sin B A C C A B c A B +=， 所以sin cos sin cos sin B C C B c B += ， 所以sin sin A c B = ， 故a bc =.(2)解：因为3,c a bc ==，所以221093,cos 6b a b C b-== 又1cos 6C =，所以22109166b b -=，解得1b =， 所以3,1ac b ===，所以AC 2=. 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 19.已知函数()()()322313202f x ax a a x a x a =-+++≠. （1）当2a =时，求()f x 的零点个数； （2）讨论()f x 的单调性.【答案】（1）1个；（2）答案见解析.（1）将2a =代入函数()y f x =的解析式，利用导数分析函数()y f x =的单调性与极值，利用函数()y f x =的极大值和极小值的符号可得出函数()y f x =的零点个数；（2）求得()()()31f x a x x a '=--，对参数a 分0a <、01a <<、1a =、1a >四种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()y f x =的单调递增区间和单调递减区间. 【详解】（1）当2a =时，()3229122f x x x x =-++，()()()261812612f x x x x x '=-+=--.令()0f x '=，可得11x =，22x =，列表如下：所以，函数()y f x =的单调递增区间为(),1-∞和()2,+∞，单调递减区间为()1,2， 则函数()y f x =的极大值为()17f =，极小值为()26f =，又()121f -=-，由零点存在定理可知，函数()y f x =在区间()1,1-上存在唯一零点， 因此，当2a =时，函数()y f x =只有一个零点； （2）函数()()()322313202f x ax a a x a x a =-+++≠的定义域为R ， ()()()()22331331f x ax a a x a a x x a '=-++=--.①当0a <时，则1a <，令()0f x '<，可得x a <或1x >；令()0f x '>，可得1<<a x . 此时，函数()y f x =的单调递增区间为(),1a ，单调递减区间为(),a -∞和()1,+∞； ②当01a <<时，令()0f x '<，可得1<<a x ；令()0f x '>，可得x a <或1x >. 此时，函数()y f x =的单调递减区间为(),1a ，单调递增区间为(),a -∞和()1,+∞； ③当1a =时，对任意x ∈R ，()0f x '≥，此时，函数()y f x =的单调递增区间为(),-∞+∞，无单调递减区间；④当1a >时，令()0f x '<，可得1x a <<；令()0f x '>，可得1x <或x a >.此时，函数()y f x =的单调递减区间为()1,a ，单调递增区间为(),1-∞和(),a +∞. 综上所述，当0a <时，函数()y f x =的单调递增区间为(),1a ，单调递减区间为(),a -∞和()1,+∞；当01a <<时，函数()y f x =的单调递减区间为(),1a ，单调递增区间为(),a -∞和()1,+∞； 当1a =时，函数()y f x =的单调递增区间为(),-∞+∞，无单调递减区间；当1a >时，函数()y f x =的单调递减区间为()1,a ，单调递增区间为(),1-∞和(),a +∞. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的零点个数，同时也考查了利用导数求解含参函数的单调区间，考查分类讨论思想的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 20.在锐角ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别为,,,a b ccos sin )tan c Bb C a C⋅-=（1）求角A ； (2)若ABC ∆2c ，求实数λ的范围． 【答案】（1）3A π=； （2）122λ<<. （1()sin B C A +=，得tan A =A 可求；(2)2c =，进而得sin sin b B c C λ==，由三角形内角和表示为C 的函数求解即可【详解】（1cos sin tan c B b C a C ⎫-=⎪⎭)sin sin cos cos sin B C B C A -=，所以()sin B C A +=，sin A A =，所以tan A =又A 为锐角，3A π∴=；(2)因为21sin 2S bc A c ==2c =， 所以()1sin sin sin 1122sin sin sin tan 2C CA C bB cC C C C λ++=====+，又2032C ππ<-<，所以62C ππ<<，所以tan C >，所以10tan C <<，故12<2λ< 【点睛】本题考查正弦定理及三角恒等变换，同角三角函数基本关系，熟记公式及定理，准确计算是关键，是中档题 21.已知函数21()ln ().2f x x a x a R =-∈ （1）讨论()f x 的单调性.（2）当1a =-时，32()3f x x <在(1,)+∞上是否恒成立？请说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）当1x >时，2312ln 23x x x +<恒成立.（1）求出函数()y f x =的定义域与导数，对a 分0a ≤和0a >两种情况进行分类讨论，结合导数的符号得出函数的单调区间； （2）构造函数()()3221ln 132g x x x x x =-->，利用导数分析出函数()y g x =在()1,+∞上单调递增，由此得出()()10g x g >=从而得出题中结论成立． 【详解】（1）因为21()ln 2f x x a x =-，定义域为(0,)+∞，所以'()(0)af x x x x=->， 当0a ≤时，'()0f x >，则()f x 在(0,)+∞上单调递增.当0a >时，2'().a x af x x x x-=-=所以当0x <<时，'()0f x <；当x '()0f x >.综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；当0a >时，()f x 的单调递增区间为)+∞，单调递减区间为 （2）当1a =-时，32()3f x x <在(1,)+∞上恒成立，证明如下： 设3221()ln (1)32g x x x x x =-->， 则3222121(1)(21)'()2.x x x x x g x x x x x x---++=--==当1x >时，'()0g x >，()g x 在(1,)+∞上是增函数.从而1()(1)06g x g >=>，即3221ln 032x x x -->，所以2312ln .23x x x +< 故当1x >时，2312ln 23x x x +<恒成立.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，以及利用导数证明不等式，在证明不等式时，要利用导数分析函数的单调性、极值以及最值，结合极值与最值的符号进行证明，考查分类讨论思想与转化与化归思想，属于中等题．22.已知函数()()3222631216f x x a x ax a =-+++.（1）若2a =，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 只有一个零点0x ，且00x <，求a 的取值范围.【答案】（1）单调递减区间为()1,4，单调递增区间为(),1-∞和()4,+∞；（2）117,,282⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）将2a =代入函数()y f x =的解析式，求出()f x '，解不等式()0f x '<、()0f x '>可分别得出函数()y f x =的单调递减区间和单调递增区间；（2）求得函数()y f x =的导数，对2a 和1的大小关系进行分类讨论，利用导数分析函数()y f x =的单调区间和极值，由题意得出关于a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，()322152464f x x x x =-++，定义域为R ，()()()263024614f x x x x x '=-+=--.令()0f x '<，可得14x <<；令()0f x '>，可得1x <或4x >.所以，函数()y f x =的单调递减区间为()1,4，单调递增区间为(),1-∞和()4,+∞； （2）函数()()3222631216f x x a x ax a =-+++的定义域为R ，()()()()2662112612f x x a x a x x a '=-++=--.①当21a =时，即当12a =时，()322664f x x x x =-++， 对任意的x ∈R ，()0f x '≥，则函数()y f x =在(),-∞+∞上单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞，又()040f =>， 此时，函数()y f x =只有一个零点0x ，且00x <； ②当21a >时，列表如下：此时，函数()y f x =的单调递增区间为(),1-∞和()2,a +∞，单调递减区间为()1,2a ，若()y f x =只有一个零点0x ，且00x <，则()()232016028280f a f a a a ⎧=>⎪⎨=-+>⎪⎩，解得72a <， 此时，1722a <<； ②当21a <时，列表如下：此时，函数()y f x =的单调递增区间为(),2a -∞和()1,+∞，单调递减区间为()2,1a ，若()y f x =只有一个零点0x ，且00x <，则()()221166100160f a a f a ⎧=+->⎪⎨=>⎪⎩，解得12a <-或18a >. 此时12a <-或1182a <<. 综上所述，实数a 的取值范围为117,,282⎛⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数的零点，考查计算能力，属于难题.。

2020年河北省石家庄市数学高二第二学期期末调研试题含解析

2020年河北省石家庄市数学高二第二学期期末调研试题含解析

2020年河北省石家庄市数学高二第二学期期末调研试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且(0)(2)P P a ξξ<=>-，则a =（ ） A ．-2B ．2C ．4D ．6 【答案】D【解析】分析：由题意知随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于2x =对称，得到两个概率相等的区间关于2x =对称，得到关于a 的方程，解方程求得a详解：由题随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且(0)(2)P P a ξξ<=>-，则0与2a -关于 2x =对称，则024, 6.a a =-=∴=故选D.点睛：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．2．椭圆22145x y +=的焦点坐标是（ ） A ．()1,0±B ．()3,0±C ．()0,1±D ．()0,3±【答案】C【解析】【分析】从椭圆方程确定焦点所在坐标轴，然后根据222c a b =-求c 的值.【详解】由椭圆方程得：225,4a b ==，所以21c =，又椭圆的焦点在y 上， 所以焦点坐标是()0,1±.【点睛】求椭圆的焦点坐标时，要先确定椭圆是x 轴型还是y 轴型，防止坐标写错.3．下列四个推理中，属于类比推理的是（ ）A ．因为铜、铁、铝、金、银等金属能导电，所以一切金属都能导电B ．一切奇数都不能被2整除，()5021+是奇数，所以()5021+不能被2 整除C ．在数列{}n a 中，111,1n n n a a a a +==+，可以计算出234111,,234a a a ===，所以推出1n a n =D ．若双曲线的焦距是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为2，类似的，若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心率为12【答案】D【解析】 由推理的定义可得A,C 为归纳推理，B 为演绎推理，D 为类比推理.本题选择D 选项.点睛：一是合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．二是在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．4．若函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠无极值点，则（ ） A ．23b ac ≤B ．23b ac ≥C ．23b ac <D ．23b ac >【答案】A【解析】【分析】 先对函数求导，再利用导函数与极值的关系即得解.【详解】由题得2()32f x ax bx c '=++，因为函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠无极值点， 所以2=4120b ac ∆-≤，即23b ac ≤.故选：A【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 5．已知复数86z =+i ，则||z =（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】D【解析】【分析】根据复数的模长公式进行计算即可．【详解】z ＝8+6i ，则z =8﹣6i ，则|z |=10，故选：D ．【点睛】 本题主要考查复数的模长的计算，根据条件求出z 是解决本题的关键．6．若()()201822018012201812...x a a x a x a x x R -=++++∈，则20181222018222a a a ++的值为（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1- 【答案】D【解析】分析：令x=1，可得1=a 1．令x=12，即可求出． 详解：()()201822018012201812...x a a x a x a x x R -=++++∈，令x=1，可得1=0a ．令x=12，可得a 1+12a +222a +…+201820182a =1， ∴12a +222a +…+201820182a =﹣1， 故选：D ．点睛：本题考查了二项式定理的应用、方程的应用，考查了赋值法，考查了推理能力与计算能力，注意0a 的处理，属于易错题．7．函数()3128f x x x =-+的单调增区间是 （ ）A ．()(),2,2,-∞-+∞B ．()2,2-C ．(),2-∞-D ．()2,+∞【答案】A【解析】【分析】求导，并解不等式()0f x '>可得出函数()y f x =的单调递增区间。

石家庄市2020年高二第二学期数学期末监测试题含解析

石家庄市2020年高二第二学期数学期末监测试题含解析

石家庄市2020年高二第二学期数学期末监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数sin 2y x =在,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线斜率为（ ）A ．1B ．1-C ．D 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导，然后代入切点的横坐标，即可求得本题答案. 【详解】由sin 2y x =，得2cos 2y x '=，所以切线斜率2cos 213k π⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题主要考查在曲线上一点的切线斜率，属基础题.2．(1n+的展开式中各项系数之和为243，设()()()2220122111nn n x a a x a x a x =+++++⋅⋅⋅++，则3a =（ ） A ．120 B ．120-C ．45D ．45-【答案】B 【解析】 【分析】先求出n 的值，再根据()()()()22202210111111nn n x a a x a x a x x =+++++⋅⋅⋅=-++⎡⎤⎣⎦++，利用通项公式求出3a 的值. 【详解】令1x =，可得(1n+的展开式中各项系数之和为3243n=，5n ∴=，设()()()()22202210111111nnn xa a x a x a x x =+++++⋅⋅⋅=-++⎡⎤⎣⎦++，则()733101120a C =⋅-=-.故选：B 【点睛】本题考查了二项式定理求多项式的系数和，二项式定理展开式的通项公式，需熟记公式，属于基础题.3．若函数没有零点，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】将问题转化为曲线与直线没有交点，并将函数表示为分段函数的形式，并作出该函数的图象，分析直线的斜率与函数图象每段折线的斜率的大小关系，结合图象得出实数的取值范围。

【详解】因为函数没有零点，所以方程无实根，即函数与的图像无交点，如图所示，则的斜率应满足，故选：A。

河北省石家庄市2020学年高二数学下学期期末考试试题 理

河北省石家庄市2020学年高二数学下学期期末考试试题 理

2020学年度第二学期期末教学质量检测高二理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数z 满足(34)25i z -=，则z =（ ）A ．34i -+B ．34i --C ．34i +D ．34i - 2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0'()0f x =，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值'(0)0f =，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确3.在回归分析中，2R 的值越大，说明残差平方和（ ）A ．越小B ．越大C ．可能大也可能小D ．以上都不对4.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ）A ．62n -B ．82n -C ．62n +D ．82n + 5.如果函数()y f x =的图象如图所示，那么导函数'()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 6.某产品的广告费用x 万元与销售额y 万元的统计数据如下表： 广告费用x （万元） 4 2 3 5销售额y （万元）5026 38m根据以上数据可得回归直线方程$$y bxa =+$，其中9.4b =$，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5万元，则$a，m 的值为（ ） A ．$9.4a=，52m = B ．$9.2a =，54m = C ．$9.1a =，54m = D ．$9.1a =，53m =7.利用数学归纳法证明不等式1111()2321nf n +++⋅⋅⋅+<-*(2,)n n N ≥∈的过程，由n k =到1n k =+时，左边增加了（ ）A ．1项B ．k 项C ．21k -项D ．2k 项8.如图，用K ，1A ，2A 三类不同的元件连接成一个系统.当K 正常工作且1A ，2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K ，1A ，2A 正常工作的概率依次为0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为（ ）A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.5769.设复数(1)(,)z x yi x y R =-+∈，若1z ≤，则y x ≥的概率为（ ）A ．3142π+B ．112π+C ．112π- D ．1142π-10.设函数()y f x =的定义域为{|0}x x >，若对于给定的正数K ，定义函数,()()(),()k K f x K f x f x f x K≤⎧=⎨>⎩，则当函数1()f x x =，1K =时，定积分214()k f x dx ⎰的值为（ ）A ．2ln 22+B ．2ln 21-C ．2ln 2D ．2ln 21+11.已知等差数列{}n a 的第8项是二项式41x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式的常数项，则91113a a -=（ ）A ．23B ．2C ．4D ．612.已知函数()f x 的定义域为R ，'()f x 为()f x 的导函数，且'()()2x f x f x xe -+=，若(0)1f =，则函数'()()f x f x 的取值范围为（ ） A ．[1,0]- B ．[2,0]- C ．[0,1] D ．[0,2] 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知随机变量服从正态分布2(2,)X N σ:，若()0.32P X a <=，则(4)P a X a ≤<-等于 ．14.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）15.63(2x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数是 ．16.已知()y f x =是奇函数，当(0,2)x ∈时，()ln f x x ax =-，（12a >），当(2,0)x ∈-时，()f x 的最小值为1，则a 的值等于 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.复数213(10)5z a i a =+-+，22(25)1z a i a=+--，若12z z +是实数，求实数a 的值.18.某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（2）已知一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率.19.在数列{}n a ，{}n b 中，12a =，14b =，且n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列（*n N ∈）.（1）求2a ，3a ，4a 及2b ，3b ，4b ；（2）根据计算结果，猜想{}n a ，{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明. 20.学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计.其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的60%，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的75%，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人.（1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的22⨯列联表：请问是否可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关？（2）若将频率视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量X .①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数X 的分布列（概率用组合数算式表示）；②求X 的数学期望和方差.（()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）21.已知函数()ln f x x x =，2()2g x x ax =-+-（e 为自然对数的底数，a R ∈）. （1）判断曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与曲线()y g x =的公共点个数；（2）当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若函数()()y f x g x =-有两个零点，求a 的取值范围.请考生在22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点P 的直角坐标为33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为5ρ=，直线l 过点P 且与曲线C 相交于A ，B 两点. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若8AB =，求直线l 的直角坐标方程. [选修4-5：不等式选讲]23.已知函数2()f x ax x a =+-的定义域为[1,1]-. （1）若(0)(1)f f =，解不等式3()14f x ax -<+； （2）若1a ≤，求证：5()4f x ≤.2020学年度期末试题高二数学 理科答案 一、选择题1-5: CAACA 6-10: CDBDD 11、12：CB 二、填空题13. 0.36 14. 660 15. 243 16. 1 三、解答题 17.解：2123(10)5z z a i a +=+-+2(25)1a i a++-- 232[(10)(25)]51a a i a a ⎛⎫=++-+- ⎪+-⎝⎭213(215)(1)(5)a a a i a a -=++--+.∵12z z +是实数， ∴22150a a +-=，解得5a =-或3a =， 由于50a +≠， ∴5a ≠-，故3a =.18.解：（1）设A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1， 故()0.20.20.10.050.55P A =+++=.（2）设B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3， 故()0.10.050.15P B =+=. 又()()P AB P B =， 故()()0.153(|)()()0.5511P AB P B P B A P A P A ====. 因此所求概率为311.19.解：（1）由已知条件得12n n n b a a +=+，211n n n a b b ++=，由此算出26a =，312a =，420a =，29b =，316b =，425b =.（2）由（1）的计算可以猜想(1)n a n n =+，2(1)n b n =+， 下面用数学归纳法证明：①当1n =时，由已知12a =，14b =可得结论成立.②假设当n k =（2k ≥且*k N ∈）时猜想成立，即(1)k a k k =+，2(1)k b k =+. 那么，当1n k =+时，2122(1)(1)k k k a b a k k k +=-=+-+232(1)(2)k k k k =++=++，2222112(1)(2)(2)(1)k k k a k k b k b k ++++===++， 因此当1n k =+时，结论也成立.由①和②和对一切*n N ∈，都有(1)n a n n =+，2(1)n b n =+成立.20.解：（1）由题意可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的22⨯列联表：2K 的观测发传真2300(1201560105)180********k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯16.66710.828≈>，所以可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关.（2）①对教师教学水平和教师管理水平全好评的概率为25，且X 的取值可以是0，1，2，3，4，其中43(0)5P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭；31423(1)55P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 222423(2)55P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；313423(3)55P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；44423(4)55P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， X 的分布列为：②由于24,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭:，则28()455E X =⨯=，2224()415525D X ⎛⎫=⨯⨯-=⎪⎝⎭. 21.解：（1）'()ln 1f x x =+，所以切线斜率'(1)1k f ==. 又(1)0f =，∴曲线在点(1,0)处的切线方程为1y x =-，由221y x ax y x ⎧=-+-⎨=-⎩得2(1)10x a x +-+=. 由22(1)423(1)(3)a a a a a ∆=--=--=+-， 可得当0∆>时，即1a <-或3a >时，有两个公共点； 当0∆=时，即1a =-或3a =时，有一个公共点； 当0∆<时，即13a -<<时，没有公共点. （2）2()()2ln y f x g x x ax x x =-=-++， 由0y =，得2ln a x x x=++， 令2()ln h x x x x =++，则2(1)(2)'()x x h x x -+=. 当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由'()0h x =，得1x =.所以()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,e 上单调递增，因此min ()(1)3h x h ==.由1121h e e e⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，2()1h e e e =++，比较可知1()h h e e ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以，结合函数图象可得，当231a e e <≤++时，函数()()y f x g x =-有两个零点.22.解：（1）由5ρ=，可得225ρ=，得2225x y +=， 即曲线C 的直角坐标方程为2225x y +=.（2）设直线l 的参数方程为3cos 3sin 2x t y t αα=-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）， 将参数方程①代入圆的方程2225x y +=， 得2412(2cos sin )550t t αα-+-=，∴216[9(2cos sin )55]0αα∆=++>，上述方程有两个相异的实数根，设为1t ，2t ，∴128AB t t =-==， 化简有23cos 4sin cos 0ααα+=，解得cos 0α=或3tan 4α=-，从而可得直线l 的直角坐标方程为30x +=或34150x y ++=. 23.解：（1）(0)(1)f f =，即1a a a -=+-，则1a =-， ∴2()1f x x x =-++，∴不等式化为234x x x -+<-+，①当10x -≤<时，不等式化为234x x x -<-+，∴02x -<<； ②当01x ≤≤时，不等式化为234x x x -+<-+， ∴102x ≤<.综上，原不等式的解集为12x x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭. （2）证明：由已知[1,1]x ∈-，∴1x ≤. 又1a ≤，则22()(1)(1)f x a x x a x x =-+≤-+2211x x x x ≤-+=-+2155244x ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭.。

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2020学年河北省石家庄市第二中学高二第二学期期末考试数学试题一、单选题1．已知全集U R =，集合{|23}A x x =-≤<,1{|2,0}x B y y x -==≥，则()U A B ⋂=ð（ ） A ．{|20}x x -≤<B ．1{|2}2x x -≤<C ．1{|0}2x x ≤<D ．{|03}x x ≤<【答案】B【解析】【详解】试题分析：111{|2,0},{|}{|}22x UB y y x B y y B x x -==≥∴=≥∴=<Q ð， 所以()UA B ⋂=ð 1{|2}2x x -≤<． 【考点】集合的交集、补集运算．2．复数4212ii+-+的虚部为（）A ．2B ．2-C ．2iD ．2i -【答案】B【解析】根据复数的运算法则，化简复数42212ii i +=--+，即可得到复数的虚部，得到答案． 【详解】由题意，复数()()()()42124210=21212125i i i ii i i i +--+-==--+-+--， 所以复数4212ii+-+的虚部为2-，故选B ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3．命题“0x ∀>，使是210x x ++>”的否定是（）A ．00x ∃≤，使得20010x x ++≤B ．0x ∀≤，使得210x x ++>.C ．0x >，使得210x x ++>D ．00x ∃>，使得20010x x ++≤【答案】D【解析】根据全称命题与特称命题的关系，准确改写，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题“0x ∀>，使是210x x ++>”的否定为“00x ∃>，使得20010x x ++≤”故选D ．【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．已知tan 3a =，则21cos sin 22a a +=（）A ．25-B ．3C ．3-D ．25【答案】D【解析】根据正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化为齐次式，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，可得222221cos sin cos cos sin 2cos sin cos 2cos sin a a a a a a a a a a++=+=+ 221tan 1321tan 135a a ++===++，故选D ． 【点睛】本题主要考查了正弦的倍角公式，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.6．已知命题p ：若a b >，则22a b >；q ：“1x ≤”是“2230x x +-≤”的必要不充分条件，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ⌝∧ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．()p q ∧⌝【答案】B【解析】试题分析：命题p 为假命题,比如12>-,但221(2)<-,命题q 为真命题,不等式2230x x +-≤的解为31x -≤≤,所以131x x ≤≠>-≤≤,而311x x -≤≤⇒≤,所以“1x ≤”是“2230x x +-≤”的必要不充分条件,由命题,p q 的真假情况,得出()p q ⌝∧为真命题,选B. 【考点】命题真假的判断.【易错点睛】本题主要考查了命题真假的判断以及充分必要条件的判断,属于易错题. 判断一个命题为假命题时,举出一个反例即可,判断为真命题时,要给出足够的理由. 对于命题p ,为假命题,容易判断,对于命题q ,要弄清楚充分条件,必要条件的定义:若,则p 是q 的充分不必要条件,若,q p p p ⇒≠>,则p 是q 的必要不充分条件,再根据复合命题真假的判断,得出()p q ⌝∧为真命题.7．设()f x 在定义在R 上的偶函数，且()()2f x f x =-，若()f x 在区间[]2,3单调递减，则（）A ．()f x 在区间[]3,2--单调递减B ．()f x 在区间[]2,1--单调递增C ．()f x 在区间[]3,4单调递减D ．()f x 在区间[]1,2单调递增【答案】D【解析】根据题设条件得到函数()f x 是以2为周期的周期函数，同时关于1x =对称的偶函数，根据对称性和周期性，即可求解．【详解】由函数()f x 满足()()2f x f x =-，所以()f x 是周期为2的周期函数， 由函数()f x 在区间[]2,3单调递减，可得[]0,1,[2,1]--单调递减，所以B 不正确；由函数()f x 在定义在R 上的偶函数，在区间[]2,3单调递减，可得在区间[]3,2--单调递增，所以A 不正确；又由函数()f x 在定义在R 上的偶函数，则()()f x f x -=-，即()()2f x f x -=+，所以函数()f x 的图象关于1x =对称，可得()f x 在区间[]3,4单调递增，在在区间[]1,2单调递增，所以C 不正确，D 正确， 故选D ． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与对称性的应用，以及函数的周期性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．若1sin 63a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23a π⎛⎫+=⎪⎝⎭（） A ．79-B ．13-C ．13D ．79【答案】A【解析】根据诱导公式和余弦的倍角公式，化简得2cos(2)cos(2)cos[2()]336a a a πππ+=--=--2[12sin ()]6a π=---，即可求解． 【详解】 由题意，可得22cos(2)cos[(2)]cos(2)cos[2()]3336a a a a πππππ+=--+=--=-- 27[12sin ()]69a π=---=-，故选A ．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中合理配凑，以及准确利用诱导公式和余弦的倍角公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9．函数22x y x =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【详解】因为2、4是函数的零点，所以排除B 、C ； 因为1x =-时0y <，所以排除D,故选A10．已知函数()sin f x x x =+，如果()()120f t f t -+-<，则实数t 的取值范围是（） A ．32t >B ．32t <C ．12t >D ．12t <【答案】A【解析】由函数()sin f x x x =+，求得函数的单调性和奇偶性，把不等式()()120f t f t -+-<，转化为12t t -<-，即可求解． 【详解】由函数()sin f x x x =+，可得()1cos 0f x x '=+≥，所以函数()f x 为单调递增函数，又由()sin()(sin )()f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以函数()f x 为奇函数， 因为()()120f t f t -+-<，即()()12(2)f t f t f t -<--=-，所以12t t -<-，解得32t >，故选A ． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数的单调性与函数的奇偶性，合理转化不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数的“新驻点”分别为,,,αβγ那么,,,αβγ的大小关系是 （ ） A ．αβγ>> B ．βγα>> C ．γαβ>> D ．γβα>>【答案】D 【解析】【详解】由已知得到：()1()1g x g x α'==⇒=， 对于函数h （x ）=lnx ，由于h′（x ）= 1x令1()ln r x x x=-，可知r （1）＜0，r （2）＞0，故1＜β＜2 ()sin cos cos sin 0x x x x x ϕ=-=⇒'+=，且3[,]24x x πππγβγβα∈⇒==>⇒>>，选D. 12．设函数()()2ln 2f x x ax a x =---，若不等式()0f x >恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．4ln 214+⎛⎤+ ⎥⎝⎦B ．4ln 214+⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．6ln 34ln 2,126++⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．6ln 34ln 2,126++⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】求出函数的定义域、化简不等式，构造新函数，结合函数的图象，从而可得a 的范围，得到答案． 【详解】由题意，函数()()2ln 2f x x ax a x =---的定义域为(0,)+∞，不等式()0f x >，即()2ln 20x ax a x --->，即()2ln 2x ax a x >+-，两边除以x，可得ln(1)2xa xx>+-，又由直线(1)2y a x=+-恒过定点(1,2)--，若不等式()0f x>恰有两个整数解，即函数ln xyx=图象有2个横坐标为整数的点落在直线(1)2y a x=+-的上方，由图象可知，这2个点为(1,0),(2,0)，可得(2)0,(3)0f f>≤，即()()ln24220ln39220a aa a⎧--->⎪⎨---≤⎪⎩，解得6ln34ln2126a++≤<，即实数a的取值范围是6ln34ln2,126++⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选D．【点睛】本题主要考查了函数的零点的综合应用，其中解答中把不等式的解，转化为函数的图象的关系，合理得出不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．二、填空题13．121(1)2x x dx-⎰= .【答案】14π+【解析】21x-221x y+=（y≥0），∴12(1)x dx-⎰表示的是上半圆在第一象限的部分的面积，其值等于4π，121111)|244x dx x==⎰，所以121(1)2x x dx-⎰=12(1)x dx-⎰+111)244x dxπ=+⎰=14π+.【考点】定积分.14．若函数()1,03,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则不等式()13f x ≥的解集为______________.【答案】{}|13x x -≤≤【解析】分类讨论，分别求解不等式，即可求得不等式的解集，得到答案． 【详解】由题意，当0x >时，令113x ≥，解得03x <≤，当0x ≤时，令133x ≥，解得10x -≤≤，所以不等式()13f x ≥的解集为{}|13x x -≤≤．【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，以及指数函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 15．已知24sin 225θ=，02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_______________.【答案】75【解析】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，求得249(cos sin )25θθ+=，再由两角差的余弦函数的公式，即可求解． 【详解】 由24sin 225θ=，即242sin cos 25θθ=， 则2222449(cos sin )cos 2sin cos sin 12525θθθθθθ+=++=+=， 又由02πθ<<，所以cos 0,sin 0θθ>>，7cos()cos sin 45πθθθ-=+=．【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及正弦的倍角公式和两角差的余弦公式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16．已知函数()22f x x x a =++，()1g x x=-，若存在两切点()()11,A x f x ，()()22,B x g x ，()120,0x x <>，使得直线AB 与函数()y f x =和()y g x =的图象均相切，则实数a 的取值范围是_________.【答案】11,8⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】利用导数求得点B 处的切线方程212y x t t=-，联立方程组，根据判别式0∆=，令1m t =，得4211122424a m m m =--+，构造新函数()421112,01424h x x x x x =--+<<，利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，即可求解． 【详解】由题意，点B 在函数()1g x x =-的图象上，令2x t =，则点1(,)B t t-，又由()21g x x '=，则()21g t t '=， 所以切线方程为211()y x t t t +=-，即212y x t t=-，联立方程组()22122y x t t f x x x a⎧=-⎪⎨⎪=++⎩，整理得2212(1)20x x a t t +-++=，则2212(1)4(2)0a t t∆=--+=， 令1m t =，整理得4211122424a m m m =--+，且1(0,1)m t=∈， 构造函数()421112,01424h x x x x x =--+<<， 则()32h x x x '=--，()231h x x ''=-，可得当x ∈时，()0h x ''<，函数()h x '单调递减，当x ∈时，()0h x ''>，函数()h x '单调递增，所以()320333h x h ''≥=--<，即()0h x '<在(0,1)上恒成立，所以函数()h x 在(0,1)单调递减，又由()()11110,1224424h h ==--+=-，所以1224a -<<，解得118a -<<．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．17．选修4-5：不等式选讲 设函数()222f x x x =+--， （Ⅰ）求不等式()2f x >的解集；（Ⅱ）若x R ∀∈，()272f x t t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）263x x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（2）322t ≤≤.【解析】试题分析：（I ）利用零点分段法去绝对值，将函数化为分段函数，由此求得不等式的解集为263x x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（II ）由（I ）值，函数()f x 的最小值为()13f -=-，即2732t t -≥-，由此解得322t ≤≤.试题解析：（I ）()4,1{3,124,2x x f x x x x x --<-=-≤<+≥，当1x <-，42x -->，6x <-，6x ∴<- 当12x -≤<，32x >，23x >，223x ∴<< 当2x ≥，42x +>，2x >-，2x ∴≥综上所述263x x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或.（II ）易得()()min 13f x f =-=-，若x R ∀∈，()2112f x t t ≥-恒成立， 则只需()22min 7332760222f x t t t t t =-≥-⇒-+≤⇒≤≤，综上所述322t≤≤.【考点】不等式选讲．三、解答题18．已知直线l的极坐标方程为sin42πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，曲线C的参数方程为2cos,xyϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程;（Ⅱ）若过()0,2M且与直线l重直的直线l'与曲线C相交于两点A，B，求MA MB⋅.【答案】（Ⅰ）10x y+-=，22143x y+=（Ⅱ）87【解析】（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得直线l的直角坐标方程，消去参数，即可求得曲线C的普通方程；（Ⅱ）求得直线l'的参数方程，代入椭圆的方程，利用直线参数的几何意义，即可求解．【详解】（Ⅰ）由直线l极坐标方程为sin sin cos4222πρθρθρθ⎛⎫+=+=⎪⎝⎭，根据极坐标与直角坐标的互化公式，可得直线l直角坐标方程：10x y+-=，由曲线C的参数方程为2cos,xyϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），则22()12x+=，整理得22143x y+=，即椭圆的普通方程为22143x y+=．（Ⅱ）直线l'的参数方程为cos,42sin4x ty tππ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，即,222xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t为参数）把直线l'的参数方程,2xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入22143x y+=得：2780t-+=，故可设1t ，2t是上述方程的两个实根，则有1212,787t t t t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又直线l '过点()0,2C -，故由上式及t 的几何意义得：1287CA CB t t ⋅==. 【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及参数方程与普通方程的互化，以及直线参数的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19．已知函数()()4log 41xf x kx =++，()k R ∈是偶函数.（1）求k 的值; （2）解不等式()1f x ≥.【答案】（1）12k =-（2）(({}22|log 2log 2x x x ≤≥+或【解析】（1）由函数()f x 是偶函数，可知()()f x f x =-，根据对数的运算，即可求解；（2）由题()1f x ≥，根据对数的运算性质，得44210x x -⨯+≥，令20x t =>，转化为2410t t -+≥，利用一元二次不等式的解法和指数与对数的运算，即可求解． 【详解】（1）由函数()f x 是偶函数，可知()()f x f x =-，所以()()44log 41log 41x xkx kx -+==+-恒成立，化简得4log 42xkx =-，即2x kx =-，解得12k =-．（2）由题()1f x ≥，即()41log 4112xx +-≥，整理得44210x x -⨯+≥，令20x t =>得2410t t -+≥，解得02t <≤-2t ≥，从而22x ≤或22x ≥，解得(2log 2x ≤或(2log 2x ≥，原不等式解集为(({}22|log 2log 2x x x ≤≥或. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，指数函数、对数函数的运算性质，以及一元二次不等式的解法的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．20．已知函数()()22xf x x x e =-.（1）求曲线()y f x =在原点处的切线方程. （2）当2x ≤时，求函数()y f x =的零点个数;【答案】（1）2y x =-（2）函数()y f x =零点个数为两个【解析】（1）根据导数的几何意义，即可求解曲线()y f x =在原点处的切线方程；（2）由（1），求得函数的单调性，分类讨论，即可求解函数的零点个数． 【详解】（1）由题意，函数()()22x f x x x e =-，则()()22xf x x e '=-，则()02f '=-，从而曲线()y f x =在原点处的切线方程为2y x =-．（2）由（1）知()()22xf x x e '=-，令()0f x '=得x =x =从而函数()y f x =单调增区间为(,-∞，)+∞单调减区间为(，当x <()()220xf x x x e =->恒成立，所以在(,-∞上没有零点；当x <<时，函数在区间(单调递减，且()00f =，存在唯一零点；当x >)+∞递增，且()20f =，存在唯一零点．综上，当2x ≤时，函数()y f x =零点个数为两个. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性及其应用，着重考查了分类讨论思想，推理与运算能力，属于基础题．21．已知函数()22ln 3f x x x x ax =+-+（1）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线;（2）若存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（e 是自然对数的底数），使不等式()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）4a =（2）132a e e≤+-【解析】（1）设曲线()y f x =与x 轴相切于点()0,0x ，利用导数的几何意义，列出方程组，即可求解；（2）把不等式()0f x ≥成立，转化为32ln a x x x ≤++，构造函数()()32ln 0h x x x x x=++>，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解． 【详解】（1）设曲线()y f x =与x 轴相切于点()0,0x ，则()00f x =，()00f x '=，即()()000000002ln 2202ln 30f x x x a f x x x x ax ⎧=++-=⎪⎨=+-+='⎪⎩，解得014x a =⎧⎨=⎩，即当4a =时，x 轴为曲线()y f x =的切线．（2）由题意知22ln 30x x x ax +-+≥，即32ln a x x x≤++，设()()32ln 0h x x x x x =++>，则()()()2231231x x h x x x x +-'=+-=， 当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0h x '<，此时()h x 单调递减;当(]1,x e ∈时，()0h x '>，此时()h x 单调递增.存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()0f x ≥成立，等价于()max a h x ≤，即()1max ,a h h e e ⎧⎫⎛⎫≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭， 又1123h e e e ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，()32h e e e =++，故()1h h e e ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以132a e e≤+-.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22．已知函数()ln xf x x=. （1）求函数()f x 的极值;（2）当0x e <<时，证明：()()f e x f e x +>-;（3）设函数()f x 的图象与直线y m =的两个交点分别为()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点的横坐标为0x ，证明：()00f x '<.【答案】（1）()f x 取得极大值1e，没有极小值（2）见解析（3）见解析【解析】（1）利用导数求得函数的单调性，再根据极值的定义，即可求解函数的极值；（2）由()()f e x f e x +>-，整理得整理得()()()()ln ln 0e x x e x e e x -+-+->，设()()()()()ln ln F x e x x e x e e x =-+-+-，利用导数求得函数()F x 的单调性与最值，即可求解．（3）不妨设12x x <，由（1）和由（2），得()()()()1112f e e x f e e x f x f x +->--==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，利用单调性，即可作出证明． 【详解】（1）由题意，函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当()0,x e ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当x e =时，()f x 取得极大值1e，没有极小值;（2）由()()f e x f e x +>-得()()ln ln x e e x x e e x+->+- 整理得()()()()ln ln 0e x x e x e e x -+-+->， 设()()()()()ln ln F x e x x e x e e x =-+-+-， 则()()()()2222222222224ln 2ln 0e x x F x e x e x e x e x +⎡⎤'=--=--+>⎣⎦--， 所以()F x 在()0,e 上单调递增，所以()()00F x F >=，即()()()()ln ln 0e x x e x e e x -+-+->，从而有()()f e x f e x +>-．（3）证明：不妨设12x x <，由（1）知120x e x <<<，则120e x e x <-<<， 由（2）知()()()()1112f e e x f e e x f x f x +->--==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，由()f x 在(),e +∞上单调递减，所以()12e e x x +-<，即122x x e +>， 则1202x x x e +=>，所以()00f x '<. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。

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