推荐学习K12新版高中数学人教A版必修5习题：第二章数列 2.4.2

第2课时 等比数列的性质
课时过关·能力提升
基础巩固
1在等比数列{a n }中,a 2=8,a 5=64,则公比q 为( ).
A.2
B.3
C.4
D.8
答案:A
2对任意等比数列{a n },下列说法一定正确的是( ).
A.a 1,a 3,a 9成等比数列
B.a 2,a 3,a 6成等比数列
C.a 2,a 4,a 8成等比数列
D.a 3,a 6,a 9成等比数列
答案:D
3已知等差数列a ,b ,c 三项之和为12,且a ,b ,c+2成等比数列,则a 等于(
). A.2或8 B.2
C.8
D.-2或-8
解析:由已知得{a +c =2b ,
a +
b +
c =12,a (c +2)=b 2,
解得{a =2,b =4,c =6或{a =8,
b =4,
c =0.
故a=2或a=8.
答案:A
4等比数列{a n }的公比q=−14,a1=√2,则数列{an}是( ).
A.递增数列
B.递减数列
C.常数数列
D.摆动数列
解析:由于公比q=−1
4<0,
所以数列{a n }是摆动数列.
答案:D
5已知{a n }是等差数列,公差d 不为零.若a 2,a 3,a 7成等比数列,且2a 1+a 2=1,则
a 1= ,d= .
解析:由题意得{a 32=a 2·a 7,2a 1+a 2=1,
即{(a 1+2d )2=(a 1+d )·(a 1+6d ),2a 1+a 1+d =1,
解得{a 1=2
3,d =-1.
答案:23 −1 6若等比数列{a n }的各项均为正数,且a 10a 11+a 9a 12=2e 5,则ln a 1+ln a 2+…+ln a 20= . 答案:50
7在83和272之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的积为 .
解析:设此三个数为x ,y ,z ,即数列83,x,y,z,272构成等比数列.
由等比数列的性质可知xz=y 2=83×272=36.
设公比为q ,又知y 为该数列的第三项,
∴y =83q2>0.∴y =6.
∴xyz=36×6=216.
答案:216
8有四个实数,前三个数依次成等比数列,它们的积是-8,后三个数依次成等差数列,它们的积为-80,求出这四个数.
解由题意设此四个数为b q ,b,bq,a,
则有{b 3=-8,2bq =a +b ,ab 2q =-80,解得{a =10,
b =-2,q =-2或{a =-8,b =-2,q =52
. 所以这四个数为1,-2,4,10或−45,−2,−5,−8.
9已知数列{a n }是等比数列,a 3+a 7=20,a 1a 9=64,求a 11的值.
分析要求出等比数列中的某一项,可先求出其他一项和q ,再利用a n =a m q n-m 求解.
解∵数列{a n }为等比数列,∴a 1a 9=a 3a 7=64.
又a 3+a 7=20,
∴a 3,a 7是方程t 2-20t+64=0的两个根.
解方程,得t 1=4,t 2=16,
∴a 3=4,a 7=16或a 3=16,a 7=4.
当a 3=4时,a 3+a 7=a 3+a 3q 4=20,
∴1+q 4=5.∴q 4=4.
∴a 11=a 3q 8=4×42=64.
当a 3=16时,a 3+a 7=a 3(1+q 4)=20,
∴1+q 4=54.∴q4=14.
∴a 11=a 3q 8=16×(14)2=1.
综上可知,a 11的值为64或1.
能力提升
1已知等比数列{a n }的公比q>0,且a 3a 9=2a 52,a2=1,则a1等于( ).
A .12B.√22C.√2D.2
解析:∵a 3a 9=a 62=2a 52,∴q2=(a 6a 5)2=2.
又q>0,∴q =√2,
∴a 1=
a 2q =√2=√2
2. 答案:B 2在等比数列{a n }中,a 3a 4a 5=3,a 6a 7a 8=24,则a 9a 10a 11的值等于( ).
A.48
B.72
C.144
D.192 解析:∵a 6a 7a 8a 3a 4a 5
=q9=8, ∴a 9a 10a 11=a 6a 7a 8·q 9=24×8=192.
答案:D
★3若数列{a n }是等比数列,则下列数列一定是等比数列的是( ).
A.{lg a n}
B.{1+a n}
C.{1
a n
}D.{√a n}
解析:当a n=-1时,lg a n与√a n无意义,1+a n=0,则选项A,B,D都不符合题意;选项C中,设a n=a1q n-1(q是公比),
则b n=1
a n =1
a1q n-1
=1
a1
·(1
q
)
n-1
,
则有b n+1
b n =
1
a1·(
1
q)
n+1-1
1
a1·(
1
q)
n-1
=1
q
=常数,
即数列{1
a n
}是等比数列.
答案:C
4等比数列{a n}的各项都为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10等于().
A.12
B.10
C.8
D.2+log35
解析:因为a5a6+a4a7=2a5a6=18,所以a5a6=9.
所以log3a1+log3a2+…+log3a10
=log3(a1a2…a10)=log3[(a1a10)(a2a9)…(a5a6)]
=log3[(a5a6)5]=log395=10.
答案:B
5在等比数列{a n}中,a2=2,a6=16,则a10=.
解析:∵a2,a6,a10成等比数列,
∴a62=a2a10.∴a10=a62
a2=128.
答案:128
6在等比数列{a n }中,a 888=3,a 891=81,则公比q= .
解析:∵a 891=a 888q 891-888=a 888q 3,
∴q 3=a 891a 888=813=27.∴q =3.
答案:3
7某厂生产电脑,原计划第一季度每月增加的台数相同,在实际生产过程中,一月份的产量与原计划相同,二月份比原计划多生产10台,三月份比原计划多生产25台,这样三个月的产量正好成等比数列,而第三个月的产量比原计划第一季度总产量的一半少10台,问该厂第一季度实际生产电脑多少台? 解设该厂第一季度原计划三个月生产的电脑台数分别为x-d ,x ,x+d (d>0),
则实际上三个月生产的电脑台数分别为x-d ,x+10,x+d+25.
由题意,得{(x +10)2=(x -d )(x +d +25),x +d +25=3x 2
-10, 解得{x =90,d =10.
故(x-d )+(x+10)+(x+d+25)=3x+35=3×90+35=305(台),
所以该厂第一季度实际生产电脑305台.
★8若数列{a n }是公差d ≠0的等差数列,{b n }是公比q ≠1的等比数列,已知a 1=b 1=1,且a 2=b 2,a 6=b 3.
(1)求d 和q ;
(2)是否存在常数a ,b ,使对一切n ∈N *都有a n =log a b n +b 成立?若存在,求出a ,b 的值;若不存在,请说明理由.
解(1)由题意得{1+d =q ,1+5d =q 2,
解得{d =3,q =4.
(2)假设存在常数a ,b.
由(1)得a n =3n-2,b n =4n-1,代入a n =log a b n +b 得3n-2=log a 4n-1+b ,即(3-log a 4)n+(log a 4-b-2)=0对一切n ∈N *都成立,
∴{3-log a 4=0,log a 4-b -2=0,∴{a =√43,b =1.
∴存在常数a =√43
,b =1使等式成立.。