苏教版(文科)高中数学高考总复习知识梳理等比数列

等比数列

【考纲要求】

1．理解等比数列的概念，等比数列的通项公式.

2．能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.

3．了解等比数列与指数函数的关系.

4．灵活应用等比数列的定义、公式和性质解决数列问题，认识和理解数列与其它数学知识之间的内在联系.

【知识网络】

【考点梳理】

【数列的概念388518 知识要点】

考点一：等比数列的概念

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.

*1(1,,0,)n n

a q n n N q q R a +=≥∈≠∈ 考点二、等比数列的通项公式

11n n a a q -=

要点诠释：

①方程观点：知二求一； ②函数观点：函数1n a y q q

=⋅的图象上一群孤立的点； ③当1q >时，若10a >，等比数列{}n a 是递增数列；若10a <，等比数列{}n a 是递减数列； 当01q <<时，若10a >，等比数列{}n a 是递减数列；若10a <，等比数列{}n a 是递增数列； 当0q <时，等比数列{}n a 是摆动数列；

当1q =时，等比数列{}n a 是非零常数列。

考点三、等比数列通项公式的主要性质： 等比数列 等比中项

通项公式及相关性

等比数列与函数的关系

（1）等比中项：a 、G 、b

成等比数列，则G =

（2）通项公式的推广：n m n m a a q -=；

（3）若*()m n p q m n p q N +=+∈、、、，则m n p q a a a a ⋅=⋅；

（4）等比数列{}n a 中，若*m n p m n p N ∈、、（

、、）成等差数列，则m n p a a a 、、成等比数列. 要点诠释：（1）方程思想的具体运用；（2）两式相乘除化简。

【典型例题】

类型一：等比数列的概念、公式

例1.若数列{}n a 为等比数列，1510a =, 4590a =, 求60a .

思路分析：求解等比数列的项，首先要根据已知条件求出数列的通项公式。

解析：法一：令数列{}n a 的首项为1a ,公比为q ，则有

⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅=4414514115q

a a q a a 即 ⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅=)2...(..........90)1...(..........10441141q a q a ， (2)÷(1)有309q =, ∴153q =±.

∴45153601515()270a a q a q ===±.

法二：∵{}n a 为等比数列，

∴30152451515()a a q a q == 即1529010()q =,

∴15

3q =±.

∴45153601515()270a a q a q ===±. 法三：∵{}n a 为等比数列，

∴15a 、30a 、45a 、60a ,…也为等比数列，

∴2301545900=⋅=a a a , ∴3030a =±

又∵2

453060=⋅a a a . ∴ .27030

902

302

4560±=±==a a a 点评：熟悉等比数列的概念，基本公式及性质，要依条件恰当的选择入手公式，性质，从而简洁地解决问题，减少运算量。

举一反三：

【变式】已知等比数列{}n a ，若1237a a a ++=，1238a a a =，求n a 。

法一：∵2132a a a =，∴312328a a a a ==，∴22a = 从而1313

5,4a a a a +=⎧⎨=⎩解之得11a =，34a =或14a =，31a = 当11a =时，2q =；当14a =时，12

q =

。 故12n n a -=或32n n a -=。

法二：由等比数列的定义知21a a q =，231a a q =

代入已知得2111211178

a a q a q a a q a q ⎧++=⎪⎨⋅⋅=⎪⎩ 21331(1)7,8

a q q a q ⎧++=⎪⇒⎨=⎪⎩211(1)7,(1)2(2)a q q a q ⎧++=⇒⎨=⎩ 将12a q

=代入（1）得22520q q -+=， 解得2q =或12

q = 由（2）得112a q =⎧⎨=⎩或1

412

a q =⎧⎪⎨=⎪⎩ ，以下同方法一。 类型二、等比数列的性质

【数列的概念388518 典型例题二】

例2.（1）等比数列{}n a 中，11a =，528a a =-，52a a >，则n a = ( )

A ．1(2)n --

B ．1(2)n ---

C ． (2)n -

D ．(2)n

-- (2)设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知342332,32S a S a =-=-,则公比q ＝( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

答案：A B 解析：（1）35228a a a q =-=，所以2q =-

又因为5252228,,8a a a a a a =->∴->，则20a <

所以110,1a a >=，则1(2)n n a -=-

（2）342332,32S a S a =-=-，两式相减：3433a a a =-

所以4q =

举一反三

【变式1】等比数列{}n a 中，若569a a ⋅=,求3132310log log ...log a a a +++.

解析：∵{}n a 是等比数列，∴110293847569a a a a a a a a a a ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=

∴1032313log log log a a a +++ 553123

103563log ()log ()log 910a a a a a a =⋅⋅=⋅==

例3.若等比数列{}n a 满足n n n a a 161=+，则公比为