第五章 常微分方程初值问题作业
微分方程初值问题练习题求解微分方程的初值问题
微分方程初值问题练习题求解微分方程的初值问题微分方程是数学中的一个重要分支，它描述了变量之间的关系及其变化率。
初值问题是指在给定一个微分方程及初始条件的情况下，求解出一个特定的解。
本文将通过练习题的形式，来介绍如何求解微分方程的初值问题。
1. 练习一：一阶线性常微分方程考虑以下一阶线性常微分方程：\[ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \]其中，\(P(x)\) 和 \(Q(x)\) 是给定的函数。
已知初值条件 \(y(x_0) = y_0\)，求解出该微分方程的解。
解答：首先将原方程变形为标准形式：\[ \frac{dy}{dx} = -P(x)y + Q(x) \]接下来使用积分因子法来求解该微分方程，积分因子定义为：\[ \mu(x) = e^{\int -P(x) dx} \]对原方程两边同时乘以积分因子，得到：\[ \mu(x) \frac{dy}{dx} + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x) \]由于左边是积分的导数，可以写成：\[ \frac{d}{dx}(\mu(x)y) = \mu(x)Q(x) \]对上式两边同时积分，得到：\[ \int \frac{d}{dx}(\mu(x)y) dx = \int \mu(x)Q(x) dx \]应用积分的基本性质，化简上式得到：\[ \mu(x)y = \int \mu(x)Q(x) dx + C \]其中，\(C\) 是常数。
最后将 \(y\) 解出来，得到：\[ y(x) = e^{-\int P(x) dx}(\int e^{\int P(x) dx}Q(x) dx + C) \]将初值条件\(y(x_0) = y_0\) 代入上式，可以求解出常数\(C\) 的值，从而得到特定的解。
2. 练习二：二阶线性常微分方程考虑以下二阶线性常微分方程：\[ \frac{d^2y}{dx^2} + P(x)\frac{dy}{dx} + Q(x)y = R(x) \]其中，\(P(x)\)，\(Q(x)\)，\(R(x)\) 是给定的函数。
常微分方程第5章答案
x = x x= （*）a)试验证u(t)= ,v(t)= 分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)= , v(0)= 的解.b)试验证w(t)＝c u(t)+c v(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)= 的解，其中是任意常数. 解：a) u(0)= =u (t)= = u(t)又v(0)= =v (t)= = = v(t)因此u(t),v(t)分别是给定初值问题的解.b) w(0)= u(0)+ u(0)= + =w (t)= u (t)+ v (t)= +=== w(t)因此w(t)是给定方程初值问题的解.2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：a) x +2x +7tx=e ,x(1)=7, x (1)=-2b) x +x=te ,x(0)=1, x (0)=-1,x (0)=2,x (0)=0c)x(0)=1, x (0)=0,y(0)=0,y (0)=1解：a）令x ＝x, x = x , 得即又x ＝x(1)=7 x (1)= x (1)=-2于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：x ＝x(1)＝其中x＝.b) 令＝x ＝＝＝则得：且(0)=x(0)=1, = (0)=-1, (0)= (0)=2,(0)= (0)=0于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：= x(0)= , 其中x= .c) 令w ＝x，w ＝，w ＝y，w ＝y ，则原初值问题可化为：且即ww(0)= 其中w＝3. 试用逐步逼近法求方程组＝x x＝满足初始条件x(0)=的第三次近似解.解：0241201 杨素玲02412—02 02412—031.试验证=是方程组x = x,x= ，在任何不包含原点的区间a 上的基解矩阵。
解：令的第一列为(t)= ,这时(t)= = (t)故(t)是一个解。
同样如果以(t)表示第二列，我们有(t)= = (t)这样(t)也是一个解。
常微分方程自学练习题-19页精选文档
常微分方程自学习题及答案一 填空题:1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y 1(x);y 2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________.3 方程0'2''=+-y y y 的基本解组是_________.4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间.5 方程21y dxdy -=的常数解是________. 6 方程0')('')(==+-x q x t p x t 一个非零解为 x 1(t) ,经过变换_______7 若4(t)是线性方程组X t A X )('=的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=___________.8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________.9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解.10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________.11 一阶线性方程)()('x q y x p y =+有积分因子(=μ ).12 求解方程y x dxdy /-=的解是( ). 13已知(0)()3222=+++dy x y x dx y x axy 为恰当方程,则a =____________. 14 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0(22y y x dx dy ,1:≤x R ,1≤y 由存在唯一性定理其解的存在区间是( ). 15方程0652=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛y dx dy dx dy 的通解是( ). 16方程534y x y dx dy =++⎪⎭⎫ ⎝⎛的阶数为_______________. 17若向量函数)()();();(321x x x x n Y Y Y Y 在区间D 上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w (x)=____________.18若P(X)是方程组Y =)(x A dxdy 的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________. 19、一般而言，弦振动方程有三类边界条件，分别为：第一类边界条件u(0,t)=g 1(t), ；第二类边界条件)(),0(t u t x u =∂∂， ；第三类边界条件F )(),0(),0(0t u t u t x u k =-∂∂， T )(),(),(1t v t L u t L xu k =-∂∂，其中k 0,k 1,T 都是大于零的常数，u(t),v(t)为给定的函数。
常微分方程 练习题
常微分方程练习题常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是数学中一门重要的分支，研究的是未知函数的导数与自变量之间的关系。
在物理、经济学、生物学等领域中，常微分方程广泛应用于描述系统的动态行为。
本文将为您提供一些常微分方程的练习题，帮助您加深对常微分方程的理解。
练习一：一阶常微分方程1. 求解初值问题：dy/dx = x^2 - y^2, y(0) = 1。
解：观察到方程右侧与左侧的差异较大，我们可以尝试寻找一个特殊的函数，使得方程变得简单。
假设y = x + u(x)，则dy/dx = 1 + u'，代入原方程得到：1 + u' = x^2 - (x + u)^2u' = x^2 - x^2 - 2ux - u^2 - 1u' = -2ux - u^2 - 1这是一个关于u和x的常微分方程。
我们可以尝试通过求解这个方程来得到y的解。
2. 求解初值问题：dy/dx = (x^2 - 1)/(y + 1), y(0) = 0。
解：将方程进行变形，得到(y+1)dy = (x^2 - 1)dx，两边同时积分：∫(y+1)dy = ∫(x^2 - 1)dx1/2(y^2 + 2y) = 1/3(x^3 - x) + C其中C为常数。
代入初值条件y(0) = 0，解得C = 0，进一步化简得到：y^2 + 2y = 2/3(x^3 - x)这就是给定初值问题的解。
练习二：二阶常微分方程1. 求解方程：y'' + 2y' + y = e^(-x)，已知初值条件y(0) = 1，y'(0) = 0。
解：我们可以使用特征方程法求解这个二阶常微分方程。
首先求解齐次方程：r^2 + 2r + 1 = 0解齐次方程得到r = -1，因此齐次方程的通解为y_h = C1e^(-x) +C2xe^(-x)。
接下来求非齐次方程的一个特解。
cy52常微分方程初值问题(二)
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亚当姆斯隐式公式
利用k+1 个节点上的被积函数值 fi+1 , fi , …, fi-k+1 构造 k 阶 牛顿后插多项式. 与显式多项式完全类似地可得到一系列隐 ~ k +2 ( k +2) ~ 式公式，并有 Ri = Bk h y ( i ) ，其中 Bk 与 fi+1 , fi , …, fi-k+1 的系数亦可查表得到.
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亚当姆斯显式公式
利用k+1 个节点上的被积函数值 f i , f i -1 , ... , f i -k 构造 k 阶牛顿 后插多项式 N k ( xi + t h) , t [0, 1], 有
xi +1 xi
f ( x, y( x )) dx = N k ( xi + t h) h dt + Rk ( xi + t h) h dt
h yi +1 = yi + h [ f i + t ( f i - f i -1 )] dt = yi + ( 3 f i - f i -1 ) 0 2 2 1 d f ( , y ( )) 1 5 3 x x Ri = h t h ( t + 1 ) h dt = h y( i ) 2 0
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例：设 yi +1 = a0 yi + a1 yi -1 + a2 yi -2 + h( b0 y + b1 y + b 2 y + b 3 y i i -1 i -2 i -3 ) 确定式中待定系数a0, a1, a2, b0, b1, b2, b3, 使得公式具有4阶 精度.
第五章 常微分方程初值问题数值解法
则有
yn 1 yn hf ( xn , yn )
( 5.2 ) Euler格式
例5.1 用Euler格式解初值问题
2x y y y y (0) 1
取步长h=0.1.
(0 x 1)
Euler格式的具体形式为
y n 1 y n hf ( x n , y n ) 2 xn yn 0.1( yn ) yn 0.2 xn 1.1 yn yn
计算公式的精度 常以Taylor展开为工具来分析计算公式的精度. 为简化分析，假定yn是准确的，即在 yn y ( xn ) 的前提下估计误差 y ( xn 1 ) yn 1 Euler格式的局部截断误差 由 从而 局部截断误差
f ( xn , yn ) f ( xn , y ( xn )) y '( xn ) y ( xn 1 ) yn 1 y ( xn 1 ) ( yn hf ( xn , yn )) y ( xn 1 ) y ( xn ) hy '( xn )
y ( xn ), y ( xn 1 ), 的近似值 y1 , y2 , , yn , yn 1 ,
相邻两个节点的间距 h xi 1 xi 称为步长，步 长可以相等，也可以不等.本章总是假定h为定数， 称为定步长，这时节点可表示为
xn x0 nh , n 0,1, 2,
由f ( xn 1 , yn 1 ) f ( xn 1 , y ( xn 1 )) f y ( xn 1 , )( yn 1 y ( xn 1 )) f ( xn 1 , y ( xn 1 )) y '( xn 1 )（在xn点Taylor展开） h2 y '( xn ) hy ''( xn ) y '''( xn ) ... 2 3 2 h h 因此yn 1 y ( xn ) hy '( xn ) y ''( xn ) y '''( xn ) 2 4 h f y ( xn 1 , )( yn 1 y ( xn 1 )) 2 h2 h3 y ( xn 1 ) y ( xn ) hy '( xn ) y ''( xn ) y '''( xn ) 2 3!
常微分方程第5章答案
习题1.给定方程组x = x x= （*）a)试验证u(t)= ,v(t)= 分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)= , v(0)= 的解.b)试验证w(t)＝c u(t)+c v(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)= 的解，其中是任意常数.解：a) u(0)= =u (t)= = u(t)又 v(0)= =v (t)= = = v(t)因此 u(t),v(t)分别是给定初值问题的解.b) w(0)= u(0)+ u(0)= + =w (t)= u (t)+ v (t)= +=== w(t)因此 w(t)是给定方程初值问题的解.2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：a) x +2x +7tx=e ,x(1)=7, x (1)=-2b) x +x=te ,x(0)=1, x (0)=-1,x (0)=2,x (0)=0c)x(0)=1, x (0)=0,y(0)=0,y (0)=1解：a）令 x ＝x, x = x , 得即又 x ＝x(1)=7 x (1)= x (1)=-2于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：x ＝ x(1)＝其中 x＝ .b) 令＝x ＝＝＝则得：且 (0)=x(0)=1, = (0)=-1, (0)= (0)=2,(0)= (0)=0于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：= x(0)= , 其中 x= .c) 令w ＝x， w ＝，w ＝y，w ＝y ，则原初值问题可化为：且即 ww(0)= 其中 w＝3. 试用逐步逼近法求方程组＝ x x＝满足初始条件x(0)=的第三次近似解.解：0241201 杨素玲习题02412—02 02412—031.试验证 =是方程组x = x,x= ，在任何不包含原点的区间a 上的基解矩阵。
解：令的第一列为 (t)= ,这时 (t)= = (t)故 (t)是一个解。
同样如果以 (t)表示第二列，我们有 (t)= = (t)这样 (t)也是一个解。
常微分方程初值问题解法
详细描述
幂级数解法是通过幂级数展开方法，将一阶 常微分方程转化为可求解的幂级数形式。这 种方法适用于一些具有特定形式的常微分方 程，通过幂级数展开方法，将原方程转化为 可求解的幂级数形式，然后找到方程的解。
03 初值问题的数值解法
欧拉方法
总结词
欧拉方法是求解常微分方程初值问题的一种简单而基础的数 值方法。
详细描述
欧拉方法基于微积分中的中点公式，通过在区间上取几个点 并近似求解微分方程，得到近似解。该方法简单易行，但精 度较低，且对于复杂的问题可能需要较大的步长才能得到满 意的结果。
龙格-库塔方法
总结词
龙格-库塔方法是求解常微分方程初值问题的一种高精度数值方法。
详细描述
龙格-库塔方法采用线性插值的思想，通过构造一系列的插值多项式来逼近微分方程的 解。这种方法精度较高，且适用于各种类型的微分方程，因此在科学计算和工程领域应
数值方法
随着计算机技术的发展，数值解法成为解决初值问题的主要手段，如欧拉法、龙格-库 塔法等，能够给出近似解并适用于各种复杂情况。
稳定性分析
对于解的存在性和稳定性，需要分析初值问题的解是否随时间演化而发散或收敛，这涉 及到解的稳定性分析。
未来研究方向与展望
高维问题
目前对高维初值问题的研究 还不够深入，未来可以探索 更有效的数值方法和理论分 析方法。
应用广泛
在各个领域中都有广泛的应用，如航天、航空、交通、经济等。
发展前景
随着科学技术的发展，常微分方程初值问题的求解方法和应用范围 将不断拓展，具有广阔的发展前景。
02 初值问题的解法
分离变量法
总结词
适用于具有特定形式的一阶常微分方程，通过将方程中的变量分离，转化为可求解的方程。
常微分方程初值问题解法
为了克服欧拉方法精度不足的问题，可以对方法进行改进。一种常见的方法是使用更高阶的离散近似，例如使用 二阶或更高阶的离散化公式。这些改进可以减小数值误差，提高解的精度。
龙格-库塔方法
总结词
龙格-库塔方法是求解常微分方程初值问题 的一种高精度和高稳定性的数值方法。
详细描述
龙格-库塔方法是一种迭代方法，通过构造 一系列近似解来逼近微分方程的精确解。该 方法采用多步策略，每一步使用微分方程的 离散近似来更新未知数的值，同时考虑了更 多的信息，从而提高了数值解的精度和稳定 性。龙格-库塔方法在许多领域都有广泛的 应用，如物理、工程和科学计算等。
初值问题的定义
定义
常微分方程的初值问题由一个微分方程 和一个初始条件组成。给定一个初始状 态，我们需要找出该状态随时间变化的 规律。
VS
形式
dy/dt = f(t, y) with y(t0) = y0，其中f是 关于时间t和状态y的函数，t0是初始时间， y0是初始状态。
02
初值问题的解法
欧拉方法
05
结论与展望
研究成果总结
数值解法
常微分方程初值问题数值解法是当前研究的热点，包括欧拉法 、龙格-库塔法等多种方法，这些方法在精度和稳定性方面取
得了显著进展。
稳定性分析
对于数值解法的稳定性分析，研究者们通过分析数值解法 的收敛性和误差估计，为算法的改进提供了理论支持。
实际应用
常微分方程初值问题在物理、工程、生物等领域有广泛的应用 ，研究成果在实际问题中得到了验证，为解决实际问题提供了
04
实际应用与案例分析
物理问题中的应用
1 2 3
自由落体运动
描述物体在重力作用下的运动轨迹，可以通过常 微分方程求解物体在不同时刻的速度和位置。
常微分方程第五章测试题及参考答案
常微分方程第五章测试题班级__________姓名__________学号________得分__________一、 填空（３０分）1、 在用皮卡逐步逼近法求方程组η=+=')(),()(0t x x f x t A x 的近似解时，若取ηϕ=)(0t ，则=)(t k ϕ（ ）。
2、 如果)(t A 是n n ⨯矩阵，)(t f 是n 维列向量，则它们在b t a ≤≤上满足（ ）时，方程组)()(t f x t A x +='满足初始 条件η=)(0t x 的解在b t a ≤≤上存在唯一。
3、 若)(),(),(21t f t a t a 是[b a ,]上的连续函数，)(),(21t x t x 是方程0)()(21=+'+''x t a x t a x 的两个线性无关解，则的通解为( )。
4、 若)(t Φ和)(t ψ都是x t A x )(='的基解矩阵，则)(t Φ与)(t ψ具有关系（ ）。
5、 若A 是n n ⨯常数矩阵，则矩阵指数exPA=( )。
6、若A 矩阵具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,21，她们对应的特征值分别为n λλλ ,,21，那么矩阵)(t Φ=（ ）是常系数线性方程组Ax x ='的一个基解矩阵。
7、 若)(t Φ是x t A x )(=' 的基解矩阵，则)()(t f x t A x +='满足的解=)(t ϕ（）。
8、 若)(t Φ是x t A x )(=' 的基解矩阵，则向量函数=)(t ϕ（ ）是)()(t f x t A x +='的满足初始条件 0)(0=t ϕ的解；向量函数=)(t ϕ（ ）是)()(t f x t A x +='的满足初始条件ηϕ=)(0t 的解。
9、 方程组x t A x )(='的n 个解)(,),(),(21t x t x t x n 线性无关的充要条件是（ ）。
常微分方程初值问题答案
1.(10分）对常微分方程初值问题(0)1(01)dyydx y x ⎧=-⎪⎨⎪=≤≤⎩取步长0.1,h = 分别用改进的Euler 法和标准的四阶Runge-Kutta 法作数值计算,写出公式和简要推导过程，并把结果填入表内。
解：（1） 改进的Euler 方法： 代入公式得10.905n n y y +=，即0.905n n y = …2分 （2）标准的四阶Runge-Kutta 方法：1123412132430.1(22)0.90483756(0.05)0.95(0.05)0.9525(0.1)0.90475n n n n n nn nn n y y k k k k y k y k y k y k y k yk y k y +⎧=++++=⎪⎪=-⎪⎪=-+=-⎨⎪=-+=-⎪⎪=-+=-⎪⎩即0.9048375n n y = ……（4分）2. 对常微分方程初值问题12(0)1(01)dyydx y x ⎧=-⎪⎨⎪=≤≤⎩ 取步长0.1,h = 分别用改进的Euler 法和标准的四阶Runge-Kutta 法作数值计算,写出公式和推导过程，并把结果填入表内。
解：（1） 改进的Euler 方法： 代入公式得10.95125n n y y +=，即0.95125n n y =……………….(2分)（2）标准的四阶Runge-Kutta 方法：1123412132430.1(22)0.9512196/2(0.05)/20.4875(0.05)/20.4878125(0.1)/20.47622n n n n n nn nn n y y k k k k y k y k y k y k y k yk y k y +⎧=++++=⎪⎪=-⎪⎪=-+=-⎨⎪=-+=-⎪⎪=-+=-⎪⎩即0.95145314n n y =……(4分)《数值分析》复习题一、填空题1.绝对误差限=末位的一半+单位，相对误差限=绝对误差限/原值*100%1. 度量一根杆子长250厘米，则其绝对误差限为 ，相对误差限是 。
常微分方程练习题word精品文档7页
常微分方程练习题班级： 学号： 姓名：第一二章一．填空题1． 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。
2．一阶微分方程是恰当方程的充分必要条件是________________。
3. 方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只含x 的积分因子的充要条件是__________________。
有只含y 的积分因子的充要条件是________________________。
4． 称为伯努利方程，它有积分因子 。
5. 一曲线经过原点，且曲线上任意一点()y x ,处 的切线斜率为y x +2，则曲线方程为_____________________。
二.求一曲线，其切线在纵轴之截距等于切点的横坐标。
三.求出伯努利方程的积分因子。
四．求下列方程的通解。
1．33(1)0y x y ''--= 2.dxdy=312+++-y x y x 3． x(4ydx+2xdy)+y 3(3ydx+5xdy)=0 4．（y-1-xy ）dx+xdy=0 5．dxdy=y+sinx 6．(x 2y 3+xy)y '=17．(x 2-1)y '+y 2-2xy+1=08.32y x dx+4223yx y -dy=0 9. 0)(42=++dx y x y xdy 。
10.5d d xy y xy+= 五．证明题。
1．一阶非齐线性方程的任两解之差必为相应的齐线性方程的解 2．齐线性方程的任一解的常数倍或任两解之和仍为其解。
第三章一． 填空：1． 函数f(x,y)称为在矩形域R 上满足利普希兹条件，如果 2． 对毕卡逼近序列，()()≤--x x k k 1ϕϕ 。
3． 若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程()y x f dxdy,=的解()00,,y x x y ϕ=作为00,,y x x 的函数在它的存在范围是 。
4． 微分方程的奇解是指__________________________。
微分方程的初值问题练习题及解析
微分方程的初值问题练习题及解析微分方程是数学中的重要分支，通过研究微分方程可以揭示自然界和社会现象的规律。
微分方程的初值问题是求解微分方程的一种常见方法，它通过给定初值条件来确定特定的解。
下面将介绍一些微分方程的初值问题练习题，并提供解析过程，帮助读者加深对微分方程初值问题的理解。
练习题1：考虑一阶常微分方程dy/dx = 2x，初值条件为y(0) = 3。
求解该初值问题并画出解的图像。
解析：将方程dy/dx = 2x进行分离变量，得到dy = 2xdx。
对两边同时积分，得到∫dy = ∫2xdx，即y = x^2 + C。
根据初值条件y(0) = 3，代入方程可求得C = 3，因此解为y = x^2 + 3。
根据解析结果，我们可以画出解的图像，如下所示：（插入图像，图像是y = x^2 + 3）练习题2：考虑一阶常微分方程dy/dx + y = x，初值条件为y(0) = 1。
求解该初值问题并画出解的图像。
解析：对于方程dy/dx + y = x，可以通过乘以一个积分因子来进行求解。
积分因子的选择是e^(∫dx)，其中∫dx是对方程中y的系数进行积分得到的结果。
在本题中，系数为1，因此积分因子选择为e^x。
将方程进行乘积因子法的变形，得到e^xdy/dx + e^xy = x*e^x。
根据乘积因子法的特点，左侧的表达式可以化简为(d/dx)(e^xy) = x*e^x。
对两边同时积分，得到∫(d/dx)(e^xy)dx = ∫x*e^xdx。
对右侧的积分进行计算，得到∫x*e^xdx = e^x(x-1) + C1，其中C1是积分常数。
对左侧的积分进行计算，得到∫(d/dx)(e^xy)dx = e^xy + C2，其中C2是积分常数。
将求得的结果代入，得到e^xy + C2 = e^x(x-1) + C1。
根据初始条件y(0) = 1，代入x = 0和y = 1，并整理方程，可求得C2 = 0和C1 = 1。
常微分方程基本概念习题及解答-5页文档资料
§1.2 常微分方程基本概念习题及解答1．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解：y=|)1(|ln 1+x c 3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31xx +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： y y -1dy=-xx 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +- 令xy =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2x y . 6. x dxdy -y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x1dx arcsin xy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +ye xy 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln xy 令xy =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ x dxdu =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln xy =cy. 10. dxdy =e y x - 解：原方程为：dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dxdu -1=u 2 211u +du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy =（x+4y ）2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -41 41dx du -41=u 2+3 dxdu =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dxdy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1）y(1+x 2y 2)dx=xdy2）y x dx dy =2222x -2 y x 2y + 证明： 令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u ，有： u x dx du =f(u)+1 )1)((1+u f u du=x1dx 所以原方程可化为变量分离方程。
常微分方程初值问题
二、 初值问题数值解的基本概念
1 构造数值解法的基本思想 假设初值问题(1)的解y = y(x)唯一存在且足够光滑, 对求解区域[a,b]做剖分
{ x k } k n 0 , a x 0 x 1 x 2 x n b , h k x k x k 1
(k1,2, ,n)称为步长。
显式单步法: yk 1ykh (xk,yk,h)
(5)
隐式单步法: y k 1 y k h (x k,y k,y k 1 ,h )
(6)
11
注: 该式右端项含有 y k 1 , 因此若求 y k 1 , 需要解方程。
显式多步法: y k 1 y k h ( x k ,y k ,y k 1 ,,y k l 1N 1
注： 此算法是单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过 程简单。稳定性高于显式欧拉法。
24
例 分别用显式Euler方法，梯形方法和预估－校正Euler方 法解初值问题
dy y x 1, 0x1
dx
y(0) 1
解析解：y = e-x + x
f(x,y)yx1
解：取 h =0.1，
Euler方法为: y k 1 y k hk f ( x k , y k )
yk hk ( yk xk 1)
(1 hk ) y k hk x k hk
9
k1
10 yk 100 10
hk 0.1, xk khk 0.1k.
25
梯形方法为：
yk1yk
y0 , k0,1,2 ,n1
称为Euler中点公式或称双步Euler公式.
因此，求初值问题数值解的基本方法是步进法.即逐个节点计 算, 由 yi ( ik ) 计算yk+1
常微分方程作业答案
1．第1题设是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中是连续函数. 则A. 的朗斯基行列式一定是正的;B. 的朗斯基行列式一定是负的;C. 的朗斯基行列式可有零点, 但不恒为零;D. 的朗斯基行列式恒不为零.A.AB.BC.CD.D您的答案：B题目分数：2此题得分：2.02．第2题满足初始条件和方程组的解为( ).A. ;B.; C.; D. .A..B..C..D..您的答案：B题目分数：2此题得分：2.03．第6题下列四个微分方程中, 三阶常微分方程有( )个.(i) , (ii) ,(iii) , (iv) .A.1B.2C.3D.4您的答案：C题目分数：2此题得分：2.04．第8题是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A.AB.BC.CD.D您的答案：A题目分数：2此题得分：2.05．第9题可将一阶方程化为变量分离方程的变换为A. ；B.； C. ； D. .A..B..C..D..您的答案：C题目分数：2此题得分：2.06．第15题可将六阶方程化为二阶方程的变换是( ).A.;B.; C.; D..A..B..C..D..您的答案：B题目分数：2此题得分：2.07．第16题设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解, 则以常数变易公式作为唯一解的初值问题是A. B.C. D.A..B..C..D..您的答案：B题目分数：2此题得分：2.08．第18题设和是方程组的两个基解矩阵, 则A. 存在某个常数方阵C使得, 其中;B. 存在某个常数方阵C使得, 其中;C. 存在某个常数方阵C使得, 其中;D. 存在某个常数方阵C使得, 其中.A..B..C..D..您的答案：A题目分数：2此题得分：2.09．第20题微分方程的一个解是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A..B..C..D..您的答案：D题目分数：2此题得分：2.010．第22题设有四个常微分方程：(i) , (ii) ,(iii) , (iv) .A.线性方程有一个;B.线性方程有两个;C.线性方程有三个;D.线性方程有四个.您的答案：C题目分数：2此题得分：2.011．第23题微分方程是( ).A.n阶变系数非齐次线性常微分方程;B.n阶变系数齐次线性常微分方程;C.n阶常系数非齐次线性常微分方程;D.n阶常系数齐次线性常微分方程.您的答案：A题目分数：2此题得分：2.012．第24题设有四个常微分方程：(i) , (ii) , (iii) , (iv) .A.非线性方程有一个;B.非线性方程有两个;C.非线性方程有三个;D.非线性方程有四个.您的答案：B题目分数：2此题得分：2.013．第25题是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A..B..C..D..您的答案：A题目分数：2此题得分：2.014．第29题已知是某一三阶齐次线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ).A. ;B.; C. ; D..A.AB.BC.CD.D您的答案：A题目分数：2此题得分：2.015．第30题初值问题, 的第二次近似解可以写为( ).＋A. 6;B.; C.; D. +.A..B..C..D..您的答案：D题目分数：2此题得分：2.016．第5题利用降阶法求解二阶方程的过程中, 下划线所指出的那些步骤中, 哪些是关键性的:解答：这是不显含自变量的二阶方程, 因此可以用第二种降阶法。
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yn yn 1
10 10 yn 1 (1 ) yn 1 N N 10 10 (1 )2 yn 2 (1 ) n y0 N N 10 (1 )n N
若初始条件改为 y(0) 1 . 则
yn yn 1
10 10 yn 1 (1 ) yn 1 N N 10 10 (1 )2 yn (1 ) n y0 2 N N 10 (1 )n (1 ) N
从而有
yn yn (1
10 n ) N