2013年北京市海淀区高三二模数学(理)试题Word版带答案

海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科） 2013. 5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1．集合{|(1)(2)0}A x x x =-+≤，{|0}B x x =<，则A B =A.(,0]-∞B.(,1]-∞C.[1,2]D.[1,)+∞2．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且134a a ⋅=，48a =，则1a q +的值为 A.3B.2C.3或2-D.3或3-3．如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形W ．向正方形内随机撒豆子，若撒在图形W 内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形W 面积的估计值为A.ma nB.na mC.2ma nD.2na m4．某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为A.180B.240C.276D.3005．在四边形ABCD 中，“∃∈R l ，使得AB DC = l ，AD BC =l ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为 A.32B.36C.42D.487．双曲线C 的左右焦点分别为1F ，2F ，且2F 恰好为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为B.1C.1D.28．若数列{}n a 满足:存在正整数T ,对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立,则称数列{}n a 为周期数列,周期为T .已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>,11,1,1,0 1.n n nn na a a a a +->=<⎧⎪⎨⎪⎩≤则下列结论中错误．．的是 A.若34a =,则m 可以取3个不同的值 B.若m =,则数列{}n a 是周期为3的数列C.T *∀∈N 且2T ≥,存在1m >,使得{}n a 是周期为T 的数列D.m ∃∈Q 且2m ≥,使得数列{}n a 是周期数列 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．在极坐标系中，极点到直线cos 2ρθ=的距离为 .10．已知1ln 2a =，1sin 2b =，122c -=，则a ，b ，c 按照从大到小．．．排列为 . 11．直线1l 过点（2-，0）且倾斜角为30︒，直线2l 过点（2，0）且与直线1l 垂直，则直 线1l 与直线2l 的交点坐标为 .俯视图HCF PEADCBA12．在ABC ∆中，30A ∠︒=，45B ∠︒=，a =则b = ；ABC S ∆= . 13．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段1BD 上运动，则DC AP ⋅的取值范围是 .14．在平面直角坐标系中，动点(,)P x y 到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P 的轨迹为曲线为W . （Ⅰ）给出下列三个结论：①曲线W 关于原点对称； ②曲线W 关于直线y x =对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12； 其中，所有正确结论的序号是 ；（Ⅱ）曲线W 上的点到原点距离的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数cos2()1)4x f x x =-π-.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的单调增区间. 16．（本小题满分13分）福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一 种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50 %； （2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获 得150元奖金的概率为p ，获得50元奖金的概率为2 %.（Ⅰ）假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率； （Ⅱ）为了能够筹得资金资助福利事业，求p 的取值范围. 17．（本小题满分14分）如图1，在直角梯形ABCD 中，90ABC DAB ∠=∠=︒，30CAB ∠=︒，2BC =， 4AD =.把DAC ∆沿对角线AC 折起到PAC ∆的位置，如图2所示，使得点P 在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC 上，连接PB ，点E ，F 分别为线段PA ，PB 的中点.（Ⅰ）求证：平面EFH ∥平面PBC ；（Ⅱ）求直线HE 与平面PHB 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA 上是否存在一点M ，使得M 到P ，H ，A ，F 四点的距离相等?请说明理 由.18．（本小题满分13分）已知函数()e x f x =，(,0)A a 为一定点，直线(0)x t t =≠分别与函数()f x 的图象 和x 轴交于点M ，N ，记AMN ∆的面积为()S t . （Ⅰ）当0a =时，求函数()S t 的单调区间；（Ⅱ）当2a >时，若0[0,2]t ∃∈，使得0()e S t ≥，求a 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)y x M a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60︒ 的菱形的四个顶点. （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线经过点1(0,)-，求(AOB O ∆为原点)面积的最大值.20．（本小题满分13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之 和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”. （Ⅰ）数表A 如表1所示，若经过两次“操作”，使得 到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负 实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种 方法即可）；（Ⅱ）数表A 如表2所示，若必须经过两次“操作”， 才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和 均为非负整数，求整数．．a 的所有可能值；（Ⅲ）对由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，能否经过有限次“操作” 以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数? 请说明理由.a 2－a 2a －2－a 1－a 2a 2－12－aa 表 2表 11312－7－21海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 （理科） 参考答案及评分标准 2013．5说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I ）因为πsin()04x -≠所以ππ,4x k -≠Z k ∈ ……………………2分 所以函数的定义域为π{|π+,4x x k ≠Z}k ∈ ……………………4分（II ）因为22cos sin ()1sin cos x xf x x x -=-- ……………………6分 = 1(cos sin )x x -+1sin cos x x =++π= 1)4x + ……………………8分 又sin y x =的单调递增区间为 ππ(2π,2π)22k k -+ ，Z k ∈令πππ2π2π242k x k -<+<+解得3ππ2π2π44k x k -<<+……………………11分又注意到ππ+,4x k ≠ 所以()f x 的单调递增区间为3ππ(2π,2π)44k k -+， Z k ∈ …………………13分9． 210．c b a >>11. 12．13．[0,1]14．②③;216. 解：（I ）设至少一张中奖为事件A则2()10.50.75P A =-= …………………4分(II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ则ξ可以取5,0,45,145-- …………………6分 ξ的分布列为…………………8分 所以ξ的期望为550%0(50%2%)(45)2%(145)E p p ξ=⨯+⨯--+-⨯+-⨯2.590%145p =-- …………………11分所以当 1.61450p ->时，即8725p <…………………12分所以当80725p <<时，福彩中心可以获取资金资助福利事业…………………13分17.解：（I ）因为点P 在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC 上所以PH ⊥平面ABC ，所以PH ⊥AC …………………1分 因为在直角梯形ABCD 中，90ABC DAB ∠=∠=，30CAB ∠=，2BC =，4AD =所以4AC =，60CAB ∠=，所以ADC ∆是等边三角形，所以H 是AC 中点， …………………2分 所以//HE PC …………………3分 同理可证//EF PB又,HE EF E CP PB P ==所以//EFH PBC 平面PBC …………………5分 （II ）在平面ABC 内过H 作AC 的垂线 如图建立空间直角坐标系，则(0,2,0)A -，P ，B …………………6分因为(0,E -，(0,HE =-设平面PHB 的法向量为(,,)n x y z =因为HB =，HP = 所以有00HB n HP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y z +==⎪⎩，令x =则3,y =- 所以3,0)n =-…………………8分cos ,||||n HE n HE n HE ⋅<>===⋅………………10分 所以直线HE 与平面PHB所成角的正弦值为 ………………11分(III)存在，事实上记点E 为M 即可 …………………12分因为在直角三角形PHA 中，122EH PE EA PA ====， …………………13分 在直角三角形PHB 中，点4,PB =122EF PB ==所以点E 到四个点,,,P O C F 的距离相等 …………………14分18.解: (I) 因为1()||e 2t S t t a =-，其中t a ≠ …………………2分当0a =，1()||e 2t S t t =，其中0t ≠当0t >时，1()e 2t S t t =，1'()(1)e 2tS t t =+，所以'()0S t >，所以()S t 在(0,)+∞上递增， ………………4分当0t <时，1()e 2t S t t =-，1'()(1)e 2tS t t =-+，令1'()(1)e 02t S t t =-+>， 解得1t <-，所以()S t 在(,1)-∞-上递增令1'()(1)e 02t S t t =-+<， 解得1t >-，所以()S t 在(1,0)-上递减 ……………7分综上，()S t 的单调递增区间为(0,)+∞，(,1)-∞-()S t 的单调递增区间为(1,0)-（II ）因为1()||e 2t S t t a =-，其中t a ≠当2a >，[0,2]t ∈时，1()()e2tS t a t =-因为0[0,2]t ∃∈，使得0()e S t ≥，所以()S t 在[0,2]上的最大值一定大于等于e1'()[(1)]e 2tS t t a =---，令'()0S t =，得1t a =- ………………8分当12a -≥时，即3a ≥时1'()[(1)]e 02t S t t a =--->对(0,2)t ∈成立，()S t 单调递增 所以当2t =时，()S t 取得最大值21(2)(2)e2S a =- 令21(2)e e 2a -≥ ，解得 22e a ≥+ ，所以3a ≥ …………………10分 当12a -<时，即3a <时1'()[(1)]e 02t S t t a =--->对(0,1)t a ∈-成立，()S t 单调递增 1'()[(1)]e 02t S t t a =---<对(1,2)t a ∈-成立，()S t 单调递减 所以当1t a =-时，()S t 取得最大值11(1)e 2a S a --= 令11(1)e e2a S a --=≥ ，解得ln 22a ≥+所以ln 223a +≤< ……12分 综上所述，ln 22a +≤ ………………13分19.解:(I)因为椭圆:M 22221(0)x y a b a b +=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点,所以1a b ==,椭圆M 的方程为2213x y += …………………4分(II)设1122(,),(,),A x y B x y 因为AB 的垂直平分线通过点1(0,)2-， 显然直线AB 有斜率，当直线AB 的斜率为0时,则AB 的垂直平分线为y 轴,则1212,x x y y =-=所以111111=|2||||||||2AOB S x y x y x ∆====2211(3)322x x +-=，所以AOB S ∆≤，当且仅当1||x =时，AOB S ∆取得最大值为 ………………7分 当直线AB 的斜率不为0时,则设AB 的方程为y kx t =+所以2213y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，代入得到222(31)6330k x kt t +++-= 当224(933)0k t ∆=+->, 即2231k t +>① 方程有两个不同的解又122631kt x x k -+=+，1223231x x ktk +-=+ …………………8分所以122231y y t k +=+， 又1212112202y y x x k ++=-+-，化简得到2314k t += ②代入①，得到04t << …………………10分又原点到直线的距离为d =12|||AB x x =-=所以1=||||2AOB S AB d ∆=化简得到AOB S ∆ …………………12分因为04t <<，所以当2t =时，即k =AOB S ∆取得最大值综上，AOB ∆面积的最大值为 …………………14分20.（I ）解：法1：42123712371237210121012101-−−−−−→−−−−−→----改变第列改变第行法2：24123712371237210121012101--−−−−−→−−−−−→----改变第行改变第列法3：14123712371237210121012101----−−−−−→−−−−−→--改变第列改变第列…………………3分(II) 每一列所有数之和分别为2，0，2-，0，每一行所有数之和分别为1-，1; ①如果首先操作第三列，则22221212a a a a a a a a -----则第一行之和为21a -，第二行之和为52a -， 这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数，所以12a ≤或52a ≥ 当12a ≤时，则接下来只能操作第一行， 22221212a a a a a a a a ------此时每列之和分别为2222,22,22,2a a a a --- 必有2220a -≥，解得0,1a =-当52a ≥时，则接下来操作第二行22221212a a a a a a a a ------此时第4列和为负，不符合题意. …………………6分 ② 如果首先操作第一行22221212a a a a a a a a -----则每一列之和分别为22a -，222a -，22a -，22a当1a =时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉 当1a ≠时，22a -，22a -至少有一个为负数，所以此时必须有2220a -≥，即11a -≤≤，所以0a =或1a =-经检验，0a =或1a =-符合要求 综上：0a =-…………………9分（III ）能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。