高考数学第一轮三角函数的最值专项复习教案
高三数学一轮复习教学案：三角函数
三角函数1．了解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切．2．掌握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式）及运用．3．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明．4．掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和)(sin ϕω+=x A y 的简图，理解ϕω、A 、的物理意义．5．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx ，arccosx ，arctanx 表示角．6．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．三角部分的知识是每年高考中必考的内容，近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点：1．降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数图象和性质的考查．尤其是三角函数的最大值与最小值、周期．2．以小题为主．一般以选择题、填空题的形式出现，多数为基础题，难度属中档偏易．其次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形，如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等．3．更加强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其它知识的综合，如在解三角形、立体几何、平面解析几何中考查三角函数的知识．第1课时 任意角的三角函数一、角的概念的推广1．与角α终边相同的角的集合为 ．2．与角α终边互为反向延长线的角的集合为 ．3．轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在x 轴上的角的集合为 ，终边在y 轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 ．4．象限角是指： ．5．区间角是指： ．6．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．7．弧度与角度互化：180º＝ 弧度，1º＝ 弧度，1弧度＝ ≈ º．8．弧长公式：l ＝ ；扇形面积公式：S ＝ .二、任意角的三角函数9．定义：设P(x, y)是角α终边上任意一点，且 |PO| ＝r ，则sin α＝ ； cos α＝ ；tan α＝ ；10．三角函数的符号与角所在象限的关系：1213的正弦线、余弦线、正切线．－ ＋ －+cos x , ＋ ＋ －－sin x ,－ ＋ ＋－tan x ,x y O xy O x y O2α,2α ,3α的终边所在位置.解： ∵α是第二象限的角，∴k·360°+90°＜α＜k·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°（k ∈Z ），∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上.（2）∵k·180°+45°＜2α＜k·180°+90°（k ∈Z ），当k=2n （n ∈Z ）时，n·360°+45°＜2α＜n·360°+90°；当k=2n+1（n ∈Z ）时，n·360°+225°＜2α＜n·360°+270°.∴2α是第一或第三象限的角.（3）∵k·120°+30°＜3α＜k·120°+60°（k ∈Z ），当k=3n （n ∈Z ）时，n·360°+30°＜3α＜n·360°+60°；当k=3n+1（n ∈Z ）时，n·360°+150°＜3α＜n·360°+180°；当k=3n+2（n ∈Z ）时，n·360°+270°＜3α＜n·360°+300°.∴3α是第一或第二或第四象限的角.变式训练1：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角？解： ∵α是第三象限角，∴180°+k·360°＜α＜270°+k·360°（k ∈Z ），60°+k·120°＜3α＜90°+k·120°.①当k=3m(m ∈Z )时，可得60°+m·360°＜3α＜90°+m·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第一象限.②当k=3m+1 (m ∈Z )时，可得180°+m·360°＜3α＜210°+m·360°（m ∈Z ).故3α的终边在第三象限.③当k=3m+2 （m ∈Z ）时，可得300°+m·360°＜3α＜330°+m·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第四象限.综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 例2. 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:(1)sin α≥23;(2)cos α≤21-.解：（1）作直线y=23交单位圆于A 、B 两点，连结OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为α|2k π+3π≤α≤2k π+32π，k ∈Z .（2）作直线x=21-交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k k ,342322|ππαππα.变式训练2：求下列函数的定义域：（1）y=1cos 2-x ；（2）y=lg(3-4sin 2x ）.解：（1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥21.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).∴x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-32,32ππππk k （k ∈Z ）.（2）∵3-4sin 2x ＞0,∴sin 2x ＜43,∴-23＜sinx ＜23.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如右图阴影),∴x ∈（k π-3π,k π+3π）（k ∈Z ).例3. 已知角α的终边在直线3x+4y=0上，求sin α,cos α,tan α的值.解：∵角α的终边在直线3x+4y=0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0),则x=4t,y=-3t,r=5)3()4(2222=-+=+t t y x |t|,当t ＞0时，r=5t, sin α=5353-=-=t t r y ,cos α=5454==t t r x , tan α=4343-=-=t t x y ; 当t ＜0时，r=-5t,sin α=5353=--=t t r y , cos α=5454-=-=t t rx , tan α=4343-=-=t t x y . 综上可知，t ＞0时，sin α=53-,cos α=54,tan α=43-; t ＜0时，sin α=53,cos α=-54,tan α=43-.变式训练3：已知角θ的终边经过点P ()(0),sin m m m θ≠=且，试判断角θ所在的象限，并求cos tan θθ和的值．解：由题意，得0,4r m m ==≠∴= 故角θ是第二或第三象限角．当m =,r =P 的坐标为(，cos tan x y r x θθ∴======当m =,r =P 的坐标为(，cos tan x y r x θθ∴======例4. 已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R ． (1) 若α3π=，R ＝2cm ，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积；(2) 若扇形周长为一定值C(C>0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值．解：（1）设弧长为l ，弓形面积为S 弓。
届数学一轮复习第四章三角函数解三角形创新引领微课把握三角函数与解三角形中的最值问题教学案含解析
把握三角函数与解三角形中的最值问题微点聚焦突破类型一三角函数的最值角度1可化为“y＝A sin(ωx＋φ)＋B”型的最值问题【例1－1】如图所示，在平面直角坐标系xOy中,扇形AOB的半径为2，圆心角为错误!,点M是弧AB上异于A，B的点。
（1）若点C(1，0)，且CM＝2,求点M的横坐标;（2）求△MAB面积的最大值.解（1）连接OM,依题意可得，在△OCM中,OC＝1，CM＝2，OM＝2，所以cos ∠COM＝错误!＝错误!，所以点M的横坐标为2×错误!＝错误!。
(2）设∠AOM＝θ，θ∈错误!，则∠BOM＝错误!－θ，S△MAB＝S△OAM＋S△OBM－S△OAB＝错误!×2×2错误!－错误!×2×2×错误!＝2错误!sin错误!－错误!，因为θ∈错误!，所以θ＋错误!∈错误!，所以当θ＝错误!时，△MAB的面积取得最大值，最大值为错误!。
思维升华化为y＝A sin（ωx＋φ）＋B的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响,可通过比较区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值.角度2可化为y＝f(sin x)(或y＝f(cos x））型的最值问题【例1－2】函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为________.解析y＝cos 2x＋2sin x＝－2sin2x＋2sin x＋1。
设t＝sin x，则－1≤t≤1，所以原函数可以化为y＝－2t2＋2t＋1＝－2错误!错误!＋错误!，所以当t＝错误!时,函数y取得最大值为错误!。
答案错误!思维升华可化为y＝f(sin x）（或y＝f(cos x））型三角函数的最值或值域可通过换元法转化为其他函数的最值或值域。
【训练1】（1)（角度1)函数f(x)＝3sin x＋4cos x，x∈[0，π]的值域为________.(2)(角度2)若函数f(x)＝cos 2x＋a sin x在区间错误!上的最小值大于零，则a的取值范围是________.解析(1)f（x）＝3sin x＋4cos x＝5错误!＝5sin(x＋φ），其中cos φ＝错误!，sin φ＝错误!，错误!〈φ<错误!。
高三数学一轮复习三角函数的图像与性质教案
三角函数的图像与性质先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
5．由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ωϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。
6．对称轴与对称中心：sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈；cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+；对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。
7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；8．求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。
9．五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图： 五点取法是设x =ωx +ϕ，由x 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。
二．典例分析考点一：三角函数的定义域与值域典题导入(1)(2013·湛江调研)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________．(2)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ． B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54(1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z (2)C若本例(2)中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，试求其值域．解：令t ＝sin x ，则t ∈．∴y ＝t 2＋t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－54.∴y ∈．∴函数的值域为．由题悟法1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法： (1)利用sin x 、cos x 的值域；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2))；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题(如例1(2))．以题试法1． (1)函数y ＝2＋log 12x ＋tan x 的定义域为________．(2)(2012·山西考前适应性训练)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3解析：(1)要使函数有意义则⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12x ≥0，x >0，tan x ≥0，x ≠k π＋π2，k ∈Z ⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4，k π≤x <k π＋π2k ∈Z .利用数轴可得 函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <π2，或π≤x ≤4.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3即此时函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 答案：(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <π2，或π≤x ≤4 (2)B考点二：三角函数的单调性典题导入(2012·华南师大附中模拟)已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，求：(1)函数的周期；(2)求函数在上的单调递减区间．由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 可化为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. (1)周期T ＝2πω＝2π2＝π.(2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以x ∈R 时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .从而x ∈时， y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－7π12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0.由题悟法求三角函数的单调区间时应注意以下几点：(1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数的单调区间，基本思路是把ωx ＋φ看作是一个整体，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )求得函数的增区间，由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )求得函数的减区间．(2)形如y ＝A sin(－ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数，可先利用诱导公式把x 的系数变为正数，得到y ＝－A sin(ωx －φ)，由－π2＋2k π≤ωx －φ≤π2＋2k π(k ∈Z )得到函数的减区间，由π2＋2k π≤ωx －φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )得到函数的增区间．(3)对于y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)等，函数的单调区间求法与y ＝A sin(ωx ＋φ)类似．以题试法2．(1)函数y ＝|tan x |的增区间为________．(2)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，则a ，b ，c的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析：(1)作出y ＝|tan x |的图象，观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z . (2)f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，而c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin2π3＝2sin π3＝f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7， 所以c <a <b .答案：(1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z (2)B考点三：三角函数的周期性与奇偶性典题导入(2012·广州调研)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2(x ∈R )，给出下面四个命题：①函数f (x )的最小正周期为π；②函数f (x )是偶函数；③函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称；④函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，则其最小正周期为π，故①正确；易知函数f (x )是偶函数，②正确；由f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，③错误；由f (x )的图象易知函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，故④正确．综上可知，选C.C由题悟法1．三角函数的奇偶性的判断技巧首先要对函数的解析式进行恒等变换，再根据定义、诱导公式去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断．2．求三角函数周期的方法 (1)利用周期函数的定义；(2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|； (3)利用图象． 3．三角函数的对称性正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．以题试法3．(1)(2013·青岛模拟)下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2(2)(2012·遵义模拟)若函数f (x )＝sin ax ＋cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0B ．(0,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0 解析：(1)选A 对于选项A ，注意到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 的周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数．(2)选C 由条件得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π4，又函数的最小正周期为1，故2πa ＝1，∴a＝2π，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π4.将x ＝－18代入得函数值为0.板书设计 三角函数的图像与性质1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2．三角函数的单调区间3．函数Bx A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 4．对称轴与对称中心 5．五点法作图教学三角函数的图像与性质是三角函数的重点知识之一，复习时，要让学生熟练记忆三角函数的图。
高考数学一轮复习教案第29课三角函数的最值问题
一、教学目标1．会通过三角恒等变形，将函数关系式化为一个角的一种三角函数形式（即()sin()f x A x B ωϕ=++），然后借助于三角函数的图像和性质，求三角函数的最值和值域；2．能利用换元、求导、数形结合等方法求三角函数的最值和值域。
二、基础知识回顾与梳理1、函数()sin ,[,]63f x x x ππ=∈的值域为 【教学建议】本题主要是帮助学生回顾三角函数的图像和性质，并进一步让学生知道连续函数的最大值和最小值不一定在端点处取得！2、函数2()3sin(2)3f x x π=-的最大值是 ，此时x 的值为 。
【教学建议】本题选自必修四第44页习题1.3第四题，主要是复习三角函数的最值、周期性，有了第1题的铺垫，不妨令23t x π=-，则转化为()3sin f t t =的最值问题，故问题迎刃而解。
3、函数()sin cos f x a x b x =+（,a b 均为正数）的最大值是【教学建议】本题选自必修四第99页习题3.1第13题，是求三角函数最值（或值域）问题中的一种基本模型。
处理方法：引入辅助角ϕ，化为())f x x ϕ=+,利用函数|sin()|1x ϕ+≤即可求解。
形如22()sin sin cos cos f x a x b x x m x n =+++型亦可以化为此类。
4、函数()sin cos 2f x x x =+的值域是 。
【教学建议】如何化简原函数？方向是什么？减少角的个数，将2x x →，得到2()2sin sin 1f x x x =-++ 再换元得2()21f t t t =-++，强调[1,1]t ∈-，结合二次函数的图像求解。
三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成，并将解题过程扼要地写在学习笔记栏。
教师通过课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。
教师课上作适当点评，点评要精要，准确把握重、难点，揭示其中所蕴含的数学方法、思想，给学生以启迪、思考和指导。
高考数学一轮复习三角函数与解三角形中的最值(范围)问题
，∵函数f（x）＝cos（2x＋φ）（0＜φ＜π）在区间
π π
− ,
6 6
上单调递
π
− ≥ 0,
π
π
π
2π
减，∴ − + , + ⊆[0，π]，即ቐ 3π
解得 ≤φ≤ .令f（x）＝cos
3
3
3
3
+ ≤ π,
3
π
π π
（2x＋φ）＝0，则2x＋φ＝ ＋kπ（k∈Z），即x＝ － ＋ （k∈Z），又函数f
4
解：（2）f（x）＝－
1 2 5
sin−
＋ ＋a.
2
4
17
, 5
4 ⇒൝4
()max ≤
由题意得ቐ
()min ≥ 1
17
,
4 ⇒2≤a≤3，
+ ≤
−1 ≥ 1
即实数a的取值范围是[2，3].
三角形中的最值（范围）问题
考向1 利用三角函数的性质求最值（范围）
【例4】 △ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.
重难专攻（四）
三角函数与解
三角形中的最值（范围）问题
三角函数与解三角形中的最值（范围）问题是高考的热点，主要涉及：
（1）三角函数式的最值（范围）问题；（2）利用三角函数性质求某些量的最
值（范围）；（3）三角形中的最值（范围）（周长、面积等），其求解方法多
样，一般常用方法有：（1）利用三角函数的单调性（正、余弦函数的有界性）
3
3
答案
3
3
－
3
3
2
1+ 2
，
｜解题技法｜
sin+
2025届高考数学一轮复习教案：三角函数-简单的三角恒等变换
第2课时简单的三角恒等变换【课程标准】能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式,并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆).【考情分析】考点考法:高考命题常以角为载体,考查二倍角公式、升幂降幂公式、半角公式;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α:sin2α=2sinαcosα.(2)公式C2α:cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.(3)公式T2α:tan2α=2tan1-tan2.2.常用的部分三角公式(1)1-cosα=2sin22,1+cosα=2cos22.(升幂公式) (2)1±sinα=(sin2±cos2)2.(升幂公式) (3)sin2α=1-cos22,cos2α=1+cos22,tan2α=1-cos21+cos2.(降幂公式)3.半角公式sin2=±cos2=±tan2=±=sin 1+cos=1-cos sin.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12431.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是()A .半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的B .存在实数α,使tan 2α=2tan αC .cos 22=1-cos2D .tan 2=sin 1+cos =1-cos sin【解析】选ABD .由半角公式、二倍角公式可知,选项A 正确;因为当α=0时,tan 2α=2tan α=0,所以选项B 正确;因为由二倍角公式可知:cos θ=2cos 22-1,所以cos 22=1+cos2,因此选项C 错误;因为tan2=sin2cos 2=2sin2cos22cos 22=sin 1+cos ,tan 2=sin2cos 2=2sin2cos22cos 22=1-cossin ,所以选项D 正确.2.(必修第一册P223练习5改条件)cos 2π12-cos 25π12=()A .12B .33C .22D .32【解析】选D .因为cos5π12=sin(π2-5π12)=sin π12,所以cos 2π12-cos 25π12=cos 2π12-sin 2π12=cos(2×π12)=cos π6=32.3.(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=1+54,则sin2=()A .3-58B .-1+58C .3-54D .-1+54【解析】选D .cos α=1+54,则cos α=1-2sin 22,故2sin 22=1-cos α=3-54,即sin 22=3-58=(5)2+12-2516=(5-1)216,因为α为锐角,所以sin2>0,所以sin 2=-1+54.4.(忽视隐含条件)已知2sin α=1+cos α,则tan2=()A .2B .12C .2或不存在D .12或不存在【解析】选D .当α=2k π+π(k ∈Z )时,满足2sin α=1+cos α,此时tan 2不存在;当α≠2k π+π(k ∈Z )时,tan2=sin1+cos =12.【核心考点·分类突破】考点一三角函数式的化简[例1](1)函数f (x )=sin 2x +3sin x cos x -12可以化简为()A .f (x )=sin(2x -π3)B .f (x )=sin(2x -π6)C .f (x )=sin(2x +π3)D .f (x )=sin(2x +π6)【解析】选B .f (x )=sin 2x +3sin x cos x -12=1-cos22+32sin 2x -12=32sin 2x -12cos 2x =sin(2x -π6).(2)已知0<θ<π,(1+sinrcos )(sin 2-cos 2)________.【解析】由θ∈(0,π)得0<2<π2,所以cos2>0,所以2+2cos =2.又(1+sin θ+cos θ)(sin 2-cos 2)=(2sin 2cos2+2cos 22)(sin 2-cos2)=2cos2(sin 22-cos 22)=-2cos2cos θ.故原式=-2cos2cos 2cos2=-cos θ.答案:-cos θ【解题技法】三角函数式化简的解题策略(1)从三角函数名、角以及幂的差异三方面入手进行适当变形,结合所给的“形”的特征求解;(2)注意弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂升幂.【对点训练】1.化简:2cos 4-2cos 2r122tan(π4-psin 2(π4+p =__________.【解析】原式=12(4cos 4-4cos 2r1)2×sin(π4-pcos(π4-p ·cos 2(π4-p =(2cos 2-1)24sin(π4-pcos(π4-p =cos 222sin(π2-2p =cos 222cos2=12cos 2x.答案:12cos 2x2.化简:sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β-12cos 2αcos 2β=________.【解析】原式=1-cos22·1-cos22+1+cos22·1+cos22-12cos 2αcos 2β=1-cos2-cos2rcos2vos24+1+cos2rcos2rcos2vos24-12cos 2α·cos 2β=12+12cos 2αcos 2β-12cos 2αcos 2β=12.答案:12【加练备选】化简:2sin (π-)+sin2cos 22=________.【解析】2sin (π-)+sin2cos 22=2sinr2sinvos 12(1+cos )=2sin (1+cos )12(1+cos )=4sin α.答案:4sin α考点二三角函数式的求值角度1给值求值[例2](2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α-β)=13,cos αsin β=16,则cos(2α+2β)=()A .79B .19C .-19D .-79【解析】选B.因为sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=13,cosαsinβ=16,所以sinαcosβ=12,所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=23,所以cos(2α+2β)=cos2(α+β)=1-2sin2(α+β)=1-2×(23)2=19.【解题技法】给值求值解题的两点注意(1)注意“变角”,使其角相同或具有某种关系.(2)注意公式的选择及其公式的逆应用.角度2给角求值[例3](2023·淄博模拟______.【解析】=14sin48°2sin48°=18.答案:18【解题技法】给角求值的解题策略(1)该问题一般所给出的角都是非特殊角,解题时一定要注意非特殊角与特殊角的关系;(2)要利用观察得到的关系,结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数.角度3给值求角[例4]若sin2α=55,sin(β-α)=1010,且α,π,β∈π则α+β的值是() A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4【解析】选A.因为α4π,所以2α2π,因为sin2α=55,所以2α,π.所以αcos2α=-255,又因为sin(β-α)=1010,β∈π,所以β-α(β-α)=-31010,所以cos(α+β)=cos[(β-α)+2α]=cos(β-α)cos2α-sin(β-α)sin2α=---1010×55=22,又α+β2π,所以α+β=7π4.【解题技法】给值求角的方法依条件求出所求角的范围,选择一个在角的范围内严格单调的三角函数求值.【对点训练】1.(2023·保定模拟)已知sin(θ-π4)=223,则sin2θ的值为()A.79B.-79C.29D.-29【解析】选B.由sin(θ-π4)=223,得sin(θ-π4)=sinθcosπ4-cosθsinπ4=22(sinθ-cosθ)=223,即sinθ-cosθ=43,等式两边同时平方,得1-sin2θ=169,所以sin2θ=-79.2.(2023·枣庄模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(-3,4),则tan2=()A.-12或2B.2C.-13或3D.3【解析】选B.因为角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(-3,4),所以sinα=45,cosα=-35,所以tan2=sin1+cos=451-35=2.3.已知sin(α-2)=55,sin(β-2)=1010,且α-2∈(0,π2),β-2∈(0,π2),则r2=__________.【解析】因为α-2∈(0,π2),β-2∈(0,π2),所以0<r2<π,cos(α-2)=255,cos(β-2)=31010.因为cos r2=cos[(α-2)+(β-2)]=cos(α-2)cos(β-2)-sin(α-2)sin(β-2)=255×31010-55×1010=22,所以r2=π4.答案:π44.化简求值:3-4sin20°+8sin320°2sin20°sin480°.【解析】原式=3-4sin20°(1-2sin 220°)2sin20°sin480°=3-4sin20°cos40°2sin20°sin480°=2sin (20°+40°)-4sin20°cos40°2sin20°sin480°=2sin (40°-20°)2sin20°sin480°=1sin480°=1sin120°=233.【加练备选】若tan 2α=-34,则sin2rcos 21+2sin 2=()A .-14或14B .34或14C .34D .14【解析】选D .由tan 2α=2tan1-tan 2=-34,可得tan α=3或tan α=-13.故sin2rcos 21+2sin 2=2sinvosrcos 23sin 2rcos 2=2tanr13tan 2r1,当tan α=3时,2×3+13×32+1=728=14;当tan α=-13时,2×(-13)+13×(-13)2+1=1343=14.考点三三角恒等变换的应用教考衔接教材情境·研习·典题类[例5](必修第一册P227·例10)如图,在扇形OPQ 中,半径OP =1,圆心角∠POQ =π3,C 是扇形弧上的动点,矩形ABCD 内接于扇形.记∠POC =α,求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积.【解题导思】看问题三角恒等变换中的最值问题提信息半径OP =1,圆心角∠POQ =3,矩形ABCD 内接于扇形,∠POC =α定思路借助角α并利用三角函数,把矩形ABCD 的长和宽表示出来,确定矩形ABCD面积的表达式,最后利用三角恒等变换和三角函数的性质确定最大面积【解析】在Rt△OBC中,OB=cosα,BC=sinα.在Rt△OAD中,D D=tanπ3=3.OA=33DA=33BC=33sinα,AB=OB-OA=cosα-33sinα.设矩形ABCD的面积为S,则S=AB·BC=(cosα-33sinα)sinα=sinαcosα-33sin2α=12sin2α-36(1-cos2α)=12sin2α+36cos2α-36(32sin2α+12cos2α)-36=α+π6)-36.由0<α<π3,得π6<2α+π6<5π6,所以当2α+π6=π2,即α=π6时,S最大-36=36.因此,当α=π6时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为36.【高考链接】(2024·保定模拟)已知扇形POQ的半径为2,∠POQ=π3,如图所示,在此扇形中截出一个内接矩形ABCD(点B,C在弧P 上),则矩形ABCD面积的最大值为__________.【解析】作∠POQ的平分线OE,交AD于F,BC于E,连接OC,根据题意可知△AOD为等边三角形,则E为BC的中点,F为AD的中点,设∠COE=α,α∈(0,π6),CE=OC sinα=2sinα,则AD=BC=2CE=4sinα,则OF=32AD=23sinα,OE=OC cosα=2cosα,则AB=2cosα-23sinα,所以矩形ABCD的面积S=BC·AB=4sinα(2cosα-23sinα)=4sin2α+43cos2α-43=8sin(2α+π3)-43,当2α+π3=π2,即α=π12时,S取得最大值8-43,所以矩形ABCD面积的最大值为8-43.答案:8-43[溯源点评]两题的区别在于扇形内接矩形ABCD的方式不同,考虑该问题是否能转化为更简单的、熟悉的问题来解决.根据图形的对称性,作∠POQ的平分线,分别交AD,BC于点F,E,从而使整个问题又回到教材中的问题.。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案三角函数的图象与性质
第三节 三角函数的图象与性质三角函数的图象及性质能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的单调性． 知识点 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象 和性质 函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图 象定义域RR⎩⎨⎧x ⎪⎪ x ≠π2 } ＋k π，k ∈Z值域[－1,1][－1,1]R单调性递增区间：⎣⎡ 2k π－π2， ⎦⎤2k π＋π2(k ∈Z )递减区间：⎣⎡2k π＋π2，⎦⎤2k π＋3π2(k ∈Z )递增区间： [2k π－π，2k π](k ∈Z ) 递减区间： [2k π，2k π＋π] (k ∈Z )递增区间：⎝⎛ k π－π2，⎭⎫k π＋π2(k ∈Z )最 值x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∈Z )时，y max＝1；x ＝2k π＋π(k ∈Z )时，y min ＝－1无最值奇偶性 奇函数偶函数 奇函数 对称性对称中心(k π，0)，k ∈Z对称中心⎝⎛⎭⎫k π2，0，k∈Z对称中心⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z对称轴l ：x ＝k π＋π2，k ∈Z对称轴l ：x ＝k π，k ∈无对称轴Z周期性 2π2ππ易误提醒1．正切函数的图象是由直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 不能说它在整个定义域内是增函数，如π4<3π4，但是tan π4>tan 3π4，正切函数不存在减区间．2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．3．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件． 必记结论 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是奇函数，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时是偶函数；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是偶函数，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时是奇函数．[自测练习]1．函数y ＝tan 3x 的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠3π2＋3k π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π6＋k π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π6＋k π，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π6＋k π3，k ∈Z 解析：由3x ≠π2＋k π，得x ≠π6＋k π3，k ∈Z .答案：D2．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x ， ∴f (x )是最小正周期为π的偶函数． 答案：B3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 经验证可知f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π3＝sin π＝0， 即⎝⎛⎭⎫π3，0是函数f (x )的一个对称点． 答案：B4．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________. 解析：函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．答案：53π4＋2k π(k ∈Z ) 考点一 三角函数的定义域、值域|1．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6，k ∈Z D ．R解析：∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z . 答案：C2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22C ．0D.22解析：因为0≤x ≤π2，所以－π4≤2x －π4≤3π4，由正弦函数的图象知，1≥sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4≥－22，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22，故选B. 答案：B3．已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．解析：f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |＝⎩⎨⎧cos x (sin x ≥cos x )，sin x (sin x <cos x ).画出函数f (x )的图象(实线)，如图，可得函数的最小值为－1，最大值为22，故值域为⎣⎡⎦⎤－1，22.答案：⎣⎡⎦⎤－1，22 1．三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求三角函数值域(最值)的三种方法(1)将所给函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，通过分析ωx ＋φ的范围，结合图象写出函数的值域．(2)换元法：把sin x (cos x )看作一个整体，化为二次函数来解决． (3)数形结合法，作出三角函数图象可求．考点二 三角函数的单调性|(2015·高考重庆卷)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．[解] (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而 当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减． 三角函数的单调区间的求法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可．若ω为负，则要先把ω化为正数．(2)图象法：作出三角函数的图象，根据图象直接写出单调区间．1．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，又y ＝sin t 在区间⎝⎛⎭⎫π2，32π上递减．∴π2ω＋π4≥π2，且ωπ＋π4≤32π，解之得12≤ω≤54.答案：A2．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调区间． 解：把函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 变为y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3.由k π－π2<2x －π3<k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6<2x <k π＋5π6，k ∈Z ，即k π2－π12<x <k π2＋5π12，k ∈Z .故函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．考点三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性|正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．归纳起来常见的命题角度有： 1．三角函数的周期性． 2．三角函数的奇偶性．3．三角函数的对称轴或对称中心． 4．三角函数性质的综合应用． 探究一 三角函数的周期性1．函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期为________． 解析：∵y ′＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期T ′＝π， ∴T ＝T ′2＝π2.答案：π22．(2015·高考湖南卷)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.解析：由题意，两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，易知|PQ |2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，其中|y 2－y 1|＝2－(－2)＝22，|x 2－x 1|为函数y ＝2sin ωx －2cos ωx ＝22sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4的两个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(23)2＝⎝⎛⎭⎫2π2ω2＋(22)2，ω＝π2. 答案：π2探究二 三角函数的奇偶性3．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2 B.2π3 C.3π2D.5π3解析：由y ＝sin x ＋φ3是偶函数知φ3＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝3π2＋3k π，k ∈Z ，又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2.答案：C探究三 三角函数的对称轴或对称中心4．若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：由题知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )⇒ωmin ＝2，故选B.答案：B5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2解析：∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高(低)点， 故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .即k ＝－1，则x ＝－π4.答案：C探究四 三角函数性质的综合应用6．(2015·揭阳一模)当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ( ) A ．是奇函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称 C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称 解析：∵当x ＝π4时，函数f (x )取得最小值，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z )． ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2k π－3π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4. ∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ＝sin(－x )＝－sin x .∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x 是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称． 答案：C7．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，因为函数f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ω2＋π4＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2，即ω2≤π4，取k ＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2.答案：π2函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．11.换元法求三角函数的最值问题【典例】 (1)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． (2)求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值．[思路点拨] 利用换元法求解，令t ＝sin x 或令t ＝sin x ＋cos x ．转化为二次函数最值问题．[解] (1)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12时，y max ＝54，t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22. (2)令t ＝sin x ＋cos x ，∴t ∈[－2， 2 ]． 又(sin x ＋cos x )2－2sin x cos x ＝1， ∴sin x cos x ＝t 2－12，∴y ＝32t 2＋t －32，t ∈[－2，2]，∵t 对＝－13∈[－2，2]，∴y 小＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝32×19－13－32＝－53， y 大＝f (2)＝32＋ 2.[方法点评] (1)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可设sin x ＝t ，再化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(2)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可设t ＝sin x ±cos x ，再化为关于t 的二次函数求值域(最值)．[跟踪练习] 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：由π6≤x ≤7π6，知－12≤sin x ≤1.又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝2sin 2x －sin x ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78，∴当sin x ＝14时，y min ＝78， 当sin x ＝1或－12时，y max ＝2.答案：782A 组 考点能力演练1．(2015·唐山期末)函数f (x )＝1－2sin 2x2的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2D ．4π解析：∵f (x )＝1－2sin 2x 2＝cos x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π1＝2π，故选A.答案：A2．函数f (x )＝cos 2x ＋2sin x 的最大值与最小值的和是( ) A ．－2 B ．0 C ．－32D ．－12解析：f (x )＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，所以函数f (x )的最大值是32，最小值是－3，所以最大值与最小值的和是－32，故选C.答案：C3．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( ) A.π3 B.2π3 C ．πD.4π3解析：画出函数y ＝sin x 的草图分析知b －a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤2π3，4π3.答案：A4．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上递减，则ω＝( )A ．3B ．2C ．6D ．5解析：∵f (x )在⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递减，且f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π22＝0， ∵f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π22＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3ω＋π3＝0， ∴π3ω＋π3＝k π(k ∈Z )，又12·2πω≥π2－π6，ω>0，∴ω＝2. 答案：B5．若函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，且－π2<φ<π2，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3为( ) A ．奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增 B ．偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增 C ．偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减 D ．奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减 解析：因为函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，则8π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .即φ＝k π－13π6，k ∈Z ，又－π2<φ<π2，则φ＝－π6， 则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，所以该函数为奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减，故选D. 答案：D6．(2015·长沙一模)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1<πk<2，即k <π<2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3. 答案：2或37．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π4(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f (x )在[－1,1]上的单调增区间为________．解析：由题知2π2ω＝2，得ω＝12π， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx －π4，令－π2＋2k π≤πx －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－14＋2k ≤x ≤34＋2k ，k ∈Z ，又x ∈[－1,1]，所以－14≤x ≤34，所以函数f (x )在[－1,1]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－14，34. 答案：⎣⎡⎦⎤－14，34 8．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题：①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2；②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是增函数； ④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称． 其中真命题的是________．解析：f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题；f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，2x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，故③是真命题；因为f ⎝⎛⎭⎫3π4＝12sin 3π2＝－12，故f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，故④是真命题． 答案：③④9．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间． 解：∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π， ∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin 2x cos φ＝0，由已知上式对∀x ∈R 都成立，∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时， sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32， 即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32. 又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π. ∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z . ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 10．(2016·长沙模拟)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6. (1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g (x )的最大值．解：(1)由题意知f (x )＝32sin πx 3－32cos πx 3－1＝3·sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π3－1， 所以y ＝f (x )的最小正周期T ＝2ππ3＝6. 由2k π－π2≤πx 3－π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ， 所以y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z . (2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最大值即为x ∈[3,4]时，y ＝f (x )的最大值，当x ∈[3,4]时，π3x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，π，sin ⎝⎛⎭⎫π3x －π3∈ ⎣⎡⎦⎤0，32，f (x )∈⎣⎡⎦⎤－1，12，即当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最大值为12. B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析：由周期公式T ＝2π2＝π. 答案：B2．(2015·高考四川卷)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x 解析：采用验证法．由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A.答案：A3．(2015·高考浙江卷)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．解析：由题意知，f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32，所以最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，故单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )． 答案：π ⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z ) 4．(2014·高考北京卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 解析：记f (x )的最小正周期为T . 由题意知T 2≥π2－π6＝π3， 又f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，且2π3－π2＝π6， 可作出示意图如图所示(一种情况)：∴x 1＝⎝⎛⎭⎫π2＋π6×12＝π3，x 2＝⎝⎛⎭⎫π2＋2π3×12＝7π12，∴T 4＝x 2－x 1＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 答案：π5．(2015·高考北京卷)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值． 解：(1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3， 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3， 所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－ 3.。
高考数学一轮复习 三角函数的图象及性质教案 理 教案
某某省东北师X大学附属中学2015届高考数学一轮复习三角函数的图象及性质教案理知识梳理：(阅读教材必修4第30页—第72页)1、三角函数的图象及性质函数正弦函数余弦函数正切函数图象定义域值域单调性奇偶性周期性对称中心对称轴2、周期函数：对于函数如果存在一个非零常数T，使得当x取定义内的每一个值时，都有=，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做函数的周期；最小正周期：对于周期函数，如果在它的所有周期中，存在一个最小正数，那么这个最小的正数就叫做函数的最小正周期，常把最小正周期叫做函数的周期。
3、三角函数的图象的画法：（1）、利用三角函数线的几何画法；（2）、利用变换法（3）、五点法作图4、三角函数方程与三角不等式的解法主要根据三角函数的图象，先找出在一个周期内的方程或不等式的解，再写出和它们终边相同的角的集合。
探究一：三角函数的定义域问题例1：（1）、求函数的定义域；（2）、求函数的定义域；（3）、求函数的定义域。
探究二：三角函数的最值问题例2：(2014某某)（本小题满分13分）已知函数()23cos sin 3cos 34f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】 （1） π（2）41,21-本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式与余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识. 考查基本运算能力. 满分13分.（Ⅰ）解：由已知，有cosx(sinxcos +cosxsin )-= sinxcosx-cos 2x+=+=(1+cos2) +==所以，f x 的最小正周期T==例3：（2014新课标2 理科）.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.探究三：三角函数的图象与性质例4：设函数f(x)的图角的一条对称轴是(1): 求；(2): 求函数的单调区增区间例5：函数在区间[]上的最大值为1，求探究四：三角函数的值域例6：+)例7：sinx+cosx+sinxcosx+1 ，x]例8：一、方法提升1、求三角函数的定义域常用的方法：通过解不等式最后化成一个三角函数值的X围，再利用三角函数的图象或三角函数线求解，若需要解三角不等式组，要注意运用数轴取交集；2、求三角函数的值域或最值常用方法：（1）将三角函数关系式化成一角一函数的形式，利用三角函数的有界性或三角函数的单调性来解；（2）将三角函数关系式化成一个角的三角函数式的二次函数式，利用配方或二次函数的图象求解，要注意变量的X围；（3）数形结合法、换元法。
高考数学第一轮复习教案 专题6三角函数、三角恒等变换与解三角形
专题六 三角函数、三角恒等变换与解三角形一、考试内容：角的概念的推广．弧度制．任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式．两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角． 正弦定理．余弦定理．斜三角形解法． 二、考试要求：（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义． （3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义．（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示． （7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形． （8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sin α/cos α=tan α,tan α•cos α=1”． 三、命题热点高考对给部分考查的主要内容为：任意角的概念和弧度制、任意角的三角函数的概念、诱导公式、同角三角函数关系、三角函数的图像和性质、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理，并能步运用它们解斜三角形，并结合平面向量的概念和线性运算、平面向量的数量积、平面向量的应用。
高考对该部分的考查重基础，虽然该部分内容在试卷中试题数量多、占有的分值较多，但是试题以考查基础为主，试题的难度一般是中等偏下。
2012届高考数学第一轮三角函数专项复习教案
2012届高考数学第一轮三角函数专项复习教案第四三角函数●网络体系总览●考点目标定位1理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算2掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，并会利用与单位圆有关的三角函数线表示正弦、余弦和正切；了解任意角的余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式3掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明（包括引出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）4会用正弦线、正切线画出正弦函数、正切函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义，并通过它们的图象理解正弦、余弦、正切函数的性质；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数=Asin（ωx+ ）的简图，理解A、ω、的物理意义了解反正弦、反余弦、反正切的概念，会用反三角表示角●复习方略指南本部分内容历为高考命题的热点，其分值约占20%，一般都是三或四个小题，一个大题小题主要考查三角函数的基本概念、图象、性质及“和、差、倍角”公式的运用大题则着重考查=Asin（ωx+ ）的图象和性质及三角函数式的恒等变形试题大都于本中的例题、习题的变形，一般为容易题或中档题因此复习时应“立足于本，着眼于提高”本内容公式多，三角函数作为工具，和其他知识间的联系密切，因此复习中应注意：1弄清每个公式成立的条，公式间的内在联系及公式的变形、逆用等切不可死记硬背，要在灵、活、巧上下功夫2本突出显现以数形结合思想与等价转化思想为主导的倾向在本复习中，应深刻理解数与形的内在联系，理解众多三角公式的应用及三角函数式的化简、求值、证明等无一不体现等价转化思想3通过图象的变换理解并掌握利用变换研究图象的思想方法，并从中体会“变换美”4有关三角函数方面的应用题，大都需要用“辅助角公式”asinx+bsx= sin（x+ ）（其中角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan = 确定）将函数化成=Asin（ωx+ ）+h的形式，再求其最值或周期等41 三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公式●知识梳理1任意角的三角函数设α是一个任意角，α的终边上任意一点P（x，）与原点的距离是r （r= ＞0），则sinα= ，sα= ，tanα=上述三个比值不随点P在终边上的位置改变而改变2同角三角函数关系式sin2α+s2α=1（平方关系）；=tanα（商数关系）；tanαtα=1（倒数关系）3诱导公式α+2π（∈Z）、－α、π±α、2π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号另外：sin（－α）=sα，s（－α）=sinα●点击双基1已知sin = ，s =－，那么α的终边在A第一象限B第三或第四象限第三象限D第四象限解析：sinα=2sin s =－＜0，sα=s2 －sin2 = ＞0，∴α终边在第四象限答案：D2设sα=t，则tan（π－α）等于A B－± D±解析：tan（π－α）=－tanα=－∵sα=t，又∵sinα=± ，∴tan（π－α）=±3α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点且sα= x，则x的值为A B±－D－解析：∵sα= = = x，∴x=0（舍去）或x= （舍去）或x=－答案：4若= ，则α的取值范围是_______解析：∵= = ，∴sα＞0∴α∈（2π－，2π+ ）（∈Z）答案：α∈（2π－，2π+ ）（∈Z）化简=_________解析：= =|sin4－s4|=sin4－s4答案：sin4－s4●典例剖析【例1】（1）若θ是第二象限的角，则的符号是什么?（2）π＜α+β＜，－π＜α－β＜－，求2α－β的范围剖析：（1）确定符号，关键是确定每个因式的符号，而要分析每个因式的符号，则关键看角所在象限（2）可以把α+β与α－β看成两个变量（整体思想），然后把2α－β用这两个变量表示出即可解：（1）∵2π+ ＜θ＜2π+π（∈Z），∴－1＜sθ＜0，4π+π＜2θ＜4π+2π，－1＜sin2θ＜0∴sin（sθ）＜0，s（sin2θ）＞0（2）设x=α+β，=α－β，2α－β=x+n，则2α－β=α+β+nα－nβ=（+n）α+（－n）β∴∴= ，n= ∴2α－β= x+∵π＜x＜，－π＜＜－，∴＜x＜，－＜＜－∴－π＜x+ ＜评述：（1）解此题的常见错误是：π＜α+β＜π，①－π＜α－β＜－，②①+②得0＜2α＜π，③由②得＜β－α＜π，④①+④得＜2β＜，∴＜β＜⑤∴－＜－β＜－⑥③+⑥得－＜2α－β＜（2）本题可用线性规划求解，不妨一试【例2】已知sα= ，且－＜α＜0，求的值剖析：从sα= 中可推知sinα、tα的值，再用诱导公式即可求之解：∵sα= ，且－＜α＜0，∴sinα=－，tα=－∴原式= = =－tα=评述：三角函数式的化简求值是三角函数中的基本问题，也是常考的【例3】已知sinβ= ，sin（α+β）=1，求sin（2α+β）的值剖析：由已知sin（α+β）=1，则α+β=2π+ ，再将2α+β改造成2（α+β）－β即可求之解：∵sin（α+β）=1，∴α+β=2π+∴sin（2α+β）=sin［2（α+β）－β］=sinβ=评述：整体代入是常用的技巧，这里要分析已知和要求的结论之间的角的关系和三角函数名称之间的关系●闯关训练夯实基础1角α的终边过点P（－8，－6s60°）且sα=－，则的值是A B－－D解析：P（－8，－3），sα= =－∴= 或=－（舍去）答案：A2设α、β是第二象限的角，且sinα＜sinβ，则下列不等式能成立的是Asα＜sβBtanα＜tanβtα＞tβDseα＜seβ解析：A与D互斥，B与等价，则只要判断A与D对错即可利用单位圆或特殊值法，易知选A答案：A3已知tan110°=a，则tan0°=_________解析：tan0°=tan（110°－60°）= =答案：4（2004年北京东城区二模题）已知sinα+sα= ，那么角α是第_______象限的角解析：两边平方得1+2sinαsα= ，∴sinαsα=－＜0∴α是第二或第四象限角答案：第二或第四若sinα•sα＜0，sinα•tanα＜0，化简+解：由所给条知α是第二象限角，则是第一或第三象限角原式= ==6化简（∈Z）解：当=2n（n∈Z）时，原式= = =－1当=2n+1（n∈Z）时，原式= = =－1综上结论，原式=－1培养能力7（200年北京东城区模拟题）已知tan（+α）=2，求：（1）tanα的值；（2）sin2α+sin2α+s2α的值（1）解：tan（+α）= =2，∴tanα=（2）解法一：sin2α+sin2α+s2α=sin2α+sin2α+s2α－sin2α=2sinαsα+s2α= == =解法二：sin2α+sin2α+s2α=sin2α+sin2α+s2α－sin2α=2sinαsα+s2α①∵tanα= ，∴α为第一象限或第三象限角当α为第一象限角时，sinα= ，sα= ，代入①得2sinαsα+s2α= ；当α为第三象限角时，sinα=－，sα=－，代入①得2sinαsα+s2α= 综上所述sin2α+sin2α+s2α=8已知sinθ= ，sθ= ，若θ是第二象限角，求实数a的值解：依题意得解得a= 或a=1（舍去）故实数a=9设α∈（0，），试证明：sinα＜α＜tanα证明：如下图，在平面直角坐标系中作单位圆，设角α以x轴正半轴为始边，终边与单位圆交于P点∵S△PA＜S扇形PA＜S△AT，∴|P|＜α＜|AT|∴sinα＜α＜tanα探究创新10是否存在α、β，α∈（－，），β∈（0，π）使等式sin（3π－α）= s（－β），s（－α）=－s（π+β）同时成立?若存在，求出α、β的值；若不存在，请说明理由解：由条得①2+②2得sin2α+3s2α=2，∴s2α=∵α∈（－，），∴α= 或α=－将α= 代入②得sβ= 又β∈（0，π），∴β= ，代入①可知，符合将α=－代入②得β= ，代入①可知，不符合综上可知α= ，β=●思悟小结1要熟悉任意角的概念、弧度制与角度制的互化、弧度制下的有关公式、任意角的三角函数概念2在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并就不同的象限分别求出相应的值3注意公式的变形使用，弦切互化、三角代换、消元是三角变换的重要方法，要尽量减少开方运算，慎重确定符号4注意“1”的灵活代换，如1=sin2α+s2α=se2α－tan2α=s2α－t2α=tanα•tα应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀●教师下载中心教学点睛1本时概念多且杂，要求学生在预习的基础上，先准确叙述回忆，复习中注意“三基”的落实2利用同角三角函数的关系及诱导公式进行化简、求值、证明时，要细心观察题目的特征，注意培养学生观察、分析问题的能力，并注意做题后的总结，引导学生总结一般规律如：“切割化弦”“1的巧代”，sinα+sα、sinαsα、sinα－sα这三个式子间的关系拓展题例【例1】求sin21°+sin22°+…+sin290°分析：sin21°+s21°=sin21°+sin289°=1故可倒序相加求和解：设S=sin20°+sin21°+sin22°+…+sin290°，S=sin290°+sin289°+sin288°+…+sin20°，∴2S=（sin20°+sin290°）+…+（sin290°+sin20°）=1×91∴S=4【例2】已知sinα+sβ=1，求=sin2α+sβ的取值范围分析：本题易错解为=sin2α+1－sinα，sinα∈［－1，1］，然后求的取值范围解：=sin2α－sinα+1=（sinα－）2+∵sinα+sβ=1，∴sβ=1－sinα∴∴sinα∈［0，1］∴∈［，1］。
北京第十八中学高三数学第一轮复习 45 三角函数的最值教学案(教师版)
教案45 三角函数的最值一、课前检测1.已知函数k x A y ++=)sin(ϕω的定义域为R ，周期为2π，初相为3π，值域为[]3,1-，则其函数式为____________。
答案：1)34sin(2++=πx y2.将函数x y 2sin =的图象向左平移125π个单位，得到函数)(x f y =的图象，则函数)(x f 的单调递减区间是_________。
答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6,32ππππk k 3.设]2,0[π∈x ，函数)sin(ϕω+=x A y 在12π=x 处有最大值2max =y ，在127π=x 处有最小值2min -=y ，则此函数解析式为_____________。
答案：)32sin(2π+=x y二、知识梳理1．求三角函数最值的常用方法有：（1）配方法（2）化为一个角的三角函数形式，如sin()y A x k ωϕ=++等，利用三角函数的有界性求解（3）数形结合法（4）换元法（5）基本不等式法等.解读：2．三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的角的范围，还要注意弦函数的有界性.解读：三、典型例题分析例1 求函数y ＝x x x cos 1sin 2sin -⋅最值。
解：y ＝x x xx x x cos 2cos 2cos 1sin cos sin 22+=-⋅⋅ ＝21)21(cos 22-+x∴ 当cosx ＝21-时，y min =21-∵ cos x ≠1∴ 函数y 没有最大值。
变式训练 求y=sinx+cosx+sinxcosx 的最值。
解：令t=sinx+cosx,则有t 2=1+2sinxcosx,即sinxcosx=212-t . 有y=f(t)=t+212-t =1)1(212-+t . 又t=sinx+cosx=2sin )4(π+x ， ∴-2≤t≤2.故y=f(t)= 1)1(212-+t (-2≤t≤2), 从而知：f(-1)≤y≤f(2),即-1≤y≤2+21. 即函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-212,1.变式训练 若函数)2cos(2sin )2sin(42cos 1)(x x a x xx f --++=π的最大值为2，试确定常数a 的值..15,.444111sin ),sin(441sin 2cos 212cos 2sin cos 4cos 2)(:2222±==++=++=+=+=a a a x a x a x x x a x x x f 解之得由已知有满足其中角解ϕϕϕ 小结与拓展：小结与拓展：四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）1.知识：2.思想与方法：3.易错点：4.教学反思（不足并查漏）：。
高考数学第一轮三角函数的最值专项复习教案
适用精选文件资料分享2012 届高考数学第一轮三角函数的最值专项复习讲课设计4.9 三角函数的最值●知识梳理 1.y=asinx+bcosx型函数最值的求法.常转变为y= sin （x+ ），此中 tan = . 2.y=asin2x+bsinx+c型.常经过换元法转变为 y=at2+bt+c 型. 3.y= 型. （1）转变为型 1. （2）转变为直线的斜率求解 . 4. 利用单调性 . ●点击双基 1. （2000 年全国）若 0＜α＜β＜，sin α+cosα=a，sin β+cosβ=b，则 A.a ＜b＜1 B.a ＞b＞1 C.ab ＜1 D.ab ＞1 解析： a= sin （α+ ），b= sin （β+ ），0＜α+ ＜β+ ＜，∴1＜a＜b，ab＞1. 答案：D 2. 函数 f（x）=cos2x+sinx 在区间［－，］上的最小值是A. B. － C. －1 D. 解析： f （x）=1－s in2x+sinx= －（ sinx －）2+ . ∴当 x=－时， ymin= . 答案： D3. 函数 y=x－sinx 在［，π］上的最大值是 A. －1 B. +1 C. － D. π解析： y=x－sinx 在［，π］上是增函数，∴ x=π时，ymax=π. 答案： D 4.y= 的最大值是 _________，最小值是 _________. 解析一：y= =1－ . 当 sinx= －1 时，得 ymin=－1，当 sinx=1 时，得 ymax= . 解析二：原式 sinx= （∵ y≠1） | | ≤1 －1≤y≤ . ∴ymax= ，ymin=－1. 答案：－1 5.y= （0＜x＜π）的最小值是 ________. 解析一：y= ysinx+cosx=2 sin （x+ ）=2 sin （x+ ）= （x∈（ 0，π）） 0 ＜≤1 y ≥ . ∴ymin= . 解析二：y 可视为点 A（－ sinx ，cosx），B（0，2）连线的斜率 kAB，而点 A的轨迹 x∈（ 0，π）是单位圆在第二、三象限的部分（以以以下图），易知当 A（－，）时，ymin=kAB=.答案：●典例解析【例1】函数y=acosx+b（a、b 为常数），若－7≤y≤1，求 bsinx+acosx 的最大值 . 解析：函数 y=acosx+b 的最值与 a 的符号有关，故需对a 分类谈论 . 解：当a＞0 时，a=4 ，b=－3；当a=0 时，不合题意；当 a＜0 时， a= －4，b=－3. 当 a=4，b=－3时，bsinx+acosx= －3sinx+4cosx=5sin （x+ ）（tan = －）；当 a=－4，b=－3 时，bsinx+acosx= －3sinx －4cosx=5sin（x+ ）（tan = ）.∴bsinx+acosx 的最大值为 5. 【例 2】求函数 y=cot sinx+cotxsin2x的最值 .解析：先将切函数化成弦函数，再经过配方转变为求二次函数的最值问题 .解：y= ?sinx+ ?2sinxcosx=2（cosx+）2+ .∵sinx≠0，∴cosx≠± 1. ∴当 cosx=－时， y 有最小值，无最大值.谈论：这是个基此题型，解题时要注意式中的隐含条件. 【例 3】求函数 y= 的最大值和最小值 .解析：此题的解法好多，一是利用三角函数的有界性；二是数形联合法，将y 看作是两点连线的斜率；三是利用全能公式换算，转变为一元函数的最值问题（因为全能公式不要求掌握，所以此方法只作认识即可） .解法一：去分母，原式化为sinx－ycosx=2－2y，即 sin （x－）= . 故≤1，解得≤y≤ . ∴ymax= ，ymin= .解法二：令 x1=cosx，y1=sinx ，有 x12+y12=1. 它表示单位圆，则所给函数 y 就是经过定点 P（2，2）以及该圆上的动点 M（cosx，sinx ）的直线 PM的斜率 k，故只需求此直线的斜率 k 的最值即可 . 由 =1 ，得 k= . ∴ymax= ，ymin= . 谈论：数形联合法是高考中必考的数学思想方法，对此读者要有足够的重视 . ●闯关训练夯实基础 1. 函数y=log2（1+sinx ）+log2（1－sinx ），当 x∈［－，］时的值域为 A. ［－ 1，0］ B. （－ 1，0］ C. ［0，1） D. ［0，1］解析： y=log2（1－sin2x ）=log2cos2x. 当 x=0 时， ymax=log21=0；当 x= 时，ymin=－1. ∴值域为［－ 1，0］.答案：A 2.当y=2cosx－3sinx获得最大值时， tanx 的值是 A. B. －解析：y= sin（－x）（其中 tan = ）.y 有最大值时，应 sin （－x）=1 －x=2kπ+ －x=2kπ+－. ∴tanx= －tan（－ x）=－tan（2kπ+ －）=－cot =－ = － . 答案：B 3. 函数y= 的最大值是_______，最小值是_______. 解析：∵y= = =3 －，∴当 sinx=1 时， ymax=3－ = ；当 sinx= －1 时， ymin=－4. 答案：－4 4. 在△ ABC中， a=sin （A+B），b=sinA+sinB ，则 a与 b 的大小关系为 _______. 解析： a=sinAcosB+cosAsinB ＜sinA+sinB=b. 答案：a＜b 5.（2004 年湖南，13）已知向量 a=（cos θ，sin θ），向量 b=（，－1），则|2a －b| 的最大值是 ____________. 解析：∵ 2a－ b=（2cosθ－，2sin θ+1），∴|2a －b|= = ≤4. ∴|2a－b| 的最大值为 4.答案： 4 6.求y=1+sinx+cosx+sinxcosx的值域.解：设 t=sinx+cosx ，则 t ∈［－，］.由（sinx+cosx ）2=t2 sinxcosx= .∴y=1+t+ = （t+1 ）2. ∴ymax=（ +1 ）2= ，ymin=0. ∴值域为［0，］.培育能力 7. 已知对任意 x，恒有 y≥sin2x+4sin2xcos2x ，求 y 的最小值 . 解：令 u=sin2x+4sin2xcos2x ，则 u=sin2x+sin22x= （1－cos2x）+（1－cos22x）=－cos22x－ cos2x+ =－（cos2x+ ）2+ ，得umax= . 由 y≥u知 ymin= . 8. （2005 年北京海淀区高三期末练习）已知向量 a=（cos ，sin ），b=（cos ，－ sin ），c=（，－ 1），其中 x∈R. （ 1）当 a⊥b时，求 x 值的会集；（2）求 |a －c| 的最大值. 解：（1）由 a⊥b得 a?b=0，即 cos cos －sin sin =0. 则 cos2x=0，得 x= + （k∈Z）. ∴{x|x= + ，k∈Z} 为所求 . （2）|a －c|2= （cos－）2+（sin +1 ）2=5+4sin （－），∴|a － c| 有最大值 3. 研究创新9. 设函数 f （x）=asin ωx+bcosωx（ω＞0）的最小正周期为π，而且当 x= 时，有最大值 f（）=4. （1）求 a、b、ω 的值；（2）若角α、β的终边不共线， f （α）=f （β）=0，求 tan （α+β）的值 . 解：（1）由 = π，ω＞0 得ω=2. ∴f（x）=asin2x+bcos2x. 由 x= 时，f（x）的最大值为 4，得（2）由（1）得 f（x）=4sin（2x+ ）.依题意有 4sin （2α+ ）=4sin （2β+ ）=0. ∴sin （ 2α+ ）－sin（2β+ ）=0. ∴cos（α+β+ ）sin （α－β）=0（和差化积公式见课本） . ∵ α、β的终边不共线，即α－β≠kπ（k∈Z），故 sin（α－β）≠ 0. ∴α+β=kπ+ （k∈Z）. ∴tan （α+β）= .●思悟小结 1. 求三角函数最值的常用方法有：①配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；②化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；③数形联合法（常用到直线的斜率关系）；④换元法（如全能公式，将三角问题转变为代数问题）；⑤基本不等式法等 . 2. 三角函数的最值都是在给定区间上获得的，因而特别要注意题设中所给出的区间.（1）求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性 . （2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响. 3.注意题中的隐含条件 . ●教师下载中心讲课点睛 1. 建议让学生从做“点击双基”中意会总结方法 . 2. 例题也可由学生独立完成，并从中总结方法 . 拓展题例【例题】（2001 年春天全国）已知sin2 α+sin2 β+sin2 γ=1（α、β、γ均为锐角），那么cosαcosβcosγ的最大值等于 _______. 解析：∵s in2 α+sin2 β+sin2 γ=1，∴ 3－（ cos2α+cos2β+cos2γ）=1.∴cos2α+cos2β+cos2γ=2≥3 .∴cos2αcos2βcos2γ≤（）3.∴cosαcosβcosγ≤ = = .答案：。
2019-2020学年高考数学一轮复习 三角函数的最值教案 .doc
2019-2020学年高考数学一轮复习 三角函数的最值教案一．课前预习题：1．当22x ππ-≤≤时，函数()sin f x x x =的值域为2．函数的cos sin()2y x x π=-最小值为 3．函数cos cos()3x x π++的最小值为 4．函数2cos(2)2sin()33y x x ππ=-+-的最小值为 ，最大值为5．函数的3sin 1()sin 2x f x x -=+值域为6．若函数2sin 4y x x =+的最小值是1，则a =7．函数21(sin cos )(sin cos )y x x x x =++++的最大值是8．若函数()2sin (0)f x x ωω=>在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增。
则ω的最大值等于二．典型例题：例题1求函数2sin cos 1y x x x =-的最值，并求取得最值时的x 值.例题2 求2sin 2cos x y x -=-的最大值和最小值.例题3求函数(sin )(cos )(0y x a x a a =++<≤的最值.例题4 已知()()4sin cos2.f x m x x x R =-∈若()f x 的最大值为6，求实数m 的值。
例题 5 （选讲）若向量(2cos ,tan()),(2sin(),tan()),2242424x x x x a b πππ=+=+- 令()f x a b =⋅，求函数()f x 的最大值，最小正周期，并写出()f x 在[0,]π上的单调区间.例题6 （选讲）若函数)2cos(2sin )2sin(42cos 1)(x x a x x x f --++=ππ的最大值为2，试确定常数a 的值.三．课堂小结四．板书设计五．教后感班级_________________ 姓名___________________ 学号____________六．课外作业：1．函数|sin |2sin y x x =-的值域为 ▲2．若2αβπ+=，则6y cos sin βα=-的最大值和最小值分别是 ▲3．函数222sin sin y x x =+在0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦上的最小值是 ▲4．当20π<<x 时，函数x x x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 ▲ 5．已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k(cosx －1)的最小值是 ▲6．函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ▲7．2y sin x(sin x cos x )=+的最大值是 ▲8．函数3f (x )cos x cos(x )π=++的最小值是 ▲填空题答案：1．_________________；2．___________________；3．___________________；4．_________________；5．___________________；6．___________________；7．_________________；8．___________________；9．求函数33210sin x y cos x -=+的最大值和最小值。
2012届高考数学第一轮函数的最值专项复习教案
2012届高考数学第一轮函数的最值专项复习教案210函数的最值●知识梳理求函数最值的常用方法有：（1）配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值；（2）判别式法：若函数=f（x）可以化成一个系数含有的关于x的二次方程a（）x2+b（）x+（）=0，则在a（）≠0时，由于x、为实数，故必须有Δ=b2（）－4a（）•（）≥0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x 值（3）不等式法：利用平均值不等式取等号的条确定函数的最值（4）换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题（）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出函数的最值（6）函数的单调性法●点击双基1（2003年春季北京）函数f（x）= 的最大值是A B D解析：∵1－x（1－x）=1－x+x2=（x－）2+ ≥ ，∴f（x）= ≤ ，f（x）ax=答案：D2若x2+2=1，则3x－4的最大值为A3B4D6解析：∵x2+2=1，∴可设x=sα，=sinα∴3x－4=3sα－4sinα=sin（α+ ）≤答案：3（2004年春季安徽）函数= －x（x≥0）的最大值为___________________答案：4设x＞0，＞0且3x+2=12，则x的最大值是___________解析：∵x＞0，＞0，∴3x•2≤（）2＝62 x≤6（当且仅当3x＝2时等号成立）答案：6函数=|x－1|+|x－3|的最小值是______________解析：在数轴上，设1、3、x对应的点分别是A、B、P，∴=|x－1|+|x －3|=|PA|+|PB|≥|AB|=2答案：2●典例剖析【例1】（2004年上海，18）某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、（单位：）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为82，问x、分别为多少时用料最省？（精确到0001）解：由题意得x•+ •x• =8，∴= = －（0＜x＜4 ）于是，框架用料长度为L=2x+2+2（）=（+ ）x+ ≥2 =4当且仅当（+ ）x= ，即x= =8－4 时，等号成立此时，x≈2343，=2 ≈2828故当x为2343，为2828时，用料最省【例2】设f（t）=g（t）=－t+ （0≤t≤40，t∈N*）求S=f（t）g（t）的最大值解：当0≤t＜20时，S=（t+11）•（－t+ ）=－（t+22）（t －43）∵=10，又t∈N，∴t=10或11时，Sax=176当20≤t≤40时，S=（－t+41）（－t+ ）= （t－41）（t－43）∴t=20时，Sax=161综上所述，S的最大值是176【例3】设0＜a＜1，x和满足lgax＋3lgxa－lgx＝3，如果有最大值，求这时a和x的值解：原式可化为lgax＋－＝3，即lga＝lga2x－3lgax＋3＝（lgax－）2＋，知当lgax＝时，lga有最小值∵0＜a＜1，∴此时有最大值a根据题意有a ＝a＝这时x＝a ＝（）＝评述：本题是已知函数的最值，求函数式中的字母参数的值这类问题，也是常见题型之一深化拓展已知f（x）=2+lg3x（1≤x≤9），求函数g（x）=［f（x）］2+f（x2）的最大值与最小值解：由f（x）的定义域为［1，9］可得g（x）的定义域为［1，3］又g（x）=（2+lg3x）2+（2+lg3x2）=（lg3x+3）2－3，∵1≤x≤3，∴0≤lg3x≤1∴当x=1时，g（x）有最小值6；当x=3时，g（x）有最大值13答案：当x=1时，g（x）有最小值6；当x=3时，g（x）有最大值13●闯关训练夯实基础1若奇函数f（x）在［a，b］上是增函数，且最小值是1，则f（x）在［－b，－a］上是A增函数且最小值是－1B增函数且最大值是－1减函数且最小值是－1D减函数且最大值是－1解析：f（a）=1，∴f（－a）=－1答案：B2（2003年北京）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为______________解析：设正方形周长为x，则圆的周长为1－x，半径r=∴S正=（）2= ，S圆=π• ∴S正+S圆= （0＜x＜1）∴当x= 时有最小值答案：3（200年北京海淀模拟题）设函数f（x）的定义域为R，若存在常数＞0，使|f（x）|≤|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为F函数给出下列函数：①f（x）=0；②f（x）=x2；③f（x）= （sinx+sx）；④f（x）= ；⑤f（x）是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1、x2，均有|f（x1）－f（x2）|≤2|x1－x2|其中是F函数的序号为___________________答案：①④⑤4函数= （x≥0）的值域是______________解析：由= （x≥0），得x= ≥0∴－＜≤3答案：（－，3］求函数=|x| 的最值解：三角代换设x=sθ，θ∈［0，］，（f（x）是偶函数，不必取θ∈［0，π］）则= sin2θ∴ax= ，in=0培养能力6设函数f（x）=x2+x+ 的定义域是［n，n+1］（n∈N），问f（x）的值域中有多少个整数？解：∵f（x）=（x+ ）2+ 的图象是以（－，）为顶点，开口向上的抛物线，而自然数n＞－，∴f（x）的值域是［f（n），f（n+1）］，即［n2+n+ ，n2+3n+ ］其中最小的整数是n2+n+1，最大的整数是n2+3n+2，共有（n2+3n+2）－（n2+n+1）+1=2n+2个整数7已知函数g（x）=lg［a（a+1）x2－（3a+1）x+3］的值域是R，求实数a的取值范围解：由题意知，应使h（x）=a（a+1）x2－（3a+1）x+3能取到一切正实数①a=0时，h（x）=－x+3，显然能取到一切正实数；②a=－1时，h（x）=2x+3，也能取到一切正实数；③a≠0且a≠－1时，∵h（x）=a（a+1）x2－（3a+1）x+3是二次函数，∴必须有解得≤a＜－1或0＜a≤综上所述，a的取值范围是［，－1］∪［0，］探究创新8已知函数f（x）=x（1－x2），x∈R（1）当x＞0时，求f（x）的最大值；（2）当x＞0时，指出f（x）的单调性，并用定义证明；（3）试作出函数f（x）（x∈R）的简图解：（1）∵x＞0，欲求f（x）的最大值，必有1－x2＞0，2=x2（1－x2）2= •2x2（1－x2）（1－x2）≤ •［］3= ，∴≤ =当且仅当2x2=1－x2，即x= 时，取“=”，即f（x）ax=f（）=（2）由（1）知，当x∈（0，］时，f（x）单调递增，x∈［，+∞）时，f（x）单调递减设x2＞x1＞0，则f（x2）－f（x1）=－x23+x2－（－x13+x1）=（x2－x1）－（x2－x1）（x22+x1x2+x12）=（x2－x1）［1－（x22+x1x2+x12）］当0＜x1＜x2≤ 时，x2－x1＞0，1－（x22+x1x2+x12）＞0∴f（x2）＞f（x1）∴f（x）在（0，］上递增当≤x1＜x2时，x2－x1＞0，1－（x22+x1x2+x12）＜0，∴f（x2）＜f（x1）∴f（x）在［，+∞）上递减（3）注：图象过点（－1，0）、（0，0）、（1，0），关于原点对称评述：第（1）题也可用导数解决∵（x）=1－3x2，令（x）=0，∴x=±又x＞0，∴x=通过检验单调性知，当x= 时，f（x）取得最大值，其最大值为，以下解法同上●思悟小结1求函数的最值与求函数的值域是同一类问题，都必须熟练掌握本开头列出的六种方法2利用判别式法及不等式法求最值时，都需检验等号能否取到另外，利用判别式法解决问题时，一定要考虑二次项系数可否为零当二次项系数为零时，不能用判别式法解决问题●教师下载中心教学点睛利用导数先求极大值和极小值，然后确定最值，也是求函数最值的常用方法复习本节时应适当渗透导数的有关知识拓展题例【例1】已知二次函数=f（x）的最大值等于13，且f（3）=f（－1）=，求f（x）的解析式解：∵f（3）=f（－1），∴抛物线=f（x）有对称轴x=1故可设f（x）=a（x－1）2+13，将点（3，）代入，求得a=－2∴f（x）=－2（x－1）2+13=－2x2+4x+11【例2】已知函数f（x）的定义域为R，且对一切x∈R，都有f（x+2）=f（2－x），f（x+7）=f（7－x）（1）若f（）=9，求f（－）的值；（2）已知x∈［2，7］时，f（x）=（x－2）2，求当x∈［16，20］时，函数g（x）=2x－f（x）的表达式，并求出g（x）的最大值和最小值解：（1）由f（x+2）=f（2－x），f（x+7）=f（7－x）可以发现函数f （x）的图象关于直线x=2，x=7对称，且f（x）=f［（x－2）+2］=f ［2－（x－2）］=f（4－x）=f［7－（3+x）］=f［7+（3+x）］=f（10+x）∴f（x）是以10为周期的周期函数∴f（－）=f（－+10）=f（）=9（2）根据周期性、图象的对称性，结合图象可得到f（x）=∴g（x）=∵x∈［16，17］时，g（x）的最大值为16，最小值为9；x∈（17，20］时，g（x）＞g（17）=9，g（x）的最大值为g（20）=36，∴［g（x）］ax=36，［g（x）］in=9。
高三数学第一轮复习 第17课时—函数的最值教案
一．课题：函数的最值二．教学目标：掌握函数最值的一般求法，并能利用函数的最值解决一些实际问题，提高分析和解决问题的能力．三．教学重点：函数最值的一般求法以及应用．四．教学过程：（一）主要知识：1．函数最值的意义；2．求函数最值的常用方法：（1）配方法：主要适用于可化为二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的范围；（2）判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=的函数()y f x =．在由0∆≥且()0a y ≠，求出y 的值后，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x 的值；（3）不等式法：利用基本不等式求最值时一定要注意应用的条件；（4）换元法：用换元法时一定要注意新变元的取值范围；（5）数形结合法：对于图形较容易画出的函数的最值问题可借助图象直观求出；（6）利用函数的单调性：要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值．（二）主要方法：1．函数的最值问题实质上是函数的值域问题，因此求函数值域的方法，也是求函数的值域的方法，只是答题的方式有所差异；2．无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，不等式法及判别式法尤其如此．（三）例题分析：例1．求下列函数的最大值或最小值：（1）4y =-2）y x =；（3）222251x x y x x ++=++． 解：（1）4y =4=2320x x +-≥得13x -≤≤， ∴当1x =时，函数取最小值2，当 1 3x or x =-=时函数取最大值4． （21 (0,)2t t x =≥≤，则212t x -=，∴2211(1)122t y t t -=-=-++， 当0t =，即12x =时取等号，∴函数取最大值12，无最小值． （3）解法（一）用判别式法： 由222251x x y x x ++=++得2(2)(2)50,y x y x y x R -+-+-=∈， ①若2y =，则25=矛盾， ∴2y ≠，②由2y ≠，这时，22(2)4(2)(5)0y y y y ≠⎧⎨∆=----≥⎩， 解得：26y <≤， 且当6y =时，12x =-， ∴函数的最大值是6，无最小值． 解法（二）分离常数法： 由222251x x y x x ++=++2321x x =+++23213()24x =+++ ∵2133()244x ++≥，∴26y <≤ ，∴函数的最大值是6，无最小值．例2．（1）函数xy a =在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a = 2 ．（2）对于满足40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，则x 的取值范围为(,1)(3,)-∞-+∞ ．（3）已知函数()21x f x =-，2()1g x x =-，构造函数()F x ，定义如下：当|()|()f x g x ≥时，()|()|F x f x =，当|()|()f x g x <时，()()F x f x =-，那么()F x （ B ） ()A 有最小值0，无最大值 ()B 有最小值1-，无最大值()C 有最大值1，无最小值 ()D 无最小值，也无最大值例3．（《高考A 计划》考点17“智能训练第14题”）已知113a ≤≤，若2()21f x ax x =-+在[1,3]上的最大值为()M a ，最小值为()N a ，令()()()g a M a N a =-，（1）求()g a 的函数表达式； （2）判断函数()g a 的单调性，并求出()g a 的最小值． 答案参看教师用书93P ．（四）巩固练习：1．函数2(62) [0,3], y x x x =-∈的最大值为 16 ；2．若,,3212x y R x y +∈+=，则xy 的最大值是 6 ；3．若221,x y +=则34x y -的最小值是5-；4．3()3f x ax x a b =-+-，在[2,1]--和 [1,2]上是单调递减函数，则a 的最大值为16．五．课后作业：《高考A 计划》考点17，智能训练1，3，4， 8， 10，12，13，15。
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2012届高考数学第一轮三角函数的最值专项复习教案
4.9 三角函数的最值
●知识梳理 1.y=asinx+bcosx型函数最值的求法. 常转化为y= sin （x+ ），其中tan = . 2.y=asin2x+bsinx+c型. 常通过换元法转化
为y=at2+bt+c型. 3.y= 型. （1）转化为型1. （2）转化为直线的斜率求解. 4.利用单调性. ●点击双基 1.（2000年全国）若0＜α
＜β＜，sinα+cosα=a，sinβ+cosβ=b，则 A.a＜b＜1 B.a＞b
＞1 C.ab＜1 D.ab＞1 解析：a= sin（α+ ），b= sin（β+ ），0＜α+ ＜β+ ＜，∴1＜a＜b，ab＞1. 答案：D 2.函数f（x）=cos2x+sinx 在区间［－，］上的最小值是 A. B.－ C.－1 D. 解析：f（x）=1－sin2x+sinx=－（sinx－）2+ . ∴当x=－时，ymin= . 答案：D 3.函数y=x－sinx在［，π］上的最大值是 A. －1 B. +1 C. － D.π
解析：y=x－sinx在［，π］上是增函数，∴x=π时，ymax=π. 答案：D 4.y= 的最大值是_________，最小值是_________. 解析一：
y= =1－ . 当sinx=－1时，得ymin=－1，当sinx=1时，得ymax= . 解析二：原式 sinx= （∵y≠1）| |≤1 －1≤y≤ .∴ymax= ，ymin=－1. 答案：－1 5.y= （0＜x＜π）的最小值是________. 解析一：y= ysinx+cosx=2 sin（x+ ）=2 sin（x+ ）= （x∈（0，π）） 0
＜≤1 y≥ . ∴ymin= . 解析二：y可视为点A（－sinx，cosx），B （0，2）连线的斜率kAB，而点A的轨迹x∈（0，π）是单位圆在
第二、三象限的部分（如下图），易知当A（－，）时，ymin=kAB= . 答案：●典例剖析【例1】函数y=acosx+b（a、b为常数），若－
7≤y≤1，求bsinx+acosx的最大值. 剖析：函数y=acosx+b的最值
与a的符号有关，故需对a分类讨论. 解：当a＞0时， a=4，b=－3；当a=0时，不合题意；当a＜0时， a=－4，b=－3. 当a=4，b=－3时，bsinx+acosx=－3sinx+4cosx=5sin（x+ ）（tan =－）；当a=
－4，b=－3时，bsinx+acosx=－3sinx－4cosx=5sin（x+ ）（tan = ）. ∴bsinx+acosx的最大值为5. 【例2】求函数y=cot sinx+cotxsin2x 的最值. 剖析：先将切函数化成弦函数，再通过配方转化成求二次函数的最值问题. 解：y= •sinx+ •2sinxcosx=2（cosx+ ）2+ . ∵sinx≠0，∴cosx≠±1. ∴当cosx=－时，y有最小值，无最大值. 评述：这
是个基本题型，解题时要注意式中的隐含条件. 【例3】求函数y= 的最大值和最小值. 剖析：此题的解法较多，一是利用三角函数的有界性；二是数形结合法，将y看成是两点连线的斜率；三是利用万能公式换算，转化成一元函数的最值问题（由于万能公式不要求掌握，所以此方法只作了解即可）. 解法一：去分母，原式化为sinx－ycosx=2－2y，即sin（x－）= . 故≤1，解得≤y≤ . ∴ymax= ，ymin= . 解法二：令x1=cosx，y1=sinx，有x12+y12=1.它表示单位圆，则所给函数y就是经过定点P（2，2）以及该圆上的动点M（cosx，sinx）的直线PM的斜率k，故只需求此直线的斜率k的最值即可.由 =1，得k= . ∴ymax= ，ymin= . 评述：数形结合法是高考中必考的数学思维方法，对此读者要有足够的重视. ●闯关训练夯实基础 1.函数y=log2（1+sinx）+log2（1－sinx），当x∈［－，］时的值域为 A.［－1，0］ B.（－1，0］ C.［0，1） D.［0，1］解析：y=log2（1－sin2x）=log2cos2x. 当x=0时，ymax=log21=0；当x= 时，ymin=－1.∴值域为［－1，0］. 答案：A 2.当y=2cosx－3sinx取得最大值时，tanx的值是 A. B.－ C. D.4 解析：y= sin（－x）（其中tan = ）.y有最大值时，应sin（－x）=1 －x=2kπ+ －x=2kπ+ －. ∴tanx=－tan（－x）=－tan（2kπ+ －）=－cot =－ =－ . 答案：B 3.函数y= 的最大值是_______，最小值是_______. 解析：∵y= = =3－，∴当sinx=1时，ymax=3－ = ；当sinx=－1时，ymin=－4. 答案：－4 4.在△ABC中，a=sin（A+B），b=sinA+sinB，则a 与b的大小关系为_______. 解析：a=sinAcosB+cosAsinB＜
sinA+sinB=b. 答案：a＜b 5.（2004年湖南，13）已知向量a=（cosθ，sinθ），向量b=（，－1），则|2a－b|的最大值是____________. 解析：∵2a－b=（2cosθ－，2sinθ+1），∴|2a－b|= = ≤4. ∴|2a －b|的最大值为4. 答案：4 6.求y=1+sinx+cosx+sinxcosx的值域. 解：设t=sinx+cosx，则t∈［－，］.由（sinx+cosx）2=t2 sinxcosx= . ∴y=1+t+ = （t+1）2.∴ymax= （ +1）2= ，ymin=0. ∴值域为［0，］. 培养能力 7.已知对任意x，恒有y≥sin2x+4sin2xcos2x，求y的最小值. 解：令u=sin2x+4sin2xcos2x，则u=sin2x+sin22x= （1－cos2x）+（1－cos22x）=－cos22x－ cos2x+ =－（cos2x+ ）2+ ，得
umax= .由y≥u知ymin= . 8.（2005年北京海淀区高三期末练习）已知向量a=（cos ，sin ），b=（cos ，－sin ），c=（，－1），其中x∈R. （1）当a⊥b时，求x值的集合；（2）求|a－c|的最大值. 解：（1）由a⊥b得a•b=0，即cos cos －sin sin =0. 则cos2x=0，得x= + （k∈Z）. ∴{x|x= + ，k∈Z}为所求. （2）|a－c|2=（cos －）2+（sin +1）2=5+4sin（－），∴|a－c|有最大值3. 探究创新 9.设函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的最小正周期为π，并且当x= 时，有最大值f（）=4. （1）求a、b、ω的值；（2）若角α、β的终边不共线，f（α）=f（β）=0，求tan（α+β）的值. 解：（1）由 =π，ω＞0得ω=2.∴f（x）=asin2x+bcos2x. 由x= 时，f（x）的最大值为4，得（2）由（1）得f（x）=4sin（2x+ ）. 依题意有4sin（2α+ ）=4sin（2β+ ）=0. ∴sin（2α+ ）－sin （2β+ ）=0. ∴cos（α+β+ ）sin（α－β）=0（和差化积公式见课本）. ∵α、β的终边不共线，即α－β≠kπ（k∈Z），故sin （α－β）≠0. ∴α+β=kπ+ （k∈Z）.∴tan（α+β）= . ●思悟小结 1.求三角函数最值的常用方法有：①配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；②化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；③数形结合法（常用到直线的斜率关系）；④换元法（如万能公式，将三角问题转化为代数问题）；
⑤基本不等式法等. 2.三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间. （1）求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性. （2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响.
3.注意题中的隐含条件. ●教师下载中心教学点睛 1.建议让学生
从做“点击双基”中体会总结方法. 2.例题也可由学生独立完成，并从中总结方法. 拓展题例【例题】（2001年春季全国）已知
sin2α+sin2β+sin2γ=1（α、β、γ均为锐角），那么
cosαcosβcosγ的最大值等于_______. 解析：
∵sin2α+sin2β+sin2γ=1，∴3－（cos2α+cos2β+cos2γ）=1. ∴cos2α+cos2β+cos2γ=2≥3 . ∴cos2αcos2βcos2γ≤（）3. ∴cosαcosβcosγ≤ = = . 答案：。