【永安质检】福建省永安市2015届高三质检试卷数学(文) Word版试题及答案

2015年永安市普通高中毕业班质量检查文 科 数 学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内 作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标记； 非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔 迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据12,x x ，…，n x 的标准差 锥体体积公式s = 13V Sh =其中x -为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh = 2344,3S R V R ==ππ其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若i 为虚数单位，则复数()2i i -=等于( )(A)2i - (B)12i -+ (C)2i + (D)12i + 2．已知命题p ：x ∀∈R ，sin 1x ≤，则p ⌝为( )(A)x ∀∈R ，sin 1x ≥ (B)x ∀∈R , sin 1x > (C)0x ∃∈R , 0sin 1x ≥ (D)0x ∃∈R ，0sin 1x >3．设集合{}2log P x y x ==， {}3Q y y x ==，则P Q ⋂等于( )(A)R (B)[)∞+0 (C)()+∞,0 (D)[)+∞,1 4．已知直线1l :11y k x =+和直线2l ：2y k x b =+，则“12k k =”是“12//l l ”的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 5．将sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象向右平移12π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是( ) (A)12x π=(B)6x π=(C)3x π=(D)12x π=-6．如右图，在ABC ∆中，已知3BC DC =，则AD 等于( )(A)1233AB AC + (B) 1233AB AC -(C) 2133AB AC + (D)2133AB AC - 7．执行右边的程序框图，则输出的结果是( )(A)73 (B)94 (C)115 (D)1368．设l ，m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则正确的是( ) (A)若αβ⊥，l α⊥，则//l β (B)若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥ (C)若l m ⊥，m n ⊥，则//l n(D)若m α⊥，//n β且//αβ，则m n ⊥9．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为12，则C 的方程为( )(A)22132x y += (B)2213x y += (C)221128x y += (D)22196x y += 10．函数1sin y x x=-的图象大致是( )11．已知函数()()32212015,3f x x ax b x a b R =+++∈，若从区间[]1,3中任取的一个数a ，从区间[]0,2中任取的一个数b ，则该函数有两个极值点的概率为( )(A)18 (B)34 (C)78 (D)8912．对于函数()y f x =（x D ∈），若存在常数c ，对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得()()122f x f x c +=，则称函数()f x 在D 上的算术平均数为c ．已知函数()f x = ln x ，[]2,8x ∈，则()f x 在[]2,8上的算术平均数为( )(A)ln 2 (B)ln 4 (C)ln5 (D)ln8第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡相应位置． 13．为了了解某市高三学生的身体发育情况，抽测了该市50名高三男生的体重（kg ），数据得到的频率分布直方图如右图．根据右图可知这50名男生中体重在[]56.5,60.5的人数是 ．14．若函数()()220()0x ax x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩是奇函数，则实数=a ． 15．在钝角ABC ∆中，||BC =||cos =||cos AC B BC A ，则AC = ．16．已知甲、乙、丙、丁四位同学，在某个时段内每人互不重复地从语文、数学、英语、文综这四个科目中选择一科进行复习．现有下面五种均为正确的说法：A ．甲不在复习语文 ，也不在复习数学；B ．乙不在复习英语 ，也不在复习语文；C ．丙不在复习文综 ，也不在复习英语；D ．丁不在复习数学 ，也不在复习语文；E ．如果甲不在复习英语，那么丙不在复习语文． 根据以上信息，某同学判断如下：①甲在复习英语 ②乙在复习文综 ③丙在复习数学 ④丁在复习英语 则上述所有判断正确的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 为等差数列，49a =，且8222a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）若点(),n n n A a b 在函数3x y =的图像上，求数列{}n b 的前n 项和n S .18．（本小题满分12分）下列两图（图中点与年份对应）分别表示的是某市从2003年到2015年的人均生活用水量和常住人口的情况：y（Ⅰ）若从2003年到2015年中随机选择连续的三年进行观察，求所选的这三年的人均用水量恰好依次递减的概率；（Ⅱ）由图判断，从哪年开始连续四年的常住人口的方差最大？并结合两幅图表推断该市在2012年到2015年这四年间的总生活用水量．．．．．．的增减情况．（结论不要求证明）19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC-中，PA⊥平面ABC，AC BC⊥，D为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．（Ⅰ）证明：AD⊥平面PBC；（Ⅱ）求三棱锥D ABC-的体积．20．（本小题满分12分）如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点P、B在单位圆上，设AOPθ∠=，AOBα∠=，且OQ OA OP=+．（Ⅰ）记四边形OAQP的面积为S，当0θπ<<时，求OA OQ S+的最大值及此时θ的值；（Ⅱ）若2παk≠，()k k Zθπ≠∈，且OB∥OQ，求证：tan tan2θα=．侧（左）视图正（主）视图PDCBA22x21．（本小题满分12分）设抛物线Γ：22(0)x py p =>的准线被圆O ：224x y +=（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）设点F 是抛物线Γ的焦点，N 为抛物线Γ上的一动点，过N 作抛物线Γ的切线交圆O 于P 、Q 两点，求FPQ ∆面积的最大值.22．（本小题满分14分） 已知函数1()ln ()f x a x a R x=+∈. （Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得函数()()2g x f x x =-在(0,)+∞上单调递减？ 若存在， 求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）当0a >时，讨论函数()y f x =零点的个数．2015年永安市普通高中毕业班质量检查 文科数学试题参考答案及评分标准一、选择题1. D2. D 3．C 4．B 5．D 6．A 7.B 8. D 9.D 10．A 11.C 12.B 二、填空题① 三、解答题17.解：（Ⅰ）法一：设{}n a 的公差为d ，则4139a a d =+=，11722a d a d +++= 解得13a =，d 2= ………………4分所以12+=n a n ………………6分法二：由2822a a +=得511a = ………………2分又49a =所以{}n a 的公差为d ＝54a a -＝２ ………………4分 所以4(4)21n a a n d n =+-=+ ………………6分（Ⅱ）由点(),n n n A a b 在函数3x y =的图像上得2133n a n n b +==所以23121393n n n n b b +++== ，211327b +==所以{}n a 是以27为首项，以9为公比的等比数列………………10分 所以12n n S b b b =+++27(19)27(91)198n n --==- ………………12分 18.解：（Ⅰ）在13年中共有11个连续的三年………………3分 其中只有2007至2009和2010至2012两个连续三年的 人均用水量符合依次递减………………6分 所以随机选择连续的三年进行观察，所选的这三年的人均用水量恰是依次递减的概率为211………………8分 （Ⅱ）2009至2012连续四年的常住人口的方差最大………………10分 2012至2015四年间的总生活用水量是递增的．………………12分 19.解：：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，又AC BC ⊥，所以BC ⊥平面PAC ，所以BC AD ⊥．………3分 由三视图可得，在PAC ∆中，4PA AC ==，D 为PC 中点， 所以AD PC ⊥，所以AD ⊥平面PBC ………………6分（Ⅱ）由三视图可得4BC =，由⑴知90ADC ∠=︒，BC ⊥平面PAC ………………9分 又三棱锥D ABC -的体积即为三棱锥B ADC -的体积，所以，所求三棱锥的体积111164443223V =⨯⨯⨯⨯⨯=………………12分20. 解:（Ⅰ）由已知)sin ,(cos ),0,1(θθP AOQ OA OP =+，∴(1cos ,sin )OQ θθ=+ ………………3分又,sin θ=SOQABC DP∴sin cos 1)14OA OQ S πθθθ⋅+=++=++)0(πθ<<故S +⋅的最大值是12+，此时4πθ=………………6分（Ⅱ）∵(1cos ,sin )OA OP θθ+=+，OB ∥()OA OP +， ∴cos sin (1cos )sin 0αθθα-+=………………9分 又2k πα≠，k θπ≠()k Z ∈， ∴sin tan 1cos θαθ=+22sin cos22tan 22cos 2θθθθ==………………12分 21.解:（Ⅰ）因为抛物线Γ的准线方程为2p y =-， 且直线2p y =-被圆O ：224x y +=，所以22()42p =-，解得1p =， 因此抛物线Γ的方程为22x y =………………4分（Ⅱ）设N （2,2t t ），由于'y x =知直线PQ 的方程为：2()2t y t x t -=-.即22t y tx =-………………6分因为圆心O 到直线PQ2所以|PQ|=7分设点F 到直线PQ 的距离为d，则2d ==8分 所以，FPQ ∆的面积S 12PQ d =⋅===≤=11分当t =±=”，经检验此时直线PQ 与圆O 相交，满足题意.综上可知，FPQ ∆12分22．解:（Ⅰ）当2a =时，1()2ln f x x x=+，(1)1f =， 所以221()f x x x'=-，(1)1f '=． 所以切线方程为y x =． ……………………3分（Ⅱ）存在.因为()()2g x f x x =-在(0,)+∞上单调递减，等价于21()20a g x x x '=--≤在(0,)+∞恒成立……………………5分 变形得12a x x≤+ (0)x >恒成立……………………6分而12x x +≥=（当且仅当12x x=，即x =时，等号成立）．所以a ≤． ……………………8分 （Ⅲ）21()ax f x x -'=． 令()0f x '=，得1x a =……………………9分 所以min ()=()f x f a=ln(1ln )a a a a a+=-……………………10分 （ⅰ）当0a e <<时，min ()0f x >，所以()f x 在定义域内无零点； （ⅱ）当a e =时，min ()0f x =，所以()f x 在定义域内有唯一的零点； （ⅲ）当a e >时，min ()0f x <，① 因为(1)10f =>，所以()f x 在增区间1(,)a+∞内有唯一零点； ② 21()(2ln )f a a a a=-， 设()2ln h a a a =-，则2()1h a a'=-， 因为a e >，所以()0h a '>，即()h a 在(,)e +∞上单调递增， 所以()()0h a h e >>，即21()0f a>， 所以()f x 在减区间1(0,)a内有唯一的零点． 所以a e >时()f x 在定义域内有两个零点．综上所述：当0a e <<时，()f x 在定义域内无零点； 当a e =时，()f x 在定义域内有唯一的零点；当a e >时，()f x 在定义域内有两个零点．……………………14分 （若用其他方法解题，请酌情给分）。