08届高三数学等差数列和等比数列1

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高考数学专题讲座第4讲等差数列与等比数列

高考数学专题讲座第4讲等差数列与等比数列一、考纲要求1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能够应用这些知识解决一些问题．2．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题．二、基础过关1．在首项为81，公差为-7的等差数列{}n a 中，最接近零的是第（）．A ． 11项B ．12项C ．13项D ．14项2．已知等差数列{}n a 中，0≠n a ，若1>m ，且0211=-++-m m m a a a ，3812=-m S ，则m 等于( ) ．A ．38B ．20C ．10D ．93．数列{}n a 中，11=a ，对所有*N n ∈都有221n a a a n = ，则=+53a a （）．A ．1661 B ．925 C ．1625 D ．15314．（03年全国）设{a n }是首项为1的正项数列，且（n +1）a 2n +1-na n 2+a n +1a n =0(n=1,2,3,…),它的通项公式是__ _．5．如果一个数列{}n a 满足h a a n n =+-1，其中h 为常数，2,*≥∈n N n ，则称数列{}n a 为等和数列，h 为公和，n S 是其前n 项和．已知等和数列{}n a 中311-==h a ，，则=2004a ，=2005S ．6．设数列{}n a ，{}n b 分别为正项等比数列，n n R T ,分别为数列{}n a lg 与{}n b lg 的前n 项和，且12+=n nR T n n ，则55log a b 的数值为_________．三、典型例题例1 已知数列{}n a 中，b na a a a n n +=-=+11,40，其中a ，b 为常数，且∈n N *，∈a N *，b 为负整数．（1）用a ，b 表示n a ；（2）若0,087<>a a ，求通项公式．例2 （04年湖南）已知数列{}n a 是首项为a 且公比不等于1的等比数列，S n 是其前n 项和，a 1,2a 7,3a 4成等差数列．（1）证明12S 3, S 6, S 12-S 6成等比数列；（2）求和 T n =a 1+2a 4+3a 7+---+na 3n -2 ．例3 数列{}n a 中，2,841==a a 且满足)(212N n a a a n n n ∈-=++．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n a a a S +++= 21，求n S ；（3）设)12(1n n a n b -=,)(21N n b b b T n n ∈+++= ，是否存在最大的整数m ，使得对任意n ∈N ,均有32mT n >成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．例 4 在直角坐标平面上有一点列 ),(,),(),,(222111n n n y x P y x P y x P ，对一切正整数n ，点n P 位于函数4133+=x y 的图象上，且n P 的横坐标构成以25-为首项，1-为公差的等差数列{}n x ．（1）求点n P 的坐标；（2）设抛物线列 ,,,,,321n c c c c 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，第n 条抛物线n c 的顶点为n P ，且过点)1,0(2+n D n ，记与抛物线n c 相切于n D 的直线的斜率为n k ，求：nn k k k k k k 13221111-+++ ．（3）设{}1,,2|≥∈==n N n x x x S n ，{}1,4|≥==n y y y T n ，等差数列{}n a 的任一项T S a n ∈，其中1a 是T S 中的最大数，12526510-<<-a ，求{}n a 的通项公式．四、热身演练1．（20XX 年天津文）等差数列}{n a 中，已知311=a ，452=+a a ，33=n a ，则n 为（）． A ．48B ．49C ．50D ．512．（20XX 年天津）若S n 是数列{}n a 的前n 项和，且,2n S n =则}{n a 是（）．A ．等比数列，但不是等差数列B ．等差数列，但不是等比数列C ．等差数列，而且也是等比数列D ．既非等比数列又非等差数列3．（20XX 年福建）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若9535=a a ，则=59S S（）． A ．1 B ．1- C ．2 D ．214．（20XX 年上海）若数列{}n a 前8项的值各异，且n n a a =+8，对任意的*N n ∈都成立，则下列数列中可取遍{}n a 前8项值的数列为（）．A ．{}12+k aB ．{}13+k aC ．{}14+k aD ．{}16+k a5．等差数列{}n a 共有2n 项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且3312-=-a a n ，则该数列的公差为（）．A ．3B ．3-C ．2-D ．1-6．等差数列{}n a 中，104,36139-=-=S S ，已知等比数列{}n b 的7755,a b a b ==，则=6b ．7．（04年北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和． 5，______________，这个数列的前n ________________．8．（99年全国）在等差数列{}n a 中，满足7473a a =，且01>a ，n S 是数列{}n a 前n 项的和，若n S 取得最大值，则n = ．9．（20XX 年浙江）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，))(1(31*N n a S n n ∈-=．（1）求21,a a ；（2）求证：数列{}n a 是等比数列．10．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知434131S S 与的等比中项为551S ，434131S S 与的等差中项为1，求等差数列{}n a 的通项． 11．（04年重庆）设a 1=1,a 2=35,a n +2=35a n +1-32a n (n =1,2,---)，令b n =a n +1-a n (n =1,2---)．（1）求数列{b n }的通项公式；（2）求数列{na n }的前n 项的和S n ．12．已知数列{}n a 是公差0≠d 的等差数列，其前n 项和为n S ．（1）求证：点),(,),2,2(),1,1(2211nS n P SP S P n n 在同一条直线1l 上；（2）过点),2(),,1(2211a Q a Q 作直线2l ，设θ的夹角为与21l l ，求证：42tan ≤θ．答案二、基础过关 1、C 2、C 3、A 4、n 1 5、-4，-3005 6、199三、案例探究1、解：（1） b na a a n n +=-+1 ，()()()()()()b a b a na b a na a a a a a a n n n n ++++-++-=-++-+-∴--- 212211 又40)1(2)1(,401+-+-=∴=b n a n n a a n .(2)为负整数，且，b N a b a a b a a ,,040728040621*87∈<++=>++= ∴由线性规划知识知:,10,1-==b a5022122+-=∴n n a n 2、（Ⅰ）证明由4713,2,a a a 成等差数列，得41734a a a +=，即 .3436aq a aq += 变形得 ,0)1)(14(33=-+q q 所以14133=-=q q 或（舍去）.由 .1611211)1(121)1(123316136=+=----=q qq a q q a S S .1611111)1(1)1(166611216126612==-+=-----=-=-q q q q a q q a S S S S S 得.12661236S S S S S -= 所以12S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列. （Ⅱ）解：.3232)1(36323741--++++=++++=n n n naqaq aq a na a a a T 即 .)41()41(3)41(212a n a a a T n n --⋅++-⋅+-⋅+= ①①×)41(-得： a n a n a a a T n n n )41()41()41(3)41(24141132---⋅++-⋅+-⋅+=--.)41()54(54)41()41(1])41(1[a n a a n a n n n -⋅+-=-⋅-----=所以 .)41()542516(2516a n a T n n -⋅+-=3、解（1）由a n+2=2a n+1－a n ⇒a n+2－a n+1=a n+1－a n ,可知{a n }成等差数列，d=1414--a a =－2 ∴a n =10－2n（2）由a n =10－2n ≥0得n ≤5，∴当n ≤5时，S n =－n 2+9n ；当n>5时，S n =n 2－9n+40故S n =⎪⎩⎪⎨⎧+-+-409922n n n n 551>≤≤n n （n ∈N ）（3）b n =)12(1n a n -=)22(·1+n n =21(n 1－11+n )∴T n = b 1+b 2+…+b n=21[(1－21)+(21－31)+…+(n 1－11+n )] =12121)1(2T T T nn n n n n >>>=->+--∴要使T n >32m 总成立，需32m <T 1=41恒成立，即m<8，（m ∈Z ）.故适合条件的m 的最大值为7.4、解：（1）23)1()1(25--=-⨯-+-=n n x n 1353533,(,3)4424n n n y x n P n n ∴=⋅+=--∴----（2）n c 的对称轴垂直于x 轴，且顶点为n P .∴设n c 的方程为：,4512)232(2+-++=n n x a y 把)1,0(2+n D n 代入上式，得1=a ，n c ∴的方程为：1)32(22++++=n x n x y .32|0'+===n y k x n ，)321121(21)32)(12(111+-+=++=∴-n n n n k k n nn n k k k k k k 13221111-+++∴ )]321121()9171()7151[(21+-+++-+-=n n =641101)32151(21+-=+-n n （3）}1,),32(|{≥∈+-==n N n n x x S ，}1,),512(|{≥∈+-==n N n n y y T }1,,3)16(2|{≥∈-+-==n N n n y y ,S T T ∴=T 中最大数171-=a .设}{n a 公差为d ，则)125,265(91710--∈+-=d a ，由此得 ).(247,24),(12,129248**N n n a d N m m d T a d n n ∈-=∴-=∴∈-=∴∈-<<- 又四、热身演练1、C2、B3、A4、B5、B6、24±7、3 当n当n8、99、解 (1)由)1(3111-=a S 得)1(3111-=a a ，211-=∴a ，又)1(3122-=a S ，即)1(31221-=+a a a ，得412=a . (2)当2≥n 时，1113131)1(31)1(31----=---=-=n n n n n n n a a a a S S a ，得211-=-n n a a ，所以{}n a 是首项为21-，公比为21-的等比数列.10、解法一：设等差数列{a n }的首项a 1=a ，公差为d ，则其通项为根据等比数列的定义知S 5≠0，由此可得解法二：依题意，得11、解：（I ）因121+++-=n n n a a b n n n n n n b a a a a a 32)(323235111=-=--=+++故{b n }是公比为32的等比数列，且故,32121=-=a a b ),2,1()32(==n b n n （II ）由得nn n n a a b )32(1=-=+)()()(121111a a a a a a a a n n n n n -++-+-=--++])32(1[232)32()32()32(21n n n -=++++=-注意到,11=a 可得),2,1(3231 =-=-n a n n n . 记数列}32{11--n n n 的前n 项和为T n ，则n n n n n T n T )32()32(23232,)32(322121⋅++⋅+=⋅++⋅+=- 两式相减得,)32(])32(1[3)32()32()32(3213112n n n n n n n T --=-++++=-1832)3()1(232)21(32,32)3(9)32(3])32(1[911211-+++=-+++=+++=+-=--=-+-n n nn n n nn n n n n n T n na a a S n n T 从而故12、证明：(1)因为等差数列{a n }的公差d ≠0，所以Kp 1p k 是常数(k=2，3，…，n)．(2)直线l 2的方程为y-a 1=d(x-1)，直线l 2的斜率为d ．。

高三高考数学复习等差数列、等比数列PPT课件

(4)在等比数列中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，
则 am·an＝ap·aq.特别地，若 m＋n＝2p 则 am·an＝ap2
(5)在等比数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等比数列(n 为偶
数且 q＝－1 除外)．
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4.判断和证明数列是等差(比)数列的两种方法
小结：等差(比)数列基本运算的求解策略
(1)抓住基本量a1和公差d(公比q)． (2)把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量.
如：由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常采用两式相除(即比值的方式)或整体化思想进行相关计算.
变式 1-1(2019·无锡调研)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，
解：{an}为等差数列，设其公差为d.由a1＝－1，a4＝8＝a1＋3d＝－1＋3d，得d＝3 ，∴a2＝a1＋d＝－1＋3＝2. {bn}为等比数列，设其公比为q，由b1＝－1，b4＝8＝b1·q3＝－q3，得q＝－2，
∴b2＝b1·q＝2.则ab22＝22＝1.
变式1-3(2018·全国Ⅰ卷改编)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝ 2，则a5＝__-1__0____. 解：法一设等差数列{an}的公差为 d，
法二设等差数列{an}的公差为 d，
∵3S3＝S2＋S4，
∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4，
∴3a1＋3×2 2d＝d.
∴S3＝a4－a3，
∵a1＝2，∴d＝－3，
∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.
方法归纳 (1)在等差(比)数列中，首项 a1 和公差 d(公比 q)是两个最基本的元素，在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于 a1 和 d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量． (2)解决数列与数学文化相交汇问题的关键：一是读懂题意，即会“脱去”数学文化的背景，提取关键信息；二是构造模型，即由题意构建等差数列或等比数列或递推关系式的模型；三是 “解模”，即把文字语言转化为求数列的相关信息，如求指定项、公比(或公差)、项数、通项公式或前 n 项和等．

高考数学复习：等差数列与等比数列

Sn＝an2＋bn(a，b为常数)
Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0,1)
证明数列为等差(比)数列一般使用定义法.
例3 (2019·全国Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－ bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4. (1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；
(2)已知函数 f(x)＝1＋2 x2(x∈R)，若等比数列{an}满足 a1a2 020＝1，则 f(a1)
＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 020)等于
√A.1 D.2
解析 ∵a1a2 020＝1，
∴f(a1)＋f(a2 020)＝1＋2 a21＋1＋2a22 ∵{an}为等比数列，
a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8等于
A.12
B.24
√ C.30
D.32
解析设等比数列{an}的公比为q，则 q＝aa21＋＋aa32＋＋aa43＝21＝2，
所以a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3)·q5＝1×25＝32.
(2)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S30＝130，则S40等于
∴an＝2×2n－1＝2n. 又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，
∴2k＋111－－2210＝215－25，
即2k＋1(210－1)＝25(210－1)，
∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4.
(2)(多选)(2020·威海模拟)等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1>0，S10＝
证明由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，
即 an＋1＋bn＋1＝12(an＋bn). 因为a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为 1，公比为12的等比数列. 由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2. 又a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列.

等差数列、等比数列知识点梳理

等差数列、等比数列知识点梳理等差数列和等比数列知识点梳理第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈）注：下面所有涉及n ，*n N ∈省略，你懂的。

2、等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差推广公式：()n m a a n m d =+-变形推广：mn a a d mn --= 3、等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4、等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

等比等差数列的所有公式

等比等差数列的所有公式等差数列和等比数列是数学领域里比较基础且常见的两种数列。

它们不仅在高中阶段的数学学习中出现，同时也在大学的高级数学科目中应用广泛。

本文将会全面介绍等差数列和等比数列的定义、公式以及应用，以期为读者提供一个全面且清晰的了解。

一、等差数列等差数列是指一种数列，其任意两个相邻项之间的差值是相等的，这个相等的差值叫做公差。

举个例子，1，3，5，7，9....，就是一个公差为2的等差数列。

等差数列的通项公式对于任意一个等差数列，其通项公式可以表示为an=a1+(n-1)d，其中an表示该数列的第n项，a1表示该数列的首项，d表示该数列的公差。

这个公式用起来非常方便，读者只需要知道该数列的首项和公差，就可以轻松地得出该数列的任意一项。

等差数列的和公式等差数列的和公式就是数列的所有数值之和，它能够帮助我们快速计算数列中所有数值之和。

韦达定理是该公式的基础，韦达定理是指求等差数列和时将数列上下颠倒，在叠加两个相同的数列使其首项与末项分别相加后，其中的所有项均相等，其和是所求等差数列的和的两倍。

求和公式： Sn=n(a1+an)/2其中n表示项数，a1表示首项，an表示末项。

（特殊情况下）如果公差为1，那么求和公式可以变为：Sn=n(a1+an)/2=n(a1+1)/2 。

二、等比数列等比数列是指一种数列，其任意两个相邻项之间的比值是相等的，这个相等的比值叫做公比。

例如，1，2，4，8，16....就是一个公比为2的等比数列。

等比数列的通项公式对于任意一个等比数列，其通项公式可以表示为an=a1×r^(n-1)，其中an表示该数列的第n项，a1表示该数列的首项，r表示该数列的公比。

与等差数列的情况类似，知道等比数列的首项和公比，就可以很容易地得出该数列的任意一项。

等比数列的和公式等比数列的和公式可以帮助我们快速计算数列中所有数值之和。

其中，如果公比r=1，那么求和公式就是Sn=na1，这个公式表示如果公比为1的等比数列中有n个元素，那么这个数列的和就是该数列第一个元素的值与这n 个元素数值之和相等。

高考数学中的等比数列与等差数列

高考数学中的等比数列与等差数列数列是数学中的重要概念，它是由一定规律排列的一串数所组成的序列。

当数列的规律是由一个公式或者一个固定的增量所决定时，就分别称为等比数列和等差数列。

在高考数学中，常常会涉及到等比数列和等差数列的题目。

本文将分别从概念、性质、公式和应用四个方面介绍这两种数列。

一、等比数列1. 概念等比数列是指一个数列中，每一项与它前一项的比相等的数列。

比值称为公比，通常用字母q表示，第一项通常用a1表示。

其通项公式为an=a1×q^(n-1)。

2. 性质a) 公比q为0或q为1的等比数列是特殊的等比数列。

b) 等比数列有无限项。

c) 等比数列的公比为正，且不等于1。

d) 等比数列可以借助画图工具画出图形，形状为不断递减的曲线。

3. 公式等比数列常用的公式有：a) 前n项和公式：Sn=a1(q^n-1)/(q-1)。

b) 通项公式：an=a1×q^(n-1)。

c) 通项公式与前一项的关系：an=aq^(n-1)。

4. 应用等比数列的应用非常广泛，可以在许多实际问题中发挥重要作用。

例如，在金融领域的利率计算和复利计算中，都需要用到等比数列的概念和公式。

此外，等比数列还可以用来分析种群数量的规律、电路电信号的衰减规律等等。

二、等差数列1. 概念等差数列又称为等差数列，它是指一个数列中，每相邻两项之差相等的数列。

差值称为公差，通常用字母d表示。

首项用a1表示，其通项公式为an=a1+(n-1)×d。

2. 性质a) 前n项和Sn=n[2a1+(n-1)d]/2。

b) 一个等差数列中的任意三项可以构成一个等差数列。

c) 等差数列的公差为正、负或零。

d) 等差数列可以借助画图工具画出图形，形状为一条直线。

3. 公式等差数列常用的公式有：a) 前n项和公式：Sn=n[2a1+(n-1)d]/2。

b) 第n项公式：an=a1+(n-1)d。

c) 前一项与通项的关系：a(n-1)+d=an。

等差数列与等比数列的证明方法

等差数列与等比数列的证明方法高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。

一、定义法01.证明数列是等差数列的充要条件的方法：{}1()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列{}2222()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列 {}3333()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列02.证明数列是等差数列的充分条件的方法：{}1(2)n n n a a a d n --=≥⇒是等差数列 {}11(2)n n n n n a n a a a a +--=-≥⇒是等差数列03.证明数列是等比数列的充要条件的方法：{}1(00)n n na q q a a +=≠≠⇔1且为常数，a 为等比数列 04.证明数列是等比数列的充要条件的方法：1nn a q a -=（n>2，q 为常数且≠0）{}n a ⇒为等比数列注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有1nn a qa -==（常数0≠）；②n *∈N 时，有1n na q a +==（常数0≠）．例1. 设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0。

证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有1223111111n n n na a a a a a a a +++++=。

证明：先证必要性设{}n a 为等差数列，公差为d ，则当d=0时，显然命题成立当d≠0时，∵111111n n n na a d a a++⎛⎫=-⎪⎝⎭∴再证充分性：∵122334111a a a a a a++⋅⋅⋅1111n n nna a a a++++=⋅⋅………①∴122334111a a a a a a++⋅⋅⋅11212111n n n n nna a a a a a++++++++=⋅⋅⋅………②②﹣①得：12121111n n n nn na a a a a a+++++=-⋅⋅⋅两边同以11n na a a+得：112(1)n na n a na++=+-………③同理：11(1)n na na n a+=--………④③—④得：122()n n nna n a a++=+即：211n n n na a a a+++-=-{}n a为等差数列例2.设数列}{na的前n项和为n S，试证}{na为等差数列的充要条件是)(,2)(*1NnaanS nn∈+=。

高考数学：证明等差等比数列的解法

高考数学：证明等差等比数列的解法
我们在数列部分常碰到这样的问题：证明某个复杂数列为等差或者等比数列。

比如下面这道题：
从求证出发，我们回顾等比数列的定义：从第2项开始，数列的后一项除以前一项等于同一个不为零的常数，则这个数列为等比数列。

这就是我们证明等比数列的主要办法，也称定义法.即只需证明后项/前项为常数即可。

使用定义法的技巧，就是在化简过程中，保持前项不变，然后后项用题中给定的关系式代入。

道理也是显然的，要使得计算结果为常数，必须要出现消项、约分，所以把后项朝前项去靠近，才能最终通过消项、约分得到常数。

根据条件中给定的关系式，代入上式。

结果还真是一个常数，神奇吗？
其实一点也不神奇，只要方法正确，常数是命题者设计好了的，你不用担心。

下面，增加一点难度，看这一道分段形式给出的数列递推式。

请自觉做题3分钟.不要往下看。

分析：首先来理解数列递推式传递的信息.我们用具体的例子来理解它。

通过这种方式，我们对数列有了一些感性的认识。

不管怎样，还是采用定义法来证明。

还是采用前面介绍的技巧：保持前项不变，把后项用题中给定的关系式代入。

注意看，分子项和分母项的脚标相差2，我们根据题目所给递推式，可以分两步来。

咦！结果又是一个常数。

废话，要不是常数，那就是题目出错了。

总结：定义法来真好用，证明等比显奇功。

高考数学(理)二轮专题练习【专题4】(1)等差数列和等比数列(含答案)

第1讲等差数列和等比数列考情解读 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力．1．a n 与S n 的关系S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．等差数列和等比数列热点一等差数列例1 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 6＝12，则S 7的值是( ) A ．21 B ．24 C ．28 D ．7(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若－1<a 3<1,0<a 6<3，则S 9的取值范围是________．思维启迪 (1)利用a 1＋a 7＝2a 4建立S 7和已知条件的联系；(2)将a 3，a 6的范围整体代入．答案 (1)C (2)(－3,21)解析 (1)由题意可知，a 2＋a 6＝2a 4，则3a 4＝12，a 4＝4，所以S 7＝7×(a 1＋a 7)2＝7a 4＝28.(2)S 9＝9a 1＋36d ＝3(a 1＋2d )＋6(a 1＋5d ) 又－1<a 3<1,0<a 6<3，∴－3<3(a 1＋2d )<3,0<6(a 1＋5d )<18，故－3<S 9<21.思维升华 (1)等差数列问题的基本思想是求解a 1和d ，可利用方程思想； (2)等差数列的性质①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； ②S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，仍成等差数列； ③a m －a n ＝(m －n )d ⇔d ＝a m －a nm －n(m ，n ∈N *)；④a n b n ＝A 2n －1B 2n －1(A 2n －1，B 2n －1分别为{a n }，{b n }的前2n －1项的和)． (3)等差数列前n 项和的问题可以利用函数的性质或者转化为等差数列的项，利用性质解决．(1)已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝992，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64(2)在等差数列{a n }中，a 5<0，a 6>0且a 6>|a 5|，S n 是数列的前n 项的和，则下列说法正确的是( )A ．S 1，S 2，S 3均小于0，S 4，S 5，S 6…均大于0B ．S 1，S 2，…S 5均小于0，S 6，S 7，…均大于0C ．S 1，S 2，…S 9均小于0，S 10，S 11…均大于0D ．S 1，S 2，…S 11均小于0，S 12，S 13…均大于0 答案 (1)A (2)C解析 (1)因为a 8是a 7，a 9的等差中项，所以2a 8＝a 7＋a 9＝16⇒a 8＝8，再由等差数列前n 项和的计算公式可得S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11·2a 62＝11a 6，又因为S 11＝992，所以a 6＝92，则d ＝a 8－a 62＝74，所以a 12＝a 8＋4d ＝15，故选A. (2)由题意可知a 6＋a 5>0，故S 10＝(a 1＋a 10)×102＝(a 5＋a 6)×102>0，而S 9＝(a 1＋a 9)×92＝2a 5×92＝9a 5<0，故选C.热点二等比数列例2 (1)(2014·安徽)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝_____________________.(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n 等于( )A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n －1思维启迪 (1)列方程求出d ，代入q 即可；(2)求出a 1，q ，代入化简．答案 (1)1 (2)D解析 (1)设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ， a 5＝a 1＋4d ，∴(a 1＋2d ＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋4d ＋5)，解得d ＝－1， ∴q ＝a 3＋3a 1＋1＝a 1－2＋3a 1＋1＝1.(2)∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54，②由①②可得1＋q 2q ＋q 3＝2，∴q ＝12，代入①得a 1＝2， ∴a n ＝2×(12)n －1＝42n ，∴S n ＝2×(1－(12)n )1－12＝4(1－12n )，∴S na n ＝4(1－12n )42n＝2n －1，故选D. 思维升华 (1){a n }为等比数列，其性质如下：①若m 、n 、r 、s ∈N *，且m ＋n ＝r ＋s ，则a m ·a n ＝a r ·a s ； ②a n ＝a m q n －m ；③S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列(q ≠－1)． (2)等比数列前n 项和公式 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).①能“知三求二”；②注意讨论公比q 是否为1；③a 1≠0.(1)已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11等于( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8(2)在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝34，a 2·a n －1＝64，且前n 项和S n ＝62，则项数n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7答案 (1)D (2)B解析 (1)∵a 4－2a 27＋3a 8＝0，∴2a 27＝a 4＋3a 8，即2a 27＝4a 7，∴a 7＝2，∴b 7＝2，又∵b 2b 8b 11＝b 1qb 1q 7b 1q 10＝b 31q 18＝(b 7)3＝8，故选D.(2)设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2a n －1＝a 1a n ＝64，又a 1＋a n ＝34，解得a 1＝2，a n ＝32或a 1＝32，a n ＝2.当a 1＝2，a n ＝32时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ＝2－32q 1－q＝62，解得q ＝2.又a n ＝a 1q n－1，所以2×2n －1＝2n ＝32，解得n ＝5.同理，当a 1＝32，a n ＝2时，由S n ＝62，解得q ＝12.由a n ＝a 1q n －1＝32×(12)n －1＝2，得(12)n －1＝116＝(12)4，即n －1＝4，n ＝5.综上，项数n 等于5，故选B.热点三等差数列、等比数列的综合应用例3 已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．思维启迪 (1)利用方程思想求出a 1，代入公式求出a n 和S n ；(2)将恒成立问题通过分离法转化为最值．解 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6得a 7＝－2，∴a 1＝4， ∴a n ＝5－n ，从而S n ＝n (9－n )2.(2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1，设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝12，∴T m ＝4[1－(12)m ]1－12＝8[1－(12)m ]，∵(12)m 随m 增加而递减， ∴{T m }为递增数列，得4≤T m <8. 又S n ＝n (9－n )2＝－12(n 2－9n )＝－12[(n －92)2－814]，故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *总有S n <T m ＋λ，则10<4＋λ，得λ>6.即实数λ的取值范围为(6，＋∞)．思维升华等差(比)数列的综合问题的常见类型及解法(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．(2)等差数列、等比数列与函数、方程、不等式等的交汇问题，求解时用等差(比)数列的相关知识，将问题转化为相应的函数、方程、不等式等问题求解即可．已知数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且12，a n ，S n 成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)，求证：1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n <12.(1)解 ∵12，a n ，S n 成等差数列，∴2a n ＝S n ＋12，当n ＝1时，2a 1＝S 1＋12，∴a 1＝12，当n ≥2时，S n ＝2a n －12，S n －1＝2a n －1－12，两式相减得a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1， ∴a na n －1＝2， ∴数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列，∴a n ＝12×2n －1＝2n －2.(2)证明 b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)＝log 222n ＋1－2×log 222n＋3－2＝(2n －1)(2n ＋1)，1b n ＝12n －1×12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)， 1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12(1－12n ＋1)<12(n ∈N *)．即1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n <12.1．在等差(比)数列中，a 1，d (q )，n ，a n ，S n 五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个．解这类问题时，一般是转化为首项a 1和公差d (公比q )这两个基本量的有关运算． 2．等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．3．等差、等比数列的单调性 (1)等差数列的单调性d >0⇔{a n }为递增数列，S n 有最小值． d <0⇔{a n }为递减数列，S n 有最大值． d ＝0⇔{a n }为常数列． (2)等比数列的单调性当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }为递增数列，当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }为递减数列． 4．常用结论(1)若{a n }，{b n }均是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，则{ma n ＋kb n }，{S nn }仍为等差数列，其中m ，k 为常数．(2)若{a n }，{b n }均是等比数列，则{ca n }(c ≠0)，{|a n |}，{a n ·b n }，{ma n b n }(m 为常数)，{a 2n }，{1a n}仍为等比数列．(3)公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…，成等比数列，且公比为a 3－a 2a 2－a 1＝(a 2－a 1)qa 2－a 1＝q .(4)等比数列(q ≠－1)中连续k 项的和成等比数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…，成等比数列，其公差为q k .等差数列中连续k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…，成等差数列，公差为k 2d . 5．易错提醒(1)应用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2时，一定要注意分n ＝1，n ≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起．(2)三个数a ，b ，c 成等差数列的充要条件是b ＝a ＋c2，但三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .真题感悟1．(2014·大纲全国)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案 C解析数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4 ＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.2．(2014·北京)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．答案 8解析 ∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0. ∵a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 9<－a 8<0. ∴数列的前8项和最大，即n ＝8. 押题精练1．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列一定成立的是( ) A ．若a 3>0，则a 2 013<0 B ．若a 4>0，则a 2 014<0 C ．若a 3>0，则a 2 013>0 D ．若a 4>0，则a 2 014>0答案 C解析因为a 3＝a 1q 2，a 2 013＝a 1q 2 012，而q 2与q 2 012均为正数，若a 3>0，则a 1>0，所以a 2 013>0，故选C.2．已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝1＋a na n.若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围为________．答案 (－8，－7)解析 a n ＝a ＋(n －1)×1＝n ＋a －1，所以b n ＝1＋a n a n ＝n ＋an ＋a －1，因为对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，即n ＋a n ＋a －1≥8＋a 8＋a －1(n ∈N *)恒成立，即n －8(a ＋7)(n ＋a －1)≤0(n ∈N *)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7<0，1－a <9，解得－8<a <－7. 3．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＋1＝4S n ＋4n ＋1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14恰好是等比数列{b n }的前三项． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)记数列{b n }的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N *，(T n ＋32)k ≥3n －6恒成立，求实数k 的取值范围．解 (1)当n ≥2时，由题设知4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1，∴4a n ＝4S n －4S n －1＝a 2n ＋1－a 2n －4， ∴a 2n ＋1＝a 2n ＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2，∵a n >0，∴a n ＋1＝a n ＋2.∴当n ≥2时，{a n }是公差d ＝2的等差数列． ∵a 2，a 5，a 14构成等比数列，∴a 25＝a 2·a 14，(a 2＋6)2＝a 2·(a 2＋24)，解得a 2＝3，由条件可知，4a 1＝a 22－5＝4，∴a 1＝1， ∵a 2－a 1＝3－1＝2，∴{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列． ∴等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. ∵等比数列{b n }的公比q ＝a 5a 2＝2×5－13＝3，∴等比数列{b n }的通项公式为b n ＝3n . (2)T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝3(1－3n )1－3＝3n ＋1－32，∴(3n ＋1－32＋32)k ≥3n －6对任意的n ∈N *恒成立，∴k ≥2n －43n 对任意的n ∈N *恒成立，令c n ＝2n －43n ，c n －c n －1＝2n －43n －2n －63n －1＝－2(2n －7)3n ，当n ≤3时，c n >c n －1；当n ≥4时，c n <c n －1. ∴(c n )max ＝c 3＝227，∴k ≥227.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．等比数列{a n }中a 1＝3，a 4＝24，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189答案 C解析由题意可得q 3＝8，所以q ＝2.所以a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2)＝84. 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝6＋a 7，则S 9的值是( ) A ．27 B ．36 C ．45 D ．54答案 D解析由2a 6＝6＋a 7得a 5＝6，所以S 9＝9a 5＝54.故选D.3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 C解析由已知得，S m －S m －1＝a m ＝－16，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝32，故公比q ＝－2，又S m ＝a 1－a m q1－q ＝－11，故a 1＝－1，又a m ＝a 1·q m －1＝－16，代入可求得m ＝5.4．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( )A ．0B ．3C ．8D ．11 答案 B解析 ∵{b n }为等差数列，设其公差为d ，由b 3＝－2，b 10＝12，∴7d ＝b 10－b 3＝12－(－2)＝14，∴d ＝2， ∵b 3＝－2，∴b 1＝b 3－2d ＝－2－4＝－6， ∴b 1＋b 2＋…＋b 7＝7b 1＋7×62·d＝7×(－6)＋21×2＝0，又b 1＋b 2＋…＋b 7＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝a 8－a 1＝a 8－3， ∴a 8－3＝0，a 8＝3.故选B. 5．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，其前n 项积为T n ，则T 2 014等于( )A.16 B ．－16C ．6D ．－6答案 D解析由a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1得a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，而a 1＝2，所以a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，则数列是以4为周期，且a 1a 2a 3a 4＝1，所以T 2 014＝(a 1a 2a 3a 4)503a 1a 2＝1503×2×(－3)＝－6，故选D.6．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 21＝S 4 000，O 为坐标原点，点P (1，a n )， Q (2 011，a 2 011)，则OP →·OQ →等于( ) A ．2 011 B ．－2 011 C ．0 D ．1 答案 A解析由S 21＝S 4 000得a 22＋a 23＋…＋a 4 000＝0，由于a 22＋a 4 000＝a 23＋a 3 999＝…＝2a 2 011，所以a 22＋a 23＋…＋a 4 000＝3 979a 2 011＝0，从而a 2 011＝0，而OP →·OQ →＝2 011＋a 2 011a n ＝2 011. 二、填空题7．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 3＝8，a 5＋a 7＝4，则a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝________. 答案 3解析设等比数列{a n }的公比为q ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝8，a 1q 4＋a 1q 6＝4，解得q 4＝12. 又a 9＋a 11＝a 1q 8＋a 3q 8＝(a 1＋a 3)q 8＝8×(12)2＝2，a 13＋a 15＝a 1q 12＋a 3q 12＝(a 1＋a 3)q 12＝8×(12)3＝1，所以a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝2＋1＝3.8．(2014·广东)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝______.答案 50解析因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n ＝________. 答案 6解析设等差数列的公差为d ，则由a 4＋a 6＝－6得2a 5＝－6，∴a 5＝－3.又∵a 1＝－11，∴－3＝－11＋4d ，∴d ＝2，∴S n ＝－11n ＋n (n －1)2×2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，故当n ＝6时，S n 取最小值．10．已知数列{a n }的首项为a 1＝2，且a n ＋1＝12(a 1＋a 2＋…＋a n ) (n ∈N *)，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＝________，a n ＝________.答案 2×⎝⎛⎭⎫32n －1 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2 (n ＝1)，⎝⎛⎭⎫32n －2 (n ≥2)解析由a n ＋1＝12(a 1＋a 2＋…＋a n ) (n ∈N *)，可得a n ＋1＝12S n ，所以S n ＋1－S n ＝12S n ，即S n ＋1＝32S n ，由此可知数列{S n }是一个等比数列，其中首项S 1＝a 1＝2，公比为32，所以S n ＝2×⎝⎛⎭⎫32n －1，由此得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (n ＝1)，⎝⎛⎭⎫32n －2 (n ≥2). 三、解答题11．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54}是等比数列．(1)解设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d .依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15.解得a ＝5.所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d .依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54. 所以b n ＝b 1·q n －1＝54·2n －1＝5·2n －3，即数列{b n }的通项公式b n ＝5·2n －3. (2)证明由(1)得数列{b n }的前n 项和S n ＝54(1－2n )1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2. 所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2. 因此{S n ＋54}是以52为首项，2为公比的等比数列． 12．若数列{b n }对于n ∈N *，都有b n ＋2－b n ＝d (常数)，则称数列{b n }是公差为d 的准等差数列，如数列{c n }，若c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n －1，n 为奇数，4n －9，n 为偶数，则数列{c n }是公差为8的准等差数列．设数列{a n }满足a 1＝a ，对于n ∈N *，都有a n ＋a n ＋1＝2n .(1)求证：{a n }为准等差数列；(2)求{a n }的通项公式及前20项和S 20.(1)证明 ∵a n ＋1＋a n ＝2n ，①∴a n ＋2＋a n ＋1＝2n ＋2.②由②－①得a n ＋2－a n ＝2(n ∈N *)，∴{a n }是公差为2的准等差数列．(2)解已知a 1＝a ，a n ＋1＋a n ＝2n (n ∈N *)，∴a 1＋a 2＝2，即a 2＝2－a .∴由(1)可知a 1，a 3，a 5，…，成以a 为首项，2为公差的等差数列，a 2，a 4，a 6，…，成以2－a 为首项，2为公差的等差数列．∴当n 为偶数时，a n ＝2－a ＋(n 2－1)×2＝n －a ，当n 为奇数时，a n ＝a ＋(n ＋12－1)×2＝n ＋a －1， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋a －1，n 为奇数，n －a ，n 为偶数. S 20＝a 1＋a 2＋…＋a 19＋a 20＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＝2×1＋2×3＋…＋2×19＝2×(1＋19)×102＝200. 13．(2013·湖北)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18. 即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1. (2)由(1)有S n ＝3[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n . 假设存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时，(－2)n >0，上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n ≥2 012，得n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}．。

高三数学(理)等比数列和等差数列知识精讲人教版

高三数学（理）等比数列和等差数列知识精讲人教版一. 本周教学内容：等比数列和等差数列二. 重点、难点：1. 等差数列（1）定义：d a a n n +=+1*N n ∈（2）关键量：d a ,1（3）通项公式：d n a a n )1(1-+=d m n a a m n )(-+=（4）前n 项和：n a a d n n na S n n ⋅+=-+=)(21)1(2111 （5）① 若q p n m +=+∴q p n m a a a a +=+ ②}{q pa n +成等差数列③}{)1(n k kn S S --N k ∈，1>k 成等差数列④),0(+∞∈αn a α成等比数列⑤任意两数b a ,有等差中项2b a + 2. 等比数列（1）定义：)0(1≠=+q q a a nn （2）关键量：1a ，q（3）通项：11-=n n q a a（4）前n 项和：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==11)1(111q q q a q na S n n （5）若q p n m +=+，则q p n m a a a a ⋅=⋅}{n pa )0(≠p 成等比数列n n n n n S S S S S 232,,--成等比数列 0>n a ，}{log n a a 0(>a 且)1≠a 成等差数列（6）任意同号实数b a ,，有等比中项ab ±【典型例题】[例1] 等差数列}{n a 中，35=n S ，11=n a ，2=d ，求1a 解：⎪⎩⎪⎨⎧⋅-+==⋅-+==2)1(21352)1(1111n n na S n a a n n ⎩⎨⎧==⇒351a n 或⎩⎨⎧-==171a n[例2] 等差数列}{n a 中，p S k =，q S k =2，则=k S 3解：k k k k k S S S S S 232,,--成等差数列，k k k k k S S S S S 232)(2-+=-∴)(33p q S k -=[例3] 等差数列}{n a 共12+k 项，所有项之和323，其中奇数项和为171，求=+1k a ，=k 解：171323171)(21)1()(2122121-=⋅++⋅+=+ka a ka a S S k k 偶奇 ∴81521711=⇒=+k k k ∴19172171719==+=S a a a ∴⎩⎨⎧==1989a k[例4] 等差数列}{n a ，}{n b 前n 项和为n S ，n T ，且2325++=n n T S n n ，求=∞→nn n b a lim 解：16310)12)((21)12()(211212121121121121--==-+-⋅+=++=------n n T S n b b n a ab b a a b a n n n n n n n n ∴35610lim ==∞→n n n b a212111)1()1(lim lim d dd n b d n a b a n n n n =-+-+=∞→∞→212121112121)1(21)1(21lim lim d d d dd n n nb dn n na T S n n n n ==-+-+=∞→∞→[例5] 数列}{n a ，213=S ，246=S （1）n n a a a S +++= 21，求n S 的最大值。

人教版高考数学课件等差数列与等比数列

第一节等差数列与等比数列基础知识1．数列的概念定义1. 按照某一法则，给定了第1个数1a ，第2个数2a ，………，对于正整数n 有一个确定的数n a ，于是得到一列有次序的数ΛΛ,,,,21n a a a 我们称它为数列，用符号}{n a 表示。

数列中的每项称为数列的项，第n 项n a 称为数列的一般项，又称为数列}{n a 的通项。

定义2.当一个数列的项数为有限个时，称这个数列为有限数列；当一个数列的项数为无限时，则称这个数列为无限数列。

定义3.对于一个数列，如果从第2项起，每一项都不小于它的前一项，即n n a a ≥+1，这样的数列称为递增数列；如果从第2项起，每一项都不大于它的前一项，即n n a a ≤+1，这样的数列称为递减数列。

定义4.如果数列的每一项的绝对值都小于某一个正数，即M a n <||，其中M 是某一个正数，则称这样的数列为有界数列，否则就称为是无界数列。

定义5.如果在数列}{n a 中，项数n 与n a 具有如下的函数关系：*),(N n n f a n ∈=，则称这个关系为数列}{n a 的通项公式。

2．等差数列定义6.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，常用字母""d 表示。

等差数列具有以下几种性质：（1）等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=或d m n a a m n )(-+=；（2）等差数列的前n 项和公式：2)(1n n a a n S +=或d n n na S n 2)1(1-+=；（3）公差非零的等差数列的通项公式为n 的一次函数；（4）公差非零的等差数列的前n 项和公式是关于n 不含有常数项的二次函数；（5）设}{n a 是等差数列，则}{b a n +λ（b ,λ是常数）是公差为d λ的等差数列；（6）设}{n a ，}{n b 是等差数列，则}{21n n b a λλ+（21,λλ是常数）也是等差数列；（7）设}{n a ，}{n b 是等差数列，且*N b n ∈，则}{n b a 也是等差数列（即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列）；（8）若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+；特别地，当p n m 2=+时，p n m a a a 2=+；（9）设=A n a a a +++Λ21，=B n n n a a a 221+++++Λ，=C n n n a a a 32212+++++Λ，则有C A B +=2；（10）对于项数为n 2的等差数列}{n a ，记偶奇，SS 分别表示前n 2项中的奇数项的和与偶数项的和，则nd S S =-偶奇，1+=n n a a S S 偶奇；（11）对于项数为12-n 的等差数列}{n a ，有n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇；（12）n S 是等差数列的前n 项和，则n n a n S )12(12-=-；（13）其他衍生等差数列：若已知等差数列}{n a ，公差为d ，前n 项和为n S ，则 ①．ΛΛ,,,,)1(1t n p p p a a a -++为等差数列，公差为td ；②．,21m a a a +++ΛΛΛ,221m m m a a a +++++（即Λ,,,232m m m m m S S S S S --）为等差数列，公差d m 2；③．}{n S n （即Λ,3,2,1321S S S ）为等差数列，公差为2d . 3．等比数列定义7.一般地，如果有一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于现中一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比；公比通常用字母q 表示（0≠q ），即)0(1≠=-q q a a n n 。

高三数学等差等比数列1

的通项kn.
解：依题设得an=a1+(n-1)d，a22=a1a4 ∴(a1+d)2=a1(a1+3d)，整理得d2=a1d
∵d0 ∴d=a1 得an=nd
所以，由已知得d,3d,k1d,k2d,…,knd,…是等比数列
由d公0比，为所以q 数13列1,33,k1，,k由2,…此,k得n,…k1也=9是等比数列，首项为1，
n N ,当2 n 9时, Sn bn;当n 10时, Sn bn;当n 11时, Sn bn.
变式题型4 已知数列{an}的前n项和为An，数列{nan}的前n项和为Bn，
且有 An n ＝1。 2Bn
(1)求{an}的通项公式； (2)记cn=an+1-an，数列{an}前n项和为Sn，求证：3Sn2.
等比数列{kn}的首项k1=9，公比=3，所以kn=3n+1
即得到数列{kn}的通项为kn=3n+1
变式题型3
已知正项等比数列{an}中，a1=8，设bn=log2an (nN*)
(1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)如果数列{bn}的第七项和S7是它的前n项和Sn的最大值
，且S6S7,S7S8，求数列{an}的公比q的取值范围。
[启思]高考试题中，纯粹的不等式证明题还未见过，但不等式的证明方法却在每年高考试题中屡见不鲜，尤其是与数列的综合。证明不等式基本方法有比较法、综合法和分析法，还需注意放缩法
热点题型4：数列与不等式已知{ an }是公比为q的等比数列，且a1,a3,a2成等差数列. （Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n 项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.
热点题型1：已知Sn，求an

北京市2008年高三第二轮复习讲义：第7讲等差数列和等比数列(数学)

第7讲等差数列和等比数列一、高考要求①理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项；②理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解答简单的问题；③理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题．二、两点解读重点：①等差数列的概念及其通项公式与前n 项和公式；②等比数列的概念及其等比数列通项公式与前n 项和公式；③等差数列和等比数列的性质；④等差数列、等比数列的综合及其应用．难点：①等差数列和等比数列的性质；②等差数列、等比数列的综合及其应用．三、课前训练1．已知}{n a 是首项11=a ，公差3=d 的等差数列，如果2008=n a ，则序号n 等于（ D ）（A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）6702．等差数列{}n a 中,1030a =,2050a =，则通项n a =210n +，前11项和为242. 3．数列}{n a 中，21=a ，17=a ，又数列}11{+n a 为等差数列，则=11a 117 4．设数列}{n a 的前n 项和c S n n -=3，且数列}{n a 是一个等比数列,则c =1四、典型例题例1 已知数列}{n a 的前n 项和q q a aq S n n ,1,0(1≠≠=-为非零常数），则数列 }{n a 为（）（A ）等差数列（B ）等比数列（C ）既不是等差数列，又不是等比数列（D ）既是等差数列又是等比数列解：当1=n 时，a S a ==11，当2≥n 时，)1(11-=-=--q aq S S a n n n n ，)1(1-=+q aq a n n ，∴)2(1≥=+n q a a nn 为常数,但q q a a ≠-=112，∴数列}{n a 从第二项起为等比数列，故选C 例2 若}{n a 是等差数列，首项01>a ，020082007>+a a ，020082007<⋅a a ，则使数列}{n a 的前n 项和n S 为正数的最大自然数n 是（）（A ）4013 （B ） 4014 （C ） 4015 （D ） 4016解：由条件可知：02007>a ，02008<a ．考虑020082007>+a a 及等差数列性质知02)(40142)(401420082007401414014>+=+=a a a a S ，即04014>S ；考虑02008<a 及等差数列性质知040152)(40152008401514015<⨯=+=a a a S ，即04015<S ，故选B例3 设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知366=S ，324=n S ，若)6(1446>=-n S n ，则n 的值为．解：由条件知54321-----+++++n n n n n n a a a a a a =1801443246=-=--n n S S ，又366654321==+++++S a a a a a a ，651a a a a n n +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+-，∴21618036)(61=+=+a a n ，∴361=+a a n ，3242362)(1=⨯=+=n a a n S n n ，∴n =18 例4 已知函数)(x f 定义在正整数集上，且对于任意的正整数x ，都有)()1(2)2(x f x f x f -+=+，且6)3(,2)1(==f f ，则=)2007(f解：由)1(2)()2(+=++x f x f x f 知函数))((*N x x f ∈当x 从小到大依次取值时对应的一系列函数值组成一个等差数列，)2005(,),3(),1(f f f Λ形成一个首项为2，公差为4的等差数列，所以40144)11004(2)2007(=⨯-+=f例5 设数列}{n a 、}{n b 满足：n a a a a b n n ++++=Λ321(n N *)．（Ⅰ）若2+=n b n ，求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若}{n b 是等差数列，求证}{n a 也是等差数列．解：设}{n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）由题意：2+==n nS b n n ，即)2(+=n n S n )(*N n ∈①，当2,*≥∈n N n 时，有)1)(1(1+-=-n n S n ②，由①②两式相减可得：12+=n a n ，当1=n 时，311==S a ，也可用12+=n a n 表示，所以对任意的*N n ∈都有：12+=n a n ．（Ⅱ）若}{n b 是等差数列，设首项为1b ，公差为d ，由nS b n n =可得 d n b n S n )1(1-+=，于是d n n nb S n )1(1-+=①，当2,*≥∈n N n 时，有d n n b n S n )2)(1()1(11--+-=-②，由①②两式相减可得：d n b a n 2)1(1⋅-+=，当1=n 时，111b S a ==，也可用d n b a n 2)1(1⋅-+=表示，所以对任意的*N n ∈都有：d n b a n 2)1(1⋅-+=，而d a a n n 21=--（2,*≥∈n N n ），由等差数列的定义知：}{n a 也是等差数列例6 设数列}{n a 的首项411≠=a a , 且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+.,41,,211为奇数为偶数n a n a a n n n 记.,3,2,1,4112⋅⋅⋅=-=-n a b n n （Ⅰ）求2a ，3a ；（Ⅱ）判断数列}{n b 是否为等比数列，并证明你的结论．解：（Ⅰ）414112+=+=a a a ，81212123+==a a a ；（Ⅱ）因为83214134+=+=a a a ，所以163412145+==a a a ．所以0414111≠-=-=a a b ，)41(214132-=-=a a b ，)41(414153-=-=a a b ．猜想，}{n b 是公比为21的等比数列．证明如下：因为)(,21)41(2141)41(21412141*12122121N n b a a a a b n n n n n n ∈=-=-+=-=-=--++所以}{n b 是首项为41-a ，公比为21的等比数列。

高三数学等差等比数列1

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灭火基本方法分隔离法、窒息法、冷却法、抑制法四种.A.正确B.错误用白细胞过滤器去除悬浮红细胞中的白细胞的最佳时机是血液。A.运送至医院血库后B.在血站储存前C.发放至医院前D.在血站保存一段时间后E.临床使用前免疫是指A.机体识别排除抗原性异物的功能B.机体清除和杀伤自身突变细胞的功能C.机体抗感染的功能D.机体清除自身衰老、死亡细胞的功能E.机体对病原微生物的防御能力规划的，是把国家总体规划分解下达到各部门和各省，并逐级采取不同形式下达到实施规划的各个单位。A.公布与落实B.下达与执行C.公布与执行D.下达和落实男性，68岁。反复咳嗽、咳痰20余年，痰液粘稠，咳痰不爽。近2～3年气急渐进性加重。昨起感气急、胸闷，咳嗽亦有加重，前来门诊，下列处方中哪项是不妥当的A.庆大霉素80000U，肌肉注射，每日2次B.溴己新.（必嗽平）16mg，口服，每日3次C.异丙托品气雾剂吸入D.复方甘草合剂10ml，口下列不属于操作性包装有害物质污染形态的是.A、装卸时的包件散落B、排放含有包装有害物质的洗舱水C、倾倒含有有害物质的扫舱垃圾D、排放含油污水男性，60岁。因患慢性阻塞性肺气肿作肺功能检查。患者手执测定报告前来复诊，要求知道哪项指标最能说明有阻塞及其程度，特请你指出A.第1s用力呼气量肺活量％（FEV／VC％）B.肺活量占预计值％（VC％PreD.C.最大通气量占预计值％（MMC％PreD.D.残气量％（RV／TLC％）E.动脉血气分析股份有限公司修改公司章程，必须经出席的股东所持表决权的以上通过。A.董事会，1/2B.股东大会，l/2C.董事会，2/3D.股东大会，2/3 下列不属于复核工作中质量复核内容的是A.饮片有无虫蛀B.饮片有无发霉变质C.该捣碎的是否捣碎D.特殊煎煮的药物，是否另包并作说明E.该临方炮制的是否炮制 50名学生做物理、化学两种实验，已知物理实验做的正确的有40人，化学实验做的正确的有31人，两种实验都做错的有4人，那么这两种实验都做对的有多少人？在六种营养素中，可以产热的营养素有。A.2种B.3种C.4种D.5种下列属于心的生理功能的是A.主藏血B.主血脉C.主运化D.主统血E.主疏泄是对通信网的最基本要求。A、接通的可靠性与快速性B、接通的完整性与快速性C、接通的任意性与快速性D、接通的综合性与快速性人体内具分化能力的最早的造血细胞是A.T淋巴系祖细胞B.红系祖细胞C.粒系祖细胞D.造血干细胞E.巨核系祖细胞高压管道安装中，焊后一般不进行热处理，但应对焊缝及附近表面进行酸洗、钝化处理的管材为。A.1Cr18Ni9TiB.Cr5MoC.15CrMoD.15MnV 一个氢原子从n=3能级跃迁到n=2能级，该氢原子。A.放出光子，能量增加B.放出光子，能量减少C.吸收光子，能量增加D.吸收光子，能量减少上例患者经治疗皮损完全消退，但局部疼痛不止，舌质暗红苔白，脉弦。治疗方药改用A.独活寄生汤加减B.当归饮子加减C.参苓白术散加减D.桃红四物汤或血府逐瘀汤加减E.萆解渗湿汤加减关于强制对流说法正确的是。A、凡是受温度的影响而发生的对流都称为强制对流B、凡是受动能的影响而发生的对、流都称为强制对流C、凡是受外力的影响而发生的流体运动都称为强制对流D、凡是受做功的影响而发生的流体运动都称为强制对流患者男性18岁，发现右颌下无痛性质软肿物三月，表面皮肤正常，口内检查亦未见异常。行颌下手术中见肿物呈囊性，术中囊壁破裂，流出黏稠而略带黄色蛋清样液体，遂将囊壁及下颌下腺一并摘除，但术后不久囊肿复发。该病最可能的诊断是()A．下颌下腺囊肿B．潜突型舌下腺囊肿C．颌下区有关尸检的申请和委托，下面不正确的是A.相关医院具有申请和委托权B.卫生行政部门具有委托权C.死者家属没有申请和委托权D.死者的代理律师具有申请和委托权E.司法机关具有申请和委托权根据《编制原则》，500张床位以上的医院，病床与工作人员之比是A.1：1.3～1：1.4B.1：1.4～1：1.5C.1：1.6～1：1.7D.1：1.8～1：1.9E.1：2～1：2.1 脑部病变在扩散加权像上呈高信号，ADC呈低信号的是A.肿瘤B.炎症C.急性脑梗死D.变性病E.先天畸形阅读以下关于Java企业级应用系统开发体系结构选择方面的叙述，在答题纸上回答问题1至问题3。博学公司承担了某中小型企业应用软件开发任务，进度要求紧迫。为了按时完成任务，选择合适的企业应用系统开发体系结构非常重要。因此，首席架构师张博士召集了相关技术人员进行方案讨论，糖皮质激素与抗生素合用治疗严重感染的目的是A.增强抗生素的抗菌作用B.增强机体防御能力C.拮抗抗生素的某些副作用D.通过激素的作用缓解症状，度过危险期E.增强机体应激性脑膜炎双球菌，下列正确的是A.阳性双球菌B.我国流行菌群以B群为主C.共13群，以XYZ群最常见D.内毒素是其重要致病因素E.在外界抵抗力强 [单选,案例分析题]患者，男性，42岁，因发热，右上腹疼痛两周入院；患者两周前无明显诱因出现发热，食欲不振，右上腹疼痛，查体：肝右叶体积增大，右上腹压痛明显，实验室检查：Hb：110g／L，WBC：13．8×1012／L，N：78％；X线检查见右膈抬高，右侧胸腔少量积液，上腹部CT平扫见下列关于承担民事责任的方式，说法正确的是。A.承担民事责任的方式，不可以单独适用，但可以合并适用B.承担民事责任的方式，可以单独适用，但不可以合并适用C.承担民事责任的方式，可以单独适用，也可以合并适用D.承担民事责任的方式，只能单独适用关于肥胖症的病因，叙述错误的是A.肥胖症是遗传和环境因素共同导致的B.某些心理疾病也与肥胖症的发生有关C.体力活动减少导致肥胖症风险增加D.高热量的快餐类食物可使患肥胖症风险增加E.低出生体重患儿成年后肥胖症风险小，而出生体重过重则成年后肥胖症风险增加 [多选,A4型题,A3/A4型题]患者，男性，43岁。因膝关节酸痛而口服阿司匹林2片／次，3次／日。1小时前恶心、呕吐，呕吐物为咖啡样，约500ml。柏油样便，量约700g。查体：脉搏120次／分，血压90／75mmHg，神清，贫血貌。四肢湿冷，上腹压痛。提问：有关Hp感染与非甾体类抗炎药（NSAID 盐化土壤是指在保险标的物发生推定全损时，由被保险人把保险标的物的所有权转让给保险人，而向保险人请求赔付全部保险金额。肾癌晚期三联症、、。编制年度计划生育药具需求计划的报批和执行程序都有哪些明确规定？梅克尔憩室并发消化道出血的主要原因是。A.憩室炎B.憩室黏膜存在迷生组织C.憩室与周围肠管粘连D.憩室扭转E.憩室内疝仅适用于空气和物品表面灭菌的方法是A.辐射灭菌法B.紫外线灭菌C.75%乙醇灭菌D.苯酚溶液灭菌E.干热空气灭菌不与邻牙近中面接触的牙体是A.中切牙B.侧切牙C.尖牙D.第一前磨牙E.第三磨牙铸态管弯曲如何调整？ 19世纪中期，以法国的和德国的为代表的科学家，揭露了微生物是造成腐败发酵和人畜疾病的原因，并建立了分离、培养、接种和灭菌等一系列独特的微生物技术，从而奠定了微生物学的基础，同时开辟了医学和工业微生物学等分支学科。和是微生物学的奠基人材料质量控制的主要内容有：材料的性能，材料取样，试验方法及等。A.材料的质量标准B.材料的强度C.试验设备D.试验人员调脂治疗的首要目标是A.降低TCB.降低TGC.升高HDLD.降低LDL-CE.预防心血管病的发生

高考数学二轮复习专题3 数列第一讲等差数列与等比数列理

专题三数列第一讲等差数列与等比数列1．等差数列的定义．数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝d (其中n∈N *，d 为与n 值无关的常数)⇔{a n }是等差数列． 2．等差数列的通项公式．若等差数列的首项为a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． 3．等差中项．若x ，A ，y 成等差数列，则A ＝x ＋y2，其中A 为x ，y 的等差中项．4．等差数列的前n 项和公式．若等差数列首项为a 1，公差为d ，则其前n 项和S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）d2．1．等比数列的定义．数列{a n }满足a n ＋1a n＝q (其中a n ≠0，q 是与n 值无关且不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．2．等比数列的通项公式．若等比数列的首项为a 1，公比为q ，则a n ＝a 1·q n －1＝a m ·qn －m(n ，m ∈N *)．3．等比中项．若x ，G ，y 成等比数列，则G 2＝xy ，其中G 为x ，y 的等比中项，G 值有两个． 4．等比数列的前n 项和公式．设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(√) (3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．(×) (4)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．(×) (5)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .(×) (6)1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＝1－b51－b.(×)1．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则数列{a n }的前5项和S 5＝(B ) A ．7 B ．15 C ．20 D ．25解析：2d ＝a 4－a 2＝5－1＝4⇒d ＝2，a 1＝a 2－d ＝1－2＝－1，a 5＝a 2＋3d ＝1＋6＝7，故S 5＝（a 1＋a 5）×52＝6×52＝15.2. (2015·北京卷)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是(C ) A ．若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B ．若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0解析：设等差数列{a n }的公差为d ，若a 1＋a 2＞0，a 2＋a 3＝a 1＋d ＋a 2＋d ＝(a 1＋a 2)＋2d ，由于d正负不确定，因而a2＋a3符号不确定，故选项A错；若a1＋a3＜0，a1＋a2＝a1＋a3－d＝(a1＋a3)－d，由于d正负不确定，因而a1＋a2符号不确定，故选项B错；若0＜a1＜a2，可知a1＞0，d＞0，a2＞0，a3＞0，∴a22－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝d2＞0，∴a2＞a1a3，故选项C正确；若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＝d·(－d)＝－d2≤0，故选项D错．3．(2015·新课标Ⅱ卷)已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(B)A．21 B．42C．63 D．84解析：∵ a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴ 3＋3q2＋3q4＝21.∴ 1＋q2＋q4＝7.解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B.4．等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是(B)A．90 B．100C．145 D．190解析：设公差为d，则(1＋d)2＝1·(1＋4d)．∵d≠0，解得d＝2，∴S10＝100.一、选择题1．已知等差数列{a n}中，前n项和为S n，若a3＋a9＝6，则S11＝(B)A．12 B．33 C．66 D．99解析：∵{a n}为等差数列且a3＋a9＝6，∴a6＋a6＝a3＋a9＝6.∴a 6＝3. ∴S 11＝a 1＋a 112×11＝a 6＋a 62×11＝11a 6＝11×3＝33.2．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝40，则数列{a n }的前6项和S 6＝(B ) A ．120 B ．140 C ．160 D ．180 解析：∵{a n }为等比数列，∴a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6为等比数列． ∴(a 3＋a 4)2＝(a 1＋a 2)(a 5＋a 6)．即a 5＋a 6＝（a 3＋a 4）2a 1＋a 2＝40220＝80.∴S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝20＋40＋80＝140.3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n －1，则a 3＋a 17＝(C ) A ．15 B ．17 C ．34 D ．398 解析：∵S n ＝n 2－2n －1， ∴a 1＝S 1＝12－2－1＝－2. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－2n －1－[(n －1)2－2(n －1)－1] ＝n 2－(n －1)2＋2(n －1)－2n －1＋1 ＝n 2－n 2＋2n －1＋2n －2－2n ＝2n －3.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，n ＝1，2n －3，n ≥2.∴a 3＋a 17＝(2×3－3)＋(2×17－3)＝3＋31＝34. 4．(2014·陕西卷)原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(A )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假解析：由a n ＋a n ＋12＜a n ⇒a n ＋1＜a n ⇒{a n }为递减数列，所以原命题为真命题；逆命题：若{a n }为递减数列，则a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋；若{a n }为递减数列，则a n ＋1＜a n ，即a n ＋a n ＋12＜a n ，所以逆命题为真；否命题：若a n ＋a n ＋12≥a n ，n ∈N ＋，则{a n }不为递减数列；由a n ＋a n ＋12≥a n ⇒a n ≤a n ＋1⇒{a n }不为递减数列，所以否命题为真；因为逆否命题的真假为原命题的真假相同，所以逆否命题也为真命题．故选A.5．某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为(C )A ．5B ．7C ．9D ．11解析：由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入m ＝9，因此选C.二、填空题6．(2015·安徽卷)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于27．解析：由a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，可知数列{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，故S 9＝9a 1＋9×（9－1）2×12＝9＋18＝27.7．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝32．解析：将S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2两个式子全部转化成用a 1，q 表示的式子，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝3a 1q ＋2，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝3a 1q 3＋2，两式作差得：a 1q 2＋a 1q 3＝3a 1q (q 2－1)，即：2q 2－q－3＝0，解得q ＝32或q ＝－1(舍去)．8．(2014·广东卷)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝5．解析：由题意知a 1a 5＝a 23＝4，且数列{a n }的各项均为正数，所以a 3＝2， ∴a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)·(a 2a 4)·a 3＝(a 23)2·a 3＝a 53＝25，∴log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 225＝5. 三、解答题9．已知数列{a n }满足，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2 ＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．解析：(1)b 1＝a 2－a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，所以{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ＝1时，53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－1＝1＝a 1. 所以a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ∈N *)．10．(2015·安徽卷)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析：(1)由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)．由a 4＝a 1q 3得公比q ＝2，故a n ＝a 1qn －1＝2n －1.(2)S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝2n－1.又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1.。

高三数学等差和等比数列的通项及求和公式

能力·思维·方法
1.设数列{an}的前n项和为Sn=2n2+3n+2，求通项an的表达式，并指出此数列是否为等差数列.
n 1 S1 【解题回顾】公式 an 给出了数列的项 S n S n 1 n 2
与和之间的关系，很重要.在利用这个关系时必须注意：
(1)公式对任何数列都适用； (2)n＝1的情形要单独讨论.
S n S S 2S Sn S n 2S
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延伸·拓展
5.数列{an}是由正数组成的等比数列，Sn为前n项的和，是否
lg S n c lg S n 2 c 存在正常数c，使得 lg S n 1 c 对 2
任意的n∈N+成立?并证明你的结论.
【解题回顾】
：当ak≥0 一般地，数列{an}与数列{|an|}的前n项和Sn与 S n
时，有 S n S n；当ak＜0时， S n ( k =1，2，…，n).若在 Sn
a1，a2,…，an 中，有一些项不小于零，而其余各项均小于零，设其和分别为S+、S-，则有Sn=S++S-，所以
年龄(岁) 收缩压(水银柱毫米) 舒张压(水银柱毫米) 30 35 40 45 50 55 110 115 120 125 130 135 70 73 75 78 80 83 60 65 ( 140) 145 ( 85 ) 88
2. 已知等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，若 a4=18-a5，则 S8 等于（ D ） A.18 B.36 C.54 D.72
3.设 {an}是公比为 q 的等比数列， Sn是它的前 n项和.若 {Sn} 是 1 等差数列，则q=___

高三数学课件：等差数列与等比数列

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能力·思维· 能力·思维·方法
1.四个正数成等差数列，若顺次加上2，4，8，15后成等比四个正数成等差数列，若顺次加上，，，后成等比四个正数成等差数列数列，求原数列的四个数. 数列，求原数列的四个数
解题回顾】本题是利用等差数列、【解题回顾】本题是利用等差数列、等比数列的条件设未知数，充分分析题设条件中量与量的关系，知数，充分分析题设条件中量与量的关系，从而确定运用哪些条件设未知数，哪些条件设未知数，哪些条件列方程是解这类问题的关键所在. 所在.
降次非常关键，【解题回顾】本题对sin2a2降次非常关键，不宜盲目积化和差解题回顾】本题对
5.数列 n}与{bn}的通项公式分别为 n=2n，bn=3n+2，它们的数列{a 与的通项公式分别为a 数列的通项公式分别为，公共项由小到大排成的数列是{c 公共项由小到大排成的数列是 n}. 的前5项的前 ①写出{cn}的前项. 写出是等比数列. ②证明{cn}是等比数列证明是等比数列
解题回顾】依定义或通项公式，【解题回顾】依定义或通项公式，判定一个数列为等差或等比数列，这是数列中的基本问题之一. 比数列，这是数列中的基本问题之一.
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误解分析
1.在用性质在用性质m+n=p+q则am+an=ap+aq时，如果看不清下标关在用性质则常会出现错误. 系，常会出现错误
2.延伸拓展中，证明一个数列是等比数列或等差数列，延伸拓展5中证明一个数列是等比数列(或等差数列或等差数列)，延伸拓展用有限项作比(差得出常数是典型错误应用a 得出常数是典型错误，关系. 用有限项作比差)得出常数是典型错误，应用 n+1与an关系

08届高三数学等差数列和等比数列1

高考数学专题讲座第4讲等差数列与等比数列

高三高考数学复习 等差数列、等比数列PPT课件

高考数学复习：等差数列与等比数列

等差数列、等比数列知识点梳理

等比等差数列的所有公式

高考数学中的等比数列与等差数列

等差数列与等比数列的证明方法

高考数学：证明等差等比数列的解法

高考数学(理)二轮专题练习【专题4】(1)等差数列和等比数列(含答案)

高三数学(理)等比数列和等差数列 知识精讲 人教版

人教版高考数学课件等差数列与等比数列

高三数学 等差等比数列1

北京市2008年高三第二轮复习讲义：第7讲等差数列和等比数列(数学)

高三数学等差等比数列1

高考数学二轮复习 专题3 数列 第一讲 等差数列与等比数列 理

高三数学等差和等比数列的通项及求和公式

高三数学课件：等差数列与等比数列

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高三数学(理)等比数列和等差数列知识精讲人教版

高三数学等差等比数列1

高考数学二轮复习专题3 数列第一讲等差数列与等比数列理