高中数学21向量的线性运算213向量的减法优化训练新人教B版4

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高中数学2.1向量的线性运算2.1.3向量的减法课后训练新人教B版必修4(含解析)

向量的减法1．如图所示，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则AF －DB等于( )A ．FDB ．FCC ．FED ．BE2．(2012·山东潍坊期末)已知平行四边形ABCD ，O 是平行四边形ABCD 所在平面外任意一点，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，则向量OD等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b －cD ．a －b －c3．下列命题中，正确命题的个数为( ) ①|a|＋|b|＝|a ＋b|⇔a 与b 的方向相同；②|a|＋|b|＝|a －b|⇔a 与b 的方向相反；③|a ＋b|＝|a －b|⇔a 与b 有相等的模；④|a|－|b|＝|a －b|⇔a 与b 的方向相同．A ．0B ．1C ．2D ．34．已知|a |＝|b |＝1，|a ＋b |＝1，则|a －b |＝( )A ．1 BC ．2D ．2 5．平面上有三点A ，B ，C ，设m ＝AB ＋BC ，n ＝AB －BC，若m ，n 的长度恰好相等，则有( )A ．A ，B ，C 三点必在同一直线上B ．△ABC 必为等腰三角形，且∠ABC 为顶角 C ．△ABC 必为直角三角形，且∠ABC ＝90°D ．△ABC 必为等腰直角三角形6．在边长为1的正方形ABCD 中，设AB＝a ，BC ＝b ，AC ＝c ，则|a ＋b ＋c|＝____________，|a ＋c －b|＝____________，|c －a －b|＝__________.7．已知△ABC 为等腰直角三角形，且∠A ＝90°，有下列命题： ①|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|；②|BC →－BA →|＝|CB →－CA →|；③|AB →－CB →|＝|AC →－BC →|；④|AB →－AC →|2＝|BC →－AC →|2＋|CB →－AB →|2.其中正确命题的序号为__________．8．如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA ＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，求OD →.9．如图所示的五边形ABCDE 中，若AB ＝m ，BC ＝n ，CD ＝p ，DE ＝q ，EA＝r ，求作向量m －p ＋n －q －r .10．三个大小相同的力a ，b ，c 作用在同一物体P 上，使物体P 沿a 方向做匀速运动，设PA ＝a ，PB ＝b ，PC＝c ，判断△ABC 的形状．参考答案1．解析：由图可知DB ＝AD ，则AF －DB ＝AF －AD ＝DF.又由三角形中位线定理，知DF ＝BE，故选D ．答案：D2．解析：如图，有OD ＝OA ＋AD ＝OA ＋BC ＝OA ＋OC －OB＝a ＋c －b .答案：B3．解析：当向量共线时，向量加法的平行四边形法则不适用，可考虑应用向量加法的三角形法则，其中①②是正确的；③由向量加减法的几何意义，知|a ＋b|＝|a －b|等价于以a ，b 为邻边的平行四边形的对角线相等，此时a 与b 垂直，但a 与b 的模不一定相等，故③不正确；④不能判断|a|－|b|的符号，而|a －b|一定大于等于0，故④不正确．答案：C4．解析：如图所示，作平行四边形ABDC ，根据向量加法的平行四边形法则可知，当|a |＝|b |＝1，|a ＋b |＝1时，平行四边形ABDC 为菱形．又|a ＋b |＝1，所以△ABD 为正三角形，所以∠ABD ＝60°.容易得出|a －b |＝|CB |＝2|OB |＝＝＝答案：B5．解析：如图，作ABCD ，则m ＝AB ＋BC＝AC ，n ＝AB －BC ＝AB －AD ＝DB.∵|m|＝|n|，∴|AC |＝|D B →|，∴ABCD 为矩形． ∴△ABC 为直角三角形， ∴∠ABC ＝90°. 答案：C6．解析：|a ＋b ＋c|＝2|c|＝|a ＋c －b|＝|(c －b )＋a|＝2|a|＝2，|c －a －b|＝|c －(a ＋b )|＝|c －c|＝0.答案： 2 07．解析：以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，由题意知其为正方形． ∵|AB ＋AC |＝|AD |，|AB －AC |＝|CB |，|AD|＝|CB |，∴①正确． ②正确．∵|AB －CB |＝|AB ＋BC |＝|AC |，|AC －BC |＝|AC ＋CB |＝|AB|，又∵|AC |＝|AB|，∴③正确．∵|AB －AC |2＝|CB |2，|BC －AC |2＋|CB －AB |2＝|BC ＋CA |2＋|CB ＋BA |2＝|BA |2＋|CA|2＝|CB |2，∴④正确．答案：①②③④8．分析：所给图形是平行四边形，为了应用图形的性质，将向量OA ，OB ，OC，OD都转化到四条边上，由向量减法的三角形法则，得BA ＝OA－OB ，CD ＝OD －OC .于是，根据BA 与CD →为相等向量的关系可得结论．解：因为BA ＝CD ，BA ＝OA－OB ，CD ＝OD －OC ，所以OD －OC ＝OA －OB ，OD ＝OA －OB ＋OC.所以OD＝a －b ＋c .9．解：∵m －p ＋n －q －r ＝(m ＋n )－(p ＋q ＋r )＝(AB ＋BC )－(CD ＋DE ＋EA)＝AC －CA ＝AC ＋AC ，∴延长AC 至点F ，使|CF |＝|AC |(如图)，则CF ＝AC，∴AF ＝AC ＋AC ，即向量AF即为所求作的向量m －p ＋n －q －r .10．解：由题意得|a |＝|b |＝|c |，由于合力作用后做匀速运动，故合力为0，即a ＋b ＋c ＝0.∴a ＋c ＝－b .如图所示，APCD 为菱形，PD＝a ＋c ＝－b .∴∠APC ＝120°，同理∠APB ＝∠BPC ＝120°.又∵|b |＝|c |＝|a |，∴易知△ABC 为正三角形．。

高中数学第二章平面向量21向量的线性运算213向量的减法课件新人教B版必修4

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2.相反向量 (1)定义. 与向量a方向相反且等长的向量பைடு நூலகம்做 a的相反向量 ,记作-a(如图所示). (2)性质.
①a+ (-a)= (-a)+ a= 0; ②-(-a)= a; ③零向量的相反向量仍是 0,即0= -0.
(3)向量减法的再理解 . 从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量 ,因此, 关于向量减法的作图 ,一是利用向量减法的定义直接作图 ,二是利用相反向量作图 .
题型一题型二题型三
反思在求和向量或差向量时 ,应先考虑共线、共始点、共终点、相等向量、相反向量等有特殊位置关系的两个向量的和或差 ,比如本例中???与? ???共? 始点 ,???与? ????共终点 ,可先从它们中间突破 .
还有,解答本题的过程中易出现把 ????? ????= ???写? 成????? ????= ???的? 错误,导致此种错误的原因是没理解向量减法的意义 .
A.a+ b C.-a+ b
B.-a-b D.a-b
解析:由平行四边形的对角线互相平分的性质 ,知???=?- ???,?即
???=?- a,所以????= ????? ????=- a-b.
答案:B
1.向量减法的三角形法则与平行四边形法则的比较剖析从“相反向量 ”这个角度看 ,a-b的作法有两种 :三角形法则和
2.以非零向量???=? a 与????= b 为邻边作?ABCD,则两条对角线对应的向量为???=?a+b,????= b-a,????= a-b,这一结论在以后的应用中非常重要.
2.教材中的 “探索与研究 ” 在坐标纸上或用作图软件画两个向量 ,然后作它们的和 ,研究当两个向量的方向变化时 ,它们的和向量变化的情况 .你从中能得到哪些结论 ?写出小论文谈谈你对向量和的认识 ,并与老师和同学交流. 剖析设向量a和b,当向量a和b的方向发生变化时 ,其和向量 a+ b会发生变化 ,当a与b共线且同向时 ,a+ b的模最大 ,|a+ b|=| a|+| b|;当a与 b共线且方向相反时 ,不妨设|a|>|b|,此时a+b的模最小 ,|a+b|=|a|-|b| . 类比向量的加法 ,对于向量的减法 ,有如下结论 :

人教B版高中数学必修四《2.1 向量的线性运算 2.1.3 向量的减法》_0

第五章平面向量
5.2.2 向量的减法
【教学目标】
1. 理解并掌握向量的减法运算并理解其几何意义，理解相反向量．
2. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的思想方法．
【教学重点】
向量减法的三角形法则．
【教学难点】
理解向量减法的定义．
【教学方法】
这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．由实例引入，创设问题情境，教师引导学生由向量加法得到向量减法．并在教学过程中始终注重数形结合，对比教学，使问题处于学生思维的最近发展区，较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．
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第五章平面向量
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高中数学2-1向量的线性运算2-1-3向量的减法课后导练新人教B版必修4

教学资料范本高中数学2-1向量的线性运算2-1-3向量的减法课后导练新人教B版必修4编辑：__________________时间：__________________2.1.3 向量的减法课后导练基础达标1.AC可以写成①；②；③；④.其中正确的是( )A.①②B.②③C.③④D.①④解析:由三角形法则知①④正确.而.答案:D2.化简下列各式,结果为零向量的个数是( )①②-+-③④A.1B.2C.3D.4解析:①==0.②-+-=(+)-(+)=-=0.③==0.④=0.答案:D3.若||=8,||=5,则||的取值范围是( )A.［3,8］B.(3,8)C.［3,13］D.(3,13)解析:∵=-,当、同向时,||=8-5=3；当,反向时,||=8+5=13；当,不共线或有零向量时3＜||＜13.综上,知3≤||≤13.答案:C4.△ABC中,D、E、F分别为AB、BC、CA的中点,等于( )A. B. C. D.解析:.答案:D5.下列四式中,不能化简为的是( )A.()+B.(+)+(+)C.+-D.解析:(+)+(+)=++=+.答案:B6.已知=a,=b,若||=12,||=5,且∠AOB=90°,则|a-b|=__________. 解析:|a-b|=|-|=||=.答案:137.在边长为1的正方形ABCD中,设=a,=b,=c,则|a+b+c|=________,|a+c-b|=________,|c-a-b|=______.解析:|a+b+c|=2|c|=,|a+c-b|=|(c-b)+a|=2|a|=2,|c-a-b|=0. 答案: 2 08.在平行四边形ABCD中,若|+|=|-|,则ABCD是__________(填正方形或矩形或菱形).解析:由|+|=|-|,即||=||,可得ABCD的对角线相等且为平行四边形,因此可得ABCD为矩形.答案:矩形综合运用9.(20xx全国高考,文5) 已知向量a,b满足:|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a+b|等于( )A.1B.C.D.解析:由|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2),知|a+b|2+4=2(1+4),故|a+b|=.答案:D10.平面上有三点A,B,C,设m=+,n=-,若m,n的长度恰好相等,则有( )A.A,B,C三点必在同一直线上B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C.△ABC必为直角三角形且∠B=90°D.△ABC必为等腰直角三角形解析:如图,作ABCD,则+=,-=-=,∵|m|=|n|,∴||=||.∴ABCD为矩形.∴△ABC为直角三角形,∠B=90°.答案:C11.已知等腰直角△ABC,∠C=90°,M为斜边的中点,设=a,=b,试用向量a,b表示、,,.解:=-=a-b,==a-b,=+=++=b+a-b+a-b=2a-b,==-(+)=-2(a-b)=2(b-a).拓展探究12.一艘船以 km/h的速度向垂直于岸的方向行驶,而船的实际速度是10 km/h,求水流的速度和船行驶的方向(用与水流方向间的夹角表示).解:如图所示,设表示船垂直于对岸行驶的速度,表示水流的速度,以,为边作ABCD,则表示的就是船实际航行的速度.在Rt△ABC中,||=10 km/h,||=||= km/h,∴||= (km/h).∵tan∠CAB=,∴∠CAB=60°.答:水流速度为5 km/h,船行驶方向与水流方向夹角为60°.。

高中数学 213 向量的减法课件新人教B版必修4

[辨析] 忽略“a、b中至少一个为零向量”的条件，使答案不完整．
[正解] (1)a、b垂直或a、b中至少一个为零向量． (2)a、b方向相同或a、b中至少一个为零向量． (3)a、b方向相反且|a|>|b|，或b＝0. (4)a、b方向相反，或a、b中至少一个为零向量．
一、选择题 1．如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是( ) A.A→B＝D→C B.A→D＋A→B＝A→C C.A→B－A→D＝B→D D.A→D＋C→B＝0
＝A→D＋D→A＝0
解法二：A→C－B→D＋C→D－A→B ＝A→C＋D→B＋C→D＋B→A ＝(A→C＋C→D)＋(D→B＋B→A) ＝A→D＋D→A＝0. [答案] D [点评] 解法一是利用A→B＝－B→A，然后利用向量的加、减法运算法则进行化简的．解法二是利用B→D＝－D→B，A→B＝－B→A，然后利用向量加法的运算法则进行化简的．
[例 3] 如图所示，O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC、 BD 的交点，设A→B＝a，D→A＝b，O→C＝c，试证明：b＋c－a ＝O→A.
[解析] 解法一：∵b＋c＝D→A＋O→C＝O→C＋C→B＝O→B， O→A＋a＝O→A＋A→B＝O→B， ∴b＋c＝O→A＋a，则 b＋c－a＝O→A. 解法二：∵c－a＝O→C－A→B＝O→C－D→C＝O→C＋C→D＝ O→D＝O→A＋A→D＝O→A－b， ∴b＋c－a＝O→A.
[答案]
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5 12[解析ຫໍສະໝຸດ 如图，∵a－b＝O→A－O→B＝B→A，
∴|a－b|＝|B→A|＝ 52＋122＝13；
tan∠OBA＝OOAB＝152.
三、解答题 6．已知a，b，c(如图)，求作向量a－b＋c.

高中数学2.1向量的线性运算2.1.2向量的加法优化训练新人教B版必修4(2021学年)

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2.1。

2 向量的加法５分钟训练(预习类训练，可用于课前）1。

下列命题中正确命题的个数为( ）①如果非零向量a与ｂ的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a、b之一的方向相同②△ABC 中，必有AB+BC＋CA=0 ③若AB+BC＋CA＝０,则A、B、C为一个三角形的三个顶点④若a、b均为非零向量，则｜ａ+ｂ|与｜a|＋｜b|一定相等A.0 B．1 C。

2 D．3解析:①假命题,当a＋b=０时，命题不成立；②真命题；③假命题，当A、B、C三点共线时，也可以有AB+BC+CA=0;④假命题，只有当ａ与b同向时才相等.答案：B２.向量（AB+MB）+（BO+BC）＋OM化简后等于（ )A。

BCＢ.ABＣ.AC D。

AM解析：原式=（AB＋BO)+（OM+MB)+BC=AO＋OB+BC＝AC。

答案:C3．如图2-1-7，在平行四边形ABCD中，BC＋DC+BA等于( )图２-1－7A.AD B。

DAＣ．AC Ｄ．CB解析：BC+DC+BA=BC＋（DC+BA)＝BC=AD.答案：Ａ4.如图2—1-8，四边形ABCD 与A ＢD Ｅ都是平行四边形.图2—１-8(1）若AE ＝a ，则DB =_＿＿___＿_＿__＿＿__; （２）若CE =ｂ,则AB =____＿_＿_____＿_;（３）和AB 相等的所有向量为____＿__＿_＿＿＿__;(4）和AB 共线的所有向量为______＿______＿。

人教B版高中数学必修四《2.1 向量的线性运算 2.1.3 向量的减法》_1

《向量的减法运算及几何意义》教学设计一、教材分析1、教材所处的地位和作用本节课是平面向量线性运算的一种。

在学完向量的加法运算及几何意义后，本节课是对上节课内容的一个转化，通过本节课的学习不但能帮助学生加深对向量加法运算及几何意义的理解，也为后面学习向量的数乘运算及几何意义做了铺垫。

它具有承上启下的作用。

2、教学目标知识与技能：（1）了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量；（2）通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义.过程与方法：通过向量减法的学习，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力. 使学生充分体会转化、类比、数形结合的数学思想的运用。

进一步培养和提高学生的数学核心素养。

情感态度价值观：在本节内容的学习过程中，通过师生互动，生生互动的教学活动，形成学生的体验性认识。

体会成功的愉悦，提高学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.3、教学重点和难点教学重点：向量减法的概念和差向量的作图法教学难点：向量减法的几何意义二、教法与学法1教学方法及教学手段教学方法：引导，探究，小组合作教学手段：采用多媒体与学案导学相结合，提高课堂的利用率。

四、教学过程（一）回顾旧知通过学案设置的问题，复习上节课所学内容（三角形法则：首尾相接连端点。

四边形法则：起点相同连对角及向量加法法则）引出疑问——加与减是对立统一的两个方面，既然向量可以相加，那么，两个向量可以相减呢设计意图：通过对上节课所学知识的复习，为本节课的学习打下基础。

并自然引出本节课所研究的内容。

（二）引入新课问题:你每天上学从家到学校，从学校到家，你的位移是多少?怎样用向量来表示呢?引出相反向量的定义：（这个概念的理解以及相应性质在学案上有所体现）由学生自行完成。

设计意图：与实际生活相联系，让学生体会数学在实际生活中的重要地位。

也能使学生更容易理解相反向量的定义及相关性质。

（1）新课讲解通过学案上给出的问题串，如何定义向量的减法、用怎样的符号表示、如何理解向量的减法及几何意义。

高中数学 2.1.3向量的减法课时作业新人教B版必修4

【成才之路】2015-2016学年高中数学 2.1.3向量的减法课时作业新人教B 版必修4一、选择题1．下列等式：①0－a ＝－a ；②－(－a )＝a ；③a ＋(－a )＝0；④a ＋0＝a ；⑤a －b ＝a ＋(－b )；⑥a ＋(－a )＝0.正确的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] C[解析] ①、②、④、⑤、⑥正确，③不正确，故选C ． 2．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式成立的是( ) A ．EF →＝OF →＋OE → B ．EF →＝OF →－OE → C ．EF →＝－OF →＋OE → D ．EF →＝－OF →－OE → [答案] B[解析] EF →＝EO →＋OF →＝OF →－OE →，故选B ． 3．下列各式中不能化简为PQ →的是( ) A ．AB →＋(PA →＋BQ →) B ．(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →) C ．QC →－QP →＋CQ → D ．PA →＋AB →－BQ → [答案] D[解析] A 中AB →＋BQ →＋PA →＝AQ →＋PA →＝PQ →， B 中AB →＋PC →＋BA →－QC →＝PC →－QC →＝PQ →， C 中QC →－QP →＋CQ →＝PQ →，故选D ．4．在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，则AB →等于( ) A ．a ＋b B ．－a －b C ．a －b D ．b －a[答案] B [解析] 如图，AB →＝AC →＋CB →＝－b －a ，故选B ．5．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( )A ．AB →＝DC → B ．AD →＋AB →＝AC → C ．AB →－AD →＝BD → D ．AD →＋CB →＝0[答案] C[解析] A 显然正确，由平行四边形法则知B 正确.AB →－AD →＝DB →，∴C 错误．D 中AD →＋CB →＝AD →＋DA →＝0.6．在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则必有( ) A ．AD →＝0B ．AB →＝0或AD →＝0C ．四边形ABCD 是矩形 D ．四边形ABCD 是正方形 [答案] C[解析] ∵AB →＋AD →＝AC →，AB →－AD →＝DB →， ∴在平行四边形中，|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，即|AC →|＝|DB →|，∴ABCD 是矩形．二、填空题7．在边长为1的正方形ABCD 中，设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，|c －a －b |＝________. [答案] 0 [解析] 如图，|c －a －b |＝|c －(a ＋b )|＝|c －c |＝|0|＝0. 8．给出下列命题：①若OD →＋OE →＝OM →，则OM →－OE →＝OD →；②若OD →＋OE →＝OM →，则OM →＋DO →＝OE →； ③若OD →＋OE →＝OM →，则OD →－EO →＝OM →； ④若OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝MO →. 其中所有正确命题的序号为________． [答案] ①②③④[解析] 若O D →＋O E →＝O M →，则O D →＝O M →－O E →，故①正确；若O D →＋O E →＝O M →，则O M →－O D →＝O M →＋D O →＝O E →，故②正确；若O D →＋O E →＝O M →，则O D →－E O →＝O M →，故③正确；若O D →＋O E →＝O M →，则－O D →－O E →＝－O M →，即D O →＋E O →＝M O →，故④正确．三、解答题 9．化简下列各式： (1)AB →－AC →＋BD →－CD →； (2)OA →－OD →＋AD →； (3)AB →－AD →－DC →.[解析] (1)AB →－AC →＋BD →－CD →＝(AB →＋BD →)＋(CA →＋DC →)＝AD →＋DA →＝0. (2)OA →－OD →＋AD →＝OA →＋(AD →＋DO →) ＝OA →＋AO →＝0.(3)AB →－AD →－DC →＝AB →－(AD →＋DC →) ＝AB →－AC →＝CB →.10.如图，已知向量a 、b 、c ，求作向量a －c ＋b .[解析] 如图，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .连接AC ，则CA →＝a －c .过点B 作BD ∥AC ，且BD ＝AC ，则BD →＝CA →. 所以OD →＝OB →＋BD →＝b ＋a －c ＝a －c ＋b .一、选择题1．设a 、b 为非零向量，且满足|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 的关系是( ) A ．共线 B ．垂直 C ．同向 D ．反向[答案] D[解析] 设a 、b 的起点为O ，终点分别为A 、B ，则a －b ＝BA →，由|a －b |＝|a |＋|b |，故O 、A 、B 共线，且O 在AB 之间．故OA →与OB →反向，所以选D ．2．如图，正六边形ABCDEF 中，B A →＋C D →＋E F →＝( )A ．0B ．B E →C ．AD →D ．C F →[答案] D[解析] 在正六边形ABCDEF 中，B A →＝D E →， ∴B A →＋C D →＋E F →＝C D →＋D E →＋E F →＝C F →.3．设(AB →＋CD →)－(CB →＋AD →)＝a ，而b ≠0，则在下列各结论中，正确的结论为( ) ①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ±b |<|a |＋|b |. A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．①③ [答案] D[解析] (AB →＋CD →)－(CB →＋AD →)＝AB →－AD →＋CD →－CB →＝DB →＋BD →＝0，∴a ＝0.∴a ∥b ，①正确．∵b ≠0，∴a ＋b ＝b ≠0，②错误，③正确；|a ±b |＝|b |，④错误，故选D ．4．已知|AB →|＝5，|CD →|＝7，则|AB →－CD →|的取值范围是( )A ．[2,12]B ．(2,12)C ．[2,7]D ．(2,7)[答案] A[解析] AB →与CD →同向时，|AB →－CD →|＝|CD →|－|AB →|＝7－5＝2，当AB →与CD →反向时，|AB →－CD →|＝|AB →|＋|CD →|＝7＋5＝12，故选A ．二、填空题5．若非零向量a 与b 互为相反向量，给出下列结论： ①a ∥b ；②a ≠b ；③|a |≠|b |；④b ＝－a . 其中所有正确命题的序号为________． [答案] ①②④[解析] 非零向量a 、b 互为相反向量时，模一定相等，因此③不正确． 6．已知|OA →|＝|OB →|＝2，且∠AOB ＝120°，则|OA →＋OB →|＝________. [答案]2[解析] 以OA →，OB →为邻边作▱OACB ， ∵|OA →|＝|OB →|，∴▱OACB 为菱形， ∴|OA →＋OB →|＝|OC →|，∵∠AOB ＝120°，∴△OAC 为正三角形，∴|OC →|＝ 2. 三、解答题7．已知两个非零不共线的向量a 、b ，试用几何法和代数法分别求出(a ＋b )＋(a －b )＋(－a )．[解析] 代数法．(a ＋b )＋(a －b )＋(－a )＝(a ＋a －a )＋(b －b )＝a . 几何法．如图，作▱ABCD 与▱BECD ，使AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，CE →＝DB →＝AB →－AD →＝a －b ， EB →＝－BE →＝－AB →＝－a .∴(a ＋b )＋(a －b )＋(－a )＝AC →＋CE →＋EB →＝AB →＝a .8．已知等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，M 为斜边中点，设CM →＝a ，CA →＝b ，试用向量a 、b 表示AM →、MB →、CB →、BA →.[解析] 如图所示，AM →＝CM →－CA →＝a －b ， MB →＝AM →＝a －b ， CB →＝CA →＋AB →＝b ＋2AM →＝b ＋2a －2b ＝2a －b ，BA →＝－2AM →＝－2(a －b )＝2b －2a .9. 如图所示，P 、Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP →＝QC →，求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.[解析] 由图可知AB →＝AP →＋PB →， AC →＝AQ →＋QC →，两式相加，得AB →＋AC →＝AP →＋AQ →＋PB →＋QC →.又∵PB →与QC →的模相等，方向相反，故PB →＋QC →＝0. ∴AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.。

人教B版高中数学必修四《2.1向量的线性运算2.1.3向量的减法》2

向量的减法运算及其几何意义教课目的：认识相反向量的观点；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；经过论述向量的减法运算能够转变成向量的加法运算，使学生理解事物间能够相互转变的辩证思想.教课要点：向量减法的观点和向量减法的作图法.教课难点：减法运算时方向确实定.教课思路：一、复习：向量加法的法例：三角形法例与平行四边形法例，向量加法的运算定律：例：在四边形中，CBBAAD.解：CBBAADCAADCD二、提出课题：向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法（1）“相反向量”的定义：与a（2）规定：零向量的相反向量还是零向量.(a)=a.任一直量与它的相反向量的和是零向量.a+ (a)=0假如a、b互为相反向量，则a=b，b=a，a+b=0（3）向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.即：ab=a+(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b+x=a，则x叫做a与b的差，记作a b3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量a b∵(ab)+b=a+(b)+b=a+0=aa O a 作法：在平面内取一点O，b作OA=a，AB=b则BA=ab bab B即ab能够表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.注意：1AB表示a b.重申：差向量“箭头”指向被减数2用“相反向量”定义法作差向量，ab=a+(b)B’a b a+(b)O abAb bB4．研究：１）假如从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是b a.２）若a∥b，怎样作出 a b？a ab abbO B A B’O BAa ab a bb O A b B B O A三、例题：例一、（P86例三）已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd.解：在平面上取一点O，作OA=a，OB=b，OC=c，OD=d，作BA，DC，则BA=ab，DC=cdA BD D CdbacA BCO例二、平行四边形ABCD中，AB a，AD b，用a、b表示向量AC、DB.解：由平行四边形法例得：AC=a+b，DB=AB AD=ab变式一：当a，b知足什么条件时，a+b与ab垂直？（|a|=|b|）变式二：当a，b知足什么条件时，|a+b|=|a b|？（a，b相互垂直）变式三：a+b与ab可能是相等向量吗？（不行能，∵对角线方向不一样）例3.如图，已知一点O到平行四边形ABCD的三个极点A、B、C的向量分别为a、b、c，试用向量a、b、c表示OD.练习：1。

高中数学2-1向量的线性运算2-1-4向量数乘优化训练新人教B版必修4

高中数学2-1向量的线性运算2-1-4向量数乘优化训练新人教B 版必修45分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.已知a=e1+e2，b=3e1-2e2，则3a-2b 等于( )A.9e1+4e2B.0C.7e2-2e1D.-3e1+7e2解析：3a-2b=3(e1+e2)-2(3e1-2e2)=-3e1+7e2.答案：D2.已知=a ，=b ，=，用a ，b 表示，则等于( )43 A. B.a b 4143-a b 3134- C. D.a-b b a 4331+ 解析：∵=，∴-=(-).∴b -a=-a.43434343 ∴=.a b 3134- 答案：B3.化简(-2)·3m -4(n-2m)的结果为( )A.-14m-4nB.-6m-4nC.2m-4nD.4n+2m解析：原式=-6m-4n+8m=2m-4n.答案：C4.若|a|=3，b 与a 的方向相反，且|b|=5，则a=b.解析：∵b 与a 的方向相反，且|a|=|b|,53 ∴a=-b.53答案：-53 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.如图2-1-16，在梯形ABCD 中，AD∥BC，=a ，=b ，=c ，=d ，且E 、F 分别为AB 、CD 的中点，则( )图2-1-16 A.=(a+b+c+d)B.=(a-b+c-d)EF21EF 21 C.=(c+d-a-b)D.=(a+b-c-d)EF 21EF 21 解析：=-=(+)-(+)=(c+d)-(a+b).OF 21212121 ∴=(c+d -a-b).21 答案：C 2.已知AD 、BE 、CF 分别为△ABC 的三条中线，G 是它们的交点，则下列等式不正确的是( ) A.=B.=3221 C.=-2D.+=313221 解析：本题的关键点在于将重心的性质用向量的形式表示出来，由图知B 错在方向反了.应该为=.DG 21-AG 答案：B3.点C 在线段AB 上，且=，则=.( )53 A. B. C.D.322332-23- 解析：∵||=||，∴||∶||=3∶2，53 且与方向相反,∴=.AC BC AC 23-BC 答案：D。

高中数学 2.1 向量的线性运算 2.1.2 向量的加法优化训练新人教B版必修4

2.1.2 向量的加法5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下列命题中正确命题的个数为( )①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a、b之一的方向相同②△ABC中，必有AB+BC+CA=0 ③若AB+BC+CA=0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点④若a、b均为非零向量，则|a+b|与|a|+|b|一定相等A.0B.1C.2D.3解析：①假命题，当a+b=0时，命题不成立；②真命题；③假命题，当A、B、C三点共线时，也可以有AB+BC+CA=0；④假命题，只有当a与b同向时才相等.答案：B2.向量(AB+MB)+(BO+BC)+OM化简后等于( )A.BCB.ABC.ACD.AM解析：原式=(AB+BO)+(OM+MB)+BC=AO+OB+BC=AC.答案：C3.如图2-1-7，在平行四边形ABCD中，BC+DC+BA等于( )图2-1-7A.ADB.DAC.ACD.CB解析：BC+DC+BA=BC+(DC+BA)=BC=AD.答案：A4.如图2-1-8，四边形ABCD与ABDE都是平行四边形.图2-1-8(1)若=a，则=_______________；(2)若CE=b，则=______________；(3)和AB相等的所有向量为______________；(4)和AB 共线的所有向量为______________. 答案：(1)-a (2)b 21 (3)ED 、DC (4) ED 、DC 、EC 、DE 、CD 、CE 、BA 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.如图2-1-9，AB +BC +CD +DE +EF +FA 等于( )图2-1-9A.0B.0C.2ADD.-2AD解析：利用向量封闭性原理.答案：B2.已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ，BC =b ，AC =c ，则|a +b +c |等于( )A.0B.3C.2D.22 解析：如图，a +b +c =2c ，|c |=2，∴|a +b +c |=|2c |=22.答案：D3.设a 、b 为非零向量，下列说法不正确的是( )A.a 与b 反向，且|a |>|b |，则向量a +b 与a 的方向相同B.a 与b 反向，且|a |<|b |，则向量a +b 与a 的方向相同C.a 与b 同向，则a +b 与a 同向D.a 与b 同向，则a +b 与b 同向解析：两个向量反向，则哪个向量的模长两向量之和的方向就与哪个向量方向一致. 答案：B4.在五边形A 1A 2A 3A 4A 5中，31A A +53A A +25A A +42A A =________________.解析：原式=51A A +45A A =41A A .答案：41A A5.平行四边形ABCD 中，||=3，|BC |=4，则：(1)|AC |_____________7(填“>”“<”或“≥”“≤”)；(2)若|AC |=5，则此四边形为_____________形.解析：（1）由三角形两边之和大于第三边.（2）由|AB|2+|BC|2=|AC|2可知△ABC为直角三角形，所以应填“矩形”.答案：(1)＜ (2)矩6.一艘船以垂直河岸方向8 km/h的速度驶向对岸，水流速度为8 km/h，方向向东，问船实际沿什么方向行驶？速度为多少？解：如图，AB代表水流速度，AC代表船速度，则AD为船实际速度.∵|AB|=|AC|=8 km，8.∴∠DAB=45°且|AD|=28 km/h.∴船实际沿东偏北45°方向行驶，且速度为230分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.下列各式中结果为0的个数为( )①AB+BC+CA②AB+MB+BO+OM③OA+OC+BO+CO④AB+CA+BD+DCA.1B.2C.3D.4解析：①是；②原式=(AB+BO)+(OM+MB)=AO+OB=AB；③原式=OA+(BO+OC)+ CO=OA+(BC+CO)=OA+BO=BA；④原式=(AB+BD)+(DC+CA)=AD+DA=0.答案：B2.四边形ABCD中，若AB=DC且|AC|=|BD|，则四边形ABCD为( )A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形解析：由AB=DC可判断四边形ABCD为平行四边形，由|AC|=|BD|进一步判断该四边形的对角线相等，所以四边形ABCD为矩形.答案：C3.如图2-1-10,在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )图2-1-10A.AB=DCB.AD+AB=ACC.AB =AD +BDD.AD +CB =0解析：因为AD +DB =AB ,所以AB =AD +BD 错误.答案：C4.设向量a ，b 为非零向量，若|a +b |=|a |+|b |，则a 的方向与b 的方向一定为_____________. 解析：由向量加法的定义知，a ，b 方向相同.答案：相同5.如图2-1-11,已知梯形ABCD ，AD∥BC，则OA +AB +BC +CD =___________________.图2-1-11解析：原式=(+)+(+)= +=. 答案：OD6.当非零向量a ,b 满足______________时，能使a +b 平分a 与b 的夹角.解析：平行四边形OBCA 中，只有OA=OB 时，OC 才平分∠AOB.答案：|a |=|b |7.正△ABC 中，边长为a ，则|+AC |=_______________.解析：作正△ABC 的边AC 、AB 的平行线，得到一个平行四边形ABEC ，可知+=，易知||=2||=2×323 . 答案：38.平行四边形ABCD 中，O 为对角线AC 、BD 的交点，则a =+与b =+有什么关系？解析：由三角形法则知与，与大小相等方向相反，可得结果.答案：a 与b 模相等，方向相反.9.我们知道△ABC 中，++=0，反过来，三个不共线的非零向量a 、b 、c 满足什么条件时，顺次将它们的终点与起点相连而成一个三角形？解：当a +b +c =0时，顺次将它们的终点与起点相连而成一个三角形.可作=a ，=b ，=c ，则+=，∴AC +c =0，即c 与AC 方向相反，大小相同，即c =CA ，∴a 、b 、c 可构成一个三角形.10.已知向量a 、b ，比较|a +b |与|a |+|b |的大小.解：(1)当a、b至少有一个为零向量时，有|a+b|=|a|+|b|；(2)当a、b为非零向量:①a、b不共线时，有|a+b|＜|a|+|b|；②a、b同向共线时，有|a+b|=|a|+|b|；③a、b异向共线时，有|a+b|＜|a|+|b|.总之，|a+b|≤|a|+|b|.。

高中数学 2.1 向量的线性运算 2.1.2 向量的加法优化训

2.1.2 向量的加法5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下列命题中正确命题的个数为( )①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a、b之一的方向相同②△ABC中，必有++=0 ③若++=0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点④若a、b均为非零向量，则|a+b|与|a|+|b|一定相等A.0B.1C.2D.3解析：①假命题，当a+b=0时，命题不成立；②真命题；③假命题，当A、B、C三点共线时，也可以有++=0；④假命题，只有当a与b同向时才相等.答案：B2.向量(AB+MB)+(BO+BC)+OM化简后等于( )A. B. C. D.解析：原式=(+)+(OM+)+=++=.答案：C3.如图2-1-7，在平行四边形ABCD中，++等于( )图2-1-7A. B. C. D.解析：++=+(+)==.答案：A4.如图2-1-8，四边形ABCD与ABDE都是平行四边形.图2-1-8(1)若=a，则=_______________；(2)若CE=b，则=______________；(3)和AB相等的所有向量为______________；(4)和共线的所有向量为______________.答案：(1)-a (2)b 21 (3)ED 、 (4) ED 、、、DE 、、、BA 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.如图2-1-9，+++++等于( )图2-1-9A.0B.0C.2D.-2解析：利用向量封闭性原理.答案：B2.已知正方形ABCD 的边长为1，=a ，BC =b ，AC =c ，则|a +b +c |等于( ) A.0 B.3 C.2 D.22解析：如图，a +b +c =2c ，|c |=2，∴|a +b +c |=|2c |=22.答案：D3.设a 、b 为非零向量，下列说法不正确的是( )A.a 与b 反向，且|a |>|b |，则向量a +b 与a 的方向相同B.a 与b 反向，且|a |<|b |，则向量a +b 与a 的方向相同C.a 与b 同向，则a +b 与a 同向D.a 与b 同向，则a +b 与b 同向解析：两个向量反向，则哪个向量的模长两向量之和的方向就与哪个向量方向一致. 答案：B4.在五边形A 1A 2A 3A 4A 5中，31A A +53A A +25A A +42A A =________________.解析：原式=51A A +45A A =41A A . 答案：41A A5.平行四边形ABCD 中，||=3，|BC |=4，则：(1)|AC |_____________7(填“>”“<”或“≥”“≤”)；(2)若|AC |=5，则此四边形为_____________形.解析：（1）由三角形两边之和大于第三边.（2）由||2+||2=||2可知△ABC为直角三角形，所以应填“矩形”.答案：(1)＜ (2)矩6.一艘船以垂直河岸方向8 km/h的速度驶向对岸，水流速度为8 km/h，方向向东，问船实际沿什么方向行驶？速度为多少？解：如图，代表水流速度，AC代表船速度，则为船实际速度.∵||=|AC|=8 km，8.∴∠DAB=45°且|AD|=28 km/h.∴船实际沿东偏北45°方向行驶，且速度为230分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.下列各式中结果为0的个数为( )①++②+++OM③+++④+CA++DCA.1B.2C.3D.4解析：①是；②原式=(+)+(OM+)=+=；③原式=OA+(BO+OC)+ CO=OA+(BC+CO)=OA+BO=；④原式=(AB+BD)+(DC+CA)=AD+DA=0.答案：B2.四边形ABCD中，若=DC且|AC|=||，则四边形ABCD为( )A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形解析：由=可判断四边形ABCD为平行四边形，由||=||进一步判断该四边形的对角线相等，所以四边形ABCD为矩形.答案：C3.如图2-1-10,在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )图2-1-10A.AB=DCB.AD+AB=ACC.=+D.+=0解析：因为+=,所以=+错误.答案：C4.设向量a ，b 为非零向量，若|a +b |=|a |+|b |，则a 的方向与b 的方向一定为_____________. 解析：由向量加法的定义知，a ，b 方向相同.答案：相同5.如图2-1-11,已知梯形ABCD ，AD∥BC，则OA +AB +BC +CD =___________________.图2-1-11解析：原式=(+)+(+)= +=. 答案：OD6.当非零向量a ,b 满足______________时，能使a +b 平分a 与b 的夹角.解析：平行四边形OBCA 中，只有OA=OB 时，OC 才平分∠AOB.答案：|a |=|b |7.正△ABC 中，边长为a ，则|+AC |=_______________.解析：作正△ABC 的边AC 、AB 的平行线，得到一个平行四边形ABEC ，可知+=，易知||=2||=2×323 . 答案：38.平行四边形ABCD 中，O 为对角线AC 、BD 的交点，则a =+与b =+有什么关系？解析：由三角形法则知与，与大小相等方向相反，可得结果.答案：a 与b 模相等，方向相反.9.我们知道△ABC 中，++=0，反过来，三个不共线的非零向量a 、b 、c 满足什么条件时，顺次将它们的终点与起点相连而成一个三角形？解：当a +b +c =0时，顺次将它们的终点与起点相连而成一个三角形. 可作=a ，=b ，=c ，则+=， ∴AC +c =0，即c 与AC 方向相反，大小相同，即c =CA ，∴a 、b 、c 可构成一个三角形.10.已知向量a 、b ，比较|a +b |与|a |+|b |的大小.解：(1)当a、b至少有一个为零向量时，有|a+b|=|a|+|b|；(2)当a、b为非零向量:①a、b不共线时，有|a+b|＜|a|+|b|；②a、b同向共线时，有|a+b|=|a|+|b|；③a、b异向共线时，有|a+b|＜|a|+|b|.总之，|a+b|≤|a|+|b|.。