复变函数与积分变化课件1.3 平面点集的一般概念
合集下载
复变函数与积分变换PPT_图文_图文
x y=-3
§1.4 复数域的几何模型---复球面
N
0
对复平面内任一 点z, 用直线将z 与N相连, 与球面 相交于P点, 则球 面上除N点外的 所有点和复平面 上的所有点有一 一对应的关系, 而N点本身可代 表无穷远点, 记 作.
这样的球面称作 x1
复球面.
x
x1
x3
除了复数的平
面表示方法外,
加减法与平行四边形 法则的几何意义:
乘、除法的几何意义
:
,
,
,
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复 数乘积的幅角等于它们幅角的和.
几何上 z1z2 相 当于将 z2 的 模扩大 |z1| 倍 并旋转一个角
度Arg z1 .
0
1
等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, 的意思是等式的两 边都是无限集合, 两边的集合相等, 即每给定等式左边 的一个数, 就有等式右边的一个数与之对应, 反之亦然 .
复变函数与积分变换PPT_图文_图文.ppt
引言
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次
方程
时引进了复数。他发现这个方程没有根，并
把这个方程的两个根形式地表为
。在当时，
包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，
复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，
解：
设 z = x + i y , 方程变为
y
O
x
-i
几何上, 该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨 迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直
复变函数与积分变换-PPT课件
i i 1 2 1 2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
1.3 平面点集的一般概念解析
§1.3 平面点集的一般概念 第 二、区域 一 1. 区域与闭区域 章 区域 平面点集 D 称为一个区域，如果它满足下列两个条件: 复 (1) D 是一个开集； 数 与 (2) D是连通的， 即 D 中任何两点都可以用完全属于 D 复 的一条折线连接起来。 变 函 不 数 连 连通
通
闭区域 区域 D 与它的边界一起构成闭区域或闭域, 记作 D。 6
简单、闭
简单、不闭
不简单、闭
不简单、不闭
12
§1.3 平面点集的一般概念 第 一 章 复 数 与 复 变 函 数 4. 内区域与外区域 若尔当曲线定理 任一简单闭曲线将平面分成两个区域，它们
都以该曲线为边界，其中一个为有界区域，称为该闭曲线的
内部（内区域）；另一个为无界区域，称为外部（外区域）。 5. 单连通域与多（复）连通域 定义 设 D 为区域，如果 D 内的任何一条简单闭曲线的内部仍 属于 D，则 D 称为单连通域， 否则称为多连通域。
z xiy
~ f ( x , y ) 0 . (理解方程)
9
§1.3 平面点集的一般概念 第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
2i
2
x 2 ( y 1)2 4 .
(1)
i i i
y 0.
y x.
x2 y2 2 1. 2 2 ( 3)
(2)
z0
z0
3
§1.3 平面点集的一般概念 第 一、平面点集 一 章 2. 内点、外点、边界点、孤立点 考虑某平面点集 G 以及某一点 z 0 ， 复 数 内点 (1) z0 G ; (2) 0 , z : | z z | , 有 z G . 0 与 复 外点 (1) z G ; (2) 0 , z : | z z | , 有 z G . 0 0 变 函 外点 数 边界点 (1) z0 不一定属于 G ； (2) 0 , 在 | z z0 | 中， 内点
复变函数课件1-2复平面上的点集
重点 重点
没有重点的连续曲线 C 称为简单曲线(或若尔当曲 线).
重点
如果简单曲线 C 的起点和终点重合 , 即 z( ) z( ) , 那 末 称C 为 简 单 闭 曲 线 .
即：简单曲线自身不相交.
9
首页
上页
返回
下页
结束
铃
简单闭曲线的性质约当定理
任意一条简单闭曲 线 C 将复平面唯一地分 成C,I(C),E(C) 三个点集. 满足：
o x
r1
r2
z 0
y
(1)有界;
首页Байду номын сангаас上页
(2) (3) (4)无界.
7
返回
下页
结束
铃
定义1.7 连续曲线: 如 果 x ( t ) 和 y( t ) 是 两 个 连 续 的 实 变 函 , 数
那 末 方 程 组x x( t ) , y y( t ), ( t ) 代 表一条平面曲线 , 称为连续曲线 .
如果 E 内每一点都是它的内点,那末E 称 为开集.
如果在z0的任意一个邻域内,都有属于 E 的点,也有不属于E的点,则称z0为E的边界 点。 点集E的全体边界组成的集合称为E的边 界.记为：E
4
首页
上页
返回
下页
结束
铃
定义1.4 有界集和无界集:
如果一个 点集E可 以 被 包 含 在 一 个 以 点 原为中 心的圆里面 , 即 存 在M 0, 使 区 域 的 每 一 个 点 都 满 足 z M, 那末 E 称为有界的 ,否则称为无界的 .
5
首页
上页
返回
下页
结束
铃
2 、 区域与约当(Jordan)曲线
没有重点的连续曲线 C 称为简单曲线(或若尔当曲 线).
重点
如果简单曲线 C 的起点和终点重合 , 即 z( ) z( ) , 那 末 称C 为 简 单 闭 曲 线 .
即：简单曲线自身不相交.
9
首页
上页
返回
下页
结束
铃
简单闭曲线的性质约当定理
任意一条简单闭曲 线 C 将复平面唯一地分 成C,I(C),E(C) 三个点集. 满足：
o x
r1
r2
z 0
y
(1)有界;
首页Байду номын сангаас上页
(2) (3) (4)无界.
7
返回
下页
结束
铃
定义1.7 连续曲线: 如 果 x ( t ) 和 y( t ) 是 两 个 连 续 的 实 变 函 , 数
那 末 方 程 组x x( t ) , y y( t ), ( t ) 代 表一条平面曲线 , 称为连续曲线 .
如果 E 内每一点都是它的内点,那末E 称 为开集.
如果在z0的任意一个邻域内,都有属于 E 的点,也有不属于E的点,则称z0为E的边界 点。 点集E的全体边界组成的集合称为E的边 界.记为：E
4
首页
上页
返回
下页
结束
铃
定义1.4 有界集和无界集:
如果一个 点集E可 以 被 包 含 在 一 个 以 点 原为中 心的圆里面 , 即 存 在M 0, 使 区 域 的 每 一 个 点 都 满 足 z M, 那末 E 称为有界的 ,否则称为无界的 .
5
首页
上页
返回
下页
结束
铃
2 、 区域与约当(Jordan)曲线
复变函数与积分变换PPT课件
11 2i (2 i )( 5i) 11 2i 5 10i 25 5i (5i) 25 25
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
复变函数与积分变换经典PPT—复变函数.ppt
解
由上例可知
(z
1 a)n1
dz
2i, 0,
n0 n 0,
此处不妨设 a z0,
则有
1
1
1,
2 i (z z0 )n dz 0,
n1 n 1.
四、小结与思考
本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原
理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它 是本章的难点.
1
2
3
CF
A
A
F
B4
D1 E C1 B
D
E
问题的提出 C
C1
复合闭路定理D
C2 C3
典型例题
小结与思考
一、.
z 2 z 1
因为 z 2 是包含 z 1 在内的闭曲线,
根据本章第一节例4可知,
1 dz 2i.
z 2 z 1 由此希望将基本定理推广到多连域中.
y C1
解 C1 和 C2 围成一个圆环域, 函数 ez 在此圆环域和其边界
z
C2 o1
2x
上处处解析, 圆环域的边界构成一条复合闭路,
根据闭路复合定理, ez dz 0. z
例3 求
(z
1 a)n1
dz
,
为含
a
的任一简单闭
路，n 为整数.
解 因为a 在曲线内部,
a
1
BB
BB
即 f (z)dz f (z)dz 0,
C
C1
或 f (z)dz f (z)dz.
C
C1
CF
A A F B
D1 E C1 B
复变函数与积分变换课堂PPT第三章
C1O C3
则根据复合闭路定理可得
C2 C1O C3
y
C i -i x
§4 原函数与不定积分
定理一 则积分
C1
如果函数 f (z)在单连通域B内处处解析,
与连接起点及终点的路线C无关。
B B C2 z1
z2
C2
z1
z2
C1
由定理一可知, 解析函数在单连通域内的积分只与
起点z0和终点z1有关, 如图所示, 有
设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线。 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正 向)，则将 C理解为带有方向的曲线，称为有向曲线。 设曲线 C的两个端点为 A与 B，如果将 A到 B的方向 作为C的正方向，则从 B到 A的方向就是C的负方向， 并记作 C 。 常将两个端点中一个作为起点，另一个 作为终点，则正方向规定为起点至终点的方向。
O C1 y
在复平面内除z=0和z=1两个奇点外
G
x C2 1
包含奇点 z = 0，C2只包含奇点 z=1。
则根据复合闭路定理可得
y
G
x C2 1
O C1
从这个例子可以看到：借助于复合闭路定理，有些
比较复杂的函数的积分可以化为比较简单的函数的积分
来计算它的值。这是计算积分常用的一种方法。
例 计算
是 f (z)的一个原函数。
, 则称 定理二表明
容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。 设G (z)和H (z)是 f (z)的何任两个原函数, 则 所以
c为任意常数。
因此, 如果函数 f (z)在区域B内有一个原函数 F (z),
则，它就有无穷多个原函数, 而且具有一般表达式
复变函数第一章-2
2) 由 z 2 z 2 6 得
化简得
( x 2) iy ( x 2) iy 6 x2 y2 1 化简得 9 5 x2 y2 1 因此， z 2 z 2 6 表示的是椭圆 9 5 的内部 (包含椭圆)，是有界单连通的闭区域.
10
3) zz 2 i z 2 i z 4 可写成
x 0 y 0
z 0
21
z 【例1.18】问函数 f ( z ) 在z=0有无极限？ z
解： f(z)的定义域是全平面除去z=0的区域
当z≠0时，设 z r (cos i sin ) ，则
f ( z ) cos( 2 ) i sin( 2 )
考虑从z=0出发方向角为0的射线l0 ，有
§1.3 平面点集的一般概念
§1.3.1 开集与闭集
平面上以z0为中心，(任意的正数)为半径的开圆： z z0 内部的点的集合称为z0的邻域.
而称由不等式 ：0 z z0 所确定的点集称为z0的去心邻域.
1
设G为一平面点集
1) z0为G中任意一点。如果存在z0的一个邻域，该邻域内 的所有点都属于G，那么称z0为G的内点。如果G内的 每个点都是它的内点，则称G为开集. 2) 平面上不属于G的点的全体称为G的余集，记作GC，开 集的余集称为闭集。 3) z0是一点，若在z0的任一邻域内既有G的内点又有G的外 点，则称z0是G的一个边界点；G的边界点的全体称为G 的边界. 4) z0 G ，若在z0的某一邻域内除点z0外不含G的点，则 称z0是G的一个孤立点。G的孤立点一定是G的边界点。 5) 如果存在一个以点z=0为中心的圆盘包含G，则称G为有 界集，否则称G为无界集。
化简得
( x 2) iy ( x 2) iy 6 x2 y2 1 化简得 9 5 x2 y2 1 因此， z 2 z 2 6 表示的是椭圆 9 5 的内部 (包含椭圆)，是有界单连通的闭区域.
10
3) zz 2 i z 2 i z 4 可写成
x 0 y 0
z 0
21
z 【例1.18】问函数 f ( z ) 在z=0有无极限？ z
解： f(z)的定义域是全平面除去z=0的区域
当z≠0时，设 z r (cos i sin ) ，则
f ( z ) cos( 2 ) i sin( 2 )
考虑从z=0出发方向角为0的射线l0 ，有
§1.3 平面点集的一般概念
§1.3.1 开集与闭集
平面上以z0为中心，(任意的正数)为半径的开圆： z z0 内部的点的集合称为z0的邻域.
而称由不等式 ：0 z z0 所确定的点集称为z0的去心邻域.
1
设G为一平面点集
1) z0为G中任意一点。如果存在z0的一个邻域，该邻域内 的所有点都属于G，那么称z0为G的内点。如果G内的 每个点都是它的内点，则称G为开集. 2) 平面上不属于G的点的全体称为G的余集，记作GC，开 集的余集称为闭集。 3) z0是一点，若在z0的任一邻域内既有G的内点又有G的外 点，则称z0是G的一个边界点；G的边界点的全体称为G 的边界. 4) z0 G ，若在z0的某一邻域内除点z0外不含G的点，则 称z0是G的一个孤立点。G的孤立点一定是G的边界点。 5) 如果存在一个以点z=0为中心的圆盘包含G，则称G为有 界集，否则称G为无界集。
1.3平面点集的一般概念
例3 判断下列点集是否为区域?
(1){z : z z 0};
( 2){z :| z 2 i | 1};
3
( 3){z : 0 arg z
3
}.
注意：
区域是开集，闭区域是闭集。
除了全平面既是区域又是闭区域外，区域和闭区 域是两个不同的概念。
闭区域不是区域.
三、 平面曲线
2. 基本概念 设Ｇ为一个平面点集： (1) 内点与开集
z0为G中任意一点, 称z0为G的内点, 若N ( z0 ), 使得N ( z0 ) G.
若Ｇ内的每个点都是它的内点，则称Ｇ为开集．
(2) 余集与闭集
平面上不属于Ｇ的点的全体称为Ｇ的余集，记为
G
C
，开集的余集称为闭集．
(3) 边界点与边界
闭曲线，其内部仍全含于Ｄ，则称Ｄ为单连通区域； 否则称为多连通区域．
单连通区域的特征：属于D的任何一条简单闭曲 线，在D内可以经过连续的变形而缩成一点,而多 连通区域就不具有这个特征.
x 2 y 2 a 2表示以原点为中心， a为半径的圆，其参 数方程为
x a cost , 0 t 2 . y a sin t ,
z a(cost i sint )， 0 t 2
则圆的复数形式方程可表示为
平面上连接z1和z2两点的直线方程为 z z1 ( z2 z1 )t (0 t 1)
1、基本概念：
给定曲线C：z z(t ) x(t ) iy(t )(a t b).
(1)若x(t ), y(t ) C[a, b],则称C为连续曲线.
(2)如果在区间a t b上x ' (t )和y ' (t )都是连 续的，并且对于的每一 个t值有
复变函数与积分变换课堂PPT第二章
由加法定理, 可以推出exp z的周期性。 它的周期是 ,即
其中k为任何整数。这个性质是实变指数函数没有的。
2.对数函数
和实变函数一样，对数函数定义为指数函数的反 函数。将满足方程
的函数w = f (z)称为对数函数。令
,则
所以 因此
由于Arg z为多值函数，所以对数函数 w = f (z)为多 值函数，并且每两个值相差 的整数倍,记作
是两个互为
反函数的单值函数，且
。
iv) 微分的概念 设函数w =f (z)在z0可导, 则有
其中
因此,
是 的高阶无穷
小量, 而
是函数w=f (z) 的改变量 的线性部
分, 称为函数w = f (z)在点z0的微分, 记作
如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f (z)在z0可微。
特别, 当f (z) = z时, 得
如果在曲线交点处 uy与 vy都不为零，由隐函数求导
法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为
和
利用柯西-黎曼方程得
例4 如果 f (z) = u + iv为一解析函数，且 f '(z)0， 则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1, c2为 常数。
[证] 利用柯西-黎曼方程得
例3 研究函数
和
的解析性。
[解] 由解析函数的定义与前面的例题可知，
在复平面内是解析的，而
却是处
处不解析的。下面研究
的解析性。
由于
如果 ，那么当
时，上式的极限是零。如果
，令
沿直线
趋于 ，由于k 的任意性，
不趋于一个确定的值。所以当
时，
的极限不存在。
因此，
其中k为任何整数。这个性质是实变指数函数没有的。
2.对数函数
和实变函数一样，对数函数定义为指数函数的反 函数。将满足方程
的函数w = f (z)称为对数函数。令
,则
所以 因此
由于Arg z为多值函数，所以对数函数 w = f (z)为多 值函数，并且每两个值相差 的整数倍,记作
是两个互为
反函数的单值函数，且
。
iv) 微分的概念 设函数w =f (z)在z0可导, 则有
其中
因此,
是 的高阶无穷
小量, 而
是函数w=f (z) 的改变量 的线性部
分, 称为函数w = f (z)在点z0的微分, 记作
如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f (z)在z0可微。
特别, 当f (z) = z时, 得
如果在曲线交点处 uy与 vy都不为零，由隐函数求导
法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为
和
利用柯西-黎曼方程得
例4 如果 f (z) = u + iv为一解析函数，且 f '(z)0， 则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1, c2为 常数。
[证] 利用柯西-黎曼方程得
例3 研究函数
和
的解析性。
[解] 由解析函数的定义与前面的例题可知，
在复平面内是解析的，而
却是处
处不解析的。下面研究
的解析性。
由于
如果 ，那么当
时，上式的极限是零。如果
，令
沿直线
趋于 ，由于k 的任意性，
不趋于一个确定的值。所以当
时，
的极限不存在。
因此，
复变函数与积分变换PPT教学课件
实轴对称的.
o
zz
z x iy
x
z x iy
想一想，z与z的辐角主值有什么关系？
(1) 若z=0，则辐角无意义
(2) 若z位于负实轴上，则arg(z) arg(z)=
(3) 若z不在原点和负实轴上，则arg(z) -arg(z)
25
例2：求Arg(-3 4i) Arg(-3 - 4i)
e19i ,
故三角表示式为 z cos19 i sin19 ,
指数表示式为 z e19i .
30
例4：写出1，i, - 2, - 3i的三角表示式.
解：1 = 1(cos0 + i sin 0)
i = 1(cos + i sin )
2
2
-2 = 2(cos +isin )
-3i = 3[cos(- ) + i sin(- )]
3
26
4.复数的三种表示及其相互转化
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
cos , sin ,
复数可以表示成 z (cos i sin)
复数的三角表示式
再利用欧拉公式 ei cos i sin , 欧拉介绍
复数可以表示成 z ei
复数的指数表示式
27
例3 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
用来表示复数, 通常把横轴叫实轴或x 轴, 纵轴
叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平面叫复平
面. 复数 z x iy 可以用复平
y z x iy
y
(x, y)
面上的点( x, y) 表示.
o
x
x
19
2. 复数的模(或绝对值)
从原点O到点 z x iy所引的向量与复数z构成一一
复变函数与积分变换课件1.3 平面点集的一般概念
13
§1.3 平面点集的一般概念 第 三、平面曲线 一 4. 有向曲线 章 简单闭曲线的正向一般约定为：逆时针方向。 复 当曲线上的点 P 顺此方向沿曲线 数 与 前进时, 曲线所围成的有界区域始终 复 位于 P 点的左边。 变 函 区域边界曲线的正向一般约定为： 数 当边界上的点 P 顺此方向沿边界 前进时, 所考察的区域始终位于 P 点 的左边。注意区域可以是多连域。 14
(2)
x2 y2 1.
3 i (4)
i
(5)
1
3i
10
§1.3 平面点集的一般概念 第 三、平面曲线 一 2. 参数式 章 x x(t ) , ( t ) . 在直角平面上 复 y y( t ) , 数 与 在复平面上 z z(t ) x(t ) i y(t ) , ( t ) . 复 变 例如 考察以原点为圆心、以 R 为半径的圆周的方程。 函 数 x x( ) R cos , (0 2π ) . (1) 在直角平面上 y y( ) R sin ,
简单、闭
简单、不闭
不简单、闭
不简单、不闭
12
§1.3 平面点集的一般概念 第 三、平面曲线 一 4. 有向曲线 章 定义 设 C 为平面上一条给定的光滑(或分段光滑)曲线， 如果 复 指定 C 的两个可能方向中的一个作为正向，则 C 为带有 数 与 方向的曲线，称为有向曲线，仍记为 C。相应地，C 则 复 变 代表与 C 的方向相反(即 C 的负方向)的曲线。 函 数
多连通域又可具体分为二连域、三连域、… …。
6
§1.3 平面点集的一般概念 第 二、区域 一 章 4. 单连通域与多连通域 举例 复 (杜撰) A省 数 (单连域) 与 复 变 B省 函 (单连域) 数
经典-复变函数与积分变换第1章-复数PPT课件
y
z2
z2
o
z1 z2 z 1
z1
x
1.1.4 乘幂与方根
设复数z1和z2的三角表示式为
q q q q z 1 r 1 (c1 o issi1 ） n , z 2 r 2 ( c o s2 is in 2 ） .
第一章 复数与复变函数
§1.1 复数 §1.2 复数的三角表示 §1.3 平面点集的一般概念 §1.4 无穷大与复球面 §1.5 复变函数的极限与连续
复变函数与积分变换及应用背景
M.Kline（莫里斯克莱恩 ）(1908-1992)
(《古今数学思想》(Mathematical Thought
froMm oArnrciiseKntlinteo(1M9o0d8e-r1n99T2i)m,es纽)的约作大者学,Co美u国rant数学 数学研史究家所)的指教出授: .从他技的术著观作点包来括看《,十数九学世: 纪确最定性的
(2) 复数的积
z 1 z 2 ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i ( x 2 y 1 x 1 y 2 ) (3) 复数的商
z z1 2x1 x x 22 2 y y1 22 y2ixx 2y 22 1 x y1 22 y2
z1 z2 z2 z2
复数运算的性质
1. 交换律
z1z2z2z1; z1z2z2z1.
A r g z a r g z 2 k k 0 , 角1 , , 但2 , 是只 . 能对数值量进
有时, 在进行说明后, 把主辐的角是辐定角义主为值满, 单足位是弧
>> x=sym('x','real');y=sy
0q2 的辐角, 这时上式仍然>成> x立=3.;y=4;z=x+y*i;
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
多连通域又可具体分为二连域、三连域、… …。
6
§1.3 平面点集的一般概念 第 二、区域 一 章 4. 单连通域与多连通域 举例 复 (杜撰) A省 数 (单连域) 与 复 变 B省 函 (单连域) 数
A省
(三连域) (二连域)
B省
(非区域)
飞地
7
§1.3 平面点集的一般概念 第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
13
§1.3 平面点集的一般概念 第 三、平面曲线 一 4. 有向曲线 章 简单闭曲线的正向一般约定为：逆时针方向。 复 当曲线上的点 P 顺此方向沿曲线 数 与 前进时, 曲线所围成的有界区域始终 复 位于 P 点的左边。 变 函 区域边界曲线的正向一般约定为： 数 当边界上的点 P 顺此方向沿边界 前进时, 所考察的区域始终位于 P 点 的左边。注意区域可以是多连域。 14
(2) 在复平面上 z z( ) x( ) i y( ) R(cos i sin ) ,
z R e i , (0 2π ) .
11
§1.3 平面点集的一般概念 第 三、平面曲线 一 3. 曲线的分类 章 考虑曲线 z z(t ) x(t ) i y(t ) , ( t ) . 复 数 简单曲线 t1 ( , ) , t 2 [ , ] , 当 t1 t 2 时，z(t1 ) z(t 2 ) . 与 复 简单闭曲线 简单曲线且 z( ) z( ) . 变 函 光滑曲线 在区间 [ , ] 上，x(t ) 和 y(t ) 连续且 z(t ) 0 . 数
§1.3 平面点集的一般概念 第 二、区域 一 2. 有界区域与无界区域 (顾名思义) 章 3. 内区域与外区域 复 其中 数 定义 一条“简单闭曲线(?)”把整个复平面分成两个区域， 与 有界的一个称为该简单闭曲线的内部(内区域)， 另一个 复 变 （如何围出面积最大的区域） 称为该简单闭曲线的外部(外区域)。 函 数 4. 单连通域与多连通域 定义 设 D 为区域，如果 D 内的任何一条简单闭曲线的内部仍 属于 D，则 D 称为单连通域， 否则称为多连通域。
4
§1.3 平面点集的一般概念 第 二、区域 一 1. 区域与闭区域 章 区域 平面点集 D 称为一个区域，如果它满足下列两个条件: 复 (1) D 是一个开集； 数 与 (2) D是连通的， 即 D 中任何两点都可以用完全属于 D 复 的一条折线连接起来。 变 函 不 数 连 连通
通
闭区域 区域 D 与它的边界一起构成闭区域或闭域, 记作 D。 5
曲线
区域
区域
§1.3 平面点集的一般概念 第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
轻松一下吧 ……
15
§1.3 平面点集的一般概念 第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
§1.3 平面点集的一般概念
一、平面点集 二、区域 三、平面曲线
1
§1.3 平面点集的一般概念 第 一、平面点集 一 章 1. 邻域 定义 设 z 0 为复平面上的一点， 0 , 复 数 (1) 称点集 { z : | z z0 | } 为 z 0 点的 邻域； 与 复 (2) 称点集 { z : 0 | z z0 | }为 z 0 点的 去心邻域。 变 函 数
x 0; | z (2 i ) | 1;
1
2+ i
π/3
区域
闭区域
(角形)区域
8
§1.3 平面点集的一般概念 第 三、平面曲线 一 1. 方程式 章 在直角平面上 f ( x, y ) 0 . (比较熟悉) 复 数 f (z) 0 . (比较陌生) 在复平面上 与 复 如何相互转换？ 变 函 x (z z ) / 2 ~ f ( z ) 0 . (建立方程) (1) f ( x, y ) 0 数 y ( z z ) /( 2i ) (2) f ( z ) 0
简单、闭
简单、不闭
不简单、闭
不简单、不闭
12
§1.3 平面点集的一般概念 第 三、平面曲线 一 4. 有向曲线 章 定义 设 C 为平面上一条给定的光滑(或分段光滑)曲线， 如果 复 指定 C 的两个可能方向中的一个作为正向，则 C 为带有 数 与 方向的曲线，称为有向曲线，仍记为 C。相应地，C 则 复 变 代表与 C 的方向相反(即 C 的负方向)的曲线。 函 数
(2)
x2 y2 1.
3 i (4)
i
(5)
1
3i
10
§1.3 平面点集的一般概念 第 三、平面曲线 一 2. 参数式 章 x x(t ) , ( t ) . 在直角平面上 复 y y( t ) , 数 与 在复平面上 z z(t ) x(t ) i y(t ) , ( t ) . 复 变 例如 考察以原点为圆心、以 R 为半径的圆周的方程。 函 数 x x( ) R cos , (0 2π ) . (1) 在直角平面上 y y( ) R sin ,
既有 z G , 又有 z G .
边界点
边界 G 的边界点的全体称为 G 的边界。
3
§1.3 平面点集的一般概念 第 一、平面点集 一 章 3. 开集与闭集 开集 如果 G 的每个点都是它的内点，则称 G 为开集。 复 数 闭集 如果 G 的边界点全部都属于 G ，则称 G 为闭集。 与 复 变 4. 有界集与无界集 函 数 定义 若存在 0 ，使得点集 G 包含在原点的 邻域内， 则 G 称为有界集， 否则称为非有界集或无界集。
z xiy
~ f ( x , y ) 0 . (理解方程)
9
§1.3 平面点集的一般概念 第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
(3)
2i
2 2 1 1 2 1
x 2 ( y 1)2 4 .
(1)
i i i
y 0.
y x.
x2 y2 2 1. 2 2 ( 3)
z0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz0
2
§1.3 平面点集的一般概念 第 一、平面点集 一 章 2. 内点、外点与边界点 考虑某平面点集 G 以及某一点 z 0 ， 复 数 内点 (1) z0 G ; (2) 0 , z : | z z | , 有 z G . 0 与 复 外点 (1) z G ; (2) 0 , z : | z z | , 有 z G . 0 0 变 函 外点 数 边界点 (1) z0 不一定属于 G ； (2) 0 , 在 | z z0 | 中， 内点