人教版数学八年级培优和竞赛教程3.三角形及其有关概念

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数学八年级上册培优第01讲三角形

知识导图

第一讲：三角形

概述教学内容

本讲内容涉及三角形角度计算的知识点，在人教版课本第十一章中学习，在本系列教材初二第1册第一节中已学习过．专题1 三角形角度转换基本图形的应用

专题2 三角形角平分线基本模型

专题3 三角形内、外角度转换

专题4 角度转换基本模型与平面直角坐标系综合应用

专题讲解

专题1：角形角度转换基本图形的应用

【例1】如图所示，已知∠C＝54°，∠E＝30°，∠BDF＝130°，求∠A的度数．

B D

（2012，江岸区期末）

【解析】

【归纳总结】

①题型特征： ②方法与技巧：

练1．1：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，P 为线段AD 上的一个动点，PE ⊥AD 交直线BC 于点E ．（1）若∠B ＝35°，∠ACB ＝85°，求∠E 的度数；

（2）当P 点在线段AD 上运动时，猜想∠E 与∠B 、∠ACB 的数量关系，写出结论无需证明．

C A

D P

练1．2：如图，已知∠CGE ＝120°，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数．

αB

练1．3：如图，求：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝度．

A C

D E

F B P

专题2：三角形角平分线的基本模型

【例2】如图，△ABC 中，∠A ＝50°，点P 是∠ABC 与∠ACB 平分线的交点．

C B P

C B

P A

C B F

图1 图2 图3

（1）求∠P 的度数；

（2）猜想∠P 与∠A 有怎样的大小关系？

（3）若点P 是∠CBD 与∠BCE 平分线的交点，∠P 与∠A 又有怎样的大小关系？（4）若点P 是∠ABC 与∠ACF 平分线的交点，∠P 与∠A 又有怎样的大小关系？【解析】

八年级数学培优教程含答案

等腰三角形

【知识精读】

（－）等腰三角形的性质

1. 有关定理及其推论

定理：等腰三角形有两边相等；

定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；

2. 定理及其推论的作用

等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。

（二）等腰三角形的判定

1. 有关的定理及其推论

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2. 定理及其推论的作用。

等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。

3. 等腰三角形中常用的辅助线

等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。

人教版初二数学三角形知识点归纳

三角形

几何A级概念：〔要求深入理解、娴熟运用、主要用于几何证明〕

几何B 级概念：〔要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题〕一根本概念：

三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、协助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数. 二常识：

1．三角形中，第三边长的推断：另两边之差＜第三边＜另两边之和.

2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.留意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.

3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：假设CD ⊥AB ，BE ⊥CA ，那么CD ·AB=BE ·CA.

4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和.

5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和. 6．分别含30°、45°、60°的直角三角形是特别的直角三角形. 7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：〔1〕 AC ·CB=CD ·AB ；〔2〕∠1=∠B ，∠2=∠A .

A B

D 12

8．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.

9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.

10．等边三角形是特别的等腰三角形.

11．几何习题中，“文字表达题〞须要自己画图，写、求证、证明.

12．符合“AAA〞“SSA〞条件的三角形不能断定全等.

(完整版)人教版-八年级上册-三角形的知识点及题型总结

三角形的知识点及题型总结

一、三角形的认识

定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾按序相接所构

成的图形。

分类：

锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）

按角分类直角三角形（有一个角是直角的三角形）

钝角三角形（有一个角是钝角的三角形）

三边都不相等的三角形

按边分类等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形

等边三角形

例题 1图1中共几个三角形

。

例题 2以下说法正确的选项是（

）

A.三角形分为等边三角形和三边不相等三角形

B.等边三角形不是等腰三角形

C.等腰三角形是等边三角形

D.三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形

例题 3 已知a、b、c为△ABC的三边长，b、c知足(b-2)2＋|c－3|=0，且 a 为方程 |x －4|=2 的解 .求△ ABC的周长，并判断△ ABC的形状 .

二、与三角形相关的边

三边的关系：三角形的两边和大于第三边，两边的差小于第三边。

例题 1以以下各组数据为边长，能够成三角形的是（）

，4，5，4，8，7，10，4，5

例题 2已知三角形的两边边长分别为4、5，则该三角形周长L 的范围是（）

A.1<L<9

B.9<L<14

C.10<L<18

D.没法确立

课后练习：

1、若三角形的两边长分别为5、8，则第三边可能是（）

B. 6

2、等腰三角形的两边长分别为6、13，则它的周长为。

3、等腰三角形的两边长分别为

4、已知三角形的两边长为 2 和4、5，则第三边长为。

4，为了使其周长是最小的整数，则

第三边的为。

5、若等腰三角形的周长为13cm，此中一边长为 3cm，则等腰三角形的底边为（）

三角形概念及三边关系(6种题型)2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(浙教版)(解析版)

三角形概念及三边关系（6种题型）

【题型目录】

题型1：三角形的识别与有关概念

题型2：三角形的分类

题型3：三角形个数问题

题型4：构成三角形三边条件

题型5：确定第三边取值范围

题型6：三角形三边关系应用

【知识梳理】

一．三角形

（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．

相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．

相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．

二．三角形三边关系

（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．

（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．

（3）三角形的两边差小于第三边．

（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．

【考点剖析】

题型1：三角形的识别与有关概念

一、单选题

1．（浙江宁波·八年级校考期中）一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；

B、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；

C、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；

D、不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接，是三角形，符合题意；

故选：D

【点睛】本题主要考查三角形图形的知识，根据三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。判断是否三条线段首尾顺次相接是解决本题的关键。

人教版八年级数学上册三角形知识点专题复习及练习

八年级数学上册三角形知识点专题复习

一、三角形相关概念

1．三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形。

要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．

2．三角形的表示：

通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角。

3．三角形中的三种重要线段：

三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：

①三角形的角平分线是一条线段，可以度量。而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．

②三角形有三条角平分线且相交于一点。这一点一定在三角形的内部．

③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画。

（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．

注意：

①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．

②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．

（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．

注意：

①三角形的三条高是线段

②锐角三角形三条高线的交点在三角形内部，直角三角形的三

条高线的交点在直角顶点上，钝角三角形三条高线的交点在

三角形外部。

③画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．

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第1讲认识三角形

考点·方法·破译

1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线. 2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边. 3．了解与三角形有关的角(内角、外角) .

4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.

6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.

经典·考题·赏析

【例１】若的三边分别为4，x ，9，则x 的取值范围是______________，周长l 的取值范围是______________ ；当周长为奇数时，x ＝______________.

【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x ＜13，18＜l ＜26；周长为19时，x ＝6，周长为21时，x ＝8，周长为23时，x ＝10，周长为25时，x ＝12，

【变式题组】

01．若△ABC 的三边分别为4，x ，9，且9为最长边，则x 的取值范围是_________，周长l 的取值范围是__________. 02．设△ABC 三边为a ，b ，c 的长度均为正整数，且a ＜b ＜c ，a +b +c ＝13，则以a ，b ，c 为边的三角形，共有______________

个. 03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是( ).

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm ，周长为58cm ，试求三角形

八年级数学培优竞赛专题13三角形的基本知识

专题13 三角形的基本知识

阅读与思考

三角形是最基本的几何图形，是研究复杂几何图形的基础，许多几何问题都可转化为三角形的问题来解.三角形基本知识主要包括三角形基本概念、三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段和角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用

解与三角形的基本知识相关的问题时，常用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法解几何计算题及简单的证明题，对三角形按边或按角进行恰当分类

应熟悉以下基本图形：

图4

图3

图2

图1

D C

例题与求解

【例1】在△ABC 中，∠A=50°，高BE ，CF 交于O ，则∠BOC=________.

（“东方航空杯”——上海市竞赛试题）

解题思路：因三角形的高不一定在三角形内部，故应注意符合题设条件的图形多样性

【例2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三

角形底边的长为（）A.17cm

B.5cm

C.5cm 或17cm

D.无法确定

（北京市竞赛试题）

解题思路：中线所分两部分不等的原因在于等腰三角形的腰与底的不等，应分情况讨论.

【例3】如图，BE 是∠ABD 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，BE 与CF 交于G ，若∠BDC =140°，∠BGC=110°，求∠A 的大小.

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：运用凹四边形的性质计算

F A 【例4】在△ABC 中，三个内角的度数均为正数，

且∠A ＜∠B ＜∠C ，4∠C ＝7∠A ，求∠B 的度数.

（北京市竞赛试题）

(完整)人教版八年级上册数学讲义

八年级数学讲义

第11章三角形

三角形的概念

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角

形

要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接.

2. 三角形的表示

△ ABC 中，边：AB, BC, AC 或c, a, b.

顶点：A, B, C .

内角：/ A ,Z B ,Z C..

二、三角形的边

1.三角形的三边关系：(证明所有几何不等式的唯一方法)

(1) 三角形任意两边之和大于第三边：b+c>a

(2) 三角形任意两边之差小于第三边：b-c<a

1.1判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形.

当a最长，且有b+c>a时,就可构成三角形.

1.2确定三角形第三边的取值范围：两边之差<第三边<两边之和.

2. 三角形的主要线段2.1三角形的咼线

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做

三角形的高线

①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点；

②直角三角形三条高线交于直角顶点；

③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点

2.2三角形的角平分线

三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三条角平分线交于三角形内部一点

2.3三角形的中线

1.三角形的定义

三角形的三条中线交于三角形内部一点

三、三角形的角 1三角形内角和定理

结论〔：△ ABC 中：/ A+Z B+Z C=180° 结论2:在直角三角形中，两个锐角互余.

注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ ABC 中，Z C=180°-(Z A+Z B )

人教版八年级上册数学三角形讲义(学生版)

一、三角形的概念

八年级数学讲义

第 11 章三角形

1．三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形

要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相

接． 2．三角形的表示

△ABC 中，边：AB ，BC ，AC 或 c ，a ，

b ．顶点：A ，B ，C ．内角：∠A ，∠B ，∠C ．．

二、三角形的边

1. 三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法）

(1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a (2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-c

1.1 判断三条已知线段 a 、b 、c 能否组成三角形.

当 a 最长，且有 b+c>a 时,就可构成三角形.

1.2 确定三角形第三边的取值范围: 两边之差

2. 三角形的主要线段

2.1 三角形的高线

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.

①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点； ②直角三角形三条高线交于直角顶点；

③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点

2.2 三角形的角平分线

三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三条角平分线交于三角形内部一点.

2.3 三角形的中线

连结三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。三角形的三条中线交于三角形内部一点.

三、三角形的角 1 三角形内角和定理

结论 1：△ABC 中：∠A+∠B+∠C=180° ※ 三角形中至少有 2 个锐角结论 2：在直角三角形中，两个锐角互余． ※三角形中至多有 1 个钝角注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角

(人教版)初中八年级数学上册《三角形》重要知识点梳理详解(汇编)

（人教版）初中八年级数学上册《三角形》重要知识点梳理详

解（汇编）

11.1 与三角形有关的线段一、三角形的边

三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角

形。

注意点：

（1）三条线段

（2）不在同一直线上（3）首尾顺次相接

三角形的表示：三角形用符号“△”表示，记作“△ ABC ”，读作“三角形ABC ”，除此△ ABC 还可记作△BCA, △ CAB, △ ACB 等.

三角形的分类：

按角分按边分

等腰三角形：两边相等的三角形叫等腰三角形。相等的两边都叫腰，另一边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

三角形中三边的关系：三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。（在做题时，不仅要考虑到两边之和大于第三边，还必须考虑到两边之差小于第三边.）

直角三角形不等边三角形

锐角三角形等腰三角形

钝角三角形底和腰不相等的等腰三角形等边三角形

二、三角形的高、中线与角平分线

三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形这边的高，简称三角形的高。 1、锐角三角形的三条高交于同一点。三条高都在

三角形的内部。

2、直角三角形的三条高交于直角顶点.

3、钝角三角形的三条高不相交于一点。钝角三角形的三条高所在

直线交于一点。总结：

三角形的三条高的特性

锐角三角形

直角三角形

钝角三角形

高在三角形内部的数量 3 1 1 高所在的直线是否相交相交相交相交高之间是否相交相交相交不相交三条高所在直线的交点的位置三角形内部

(家教培优专用)人教版数学八年级上册--与三角形有关的线段(基础)知识讲解

与三角形有关的线段（基础）知识讲解

【学习目标】

1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；

2. 理解并会应用三角形三边间的关系；

3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；

4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．

【要点梳理】

要点一、三角形的定义及分类

1. 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．

要点诠释：

（1）三角形的基本元素：

①三角形的边：即组成三角形的线段；

②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.

（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.

(3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．

【高清课堂：与三角形有关的线段 2、三角形的分类】

2．三角形的分类

(1)按角分类：

⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩

直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形要点诠释：

①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;

②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.

(2)按边分类：

要点诠释：

①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;

新人教版八年级上册数学[《三角形》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](提高)

新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习

重难点突破

课外机构补习优秀资料

《三角形》全章复习与巩固（提高）知识讲解

【学习目标】

1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系.

2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．

3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.

4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．

5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、三角形的有关概念和性质

1.三角形三边的关系：

定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.

要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；

反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．

2.三角形按“边”分类：

⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩

不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形 3.三角形的重要线段：

（1）三角形的高

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．

人教版八年级数学培优竞赛

第1讲全等三角形的性质与判定(P2----11)

第2讲角平分线的性质与判定(P12----16)

第3讲轴对称及轴对称变换(P17----24)

第4讲等腰三角形(P25----36)

第5讲等边三角形(P37----42)

第6讲实数(P43----49)

第7讲变量与函数(P50----54)

第8讲一次函数的图象与性质(P55----63)

第9讲一次函数与方程、不等式(P64----68) 第10讲一次函数的应用(P69----80)

第11讲幂的运算（P81----86)

第12讲整式的乘除((P87----93)

第13讲因式分解及其应用(P94----100)

第14讲分式的概念•性质与运算(P101----108) 第15讲分式的化简求值与证明(P109----117)第16讲分式方程及其应用(P118----125)

第17讲反比例函数的图像与性质(P126----138) 第18讲反比例函数的应用(P139----146)

第19讲勾股定理(P147-----157)

第20讲平行四边形(P158-----166)

第21讲菱形矩形(P167-----178)

第22讲正方形(P179-----189)

第23讲梯形(P190-----198)

第24讲数据的分析(P199-----209)

模拟测试一

模拟测试二

模拟测试三

B A

C D E

F 第01讲全等三角形的性质与判定