高一必修一复合函数的单调性.ppt
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复合函数单调性课件
复合函数单调性与极值的关系
总结词
复合函数的单调性与极值之间存在密切关系。
详细描述
当一个复合函数在某区间内单调递增或递减时，该函数在该区间内可能存在极值点。极值点是函数值发生变化的点， 它们对于确定函数的整体性质具有重要意义。
举例
设 $f(x) = x^3$，这是一个关于 $x$ 的单调递增的复合函数。在 $x = 0$ 处，该函数取得极小值点；而 在 $x < 0$ 或 $x > 0$ 的区间内，该函数是单调递增的。
复合函数的表示方法
设$y = f(u)$，$u = g(x)$，则复合 函数为$y = f(g(x))$。
复合函数的性质
连续性
复合函数在定义域内连续，即若 $f(u)$和$g(x)$在各自的定义域
内连续，则复合函数$y = f(g(x))$在定义域内也连续。
可导性
若$f(u)$和$g(x)$在各自的定义域 内可导，则复合函数$y = f(g(x))$ 在定义域内也可导。
导数的几何意义
表示曲线在某点的切线斜率。
03
导数的应用
判断函数的单调性、求极值、求拐点等。
02
单调性的概念与性质
单调性的定义
定义
如果对于任意$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) leq f(x_{2})$（或$f(x_{1}) geq f(x_{2})$），则称函数$f(x)$在区间$I$上单调递增（或单调递减）。
举例
设 $f(x) = x^2$，$g(x) = frac{1}{x}$，$h(x) = log_2(x)$ ，考虑复合函数 $f(g(h(x))) = (log_2x)^2$。在 $x > 1$ 的区 间内，该复合函数是单调递增的 ，而在 $0 < x < 1$ 的区间内， 该复合函数是单调递减的。
人教版高中数学必修1《函数的单调性》PPT课件
k(x1 x2 )．
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
复合函数的单调性 ppt课件
(5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是 增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为 减函数。
2020/12/2
5
•复合函数的单调性
若u=g(x) 增函数 减函数 增函数 减函数
y=f(u) 增函数 减函数 减函数 增函数 则y=f[g(x)] 增函数 增函数 减函数 减函数
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增
函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是
减函数。 “同增异减”
2020/12/2
以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.
u=x2－4x+3=(x－2)2－1,
x＞3或x＜1，(复合函数定义域)
x＞2 (u增)
解得x＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间.
2020/12/2
8
例2 求下列复合函数的单调区间： y=log(2x－x2)
解: 设 y=logu,u=2x－x2.由u＞0,u=2x－x2
因为u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)>g(x2), 记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1>u2，且u1,u2 (c,d).因为 函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)<f(u2), 即y=f[g(x1)]< y=f[g(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b) 上是增函数。
4
•复合函数的单调性
引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b) 上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间 (c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在 区间(a,b)上是增函数。
证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b,
人教版数学必修一.1《函数的单调性》说课PPT课件
教学难点 （1）函数单调性的知识形成； （2）利用函数图象、单调性的定义判断 和证明函数的单调性．
人教版数学必修一.1《函数的单调性 》说课P PT课件
人教版数学必修一.1《函数的单调性 》说课P PT课件
二、教法分析与学法指导
本节课是一节较为抽象的数学概念课，因 此，教法上要注意：
1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题， 为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离， 激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极 性．
在概念的掌握上缺少系统性、严谨性 教学方法 ，在教学中须加强根据以上分析本节
课教学方法以在多媒体辅助下的启发 学法指导 式教学为主 。
《函数的单调性》教学说明
对学生来说，函数的单调性早已有 地位作用 所知，然而没有给出过定义，只是从
直观上接触过这一性质．学生对此有 教学目标 一定的感性认识，对概念的理解有一
问题情景 学生活动 建构数学 数学应用
情景： 下面是某一天温度的变化图象：
T（ OC ）
5 4 3 2
问
题
说出气温在哪些时段内是升 高的，怎样用数学语言刻画“随
时间的增大气温逐步升高”这一
特征。
1
14
24
o 3 6 9 12 15 18 21 -1
t (小时)
-2
观察图形并回答右边的问题
《函数的单调性》教教学学说程明序
定好处，但另一方面学生也会觉得是 重点难点 已经学过的知识，感觉乏味．因此，
在设计教案时，加强了对概念的分析 教学方法 ，希望能够使学生认识到看似简单的
定义中有不少值得去推敲、去琢磨的 学法指导 东西，其中甚至包含着辩证法的原理．
《函数的单调性》教教学学说程明序
问题情景 学生活动 建构数学 数学应用
人教版数学必修一.1《函数的单调性 》说课P PT课件
人教版数学必修一.1《函数的单调性 》说课P PT课件
二、教法分析与学法指导
本节课是一节较为抽象的数学概念课，因 此，教法上要注意：
1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题， 为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离， 激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极 性．
在概念的掌握上缺少系统性、严谨性 教学方法 ，在教学中须加强根据以上分析本节
课教学方法以在多媒体辅助下的启发 学法指导 式教学为主 。
《函数的单调性》教学说明
对学生来说，函数的单调性早已有 地位作用 所知，然而没有给出过定义，只是从
直观上接触过这一性质．学生对此有 教学目标 一定的感性认识，对概念的理解有一
问题情景 学生活动 建构数学 数学应用
情景： 下面是某一天温度的变化图象：
T（ OC ）
5 4 3 2
问
题
说出气温在哪些时段内是升 高的，怎样用数学语言刻画“随
时间的增大气温逐步升高”这一
特征。
1
14
24
o 3 6 9 12 15 18 21 -1
t (小时)
-2
观察图形并回答右边的问题
《函数的单调性》教教学学说程明序
定好处，但另一方面学生也会觉得是 重点难点 已经学过的知识，感觉乏味．因此，
在设计教案时，加强了对概念的分析 教学方法 ，希望能够使学生认识到看似简单的
定义中有不少值得去推敲、去琢磨的 学法指导 东西，其中甚至包含着辩证法的原理．
《函数的单调性》教教学学说程明序
问题情景 学生活动 建构数学 数学应用
2021高中数学课件复合函数ppt课件优选PPT
拓 展 2 ： 判 断 函 数 f ( x ) l o g x 2 4 x 3 的 单 调 性 。 a
五.练习：
练习 1：求y x2 4x5函数的单调区间。
练习2.求函数 y 3x2x6的单调递减区间。
练3： 习求 y函 lo26 g 数 xx2的单调递
练习 1：求y x2 4x5函数的单调区间。
yax(a1)
O
x
图象的解析y式a是 x(a： 0且a0)。此函数是指数函
当a1时，函数 在 ,上是增函数； 当0a1时，函数 在 ,上是减函数。
y O
yloag x(a1)
x
yloaxg (0a1)
图象的解析y式 lo是 agx(： a0且a1)。此函数是对数
当a1时，函数 0， 在 上是增函数； 当0a1时，函数 0， 在 上是减函数。
（2）掌握复合函数单调性的判断方法。
QQ群：17556963故 2 函 数 y x 2 4 x 3 的 单 调 递 减 区 间 为 2 ,3 。
苏州大学：P73 复习题。
(问：函y数 x24x3的单调递增区间？是）什么
小结:在求解函数单调区间时必须注意单调区间是定义域的某个区间。
例 3.求 函 数 y 1 2 x24x3的 单 调 递 减 区 间 。
上是增函数。
2
cQQQoQQQm群群:/1t3m：：1x811k277_455d155o166c899i9n66；33；22 又tx122123在3,12上是增函数。
com/tmxk_docin ；
小QQ结:1:3在18求24解11函89数；单 调区函 间时必须y数 注 意单l调o区间2g是6定 义域x的 某个x区2间的 。 单调递增 3， 区 1 2。 间为
五.练习：
练习 1：求y x2 4x5函数的单调区间。
练习2.求函数 y 3x2x6的单调递减区间。
练3： 习求 y函 lo26 g 数 xx2的单调递
练习 1：求y x2 4x5函数的单调区间。
yax(a1)
O
x
图象的解析y式a是 x(a： 0且a0)。此函数是指数函
当a1时，函数 在 ,上是增函数； 当0a1时，函数 在 ,上是减函数。
y O
yloag x(a1)
x
yloaxg (0a1)
图象的解析y式 lo是 agx(： a0且a1)。此函数是对数
当a1时，函数 0， 在 上是增函数； 当0a1时，函数 0， 在 上是减函数。
（2）掌握复合函数单调性的判断方法。
QQ群：17556963故 2 函 数 y x 2 4 x 3 的 单 调 递 减 区 间 为 2 ,3 。
苏州大学：P73 复习题。
(问：函y数 x24x3的单调递增区间？是）什么
小结:在求解函数单调区间时必须注意单调区间是定义域的某个区间。
例 3.求 函 数 y 1 2 x24x3的 单 调 递 减 区 间 。
上是增函数。
2
cQQQoQQQm群群:/1t3m：：1x811k277_455d155o166c899i9n66；33；22 又tx122123在3,12上是增函数。
com/tmxk_docin ；
小QQ结:1:3在18求24解11函89数；单 调区函 间时必须y数 注 意单l调o区间2g是6定 义域x的 某个x区2间的 。 单调递增 3， 区 1 2。 间为
高中数学必修1课件：1.3.1函数的单调性1.pptx
2a
减函数
2020/4/25
例2:物理学中的玻意耳定律告P诉 我k (们k为，正对常于数一)定量的气体， 当其体积V减小时，压强p将增大V.试用函数的单调性证明.
2020/4/25
利用定义确定或证明函数f(x)在给定的区间D上的单调 性的一般步骤： 1.取数:任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2.作差:f(x1)－f(x2)； 3.变形:通常是因式分解和配方; 4.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负; 5.小结:指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性.
（2）函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的， 是函数的局部概念。这个区间是定义域的子集。对于 单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因 而没有增减变化，所以不存在单调性问题；对于闭区 间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭 区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包 括不包括端点都可以；
y
100
80
60 40
20
o1 2 3 t
2020/4/25
思考1:当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y
有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对
待刚学过的知识?
y
100
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60 40
20
o
12 3
t
思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下 降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？
2020/4/25
个自变量x1和x2，当时， x1 x2
与f 的(x1大) 小f关(x系2 ) 如何？
Hale Waihona Puke oy f (x)f (x2 )
f (x1)
x1
x2 x
思考4:我们把具有上述特点的函数称为增函数，那么怎
复合函数的单调性及单调性的应用 课件
【讲评】 求复合函数的单调区间要充分利用基本函数的 单调性，分式函数、偶次方根函数一定要先求函数的定义域．
探究1 复合函数的单调性的判定见下表：
t＝g(x) y＝f(t) y＝f[g(x)]
增
增
增
增
减
减
减
增减减源自减增注意 (1)判断复合函数的单调性时，首先求出复合函数的 定义域．
(2)上述表格可以总结成一句话：“同增异减”．
【解析】 由题意可知，f(x)的对称轴为x＝2. 故f(1)＝f(3)． ∵f(x)在[2，＋∞)上是增函数(开口向上)， ∴f(2)＜f(3)＜f(4)，即f(2)＜f(1)＜f(4)．
【讲评】 若函数f(x)满足等式f(m＋x)＝f(m－x)，则f(x)关 于x＝m对称．
探究2 比较大小：比较两个函数值的大小，一定要把两个 自变量的值置于同一个单调区间内！
(2)求函数y＝ 1－2x的单调区间． 【思路点拨】 首先，求函数定义域，其次要清楚是由哪 几个函数复合而成．
【解析】
由1－2x≥0，得x≤
1 2
，而函数y＝
1－2x 是由y
＝ t及t＝1－2x复合而成的．
在(－∞，12]上，t＝1－2x是减函数，y＝ t是增函数，∴y＝
1－2x在(－∞，12]上是减函数．
探究3 本题没有解析式，但已知函数的单调性，为解抽象 函数的不等式，其解法主要是利用函数的单调性及存在性而得 出相应的解集，这也是高考中常用来考查函数的一种方法．此 题一定要注意函数的定义域．
思考题3 已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(0)＝1，求 不等式f(2x－1)－1＞0的解集．
【答案】 (12，＋∞)
思考题1 写出函数y＝ 3x＋2的单调区间． 【答案】 单调增区间[－23，＋∞)
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f g x2 f g x1 . f g x 在 m, n 上是减函数.
复合函数: f g x
判断：一个函数的函数值，作为另一个函数的自变量。 定义域： 1、若已知 f x 的定义域为[a,b],则复合函数 f g x 的定义域由 agxb 解出。 2、若已知 f g x 的定义域为[a,b],则函数 f x 的定 义域即为 当 x a , b 时 ， 函 数 g x 的 值 域 。
（2）如果函数f(x)在区间D上是减函数， 函数g(x)在区间D上是减函数。 问：函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为减函数？ 为什么？ 是
（3）如果函数f(x)在区间D上是减函数， 函数g(x)在区间D上是增函数。 问：能否确定函数F(x)=f(x)+g(x)的单调性？
不能
反例：f(x)=x在R上是增函数，g(x)=-x在R上是减函数 此时 F(x)= f(x)+ g(x)=x-x=0为常函数，不具有单调性
2 例 2 . 求函数 y x 4 x 3 的单调递减区 .
2 2 解： x 4 x 3 0 ，即 x 4 x 3 0 ， 1 x 3 ，即函数的定义域为 1 , 3 .
2 令 u x 4 x 3 ，故 y u ，
y u是定义域内是的单调递 增函数 .
复合函数的单调性
思考
例1（1）如果函数f(x)在区间D上是增函数， 函数g(x)在区间D上是增函数。 问：函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为增函数？ 是 为什么？
xx , 2 D , 且 x x 1 1 2 f() x 在 区 间 D 上 是 增 函 数 ， gx () 在 区 间 D 上 是 增 函 数 f( x ) f( x ) ,gx (1 ) gx (2 ) 1 2 F ( x ) F ( x ) [ f( x ) gx (1 ) ] [ f( x ) gx (2 ) ] 1 2 1 2
增函数 减函数 减函数 增函数
小结：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定 义域，要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。
注：
1、复合函数y=f[g(x)]的单调区 间必须是其定义域的子集 2、对于复合函数y=f[g(x)]的单 调性是由函数y=f(u)及u=g(x)的 单调性确定的且规律是“同增， 异减”
又 u x 2 1 在 2 , 3 上 是 减 函 数 。
2
2 y x 4 x 3 在 2 , 3 上 是 减 函 数 。
2 故 函 数 y xx 4 3 的 单 调 递 减 区 间 为 2 , 3 。
( 问：函数 y x2 4 x3 的单调递增区间是什 ？）
2
y u 在定义域内是增函数。 2 又 u x 2 1 在 2 , 上是减函数，
在 ,2 上是增函数。
2 y x 4 x 5 在 5 , 上是减函数， , 1 上是
小结
（1）掌握复合函数单调性的判断方法.
同 加 ， 单 调 性 不 变
f x是 例2 如果 g x 是[m,n]上的减函数，且agxb ， [a,b]上的增函数，求证 f g x 在[m,n]上也是减函数。
证：x1 , x2 m, n , 且x1 x2 ,
g ( x)是 m, n 上减函数，且a g x b a g ( x2 ) g ( x1 ) b. 又 f x 是 a, b 上的增函数,
[ f ( x ) f ( x )] [ g ( x ) g ( x )] 1 2 1 2 [ f ( x ) f ( x )] [ g ( x ) g ( x )] 0 , 即 F ( x ) F ( x ) 1 2 1 2 1 2
所以函数F(x)=f(x)+g(x)在D上仍为增函数
复合函数单调性y f (x )ຫໍສະໝຸດ 增函数 增函数 减函数 减函数
对于复合函数 y f[ g ( x )] 的单调性，必须 y f( u ) 与
u g ( x ) 的单调性，从而得出 y f[ g ( x )] 的单调性
ug (x )
增函数 减函数 增函数 减函数
yf[ g ( x )]
同增异减
（2）求复合函数的单调区间.
注意：求函数的单调区间首先要求函数的定义域.
例1.设y=f(x)的单增区间是(2,6)，求函数y=f(2－x)的 单调区间。
解： 令 t x ＝2 x , 由已知得， f t 在 t 2, 6 上是增函数。 而 t x 2, 6 , 2 x 2, 6 , x 4, 0 . 又 t x ＝2 x在 x 4, 0 上是单调递减的， 由复合函数单调性知： f 2 x f t x 在 x 4, 0 上是单调递减的。 f 2 x 的单调减区间是 4, 0 。
小结:在求解函数单调区间时必须注意单调区间 是定义域的某个区间。
练习 1 ：求 y x2 4x5 函数的单调区间。
2 解： x 4 x 5 0
函数的定义域为 , 1 5 , 。
令 u x 4 x 5 , 则 y u ,