[推荐学习]2018年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷重组十五概率与统计试题文

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2018年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷测评卷课件1理

－1 2
＝3－12＝13
1 2
＝21716
，所以
a>b，排除
B、D；c＝140πsinxdx＝－14cosxπ0
＝
－14(cosπ－cos0)＝12＝14
1 2
，所以
b>c，所以
a>b>c，选
C.
7．[2016·江苏重点高中模拟]若正
整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，
得xy＝＝－ 2，1，即 B(2，－1)．由题意知 m＝2 不符合题意，故点 A 与点 B 不重合，因而当连接 AB 时，斜率取到最小值 0.由 y＝－1 与 2x－y－2＝0，得交点 C12，－1，在点 A 由点 C 向左移动的过程中，可行域内的点与点 A 连线的斜率小于 2，因而目标函数的取值范围满足 z∈[0,2)，则 m<12，故选 C.
D．2 3
解析设双曲线的左焦点为 F1，依题意知，|PF2|＝2c，因为O→M＝12(O→P＋O→F2)，所以点 M 为线段 PF2 的中点．因为 2O→F2·F→ 2M＝a2＋b2，所以O→F2·F→ 2M＝c22，所以 c·c·cos∠PF2x ＝12c2，所以 cos∠PF2x＝12，所以∠PF2x＝60°，所以∠PF2F1 ＝120°，从而|PF1|＝2 3c，根据双曲线的定义，得|PF1|－|PF2| ＝2a，所以 2 3c－2c＝2a，所以 e＝ca＝ 31－1＝ 32＋1，故选 A.
cos
π3－x
＝
cosx
＋
1 2
cosx
＋
3 2
sinx
＝
3 2
cosx
＋
3 2
sinx
＝
3

18年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷重组三导数及其应用课件理

对于 C 选项，f′(x)＝ ex>0，显然 k1· k2＝ ex1 · ex2＝－ 1 无解，故该函数不具有 T 性质；对于 D 选项， f′(x)＝ 3x2≥0，
2 显然 k1· k2＝ 3x2 · 3 x 1 2＝－ 1 无解，故该函数不具有 T 性质．故
选 A.
mex 12．[2016· 河南八市联考 ]已知函数 f(x)＝与函数 g(x) 2 ＝－2x2－ x＋1 的图象有两个不同的交点，则实数 m 的取值范围为( )
1 C.1，＋1 e
2e ，1 2e
解析
－x 当 x≤0 时， f(x)＝为减函数， f(x)min＝ f(0) x e x
1－ 2x 1 ＝ 0 ；当 x>0 时， f(x) ＝ x ， f′(x) ＝ x ，则 x> 2 时， e 2 xe
1 1 f′(x)<0,0< x< 时， f′(x)>0 ，即 f(x) 在 0，上递增，在 2 2 1 1 ，＋ ∞ 上递减， f ( x ) ＝ f 极大值＝ 2 2
重组三
导数及其应用
测试时间： 120 分钟
满分： 150 分
第Ⅰ卷
(选择题，共 60 分 )
一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题只有一个选项符合题意 ) 1．[2016· 安庆二模 ]给出定义：设 f′(x)是函数 y＝ f(x) 的导函数，f″(x)是函数 f′ (x)的导函数，若方程 f″(x)＝0 有实数解 x0 ，则称点(x0，f(x0 ))为函数 y＝ f(x)的“拐点”．已知函数 f(x)＝3 x＋4sin x－ cosx 的拐点是 M(x0， f(x0))，则点 M( ) A．在直线 y＝－3 x 上 C．在直线 y＝－4 x 上 B.在直线 y＝3x 上 D.在直线 y＝4x 上

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(15 概率、统计、统计案例、推理与证明)

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（15概率、统计、统计案例、推理与证明）一、选择题1．（2018全国新课标Ⅰ文、理）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（） A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半1。

答案：A解答：由图可得，A 选项，设建设前经济收入为x ，种植收入为0.6x .建设后经济收入则为2x ，种植收入则为0.3720.74x x ⨯=，种植收入较之前增加．另解：假设建设前收入为a ，则建设后收入为2a ，所以种植收入在新农村建设前为60%a ，新农村建设后为37%2a ⋅；其他收入在新农村建设前为4%a ⋅，新农村建设后为5%2a ⋅，养殖收入在新农村建设前为30%a ⋅，新农村建设后为30%2a ⋅ 故不正确的是A.2．（2018全国新课标Ⅱ文）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（）A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.32．【答案】D【解析】设2名男同学为1A ，2A ，3名女同学为1B ，2B ，3B ，从以上5名同学中任选2人总共有12A A ，11A B ，12A B ，13A B ，21A B ，22A B ，23A B ，12B B ，13B B ，23B B 共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有共12B B ，13B B ，23B B 三种可能则选中的2人都是女同学的概率为30.310P ==，故选D ．3．（2018全国新课标Ⅲ文）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.73.答案：B解答：由题意10.450.150.4P =--=.故选B.二、填空1．（2018江苏）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ．1．【答案】90【解析】由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为89，89，90，91，91，故平均数为8989909191905++++=．2．（2018江苏）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ．2．【答案】310【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为310．3. （2018上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示）4．（2018全国新课标Ⅲ文）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________． 14．答案：分层抽样解答：由题意，不同龄段客户对其服务的评价有较大差异，故采取分层抽样法.三、解答题1．（好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（2）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加01．，哪类电影的好评率减少01．，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）1．【答案】（1）0025．；（2）0814．；（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．【解析】（1）由题意知，样本中电影的总部数是140503002008005102000+++++=．第四类电影中获得好评的电影部数是20002550⨯=．，故所求概率为5000252000=．．（2）设“随机选取1部电影，这部电影没有获得好评”为事件B ．没有获得好评的电影共有14006500830008520007580008510091628⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．部．由古典概型概率公式得()162808142000P B ==．．（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．2．（2018北京理）设n 为正整数，集合A =12{|(,,,),{0,1},1,2,,}n k t t t t k n αα=∈=．对于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=和12(,,,)n y y y β=，记M （αβ，）=111122221[(||)(||)(||)]2n n n n x y x y x y x y x y x y +--++--+++--．（Ⅰ）当n =3时，若(1,1,0)α=，(0,1,1)β=，求M （,αα）和M （,αβ）的值；（Ⅱ）当n =4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，M （αβ，）是奇数；当,αβ不同时，M （αβ，）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，M （αβ，）=0．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．2（共14分）解：（Ⅰ）因为α=（1，1，0），β=（0，1，1），所以M (α，α)=12 [(1+1−|1−1|)+(1+1−|1−1|)+(0+0−|0−0|)]=2，M (α，β）=12[(1+0–|1−0|)+(1+1–|1–1|)+(0+1–|0–1|)]=1．（Ⅱ）设α=（x 1，x 2，x 3，x 4）∈B ，则M (α，α）= x 1+x 2+x 3+x 4．由题意知x 1，x 2，x 3，x 4∈{0，1}，且M (α，α)为奇数，所以x 1，x 2，x 3，x 4中1的个数为1或3．所以B ⊆{(1，0，0，0），（0，1，0，0)，（0，0，1，0)，（0，0，0，1)，（0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}. 将上述集合中的元素分成如下四组：（1，0，0，0)，(1，1，1，0)；（0，1，0，0)，(1，1，0，1)；（0，0，1，0)，（1，0，1，1)；（0，0，0，1)，（0，1，1，1).经验证，对于每组中两个元素α，β，均有M (α，β）=1. 所以每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．所以集合B 中元素的个数不超过4.又集合{（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1)}满足条件，所以集合B 中元素个数的最大值为4.（Ⅲ）设S k =( x 1，x 2，…，x n ）|( x 1，x 2，…，x n ）∈A ，x k =1，x 1=x 2=…=x k –1=0）（k =1，2，…，n )，S n +1={( x 1，x 2，…，x n ）| x 1=x 2=…=x n =0}，则A =S 1∪S 1∪…∪S n +1．对于S k （k =1，2，…，n –1）中的不同元素α，β，经验证，M (α，β)≥1. 所以S k （k =1，2 ，…，n –1）中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．所以B 中元素的个数不超过n +1.取e k =( x 1，x 2，…，x n ）∈S k 且x k +1=…=x n =0（k =1，2，…，n –1）.令B =（e 1，e 2，…，e n –1）∪S n ∪S n +1，则集合B 的元素个数为n +1，且满足条件. 故B 是一个满足条件且元素个数最多的集合．3．（2018江苏）设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i ，如果当s <t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．（1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式(用n 表示)．3．【答案】（1）2，5；（2）5n ≥时，()2222n n n f --=．【解析】（1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有()123=0τ，()132=1τ，()213=1τ，()231=2τ，()312=2τ，()321=3τ，所以()301f =，()()33122f f ==．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，()()()()433322105f f f f =++=．（2）对一般的()4n n ≥的情形，逆序数为0的排列只有一个：12n ，所以()01n f =．逆序数为1的排列只能是将排列12n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以()11n f n =-．为计算()12n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将1n +添加进原排列，1n +在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，()()()()()122102n n n n n f f f f f n +=++=+．当5n ≥时，()()()()()()()()11254422222222n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()24212422n n n n f --=-+-+++=，因此，5n ≥时，()2222n n n f --=．4．（2018天津文）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率． 4．【答案】（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人；（2）①答案见解析；②521．【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3:2:2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（2）①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{},A B ，{},A C ，{},A D ，{},A E ，{},A F ，{},A G ，{},B C ，{},B D ，{},B E ，{},B F ，{},B G ，{},C D ，{},C E ，{},C F ，{},C G ，{},D E ，{},D F ，{},D G ，{},E F ，{},E G ，{},F G ，共21种．②由（1），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{},A B ，{},A C ，{},B C ，{},D E ，{},F G ，共5种．所以，事件M 发生的概率为()521P M =．5．（2018全国新课标Ⅰ文）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m 3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：（（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m 3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）5．答案：略解答：（1）（2）由题可知用水量在[0.3,0.4]的频数为10，所以可估计在[0.3,0.35)的频数为5，故用水量小于30.35m 的频数为1513524+++=，其概率为240.4850P ==.（3）未使用节水龙头时，50天中平均每日用水量为： 31(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.657)0.50650m ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，一年的平均用水量则为30.506365184.69m ⨯=. 使用节水龙头后，50天中平均每日用水量为： 31(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.3550m ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，一年的平均用水量则为30.35365127.75m ⨯=， ∴一年能节省3184.69127.7556.94m -=.6．（2018全国新课标Ⅱ文、理）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5yt =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,7）建立模型②：ˆ9917.5yt =+．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．6．【答案】（1）模型①226.1亿元，模型②2565．亿元；（2）模型②，见解析．【解析】（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 30.413.5192ˆ26.1y=-+⨯=（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 ˆ9917592565y =+⨯=．．（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（i ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5y t =-+上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型ˆ99175y t =+．可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226．1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．7．（2018全国新课标Ⅲ文、理）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m（3附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()0.0500.0100.0013.8416.63510.828P K k k ≥．7.答案：见解析解答：（1）第一种生产方式的平均数为184x =，第二种生产方式平均数为274.7x =，∴12x x >，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，∴第二种生产方式的效率更高.（2）由茎叶图数据得到80m =，∴列联表为（3）222()40(151555)10 6.635()()()()20202020n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。

2018年高考科学复习解决方案(文科数学)——真题与模拟单元重组卷重组三导数及其应用含解析

重组三导数及其应用测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分）一、选择题(本题共12小题,每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)1．2016·安庆二模]给出定义:设f′（x）是函数y ＝f(x)的导函数,f″(x）是函数f′(x)的导函数，若方程f″（x)＝0有实数解x0,则称点(x0，f（x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．已知函数f(x）＝3x＋4sin x－cos x的拐点是M （x0，f(x0）)，则点M( ）A．在直线y＝－3x上B．在直线y＝3x上C．在直线y＝－4x上D．在直线y＝4x上答案B解析f′（x)＝3＋4cos x＋sin x，f″(x）＝－4sin x ＋cos x＝0，4sin x0－cos x0＝0，所以f（x0)＝3x0，故M(x0，f（x0))在直线y＝3x上．2．2017·湖南郴州质检］已知定义在R上的可导函数f(x）的导函数为f′（x)，若对于任意实数x有f （x）>f′（x），且y＝f（x)－1为奇函数，则不等式f(x)<e x 的解集为( )A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，e4) D．(e4,＋∞)答案B解析取特殊函数f(x）＝1刚好符合已知条件,故f （x)<e x⇒1<e x⇒x>0，故选B。

3．2017·衡水中学三调]已知函数g(x)＝a－x2错误!错误!≤x≤e，e是自然对数的底数错误!与h（x)＝2ln x的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（)A.错误!B．1，e2－2］C.错误!D．e2－2,＋∞)答案B解析由已知得,方程a－x2＝－2ln x，即－a＝2ln x －x2在错误!上有解．设f（x）＝2ln x－x2，则f′(x）＝错误!－2x＝21－x1＋xx。

因为错误!≤x≤e，所以函数f(x）在x＝1处有唯一的极值点且为极大值点．因为f错误!＝－2－错误!,f(e）＝2－e2，f(x)极大值＝f（1）＝－1，又f(e）〈f错误!，所以方程－a＝2ln x－x2在错误!上有解，等价于2－e2≤－a≤－1,所以实数a的取值范围是1，e2－2]，故选B.4．2017·江西抚州联考]已知函数f(x)与f′(x）的图象如图所示,则函数g(x）＝错误!的递减区间为( ）A．(0,4) B．(－∞，1),错误!C。

[推荐学习]2018年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷重组二函数试题文

重组二函数测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·沈阳质检]下列函数中，在其定义域内是增函数且又是奇函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2|x |C ．y ＝2x－2－xD ．y ＝2x ＋2－x答案 C解析 A 虽增却非奇非偶，B 、D 是偶函数，由奇偶函数定义可知C 是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数(或y ′＝2x ln 2＋2－xln 2>0)，故选C.2．[2017·河北百校联考]已知f (x )满足对∀x ∈R ，f (－x )＋f (x )＝0，且x ≥0时，f (x )＝e x＋m (m 为常数)，则f (－ln 5)的值为( )A ．4B ．－4C ．6D ．－6 答案 B解析由题设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故f (0)＝e 0＋m ＝1＋m ＝0，即m ＝－1，所以f (－ln 5)＝－f (ln 5)＝－eln 5＋1＝－5＋1＝－4，故应选B.A ．a <b <c <dB ．a <c <d <bC ．b <a <c <dD ．b <a <d <c答案 A 解析4．[2016·衡水联考]已知奇函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －43x，f x x ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 213＝( )A ．－56B.56C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12 133 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1213 －43答案 A解析因为F (x )＝－F (－x )，log 213<0，所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 213＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 213＝－F ⎝⎛⎭⎪⎫－log 2135．[2016·全国卷Ⅰ]函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为()答案 D解析 ∵f (x )＝y ＝2x 2－e |x |， ∴f (－x )＝2(－x )2－e |－x |＝2x 2－e |x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数．当x ＝±2时，y ＝8－e 2∈(0,1)，故排除A 、B.当x ∈[0,2]时，f (x )＝y ＝2x 2－e x， ∴f ′(x )＝4x －e x＝0有解，故函数y ＝2x 2－e |x |在[0,2]上不是单调的，故排除C ，故选D.6．[2016·浙江高考]设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关答案 B解析由于f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝1－cos2x 2＋b sin x ＋c .当b ＝0时，f (x )的最小正周期为π；当b ≠0时，f (x )的最小正周期为2π.c 的变化会引起f (x )图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B.7．[2016·江西联考]已知定义在R 上的函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，且f (x ＋1)为偶函数，则( )A ．f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 B ．f (－2)>f (2) C ．f (－1)<f (3) D ．f (－4)＝f (4)答案 B解析因为f (x ＋1)是偶函数，所以f (1＋x )＝f (1－x )，f (x )关于直线x ＝1对称，又因为f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(－∞，1]上单调递减，所以f (0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (－2)＝f (4)>f (2)，f (－1)＝f (3)，f (－4)＝f (6)>f (4)，故选B.8．[2017·河南大联考]已知函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ 2x 4＋x 2sin x ＋4x 4＋2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017＝( )A ．2017B ．2016C ．4034D ．4032 答案 D解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝2x 4＋x 2sin x ＋4x 4＋2＝2＋x 2sin x x 4＋2，即f (x )图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2中心对称，故f ⎝⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017＝2×2016＝4032. 9．[2016·昆明一中模拟]若关于x 的不等式9－x 2≤k (x ＋1)的解集为区间[a ，b ]，且b －a ≥2，则实数k 的取值范围为( )A ．[2，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞ C ．(0，2] D ．(－∞，2]答案 A解析令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋1)，其示意图如图，A (1,22)，若k >0，要满足y 1≤y 2，则b ＝3，此时－1<a ≤1，从而k ≥221＋1＝2；若k <0，要满足y 1≤y 2，则a ＝－3，则b ≥a＋2＝－1，从而k 值不存在，所以k ≥2，选A.10．[2016·长春质检]已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ln x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2<f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．(0，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D ．(e ，＋∞) 答案 C解析由题可知函数在(－∞，＋∞)上单调递增，所求不等式等价于|f (ln x )|<f (1)，从而f (－1)<f (ln x )<f (1)，进而－1<ln x <1，所以1e<x <e ，故选C.11．[2016·全国卷Ⅱ]已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1(x i ＋y i )＝( ) A ．0 B ．m C ．2m D ．4m 答案 B解析因为f (x )＋f (－x )＝2，y ＝x ＋1x ＝1＋1x ，所以函数y ＝f (x )与y ＝x ＋1x 的图象都关于点(0,1)对称，所以∑mi ＝1x i ＝0，∑mi ＝1y i ＝m2×2＝m ，故选B. 12．[2016·湖北襄阳模拟]若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －a ，x ≥12，x ＋2－a ，x <12的三个零点为x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是( )A ．(0，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32答案 C解析令f (x )＝0，可得直线y ＝a 和函数y ＝g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x ，x ≥12，x ＋2，x <12的图象有三个交点，分别作出直线y ＝a 和函数y ＝g (x )的图象，由图象可设0<x 1<12，12<x 2<1,1<x 3<2，由a ＝x 1＋2＝x 2＋1x 2＝x 3＋1x 3，可得x 2－x 3＝x 2－x 3x 2x 3，即有x 2x 3＝1，则x 1x 2x 3＝x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.故选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．[2016·河南名校联考]若函数f (x )＝x ＋a －x ＋1x为奇函数，则a ＝________.答案 12解析因为f (x )＝x ＋a －x ＋1x为奇函数，所以由f (－x )＋f (x )＝0，得2(2a －1)＝0，即a ＝12.14．[2016·天津高考]已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 解析因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，故－2<2|a －1|<2，则|a －1|<12，所以12<a <32.15．[2017·云南师大附中月考]若f (x )是定义在R 上的函数，对任意的实数x 都有：f (x ＋6)≤f (x ＋2)＋4和f (x ＋4)≥f (x ＋2)＋2，且f (1)＝1，则f (2017)＝________.答案 2017解析 ∵f (x ＋6)≥f (x ＋4)＋2≥f (x ＋2)＋4，又f (x ＋6)≤f (x ＋2)＋4，∴f (x ＋6)＝f (x ＋2)＋4，即f (x ＋4)＝f (x )＋4， ∴f (2017)＝f (1＋4×504)＝f (1)＋2016＝2017. 16．[2017·湖北重点高中联考]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x－a ，x <1，πx －3a x －2a ，x ≥1，若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12∪[3，＋∞)解析 ①若函数g (x )＝3x－a 在x <1上与x 轴有一个交点，则0<a <3，此时函数h (x )＝π(x －3a )(x －2a )在x ≥1上与x 轴有一个交点．故3a ≥1且2a <1，即13≤a <12；②若函数g (x )＝3x－a 在x <1上与x 轴无交点，则a ≤0或a ≥3，此时函数h (x )＝π(x －3a )(x －2a )在x ≥1上与x 轴有两个交点，故3a ≥1,2a ≥1，即a ≥3.综上，a 的取值范围是13≤a <12或a ≥3.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．[2017·江西玉山月考](本小题满分10分)已知函数f (x )＝log a (1＋x )－log a (1－x )，其中a >0且a ≠1.(1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝2，求使f (x )>0成立的x 的集合．解 (1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x >0，解得－1<x <1，即函数f (x )的定义域为(－1,1)．(2分) ∵f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(5分)(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝2，∴log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋35－log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝log a 4＝2，解得a ＝2，(7分)∴f (x )＝log 2(1＋x )－log 2(1－x )，若f (x )>0，则log 2(x ＋1)>log 2(1－x )， ∴x ＋1>1－x >0，解得0<x <1，(9分) 故不等式的解集为(0,1)．(10分)18．[2016·青海师大附中测试](本小题满分12分)已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (2)＝1.(1)求证：f (8)＝3；(2)求不等式f (x )－f (x －2)＞3的解集．解 (1)证明：由题意可得f (8)＝f (4×2)＝f (4)＋f (2)＝f (2×2)＋f (2)＝3f (2)＝3.(4分)(2)原不等式可化为f (x )＞f (x －2)＋3＝f (x －2)＋f (8)＝f (8x －16)，(6分) ∵f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧8x －16＞0，x ＞8x －16.(10分)解得2＜x ＜167.(12分)19．[2016·福建三校联考](本小题满分12分)对于季节性服装的销售，当旺季来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后旺季过去，平均每周减价2元，直到16周后，该服装不再销售．(1)试建立价格p 与周数t 之间的函数关系式；(2)若此服装每周进货一次，每件进价Q 与周数t 之间的关系为Q ＝－0.125(t －8)2＋12，t ∈[0,16]，t ∈N ，试问该服装第几周每件销售利润最大？最大值是多少？解 (1)p ＝⎩⎪⎨⎪⎧10＋2t ，t ∈[0，5]，t ∈N ，20，t ∈5，10]，t ∈N ，40－2t ，t ∈10，16]，t ∈N . 分(2)设第t 周时每件销售利润为L (t )，则L (t )＝p －Q ，即 L (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧10＋2t ＋t －2－12，t ∈[0，5]，t ∈N ，20＋t －2－12，t ∈5，10]，t ∈N ，40－2t ＋t －2－12，t ∈10，16]，t ∈N＝⎩⎪⎨⎪⎧0.125t 2＋6，t ∈[0，5]，t ∈N ，t －2＋8，t ∈5，10]，t ∈N ，0.125t 2－4t ＋36，t ∈10，16]，t ∈N .分当t ∈[0,5]，t ∈N 时，L (t )单调递增，L (t )max ＝L (5)＝9.125；当t ∈(5,10]，t ∈N 时，L (t )max ＝L (6)＝L (10)＝8.5；当t ∈(10,16]，t ∈N 时，L (t )单调递减，L (t )max ＝L (11)＝7.125.(10分) 由9.125>8.5>7.125，知L (t )max ＝9.125.所以第5周每件销售利润最大，最大值为9.125元．(12分)20．[2016·江苏徐州模拟](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过点(－1,0)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的解析式； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围；(3)若F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，x ＞0，－f x ，x ＜0，当mn ＜0，m ＋n ＞0，a ＞0，且函数f (x )为偶函数时，试判断F (m )＋F (n )能否大于0?解 (1)因为f (－1)＝0，所以a －b ＋1＝0.因为方程f (x )＝0有且只有一个根，且a ≠0，所以Δ＝b 2－4a ＝0，(2分) 所以b 2－4(b －1)＝0，得b ＝2，则a ＝1. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.(4分)(2)因为g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －k －222＋1－k －24.所以当k －22≥2或k －22≤－2，(6分)即k ≥6或k ≤－2时，g (x )是单调函数．即实数k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．(8分) (3)F (m )＋F (n )＞0.因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以b ＝0，则f (x )＝ax 2＋1.(9分)所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1，x ＞0，－ax 2－1，x ＜0.因为mn ＜0，不妨设m ＞0，所以n ＜0，又因为m ＋n ＞0，所以m ＞－n ＞0，所以|m |＞|－n |.此时F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋1－an 2－1＝a (m 2－n 2)＞0，所以F (m )＋F (n )＞0.(12分)21．[2017·辽宁六校模拟](本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ＋x ＋ax2为偶函数．(1)求实数a 的值；(2)记集合E ＝{y |y ＝f (x )，x ∈{－1,1,2}}，λ＝lg 22＋lg 2·lg 5＋lg 5－14，判断λ与E 的关系；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m ，1n (m >0，n >0)时，若函数f (x )的值域为[2－3m,2－3n ]，求m ，n 的值．解 (1)∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )，即x ＋x ＋ax2＝－x ＋－x ＋ax2，即2(a ＋1)x ＝0，x ∈R 且x ≠0，∴a ＝－1.(4分)(2)由(1)可知，f (x )＝x 2－1x2，当x ＝±1时，f (x )＝0；当x ＝2时，f (x )＝34.∴E ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，34，(6分) 而λ＝lg 22＋lg 2·lg 5＋lg 5－14＝lg 22＋lg 2(1－lg 2)＋1－lg 2－14＝34，∴λ∈E .(8分)(3)∵f (x )＝x 2－1x 2＝1－1x 2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m ，1n ， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m ，1n 上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＝2－3m ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＝2－3n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m 2＝2－3m ，1－n 2＝2－3n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋1＝0，n 2－3n ＋1＝0，(10分)∴m ，n 是方程x 2－3x ＋1＝0的两个根，又由题意可知1m <1n，且m >0，n >0，∴m >n .∴m ＝3＋52，n ＝3－52.(12分)22．[2016·宁波十校联考](本小题满分12分)对于函数f (x )，若存在区间A ＝[m ，n ](m <n )，使得{y |y ＝f (x )，x ∈A }＝A ，则称函数f (x )为“可等域函数”，区间A 为函数f (x )的一个“可等域区间”．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b (a ，b ∈R )．(1)若b ＝0，a ＝1，g (x )＝|f (x )|是“可等域函数”，求函数g (x )的“可等域区间”； (2)若区间[1，a ＋1]为f (x )的“可等域区间”，求a 、b 的值．解 (1) b ＝0，a ＝1，g (x )＝|x 2－2x |是“可等域函数”， ∵g (x )＝|x 2－2x |＝|(x －1)2－1|≥0，∴n >m ≥0，结合图象，由g (x )＝x ，得x ＝0,1,3，(2分) 函数g (x )的“可等域区间”为[0,1]，[0,3]，(4分) 当1≤m ≤n ≤2时，g (x )≤1，不符合要求．(5分) (2)f (x )＝x 2－2ax ＋b ＝(x －a )2＋b －a 2，因为区间[1，a ＋1]为f (x )的“可等域区间”，所以a ＋1>1，即a >0.(6分)当0<a ≤1时，则⎩⎪⎨⎪⎧f1＝1，f a ＋＝a ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2；(8分)当1<a ≤2时，则⎩⎪⎨⎪⎧fa ＝1，f a ＋＝a ＋1无解；(10分)当a >2时，则⎩⎪⎨⎪⎧fa ＝1，f 1＝a ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3＋52，b ＝9＋352. (12分)。

2018年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷全书文

重组一集合与常用逻辑用语测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·全国卷Ⅰ]设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎪⎫－3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3答案 D解析由题意得，A ＝{x |1<x <3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >32，则A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3.选D.2．[2017·河北百校联盟联考]已知全集U ＝Z ，A ＝{x |x 2－5x <0，x ∈Z }，B ＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合等于( )A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}答案 B解析 x 2－5x <0的解为0<x <5，所以集合A ＝{1,2,3,4}，(∁U A )∩B 是指不在集合A 中，但在集合B 中的全集中的元素，即－1,0，所以图中的阴影部分表示的集合等于{－1,0}，故选B.3．[2017·湖北武汉联考]命题“∀n ∈N *，∃x ∈R ，使得n 2<x ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，∃x ∈R ，使得n 2≥x B ．∀n ∈N *，∀x ∈R ，使得n 2≥x C ．∃n ∈N *，∃x ∈R ，使得n 2≥x D ．∃n ∈N *，∀x ∈R ，使得n 2≥x 答案 D解析命题的否定是条件不变，结论否定，同时存在量词与全称量词要互换，因此命题“∀n ∈N *，∃x ∈R ，使得n 2<x ”的否定是“∃n ∈N *，∀x ∈R ，使得n 2≥x ”．故选D.4．[2016·江西九校联考]已知A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x x ＋1x －1≤0，B ＝{－1，0,1}，则card(A ∩B )＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析由A ＝{x |－1≤x <1}可得A ∩B ＝{－1,0}，所以A ∩B 的元素个数为2.5．[2016·北京东城模拟]集合A ＝{x |x ≤a }，B ＝{x |x 2－5x <0}，若A ∩B ＝B ，则a 的取值范围是( )A ．a ≥5 B．a ≥4 C．a ＜5 D ．a ＜4 答案 A解析 B ＝{x |x 2－5x <0}＝{x |0<x <5}，A ∩B ＝B 说明B 是A 的子集，故a ≥5. 6．[2016·安徽六校测试]设非空集合P ，Q 满足P ∩Q ＝P ，则( ) A ．∀x ∈Q ，有x ∈P B ．∀x ∉Q ，有x ∉P C ．∃x 0∉Q ，使得x 0∈P D ．∃x 0∈P ，使得x 0∉Q 答案 B解析因为P ∩Q ＝P ，所以P ⊆Q ，所以∀x ∉Q ，有x ∉P ，故选B.7．[2016·衡水模拟]“C ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析由点(2,1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3，得|3×2＋4×1＋C |32＋42＝3，解得C ＝5或C ＝－25，所以“C ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.8．[2016·济南调研]已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，x >sin x ，则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈p 为真C ．p ∧q 为真D ．p ∨q 为假答案 B解析由三角函数y ＝sin x 的有界性，－1≤sin x 0≤1，所以p 假；对于q ，构造函数y＝x －sin x ，求导得y ′＝1－cos x ，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以y ′>0，y 为单调递增函数，有y >y |x＝0＝0恒成立，即∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，x >sin x ，所以q 真．判断可知，B 正确．9．[2017·河南郑州月考]已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧y ⎪⎪⎪ y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ≥}－1，B ＝{y |y ＝e x ＋1，x ≤0}，则下列结论正确的是()A ．B ∩(∁R A )＝∅ B ．A ∪B ＝RC ．A ∩(∁R B )＝∅D ．A ＝B答案 A解析因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在[－1，＋∞)上单调递减，所以y ∈(0,2]，因为函数y ＝e x＋1在(－∞，0]上单调递增，所以y ∈(1,2]，故选A.10．[2016·河西五市二联]下列说法正确的是( ) A ．命题“∀x ∈R ，e x >0”的否定是“∃x ∈R ，e x>0”B ．命题“已知x ，y ∈R ，若x ＋y ≠3，则x ≠2或y ≠1”是真命题C ．“x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立”⇔“(x 2＋2x )min ≥(ax )min 在x ∈[1,2]上恒成立” D ．命题“若a ＝－1，则函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点”的逆命题为真命题答案 B解析 A 项，应为“∃x ∈R ，e x≤0”，故A 错误；B 项，其逆否命题是“若x ＝2且y ＝1，则x ＋y ＝3”，为真命题，故原命题为真命题，故B 正确；C 项，应为“(x 2＋2x －ax )min ≥0在[1,2]上恒成立”，故C 错误；D 项，函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点等价于a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝4＋4a ＝0⇒a ＝－1，故D 错误，选B.11．[2017·河北百校联考]命题“∃x 0∈R ，a sin x 0＋cos x 0≥2”为假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－3，3)B ．[－3， 3 ]C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－ 3 ]∪[3，＋∞) 答案 A解析命题“∀x ∈R ，a sin x ＋cos x <2”为真命题，即a 2＋1<2，解得－3<a <3，即实数a 的取值范围是(－3，3)．12．[2017·北京模拟]某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．设该网店第一天售出但第二天未售出的商品有m 种，这三天售出的商品最少有n 种，则m ，n 分别为( )A ．18,30B ．16,28C ．17,29D ．16,29 答案 D解析设第一天售出的商品为集合A ，则A 中有19个元素，第二天售出的商品为集合B ，则B 中有13个元素，第三天售出的商品为集合C ，则C 中有18个元素．由于前两天都售出的商品有3种，则A ∩B 中有3个元素，后两天都售出的商品有4种，则B ∩C 中有4个元素，所以该网店第一天售出但第二天未售出的商品有19－3＝16种．这三天售出的商品种数最少时，第一天和第三天售出的种类重合最多，由于前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，故第一天和第三天都售出的商品可以有17种，即A ∩C 中有17个元素，如图，即这三天售出的商品最少有2＋14＋3＋1＋9＝29种．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2016·湖南郴州三模]命题“实数的平方都是正数”的否定是________________________．答案至少有一个实数的平方不是正数解析全称命题的否定一定是特称命题．“实数的平方都是正数”是全称命题，只是省略了“所有”两字．14．[2017·山西四校联考]已知命题p ：x 2－5x ＋4≤0；命题q ：13－x <1，若(綈q )∧p是真命题，则x 取值范围是________．答案 [2,3]解析若p 真，则1≤x ≤4；若q 真，则x <2或x >3.∵(綈q )∧p 为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤4，2≤x ≤3，∴2≤x ≤3.15．[2016·沧州质检]设集合S n ＝{1,2,3，…，n }，n ∈N *，若X ⊆S n 把X 的所有元素的乘积称为X 的容量(若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X 的容量为奇(偶)数，则称X 为S n 的奇(偶)子集．若n ＝4，则S n 的所有奇子集的容量之和为________．答案 7解析若n ＝4，则S n 的所有奇子集为{1}，{3}，{1,3}，故所有奇子集的容量之和为7. 16．[2016·山西质检]已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝9－x 2}，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，且M ∩N ＝∅，则b 的取值范围是________．答案 (－∞，－3)∪(32，＋∞)解析如图，y ＝9－x 2的图象是半圆，当直线y ＝x ＋b 与半圆无公共点时，截距b ＞32或b ＜－3，故b 的取值范围是(－∞，－3)∪(32，＋∞)．三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．[2016·江西宜春月考](本小题满分10分)已知集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}．(1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围； (2)若A ∪B ＝B ，求a 的取值范围．解 (1)要使A ∩B ＝∅，则需满足下列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≤5，a ≥－1，(3分)解此不等式组得－1≤a ≤2，即a 的取值范围是[－1,2]．(5分) (2)要使A ∪B ＝B ，即A 是B 的子集，(6分) 则需满足a ＋3＜－1或a ＞5，(8分) 解得a ＞5或a ＜－4，即a 的取值范围是{a |a ＞5或a ＜－4}．(10分) 18．[2016·山东烟台月考](本小题满分12分)已知p ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432≤4，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)．若綈p 是綈q 的必要非充分条件，求实数m的取值范围．解綈p ：⎝⎛⎭⎪⎫x －432＞4，解得x ＜－2或x ＞10，设A ＝{x |x ＜－2或x ＞10}，(3分)綈q ：x 2－2x ＋1－m 2＞0，解得x ＜1－m 或x ＞1＋m ，设B ＝{x |x ＜1－m 或x ＞1＋m }．(6分)因为綈p 是綈q 的必要非充分条件，所以B A (8分)即⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10(等号不同时成立)，(11分)∴m ≥9.(12分)19．[2016·龙岩月考](本小题满分12分)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－9≤0}，m ∈R .(1)若m ＝3，求A ∩B ；(2)已知命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数m 的取值范围．解 (1)由题意知，A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －3≤x ≤m ＋3}．(4分) 当m ＝3时，B ＝{x |0≤x ≤6}，∴A ∩B ＝[0,3]．(5分) (2)由q 是p 的必要条件知，A ⊆B ，(7分) 结合(1)知⎩⎪⎨⎪⎧m －3≤－1，m ＋3≥3，解得0≤m ≤2.(10分)故实数m 的取值范围是[0,2]．(12分)20．[2016·广东佛山一中模拟](本小题满分12分)已知集合A ＝{x |ax 2＋x ＋1＝0，x ∈R }，且A ∩{x |x ≥0}＝∅，求实数a 的取值范围．解当a ＝0时，A ＝{x |x ＋1＝0，x ∈R }＝{－1}，此时A ∩{x |x ≥0}＝∅；(3分) 当a ≠0时， ∵A ∩{x |x ≥0}＝∅，∴A ＝∅或关于x 的方程ax 2＋x ＋1＝0的根均为负数．(4分) ①当A ＝∅时，关于x 的方程ax 2＋x ＋1＝0无实数根， ∴Δ＝1－4a ＜0，解得a ＞14.(7分)②当关于x 的方程ax 2＋x ＋1＝0的根x 1，x 2均为负数时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1－4a ≥0，x 1＋x 2＝－1a ＜0，x 1x 2＝1a ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤14，a ＞0，即0＜a ≤14.(10分)综上所述，实数a 的取值范围为{a |a ≥0}．(12分)21．[2016·山西太原期中](本小题满分12分)已知集合A ＝{x |(x －1)(x －2a －3)＜0，a ∈R }，函数y ＝lgx －a 2＋2a －x(a ∈R )的定义域为集合B .(1)若a ＝1，求A ∩(∁R B )；(2)若a ＞－1且“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解 (1)若a ＝1，则集合A ＝{x |(x －1)·(x －5)＜0}＝(1,5)，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －32－x ＞0＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －3x －2＜0＝(2,3)，(3分) 所以∁R B ＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，(4分) 故A ∩(∁R B )＝(1,2]∪[3,5)．(5分)(2)因为a ＞－1，所以2a ＋3＞1，a 2＋2－2a ＝(a －1)2＋1＞0⇒a 2＋2＞2a ，(7分) 则集合A ＝{x |(x －1)(x －2a －3)＜0}＝(1,2a ＋3)，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －a 2＋2a －x ＞0＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －a 2＋x －2a ＜0＝(2a ，a 2＋2)．(9分) 又“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，所以B A ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥1，a 2＋2≤2a ＋3(等号不能同时取得)，解得12≤a ≤1＋ 2.(11分)故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1＋2.(12分) 22．[2016·河南洛阳月考](本小题满分12分)已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x为减函数；命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，f (x )＝x ＋1x ＞1c 恒成立．如果p ∨q 为真，p ∧q 为假，求c 的取值范围．解由p 得0＜c ＜1.(2分) 由q 得1c ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x min ＝2，又c ＞0，∴c ＞12，(4分)因为p ∨q 为真，p ∧q 为假，所以p 和q 一真一假．(6分) 即⎩⎪⎨⎪⎧0＜c ＜1，c ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧c ≥1，c ＞12，(10分)解得0＜c ≤12或c ≥1.∴c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)．(12分) 重组二函数测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·沈阳质检]下列函数中，在其定义域内是增函数且又是奇函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2|x |C ．y ＝2x－2－xD ．y ＝2x ＋2－x答案 C解析 A 虽增却非奇非偶，B 、D 是偶函数，由奇偶函数定义可知C 是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数(或y ′＝2xln 2＋2－xln 2>0)，故选C.2．[2017·河北百校联考]已知f (x )满足对∀x ∈R ，f (－x )＋f (x )＝0，且x ≥0时，f (x )＝e x＋m (m 为常数)，则f (－ln 5)的值为( )A ．4B ．－4C ．6D ．－6 答案 B解析由题设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故f (0)＝e 0＋m ＝1＋m ＝0，即m ＝－1，所以f (－ln 5)＝－f (ln 5)＝－eln 5＋1＝－5＋1＝－4，故应选B.A ．a <b <c <dB ．a <c <d <bC ．b <a <c <dD ．b <a <d <c答案 A 解析4．[2016·衡水联考]已知奇函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －43x，f x x ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 213＝( )A ．－56B.56 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12 133 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1213 －43答案 A解析因为F (x )＝－F (－x )，log 213<0，所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 213＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 213＝－F ⎝⎛⎭⎪⎫－log2135．[2016·全国卷Ⅰ]函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )答案 D解析 ∵f (x )＝y ＝2x 2－e |x |， ∴f (－x )＝2(－x )2－e |－x |＝2x 2－e |x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数．当x ＝±2时，y ＝8－e 2∈(0,1)，故排除A 、B.当x ∈[0,2]时，f (x )＝y ＝2x 2－e x， ∴f ′(x )＝4x －e x＝0有解，故函数y ＝2x 2－e |x |在[0,2]上不是单调的，故排除C ，故选D.6．[2016·浙江高考]设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关答案 B解析由于f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝1－cos2x 2＋b sin x ＋c .当b ＝0时，f (x )的最小正周期为π；当b ≠0时，f (x )的最小正周期为2π.c 的变化会引起f (x )图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B.7．[2016·江西联考]已知定义在R 上的函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，且f (x ＋1)为偶函数，则( )A ．f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 B ．f (－2)>f (2) C ．f (－1)<f (3) D ．f (－4)＝f (4)答案 B解析因为f (x ＋1)是偶函数，所以f (1＋x )＝f (1－x )，f (x )关于直线x ＝1对称，又因为f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(－∞，1]上单调递减，所以f (0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (－2)＝f (4)>f (2)，f (－1)＝f (3)，f (－4)＝f (6)>f (4)，故选B.8．[2017·河南大联考]已知函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ 2x 4＋x 2sin x ＋4x 4＋2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017＝( )A ．2017B ．2016C ．4034D ．4032 答案 D解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝2x 4＋x 2sin x ＋4x ＋2＝2＋x 2sin x x ＋2，即f (x )图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2中心对称，故f ⎝⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017＝2×2016＝4032. 9．[2016·昆明一中模拟]若关于x 的不等式9－x 2≤k (x ＋1)的解集为区间[a ，b ]，且b －a ≥2，则实数k 的取值范围为( )A ．[2，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞ C ．(0，2] D ．(－∞，2]答案 A解析令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋1)，其示意图如图，A (1,22)，若k >0，要满足y 1≤y 2，则b ＝3，此时－1<a ≤1，从而k ≥221＋1＝2；若k <0，要满足y 1≤y 2，则a ＝－3，则b ≥a＋2＝－1，从而k 值不存在，所以k ≥2，选A.10．[2016·长春质检]已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2<f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．(0，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D ．(e ，＋∞)答案 C解析由题可知函数在(－∞，＋∞)上单调递增，所求不等式等价于|f (ln x )|<f (1)，从而f (－1)<f (ln x )<f (1)，进而－1<ln x <1，所以1e<x <e ，故选C.11．[2016·全国卷Ⅱ]已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1(x i ＋y i )＝( ) A ．0 B ．m C ．2m D ．4m 答案 B解析因为f (x )＋f (－x )＝2，y ＝x ＋1x ＝1＋1x ，所以函数y ＝f (x )与y ＝x ＋1x 的图象都关于点(0,1)对称，所以∑mi ＝1x i ＝0，∑mi ＝1y i ＝m2×2＝m ，故选B. 12．[2016·湖北襄阳模拟]若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －a ，x ≥12，x ＋2－a ，x <12的三个零点为x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是( )A ．(0，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32答案 C解析令f (x )＝0，可得直线y ＝a 和函数y ＝g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x ，x ≥12，x ＋2，x <12的图象有三个交点，分别作出直线y ＝a 和函数y ＝g (x )的图象，由图象可设0<x 1<12，12<x 2<1,1<x 3<2，由a ＝x 1＋2＝x 2＋1x 2＝x 3＋1x 3，可得x 2－x 3＝x 2－x 3x 2x 3，即有x 2x 3＝1，则x 1x 2x 3＝x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.故选C. 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．[2016·河南名校联考]若函数f (x )＝x ＋a －x ＋1x为奇函数，则a ＝________.答案 12解析因为f (x )＝x ＋a －x ＋1x为奇函数，所以由f (－x )＋f (x )＝0，得2(2a －1)＝0，即a ＝12.14．[2016·天津高考]已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 解析因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，故－2<2|a －1|<2，则|a －1|<12，所以12<a <32.15．[2017·云南师大附中月考]若f (x )是定义在R 上的函数，对任意的实数x 都有：f (x ＋6)≤f (x ＋2)＋4和f (x ＋4)≥f (x ＋2)＋2，且f (1)＝1，则f (2017)＝________.答案 2017解析 ∵f (x ＋6)≥f (x ＋4)＋2≥f (x ＋2)＋4，又f (x ＋6)≤f (x ＋2)＋4，∴f (x ＋6)＝f (x ＋2)＋4，即f (x ＋4)＝f (x )＋4， ∴f (2017)＝f (1＋4×504)＝f (1)＋2016＝2017. 16．[2017·湖北重点高中联考]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x－a ，x <1，πx －3a x －2a ，x ≥1，若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12∪[3，＋∞)解析 ①若函数g (x )＝3x－a 在x <1上与x 轴有一个交点，则0<a <3，此时函数h (x )＝π(x －3a )(x －2a )在x ≥1上与x 轴有一个交点．故3a ≥1且2a <1，即13≤a <12；②若函数g (x )＝3x－a 在x <1上与x 轴无交点，则a ≤0或a ≥3，此时函数h (x )＝π(x －3a )(x －2a )在x ≥1上与x 轴有两个交点，故3a ≥1,2a ≥1，即a ≥3.综上，a 的取值范围是13≤a <12或a ≥3.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．[2017·江西玉山月考](本小题满分10分)已知函数f (x )＝log a (1＋x )－log a (1－x )，其中a >0且a ≠1.(1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝2，求使f (x )>0成立的x 的集合．解 (1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x >0，解得－1<x <1，即函数f (x )的定义域为(－1,1)．(2分) ∵f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(5分)(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝2，∴log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋35－log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝log a 4＝2，解得a ＝2，(7分)∴f (x )＝log 2(1＋x )－log 2(1－x )，若f (x )>0，则log 2(x ＋1)>log 2(1－x )， ∴x ＋1>1－x >0，解得0<x <1，(9分) 故不等式的解集为(0,1)．(10分)18．[2016·青海师大附中测试](本小题满分12分)已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (2)＝1.(1)求证：f (8)＝3；(2)求不等式f (x )－f (x －2)＞3的解集．解 (1)证明：由题意可得f (8)＝f (4×2)＝f (4)＋f (2)＝f (2×2)＋f (2)＝3f (2)＝3.(4分)(2)原不等式可化为f (x )＞f (x －2)＋3＝f (x －2)＋f (8)＝f (8x －16)，(6分) ∵f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧8x －16＞0，x ＞8x －16.(10分)解得2＜x ＜167.(12分)19．[2016·福建三校联考](本小题满分12分)对于季节性服装的销售，当旺季来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后旺季过去，平均每周减价2元，直到16周后，该服装不再销售．(1)试建立价格p 与周数t 之间的函数关系式；(2)若此服装每周进货一次，每件进价Q 与周数t 之间的关系为Q ＝－0.125(t －8)2＋12，t ∈[0,16]，t ∈N ，试问该服装第几周每件销售利润最大？最大值是多少？解 (1)p ＝⎩⎪⎨⎪⎧10＋2t ，t ∈[0，5]，t ∈N ，20，t ∈，10]，t ∈N ，40－2t ，t ∈10，16]，t ∈N . 分(2)设第t 周时每件销售利润为L (t )，则L (t )＝p －Q ，即 L (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧10＋2t ＋t －2－12，t ∈[0，5]，t ∈N ，20＋t －2－12，t ∈，10]，t ∈N ，40－2t ＋t －2－12，t ∈，16]，t ∈N＝⎩⎪⎨⎪⎧0.125t 2＋6，t ∈[0，5]，t ∈N ，0.12t －2＋8，t ∈，10]，t ∈N ，0.125t 2－4t ＋36，t ∈，16]，t ∈N . 分当t ∈[0,5]，t ∈N 时，L (t )单调递增，L (t )max ＝L (5)＝9.125；当t ∈(5,10]，t ∈N 时，L (t )max ＝L (6)＝L (10)＝8.5；当t ∈(10,16]，t ∈N 时，L (t )单调递减，L (t )max ＝L (11)＝7.125.(10分) 由9.125>8.5>7.125，知L (t )max ＝9.125.所以第5周每件销售利润最大，最大值为9.125元．(12分)20．[2016·江苏徐州模拟](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过点(－1,0)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的解析式； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围；(3)若F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ＞0，－f x ，x ＜0，当mn ＜0，m ＋n ＞0，a ＞0，且函数f (x )为偶函数时，试判断F (m )＋F (n )能否大于0?解 (1)因为f (－1)＝0，所以a －b ＋1＝0.因为方程f (x )＝0有且只有一个根，且a ≠0，所以Δ＝b 2－4a ＝0，(2分) 所以b 2－4(b －1)＝0，得b ＝2，则a ＝1. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.(4分)(2)因为g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k －222＋1－k －24.所以当k －22≥2或k －22≤－2，(6分)即k ≥6或k ≤－2时，g (x )是单调函数．即实数k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．(8分) (3)F (m )＋F (n )＞0.因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以b ＝0，则f (x )＝ax 2＋1.(9分)所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1，x ＞0，－ax 2－1，x ＜0.因为mn ＜0，不妨设m ＞0，所以n ＜0，又因为m ＋n ＞0，所以m ＞－n ＞0，所以|m |＞|－n |.此时F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋1－an 2－1＝a (m 2－n 2)＞0，所以F (m )＋F (n )＞0.(12分)21．[2017·辽宁六校模拟](本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ＋x ＋ax2为偶函数．(1)求实数a 的值；(2)记集合E ＝{y |y ＝f (x )，x ∈{－1,1,2}}，λ＝lg 22＋lg 2·lg 5＋lg 5－14，判断λ与E 的关系；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m ，1n (m >0，n >0)时，若函数f (x )的值域为[2－3m,2－3n ]，求m ，n 的值．解 (1)∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )，即x ＋x ＋ax2＝－x ＋－x ＋ax2，即2(a ＋1)x ＝0，x ∈R 且x ≠0，∴a ＝－1.(4分)(2)由(1)可知，f (x )＝x 2－1x2，当x ＝±1时，f (x )＝0；当x ＝2时，f (x )＝34.∴E ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，34，(6分)而λ＝lg 22＋lg 2·lg 5＋lg 5－14＝lg 22＋lg 2(1－lg 2)＋1－lg 2－14＝34，∴λ∈E .(8分)(3)∵f (x )＝x 2－1x 2＝1－1x 2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m ，1n ， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m ，1n 上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＝2－3m ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＝2－3n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m 2＝2－3m ，1－n 2＝2－3n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋1＝0，n 2－3n ＋1＝0，(10分)∴m ，n 是方程x 2－3x ＋1＝0的两个根，又由题意可知1m <1n，且m >0，n >0，∴m >n .∴m ＝3＋52，n ＝3－52.(12分)22．[2016·宁波十校联考](本小题满分12分)对于函数f (x )，若存在区间A ＝[m ，n ](m <n )，使得{y |y ＝f (x )，x ∈A }＝A ，则称函数f (x )为“可等域函数”，区间A 为函数f (x )的一个“可等域区间”．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b (a ，b ∈R )．(1)若b ＝0，a ＝1，g (x )＝|f (x )|是“可等域函数”，求函数g (x )的“可等域区间”； (2)若区间[1，a ＋1]为f (x )的“可等域区间”，求a 、b 的值．解 (1) b ＝0，a ＝1，g (x )＝|x 2－2x |是“可等域函数”， ∵g (x )＝|x 2－2x |＝|(x －1)2－1|≥0，∴n >m ≥0，结合图象，由g (x )＝x ，得x ＝0,1,3，(2分) 函数g (x )的“可等域区间”为[0,1]，[0,3]，(4分) 当1≤m ≤n ≤2时，g (x )≤1，不符合要求．(5分) (2)f (x )＝x 2－2ax ＋b ＝(x －a )2＋b －a 2，因为区间[1，a ＋1]为f (x )的“可等域区间”，所以a ＋1>1，即a >0.(6分) 当0<a ≤1时，则⎩⎪⎨⎪⎧f ＝1，fa ＋＝a ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2；(8分)当1<a ≤2时，则⎩⎪⎨⎪⎧fa ＝1，fa ＋＝a ＋1无解；(10分)当a >2时，则⎩⎪⎨⎪⎧fa ＝1，f＝a ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3＋52，b ＝9＋352. (12分)重组三导数及其应用测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·安庆二模]给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝3x ＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0，f (x 0))，则点M ( )A ．在直线y ＝－3x 上B ．在直线y ＝3x 上C ．在直线y ＝－4x 上D ．在直线y ＝4x 上答案 B解析 f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ＝0,4sin x 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝3x 0，故M (x 0，f (x 0))在直线y ＝3x 上．2．[2017·湖南郴州质检]已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对于任意实数x 有f (x )>f ′(x )，且y ＝f (x )－1为奇函数，则不等式f (x )<e x的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞) C．(－∞，e 4) D ．(e 4，＋∞) 答案 B解析取特殊函数f (x )＝1刚好符合已知条件，故f (x )<e x⇒1<e x⇒x >0，故选B.3．[2017·衡水中学三调]已知函数g (x )＝a －x 2( 1e≤x ≤e，e 是自然对数的底数 )与h (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1e 2＋2 B ．[1，e 2－2] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2＋2，e 2－2 D ．[e 2－2，＋∞)答案 B解析由已知得，方程a －x 2＝－2ln x ，即－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解．设f (x )＝2ln x －x 2，则f ′(x )＝2x －2x ＝－x＋xx.因为1e≤x ≤e，所以函数f (x )在x ＝1处有唯一的极值点且为极大值点．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－2－1e 2，f (e)＝2－e 2，f (x )极大值＝f (1)＝－1，又f (e)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，所以方程－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解，等价于2－e 2≤－a ≤－1，所以实数a 的取值范围是[1，e 2－2]，故选B.4．[2017·江西抚州联考]已知函数f (x )与f ′(x )的图象如图所示，则函数g (x )＝f xex的递减区间为( )A ．(0,4)B ．(－∞，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43 D ．(0,1)，(4，＋∞)答案 D 解析 g ′(x )＝f xx－f xxx2＝f x －f xex，令g ′(x )<0，即f ′(x )－f (x )<0，由图可得x ∈(0,1)∪(4，＋∞)，故函数单调递减区间为(0,1)，(4，＋∞)，故选D.5．[2017·湖北联考]已知函数f (x )＝ax 2－4ax －ln x ，则f (x )在(1,3)上不单调的一个充分不必要条件是( )A ．a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，16B ．a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C ．a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，16D ．a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 D解析 f ′(x )＝2ax －4a －1x ，f (x )在(1,3)上不单调，则f ′(x )＝2ax －4a －1x＝0在(1,3)上有解，此方程可化为2ax 2－4ax －1＝0，x 1＋x 2＝2，因此方程的两解不可能都大于1，从而它在(1,3)上只有一解，充要条件是(2a －4a －1)(18a －12a －1)<0，a <－12或a >16，因此D 是要求的一个充分不必要条件．故选D.6．[2017·沧州模拟]函数f (x )＝(cos x )·ln |x |的大致图象是( )答案 B解析因为f (x )＝(cos x )·ln |x |，所以f (x )的定义域为{x |x ≠0}，又f (－x )＝cos(－x )·ln|－x |＝(cos x )·ln |x |＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除C 、D ；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π6·ln π6<0，排除A ，故选B.7．[2016·云南师大附中模拟]已知函数f (x )＝|x |ex (x ∈R )，若关于x 的方程f (x )－m ＋1＝0恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2e 2e ＋1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2e 2e C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1e ＋1 D.⎝⎛⎭⎪⎫2e 2e ，1 答案 A解析当x ≤0时，f (x )＝－x e x 为减函数，f (x )min ＝f (0)＝0；当x >0时，f (x )＝x ex ，f ′(x )＝1－2x2x ex，则x >12时，f ′(x )<0,0<x <12时，f ′(x )>0，即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上递减，f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2e 2e .其大致图象如图所示，若关于x 的方程f (x )－m ＋1＝0恰好有3个不相等的实数根，则0<m －1<2e 2e ，即1<m <1＋2e 2e，故选A.8．[2016·四川高考]设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0<x <1，ln x ，x >1图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0，＋∞) D．(1，＋∞) 答案 A解析不妨设P 1(x 1，ln x 1)，P 2(x 2，－ln x 2)(0<x 2<1<x 1)，由于l 1⊥l 2，所以1x 1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＝－1，则x 1＝1x 2.又切线l 1：y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，l 2：y ＋ln x 2＝－1x 2(x －x 2)，于是A (0，ln x 1－1)，B (0,1＋ln x 1)，所以|AB |＝2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y －ln x 1＝1x1x －x 1，y ＋ln x 2＝－1x2x －x 2，解得x P ＝2x 1＋1x 1.所以S △PAB ＝12×2×x P ＝2x 1＋1x 1，因为x 1>1，所以x 1＋1x 1>2，所以S △PAB 的取值范围是(0,1)，故选A.9．[2016·湖南七校联考]若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ln x －x 2－x ，x ＋1x＋a x的最大值为f (－1)，则实数a 的取值范围为( ) A ．[0,2e 2] B ．[0,2e 3] C ．(0,2e 2] D ．(0,2e 3] 答案 B解析当x <0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1－x ＋a ≤f (－1)＝a －2；若a <0时，f (x )＝a ln x －x 2－2在区间(0，＋∞)上为减函数，且当x →0时，f (x )→＋∞；当a ＝0时，f (x )＝－x 2－2≤－2恒成立；当a >0时，f ′(x )＝a x －2x ＝a －2x 2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 2x，即函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，a 2上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞上单调递减，则需f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2≤f (－1)，即a lna 2－a2－2≤a －2，即a lna 2≤32a ，即ln a2≤3，解得0<a ≤2e 3，综上所述，实数a 的取值范围为[0,2e 3]，故选B.10．[2017·云南、四川、贵州联考]若存在两个正实数x ，y ，使得等式x 3e yx－ay 3＝0成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 28，＋∞ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e 327C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 327，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e 28答案 C解析由题意知a ＝e y x⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 3，设y x ＝t (t >0)，则a ＝e t t 3，令f (t )＝e t t 3，则f ′(t )＝e tt －t 4，当t >3时，f ′(t )>0，当0<t <3时，f ′(t )<0，所以f (t )min ＝f (3)＝e 327，∴a ≥e327.11．[2016·山东高考]若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3答案 A解析设函数y ＝f (x )的图象上两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则由导数的几何意义可知，点P ，Q 处切线的斜率分别为k 1＝f ′(x 1)，k 2＝f ′(x 2)，若函数具有T 性质，则k 1·k 2＝f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A 选项，f ′(x )＝cos x ，显然k 1·k 2＝cos x 1·cos x 2＝－1有无数组解，所以该函数具有T 性质；对于B 选项，f ′(x )＝1x (x >0)，显然k 1·k 2＝1x 1·1x 2＝－1无解，故该函数不具有T 性质；对于C 选项，f ′(x )＝e x >0，显然k 1·k 2＝e x 1·e x2＝－1无解，故该函数不具有T 性质；对于D 选项，f ′(x )＝3x 2≥0，显然k 1·k 2＝3x 21·3x 22＝－1无解，故该函数不具有T 性质．故选A.12．[2017·河北百校联考]已知方程|ln x |＝kx ＋1在(0，e 3)上有三个不等实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2e 3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3e 3，2e 2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 3，1e 2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2e 3，1e 2答案 C解析画出方程所代表的函数的图象，设过定点M (0,1)的直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝ln x 相切的切点为P (t ，ln t )，则由题设可得1t ＝ln t －1t，解之得ln t ＝2，即t ＝e 2，故P (e 2,2)，此时k ＝1e 2；当动直线经过点A (e 3,3)时，此时k ＝2e 3，结合图象可知当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 3，1e 2时，两函数y ＝ln x 与y ＝kx ＋1有三个不同的交点，即方程有三个不同的实数根，故应选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2016·沈阳质检]函数f (x )＝2x －ln x 的单调递增区间是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞(写成⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞也给分) 解析函数f (x )＝2x －ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2－1x ≥0，即x ≥12，所以函数f (x )＝2x －ln x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.14．[2016·长春质检]设函数f (x )＝1－e x的图象与x 轴的交点为P ，则曲线在点P 处的切线方程为________．答案 y ＝－x解析由题意P (0,0)，f ′(x )＝－e x，f ′(0)＝－1，从而曲线在点P 处的切线方程为y ＝－x .15．[2016·北京高考改编]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a .若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)解析函数y ＝x 3－3x 与y ＝－2x 的大致图象如图所示，若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a无最大值，由图象可知－2a >2，解得a <－1.16．[2016·湖南七校联考]若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14x 2(x 2＋ax ＋b )的图象关于直线x ＝－1对称，则f (x )的最大值为________．答案 4解析因为函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，所以f (0)＝f (－2)，f (1)＝f (－3)，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－14－2－2－2a ＋b ]，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋a ＋b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－14－2－2－3a ＋b ]，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝0，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14x 2(x 2＋4x )＝－14x 4－x 3＋x 2＋4x ，则f ′(x )＝－x 3－3x 2＋2x ＋4＝－(x ＋1)(x2＋2x －4)．令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝－1±5，易知函数f (x )在x ＝－1±5处取得极大值，又f (－1＋5)＝f (－1－5)＝4，所以f (x )max ＝4.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．[2017·银川调研](本小题满分10分)如图是函数f (x )＝a3x 3－2x 2＋3a 2x 的导函数y＝f ′(x )的简图，它与x 轴的交点是(1,0)和(3,0)．(1)求函数f (x )的极小值点和单调递减区间； (2)求实数a 的值．解 (1)由图象可知：当x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，1)上为增函数；当1<x <3时，f ′(x )<0，f (x )在(1,3)上为减函数；当x >3时，f ′(x )>0，f (x )在(3，＋∞)上为增函数．∴x ＝3是函数f (x )的极小值点，函数f (x )的单调减区间是(1,3)．(5分) (2)f ′(x )＝ax 2－4x ＋3a 2，由图知a >0，且⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －4＋3a 2＝0，9a －12＋3a 2＝0，∴a ＝1.(10分)18．[2016·西安八校联考](本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x 3－6x 2＋3x ＋t )e x，t ∈R .(1)若函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为4x －y ＋1＝0，则求t 的值； (2)若函数y ＝f (x )有三个不同的极值点，求t 的取值范围．解 (1)函数f (x )＝(x 3－6x 2＋3x ＋t )e x，则f ′(x )＝(x 3－3x 2－9x ＋3＋t )e x，(2分)函数f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为f ′(0)＝3＋t ，由题意可得，3＋t ＝4，解得t ＝1.(4分) (2)f ′(x )＝(x 3－3x 2－9x ＋3＋t )e x，(5分)令g (x )＝x 3－3x 2－9x ＋3＋t ，则方程g (x )＝0有三个不同的根，(6分) 又g ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)，令g ′(x )＝0，得x ＝－1或3，且g (x )在区间(－∞，－1)，(3，＋∞)递增，在区间(－1,3)递减，(8分)故问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧g －，g ，即有⎩⎪⎨⎪⎧t ＋8>0，t －24<0，解得－8<t <24.(12分)19．[2017·河北石家庄联考](本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x－ax ，a >0. (1)记f (x )的极小值为g (a )，求g (a )的最大值；(2)若对任意实数x 恒有f (x )≥0，求a 的取值范围．解 (1)函数f (x )的定义域是(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x－a ，令f ′(x )>0，得x >ln a ，所以f (x )的单调递增区间是(ln a ，＋∞)；令f ′(x )<0，得x <ln a ，所以f (x )的单调递减区间是(－∞，ln a )，函数f (x )在x ＝ln a 处取极小值，g (a )＝f (x )极小值＝f (ln a )＝e ln a －a ln a ＝a －a ln a ．(3分) g ′(a )＝1－(1＋ln a )＝－ln a ，当0<a <1时，g ′(a )>0，g (a )在(0,1)上单调递增；当a >1时，g ′(a )<0，g (a )在(1，＋∞)上单调递减，所以a ＝1是函数g (a )在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，所以g (a )max ＝g (1)＝1.(6分)(2)当x ≤0时，a >0，e x－ax ≥0恒成立，(7分) 当x >0时，f (x )≥0，即e x－ax ≥0，即a ≤exx.(8分)令h (x )＝e x x ，x ∈(0，＋∞)，h ′(x )＝e x x －e x x2＝exx －x 2，当0<x <1时，h ′(x )<0，当x >1时，h ′(x )>0，故h (x )的最小值为h (1)＝e ，所以a ≤e，故实数a 的取值范围是(0，e]．(12分)20．[2016·广西三市调研](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax ＋x ln x (a ∈R )． (1)若函数f (x )在区间[e ，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围；(2)当a ＝1且k ∈Z 时，不等式k (x －1)<f (x )在x ∈(1，＋∞)上恒成立，求k 的最大值．解 (1)f ′(x )＝a ＋ln x ＋1，(1分)由题意知f ′(x )≥0在[e ，＋∞)上恒成立，(2分) 即ln x ＋a ＋1≥0在[e ，＋∞)上恒成立，即a ≥－(ln x ＋1)在[e ，＋∞)上恒成立，(3分)而[－(ln x ＋1)]max ＝－(ln e ＋1)＝－2，∴a ≥－2.(4分) (2)f (x )＝x ＋x ln x ，k <f xx －1，即k <x ＋x ln xx －1对任意x >1恒成立．(5分) 令g (x )＝x ＋x ln x x －1，则g ′(x )＝x －ln x －2x －2.(6分) 令h (x )＝x －ln x －2(x >1)，则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x>0，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．(7分) ∵h (3)＝1－ln 3<0，h (4)＝2－2ln 2>0， ∴存在x 0∈(3,4)使h (x 0)＝0.即当1<x <x 0时，h (x )<0，即g ′(x )<0，(8分) 当x >x 0时，h (x )>0，即g ′(x )>0.∴g (x )在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增．(9分) 由h (x 0)＝x 0－ln x 0－2＝0，得ln x 0＝x 0－2，g (x )min ＝g (x 0)＝x 0＋ln x 0x 0－1＝x 0＋x 0－x 0－1＝x 0∈(3,4)，(11分)∴k <g (x )min ＝x 0且k ∈Z ，即k max ＝3.(12分)21．[2017·江苏模拟](本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋1x－bx ＋1.(1)若2a －b ＝4，则当a >2时，讨论f (x )的单调性；(2)若b ＝－1，F (x )＝f (x )－5x，且当a ≥－4时，不等式F (x )≥2在区间[1,4]上有解，求实数a 的取值范围．解 (1)由2a －b ＝4，得f (x )＝a ln x ＋1x＋(4－2a )x ＋1，所以f ′(x )＝a x －1x2＋(4－2a )＝－2a x 2＋ax －1x 2＝－ax ＋x －x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝12，x 2＝1a －2.(2分)当a ＝4时，f ′(x )≤0，函数f (x )在定义域(0，＋∞)内单调递减；当2<a <4时，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －2，＋∞上，f ′(x )<0，f (x )单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1a －2上，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当a >4时，在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，1a －2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上，f ′(x )<0，f (x )单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －2，12上，f ′(x )>0，f (x )单调递增．(6分)(2)由题意知，当a ≥－4时，F (x )在[1,4]上的最大值M ≥2.(7分) 当b ＝－1时，F (x )＝f (x )－5x ＝x －4x＋a ln x ＋1，则F ′(x )＝x 2＋ax ＋4x 2(1≤x ≤4)．(8分)①当－4≤a ≤4时，F ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋4－a 24x 2≥0，故F (x )在[1,4]上单调递增，M ＝F (4)．(9分)②当a >4时，设x 2＋ax ＋4＝0(Δ＝a 2－16>0)的两根分别为x 1，x 2，。

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(15 概率、统计、统计案例、推理与证明)

【配套K12】2018年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷重组十五概率与统计试题文

重组十五概率与统计测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·济南教学调研]某校高一、高二、高三年级学生人数分别是400,320,280.采用分层抽样的方法抽取50人，参加学校举行的社会主义核心价值观知识竞赛，则样本中高三年级的人数是( )A ．20B ．16C ．15D ．14答案 D解析高三年级的人数是280400＋320＋280×50＝14(人)．故答案为D.2．[2017·吉林长春质检]我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约( )A ．164石B ．178石C ．189石D ．196石答案 C解析由已知，抽得样本中含谷27粒，占样本的比例为27216＝18，则由此估计总体中谷的含量约为1512×18＝189(石)．故选C.3．[2016·河北重点中学联考]以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,5 B ．5,5 C ．5,8 D ．8,8答案 C解析 ∵甲组数据的中位数为15， ∴x ＝5，乙组数据的平均数为16.8，∴9＋15＋10＋y ＋18＋245＝16.8，∴y ＝8，选C.4．[2017·吉林师大附中月考]观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x ，y 之间关系最强的是( )答案 D解析在频率等高条形图中，aa ＋b 与cc ＋d相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，在四个选项中(等高的条形图)中，若x 1，x 2所占比例相差越大，则分类变量x ，y 关系越强，故选D.5．[2016·山东中学模拟]下列叙述错误的是( ) A ．若事件A 发生的概率为P (A )，则0≤P (A )≤1B ．系统抽样是不放回抽样，每个个体被抽到的可能性相等C ．线性回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过点(x －，y －)D ．对于任意两个事件A 和B ，都有P (A ∪B )＝P (A )＋P (B ) 答案 D解析对于A ，根据概率的定义可得，若事件A 发生的概率为P (A )，则0≤P (A )≤1，故A 正确；对于B ，根据系统抽样的定义得，系统抽样是不放回抽样，每个个体被抽到的可能性相等，故B 正确；对于C ，线性回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过点(x －，y －)，故C 正确；对于D ，对于任意两个事件A 和B ，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )，只有当事件A 和B 是互斥事件时，才有P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，故D 不正确．故选D.6．[2016·全国卷Ⅰ]某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34答案 B解析由题意得图：由图得等车时间不超过10分钟的概率为12.7．[2017·湖南师大附中月考]为了考察某种病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：附表：参照附表，可得出A ．有95%以上的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关” B ．有95%以上的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关” C ．有99.5%以上的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关” D ．有99.5%以上的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关” 答案 A 解析 K 2＝－230×70×50×50≈4.762>3.841，所以有95%以上的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”．8．[2016·全国卷Ⅲ]小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.115D.130答案 C解析开机密码的可能有(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是115，故选C.9．[2017·湖南六校联考]欧拉是科学史上一位多产的、杰出的数学家！他1707年出生在瑞士的巴塞尔城，渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都令人惊叹不已．特别是，他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，即使在他双目失明以后，也没有停止对数学的研究。

[推荐学习]2018年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷重组十二大题冲关__立体几何的综合问题

重组十二大题冲关——立体几何的综合问题测试时间：120分钟满分：150分解答题(本题共8小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 1．[2017·安徽皖江联考](本小题满分15分)如图1，已知矩形ABCD 中，点E 是边BC 上的点，DE 与AC 相交于点H ，且CE ＝1，AB ＝3，BC ＝3，现将△ACD 沿AC 折起，如图2，点D 的位置记为D ′，此时ED ′＝102.(1)求证：D ′H ⊥AE ；(2)求三棱锥B －AED ′的体积．解 (1)证明：在矩形ABCD 中，∵CE ＝1，AB ＝3，BC ＝3，∴tan ∠EDC ＝CE CD ＝33，tan ∠ACB ＝AB BC ＝33， ∴∠EDC ＝∠ACB .∵∠DCA ＋∠ACB ＝π2，∴∠EDC ＋∠DCA ＝π2，∴∠DHC ＝π2，∴AC ⊥DE ，∴D ′H ⊥AC .(4分)又△CHE ∽△AHD ，且CE ∶AD ＝1∶3， ∴D ′H ＝DH ＝34DE ＝32，HE ＝14DE ＝12.(7分)∵ED ′＝102，∴D ′H 2＋HE 2＝D ′E 2，∴D ′H ⊥HE . ∵直线AC 与HE 是平面ABC 内的两条相交直线，∴D ′H ⊥平面ABC ，又AE ⊂平面ABC ，∴D ′H ⊥AE .(10分) (2)由(1)知D ′H ⊥平面ABC ，又V B －AED ′＝V D ′－ABE ，V D ′－ABE ＝13S △ABE ×D ′H ＝13×12×2×3×32＝32， ∴V B －AED ′＝32.(15分)2．[2017·南昌检测](本小题满分15分)已知四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为a 的菱形，∠BAD ＝120°，PA ＝b .(1)求证：平面PBD ⊥平面PAC ；(2)设AC 与BD 交于点O ，M 为OC 的中点，若点M 到平面POD 的距离为14b ，求a ∶b 的值．解 (1)证明：(2)因为V M －POD ＝V P －OMD ，在Rt △OMD 中，有S △OMD ＝12×14a ×32a ＝316a 2.(8分)在Rt △POD 中，有OD ＝32a ，PO ＝b 2＋14a 2⇒S △POD ＝12×32a ×b 2＋14a 2.(11分)所以13×a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2＋34a 24×14b ＝13×316a 2×b ⇒3a 2＝4b 2，(13分) 即a ∶b ＝2∶ 3.(15分)3．[2017·沈阳质检](本小题满分20分)如图，在边长为3的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°.PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝3.E 为PD 的中点，F 在棱PA 上，且AF ＝1.(1)求证：CE ∥平面BDF ； (2)求点P 到平面BDF 的距离．解 (1)证明：如图所示，取PF 的中点G ，连接EG ，CG .连接AC 交BD 于O ，连接FO . 由题可得F 为AG 的中点，O 为AC 的中点，∴FO ∥GC ， ∵FO ⊄平面GEC ，GC ⊂平面GEC ， ∴FO ∥平面GEC .又G 为PF 的中点，E 为PD 的中点，∴GE ∥FD . ∵FD ⊄平面GEC ，GE ⊂平面GEC ， ∴FD ∥平面GEC ，又∵FO ∩FD ＝F ， ∴平面GEC ∥平面BDF .∵CE ⊂平面GEC ，∴CE ∥平面BDF .(9分) (2)∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA 是三棱锥P －ABD 的高，又S △ABD ＝12×3×3×32＝934，∴V P －ABD ＝13×S △ABD ×PA ＝934，同理V F －ABD ＝13×S △ABD ×FA ＝334，∴V P －BDF ＝V P －ABD －V F －ABD ＝332.∵S △BDF ＝12×BD ×DF 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫BD 22＝12×33×32＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫3322＝3394，(16分)设点P 到平面BDF 的距离为h ，则V P －BDF ＝13S △BDF h ＝332，∴13×3394h ＝332，解得h ＝61313，即点P 到平面BDF 的距离为61313.(20分)4．[2017·石家庄二中调研](本小题满分20分)如图所示，四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，O 为AC ，BD 的交点，且PO ⊥平面ABCD ，PO ＝6，点M 为侧棱PD 上一点，且满足PD ⊥平面ACM .(1)若在棱PD 上存在一点N ，且BN ∥平面AMC ，确定点N 的位置，并说明理由； (2)求点B 到平面MCD 的距离．解 (1)当点N 为PM 的中点时，BN ∥平面AMC .理由如下： △ACD 中可得OD ＝3，OC ＝1， ∵PO ⊥面ABCD ，∴PO ⊥OC ，PO ⊥OD . Rt △POC 中，PO ＝6，OC ＝1，∴PC ＝7，同理可得，PD ＝3.△PCD 中，由余弦定理可得cos ∠CDP ＝12，∴∠CDP ＝π3，Rt △CDM 中，DM ＝1，∴M 为边PD 的三等分点．(6分) ∵N 为PM 的中点，且M 为边PD 的三等分点，∴MO 为△BND 的中位线， ∴MO ∥BN ，MO ⊂面AMC ，BN ⊄面AMC ， ∴BN ∥面AMC .(10分)(2)∵PO ⊥面ABCD ，M 为边PD 的三等分点，∴M 到平面ABCD 的距离＝PO 3＝63，(14分)S △BCD ＝3，V M －BCD ＝13×3×63＝23＝V B －MCD .(18分) 又∵S △MCD ＝12CM ×DM ＝32，∴B 到面MCD 的距离为263.(20分)5．[2017·河北百校联盟联考](本小题满分20分)在如图所示的三棱锥ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是BC ，A 1B 1的中点．(1)求证：DE ∥平面ACC 1A 1；(2)若△ABC 为正三角形，且AB ＝AA 1，M 为AB 上的一点，AM ＝14AB ，求直线DE 与直线A 1M所成角的正切值．解 (1)证明：取AB 的中点F ，连接DF ，EF ，(2分) 在△ABC 中，因为D ，F 分别为BC ，AB 的中点，所以DF ∥AC ，DF ⊄平面ACC 1A 1，AC ⊂平面ACC 1A 1，所以DF ∥平面ACC 1A 1.(4分)在矩形ABB 1A 1中，因为E ，F 分别为A 1B 1，AB 的中点，所以EF ∥AA 1，EF ⊄平面ACC 1A 1，AA 1⊂平面ACC 1A 1，所以EF ∥平面ACC 1A 1.(6分) 因为DF ∩EF ＝F ，所以平面DEF ∥平面ACC 1A 1.(8分) 因为DE ⊂平面DEF ，所以DE ∥平面ACC 1A 1.(10分)(2)因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，所以平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，连接CF ，因为△ABC 为正三角形，F 为AB 中点，所以CF ⊥AB ，所以CF ⊥平面ABB 1A 1. 取BF 的中点G ，连接DG ，EG ，可得DG ∥CF ，故DG ⊥平面ABB 1A 1. 又因为AM ＝14AB ，所以EG ∥A 1M ，所以∠DEG 即为直线DE 与直线A 1M 所成角．(16分)设AB ＝4，在Rt △DEG 中，DG ＝12CF ＝3，EG ＝16＋1＝17，所以tan ∠DEG ＝317＝5117.(20分) 6．[2017·湖北武汉质检](本小题满分20分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝ 60°，AB ＝AD ＝2CD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，且△PAD 为等腰直角三角形，∠APD ＝90°，M 为AP 的中点．(1)试问：直线DM 与平面PCB 是否有公共点？并说明理由； (2)若CD ＝1，求三棱锥B －CDM 的体积．解 (1)直线DM 与平面PCB 没有公共点．证明如下：取PB 的中点F ，连接MF ，CF ，如图．∵M ，F 分别为PA ，PB 的中点， ∴MF ∥AB ，且MF ＝12AB .(3分)∵四边形ABCD 是直角梯形，AB ∥CD 且AB ＝2CD ， ∴MF ∥CD 且MF ＝CD ， ∴四边形CDMF 是平行四边形， ∴DM ∥CF .∵CF ⊂平面PCB ，DM ⊄平面PCB ，∴DM ∥平面PCB ，即直线DM 与平面PCB 没有公共点. (10分)(2)由AB ＝AD ＝2CD ，CD ＝1，得AB ＝AD ＝2. 又底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝ 60°，可知BC ⊥CD 且BD ＝2，得BC ＝BD cos30°＝3，从而S △BCD ＝12·CD ·BC ＝12×1×3＝32. (14分)又△PAD 为等腰直角三角形，∠APD ＝ 90°且AD ＝2，作PG ⊥AD ，垂足为G ，则PG ＝1. ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，∴PG ⊥平面ABCD . (16分) 又M 为PA 的中点，故V B －CDM ＝V M －BCD ＝13·S △BCD ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12PG ＝13×32×12＝312. (20分)7．[2017·吉林质检](本小题满分20分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB 、AC 、AA 1三条棱两两互相垂直，且AB ＝AC ＝AA 1＝2，E 、F 分别是BC 、BB 1的中点．(1)求证：C 1E ⊥平面AEF ； (2)求F 到平面AEC 1的距离．解 (1)证明：连接FC 1、AC 1，由已知可得BC ＝22，CC 1＝2，C 1E ＝6，AE ＝2，AC 1＝22，EF ＝3，FC 1＝3，(2分)∴FC 21＝EF 2＋EC 21，AC 21＝AE 2＋EC 21，(5分) ∴EF ⊥EC 1，AE ⊥EC 1，(6分)又∵EF 、AE ⊂面AEF ，EF ∩AE ＝E ，(8分) 故C 1E ⊥平面AEF .(10分)(2)解法一：由已知得AF ＝5，∴AF 2＝EF 2＋AE 2， ∴EF ⊥AE .(12分)由(1)知C 1E ⊥平面AEF ，则C 1E 为三棱锥C 1－AEF 的高，设点F 到平面AEC 1的距离为d ，由等体积法V F －AEC 1＝V C 1－FAE ，(14分)∴13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×AE ×C 1E ×d ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×AE ×EF ×C 1E ，(16分)∴13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×6×d ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×3×6，(18分) ∴d ＝3，即F 到平面AEC 1的距离为 3.(20分)解法二：C 1E ＝6，AE ＝2，AF ＝5，EF ＝3，FC 1＝3，(12分) ∴EF 2＋AE 2＝(3)2＋(2)2＝(5)2＝AF 2，∴EF ⊥AE ，(14分) ∴EF 2＋C 1E 2＝(3)2＋(6)2＝32＝C 1F 2，∴EF ⊥C 1E .(16分)又∵C 1E 、AE ⊂面AEC 1，C 1E ∩AE ＝E ，∴EF ⊥面AEC 1， ∴EF 即为点F 到面AEC 1的距离，(18分)EF ＝3，即F 到平面AEC 1的距离为 3.(20分)8．[2017·江西师大模拟](本小题满分20分)如图1所示，在矩形ABCD 中，AB ＝45，AD ＝25，BD 是对角线，过A 点作AE ⊥BD ，垂足为O ，交CD 于E ，以AE 为折痕将△ADE 向上折起，使点D 到达点P 的位置(图2)，且PB ＝217.(1)求证：PO ⊥平面ABCE ；(2)过点C 作一平面与平面PAE 平行，作出这个平面，写出作图过程； (3)在(2)的结论下，求出四棱锥P －ABCE 介于这两平行平面间部分的体积．解 (1)证明：在图1中，AB ＝45，AD ＝25，则BD ＝10，又AD 2＝DO ·BD ⇒DO ＝2，OB ＝8.在图2中，PO ＝DO ＝2，PO 2＋OB 2＝22＋82＝68＝PB 2，则PO ⊥OB ，又因为PO ⊥AE ，AE ∩OB ＝O ，所以PO ⊥平面ABCE .(7分)(2)过点C 作AE 的平行线交AB 于点F ，过点F 作PA 的平行线交PB 于点G ，连接CG ，则平面CFG 为所求的平面．(11分)(3)在图1中，△DOE ∽△DCB ⇒DE ＝5，则 S △ADE ＝5，S 梯形ABCE ＝S ABCD －S △ADE ＝35，S △BCF ＝S △ADE ＝5，设CF 交OB 于H ，连接GH ，则GH PO＝BH OB ⇒GH ＝12，(15分) 所求的几何体的体积V ＝V P －ABCE －V G －BCF ＝13S 梯形ABCE ·PO －13S △BCF ·GH＝13×35×2－13×5×12＝1356＝452.(20分)。

2018年高考科学复习解决方案理科数学真题与模拟单元重组卷习题重组十五计数原理、概率与统计含答案精品

重组十五计数原理、概率与统计测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．某校高一、高二、高三年级学生人数分别是400,320,280.采用分层抽样的方法抽取50人，参加学校举行的社会主义核心价值观知识竞赛，则样本中高三年级的人数是( )A ．20B ．16C ．15D ．14 答案 D解析高三年级的人数是280400＋320＋280×50＝14(人)．故答案为D.2．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,5 B ．5,5 C ．5,8 D ．8,8 答案 C解析 ∵甲组数据的中位数为15， ∴x ＝5，乙组数据的平均数为16.8， ∴9＋15＋10＋y ＋18＋245＝16.8，∴y ＝8，选C.3．下列叙述错误的是( )A ．若事件A 发生的概率为P (A )，则0≤P (A )≤1B ．系统抽样是不放回抽样，每个个体被抽到的可能性相等C ．线性回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过点(x －，y －)D ．对于任意两个事件A 和B ，都有P (A ∪B )＝P (A )＋P (B ) 答案 D解析对于A ，根据概率的定义可得，若事件A 发生的概率为P (A )，则0≤P (A )≤1，故A 正确；对于B ，根据系统抽样的定义得，系统抽样是不放回抽样，每个个体被抽到的可能性相等，故B 正确；对于C ，线性回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过点(x －，y －)，故C 正确；对于D ，对于任意两个事件A 和B ，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )，只有当事件A 和B 是互斥事件时，才有P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，故D 不正确．故选D.4．某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34 答案 B解析由题意得图：由图得等车时间不超过10分钟的概率为12.5．两枚均匀的骰子一起投掷，记事件A ＝{至少有一枚骰子6点向上}，B ＝{两枚骰子都是6点向上}，则P (B |A )＝( )A.16B.136C.112D.111 答案 D解析至少有一枚骰子6点向上的概率为1－56×56＝1136，两枚骰子都是6点向上的概率为16×16＝136，故至少有一枚骰子6点向上的条件下，另一枚骰子也是6点向上的概率是1361136＝111.故选D. 6．如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A ．24B ．18C ．12D ．9 答案 B解析由题意可知E →F 共有6种走法，F →G 共有3种走法，由乘法计数原理知，共有6×3＝18种走法，故选B.7．菜市中心购物商场在“双11”开展的“买三免一”促销活动异常火爆，对当日8时至22时的销售额进行统计，以组距为2小时的频率分布直方图如图所示．已知12时至16时的销售额为90万元，则10时至12时的销售额为( )A ．120万元B ．100万元C ．80万元D ．60万元答案 D解析该商场11月11日8时至22时的总销售额为90＋＝200万元，所以10时至12时的销售额为200×(0.150×2)＝60万元，故选D.8．正月十六登高是“中国石刻艺术之乡”“中国民间文化艺术之乡”四川省巴中市沿袭千年的独特民俗．登高节前夕，李大伯在家门前的树上挂了两串喜庆彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.13C.12D.34 答案 D解析设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，∴全部基本事件构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，符合题意的区域为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，－2≤y －x ≤2，如右图所示，由几何概型可知，所求概率为P ＝1－2×12×2×216＝34，故答案为D.9．(1－x 2)4⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 5的展开式中1x 的系数为( )A ．5B ．11C ．－21D ．－29 答案 D 解析 (1－x 2)4⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 5＝(1－x 2)4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 5， (1－x 2)4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 5的展开式中的x －1的系数是以下几部分的和；(1－x 2)4的常数项与⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 5的展开式中含x －1的系数的乘积；(1－x 2)4含x 2项的系数与⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 5的展开式中含x －3的系数的乘积；(1－x 2)4含x 4项的系数与⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 5的展开式中含x －5的系数的乘积． ∵(1－x 2)4、⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 5的展开式的通项分别为T r ＋1＝C r 4(－x 2)r ，T k ＋1＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k，∴(1－x 2)4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 5的展开式中x －1的系数为C 04C 15－C 14C 35＋C 24C 55＝－29.10．从区间随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nmB.2n mC.4m nD.2m n答案 C解析设由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x n ≤1，0≤y n ≤1构成的正方形的面积为S ，x 2n ＋y 2n <1构成的图形的面积为S ′，所以S ′S ＝14π1＝m n ，所以π＝4mn，故选C.11．袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为( )A ．0.0324B ．0.0434C ．0.0528D ．0.0562 答案 B解析第4次恰好取完所有红球有三种情形，红白白红，白红白红，白白红红，所以第4次恰好取完所有红球的概率为：210×⎝ ⎛⎭⎪⎫9102×110＋810×210×910×110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8102×210×110＝0.0434，故选B.12．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＋ax 5－⎝ ⎛⎭⎪⎫1b＋bx 5的展开式中含x 2与x 3的项的系数的绝对值之比为1∶6，则a 2＋b 2的最小值为( )A ．6B ．9C ．12D ．18 答案 C解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＋ax 5－⎝ ⎛⎭⎪⎫1b＋bx 5 的展开式中含x 2项的系数为C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3a 2－C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 3b 2＝b －aab，含x 3的项的系数为C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2a 3－C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2b 3＝10(a －b )，则由题意，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a ab a －b ＝16，即|ab |＝6，则a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|ab |＝12，故选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知随机变量ξ服从正态分布，且方程x 2＋2x ＋ξ＝0有实数解的概率为12，若P (ξ≤2)＝0.75，则P (0≤ξ≤2)________．答案 0.5解析 ∵方程x 2＋2x ＋ξ＝0有实数解的概率为12，∴P (Δ≥0)＝12，即P (ξ≥1)＝12，故正态曲线的对称轴是x ＝1，如图，∵P (ξ≤2)＝0.75，∴P (ξ≤0)＝0.25.∴P (0≤ξ≤2)＝1－(0.25＋0.25)＝0.5.14．在区间内任取三个数，则这三个数的平方和小于1的概率是________．答案π6解析记这三个数分别为x ，y ，z ，则0≤x ≤1,0≤y ≤1，0≤z ≤1.在空间直角坐标系中点(x ，y ，z )构成在第一卦限的单位正方体，{(x ，y ，z )|x 2＋y 2＋z 2<1}表示的单位球体在第一卦限的部分的体积是18×43π＝π6.故所求的概率是π6.15．将⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x－43展开后，常数项是________．答案－160解析展开后的通项是C m 3C n 3－m x m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫4xn ·(－4)3－m －n，当m ＝n 时为常数．于是C m 3C n 3－m x m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫4x n ·(－4)3－m －n ＝C m 3C m 3－m x m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫4x m ·(－4)3－2m.若m ＝0，则(－4)3＝－64；若m ＝1，则C 13C 12·4·(－4)＝－96. 故常数项是－64－96＝－160.或：⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x－43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6展开后的通项是C k 6(x )6－k·⎝⎛⎭⎪⎫－2x k＝(－2)k C k 6(x )6－2k. 令6－2k ＝0，得k ＝3.所以常数项是C 36(－2)3＝－160.16．甲与其四位朋友各有一辆私家车，车牌尾数分别是0,0,2,1,5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案总数为________．答案 64解析 5日到9日，分别为5,6,7,8,9，有3天奇数日，2天偶数日．第一步安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有23＝8种．第二步安排偶数日出行分两类，第一类，先选1天安排甲的车，另外一天安排其它车，有2×2＝4种．第二类不安排甲的车，每天都有2种选择，共有2×2＝4种，共计4＋4＝8种．根据分步计数原理，不同的用车方案种数共有8×8＝64种．故填64.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：(平均每天锻炼的时间单位：分钟)将学生日均课外体育运动时间在(本小题满分12分)某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间(单位：小时)，统计结果绘成频率分布直方图(如图)．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间的有8人．(1)图中a 的值为________；(2)用各组时间的组中值代替各组平均值，估算乙班学生每天学习的平均时间； (3)从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解 (1)由频率分布直方图的性质得：(a ＋0.0875＋0.1＋0.125＋0.15)×2＝1，计算得a ＝0.0375.(2分)(2)由频率分布直方图估算乙班学生每天学习的平均时长为：x ＝3×0.05＋5×0.15＋7×0.35＋9×0.35＋11×0.1＝7.6(小时)．(6分)(3)因为甲班学习时间在区间的有8人，所以甲班的学生人数为80.2＝40(人)，故甲、乙两班人数均为40人．所以甲班学习时间在区间(10,12]的人数为40×0.0375×2＝3(人)．乙班学习时间在区间(10,12]的人数为40×0.05×2＝4(人)．(8分)在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0,1,2,3. P (ξ＝0)＝C 03C 44C 7＝135，P (ξ＝1)＝C 13C 34C 7＝1235，P (ξ＝2)＝C 23C 24C 47＝1835，P (ξ＝3)＝C 33C 14C 47＝435.所以随机变量ξ的分布列为：∴E (ξ)＝0×135＋1×35＋2×35＋3×35＝7.(12分)19．(本小题满分12分)某校准备从报名的7位教师(其中男教师4人，女教师3人)中选3人去边区支教．(1)设所选3人中女教师的人数为X ，求X 的分布列及数学期望；(2)若选派的三人依次到甲、乙、丙三个地方支教，求甲地是男教师的情况下，乙地为女教师的概率．解 (1)X 的所有可能取值为0,1,2,3，且P (X ＝0)＝C 34C 37＝435，P (X ＝1)＝C 13C 24C 37＝1835，P (X ＝2)＝C 23C 14C 7＝1235，P (X ＝3)＝C 33C 7＝135，所以X 的分布列为：(6分)故E (X )＝0×435＋1×1835＋2×1235＋3×135＝97.(8分)(2)设事件A 为“甲地是男教师”，事件B 为“乙地是女教师”，则P (A )＝C 14A 26A 37＝47，P (AB )＝C 14C 13C 15A 37＝27，所以P (B |A )＝P AB P A ＝12.(12分)20．(本小题满分12分)菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水x (单位：千克)清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y (单位：微克)的统计表：(1)(2)若用解析式y ^＝cx 2＋d 作为蔬菜农药残量y ^与用水量x 的回归方程，令ω＝x 2，计算平均值ω－和y －，完成以下表格，求出y ^与x 的回归方程．(c ，d 精确到0.1)(3)对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？(精确到0.1，参考数据5≈2.236)(附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中系数计算公式分别为：b ^＝∑ni ＝1x i －x －y i －y－x i －x－2，a ^＝y －－b ^x －.)解 (1)作出散点图如下图：由散点图可以知道变量x 与y 负相关；(3分)(2)ω－＝1＋4＋9＋16＋255＝11，y －＝58＋54＋39＋29＋105＝38c ＝－10×20＋－＋－＋－＋－－2＋－2＋－2＋52＋142＝－751374＝－ 2.008≈－2.0，d ＝y －－c ω－＝38＋2.0×11＝60.0，y ^＝－2.0ω＋60.0＝－2.0x 2＋60.0.(8分)(3)当y ^<20时，－2.0x 2＋60.0<20，x >25≈4.5∴为了放心食用该蔬菜，估计需要用4.5千克的清水清洗一千克的蔬菜．(12分) 21．(本小题满分12分)空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天的AQI 的茎叶图(如图)．(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数(按这个月总共30天计算)；(2)将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．解 (1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为610＝35，从而估计该月空气质量优良的天数为30×35＝18.(4分)(2)由(1)估计某天空气质量优良的概率为35，ξ的所有可能取值为0,1,2,3.(5分)P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝8125，P (ξ＝1)＝C 1335⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝36125， P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫35225＝54125，P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125，故ξ的分布列为：(9分)显然ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，35，(11分) E (ξ)＝3×35＝1.8.(12分)22．(本小题满分12分)小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友A ，如果A 猜中，A 将获得红包里的所有金额；如果A 未猜中，A 将当前的红包转发给朋友B ，如果B 猜中，A 、B 平分红包里的金额；如果B 未猜中，B 将当前的红包转发给朋友C ，如果C 猜中，A 、B 和C 平分红包里的金额；如果C 未猜中，红包里的钱将退回小李的帐户，设A 、B 、C 猜中的概率分别为13，12，13，且A 、B 、C 是否猜中互不影响．(1)求A 恰好获得4元的概率；(2)设A 获得的金额为X 元，求X 的分布列；(3)设B 获得的金额为Y 元，C 获得的金额为Z 元，判断A 所获得的金额的期望能否超过Y 的期望与Z 的期望之和．解 (1)A 恰好获得4元的概率为23×12×13＝19.(2分)(2)X 的可能取值为0,4,6,12，P (X ＝4)＝19，P (X ＝0)＝23×12×23＝29， P (X ＝6)＝23×12＝13，P (X ＝12)＝13，(5分)所以X 的分布列为：(6分)(3)Y 的可能取值为0,4,6；Z 的可能取值为0,4. 因为P (Y ＝0)＝13＋23×12×23＝59，P (Y ＝4)＝23×12×13＝19， P (Y ＝6)＝23×12＝13，(8分) P (Z ＝0)＝13＋23×12＋23×12×23＝89， P (Z ＝4)＝23×12×13＝19，(9分)所以E (Y )＝0×59＋4×19＋6×13＝229，E (Z )＝0×89＋4×19＝49，所以E (Y )＋E (Z )＝269，又E (X )＝0×29＋4×19＋6×13＋12×13＝589，(11分)由于E (X )>E (Y )＋E (Z )，所以A 所获得的金额的期望能超过Y 的期望与Z 的期望之和．(12分)。

18年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷测评卷2文

2018年高考复习全程测评卷(二)测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016²成都诊断考试]已知集合A ＝{x |y ＝4x －x 2}，B ＝{x ||x |≤2}，则A ∪B ＝( )A ．[－2,2]B ．[－2,4]C ．[0,2]D ．[0,4]答案 B解析 A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，故A ∪B ＝{x |－2≤x ≤4}，故选B. 2．[2016²茂名市二模]“a ＝1”是“复数z ＝(a 2－1)＋2(a ＋1)i(a ∈R)为纯虚数”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 a 2－1＋2(a ＋1)i 为纯虚数，则a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，反之也成立．故选A.3．[2017²呼和浩特调研]设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 向x 轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k 等于( )A.32 B ．±32C ．±12D.12答案 B解析由题意可得c ＝1，a ＝2，b ＝3，不妨取A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，±32，则直线的斜率k ＝±32.4．[2016²洛阳第一次联考]如果圆x 2＋y 2＝n 2至少覆盖曲线f (x )＝3sin πx n(x ∈R)的一个最高点和一个最低点，则正整数n 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析最小范围内的至高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2，3，原点到至高点距离为半径，即n 2＝n 24＋3⇒n＝2，故选B.5．[2016²长春质量检测]运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为( )A.29－129B.29＋129C.210－1210D.210210＋1 答案 A解析由程序框图可知，输出的结果是首项为12，公比也为12的等比数列的前9项和，即29－129，故选A. 6．[2017²广州调研]如图，在矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，N 是CD 的中点，若AC →＝λAM→＋μBN →，则λ＋μ＝( )A.25B.45C.65D.85答案 D解析 ∵AC →＝λAM →＋μBN →＝λ(AB →＋BM →)＋μ(BC →＋CN →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →＋μ⎝⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫λ－12μAB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAD →，又AC →＝AB →＋AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－12μ＝1，12λ＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，∴λ＋μ＝85.7．[2017²贵阳检测]已知a ＝2－ 13 ，b ＝(2log 23) － 12 ，c ＝cos50°²cos10°＋cos140°sin170°，则实数a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >b >a答案 C解析因为a ＝2－ 13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 13 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14 16 ，b ＝(2 log 23) － 12 ＝3－ 12 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫127 16，所以a >b ，排除B 、D ；c ＝cos50°²cos10°＋cos140°sin170°＝sin40°cos10°－cos40°sin10°＝sin30°＝12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14 12，所以b >c ，所以a >b >c ，故选C.8．[2016²浙江高考]在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6答案 C解析作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C，D分别作直线x＋y－2＝0的垂线，垂足分别为A，B，则四边形ABDC为矩形，又C(2，－2)，D(－1,1)，所以|AB|＝|CD|＝2＋1 2＋－2－1 2＝3 2.故选C.9．[2017²广西质检]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．24＋6πB．12πC．24＋12πD．16π答案 A解析由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体与6个半径为1的半球构成的组合体，该组合体的表面由6个半球的表面(除去半球底面圆)、正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆构成，所以6个半球的表面(除去半球底面圆)的面积之和S1等于3个球的表面积，即S1＝3³4π³12＝12π；正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆的面积之和为S2＝6(22－π³12)＝24－6π.所以该组合体的表面积为S＝S1＋S2＝12π＋(24－6π)＝24＋6π.10．[2016²南京模拟]已知四面体P－ABC中，PA＝4，AC＝27，PB＝BC＝23，PA⊥平面PBC，则四面体P－ABC的外接球半径为( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 3答案 A解析 PA ⊥平面PBC ，AC ＝27，PA ＝4，∴PC ＝23，∴△PBC 为等边三角形，设其外接圆半径为r ，则r ＝2，∴外接球半径为2 2.故选A.11．[2016²山西质检]记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，若S 12－S 6S 6－7²S 6－S 3S 3－8＝0，且正整数m ，n 满足a 1a m a 2n ＝2a 35，则1m ＋8n的最小值是( )A.157 B.95 C.53 D.75答案 C解析 ∵{a n }是正项等比数列，设{a n }的公比为q (q >0)，∴S 12－S 6S 6＝q 6，S 6－S 3S 3＝q 3，∴q 6－7q 3－8＝0，解得q ＝2，又a 1a m a 2n ＝2a 35，∴a 31²2m ＋2n －2＝2(a 124)3＝a 31213，∴m ＋2n ＝15，∴1m ＋8n ＝115⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋8n (m ＋2n )＝17＋2n m ＋8m n 15≥17＋22n m ³8mn 15＝53，当且仅当2n m ＝8mn ，n ＝2m ，即m ＝3，n ＝6时等号成立，∴1m ＋8n 的最小值是53，故选C.12．[2017²海口调研]设过曲线f (x )＝－e x－x ＋3a (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝(x －1)a ＋2cos x 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－1,2]D ．[－2,1]答案 C解析根据题意设y ＝f (x )上的切点为(x 1，y 1)，y ＝g (x )上的切点为(x 2，y 2)，f ′(x )＝－e x－1，g ′(x )＝a －2sin x .根据已知，对任意x 1，存在x 2，使得(－e x1－1)(a －2sin x 2)＝－1，即2sin x 2＝a －1e x 1＋1对任意x 1∈R 均有解x 2，故－2≤a －1e x 1＋1≤2对任意x 1∈R 恒成立，则a －2≤1e x 1＋1≤2＋a 恒成立．又1e x 1＋1∈(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤0，2＋a ≥1，解得－1≤a ≤2，所以实数a 的取值范围是[－1，2]．故选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2017²安徽合肥统考]一个煤气站有5个阀门控制对外输送煤气，使用这些阀门必须遵守以下操作规则：(ⅰ)如果开启1号阀门，那么必须同时开启2号阀门并且关闭5号阀门；(ⅱ)如果开启2号阀门或者5号阀门，那么要关闭4号阀门；(ⅲ)不能同时关闭3号阀门和4号阀门，现在要开启1号阀门，则同时开启的2个阀门是________．答案 2或3解析若要开启1号阀门，由(ⅰ)知，必须开启2号阀门，关闭5号阀门，由(ⅱ)知，关闭4号阀门，由(ⅲ)知，开启3号阀门，所以同时开启2号阀门和3号阀门．14．[2017²云南检测]若函数f (x )＝4sin5ax －43cos5ax 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π3，则实数a 的值为________．答案 ±35解析因为f (x )＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5ax －π3，依题意有，T 2＝π3，所以T ＝2π3，又因为T ＝2π5|a |，所以2π5|a |＝2π3，解得a ＝±35.15．[2017²山西怀仁期末]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c ，直线y ＝33(x ＋c )与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为________．答案3＋1解析 ∵直线y ＝33(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为30°，∴∠PF 1F 2＝30°，∠PF 2F 1＝60°，∴∠F 2PF 1＝90°，即F 1P ⊥F 2P .∴|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|PF 1|＝|F 1F 2|²sin60°＝3c ，由双曲线的定义得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝3c －c ，∴双曲线C 的离心率e ＝c a＝c3c －c2＝3＋1.16．[2016²广州综合测试]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为________个．答案 2解析由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0，得f (x )＝21－|x |，画出y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1与y＝21－|x |的图象，可知，它们有2个交点，所以零点个数为2.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．[2016²河南六市联考](本小题满分12分)如图，在一条海防警戒线上的点A 、B 、C 处各有一个水声监测点，B 、C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A 、C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B 、C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求P 到海防警戒线AC 的距离．解 (1)依题意，有PA ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5³8＝x －12.(2分)在△PAB 中，AB ＝20，cos ∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ²AB ＝x 2＋202－ x －12 22x ²20＝3x ＋325x，同理，在△PAC 中，AC ＝50，cos ∠PAC ＝PA 2＋AC 2－PC 22PA ²AC ＝x 2＋502－x 22x ²50＝25x.(4分)∵cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ，∴3x ＋325x ＝25x，解得x ＝31.(6分)(2)作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中，由cos ∠PAD ＝2531，得sin ∠PAD ＝1－cos 2∠PAD ＝42131，(9分)∴PD ＝PA sin ∠PAD ＝31³42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米．(12分)18．[2017²重庆八中质检](本小题满分12分)某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理，现搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量(单位：个)，得到如图所示的柱状图．以100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕．(1)求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：个，n ∈N)的函数解析式； (2)求当天的利润不低于750元的概率．解 (1)当n ≥17时，y ＝17³(100－50)＝850；当n ≤16时，y ＝50n －50(17－n )＝100n －850.得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧100n －850 n ≤16 ，850 n ≥17(n ∈N)．(7分)(2)设当天的利润不低于750元为事件A ，由(1)得“利润不低于750元”等价于“需求量不低于16个”，P (A )＝1－10＋20100＝0.7.(12分)19．[2017²河北五校联考](本小题满分12分)在如图所示的三棱锥D －ABC 中，AD ⊥DC ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，∠BAC ＝45°，平面ACD ⊥平面ABC ，E ，F 分别在BD ，BC 上，且BE ＝2ED ，BC ＝2BF .(1)求证：BC ⊥AD ；(2)求平面AEF 将三棱锥D －ABC 分成的四棱锥A －EFCD 与三棱锥E －ABF 的体积之比．解 (1)证明：∵AD ＝CD ＝2，AD ⊥DC ，∴△ACD 是等腰直角三角形，AC ＝ 22，如图，取AC 的中点O ，连接OD ，则OD ⊥AC .(2分) ∵平面ACD ⊥平面ABC ，∴OD ⊥平面ABC ，则OD ⊥BC . ∵AB ＝4，∠BAC ＝45°，∴BC ＝22，(4分) 即△ACB 是等腰直角三角形，且BC ⊥AC . ∵OD ∩AC ＝O ，∴BC ⊥平面ACD . ∵AD ⊂平面ACD ，∴BC ⊥AD .(6分) (2)解法一：由(1)得OD ＝2，过E 作EH ⊥平面ABC 交OB 于点H ，则EH OD ＝BEBD. ∵BE ＝2ED ，∴BE BD ＝23，则EH OD ＝BE BD ＝23，则EH ＝23OD ＝223.(8分)∵BC ＝2BF ，∴F 是BC 的中点，则BF ＝12BC ＝12³22＝2，则△ABF 的面积S ＝12BF ³AC ＝12³2³22＝2，则三棱锥D －ABC 的体积V ＝13³12AC ³BC ³OD ＝13³12³22³22³2＝423，三棱锥E－ABF 的体积V 1＝13³2³223＝429，则四棱锥A －EFCD 的体积V 2＝423－429＝1229－429＝829，则平面AEF 将三棱锥D －ABC 分成的四棱锥A －EFCD 与三棱锥E －ABF 的体积之比为829∶429＝2∶1.(12分) 解法二：∵V E －ABF ＝V A －BEF ，∴V A －EFCD ∶V E －ABF ＝V A －EFCD ∶V A －BEF ＝S 四边形EFCD ∶S △BEF .(8分) 又S △BEF ＝12³BE ³BF sin ∠EBF ，S △BCD ＝12³BC ³BD sin ∠CBD＝12³2BF ³32BE sin ∠EBF ， ∴S 四边形EFCE ＝S △BCD －S △BEF ＝BE ³BF sin ∠EBF ， ∴S 四边形EFCD ∶S △BEF ＝2∶1, (11分)即平面AEF 将三棱锥D －ABC 分成的四棱锥A －EFCD 与三棱锥E －ABF 的体积之比为2∶1.(12分)20．[2016²全国卷Ⅲ](本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解由题知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛ －12，⎭⎪⎫a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.(3分) (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a＝－b ＝k 2，所以AR ∥FQ .(5分)(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a |²|FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 则题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1. 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)，而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1.所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1.(12分)21．[2017²山西四校联考](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2－2x ，a ∈R ，a ≠0.(1)若函数f (x )的图象在x ＝1处的切线与x 轴平行，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )≤ax 在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，求a 的取值范围．解 (1)函数f (x )＝ln x ＋ax 2－2x ，定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x＋2ax －2.(2分) 由已知f ′(1)＝1＋2a －2＝0，解得a ＝12，于是f ′(x )＝x 2－2x ＋1x≥0恒成立，从而f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．(5分)(2)f (x )≤ax 转化为ln x ＋ax 2－2x －ax ≤0，设g (x )＝ln x ＋ax 2－2x －ax ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，则g ′(x )＝1x ＋2ax －2－a ＝ ax －1 2x －1 x.(7分) ①当a <0时，g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，因而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋14a －1－12a ≤0，故－4－4ln 2≤a <0；(8分) ②当0<a <2时，1a >12，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，因而g (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞，不符合题意；(10分) ③当a ≥2时，1a ≤12，g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，因而g (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，不符合题意．(11分)综上a 的取值范围为[－4－4ln 2,0)．(12分)请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．[2016²陕西八校联考](本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝1，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρ(2cos θ－sin θ)＝6.(1)将曲线C 1上的所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线C 2，试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程；(2)设P 为曲线C 2上任意一点，求点P 到直线l 的最大距离．解 (1)由题意知，直线l 的直角坐标方程为2x －y －6＝0.(2分)∵曲线C 2的直角坐标方程为：⎝⎛⎭⎪⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即x 23＋y 24＝1，(4分) ∴曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．(5分) (2)设点P 的坐标(3cos θ，2sin θ)，则点P 到直线l 的距离为d ＝|23cos θ－2sin θ－6|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6－65，∴当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝－1时，d max ＝|4＋6|5＝2 5.(10分) 23．[2016²南昌一模](本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝x －2＋11－x 的最大值为M .(1)求实数M 的值；(2)求关于x 的不等式|x －2|＋|x ＋22|≤M 的解集．解 (1)f (x )＝x －2＋11－x ≤2 x －2 ＋ 11－x 2＝32，当且仅当x ＝132时等号成立．故函数f (x )的最大值M ＝3 2.(5分) (2)由(1)知M ＝3 2.由绝对值三角不等式可得|x －2|＋|x ＋22|≥|(x －2)－(x ＋22)|＝3 2. 所以不等式|x －2|＋|x ＋22|≤32的解集就是方程|x －2|＋|x ＋22|＝32的解．(7分) 由绝对值的几何意义，得当且仅当－22≤x ≤2时，|x －2|＋|x ＋22|＝32，所以不等式|x －2|＋|x ＋22|≤M 的解集为{x |－22≤x ≤2}．(10分)。

[推荐学习]2018年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷重组十六算法初步复数推理与证明试题文

重组十六算法初步、复数、推理与证明测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·北京朝阳区模拟]i 为虚数单位，复数2i1＋i ＝( )A ．1－iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1＋i答案 D解析分母实数化，即分子与分母同乘以分母的共轭复数：2i1＋i ＝－1－i2＝1＋i.故选D.2．[2016·西安八校联考]已知复数z ＝1＋a i(a ∈R)(i 是虚数单位)在复平面上表示的点在第四象限，且z －·z ＝5，则a ＝( )A ．2B ．－2 C. 2 D ．－ 2答案 B解析 ∵z ＝1＋a i(a ∈R)在复平面上表示的点在第四象限，∴a <0. 又z ·z ＝(1－a i)(1＋a i)＝1＋a 2＝5， ∴a ＝±2，而a <0，∴a ＝－2，故选B.3．[2016·衡水高三大联考]欧拉在1748年给出了著名公式e i θ＝cos θ＋isin θ(欧拉公式)是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e ＝2.71828…，根据欧拉公式e i θ＝cos θ＋isin θ，任何一个复数z ＝r (cos θ＋isin θ)，都可以表示成z ＝r e i θ的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数z 1＝2e i π3 ，z 2＝e i π2 ，则复数z ＝z 1z 2在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析因为z 1＝2ei π3＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝1＋3i ，z 2＝e i π2 ＝cos π2＋isin π2＝i ，所以z ＝z 1z 2＝1＋3ii＝＋3－－＝3－i.复数z 在复平面内对应的点为Z (3，－1)，点Z 在第四象限，故选D.4．[2016·云南师大附中月考]观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625，…，则52015的末四位数字为( )A ．3125B ．5625C ．0625D ．8125答案 D解析由题意55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625,59＝1953125,510＝9765625,511＝48828125，可以看出这些幂的末四位数是以4为周期变化的，∵2015÷4＝503…3，∴52015的末四位数与57的末四位数相同，故选D.5．[2017·山西太原模拟]我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n ＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2答案 B解析第一次循环，得S ＝0＋1＋1 ＝2<10，不满足条件，继续循环；第二次循环，得n ＝2，a ＝12，A ＝2，S ＝2＋12＋2＝92<10，不满足条件，继续循环；第三次循环，得n ＝3，a ＝14，A ＝4，S ＝92＋14＋4＝354<10，不满足条件，继续循环；第四次循环，得n ＝4，a ＝18，A ＝8，S ＝354＋18＋8＝1358>10，结束循环，输出n ＝4，故选B.6．[2016·长春质监]按图所示的程序框图，若输入a ＝110011，则输出的b ＝( )A ．51B ．49C ．47D ．45答案 A解析经计算得b ＝1×20＋1×21＋0×22＋0×23＋1×24＋1×25＝51.故选A.7．[2016·安徽十校联考]在平面直角坐标系xOy 中，满足x 2＋y 2≤1，x ≥0，y ≥0的点P (x ，y )的集合对应的平面图形的面积为π4；类似的，在空间直角坐标系Oxyz 中，满足x 2＋y 2＋z 2≤1，x ≥0，y ≥0，z ≥0的点P (x ，y ，z )的集合对应的空间几何体的体积为( )A.π8B.π6 C.π4 D.π3答案 B解析所求的空间几何体是以原点为球心，1为半径的球位于第一卦限的部分，体积为18×43π×13＝π6，故选B. 8．[2017·北京东城质检]小明用流程图把早上上班前需要做的事情做了如下几种方案，则所用时间最少的方案是( )A．方案一B．方案二C．方案三D．方案二或三答案 C解析方案一：所用时间为8＋5＋13＋7＋15＋6＝54.方案二：所用时间为8＋15＋7＝30.方案三：所用时间为8＋13＋7＝28.所以所用时间最少的方案是方案三．9．[2016·北京西城区期末]某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元；超过4千米的里程按每千米2元收费(对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费)；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．相应系统收费的程序框图如图所示，其中x(单位：千米)为行驶里程，y(单位：元)为所收费用，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中①处应填( )A ．y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －12＋4B ．y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －12＋5C ．y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＋4 D ．y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＋5 答案 D解析由已知中，超过4千米的里程按每千米2元收费(对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费)；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．可得：当x >4时，所收费用y ＝12＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －4＋12×2＋1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＋5，故选D.10．[2016·山西考前质监]运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有5次落在直线y ＝x 上，则判断框中可填写的条件是( )A ．i >6?B ．i >7?C ．i >8?D ．i >9?答案 D解析 i ＝1，y ＝0. ，，，，，11．[2017·福建福州模拟]我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c(a ，b ，c ，d ∈N *)，则b ＋da ＋c是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.14159…，若令3110<π<4915，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3110<π<165，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为( ) A.227 B.6320 C.7825 D.10935答案 A解析由题意：第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3110<π<165，第二次用“调日法”后得4715是π的更为精确的不足近似值，即4715<π<165，第三次用“调日法”后得6320是π的更为精确的过剩近似值，即4715<π<6320，第四次用“调日法”后得11035＝227是π的更为精确的过剩近似值，即4715<π<227，故选A.12．[2016·北京高考]袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案 B解析若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A 、D ；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则红球一个放在甲盒，余下一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，则余下一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除C ，故选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2016·河南重点高中质检]若复数4＋b i1＋i (b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b ＝________.答案 0 解析 ∵4＋b i1＋i＝＋b －1＋i1－i＝4＋b 2＋b －42i ，若实部与虚部互为相反数，则4＋b ＋b －4＝0，∴b ＝0.14. [2017·衡水中学模拟]如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行，数字6,5,4(从左至右)出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行；依此类推，则第20行从左至右算第4个数字为________．答案 194解析由题意得，前19行最后一个数字为1＋2＋3＋…＋19＝1＋192·19＝190，而第20行是从左往右数的，故第20行从左往右第4个数字是194.15．[2016·湖南东部六校联考]对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0”，给出如下一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c >0的解集为(－2,1)，即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为(－2,1)．参考上述解法，若关于x 的不等式kx ＋a ＋x ＋b x ＋c <0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则关于x 的不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为________．答案 (－3，－1)∪(1,2)解析不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0，可化为k a ＋1x ＋b ＋1xc ＋1x <0，故得－1<1x <－13或12<1x<1，解得－3<x <－1或1<x <2，故kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为(－3，－1)∪(1,2)． 16．[2017·河南百校联考]在讨论勾股定理的过程中，《九章算术》提供了许多整勾股数，如32＋42＝52,52＋122＝132,62＋82＝102,72＋242＝252,82＋152＝172等等．后人在此基础上进一步探索，得到如下规律：若a ，b ，c 是一组勾股数，且a <b <c ，则当a 是大于1的奇数时c 可以用a 表示为c ＝a 2＋12；当a 是大于4的偶数时c 可以用a 表示为c ＝________.答案a 24＋1解析当a 是大于1的奇数时，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数，当a 是大于4的偶数时，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数，所以a 是大于4的偶数时b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－1，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋1.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．[2016·洛阳期中](本小题满分10分)(1)已知复数z 在复平面内对应的点在第四象限，|z |＝1，且z ＋z －＝1，求z ； (2)已知复数z ＝5m21－2i －(1＋5i)m －3(2＋i)为纯虚数，求实数m 的值．解 (1)设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，2a ＝1，解得a ＝12，b ＝±32.∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限， ∴b ＝－32，∴z ＝12－32i.(5分) (2)z ＝5m 21－2i －(1＋5i)m －3(2＋i)＝(m 2－m －6)＋(2m 2－5m －3)i ，依题意得m 2－m －6＝0，解得m ＝3或－2. ∵2m 2－5m －3≠0，∴m ≠3，∴m ＝－2.(10分)18．[2017·广东广州调研](本小题满分12分)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10…，第n 个三角形数为n n ＋2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n正方形数 N (n,4)＝n 2五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n六边形数 N (n,6)＝2n 2－n可以推测N (n ，k )的表达式，计算N (10,24)的值．解已知式子可化为：N (n,3)＝12n 2＋12n ＝3－22n 2＋4－32n ，(2分)N (n,4)＝n 2＝4－22n 2＋4－42n ，(4分) N (n,5)＝32n 2－12n ＝5－22n 2＋4－52n ，(6分) N (n,6)＝2n 2－n ＝6－22n 2＋4－62n ，(8分) 由归纳推理可得N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n ，(10分)故N (10,24)＝24－22×102＋4－242×10＝1100－100＝1000.(12分)19．[2016·山东师大附中二模](本小题满分12分)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，求m 的取值范围．解 ∵f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，故函数y ＝h (x )＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点，故有⎩⎪⎨⎪⎧ h 0≥0，h 3≥0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<0，(8分)即⎩⎪⎨⎪⎧4－m ≥0，－2－m ≥0，254－252＋4－m <0，解得－94<m ≤－2.(12分)20．[2016·重庆巴蜀期中](本小题满分12分)若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，求|z －2－2i|的最小值．解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则|z ＋2－2i|＝|a ＋b i ＋2－2i|＝|(a ＋2)＋(b －2)i|＝a ＋2＋b －2＝1，所以(a ＋2)2＋(b －2)2＝1.这表示的是一个圆心为(－2,2)，半径为1的圆，(4分)而|z －2－2i|＝|a ＋b i －2－2i|＝|(a －2)＋(b －2)i|＝a －2＋b －2，这表示圆上任意一点(a ，b )到点(2,2)的距离．(8分)由于圆心为(－2,2)到点(2,2)的距离为d ＝42＝4，所以|z －2－2i|的最小值为d －r ＝4－1＝3.(12分)21．[2016·湖南四校联考](本小题满分12分)对于函数f (x )，若∀a ，b ，c ∈R ，f (a )，f (b )，f (c )为某三角形的三边长，则称f (x )为“可构造三角形函数”，已知f (x )＝2x－t2x ＋1是“可构造三角形函数”，求实数t 的取值范围．解 f (x )＝2x＋1－t －12x ＋1＝1－t ＋12x＋1，(2分) 当t ＋1＝0，即t ＝－1时：f (x )＝1，此时f (a )，f (b )，f (c )都为1，能构成一个正三角形的三边长，满足题意；(4分)当t ＋1>0，即t >－1时：f (x )在R 上单调递增，－t <f (x )<1，∴－t <f (a )，f (b )，f (c )<1，由f (a )＋f (b )>f (c )，得－2t ≥1⇒－1<t ≤－12；(7分)当t ＋1<0，即t <－1时：f (x )在R 上单调递减，1<f (x )<－t ，由f (a )＋f (b )>f (c )，得2≥－t ⇒t ≥－2，∴－2≤t <－1.(10分)生活的色彩就是学习K12的学习需要努力专业专心坚持综上，－2≤t ≤－12.(12分) 22．[2016·南京金陵测试](本小题满分12分)已知数列a 1，a 2，…，a 30，其中a 1，a 2，…，a 10是首项为1，公差为1的等差数列；a 10，a 11，…，a 20是公差为d 的等差数列；a 20，a 21，…，a 30是公差为d 2的等差数列(d ≠0)．(1)若a 20＝40，求d ；(2)试写出a 30关于d 的关系式，并求a 30的取值范围；(3)续写已知数列，使得a 30，a 31，…，a 40是公差为d 3的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列．试写出a 10n 关于d 的关系式(n ∈N *)．解 (1)a 10＝10，a 20＝10＋10d ＝40，∴d ＝3.(2分)(2)a 30＝a 20＋10d 2＝10(1＋d ＋d 2)(d ≠0)，(4分) a 30＝10⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫d ＋122＋34，当d ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a 30∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫152，＋∞.(6分) (3)所给数列可推广为无穷数列{a n }，其中a 1，a 2，…，a 10是首项为1，公差为1的等差数列，当n ≥1时，数列a 10n ，a 10n ＋1，…，a 10(n ＋1)是公差为d n 的等差数列．研究的问题可以是：试写出a 10n 关于d 的关系式．研究的结论可以是：由a 40＝a 30＋10d 3＝10(1＋d ＋d 2＋d 3)，(9分)依次类推可得a 10n ＝10＋10d ＋…＋10d n －1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10n ，d ＝1，－d n 1－d，d ≠1.(12分)。

[推荐学习]2018年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷重组十大题冲关__数列与不等式的综合问

重组十大题冲关——数列与不等式的综合问题测试时间：120分钟满分：150分解答题(本题共9小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 1．[2016·银川一模](本小题满分15分)在等差数列{a n }中，a 1＝3，其前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1＝1，公比为q (q ≠1)，且b 2＋S 2＝12，q ＝S 2b 2.(1)求a n 与b n ；(2)证明：13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n <23.解 (1)设{a n }的公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋S 2＝12，q ＝S 2b 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝12，q ＝6＋dq .解得q ＝3或q ＝－4(舍)，d ＝3.(4分) 故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3n －1.(6分)(2)证明：因为S n ＝n 3＋3n2，(8分)所以1S n ＝2n3＋3n ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.(10分)故1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1.(12分)因为n ≥1，所以0<1n ＋1≤12，于是12≤1－1n ＋1<1，所以13≤23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1<23，即13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n <23.(15分) 2．[2017·黄冈质检](本小题满分15分)已知数列{a n }的首项a 1＝35，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，n ∈N *.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1为等比数列；(2)记S n＝1a1＋1a2＋…＋1a n，若S n<100，求最大正整数n.解(1)证明：因为1a n＋1＝23＋13a n，所以1a n＋1－1＝13a n－13＝13⎝⎛⎭⎪⎫1a n－1.又因为1a1－1≠0，所以1a n－1≠0(n∈N*)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1为等比数列，且首项为23，公比为13.(7分)(2)由(1)，可得1a n－1＝23×⎝⎛⎭⎪⎫13n－1，所以1a n＝2×⎝⎛⎭⎪⎫13n＋1.所以S n＝1a1＋1a2＋…＋1a n＝n＋2⎝⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13n＝n＋2×13－13n＋11－13＝n＋1－13n，若S n<100，则n＋1－13n<100，所以最大正整数n的值为99.(15分)3．[2016·新乡许昌二调](本小题满分15分)已知{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1＝2，b1＝3，a3＋b5＝56，a5＋b3＝26.(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)若－x2＋3x≤2b n2n＋1对任意n∈N*恒成立，求实数x的取值范围．解(1)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a1＋2d＋b1·q4＝56，a1＋4d＋b1·q2＝26，将a1＝2，b1＝3代入，得⎩⎪⎨⎪⎧2＋2d＋3·q4＝56，2＋4d＋3·q2＝26，消d得2q4－q2－28＝0，∴(2q2＋7)(q2－4)＝0，∵{b n}是各项都为正数的等比数列，∴q＝2，所以d＝3，(4分)∴a n＝3n－1，b n＝3·2n－1.(8分)(2)记c n＝3·2n－12n＋1，c n＋1－c n＝3·2n－1·2n－12n ＋n ＋>0，所以c n最小值为c1＝1，(12分)因为－x 2＋3x ≤2b n 2n ＋1对任意n ∈N *恒成立，所以－x 2＋3x ≤2，解得x ≥2或x ≤1，所以x ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．(15分)4．[2016·江苏联考](本小题满分15分)在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝1，b 1＝2，b n >0(n ∈N *)，且b 1，a 2，b 2成等差数列，a 2，b 2，a 3＋2成等比数列．(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设c n ＝abn ，数列{c n }的前n 项和为S n ，若S 2n ＋4nS n ＋2n>a n ＋t 对所有正整数n 恒成立，求常数t 的取值范围．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q (q >0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧＋d ＝2＋2q ，q2＝＋d 3＋2d ，解得d ＝q ＝3.(3分)∴a n ＝3n －2，b n ＝2·3n －1.(5分)(2)c n ＝3·b n －2＝2·3n－2.(7分) ∴S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝2(31＋32＋ (3))－2n ＝3n ＋1－2n －3.(10分)∴S 2n ＋4n S n ＋2n ＝32n ＋1－33n ＋1－3＝3n ＋1.(11分) ∴3n＋1>3n －2＋t 恒成立，即t <(3n－3n ＋3)min .(12分)令f (n )＝3n－3n ＋3，则f (n ＋1)－f (n )＝2·3n－3>0，所以f (n )单调递增．(14分) 故t <f (1)＝3，即常数t 的取值范围是(－∞，3)．(15分)5．[2017·陕西西安模拟](本小题满分15分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且首项a 1≠3，a n ＋1＝S n ＋3n (n ∈N *)．(1)求证：{S n －3n}是等比数列；(2)若{a n }为递增数列，求a 1的取值范围．解 (1)证明：因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，所以S n ＋1＝2S n ＋3n，所以S n ＋1－3n ＋1S n －3n ＝2S n ＋3n －3n ＋1S n －3n＝2S n －2×3nS n －3n＝2，且a 1－3≠0，所以{S n －3n}是以a 1－3为首项，2为公比的等比数列．(7分) (2)由(1)得，S n －3n ＝(a 1－3)×2n －1，所以S n ＝(a 1－3)×2n －1＋3n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a 1－3)×2n －1＋3n －(a 1－3)×2n －2－3n －1＝(a 1－3)×2n －2＋2×3n－1.(10分)若{a n }为递增数列，则a n ＋1>a n ，对n ∈N *恒成立．当n ≥2时，(a 1－3)×2n －1＋2×3n >(a 1－3)×2n －2＋2×3n －1，则2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a 1－3>0对n ≥2，n ∈N *恒成立，则a 1>－9.又a 2＝a 1＋3>a 1，所以a1的取值范围为(－9,3)∪(3，＋∞)．(15分)6．[2016·德州一模](本小题满分15分)已知数列{a n}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝n(n ∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)令b n·21an＝1a2n－1(n∈N*)，T n＝b1＋b2＋…＋b n，写出T n关于n的表达式，并求满足T n>52时n的取值范围．解(1)∵a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝n，所以a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)a n－1＝n－1(n≥2)．两式相减得a n＝1n(n≥2)，(4分)又a1＝1满足上式，∴a n＝1n(n∈N*)．(5分)(2)由(1)知b n＝2n－12n，(6分)T n＝12＋322＋523＋…＋2n－12n，12T n＝122＋323＋524＋…＋2n－12n＋1.两式相减得12T n＝12＋2⎝⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n－2n－12n＋1，12T n＝12＋2×122－12n·121－12－2n－12n＋1，(9分)T n＝1＋4⎝⎛⎭⎪⎫12－12n－2n－12n＝3－2n＋32n，(10分)由T n－T n－1＝3－2n＋32n－⎝⎛⎭⎪⎫3－2n＋12n－1＝2n－12n得，当n≥2时，T n－T n－1>0，所以数列{T n}单调递增．(12分)T4＝3－1116＝3716<52，又T5＝3－2×5＋325＝8332>8032＝52，所以n≥5时，T n≥T5>52，故所求n≥5，n∈N*.(15分)7．[2016·吉林二模](本小题满分20分)已知数列{a n}前n项和S n满足：2S n＋a n＝1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋11＋a n 1＋a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <14.解 (1)因为2S n ＋a n ＝1，所以2S n ＋1＋a n ＋1＝1. 两式相减可得2a n ＋1＋a n ＋1－a n ＝0，即3a n ＋1＝a n ，即a n ＋1a n ＝13，(4分) 又2S 1＋a 1＝1，∴a 1＝13，所以数列{a n }是公比为13的等比数列．(6分)故a n ＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.(8分)(2)证明：∵b n ＝2a n ＋11＋a n 1＋a n ＋1，∴b n ＝2·3n 3n＋n ＋1＋＝13n ＋1－13n ＋1＋1.(11分) ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎪⎫131＋1－132＋1＋(132＋1－133＋1 )＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1－13n ＋1＋1＝14－13n ＋1＋1<14.(18分) ∴T n <14.(20分)8．[2016·浙江高考](本小题满分20分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *.(1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3.(2分)又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，得a n ＋1＝3a n ，(6分) 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.(8分)(2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *，b 1＝2，b 2＝1.当n ≥3时，由于3n －1>n ＋2，故b n ＝3n －1－n －2，n ≥3.(12分)设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3.(14分) 当n ≥3时，T n ＝3＋－3n －21－3－n ＋n －2＝3n －n 2－5n ＋112，(18分)所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，3n －n 2－5n ＋112，n ≥2，n ∈N *.(20分)9．[2016·金丽衢十二校联考](本小题满分20分)设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝ca n ＋1a n(c 为正实数，n ∈N *)，记数列{a n }的前n 项和为S n .(1)证明：当c ＝2时，2n ＋1－2≤S n ≤3n －1(n ∈N *)；(2)求实数c 的取值范围，使得数列{a n }是单调递减数列．解 (1)证明：易得a n >0(n ∈N *)，由a n ＋1＝2a n ＋1a n ，得a n ＋1a n ＝2＋1a n 2>2，所以{a n }是递增数列，从而有a n ≥2，故a n ＋1a n ≤2＋14<3，(2分) 由此可得a n ＋1<3a n <32a n －1<…<3n a 1＝2·3n，所以S n ≤2(1＋3＋32＋…＋3n －1)＝3n－1，(4分)又有a n ＋1>2a n >22a n －1> (2)a 1＝2n ＋1，所以S n ≥2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－2，(6分)所以，当c ＝2时，2n ＋1－2≤S n ≤3n－1(n ∈N *)成立．(8分)(2)由a 1＝2可得a 2＝2c ＋12<2，解得c <34，(10分)若数列{a n }是单调递减数列，则a n ＋1a n ＝c ＋1a n 2<1，得a n >11－c，记t ＝11－c，①又a n ＋1－t ＝(a n －t )⎝⎛⎭⎪⎫c －1ta n ，因为a n －t (n ∈N *)均为正数，所以c －1ta n >0，即a n >1tc.②由①a n >0(n ∈N *)及c ，t >0可知a n ＋1－t <c (a n －t )<…<c n (a 1－t )＝c n(2－t )，进而可得 a n <cn －1(2－t )＋t .③由②③两式可得，对任意的自然数n ，1tc<c n －1(2－t )＋t 恒成立．因为0<c <34，t <2，所以1tc <t ，即1c <t 2＝11－c ，解得c >12.(14分)下面证明：当12<c <34时，数列{a n }是单调递减数列．当c >12时，由a n ＋1＝ca n ＋1a n 及a n ＝ca n －1＋1a n －1(n ≥2)，两式相减得a n ＋1－a n ＝(a n －a n －1)⎝⎛⎭⎪⎫c －1a n －1a n .由a n ＋1＝ca n ＋1a n ，有a n ≥2c 成立，则a n －1a n >4c >1c ，即c >1a n －1a n.又当c <34时，a 2－a 1<0成立，所以对任意的自然数n ，a n ＋1－a n <0都成立．综上所述，实数c 的取值范围为12<c <34.(20分)倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。

2018年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组十五概率与统计试题文

2018年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷重组四大题冲关——导数的综合应用问题试题理

重组四大题冲关——导数的综合应用问题测试时间：120分钟满分：150分解答题(本题共8小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 1．[2017·吉林实验中学模拟](本小题满分15分)已知函数f (x )＝mx ＋ln x ，其中m 为常数，e 为自然对数的底数．(1)当m ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求m 的值．解 (1)当m ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)．求导得f ′(x )＝－1＋1x，(2分)令f ′(x )＝0，得x ＝1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下：(5分)由表可知f (x )的最大值为f (1)＝－1.(7分) (2)求导得f ′(x )＝m ＋1x.①当m ≥0时，f ′(x )>0恒成立，此时f (x )在(0，e]上单调递增，最大值为f (e)＝m e ＋1＝－3，解得m ＝－4e，不符合要求；(9分)②当m <0时，令f ′(x )＝0，得x ＝－1m，若－1m≥e，此时f ′(x )≥0在(0，e]上恒成立，此时f (x )在(0，e]上单调递增，最大值为f (e)＝m e ＋1＝－3，解得m ＝－4e，不符合要求；(12分)若－1m<e ，此时f ′(x )>0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1m 上成立，f ′(x )<0在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1m ，e 上成立，此时f (x )在(0，e]上先增后减，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ＝－3，解得m ＝－e 2，符合要求．(14分)综上可知，m 的值为－e 2.(15分)2．[2016·天津十二区联考](本小题满分15分)已知函数f (x )＝ln x －1x，g (x )＝ax ＋b .(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若直线g (x )＝ax ＋b 是函数f (x )＝ln x －1x图象的切线，求a ＋b 的最小值．解 (1)h (x )＝f (x )－g (x )＝ln x －1x －ax －b ，则h ′(x )＝1x ＋1x2－a ，(2分)∵h (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴对∀x >0，都有h ′(x )＝1x ＋1x2－a ≥0，(3分)即对∀x >0，都有a ≤1x ＋1x2，(5分)∵1x ＋1x2>0，∴a ≤0，故实数a 的取值范围是(－∞，0]．(7分) (2)设切点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，ln x 0－1x 0，则切线方程为y －⎝⎛⎭⎪⎫ln x 0－1x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋1x 20(x －x 0)，即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋1x 20x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋1x 20x 0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x 0－1x 0，亦即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋1x 20x ＋⎝⎛⎭⎪⎫ln x 0－2x 0－1，(10分)令1x 0＝t >0，由题意得a ＝1x 0＋1x 20＝t ＋t 2，b ＝ln x 0－2x 0－1＝－ln t －2t －1，令a ＋b ＝φ(t )＝－ln t ＋t 2－t －1，则φ′(t )＝－1t＋2t －1＝t ＋t －t，当t ∈(0,1)时，φ′(t )<0，φ(t )在(0,1)上单调递减；当t ∈(1，＋∞)时，φ′(t )>0，φ(t )在(1，＋∞)上单调递增， ∴a ＋b ＝φ(t )≥φ(1)＝－1，故a ＋b 的最小值为－1.(15分)3．[2017·湖北四校联考](本小题满分20分)已知函数f (x )＝x ln x －ax 2－x . (1)当a ＝12时，证明：f (x )在定义域上为减函数；(2)若a ∈R ，讨论函数f (x )的零点情况．解 (1)证明：由题意可知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1－x －1＝ln x －x ，令g (x )＝ln x －x ，则g ′(x )＝1x －1＝1－xx，(3分)当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0，所以g (x )max ＝g (1)＝－1，(6分)即g (x )＝ln x －x <0，所以f ′(x )<0，所以f (x )在定义域上为减函数．(8分)(2)f (x )＝x ln x －ax 2－x 的零点情况，即方程x ln x －ax 2－x ＝0的根的情况，因为x >0，所以方程可化为a ＝ln x －1x，(10分)令h (x )＝ln x －1x，则h ′(x )＝1－x －x2＝2－ln xx2，(12分) 令h ′(x )＝0，可得x ＝e 2，(13分) 当0<x <e 2时，h ′(x )>0，当x >e 2时，h ′(x )<0，所以h (x )max ＝h (e 2)＝1e 2，且当x →0时，h (x )→－∞；当x >e 2时，h (x )>0，所以h (x )＝ln x －1x的大致图象如图所示，(15分)结合图象可知，当a >1e2时，方程a ＝ln x －1x没有根；当a ＝1e 2或a ≤0时，方程a ＝ln x －1x 有一个根；当0<a <1e 2时，方程a ＝ln x －1x 有两个根．所以当a >1e 2时，函数f (x )无零点；当a ＝1e 2或a ≤0时，函数f (x )有一个零点；当0<a <1e2时，函数f (x )有两个零点．(20分)4．[2017·江西七校联考](本小题满分20分)记max{m ，n }表示m ，n 中的最大值，如max{3，10}＝10，已知函数f (x )＝max{x 2－1,2ln x }，g (x )＝max{x ＋ln x ，ax 2＋x }．(1)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域；(2)试探讨是否存在实数a ，使得g (x )<32x ＋4a 对x ∈(1，＋∞)恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．解 (1)设F (x )＝x 2－1－2ln x ，F ′(x )＝2x －2x＝x －x ＋x，(2分)令F ′(x )>0，得x >1，F (x )递增，令F ′(x )<0，得0<x <1，F (x )递减， ∴F (x )min ＝F (1)＝0，∴F (x )≥0，即x 2－1≥2ln x ，∴f (x )＝x 2－1，(5分)故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，3.(8分) (2)①当a ≤0时，∵x ∈(1，＋∞)，∴x ＋ln x －(ax 2＋x )＝ln x －ax 2>0， ∴x ＋ln x >ax 2＋x ，∴g (x )＝x ＋ln x ，(11分) 若g (x )<32x ＋4a 对x ∈(1，＋∞)恒成立，则ln x －12x <4a 对x ∈(1，＋∞)恒成立，设h (x )＝ln x －12x ，则h ′(x )＝1x －12＝2－x2x，令h ′(x )>0，得1<x <2，h (x )递增，令h ′(x )<0，得x >2，h (x )递减， ∴h (x )max ＝h (2)＝ln 2－1，∴4a >ln 2－1，∴a >ln 2－14.∵a ≤0，∴a ∈⎝⎛⎦⎥⎤ln 2－14，0.(16分)②当a >0时，由①知x ＋ln x <32x ＋4a 对x ∈(1，＋∞)恒成立，若g (x )<32x ＋4a 对x ∈(1，＋∞)恒成立，则ax 2＋x <32x ＋4a 对x ∈(1，＋∞)恒成立，即2ax 2－x －8a <0对x ∈(1，＋∞)恒成立，这显然不可能，即当a >0时，不满足g (x )<32x ＋4a 对x ∈(1，＋∞)恒成立．(19分)故存在实数a ，使得g (x )<32x ＋4a 对x ∈(1，＋∞)恒成立，且a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤ln 2－14，0.(20分) 5．[2017·河南豫南联考](本小题满分20分)已知函数f (x )＝m ln (x ＋2)＋12x 2＋1(m ∈R )．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若0<m ≤2，对任意x 1，x 2∈(0,2]，不等式|f (x 1)－f (x 2)|≤t ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 1＋2－1x 2＋2恒成立，求t 的最小值．解 (1)f ′(x )＝mx ＋2＋x ＝x 2＋2x ＋mx ＋2(x >－2)，(2分)设g (x )＝x 2＋2x ＋m ，令g (x )＝0，则Δ＝4－4m . ①当m ≥1时，Δ＝4－4m ≤0，g (x )≥0恒成立，故f ′(x )≥0在x >－2上恒成立，即函数f (x )在(－2，＋∞)上单调递增．(4分) ②当0<m <1时，Δ＝4－4m >0，不妨设方程g (x )＝x 2＋2x ＋m ＝0的两根为x 1′，x 2′，且x 1′<x 2′，则有x 1′＝－2－4－4m 2>－2，x 2′＝－2＋4－4m2，则g (x )>0在(－2，x 1′)，(x 2′，＋∞)上成立，即f ′(x )>0在(－2，x 1′)，(x 2′，＋∞)上成立，则函数f (x )在(－2，x 1′)，(x 2′，＋∞)上单调递增；g (x )<0在(x 1′，x 2′)上成立，即f ′(x )<0在(x 1′，x 2′)上成立，故函数f (x )在(x 1′，x 2′)上单调递减．(6分)③当m ＝0时，方程g (x )＝x 2＋2x ＋m ＝0的根为x ＝－2或0，则当x ∈(0，＋∞)时，g (x )>0，即f ′(x )>0，则函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当x ∈(－2,0)时，g (x )<0，即f ′(x )<0，则函数f (x )在(－2,0)上单调递减．(8分) ④当m <0时，Δ＝4－4m >0，设方程g (x )＝x 2＋2x ＋m ＝0的两根为x 3，x 4，且x 3<x 4，则有x 3＝－2－4－4m 2<－2，x 4＝－2＋4－4m2>－1，则f ′(x )>0在(x 4，＋∞)上成立，故函数f (x )在(x 4，＋∞)上单调递增；f ′(x )<0在(－2，x 4)上成立，故函数f (x )在(－2，x 4)上单调递减．(10分)(2)因为f ′(x )＝m x ＋2＋x ，x >－2,0<m ≤2，所以f ′(x )＝mx ＋2＋x >0在(0,2]上恒成立，故函数f (x )在(0,2]上单调递增．不妨设0<x 1≤x 2≤2，则|f (x 1)－f (x 2)|≤t ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 1＋2－1x 2＋2可化为f (x 2)＋t x 2＋2≤f (x 1)＋t x 1＋2.(13分)设h (x )＝f (x )＋tx ＋2＝m ln (x ＋2)＋12x 2＋1＋tx ＋2，则h (x 1)≥h (x 2)，所以h (x )为(0,2]上的减函数，即h ′(x )＝m x ＋2＋x －tx ＋2≤0在(0,2]上恒成立，等价于m (x ＋2)＋x (x ＋2)2－t ≤0在(0,2]上恒成立，即t ≥m (x ＋2)＋x (x ＋2)2在(0,2]上恒成立．(17分)又0<m ≤2，所以2(x ＋2)＋x (x ＋2)2≥m (x ＋2)＋x (x ＋2)2，对于函数y ＝2(x ＋2)＋x (x ＋2)2＝x 3＋4x 2＋6x ＋4，因为y ′＝3x 2＋8x ＋6>0在(0,2]上恒成立，故y ＝x 3＋4x 2＋6x ＋4在(0,2]上是增函数，即y max ＝23＋4×22＋12＋4＝40，所以m (x ＋2)＋x (x ＋2)2≤40，所以t ≥40，即t 的最小值为40.(20分)6．[2017·衡中期末](本小题满分20分)设函数f (x )＝xln x －ax .(1)若函数f (x )在(1，＋∞)上为减函数，求实数a 的最小值；(2)若存在x 1，x 2∈[e ，e 2]，使f (x 1)≤f ′(x 2)＋a 成立，求实数a 的取值范围．解 (1)函数定义域为：{x |x >0，且x ≠1}，对函数f (x )求导：f ′(x )＝ln x －1ln 2x －a ，(3分)若函数f (x )在(1，＋∞)上为减函数，则f ′(x )＝ln x －1ln 2x －a ≤0在(1，＋∞)恒成立，所以f ′(x )max ≤0.(5分)由f ′(x )＝ln x －1ln 2x －a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x －122＋14－a ，故当1ln x ＝12，即x ＝e 2时，f ′(x )max ＝14－a ≤0，所以a ≥14，所以a 的最小值是14.(8分)(2)若存在x 1，x 2∈[e ，e 2]，使f (x 1)≤f ′(x 2)＋a 成立，则问题等价为：当x 1，x 2∈[e ，e 2]时，f (x )min ≤f ′(x )max ＋a . 由(1)知，f ′(x )在x ∈[e ，e 2]的最大值为14－a ，所以f ′(x )max ＋a ＝14，所以问题转化为：当x ∈[e ，e 2]时有f (x )min ≤14.(11分)(ⅰ)当a ≥14时，由(1)知，f (x )在[e ，e 2]是减函数，所以f (x )的最小值是f (e 2)＝e 22－a e 2≤14，解得a ≥12－14e2.(13分)(ⅱ)当a <14时，f ′(x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x －122＋14－a 在[e ，e 2]的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ，14－a .①当－a ≥0，即a ≤0时，f (x )在[e ，e 2]是增函数，于是f (x )min ＝f (e)＝e －a e≥e>14，矛盾．(15分)②当－a <0，即0<a <14时，由f ′(x )的单调性和值域知，存在唯一的x 0∈(e ，e 2)，使得f ′(x 0)＝0，且当x ∈(e ，x 0)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈(x 0，e 2)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．所以，f (x )的最小值为f (x 0)＝x 0ln x 0－ax 0≤14，(18分)即a ≥1ln x 0－14x 0>1ln e 2－14e ＝12－14e >14，矛盾．综上有，a ≥12－14e2.(20分)7．[2016·广州一模](本小题满分20分)已知函数f (x )＝e x ＋m－x 3，g (x )＝ln (x ＋1)＋2.(1)若曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为1，求实数m 的值； (2)当m ≥1时，证明：f (x )>g (x )－x 3. 解 (1)因为f (x )＝e x ＋m －x 3，所以f ′(x )＝ex ＋m－3x 2.(2分)因为曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为1，所以f ′(0)＝e m＝1，(4分) 解得m ＝0.(6分) (2)证明：因为f (x )＝ex ＋m－x 3，g (x )＝ln (x ＋1)＋2，所以f (x )>g (x )－x 3等价于e x ＋m－ln (x ＋1)－2>0.(7分)当m ≥1时，e x ＋m－ln (x ＋1)－2≥e x ＋1－ln (x ＋1)－2.要证ex ＋m－ln (x ＋1)－2>0，只需证明ex ＋1－ln (x ＋1)－2>0.(9分)以下给出证明e x ＋1－ln (x ＋1)－2>0.设h (x )＝e x ＋1－ln (x ＋1)－2，则h ′(x )＝e x ＋1－1x ＋1.(10分) 设p (x )＝ex ＋1－1x ＋1，则p ′(x )＝e x ＋1＋1x ＋2>0.(11分)所以函数p (x )＝h ′(x )＝e x ＋1－1x ＋1在(－1，＋∞)上单调递增．因为h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝e 12 －2<0，h ′(0)＝e －1>0，所以函数h ′(x )＝e x ＋1－1x ＋1在(－1，＋∞)上有唯一零点x 0，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.(14分)因为h ′(x 0)＝0，所以ex 0＋1＝1x 0＋1，即ln (x 0＋1)＝－(x 0＋1)．(15分) 当x ∈(－1，x 0)时，h ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )>0，所以当x ＝x 0时，h (x )取得最小值h (x 0)．所以h (x )≥h (x 0)＝e x 0＋1－ln (x 0＋1)－2＝1x 0＋1＋(x 0＋1)－2>0.(19分) 综上可知，当m ≥1时，f (x )>g (x )－x 3.(20分)8．[2016·全国卷Ⅰ](本小题满分20分)已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2有两个零点．(1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2.解 (1)f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)(e x＋2a )．(2分)①设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x，f (x )只有一个零点．(4分)②设a >0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b <ln a 2，则f (b )>a2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝⎛⎭⎪⎫b 2－32b >0，故f (x )存在两个零点．(7分)③设a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝ln (－2a )．若a ≥－e2，则ln (－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此f (x )在(1，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点．若a <－e2，则ln (－2a )>1，故当x ∈(1，ln (－2a ))时，f ′(x )<0；当x ∈(ln (－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0.因此f (x )在(1，ln (－2a ))上单调递减，在(ln (－2a )，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点．(10分)综上，a 的取值范围为(0，＋∞)． (2)证明：不妨设x 1<x 2.由(1)知，x 1∈(－∞，1)，x 2∈(1，＋∞)，2－x 2∈(－∞，1)，又f (x )在(－∞，1)上单调递减，所以x 1＋x 2<2等价于f (x 1)>f (2－x 2)，即f (2－x 2)<0.(13分) 由于f (2－x 2)＝－x 2e 2－x 2＋a (x 2－1)2，而f (x 2)＝(x 2－2)e x 2＋a (x 2－1)2＝0，所以f (2－x 2)＝－x 2e 2－x 2－(x 2－2)e x 2.(15分)设g (x )＝－x e2－x－(x －2)e x ，则g ′(x )＝(x －1)(e 2－x－e x)．所以当x >1时，g ′(x )<0，而g (1)＝0，故当x >1时，g (x )<0.(18分)从而g (x 2)＝f (2－x 2)<0，故x 1＋x 2<2.(20分)。

2018年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷测评卷3 理

2018年高考复习全程测评卷(三)测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·山东重点中学联考]定义集合A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，若集合M ＝{1,2,3,4,5}，集合N ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z }，则集合M －N 的子集个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．无数个答案 C解析 1,3,5∈N ，M －N ＝{2,4}，所以集合M －N 的子集个数为22＝4个，故选C. 2．[2017·河南平顶山检测]设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z 1＝2－i ，则z 1·z 2＝( )A ．－4＋3iB ．4＋3iC ．－3－4iD ．－3＋4i 答案 D解析因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z 1＝2－i ，所以z 2＝－2－i ，z 2＝－2＋i ，z 1·z 2＝(2－i)·(－2＋i)＝－3＋4i ，故选D.3．[2016·湖北七校联考]已知命题“已知a ，b ，c 为实数，若abc ＝0，则a ，b ，c 中至少有一个等于0”，在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 D解析原命题为真命题，逆命题为“已知a ，b ，c 为实数，若a ，b ，c 中至少有一个等于0，则abc ＝0”，也为真命题．根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题，故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为3.4．[2017·沈阳模拟]已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则tan θ的可能取值是( )A ．－3B ．3或13C ．－13D ．－3或－13答案 C解析解法一：由sin θ＋cos θ＝a 可得2sin θ·cos θ＝a 2－1，由a ∈(0,1)及θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，得sin θ·cos θ<0且|sin θ|<|cos θ|，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，从而tan θ∈(－1,0)，故选C.解法二：用单位圆中三角函数线的知识可知θ∈( －π4，0 )，从而tan θ∈(－1,0)，故选C.5．[2016·吉大附中一模]“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )答案 B解析俯视图是正方形，曲线在其上面的投影恰为正方形的对角线且为实线，选B.6．[2016·重庆测试]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥0，x －y ＋6≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)答案 C解析依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线ax ＋y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(3,9)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大；当平移到经过该平面区域内的点(3，－3)时，相应直线在y 轴上的截距达到最小，相应直线ax ＋y ＝0的斜率的取值范围是[－1,1]，即－a ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]，选C.7．[2016·洛阳第一次联考]已知(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5则2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝( )A ．10B ．5C ．1D ．0 答案 D解析看似二项式展开，实则是导数题目．求导得10(2x －1)4＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3＋5a 5x 4，令x ＝0，得a 1＝10，令x ＝1，得2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝0，故选D.8．[2017·四川联考]已知P 是△ABC 所在平面外的一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，若MN ＝BC ＝4，PA ＝43，则异面直线PA 与MN 所成角的大小是( )A ．30° B．45° C．60° D．90° 答案 A解析取AC 的中点O ，连接OM 、ON ，则OM 綊12BC ，ON 綊12PA ，∴∠ONM 就是异面直线PA与MN 所成的角．由MN ＝BC ＝4，PA ＝43，得OM ＝2，ON ＝23，∴cos ∠ONM ＝ON 2＋MN 2－OM 22ON ·MN＝12＋16－42×23×4＝32，∴∠ONM ＝30°，即异面直线PA 与MN 所成角的大小为30°.故选A.9．[2017·兰州诊断]若将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值是( )A ．－12B ．－32 C.22 D.12答案 D解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)＝2sin ( 2x ＋φ＋π3 )，∴将函数f (x )的图象向左平移π4个单位长度后，得到函数解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ＋π3＝2cos ( 2x ＋φ＋π3 )的图象．∵该图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，对称中心在函数图象上，∴2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π2＋φ＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋φ＋π3＝0，解得π＋φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－5π6，k ∈Z .∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值是12.故选D.10．[2017·桂林联考]已知抛物线y 2＝4x 的准线与x 轴相交于点P ，过点P 且斜率为k (k >0)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若|FB |＝2|FA |，则AB 的长度为( )A.32 B ．2 C.172 D.17 答案 C解析依题意知P (－1,0)，F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|FB |＝2|FA |，得x 2＋1＝2(x 1＋1)，即x 2＝2x 1＋1 ①，∵P (－1,0)，则AB 的方程为y ＝kx ＋k ，与y 2＝4x 联立，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，则Δ＝(2k 2－4)2－4k 4>0，即k 2<1，x 1x 2＝1 ②，由①②得x 1＝12，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，∴k ＝2－012－－＝223，∴x 1＋x 2＝52， |AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋89[]x 1＋x 22－4x 1x 2＝172，选C. 11．[2017·南昌调研] 18世纪法国数学家蒲丰(George －Louis Leclerc de Buffon)做了一个著名的求圆周率的实验，如图，在桌面内均匀画出相距为a 的一簇平行直线，细针长度为l ⎝ ⎛⎭⎪⎫l ≤a 2，随机向桌面抛掷针的次数是n ，其中针与平行线相交的次数是m ，则圆周率π的估计值为( )A.nl maB.2nl maC.ma nlD.2ma nl答案 B解析设事件A 为“针与平行直线相交”，如图，设针的中心到平行线的最小距离为Y ，与平行线所成角为α，则所有事件构成的集合Ω＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，Y⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0≤α≤π2，0≤Y ≤a 2，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，Y ∈Ω|0≤Y ≤l2sin α，则在平面直角坐标系内，集合Ω对应的区域面积S Ω＝a π4，集合A 对应的区域面积S A ＝⎠⎜⎛0π2l 2sin αd α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－l 2cos α⎪⎪⎪⎪π2＝l 2，所以P (A )＝S AS Ω＝2l a π＝m n ，则π＝2nlma. 12．[2016·天津高考]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋a －x ＋3a ，x <0，log a x ＋＋1，x ≥0(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 答案 C解析当x <0时，f (x )单调递减，必须满足－4a －32≥0，故0<a ≤34，此时函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (x )在R 上单调递减，还需3a ≥1，即a ≥13，所以13≤a ≤34.结合函数图象，当x ≥0时，函数y ＝|f (x )|的图象和直线y ＝2－x 有且只有一个公共点，即当x ≥0时，方程|f (x )|＝2－x 只有一个实数解．因此，只需当x <0时，方程|f (x )|＝2－x 恰有一个实数解．根据已知条件可得，当x <0时，f (x )>0，即只需方程f (x )＝2－x 恰有一个实数解，即x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x ，即x 2＋2(2a －1)x ＋3a －2＝0在(－∞，0)上恰有唯一的实数解．判别式Δ＝4(2a －1)2－4(3a －2)＝4(4a 2－7a ＋3)＝4(a －1)(4a －3)，因为13≤a ≤34，所以Δ≥0.当3a －2<0，即a <23时，方程x 2＋2(2a －1)x ＋3a －2＝0有一个正实根、一个负实根，满足要求；当3a －2＝0，即a ＝23时，方程x 2＋2(2a －1)x ＋3a －2＝0的一个根为0，一个根为－23，满足要求；当3a －2>0，即23<a <34时，因为－(2a －1)<0，此时方程x 2＋2(2a －1)x＋3a －2＝0有两个负实根，不满足要求；当a ＝34时，方程x 2＋2(2a －1)x ＋3a －2＝0有两个相等的负实根，满足要求．综上可知，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2016·山东高考]执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为________．答案 3解析输入a ＝0，b ＝9，第一次循环：a ＝0＋1＝1，b ＝9－1＝8，i ＝1＋1＝2；第二次循环：a ＝1＋2＝3，b ＝8－2＝6，i ＝2＋1＝3；第三次循环：a ＝3＋3＝6，b ＝6－3＝3，a >b 成立，所以输出i 的值为3.14．[2016·北京高考]双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.答案 2解析由OA 、OC 所在直线为渐近线，且OA ⊥OC ，知两条渐近线的夹角为90°，从而双曲线为等轴双曲线，则其方程为x 2－y 2＝a 2.OB 是正方形的对角线，且点B 是双曲线的焦点，则c ＝22，根据c 2＝2a 2可得a ＝2.15．[2017·太原质检]已知向量AB →与AC →的夹角为120°，|CB →－CA →|＝2，|BC →－BA →|＝3，若向量AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．答案127解析由条件可知|AB →|＝2，|AC →|＝3，于是AB →·AC →＝2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－3.由AP →⊥BC →，得AP →·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0，所以|AC →|2＋(λ－1)AB →·AC →－λ|AB →|2＝0，即9＋(λ－1)×(－3)－4λ＝0，解得λ＝127.16．[2017·杭州模拟]已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2sin B ＋(a 2＋b 2－c 2)sin A ＝0，tan A ＝2sin B ＋12cos B ＋1，则角A 等于________．答案7π36解析在△ABC 中，a 2sin B ＋(a 2＋b 2－c 2)sin A ＝0，∴a 2sin B ＋2ab cos C sin A ＝0，a sin B ＋2b cos C sin A ＝0，sin A sin B ＋2sin B cos C sin A ＝0，又sin A ≠0，sin B ≠0，∴cos C ＝－12，且0<C <π，C ＝2π3，则A ＝π3－B ，又tan A ＝2sin B ＋12cos B ＋1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ·2cos B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ·2sin B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ， ∴2[ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B cos B －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B sin B ]＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π3＋B ，∴π3－2B ＝B －π12或π3－2B －π12＋B ＝π，解得B ＝5π36或B ＝－3π4(舍去)，故A ＝π3－5π36＝7π36. 三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．[2017·湖北联考](本小题满分12分)在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N *)，a 1a 3＝4，且a 3＋1是a 2和a 4的等差中项，若b n ＝log 2a n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式； (2)若数列{c n }满足c n ＝a n ＋1＋1b 2n －1·b 2n ＋1，求数列{c n }的前n 项和．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，且q >0，在等比数列{a n }中，由a n >0，a 1a 3＝4，得a 2＝2，① (2分)又a 3＋1是a 2和a 4的等差中项，所以2(a 3＋1)＝a 2＋a 4，②把①代入②，得2(2q ＋1)＝2＋2q 2，解得q ＝2或q ＝0(舍去)，(4分) 所以a n ＝a 2qn －2＝2n －1，则b n ＝log 2a n ＋1＝log 22n＝n .(6分) (2)由(1)得，c n ＝a n ＋1＋1b 2n －1·b 2n ＋1＝2n＋1n －n ＋＝2n＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，(8分)所以数列{c n }的前n 项和S n ＝2＋22＋ (2)＋12[ ( 1－13 )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ]＝－2n1－2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝2n ＋1－2＋n 2n ＋1.(12分) 18．[2016·武汉调研](本小题满分12分)一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费时间，为此进行了5次试验，测得的数据如下：(1)如果y 与x 具有线性相关关系，求回归直线方程；(2)根据(1)所求回归直线方程，预测此车间加工这种零件70个时，所需要的加工时间．附：b ＝∑ni ＝1x i y i －n x － y －∑ni ＝1x 2i －n x2，y －＝b x －＋a .解 (1)设所求的回归直线方程为y ^＝bx ＋a . 列表：∴x －＝30，y －＝75，∑5i ＝1x 2i ＝5500，∑5i ＝1x i y i ＝11920,5x －y －＝11250.(4分) ∴b ＝∑5i ＝1x i y i －5x －y －∑5i ＝1x 2i －5x －2＝11920－112505500－5×302＝0.67，a ＝y －－b x －＝75－0.67×30＝54.9， ∴回归直线方程为y ^＝0.67x ＋54.9.(8分) (2)由(1)所求回归直线方程知，x ＝70时， y ^＝0.67×70＋54.9＝101.8(分钟)．∴预测此车间加工这种零件70个时，所需要加工时间为101.8分钟．(12分)19．[2016·山东高考](本小题满分12分)在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．(1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；(2)已知EF ＝FB ＝12AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角F －BC －A 的余弦值．解 (1)证明：设FC 的中点为I ，连接GI ，HI ，在△CEF 中，因为点G 是CE 的中点，所以GI ∥EF .(2分)又EF ∥OB ，所以GI ∥OB .因为OB ⊄平面GHI .所以OB ∥平面GHI .(3分) 在△CFB 中，因为H 是FB 的中点，所以HI ∥BC .同理BC ∥平面GHI .(4分) 又OB ∩BC ＝B ，所以平面GHI ∥平面ABC .(5分) 因为GH ⊂平面GHI ，所以GH ∥平面ABC .(6分)(2)解法一：连接OO ′，则OO ′⊥平面ABC . 又AB ＝BC ，且AC 是圆O 的直径，所以BO ⊥AC .以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .(7分) 由题意得B (0,23，0)，C (－23，0,0)．过点F 作FM 垂直OB 于点M ，所以FM ＝FB 2－BM 2＝3，可得F (0，3，3)．(9分)故BC →＝(－23，－23，0)，BF →＝(0，－3，3)．设m ＝(x ，y ，z )是平面BCF 的法向量，由⎩⎨⎧m ·BC →＝0，m ·BF →＝0，可得⎩⎨⎧－23x －23y ＝0，－3y ＋3z ＝0.可得平面BCF 的一个法向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，1，33.(10分) 因为平面ABC 的一个法向量n ＝(0,0,1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝77.(11分)所以二面角F －BC －A 的余弦值为77.(12分)解法二：连接OO ′.过点F 作FM 垂直OB 于点M ，则有FM ∥OO ′.(7分) 又OO ′⊥平面ABC ，所以FM ⊥平面ABC .(8分) 可得FM ＝FB 2－BM 2＝3.过点M 作MN 垂直BC 于点N ，连接FN . 可得FN ⊥BC ，从而∠FNM 为二面角F －BC －A 的平面角．又AB ＝BC ，AC 是圆O 的直径，所以MN ＝BM sin45°＝62，(9分) 从而FN ＝422，可得cos ∠FNM ＝77.(10分) 所以二面角F －BC －A 的余弦值为77.(12分) 20．[2016·湖北八校联考](本小题满分12分)定义：在平面内，点P 到曲线Γ上的点的距离的最小值称为点P 到曲线Γ的距离．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：(x －2)2＋y 2＝12及点A (－2，0)，动点P 到圆M 的距离与到A 点的距离相等，记P 点的轨迹为曲线W .(1)求曲线W 的方程；(2)过原点的直线l (l 不与坐标轴重合)与曲线W 交于不同的两点C ，D ，点E 在曲线W 上，且CE ⊥CD ，直线DE 与x 轴交于点F ，设直线DE ，CF 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1k 2.解 (1)由题意知：点P 在圆内且不为圆心，故|PA |＋|PM |＝23>22＝|AM |，(2分) 所以P 点的轨迹为以A 、M 为焦点的椭圆，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则⎩⎨⎧2a ＝23，2c ＝22⇒⎩⎨⎧a ＝3，c ＝2，所以b 2＝1，故曲线W 的方程为x 23＋y 2＝1.(4分)(2)设C (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，E (x 2，y 2)，则D (－x 1，－y 1)，则直线CD 的斜率为k CD ＝y 1x 1，又CE ⊥CD ，所以直线CE 的斜率是k CE ＝－x 1y 1，记－x 1y 1＝k ，设直线CE 的方程为y ＝kx ＋m ，由题意知k ≠0，m ≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(1＋3k 2)x 2＋6mkx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－6mk 1＋3k2，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋3k2，(8分)由题意知，x 1≠x 2，所以k 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－13k ＝y 13x 1，所以直线DE 的方程为y ＋y 1＝y 13x 1(x ＋x 1)，令y ＝0，得x ＝2x 1，即F (2x 1,0)．可得k 2＝－y 1x 1，所以k 1＝－13k 2，即k 1k 2＝－13.(12分)21．[2016·河南六市联考](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln 2xx.(1)求f (x )在[1，a ](a >1)上的最小值；(2)若关于x 的不等式f 2(x )＋mf (x )>0只有两个整数解，求实数m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝1－ln 2x x2(x >0)，令f ′(x )>0，得f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 2；令f ′(x )<0，得f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2，＋∞.(1分) ∵x ∈[1，a ]，∴当1<a ≤e2时，f (x )在[1，a ]上为增函数，f (x )的最小值为f (1)＝ln 2；(3分)当a >e 2时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，e 2上为增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤e 2，a 上为减函数．又f (2)＝ln 42＝ln 2＝f (1)，∴若e2<a ≤2，f (x )的最小值为f (1)＝ln 2，若a >2，f (x )的最小值为f (a )＝ln 2aa，(5分)综上，当1<a ≤2时，f (x )的最小值为f (1)＝ln 2；当a >2时，f (x )的最小值为f (a )＝ln 2aa.(6分)(2)由(1)知，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 2，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2，＋∞，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2，＋∞上，ln 2x >ln e ＝1>0，又x >0，则f (x )>0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，∴当m >0时，由不等式f 2(x )＋mf (x )>0，得f (x )>0或f (x )<－m ，而f (x )>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，整数解有无数多个，不合题意，f (x )<－m 无整数解；(8分)当m ＝0时，由不等式f 2(x )＋mf (x )>0，得f (x )≠0，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，整数解有无数多个，不合题意；(9分)当m <0时，由不等式f 2(x )＋mf (x )>0，得f (x )>－m 或f (x )<0，f (x )<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，无整数解，(10分)若不等式f 2(x )＋mf (x )>0有两个整数解，则f (3)≤－m <f (2)＝f (1)， ∴－ln 2<m ≤－13ln 6.综上m 范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－ln 2，－13ln 6.(12分) 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．[2016·黄冈质检](本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为ρ＝sin θcos 2θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过点P (0,2)作斜率为1的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试求1|PA |＋1|PB |的值．解 (1)令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入C 的极坐标方程，得y ＝x 2.(5分) (2)设A ，B 两点对应参数为t 1，t 2，直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，代入y ＝x 2，得t 2－2t －4＝0，则t 1t 2＝－4，t 1＋t 2＝2，(8分) 1|PA |＋1|PB |＝1|t 1|＋1|t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2|t 1t 2|＝324.(10分)23．[2016·广州综合测试](本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥12的解集；(2)若对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集为空集，求实数b 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )≥12等价于|x ＋1|－|x |≥12.①当x ≤－1时，不等式化为－x －1＋x ≥12，无解；(2分)②当－1<x <0时，不等式化为x ＋1＋x ≥12，解得－14≤x <0；(3分)③当x ≥0时，不等式化为x ＋1－x ≥12，解得x ≥0.(4分)综上所述，不等式f (x )≥12的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞.(5分) (2)因为不等式f (x )≥b 的解集为空集，所以b >[f (x )]max .因为f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |≤|x ＋a －x ＋1－a |＝|a ＋1－a |＝a ＋1－a ，当且仅当x ≥1－a 时取等号，所以[f (x )]max ＝a ＋1－a .因为对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集为空集，所以b >[]a ＋1－a max .(8分) 以下给出两种思路求g (a )＝a ＋1－a 的最大值．思路1：令g (a )＝a ＋1－a ，所以g 2(a )＝1＋2a 1－a ≤1＋(a )2＋(1－a )2＝2. 当且仅当a ＝1－a ，即a ＝12时等号成立．所以[g (a )]max ＝2，所以b 的取值范围为(2，＋∞)．(10分)思路2：令g (a )＝a ＋1－a ，因为0≤a ≤1，所以可设a ＝cos 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2，则g (a )＝a ＋1－a ＝cos θ＋sin θ ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤2，当且仅当θ＝π4时等号成立，所以b 的取值范围为(2，＋∞)．(10分)。

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