矩阵特征值与特征向量几个问题思考

矩阵特征值与特征向量的几个问题的思考

第1章引言

矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特（J.Sylvester，英国,1814-1897）首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语.而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了.从行列式的大量工作中明显的表现出来，方阵本身可以用行列式的性质来研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的.在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反.

矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论.而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论.矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域.

现代行列式与矩阵的研究从形式上已推广到无限阶，从内容上已有了属于抽象域的元素的矩阵，这些理论都在继续发展之中.

现如今，矩阵在许多领域有所应用，一般只要是多维函数关系都能用到，如经济领域、矢量计算、流体流动、传热传质等等.这些领域的问题既是实际问题的应用，实质上也是数学理论的求解.对于数学的场论等方面理论问题，有时需要这一工具来求解.它在数学的发展史上

有一定地位与作用，它的产生主要源自于解决现实多元问题的需要，但是建立在数学理论发展到一定阶段的基础上. 第2章 矩阵特征值与特征向量的概念 2.1 矩阵特征值与特征向量

工程技术中的一些问题，如振动问题和稳定性问题，常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题.数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组等问题，也要用到特征值的理论. 2.1.1 矩阵的特征值与特征向量

定义1 设A 是n 阶矩阵，如果λ和n 维非零列向量x 使关系式 x x λA = （1） 成立，那么，这样的数λ称为矩阵A 的特征值，非零列向量x 称为A 的对应于特征值λ的特征向量.（1）式也可写成 ()0x λA -E =，

这是n 个未知数和n 个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是系数行列式0λA-E =，即

11121212221

2

-=

0n n n n nn a a a a a a a a a λ

λλλ

--A E =-

上式是以λ为未知数的一元n 次方程，称为矩阵A 的特征方程.其左端-λA E 是λ的n 次多项式，记作()f λ，称为矩阵A 的特征多项式.显然，A 的特征值就是特征方程的解.特征方程在复数范围恒有解，其个数为方程的次数（重数按重数计算）.因此，n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个特征值.

令i λλ=为矩阵A 的一个特征值，则由方程 ()0i x λA -E =

可求得非零解i x p =，即()0i x λA -E =的所有非零解都是A 的对应于特征值i λ的特征向量.（若i λ为实数，则i p 可取实向量；若i λ为复数，则i p 为复向量.）

2.2 特征值和特征向量的性质

根据上一节中的定义，我们可总结出一般矩阵和特殊矩阵的关于特征值和特征向量的相关性质.

2.2.1 一般矩阵的特征值与特征向量的性质

定理1 设A 为n 阶矩阵，则A 与T A 有相同的特征值；

定理2 设12,,,n λλλ为方阵()ij a A =的n 个特征值，则有下面结论成立： （1）()11

n

n

i ii i i a tr λ====A ∑∑（方阵A 的迹）；

（2）1

n

i i λ==A ∏.

由此定理可得下面的推论.

推论 n 阶方阵A 可逆的充要条件是0不为A 的特征值.

定理3 设12,,,m λλλ为方阵()ij a A =的m 个互异的特征值，12,,,m p p p 为与之依次对应的特征向量，则12,,,m p p p 线性无关.

例1 设1λ和2λ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为1p 和2p .证明：12p p +不是A 的特征向量. 证 按题设，有 111222,p p p p λλA =A =，故 ()112212p p p p λλA +=+，

用反证法， 假设12p p +是A 的特征向量，则应存在数λ，使

(

)()1212p p p p λA +=+，于是

()1

2

1

1

2

2

p p p p

λλλ+=+，即()()11220p p λλλλ-+-=，

由12λλ≠，则有1p ，2p 是线性无关的， 故 由上式得 120λλλλ-=-=，

即12λλ=，与题设矛盾，因此12p p +不是A 的特征向量.

定理4 若λ是矩阵A 的特征值，x 是A 的属于λ的特征向量，则 （1）m λ是m A 的特征值（m 是自然数）； （2）k λ是kA 的特征值()k R ∈；

（3）当A 为可逆时，1λ-A 是*A 的特征值.

按以上定理类推可知，若λ是矩阵A 的特征值，且

()01m m A a E a A a A ϕ=+++是关于矩阵A 的多项式，那么有 ()01m m a a a ϕλλλ=++

+是矩阵()A ϕ的特征值.

例 2 设三阶矩阵A 的特征值为1，-1,2，设矩阵32*B =A +A -E ， 试求 （1）B 的特征值；

（2）B .

解 因A 的特征值全部为0，所以A 可逆， 故 1111232λλλ*---A =A A =A =-A

∴ ()132232ϕ*-A =B =A +A-E =-A +A-E ()2

32ϕλλλ

=-+-

可得 B 的特征值为()()()11,13,23ϕϕϕ=--=-= ()()()1129ϕϕϕ∴B =⨯-⨯=