函数概念与基本初等函数 第六讲函数综合及其应用答案

专题二函数概念与基本初等函数Ⅰ
第六讲函数综合及其应用
答案部分
x
1．A【解析】解法一函数f (x) 的图象如图所示，当y | a |的图象经过点(0, 2) 时，可
2
y x a 的图象与y x 2 的图象相切时，由 2
x 知a 2 ．当 a x ，得
2 x 2 x
x x 2 2ax 4 0 ，由0，并结合图象可得a 2 ，要使f (x)≥| a |恒成立，当
2
a ≤时，需满足 a ≤2 ，即2≤a ≤0 ，当a 0 时，需满足a ≤2 ，所以
2≤a ≤2．
y
6
5
4
3
2
1
–4–3–2O 1 2 3 4
–1
–1
x
x 解法二由题意x 0 时，f (x) 的最小值2，所以不等式f (x)≥| a |等价于
2
x
| a |≤2 在R上恒成立．
2
x ，不符合题意，排除C、D；
当a 2 3 时，令x 0 ，得| 2 3 | 2
2
x ，不符合题意，排除B；
当a 2 3 时，令x 0 ，得| 2 3 | 2
2
选A．
2．B【解析】由f (x ) f (2 x)知f (x)的图像关于直线x 1对称，
又函数y | x 2 2x 3||(x 1)2 4 | 的图像也关于直线x 1对称，
所以这两个函数图像的交点也关于直线x 1对称，
不妨设
x x
x x x ，则 1 1
，即
x x ，
1 m 2
m
1 2 m
2
，
m
同理x 2 x m 1 2 ，……，由Array x x x x
i 1 2 m
i1
1
m
2 x (x x ) (x x ) (x x ) 2m
i 1 m 2 m 1 m 1
所以
i1
，所以
m
x m
i
i1
，故选B．
3．B【解析】由已知可设f(x)
2 ( 0)
x
x
x
2( 0)
x
，则f(a)
2 (a0)
a
2a( 0)
a
，因为f(x) 为偶函
数，所以只考虑a 0 的情况即可．若f(a ) 2b，则2a 2b，所以a b．故选B．4．B【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量V 48 升．而这段时间内行驶的里程数S 35600 35000 600 千米．所以这
段时间内，该车每100 千米平均耗油量为
48
100 8 升，故选B．600
5．B 【解析】采用特殊值法，若x 1, y 2, z 3,a 1,b 2,c 3，则ax by cz 14 ，az by cx 10 ，ay bz cx 11，ay bx cz 13 ，由此可知最低的总费用是
az by cx ．
6．B【解析】由题意可知p at 2 bt c过点（3，0.7），（4，0.8）（5，0.5），代入p at 2 bt c中可解得a 0.2,b 1.5,c 2 ，
∴p 0.2t 2 1.5t 2 0.2(t 3.75)2 0.8125
∴当t 3.75分钟时，可食用率最大．
7．D【解析】设年平均增长率为x ，原生产总值为a ，则(1p )(1q)a a (1x)2 ，解得x (1p )(1q ) 1，故选D．
8．A【解析】解法一由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0，0)，(2，0)，在(0，
0)处的切线方程为y= -x，在(2，0)处的切线方程为y= 3x-6，以此对选项进行检验．A
选项，y 1 x 3 1 x 2 x ，显然过两个定点，又 3 2 1
y x x ，
2 2 2
则y y ，故条件都满足，由选择题的特点知应选A．
| 1, | 3
x 0 x 2
解法二设该三次函数为f (x) ax3 bx2 cx d ，则f (x) 3ax2 2bx c
2
f (0)
f (2) 0
由题设有，解得
f (0) 1
f (2) 3
1 1
a ,
b ,
c 1,
d 0 ．
2 2
故该函数的解析式为 1 3 1 2
y x x x ，选A．
2 2
9．A【解析】设所求函数解析式为y f (x) ，由题意知f (5) 2, （f 5）2，且f (5) 0，代入验证易得 1 3 3
y x x 符合题意，故选A．
125 5
1
10．
[ , 2]【解析】当3≤x≤0 时，f (x)≤| x | 恒成立等价于x 2 2x a 2≤x 恒成8
立，即a ≤x 2 3x 2 恒成立，所以a ≤(x 3x 2) 2；
2
min
当x 0 时f (x)≤| x | 恒成立等价于x 2 2x 2a ≤x 恒成立，
即
x x x x 1 2
2
a≥恒成立，所以a≥( ) ．
max
2 2 8
综上，a 的取值范围是[1 ,2]
．
8
11．36【解析】取SC 的中点O ，连接OA,OB ，因为SA AC,SB BC ，所以OA SC,OB SC ．因为平面SAC 平面SBC ，所以OA 平面SBC ．
设OA r ，
1 1 1 1
V S OA r r r r
2
3
A SBC SBC
3 3 2 3
所以1 3 9 3
r r ，
3
所以球的表面积为4r 2 36．
1
【解析】由题意，u x2 y2 x2 (1x)2 2x2 2x 1，且x[0,1]，12．[ ,1]
2
x 时， 2 2 1
1
又x 0 时，u x2 y2 1，u x y ，当x 1时，u x2 y2 1，
2 2
1
所以x2 y2 取值范围为[ ,1]
．
2
1 1
13．7 【解析】由体积相等得：452 +22 8= r2 4 r2 8 r 7 ．
3 3
3
14．(2 10,) 【解析】函数g(x) 的定义域为[1, 2] ，
h x g x
( ) ( )
根据已知得
f x
2
，
所以h(x)=2 f (x ) g(x ) 6x 2b 4 x2 ，h(x ) g(x) 恒成立，
即6x 2b 4 x 2 4 x2 ，令y 3x b ，y 4 x2 ，则只要直线y 3x b
在半圆x 2 y 2 4(y≥0) 上方即可，由| b | 2，解得b 2 10（舍去负值），故实
10
数b 的取值范围是(2 10,) ．
15．160【解析】设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长x m ，因为无盖长方体的容积为4m3 ，高为1m，所以长方体的底面矩形的宽为
4
x
m ，依题意，得
2 4 4 4
y 20 4 10(2x ) 80 20(x )≥8020 2 x 160．
x x x
16．①③④【解析】对于①，根据题中定义，f (x) A 函数y f (x) ，x D 的值域为R ，由函数值域的概念知，函数y f (x) ，x D 的值域为R b R ,a D
f a b ，所以①正确；对于②，例如函数( ) (1)| |
( ) f x 的值域(0,1]包含于区间[1,1]，
x
2
所以f (x)B，但f (x) 有最大值l，没有最小值，所以②错误；对于③，
若f (x ) g(x) B ，则存在一个正数M，使得函数f (x ) g(x) B 的值域包含于区
1
间
[M ,M ] ，所以M ≤f (x)
1 1 1
g(x)≤M ，由g(x)B知，存在一个正数
M ，
1 2
使得函数g(x) 的值域包含于区间M2 g(x) M 2
[M ,M ]，所以≤≤，亦有
2 2
M2 ≤-g(x)≤M2 ，两式相加得(M M ) ≤f (x) ≤M M ，于是f (x) B ，
1 2 1 2
与已知“. f (x)A”矛盾，故f (x ) g(x ) B ，即③正确；对于④，如果a 0 ，那么x , f (x ) ，如果a 0 ，那么x 2, f (x ) ，所以f (x) 有最大
值，必须a 0 ，此时 f (x )
x 在区间(2,)上，有 1 ( ) 1
≤f x ≤，所以
x 2 2 2
1
f (x)B，即④正确，故填①③④．
4
17．【解析】(1)当0 x≤30 时，f (x ) 30 40恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人均通勤时间；
当30 x 100 时，若40 f (x) ，即2x 1800 90 40
，解得x 20（舍）或x 45 ；
x
∴当45 x 100 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
(2)设该地上班族总人数为n ，则自驾人数为n x% ，乘公交人数为n (1x%) ．
因此人均通勤时间
30n x % 40n (1x%)
, 0 x≤30
n
g x
( ) 1800
，(2x 90)n x % 40n (1x %)
x x
,30 100
n
整理得：g(x)
x
40 , 0 x≤30
10
1
(x 32.5) 36.875,30 x 100
2
50
，
则当x(0, 30]U(30,32.5]，即x(0,32.5] 时，g(x) 单调递减；
当x(32.5,100) 时，g(x) 单调递增．
实际意义：当有32.5%的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短．适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降．
18．【解析】（1）由题意知，点M ，N 的坐标分别为5, 40，20, 2.5．
将其分别代入y
a
x b
2
a
40
a
1000
．
25
b
，得
，解得
a b 0
2.5
400 b
（2）①由（1）知， y
1000 1000
（ 5 x 20 ），则点 的坐标为 t ,
，
x
t
2
2
设在点 处的切线l 交 x ， y 轴分别于 A ， B 点，
2000
，
y
x
3
1000
2000
则 l 的方程为 y
x t
，由此得
t
t
2
3
Α 3t ,0 2 ， 3000
Β 0,
t
2
． 5
3t
3000
3 4 10
2
2
6
f t
t
2
故
2
2
t
2
t
2
4
，t 5, 20
．
4106
16106
②设
，则
．令 g t
0，解得t 10 2 ．
g t
t
g t 2t
2
t
t
4
5
当t 5,10 2时， g t 0 ， g t 是减函数；
当t
10 2, 20
时，
g t 0， g t
是增函数．
从而，当t 10 2 时，函数 g t
有极小值，也是最小值，所以
g t min 300 ，
f t min 15 3 ． 此时
答：当t 10 2 时，公路l 的长度最短，最短长度为15 3 千米．
19．【解析】（Ⅰ）因为蓄水池侧面积的总成本为1002rh 200rh 元，底面的总成本为
160r 元，所以蓄水池的总成本为（ 200rh 160r 2 ）元.
2
又题意据 200rh 160r 2 12000 ，所以
1 (300 4
2 )
h r ， 5r
从而V (r ) r 2h (300r 4r 3 )．因 r 0 ，又由 h 0 可得 r 5 3 ，
5
故函数V (r ) 的定义域为 (0, 5 3) .
（Ⅱ）因 ( )
(300 4 3 ) ．令V (r ) 0，
V r r r ，故V (r ) (300 12r 2 )
5 5
解得 r r （因
r r （因 1 5, 2 5
r 不在定义域内，舍去）.
2 5 当 r (0,5)时，V (r ) 0，故V (r ) 在 (0, 5) 上为增函数；
当r (5, 53) 时，V(r) 0 ，故V (r) 在(5, 5 3) 上为减函数.
由此可知，V (r) 在r 5 处取得最大值，此时h 8．
即当r 5 ，h 8时，该蓄水池的体积最大.
20．【解析】（1）当b 1,c 1,n …2时，f (x) x n x 1．
∵内存在零点．
f f ，∴f (x) 在(1 ,1)
( ) (1) ( ) 1 0
1 1 1
2 2n 2 2
又当上是单调递增的，x时，f (x) nx n1 10，∴f (x) 在(1 ,1)
( ,1)
1
2 2
6
1
∴f (x) 在区间( ,1)
2
内存在唯一的零点；
（2）解法一由题意知
剟f
1 ( 1) 1,
1剟f (1) 1,
即
0剟2,
b c
2剟b c
0,
由图像知，b 3c 在点
(0,2) 取得最小值6 ，在点(0, 0) 取得最大值0 ．
c
b
O
-2
解法二由题意知1剟f (1) 1 b c 1，即2剟b c 0 ．…①1剟f (1) 1b c 1，即2?-b c ?0．…②
① 2 +②得6?2(-b c ) (b c ) b 3c ?0，
当b 0,c 2 时，b 3c 6 ；当b c 0 时，b 3c 0 ．
所以b 3c 的最小值6，最大值0 ．
f (1) 1b c,
解法三由题意知，
f (1) 1 b c,
f (1) f (1) f (1) f (1) 2
解得
b ,
c ，
2 2
b 3
c 2 f (1) f (1) 3．
又∵
剟
1 f ( 1) 1,
，∴6?b 3c ?0 ．
1剟f (1) 1,
当b 0,c 2 时，b 3c 6 ；当b c 0 时，b 3c 0 ．所以b 3c 的最小值6，最大值0 ．
(3)当n 2 时, f (x) x2 bx c ．
对任意x x [1,1]都有有
1, 2f(x ) f (x ) …4 等价于f (x) 在[-1,1]上的最大值与最
1 2
小值之差M …4．据此分类讨论如下:
7
b ,即b 2时, M f (1) f (1) 2 b 4 ,与题设矛盾．
(ⅰ)当 1
2
b b b
(ⅱ)当1…0,即0 b …2时, M f (1) f () ( 1)2 …4 恒成立．
2 2 2
b b b
(ⅲ) 当0…1,即2剟b 0 时, M f (1) f () ( 1)2 …4 恒成立．
2 2 2
综上可知, 2剟b 2 ．
21．【解析】设包装盒的高为h （cm），底面边长为a （cm），由已知得
a 2x h 60 2x x x
, 2(30 ),0
2
30.
（1）S 4ah 8x (30 x ) 8(x 15)2 1800 ,
所以当x 15 时，S 取得最大值．
（2）V a2h 2 2 (x 2 30x2 ),V 6 2x (20 x). 由V 0得x 0（舍）或x =20．
当x (0,20) 时，V 0 ；当x(20,30)时V 0 ．所以当x =20 时，V 取得极大值，也是最小值．
此时h
a
1
，即装盒的高与底面边长的比值为
2
1
2
．
8。