(同济大学)高等数学课件D3_1中值定理

费马(fermat)引理
y f ( x) 在 ( x0 ) 有定义 , f ( x0 ) 0 且 f ( x) f ( x0 ) , f ( x0 ) 存在 y (或 ) 证: 设 x0 x ( x0 ) , f ( x0 x) f ( x0 ) , o x0 x f ( x x ) f ( ) 0 0 则 f ( x0 ) lim x 0 x
三、柯西(Cauchy)中值定理
f ( x) 及 F ( x) 满足 : (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导 (3)在开区间 ( a , b ) 内 F ( x) 0
f (b) f (a ) f ( ) . 至少存在一点 ( a, b) , 使 F (b) F (a ) F ( ) a b 分析: F (b) F (a ) F ( )(b a ) 0 f (b) f (a ) F ( ) f ( ) 0 要证 ( ) F (b) F (a ) f (b) f (a ) ( x) F ( x) f ( x) F (b) F (a )
上面两式相比即得结论.
错!
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柯西定理的几何意义:
f (b) f (a ) f ( ) F (b) F (a ) F ( )
弦的斜率 切线斜率
x F (t ) y f (t )
注意:
y f (b)
f (a)
d y f (t ) d x F (t )

f ( x2 ) f ( x1 )
由 x1 , x2 的任意性知, f ( x) 在 I 上为常数 .
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2 证: 设 f ( x) arcsin x arccos x , 则在 (1, 1) 上 1 1 0 f ( x) 2 2 1 x 1 x 由推论可知 f ( x) arcsin x arccos x C (常数)
令x=0,得 C
例2. 证明等式 arcsin x arccos x

, x [1, 1].

2 又 f ( 1) , 故所证等式在定义域 [ 1, 1] 上成立. 2 经验: 欲证 x I 时 f ( x) C0 , 只需证在 I 上 f ( x) 0, 且 x0 I , 使 f ( (b ) ,
证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 .
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例1. 证明方程 x 5 5 x 1 0 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1) 存在性 . 5 设 f ( x) x 5 x 1, 则 f ( x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 f (0) 1, f (1) 3. 由介值定理知存在 x0 (0 ,1) , 使
F ( x) x f (b ) f ( a ) F ( x) x 2. 微分中值定理的应用 (1) 证明恒等式 (2) 证明不等式
(3) 证明有关中值问题的结论
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罗尔定理
柯西中值定理
关键: 利用逆向思维 设辅助函数
思考与练习
1. 填空题 1) 函数 f ( x) x 4 在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理 条件, 则中值
即 设
f ( x ) sin x x
F ( x ) f ( x ) sin x
0
验证 F ( x ) 在 [ 0 , ] 上满足罗尔定理条件.
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3. 若 f ( x ) 可导, 试证在其两个零点间一定有
拉氏 目录 上页 下页 返回 结束
作辅助函数
f (b) f ( a ) ( ) ( x) f ( x) x
a b
拉格朗日中值定理的有限增量形式: 令 a x0 , b x0 x , 则 y f ( x0 x)x (0 1)
ba 显然 , ( x) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 (a) b f (a) a f (b) (b) , 由罗尔定理知至少存在一点 ba 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 (a , b) , 使 ( ) 0 , 即定理结论成立 . 证毕
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2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为
y f ( x) 在 ( a , b ) 内可导, 且
xa
lim f ( x) lim f ( x)
x b
在( a , b ) 内至少存在一点 , 使 f ( ) 0.
f (a ) ,
证明提示: 设 F ( x)
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0
1
二、拉格朗日中值定理
y
y f ( x)
y f ( x) 满足: o (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 a b x (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 f (b) f (a ) . 至少存在一点 ( a, b) , 使 f ( ) ba f (b) f ( a ) 0 证: 问题转化为证 f ( )
o F (a)F ( )
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F (b) x
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例4. 设 f ( x) 在[0 ,1] 上连续, 在 (0 ,1) 内可导, 证明 至少存在一点 (0 , 1), 使 f ( ) 2 [ f (1) f (0)]. 证: 结论可变形为 f (1) f (0) f ( ) f ( x) 2 1 0 2 ( x ) x 设 F ( x) x 2 , 则 f ( x) , F ( x) 在 [0, 1] 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使
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若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 M f (a ) , 则至少存在一点 ( a, b) , 使
f ( ) M , 则由费马引理得 f ( ) 0 .
注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如, y x , 0 x 1 f ( x) 0, x 1 o 1 x y y f ( x) x f ( x) x x [0 ,1] x [1,1] 1 o 1 x o 1 x
第三章 微分中值定理 与导数的应用
罗尔中值定理 中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题
推广
泰勒公式
(第三节)
第一节 中值定理
一、罗尔( Rolle )定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理
第三章
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一、罗尔( Rolle )定理
自证: arctan x arc cot x
.

2
, x ( , )
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x ln(1 x) x ( x 0) . 例3. 证明不等式 1 x 证: 设 f (t ) ln(1 t ) , 则 f (t ) 在[0 , x] 上满足拉格朗日
中值定理条件, 因此应有
f ( x) f (0) f ( )( x 0) , 0 x
即 因为 故
x , 0 x ln(1 x) 1 x x x 1 x 1 x ln(1 x) x 1 x ( x 0)
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f ( x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根 x0 . 2) 唯一性 .
假设另有 x1 (0 , 1) , x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0, f ( x) 在以 x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x , x 之间 至少存在一点 , 使 f ( ) 0 . 4 但 f ( x) 5( x 1) 0, x ( 0 , 1), 矛盾, 故假设不真!
y
y f ( x)
o
a
b x
在( a , b ) 内至少存在一点 , 使 f ( ) 0. 故在[ a , b ]上取得最大值 证: 因 f ( x) 在[a , b] 上连续， M 和最小值 m . 若 M = m , 则 f ( x ) M , x [ a , b] , 因此 (a , b) , f ( ) 0 .
f (1) f (0) f ( ) ( F (11 )0 F (0) F2 )
即
f ( ) 2 [ f (1) f (0)]
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内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论及关系 费马引理 拉格朗日中值定理
f (b ) f ( a )
柯西 目录 上页 下页 返回 结束
f (b) f (a ) F ( x) f ( x) 证: 作辅助函数 ( x) F (b) F (a ) 则 ( x) 在[a, b] 上连续, 在 (a, b)内可导, 且 f (b) F ( a ) f (a ) F (b) (a) (b) F (b) F (a ) 由罗尔定理知, 至少存在一点 ( a , b) , 使 ( ) 0, 即 f (b) f (a ) f ( ) . F (b) F (a ) F ( ) 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? f (b) f (a ) f ( )(b a ) , (a , b) 两个 不 F (b) F (a ) F ( )(b a ) , (a , b) 一定相同