[精品]2019高中数学第二章2.2.3向量数乘运算及其几何意义同步优化训练新人教A版必修170

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高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义课后习题新人教A版必修4

高中数学第二章平面向量223向量数乘运算及其几何意义课后习题新人教A 版必修4一、A 组1.已知非零向量 a, b 满足a +4b =0,则( )C a 与b 的方向相同D. a 与b 的方向相反解析：T a +4b =0,二 a =-4b, | a |= 4| b | ,且 a 与 b 的方向相反.答案：D1妙 4- BCA.1 -BA-BCB. Z:BA - BCC.--D.--I 1 IICD = -(CA + CB 解析：T 点D 是边AB 的中点，二).I~~TV 1I r^(CA + CB -BA + BC.•卫dg )=上.故选D .答案：D3.设a, b 不共线 J =a +k b, =n a +b(k ,m€ R),则A , B C 三点共线时有( )A.k=mB.km-仁0C km+1=0D.k+m=0i-1解析:若ABC 三点共线，则’共线,I I.存在唯一实数入,使二上=入“,.a +kb =X (m a +b),A. | a |+ 4| b |= 0B. a 与b 是相反向量2.如图所示1加=1*即 a +k b = Xm a + 入 b, •」几一/• km=1.即 km-1=0.答案:BA. △ ABC 的内部B. AC 边所在直线上C. AB 边所在直线上D. BC 边所在直线上4.如图,已知 lAB =a, AC =b,図/=3。

£,用a, b 表示眉D ,贝则4DA. a +Jb3 1B. 4a+4bC. ]a + ; b)5.已知P 是厶ABC 所在平面内的一点，池色=入卩月+PB ,其中入€ R 则点P —定在（上+解析：，兀入PP R, .UP R»PACB +•上P加••虽以共线.•••C P,A三点共线，故选B.答案:B6.化简:3（6a+»-^k 解析:原式=18a+3b-9a- 3b=9a.答案：9a7.如图，在平行四边形ABCD^ , E是CD的中点，且人月=a,4D=b,贝肖E = _____________________________________________________________________________I I I I I I解析:BE=BC^-CE = AD +答案—a+b &导学号08720054 在△ ABC中,点M为边AB的中点，若。

[精品]2019版高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义学案新人教A版必修46

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.(重点)2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算.(重点)3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.(难点)4.理解实数相乘与向量数乘的区别.(易混点)[基础·初探]教材整理1 向量的数乘运算阅读教材P87～P88例5以上内容，完成下列问题.1.定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.2.规定：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.3.运算律：设λ，μ为实数，则(1)λ(μa)＝λμa；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________.①a与－λa的方向相反；②|－λa|≥|a|；③a与λ2a方向相同；④|－2λa|＝2|λ|·|a|.【解析】由向量数乘的几何意义知③④正确.【答案】③④教材整理2 共线向量与向量的线性运算阅读教材P88例5以下至P89例7以上内容，完成下列问题.1.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 2.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .如图2218，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.图2218【解析】由向量加法的平行四边形法则知AB →＋AD →＝AC →. 又∵O 是AC 的中点，∴AC ＝2AO ， ∴AC →＝2AO →，∴AB →＋AD →＝2AO →， ∴λ＝2. 【答案】 2[小组合作型]数乘向量的定义及其几何意义(1)若两个非零向量a 与(2x －1)a 方向相同，则x 的取值范围为________. (2)已知点C 在线段AB 的延长线上(在B 点右侧)，且AB ∶AC ＝2∶3. ①用BC →表示AB →； ②用CB →表示AC →.【精彩点拨】对数乘运算的理解，关键是对系数λ的作用的认识： λ>0时，λa 与a 同向，模是|a |的λ倍； λ<0时，λa 与a 反向，模是|a |的－λ倍； λ＝0时，λa ＝0.【自主解答】 (1)由定义可知，2x －1>0，即x >12.【答案】 x >12(2)如图a ，因为点C 在线段AB 的延长线上，且AB ∶AC ＝2∶3，所以AB ＝2BC ，AC ＝3BC.①如图b ，向量AB →与BC →方向相同，所以AB →＝2BC →； ②如图c ，向量AC →与CB →方向相反，所以AC →＝－3CB →.对向量数乘运算的三点说明：(1)λa 中的实数λ叫做向量a 的系数.(2)向量数乘运算的几何意义是把a 沿着a 的方向或a 的反方向扩大或缩小. (3)当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0.注意是0，而不是0.[再练一题]1.已知a ，b 是两个非零向量，判断下列各命题的真假，并说明理由. (1)2a 的方向与a 的方向相同，且2a 的模是a 的模的2倍； (2)－3a 的方向与6a 的方向相反，且－3a 的模是6a 的模的12；(3)－4a 与4a 是一对相反向量； (4)a －b 与－(b －a )是一对相反向量；(5)若a ，b 不共线，则0·a 与b 不共线. 【导学号：00680042】【解】 (1)真命题.∵2>0，∴2a 与a 同向. ∵|2a |＝2|a |，∴2a 的模是a 的模的2倍. (2)真命题.∵－3<0，∴－3a 与a 方向相反且|－3a |＝3|a |. 又∵6>0，∴6a 与a 方向相同且|6a |＝6|a |， ∴－3a 与6a 方向相反且模是6a 的模的12.(3)真命题.由数乘定义和相反向量定义可知. (4)假命题.∵a －b 与b －a 是相反向量， ∴a －b 与－(b －a )是相等向量. (5)假命题.0·a ＝0，∴0·a 与b 共线.向量的线性运算(1)化简：(2a ＋3b －c )－(3a －2b ＋c )＝________.(2)已知向量a ，b ，x ，且(x －a )－(b －x )＝x －(a ＋b )，则x ＝________.【精彩点拨】 (1)可类比实数运算中的合并同类项方法化简； (2)可类比解方程方法求解.【自主解答】 (1)(2a ＋3b －c )－(3a －2b ＋c )＝2a －3a ＋3b ＋2b －c －c ＝－a ＋5b －2c. (2)因为(x －a )－(b －x )＝2x －(a ＋b )，所以2x －a －b ＝x －a －b ，即x ＝0. 【答案】 (1)－a ＋5b －2c (2)0向量数乘运算的方法：(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.[再练一题] 2.化简13⎣⎢⎡⎦⎥⎤122a ＋8b－4a －2b 的结果是( )A.2a －bB.2b －aC.b －aD.a －b【解】原式＝13(a ＋4b －4a ＋2b )＝13(6b －3a )＝2b －a .【答案】 B[探究共研型]向量共线问题探究1 已知m ，n 是不共线向量，a ＝3m ＋4n ，b ＝6m －8n ，判断a 与b 是否共线？【提示】要判断两向量是否共线，只需看是否能找到一个实数λ，使得a ＝λb 即可. 若a 与b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ，即3m ＋4n ＝λ(6m －8n ).∵m ，n 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧6λ＝3，－8λ＝4.∵不存在λ同时满足此方程组，∴a 与b 不共线.探究2 已知e 1，e 2是共线向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝6e 1－8e 2，则a 与b 是否共线？【提示】 ∵e 1，e 2共线， ∴存在λ∈R ，使e 1＝λe 2.∴a ＝3e 1＋4e 2＝3λe 2＋4e 2＝(3λ＋4)e 2，b ＝6e 1－8e 2＝6λe 2－8e 2＝(6λ－8)e 2，∴a ＝3λ＋46λ－8b ⎝⎛⎭⎪⎫λ≠43，∴a 与b 共线.当λ＝43时，b ＝0，∴a 与b 共线.探究3 设两非零向量e 1和e 2不共线，是否存在实数k ，使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线？【提示】设k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， ∴存在λ使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2. ∵e 1与e 2不共线，∴只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，则k ＝±1.已知非零向量e 1，e 2不共线.如果A B →＝e 1＋e 2，B C →＝2e 1＋8e 2，C D →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线. 【精彩点拨】欲证A ，B ，D 共线，只需证存在实数λ，使B D →＝λA B →即可. 【自主解答】 ∵A B →＝e 1＋e 2，B D →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2) ＝5A B →.∴A B →，B D →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.1.本题充分利用了向量共线定理，即b 与a (a ≠0)共线⇔b ＝λa ，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值.2.向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线.[再练一题]3.设两个非零向量e 1，e 2不共线，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.问：是否存在实数k ，使得A ，B ，D 三点共线，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 【导学号：70512028】【解】设存在k ∈R ，使得A ，B ，D 三点共线，∵DB →＝CB →－CD →＝(e 1＋3e 2)－(2e 1－e 2)＝－e 1＋4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2. 又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →＝λDB →， ∴2e 1＋k e 2＝λ(－e 1＋4e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝－λ，k ＝4λ，∴k ＝－8，所以存在k ＝－8，使得A ，B ，D 三点共线.1.下列各式中不表示向量的是( ) A.0·a B.a ＋3b C.|3a |D.1x －ye (x ，y ∈R ，且x ≠y ) 【解析】向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a |不是向量. 【答案】 C2.下列计算正确的个数是( )①(－3)·2a ＝－6a ；②2(a ＋b )－(2b －a )＝3a ；③(a ＋2b )－(2b ＋a )＝0. A.0B.1C.2D.3【解析】因为(－3)·2a ＝－6a ，故①正确；②中，左＝2a ＋2b －2b ＋a ＝3a 成立，故②正确；③中，左＝a ＋2b －2b －a ＝0≠0，故③错误.【答案】 C3.⎝⎛⎭⎪⎫3a ＋12b ＋c －⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋34b －c 等于( ) A.a －14b ＋2c B.5a －14b ＋2c C.a ＋54b ＋2cD.5a ＋54b【解析】 ⎝⎛⎭⎪⎫3a ＋12b ＋c －⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋34b －c ＝(3a －2a )＋⎝⎛⎭⎪⎫12b －34b ＋(c ＋c )＝a －14b ＋2c.故选A.【答案】 A4.O 为平行四边形ABCD 的中心，AB →＝4e 1，BC →＝6e 2，则3e 2－2e 1＝________.【解析】设点E 为平行四边形ABCD 的BC 边中点，点F 为AB 边中点，则3e 2－2e 1＝BE →＋BF →＝BO →＝OD →. 【答案】 OD →(或BO →)5.在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，证明：直线AD ∥BC. 【导学号：00680043】【证明】 ∵AD →＝AC →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →，∴AD →与BC →共线.又AD 与BC 不重合，∴直线AD ∥BC.。

高中数学第二章2.2.3向量数乘运算及其几何意义问题导学案新人教A版必修12

学习资料专题2.2.3 向量数乘运算及其几何意义问题导学一、向量数乘的基本运算活动与探究1计算：(1)3(6a ＋b )－9⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13b ； (2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3a ＋2b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋38b ； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a ．迁移与应用化简：(1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )；(2)16[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]．向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．二、向量的共线问题活动与探究2已知向量e 1和e 2不共线．(1)若AB ＝e 1＋e 2，BC ＝2e 1＋8e 2，CD ＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．迁移与应用1．已知e 1，e 2是两个非零不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2．若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．2．如图，已知AD ＝3AB ，DE ＝3BC ，试判断AC 与AE 是否共线．共线向量定理是判断两个向量是否共线的依据，即对于非零向量a ，b ，a ∥b 是否成立，关键是能否确定唯一的实数λ，使b ＝λa ．而对于三点共线问题可转化为两个向量共线问题，再依据定理进行解决：要证A ，B ，C 三点共线，只需证AB ＝λAC (λ∈R )或AB ＝λBC (λ∈R )；要证AB ∥CD ，只需证AB ＝λCD (λ∈R )．三、向量的线性运算活动与探究3如图，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC =BA ，在OB 上取点D ，使DB =13OB ，DC 与OA 交点为E ，设OA =a ，OB =b ，用a ，b 表示向量OC ，DC ．迁移与应用在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF 等于( )A ．14a ＋12bB ．23a ＋13b C ．12a ＋14b D ．13a ＋23b用已知向量来表示另外一些向量是向量解题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘等线性运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形对应边成比例等把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解．当堂检测1．下列计算正确的有( )①(－7)×6a ＝－42a ；②a －2b ＋(2a ＋2b )＝3a ；③a ＋b －(a ＋b )＝0．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．已知λ，μ∈R ，则下面关系正确的是( )A ．λa 与a 同向B ．0·a ＝0C ．(λ＋μ)a ＝λa ＋μ aD ．若b ＝λa ，则|b |＝λ|a |3．已知向量a ，b ，且AB ＝a ＋2b ，BC ＝－5a ＋6b ，CD ＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，CC ．B ，C ，D D ．A ，C ，D4．已知e 是任一向量，a ＝－2e ，b ＝5e ，用a 表示b ，其结果是__________．5．点C 在直线AB 上，且AC ＝3AB ，则BC ＝__________AB ．答案：课前预习导学【预习导引】1．向量向量的数乘 λa (1)|λ||a | (2)相同相反 0预习交流1 提示：1．从代数角度来看，(1)λ是实数，a 是向量，它们的积仍然是向量；(2)λa ＝0的条件是a ＝0或λ＝0．2．从几何的角度来看，对于向量的长度而言，(1)当|λ|＞1时，有|λa |＞|a |，这意味着表示向量a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长到|λ|倍；(2)当0＜|λ|＜1时，有|λa |＜|a |，这意味着表示向量a 的有向线段在原方向(0＜λ＜1)或反方向(－1＜λ＜0)上缩短到|λ|倍．2．(1)(λμ)a (2)λa ＋μa (3)λa ＋λb3．唯一一个 b ＝λa预习交流2 提示：定理中a ≠0不能漏掉．若a ＝b ＝0，实数λ仍然存在，但λ是任意实数，不唯一；若a ＝0，b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa ．4．(1)加、减、数乘运算 (2)λμ1a ±λμ2b课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：可综合运用向量数乘的运算律求解．解：(1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a ；(2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0； (3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c ．迁移与应用解：(1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )＝6a －4b ＋3a ＋15b －20b ＋5a ＝14a －9b ；(2)16[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b )＝－2a ＋4b ．活动与探究2 思路分析：对于(1)，欲证明A ，B ，D 三点共线，只需证明存在λ，使BD ＝λAB 即可．对于(2)，若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则一定存在λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)．解：(1)∵AB ＝e 1＋e 2，BD ＝BC ＋CD ＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB ， ∴AB ，BD 共线，且有公共点B ，∴A ，B ，D 共线．(2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴存在λ使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2．由于e 1与e 2不共线，只能有0,10,k k λλ-=⎧⎨-=⎩则k ＝±1．迁移与应用 1．解：∵a 与b 是共线向量，∴a ＝λb ，∴2e 1－e 2＝λ(k e 1＋e 2)＝λk e 1＋λe 2，∴2,1,k λλ=⎧⎨=-⎩∴k ＝－2．2．解：∵AE ＝AD ＋DE ＝3AB ＋3BC＝3(AB ＋BC )＝3AC ，∴AC 与AE 共线．活动与探究3 思路分析：解题的关键是建立OC ，DC 与a ，b 的联系，为此需要利用向量加、减、数乘运算．解：∵AC ＝BA ，∴A 是BC 的中点，∴OA ＝12(OB ＋OC )，∴OC ＝2OA －OB ＝2a －b ． ∴DC ＝OC －OD ＝OC －23OB ＝2a －b －23b ＝2a －53b ．迁移与应用 B解析：易知△DFE ∽△BAE ，又∵E 是OD 中点，∴DF ＝13DC ，AF ＝AD ＋DF ＝AD ＋13DC ＝(AO ＋OD )＋13(OC －OD ) ＝12AC ＋12BD ＋131122AC BD ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ＝23AC ＋13BD ＝23a ＋13b ．【当堂检测】1．C 解析：a ＋b －(a ＋b )＝0，故③错误，①②正确．2．C 解析：当a ≠0，λ＜0时，λa 与a 反向，且λ|a |＜0，则A ，D 错误．又∵0·a 的结果为0，则B 错误．由运算律知C 正确．3．A 解析：∵BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋4b ＝2AB ，且有一个公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．4．b ＝－52a 解析：由a ＝－2e ，得e ＝－12a ，代入b ＝5e ，可得b ＝－52a ． 5．2 解析：BC ＝AC －AB ＝3AB －AB ＝2AB ．。

高中数学：第二章 2.2 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 Word版含答案

平面向量的线性运算2．2.3向量数乘运算及其几何意义预习课本P87～90，思考并完成以下问题(1)向量数乘的定义及其几何意义是什么？(2)向量数乘运算满足哪三条运算律？(3)向量共线定理是怎样表述的？(4)向量的线性运算是指的哪三种运算？[新知初探]1．向量的数乘运算(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反.(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ(μa )＝(λμ)a ； ②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； ③λ(a ＋b )＝λa ＋λb ；特别地，有(－λ)a ＝－(λa )＝λ(－a )； λ(a －b )＝λa －λb .[点睛] (1)λ是实数，a 是向量，它们的积λa 仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a ，λ－a 均没有意义．(2)对于非零向量a ，当λ＝1|a |时，λa 表示a 方向上的单位向量．(3)注意向量数乘的特殊情况： ①若λ＝0，则λa ＝0； ②若a ＝0，则λa ＝0.应该特别注意的是结果是零向量，而非实数0. 2．向量共线的条件向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa .[点睛] (1)定理中a ≠0不能漏掉．若a ＝b ＝0，则实数λ可以是任意实数；若a ＝0，b ≠0，则不存在实数λ，使得b ＝λa .(2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t ，s ，使ta ＋sb ＝0，则a 与b 共线；若两个非零向量a 与b 不共线，且ta ＋sb ＝0，则必有t ＝s ＝0.3．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a ，b 及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)λa 的方向与a 的方向一致．( )(2)共线向量定理中，条件a ≠0可以去掉．( )(3)对于任意实数m 和向量a ，b ，若ma ＝mb ，则a ＝b .( ) ★答案★：(1)× (2)× (3)×2．若|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 方向相同，则下列关系式正确的是( ) A ．b ＝2a B ．b ＝－2a C ．a ＝2b D ．a ＝－2b★答案★：A3．在四边形ABCD 中，若AB ―→＝－12CD ―→，则此四边形是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．梯形D ．矩形★答案★：C4．化简：2(3a ＋4b )－7a ＝______. ★答案★：－a ＋8b[典例] (1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )； (2)16[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]． [解] (1)原式＝6a －4b ＋3a ＋15b －20b ＋5a ＝14a －9b . (2)原式＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b ) ＝－2a ＋4b .向量线性运算的方法向量的线性运算类似于代数多项式的运算，共线向量可以合并，即“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量．[活学活用](1)设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝⎛⎭⎫13a －b －⎝⎛⎭⎫a －23b ＋(2b －a )． (2)已知a 与b ，且5x ＋2y ＝a,3x －y ＝b ，求x ，y . 解：(1)原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝⎝⎛⎭⎫13－1－1a ＋⎝⎛⎭⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j )＝－53i －5j .(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝a ，3x －y ＝b ，解得⎩⎨⎧x ＝111a ＋211b ，y ＝311a －511b .[典例]如图所示，四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，DC ―→＝c ，试用a ，b ，c 表示BC ―→，MN ―→.[解] BC ―→＝BA ―→＋AD ―→＋DC ―→＝－a ＋b ＋c . ∵MN ―→＝MD ―→＋DA ―→＋AN ―→，又MD ―→＝－12DC ―→，DA ―→＝－AD ―→，AN ―→＝12AB ―→，∴MN ―→＝12a －b －12c .用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用．[活学活用]如图所示，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，M ，N 分别是DE ，BC 的中点，已知BC ―→＝a ，BD ―→＝b ，试用a ，b 分别表示DE ―→，CE ―→，MN ―→.解：由三角形中位线定理，知DE 綊12BC ，故DE ―→＝12BC ―→，即DE ―→＝12a .CE ―→＝CB ―→＋BD ―→＋DE ―→＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b .MN ―→＝MD ―→＋DB ―→＋BN ―→＝12ED ―→＋DB ―→＋12BC ―→＝－14a －b ＋12a ＝14a －b .共线向量定理的应用1．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB ―→＝2e 1－8e 2，CB ―→＝e 1＋3e 2，CD ―→＝2e 1－e 2，求证：A ，B ，D 三点共线．证明：∵CB ―→＝e 1＋3e 2，CD ―→＝2e 1－e 2， ∴BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝e 1－4e 2. 又AB ―→＝2e 1－8e 2＝2(e 1－4e 2)， ∴AB ―→＝2BD ―→，∴AB ―→∥BD ―→.∵AB 与BD 有交点B ，∴A ，B ，D 三点共线．题点二：利用向量共线确定参数2．设两个不共线的向量e 1，e 2，若a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，问是否存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb 与c 共线？解：d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2，要使d 与c 共线，则存在实数k ，使得d ＝kc ，即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2ke 1－9ke 2.由⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ. 故存在实数λ和μ，使得d 与c 共线，此时λ＝－2μ. 题点三：几何图形形状的判定3.如图所示，正三角形ABC 的边长为15，AP ―→＝13AB ―→＋25AC ―→，BQ ―→＝15AB ―→＋25AC ―→.求证：四边形APQB 为梯形．证明：因为PQ ―→＝PA ―→＋AB ―→＋BQ ―→＝－13AB ―→－25AC ―→＋AB ―→＋15AB ―→＋25AC ―→＝1315AB ―→，所以PQ ―→∥AB ―→.又|AB ―→|＝15，所以|PQ ―→|＝13，故|PQ ―→|≠|AB ―→|，于是四边形APQB 为梯形．用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量AB ―→＝λAC ―→，则AB ―→，AC ―→共线，又AB ―→与AC ―→有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．层级一学业水平达标1．设a 是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是( ) A ．a 与λa 的方向相同 B ．a 与－λa 的方向相反C ．a 与λ2a 的方向相同D ．|λa |＝λ|a |解析：选C 只有当λ>0时，才有a 与λa 的方向相同，a 与－λa 的方向相反，且|λa |＝λ|a |.因为λ2>0，所以a 与λ2a 的方向相同．故选C.2．已知a ＝5e ，b ＝－3e ，c ＝4e ，则2a －3b ＋c ＝( ) A ．5e B ．－5e C ．23eD ．－23e解析：选C 2a －3b ＋c ＝2×5e －3×(－3e )＋4e ＝23e .3．已知AB ―→＝a ＋5b ，BC ―→＝－2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b )，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线解析：选B BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝－2a ＋8b ＋3(a －b )＝a ＋5b ＝AB ―→，又∵BD ―→与AB ―→有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．4．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ―→＝23CA ―→＋13CB ―→，又AP ―→＝t AB ―→，则t 的值为( )A.13 B.23 C.12D.53解析：选A 由题意可得AP ―→＝CP ―→－CA ―→＝23CA ―→＋13CB ―→－CA ―→＝13(CB ―→－CA ―→)＝13AB ―→，又AP ―→＝t AB ―→，∴t ＝13.5．已知e 1，e 2是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有( ) ①a ＝5e 1，b ＝7e 1；②a ＝12e 1－13e 2，b ＝3e 1－2e 2；③a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1－3e 2.A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③解析：选A ①中，a 与b 显然共线；②中，因为b ＝3e 1－2e 2＝6⎝⎛⎭⎫12e 1－13e 2＝6a ，故a 与b 共线；③中，设b ＝3e 1－3e 2＝k (e 1＋e 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝k ，－3＝k 无解，故a 与b 不共线．故选A.6．化简25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )＝________.解析：原式＝25a －25b －23a －43b ＋415a ＋2615b ＝⎝⎛⎭⎫25－23＋415a ＋⎝⎛⎭⎫－25－43＋2615b ＝0a ＋0b ＝0.★答案★：07．已知x ，y 是实数，向量a ，b 不共线，若(x ＋y －1)a ＋(x －y )b ＝0，则x ＝________，y ＝________.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y ＝0，解得x ＝y ＝12.★答案★：12 128．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ―→＝λ1AB―→＋λ2AC ―→(λ1，λ2∈R)，则λ1＋λ2的值为________．解析：由DE ―→＝BE ―→－BD ―→＝23BC ―→－12BA ―→＝23(AC ―→－AB ―→)＋12AB ―→＝－16AB ―→＋23AC ―→，得λ1＝－16，λ2＝23，从而λ1＋λ2＝12.★答案★：129．已知e 1，e 2是两个非零不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝ke 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．解：∵a 与b 是共线向量，∴a ＝λb ， ∴2e 1－e 2＝λ(ke 1＋e 2)＝λke 1＋λe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λk ＝2，λ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，λ＝－1，∴k ＝－2.10.如图，在△ABC 中，AN ―→＝13NC ―→，P 是BN 上的一点，若AP ―→＝m AB ―→＋211AC ―→，求实数m 的值．解：AP ―→＝AN ―→＋NP ―→＝14AC ―→＋NP ―→＝m AB ―→＋211AC ―→，∴NP ―→＝m AB ―→－344AC ―→.又NB ―→＝NC ―→＋CB ―→＝34AC ―→＋(AB ―→－AC ―→)＝AB ―→－14AC ―→，设NP ―→＝λNB ―→ (0≤λ≤1)，则λAB ―→－14λAC ―→＝m AB ―→－344AC ―→，∴m ＝λ＝311.层级二应试能力达标1.如图，△ABC 中，AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，DC ―→＝3BD ―→，AE ―→＝2EC ―→，则DE ―→＝( )A ．－13a ＋34bB.512a －34b C.34a ＋13b D ．－34a ＋512b解析：选D 由平面向量的三角形法则，可知DE ―→＝DC ―→＋CE ―→＝34BC ―→＋⎝⎛⎭⎫－13 AC ―→ ＝34(AC ―→－AB ―→)－13AC ―→＝－34AB ―→＋512AC ―→＝－34a ＋512b ，故选D.2．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP ―→＝13⎝⎛⎭⎫12 OA ―→＋12 OB ―→＋2OC ―→，则点P 一定为( )A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．BC 边中线的中点D ．AB 边的中点解析：选B ∵O 是△ABC 的重心，∴OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，∴OP ―→＝13⎝⎛⎭⎫－12 OC ―→＋2OC ―→ ＝12OC ―→，∴点P 是线段OC 的中点，即AB 边中线的三等分点(非重心)．故选B.3．已知a ，b 是不共线的向量，AB ―→＝λa ＋2b ，AC ―→＝a ＋(λ－1)b ，且A ，B ，C 三点共线，则实数λ的值为( )A ．－1B ．2C ．－2或1D ．－1或2解析：选D 由于A ，B ，C 三点共线，故可设AB ―→＝k AC ―→，因为AB ―→＝λa ＋2b ，AC ―→＝a ＋(λ－1)b ，所以λa ＋2b ＝k [a ＋(λ－1)b ]，所以λ＝k,2＝k (λ－1)，解得λ＝－1或λ＝2.4．已知平面内有一点P 及一个△ABC ，若PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝AB ―→，则( ) A ．点P 在△ABC 外部 B ．点P 在线段AB 上 C ．点P 在线段BC 上D ．点P 在线段AC 上解析：选D ∵PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝AB ―→， ∴PA ―→＋PB ―→＋PC ―→－AB ―→＝0，∴PA ―→＋PB ―→＋BA ―→＋PC ―→＝0，即PA ―→＋PA ―→＋PC ―→＝0， ∴2PA ―→＝CP ―→，∴点P 在线段AC 上．5．已知点P ，Q 是△ABC 所在平面上的两个定点，且满足PA ―→＋PC ―→＝0,2QA ―→＋QB ―→＋QC ―→＝BC ―→，若|PQ ―→|＝λ|BC ―→|，则实数λ＝________.解析：由条件PA ―→＋PC ―→＝0，知PA ―→＝－PC ―→＝CP ―→，所以点P 是边AC 的中点．又2QA ―→＋QB ―→＋QC ―→＝BC ―→，所以2QA ―→＝BC ―→－QB ―→－QC ―→＝BC ―→＋CQ ―→＋BQ ―→＝2BQ ―→，从而有QA ―→＝BQ ―→，故点Q 是边AB 的中点，所以PQ 是△ABC 的中位线，所以|PQ ―→|＝12|BC ―→|，故λ＝12. ★答案★：126.如图，在△ABC 中，延长CB 到D ，使BD ＝BC ，当点E 在线段AD 上移动时，若AE ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，则t ＝λ－μ的最大值是________．解析：设AE ―→＝k AD ―→,0≤k ≤1，则AE ―→＝k (AC ―→＋2CB ―→)＝k [AC ―→＋2(AB ―→－AC ―→)]＝2k AB―→－k AC ―→，∵AE ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2k ，μ＝－k ，∴t ＝λ－μ＝3k .又0≤k ≤1，∴当k ＝1时，t 取得最大值3.故t ＝λ－μ的最大值为3.★答案★：37.已知平行四边形ABCD 中，AD ―→＝a ，AB ―→＝b ，M 为AB 的中点，N 为BD 上靠近B 的三等分点．(1)用a ，b 表示向量MC ―→，NC ―→. (2)求证：M ，N ，C 三点共线．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC ―→＝AD ―→＝a .∵M 为AB 的中点，∴MB ―→＝12AB ―→＝12b ，∴MC ―→＝MB ―→＋BC ―→＝12b ＋a .∵N 为BD 上靠近B 的三等分点，∴NB ―→＝13DB ―→，∴NC ―→＝NB ―→＋BC ―→＝13DB ―→＋BC ―→＝13(AB ―→－AD ―→)＋BC ―→＝13(b －a )＋a ＝23a ＋13b . (2)证明：由(1)知NC ―→＝23MC ―→，又NC ―→与MC ―→有公共点C ，∴M ，N ，C 三点共线．8.如图，已知△OCB 中，点A 是BC 的中点，D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA ―→＝a ，OB ―→＝b .(1)用a ，b 表示向量 OC ―→，DC ―→； (2)若OE ―→＝λOA ―→，求λ的值．解：(1)由A 是BC 的中点，得OA ―→＝12(OB ―→＋OC ―→)，从而OC ―→＝2OA ―→－OB ―→＝2a －b .由D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，得OD ―→＝23OB ―→，从而DC ―→＝OC ―→－OD ―→＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由于C ，E ，D 三点共线，则EC ―→＝μDC ―→，又EC ―→＝OC ―→－OE ―→＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ， DC ―→＝2a －53b ，从而(2－λ)a －b ＝μ⎝⎛⎭⎫2a －53b ，又a ，b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2μ，1＝53μ，解得λ＝45.。

高中数学第二章2.2.3向量数乘运算及其几何意义知识巧解学案新人教A版必修

学习资料汇编2.2.3 向量数乘运算及其几何意义疱工巧解牛知识•巧学一、向量的数乘1.向量的数乘一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.它的长度与方向规定如下：(1)|λa|=|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0.实数与向量的积的定义可以看作是数与数的积的概念的推广，λa是一个向量，其长度|λa|=|λ||a|，其方向与λ的符号有关，应注意0a=0而不是实数0.2.向量的数乘的几何意义由实数与向量积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当|λ|＞1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长了|λ|倍；当|λ|＜1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩短了|λ|倍.图2-2-343.向量数乘的运算律设λ、μ为实数，那么(1)λ(μa)=(λμ)a；(2)(λ+μ)a=λa+μa；(3)λ(a+b)=λa+λb.学法一得实数与向量的积的运算律与中学代数运算中实数乘法的运算律很相似.证明这些运算律成立的关键是证明等式两边的向量的模相等，且方向相同.证明：(1)如果λ=0，μ=0，a=0中至少有一个成立，则(1)式显然成立.如果λ≠0，μ≠0，且a≠0，有|λ(μa)|=|λ||μa|=|λ||μ||a|，|(λμ)a|=|λμ||a|=|λ||μ||a|.∴|λ(μa)|=|(λμ)a|.(2)如果λ=0，μ=0，a=0中至少有一个成立，则(2)式显然成立.如果λ≠0，μ≠0且a≠0，可分如下两种情况：当λ、μ同号时，则λa和μa同向，所以|(λ+μ)a|=|λ+μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|，|λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a |，即有|(λ+μ)a |=|λa +μa |.(3)当a =0，b =0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1时，(3)式显然成立.当a ≠0，b ≠0且λ≠0，λ≠1时，分如下两种情况：当λ＞0且λ≠1时，在平面内任取一点O ，作=a ，=b ，1OA =λa ，11B A =λb ，如图2-2-35所示，则=a +b ，1OB =λa +λb .图2-2-35 由作法知∥11B A ，有∠OAB=∠OA 1B 1，|11B A |=λ||， ||||111AB OA =λ.∴△OAB∽△OA 1B 1||1OB =λ，∠AOB=∠A 1OB 1.因此，O 、B 、B 1在同一条直线上，|1OB |=|λ|，1OB 与λ的方向也相同. ∴λ(a +b )=λa +λb .当λ＜0时，由图2-2-36可类似证明λ(a +b )=λa +λb .图2-2-36∴(3)式成立.误区警示分类讨论的思想在数学中既是一个重要的策略思想，也是一个重要的思想方法.很多数学问题不仅在涉及的知识范围上带有综合性，而且就问题本身来说，也受到多种条件的交叉制约，形成错综复杂的局面，很难从整体上着手解决，这时，就从“分割”入手，把“整体”划分为若干个“局部”，转而去解决局部问题，最后达到整体上的解决.这是具有哲学意义的思想方法.分类讨论思想，就是科学合理地划分类别，通过各个击破，再求整体解决(即先化整为零，再聚零为整)的策略思想.类别的划分必须满足互斥、无漏、最简的要求，探索划分的数量界限是分类讨论的关键.二、两向量共线如果向量b 与非零向量a 共线，那么有且只有一个实数λ，使得b =λa .(1)向量的平行(共线)与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况.(2)定理的实质是向量相等，即存在唯一实数λ使b =λa (a ≠0)，应从向量的大小和方向两个方面理解，借助于数量λ沟通了两个向量b 与a 的联系.学法一得定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法，要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数λ使两向量相等.把向量平行的问题转化为寻求实数λ使向量相等的问题.典题•热题知识点一向量的加法、减法及数乘例1设a 、b 为向量，计算下列各式. (1)-31×3a ； (2)2(a -b )-(a +21b )； (3)(2m-n)a -m b -(m-n)(a -b )(m 、n 为实数).思路分析：利用向量的加法、向量的减法及数乘向量运算的法则及运算律计算.解：(1)原式=(-31×3)a =-a ； (2)原式=2a -2b -a -21b =(2a -a )-(2b +21b )=a -25b . (3)原式=2m a -n a -m b -m(a -b )+n(a -b )=2m a -n a -m b -m a +m b +n a -n b=m a -n b .知识点二用向量共线判断三点共线例2 求实数λ，使得λa +b 与2a +λb 共线.思路分析：求未知数的值，可考虑通过挖掘题目的条件，布列含有未知数的方程求解. 解：∵λa +b 与2a +λb 共线，∴存在一个实数，不妨设为m ，使得(λa +b )=m(2a +λb ),即(λ-2m)a +(1-m λ)b =0.∴⎩⎨⎧=-=-.01,02λλm m解得λ=±2.例3 如图2-2-37所示，在平行四边形ABCD 中，AD =a ，=b ，M 是AB 的中点，点N 是BD 上一点，|BN|=31|BD|.求证：M 、N 、C 三点共线.图2-2-37解：∵=a ，=b ，∴=-=a -b . ∴+==21b +31=21b +31(a -b )=31a +61b =61 (2a +b ). 又∵BC MB MC +==21b +a =21(2a +b )， ∴3=.又与有共同起点，∴M 、N 、C 三点共线.方法归纳几何中证明三点共线，可先在三点中选择起点和终点确定两个向量，看能否找到唯一的实数λ使两向量相等，把向量共线问题转化为寻求实数λ使向量相等的问题.向量共线即向量平行，它与直线(线段)共线不同.知识点三用向量法解决几何问题例4 求证：三角形两边中点的连线平行于第三边并且等于第三边的一半.图2-2-38如图2-2-38，已知△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点.求证：DE ∥BC,且DE=21BC. 证明：因为D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，故=21,=21.=-=21 (-)=21, 而D 、E 不重合，所以DE ∥BC,且DE=21BC. 例5 如图2-2-39,在OACB 中，BD=31BC ，OD 与BA 相交于点E ，求证：BE=41BA.图2-2-39证明：用向量法证明.设E′是线段BA 上的一点，且BE′=41BA ，只要证点E 、E′重合即可. 设=a ，=b ，则BD =31a ，=b +31a . ∵E O E B '='-b ，E '=a -E O '，3E B '=E '， ∴E O '=41(a +3b )=43(b +31a ). ∴E O '=43.∴O、E′、D 三点共线.∴BE=41BA. 问题•探究思想方法探究问题向量的运算(运算律)与几何图形的性质有紧密的联系，向量的运算(运算律)可以用图形简明地表示，而图形的一些性质又可以反映到向量的运算(运算律)上来.在课本中哪些地方能反映二者的紧密联系？向量作为研究几何问题的工具，有什么特殊的优越性？用向量解决问题有什么明确的步骤吗？探究过程：在课本中有若干例子说明了向量与图形的密切联系，如平行四边形是表示向量加法、减法的几何模型，加法及其交换律a+b=b+a可以表示平行四边形中的对边平行以及三角形全等，这说明，以向量为工具，可以把几何图形、几何变换、向量运算及运算律统一起来.再如平面几何中的共线和平行关系，用向量与实数的乘法来描述.而向量数乘的分配律：k(a+b)=k a+k b可以表示三角形相似.向量数量积可以证明垂直问题.向量作为研究几何问题的工具，开创了研究几何问题的新方法.由于欧氏几何只依据基本的逻辑原理，而不便用其他工具，只从基本公理出发，通过演绎推理建立几何关系，因此，它给出的几何论证严谨且幽雅，能够给人们极大的美感和享受，但没有一般规律可循，且存在较大的思考难度，往往对人的智力提出极大的挑战.寻求几何研究的工具，以更好地把握图形的性质和规律，推进几何研究的发展成为数学家们的一个理想.自从建立向量运算(运算律)与几何图形之间的关系后，将图形的研究推进到了有效运算的水平，从而实现了综合几何到向量几何的转折.向量运算(运算律)把向量与几何、代数有机地联系在一起.探究结论：用向量方法解决几何问题的基本过程是：首先把一个几何量代数化，即把位移这个基本的几何量加以抽象而得到向量的概念；然后运用欧氏空间特有的平移、全等、相似与勾股定理等基本性质引进向量的加(减)法、向量数乘与数量积这三种运算，并把欧氏几何的直观性与向量的运算(运算律)有机地结合起来，使得直观的几何问题代数化，抽象的运算及运算律直观化，这样就使数与形有机地结合起来.运算和运算律是向量的灵魂，是联结数与形的纽带，它建立了运算(运算律)与几何图形之间的对应关系，使我们能够通过运算来研究几何.误区陷阱探究问题“已知非零向量a、b、c满足a+b+c=0，表示a、b、c的有向线段一定构成三角形”这个命题是否正确？探究思路：乍一看题目，好像能构成一个三角形，但应注意三角形三边不共线.而题目中所给的三个向量并不一定是不共线的向量，若不注意这一点,则极易得出“命题正确”的错误结论.因此要处理这个问题应从两方面来考虑：三个向量共线与不共线.图2-2-40，当a、b不共线时，如右图，在平面内取一点O，作OA=a，AB=b，由向量的加法可知=a+b，又由已知a+b+c=0，则有c=-(a+b)=-=，取=c则表示a、b、c的有向线段能构成三角形.当a、b共线时，显然不能构成三角形.故非零向量a、b、c满足a+b+c=0，表示a、b、c的有向线段不一定构成三角形.故“已知非零向量a、b、c满足a+b+c=0，表示a、b、c的有向线段一定构成三角形”这个命题不正确.探究结论：这个命题不正确.敬请批评指正。

2.2.3向量数乘运算及其几何意义

1a 2b 1a 2b
例如图, ABCD 的两条对角线相交于点M,
且 AB=a, AD b,你能用a,b表示MA、MB、MC和MD
解：在 ABCD中
AC AB AD a b
D
C
b
M
DB AB AD a - b
A
a
B
平行四边形的两条对角线互相平分
MA 1 AC 1 a + b 1 a 1 b
课本习题2.2 A组题9B组题3
(3) (2a+3b-c)-(3a-2b+c) =2a+3b-c-3a+2b-c =-a+5b-2c
数乘向量与原向量之间的位置有什么关系?
a
3a
aa a
OAB C
a与3a共线
对于向量a(a≠0)、b,如果有一个实数λ，使 b= λa,那么a与b共线.
已知向量a与b共线，a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|MB 1 DB 1 a - b 1 a 1 b
2
2
22
MC 1 AC 1 a 1 b
2
22
MD MB 1 BD 1 a 1 b
2
22
化简
1 53a - 2b 42b 3a; =3a-2b
2 1 a 2b 1 3a 2b 1 a b 11 a 1 b
NM Q P
PN PQ QM MN a a a =3(-a)
3(-a)与a方向相反 3(-a)长度是a长度的3倍 3(-a)=-3a
(–a)+(-a)+(-a)=-3a
规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种
运算叫做向量的数乘.记作 a
1 a a ;
(2) 当λ>0时, λa的方向与a的方向相同; 当λ<0时, λa的方向与a的方向相反.

2019秋高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义课件新人教A版必修4

由①②得 2ma－53mb＝λa－23b， 2m＝λ，
所以－53m＝－23，解得 m＝25，λ＝45.
1．向量的数乘运算． (1)数乘向量的结果仍是一个向量． (2)实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，例如 λ＋a，λ－a 无法运算． (3)当 λ＝0 或 a＝0 时，λ a＝0，这时就不必讨论方向了；当 λ＝－1 时，(－1)a＝－a 就是 a 的相反向量． (4)λ a 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍，向量|aa|表示与向量 a 同向的单位向量．
第二章平面向量
2．2.3 向量数乘运算及其几何意义
[学习目标] 1.掌握向量数乘运算及其几何意义，掌握向量数乘的运算律(重点)． 2.掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线 (重点、难点)． 3.能运用数乘运算的定义、运算律进行有关计算(重点)．
[知识提炼·梳理] 1．向量的数乘运算 (1)定义：规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下： ①|λ a|＝|λ||a|； ②当 λ>0 时，λ a 的方向与 a 的方向相同；当 λ<0 时，λ a 的方向与 a 的方向相反．温馨提示当 λ＝0 或 a＝0 时，λa＝0.
2．设 e1，e2 是不共线的两个向量，下列四组向量： ①a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2； ②a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2；
③a＝2e1－13e2，b＝e1－16e2；
④a＝2e1，b＝－3e1. 其中 a 与 b 共线的组数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：①中 b＝－2a；③中 a＝2b；④中 b＝－32a；

高一数学2.2.3向量数乘运算及其几何意义(教、学案)

2. 2.3 向量数乘运算及其几何意义
向量平行的充要条件
情境设置引入定义
数乘向量的运算律
六、教学过程设计
运用与深化 (例题解析、巩固练习、课后习题 )
1．设置情境：引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数
量的关系常常在物理公式中体现。如力与加速度的关系
趣。如可以通过物理中力与加速度的关系 F = m a ，位移与速度的关系 s = v t 等实际问题
引入实数与向量的积。
2．实数与向量的三个运算律，为了降低难度课本上没有证明，可以结合图形给学生直
观解释，程度好的学生可以适当指导给出证明，证明的关键是向量的两要素：方向和大小。
A D
DE ：
Bห้องสมุดไป่ตู้
C
E
（ 1）用 BA 、 BC 表示；（ 2）用 CA 、 CB 表示 .
题1
题 2：如图，在 ΔABC 中，已知 M 、 N 分别是 AB 、 AC 的中点，用向量方法证明：
MN // 1 BC 2
A
C1
N M
C
B
题2
C
B1
B
O
A
A1
题3
题 3：如图，已知 OA = kOA1 ，OB = kOB1 ，OC = kOC1 ，求证：ΔABC ∽ ΔA1B1C1
F = m a ，位移与速度的关系
s = v t 。这些公式都是实数与向量间的关系。师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出 a + a + a 和 (- a) + (- a) + (- a) 向量，
并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？

高中数学第二章平面向量 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义导学案新人教A版必修4-新人教A版

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________ ♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语一个人追求的目标越高，他的才力就发展得越快，对社会就越有益。

——高尔基学习目标1．掌握向量数乘运算的概念.2．能应用向量数乘运算的运算律化简数乘运算.3．掌握向量的共线定理及应用.学习重点平面向量数乘运算法则的应用.学习难点平面向量数乘运算法则的应用自主学习1．向量的数乘运算的概念(1)定义：实数λ与向量a的积是一个______.(2)运算律：①=②=③=特别地，( )= ( )，＝. 2．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使_________.预习评价1．在四边形ABCD中，若，则此四边形是A.平行四边形B.菱形C.梯形D.矩形2．设，是两个不共线的向量，若向量m=－+ k(k∈R)与向量n= －2 共线，则A.k=0B.k=1C.k=2D.3．若向量，a满足2 -3( -2a)=0,则向量=________.4．向量a与b不共线，向量c=3a-b，d=6a-2b，则向量c与的关系_______.(共线，不共线)5． =___________.♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究1．向量数乘的概念及运算根据向量数乘的概念，思考下面的问题：(1)向量数乘得到的依然是向量，那么它的方向由谁确定？(2)实数与向量数乘所得向量与原向量是否为共线向量？2．所得向量λa的几何意义是什么？3．向量的大小与方向如何？4．共线向量定理根据共线向量定理，探究下面的问题：(1)若向量a与向量b(b≠0)共线，则a=λb，如何确定λ的值？(2)定理中为何要限制a≠0？5．若向量a，b不共线，且λa=μb，则λ，μ的值如何？为什么？教师点拨1．对向量数乘的三点说明(1)向量的数乘是一个实数与一个向量相乘，其结果是一个向量，方向与λ的正负有关.(2)当λ=0时，λa=0.(3)向量的数乘运算要遵循向量的数乘运算律.2．共线向量定理的两个作用(1)证明线段平行，但要注意向量共线时，两向量所在的线段可能平行，也可能共线.(2)证明点共线，当两向量共线，且有公共点时，则表示向量的线段必在同一条直线上，从而向量的起点、终点必共线.交流展示——向量的数乘运算及理解已知向量a，b满足：|a|＝3，｜b｜＝5，且a＝λb，则实数λ＝A. B. C. D.变式训练设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论中正确的是 ( )A.a与λa的方向相同B.a与-λa的方向相反C.a与λ2a的方向相同D.|λa|=λ|a|交流展示——共线向量定理及其应用已知向量，，，则A.A、B、C三点共线B.A、B、D三点共线C.A、C、D三点共线D.B、C、D三点共线变式训练在中，点是的中点，点在上，且，求证：，，三点共线．交流展示——向量线性运算的应用下列各式计算正确的个数是 ( )①(-7)·6a=-42a;②a-2b+2(a+b)=3a;③a+b-(a+b)=0.A.0个B.1个C.2个D.3个变式训练=A.2a−bB.2b−aC.b−aD.a−b学习小结1．向量的数乘运算方法(1)向量的数乘运算类似于代数的多项式的运算，其解题方法为“合并同类项”“提取公因式”，“同类项”“公因式”指的是向量，实数与向量数乘，实数可看作是向量的系数.(2)向量的求解可以通过列方程来求，将所求向量作为未知量，通过解方程的方法求解. 2．由共线向量定理求向量系数的步骤(1)把向量等式通过向量线性运算，转化为与另一个式子相同的形式.(2)由两等式相同知对应系数相同，列方程可求向量的系数.3．用共线向量定理证明三点共线的三个步骤(1)定向量：由三点可确定多个不同的向量.(2)证共线：证明两个向量共线.(3)得结论：说明三点共线.当堂检测1．化简下列各式:(1)-+--;(2)2(a+2b)+3(3a+2b)-4(a-b).2．已知向量a,b不共线,若向量a+λb与b+λa的方向相反,则实数λ的值为. 3．已知关于的方程有，则＝A. B. C. D.无解4．在平行四边形ABCD中，，，，则________(用e1,e2表示).5．已知非零向量e1，e2，a，b满足a=2e1-e2，b=k e1+e2.(1)若e1与e2不共线，a与b共线，求实数k的值.(2)是否存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线?若存在，求出k的值，否则说明理由知识拓展已知两个向量e1,e2不共线.如果a=e1+2e2,b=2e1-4e2,c=4e1-7e2,是否存在非零实数λ,μ,使得向量d=λa+μb与c共线?2.2.3 向量数乘运算及其几何意义详细答案♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒【自主学习】1．(1)向量λa，｜λ｜｜a｜，相同相反0(2)①(λμ)a②λa＋μa③λa＋λbλa－aλa－λb2．b＝λa【预习评价】1．C2．D3．6a4．共线5．2b－a♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒【合作探究】1．(1)实数λ与向量a数乘，得到向量λa，其方向由λ的正负及向量a的方向共同确定(2)所得向量与原向量是共线向量.2．是把向量a沿a的方向放大(λ>1)或缩小(0<λ<1)到原来的λ倍或沿a的相反方向放大(λ<－1)或缩小(－1<λ<0)到原来的｜λ｜倍.3．向量的大小为1，方向与a的方向相同，所以该向量也是向量a方向上的单位向量.4．(1)当a，b同向时，λ＝，当a,b反向时，λ＝－.(2)共线向量定理中，若不限制a≠0，则当a＝b＝0时，λ的值不唯一，定理不成立.并且当b≠0，a＝0时，λ的值不存在.5．:λ＝μ＝0.假设λ≠0，由于向量a，b不共线，则a≠0，b≠0，且a＝b，从而a，b共线，与向量a，b不共线矛盾，可知λ＝μ＝0.【交流展示——向量的数乘运算及理解】C【变式训练】C【解析】只有当λ>0时,a与λa的方向相同,a与-λa的方向相反,且|λa|=λ|a|.因为λ2>0,所以a与λ2a的方向相同.【交流展示——共线向量定理及其应用】B【解析】本题主要考查平面向量的共线的定理与向量的应用，由于与有公共点B，因此A、B、D三点共线，故答案为B.【变式训练】证明：．因为，，所以．由于，可知，即．又因为、有公共点，所以、、三点共线．【解析】本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件、利用向量共线解决三点共线．【交流展示——向量线性运算的应用】C【解析】根据数乘向量的运算律可验证①②正确;③错误,因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量,而不是实数.【变式训练】B【当堂检测】1．(1)原式=(-)-(+)=-0=.(2)原式=2a+4b+9a+6b-4a+4b=(2+9-4)a+(4+6+4)b=7a+14b.2．-1【解析】本题主要考查向量的相关知识,解题的关键是根据a+λb与b+λa的方向相反得到恒等式,进而得到关于λ的方程,从而得出λ的值.由a+λb与b+λa的方向相反得,a+λb=-k(b+λa),k>0,则λ=-k,-kλ=1,即λ2=1,又k>0,所以λ=-1,此时a+λb与b+λa的方向相反.3．B【解析】本题主要考查向量的线性运算.向量的线性运算同多项式的合并化简类似，具体解法如下：由已知得，则.4．5．（1）由，得，而与不共线，所以2,21k k λλ=⎧⇒=-⎨=-⎩. （2）不存在.若与共线，则，有因为为非零向量，所以2λ≠且k λ≠-，所以，即，这时与共线，所以不存在实数k 满足题意. 【知识拓展】显然c≠0,否则4e 1-7e 2=0,即e 1=e 2,与e 1,e 2不共线矛盾.又d=λa+μb=(λ+2μ)e 1+(2λ-4μ)e 2(λμ≠0),假设向量d=λa+μb 与c 共线,则存在一个实数γ,使得d=γc,即( λ+2μ)e 1+(2λ-4μ)e 2=4γe 1-7γe 2,从而,消去γ,得15λ=2μ(μ≠0).所以存在非零实数λ,μ,只要它们满足15λ=2μ(μ≠0),就能使得向量d 与c 共线.。

高中数学：2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 Word版含答案

2.2.3向量数乘运算及其几何意义一、三维目标：知识与技能：1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义。

2.会应用实数与向量的积的运算律解题。

过程与方法：通过对实数与向量积的学习培养观察、分析、归纳的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。

情感态度与价值观：会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的积极性；培养分析问题、解决问题的能力；体验自身探索成功的喜悦感。

二、教学重、难点：重点：实数与向量积的定义及几何意义。

难点：实数与向量积的几何意义的理解。

三、学法指导：自主性学习+探究式学习,以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及存在的差距。

四、知识链接：1.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的三角形法则和平行四边形法则。

向量加法的交换律：a r +b r =b r +a r向量加法的结合律：(a r +b r ) +c r =a r + (b r +c r )2．向量的减法向量a r 加上的b r 相反向量，叫做a r 与b r 的差即：a r - b r = a r + (-b r )向量的减法的意义： OA u u u r = a r , OB u u u r = b r , 则BA u u u r = a r - b r即a r - b r 可以表示为从向量b r 的终点指向向量a r 的终点的向量。

五、学习过程: 问题1.已知非零向量a ρ，作出a ρ+a ρ+a ρ和(-a ρ)+(-a ρ)+(-a ρ)，并说明它们的几何意义。

问题2：向量数乘运算的定义是什么，λa ρ的大小和方向是如何规定的？λa ρ与a ρ有什么关系？例1.下列说法正确的是（）A 、a r 与a ρ3不能相等B 、>|3|a ρ||a ρC 、//3a ρa ρD 、1|3|≠a ρ（一）向量数乘的运算律问题3.3（2a ρ）与6a ρ、（2+3）a ρ与2a ρ+3a ρ、2（a ρ+b ρ）与2a ρ+2b ρ的关系问题4.运算定律设μλ,为实数,那么λ(μa ρ)= (λ+μ)a ρ= λ(a ρ+b ρ)=特别地，我们有（-λ）a ρ= = λ(a ρ-b ρ)=例2.计算（1）（-3）a ρ4⨯（2）3（a ρ+b ρ）-2（a ρ-b ρ）-a ρ （3）（2a ρ+3b ρ-c ）-（3a ρ-2b ρ+c ）问题5.对于向量a ρ（≠a ρ）、b ρ，以及实数λ（1）如果b ρ=λa ρ，那么向量a ρ与b ρ是否共线。

高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义训练含解析新人教A版必

学习资料第二章平面向量2．2 平面向量的线性运算2.2.3 向量数乘运算及其几何意义［A 组学业达标］1．设a 是非零向量,λ是非零实数，则下列结论中正确的是（ )A ．a 与λa 的方向相同B ．a 与－λa 的方向相反C ．a 与λ2a 的方向相同D ．｜λa |＝λ|a ｜解析：只有当λ〉0时，才有a 与λa 的方向相同，a 与－λa 的方向相反，且｜λa ｜＝λ|a ｜.因为λ2>0，所以a 与λ2a 的方向相同．答案：C2．点C 在线段AB 上，且错误!＝错误!错误!，则错误!＝（ )A 。

错误!错误!B.错误!错误! C ．－错误!错误! D ．－错误!错误! 解析：依题意，可得AC ＝错误!BC ,又错误!和错误!方向相反,所以错误!＝－错误!错误!。

答案：C3．已知向量a ,b 是两个非零向量,在下列四个条件中，一定能使a ，b 共线的是（） ①2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ；②存在相异实数λ，μ,使λa －μb ＝0；③x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)；④已知梯形ABCD ，其中错误!＝a ，错误!＝b 。

A ．①②B ．①③C ．②D ．③④解析：由2a －3b ＝－2（a ＋2b ）得b ＝－4a ，故①正确；由λa －μb ＝0，得λa ＝μb ，故②正确；若x ＝y ＝0，x a ＋y b ＝0，但b 与a 不一定共线,故③错误；梯形ABCD 中,没有说明哪组对边平行，故④错误．答案：A4．已知e 1，e 2是不共线向量，则下列各组向量中,是共线向量的有（ )①a ＝5e 1,b ＝7e 1；②a ＝12e 1－错误!e 2，b ＝3e 1－2e 2； ③a ＝e 1＋e 2,b ＝3e 1－3e 2。

A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 解析：①中，a 与b 显然共线；②中，因为b ＝3e 1－2e 2＝6错误!＝6a ，故a 与b 共线;③中，设b ＝3e 1－3e 2＝k (e 1＋e 2），无解,故a 与b 不共线，故选A 。

高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义学案含解析新人教A版必修

学习资料2。

2。

3 向量数乘运算及其几何意义内容标准学科素养 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3。

理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法,并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量的问题。

应用直观想象提升数学运算学会逻辑推理授课提示：对应学生用书第52页［基础认识]知识点一向量数乘的定义阅读教材P 87～88,思考并完成以下问题 a ＋a ＋a 其结果能否写成3a?（1)若错误!＝a ，延长错误!到B ，使|OA ｜＝｜AB |,再延长AB 到C ,使|AB ｜＝|BC |，则错误!＝________．其方向如何？长度如何？提示：错误!＝3a ，方向与a 同向，长度是a 的3倍．（2)作错误!＝－a ，延长PQ 到M ，使|PQ ｜＝|QM ｜，再延长QM 到N ，使|MQ ｜＝｜MN |，则错误!＝________．其方向如何？长度如何?提示：PN →＝－3a ，方向与a 反向，长度是a 的3倍．知识梳理向量数乘运算实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘,记作λa ，其长度与方向规定如下： (1)｜λa |＝｜λ||a ｜．(2）λa (a ≠0）的方向错误!特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0．知识点二向量数乘的运算律思考并完成以下问题类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律? (1)2×3a 与3×2a 相等吗? 提示：2×3a ＝3a ＋3a ＝6a ， 3×2a ＝2a ＋2a ＋2a ＝6a ， ∴2×3a ＝3×2a 。

(2)3a ＋2a 与（3＋2)a 相等吗? 提示：相等，都等于5a .(3）3（a －b ）与3a －3b 相等吗？如何用几何图形表示．提示：相等,如图．错误!＝a ，错误!＝b ，错误!＝3a ，错误!＝3b ,则错误!＝a －b ，延长EA 到M ，使AM ＝2错误!，则EM →＝3（a －b )．由于错误!＝3a －3b ，由图可知DC 綊EM ，∴错误!＝错误!，即3(a －b ）＝3a －3b 。

高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义教案新人教A版必修

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义1.知识与技能(1)掌握向量的数乘运算及其几何意义.(2)理解向量共线定理,并应用其解决相关问题.2.过程与方法通过由向量加法运算探究向量的数乘运算的过程,使学生形成数形结合的研究问题的方法,由λ的符号来判断λa与a的方向是否相同的过程,培养学生用分类讨论的思想研究问题的方法.3.情感、态度与价值观通过对向量数乘运算的探究学习,经历数学探究活动的过程,培养学生的探索精神和创新意识;通过数乘向量的实际应用,体会数学的应用价值,学会用数学的方式解决问题.重点:向量的数乘运算及其几何意义,向量共线定理.难点:向量共线定理的应用.重难点突破:引导学生作出几个相同向量的和,再讨论它们的几何意义,得到向量数乘运算的直观感知,然后过渡到一般的向量数乘运算的定义.要强调λa是一个向量,λa也有长度和方向.【例】如图所示,O为△ABC的外心,H为垂心,求证:.分析:作直径BD,连接DA,DC,根据四边形AHCD是平行四边形求解.证明:作直径BD,连接DA,DC,则=-,DA⊥AB,AH⊥BC,CH⊥AB,CD⊥BC.∴CH∥DA,AH∥DC.故四边形AHCD是平行四边形.∴.又,∴.变式训练已知G为△ABC内一点,若=0,求证:G是△ABC的重心.证明:如图,由=0,知=-().以为邻边作▱BGCD,则,即=-.而在▱BGCD中,BC与GD相交于E,且,则AE是△ABC中BC边上的中线.又因为||=2||,所以G为△ABC的重心.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

高中数学第二章2.2.3向量数乘运算及其几何意义同步优化训练新人教A版必修170

∴| O A |=|
AC |cot30 ° = 5 3 ， | OC |=
| OA| 5 3
=
=10.
cos30
3
2
30 分钟训练 (巩固类训练，可用于课后 ) 1.若 3x-2(x-a)= 0，则 x 等于 ( )
A.2a
B.-2a
解析： ∵ 3x-2(x-a)=0, ∴x+2a=0, 即 x=-2a.
答案： A
BC + 1 BA ，故选 A. 2
10 分钟训练 (强化类训练，可用于课中 )
1.(2005高考山东卷，文 8)已知向量 a，b，且 AB = a+2 b, BC =-5 a+6 b ,CD =7 a-2b,则共线的三
点是 ( ) A.A 、 B、 D
B.A、 B、 C
C.B、 C、 D
证明：因为 AC OC OA ,
图 2-2-18
CB OB OC ,
又 AC =λCB ,
所以 OC OA =λ( OB OC ),
即(1+ λ)OC = OA + λOB .
又因为λ≠-1, 即 1+ λ≠0,
OA OB
所以 OC =
.
1
8.用向量方法证明：三角形两边中点连线平行于第三边，且其长度等于第三边长度的一半
∴m=n.
答案： ①②④
3.求实数λ，使得λa+ b 与 2a+λb 共线 .
解： ∵λa+b 与 2a+ λb 共线，
∴存在一个实数，不妨设为 m，使得 (λa+ b)=m(2 a+λb),即 (λ-2m)aV+(1-m λ)b= 0.

高中数学第二章2.2.22.2.3向量数乘运算及其几何意义优化练习新人教A版必修0

2.2.2-2.2.3 向量数乘运算及其几何意义[课时作业] [A 组基础巩固]1．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE →D.EF →＝－OF →－OE →解析：∵O ，E ，F 是不共线的任意三点，∴OE →＋EF →＝OF →，由此可以推出EF →＝OF →－OE →. 答案：B2．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( ) A.AB →＝DC →B.AD →＋AB →＝AC →C.AB →－AD →＝BD →D.AD →＋CB →＝0解析：AB →－AD →＝DB →，故C 项错．答案：C3．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D解析：BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →， ∴BD →与AB →共线，∴A 、B 、D 三点共线．答案：A4．点P 满足向量OP →＝2OA →－OB →，则点P 与AB 的位置关系是( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 延长线上 C ．点P 在线段AB 反向延长线上 D ．点P 在直线AB 外解析：∵OP →＝2OA →－OB →，∴OP →－OA →＝OA →－OB →，∴AP →＝BA →，∴点P 在线段AB 反向延长线上，故应选C. 答案：C5．已知点C 在线段AB 上，且AC →＝35AB →，则AC →等于( )A.23BC →B.32BC → C ．－23BC →D ．－32BC →解析：AC →＝35AB →⇒AB →＝53AC →.∴AB →＝53AC →＝AC →－BC →，∴AC →＝－32BC →.答案：D6．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →可用OA →、OB →表示为________．解析：OC →＝OB →＋BC →＝OB →＋2AC →＝OB →＋2(OC →－OA →)，∴OC →＝2OA →－OB →. 答案：2OA →－OB →7．已知点M 是△ABC 的重心，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.解析：如图，AD →＝32AM →，而AB →＋AC →＝2AD →，故AB →＋AC →＝2×32AM →＝3AM →，∴m ＝3.答案：38．若2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(b ＋c －3x )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量x ＝________.解析：由2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(b ＋c －3x )＋b ＝0，得72x －23a ＋12b －12c ＝0，∴x ＝421a －17b ＋17c .答案：421a －17b ＋17c9．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，求MN →(用a ，b 表示)．解析：如图所示▱ABCD 中，连接AC 交BD 于O 点，则O 平分AC 和BD. ∵AN →＝3NC →，∴NC →＝14AC →，∴N 为OC 的中点，又M 为BC 的中点，∴MN ＝12BO ，∴MN →＝12BO →＝14BD →＝14(b －a )．10．设a ，b 是两个不共线的非零向量，记OA →＝a ，OB →＝t b (t ∈R )，OC →＝13(a ＋b )，那么当实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？解析：∵OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，∴AB →＝OB →－OA →＝t b －a ，AC →＝OC →－OA →＝13(a ＋b )－a ＝13b －23a ，∵A 、B 、C 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λAC →，即t b －a ＝λ(13b －23a )．由于a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝13λ，－1＝－23λ.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，t ＝12.故当t ＝12时，A 、B 、C 三点共线．[B 组能力提升]1．给出下列各式：①AB →＋CA →＋BC →；②AB →－CD →＋BD →－AC →； ③AD →－OD →＋OA →；④NQ →－MP →＋QP →＋MN →.对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：①AB →＋CA →＋BC →＝AC →＋CA →＝0； ②AB →－CD →＋BD →－AC →＝AB →＋BD →－(AC →＋CD →)＝ AD →－AD →＝0；③AD →－OD →＋OA →＝AD →＋DO →＋OA →＝AO →＋OA →＝0； ④NQ →－MP →＋QP →＋MN →＝NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝0.答案：A2．对于△ABC 内部一点O ，存在实数λ，使得OA →＋OB →＝λ(OA →＋OC →)成立，则△OBC 与△ABC 的面积之比是( ) A ．1∶2 B ．1∶3 C ．1∶4D ．1∶6解析：如图，设D ，E 分别是AB ，AC 的中点，以OA ，OB 为邻边作▱OAGB ，以OA ，OC 为邻边作▱OAFC ，则OA →＋OB →＝OG →＝2 OD →，OA →＋OC →＝OF→＝2 OE →，因为OA →＋OB →＝λ(OA →＋OC →)，所以OD →＝λOE →，所以点D ，O ，E 三点共线，所以点O 在直线DE 上，又因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以△OBC 与△ABC的面积之比为1∶2. 答案：A3．如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________.解析：因为BA →＝CD →， BA →＝OA →－OB →，CD →＝OD →－OC →，所以OD →－OC →＝OA →－OB →， OD →＝OA →－OB →＋OC →.所以OD →＝a －b ＋c . 答案：a －b ＋c4．如图所示，O 是平面内一定点，A 、B 、C 是平面内不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________心．解析：设AB→|AB →|＝AD →，AC →|AC →|＝AE →，则AD →与AE →分别为单位向量，以它们为邻边作▱ADFE ，则它为菱形，∴AF 在∠BAC 的平分线上，∴AP →＝OP →－OA →＝λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)＝λAF →.∴AP →与AF →共线．∴点P 的轨迹一定过△ABC 的内心．答案：内5．已知平行四边形ABCD 的边BC ，CD 的中点分别是M ，N ，设AM →＝a ， AN →＝b ，试用a ，b 表示AB →，BC →.解析：在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，所以DN →＝12AB →，BM →＝12BC →.所以AN →＝AD →＋DN →＝BC →＋12AB →，AM →＝AB →＋12BC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧BC →＋12AB →＝b ，AB →＋12BC →＝a ，解得AB →＝43a －23b ，BC →＝43b －23a .6．在△ABC 中，点D 和E 分别在BC ，AC 上，且BD →＝13BC →，CE →＝13CA →，AD 与BE 交于R ，证明：RD →＝17AD →.证明：由A ，D ，R 三点共线，可得CR →＝λCD →＋(1－λ)CA →＝23λCB →＋(1－λ)CA →.由B ，E ，R 三点共线，可得CR →＝μCB →＋(1－μ)CE →＝μCB →＋13(1－μ)CA →.所以⎩⎪⎨⎪⎧23λ＝μ，1－λ＝13－μ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝67，μ＝47，所以CR →＝47CB →＋17CA →.所以AD →＝CD →－CA →＝23CB →－CA →，RD →＝CD →－CR →＝23CB →－⎝ ⎛⎭⎪⎫47CB →＋17CA →＝221CB →－17CA →＝17⎝ ⎛⎭⎪⎫23CB →－CA →＝17AD →.。

高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义学案含解析新人教A版必修

2．2.3 向量数乘运算及其几何意义[提出问题]问题1：按照向量的加法法则，若a 为非零向量，则a ＋a 的长度与|a |的关系怎样？提示：按三角形法则，|a ＋a |＝2|a |.问题2：我们知道，x ＋x ＋x ＝3x ，那么a ＋a ＋a 能否写成3a 呢？提示：可以．问题3：3a 与a 的方向有什么关系？－3a 与a 的方向呢？提示：3a 与a 方向相同．－3a 与a 方向相反． [导入新知] 1．向量数乘运算一般地，规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |； (2)λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ＞0时，与a 方向相同，当λ＜0时，与a 方向相反.特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0. 2．向量数乘的运算律设λ，μ为实数，则 (1)λ(μ a )＝(λμ)a ； (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .特别地，(－λ)a ＝－(λa )＝λ(－a )， λ(a －b )＝λa －λb . [化解疑难]从两个角度看数乘向量 (1)代数角度：λ是实数，a 是向量，它们的积仍是向量；另外，λa ＝0的条件是λ＝0或a ＝0. (2)几何角度：对于向量的长度而言，①当|λ|>1时，有|λa |>|a |，这意味着表示向量a 的有向线段在原方向(λ>1)或反方向(λ<－1)上伸长到|a |的|λ|倍；②当0<|λ|<1时，有|λa |<|a |，这意味着表示向量a 的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1<λ<0)上缩短到|a |的|λ|倍.[提出问题]问题1：如果两个向量共线，则这两个向量具有哪几种情况？提示：方向相同或方向相反或其中一者为零向量．问题2：根据向量的数乘运算，λa 与a (λ≠0，a ≠0)的方向有何关系？提示：相同或相反．问题3：向量a 与λa (λ为常数)共线吗？提示：共线． [导入新知] 1．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 2．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .[化解疑难]共线向量定理中规定a ≠0的原因(1)若将条件a ≠0去掉，即当a ＝0时，显然a 与b 共线； (2)若b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa ； (3)若b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λa .[例1] (1)3(6a ＋b )－9⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13b ；(2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋2b －⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12b －2⎝⎛⎭⎪⎫12a ＋38b ；(3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a . [解] (1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a . (2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0.(3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c . [类题通法] 向量线性运算的方法向量的线性运算类似于代数多项式的运算，共线向量可以合并，即“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量．[活学活用] 化简下列各式：(1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )； (2)16[]a ＋8b －a －2b.答案：(1)14a －9b (2)－2a ＋4b[例BC 的中点，已知BC ＝a ，BD ＝b ，试用a ，b 分别表示DE ，CE ，MN .[解] 由三角形中位线定理，知DE 綊12BC ，故DE ＝12BC ，即DE ＝12a ，CE ＝CB ＋BD ＋DE ＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b ，MN ＝MD ＋DB ＋BN ＝12ED ＋DB ＋12BC＝－14a －b ＋12a ＝14a －b .[类题通法]用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用．[活学活用]1.如图所示，下列结论正确的是( )①PQ ―→＝32a ＋32b ；②PT ―→＝32a －b ；③PS ―→＝32a －12b ；④PR ―→＝32a ＋b .A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④答案：C2．如图所示，四边形OADB 是以向量OA ＝a ，OB ＝b 为邻边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM ，ON ，MN .答案：OM ＝16a ＋56b ；ON ＝23(a ＋b )；MN ＝12a －16b[例3] (1)已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB ＝2e 1－8e 2，CB ＝e 1＋3e 2，CD ＝2e 1－e 2，求证：A ，B ，D 三点共线．(2)已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP ＝x OA ＋y OB ，求x ＋y 的值．[解] (1)证明：∵CB ＝e 1＋3e 2，CD ＝2e 1－e 2， ∴BD ＝CD －CB ＝e 1－4e 2. 又∵AB ＝2e 1－8e 2＝2(e 1－4e 2)， ∴AB ＝2BD ，∴AB ∥BD . ∵AB 与BD 有交点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵A ，B ，P 三点共线，∴向量AB ，AP 在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ，使AP ＝λAB ，即OP －OA ＝λ(OB －OA )，∴OP ＝(1－λ)OA ＋λOB ，故x ＝1－λ，y ＝λ，即x ＋y ＝1.[类题通法]用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量AB＝λAC，则AB，AC共线，又AB与AC有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．[活学活用]1．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2.若a与b是共线向量，则实数k的值为________．答案：－22．如图所示，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长BE到N使BE＝EN，求证：M，A，N三点共线．证明：∵D为MC的中点，且D为AB的中点，∴AB＝AM＋AC，∴AM＝AB－AC＝CB.同理可证明AN＝AC－AB＝BC.∴AM＝－AN.∴AM，AN共线且有公共点A，∴M，A，N三点共线．4.向量线性运算的应用[典例] (12分)已知▱ABCD中，AD＝a，AB＝b，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点．(1)用a，b表示向量MC，NC；(2)求证：M，N，C三点共线．[解题流程][规范解答](1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC ＝AD ＝a .(1分)∵M 为AB 的中点，∴MB ＝12AB ＝12b ，(2分)∴MC ＝MB ＋BC ＝12b ＋a .(4分)∵N 为BD 上靠近B 的三等分点，∴NB ＝13DB ，(6分)∴NC ＝NB ＋BC ＝13DB ＋BC ＝13(AB －AD )＋BC＝13(b －a )＋a ＝23a ＋13b .(8分) (2)证明：由(1)知NC ＝23MC ，(10分)又NC 与MC 有公共点C ， ∴M ，N ，C 三点共线．(12分)[名师批注]平行四边形的对边平行且相等，且其对边可表示两相等向量，这在线性运算中经常用到.先将MC 用平行四边形中的有关有向线段表示，然后再用向量表示这是解决此类问题的通法．要注意向量的始点和终点，此点也极易出错.将向量NB 转化为13()AB －AD 是解决此题的难点，很多同学因不会转化而无法解题.在证出NC ∥MC 后，只有再说明NC 与MC 有公共点C ，才能说明M ，N ，C 三点共线．此处极易被忽视而造成解题步骤不完整而失分．[活学活用]如图，已知△OCB 中，点A 是BC 的中点，点D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA ＝a ，OB ＝b .(1)用a ，b 表示向量OC ，DC ； (2)若OE ＝λOA ，求λ的值．答案：(1)OC ＝2a －b ；DC ＝2a －53b (2)45[随堂即时演练]1．设a 是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是( ) A ．a 与λa 的方向相同 B ．a 与－λa 的方向相反 C ．a 与λ2a 的方向相同 D ．|λa |＝λ|a | 答案：C 2.13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋8b －a －2b 等于( )A ．2a －bB ．2b －aC ．b －aD ．a －b答案：B3．下列向量中a ，b 共线的有________(填序号)． ①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2. 答案：①②③4．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为________．答案：－1或35.如图所示，已知▱ABCD 的边BC ，CD 的中点分别为K ，L ，且AK ＝e 1，AL ＝e 2，试用e 1，e 2表示BC ，CD .答案：BC ＝43e 2－23e 1；CD ＝－43e 1＋23e 2[课时达标检测]1．若a ＝b ＋c ，化简3(a ＋2b )－2(3b ＋c )－2(a ＋b )＝( ) A ．－a B ．－b C ．－c D ．以上都不对答案：A2．已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a ，b 共线的是( ) ①2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ；②存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0； ③xa ＋yb ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)； ④已知梯形ABCD ，其中AB ＝a ，CD ＝b . A ．①② B ．①③ C ．② D ．③④答案：A3.如图，向量OA ，OB ，OC 的终点在同一直线上，且AC ＝－3CB ，设OA ＝p ，OB ＝q ，OC ＝r ，则下列等式中成立的是( )A ．r ＝－12p ＋32qB ．r ＝－p ＋2qC ．r ＝32p －12qD ．r ＝－q ＋2p答案：A4．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ＝23CA ＋13CB ，又AP ＝t AB ，则t 的值为( )A.13B.23 C.12 D.53 答案：A5．如图，设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC ＝2BD ，CE ＝2EA ，AF ＝2FB ，则AD ＋BE ＋CF 与BC ( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直答案：A6.如图所示，在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b 表示)．答案：14(b －a )7．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ等于________．答案：238．已知两个不共线向量e 1，e 2，且AB ＝e 1＋λe 2，BC ＝3e 1＋4e 2，CD ＝2e 1－7e 2，若A ，B ，D 三点共线，则λ的值为________．答案：－35三、解答题9．如图，四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M ，N 分别是DC ，AB的中点，已知AB ＝a ，AD ＝b ，DC ＝c ，试用a ，b ，c 表示BC ，MN ，DN ＋CN .解：BC ＝BA ＋AD ＋DC ＝－a ＋b ＋c .∵MN ＝MD ＋DA ＋AN ，MN ＝MC ＋CB ＋BN ， ∴2MN ＝MD ＋MC ＋DA ＋CB ＋AN ＋BN ＝－AD －BC ＝－b －(－a ＋b ＋c ) ＝a －2b －c . ∴MN ＝12a －b －12c .DN ＋CN ＝DM ＋MN ＋CM ＋MN ＝2MN ＝a －2b －c.10．设O 是△ABC 内部一点，且OA ＋OC ＝－3OB ，求△AOB 与△AOC 的面积之比．解：如图，由平行四边形法则，知OA ＋OC ＝OD ，其中E 为AC 的中点．所以OA ＋OC ＝2OE ＝－3OB . 所以OB ＝－23OE ，|OB |＝23|OE |.设点A 到BD 的距离为h ，则S △AOB ＝12|OB |·h ，S △AOC ＝2S △AOE ＝|OE |·h ，所以S △AOB S △AOC ＝12|OB ―→|·h|OE ―→|·h ＝12·|OB ―→||OE ―→|＝12×23＝13.11．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM ＝λOB ＋(1－λ)OA (λ∈R ，λ≠0且λ≠1)． (1)求证：A ，B ，M 三点共线；(2)若点B 在线段AM 上，求实数λ的取值范围．解：(1)证明：∵OM ＝λOB ＋(1－λ)OA ， ∴OM ＝λOB ＋OA －λOA ，OM －OA ＝λOB －λOA ，∴AM ＝λAB (λ∈R ，λ≠0且λ≠1)．又∵AM 与AB 有公共点A ，∴A ，B ，M 三点共线． (2)(1，＋∞)。

高中数学第二章平面向量 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义课时训练(含解析)新人教A版必修4(

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2.2.3 向量数乘运算及其几何意义课时目标1。

掌握向量数乘的定义。

2。

理解向量数乘的几何意义.3.了解向量数乘的运算律。

4。

理解向量共线的条件．1．向量数乘运算实数λ与向量a的积是一个__________，这种运算叫做向量的__________，记作________，其长度与方向规定如下：(1)|λa｜＝__________.(2）λa (a≠0）的方向错误!；特别地,当λ＝0或a＝0时，0a＝________或λ0＝________.2．向量数乘的运算律(1)λ(μa）＝________。

(2）（λ＋μ）a＝____________。

（3）λ（a＋b)＝____________。

特别地，有（－λ）a＝____________＝________;λ(a－b)＝____________.3．共线向量定理向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______________．4．向量的线性运算向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ（μ1a±μ2b）＝__________________.一、选择题1．设e1，e2是两个不共线的向量,若向量m＝－e1＋k e2（k∈R）与向量n＝e2－2e1共线，则( ) A．k＝0 B．k＝1C．k＝2 D．k＝错误!2．已知向量a、b，且错误!＝a＋2b,错误!＝－5a＋6b,错误!＝7a－2b,则一定共线的三点是（) A．B、C、D B．A、B、C C．A、B、D D．A、C、D3．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且错误!＋错误!＋错误!＝错误!，则（) A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边上或其延长线上D．P在AC边上4．已知△ABC和点M满足错误!＋错误!＋错误!＝0。

2019-2020学年高中数学第二章平面向量 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义学案(含解析)新人教A版必修4

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义考试标准课标要点学考要求高考要求向量的数乘运算 c c向量数乘运算的几何意义 b b知识导图学法指导1.与实数乘法的运算律类似，向量数乘也有“结合律”、“分配律”．运用向量数乘的运算律时，要注重其几何意义．2．向量的加法、减法及数乘运算统称为向量的线性运算，其中，向量的减法运算、数乘运算都以加法运算为基础．3．向量共线的条件实际上是由向量数乘推出的，它可以判断几何中三点共线和两直线平行，注意区别向量平行与直线平行．4．学习了向量的线性运算，平面中的点、线段(直线)就可以用向量表示，这就为用向量法解决几何问题奠定了基础.1.向量数乘运算实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫作向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反．(3)当λ＝0时，λa＝0.状元随笔理解数乘向量应注意的问题(1)向量数乘的结果依然是向量，要从长度与方向加以理解．(2)实数与向量可以相乘，但是不能相加、减，如λ＋a →，λ－a →均没有意义． 2．数乘向量的运算律 (1)λ(μa )＝(λμ)a . (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa . (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .特别地，有(－λ)a ＝－(λa )＝λ(－a )；λ(a －b )＝λa －λb . 3．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 状元随笔向量共线定理的理解注意点及主要应用(1)定理中a →≠ 0 →不能漏掉. 若a →＝b →＝ 0 →，则实数λ可以是任意实数；若a →＝0，b →≠ 0 →，则不存在实数λ，使得b →＝λa →.(2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t ，s ，使t a →＋s b →＝ 0 →，则a →与b →共线；若两个非零向量a →与b →不共线，且t a →＋s b →＝ 0 →，则必有t ＝s ＝0.[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数λ与向量a ，则λ＋a 与λ－a 的和是向量．( ) (2)对于非零向量a ，向量－3a 与向量a 方向相反．( ) (3)对于非零向量a ，向量－6a 的模是向量3a 的模的2倍．( ) (4)若b 与a 共线，则存在实数λ，使得b ＝λa .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×2．存在两个非零向量a ，b ，满足b ＝－3a ，则有( ) A ．a 与b 方向相同 B ．a 与b 方向相反 C ．|a |＝|3b | D ．|a |＝|b |解析：因为－3<0，所以a 与－3a 方向相反．且|－3a |＝3|a |，即|b |＝3|a |，故选B. 答案：B3．化简：13⎣⎢⎡⎦⎥⎤122a ＋8b－4a －2b ＝( )A ．2a －bB ．2b －aC ．b －aD ．a －b解析：原式＝13[(a ＋4b )－(4a －2b )]＝13(－3a ＋6b )＝2b －a ，选B.答案：B4．已知a ＝e 1＋2e 2，b ＝3e 1－2e 2，则3a －b ＝( ) A ．4e 2 B ．4e 1 C ．3e 1＋6e 2 D ．8e 2解析：3a －b ＝3(e 1＋2e 2)－(3e 1－2e 2)＝3e 1＋6e 2－3e 1＋2e 2＝8e 2. 答案：D类型一向量的线性运算例1 (1)计算：①4(a ＋b )－3(a －b )－8a ； ②(5a －4b ＋c )－2(3a －2b ＋c )．(2)设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋(2b －a )．【解析】 (1)①原式＝4a ＋4b －3a ＋3b －8a ＝－7a ＋7b . ②原式＝5a －4b ＋c －6a ＋4b －2c ＝－a －c .(2)原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b ＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋103i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－103－53j ＝－53i －5j .状元随笔 (1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)对于向量的线性运算，关键是把握运算顺序，即先根据运算律去括号，再进行数乘运算，最后进行向量的加减．方法归纳向量线性运算的基本方法(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．跟踪训练1 化简： (1)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ＋2b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋38b ； (2)23⎣⎢⎡⎦⎥⎤4a －3b＋13b －146a －7b . 解析：(1)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0.(2)原式＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －3b ＋13b －32a ＋74b ＝234－32a ＋－3＋13＋74b ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫52a －1112b ＝53a －1118b .先由运算律去括号，再进行数乘运算．类型二向量共线条件的应用例2 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证A ，B ，D 三点共线； (2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．【解析】 (1)证明：因为AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →. 所以AB →，BD →共线，且有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，所以存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，所以k ＝±1.(1)欲证三点A ，B ，D 共线，即证存在实数λ，使AB →＝λBD →，只要由已知条件求出λ即可．(2)由两向量共线，列出关于e →1、e →2的等式，再由e →1与e →2不共线知，若λe →1＝μe →2，则λ＝μ＝0.方法归纳向量共线定理的应用(1)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行．(2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若AB →＝λAC →，则AB →与AC →共线，又AB →与AC →有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．跟踪训练2 (1)已知e 1，e 2是平面内不共线的两个向量，a ＝2e 1－3e 2，b ＝λe 1＋6e 2，若a ，b 共线，则λ等于( )A.－9 B ．－4 C ．4 D ．9(2)设a ，b 为不共线的两个非零向量，已知向量AB →＝a －k b ，CB →＝2a ＋b ，CD →＝3a －b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于( )A.10 B ．－10 C ．2 D ．－2解析：(1)由a ，b 共线知a ＝m b ，m ∈R ，于是2e 1－3e 2＝m (λe 1＋6e 2)，即(2－mλ)e 1＝(6m ＋3)e 2.由于e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋3＝0，2－mλ＝0，所以λ＝－4.(2)因为A ，B ，D 三点共线，所以AB →＝λBD →＝λ(CD →－CB →)，所以a －k b ＝λ(3a －b －2a －b )＝λ(a －2b )，所以λ＝1，k ＝2.答案：(1)B (2)C(1)由a →，b →共线，得a →＝m b →，建立等式求λ. (2)A 、B 、D 三点共线，设AB →＝λBD →，建立等式求k .类型三用已知向量表示其他向量例3 如图，ABCD 是一个梯形，AB →∥CD →且|AB →|＝2|CD →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB →＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示下列向量．(1)AC →＝________； (2)MN →＝________.【解析】因为AB →∥CD →，|AB →|＝2|CD →|，所以 AB →＝2DC →，DC →＝12AB →.(1)AC →＝AD →＋DC →＝e 2＋12e 1.(2)MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－12DC →－AD →＋12AB →＝－14e 1－e 2＋12e 1＝14e 1－e 2.【答案】 (1)e 2＋12e 1 (2)14e 1－e 2结合图形：由已知得AB →＝2DC →，分别用e →1，e →2表示AC →，MN →. 方法归纳用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．跟踪训练3 在本例中，若条件改为BC →＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示向量MN →.解析：因为MN →＝MD →＋DA →＋AN →，MN →＝MC →＋CB →＋BN →，所以2MN →＝(MD →＋MC →)＋DA →＋CB →＋(AN →＋BN →)．又因为M ，N 分别是DC ，AB 的中点，所以MD →＋MC →＝0，AN →＋BN →＝0. 所以2MN →＝DA →＋CB →，所以MN →＝12(－AD →－BC →)＝－12e 2－12e 1.结合图形，在梯形ABCD 中，M N →＝M D →＋DA →＋AN →，再用e →1, e →2表示M N →.2.2.3[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．4(a －b )－3(a ＋b )－b 等于( ) A ．a －2b B ．a C ．a －6b D ．a －8b解析：原式＝4a －4b －3a －3b －b ＝a －8b . 答案：D2．点C 在直线AB 上，且AC →＝3AB →，则BC →等于( ) A ．－2AB → B.13AB →C ．－13AB →D ．2AB →解析：如图，AC →＝3AB →，所以BC →＝2AB →. 答案：D3．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为( )A ．－1或3 B. 3 C ．－1或4 D ．3或4解析：因为向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以m ＝－32－m，解得m ＝－1或m ＝3. 答案：A 4.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝( ) A ．a ＋34bB.34a ＋14bC.14a ＋14bD.14a ＋34b 解析：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b .答案：D5．若点O 为平行四边形ABCD 的中心，AB →＝2e 1，BC →＝3e 2，则32e 2－e 1＝( )A.BO →B.AO →C.CO →D.DO →解析：BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝3e 2－2e 1， BO →＝12BD →＝32e 2－e 1.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知|a |＝4，|b |＝8，若两向量方向同向，则向量a 与向量b 的关系为b ＝________a . 解析：由于|a |＝4，b ＝8，则|b |＝2|a |，又两向量同向，故b ＝2a . 答案：27．点C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，则AC →＝________AB →，BC →＝________AB →.解析：因为C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，所以AC →与AB →方向相同，BC →与AB →方向相反，且ACAB ＝35，BC AB ＝25，所以AC →＝35AB →，BC →＝－25AB →.答案：35 －258．已知向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝5，且a ＝λb ，则实数λ的值是________．解析：由a ＝λb ，得|a |＝|λb |＝|λ||b |.∵|a |＝3，|b |＝5， ∴|λ|＝35，即λ＝±35.答案：±35三、解答题(每小题10分，共20分) 9．计算(1)13(a ＋2b )＋14(3a －2b )－12(a －b )；(2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ＋2b－23a －b －76⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋37⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋76a . 解析：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋34－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＋12b ＝712a ＋23b . (2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫73a ＋b －76⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋37b ＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. 10．已知E ，F 分别为四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的中点，设BC →＝a ，DA →＝b ，试用a ，b 表示EF →.解析：如图所示，取AB 的中点P ，连接EP ，FP .在△ABC 中，EP 是中位线，所以PE →＝12BC →＝12a .在△ABD 中，FP 是中位线，所以PF →＝12AD →＝－12DA →＝－12b .在△EFP 中，EF →＝EP →＋PF →＝－PE →＋PF →＝－12a －12b ＝－12(a ＋b )．[能力提升](20分钟，40分)11．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解析：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AB →＋43BC →＝AB →＋43(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →，故选A.答案：A12．如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD ＝2DC ，若AC →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m －n ＝________.解析：直接利用向量共线定理，得BC →＝3DC →，则AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋3DC →＝AB →＋3(AC →－AD →)＝AB →＋3AC →－3AD →，AC →＝－12AB →＋32AD →，则m ＝－12，n ＝32，那么m －n ＝－12－32＝－2.答案：－213．已知e ，f 为两个不共线的向量，若四边形ABCD 满足AB →＝e ＋2f ，BC →＝－4e －f ，CD →＝－5e －3f .(1)用e 、f 表示AD →；(2)证明：四边形ABCD 为梯形．解析：(1)AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e ＋2f )＋(－4e －f )＋(－5e －3f )＝(1－4－5)e ＋(2－1－3)f ＝－8e －2f .(2)证明：因为AD →＝－8e －2f ＝2(－4e －f )＝2BC →，所以AD →与BC →方向相同，且AD →的长度为BC →的长度的2倍，即在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ≠BC ，所以四边形ABCD 是梯形．14．如图所示，在△ABC 中，点D 是边BC 的中点，A ，D ，E 三点共线，求证：存在一个实数λ，使得AE →＝λ(AB →＋AC →)．证明：由向量加法的平行四边形法则可知AD →＝12(AB →＋AC →)．因为A ，D ，E 三点共线，所以可设AE →＝μAD →，则AE →＝μ2(AB →＋AC →)．令λ＝μ2，可得AE →＝λ(AB →＋AC →)．所以，存在一个实数λ，使得AE →＝λ(AB →＋AC →)．。

高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义课后习题新人教A版必修42017072423

2.2.3向量数乘运算及其几何意义一、A组1.已知非零向量a,b满足a+4b=0,则()A.|a|+4|b|=0B.a与b是相反向量C.a与b的方向相同D.a与b的方向相反解析:∵a+4b=0,∴a=-4b,∴|a|=4|b|,且a与b的方向相反.答案:D2.如图所示,在△ABC中,点D是边AB的中点,则向量퐷퐶=()1A.2퐵퐴+퐵퐶1B.2퐵퐴―퐵퐶1C.-2퐵퐴―퐵퐶1D.-2퐵퐴+퐵퐶1解析:∵点D是边AB的中点,∴퐶퐷=).2(퐶퐴+퐶퐵11∴퐷퐶=-)=-.故选D.2(퐶퐴+퐶퐵2퐵퐴+퐵퐶答案:D3.设a,b不共线,퐴퐵=a+k b,퐴퐶=m a+b(k,m∈R),则A,B,C三点共线时有()A.k=mB.km-1=0C.km+1=0D.k+m=0解析:若A,B,C三点共线,则퐴퐵与퐴퐶共线,∴存在唯一实数λ,使퐴퐵=λ퐴퐶,∴a+k b=λ(m a+b),휆푚=1,即a+k b=λm a+λb,∴{ 휆=푘,∴km=1.即km-1=0.答案:B14.如图,已知퐴퐵=a,퐴퐶=b,퐵퐷=3퐷퐶,用a,b表示퐴퐷,则퐴퐷= ()3A.a+ b431B. a+ b4411C. a+ b4413D. a+ b4433解析:퐴퐷=퐴퐵+퐵퐷=퐴퐵+)4퐵퐶=퐴퐵+4(퐴퐶―퐴퐵1313= a+ b.4퐴퐵+4퐴퐶=44答案:D5.已知P是△ABC所在平面内的一点,若퐶퐵=λ푃퐴+푃퐵,其中λ∈R,则点P一定在()A.△ABC的内部B.AC边所在直线上C.AB边所在直线上D.BC边所在直线上解析:∵퐶퐵=λ푃퐴+푃퐵,∴퐶퐵―푃퐵=λ푃퐴,∴퐶퐵+퐵푃=λ푃퐴,∴퐶푃=λ푃퐴,∴퐶푃与푃퐴共线.∴C,P,A三点共线,故选B.答案:B16.化简:3(6a+b)-9(푎+3푏)=.解析:原式=18a+3b-9a-3b=9a.答案:9a7.如图,在平行四边形ABCD中,E是CD的中点,且퐴퐵=a,퐴퐷=b,则퐵퐸=.211解析:퐵퐸=퐵퐶+퐶퐸=퐴퐷+(- 2퐴퐵)=- a+b.21答案:- a+b28.导学号08720054在△ABC中,点M为边AB的中点,若푂푃∥푂푀,且푂푃=x푂퐴+y푂퐵(x≠0),则푦=.푥1解析:∵M为AB的中点,∴푂푀=2(푂퐴+푂퐵).又푂푃∥푂푀,∴存在实数λ,使푂푃=λ푂푀,휆휆휆∴푂푃=)= ,2(푂퐴+푂퐵2푂퐴+2푂퐵휆푦∴x=y= ,∴=1.2푥答案:19.(2016·河北定兴三中高一月考)已知△OBC中,点A是线段BC的中点,点D是线段OB的一个靠近B的三等分点,设퐴퐵=a,퐴푂=b.(1)用向量a与b表示向量푂퐶,퐶퐷;3(2)若푂퐸=5푂퐴,判断C,D,E是否共线,并说明理由.解:(1)∵퐴퐵=a,퐴푂=b,点A是BC的中点,∴퐴퐶=-a.∴푂퐶=푂퐴+퐴퐶=-a-b,퐶퐷=퐶퐵+퐵퐷=퐶퐵+13퐵푂=퐶퐵+11513(퐵퐴+퐴푂)=2a+ (-a+b)= a+b.333 32(2)∵퐶퐸=퐶푂+푂퐸=a+b+ (-b)=a+ b,55假设存在实数λ,使퐶퐸=λ퐶퐷,2515(3푏)则有a+ b=λ,3푎+53휆=1,∴{此方程组无解,123휆=5,∴不存在实数λ,满足퐶퐸=λ퐶퐷.∴C,D,E三点不共线.310.如图,设△ABC 的重心为 M ,O 为平面上任一点,푂퐴=a ,푂퐵=b ,푂퐶=c ,试用 a ,b ,c 表示向量 푂푀 .解:如图,连接 AM 并延长交 BC 于点 D.∵M 是△ABC 的重心,2 ∴D 是 BC 的中点,且 AM= AD. 32 2 1∴퐴푀 = 3퐴퐷 = 3 × 2(퐴퐵 + 퐴퐶)1 1 = )= )3(퐴퐵 + 퐴퐶 3(푂퐵 ― 푂퐴 + 푂퐶 ― 푂퐴1 12 1 1 2=3푂퐵 + 3푂퐶 ― 3푂퐴 = b + c - a .3 3 31 1 2∴푂푀 = 푂퐴 + 퐴푀=a + b + c - a3 3 31 = (a +b +c ). 3二、B 组1.设 e 1,e 2是两个不共线的向量,若向量 m =-e 1+k e 2(k ∈R )与向量 n =e 2-2e 1共线,则() 1 A.k=0 B.k=1 C.k=2 D.k= 2解析:∵m ∥n ,∴存在 λ∈R ,使 m =λn ,即-e1+k e 2=λ(e 2-2e 1).-2휆 = -1,1∴{ ∴k=λ= .푘 = 휆.2答案:D32.若 O 是▱ABCD 的中心,퐴퐵=2e 1,퐵퐶=3e 2,则 e 2-e 1等于( )2A.퐵푂B.퐴푂C.퐶푂D.퐷푂3111解析: e2-e1=2퐵퐶―2퐴퐵=2(퐵퐶―퐴퐵)241 1 = )= .2(퐵퐶 + 퐵퐴 2퐵퐷 = 퐵푂答案:A3.已知四边形 ABCD 是菱形,点 P 在其对角线 AC 上(不包括端点 A ,C ),则퐴푃=( )A.λ(퐴퐵 + 퐴퐷),λ∈(0,1)2B.λ(퐴퐵 + 퐵퐶),λ∈(0,2 )C.λ(퐴퐵 ― 퐴퐷),λ∈(0,1)D.λ(퐴퐵 ― 퐵퐶),λ∈(0, 22 )解析:由向量加法的运算法则可知,퐴퐶 = 퐴퐵 + 퐴퐷.又点 P 在线段 AC 上,故퐴푃与퐴퐶同向,且|퐴푃|<|퐴퐶|,所以퐴푃=λ(퐴퐵 + 퐴퐷),λ∈(0,1). 答案:A14.P 是△ABC 内的一点,퐴푃 = 3(퐴퐵 + 퐴퐶),则△ABC 的面积与△PBC 的面积之比为( )3A.2B.3C.D.62解析:设 BC 的中点为 D ,则퐴퐵 + 퐴퐶=2퐴퐷.1 2∵퐴푃 = )= ,3(퐴퐵 + 퐴퐶 3퐴퐷如图,过 A 作 AE ⊥BC ,交 BC 于点 E ,过 P 作 PF ⊥BC ,交 BC 于点 F ,1 2|퐴퐵|·|퐴퐸| |푃퐹| |푃퐷| 1푆 △ 퐴퐵퐶 则|퐴퐸| = |퐴퐷| = .∴푆 △ 푃퐵퐶 ==3.31 2|퐴퐵|·|푃퐹|答案:B25.已知 A ,B ,C 三点共线,퐴퐶=-3퐶퐵,且퐴퐵=λ퐶퐴,则实数 λ= .2 2解析:∵퐴퐶=-3퐶퐵,∴|퐴퐶|=3|퐶퐵|.1∵A ,B ,C 三点共线,∴A ,B ,C 的位置如图,即点 A 为线段 BC 的三等分点,且|AB|= |AC|. 251 1又퐴퐵,퐶퐴同向,∴퐴퐵 = 2퐶퐴.∴λ= .2 1答案:26.如图,向量푂퐴,푂퐵,푂퐶的终点在同一直线上,且퐴퐶=-3퐶퐵,设푂퐴=p ,푂퐵=q ,푂퐶=r ,则 r = .解析:∵퐴퐶=-3퐶퐵,∴푂퐶 ― 푂퐴=-3(푂퐵 ― 푂퐶)=-3푂퐵+3푂퐶,∴2푂퐶=-푂퐴+3푂퐵.1 3 1 3∴푂퐶=-2푂퐴 + 2푂퐵,即 r =- p + q . 2 21 3答案:- p+ q2 27.(1)设 a ,b 是两个不共线的非零向量,已知퐴퐵=3a -2b ,퐵퐶=-2a +4b ,퐶퐷=-2a -4b ,试判断 A ,C ,D 三点是否共线;(2)在四边形 ABCD 中,퐴퐵=a +2b ,퐵퐶=-4a -b ,퐶퐷=-5a -3b ,证明这个四边形为梯形.(1)解:∵퐴퐶 = 퐴퐵 + 퐵퐶=(3a-2b )+(-2a+4b )=a+2b ,又퐶퐷=-2a-4b=-2(a+2b ),∴퐶퐷=-2퐴퐶,从而向量퐶퐷与퐴퐶共线,故 A ,C ,D 三点共线.(2)证明:∵퐴퐷 = 퐴퐵 + 퐵퐶 + 퐶퐷=(a+2b )+(-4a-b )+(-5a-3b )=-8a-2b=2(-4a-b ),∴퐴퐷=2퐵퐶.∴퐴퐷与퐵퐶共线,且|퐴퐷|=2|퐵퐶|.∵这两个向量所在直线不重合,∴AD ∥BC ,且 AD=2BC.∴四边形 ABCD 是以 AD ,BC 为两条底边的梯形.8.导学号 08720055如图,四边形 OADB 是以向量푂퐴=a ,푂퐵=b 为边的平行四边形.若퐵푀 = 1 3퐵퐶,퐶푁 = 1 3퐶퐷 푂푀,푂푁,푀푁,试用 a ,b 表示 .解:∵퐵퐴 = 푂퐴 ― 푂퐵=a -b ,1 1 1∴퐵푀 = 3퐵퐶 = 6퐵퐴 = (a -b ),661 ∴푂푀 = 푂퐵 + 퐵푀=b + (a -b )61 1 1 5=b + a - b = a + b .6 6 6 6 又由푂퐷 = 푂퐴 + 푂퐵=a +b ,1 12 2 2得푂푁 = 2푂퐷 + 6푂퐷 = 3푂퐷 = a + b .3 3 2 3 푀푁 = 푂푁 ― 푂푀 = ( 푎 + 2 1 푏)― ( 푎 + 3 6 56 푏)1 1= a - b . 2 67。

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