定数截尾下Weibull分布形状参数的假设检验

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质量管理课程-Weibull分布

维护和故障预测提供了依据。
案例三
总结词
复杂系统的Weibull分布可靠性评估
详细描述
质量管理课程中，我们还通过案例研究探讨了复杂系统的Weibull分布可靠性评估。针对由多个子系统组成的复杂系统，我们首先识别了各子系统的故障模式和失效机制，然后使用Weibull分布模型对各子系统的可靠性进行了评估。最后，我们综合各子系统的可靠性特征，对整个复杂系统的可靠性进行了分析和预测。这一案例研究有助于提高我
案例二
总结词
机械部件故障模式的Weibull分布应用
详细描述
在质量管理课程中，我们还探讨了机械部件故障模式的Weibull分布应用。针对不同类型的机械部件，我们收集了其故障数据，并使用Weibull分布模型进行拟合。通过对比不同部件的Weibull分布参数，我们分析了各部件的故障模式和可靠性特征，为预防性
Weibull分布的特性
总结词
Weibull分布具有形状参数和尺度参数两个参数，决定了分布的形状和尺度。
详细描述
Weibull分布有两个参数，一个是形状参数λ（lambda），一个是尺度参数k。形状参数决定了分布的形状，尺度参数决定了分布的尺度。当形状参数λ=1时，Weibull分布退化为指数分布。
识别潜在故障模式
通过FMEA分析，识别产品或过程中可能出现的故障模式。
分析故障影响
评估每种故障模式对产品质量、安全性、可靠性和其他关键性能指标的影响。
确定风险优先级
根据故障影响程度和发生概率，确定风险优先级，为改进措施提供依据。
制定预防措施
针对高风险故障模式，制定有效的预防措施，降低其发生概率或减轻其影响程度。
掌握如何利用软件进行Weibull分布的拟合、分析和绘图。

定时随机截尾数据情况下Weibull分布参数的矩估计_张志华

X
02,
…,
X
0 n
是独立同分布随机变量,
其分布函数为X
0 i
～F
0(
x
)
,
又设
Y 1,
…, Y n
为独立同分布随机变量, Y i
～ G( x ) , 且假定{ X i}
与{ Yi}
相互独
立。若
{
X
0 i
}
被{ Y i }
所截断, 则此时仅能观察到( X 1 , D1) , ( X 2 , D2 ) , …, ( X n , Dn ) , 其中 X i = min( X i0, Y i ) , Di = I 。 [ X0i < Yi]
其中 ‖G - F‖ = sup0< x< ∞ ûG( x ) - F ( x ) û,
1。 n
由文[ 7] 可知, 生存函数 S0( x ) 可表示成子生存函数 Su( x ) , S c( x ) 的泛函, 即
∫ ∑ S0( x ) =
exp
c
x dS u( t) 0 ( S u + Sc) ( t)
S 0( t )
( 10)
证明见文[ 3]
引理 2 若定理条件满足, 令
∫S
D
(
F
0 n
)
=
[ log S- logt - Rh( p ) - Rp h′( p ) ] dF0n( t ) + Rp 2h′( p )
0
则
Байду номын сангаас
n ( D ( F 0n) )
d
N ( 0, F( S) )
( 11)
证明
由影响函数定义,

定时截尾样本下三参数Weibull分布修正矩估计的强相合性_孙丽玢

N →∞
N →∞
最后再考虑Y1:N . 由于Y ∼ U (0, 1), 对于0 < p = 1/(1 + N ) < 1, 由分位数的概念 FY 1 1+N = 1 , 1+N
即U (0, 1)的1/(1 + N )总体分位数为ξp = 1/(1 + N ). Y1 , Y2 , . . . , YN 为随机变量Y 的i.i.d.样本, Y1:N , Y2:N , . . . , YN :N 为其次序统计量. 对于p = 1/(1 + N ),
∗ ξp = Y([N ·[1/(N +1)]]+1):N = Y1:N
为其样本的1/(1 + N )分位数([a]为不超过a的最大整数). 引理 2.1 [10] 设X1 , X2 , . . . , XN 为来自分布函数F 的随机样本, 其总体p分位数ξp 由分
∗ −→ ξ 及ξ ∗ −→ ξ . 布唯一决定, 则样本p分位数ξp p p p P a.e
(1.1)
称之为定时截尾样本下三参数Weibull分布的修正矩方程, 相应的解称为β, δ 和γ 的修正矩估计(MME). 用牛顿法模拟计算表明, MME有较好的统计性质. 一般的矩估计都是强相合的, 本文讨论定时截尾样本下三参数Weibull分布修正矩估计的强相合性. 由于这里得到的修正矩估计没有显式表达式, 讨论大样本性质存在着困难. 因所构造的修正样本矩并非真正意义上的样本矩, 所以下面第2节首先证明了一般场合修正样本矩的强相合性. 然后在第3节给出了条件(L), 并得出结论: 若所研究的分布 F (x; θ1 , θ2 , θ3 )满足条件(L), 则修正矩估计θ1 , θ2 , θ3 强相合于参数真值. 最后在第4节证明了当形状参数δ ≥ 1, 即失效率增加时, 三参数威布尔分布Wei(x; β, δ, γ )满足条件(L), 即修正矩估计是强相合的.

定时截尾Weibull分布的双参数的矩估计_田霆

25 0.25 0.5 10 20 11 0.260 7
26 0.25 0.5 10 20 12 0.229 7
27 0.25 0.5 10 20 14 0.283 7
28 0.25 0.5 10 20 15 0.227 5
29 0.25 0.5 10 20 13 0.257 7
30 0.25 0.5 10 20 11 0.243 2
=ln f （x），得到 g′ （x） =0，从而得到 f ′（x） >0，过程比较复杂。显然利用式（7）的结论会简洁一些。
DIANZI CHANPIN KEKAOXING YU HUANJING SHIYAN
第1期
田霆等：定时截尾 Weibull 分布的双参数的矩估计
表 1 模拟试验的部分结果
2 基本知识
假设 X 表示某产品的寿命，其分布函数为 F （x），若产品工作到时刻 t，仍能正常工作的时间为 y 的概率为 Ft （y），则
此时 Ft （y）被称为剩余寿命分布函数。令 m （t）为产品工作到时间 t 仍能正常工作条件下，继续工作的平均时间，则
收稿日期： 2008-09-02 作者简介：田霆（1972-），男，湖北襄樊人，国立华侨大学数学系讲师，硕士，主要从事产品可靠性的教学与研究工作。
37 0.5 15 25 20 14 0.466 5
38 0.5 15 25 20 13 0.471 1
39 0.5 15 25 20 16 0.482 4
40 0.5 15 25 20 13 0.519 8
( (
η 1.229 6 1.009 3 1.172 1 1.102 3 0.867 8 0.951 5 1.308 1 0.655 0 0.786 1 1.141 0 9.523 0 9.421 4 10.01 1 9.392 0 9.461 8 9.732 7 9.840 4 8.463 8 9.521 9 10.153 6 0.411 9 0.400 2 0.505 6 0.480 8 0.570 0 0.521 4 0.485 7 0.494 9 0.501 2 0.471 7 15.228 8 14.771 8 14.662 8 15.269 1 14.883 6 15.117 8 14.583 4 15.324 1 14.972 1 14.689 5

定数截尾场合下Weibull分布的形状参数置信下限

设产品的寿命服从两参数Ｗｅｂｌ分布（）ｉｕ１１，
现假定有ｎ个产品进行寿命试验，直到有ｒ产品个失效时停止试验（即定数截尾寿命试验），其次序
作者简介：田霆（９２，男，湖北襄樊人，国立华侨大学数学系讲师，硕士，主要从事产品可靠性的教学与研究工作。１７一）
维普资讯
电子产品可靠性与环境试验
ＶＬ５Ｎｏｕ．２０ｏ２．４Ａｇ０７，
定数截尾场合下Ｗｅｂｌ分布的形状参数置信下限★ ｉｕ１
田霆．刘次华
（国立华侨大学数学系，福建
ｄｓｉｕｉｎｕｄｒＭｕｉｌＴｐ－ＩｈｔｔｔｓＴＪ）ｉｒｔｎｅｐｙｙｅＩ，ｔｅｓａｉｉＩ（１ｔｂｏｓｃ，
ｓｃｎｔｕｔｄｔｉｐｏｅｏｓｒｃｅ・Ｉｓｒｖｄ
ｔａｔｉｓｄｉｔｉｔｏｉｎｄｅｎｎｎｈｅｐａａｅｅｓｍｎｄ，ａｈｔｓｒｂｕｉｎｓｉｐｅｄｅｔｏｔｒｍｔｒａｎｄｈｅｃｃｌｔｏｆｉｔａｕａｉｎｏｔｓｐｅｃｎｉｅｓｓｍｐｌ．Ｂｙｔｓｗａｙ，ｔｅｌｗｅｏｉｄｎｃｉｉｏｈｅｓｐｅｐａｒｍｅｅｉｒｅｔｌｓｉｉｅｈｉｈｏｒｃｎｆｅｅｌｍｔｆｒｔｈａａｔｒｍｓｏｂａｉｄａｔｎｅｎｄｉｉｐｒｅｔｓｏｖｄｔｂｅｏｕｎｂｉｅＷｉｈｎｕａｓｄ．ｔａｍｂｅｏＭａｔ —Ｃａｌｓｍｕｌｔｏｒｆｎｅｒｏｉａｉｎｅｐｒｍｅｔｔｅｓｂｌｔｆｔｓｍｅｈｏｓｄｅｎｔａｅ．ｘｅｉｎｓ，ｈｅｆａｉｉｉｙｏｈｉｔｄｉｍｏｓｒｔｄ

_型截尾下威布尔分布特征寿命的模糊贝叶斯估计_殷世茂 (1) (1)

λ= 1 W = Õ ti T r (m) = åtim + (n - r)t rm m > 0 η > 0 r > 0 ti > 0 i = 1 2 r 。其中： ηm i=1 i=1
r
r
视 λ 为随机变量，为其选取一个合适的先验分布，再求出其在平方损失函数下的后验分布均值即可获得 λ 的贝叶斯点估计。根据专家经验，针对指数分布中的参数 λ ，选择 Gamma(θ1 θ 2) 分布为其先验分布，即
n-r r Cn × mr × ( 1 )r × (t1 × t 2 × × t r )m - 1 × exp{ - 1 [åtim + (n - r)t rm]} = ηm ηm i = 1 r Cn × mr × λr × W m - 1 × exp{ - λ × T r (m)} r
(3)
Ⅱ型截尾下威布尔分布特征寿命的模糊贝叶斯估计
殷世茂 (安徽工业大学管理学院, 安徽马鞍山 243032)
摘要：讨论在Ⅱ型截尾数据下威布尔分布特征寿命的模糊贝叶斯估计问题。将特征寿命视为模糊随机变量，进一步假定其先验分布的参数为模糊实数，利用模糊集理论中 “Resolution Identity” 定理和传统贝叶斯估计方法，获得特征寿命的模糊贝叶斯估计量。数例验证了该方法的可行性。关键词：模糊实数；模糊随机变量；模糊贝叶斯点估计；隶属函数；隶属度中图分类号： O213.2 文献标志码： B doi:10.3969/j.issn.1671-7872.2013.02.019
收稿日期： 2012-06-06 作者简介：殷世茂(1983-)，男，安徽合肥人，讲师，硕士，研究方向为系统模糊可靠性。

Weibull分布下定数截尾恒加试验的一种最优设计

贵州省科学技术基金（黔科合ＪＬＳ２１］２）字Ｋ［０００号资助项目收稿１：１年１月１日３２１２期０
Ｗｅｕ１布下定数截尾恒加试验的一种最优设计ｉｌ分ｂ
５３
ｋｒＥｃｂｒ。ｅ和ｓｏａ¨ 作了较多的总结．另外，ｅｏ＿作了一个加速试验设计的综合性文献目录．Ｎｌｎ１ｓ
ｄｒｓｏｅｔｓｐａ．ｕｅｆｔｅｔｌｎｈＫｅｒｓＡｃｅｅａｅｉｅｔＷｅｂｌｄｓｒｕｉｎＡｓｍｐｏｉａｉｎｅｙｗｏｄｃｌｒｔｄｌｅｔｓｆｉｕｌｉｔｂｔｉｏｙｔｔｖｒａｃｃＯｔｌｅｉｐｉｍａｄｓｎｇ
ｔｎ，ｉｄｓｕｓｄｉｏｓｉｃｓｅ．Ｏｎｔｅｂｓｓｏｒｅｓｍｐｅｔｅｒａｉｆｌｇａｌｏｙ，ａｓｌｉｄｅｐｅｓｏｆｓｍｐｏｉｖｒｎｅｏｅＭＬｆｈａｈｉｉｅｘｒｓｉｎｏｙｔｔａｉｃｆｈＥｏｍｐｆａｃａｔｈｔｅｌｇ一１０ｔｅｃｎｉｆｔｅｄｓｒｕｉｎａｅｄｓｎｓｒｓｓｐｅｅｔｄｂｓｇａｌｍｍａｈｐｉｌｅｔｐａｏ０ｐｐｒｅｔｅｏｉｔｂｔｔｈｅｉｔｅｓｉｒｓｎｅｙｕｉｈｌｈｉｏｔｇｎｅ．Ｔｅｏｔｍａｓｌｎｔ
１引言
加速寿命试验的最优设计问题很早就提出来了．ｈｒｆｌＭｅｅ和Ｎｌｎ作了先驱Ｃｅｏｌ，ｅｋｒｎＪｅｏｓ

威布尔分布参数估计的研究

南开大学硕士学位论文威布尔分布参数估计的研究姓名：赵呈建申请学位级别：硕士专业：概率论与数理统计指导教师：张润楚20071101威布尔分布参数估计的研究作者：赵呈建学位授予单位：南开大学本文读者也读过(10条)1.朱铭扬.ZHU Ming-yang三参数威布尔分布的参数估计[期刊论文]-江苏技术师范学院学报2006,12(6)2.赵冰锋.吴素君三参数威布尔分布参数估计方法[会议论文]-20073.赵冰锋.吴素君三参数威布尔分布参数估计方法[会议论文]-20074.史景钊.杨星钊.陈新昌.SHI Jing-zhao.YANG Xing-zhao.CHEN Xin-chang3参数威布尔分布参数估计方法的比较研究[期刊论文]-河南农业大学学报2009,43(4)5.张慧敏.ZHANG Hui-min三参数威布尔分布在机械可靠性分析中的应用[期刊论文]-机械管理开发2009,24(3)6.郑荣跃.严剑松威布尔分布参数估计新方法研究[期刊论文]-机械强度2002,24(4)7.杨志忠.刘瑞元三参数Weibull分布参数估计求法改进[期刊论文]-工程数学学报2004,21(2)8.邢兆飞威布尔分布可靠度的近似置信限和浴盆形失效率函数及其统计分析[学位论文]20099.赵冰锋.吴素君.ZHAO Bing-feng.WU Su-jun三参数威布尔分布参数估计方法[期刊论文]-金属热处理2007,32(z1)10.严晓东.马翔.郑荣跃.吴亮.YAN Xiao-dong.MA Xiang.ZHENG Rong-yue.WU Liang三参数威布尔分布参数估计方法比较[期刊论文]-宁波大学学报（理工版）2005,18(3)引用本文格式：赵呈建威布尔分布参数估计的研究[学位论文]硕士 2007。

威布尔分布假设检验方法

威布尔分布假设检验方法【最新版3篇】目录（篇1）1.威布尔分布简介2.威布尔分布假设检验方法的概述3.威布尔分布假设检验方法的具体步骤4.威布尔分布假设检验方法的应用实例5.威布尔分布假设检验方法的优缺点分析正文（篇1）一、威布尔分布简介威布尔分布（Weibull Distribution）是一种广泛应用于可靠性分析的概率分布，由瑞典数学家沃尔特·威布尔（Walther Weibull）于 1951 年首次提出。

威布尔分布主要用于描述产品在使用过程中失效的时间，具有两个特征参数，即形状参数（α）和尺度参数（β），可以灵活地描述不同类型的失效数据。

二、威布尔分布假设检验方法的概述威布尔分布假设检验方法是一种基于威布尔分布理论的统计推断方法，用于检验产品失效数据的分布是否符合威布尔分布。

该方法可以帮助我们判断产品是否达到了预期的可靠性水平，为产品的设计、生产和维护提供决策依据。

三、威布尔分布假设检验方法的具体步骤1.收集产品失效数据，并计算出失效时间的累积分布函数（CDF）和概率密度函数（PDF）；2.设定原假设 H0：产品失效数据符合威布尔分布；备择假设 H1：产品失效数据不符合威布尔分布；3.选择适当的统计检验方法，如 Kolmogorov-Smirnov 检验、Shapiro-Wilk 检验等，对原假设进行检验；4.根据检验结果判断是否拒绝原假设，若拒绝原假设，则认为产品失效数据不符合威布尔分布，反之则认为符合。

四、威布尔分布假设检验方法的应用实例假设我们有一组电子产品的失效数据，我们需要判断这组数据是否符合威布尔分布。

首先，我们计算出失效数据的 CDF 和 PDF；然后，选择Kolmogorov-Smirnov 检验进行假设检验；最后，根据检验结果判断失效数据是否符合威布尔分布。

五、威布尔分布假设检验方法的优缺点分析优点：1.威布尔分布具有较强的理论基础，可以较好地描述失效数据的分布特征；2.威布尔分布假设检验方法具有较高的灵敏度和特异性，可以有效地检验产品失效数据的分布；3.该方法适用于不同类型的失效数据，具有较强的通用性。

定数截尾场合下Weibull分布的形状参数置信上下限

∑ｔ＋ｎｒｍ —）ｔ
ｉ１＝
— — — — — — — — — — 一
＇
（）１
∑ ＋ｎｒｒ— ∑ ＋ｎｒ７一￡ — ）ｒｎｌｙ —）ｎｔ
ｉｌ＝ｉｌ＝
其中ｍ为形状参数，为刻度参数。．，７由于Ｗｅｂｌ分ｉｕ１
则Ｔ（是ｍ的单调减函数（＞０。１ｍ）ｍ）对于Ｖｔ＞１，
布在可靠性领域中占有重要地位，已有一些文
（ｍ）＝ｔ都有唯一的解。
１
献［作了研究。本文通过构造特殊的统计量给出
了Ｗｅｕ分布的形状参数ｍ置信上下限。ｉｌｂ１
设产品的寿命服从两参数Ｗｅｂｌ分布（）现ｉｕ１１，
硼
∑ ＋ｎｒｎｍ —）一ｔｔ？
假定有１７，个产品进行寿命试验，到有ｒ个产品失效时停止试验（即定数截尾寿命试验）其次序失效数据，为
ｔｔ１≤ ２≤ … ≤ ｔ，
证明（ｍ）：：
则Ｊ独立，ｓ且服从Ｅ１分布。＝ｌ２ … ，）另可（）（，，ｒ，
得．＝～（，，ｓｎｌ厂Ｉ）－ｙ１＝∑ ．＝｛＋ｎｓ ∑ —
ｒｙ一ｎＩ），Ｙ｝～厂ｒ，）（一１１显然Ｓ，。相互独立。
南昌大学学报（理科版）
２１００矩
ｒ一ｎ，）ｒ｝一厂（一１１ｒ，）显然ｓ，相互独立，则（。．，ｓ）的联合密度为
ｒ．，

定时截尾试验下Weibull分布尺度参数的可容许Bayes估计

崔晓丽（黑龙江工程学院数学系刘丹丹黑龙江哈尔滨 150050）
摘
要：可靠性试验是获得可靠性指标的方法，是统计分析的主要研究方向之一， Weibull分布是重要的产品寿命分布， Bayes方
法能利用经验减少试验的量，同时，定时截尾试验方式可以有效控制试验时间，节约试验经费。本文是在平方损失函数下，先验分布取Gamma分布，得到并证明了定时截尾试验下， Weibull分布的尺度参数的可容许Bayes估计量，可容许的Bayes估计量是很优良的估计量。关键词：定时截尾试验中图分类号： O1 可容许性 Weibull分布文献标识码： A 文章编号： 1674-098X(2016)09(b)-0174-02
取平方损失函数 L ( , d ) ( d ) 2 在此变化下
0 ，取的先验分
布为Ga m m a分布。得充分统计量X的边缘分布:
i 1 xir ( n r )t = i 1 y ir ( n r ) x1 (n r )t
r r
可得， lim (
n
n

B
) 2 0 a.s.
) lim E* (
n
因此由引理1及控制收敛定理 [1] 得
n
lim Rn (
n
n
) RG (

B
B
n

B
)
2
版,20 0 4 (12):16 -18.
( = E * lim n
)2
（上接174页) 。由此式可知得: 引理1 在给定的B ay e s 决策问题中，假如对给定的先验分布 ( ) , 的。定理1 的Baye s 估计则它是可容许 ( X ) 是唯一的，。

基于威布尔分布的数控机床可靠性评估方案

法更精确。
【关键词】数控机床；定数截尾；平均无故障时间；区间估计
数控机床的可靠性在现代工程学中占有举足轻重的作用．也越来服从ｘ分布得到的置信区间，从而得到联合置信越受到企业和顾客的重视 “ 高档数控机床与基础制造装备 ” 科技重大々项提Ｈ：的五轴联动加Ｔ中心和车削中心的可靠性目标：平均无故障区间。此种算法理论简单，但需要构造两个枢轴量计算起来也比较复时间达到９００小时、但为测定机床的平均无故障时间是否达到９００小杂，下面我们应用较为简单的枢轴量近似Ｆ分布的方法来寻求威布尔时．必须对其进行可靠性试验．在可靠性试验中一般采用定时截尾试分布参数的置信区间。验，定时截尾试验便于控制试验进程，但所需的样本容量较大。定数截首先，令Ｘ＝ｌｎＴ．得到Ｘ的分布函数和密度函数尾试验正好相反。适用于小样本的试验。因此对于小样本的情况下我Ｆｘ（）：ｌ — ｅｘｐ｝，们有必要讨论定数截尾试验的验证方案值得我们思考的是在定数截尾试验ｒ｛１当投入的台数ｎ和定数截尾台数ｒ固定的情况下我们如何设计方案可以较为准确的估计出整体的ＭＴＢＦ值数控机床失效概率一般服从指数分布或者威布尔分布对于指数其中ｎ仃＝在此称ｄｎＴ的分布为极值分布，记为Ｅ ‘ ｏ，．分布许多前辈都对其进行了大量研究并得到了显著的成果形成统一的体系而威布尔分布由于其形式复杂至今仍需进行大量研究。本文讨论威布尔分布的定数截尾试验下的数控机床可靠性评估方案
１３０．７４８于是查表得０

weibull函数形状参数和尺度因子的意思

weibull函数形状参数和尺度因子的意思
Weibull函数是一个常用的可靠性分析模型，用于描述产品失效
的概率分布。

其概率密度函数为：
f(x) = \begin{cases}
\frac{k}{\lambda}(\frac{x}{\lambda})^{k-1}e^{-
(\frac{x}{\lambda})^{k}},& x \geq 0\\ 0,&elsewhere \end{cases} 其中，x为失效时间，k为形状参数，\lambda为尺度因子，f(x)表示在x时刻发生失效的概率密度。

形状参数k反映了产品失效的趋势，较小的k对应于失效率下降
较慢的产品，较大的k对应于失效率下降较快的产品。

因此，k通常被称为失效率下降速度因子或者失效率曲线形状因子。

尺度因子\lambda则反映了产品失效时间的尺度，即失效时间的
平均值。

较小的\lambda对应于较短的平均失效时间，较大的\lambda
则对应于较长的平均失效时间。

因此，\lambda通常被称为失效时间尺度因子或者失效时间平均值。

基于Matlab的随机截尾数据下的Weibull分布参数估计

基于Matlab的随机截尾数据下的Weibull分布参数估计史景钊;张峰;陈新昌【摘要】介绍了随机截尾情况下计算样本失效概率的两种方法,并编写了Matlab 函数.提出了利用Matlab的非线性最小二乘曲线拟合函数对服从Weibull分布的随机截尾数据进行曲线拟合和参数估计的方法,并编写了相应程序.计算结果表明,在Matlab中只需少量代码即可获得较好的拟合效果和估计精度,比用其他计算机语言编程更简单而实用.【期刊名称】《河南科学》【年(卷),期】2010(028)005【总页数】4页(P584-587)【关键词】可靠性;Weibull分布;参数估什;Matlab【作者】史景钊;张峰;陈新昌【作者单位】河南农业大学,机电工程学院,郑州,450002;河南农业大学,机电工程学院,郑州,450002;河南农业大学,机电工程学院,郑州,450002【正文语种】中文【中图分类】TB114.3在产品的寿命试验中有完全寿命试验和截尾寿命试验两种类型.其中截尾寿命试验又分为定时截尾、定数截尾和随机截尾等[1].参加试验的部分产品由于某种原因（如人为因素造成产品损坏、统计数据丢失、试验设备失效、根据试验计划有意撤出等）还没有失效就中途退出试验，这样得到的数据即为随机截尾数据（也称为右删失数据）；还有现场可靠性数据，是对实际运行的设备进行寿命考察，由于设备使用情况相差较大，造成观察的结束时间各不相同，也会出现随机截尾的问题.例如，考察一个运输公司某种汽车的首次大修里程，得到的就是随机截尾数据，即有些已经大修过，有些尚未大修，如果只记录已经大修的数据，不记录尚未大修的数据，就会使评估的结果偏离实际.随机截尾寿命试验是可靠性寿命试验中最一般的情况，其他寿命试验都可看作它的一个特例.Weibull分布模型能够根据形状参数的变化表现为各种不同的形状，较好地适用于各类寿命试验数据，因而在可靠性分析中应用十分广泛.对于服从Weibull分布的随机截尾寿命数据的参数估计，国内外学者进行了大量的研究，提出了一些参数估计方法，主要有极大似然估计法[1-4]、贝叶斯估计法[5-8]、最小二乘法[9]、图估计法[10]等.本文根据文献［11-12］介绍的计算样本失效概率的方法，编写了Matlab函数，利用Matlab强大的数值计算功能，实现了用非线性最小二乘法对随机截尾寿命数据进行分布拟合和参数估计.假设投入寿命试验的产品数量（即样本容量）为n，产品的寿命为随机变量T，其分布函数为F（t），相应的样本失效概率为F（t），在试验结束时，其中有r个产品发生了失效，其失效时间为x1≤x2≤…≤xr，有k＝n－r个产品由于各种原因中途撤出了试验，其撤出时间分别为y1≤y2≤…≤yk，则观察到的随机截尾寿命数据其时间按从小到大排序后可表示为显然这类数据不能按照完全样本数据的处理方法计算样本失效概率，必须寻找其他合适的方法.1.1 Johnson的平均次序法Johnson认为中途撤出试验的产品会造成失效产品的时间次序发生变化，应该计算失效产品的平均次序号[11]，第r个失效产品的平均次序号为式中：r为产品的失效序号；Jr为第r个失效数据的平均次序号，并假定J0=0；Ir为第r个失效数据平均次序号的增量；i为第r个失效数据的自然序号（包括中途撤出的数据）；计算出平均次序号Jr后，再以Jr通过中位秩算法计算失效数据的样本失效概率. 实现这一算法的Matlab函数（Johnson.m）为：在上述函数中，t为寿命试验数据，包括失效数据及中途撤出数据；State为状态向量，失效时State（i）=1，撤出时State（i）=0；输出参数为失效数据x及其中位秩Fn；1.2 Herd的残存比率法Herd认为在寿命试验中，若中途有撤出试验的样品，则产品在某时刻的可靠度[12]为式中：R（t）i为产品在ti时的可靠度估计值，并假定R（t0）=1，且有F（nt）i=1-R（t）i；S（t）i产品在时间区间（ti-1～t）i内的残存概率故到第r个产品失效时的可靠度估计值为实现这一算法的Matlab函数（Herd.m）为：该函数的输入和输出参数与Johnson算法完全一样.Johnson算法与Herd算法本质上是一样的，在Johnson算法中，若样本分布函数的计算采用平均秩算法，则结果与Herd法一致.2.1 Weibull分布函数及Matlab实现计算出样本分布函数后，利用Matlab的非线性最小二乘曲线拟合函数即可估计分布参数了.Weibull分布的寿命分布函数由下式给出：式中：m称为形状参数，m＞0；η称为尺度参数，η＞0；γ称为位置参数，对于产品寿命有γ≥0，γ=0时即是二参数Weibull分布；t是产品的工作时间，t≥γ.式（7）在Matlab中可用以行内函数的形式实现，若用lsqcurvefit函数进行曲线拟合和参数估计，则实现的语句为函数语句中：p为参数向量；p（1）为形状参数；p（2）为尺度参数；p（3）为位置参数；x为失效时间向量. 若采用2参数Weibull分布，则函数变为2.2 参数估计以下以具体实例说明参数估计的过程.考察某汽车零件的可靠性，投入10件产品进行寿命试验，试验过程中6件发生了失效，中途有4件撤出试验，失效里程及撤出里程如表1所示[13].2.2.1 样本失效概率计算在Matlab中输入试验结果（行驶里程）向量及状态向量：用［x Fn］=Johnson（t，State）或［x Fn］=Herd（t，State）的形式调用样本失效概率的计算函数，各种方法的计算结果如表1所示.2.2.2 分布检验分布检验的目的是判断试验数据是否服从Weibull分布，这里采用Weibull概率纸进行分布检验.把失效时间和对应的样本失效概率（以Johnson 中位秩法为例）在Weibull概率纸上描点，各点基本上在一条直线上，如图1所示，说明试验数据服从2参数Weibull分布.数据点的描绘可以使用Matlab的wblplot函数.2.2.3 曲线拟合与参数估计曲线拟合与参数估计可使用Matlab的lsqcurvefit函数实现，由概率纸描点结果知应以2参数Weibull分布进行参数估计.完整的程序为：程序运行结果为 p＝［1.353 2，14.371 1］，即该批汽车零件服从形状参数为1.353 2，特征寿命为 14.371 1的2参数Weibull分布.有中途撤出的服从Weibull分布的随机截尾数据的参数估计是比较复杂的，用Matlab强大的数学运算功能仅需不多代码即可完成，大大减轻了编程负担，提高了运算效率.计算结果可满足一般工程需要.在Matlab中曲线拟合函数还有nlinfit与lsqnonlin等，这两个函数也是采用的非线性最小二乘法，使用这两个函数进行拟合也可得到类似的结果，只是不同的函数要求Weibull分布函数有不同的形式，其输出参数也稍有不同，由于采用的算法不同，估计结果也可能稍有不同，可根据需要选择.【相关文献】［1］李海波，张正平，胡彦平，等.基于随机截尾数据下Weibull分布的参数极大似然估计与应用［J］.强度与环境，2009，36（4）：60－64.［2］陈家鼎.随机截尾情形下Weibull分布参数的最大似然估计的相合性［J］.应用概率统计，1989，5（3）：226－233.［3］师义民，杨昭军.随机截尾寿命试验三参数Weibull分布的统计分析［J］.西北大学学报：自然科学版，1996，26（4）：285－288.［4］ Balakrishnana N，Kateri M.On the maximum likelihood estimation of parameters of Weibull distribution based on complete and censored data［J］.Statistics and Probability Letters，2008（78）：2971－2975.［5］林静，韩玉启，朱慧明.一种随机截尾恒加寿命试验的贝叶斯评估［J］.系统工程与电子技术，2007，29（2）：320－323.［6］周晓东，汤银才，费鹤良.删失数据威布尔分布参数的贝叶斯统计分析［J］.上海师范大学学报：自然科学版，2008，37（1）：28－34.［7］吴云，宋乾坤.三参数Weibul1分布下随机截尾恒加寿命试验的Bayes统计分析［J］.西南民族学院学报：自然科学版，1997，23（2）：144－148.［8］ Abdel-Wahid A A，Winterbottom A.Approximate bayesian estimates for the Weibull reliability function and hazard rate from censored data［J］.Journal of Statistical Planning and Inference，1987（16）：277－283.［9］ Zhang L F，Xie M，Tang L C.Bias correction for the least squares estimator of Weibull shape parameter with complete and censored data［J］.Reliability Engineering and System Safety，2006（91）：930－939.［10］ Zhang L F，M Xie，Tang L C.A study of two estimation approaches for parameters of Weibull distribution based on WPP［J］.Reliability Engineering and System Safety，2007（92）：360－368.［11］ Johnson L G.Theory and technique of variable research［M］.New York：Elsevier Publishing Co，1964.［12］ Herd G R.Estimation of reliability from incomplete data［C］//Proceedings of the sixth international symposium on reliability and quality control.New York：John Wiley ＆Sons Inc，1960.［13］杨万凯，刘承胤.汽车可靠性理论［M］.北京：人民交通出版社，1986：240－241.。

定时截尾的Weibull分布双参数近似估计

第28卷第4期华侨大学学报(自然科学版)Vo l.28 No.42007年10月Jo ur nal of H uaqiao U niversity (Natur al Science)Oct.2007文章编号: 1000-5013(2007)04-0441-03定时截尾的Weibull 分布双参数近似估计田霆(华侨大学数学科学学院,福建泉州362021)摘要: 利用纠偏思想,讨论定时截尾情形下W eibull 分布的双参数的近似估计,并进行M o nte Ca rlo 数值模拟试验.从模拟实验结果与Sirv anci 提出的方法的模拟结果相比可以看出,纠偏法有时偏差较大,有时偏差较小.当产品数n 比较大时,参数估计的精度还是令人满意的.分析表明,所给出的两参数估计方法是可行的.关键词: W eibull 分布;定时截尾;标准指数分布;近似估计中图分类号: O 213.2;O 242文献标识码: A在可靠性寿命试验中,人们经常采用定时或定数截尾试验.当产品寿命服从Weibull 分布时,在定数截尾情况下,已有比较完善的结果.定时截尾时,由于失效产品个数具有随机性,因此给统计分析带来很大难度.本文利用纠偏的思想,构造一个新的统计量,给出参数的一种近似估计.1 单参数指数尺度参数的估计若T 服从W (m, ),它的分布函数为F(t)=1-exp {-(t )m},t 0.其中,m 为形状参数,m >0; 为刻度参数, >0 易知,W =(T)m服从标准指数分布[1].若T 服从单参数指数分布,其密度函数形式[2]f (t)=1e -t,t 0.记定时截尾时间为 ,在(0, ]时间内,产品的失效率为p ,A =(T < ),I A ( )为产品在(0, ]内失效的示性函数(简记I ),即p =P (T < )=1-e-, I A ( )=1, A ,0, A.(1)则E[(T - )I ]=E [T ]- p ,其中E(TI )=0te -t d t =- + p + p.由式(1)可得, =- ln (1-p ),即有E[(T - )I ]=- + p = p h(p ) 其中,h(p )=1+1p ln (1-p ).现从分布密度函数形成中抽取n 个产品做试验,其失效时间分别为t 1, ,t n ,由矩估计的思想,我们可用统计量1n ni =1(t i -)I i 无偏估计.故可令1n n i =1(t i - )I i = p h(p ).2 Weibull 分布两参数的近似估计现从分布函数中取n 个产品同时参加定时截尾试验,其失效时间分别为t 1, ,t n ,截尾时间设为 ,而(t 1 )m , ,(t n )m ,()m 分别为服从标准指数分布的n 个产品相应的失效时间及截尾时间故当 = 收稿日期: 2006-10-27作者简介: 田霆(1972-),男,讲师,主要从事产品可靠性的研究.E -mail:t iant ing1972928@so hu.co m. 基金项目: 福建省自然科学基金资助项目(Z0511027)1时,可得到1n n i =1((t i )m -()m )I i =p h(p ).我们用r 记在(0, ]时间内的失效产品数,如果r 选取合理的话,在(0, ]内就有一定比例的产品失效.从而我们可用失效率rn 来估计失效概率p ,这样就可以得到 ,m 的第1个估计式为1n n i=1(t m i - m )I i = mp h (p ), 0<r <n (2)当r =0时,在(0, ]内无产品失效,则1n ni =1(t i - )I i =0,用它估计 p h(p )无意义;而当r =n 时,在(0,]内产品均失效,r n =1,h(1)无意义.r 服从B (n,p )分布,在0<r <n 条件下,E(1n n i =1((t i )m -()m)I i |0<r <n)=1P (0<r <n) n -1k =1P(r =k )E [1n n i =1((t i )m -( )m )I i |r =k]=11-p n -q n n -1k =1C k n p k q n -kE [1n n i =1((t i )m -()m )I i |r =k ] 其中,q =1-p.由文[3]可知,若从标准指数分布中抽取n 个产品做定时截尾试验(截尾时间为 ),其失效时间分别为t 1, ,t n .则E [ ni =1(t i - )I i |r =k]=kE [(t i - )I i |I i =1]=k p[(t i - )I i ]=kh (p ),有E(1n n i =1((t i )m -( )m )I i |0<r <n)=11-p n -q n n -1k=1C k n p k q n -k kh(p ).(3)由于 n -1k =1C knp kq n -kk = nk =0C k n p k q n -k k -C 0n p 0q n -C n n p n q 0=np -p n -q n,所以式(3)为np -p n-q n1-p n -q n h(p )=n -p n -1-q np -11-p n -q np h(p )=G(p )ph (p ) (4)上式中,G(p )=n -p n -1-q n p -11-p n -q n,我们可以将G(p )视为修偏因子.而在Weibull 分布中有如下结论[4]:若t 1, ,t n 服从渐进Weibull (m, )分布,则(1)t (1)服从Weibull (m , n 1m)分布,E (t (1))= (1+1m );(2)当n + 时,有|t (1)-E(t (1))| 0(渐进估计).其中,t (1)为样本的最小次序统计量.联立式(4)可得,一个估计式t(1)= (1+1m )和1n n i =1(t m i - m )I i = mG (p )p h(p ).这两方程形式很复杂,没有显式解,但利用数值解法,并借助于计算机总可解出m 及的估计值及 .3 Monte Carlo 模拟本文作了大量的Monte Carlo 模拟实验,结果表明,上述两方程组的解存在且唯一.部分模拟结果与文[2]方法的模拟结果比较,如表1所示.表1中, m, 分别为m , 的偏差.n =20.在1~10组中表1 纠编法与文[2]方法模拟结果比较T ab.1 Co mparatio n o f the simulatio n g iv en the modifing and the thesls序号r 纠偏法m m纠偏法文[2]的方法纠偏法文[2]的方法114 1.0336 1.22460.03360.02130.22460.12562150.9107 1.0143-0.08930.01030.0143-0.0017315 1.0450 1.15610.0450-0.87600.15610.1385415 1.0374 1.10530.03740.01260.1053-0.02845120.84070.8354-0.15930.1432-0.16460.13266130.85460.9375-0.1454-0.1268-0.06250.0521716 1.2119 1.30460.21190.31450.30460.21688100.63000.7510-0.36910.0145-0.24900.11879110.80930.7841-0.19070.1452-0.21590.2136442华侨大学学报(自然科学版) 2007年续表Co nt inued table序号r 纠偏法m m纠偏法文[2]的方法纠偏法文[2]的方法10141.07761.04210.0776-0.01230.0421-0.203111151.87419.6140-0.12590.14890.38600.254112151.88439.4432-0.11570.1942-0.55680.110213112.075510.00120.07550.08200.00120.002614121.95439.88760.04570.0320-0.11240.014915132.16109.45780.1610-0.0259-0.54220.216216131.87209.7342-0.12800.01495-0.26580.256817121.75719.8765-0.2429-0.0214-0.12350.342618142.08128.43380.0812-0.0012-1.56620.325419112.04599.92190.04590.5487-0.0781-0.015320141.855410.05460.14460.01280.05460.079521130.25140.45130.00140.0152-0.04870.012422130.26770.47820.01770.1158-0.02180.149123160.20280.5034-0.04720.01560.00340.120624150.23590.4818-0.01410.2140-0.0192-0.015125110.26010.51700.00990.01620.0170-0.113226120.24970.5134-0.00030.01520.01340.568127140.24370.4867-0.05630.0118-0.01330.210628150.23750.4943-0.0125-0.0215-0.00570.104229130.25020.50150.0002-0.01640.00150.004330110.25120.48070.0012-0.0027-0.01930.1167取m =1.0, =1.0, =1.2;在11~20组中取m =2.0, =10, =10;在21~30组中取m =0.25, =0.5, =10.从表1可看出,与文[2]所述方法的结果相比,纠偏法有时偏差较大,有时偏差较小.当n 比较大时,参数估计的精度还是令人满意的.因此,这种利用纠偏的思想求出参数的估计的方法是可行的.参考文献:[1] 茆诗松,王玲玲.可靠性统计[M ].上海:华东师范大学出版社,1984:136 156.[2] RV A N CI M ,Y A NG G.Estimation of the W eibull parameter s under type I censor ing[J].JA SA ,1984,79:183 187.[3] 翟伟丽,茆诗松.定时截尾场合下双参数指数分布的参数估计[J].应用概率统计,2002,5(2):197 204.[4] 徐晓岭.两参数Weibull 分布定数、定时截尾下序进应力加速应力加速寿命试验的统计分析[J].数理统计与应用概率统计,1995,3(1):87 93.Approximate Parameter Estimation of Weibull Distributionunder Type I Censoring S ampleT IA N T ing(S chool of M athematics Science,Hu aqiao U nivers ity,Quanzh ou 362021,China)Abstract: A ppr ox imate pa rameter estimation is pr ov ided and the M ante Car lo simulation is done for t wo par amet ers Weibull distributio n under type I censoring by the tho ug ht o f modify ing.It is sho wn by comparing o ur simulation with the simulatio n pr ovided by Sirv anci:T he dev iation so metimes is larg e and so metimes is small.Ho wever ,the pr ecision of the par ameter estimation under a lar ge amount o f samples is all r ight.I t is also show n by the analysis that the estimation met ho d w ith tw o parameter s is suitable.Keywords: W eibull distr ibut ion;t ype I censor ing;no rmal ex ponent ial distr ibution;approx imate estimat ion(责任编辑:黄仲一)443第4期田霆,等:定时截尾的W eibull 分布双参数近似估计。

分布假设的检验

i 1
npi0
n i1 pi0
假设检验
例 1 按孟德尔的遗传定律，让开粉红花的豌豆随机交配，子代可分为红花、粉红花和白花三类，其比例为 1∶2∶1．为检验这个理论，特别安排了一个实验：100 株豌豆中开红花的有 30 株，开粉红花的有 48 株，开白花的有 22 株．试问这些数据与孟德尔遗传定律是否一致？（取 0.05 ．）
知参数，又 k 6， 0.05 ，查表得 2 (k 1) 2 (5) 11.071 ，
0.05
则
2 6 (ni npi0 )2 4.8 11.071，
i 1
npi0
故接受 H0 ，认为这颗骰子是均匀对称的． 2 还可用以下公式计算．
2 k (ni npi0 )2 1 k ni2 n ．
假设检验
分布假设的检验
7.6.1 2 检验
上例中，若这颗骰子是均匀对称的，则 1～6 点中每点出现的可能性相同，都为1/6 ，如果用
Ai 表示第 i 点出现 (i 1，2，，6) ，则待检验假设
H0 ：P(Ai ) 1/6 (i 1，2，，6) ．
在 H0 成立的条件下，理论频率 pi0 P(Ai ) 1/6 ，由 n 120 得频率 npi0 20 ．由于分布不含未
解从豌豆中任选一株，开红花、粉红花及白花分别设为事件 A1 ，A2 ，A3 ，则按孟德尔定律有
p1
P( A1 )
1 4
，
p2
P(A2 )
1 2
，
p3
P(A3 )
1 4
．
现假设检验
选择统计量
H0 ：孟德尔定律成立，H1 ：孟德尔定律不成立．
2 k (ni Ei )2 ~ 2 (k 1) ，