2015-2016学年江西省九江市高一(下)期末数学试卷
2015-2016学年江西省九江市高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年江西省九江市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共16小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数z＝1+（i是虚数单位）在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若a，b∈R，i为虚数单位，且（2a+i）i＝b+i，则a，b的值分别是（）A．a＝，b＝1B．a＝，b＝﹣1C．a＝﹣，b＝1D．a＝﹣，b＝﹣13．（5分）定积分dx的值等于（）A．1B．2C．3D．44．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），若P（X＞﹣2）＝0.9，则P（1＜X ＜4）＝（）A．0.2B．0.3C．0.4D．0.55．（5分）（x﹣）6展开式中x2的系数为（）A．﹣15B．15C．﹣20D．206．（5分）如图所示，用A1、A2、A3三个元件连接成一个系统，A1、A2、A3能否正常工作相互独立，当A1正常工作且A2、A3至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知A1、A2、A3正常工作的概率均为，则系统正常工作的概率为（）A．B．C．D．7．一个箱子里装有7只好灯泡、3只坏灯泡，从中取两次，每次任取一只，每次取后不放回，已知第一次取到的是好灯泡，则第二次取到的还是好灯泡的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）由曲线y＝x2，y＝围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．19．（5分）若函数f（x）＝ax2+e x在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．[0，+∞）C．[﹣e，+∞）D．[﹣2e，+∞）10．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学被问到是否游览过西岳华山时，回答如下：甲说：我没去过；乙说：丙游览过；丙说：丁游览过；丁说：我没游览过．在以上的回答中只有一人回答错误且只有一人游览过华山，根据以上条件，可以判断游览过华山的人是（）A．甲B．乙C．丙D．丁11．（5分）已知函数f（x）的导函数是f′（x），若f（x）＝，则f （f（﹣e））＝（）A．2B．1C．0D．﹣112．（5分）已知随机变量X的取值为0，1，2，若P（X＝0）＝，EX＝1，则DX＝（）A．B．C．D．13．（5分）设a，b是两个实数，以下能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是（）A．a+b＞1B．a+b＝2C．a2+b2＞2D．a+b＞214．若实数a，b满足a+b＜0，则（）A．a，b都小于0B．a，b都大于0C．a，b中至少有一个大于0D．a，b中至少有一个小于015．（5分）已知函数f（x）＝|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1＝0有四个实数根，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣e﹣）B．（﹣∞，e+）C．（﹣e﹣，+∞）D．（﹣∞，﹣e﹣1）16．已知函数f（x）＝x3﹣x2，方程f2（x）+tf（x）+1＝0有四个实数根，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣，+∞）C．（，+∞）D．（﹣1，+∞）二、填空题（共6小题，每小题5分，满分20分）17．（5分）若复数（1﹣i）（2+ai）是实数，则实数a等于．18．（5分）已知＝2•，＝3•，＝4•，…．若＝8•（a，t均为正实数），类比以上等式，可推测a，t的值，则a+t＝．19．（5分）6名大学毕业省先分成三组，其中两组各1人，一组4人，再分配到3个不同的工作岗位实习，则符合条件的不同分法数为．20．6名大学毕业生先分成两组，其中一组2人，一组4人，再分配到2个不同的工作岗位实习，则符合条件的不同分法数为．21．（5分）函数f（x）＝a x﹣xlna（a＞0且a≠1）的最小值为．22．定义域为R的函数f（x）满足f（0）＝1，f′（x）＜f（x）+1，则不等式＜2的解集为．三、解答题（共6小题，满分60分）23．（12分）某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式中的值都等于同一个常数k．①cos211°+sin241°﹣cos11°sin41°；②cos222°+sin252°﹣cos22°sin52°；③cos230°+sin260°﹣cos30°sin60°；④cos244°+sin274°﹣cos44°sin74°．（1）试从上述四个式中选择一个，求出这个常数k的值；（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广三角恒定等式，并证明你的结论．24．（12分）某高校通过调查在发现该校毕业生的学习成绩与就业情况具有线性相关关系，现对5名毕业生的数据进行分析，他们的专业课成绩x i及现在的工作年薪y i情况如下：（1）根据表中数据，计算专业课成绩与年薪的线性相关系数；（2）求出专业课成绩与年薪关系的线性回归方程，并预测专业课成绩为9.6分的学生毕业后的年薪；（3）若再从这5名毕业生中随机抽取2名进行详细调查，求恰有一名毕业生的专业课成绩不少于9分的概率．附：r＝，b＝＝，a＝﹣b．25．（12分）某学校研究性学习小组对该校高二（1）班n名学生视力情况进行调查，得到如图所的频率分布直方图，已知视力在4.0～4.4范围内的学生人数为24人，视力在5.0～5.2范围内为正常视力，视力在3.8～4.0范围内为严重近视．（1）求a，n的值；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对班级名次在前10名和后10名的学生进行了调查，得到如表中数据，根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为视力与学习成绩有关系？（3）若先按照分层抽样在正常视力和严重近视的学生中抽取6人进一步调查他们用眼习惯，再从这6人中随机抽取2人进行保护视力重要性的宣传，求视力正常人数ξ的分布列和期望．附：K2＝，n＝a+b+c+d．26．（12分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n＝a n2+n﹣16．（1）求a1，a2，a3的值，猜想数列{a n}的通项公式并用数学归纳方法证明．（2）令b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．27．（12分）已知函数f（x）＝alnx﹣x（a＞0）．（1）当a＝2时，求函数f（x）在x＝1处的切线方程；（2）若对任意x1，x2∈（0，]，不等式k|f（x1）﹣f（x2）|≥3|x1﹣x2|恒成立，求实数k的取值范围．28．已知函数f（x）＝alnx﹣x（a＞0）．（1）当a＝2时，求函数f（x）在x＝1处的切线方程；（2）若不等式f（x）≤﹣1对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的值．选做题：[选修4－1：几何体证明选讲]：（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
江西省九江市高一数学下学期期末考试试题 文
江西省九江市2016-2017学年度下学期期末考试高一文科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.函数)64sin(π-=x y 的最小正周期为A.8π B.4π C.2πD.π 2．在班级40名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40的学生进行作业检查，这种抽样方法最有可能是A. 简单随机抽样B. 系统抽样C. 分层抽样D. 以上答案都不对3．已知平面向量a 和b 的夹角为1,260o==b a ，，则=+b a 2 A. 20 B. 12 C. 43 D. 234．对具有线性相关关系的变量y x ,有一组观测数据)8,,2,1)(,Λ=i y x i i （，其回归直线方程是a x y+=21ˆ且5,2821821=+++=+++y y y x x x ΛΛ，则实数a 是 A. 21 B. 41 C. 81 D. 1615.已知α是第四象限角，且1tan 3α=-，则sin2α= A. 310- B. 310 C. 35- D. 356．阅读如图所示的程序框图，程序结束时,输出S 的值为A ．6B ．21C ．58D ．141 第 6题图7．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为60秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待20秒才出现绿灯的概率为 A.31 B. 41 C. 32 D. 438.函数)232sin(log )(21x x f -=π的一个单调递减区间是 A ． (,)612ππ- B ． (,)126ππ-C ． (,)63ππD ． 25(,)36ππ9．在ABC ∆中， ,23A AB π==3BC 等于 37 C. 3 D. 7 10．将曲线)62sin(:π+=x y C 向左平移(0)θθ>个单位长度，得到的曲线E 的一个对称中心为），（06π，则θ的最小值是 A. 512π B. 12π C. 3π D. 4π11．已知函数x x πsin 1)(g +=，若有4个不同的正数i x 满足()(01)i g x M M =<<，且()41,2,3,4i x i <=，则从这四个数中任意选出两个，它们的和大于5的概率为A.23 B. 16 C. 12 D. 1312.如图，圆22:(1)1C x y +-=与y 轴的上交点为A ，动点P 从A 点出发沿圆C 按逆时针方向运动，设旋转的角度ACP x ∠=（02x π≤≤），向量OP uuu r 在(0,1)a =r 方向的射影为y （O 为坐标原点），则y 关于x 的函数()y f x =的图像是第II 卷（选择题90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量(),a m n =r 与向量()1,1b =-r 的夹角为θ，则θ为直角的概率是__________．14．下方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为14，乙组数据的平均数为16，则y x +的值为__________．（第14题图） （第15题图15．函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的部分图像如图所示，则=+++)7201()2()1(f f f Λ ．16.在ABC ∆中， 1AB =， 3BC =，以C 为直角顶点向ABC ∆外作等腰直角三角形ACD ，当ABC ∠变化时，线段BD 的长度最大值为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）(1)求函数()y f x =的解析式； (2)求1(())4f f -的值.18.（本题满分12分）已知坐标平面上三点)0,2(A ，)2,0(B ，(sin ,cos )C αα．(1)若2()7OA OC +=u u u r u u u r （O 为坐标原点），求向量OB 与OC 夹角的大小；(2)若BC AC ⊥，求α2sin 的值．2017年天猫五一活动结束后，某地区研究人员为了研究该地区在五一活动中消费超过3000元的人群的年龄状况，随机在当地消费超过3000元的群众中抽取了500人作调查，所得概率分布直方图如图所示：记年龄在[)55,65， [)65,75， []75,85对应的小矩形的面积分别是123,,S S S ，且12324S S S ==.（1）以频率作为概率，若该地区五一消费超过3000元的有30000人，试估计该地区在五一活动中消费超过3000元且年龄在[)45,65的人数；（2）若按照分层抽样，从年龄在)85,75[),75,65[的人群中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人作深入调查，求至少有1人的年龄在)85,75[内的概率.20.（本题满分12分）在直角坐标系xoy 中,圆422=+y x O ：与x 轴负半轴交于点A ,过点A 的直线AN AM ,分别与圆O 交于N M ,两点．（1）若21,2-==AN AM k k ,求AMN ∆的面积； （2）过点)4,3(-P 作圆O 的两条切线,切点分别为F 、E ,求⋅． 21.（本题满分12分）在ABC ∆中，C B A ,,所对的边分别为,,,c b a ))sin(),(cos(),cos ,(sin A x A x n x x m --==，函数)()(R x n m x f ∈⋅=在125π=x 处取得最大值． （1）当)2,0(π∈x 时，求函数)(x f 的值域；（2）若7=a 且14313sin sin =+C B ,求ABC ∆的面积． 22.（本题满分12分）已知1≥a ，1)cos (sin cos sin )(-++-=x x a x x x f .（1）求当1=a 时，)(x f 的值域；（2）若函数)(x f 在],0[π内有且只有一个零点，求a 的取值范围.高一文科数学试卷答案 第Ⅰ卷（选择题50分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1-5.CBDAC 6-10.BCAAD 11-12.DB12.【解析】由题意x x πsin 1)(g +=由(),01i g x M M =<<， 4i x <，不妨设1234x x x x <<<，则123x x +=， 347x x +=， 31422,2x x x x =+=+， 14234x x x x +=+=，从1234,,,x x x x 中选两个有6种选法，和大于5的有24,x x 和34,x x ，因此所求概率为3162==P ，故选D ．二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上） 13.61；14.9； 15．2；16.61+． 16.【解析】 设,ABC ACB αβ∠=∠=，则2423cos AC α=-， 由正弦定理可得sin sin 423cos αβα=-，所以()203423cos 23423cos cos 90BD ααβ=+--⨯⨯-⨯+()0723cos 23sin 726sin 45ααα=-+=+- 所以0135α=时， BD 取得的最大值61+.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤） 17．（本题满分10分）解：(1)2sin (0)()0(0)(0)3x x y f x x x x π⎧⎪>⎪===⎨⎪⎪-<⎩………5分(2)11()()43412f ππ-=-⨯-=Q ………7分 21cos1236(())()sin 4121224f f f πππ-∴-====………10分18.（本题满分12分）解：（1）(2sin ,cos )OA OC αα+=+u u u r u u u r Q ，2()7OA OC +=u u u r u u u r22(2sin )cos 7αα∴++=………… 2分 1sin 2α∴=......... 3分 3cos 2α∴=± (4)分设OB 与OC 的夹角为θ，则2cos 3cos 2OB OC OB OCαθ⋅===±u u u r u u u ru u u r u u u r …………5分 OB ∴u u u r 与OC u u u r 的夹角为6π或56π………… 6分(2)(sin 2,cos )AC αα=-u u u r Q ，(sin ,cos 2)BC αα=-u u u r……… 7分由AC BC ⊥u u u r u u u r ，0AC BC ∴⋅=u u u r u u u r ，可得21sin cos =+αα………9分 21(cos sin )4αα∴+=，32sin cos 4αα∴=-………11分 即432sin -=α………12分19.（本题满分12分）解：（1）设区间[]7580，的频率为x ，则区间[)[)55656575，，，内的频率依次为42x x 和，依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++= ,0.05x ∴=………3分∴在五一活动中消费超过3000元且年龄在[)45,60岁之间的人数为：()30000100.0340.515000⨯⨯+⨯=（人）………6分（2）若按分层抽样，年龄在)85,75[),75,65[分别抽取2人和4人，记年龄在)85,75[的两 人为A,B ，记年龄在[)65,75的4人为1，2，3，4；随机抽取两人可能情况有： (A,B),(A,1)(A,2),(A,3),(A,4),(B,1),(B,2),(B,3),(B,4),(1,2),(1,3),(1,4)，(2,3),(2,4),(3,4),共15种情况，………8分其中满足条件的有：(A,B),(A,1)(A,2),(A,3),(A,4),(B,1),(B,2),(B,3),(B,4)共9………10分种故所求概率为： 53159P ==.………12分20.（本题满分12分）解：（1）,21,2),0,2(-==-AN AM k k A Θ24,AM y x ∴=+直线的方程为 112AN y x =--直线的方程为5545164254=-==∴AM d AM O ，从而的距离到直线圆心． 55821==∴⊥∴-=⋅d AN AN AM k k AN AM Θ1116225AMN S AM AN ∆∴=⋅==．………6分 （2）5)4(322=-+=OP Θ2122=-=OE PO 52sin =∠∴OPE 又2517sin 212cos cos 2=∠-=∠=∠OPE OPE FPE Θ253572517)21(cos 2=⋅=∠=⋅∴FPE ．………12分21.（本题满分12分）解：（1）())sin(cos )cos(sin A x x A x x x f -+-=()A x -=2sin因为函数在125π=x 处取得最大值，所以21252ππ=-⨯A ，得3π=A所以()⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin πx x f 因为)2,0(π∈x ，所以⎪⎭⎫⎝⎛-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,332πππx ，则函数值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,23………6分 (2）因为314237sin sin sin ====C c B b A a 所以143sin ,143sin c C b B ==，则14313143143sin sin =+=+c b C B 所以13=+c b由余弦定理得222cos 2a A bc c b =-+所以()()22cos 12a A bc c b =+-+，又因为13=+c b ，7=a ，所以40=bc则面积310sin 21S ==A bc ．………12分22.（本题满分12分）解：（1）当1=a 时，1cos sin cos sin )(-++-=x x x x x f ，令x x t cos sin +=，则]2,2[-∈t ，21cos sin 2-=t x x ，22)1(21121)(--=-+--=t t t t g ，当1=t 时，0)(max =t g ，当2-=t 时，223)(min --=t g ，所以)(x f 的值域为]0,223[--.…………6分（2）1)cos (sin cos sin )(-++-=x x a x x x f ，令x x u cos sin +=，则当],0[π∈x 时，]2,1[-∈u ，21cos sin 2-=u x x ，2121)(21121)(222++--=-+--=a a u au u u h ，)(x f 在],0[π内有且只有一个零点等价于)(u h 在}2{)1,1[I-内有且只有一个零点，)2,1[无零点.因为1≥a ，∴)(u h 在)1,1[-内为增函数，①若)(u h 在)1,1[-内有且只有一个零点，)2,1[无零点，11 故只需⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤-->-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≤->023201010)2(0)1(0)1(a a a h h h 得423>a ；…………10分 ②若2为)(u h 的零点，)2,1[内无零点，则0232=-a ，得423=a ，经检验，423=a 不符合题意. 综上，423>a .…………12分。
2015-2016学年江西省九江一中高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年江西省九江一中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合P＝{2，3，4，5，6}，Q＝{3，5，7}，若M＝P∩Q，则M的子集个数为（）A．5B．4C．3D．22．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（﹣1））＝（）A．4B．2C．1D．﹣23．（5分）复平面内，复数z＝（i+2）（i2+i），则复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）在2016年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示：由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是：＝﹣2.2x+a，那么a的值为（）A．﹣24B．29.2C．30D．405．（5分）函数y＝的值域是（）A．[0，+∞）B．C．D．6．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a n＝，则S100等于（）A．B．C．2D．7．（5分）函数f（x）＝lnx﹣零点所在的大致区间为（）A．（2，3）B．（1，2）C．D．（e，+∞）8．（5分）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁9．（5分）a＝log23.5，，，则（）A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 10．（5分）函数y＝e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是（）A．B．C．D．11．（5分）已知直线l：y＝k（x+2）与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|＝2|BN|，则k的值是（）A．B．C．2D．12．（5分）已知函数f（x）＝（b∈R）．若存在x∈[]，使得f（x）＞﹣x•f'（x），则实数b的取值范围是（）A．B．C．D．（﹣∞，3）二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）13．（5分）命题p：∀x∈R，2x2+1＜0，则该命题的否定是．14．（5分）在平面直角坐标系中，点M在曲线C：y＝x3﹣2x上，已知曲线C在点M处的切线的斜率为1，则点M的坐标为．15．（5分）若两个正实数x，y满足＝1，且不等式x+＜m2﹣3m有解，则实数m的取值范围是．16．（5分）某医院用甲、乙两种原材料为手术后病人配制营养餐，甲种原料每克含蛋白质5个单位和维生素C 10个单位，售价2元；乙种原料每克含蛋白质6个单位和维生素C 20个单位，售价3元；若病人每餐至少需蛋白质50个单位、维生素C 140个单位，在满足营养要求的情况下最省的费用为．三、解答题（共70分，请在答题卡指定区域内作答．答题时应写出文字说明、证明或演算步骤）17．（12分）在△ABC的内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知，（1）求B；（2）若b＝2，△ABC的周长为2+2，求△ABC的面积．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和s n满足S n＝2n2﹣13n（n∈N*）．（1）求通项公式a n；（2）令c n＝，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）北京某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示．（1）求频率分布表中n，p的值，并补充完整相应的频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，则第4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至多有1名学生被甲考官面试的概率．20．（12分）设双曲线＝1的两个焦点分别为F1，F2，离心率为．（1）求此双曲线的渐近线l1、l2的方程；（2）若A、B分别为l1、l2上的点，且2|AB|＝5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．21．（12分）已知函数f（x）＝x+，g（x）＝x+lnx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若存在x1∈[1，e]，x2∈[e，e2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围．四、请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22．（10分）已知曲线C的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B的极坐标分别为A（2，π），B（2，）．（1）求直线AB的极坐标方程；（2）设M为曲线C上的点，求点M到直线AB距离的最大值．23．已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝﹣|x+3|+m．（1）当m＝7时，解关于x的不等式f（x）﹣g（x）＞0；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．2015-2016学年江西省九江一中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：∵P＝{2，3，4，5，6}，Q＝{3，5，7}，∴M＝P∩Q＝{3，5}，则M的子集个数为22＝4．故选：B．2．【解答】解：∵f（﹣1）＝（﹣1）2＝1，f（1）＝1+1＝2，∴f（f（﹣1））＝f（1）＝2，故选：B．3．【解答】解：复数z＝（i+2）（i2+i）＝（i+2）（﹣1+i）＝﹣1﹣i．复数对应点的坐标（﹣1，﹣1）在第三象限．故选：C．4．【解答】解：由题意得＝（9.2+9.3+10+10.5+11）＝10，＝（11+10+8+6+5）＝8，即样本中心（，）为（10，8）代入回归直线方程是：＝﹣2.2x+a，得8＝﹣2.2×10+a，则a＝22+8＝30，故选：C．5．【解答】解：∵2x＞0，∴0≤8﹣2x＜8．∴0≤＜2．故函数y＝的值域是[0，2）．故选：D．6．【解答】解：∵a n＝＝2（﹣），∴S100＝2（1﹣+…+）＝2（1﹣）＝，故选：B．7．【解答】解：函数的定义域为：（0，+∞），由函数在定义域上是递增函数，所以函数只有唯一一个零点．又∵f（3）＝ln3﹣＝ln3﹣1＞0，f（2）＝ln2﹣＜0，∴f（2）•f（3）＜0，函数f（x）＝lnx﹣零点所在的大致区间为（2，3）．故选：A．8．【解答】解：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意．故获奖的歌手是丙故选：C．9．【解答】解：a＝log23.5，＝log23，∴a＞b＞1＜1，∴a＞b＞c．故选：A．10．【解答】解：由y＝e|lnx|﹣|x﹣1|可知：函数过点（1，1），当0＜x＜1时，y＝e﹣lnx﹣1+x＝+x﹣1，y′＝﹣+1＜0．∴y＝e﹣lnx﹣1+x为减函数；若当x＞1时，y＝e lnx﹣x+1＝1，故选：D．11．【解答】解：设抛物线C：y2＝8x的准线为l：x＝﹣2直线y＝k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|AM|＝2|BN|，得点B为AP的中点、连接OB，则|OB|＝|AF|，∴|OB|＝|BF|，点B的横坐标为1，∴点B的坐标为B（1，2），把B（1，2）代入直线l：y＝k（x+2）（k＞0），解得k＝．故选：D．12．【解答】解：∵f（x）＝（b∈R），x＞0，∴f′（x）＝，∴f（x）+xf′（x）＝，∵存在x∈[，3]，得f（x）＞﹣x•f'（x），∴1+2x（x﹣b）＞0∴b＜x+，设g（x）＝x+，∴b＜g（x）max，∴g′（x）＝1﹣g′（x）＝0时，解得：x＝，当g′（x）＞0时，即＜x≤3时，函数单调递增，当g′（x）＜0时，即≤x＜时，函数单调递减，∴当x＝3时，函数g（x）取最大值，最大值为g（3）＝，∴b＜，故选：A．二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）13．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，2x2+1＜0，则该命题的否定是：∃x∈R，2x2+1≥0．故答案为：∃x∈R，2x2+1≥0．14．【解答】解：设切点M（m，n），y＝x3﹣2x的导数为y′＝3x2﹣2，可得曲线C在点M处的切线的斜率为3m2﹣2＝1，解得m＝±1，可得n＝m3﹣2m＝1﹣2＝﹣1或﹣1+2＝1．则M（1，﹣1）或（﹣1，1）．故答案为：（1，﹣1）或（﹣1，1）．15．【解答】解：正实数x，y满足＝1，则x+＝（）（x+）＝2++≥2+2＝4，当且仅当y＝2x＝4，x+取得最小值4．由x+＜m2﹣3m有解，可得m2﹣3m＞4，解得m＞4或m＜﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．16．【解答】解：设每盒盒饭需要甲、乙原料分别为x（克），y（克），所需费用为S＝2x+3y，且x、y满足．由图可知，直线s＝2x+3y过A（4，5）时，s最小，即S最小＝2×4+3×5＝23．故甲、乙原料应该分别使用4，5时，才能既满足营养，又使病人所需费用最省，最省的费用为23．故答案为：23．三、解答题（共70分，请在答题卡指定区域内作答．答题时应写出文字说明、证明或演算步骤）17．【解答】解：（1）由正弦定理可得：＝，∴tan B＝，∵0＜B＜π，∴B＝；（2）由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2ac cos B，即a2+c2﹣ac＝4，又b＝2，△ABC的周长为2+2，∴a+c+b＝2+2，即a+c＝2，∴ac＝，∴S△ABC＝ac sin B＝××＝．18．【解答】解：（1）①当n＝1时，a1＝S1＝﹣11，②当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n2﹣13n﹣[2（n﹣1）2﹣13（n﹣1）]＝4n﹣15，n＝1时，也适合上式．∴a n＝4n﹣15．（2）c n＝＝＝•（4n﹣15），∴T n＝+++…+•（4n﹣15），①＝++…++②①﹣②，得：T n＝﹣+4（++…+）﹣（4n﹣15）•（）n+1＝﹣+4•﹣（4n﹣15）•（）n+1＝﹣﹣，∴T n＝﹣7﹣．19．【解答】解：（1）由题意可知，第2组的频数n＝0.35×100＝35人，第3组的频率p＝＝0.30；（2）∵第4、5组共有30名学生，∴利用分层抽样在30名学生中抽取6名学生，每组分别为：第4组：×6＝4人，第5组：×6＝2人，∴第4、5组分别抽取4人、2人；（3）试验发生包含的事件是从六位同学中抽两位同学有C62＝15种满足条件的事件是第4组至多有一名学生被考官甲面试有C22+＝9种结果，∴至少有一位同学入选的概率为：＝．20．【解答】解：（1）∵e＝，∴c2＝3a2，∵c2＝a2+6，∴a＝，c＝3．∴双曲线方程为＝1，渐近线方程为y＝±x．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x，y），∵2|AB|＝5|F1F2|，∴|AB|＝|F1F2|＝×2c＝15，∴（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2＝225，∵y1＝x1，y2＝﹣x2，2x＝x1+x2，2y＝y1+y2，∴y1+y2＝（x1﹣x2），y1﹣y2＝（x1+x2），∴2×（2y）2+×（2x）2＝225，∴＝1，对应的曲线为椭圆．21．【解答】解：（1）∵f（x）＝x+，（x≠0），∴f′（x）＝1﹣＝，①a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）递增；②a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣，令f′（x）＜0，解得：﹣＜x＜且x≠0，∴f（x）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，0），（0，）递减，在（，+∞）递增；（2）由（1）得：①a≤1时，f（x）在[1，e]递增，∴f（x）在[1，e]的最大值是f（e）＝e+，②1＜a＜e时，f（x）在[1，a）递减，在（a，e]递增，∴f（x）的最大值是f（1）或f（e），而f（1）＝1+a＜f（e）＝e+，∴f（x）在[1，e]的最大值是e+，③a≥e时，f（x）在[1，e]递减，∴f（x）在[1，e]的最大值是f（1）＝1+a，而g（x）＝x+lnx，g′（x）＝1+＞0，∴g（x）在[e，e2]递增，g（x）的最小值是g（e）＝1+e，若存在x1∈[1，e]，x2∈[e，e2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，只需f（x）max＞g（x）min即可，∴或，解得：a≥e．四、请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22．【解答】解：（1）由A（2，π），B（2，）可得直角坐标：A（﹣2，0），B．∴直线AB的直角坐标方程为：y﹣0＝（x+2），即x﹣y+2＝0，把代入可得极坐标方程：ρcosθ﹣sinθ+2＝0，化为：＝1．（2）设M（cosθ，sinθ），则点M到直线AB距离d＝＝≤2，当且仅当＝﹣1时取等号，∴点M到直线AB距离的最大值为2．23．【解答】解：（1）当m＝7时，f（x）﹣g（x）＝|x﹣2|+|x+3|＞7．x＜﹣3时，﹣x+2﹣x﹣3＞7，即x＜﹣4，∴x＜﹣4；﹣3≤x≤2时，﹣x+2﹣x﹣3＞7，不成立；x＞2时，x﹣2+x+3＞7，即x＞3，∴x＞3；综上所述，不等式f（x）﹣g（x）＞0的解集为{x|x＜﹣4或x＞3}；（2）∵f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝﹣|x+3|+m，函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，∴g（x）max＜f（﹣3），即m＜f（﹣3）＝5．∴m的取值范围为：m＜5．。
2015-2016学年江西省九江一中高一(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年江西省九江一中高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．sin1290°=（）A．B．C．﹣D．﹣2．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=3．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣ B．﹣C．D．24．函数y=sin（3x+）+cos（3x+）的最小正周期是（）A．6πB．2πC． D．5．底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其主视图有最大面积时，其左视图的面积为（）A．B．3 C．D．46．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）A．B．C．D．7．已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且=0.5x+a，则a=（）8．已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．9．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）A．﹣ B．C．D．10．执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A ．y=2xB ．y=3xC ．y=4xD ．y=5x11．已知圆（x +1）2+y 2=4的圆心为C ，点P 是直线l ：mx ﹣y ﹣5m +4=0上的点，若该圆上存在点Q 使得∠CPQ=30°，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[﹣1，1]B ．[﹣2，2]C ．D ．12．已知函数f （x ）=sin 2+sin ωx ﹣（ω＞0），x ∈R ，若f （x ）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（ ）A ．（0，]B ．（0，]∪[，1）C ．（0，]D ．（0，]∪[，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在横线上. 13．一个体积为8的正方体的顶点都在一个球面上，则此球的表面积是______．14．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足（a +b ）2﹣c 2=4，且C=60°，ab 的值为______．15．已知tan α，tan β是方程x 2+3x +4=0的两根，α，β∈（﹣，）则α+β=______．16．已知函数f （x ）=（a ＞0，且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|f （x ）|=2﹣恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共70分17．已知向量=（cos α，1+sin α），=（1+cos α，sin α）．（1）若|+|=，求sin2α的值；（2）设=（﹣cos α，﹣2），求（+）•的取值范围．18．某校从高二年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100]后得到如图的频率分布直方图．（1）求图中实数a的值；（2）若该校高二年级共有学生640人，试估计该校高二年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．19．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：相切．（1）求圆O的方程；（2）若圆O上有两点M、N关于直线x+2y=0对称，且，求直线MN的方程．20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（Ⅰ）证明：A=2B（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．22．已知f（e x）=ax2﹣x，a∈R．（1）求f（x）的解析式；（2）求x∈（0，1]时，f（x）的值域；（3）设a＞0，若h（x）=[f（x）+1﹣a]•log x e对任意的x1，x2∈[e﹣3，e﹣1]，总有|h（x1）﹣h（x2）|≤a+恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年江西省九江一中高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．sin1290°=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】根据诱导公式，转化成锐角的三角函数形式再计算即可．【解答】解：sin1290°=sin=sin210°=sin=﹣sin30°=﹣．故选：D．2．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=【考点】对数函数的定义域；对数函数的值域与最值．【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．【解答】解：函数y=10lgx的定义域和值域均为（0，+∞），函数y=x的定义域和值域均为R，不满足要求；函数y=lgx的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求；函数y=2x的定义域为R，值域为R（0，+∞），不满足要求；函数y=的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求；故选：D3．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣ B．﹣C．D．2【考点】圆的一般方程；点到直线的距离公式．【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1，解得：a=，故选：A．4．函数y=sin（3x+）+cos（3x+）的最小正周期是（）A．6πB．2πC． D．【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数的化简求值．【分析】利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，得出结论．【解答】解：函数y=sin（3x+）+cos（3x+）=2sin[（3x+）+]=2sin（3x+）的最小正周期为，故选：C．5．底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其主视图有最大面积时，其左视图的面积为（）A．B．3 C．D．4【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由题意可知三视图的正视图面积最大时是正方形，侧视图是矩形，然后求出面积．【解答】解：由三视图和题意可知三视图的正视图面积最大时是正方形，底面边长为2，侧棱长2，侧视图是矩形，长为2，宽为，所以侧视图的面积为：2，故选A．6．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】求出一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待15秒才出现绿灯的概率．【解答】解：∵红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯，∴一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为=．故选：B．7．已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且=0.5x+a，则a=（）【考点】线性回归方程．【分析】由图表求得，代入回归直线方程得答案．【解答】解：由图表知，，，代入=0.5x+a，得5.5=0.5×2+a，解得a=4.5．故选：C．8．已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的含义与物理意义．【分析】先求出向量、，根据投影定义即可求得答案．【解答】解：，，则向量方向上的投影为：•cos＜＞=•===，故选A．9．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）A．﹣ B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，∴•========．故选：B．10．执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C11．已知圆（x+1）2+y2=4的圆心为C，点P是直线l：mx﹣y﹣5m+4=0上的点，若该圆上存在点Q使得∠CPQ=30°，则实数m的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[﹣2，2] C．D．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，此时CP=4，利用圆上存在点Q使得∠CPQ=30°，可得圆心到直线的距离d=≤4，进而得出答案．【解答】解：由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，此时CP=4．∵圆上存在点Q使得∠CPQ=30°，∴圆心到直线的距离d=≤4，∴0≤m≤，故选：D．12．已知函数f（x）=sin2+sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]∪[，1）C．（0，]D．（0，]∪[，]【考点】函数零点的判定定理．【分析】函数f（x）=，由f（x）=0，可得=0，解得x=∉（π，2π），因此ω∉∪∪∪…=∪，即可得出．【解答】解：函数f（x）=+sinωx﹣=+sinωx=，由f（x）=0，可得=0，解得x=∉（π，2π），∴ω∉∪∪∪…=∪，∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点，∴ω∈∪．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在横线上.13．一个体积为8的正方体的顶点都在一个球面上，则此球的表面积是12π．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，正方体的体对角线为，即为球的直径，所以半径为，球的表面积为．故答案为：12π．14．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，ab的值为．【考点】余弦定理．【分析】将（a+b）2﹣c2=4化为c2=（a+b）2﹣4=a2+b2+2ab﹣4，又C=60°，再利用余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab即可求得答案．【解答】解：∵△ABC的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2=4，∴c2=（a+b）2﹣4=a2+b2+2ab﹣4，又C=60°，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∴2ab﹣4=﹣ab，∴ab=．故答案为：．15．已知tanα，tanβ是方程x2+3x+4=0的两根，α，β∈（﹣，）则α+β=﹣．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；两角和与差的正切函数．【分析】此题运用根与系数的关系求出tanα+tanβ的值和tanαtanβ的值，根据两角和与差的正切公式即可求出α+β，但一定要注意α，β的范围【解答】解：tanα，tanβ是方程的两根，tanα+tanβ=﹣3，tanαtanβ=4，tan（α+β）==又∵α、β∈（﹣，），∴α+β∈（﹣π，π）．又∵tanα+tanβ=﹣3，tanα•tanβ=4，∴α、β同为负角，∴α+β=﹣．故答案为﹣16．已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是[，）．【考点】分段函数的应用．【分析】由减函数可知f（x）在两段上均为减函数，且在第一段的最小值大于或等于第二段上的最大值，作出|f（x）|和y=2﹣的图象，根据交点个数判断3a与2的大小关系，列出不等式组解出．【解答】解：∵f（x）是R上的单调递减函数，∴y=x2+（4a﹣3）x+3a在（﹣∞．，0）上单调递减，y=log a（x+1）+1在（0，+∞）上单调递减，且f（x）在（﹣∞，0）上的最小值大于或等于f（0）．∴，解得≤a≤．作出y=|f（x）|和y=2﹣的函数草图如图所示：∵|f（x）|=2﹣恰有两个不相等的实数解，∴3a＜2，即a．综上，．故答案为[，）．三、解答题：本大题共6小题，共70分17．已知向量=（cosα，1+sinα），=（1+cosα，sinα）．（1）若|+|=，求sin2α的值；（2）设=（﹣cosα，﹣2），求（+）•的取值范围．【考点】两角和与差的正弦函数；向量的模；同角三角函数间的基本关系．【分析】（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则得到两向量和的坐标，再利用向量模的计算方法表示出两向量和的模，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简后，根据已知两向量和的模得出sinα+cosα的值，两边平方后，再根据同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式即可求出sin2α的值；（2）由及的坐标求出+的坐标，再由的坐标，利用平面向量的数量积运算法则计算所求的式子，配方后得到关于sinα的二次函数，配方后，根据正弦函数的值域得到自变量sinα的范围，利用二次函数的性质得到二次函数的值域即为所求式子的范围．【解答】解：（1）∵+=（1+2cosα，1+2sinα），|+|===，∴sinα+cosα=﹣，两边平方得：1+2sinαcosα=，∴sin2α=﹣；（2）因+=（0，﹣1+sinα），∴（+）•=sin2α﹣sinα=﹣．又sinα∈[﹣1，1]，∴（+）•的取值范围为[﹣，2]．18．某校从高二年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100]后得到如图的频率分布直方图．（1）求图中实数a的值；（2）若该校高二年级共有学生640人，试估计该校高二年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【分析】（1）根据阴影矩形的面积之和等于1，计算a的值；（2）首先计算成绩不低于60分的频率，即后四个小矩形的面积和，然后用640×频率计算人数；（3）若两名学生的学生成绩之差的绝对值不大于10，即两人是同一组的学生，那么首先计算两组的人数，并编号，并以编号的形式列出所有选取2人的基本事件的个数，同时计算同一组的两个人的所有基本事件的个数，最后相除得到概率．【解答】（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，∴10×（0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01）=1．解得a=0.03．（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于6的频率为1﹣10×（0.005+0.01）=0.85．由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于6的人数约为640×0.85=544人．（3）解：成绩在[40，50）分数段内的人数为40×0.05=2人，分别记为A，B．成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1=4人，分别记为C，D，E，F．若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共15种．如果两名学生的数学成绩都在[40，50）分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10．如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共7种．所以所求概率为P（M）=．19．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：相切．（1）求圆O的方程；（2）若圆O上有两点M、N关于直线x+2y=0对称，且，求直线MN的方程．【考点】圆的标准方程；关于点、直线对称的圆的方程．【分析】（Ⅰ）设圆O的半径为r，由圆心为原点（0，0），根据已知直线与圆O相切，得到圆心到直线的距离d=r，利用点到直线的距离公式求出圆心O到已知直线的距离d，即为圆的半径r，由圆心和半径写出圆O的标准方程即可；（Ⅱ）设出直线方程，利用点到直线的距离以及垂径定理求出直线方程中的参数，即可得到直线方程．【解答】（本题满分14分）（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，即．…得圆O的方程为x2+y2=4．…（2）由题意，可设直线MN的方程为2x﹣y+m=0．…则圆心O到直线MN的距离．…由垂径分弦定理得：，即．…所以直线MN的方程为：或．…20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（Ⅰ）证明：A=2B（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可证明A=2B（Ⅱ）若△ABC的面积S=，则bcsinA=，结合正弦定理、二倍角公式，即可求角A的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∴sinB+sin（A+B）=2sinAcosB∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB∴sinB=2=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）∵A，B是三角形中的角，∴B=A﹣B，∴A=2B；（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S=，∴bcsinA=，∴2bcsinA=a2，∴2sinBsinC=sinA=sin2B，∴sinC=cosB，∴B+C=90°，或C=B+90°，∴A=90°或A=45°．21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，得NE是△PBC的中位线，推导出四边形ABEM 是平行四边形，由此能证明MN∥平面PAB．（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，NF是△PAC的中位线，推导出NF⊥面ABCD，延长BC 至G，使得CG=AM，连结GM，则四边形AGCM是平行四边形，由此能求出四面体N﹣BCM的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线，∴NE∥PB，又∵AD∥BC，∴BE∥AD，∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，∴BE=BC=AM=2，∴四边形ABEM是平行四边形，∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB．解：（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，∵NF是△PAC的中位线，∴NF∥PA，NF==2，又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，∵AM CG，∴四边形AGCM是平行四边形，∴AC=MG=3，又∵ME=3，EC=CG=2，∴△MEG的高h=，∴S△BCM===2，===．∴四面体N﹣BCM的体积V N﹣BCM22．已知f（e x）=ax2﹣x，a∈R．（1）求f（x）的解析式；（2）求x∈（0，1]时，f（x）的值域；（3）设a＞0，若h（x）=[f（x）+1﹣a]•log x e对任意的x1，x2∈[e﹣3，e﹣1]，总有|h（x1）﹣h（x2）|≤a+恒成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的值域；二次函数的性质．【分析】（1）利用换元法进行求解即可．（2）根据函数的解析式即可求函数的值域．（3）根据函数恒成立问题，建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：（1）设e x=t，则x=lnt＞0，所以f（t）=a（lnt）2﹣lnt所以f（x）=a（lnx）2﹣lnx（x＞0）；…（2）设lnx=m（m≤0），则f（x）=g（m）=am2﹣m当a=0时，f（x）=g（m）=﹣m，g（m）的值域为[0，+∞）当a≠0时，若a＞0，，g（m）的值域为[0，+∞）若a＜0，，g（m）在上单调递增，在上单调递减，g（m）的值域为…综上，当a≥0时f（x）的值域为[0，+∞）当a＜0时f（x）的值域为；…（3）因为对任意总有所以h（x）在[e﹣3，e﹣1]满足…设lnx=s（s∈[﹣3，﹣1]），则，s∈[﹣3，﹣1]当1﹣a＜0即a＞1时r（s）在区间[﹣3，﹣1]单调递增所以，即，所以（舍）当a=1时，r（s）=s﹣1，不符合题意…当0＜a＜1时，则=a（s+）﹣1，s∈[﹣3，﹣1]若即时，r（s）在区间[﹣3，﹣1]单调递增所以，则若即时r（s）在递增，在递减所以，得若即时r（s）在区间[﹣3，﹣1]单调递减所以，即，得…综上所述：．。
2015-2016学年江西省九江一中高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年江西省九江一中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合P={2，3，4，5，6}，Q={3，5，7}，若M=P∩Q，则M的子集个数为（）A．5 B．4 C．3 D．22．已知函数f（x）=，则f（f（﹣1））=（）A．4 B．2 C．1 D．﹣23．复平面内，复数z=（i+2）（i2+i），则复数z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．在2016年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格5x y由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是：=﹣2.2x+a，那么a的值为（）A．﹣24 B．29.2 C．30 D．405．函数y=的值域是（）A．[0，+∞）B．C．D．6．数列{a n}的前n项和为S n，若a n=，则S100等于（）A． B． C．2 D．7．函数f（x）=lnx﹣零点所在的大致区间为（）A．（2，3）B．（1，2）C．D．（e，+∞）8．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁9．a=log23.5，，，则（）A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a10．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是（）A．B． C．D．11．已知直线l：y=k（x+2）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|=2|BN|，则k的值是（）A．B．C．2D．12．已知函数f（x）=（b∈R）．若存在x∈[]，使得f（x）＞﹣x•f'（x），则实数b的取值范围是（）A．B．C．D．（﹣∞，3）二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）13．命题p：∀x∈R，2x2+1＜0，则该命题的否定是_______．14．在平面直角坐标系中，点M在曲线C：y=x3﹣2x上，已知曲线C在点M处的切线的斜率为1，则点M的坐标为_______．15．若两个正实数x，y满足=1，且不等式x+＜m2﹣3m有解，则实数m的取值范围是_______．16．某医院用甲、乙两种原材料为手术后病人配制营养餐，甲种原料每克含蛋白质5个单位和维生素C 10个单位，售价2元；乙种原料每克含蛋白质6个单位和维生素C 20个单位，售价3元；若病人每餐至少需蛋白质50个单位、维生素C 140个单位，在满足营养要求的情况下最省的费用为_______．三、解答题（共70分，请在答题卡指定区域内作答．答题时应写出文字说明、证明或演算步骤）17．在△ABC的内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知，（1）求B；（2）若b=2，△ABC的周长为2+2，求△ABC的面积．18．已知数列{a n}的前n项和s n满足S n=2n2﹣13n（n∈N*）．（1）求通项公式a n；（2）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．19．北京某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，则第4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至多有1名学生被甲考官面试的概率．20．设双曲线=1的两个焦点分别为F1，F2，离心率为．（1）求此双曲线的渐近线l1、l2的方程；（2）若A、B分别为l1、l2上的点，且2|AB|=5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．21．已知函数f（x）=x+，g（x）=x+lnx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若存在x1∈[1，e]，x2∈[e，e2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围．四、请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22．已知曲线C的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B的极坐标分别为A（2，π），B（2，）．（1）求直线AB的极坐标方程；（2）设M为曲线C上的点，求点M到直线AB距离的最大值．23．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）当m=7时，解关于x的不等式f（x）﹣g（x）＞0；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．2015-2016学年江西省九江一中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合P={2，3，4，5，6}，Q={3，5，7}，若M=P∩Q，则M的子集个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】交集及其运算．【分析】求出P与Q的交集确定出M，即可求出M子集的个数．【解答】解：∵P={2，3，4，5，6}，Q={3，5，7}，∴M=P∩Q={3，5}，则M的子集个数为22=4．故选：B．2．已知函数f（x）=，则f（f（﹣1））=（）A．4 B．2 C．1 D．﹣2【考点】函数的值．【分析】根据分段函数的表达式利用代入法进行求解即可．【解答】解：∵f（﹣1）=（﹣1）2=1，f（1）=1+1=2，∴f（f（﹣1））=f（1）=2，故选：B．3．复平面内，复数z=（i+2）（i2+i），则复数z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】化简复数为a+bi的形式，求出对应点的坐标，即可得到结果．【解答】解：复数z=（i+2）（i2+i）=（i+2）（﹣1+i）=﹣1﹣i．复数对应点的坐标（﹣1，﹣1）在第三象限．故选：C．4．在2016年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格5x y由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是：=﹣2.2x+a，那么a的值为（）A．﹣24 B．29.2 C．30 D．40【考点】线性回归方程．【分析】根据条件求出样本中心（，），代入线性回归直线方程是：=﹣2.2x+a，进行求解即可．【解答】解：由题意得=（9.2+9.3+10+10.5+11）=10，=（11+10+8+6+5）=8，即样本中心（，）为（10，8）代入回归直线方程是：=﹣2.2x+a，得8=﹣2.2×10+a，则a=22+8=30，故选：C．5．函数y=的值域是（）A．[0，+∞）B．C．D．【考点】函数的值域．【分析】由题意利用观察法求函数的值域．【解答】解：∵2x＞0，∴0≤8﹣2x＜8．∴0≤＜2．故函数y=的值域是[0，2）．故选：D．6．数列{a n}的前n项和为S n，若a n=，则S100等于（）A． B． C．2 D．【考点】数列的求和．【分析】根据数列通项公式的特点，利用裂项法进行求和即可．【解答】解：∵a n==2（﹣），∴S100=2（1﹣+…+）=2（1﹣）=，故选：B7．函数f（x）=lnx﹣零点所在的大致区间为（）A．（2，3）B．（1，2）C．D．（e，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】解答时可以直接通过零点存在性定理，结合定义域选择适当的数据进行逐一验证，并逐步缩小从而获得最佳解答．【解答】解：函数的定义域为：（0，+∞），由函数在定义域上是递增函数，所以函数只有唯一一个零点．又∵f（3）=ln3﹣=ln3﹣1＞0，f（2）=ln2﹣＜0，∴f（2）•f（3）＜0，函数f（x）=lnx﹣零点所在的大致区间为（2，3）．故选：A．8．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】进行简单的合情推理．【分析】这是一个简单的合情推理题，我们根据“四位歌手的话只有两句是对的”，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，则假设成立的方法解决问题．【解答】解：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意．故获奖的歌手是丙故先C9．a=log23.5，，，则（）A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数与指数函数的单调性即可得出．【解答】解：a=log23.5，=log23，∴a＞b＞1＜1，∴a＞b＞c．故选：A．10．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是（）A．B． C．D．【考点】对数的运算性质；函数的图象与图象变化．【分析】根据函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|知必过点（1，1），再对函数进行求导观察其导数的符号进而知原函数的单调性，得到答案．【解答】解：由y=e|lnx|﹣|x﹣1|可知：函数过点（1，1），当0＜x＜1时，y=e﹣lnx﹣1+x=+x﹣1，y′=﹣+1＜0．∴y=e﹣lnx﹣1+x为减函数；若当x＞1时，y=e lnx﹣x+1=1，故选D．11．已知直线l：y=k（x+2）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|=2|BN|，则k的值是（）A．B．C．2D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0），推导出|OB|=|AF|，由此能求出点B的坐标，从而能求出k的值．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|AM|=2|BN|，得点B为AP的中点、连接OB，则|OB|=|AF|，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，∴点B的坐标为B（1，2），把B（1，2）代入直线l：y=k（x+2）（k＞0），解得k=．故选：D．12．已知函数f（x）=（b∈R）．若存在x∈[]，使得f（x）＞﹣x•f'（x），则实数b的取值范围是（）A．B．C．D．（﹣∞，3）【考点】导数的运算．【分析】求导函数，问题转化为b＜x+，设g（x）=x+，只需b＜g（x）max，结合函数的单调性可得函数的最大值，故可求实数b的取值范围．【解答】解：∵f（x）=（b∈R），x＞0，∴f′（x）=，∴f（x）+xf′（x）=，∵存在x∈[，3]，得f（x）＞﹣x•f'（x），∴1+2x（x﹣b）＞0∴b＜x+，设g（x）=x+，∴b＜g（x）max，∴g′（x）=1﹣g′（x）=0时，解得：x=，当g′（x）＞0时，即＜x≤3时，函数单调递增，当g′（x）＜0时，即≤x＜时，函数单调递减，∴当x=3时，函数g（x）取最大值，最大值为g（3）=，∴b＜，故选：A．二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）13．命题p：∀x∈R，2x2+1＜0，则该命题的否定是∃x∈R，2x2+1≥0．【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，2x2+1＜0，则该命题的否定是：∃x∈R，2x2+1≥0．故答案为：∃x∈R，2x2+1≥0．14．在平面直角坐标系中，点M在曲线C：y=x3﹣2x上，已知曲线C在点M处的切线的斜率为1，则点M的坐标为（1，﹣1）或（﹣1，1）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点M（m，n），求出函数的导数，可得切线的斜率，解m的方程可得m，代入曲线方程，可得n，进而得到M的坐标．【解答】解：设切点M（m，n），y=x3﹣2x的导数为y′=3x2﹣2，可得曲线C在点M处的切线的斜率为3m2﹣2=1，解得m=±1，可得n=m3﹣2m=1﹣2=﹣1或﹣1+2=1．则M（1，﹣1）或（﹣1，1）．故答案为：（1，﹣1）或（﹣1，1）．15．若两个正实数x，y满足=1，且不等式x+＜m2﹣3m有解，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．【考点】基本不等式．【分析】不等式x+＜m2﹣3m有解，即为m2﹣3m大于x+的最小值，运用乘1法和基本不等式，计算即可得到所求最小值，解不等式可得m的范围．【解答】解：正实数x，y满足=1，则x+=（）（x+）=2++≥2+2=4，当且仅当y=2x=4，x+取得最小值4．由x+＜m2﹣3m有解，可得m2﹣3m＞4，解得m＞4或m＜﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．16．某医院用甲、乙两种原材料为手术后病人配制营养餐，甲种原料每克含蛋白质5个单位和维生素C 10个单位，售价2元；乙种原料每克含蛋白质6个单位和维生素C 20个单位，售价3元；若病人每餐至少需蛋白质50个单位、维生素C 140个单位，在满足营养要求的情况下最省的费用为23．【考点】简单线性规划．【分析】设每盒盒饭需要甲、乙原料分别为x（克），y（克），由已知我们可以给出x、y满足满足的条件，即约束条件，进行画出可行域，再使用角点法，即可求出目标函数S=2x+3y 的最小值．【解答】解：设每盒盒饭需要甲、乙原料分别为x（克），y（克），所需费用为S=2x+3y，且x、y满足．由图可知，直线s=2x+3y过A（4，5）时，s最小，即S最小=2×4+3×5=23．故甲、乙原料应该分别使用4，5时，才能既满足营养，又使病人所需费用最省，最省的费用为23．故答案为：23．三、解答题（共70分，请在答题卡指定区域内作答．答题时应写出文字说明、证明或演算步骤）17．在△ABC的内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知，（1）求B；（2）若b=2，△ABC的周长为2+2，求△ABC的面积．【考点】正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理可得tanB，即可得出；（2）利用余弦定理、三角形周长、三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）由正弦定理可得：=，∴tanB=，∵0＜B＜π，∴B=；（2）由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，即a2+c2﹣ac=4，又b=2，△ABC的周长为2+2，∴a+c+b=2+2，即a+c=2，∴ac=，∴S△ABC=acsinB=××=．18．已知数列{a n}的前n项和s n满足S n=2n2﹣13n（n∈N*）．（1）求通项公式a n；（2）令c n =，求数列{c n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）当n=1时，a 1=S 1=﹣11，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，由此求出通项公式a n ；（2）求得c n =•（4n ﹣15），利用错位相减法求出数列{c n }的前n 项和T n ．【解答】解：（1）①当n=1时，a 1=S 1=﹣11，②当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2n 2﹣13n ﹣[2（n ﹣1）2﹣13（n ﹣1）]=4n ﹣15，n=1时，也适合上式．∴a n =4n ﹣15．（2）c n ===•（4n ﹣15），∴T n =+++…+•（4n ﹣15），①=++…++②①﹣②，得： T n =﹣+4（++…+）﹣（4n ﹣15）•（）n+1=﹣+4•﹣（4n ﹣15）•（）n+1=﹣﹣，∴T n =﹣7﹣．19．北京某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，则第4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至多有1名学生被甲考官面试的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）根据所给的第二组的频率，利用频率乘以样本容量，得到要求的频数，再根据所给的频数，利用频除以样本容量，得到要求的频率．（2）因为在笔试成绩高的第4、5组中用分层抽样抽取6名学生，而这两个小组共有30人，利用每一个小组在30人中所占的比例，乘以要抽取的人数，得到结果．（3）试验发生包含的事件是从六位同学中抽两位同学有C62种满足条件的事件是第4组至多有一名学生被考官甲面试有C21C41+1种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：（1）由题意可知，第2组的频数n=0.35×100=35人，第3组的频率p==0.30；（2）∵第4、5组共有30名学生，∴利用分层抽样在30名学生中抽取6名学生，每组分别为：第4组：×6=4人，第5组：×6=2人，∴第4、5组分别抽取4人、2人；（3）试验发生包含的事件是从六位同学中抽两位同学有C62=15种满足条件的事件是第4组至多有一名学生被考官甲面试有C22+=9种结果，∴至少有一位同学入选的概率为：=．20．设双曲线=1的两个焦点分别为F1，F2，离心率为．（1）求此双曲线的渐近线l1、l2的方程；（2）若A、B分别为l1、l2上的点，且2|AB|=5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）利用离心率为，结合c2=a2+6，可求a，c的值，从而可求双曲线方程，即可求得渐近线方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x，y），利用2|AB|=5|F1F2|，建立方程，根据A、B分别为l1、l2上的点，化简可得轨迹方程及对应的曲线．【解答】解：（1）∵e=，∴c2=3a2，∵c2=a2+6，∴a=，c=3．∴双曲线方程为=1，渐近线方程为y=±x．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x，y），∵2|AB|=5|F1F2|，∴|AB|=|F1F2|=×2c=10，∴（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2=100，∵y1=x1，y2=﹣x2，2x=x1+x2，2y=y1+y2，∴y1+y2=（x1﹣x2），y1﹣y2=（x1+x2），∴2×（2y）2+×（2x）2=100，∴=1，对应的曲线为椭圆．21．已知函数f（x）=x+，g（x）=x+lnx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若存在x1∈[1，e]，x2∈[e，e2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论a的范围求出f（x）在[1，e]的最大值，求出g（x）在[e，e2]的最小值，问题转化为f（x）max＞g（x）min即可，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）∵f（x）=x+，（x≠0），∴f′（x）=1﹣=，①a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）递增；②a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣，令f′（x）＜0，解得：﹣＜x＜且x≠0，∴f（x）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，0），（0，）递减，在（，+∞）递增；（2）由（1）得：①a≤1时，f（x）在[1，e]递增，∴f（x）在[1，e]的最大值是f（e）=e+，②1＜a＜e时，f（x）在[1，a）递减，在（a，e]递增，∴f（x）的最大值是f（1）或f（e），而f（1）=1+a＜f（e）=e+，∴f（x）在[1，e]的最大值是e+，③a≥e时，f（x）在[1，e]递减，∴f（x）在[1，e]的最大值是f（1）=1+a，而g（x）=x+lnx，g′（x）=1+＞0，∴g（x）在[e，e2]递增，g（x）的最小值是g（e）=1+e，若存在x1∈[1，e]，x2∈[e，e2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，只需f（x）max＞g（x）min即可，∴或，解得：a≥e．四、请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22．已知曲线C的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B的极坐标分别为A（2，π），B（2，）．（1）求直线AB的极坐标方程；（2）设M为曲线C上的点，求点M到直线AB距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用，可得点A，B的直角坐标，进而得到直角坐标方程，把代入可得极坐标方程．（2）设M（cosθ，sinθ），则点M到直线AB距离d=，利用三角函数的单调性值域即可得出．【解答】解：（1）由A（2，π），B（2，）可得直角坐标：A（﹣2，0），B．∴直线AB的直角坐标方程为：y﹣0=（x+2），即x﹣y+2=0，把代入可得极坐标方程：ρcosθ﹣sinθ+2=0，化为：=1．（2）设M（cosθ，sinθ），则点M到直线AB距离d==≤2，当且仅当=﹣1时取等号，∴点M到直线AB距离的最大值为2．23．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）当m=7时，解关于x的不等式f（x）﹣g（x）＞0；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．【考点】分段函数的应用；绝对值三角不等式．【分析】（1）当m=7时，分类讨论，即可解关于x的不等式f（x）﹣g（x）＞0；（2）利用g（x）max＜f（﹣3）即可．【解答】解：（1）当m=7时，f（x）﹣g（x）=|x﹣2|+|x+3|＞7．x＜﹣3时，﹣x+2﹣x﹣3＞7，即x＜﹣4，∴x＜﹣4；﹣3≤x≤2时，﹣x+2﹣x﹣3＞7，不成立；x＞2时，x﹣2+x+3＞7，即x＞3，∴x＞3；综上所述，不等式f（x）﹣g（x）＞0的解集为{x|x＜﹣4或x＞3}；（2）∵f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m，函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，∴g（x）max＜f（﹣3），即m＜f（﹣3）=5．∴m的取值范围为：m＜5．2016年9月8日。
江西省九江第一中学2015-2016学年高一下学期期末考试
九江一中2015-2016学年度下学期期末文科试卷 考试时间：120分钟 出卷人：高一数学组一、 选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．= 1290sin （ ）（A ）23 （B ）21 （C ）23- （D ）21- 2. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是（ ） （A ）y =x （B ）y =lg x （C ）y =2x（D ）y=3. 圆x 2+y 2−2x −8y +13=0的圆心到直线ax +y −1=0的距离为1，则a = （ ）（A ）−43 （B ）−34（C （D ）24. 函数y ＝sin （3x ＋4π（3x ＋4π）的最小正周期是（ ） （A ）6π （B ）2π （C ）32π （D ）3π5. 底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其主视图有最大面积时，其左视图的面积为（ ）（A ） （B ） 3 （C （D ） 46. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯 ，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) （A ）710 （B ）58 （C ）38 （D ）3107. 已知,x y 的取值如下表所示，若y 与x 线性相关，且0.5y x a =+，则a =（ ）（A ）3.5 （B ）2.2 （C ）4.5 （D ）3.2 8. 已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )（A ）322 （B ）3152 （C ）－322 （D ）－31529. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（ ） （A ）85- （B ）81 （C ）41 （D ）81110．执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出,x y（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）y =11．已知圆()2214x y ++=的圆心为C ，点P 是直线:540l mx y m --+=上的点，若该圆上存在点Q 使得CPQ ∠=则实数m 的取值范围为( )（A ）[]1,1- （B ）[]2,2- （C ）⎣⎦（D ）5⎢⎥⎣⎦ 12．已知函数)0(21sin 212sin)(2>-+=ωωωx xx f ，R x ∈.若)(x f 在区间)2,(ππ内没有零点，则ω的取值范围是（ ）（A ）]81,0( （B ）)1,85[]41,0(U （C ）]85,0( （D ）]85,41[]81,0(U二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在横线上. 13. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 .14．若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足22()4a b c +-=，且3C π=，则ab 的值为 .15. 若βαtan ,tan 是方程04332=++x x 的两个根，且)2,2(,ππβα-∈，则=+βα .16. 已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|23xf x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分17．（本小题满分10分）已知向量(cos ,1sin ),(1cos ,sin )a b αααα=+=+， （1）若3,a b +=求sin 2α的值；（2）设(cos ,2)c α=--，求()a cb +⋅的取值范围.18. （本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试物理成绩（满分100分，成绩均不低于40分的整数）分成六段[40,50),[50,60),[90,100]后得到如图的频率分布直方图.（1）求图中实数a 的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试物理成绩不低于60分的人数；（3）若从物理成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的物理成绩之差的绝对值不大于10的概率.19．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆与直线：4x =相切。
2015-2016年江西省九江一中高一(下)期中数学试卷和答案
2015-2016学年江西省九江一中高一（下）期中数学试卷一、选择题（每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合I={x||x|＜3，x∈Z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∪（C I B）=（）A．{1}B．{1，2}C．{2}D．{0，1，2} 2．（5分）某单位有业务人员120人，管理人员24人，后勤人员16人．现用分层抽样的方法，从该单位职工中抽取一个容量为n的样本，已知从管理人员中抽取3人，则n为（）A．20B．30C．40D．503．（5分）下列函数中，周期为π的是（）A．B．y=sin2x C．D．y=tan2x 4．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y+1=0平行，则m的值为（）A．8B．﹣8C．﹣2D．25．（5分）一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．9B．10C．11D．6．（5分）若函数f（x）=，则f（2010）=（）A．4B．5C．506D．5077．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x的值为﹣5，则输出y的值是（）A．﹣1B．1C．2D．8．（5分）在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，则sin的值介于﹣与之间的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列叙述正确的是（）A．若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥nB．若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m⊥nC．若m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，m⊥n，则α∥βD．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β10．（5分）为了得到函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变11．（5分）已知函数，其中a，b∈R．若对于任意的，不等式f（x）≤10在上恒成立，则b的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）=2，当x∈（0，1]时，f（x）=x2，当x∈（﹣1，0]时，，若定义在（﹣1，3）上的函数g（x）=f（x）﹣t（x+1）有三个不同的零点，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）.13．（5分）已知角a的终边经过点P（5，﹣12），则sina+cosa的值为．14．（5分）如图，点A、B在函数的图象上，则直线AB的方程为．15．（5分）若实数x，y满足x2+y2=1，则的最小值是．16．（5分）已知函数f（x）=（x∈R），给出下面四个命题：①函数f（x）的图象一定关于某条直线对称；②函数f（x）在R上是周期函数；③函数f（x）的最大值为；④对任意两个不相等的实数，都有成立．其中所有真命题的序号是．三、解答题．（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17．（10分）已知在平行四边形ABCD中，E为DC边的中心，（1）若=，=，试用、表示（2）若，试用、表示．18．（12分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF⊥B1C；（2）求三棱锥E﹣FCB1的体积．19．（12分）甲、乙两人玩数字游戏，先由甲任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为b，且a，b∈{1，2，3，4，5，6}，记ξ=|a ﹣b|．（1）求ξ=1的概率；（2）若ξ≤1，则称“甲乙心有灵犀”，求“甲乙心有灵犀”的概率．20．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）令g（x）=f（﹣x﹣），求g（x）的单调递增区间．21．（12分）设函数f（x）=sin（2ωx+）（其中ω＞0），且f（x）的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是．（1）求y=f（x）的最小正周期及对称轴；（2）若x∈，函数﹣af（x）+1的最小值为0．求a的值．22．（12分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．2015-2016学年江西省九江一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合I={x||x|＜3，x∈Z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∪（C I B）=（）A．{1}B．{1，2}C．{2}D．{0，1，2}【解答】解：因为I={x||x|＜3，x∈Z}={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，所以，C I B={0，1}，又因为A={1，2}，所以A∪（C I B）={1，2}∪{0，1}={0，1，2}．故选：D．2．（5分）某单位有业务人员120人，管理人员24人，后勤人员16人．现用分层抽样的方法，从该单位职工中抽取一个容量为n的样本，已知从管理人员中抽取3人，则n为（）A．20B．30C．40D．50【解答】解：管理人员中的抽样比，而此单位的总人数为120+24+16=160，故n=160×=20故选：A．3．（5分）下列函数中，周期为π的是（）A．B．y=sin2x C．D．y=tan2x【解答】解：由于y=sin的周期为=4π，不满足条件，故排除A；y=sin2x的周期为=π，故满足条件；y=cos的周期为=8π，不满足条件，故排除C；y=tan2x的周期为=4π，不满足条件，故排除D，故选：B．4．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y+1=0平行，则m的值为（）A．8B．﹣8C．﹣2D．2【解答】解：∵直线2x+y+1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得：m=﹣8，故选：B．5．（5分）一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．9B．10C．11D．【解答】解：．由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，V==1，三棱锥所以V=4×3﹣1=11．故选：C．6．（5分）若函数f（x）=，则f（2010）=（）A．4B．5C．506D．507【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（2010）=f（4×502+2）=f（2）+502×1=22+502=506．故选：C．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x的值为﹣5，则输出y的值是（）A．﹣1B．1C．2D．【解答】解：当x=﹣5时，满足进行循环的条件，故x=8，当x=8时，满足进行循环的条件，故x=5，当x=5时，满足进行循环的条件，故x=2，当x=2时，不满足进行循环的条件，故y==﹣1，故选：A．8．（5分）在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，则sin的值介于﹣与之间的概率为（）A．B．C．D．【解答】解析：在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，要使sin的值介于﹣与之间，需使﹣≤≤，即﹣≤x≤1，其区间长度为，由几何概型公式知所求概率为=．故选：D．9．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列叙述正确的是（）A．若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥nB．若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m⊥nC．若m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，m⊥n，则α∥βD．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β【解答】解：在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中（1）令平面ABCD为平面α，平面A′B′C′D′为平面β，A′B′为直线m，BC为直线n，显然α∥β，m∥α，n∥β，但m与n不平行，故A错误．（2）令平面ABCD为平面α，平面ABB′A′为平面β，直线BB′为直线m，直线CC′为直线n，显然α⊥β，m⊥α，n∥β，m∥n．故B错误．（3）令平面ABCD为平面α，平面A′B′C′D′为平面β，直线BB′为直线m，直线B′C′为直线n，显然m⊥α，n⊂β，m⊥n，但α∥β，故D错误．故选：C．10．（5分）为了得到函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【解答】解：将函数y=sinx的图象向左平移个单位后所得到的函数图象对应的解析式为：y=sin（x+），再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，所得到的函数图象对应的解析式为y=sin（2x+）．故选：A．11．（5分）已知函数，其中a，b∈R．若对于任意的，不等式f（x）≤10在上恒成立，则b的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵对于任意的，不等式f（x）≤10在上恒成立，∴当a=时，f（x）最大值为f（）=+b，当a=2时，f（x）最大值为f（）=+b，显然+b＞+b，∴+b≤10，∴b≤，故选：A．12．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）=2，当x∈（0，1]时，f（x）=x2，当x∈（﹣1，0]时，，若定义在（﹣1，3）上的函数g（x）=f（x）﹣t（x+1）有三个不同的零点，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由题可知函数在x∈（﹣1，1]上的解析式为，又由f（x）+f（2﹣x）=2可知f（x）的图象关于（1，1）点对称，可将函数f（x）在x∈（﹣1，3）上的大致图象呈现如图根据y=t（x+1）的几何意义，x轴位置和图中直线位置为y=t（x+1）表示直线的临界位置，其中x∈[1，2）时，f（x）=﹣（x﹣2）2+2，联立，得x2+（t﹣4）x+t+2=0．并令△=0，可求得，或t=6+2．∵x1+x2=﹣（t﹣4）＞0，∴t＜4，则t=6+2不成立，即t=6﹣2∴因此直线的斜率t的取值范围是．故选：D．二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）.13．（5分）已知角a的终边经过点P（5，﹣12），则sina+cosa的值为．【解答】解：由角a的终边经过点P（5，﹣12），得|0P|==13，∴sina=，cosa=，故sina+cosa=+=，故答案为：．14．（5分）如图，点A、B在函数的图象上，则直线AB的方程为x﹣y﹣2=0．【解答】解：如图A（2，0），B（3，1）∴k=∴直线方程y﹣1=x﹣3即：x﹣y﹣2=015．（5分）若实数x，y满足x2+y2=1，则的最小值是．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=，将最小值转化为过定点P（1，2）的直线PQ的斜率最小，当直线PQ是圆的切线时，z最小，设直线PQ的方程为：y﹣2=k（x﹣1）即kx﹣y+2﹣k=0．则：，∴k=．∴最小值为：故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）=（x∈R），给出下面四个命题：①函数f（x）的图象一定关于某条直线对称；②函数f（x）在R上是周期函数；③函数f（x）的最大值为；④对任意两个不相等的实数，都有成立．其中所有真命题的序号是①③．【解答】解：f（x）==．∵f（2﹣x）=，∴函数f（x）的图象一定关于直线x=1对称，故①正确；当x→+∞时，2x+22﹣x→+∞，则f（x）→0，∴函数f（x）在R上不是周期函数，故②错误；由①知，函数f（x）关于直线x=1对称，且当x＞1时，随着x的增大，其图象大致形状如图：函数f（x）的最大值为，故③正确；由图可知，在x=1右侧附近，连接曲线上两点的斜率小于0，故④错误．∴所有真命题的序号是①③．故答案为：①③．三、解答题．（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17．（10分）已知在平行四边形ABCD中，E为DC边的中心，（1）若=，=，试用、表示（2）若，试用、表示．【解答】解：（1）由已知，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中心，=，=，，所以；（2）因为在平行四边形ABCD中，E为DC边的中心，，所以，所以，，又=．18．（12分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF⊥B1C；（2）求三棱锥E﹣FCB1的体积．【解答】（1）证明：∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，∴B1C⊥AB，B1C⊥BC1，又AB∩BC1=B∴B1C⊥平面ABC1D1，∴B1C⊥BD1，又∵E、F分别为DD1、DB的中点，∴EF∥BD1，∴EF⊥B1C；（2）∵CF⊥平面BDD1B1，∴CF⊥平面EFB1，由已知得CF=BF=，∵EF=BD1，，=，∴，即∠EFB1=90°，∴=•=．19．（12分）甲、乙两人玩数字游戏，先由甲任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为b，且a，b∈{1，2，3，4，5，6}，记ξ=|a ﹣b|．（1）求ξ=1的概率；（2）若ξ≤1，则称“甲乙心有灵犀”，求“甲乙心有灵犀”的概率．【解答】解：（1）由甲任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为b，且a，b∈{1，2，3，4，5，6}，基本事件总数n=6×6=36，ξ=1包含的基本事件有：（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3），（4，5），（5，4），（5，6），（6，5），共10个，∴ξ=1的概率P（ξ=1）==．（2）ξ≤1包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共16个，∴“甲乙心有灵犀”的概率p==．20．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）令g（x）=f（﹣x﹣），求g（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）由题意可知A=2，T=4（﹣）=π，ω=2，当x=时取得最大值2，所以2=2sin（2x+φ），所以φ=，函数f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+）（2）g（x）=f（﹣x﹣）=2sin（﹣2x﹣）=﹣2sin（2x+），令+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z∴函数的单调增区间是[+kπ，+kπ]，k∈Z．21．（12分）设函数f（x）=sin（2ωx+）（其中ω＞0），且f（x）的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是．（1）求y=f（x）的最小正周期及对称轴；（2）若x∈，函数﹣af（x）+1的最小值为0．求a的值．【解答】解：（1）由题意，根据五点法作图可得2ω•+=，求得ω=；所以函数y=f（x）=sin（x+）的最小正周期是T=2π；令x+=+kπ，k∈Z，解得x=+kπ，k∈Z，所以函数y=f（x）的对称轴是x=+kπ，k∈Z；（2）由（1）可得函数f（x）=sin（x+），在区间[﹣，]上，x+∈[0，]，所以f（x）=sin（x+）∈[﹣，1]；所以g（x）=sin2[（x+）+]﹣asin（x+）+1=1﹣sin2（x+）﹣asin（x+）+1=﹣+2+；当﹣≤﹣≤1时，﹣2≤a≤1，函数g（x）的最小值是g（x）min=2+=0，无解；当﹣＜﹣时，a＞1，函数g（x）的最小值是g（x）min=2﹣﹣a=0，解得a=；当﹣＞1时，a＜﹣2，函数g（x）的最小值是g（x）min=2﹣1﹣a=0，解得a=1（不合题意，舍去）；综上，函数g（x）取得最小值0时，a=．22．（12分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．【解答】解：（1）由于直线x=4与圆C1不相交；∴直线l的斜率存在，设l方程为：y=k（x﹣4）（1分）圆C1的圆心到直线l的距离为d，∵l被⊙C1截得的弦长为2∴d==1（2分）d=从而k（24k+7）=0即k=0或k=﹣∴直线l的方程为：y=0或7x+24y﹣28=0（5分）（2）设点P（a，b）满足条件，由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l1的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0则直线l2方程为：y﹣b=﹣（x﹣a）（6分）∵⊙C1和⊙C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，∴⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等即=（8分）整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk|∴1+3k+ak﹣b=±（5k+4﹣a﹣bk）即（a+b﹣2）k=b﹣a+3或（a﹣b+8）k=a+b﹣5因k的取值有无穷多个，所以或（10分）解得或这样的点只可能是点P1（，﹣）或点P2（﹣，）（12分）。
2015-2016学年江西省九江一中高二(下)期末数学试卷(文科)(带解析)
绝密★启用前2015-2016学年江西省九江一中高二（下）期末数学试卷（文科）（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：138分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知函数f （x ）=（b ∈R ）．若存在x ∈[]，使得f （x ）＞﹣x•f'（x ），则实数b 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．（﹣∞，3）2、已知直线l ：y=k （x+2）与抛物线C ：y 2=8x 相交于A 、B 两点，且A 、B 两点在抛物线C 准线上的射影分别是M 、N ，若|AM|=2|BN|，则k 的值是（ ） A ． B ．C ．2D ．3、（2005•湖北）函数y=e |lnx|﹣|x ﹣1|的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4、a=log 23.5，，，则（ ）A ．c ＜b ＜aB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a5、（2015•石家庄校级模拟）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁6、函数f （x ）=lnx ﹣零点所在的大致区间为（ ） A ．（2，3） B ．（1，2） C ．D ．（e ，+∞）7、数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n =，则S 100等于（ ） A ．B ．C ．2D ．8、函数y=的值域是（ ）A ．[0，+∞）B ．C ．D ．9、在2016年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如表所示： 价格x 9.2 9.3 1010.5 11 销售量y 11 10 8 6 5由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是：=﹣2.2x+a ，那么a 的值为（ ） A ．﹣24 B ．29.2 C ．30 D ．4010、复平面内，复数z=（i+2）（i 2+i ），则复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限11、已知函数f （x ）=，则f （f （﹣1））=（ ）A ．4B ．2C ．1D ．﹣212、已知集合P={2，3，4，5，6}，Q={3，5，7}，若M=P∩Q ，则M 的子集个数为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、某医院用甲、乙两种原材料为手术后病人配制营养餐，甲种原料每克含蛋白质5个单位和维生素C 10个单位，售价2元；乙种原料每克含蛋白质6个单位和维生素C 20个单位，售价3元；若病人每餐至少需蛋白质50个单位、维生素C 140个单位，在满足营养要求的情况下最省的费用为．14、若两个正实数x，y满足=1，且不等式x+＜m2﹣3m有解，则实数m的取值范围是．15、在平面直角坐标系中，点M在曲线C：y=x3﹣2x上，已知曲线C在点M处的切线的斜率为1，则点M的坐标为．16、命题p：∀x∈R，2x2+1＜0，则该命题的否定是．三、解答题（题型注释）17、已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）当m=7时，解关于x的不等式f（x）﹣g（x）＞0；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．18、已知曲线C的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B的极坐标分别为A（2，π），B（2，）．（1）求直线AB的极坐标方程；（2）设M为曲线C上的点，求点M到直线AB距离的最大值．19、已知函数f （x ）=x+，g （x ）=x+lnx ．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若存在x 1∈[1，e]，x 2∈[e ，e 2]，使得f （x 1）≥g （x 2）成立，求a 的取值范围．20、设双曲线=1的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为．（1）求此双曲线的渐近线l 1、l 2的方程；（2）若A 、B 分别为l 1、l 2上的点，且2|AB|=5|F 1F 2|，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．21、北京某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示． （1）求频率分布表中n ，p 的值，并补充完整相应的频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，则第4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至多有1名学生被甲考官面试的概率．22、已知数列{a n }的前n 项和s n 满足S n =2n 2﹣13n （n ∈N *）． （1）求通项公式a n ；（2）令c n =，求数列{c n }的前n 项和T n ．23、在△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知，（1）求B ；（2）若b=2，△ABC 的周长为2+2，求△ABC 的面积．参考答案1、A2、D3、D4、A5、C6、A7、B8、D9、C10、C11、B12、B13、2314、（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）15、（1，﹣1）或（﹣1，1）16、∃x∈R，2x2+1≥017、（1）{x|x＜﹣4或x＞3}（2）m＜518、（1）=1（2）219、见解析20、（1）y=±x（2）椭圆21、见解析22、（1）a n=4n﹣15（2）T n=﹣7﹣23、（1）B=（2）【解析】1、解：∵f（x）=（b∈R），x＞0，∴f′（x）=，∴f（x）+xf′（x）=，∵存在x∈[，3]，得f（x）＞﹣x•f'（x），∴1+2x（x﹣b）＞0∴b＜x+，设g（x）=x+，∴b＜g（x）max，∴g′（x）=1﹣g′（x）=0时，解得：x=，当g′（x）＞0时，即＜x≤3时，函数单调递增，当g′（x）＜0时，即≤x＜时，函数单调递减，∴当x=3时，函数g（x）取最大值，最大值为g（3）=，∴b＜，故选：A．【点评】本题考查导数知识的运用，考查存在性问题，考查函数的最值，属于中档题．2、解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|AM|=2|BN|，得点B为AP的中点、连接OB，则|OB|=|AF|，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，∴点B的坐标为B（1，2），把B（1，2）代入直线l：y=k（x+2）（k＞0），解得k=．故选：D．【点评】本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用．3、解：由y=e|lnx|﹣|x﹣1|可知：函数过点（1，1），当0＜x＜1时，y=e﹣lnx﹣1+x=+x﹣1，y′=﹣+1＜0．∴y=e﹣lnx﹣1+x为减函数；若当x＞1时，y=e lnx﹣x+1=1，故选D．【点评】本题主要考查函数的求导与函数单调性的关系．4、解：a=log23.5，=log23，∴a＞b＞1＜1，∴a＞b＞c．故选：A．【点评】本题考查了对数函数与指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5、解：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意．故获奖的歌手是丙故先C【点评】本小题情境通俗易懂，主要考查逻辑思维和推理能力，难度不大．6、解：函数的定义域为：（0，+∞），由函数在定义域上是递增函数，所以函数只有唯一一个零点．又∵f（3）=ln3﹣=ln3﹣1＞0，f（2）=ln2﹣＜0，∴f（2）•f（3）＜0，函数f（x）=lnx﹣零点所在的大致区间为（2，3）．故选：A．【点评】本题考查的是零点存在的大致区间问题．在解答的过程当中充分体现了定义域优先的原则、函数零点存在性定理的知识以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．7、解：∵a n==2（﹣），∴S100=2（1﹣+…+）=2（1﹣）=，故选：B【点评】本题主要考查数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．8、解：∵2x＞0，∴0≤8﹣2x＜8．∴0≤＜2．故函数y=的值域是[0，2）．故选：D．【点评】本题考查了函数的值域的求法，属于基础题．9、解：由题意得=（9.2+9.3+10+10.5+11）=10，=（11+10+8+6+5）=8，即样本中心（，）为（10，8）代入回归直线方程是：=﹣2.2x+a，得8=﹣2.2×10+a，则a=22+8=30，故选：C．【点评】本题主要考查回归直线的应用，根据条件求出样本中心（，），利用样本中心（，）在回归直线上是解决本题的关键．10、解：复数z=（i+2）（i2+i）=（i+2）（﹣1+i）=﹣1﹣i．复数对应点的坐标（﹣1，﹣1）在第三象限．故选：C．【点评】本题考查复数的基本运算，复数的几何意义，考查计算能力．11、解：∵f（﹣1）=（﹣1）2=1，f（1）=1+1=2，∴f（f（﹣1））=f（1）=2，故选：B．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式，利用直接法是解决本题的关键．12、解：∵P={2，3，4，5，6}，Q={3，5，7}，∴M=P∩Q={3，5}，则M的子集个数为22=4．故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．13、解：设每盒盒饭需要甲、乙原料分别为x（克），y（克），所需费用为S=2x+3y，且x、y满足．由图可知，直线s=2x+3y过A（4，5）时，s最小，即S最小=2×4+3×5=23．故甲、乙原料应该分别使用4，5时，才能既满足营养，又使病人所需费用最省，最省的费用为23．故答案为：23．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解，该题是中档题．14、解：正实数x，y满足=1，则x+=（）（x+）=2++≥2+2=4，当且仅当y=2x=4，x+取得最小值4．由x+＜m2﹣3m有解，可得m2﹣3m＞4，解得m＞4或m＜﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．【点评】本题考查不等式成立的条件，注意运用转化思想，求最值，同时考查乘1法和基本不等式的运用，注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．15、解：设切点M（m，n），y=x3﹣2x的导数为y′=3x2﹣2，可得曲线C在点M处的切线的斜率为3m2﹣2=1，解得m=±1，可得n=m3﹣2m=1﹣2=﹣1或﹣1+2=1．则M（1，﹣1）或（﹣1，1）．故答案为：（1，﹣1）或（﹣1，1）．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题．16、解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，2x2+1＜0，则该命题的否定是：∃x∈R，2x2+1≥0．故答案为：∃x∈R，2x2+1≥0．【点评】本题考查全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．17、解：（1）当m=7时，f（x）﹣g（x）=|x﹣2|+|x+3|＞7．x＜﹣3时，﹣x+2﹣x﹣3＞7，即x＜﹣4，∴x＜﹣4；﹣3≤x≤2时，﹣x+2﹣x﹣3＞7，不成立；x＞2时，x﹣2+x+3＞7，即x＞3，∴x＞3；综上所述，不等式f（x）﹣g（x）＞0的解集为{x|x＜﹣4或x＞3}；（2）∵f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m，函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，∴g（x）max＜f（﹣3），即m＜f（﹣3）=5．∴m的取值范围为：m＜5．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查函数恒成立问题，分析得到g（x）max＜f （﹣3）是关键，也是难点，属于中档题．18、解：（1）由A（2，π），B（2，）可得直角坐标：A（﹣2，0），B．∴直线AB的直角坐标方程为：y﹣0=（x+2），即x﹣y+2=0，把代入可得极坐标方程：ρcosθ﹣sinθ+2=0，化为：=1．（2）设M（cosθ，sinθ），则点M到直线AB距离d==≤2，当且仅当=﹣1时取等号，∴点M到直线AB距离的最大值为2．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、圆的方程与直线方程的应用、点到直线的距离公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19、解：（1）∵f（x）=x+，（x≠0），∴f′（x）=1﹣=，①a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）递增；②a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣，令f′（x）＜0，解得：﹣＜x＜且x≠0，∴f（x）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，0），（0，）递减，在（，+∞）递增；（2）由（1）得：①a≤1时，f（x）在[1，e]递增，∴f（x）在[1，e]的最大值是f（e）=e+，②1＜a＜e时，f（x）在[1，a）递减，在（a，e]递增，∴f（x）的最大值是f（1）或f（e），而f（1）=1+a＜f（e）=e+，∴f（x）在[1，e]的最大值是e+，③a≥e时，f（x）在[1，e]递减，∴f（x）在[1，e]的最大值是f（1）=1+a，而g（x）=x+lnx，g′（x）=1+＞0，∴g（x）在[e，e2]递增，g（x）的最小值是g（e）=1+e，若存在x1∈[1，e]，x2∈[e，e2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，只需f（x）max＞g（x）min即可，∴或，解得：a≥e．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．20、解：（1）∵e=，∴c2=3a2，∵c2=a2+6，∴a=，c=3．∴双曲线方程为=1，渐近线方程为y=±x．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x，y），∵2|AB|=5|F1F2|，∴|AB|=|F1F2|=×2c=15，∴（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2=225，∵y1=x1，y2=﹣x2，2x=x1+x2，2y=y1+y2，∴y1+y2=（x1﹣x2），y1﹣y2=（x1+x2），∴2×（2y）2+×（2x）2=225，∴=1，对应的曲线为椭圆．【点评】本题考查轨迹方程的求解，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．21、解：（1）由题意可知，第2组的频数n=0.35×100=35人，第3组的频率p==0.30；（2）∵第4、5组共有30名学生，∴利用分层抽样在30名学生中抽取6名学生，每组分别为：第4组：×6=4人，第5组：×6=2人，∴第4、5组分别抽取4人、2人；（3）试验发生包含的事件是从六位同学中抽两位同学有C62=15种满足条件的事件是第4组至多有一名学生被考官甲面试有C22+=9种结果，∴至少有一位同学入选的概率为：=．【点评】本题考查古典概型及其概率公式．考查分层抽样方法，本题好似一个概率与统计的综合题目，题目的运算量适中，是一道中档题．22、解：（1）①当n=1时，a1=S1=﹣11，②当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n2﹣13n﹣[2（n﹣1）2﹣13（n﹣1）]=4n﹣15，n=1时，也适合上式．∴a n=4n﹣15．（2）c n===•（4n﹣15），∴T n=+++…+•（4n ﹣15），①=++…++②①﹣②，得：T n=﹣+4（++…+）﹣（4n﹣15）•（）n+1=﹣+4•﹣（4n﹣15）•（）n+1=﹣﹣，∴T n=﹣7﹣．【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．23、解：（1）由正弦定理可得：=，∴tanB=，∵0＜B＜π，∴B=；（2）由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，即a2+c2﹣ac=4，又b=2，△ABC的周长为2+2，∴a+c+b=2+2，即a+c=2，∴ac=，∴S△ABC=acsinB=××=．【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形周长、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
江西省九江一中2015-2016学年高一下学期第一次月考数学试卷Word版含解析
2015-2016学年江西省九江一中高一（下）第一次月考数学试卷一、选择题（5×12=60分）1．已知集合A={0，1，2}，B={0，1}，则A∩B=（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{0，1}D．{0}2．下列说法正确的是（）A．小于90°的角是锐角B．钝角是第二象限的角C．第二象限的角大于第一象限的角D．若角α与角β的终边相同，那么α=β3．若直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，则实数a=（）A．1 B．﹣2 C．﹣D．﹣4．从2003件产品中选取50件，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2003件产品中剔除3件，剩下的2000件再按系统抽样的方法抽取，则每件产品被选中的概率（）A．不都相等 B．都不相等C．都相等，且为D．都相等，且为5．已知α是第二象限角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第二或第四象限角 D．第一或第三象限角由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归方程为=8.8+a，则a的值为（）A．65 B．74 C．56 D．477．向顶角为120°的等腰三角形ABC（其中AC=BC）内任意投一点M，则AM小于AC的概率为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）满足：对任意的x1、x2（x1≠x2），均有，则（）A．B．f（60.5）＜f（0.76）＜f（log0.76）C．D．9．函数图象的大致形状是（）A．B．C．D．10．如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面ACDEC．三棱锥′﹣EFD的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直11．已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（）A．（3，7）B．（9，25） C．（13，49）D．（9，49）12．已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（x1+x2）+的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1] C．（﹣∞，1）D．[﹣1，1）二、填空题（5×4=20分）13．数据x1，x2，…，x8平均数为6，标准差为2，则数据2x1﹣6，2x2﹣6，…，2x8﹣6的平均数为，方差为14．某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从男学生中抽取的人数为100人，那么n=．15．执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的值是．16．若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为，则直线l的斜率的取值区间为．三、解答题17．对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方a的值；（2）若该校高二学生有240人，试估计该校高二学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数．18．已知扇形AOB的周长为8．（1）若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小；（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小．19．设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．20．如图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图．（1）若F为PD的中点，求证：AF⊥面PCD；（2）证明：BD∥面PEC；（3）求该几何体的体积．21．已知A，B为圆O：x2+y2=4与y轴的交点（A在B上），过点P（0，4）的直线l交圆O于M，N两点（点M在上、点N在下）．（1）若弦MN的长等于，求直线l的方程；（2）若M，N都不与A，B重合，直线AN与BM的交点为C．证明：点C在直线y=1．22．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）=|t（x+）﹣5|，其中常函数t＞0（1）若函数f（x）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，试求t的取值范围；（2）当t=1时，方程f（x）=m有四个不等实根x1，x2，x3，x4①证明：x1•x2•x3•x4=16；②是否存在实数a，b，使得函数f（x）在区间[a，b]上单调，且f（x）的取值范围为[ma，mb]，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．2015-2016学年江西省九江一中高一（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（5×12=60分）1．已知集合A={0，1，2}，B={0，1}，则A∩B=（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{0，1}D．{0}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={0，1，2}，B={0，1}，∴A∩B={0，1}，故选：C．2．下列说法正确的是（）A．小于90°的角是锐角B．钝角是第二象限的角C．第二象限的角大于第一象限的角D．若角α与角β的终边相同，那么α=β【考点】任意角的概念．【分析】直接利用角的概念判断即可．【解答】解：小于90°的角可以是负角，负角不是锐角，A不正确．钝角是第二象限的角，正确；第二象限的角大于第一象限的角，例如：150°是第二象限角，390°是第一象限角，显然判断是不正确的．CS是不正确的．若角α与角β的终边相同，那么α=β+2kπ，k∈Z，所以D 不正确．故选：B．3．若直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，则实数a=（）A．1 B．﹣2 C．﹣D．﹣【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由直线的垂直关系可得a×1+2×1=0，解方程可得．【解答】解：∵直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，∴a×1+2×1=0，解得a=﹣2故选：B4．从2003件产品中选取50件，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2003件产品中剔除3件，剩下的2000件再按系统抽样的方法抽取，则每件产品被选中的概率（）A．不都相等 B．都不相等C．都相等，且为D．都相等，且为【考点】简单随机抽样．【分析】根据在随机抽样与系统抽样方法中，每件被选中的概率相等可得答案．【解答】解：∵从2003件产品中选取50件，每件被选中的概率相等，∴每件产品被选中的概率为．故选：C．5．已知α是第二象限角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第二或第四象限角 D．第一或第三象限角【考点】象限角、轴线角．【分析】用不等式表示α是第二象限角，将不等式两边同时除以2，即得的取值范围（用不等式表示的），分别讨论当k取偶数、奇数时，所在的象限．【解答】解：∵α是第二象限角，∴2kπ+＜α＜2kπ+π，k∈z，∴kπ+＜＜kπ+，，k∈z，当k取偶数（如0）时，是第一象限角，当k取奇数（如1）时，是第三象限角，故选D．由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归方程为=8.8+a，则a的值为（）A．65 B．74 C．56 D．47【考点】线性回归方程．【分析】先计算样本中心点，代入线性回归方程，可得a的值．【解答】解：由题意，=7.5，=131代入线性回归直线方程为=8.8+a，得131=8.8×7.5+a，可得a=65，故选：A．7．向顶角为120°的等腰三角形ABC（其中AC=BC）内任意投一点M，则AM小于AC的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式求出满足条件的区域对应的面积即可得到结论．【解答】解：若AM 小于AC ， 则M 位于阴影部分， ∵∠C=120°，∴∠A=30°，则三角形ABC 的面积为S △ABC ==×AC 2=AC 2，扇形的面积S=AC 2=πAC 2，则对应的概率P===，故选：B ．8．已知函数f （x ）满足：对任意的x 1、x 2（x 1≠x 2），均有，则（ ）A ．B ．f （60.5）＜f （0.76）＜f （log 0.76）C ．D ．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】由题意可得，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＞f （x 2），故函数f （x ）在R 上是减函数，由此可得结论．【解答】解：函数f （x ）满足：对任意的x 1、x 2（x 1≠x 2），均有，可得当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＞f （x 2），故函数f （x ）在R 上是减函数； 又60.5＞1＞0.76＞0＞log 0.76，故有f （60.5）＜f （0.76）＜f （log 0.76）， 故选：B ．9．函数图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】指数函数的图象变换．【分析】根据函数f（x）=，再根据函数的单调性和值域，结合所给的选项可得结论．【解答】解：函数=，在（0，+∞）上是减函数，值域（0，1）．在（﹣∞，0）上是增函数，值域是（﹣∞，﹣1），故选D．10．如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面ACDEC．三棱锥′﹣EFD的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由斜线的射影定理可判断A正确；由面面垂直的判定定理，可判断B正确；由三棱锥的体积公式，可判断C正确；由异面直线所成的角的概念可判断D不正确．【解答】解：∵A′D=A′E，△ABC是正三角形，∴A′在平面ABC上的射影在线段AF上，故A正确；由A知，平面A′GF一定过平面BCED的垂线，∴恒有平面A′GF⊥平面BCED，故B正确；三棱锥A′﹣FED的底面积是定值，体积由高即A′到底面的距离决定，当平面A′DE⊥平面BCED时，三棱锥A′﹣FED的体积有最大值，故C正确；当（A′E）2+EF2=（A′F）2时，面直线A′E与BD垂直，故④错误．故选：D．11．已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（）A．（3，7）B．（9，25） C．（13，49）D．（9，49）【考点】函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性．【分析】由函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，结合图象平移的知识可知函数y=f （x）的图象关于点（0，0）对称，从而可知函数y=f（x）为奇函数，由f（x2﹣6x+21）+f （y2﹣8y）＜0恒成立，可把问题转化为（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4，借助于的有关知识可求【解答】解：∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f （x）又∵f（x）是定义在R上的增函数且f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立∴（x2﹣6x+21）＜﹣f（y2﹣8y）=f（8y﹣y2 ）恒成立∴x2﹣6x+21＜8y﹣y2∴（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4恒成立设M （x，y），则当x＞3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，则x2+y2表示在半圆内任取一点与原点的距离的平方由图可知，最短距离为OA=，最大距离OB=OC+BC=5+2=7∴13＜x2+y2＜49故选C12．已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（x1+x2）+的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1] C．（﹣∞，1）D．[﹣1，1）【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】作函数f（x）=的图象如下，由图象可得x1+x2=﹣2，x3x4=1；1＜x4≤2；从而化简x3（x1+x2）+，利用函数的单调性求取值范围．【解答】解：作函数f（x）=，的图象如下，由图可知，x1+x2=﹣2，x3x4=1；1＜x4≤2；故x3（x1+x2）+=﹣+x4，其在1＜x4≤2上是增函数，故﹣2+1＜﹣+x4≤﹣1+2；即﹣1＜﹣+x4≤1；故选B．二、填空题（5×4=20分）13．数据x1，x2，…，x8平均数为6，标准差为2，则数据2x1﹣6，2x2﹣6，…，2x8﹣6的平均数为6，方差为16【考点】众数、中位数、平均数．【分析】平均数的计算规律性很强，把知道平均数的一组数据做相同的变化，这组数据的平均数做一样的变化，而方差只与变量前的系数有关．原数据标准差为2，则方差为4．【解答】解：∵数据x1，x2，…，x8平均数为6，∴x1+x2+…+x8=8×6=48，∴2x1﹣6+2x2﹣6+…+2x8﹣6=2×48﹣48=48，∴2x1﹣6，2x2﹣6，…，2x8﹣6的平均数为6数据数据x1，x2，…，x8标准差为2，∴方差为4，∴数据2x1﹣6，2x2﹣6，…，2x8﹣6的方差为22×4=16，故答案为：6；16．14．某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从男学生中抽取的人数为100人，那么n=200．【考点】分层抽样方法．【分析】先求出每个个体被抽到的概率，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，再把各层抽取的样本数相加可得样本容量n的值．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，应抽取的教师人数为200×=25，应抽取的女学生人数为600×=75，故样本容量n=25+75+100=200．故答案为200．15．执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的值是105．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量p的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次进行循环体后，p=1，满足继续循环的条件，则k=3，p=3；当k=3时，满足继续循环的条件，则k=5，p=15；当k=5时，满足继续循环的条件，则k=7，p=105；当k=7时，不满足继续循环的条件，故输出的p的值是105．故答案为：10516．若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为，则直线l的斜率的取值区间为．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，根据圆上至少有三个不同的点到直线l的距离等于2，得到圆心到直线的距离小于等于，利用点到直线的距离公式列出不等式，整理后求出的取值范围，根据直线的斜率k=﹣，即可得出斜率k的取值范围．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0整理为，∴圆心坐标为（2，2），半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，∴，∴，∴，又，∴，则直线l的斜率的取值区间为．故答案为：三、解答题17．对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方a的值；（2）若该校高二学生有240人，试估计该校高二学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）根据频数和求出m的值，再根据频率、频数与样本容量的关系求出p、n和a 的值；（2）根据频率、频数与样本容量的关系求出对应的人数即可．【解答】解：（1）因为频数之和为40，所以4+24+m+2=40，m=10；，n=0.6；因为a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，所以；（2）因为该校高二学生有240人，分组[10，15）内的频率是p=0.25，所以估计该校高二学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为240×0.25=60（人）．18．已知扇形AOB的周长为8．（1）若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小；（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小．【考点】扇形面积公式．【分析】（1）设扇形半径为R，扇形弧长为l，周长为C，所以，解方程组代入角的弧度数的定义可得；（2）由8=l+2R结配方法，可得此时圆心角α．【解答】解：（1）设扇形半径为R，扇形弧长为l，周长为C，所以，解得或，圆心角，或是．（2）根据，2R+l=8，得到l=8﹣2R，0＜R＜4．，当R=2时，S max=4，此时l=4，那么圆心角α=2，19．设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；几何概型．【分析】首先分析一元二次方程有实根的条件，得到a≥b（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数，满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数，求得概率．（2）本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，根据概率等于面积之比，得到概率．【解答】解：设事件A为“方程有实根”．当a＞0，b＞0时，方程有实根的充要条件为a≥b（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，∴事件A发生的概率为P==（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}∴所求的概率是20．如图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图．（1）若F为PD的中点，求证：AF⊥面PCD；（2）证明：BD∥面PEC；（3）求该几何体的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由等腰三角形底边中线的性质可得AF⊥PD，再由已知证得CD⊥面PAD，进一步得到CD⊥AF，结合线面垂直的判定得答案；（2）取PC的中点M，AC与BD的交点为N，连结MN、ME，可证得四边形BEMN为平行四边形，由此得到EM∥BN，再由线面平行的判定得BN∥面PEC，即BD∥面PEC；（3）由三视图得到原几何体有关量，然后把原几何体的体积转化为两个棱锥：P﹣ABCD 与P﹣BCE的体积求解．【解答】（1）证明：由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，而且PA⊥面ABCD，PA∥EB，PA=AD=4，EB=2．取PD的中点F，如图所示．∵PA=AD，∴AF⊥PD，又∵CD⊥DA，CD⊥PA，PA∩DA=A，∴CD⊥面ADP，∴CD⊥AF．又CD∩DP=D，∴AF⊥面PCD；（2）证明：如图，取PC的中点M，AC与BD的交点为N，连结MN、ME，如图所示．∴，MN∥PA，∴MN=EB，MN∥EB，∴四边形BEMN为平行四边形，∴EM∥BN，又EM⊂面PEC，∴BN∥面PEC，∴BD∥面PEC；（3）解：．21．已知A，B为圆O：x2+y2=4与y轴的交点（A在B上），过点P（0，4）的直线l交圆O于M，N两点（点M在上、点N在下）．（1）若弦MN的长等于，求直线l的方程；（2）若M，N都不与A，B重合，直线AN与BM的交点为C．证明：点C在直线y=1．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）①当k不存在时，利用|MN|=|AB|=4判断；②当k存在时，设直线l：y=kx+4，通过直线与圆的位置关系求出直线的斜率，然后求解直线l方程．（2）根据圆的对称性，猜想点C落在定直线y=1上，联立直线与圆的方程，利用韦达定理以及判别式，求出BM的方程，然后判断直线AN与BM的交点在一条定直线上．【解答】（1）解：①当k不存在时，|MN|=|AB|=4不符合题意②当k存在时，设直线l：y=kx+4∵∴圆心O到直线l的距离，∴，解得综上所述，满足题意的直线l方程为（2）证明：设直线MN的方程为：y=kx+4，N（x1，y1）、M（x2，y2）联立得：（1+k2）x2+8kx+12=0∴直线AN：，直线BM：消去x得：要证：C落在定直线y=1上，只需证：即证：即证：﹣kx1x2﹣6x1=3kx1x2+6x2即证：4kx1x2+6（x1+x2）=0即证：显然成立．所以直线AN与BM的交点在一条定直线上．22．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）=|t（x+）﹣5|，其中常函数t＞0（1）若函数f（x）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，试求t的取值范围；（2）当t=1时，方程f（x）=m有四个不等实根x1，x2，x3，x4①证明：x1•x2•x3•x4=16；②是否存在实数a，b，使得函数f（x）在区间[a，b]上单调，且f（x）的取值范围为[ma，mb]，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）根据函数的单调性和最值，得到要使函数f（x）=|t（x+）﹣5|分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，则g（x）=t（x+）﹣5≥0，求其最小值后由其最小值大于等于0得答案；（2）①画出t=1时函数的图象，由g（x）=m和g（x）=﹣m得两个方程，利用根与系数关系得到x1•x2•x3•x4=16；②令f（x）=0，解得：x=1或x=4．然后分x∈（0，1），x∈（1，2），x∈（2，4），x∈（4，+∞）求得函数f（x）的解析式，增区间由得到矛盾的式子，说明不存在实数a，b，使得函数f（x）在区间[a，b]上单调，且f（x）的取值范围为[ma，mb]．减区间x∈（0，1）容易说明不存在实数a，b．x∈（2，4）时可求得存在实数a，b，使得函数f （x）在区间[a，b]上单调，且f（x）的取值范围为[ma，mb]．【解答】（1）解：∵x∈（0，+∞），∴，当x=2时取最小值，且在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，要使函数f（x）=|t（x+）﹣5|分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，则g（x）=t（x+）﹣5≥0，即g（x）min=4t﹣5≥0，∴t；（2）①证明：当t=1时，f（x）=|（x+）﹣5|，其图象如图，要使f（x）=m有4个根，则0＜m＜1，令g（x）=m，则x2﹣（5+m）x+4=0，∴x1x4=4，令g（x）=﹣m，则x2﹣（5﹣m）x+4=0，∴x2x3=4．∴x1•x2•x3•x4=16；②解：令f（x）=0，解得：x=1或x=4．当x ∈（1，2）时，f （x ）=5﹣（）， ∴，由，得5b ﹣ab ﹣=，即5ab ﹣4（a +b ）=0，∴b=，由b ∈（1，2），解得：．∵a ∈（1，2），∴由（），可得；当x ∈（4，+∞）时，f （x ）=，由，得，整理得：，即． ∵a ≥4，b ≥4，∴，与矛盾，即实数a ，b 不存在；当x ∈（0，1）时，f （x ）=， 由f （a ）=mb ，f （b ）=ma 可得a +b=5，∵a ，b ∈（0，1），矛盾，即实数a ，b 不存在；当x ∈（2，4）时，f （x ）=5﹣（），由f （a ）=mb ，f （b ）=ma 可得a +b=5，再由f （a ）=mb ，得m=，把b=5﹣a 代入得，，∵2＜a ＜4，且b ＞a ，可得2＜a ＜，∴m ∈（，）．综上，存在实数a ，b ∈（1，2），使得函数f （x ）在区间[a ，b ]上单调，且f （x ）的取值范围为[ma ，mb ]，此时m的范围为（，]；或a，b∈（2，4），使得函数f（x）在区间[a，b]上单调，且f（x）的取值范围为[ma，mb]，此时m的范围为（，）．2016年10月31日。
高一数学下学期期末考试试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省某某市长安区第一中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学一、选择题：共12题1．不等式的解集为A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查一元二次不等式的解法.,即,解得.即不等式的解集为.选C.2．数列,,,,,,,则是这个数列的A.第10项B.第11项C.第12项D.第21项【答案】B【解析】本题考查数列的通项.由题意得,令,解得.选B.3．在数列中，，，则的值为A.52B.51C.50D.49【答案】A【解析】本题考查等差数列的性质.由得,所以为等差数列,所以==,所以.选A.4．=A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查同角三角函数的诱导公式及两角和的正弦公式.====.选A.【备注】.5．已知角的终边经过点,则的值等于A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查三角函数的定义.由题意得所以=,=,所以=.选D.6．若数列是等差数列，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查等差数列的性质,诱导公式.因为是等差数列，所以=，又所以，,所以===.选B.【备注】若，等差数列中.7．设,若是与的等比中项，则的最小值为A.8B.4C.1D.【答案】B【解析】本题考查等比数列性质,基本不等式.因为是与的等比中项，所以,即.所以===4(当且仅当时等号成立),即的最小值为4.选B.【备注】若，等比数列中.8．已知是等比数列，，则=A.16()B.16()C.)D.)【答案】C【解析】本题考查等比数列的通项与求和.由题意得的公比=,所以=,所以,令,则是以8为首项,为公比的等比数列,所以的前n项和=).选C.【备注】等比数列中，.9．在△中，已知，，若点在斜边上，，则的值为A.48 B.24 C.12 D.6【答案】B【解析】本题考查平面向量的线性运算和数量积.因为，,所以==,所以==+0=24.选B.【备注】.10．函数,,的部分图象如图所示，则A. B.C. D.【答案】D【解析】本题考查三角函数的性质和图象,解析式的求解.由图可得，,,即,即,所以,又过点,所以=2,由可得=.所以.选D.【备注】知图求式.11．已知向量,，且∥，则= A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查向量的坐标运算与线性运算,二倍角公式.因为∥，所以,即,即=-3,所以=====.选C.【备注】二倍角公式：，.12．设函数，若存在使得取得最值，且满足，则m的取值X围是A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查三角函数的性质与最值,一元二次不等式.由题意得,且=,解得,(),所以转化为,而,所以,即,解得或.选C.二、填空题：共6题13．不等式的解集是 .【答案】【解析】本题考查分式不等式,一元二次不等式.由题意得且,所以或.所以不等式的解集是.【备注】一元高次不等式的解法:穿针引线法.14．已知，，则的值为_______.【答案】3【解析】本题考查两角和与差的正切角公式.由题意得=== 3.【备注】=是解题的关键.15．已知向量a=，b=, 若m a+n b=(),则的值为______. 【答案】-3【解析】本题考查平面向量的坐标运算.由题意得===,即,解得,,所以.16．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得两船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 m.【答案】【解析】本题考查解三角形的应用.画出图形,为炮台,为两船的位置;由题意得m,,,;在△中,=m.在Rt△中,,所以m;在△中,由余弦定理得=300.即,两条船相距m.【备注】余弦定理:.17．若将函数f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是.【答案】【解析】本题主要考查三角函数图象平移、函数奇偶性及三角运算.解法一f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位得函数y=sin(2x+-2φ)的图象,由函数y=sin(2x+-2φ)的图象关于y轴对称可知sin(-2φ)=±1,即sin(2φ-)=±1,故2φ-=kπ+,k∈Z,即φ=+,k∈Z,又φ>0,所以φmin=.解法二由f(x)=sin(2x+)=cos(2x-)的图象向右平移φ个单位所得图象关于y轴对称可知2φ+=kπ,k∈Z,故φ=-,又φ>0,故φmin=.【备注】解题关键:解决三角函数的性质问题,一般化为标准型后结合三角函数的图象求解,注意正余弦函数的对称轴过曲线的最低点或最高点是解题的关键所在.18．已知分别为△的三个内角的对边，，且，则△面积的最大值为 . 【答案】【解析】本题考查正、余弦定理,三角形的面积公式.由正弦定理得=,又所以,即,所以=,所以.而,所以;所以≤=(当且仅当时等号成立).即△面积的最大值为.【备注】余弦定理:.三、解答题：共5题19．在△中，已知,,.(1)求的长；(2)求的值.【答案】(1)由余弦定理知，==，所以.(2)由正弦定理知，所以，因为，所以为锐角，则，因此【解析】本题考查二倍角公式,正、余弦定理.(1)由余弦定理知.(2)由正弦定理知，，因此.20．设是公比为正数的等比数列，,.(1)求的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.【答案】(1)设q为等比数列{a n}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.所以{a n}的通项为a n＝2·2n-1＝2n(n∈N*)(2)S n＝＋n×1＋×2＝2n+1＋n2－2.【解析】本题考查等差、等比数列的通项与求和.(1)求得q＝2,所以a n＝2n(n∈N*);(2)分组求和得S n＝2n+1＋n2－2.21．已知向量,，函数，且的图象过点.(1)求的值；(2)将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若图象上各最高点到点的距离的最小值为，求的单调递增区间.【答案】(1)已知，过点，解得(2)由(1)知,左移个单位后得到,设的图象上符合题意的最高点为，,解得,，解得,,由得,的单调增区间为【解析】本题考查平面向量的数量积,三角函数的图像与性质,三角恒等变换.(1)由向量的数量积求得，过点，解得;(2),求得,,其单调增区间为.22．某种汽车的购车费用是10万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元,年维修费用第一年是0.2万元,第二年是0.4万元,第三年是0.6万元,……,以后逐年递增0.2万元. 汽车的购车费用、每年使用的保险费、养路费、汽油费、维修费用的总和平均摊到每一年的费用叫做年平均费用.设这种汽车使用x(x∈N*)年的维修总费用为g(x),年平均费用为f(x).(1)求出函数g(x),f(x)的解析式;(2)这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最小?最小值是多少?【答案】(1)由题意,知使用x年的维修总费用为g(x)==0.1x+0.1x2,依题意,得f(x)=[10+0.9x+(0.1x+0.1x2)]=(10+x+0.1x2).(2)f(x)=++1≥2+1=3,当且仅当,即x=10时取等号.所以x=10时,y取得最小值3.所以这种汽车使用10年时,它的年平均费用最小,最小值是3万元.【解析】无23．把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数．(1)若，求，的值；(2)已知函数，若记三角形数表中从上往下数第行各数的和为，求数列的前项和.【答案】(1)三角形数表中前m行共有个数，所以第m行最后一个数应当是所给奇数列中的第项．故第m行最后一个数是．因此，使得的m是不等式的最小正整数解．由得，, 于是，第45行第一个数是，(2)第n行最后一个数是，且有n个数，若将看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为的等差数列，故..故.因为，两式相减得.．【解析】本题考查数列的概念,数列的通项与求和.(1)找规律得第m行最后一个数是.可得，求出第45行第一个数是，(2).．错位相减可得.。
江西省九江市高一数学下学期期末试卷(含解析)
江西省九江市2014-2015学年高一（下）期末数学试卷一、选择题（每小题5分）1．（2015春•九江期末）已知cosα=﹣，且α∈（﹣π，0），则tanα=（）A．﹣B．C．﹣D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：由cosα的值及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，即可确定出tanα的值．解答：解：∵cosα=﹣＜0，且α∈（﹣π，0），α的终边在第三象限∴sinα=﹣=﹣，则tanα=，故选：B．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．2．（2015春•九江期末）若在区间[﹣1，2]中随机地取一个数k，则使函数在f（x）=kx+1在R上为增函数的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意，本题是几何概型，只要求出k对应事件的长度为区间长度，求出使函数在f （x）=kx+1在R上为增函数的k的范围，利用公式解答．解答：解：由题意，本题是几何概型，k满足的区间[﹣1，2]长度为3，而在此条件下满足使函数在f（x）=kx+1在R上为增函数的x的范围是（0，2]，区间长度为2，由几何概型的概率公式得到在区间[﹣1，2]中随机地取一个数k，则使函数在f（x）=kx+1在R上为增函数的概率是；故选A．点评：本题考查了几何概型的概率求法；关键是明确概率模型，选择正确的事件测度，利用长度、面积或者体积比求概率．3．（2015春•九江期末）已知非零向量=（a，0），=（0，a），=（1，2），若A，B，C三点共线，则a=（）A．﹣1 B． 1 C． 3 D．0或3考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用三点共线，通过向量平行的坐标运算求出a的值．解答：解：向量=（a，0），=（0，a），=（1，2），=（﹣a，a），=（﹣1，a﹣2）．若A、B、C三点共线，所以﹣a=﹣a（a﹣2），解得a=0或a=3，非零向量=（a，0），所以a=3．故选：C．点评：本题考查三点共线，向量的坐标运算，考查计算能力．4．（2015春•九江期末）已知向量=（﹣3，a），=（1﹣a，2），若A，B，C三点共线，则a=（）A．3或﹣2 B．2或﹣3 C．D． 3考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：向量共线，即向量平行，即可得到a（1﹣a）=﹣3×2，解得即可．解答：解：若A，B，C三点共线，向量=（﹣3，a），=（1﹣a，2），∴a（1﹣a）=﹣3×2，即a2﹣a﹣6=0解得a=3或a=﹣2，故选：A．点评：本题考查了向量的共线的条件，以及向量共线的坐标运算，属于基础题．5．（2015春•九江期末）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（）7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481（）A．07 B．04 C．02 D．01考点：收集数据的方法．专题：概率与统计．分析：根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．解答：解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，01，04，其中第二个和第⑤个都是02，重复．可知对应的数值为．08，02，14，07，01，04则第6个个体的编号为04．故选：B．点评：本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．6．（2015春•九江期末）已知函数f（x）=（x+）2为偶函数，则向量，可以是（）A．=（1，0），=（﹣1，1） B．=（﹣1，1），=（2，﹣2）C．=（1，1），=（2，﹣2） D．=（1，﹣1），=（0，﹣1）考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知函数为偶函数得到向量，的数量积为0，由此选择．解答：解：因为函数f（x）=（x+）2=为偶函数，所以=0；观察各选项可得C满足；故选C．点评：本题考查了函数的奇偶性以及平面向量的数量积；关键是由已知函数为偶函数得到两个向量的数量积为0．7．（2015春•九江期末）已知sin（x+）=，则sin（π﹣x）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：运用诱导公式即可化简求值．解答：解：∵sin（x+）=，∴sin（π﹣x）=sin[π﹣（x+）]=sin（x+）=．故选：D．点评：本题主要考查了诱导公式的应用，属于基本知识的考查．8．（2015春•九江期末）已知sinβ=，则cos（+β）的值为（）A．﹣B．C．D．﹣考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：运用诱导公式即可化简求值．解答：解：∵sinβ=，∴cos（+β）=sinβ=．故选：C．点评：本题主要考查了诱导公式的应用，属于基本知识的考查．9．（2015春•九江期末）如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在五次综合测评中的成绩，期中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据茎叶图计算甲乙的平均数，利用古典概率的概率公式即可得到结论．解答：解：由茎叶图知：==90，设被污损的数字为a，=（83+83+87+90+99+a）=88.4+，∵甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，∴88.4+≥90，解得a≥8，∴a=8或a=9，∴甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为，故选：D．点评：本题主要考查古典概率的计算，利用茎叶图求出x的值是解决本题的关键．10．（2015春•九江期末）在菱形ABCD中，||=2，∠BAD=，E为CD的中点，则•=（）A．﹣3 B． 3 C．D．0考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：建立坐标系得出A，B，C，D，E的坐标，运用向量的坐标运算即可．解答：解；建立坐标系如图，则A（0，0），B（2，0），C（3，），D（1，），E（2，），=（0，）=3故选：B点评：本题考察了菱形的几何性质，平面向量的坐标运算，属于容易题，关键是确定准点的坐标．11．（2015春•九江期末）已知锐角α终边经过点P（cos50°，1+si n50°）．则锐角α等于（）A．10°B．20°C．70°D．80°考点：三角函数值的符号．专题：三角函数的求值．分析：由题意得到tanα=，化简求值即可．解答：解：∵tanα======tan70°，∴α=70°，故选：C点评：本题考查了三角形函数的化简和求值，关键掌握二倍角公式和诱导公式，属于基础题．12．（2015春•九江期末）已知锐角α终边经过点P（cos40°+1，sin40°）．则锐角α等于（）A．20°B．40°C．60°D．80°考点：二倍角的余弦；三角函数值的符号．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用二倍角公式化简，通过角为锐角求出角的大小即可．解答：解：∵tanα===tan20°，∴α=20°．故选：A．点评：本题考查三角函数的化简求值，考查计算能力，属于基础题．13．（2015春•九江期末）如图所示，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1=6，x2=9，p=10时，x3=（）A．8 B．9 C．10 D．11考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：根据已知中x1=6，x2=9，p=10，根据已知中的框图，分类讨论条件|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|满足和不满足时x3的值，最后综合讨论结果，即可得答案．解答：解：当x1=6，x2=9时，|x1﹣x2|=3不满足|x1﹣x2|≤2，故此时输入x3的值，并判断|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|，若满足条件|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|，此时p===10，解得，x3=14，这与|x3﹣x1|=8，|x3﹣x2|=5，8＞5与条件|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|矛盾，故舍去，若不满足条件|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|，此时p===10，解得，x3=11，此时|x3﹣x1|=5，|x3﹣x2|=2，|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|不成立，符合题意，故选：D．点评：本题考查的知识点是选择结构，是选择结构在实际中的应用问题，分类讨论是解答本题的关键．还同时考查了学生对算法基本逻辑结构中的循环结构和条结构的认识，考查学生对赋值语句的理解和认识，考查学生对程序框图表示算法的理解和认识能力，考查学生的算法思想和简单的计算问题．属于基础题．14．（2015春•九江期末）函数y=sinax+与函数y=（a﹣1）x2+x在同一坐标系内的图象不可能是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：分别令a=0，a=1，a＞1，a＜0．根据二次函数（或一次函数，常数函数）和三角函数的图象和性质判断即可．解答：解：当a=1时，函数y=sinx+与函数y=x，图象B符合，当a=0时，函数y=与函数y=x2+x，图象C符合，当a＞1时，y=（a﹣1）x2+x开口向上，对称轴x=﹣＜0，y=sinax+的图象在y=sinax 的基础上向上平移单位，图象A符合，当a＜0时，y=（a﹣1）x2+x开口向下，对称轴x=﹣＞0，y=sinax+的图象在y=sin|a|x的基础上翻转180后，再向上平移单位，图象D不符合，故选：D．点评：本题考查了图象和识别，以及二次函数和三角函数的图象和性质，属于基础题．15．（2015春•九江期末）已知函数y=log b（x﹣a）（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=a+sinbx的图象可能是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：先根据对数函数的图象和性质象得到a，b的取值范围，再根据正弦函数的图得到答案．解答：解∵由对数函数图象可知，函数为增函数，∴b＞1，y=log b（x﹣a）函数的图象过定点（a+1，0），∴a+1=2，∴a=1∴函数y=a+sinbx（b＞0且b≠1）的图象，是有y=sinbx的图象向上平移1的单位得到的，由图象可知函数的最小正周期T=＜2π，故选：B点评：本题考查了正弦函数的图象和对数函数的图象，属于基础题．16．（2015春•九江期末）已知向量，，||=，=﹣，=+，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB的面积为（）A．8 B． 4 C． 2 D．1考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据题意，画出图形，结合图形，利用平面向量的数量积求出模长，即可计算△ABC的面积．解答：解：根据题意，画出图形，如图所示，∵⊥，||=||，∴•=0，即（﹣）（+）=0，∴||=||=，由||=||得，|﹣|=|+|，∴•=0，∴|﹣|=|+|==2；∴S△AOB=×2×2=2．故选：C．点评：本题考查了平面向量数量积的应用问题，也考查了求三角形的面积问题，是基础题目．17．（2015春•九江期末）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若+=2，且||=||，则△ABC的面积为（）A．B．C．2D． 1考点：正弦定理．专题：解三角形；平面向量及应用．分析：由+=2，利用向量加法的几何意义得出△ABC是以A为直角的直角三角形，又||=||，从而可求|AC|，|AB|的值，利用三角形面积公式即可得解．解答：解：由于+=2，由向量加法的几何意义，O为边BC中点，∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，∴三角形应该是以BC边为斜边的直角三角形，，斜边BC=2，又∵||=||，∴|AC|=1，|AB|===，∴S△ABC==．故选：B．点评：本题主要考查了平面向量及应用，三角形面积的求法，属于基本知识的考查．二、填空题（共4小题，每小题5分）18．（2015春•九江期末）从编号为0，1，2…，49的50件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5分样本，若编号为27的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为47 ．考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义求出样本间隔即可得到结论．解答：解：样本间隔为50÷5=10，设第一个号码为x，∵编号为27的产品在样本中，则27=2×10+7，则第一个号码为7，则最大的编号7+4×1O=47，故答案为：47．点评：本题主要考查系统抽样的应用，求解样本间隔是解决本题的关键．19．（2015春•九江期末）已知向量=（1，2），=（0，1），=（3，﹣1），若（+λ）⊥，则实数λ= 1 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知求出+λ的坐标，利用向量垂直的坐标关系得到关于λ的方程解之．解答：解：由已知得+λ=（λ，1+2λ），又（+λ）⊥，所以（+λ）•=0，即3λ﹣（1+2λ）=0，则实数λ=1；故答案为：1．点评：本题考查了平面向量的坐标运算以及向量垂直，数量积为0的运用；属于基础题．20．（2015春•九江期末）某同学为了解秋冬季节用电量（y度）与气温（x℃）的关系，由如表数据计算出回归直线方程为y=﹣2x+60，则表中a的值为38 ．气温18 13 10 ﹣1用电量（度）24 34 a 64考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：先求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，根据所给的的值，写出线性回归方程，把样本中心点代入求出a的值．解答：解：=10，=，∴这组数据的样本中心点是（10，），∵回归直线方程为y=﹣2x+60，把样本中心点代入得a=38，故答案为：38点评：本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．21．（2014•海南模拟）“无字证明”（proofs without words），就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．考点：三角函数恒等式的证明．专题：计算题．分析：左右图中大矩形的面积相等，左边的图中阴影部分的面积为 S1=sin（α+β），在右边的图中，阴影部分的面积 S2等于2个阴影小矩形的面积之和，等于sinαcosβ+cosαsinβ．而面积 S2还等于大矩形得面积S 减去2个小空白矩形的面积，再由2个图中空白部分的面积相等，可得S1 =S2 ，从而得出结论．解答：解：在左边的图中大矩形的面积S=（cosβ+cosα）（sinβ+sinα）=sinβcosβ+cosβsinα+cosαsinα+sinβcosα+sinαcosα=sin（α+β）+sinβcosβ+sinαcosα．用大矩形的面积S减去4个直角三角形的面积就等于阴影部分的面积 S1 ．空白部分的面积等于4个直角三角形的面积，即2×（+sinαcosα）=sinβcosβ+sinαcosα．故阴影部分的面积 S1 =S﹣sinβcosβ+sinαcosα=sin（α+β）．而在右边的图中阴影部分的面积 S2等于2个阴影小矩形的面积之和，即S2=sinαcosβ+cosαsinβ．在右边的图中大矩形的面积也等于S，S2等于大矩形得面积S 减去2个小空白矩形的面积，而2个空白矩形的面积之和，即sinβcosβ+sinαcosα，故左图中空白部分的面积等于右图中空白部分的面积．故左右图中阴影部分的面积也相等，即 S1 =S2 ，故有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，故答案为 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．点评：本题主要考查三角函数的恒等式的证明，体现了转化的数学思想，属于中档题．三、解答题（共7小题，满分60分）22．（2015春•九江期末）已知向量=（2，m），=（﹣3，4），=（2m+7，3）（m∈R）．（1）若∥，求实数m的值；（2）若⊥，求（+）•的值．考点：平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：（1）根据共线向量的条件得出2×4﹣m×（﹣3）=0，求解即可．（2）根据垂直向量的条件得出，2×（2m+7）+m×3=0，解得：m=﹣2，求解向量的坐标即可得出数量积．解答：解：（1）∵∥，向量=（2，m），=（﹣3，4），∴2×4﹣m×（﹣3）=0，∴m=，（2）∵向量=（2，m），=（﹣3，4），=（2m+7，3）（m∈R）．⊥，∴2×（2m+7）+m×3=0，解得：m=﹣2，∴=（2，﹣2）+（3，3）=（5，1），∴（+）•=5×（﹣3）+4×1=﹣11．点评：本题考察了平面向量的坐标运算，向量的平行，垂直的性质，属于容易题，计算准确即可．23．（2015春•九江期末）如图，在以AE=2为直径的半圆周上，B，C，D分别为弧AE的四等分点．（1）以O为起点，从A，B，C，D，E这5个点中任取一点为终点得到一个向量，求满足在上的射影为正的概率；（2）以O为起点，从A，B，C，D，E这5个点中任取两点分别为终点得到两个向量，求这两个向量垂直的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：平面向量及应用；概率与统计．分析：（1）求出在上的射影为正的事件个数，进而根据概率定义，计算即可；（2）通过列举法，列出所有满足条件的向的基本事件数，然后观察符合条件的基本事件，计算即可．解答：解：（1）以O点为起点，从A，B，C，D，E，这5个点中任取一点为终点得到一个向量，所有的基本事件有：，，，，，共5个；其中满足在上的射影为正的有，，共2个；∴满足在上的射影为正的概率P=；（2）以O点为起点，从A，B，C，D，E，这5个点中任取两点分别为终点得到两个向量所有的基本事件有：（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），共10个，其中这两个向量垂直的有：（，），（，），（，），共3个，故这两个向量垂直的概率P=．点评：本题主要考查了概率的求法以及向量的有关知识，属于基础题．24．（2015春•九江期末）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣|=．（1）求•的值；（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，且sinβ=﹣，求sin（α+β）的值．考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正弦函数．专题：平面向量及应用．分析：（1）由已知模的等式两边平方，得到所求；（2）由（1）求出α﹣β，得到sin（α+β）=sin（+2β）=cos2β，进一步利用倍角公式求值．解答：解：（1）因为|﹣|=，所以|﹣|2=2即，又==1，所以=0；（2）因为0＜α＜，﹣＜β＜0，且sinβ=﹣，所以0＜α﹣β＜π，又=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α﹣β）=0，所以，即，所以sin（α+β）=sin（+2β）=cos2β=1﹣2sin2β=1﹣2×=．点评：本题考查了平面向量的数量积、模的运算以及三角函数的化简求值．比较基础．25．（2015春•九江期末）已知tanα=2．（1）求的值；（2）若tan（α﹣β）=2，求tan（β﹣2α）的值．考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得的值．（2）由条件利用两角差的正切公式求得tan（β﹣2α）的值．解答：解：（1）∵tanα=2，∴===3．（2）若tan（α﹣β）=2，则tan（β﹣2α）=﹣tan（2α﹣β）=﹣tan[（α﹣β）+α]=﹣=﹣=．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正切公式，属于基础题．26．（2015春•九江期末）从某校随机抽取10个班，调查各班中有网购经历的人数，所得数据的茎叶图和频率分布直方图如图所示．（分组区间依次为[10，15），[15，20），[20，25），[25，30），[30，35））（1）求所调查的班级中有网购经历的人数的中位数、平均数及频率分布直方图中m的值；（2）若要从有网购物经历的人数在区间[20，30）内的班级中任取两个班，求其中至少有一个班有网购物经历的人数大于25的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．专题：概率与统计．分析：（1）由茎叶图可知，中位数，求出平均数，第三组的频数为3，求出此组的频率，用频率÷组距得到m．（2）由茎叶图可知，有网上购物经历的人数在区间[20，30]内的班级共有4个，通过列举法得到任取两个班级的方法数及至少有一个班有网上购物经历的方法数，利用古典概型的概率公式求出概率．解答：解：（1）由茎叶图可知，中位数为21，平均数为（12+15+18+19+20+22+25+27+30+32）=22，第二组的频数为3，频率为=0.3，则m==0.06（2）记事件Q：至少有一个班有网上购物经历的人数大于25．由茎叶图可知，有网上购物经历的人数在区间[20，300]内的班级共有4个，不妨设为A，B，C，D，其中有网上购物经历的人数大于25的1个班级为A，则从A，B，C，D中任取2个，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种，其中满足题意的有AB，AC，AD，BE共3种故P（Q）==0.5点评：本题考查茎叶图及频率分布直方图，古典概型的概率公式，属于一道基础题27．（2015春•九江期末）已知函数f（x）=Asin（+φ），（A＞0，0＜φ＜），y=f（x）的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象上相邻的最高点和最低点，点P在x轴上的射影为R（1，0），cos∠PRQ=﹣．（1）求A，φ的值；（2）将函数f（x）的图象上所有点向右平移θ（θ＞0）个单位，得到函数g（x）的图象，若g（x）在区间[0，3]上单调递增，求θ的最小值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据三角函数的图象和性质即可求A，φ的值；（2）根据平移关系求出g（x）的表达式，结合函数的单调性进行求解即可．解答：解：（1）∵点P在x轴上的射影为R（1，0），∴P（1，A）在函数f（x）的图象上，则Asin（+φ）=A，即sin（+φ）=1，∵0＜φ＜，∴＜φ+＜，∴φ+=，解得φ=，设Q（a，﹣A），则a+=，解得a=4，即Q（4，﹣A），∵cos∠PRQ=﹣．∴sin∠xRQ=．tan∠xRQ=．即tan∠xRQ==．解得A=4；即A=4，φ=．（2）∵A=4，φ=．∴f（x）=4sin（x+），g（x）=4sin[（x﹣θ）+]=4sin（x﹣θ+），由2kπ﹣≤x﹣θ+≤2kπ+，k∈Z，得6k﹣2+θ≤x≤6k+1+θ，k∈Z，即函数的递增区间为[6k﹣2+θ，6k+1+θ]，k∈Z，∵若g（x）在区间[0，3]上单调递增，∴，即，解得θ=2﹣6k，k∈Z．点评：本题主要考查三角函数的解析式以及三角函数单调性，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．28．（2015春•九江期末）已知函数f（x）=Asin（+φ），（A＞0，0＜φ＜），y=f（x）的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象上相邻的最高点和最低点，点P在x轴上的射影为R（1，0），cos∠PRQ=﹣．（1）求A，φ的值；（2）求函数f（x）的单调增区间及对称中心．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据三角函数的图象和性质即可求A，φ的值；（2）根据三角函数的单调性和对称性进行求解即可．解答：解：（1）∵点P在x轴上的射影为R（1，0），∴P（1，A）在函数f（x）的图象上，则Asin（+φ）=A，即sin（+φ）=1，∵0＜φ＜，∴＜φ+＜，∴φ+=，解得φ=，设Q（a，﹣A），则a+=，解得a=4，即Q（4，﹣A），∵cos∠PRQ=﹣．∴sin∠xRQ=．tan∠xRQ=．即tan∠xRQ==．解得A=4；即A=4，φ=．（2）∵A=4，φ=．∴f（x）=4sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，得6k﹣2≤x≤6k+1，k∈Z，即函数的递增区间为[6k﹣2，6k+1]，k∈Z，由x+=kπ，解得x=3k﹣，即函数的对称中心为（3k﹣，0），k∈Z．点评：本题主要考查三角函数的解析式以及三角函数单调性，对称性的求解，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．请考生在第29-31题中任选一题作答（共3小题，满分10分）29．（10分）（2015春•九江期末）执行如图所示的程序框图，若任意输入区间[1，10]中实数x，求输出x大于49的概率．考点：程序框图．专题：概率与统计；算法和程序框图．分析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行输出的结果是什么，从而求出答案．解答：解：模拟执行程序框图，可得第1次执行，n=2，x∈[1，19]第2次执行，n=3，x∈[1，37]第3次执行，n=4，x∈[1，73]，结束．所以，输出x大于49的概率为．点评：本题考查了算法和程序框图的应用问题，也考查了几何概率的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结果，是基础题．30．（2015春•九江期末）如图所示的一个算法，其作用是输入x的值，输出相应y的值，若要使输出的y的值为正数，求输入的x值的取值范围．考点：伪代码．专题：算法和程序框图．分析：根据程序算法语言，得出分段函数f（x）的解析式，讨论x的值，求出输入x的取值范围即可．解答：解：根据程序算法语言，得分段函数y=f（x）=；当x＜0时，由ln（﹣x）＞0，得x＜﹣1；当0≤x≤2π时，由y=sinx＞0，解得0＜x＜π；当x＞2π时，y=0，不符合题意；所以，输入的x的取值范围是（∞，﹣1）∪（0，π）．点评：本题考查了程序算法语言的应用问题，也考查了分段觳觫的应用问题，是基础题目．31．（2015春•九江期末）如图所示的程序框图，若输出的y值的取值范围是（，+∞），求输入的x值的取值范围．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值．结合题中条件：“输出的y值的取值范围是（，+∞），”，反求出x的取值范围即可．解答：解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值．解：当x＞π时，由y=0，不符合条件，当0＜x≤π时，得sinx∈[0，1]，y=sin2x∈[0，1]，从而可得：当＜x＜时，y=sin2x∈（，1]，当x≤0时，y=x2∈（，+∞），可解得：x，综上，输入的x值的取值范围是：（﹣∞，﹣）∪（，）点评：本题考查了选择结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键，属于基本知识的考查．。
2015-2016学年江西省九江市高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年江西省九江市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共17小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合M＝{x|﹣1≤x≤1}，N＝{x|≤0}，则M∩N＝（）A．{x|0≤x≤1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|﹣1≤x≤0}D．{x|﹣1≤x≤0} 2．（5分）复数z＝1+（i是虚数单位）在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若a，b∈R，i为虚数单位，且（2a+i）i＝b+i，则a，b的值分别是（）A．a＝，b＝1B．a＝，b＝﹣1C．a＝﹣，b＝1D．a＝﹣，b＝﹣1 4．（5分）下列函数中，定义域为R的偶函数是（）A．y＝B．y＝e x﹣e﹣x C．y＝ln|x|D．y＝x5．（5分）如图所示是求等比数列前n项和的流程图，则空白处应填（）A．q＝1B．q≠1C．q＞1D．q＜16．（5分）设a，b∈R，则“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）若执行如图所示的程序图，则运行后输出的结果是（）A．3B．﹣3C．﹣2D．28．（5分）设a＝log2π，b＝logπ2，c＝2π，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a9．（5分）如图所示，用A1、A2、A3三个元件连接成一个系统，A1、A2、A3能否正常工作相互独立，当A1正常工作且A2、A3至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知A1、A2、A3正常工作的概率均为，则系统正常工作的概率为（）A．B．C．D．10．一个箱子里装有7只好灯泡、3只坏灯泡，从中取两次，每次任取一只，每次取后不放回，已知第一次取到的是好灯泡，则第二次取到的还是好灯泡的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学被问到是否游览过西岳华山时，回答如下：甲说：我没去过；乙说：丙游览过；丙说：丁游览过；丁说：我没游览过．在以上的回答中只有一人回答错误且只有一人游览过华山，根据以上条件，可以判断游览过华山的人是（）A．甲B．乙C．丙D．丁12．（5分）设a，b是两个实数，以下能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是（）A．a+b＞1B．a+b＝2C．a2+b2＞2D．a+b＞213．若实数a，b满足a+b＜0，则（）A．a，b都小于0B．a，b都大于0C．a，b中至少有一个大于0D．a，b中至少有一个小于014．（5分）已知函数f（x）＝恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，2）B．[﹣1，2）C．（﹣2，﹣1]D．（﹣1，2] 15．若方程lnx+x＝3在区间（a，a+1）（a∈N）上恰有一根，则a的值是（）A．1B．2C．3D．416．（5分）已知直线y＝ax+b与曲线y＝e x相切，则ab的最大值是（）A．B．e C．D．17．给出定义：设f′（x）是函数y＝f（x）的导函数，f″（x）是函数y＝f′（x）的导函数，若方程f″（x0）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”，已知函数f（x）＝3x+a sin x﹣b cos x的拐点是M（x0，f（x0）），则点M（）A．在直线y＝﹣3x上B．在直线y＝3x上C．在直线y＝﹣4x上D．在直线y＝4x上二、填空题（共6小题，每小题5分，满分20分）18．（5分）若复数（1﹣i）（2+ai）是实数，则实数a等于．19．（5分）已知函数f（x）＝是定义在R上的奇函数，则f（1）＝．20．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝x2﹣2x+c，则f（1）＝．21．（5分）已知全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A，则集合A＝．22．（5分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．①cos211°+sin241°﹣cos11°sin41°；②cos222°+sin252°﹣cos22°sin52°；③cos230°+sin260°﹣cos30°sin60°；④cos244°+sin244°﹣cos44°sin74°；⑤cos255°+sin285°﹣cos55°sin85°．将该同学的发现推广三角恒等式为．23．已知＝2•，＝3•，＝4•，…．若＝8•（a，t均为正实数），类比以上等式，可推测a，t的值，则a+t＝．三、解答题（共7小题，满分60分）24．（12分）运行如图程序框图．（1）当输入x值等于﹣1时，求输出y的值；（2）当输出y的值最大值时，求输入x的值．25．（12分）已知数列{a n}前n项和为S n，且满足a1＝1，2S n＝a n a n+1．（1）计算a2、a3、a4的值，并猜想{a n}的通项公式；（2）设b n ＝，求数列{b n}的前n项和T n．26．已知数列{a n}前n项和为S n，且满足a1＝1，4S n＝a n a n+1+1．（1）计算a2、a3、a4的值，并猜想{a n}的通项公式；（2）设b n ＝，求数列{b n}的前n项和T n．27．（12分）某高校通过调查在发现该校毕业生的学习成绩与就业情况具有线性相关关系，现对5名毕业生的数据进行分析，他们的专业课成绩x i及现在的工作年薪y i情况如下：（1）根据表中数据，计算专业课成绩与年薪的线性相关系数；（2）求出专业课成绩与年薪关系的线性回归方程，并预测专业课成绩为9.6分的学生毕业后的年薪；（3）若再从这5名毕业生中随机抽取2名进行详细调查，求恰有一名毕业生的专业课成绩不少于9分的概率．附：r＝，b＝＝，a＝﹣b．28．（12分）某学校研究性学习小组对该校高二（1）班n名学生视力情况进行调查，得到如图的频率分布直方图，已知视力在4.0～4.4范围内的学生人数为24人，视力在5.0～5.2范围内为正常视力，视力在3.8～4.0范围内为严重近视．（1）求a，n的值；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，迫害视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对班级名次在前10名和后10名的学生进行了调查，得到如表中数据，根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为视力与学习成绩有关系？（3）若先按照分层抽样在正常视力和严重近视的学生中抽取6人进一步调查他们用眼习惯，再从这6人中随机抽取2人进行保护视力重要性的宣传，求视力正常和严重近视各1人的概率．附：29．2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后，80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如表：（1）根据调查数据，判断是否有90%以上把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由，参考数据如下：K2＝，n＝a+b+c+d．（2）以选100人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率估计概率，若从该市70后公民中（人数很多）随机抽取3位，求3人中生二胎的人数为1人的概率．30．（12分）已知函数f（x）＝x+（1﹣a）lnx+（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）≤2成立，求a的取值范围．选做题：[选修4－1：几何证明选讲]（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）（共1小题，满分10分）31．（10分）已知C点在⊙O直径BE的延长线上，CA与⊙O切于A点，∠ACB的平分线CD交AE于点F，交AB于点D．（1）求证：AD＝AF；（2）若AB＝AC，求的值．[选修4－4：坐标系与参数方程]32．以直角坐标系xOy的坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ＝．（1）求直线l及曲线C的普通方程；（2）设P（2，2），直线l与曲线C相交于A、B两点，求|P A|+|PB|的值．33．以直角坐标系xOy的坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ＝2cos（θ+）．（1）求圆C的直角坐标；（2）试判断直线l与圆C的位置关系．[选修4－5：不等式选讲]34．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+ax﹣1（a∈R）．（1）当a＝1时，解不等式f（x）≥0；（2）若不等式f（a）+f（﹣a）≤0恒成立，求实数a的取值范围．35．已知函数f（x）＝|x﹣a|﹣|x+3|（a∈R）．（1）当a＝﹣1时，解不等式f（x）≤1；（2）若x∈[0，3]时，不等式f（x）≤4恒成立，求a的取值范围．2015-2016学年江西省九江市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共17小题，每小题5分，满分60分）1．【解答】解：N＝{x|≤0}＝{x|（x﹣1）x≤0，且x﹣1≠0}＝{x|0≤x＜1}，M＝{x|﹣1≤x≤1}，则M∩N＝{x|0≤x＜1}，故选：B．2．【解答】解：∵z＝1+＝，∴z＝1+在复平面内所对应的点的坐标为（1，﹣），位于第四象限．故选：D．3．【解答】解：由（2a+i）i＝b+i，得，即a＝，b＝﹣1．故选：B．4．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、函数f（x）＝，其定义域为{x|x≤﹣1或x≥1}，不符合题意；对于B、函数f（x）＝e x﹣e﹣x，其定义域为R，关于原点对称，且f（﹣x）＝﹣f（x），为奇函数，不符合题意；对于C、函数f（x）＝ln|x|，其定义域为{x|x≠0}，不符合题意；对于D、函数f（x）＝＝，其定义域为R，且f（﹣x）＝f（x），为偶函数，符合题意；故选：D．5．【解答】解：根据题意，求等比数列前n项和时，当q＝1时，S n＝na1，当q≠1时，S n＝；所以在流程图中，空白处应填q＝1．故选：A．6．【解答】解：若a≥1且b≥1则a+b≥2成立，当a＝0，b＝3时，满足a+b≥2，但a≥1且b≥1不成立，即“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的充分不必要条件，故选：A．7．【解答】解：模拟程序的运行过程，如下；S＝0，i＝1，S＝﹣1；i＝2，S＝1；i＝3，S＝﹣2；i＝4，S＝2；i＝5，S＝﹣3；i＝6，S＝3；结束．故选：A．8．【解答】解：a＝log2π，∴log22＜a＜log24，即1＜a＜2．b＝logπ2，∴logπ1＜logπ2，＜logππ，即0＜b＜1．c＝2π∴2π＞23＝8，即c＞8∴c＞a＞b．故选：C．9．【解答】解：A2、A3都不工作的概率为（1﹣）（1﹣）＝，故A2、A3至少有一个正常工作的概率是1﹣＝；又元件A1正常工作的概率为，所以系统正常工作的概率为×＝．故选：C．10．【解答】解：一个箱子里装有7只好灯泡、3只坏灯泡，从中取两次，每次任取一只，每次取后不放回，第一次取到的是好灯泡后，箱子里还有6只好灯泡，3只坏灯泡，所以若第一次取到的是好灯泡，则第二次也取到好灯泡的概率是：p＝＝．故选：A．11．【解答】解：假设甲去过，则只有丁正确，若乙去过，则甲，丁正确，若丙去过，则甲、乙、丁正确，若丁去过，则甲、丙正确，故选：C．12．【解答】解：A．若a＝，b＝，则a+b＞1，因此A推不出；B．若a＝b＝1，则a+b＝2，故B推不出；C．若a＝﹣2，b＝﹣3，则a2+b2＞2，故C推不出；D．a+b＞2，满足：“a，b中至少有一个大于1”的条件，利用反证法：若a≤1，b≤1，则a+b≤2与已知a+b＞2矛盾，因此假设不正确．故原结论正确．故选：D．13．【解答】解：假设a，b都不小于0，即a≥0，b≥0，则a+b≥0，与a+b＜0矛盾，因此假设错误，即a，b中至少有一个小于0．故选：D．14．【解答】解：由题意可知：函数图象的右半部分为单调递减一次函数的部分，最多一个零点，函数图象的左半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x＝﹣，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，由一次函数过点（2，0），二次函数的零点为：﹣2．﹣1，函数f（x）＝恰有三个不同的零点，﹣1≤a＜2，故选：B．15．【解答】解：设函数f（x）＝lnx+x﹣3，则函数f（x）单调递增，∵f（2）＝ln2+2﹣3＝ln2﹣1＜0，f（3）＝ln3+3﹣3＝ln3＞0，∴f（2）f（3）＜0，在区间（2，3）内函数f（x）存在零点，∵方程lnx+x＝3在区间（a，a+1）（a∈N）上恰有一根，∴a＝2，故选：B．16．【解答】解：设直线y＝ax+b与曲线y＝e x相切于M（m，e m），由y＝e x导数为y′＝e x，可得切线的斜率为e m＝a，即m＝lna，又am+b＝e m，可得b＝e m﹣me m＝a（1﹣lna），ab＝a2（1﹣lna），由f（a）＝a2（1﹣lna），f′（a）＝a（1﹣2lna），a＞0，当x＞时，f′（a）＜0，f（a）递减；当0＜x＜时，f′（a）＞0，f（a）递增．即有f（a）在x＝处取得极大值，且为最大值e．故选：A．17．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝3x+a sin x﹣b cos x，则函数f′（x）＝3+a cos x+b sin x，f′′（x）＝﹣a sin x+b cos x，若f′′（x0）＝﹣a sin x0+b cos x0＝0，即﹣a sin x0+b cos x0＝0，则f（x0）＝3x0﹣a sin x0+b cos x0＝3x0，即M的坐标为（x0，3x0），在直线y＝3x上；故选：B．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分20分）18．【解答】解：∵（1﹣i）（2+ai）＝（2+a）+（a﹣2）i是实数，∴a﹣2＝0，得a＝2．故答案为：2．19．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝是定义在R上的奇函数，则有f（0）＝a＝0，即a＝0，则f（x）＝，又由函数f（x）为奇函数，则有f（﹣x）＝﹣f（x），即＝﹣，解可得b＝0，则f（x）＝，则f（1）＝＝；故答案为：．20．【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则有f（0）＝0，又由当x≤0时，f（x）＝x2﹣2x+c，则有f（0）＝c＝0，即c＝0，则f（x）＝x2﹣2x，f（﹣1）＝3，又由函数为奇函数，则f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣3；故答案为：﹣3．21．【解答】解：若A＝{a1，a2}，则不满足②；若A＝{a1，a3}，则不满足①；若A＝{a1，a4}，则不满足①；若A＝{a2，a3}，则满足题意；若A＝{a2，a4}，则不满足②；若A＝{a3，a4}，则不满足③．故答案为：{a2，a3}．22．【解答】解：根据式子特点猜想：cos2α+sin2（α+30°）﹣cosαsin（α+30°）＝cos2α+sin2（α+30°）﹣cosαsin（α+30°）＝cos2α+（sin30°cosα+cos30°sinα）2﹣cosα（sin30°cosα+cos30°sinα）＝cos2α+（cosα+sinα）2﹣cosα（cosα+sinα）＝cos2α+（cosα+sinα）（﹣cosα+sinα）＝cos2α﹣cos2α+sin2α＝，故答案为：cos2α+sin2（α+30°）﹣cosαsin（α+30°）＝23．【解答】解：观察下列等式＝2 ，＝3 ，＝4 ，…照此规律，第7个等式中：a＝8，t＝82﹣1＝63a+t＝71．故答案为：71．三、解答题（共7小题，满分60分）24．【解答】解：（1）由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用条件结构计算并输出分段函数：y＝的值，当输入x＝﹣1时，y＝﹣；（2）∵y′＝，故当x∈（﹣∞，0]时，y′≥0恒成立，函数为增函数；当x∈（0，+∞）时，y′＜0恒成立，函数为减函数；∴当x＝0时，y取最大值．25．【解答】解：（1）满足a1＝1，2S n＝a n a n+1．令n＝1，可得：2S1＝2a1＝a1a2，解得a2＝2，令n＝2，3，同理可得：a3＝3，a4＝4，猜想a n＝n．（2）b n＝＝，∴数列{b n}的前n项和T n＝+…+，∴＝+…++，相减可得：＝+…+﹣﹣＝﹣，可得：T n＝2﹣．26．【解答】解：（1）满足a1＝1，4S n＝a n a n+1+1．令n＝1，可得：4S1＝4a1＝a1a2+1，解得a2＝3，令n＝2，3，同理可得：a3＝5，a4＝7．猜想a n＝2n﹣1．（2）b n＝＝＝，∴数列{b n}的前n项和T n＝+…+＝＝．27．【解答】解：（1）根据表中数据，计算＝×（7+7+8+9+9）＝8，＝×（10+12+14+14+15）＝13，x i y i﹣5＝（7×10+7×12+8×14+9×14+9×15）﹣5×8×13＝7，﹣5＝（72+72+82+92+92）﹣5×82＝4，﹣5＝（102+122+142+142+152）﹣5×132＝16；所以专业课成绩与年薪的线性相关系数为：r＝＝＝；（2）设专业课成绩与年薪关系的线性回归方程为＝bx+a，则b＝＝＝1.75，a＝﹣b＝13﹣1.75×8＝﹣1，回归直线方程为＝1.75x﹣1；当x＝9.6时，＝1.75×9.6﹣1＝15.8，所以预测专业课成绩为9.6分的学生毕业后的年薪15.8万元；（3）再从这5名毕业生中随机抽取2名，共有＝10种选法，其中恰有一名毕业生的专业课成绩不少于9分有•＝6种情形，故所求的概率为P＝＝．28．【解答】解：（1）由频率和为1，得（a+2a+2a+3a+4a+4a+4a）×0.2＝1，解得a＝0.25，由已知（4a+4a）×0.2＝，解得n＝60；（2）由列联表计算K2＝＝＝1.25＜2.706，所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下，不能认为视力与学习成绩有关系；（3）正常视力为6人，严重近视为3人，依题意抽取的6人中，正常视力4人，严重近视2人，从6人中任取2人共有15种不同的取法，其中视力正常和严重近视各1人的取法有4×2＝8种；故所求的概率值为．29．【解答】解：（1）根据列联表中的数据，计算K2＝≈3.030＞2.706，所以有90%以上把握认为“生二胎与年龄有关”；（2）由已知得该市70后“生二胎”的概率为＝，以A事件为“70后公民中（人数很多）随机抽取3人，3人中生二胎的人数为1人”，则P（A）＝3××＝，故3人中生二胎的人数为1的概率为．30．【解答】解：（1）f（x）＝x+（1﹣a）lnx+，（x＞0），f′（x）＝1﹣﹣＝，①a≤0时，f′（x）≥0，f（x）递增；②a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，∴f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；（2）由题意得：函数f（x）在[1，e]上的最小值是f（x）min≤2，由（1）得①a≥e时，f（x）在[1，e]递减，∴[f（x）]min＝f（e）＝e+1﹣a+≤2，解得：a≥e，②a≤1时，f（x）在[1，e]递增，∴[f（x）]min＝f（1）＝1+a≤2，解得：a≤1；③1＜a＜e时，f（x）在（1，a）递减，在（a，e）递增，∴[f（x）]min＝f（a）＝a+）1﹣a）lna+1≤2，无解；综上，a的范围是（﹣∞，1]∪[e，+∞）．选做题：[选修4－1：几何证明选讲]（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）（共1小题，满分10分）31．【解答】（1）证明：∵CA与⊙O切于A点，∴∠CAE＝∠E，又∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠DCB，…（2分）∴∠ADF＝∠B+∠DCB＝∠CAE+∠ACD＝∠AFD，…（4分）∴AD＝AF；…（5分）（2）解：∵AB＝AC，∴∠CAE＝∠B＝∠ACB，又∵∠ACB＝∠ACB，…（6分）∴△BCA∽△ACE，∴，…（9分）又∵180°＝∠ACE+∠CAE+∠AEC＝∠ACE+∠CAE+（90°+∠ABE），∴∠CAE＝∠B＝∠ACB＝30°，∴．…（12分）[选修4－4：坐标系与参数方程]32．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数可得：x+y＝4．曲线C的极坐标方程为ρ＝，可得：ρ2（2cos2θ+sin2θ）＝16，利用互化公式可得直角坐标方程：2x2+y2＝16，化为：+＝1．（2）设P（2，2），直线l的参数方程为：，代入椭圆方程可得：3t2﹣4t﹣8＝0，∴t1+t2＝，t1•t2＝﹣∴|P A|+|PB|＝|t1|+|t2|＝|t1﹣t2|＝＝＝．33．【解答】解：（1）∵圆C的极坐标方程为ρ＝2cos（θ+），∴，∴，∴圆C的直角坐标方程为＝0，即（x﹣）2+（y+）2＝1，∴圆心C的直角坐标为（，﹣）．（2）∵直线l的参数方程是（t为参数），∴直线l消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣y+4＝0，圆C的半径r＝1，圆心C（）到直线l的距离：d＝＝5＞r ＝1，∴直线l与圆C相离．[选修4－5：不等式选讲]34．【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝|2x﹣1|+x﹣1，由不等式f（x）≥0可化为：或，解得：x≥或x≤0，故不等式的解集是（﹣∞，0]∪[，+∞）；（2）若不等式f（a）+f（﹣a）≤0恒成立，即|2a﹣1|+a2﹣1+|2a+1|﹣a2﹣1≤0恒成立，即|2a﹣1|+|2a+1|≤2恒成立，即或或，解得：﹣≤a≤．35．【解答】解：（1）a＝﹣1时，不等式可化为|x+1|﹣|x+3|≤1，x≤﹣3时，不等式可化为﹣x﹣1+x+3≤1，即2≤1，不成立，﹣3＜x＜﹣1时，不等式可化为﹣x﹣1﹣x﹣3≤1，解得：﹣≤x＜﹣1，x≥﹣1时，不等式可化为x+1﹣x﹣3≤1，即﹣2≤1，成立，综上，不等式的解集是[﹣，+∞）；（2）若x∈[0，3]时，不等式f（x）≤4恒成立，即|x﹣a|﹣|x+3|≤4，x+3＞0，即|x﹣a|≤x+7，由此得﹣7≤a≤2x+7，x∈[0，3]时，2x+7的最小值是7，故a的范围是[﹣7，7]．。
江西省九江市高一下学期期末数学试卷
江西省九江市高一下学期期末数学试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2019 高一上·哈尔滨期中) 集合，，则（）A.B.C.D.2. （2 分） A.-等于（ ）B. C.D. 3. （2 分） (2016 高一上·双鸭山期中) 下列函数是奇函数的是（ ） A . y=x﹣1 B . y=2x2﹣3 C . y=x3D.4. （2 分） (2017 高一下·沈阳期末) 已知向量，则向量 的单位向量是（ ）第 1 页 共 11 页A. B.C.D.5. （2 分） 已知，则的值为（ ）A.B.C.D. 6. （2 分） 甲、乙两名运动员在某项测试中的 6 次成绩的茎叶图如图所示， ， 分别表示甲、乙两名运 动员这项测试成绩的平均数， ， 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差，则有（ ）A. ＞ ， ＜ B. = ， ＞ C. = ， =第 2 页 共 11 页D. = ， ＜7.（2 分）(2017 高三上·长葛月考) 设 ， A. B. C. D.，定义运算：，则（ ）8. （2 分） 函数 A. B. C. D.图像的对称轴方程可能是（ ）9. （2 分） (2018 高一下·山西期中) 在梯形动点 和 分布在线段和上，且中，已知，的最大值为 ，则，，的取值范围为（ ）A.B.C.D.10. （ 2 分 ） 某 程 序 框 图 如 图 所 示 ， 若 该 程 序 运 行 后 输 出 的 值 是 ,第 3 页 共 11 页则（）A . a=4 B . a=5 C . a=6 D . a=711. （2 分） (2015 高二上·湛江期末) 不等式 x2+x＜ 的取值范围是（ ）对任意 a，b∈（0，+∞）恒成立，则实数 xA . （﹣2，0）B . （﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C . （﹣2，1）D . （﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）12. （2 分） (2017 高二下·资阳期末) 袋中装有编号分别为 1，2，3，…，2n 的 2n（n∈N*）个小球，现将 袋中的小球分给 A，B，C 三个盒子，每次从袋中任意取出两个小球，将其中一个放入 A 盒子，如果这个小球的编号 是奇数，就将另一个放入 B 盒子，否则就放入 C 盒子，重复上述操作，直到所有小球都被放入盒中，则下列说法一 定正确的是（ ）第 4 页 共 11 页A . B 盒中编号为奇数的小球与 C 盒中编号为偶数的小球一样多 B . B 盒中编号为偶数的小球不多于 C 盒中编号为偶数的小球 C . B 盒中编号为偶数的小球与 C 盒中编号为奇数的小球一样多 D . B 盒中编号为奇数的小球多于 C 盒中编号为奇数的小球二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2018 高二下·溧水期末) 某单位要在 4 名员工（含甲、乙两人）中随机选 2 名到某地出差，则 甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率是________．14.（1 分）(2015 高三上·泰安期末) 如果实数 x，y 满足条件，则 z=x+y 的最小值为________．15. （1 分） 若函数 f（x）=sin（x+φ）（0＜φ＜π）是偶函数，则 φ=________16. （1 分） 求函数的最小值为________．三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)17. （5 分） (2017 高二上·邯郸期末) 数列{an}的前 n 项和记为 Sn ， a1=2，an+1=Sn+2（n∈N*）．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{nan}的前 n 项和 Tn ．18. （10 分） (2016 高一下·长春期中) 已知△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，∠A 是锐 角，且 b=2a•sinB．（1） 求∠A 的度数；（2） 若 a=7，△ABC 的面积为 10 ，求 b2+c2 的值．19. （10 分） (2019 高二下·新城期末) 某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.过去 50 周 的资料显示，该地周光照量 X(小时)都在 30 小时以上，其中不足 50 小时的周数有 5 周，不低于 50 小时且不超过 70 小时的周数有 35 周，超过 70 小时的周数有 10 周.根据统计，该基地的西红柿增加量 y(百斤)与使用某种液体肥 料 x(千克)之间对应数据为如图所示的折线图．第 5 页 共 11 页附：相关系数，参考数据：，，，（1） 依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系？请计算相关系数 r 并加以说明(精确到0.01)(若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)（2） 蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多 可运行台数受周光照量 X 限制，并有如表关系：周光照量 （单位：小时） 光照控制仪最多可运行台数321若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为 3000 元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪 周亏损 1000 元.以过去 50 周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应 安装光照控制仪多少台？20. （5 分） (2018 高三上·湖南月考)已知函数．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若不等式的解集为，且满足，求实数 的取值范围．21. （10 分） (2020·榆林模拟) 已知数列，满足，，，.第 6 页 共 11 页（1） 证明：数列，为等比数列；（2） 记 为数列 的前 项和，证明：.22. （15 分） (2016 高一上·徐州期中) 定义：若函数 y=f（x）在某一区间 D 上任取两个实数 x1、x2 ， 且x1≠x2 ， 都有，则称函数 y=f（x）在区间 D 上具有性质 L．（1） 写出一个在其定义域上具有性质 L 的对数函数（不要求证明）．（2） 对于函数，判断其在区间（0，+∞）上是否具有性质 L？并用所给定义证明你的结论．（3） 若函数在区间（0，1）上具有性质 L，求实数 a 的取值范围．第 7 页 共 11 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页 共 11 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)17-1、18-1、 18-2、第 9 页 共 11 页19-1、 19-2、20-1、21-1、21-2、第 10 页 共 11 页22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。
江西省九江市高一下学期数学期末考试试卷
江西省九江市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高二上·城中期末) 如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=A1A=1，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF 的长度的取值范围是（）A . [ ，1）B . [ ，2）C . [1，）D . [ ，）2. （2分）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（3，2），则直线AB的倾斜角大小（）A . 30°B . 45°C . 135°D . 150°3. （2分） (2016高二上·屯溪期中) 直线x+ y﹣8=0的倾斜角是（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高一下·安庆期末) 已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为（）A .B .C .D .5. （2分）圆和圆的位置关系是（）A . 外切B . 内切C . 外离D . 内含6. （2分） (2019高二上·辽宁月考) 已知椭圆 + =1的两个焦点是F1 ， F2 ，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|=2，则的面积是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一下·雅安期末) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面A1B1CD与平面ABCD所成二面角为（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高二上·哈尔滨月考) 下列说法的正确的是（）A . 经过定点的直线的方程都可以表示为B . 经过定点的直线的方程都可以表示为C . 不经过原点的直线的方程都可以表示为D . 经过任意两个不同的点、的直线的方程都可以表示为9. （2分）如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ADF⊥平面ABC．在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK=t，则t的取值范围是（）A . （0，）B . （，）C . （，）D . （，1）10. （2分）如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A . BD∥平面CB1D1B . AC1⊥BDC . AC1⊥平面CB1D1D . 异面直线AD与CB1所成的角为60°11. （2分） (2015高二上·福建期末) 在空间直角坐标系O﹣xyz中，平面OAB的法向量为，O为坐标原点．已知P（﹣1，﹣3，8），则P到平面OAB的距离等于（）A . 4B . 2C . 3D . 112. （2分）如图，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A、B两点，已知PA=2，点P到⊙O的切线长PT=4，则弦AB的长为（）A . 4B . 6C . 8D . 10二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知l1 ， l2是分别经过A（2，1），B（0，2）两点的两条平行直线，当l1 ， l2之间的距离最大时，直线l1的方程是________14. （1分）对于任给的实数m，直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y=m﹣5都通过一定点，则该定点坐标为________15. （1分）过两圆x2+y2+4x﹣4y﹣12=0、x2+y2+2x+4y﹣4=0交点的直线方程是________16. （1分）已知a、b是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若a⊥α，a⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；④若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b．其中正确命题的序号有________三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2018高二上·镇江期中) 已知椭圆E：的焦距为2 ，一条准线方程为x= ，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点P，Q在的椭圆上，且点P在第一象限．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若点P，Q关于坐标原点对称，且PQ⊥AB，求四边形ABCD的面积；（3）若AP，BQ的斜率互为相反数，求证：PQ斜率为定值．18. （10分） (2015高一上·腾冲期末) 如图，A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，AB=2，AC=BC= ．等边三角形ADB以AB为轴运动．（1）当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；（2）当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．19. （10分） (2016高三上·成都期中) 如图，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．20. （10分）(2018·安徽模拟) 如图，已知四棱锥的底面是菱形,平面，点为的中点。
江西省九江市高一数学下学期期末考试试题 理(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省某某市2016-2017学年度下学期期末考试高一理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 函数的最小正周期为A. B. C. D.【答案】C【解析】由最小正周期公式可得，函数的最小正周期为：.本题选择C选项.2. 在班级40名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40的学生进行作业检查，这种抽样方法最有可能是A. 简单随机抽样B. 分层抽样C. 系统抽样D. 以上答案都不对【答案】C【解析】∵收取的间隔都是5，∴由系统抽样方法的特征得该抽样方法为系统抽样.本题选择B选项.3. 已知平面向量和的夹角为，则A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，则：，故： .本题选择D选项.点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．(2)常用来求向量的模．4. 根据如下样本数据得到的回归方程为，若，则每增加个单位，就A. 减少个单位B. 增加个单位C. 减少个单位D. 增加个单位【答案】A【解析】由题中所给的数据可得：，回归方程过样本中心点，则：，回归直线方程为：，则每增加个单位，就减少个单位.本题选择A选项.5. 已知是第四象限角，且，则A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，则： .本题选择D选项.6. 阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，,最后输出的数据为,所以判断框中应填入,选B.考点：程序框图.7. 函数的一个单调递减区间是A. B. C. D.【答案】A【解析】∵y=log0.5t为减函数，单调减区间即为的单调增区间,由于真数必须为正，故令，解得当k=−1时,有 .本题选择A选项.点睛：对于复合函数y＝f，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f为减函数．简称：同增异减．8. 已知单位圆有一定点，在圆上随机取一点，则使成立的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意,使成立时,0°⩽∠AOB⩽60°，∴在圆O上随机取一点B,则使成立的概率为，本题选择B选项.9. 在中，，其面积等于，则等于A. B. C. D.【答案】C∴AC=1，∴ .本题选择C选项.10. 已知曲线关于对称，将曲线向左平移个单位长度，得到的曲线的一个对称中心为，则的最小值是A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得，当时：，令可得：，即，向左平移个单位之后解析式为：，由对称中心可得：，则：，令可得：的最小值是.本题选择A选项.11. 如图，圆与轴的上交点为，动点从点出发沿圆按逆时针方向运动，设旋转的角度（），向量在方向的射影为（为坐标原点），则关于的函数的图像是A. B. C.D.【答案】B【解析】∵∠ACP=x,∴P(−sinx,1+cosx)，∴，∴，本题选择B选项.12. 已知函数的图象过，若有4个不同的正数满足，且，则从这四个数中任意选出两个，它们的和不超过5的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】∵函数的图象过，∴，即sinφ=1，∵0⩽ϕ<π,∴，∴，∴g(x)的周期为2,作出g(x)的函数图象如图所示：由图象可知g(x)的对称轴为.∵有4个不同的正数x i满足g(x i)=M(0<M<1),且x i<4(i=1,2,3,4)，∴x1+x2=3,x2+x3=x1+x4=5,x3+x4=7,x1+x3<x2+x3=5，x2+x4>x1+x4>5，∴从4个数x i中任选2个，共有6种选法，其中和不超过5的选法共有4种,分别是，∴和不超过5的概率为.本题选择D选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.第II卷（选择题90分）填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13. 连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则为锐角的概率是__________．【答案】【解析】连掷两次骰子分别得到点数m,n,所组成的向量(m,n)的个数共有36种由于向量(m,n)与向量(1,−1)的夹角θ为锐角,∴(m,n)⋅(1,−1)>0，即m>n，满足题意的情况如下：当m=2时，n=1；当m=3时，n=1，2；当m=4时，n=1，2，3；当m=5时，n=1，2，3，4；当m=6时，n=1，2，3，4，5；共有15种，故所求事件的概率为： .14. 下方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为，乙组数据的平均数为，则的值为__________．【答案】【解析】阅读茎叶图，由甲组数据的中位数为可得，乙组的平均数：，解得：，则: .点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的数据．15. 函数的部分图像如图所示，则________．【答案】【解析】由函数的最值可得：，函数的周期为：，则：，当时：，解得：，令可得：，函数的解析式为：，据此可得：对任意的正整数k：，则： .16. 在中，，，以为直角顶点向外作等腰直角三角形，当变化时，线段的长度最大值为__________．【答案】【解析】设 ,则，由正弦定理可得，∴时,BD取得最大值 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）17. 已知某算法的算法框图如图所示.(1)求函数的解析式；(2)求的值.【答案】(1)；(2)【解析】(1)(2)点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．18. 已知坐标平面上三点，，．(1)若（为坐标原点），求向量与夹角的大小；(2)若，求的值．【答案】（1）或；(2)【解析】试题分析：(1)利用题意求得向量与夹角的余弦值，据此可得与的夹角为或.(2)向量垂直，则数量积为0，据此得到三角方程，解方程可得.试题解析：（1），，设与的夹角为，则与的夹角为或(2)，由，，可得，即19. 2017年天猫五一活动结束后，某地区研究人员为了研究该地区在五一活动中消费超过3000元的人群的年龄状况，随机在当地消费超过3000元的群众中抽取了500人作调查，所得概率分布直方图如图所示：记年龄在，，对应的小矩形的面积分别是，且.（1）以频率作为概率，若该地区五一消费超过3000元的有30000人，试估计该地区在五一活动中消费超过3000元且年龄在的人数；（2）若按照分层抽样，从年龄在，的人群中共抽取7人，再从这7人中随机抽取2人作深入调查，求至少有1人的年龄在内的概率.【答案】（1）15000（人）；（2）【解析】试题分析：（1）利用小矩形面积比就是频率比，和所有频率和为，可求得各组的频，再利用组的频率可估计该地区的人数；（2）由频率分布直方图求平均数可由各组的中间数与该组的频率乘积后再求和可得；（3）先由分层抽样得出抽取人在各组的分配情况，然后写出所有抽取两人的可能情况，找出满足条件的，利用古典概型可求得结果．试题解析：（1）设区间的频率为x，则区间内的频率依次为，依题意得在五一活动中消费超过3000元且年龄在岁之间的人数为：（人）（2）依题意，所求的平均数为：.（3）若按分层抽样，年龄在分别抽取2人和5人，记年龄在的两人为A,B，记年龄在的5人为1，2，3，4，5；随机抽取两人可能情况有：(A,B),(A,1)(A,2),(A,3),(A,4),(A,5),(B,1),(B,2),(B,3),(B,4),(B,5),(1,2),(1,3),(1, 4)(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)，共21种情况，其中满足条件的有：(A,B),(A,1)(A,2),(A,3),(A,4),(A,5),(B,1),(B,2),(B,3),(B,4),(B,5)共11种故所求概率为：.20. 在直角坐标系中,圆与轴负半轴交于点,过点的直线分别与圆交于两点．（1）若,求的面积；（2）过点作圆的两条切线,切点分别为,求．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：(1)首先求得直线AN的方程，然后利用点到直线距离公式求得三角形的高，据此可得三角形的面积为；(2)利用题意求得向量的模，利用二倍角公式求得向量夹角的余弦值，最后利用向量数量积的定义可得数量积为 .试题解析：（1）．．（2）又．21. 在中，所对的边分别为函数在处取得最大值．（1）当时，求函数的值域；（2）若且,求的面积．【答案】（1）；(2）．【解析】试题分析：（1）求角A的大小，由函数，对函数进行恒等变形，把函数化为一个角的一个三角函数，即，利用在处取得最大值，把代入，利用，即可求出角A的值；（2）若且，求的面积，由（1）知，可考虑利用来求，因此只需求出的值即可，由且，可利用正弦定理得，求出的值，再利用余弦定理可求出的值，从而可得的面积．试题解析：（1）4分在处取得最大值，其中，即6分(2)由正弦定理得8分即，由余弦定理得，即12分考点：三角恒等变化，解三角形．22. 已知，.（1）求当时，的值域；（2）若函数在内有且只有一个零点，求的取值X围.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）当时，，令，则，，可求的值域；（2），令，则当时，，，在内有且只有一个零点等价于在内有且只有一个零点，无零点.因为，∴在内为增函数，分①若在内有且只有一个零点，无零点，和②若为的零点，内无零点两种情况讨论即可.试题解析：（1）当时，，令，则，，，当时，，当时，，所以的值域为.（2），令，则当时，，，，在内有且只有一个零点等价于在内有且只有一个零点，无零点.因为，∴在内为增函数，①若在内有且只有一个零点，无零点，故只需得；②若为的零点，内无零点，则，得，经检验，符合题意.综上，或.考点：利用换元思想解决三角函数问题，函数的零点。
江西省九江一中2015-2016学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析
2015-2016学年江西省九江一中高一（下）期中数学试卷一、选择题（每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．设集合I={x||x|＜3，x∈Z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∪（C I B）=（）A．{1}B．{1，2}C．{2}D．{0，1，2}2．某单位有业务人员120人，管理人员24人，后勤人员16人．现用分层抽样的方法，从该单位职工中抽取一个容量为n的样本，已知从管理人员中抽取3人，则n为（）A．20B．30C．40D．503．下列函数中，周期为π的是（）A．B．y=sin2xC．D．y=tan2x4．已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y+1=0平行，则m的值为（）A．8B．﹣8C．﹣2D．25．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．9B．10C．11D．6．若函数f（x）=，则fA．4B．5C．506D．5077．执行如图所示的程序框图，若输入x的值为﹣5，则输出y的值是（）A．﹣1B．1C．2D．8．在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，则sin的值介于﹣与之间的概率为（）A．B．C．D．9．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列叙述正确的是（）A．若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥nB．若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m⊥nC．若m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，m⊥n，则α∥βD．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β10．为了得到函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变11．已知函数，其中a，b∈R．若对于任意的，不等式f（x）≤10在上恒成立，则b的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）=2，当x∈（0，1]时，f（x）=x2，当x∈（﹣1，0]时，，若定义在（﹣1，3）上的函数g（x）=f（x）﹣t（x+1）有三个不同的零点，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）.13．已知角a的终边经过点P（5，﹣12），则sina+cosa的值为．14．如图，点A、B在函数的图象上，则直线AB的方程为．15．若实数x，y满足x2+y2=1，则的最小值是．16．已知函数f（x）=（x∈R），给出下面四个命题：①函数f（x）的图象一定关于某条直线对称；②函数f（x）在R上是周期函数；③函数f（x）的最大值为；④对任意两个不相等的实数，都有成立．其中所有真命题的序号是．三、解答题．（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17．已知在平行四边形ABCD中，E为DC边的中心，（1）若=，=，试用、表示（2）若，试用、表示．18．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF⊥B1C；（2）求三棱锥E﹣FCB1的体积．19．甲、乙两人玩数字游戏，先由甲任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为b，且a，b∈{1，2，3，4，5，6}，记ξ=|a﹣b|．（1）求ξ=1的概率；（2）若ξ≤1，则称“甲乙心有灵犀”，求“甲乙心有灵犀”的概率．20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）令g（x）=f（﹣x﹣），求g（x）的单调递增区间．21．设函数f（x）=sin（2ωx+）（其中ω＞0），且f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是．（1）求y=f（x）的最小正周期及对称轴；（2）若x∈，函数﹣af（x）+1的最小值为0．求a的值．22．在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y ﹣5）2=4（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．2015-2016学年江西省九江一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．设集合I={x||x|＜3，x∈Z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∪（C I B）=（）A．{1}B．{1，2}C．{2}D．{0，1，2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】把集合A用列举法表示，然后求出C I B，最后进行并集运算．【解答】解：因为I={x||x|＜3，x∈Z}={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，所以，C I B={0，1}，又因为A={1，2}，所以A∪（C I B）={1，2}∪{0，1}={0，1，2}．故选D．2．某单位有业务人员120人，管理人员24人，后勤人员16人．现用分层抽样的方法，从该单位职工中抽取一个容量为n的样本，已知从管理人员中抽取3人，则n为（）A．20B．30C．40D．50【考点】分层抽样方法．【分析】用分层抽样的方法，各层抽取的比例相等，只需计算出管理人员中的抽样比，再乘以总认识即可．【解答】解：管理人员中的抽样比，而此单位的总人数为120+24+16=160，故n=160×=20故选A3．下列函数中，周期为π的是（）A．B．y=sin2xC．D．y=tan2x【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）、y=Acos（ωx+φ）的周期为，y=Atan（ωx+φ）的周期为，得出结论．【解答】解：由于y=sin的周期为=4π，不满足条件，故排除A；y=sin2x的周期为=π，故满足条件；y=cos的周期为=8π，不满足条件，故排除C；y=tan2x的周期为=4π，不满足条件，故排除D，故选：B．4．已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y+1=0平行，则m的值为（）A．8B．﹣8C．﹣2D．2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y+1=0平行，所以，两直线的斜率相等．【解答】解：∵直线2x+y+1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得：m=﹣8，故选：B．5．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．9B．10C．11D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据得出该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，运用直棱柱减去三棱锥即可得出答案．【解答】解：．由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，==1，截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，V三棱锥所以V=4×3﹣1=11．故选：C6．若函数f（x）=，则fA．4B．5C．506D．507【考点】函数的值．【分析】由2010＞1，且2010=4×502+2，由分段函数得f=f（2）+502×1，再求出f（2），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f=f（2）+502×1=22+502=506．故选：C．7．执行如图所示的程序框图，若输入x的值为﹣5，则输出y的值是（）A．﹣1B．1C．2D．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当x=﹣5时，满足进行循环的条件，故x=8，当x=8时，满足进行循环的条件，故x=5，当x=5时，满足进行循环的条件，故x=2，当x=2时，不满足进行循环的条件，故y==﹣1，故选：A8．在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，则sin的值介于﹣与之间的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出sin的值介于﹣与之间对应线段的长度，交将其代入几何概型计算公式进行求解．【解答】解析：在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，要使sin 的值介于﹣与之间，需使﹣≤≤，即﹣≤x ≤1，其区间长度为，由几何概型公式知所求概率为=．故选D9．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列叙述正确的是（ ） A ．若α∥β，m ∥α，n ∥β，则m ∥n B ．若α⊥β，m ⊥α，n ∥β，则m ⊥nC ．若m ∥α，n ∥α，m ∥β，n ∥β，m ⊥n ，则α∥βD ．若m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ，则α⊥β【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】以常见几何体为模型，逐项分析判断各命题． 【解答】解：在长方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，（1）令平面ABCD 为平面α，平面A ′B ′C ′D ′为平面β，A ′B ′为直线m ，BC 为直线n ， 显然α∥β，m ∥α，n ∥β，但m 与n 不平行，故A 错误．（2）令平面ABCD 为平面α，平面ABB ′A ′为平面β，直线BB ′为直线m ，直线CC ′为直线n ，显然α⊥β，m ⊥α，n ∥β，m ∥n ．故B 错误．（3）令平面ABCD 为平面α，平面A ′B ′C ′D ′为平面β，直线BB ′为直线m ，直线B ′C ′为直线n ，显然m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ，但α∥β，故D 错误． 故选C ．10．为了得到函数的图象，只要将y=sinx （x ∈R ）的图象上所有的点（ ）A ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用左加右减的原则，直接推出平移后的函数解析式即可．【解答】解：将函数y=sinx的图象向左平移个单位后所得到的函数图象对应的解析式为：y=sin（x+），再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，所得到的函数图象对应的解析式为y=sin（2x+）．故选A．11．已知函数，其中a，b∈R．若对于任意的，不等式f（x）≤10在上恒成立，则b的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数恒成立问题．【分析】根据x+函数的性质可判断当a最小时，x越大函数值越大，当a越大时，x越小函数值越大，只需比较最大的即可．【解答】解：∵对于任意的，不等式f（x）≤10在上恒成立，∴当a=时，f（x）最大值为f（）=+b，当a=2时，f（x）最大值为f（）=+b，显然+b＞+b，∴+b≤10，∴b≤，故选A．12．已知函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）=2，当x∈（0，1]时，f（x）=x2，当x∈（﹣1，0]时，，若定义在（﹣1，3）上的函数g（x）=f（x）﹣t（x+1）有三个不同的零点，则实数t的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由g （x ）=f （x ）﹣t （x+1）=0得f （x ）=t （x+1），分别求出函数f （x ）的解析式以及两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由题可知函数在x ∈（﹣1，1]上的解析式为，又由f （x ）+f （2﹣x ）=2可知f （x ）的图象关于（1，1）点对称， 可将函数f （x ）在x ∈（﹣1，3）上的大致图象呈现如图：根据y=t （x+1）的几何意义，x 轴位置和图中直线位置为y=t （x+1）表示直线的临界位置，其中x ∈[1，2）时，f （x ）=﹣（x ﹣2）2+2，联立，并令△=0，可求得．因此直线的斜率t 的取值范围是．故选：D ．二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）.13．已知角a 的终边经过点P （5，﹣12），则sina+cosa 的值为．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】先由两点间的距离公式求出|0P|，再由任意角的三角函数的定义求出sina 和cosa 的值，最后代入求出式子的值．【解答】解：由角a 的终边经过点P （5，﹣12），得|0P|==13，∴sina=，cosa=，故sina+cosa=+=，故答案为：．14．如图，点A、B在函数的图象上，则直线AB的方程为x﹣y﹣2=0．【考点】直线的点斜式方程；正切函数的图象．【分析】根据图象求得A、B两点的坐标，再用点斜式求得方程．【解答】解：如图A（2，0），B（3，1）∴k=∴直线方程y﹣1=x﹣3即：x﹣y﹣2=015．若实数x，y满足x2+y2=1，则的最小值是．【考点】简单线性规划；直线的斜率．【分析】先根据约束条件画出圆：x2+y2=1，设z=，再利用z的几何意义求最值，只需求出过定点P（1，2）直线是圆的切线时，直线PQ的斜率最大，从而得到z值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=，将最小值转化为过定点P（1，2）的直线PQ的斜率最小，当直线PQ是圆的切线时，z最小，设直线PQ的方程为：y﹣2=k（x﹣1）即kx﹣y+2﹣k=0．则：，∴k=．∴最小值为：故答案为：．16．已知函数f（x）=（x∈R），给出下面四个命题：①函数f（x）的图象一定关于某条直线对称；②函数f（x）在R上是周期函数；③函数f（x）的最大值为；④对任意两个不相等的实数，都有成立．其中所有真命题的序号是①③．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用诱导公式化简函数解析式，由f（2﹣x）=f（x）说明①正确；函数f（x）的定义域是R，且其图象有对称轴，由函数解析式可以得出，其图象周期性穿过X轴，由于分母不断增大，图象往两边延伸都无限靠近于X轴，说明函数不是周期函数，②错误；由函数解析式抽象出函数图象的大致形状，说明③正确，④错误．【解答】解：f（x）==．∵f（2﹣x）=，∴函数f（x）的图象一定关于直线x=1对称，故①正确；当x→+∞时，2x+22﹣x→+∞，则f（x）→0，∴函数f（x）在R上不是周期函数，故②错误；由①知，函数f（x）关于直线x=1对称，且当x＞1时，随着x的增大，其图象大致形状如图：函数f（x）的最大值为，故③正确；由图可知，在x=1右侧附近，连接曲线上两点的斜率小于0，故④错误．∴所有真命题的序号是①③．故答案为：①③．三、解答题．（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17．已知在平行四边形ABCD中，E为DC边的中心，（1）若=，=，试用、表示（2）若，试用、表示．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】分别利用平面向量的平行四边形法则解答即可．【解答】解：（1）由已知，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中心，=，=，，所以；（2）因为在平行四边形ABCD中，E为DC边的中心，，所以，所以，，又=．18．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF⊥B1C；（2）求三棱锥E﹣FCB1的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）由已知在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点，可得B1C⊥AB，B1C⊥BC1，进一步得到B1C⊥平面ABC1D1，进而B1C⊥BD1，再由中位线定理即可得到EF⊥B1C；（2）由题意，可先证明出CF⊥平面BDD1B1，由此得出三棱锥的高，再求出底面△B1EF 的面积，然后由等积法把三棱锥E﹣FCB1的体积转化为C﹣B1EF的体积求解．【解答】（1）证明：∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，∴B1C⊥AB，B1C⊥BC1，又AB∩BC1=B∴B1C⊥平面ABC1D1，∴B1C⊥BD1，又∵E、F分别为DD1、DB的中点，∴EF∥BD1，∴EF⊥B1C；（2）∵CF⊥平面BDD1B1，∴CF⊥平面EFB1，由已知得CF=BF=，∵EF=BD1，，=，∴，即∠EFB1=90°，∴=•=．19．甲、乙两人玩数字游戏，先由甲任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为b，且a，b∈{1，2，3，4，5，6}，记ξ=|a﹣b|．（1）求ξ=1的概率；（2）若ξ≤1，则称“甲乙心有灵犀”，求“甲乙心有灵犀”的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）先求出基本事件总数，再由列举法求出ξ=1包含的基本事件个数，由此能求出ξ=1的概率．（2）利用列举法求出ξ≤1包含的基本事件个数，由此能求出“甲乙心有灵犀”的概率．【解答】解：（1）由甲任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为b，且a，b∈{1，2，3，4，5，6}，基本事件总数n=6×6=36，ξ=1包含的基本事件有：（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3），（4，5），（5，4），（5，6），（6，5），共10个，∴ξ=1的概率P（ξ=1）==．（2）ξ≤1包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共16个，∴“甲乙心有灵犀”的概率p==．20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）令g（x）=f（﹣x﹣），求g（x）的单调递增区间．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（1）由题意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用当x=时取得最大值2，求出φ，得到函数的解析式，即可．（2）先利用诱导公式得出y=﹣2sin（2x+）．再利用正弦函数的单调性列出不等式解出．【解答】解：（1）由题意可知A=2，T=4（﹣）=π，ω=2，当x=时取得最大值2，所以2=2sin（2x+φ），所以φ=，函数f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+）（2）g（x）=f（﹣x﹣）=2sin（﹣2x﹣）=﹣2sin（2x+），令+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z∴函数的单调增区间是[+kπ，+kπ]，k∈Z．21．设函数f（x）=sin（2ωx+）（其中ω＞0），且f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是．（1）求y=f（x）的最小正周期及对称轴；（2）若x∈，函数﹣af（x）+1的最小值为0．求a的值．【考点】正弦函数的图象；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）由题意，根据五点法作图求出ω的值，即可求函数y=f（x）的最小正周期；写出函数y=f（x）的解析式，即可求出它的对称轴；（2）求出函数f（x）在区间[﹣，]上的取值范围，再化简函数g（x），讨论a的取值，求出函数g（x）取最小值0时a的值．【解答】解：（1）由题意，根据五点法作图可得2ω•+=，求得ω=；所以函数y=f（x）=sin（x+）的最小正周期是T=2π；令x+=+kπ，k∈Z，解得x=+kπ，k∈Z，所以函数y=f（x）的对称轴是x=+kπ，k∈Z；（2）由（1）可得函数f（x）=sin（x+），在区间[﹣，]上，x+∈[0，]，所以f（x）=sin（x+）∈[﹣，1]；所以g（x）=sin2[（x+）+]﹣asin（x+）+1=1﹣sin2（x+）﹣asin（x+）+1=﹣+2+；当﹣≤﹣≤1时，﹣2≤a≤1，函数g（x）的最小值是g（x）min=2+=0，无解；当﹣＜﹣时，a＞1，函数g（x）的最小值是g（x）min=2﹣﹣a=0，解得a=；当﹣＞1时，a＜﹣2，函数g（x）的最小值是g（x）min=2﹣1﹣a=0，解得a=1（不合题意，舍去）；综上，函数g（x）取得最小值0时，a=．22．在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y ﹣5）2=4（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．【考点】直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程．【分析】（1）因为直线l过点A（4，0），故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆C1截得的弦长为2，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l 的方程．（2）与（1）相同，我们可以设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l1与l2的方程．【解答】解：（1）由于直线x=4与圆C1不相交；∴直线l的斜率存在，设l方程为：y=k（x﹣4）圆C1的圆心到直线l的距离为d，∵l被⊙C1截得的弦长为2∴d==1d=从而k （24k+7）=0即k=0或k=﹣∴直线l 的方程为：y=0或7x+24y ﹣28=0 （2）设点P （a ，b ）满足条件，由题意分析可得直线l 1、l 2的斜率均存在且不为0， 不妨设直线l 1的方程为y ﹣b=k （x ﹣a ），k ≠0则直线l 2方程为：y ﹣b=﹣（x ﹣a ）∵⊙C 1和⊙C 2的半径相等，及直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等， ∴⊙C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等即=整理得|1+3k+ak ﹣b|=|5k+4﹣a ﹣bk|∴1+3k+ak ﹣b=±（5k+4﹣a ﹣bk ）即（a+b ﹣2）k=b ﹣a+3或（a ﹣b+8）k=a+b ﹣5因k 的取值有无穷多个，所以或解得或这样的点只可能是点P 1（，﹣）或点P 2（﹣，）2016年7月20日。
江西省九江市高一下学期数学期末测试试卷
江西省九江市高一下学期数学期末测试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）直线x+ y+1=0的斜率、横截距分别是（）A . ，﹣B . ﹣，﹣1C . ﹣，﹣D . ，12. （2分） (2017高二上·钦州港月考) 有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸烟量和其身体健康情况；④正方形的边长和面积；⑤汽车的重量和百公里耗油量；其中两个变量成正相关的是（）A . ①③B . ②④C . ②⑤D . ④⑤3. （2分）某公司共有1000名员工，下设若干部门，现采用分层抽样方法，从全体员工中抽取一个样本容量为80的样本，已告知广告部门被抽取了 4个员工，则广告部门的员工人数为（）A . 30B . 40C . 50D . 604. （2分） (2020高一上·拉萨期末) 已知直线，，若，则实数的值为（）A . 8B . 2C .D . -25. （2分）(2020·银川模拟) 已知圆关于双曲线的一条渐近线对称，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高一下·彭州期中) △ABC中，角A，B，C所对边a，b，c，若a=3，C=120°，△ABC的面积S= ，则c=（）A . 5B . 6C .D . 77. （2分）已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象（）A . 向左平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向右平移个单位长度9. （2分） (2018高一下·西城期末) 已知，是异面直线，给出下列结论：①一定存在平面，使直线平面，直线平面；②一定存在平面，使直线平面，直线平面；③一定存在无数个平面，使直线与平面交于一个定点，且直线平面 .则所有正确结论的序号为（）A . ①②B . ②C . ②③D . ③10. （2分）已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB 的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是（）A .B . 2πC .D . 3π11. （2分）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A . 或B . 或C . 或D . 或12. （2分） (2017高二下·牡丹江期末) 若正实数满足，则的最小值是（）A . 12B . 6C . 16D . 8二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·湖南期末) 现在“微信抢红包”异常火爆．在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额9元，被随机分配为元，元，元，元，元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于5元的概率是________．14. （1分） (2016高二上·西湖期中) 已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是________．15. （1分）若动点P在直线l1：x﹣y﹣2=0上，动点Q在直线l2：x﹣y﹣6=0上，设线段PQ的中点为M（x1 ，y1），且（x1﹣2）2+（y1+2）2≤8，则x12+y12的取值范围是________16. （1分） (2016高一下·黔东南期末) 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=AA1 ， E，F分别为AC，CC1的中点，则直线EF与平面A1AB所成角的余弦值为________．三、解答题 (共6题；共70分)17. （15分）一条光线从点A(3,2)发出，经x轴反射后，通过点B(－1,6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．18. （10分） (2017高一上·孝感期末) 已知．（1）求sinx的值；（2）求的值．19. （15分） (2017高二上·宁城期末) 小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计．小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（图1）及相应的消耗能量数据表（表1）如下：健步走步数（前步）16171819消耗能量（卡路里）400440480520（Ⅰ）求小王这8天“健步走”步数的平均数；（Ⅱ）从步数为17千步，18千步，19千步的几天中任选2天，求小王这2天通过“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里的概率．20. （10分）(2018·全国Ⅰ卷理) 如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且 .（1）证明：平面平面 ;（2）求与平面所成角的正弦值.21. （10分）炼钢是一个氧化降碳的过程，由于钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，因此必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.现已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x与冶炼时间y（从炉料熔化完毕到出钢的时间）的一组数据，如下表所示：（1）据统计表明，之间具有线性相关关系，请用相关系数r加以说明（，则认为y与x 有较强的线性相关关系，否则认为没有较强的线性相关关系，r精确到0.001）；（2）建立y关于x的回归方程（回归系数的结果精确到0.01）；（3）根据（2）中的结论，预测钢水含碳量为160个0.01%的冶炼时间.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为，，相关系数参考数据：，.22. （10分） (2017高三上·孝感期末) 已知向量 =（sinx，﹣1）， =（ cosx，﹣），函数f （x）=（）• ﹣2．（1）求函数f（x）的最小正周期T；（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a=2 ，c=4，且f（A）=1，求A，b和△ABC的面积S．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共70分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。
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2015-2016学年江西省九江市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共16小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）函数y=2sin（4x+）+1的最小正周期是（）A．2πB．πC．D．2．（5分）[重点中学做]已知向量，是两个不共线的向量，若=4+与=﹣λ共线，则λ的值为（）A．﹣4 B．﹣ C．D．43．[普通中学做]已知向量=（1，k），=（2，3），若∥，则实数k的值为（）A．﹣ B．C．﹣ D．4．（5分）经调查统计，在某十字路中红亮起时排队等候的车辆数及相应概率如下：则该十字路口红灯亮起时至多有2辆车排队等候的概率是（）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.35．（5分）执行如图的程序后，输出的结果是（）A．1，3 B．4，1 C．0，0 D．4，﹣26．（5分）[重点中学做]已知tan（α﹣）=2，则tanα=（）A．B．3 C．﹣ D．﹣37．已知sinβ=，则cos（+β）的值为（）A．﹣B．C．D．﹣8．（5分）某学校决定从高一（1）班60名学生中利用随机数表法抽取10人进行调研，先将60名学生按01，02，…，60进行编号；如果从第8行第7列的数开始从左向右读，则抽取到的第4个人的编号为（）（下面摘取了第7行到第9行）84421753315724550688770474476721763350268392 63015316591692753862982150717512867358074439 1326 3321134278641607 8252074438150324 4299 7931．A．16 B．38 C．21 D．509．（5分）如图所示，在正方形ABCD中，E、F、G分别是边BC、CD、DA的中点，令x=•，y=•，z=•，则x，y，z的大小关系为（）A．x=y＞z B．x=z＞y C．y=z＞x D．x=y＜z10．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）A．0 B．C．1+D．1+11．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（2016）=（）A．﹣B．C．2 D．﹣212．（5分）若函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）在x=π处取最大值，则（）A．f（x﹣π）一定是奇函数B．f（x﹣π）一定是偶函数C．f（x+π）一定是奇函数D．f（x+π）一定是偶函数13．（5分）[重点中学做]定义：[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.5]=1，[﹣0.5]=﹣1，给出下列结论：①函数y=[sinx]是奇函数；②函数y=[sinx]是周期为π的周期函数；③函数y=[sinx]﹣cosx不存在零点；④函数y=[sinx]﹣[cosx]的值域为[﹣1，0，1]．其中正确结论是（）A．①③B．②④C．③④D．②③14．[普通中学做]定义：[x]表示不超过x的最大整数，例如：[1.5]=1，[﹣0.5]=﹣1．若f（x）=sin（x﹣[x]），则下列结论中正确的是（）A．y=f（x）的最小值为0，最大值为sin1B．y=f（x）无最小值，最大值为sin1C．y=f（x）的最小值为0，无最大值D．y=f（x）无最小值，无最大值15．（5分）[重点中学做]设H、P是△ABC所在平面上异于A、B、C的两点，用，，，分别表示向量，，，．已知•+•=•+•=•+•，||=1，||=，||=，则∠C=（）A． B．C．D．16．[普通中学做]设H、P是△ABC所在平面上异于A、B、C的两点，用，，，分别表示向量，，，．已知•+•=•+•=•+•，||=||=5，||=6，则||=（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）17．（5分）已知向量=（1，2），﹣=（0，x），⊥，则x=．18．（5分）由下面样本数据利用最小二乘法求出的线性回归方程是=﹣20x+a，则实数a=19．（5分）若有放回地从1，2，5，7中任取两数，则这两数的和为奇数的概率为．20．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在（，π）上单调递减，则ω的取值范围是．21．[普通中学做]若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在[，]上单调递增，则ω的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分60分）22．（12分）运行如图程序框图．（1）当输入x的值等于2π时，求输出y的值；（2）当输出y的值最大时，求输入x的值．23．（12分）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，它们的中位数相同，平均数也相同．（1）求m，n的值；（2）若从甲、乙两组数据中随机各抽取一个数据，求乙的数据大于甲的数据的概率．24．（12分）[重点中学做]如图所示，以Ox为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的横坐标为﹣．（1）求的值；（2）若•=，求sinβ的值．25．[普通中学做]如图所示，以Ox为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点Q的横坐标为．（1）求的值；（2）若•=，求cosα的值．26．（12分）某班n名学生的综合素质测评成绩（百分制）频率分布直方图如图所示，已知70～80分数段的学生人数为27人，90～95分数段的学生中女生为2人．（1）求a，n的值；（2）若从90～95分数段内的学生中随机抽取2人，求其中至少有一名女生的概率．27．（12分）如图所示，四边形ABCD中，AB=AD=2，△BCD为正三角形，设∠BAD=α（α∈（0，π））．（1）当α=时，求•的值；（2）[重点中学做]当α为多少时，△ABC的面积S最大？并求S的最大值．（3）[普通中学做]记△BCD的面积S=f（α），求函数g（α）=f（α）﹣2sinα的最小值．请考生在第29~31题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
（共3小题，满分10分）28．（10分）已知向量=（1，2），=（﹣1，2），=（5，2）．（1）求满足=m+n的实数m、n；（2）若（+k）⊥，求实数k的值．29．已知向量，是夹角为60°的两个单位向量，=，且．（1）求实数λ的值；（2）求向量的模||．30．已知向量与的夹角为30°，且||=2，||=．（1）求|﹣2|的值；（2）设向量=+2，=﹣2，求向量在方向上的投影．2015-2016学年江西省九江市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）函数y=2sin（4x+）+1的最小正周期是（）A．2πB．πC．D．【解答】解：函数y=2sin（4x+）+1的最小正周期是=，故选：C．2．（5分）[重点中学做]已知向量，是两个不共线的向量，若=4+与=﹣λ共线，则λ的值为（）A．﹣4 B．﹣ C．D．4【解答】解：由题意可得=，解得λ=﹣，故选：B．3．[普通中学做]已知向量=（1，k），=（2，3），若∥，则实数k的值为（）A．﹣ B．C．﹣ D．【解答】解：向量=（1，k），=（2，3），且∥，所以1×3﹣2k=0，解得k=．故选：B．4．（5分）经调查统计，在某十字路中红亮起时排队等候的车辆数及相应概率如下：则该十字路口红灯亮起时至多有2辆车排队等候的概率是（）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3【解答】解：由题意，该十字路口红灯亮起时至多有2辆车排队等候即排队等候的车辆数为0，1，2，所以P=1﹣（0.2+0.1）=0.7；故选：A．5．（5分）执行如图的程序后，输出的结果是（）A．1，3 B．4，1 C．0，0 D．4，﹣2【解答】解：模拟直线程序，可得a=1，b=3a=1+3=4，b=4﹣3=1，输出a，b的值分别为：4，1．故选：B．6．（5分）[重点中学做]已知tan（α﹣）=2，则tanα=（）A．B．3 C．﹣ D．﹣3【解答】解：∵已知tan（α﹣）=2，则tanα=tan[（α﹣）+]===﹣3，故选：D．7．已知sinβ=，则cos（+β）的值为（）A．﹣B．C．D．﹣【解答】解：∵sinβ=，∴cos（+β）=sinβ=．故选：C．8．（5分）某学校决定从高一（1）班60名学生中利用随机数表法抽取10人进行调研，先将60名学生按01，02，…，60进行编号；如果从第8行第7列的数开始从左向右读，则抽取到的第4个人的编号为（）（下面摘取了第7行到第9行）84421753315724550688770474476721763350268392 63015316591692753862982150717512867358074439 1326 3321134278641607 8252074438150324 4299 7931．A．16 B．38 C．21 D．50【解答】解：找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是16，第二个数59，第三个数38，第四个数21．∴第4个样本个体的编号是21，故选：C．9．（5分）如图所示，在正方形ABCD中，E、F、G分别是边BC、CD、DA的中点，令x=•，y=•，z=•，则x，y，z的大小关系为（）A．x=y＞z B．x=z＞y C．y=z＞x D．x=y＜z【解答】解：将正方形放入坐标系中，设正方形的边长为2，则A（0，0），C（2，2），E（2，1），F（1，2），G（0，1），则=（2，2），=（2，1），=（1，2），=（0，1），则x=•=2×2+2×1=4+2=6，y=•=2×1+2×2=2+4=6，z=•=2×0+2×1=2，故x=y＞z，故选：A．10．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）A．0 B．C．1+D．1+【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；n=1，s=0，执行循环体，s=0+sin=，n=2，不满足条件n≥2016？，执行循环体，s=sin+sin=，n=3不满足条件n≥2016？，执行循环体，s=sin+sin+=1+，n=4不满足条件n≥2016？，执行循环体，s=sin+sin+sin+sin=1+，n=5不满足条件n≥2016？，执行循环体，s=sin+sin+sin+sin+sin=，n=6不满足条件n≥2016？，执行循环体，s=sin+sin+sin+sin+sin+sin=，n=7不满足条件n≥2016？，执行循环体，s=sin+sin+sin+sin+sin+sin+sin=0，n=8不满足条件n≥2016？，执行循环体，s=sin+sin+sin+sin+sin+sin+sin+sin2π=0，n=9不满足条件n≥2016？，执行循环体，s=sin+sin+sin+sin+sin+sin+sin+sin2π+=，n=10…s的值是随n的变化而改变的，且周期为8，又2016=252×8，此时终止循环，所以输出的s值与n=7时相同，为s=0．故选：A．11．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（2016）=（）A．﹣B．C．2 D．﹣2【解答】解：∵由函数图象可得：A=2，=3﹣2，T=4，∴ω=，又∵点（2，2）在函数图象上，2=2sin（φ），∴φ=2kπ+，k∈Z，解得φ=2kπ﹣，k∈Z，∴f（x）=2sin（x+2kπ﹣）=﹣2cos x，∴f（2016）=﹣2cos1008π=﹣2．故选：D．12．（5分）若函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）在x=π处取最大值，则（）A．f（x﹣π）一定是奇函数B．f（x﹣π）一定是偶函数C．f（x+π）一定是奇函数D．f（x+π）一定是偶函数【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）在x=π处取最大值，∴sin（ωπ+φ）=1，ωπ+φ=2kπ+，即φ=2kπ+﹣ωπ，∴f（x）=sin（ωx+φ）=sin（ωx+2kπ+﹣ωπ ）=cosω（x ﹣π），故f（x﹣π）=cosω（x﹣π﹣π）=cos（ωx﹣2ωπ），它的奇偶性不确定，故排除A、B；∴而f（x+π）=cosω（x+π﹣π）=cosωx，一定是偶函数，故排除C，故选：D．13．（5分）[重点中学做]定义：[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.5]=1，[﹣0.5]=﹣1，给出下列结论：①函数y=[sinx]是奇函数；②函数y=[sinx]是周期为π的周期函数；③函数y=[sinx]﹣cosx不存在零点；④函数y=[sinx]﹣[cosx]的值域为[﹣1，0，1]．其中正确结论是（）A．①③B．②④C．③④D．②③【解答】解：函数y=[sinx]，x∈[0，2π]的图象如图所示，故①②错误，③正确；对于④，当x=0时，y=﹣1；当x∈（0，）时，y=0．当x∈[，π]时，y=1，当x∈（π，]时，y=0．当x∈[，2π）时，y=﹣1．故④正确．故选：C．14．[普通中学做]定义：[x]表示不超过x的最大整数，例如：[1.5]=1，[﹣0.5]=﹣1．若f（x）=sin（x﹣[x]），则下列结论中正确的是（）A．y=f（x）的最小值为0，最大值为sin1B．y=f（x）无最小值，最大值为sin1C．y=f（x）的最小值为0，无最大值D．y=f（x）无最小值，无最大值【解答】解：f（x+1）=sin（x+1﹣[x+1]）=sin（x+1﹣[x]﹣1）=sin（x﹣[x]）=f （x），故y=f（x）是周期函数，周期为1．由g（x）=x﹣[x]在[k，k+1）（k∈Z）上是单调递增的周期函数，且g（x）∈[0，1），故y=f（x）=sin（x﹣[x]）∈[0，sin1），即y=f（x）的最小值为0，无最大值，故选：C．15．（5分）[重点中学做]设H、P是△ABC所在平面上异于A、B、C的两点，用，，，分别表示向量，，，．已知•+•=•+•=•+•，||=1，||=，||=，则∠C=（）A． B．C．D．【解答】解：由题意知•+•=•+•，即•（﹣）+•（﹣）=0，即•=0．同理得•=0，故H是△ABC的垂心，设∠CAD=∠CBE=θ，则DH=sinθ，BD=cosθ，DC=tanθ（1+sinθ）=，∴BD+DC=cosθ+=，整理得cosθ﹣sinθ=，即cos（θ+）=，则θ+=，即θ=，则C=，故选：A．16．[普通中学做]设H、P是△ABC所在平面上异于A、B、C的两点，用，，，分别表示向量，，，．已知•+•=•+•=•+•，||=||=5，||=6，则||=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知•+•=•+•，即•（﹣）+•（﹣）=0，即•=0．同理得•=0，故H是△ABC的垂心，如图所示，在Rt△CAD中，tan∠CAD=，∵∠CAD=∠CBE，∴=，即DH=，∴AH=4﹣=，故选：A．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）17．（5分）已知向量=（1，2），﹣=（0，x），⊥，则x=．【解答】解：∵向量=（1，2），﹣=（0，x），∴向量=﹣（0，x）=（1，2）﹣（0，x）=（1，2﹣x），∵⊥，∴•=0，即1×1+2×（2﹣x）=0，得x=，故答案为：．18．（5分）由下面样本数据利用最小二乘法求出的线性回归方程是=﹣20x+a，则实数a=250【解答】解：由题意，=8.5，=80．∴样本中心坐标（8.5，80），回归直线经过样本中心，可得80=﹣20×8.5+a，解得a=250．故答案为：250．19．（5分）若有放回地从1，2，5，7中任取两数，则这两数的和为奇数的概率为．【解答】解：基本事件为：（1，1），（1，2），（1，5），（1，7），（2，1），（2，2），（2，5），（2，7），（5，1），（5，2），（5，5），（5，7），（7，1），（7，2），（7，5），（7，7），共16个，两数的和为奇数为：（1，2），（（2，1），（2，5），（2，7），（5，2），（7，2），共6个，∴P（两数的和为奇数）==，故答案为：．20．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在（，π）上单调递减，则ω的取值范围是[，] ．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在（，π）上单调递减，则ω•+≥+2kπ，且ω•π+≤+2kπ，k∈Z，求得4k+≤ω≤+2k，取k=0，可得ω的取值范围为[，]，故答案为：[，]．21．[普通中学做]若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在[，]上单调递增，则ω的取值范围是（0，1] ．【解答】解：∵函数f（x）=sinωx（ω＞0）在[，]上单调递增，∴ω•≥2kπ﹣，且ω•≤2kπ+，k∈Z，求得ω≥12k﹣6，且ω≤4k+1，令k=0，可得ω的取值范围为（0，1]，故答案为：（0，1]．三、解答题（共6小题，满分60分）22．（12分）运行如图程序框图．（1）当输入x的值等于2π时，求输出y的值；（2）当输出y的值最大时，求输入x的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵y=，…3分当x=2π时，y=﹣（2π）2+π×2π=﹣2π2…6分（2）函数y=f（x）在（﹣∞，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减， (9)分∴输出的y的值最大是1，此时输入x=…12分23．（12分）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，它们的中位数相同，平均数也相同．（1）求m，n的值；（2）若从甲、乙两组数据中随机各抽取一个数据，求乙的数据大于甲的数据的概率．【解答】解：（1）根据茎叶图，得乙的中位数是12，∴甲的中位数也是12，即m=2甲平均数是（2+12+19）=11，乙平均数是：（n+11+13+17）=11，∴n=3．（2）从甲、乙两组数据中随机各抽取一个数据，可能情况共有3×4=12种．当乙取3，11时，甲取2，当乙取13，17时，甲取2，12，故满足乙的数据大于甲的数据共有6种情况，∴乙的数据大于甲的数据的概率为=．24．（12分）[重点中学做]如图所示，以Ox为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的横坐标为﹣．（1）求的值；（2）若•=，求sinβ的值．【解答】解：（1）由题意可得cosα=﹣，sinα=，tanα==﹣，∴===﹣．（2）若•=|OP|•|OQ|•cos（α﹣β）=cos（α﹣β）=，即cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）==．∴sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]=sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=﹣（﹣）•=．25．[普通中学做]如图所示，以Ox为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点Q的横坐标为．（1）求的值；（2）若•=，求cosα的值．【解答】解：（1）由三角函数定义可得cosβ=，sinβ=，则tanβ=．∴====．（2）∵•=，∴=，∴cos（α﹣β）=，∴，cosα=cos（）=cosβcos﹣sinβsin==．26．（12分）某班n名学生的综合素质测评成绩（百分制）频率分布直方图如图所示，已知70～80分数段的学生人数为27人，90～95分数段的学生中女生为2人．（1）求a，n的值；（2）若从90～95分数段内的学生中随机抽取2人，求其中至少有一名女生的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：（a+a+2a+3a+4a+4a+5a）×5=1，解得：a=0.01，由已知得（4a+5a）×5=，解得：n=60；（2）90～95分数段内的学生数是2a×5×60=6，则男生4人，记为：a，b，c，d，女生2人，记为：e，f，若从90～95分数段内的学生中随机抽取2人，共有ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15种情形，其中满足至少有一名女生共有：ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，ef，共9种情形，∴其中至少有一名女生的概率是p==．27．（12分）如图所示，四边形ABCD中，AB=AD=2，△BCD为正三角形，设∠BAD=α（α∈（0，π））．（1）当α=时，求•的值；（2）[重点中学做]当α为多少时，△ABC的面积S最大？并求S的最大值．（3）[普通中学做]记△BCD的面积S=f（α），求函数g（α）=f（α）﹣2sinα的最小值．【解答】解：（1）设AC∩BD=0，则O是BD的中点，且AC⊥BD，当α=时，AO=，OC=，则•=•（﹣）=2﹣•=（）2﹣（）•=2+6．（2）由题意得BC=BD=4sin，则S=AB•BCsin∠ABC=sin•sin（+）=4sin•sin（+）=4sin•（sin cos+cos sin）=4sin•（cos+sin）=2sin cos+2sin2=sinα+（1﹣cosα）=2sin（α﹣）+，∵0＜α＜π，∴﹣＜α﹣＜，∴当α﹣=，即α=时，S取得最大值，此时S=2+．（3）由题意得BC=BD=4sin，S=f（α）=（4sin）2=4•=﹣2cosα+2，则g（α）=﹣2cosα+2﹣2sinα=﹣4sin（α+）+2，∵0＜α＜π，∴＜α+＜，∴当α+=，即α=时，g（α）取得最小值，故g（α）=f（α）﹣2sinα的最小值为g（）=2﹣4．请考生在第29~31题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。