§8-3__全微分及其应用 - 副本

8.3全微分及其应用

在求一元函数)(x f y =的增量y ∆时，可以用微分dx x f dy )('=来近似表示.当x ∆很小时，用微分dy 作为y ∆的近似值，所产生的误差为x ∆的高阶无穷小.将此方法推广到二元函数上，建立和微分概念类似的全微分概念.

8.3.1 全微分的定义

1.全微分的概念

一般地，设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某邻域内有定义，分别给自变量x ,y 以改变量x ∆，y ∆,则称),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆为函数z 在点0P 处相对于自变

量的改变量y x ∆∆,的全增量．

定义.设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某邻域内有定义，如果z 在点0P 处相对于自变量的改变量x ∆、y ∆的全增量),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆能表示成

)(ρo y B x A +∆+∆，其中B A ,是与y x ∆∆,无关的数，22)()(y x ∆+∆=ρ，)(ρo 为ρ的高阶无穷小，则称函数),(y x f z =在点),(000y x P 处可微，且称y B x A ∆+∆为z 在点0P 处的全微分，记作)(0P dz 或)(0P df 或),(00y x df ，即

y y x B x y x A y x df ∆+∆=),(),(),(000000.

可以证明：

定理8.3.1若),(y x f z =在点),(000y x P 可微，则二元函数),(y x f z =的两个偏导数0|P z

x ∂∂和0|P z y ∂∂一定存在，且有0|P z A x ∂=∂和0|P z B y ∂=∂. 所以，y y

z x x z dz P P P ∆∂∂+∆∂∂=000|||. 定理8.3.2若二元函数),(y x f z =的两个偏导数

z x ∂∂和z y

∂∂在点),(000y x P 存在且连续，则 ),(y x f z =在点),(000y x P 一定可微. 现将二元函数),(y x f z =在点),(000y x P 处的微分推广到任一点),(y x P 处的微分，有y y

z x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=.习惯上y x ∆∆,分别记作dx 和dy ，于是二元函数的全微分又可记为 dy y

z dx x z dz ∂∂+∂∂=. 二元函数全微分的概念可以推广到三元和三元以上的函数。例如，如果三元函数),,(z y x f u =的三个偏导数都连续，则dz z u dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=

. 例8.3.1求函数)ln(22y x z +=的全微分. 解：2222221y x x x y x x z +=⋅+=∂∂，2

222221y x y y y x y z +=⋅+=∂∂.

)ln(22y x z +=的定义域为022≠+y x ，在定义域内y

z x z ∂∂∂∂,都是连续函数，因此dz 存在，且有dy y

x y dx y x x dz 222222+++=. 例8.3.2求函数x ye z xy sin =在)0,2(

πP 处当0.2x ∆=、0.1y ∆=时的全微分. 解：2sin cos xy xy z y e x ye x x ∂=+∂，sin sin xy xy z e x yxe x y

∂=+∂， 200x y z

x

π==∂=∂，20

1x y z y π==∂∂=， 所以 y y

z x x z dz P P P ∆∂∂+∆∂∂=|||1.01.012.00=⨯+⨯=. 8.3.2 全微分在近似计算中的应用

设函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微，则函数的全增量与全微分之差是比ρ高阶的无穷小，所以当||x ∆和||y ∆都很小时，全增量可以近似地用全微分代替，即

y y x f x y x f dz z y x ∆+∆=≈∆),(),(0000

y y x f x y x f y x f y y x x f y x ∆+∆+≈∆+∆+),(),(),(),(00000000

例8.3.3有一正圆锥体，其底面半径r 由60cm 增大到60.1cm ，高h 由90cm 减小到89.5cm ，求体积V 改变量的近似值．

解:圆锥体体积公式为h r h r V V 231),(π== ,23

1,32r h V rh r V ππ=∂∂=∂∂. 记 600=r ，900=h ，1.0=∆r ，5.0-=∆h ππ36009060329060=⨯⨯=∂∂==h r r V ,ππ1200603

129060=⨯=∂∂==h r h

V ， )(240)5.0(12001.036003cm dV V πππ-=-⨯+⨯=≈∆. 即此圆锥体的体积约减少了2403cm ．

例8.3.4求01.298.0的近似值．

解:设y x y x f z ==),(，取01.0,2,02.0,100=∆=-=∆=y y x x

)01.02,02.01()01.2,98.0(+-=f f

01.0)2,1()02.0()2,1()2,1(⋅+-⋅+≈y x f f f

x x y x f yx y x f f y y y x ln ),(,),(,1)2,1(1===-

0)2,1(,2)2,1(==y x f f

因此，03.298

.096.001.00)02.0(21=⨯+-⨯+≈.

习题8-3

1. 求函数22y x z =在点)1,2(-处当01.0,0

2.0-=∆=∆y x 时的全增量及全微分．

2. 求下列函数的全微分

(1) )ln(222z y x u ++=；(2) )sin(22y x e

z xy ++=； (3)y x z =（1,0≠>x x ）；(4)2y x z +=.

3．求下列近似值

（1）03.202.1；（2）303.2702.9⨯.

4.设有一无盖的圆柱形容器，其侧壁和底的厚度都是cm 1.0，内径为cm 6，深为cm 10，求此容器外壳体积的近似值.