近三年高考数学用导数求函数的单调性

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【2021新高考数学】利用导数求函数的单调性、极值、最值

当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接
【举一反三】
1．函数 y＝4x2＋1的单调增区间为________． x
1，＋∞ 【答案】 2
【解析】
由
y＝4x2＋1，得 x
y′＝8x－x12(x≠0)，令
y′>0，即
8x－x12>0，解得
x>1， 2
∴函数
y＝4x2＋1的单调增区间为
2
.
2
2
当 x (, 2 ) 时，函数为增函数；当 x ( 2 , ) 时，函数也为增函数.
2
2
令 f (x) 6x2 3 0 ，解得 2 x 2 .当 x ( 2 , 2 ) 时，函数为减函数.
2
2
22
故函数 f (x) 2x3 3x 的单调递增区间为 (, 2 ) 和 ( 2 , ) ，单调递减区间为 ( 2 , 2 ) .
当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接
【举一反三】 1．函数 y＝4x2＋1的单调增区间为________．
x 2．函数 f(x)＝x·ex－ex＋1 的单调增区间是________． 3．已知函数 f(x)＝xln x，则 f(x)的单调减区间是________． 4．已知定义在区间(－π，π)上的函数 f(x)＝xsin x＋cos x，则 f(x)的单调增区间是_______．
2x 2 (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的极值．
第十四讲利用导数求函数的单调性、极值、最值
【套路秘籍】
一．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)>0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果 f′(x)<0，那么函数 y＝f(x) 在这个区间内单调递减．二．函数的极值 (1)一般地，求函数 y＝f(x)的极值的方法解方程 f′(x)＝0，当 f′(x0)＝0 时：

专题12 利用导数解决函数的单调性-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】(原卷版)

专题12 导数与函数的单调性问题【高考地位】在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用. 导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.类型一求无参函数的单调区间万能模板内容使用场景知函数()f x 的解析式判断函数的单调性解题模板第一步计算函数()f x 的定义域；第二步求出函数()f x 的导函数'()f x ；第三步若'()0f x >，则()f x 为增函数；若'()0f x <，则()f x 为减函数.例1 【河北省衡水市枣强中学2020届高三下学期3月调研】已知函数()ln xx af x e+=. （1）当1a =时，判断()f x 的单调性；【变式演练1】函数，的单调递增区间为__________．【来源】福建省三明第一中学2021届高三5月校模拟考数学试题【变式演练2】已知函数，则不等式的解集为___________.【来源】全国卷地区“超级全能生”2021届高三5月联考数学（文）试题（丙卷）【变式演练3】【黑龙江省哈尔滨六中2020届高三高考数学（文科）二模】已知函数()2sin f x x x =-+，若3(3)a f =，(2)b f =--，2(log 7)c f =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【变式演练4】【湖南省湘潭市2020届高三下学期第四次模拟考试】定义在R 上的连续函数()f x ，导函数为()f x '．若对任意不等于1-的实数x ，均有()()()10x f x f x '+->⎡⎤⎣⎦成立，且()()211x f x f x e -+=--，则下列命题中一定成立的是（）A ．()()10f f ->B ．()()21ef f -<-C ．()()220e f f -<D ．()()220e f f ->类型二判定含参数的函数的单调性万能模板内容使用场景函数()f x 的解析式中含有参数解题模板第一步计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步讨论参数的取值范围，何时使得导函数'()f x 按照给定的区间大于0或小于0；第三步根据导函数的符号变换判断其单调区间.例2 【黑龙江省大庆市第四中学2020届高三下学期第四次检测】已知函数()()2ln 21f x x x ax a R =+-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；【变式演练5】（主导函数是一次型函数）【福建省三明市2020届高三（6月份）高考数学（文科）模拟】已知函数()=1,f x nx ax a R -∈.（1）讨论函数f x （）的单调性；()2sin sin 2f x x x =⋅0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()2ln 1x xf x x e e -=+++()()2210f x f x --+≤【变式演练6】（主导函数为类一次型）【山东省威海荣成市2020届高三上学期期中考试】已知函数()x f x e ax -=+.（I ）讨论()f x 的单调性；【变式演练7】（主导函数为二次型）【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()2ln af x x a x x=--，0a ≥. （1）讨论()f x 的单调性；【变式演练8】（主导函数是类二次型）【山西省太原五中2020届高三高考数学（理科）二模】已知函数2()(1)x f x k x e x =--，其中k ∈R.（1）当k 2≤时，求函数()f x 的单调区间；【变式演练9】已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（文）试题类型三由函数单调性求参数取值范围万能模板内容使用场景由函数单调性求参数取值范围解题模板第一步计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步根据题意转化为相应的恒成立问题；第三步得出结论.例3．【江苏省南通市2019-2020学年高三下学期期末】若()()21ln 242f x x b x =-++在()2,-+∞上是减函数，则实数b 的范围是（） A ．(],1-∞-B ．(],0-∞C ．(]1,0-D ．[)1,-+∞【变式演练11】（转化为任意型恒成立）【四川省绵阳市2020高三高考数学（文科）三诊】函数2()(2)x f x e x ax b =-++在(1,1)-上单调递增，则2816a b ++的最小值为（）A ．4B ．16C ．20D ．18()22ln f x x x =-()f x ()2,1m m +m 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭[)0,1【变式演练12】（转化为变号零点）【山西省运城市2019-2020学年高三期末】已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（） A ．[)2,8B ．[]2,8C ．(][),28,-∞+∞ D ．()2,8【变式演练13】（直接给给定单调区间）【辽宁省六校协作体2019-2020学年高三下学期期中考试】已知函数()32113f x x mx nx =+++的单调递减区间是()3,1-，则m n +的值为（） A ．-4B ．-2C ．2D ．4【变式演练14】（转化为存在型恒成立）【四川省仁寿第一中学北校区2019-2020学年高三月考】若f （x ）321132x x =-++2ax 在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a 的取值范围是( )A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，0）C ．[0，+∞）D ．（0，+∞）【高考再现】1．（2021·全国高考真题（理））设2ln1.01a =，ln1.02b =， 1.041c =-．则（） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<2．（2021·全国高考真题（理））已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a 的取值范围． 3．已知函数. （1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【来源】2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题 4.【2017山东文，10】若函数()e xf x (e=2.71828,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是A . ()2xf x -= B. ()2f x x = C. ()3xf x -= D. ()cos f x x =5.【2017江苏，11】已知函数31()2e ex x f x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,0a >1a ≠()(0)a x x f x x a=>2a =()f x ()y f x =1y =()()1ln f x x x =-()f x a b ln ln b a a b a b -=-112e a b<+<则实数a 的取值范围是 ▲ .6．【2020年高考全国Ⅰ卷文数20】已知函数()()e 2xf x a x =-+．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数21】已知函数()2e xf x ax x =+-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围． 8．【2020年高考全国Ⅱ卷文数21】已知函数()2ln 1f x x =+．（1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围；（2）设0a >，讨论函数()()()f x f a g x x a-=-的单调性．9.（2018年新课标I 卷文）已知函数f (x )=ae x −lnx −1∈ （1）设x =2是f (x )的极值点．求a ，并求f (x )的单调区间；（2）证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0∈10.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）】已知函数f(x)=1x −x +alnx ∈ （1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在两个极值点x 1,x 2，证明：f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<a −2．【反馈练习】1．【2020届广东省梅州市高三总复习质检（5月）】已知0x >，a x =，22xb x =-，()ln 1c x =+，则（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<2.【2020届山东省威海市高三下学期质量检测】若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为( )A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭3.【河南省十所名校2019—2020学年高三毕业班阶段性测试】若函数()sin24sin f x x x m x =--在[0,2π]上单调递减，则实数m 的取值范围为（） A ．(2,2)-B ．[2,2]-C ．(1,1)-D ．[1,1]-4.【黑龙江哈尔滨市第九中学2019-2020学年高三阶段验收】函数()3f x x ax =+，若对任意两个不等的实数()1212,x x x x >，都有()()121233f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．()2,-+∞B ．[)3,+∞C ．(],2-∞-D ．(),3-∞5.【湖北省武汉市新高考五校联合体2019-2020学年高三期中检测】若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______. 6.【四川省宜宾市2020届高三调研】若对(]0,1t ∀∈，函数2()(4)2ln g x x a x a x =-++在(,2)t 内总不是单调函数，则实数a 的取值范围是______7.【河南省南阳市第一中学校2019-2020学年高三月考】若函数()22ln f x x x =-在定义域内的一个子区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围______.8．若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．【来源】陕西省宝鸡市眉县2021届高三下学期高考模拟文科数学试题 9．已知函数，若对任意两个不同的，，都有成立，则实数的取值范围是________________【来源】江西省景德镇市2021届高三上学期期末数学（理）试题10．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期开学考试】（1）求函数()sin cos (02)f x x x x x π=+<<的单调递增区间；()cos 2sin f x x a x =+,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭a ()()1ln 1xf x x x+=>1x 2x ()()1212ln ln f x f x k x x -≤-k（2）已知函数2()ln 43f x a x x x =-++在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数a 的范围.11.【黑龙江省哈尔滨三中2020届高三高考数学（文科）三模】函数()()21ln 1x f x x x -=-+. （1）求证：函数()f x 在()0,∞+上单调递增；（2）若m ，n 为两个不等的正数，求证ln ln 2m n m n m n->-+. 12．【湖北省黄冈中学2020届高三下学期适应性考试】已知函数()()ln 1ln f x ax x a x =-+，()f x 的导数为()f x '.（1）当1a >-时，讨论()f x '的单调性；（2）设0a >，方程()3f x x e =-有两个不同的零点()1212,x x x x <，求证121x e x e+>+. 13.【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】已知函数()()()ln 12f x a x x a =+-∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()1xf x e ≥-，求实数a 的取值范围．14．【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()xf x ae ex =-，()()ln 1xg x x b x e =--，其中,a b ∈R .（1）讨论()f x 在区间()0,∞+上的单调性；（2）当1a =时，()()0f x g x ≤，求b 的值.15．【河南省2020届高三（6月份）高考数学（文科）质检】已知函数2()22ln ()f x x ax x a R =-+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点()1221,x x x x >，求证：()()()2121(2)f x f x a x x -<--. 16.【山东省2020年普通高等学校招生统一考试数学必刷卷】已知实数0a >，函数()22ln f x a x a x x=++，()0,10x ∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x =是函数()f x 的极值点，曲线()y f x =在点()()11,P x f x ，()()22,Q x f x ()12xx <处的切线分别为12,l l ，且12,l l 在y 轴上的截距分别为12,b b ．若12//l l ，求12b b -的取值范围．17.【福建省2020届高三（6月份）高考数学（理科）模拟】已知函数()()()2ln 222f x x a x x =++++，0a >.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求证：函数()f x 有唯一的零点.18．【山东省潍坊市五县2020届高三高考热身训练考前押题】已知函数()f x 满足222(1)()2(0)2x f f x x f x e -'=+-，21()(1)24x g x f x a x a ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，x ∈R ．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()g x 的单调区间；（3）当2a ≥且1≥x 时，求证：1ln ln x e x e a x x--<+-．19．【陕西省商洛市商丹高新学校2020届高三下学期考前适应性训练】已知函数3()ln ()f x x a x a R =-∈.∈1）讨论函数()f x 的单调性∈∈2）若函数()y f x =在区间(1,]e 上存在两个不同零点∈求实数a 的取值范围.20．【2020年普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试】已知函数()()22xxf x ax a e e =-++.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()()()2212x x g x f x ax x a e e =-++-存在3个零点，求实数a 的取值范围. 21．【金科大联考2020届高三5月质量检测】已知函数()()()()()22224ln 2144f x x ax x a x a a x a =--+++∈R ．（∈）讨论函数()f x 的单调性；（∈）若0a ≤，证明：函数()f x 在区间)1,a e -⎡+∞⎣有且仅有一个零点．22．已知函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）求证：对任意的，只有一个零点.【来源】全国Ⅱ卷2021届高三高考数学（理）仿真模拟试题 23．已知函数. （1）当时，判断的单调性；（2）若有两个极值点，求实数的取值范围.【来源】安徽省合肥六中2021届高三6月份高考数学（文）模拟试题 24．已知函数. （1）求的单调性；（2）设函数，讨论的零点个数. 【来源】重庆市高考康德卷2021届高三模拟调研卷数学试题（三） 25．已知函数，（1）讨论的单调性；（2）若，，，用表示，的最小值，记函数，，讨论函数的零点个数．【来源】山东省泰安肥城市2021届高三高考适应性训练数学试题（二） 26．已知（）（1）讨论的单调性；（2）当时，若在上恒成立，证明：的最小值为. 【来源】贵州省瓮安中学高三2021届6月关门考试数学（理）试题27．已知函数.（1）讨论的单调性；()321()13f x x a x x =--+2a ＝-()f x a ∈R ()f x ()21ln 2f x x ax x ax =-+1a =()f x ()f x a ()()cos sin ,0,2f x x x x x π=-∈()f x ()()(01)g x f x ax a =-<<()g x ()ln()xf x x a x a=+-+a R ∈()f x 4a =()1cos (2sin )2g x x x mx x =++0m >}{min ,m n m n }{()min ()()h x f x g x =，[],x ππ∈-()h x ()ln f x x ax =+a R ∈()f x 1a =()()1f x k x b ≤++()0,∞+221k b k +--1e -+2()2ln ,()f x x ax x a R =+++∈()f x（2）若恒成立，求的最大值.【来源】广东省佛山市五校联盟2021届高三5月数学模拟考试试题 28．已知函数．（1）若，证明：在单调递增；（2）若恒成立，求实数的取值范围．【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三五模数学（理）试题 29．已知函数．（1）若在上为增函数，求实数a 的取值范围；（2）设，若存在两条相互垂直的切线，求函数在区间上的最小值．【来源】四川省达州市2021 届高三二模数学（文）试题 30．已知函数. （1）如果函数在上单调递减，求的取值范围；（2）当时，讨论函数零点的个数.【来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试数学（文）试题 31．已知函数．（1）若在R 上是减函数，求m 的取值范围；（2）如果有一个极小值点和一个极大值点，求证有三个零点．【来源】安徽省淮南市2021届高三下学期一模理科数学试题32．已知函数．（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；（2）当时，证明：函数有且仅有3个零点．【来源】重庆市第二十九中学校2021届高三下学期开学测试数学试题()xf x e ≤a ()ln x f x xe ax a x =--0a ≤()f x ()0,∞+()0f x ≥a 21()cos 2f x x ax x =++()f x [0,)+∞21()()2g x f x x =-()g x sin ()1()x g x F x x -+=,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1()ln(1)1f x a x x =-+-()()22g x f x x =-+(1,)+∞a 0a >()y f x =21()e 1()2x f x x mx m =+-+∈R ()f x ()f x 1x 2x ()f x ()e sin 1xf x ax x =-+-()f x ()0,∞+a 12a ≤<()()()2g x x f x =-11/ 11。

高考数学导数与函数的单调性

D
[解析] f(x)=,f'(x)=,由f'(x)<0得x<0且x≠-1,所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(-1,0).故选D.
课堂考点探究
(2)在下列区间中,函数y=xcos x-sin x单调递增的是( )A. B. C.(π,2π) D.(0,π)
C
[解析] ∵y=xcos x-sin x,∴y'=cos x-xsin x-cos x=-xsin x.对于A,当x∈时,sin x >0,y'<0,函数单调递减,故A不符合题意;对于B,当x∈时,sin x<0,y'<0,函数单调递减,故B不符合题意;对于C,当x∈(π,2π)时,sin x<0,y'>0,函数单调递增,故C符合题意;对于D,当x∈(0,π)时,sin x>0,y'<0,函数单调递减,故D不符合题意.故选C.
(2)[2021·河北秦皇岛二模] 已知函数f(x)=ln x-x2+2ax+1,x∈(0,+∞),求函数f(x)的单调区间.
[总结反思](1)利用导数讨论函数单调性的关键是确定导数的符号.对于含有参数的导数符号判定问题,应就参数的范围讨论导数大于(或小于)零的不等式的解.(2)所有求解和讨论都必须在函数的定义域内,不要超出定义域的范围.
A
[总结反思]确定函数f(x)单调区间的步骤:(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求f'(x).(3)解不等式f'(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;解不等式f'(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.
课堂考点探究
课堂考点探究
变式题 (1)函数f(x)=的单调递减区间为( )A.(-∞,0) B.(0,+∞),(-1,0) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(-∞,-1),(-1,0)

高考复习-利用导数研究函数的单调性及极值和最值

利用导数研究函数的单调性及极值和最值知识集结知识元利用导数研究函数的单调性问题知识讲解1．利用导数研究函数的单调性【知识点的知识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【典型例题分析】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．解：（Ⅰ）（2分）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．例题精讲利用导数研究函数的单调性问题例1.函数f（x）=e x-3x+2的单调减区间为__________．例2.若函数y=-x3+ax在[1，+∞）上是单调函数，则a的最大值是___．例3.函数f（x）=sin x-x，x∈（0，）的单调递增区间是_______．利用导数研究函数的极值与最值问题知识讲解1．利用导数研究函数的极值【知识点的知识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f （x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f （x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．2、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．4、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f （x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．2．利用导数研究函数的最值【利用导数求函数的最大值与最小值】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f （x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．例题精讲利用导数研究函数的极值与最值问题例1.函数y=lnx-e x在[1，e]最大值为（）A．1-e e B．C．-eD．例2.己知定义域为（1，+∞）的函数f（x）=e x+a-ax，若f（x）>0恒成立，则正实数a的取值范围为（）A．（0，e2]B．（0，e2）C．[1，e2]D．（1，e2）例3.函数f（x）=x2-lnx的最小值为（）A．1+ln2B．1-ln2C．D．当堂练习单选题练习1.定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且，若存在实数x使不等式f（x）≤m2-am-3对于a∈[0，2]恒成立，则实数m的取值范围为（）A．（-∞，-2]∪[2，+∞）B．C．D．练习2.若函数f（x）与g（x）满足：存在实数t，使得f（t）=g'（t），则称函数g（x）为f（x）的“友导”函数．已知函数为函数f（x）=x2lnx+x的“友导”函数，则k的取值范围是（）A．（-∞，1）B．（-∞，2]C．（1，+∞）D．[2，+∞）练习3.函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，若xf'（x）+f（x）=e x（x-2）且f（3）=0，则不等式f（x）<0的解集为（）A．（0，2）B．（0，3）C．（2，3）D．（3，+∞）练习4.已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f′（x），f（x）>0且f（e）=1，若xf′（x）lnx+f（x）>0对任意x∈（0，+∞）恒成立，则不等式<lnx的解集为（）A．{x|0<x<1}B．{x|x>1}C．{x|x>e}D．{x|0<x<e}练习5.已知函数f（x）=x3-x2+ax-a存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，x1+2x0=（）A．3B．2C．1D．0练习6.若函数f（x）=e x+axlnx（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（-∞，-e）B．（-∞，-2e）C．（e，+∞）D．（2e，+∞）填空题练习1.已知函数f（x）=，若∃，使得f（f（x0））=x0，则m的取值范围是_________练习2.设函数f（x）=e x（2x-1）-2ax+2a，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）<0，则a的取值范围是_______．练习3.已知函数，若当x1，x2∈[1，3]时，都有f（x1）<2f（x2），则a的取值范围为______________．练习4.若函数f（x）=e-x（x2+ax-a）在R上单调递减，则实数a的值为____．练习5.已知函数，g（x）=|x-t|，t∈（0，+∞）．若h（x）=min{f（x），g （x）}在[-1，3]上的最大值为2，则t的值为___．练习6.已知函数f（x）=x3-ax2在（-1，1）上没有最小值，则a的取值范围是_________．解答题练习1.'已知函数f（x）=e x-a（x+1），其中a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若a>0时，函数f（x）恰有一个零点，求实数a的值．（3）已知数列{a n}满足a n=，其前n项和为S n，求证S n>ln（n+1）（其中n∈N）．'练习2.'已知函数f（x）=（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数f（x）图象的不同两点，其中0<x1<1，x2>1，是否存在实数a，使得OP⊥OQ，且函数f（x）在点Q切线的斜率为f′（x1-），若存在，请求出a的范围；若不存在，请说明理由．'练习3.'已知函数f（x）=x2+ax-alnx（1）若函数f（x）在上递减，在上递增，求实数a的值．（2）若函数f（x）在定义域上不单调，求实数a的取值范围．（3）若方程x-lnx-m=0有两个不等实数根x1，x2，求实数m的取值范围，并证明x1x2<1．'练习4.'已知函数f（x）=xlnx-x2-ax+1，a>0，函数g（x）=f′（x）．（1）若a=ln2，求g（x）的最大值；（2）证明：f（x）有且仅有一个零点．'练习5.'已知函数f（x）=e x-ax-b．（其中e为自然对数的底数）（Ⅰ）若f（x）≥0恒成立，求ab的最大值；（Ⅱ）设g（x）=lnx+1，若F（x）=g（x）-f（x）存在唯一的零点，且对满足条件的a，b不等式m（a-e+1）≥b恒成立，求实数m的取值集合．'。

利用导数研究函数单调性5种常见题型总结(原卷版)

第10讲利用导数研究函数单调性5种常见题型总结【考点分析】考点一：利用导数判断函数单调性的方法 ①求函数的定义域（常见的0,ln >x x ）；①求函数的导数，如果是分式尽量通分，能分解因式要分解因式；①令()0='x f ，求出根 ,,,321x x x ，数轴标根，穿针引线，注意x 系数的正负；④判断()x f '的符号，如果()0f x '>，则()y f x =为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =为减函数．考点二：已知函数的单调性求参数问题①若()f x 在[]b a ,上单调递增，则()0f x '≥在[]b a ,恒成立（但不恒等于0）； ①若()f x 在[]b a ,上单调递减，则()0f x '≤在[]b a ,恒成立（但不恒等于0）．【题型目录】题型一：利用导数求函数的单调区间题型二：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像题型三：已知含量参函数在区间上单调性求参数范围题型四：已知含量参函数在区间上不单调求参数范围题型五：已知含量参函数存在单调区间求参数范围【典型例题】题型一：利用导数求函数的单调区间【例1】（2022·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）函数()()2e x f x x =+的单调递减区间是（）A ．(),3-∞-B ．()0,3C ．()3,0-D ．()3,-+∞【例2】（2022·北京市第三十五中学高二阶段练习）函数ln xy x=的单调递增区间是（） A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()e,+∞C ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．()0,e【例3】（2023·全国·高三专题练习）函数21()ln 2f x x x =-的单调递减区间为（） A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(0,2)【例4】（2022·黑龙江·铁人中学高三开学考试）函数2()ln 1f x x x =--的单调增区间为_________.【例5】（2022·河南·安阳一中高三阶段练习（理））已知函数()()ln 1f x x x =+，则（） A ．()f x 在()1,-+∞单调递增 B ．()f x 有两个零点C ．曲线()y f x =在点11,22f⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的斜率为1ln2-- D ．()f x 是偶函数【例6】（2022·江苏·盐城市第一中学高三阶段练习）若函数()312f x x x =-在区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围是（） A ．3k ≤-或11k -≤≤或3k ≥ B ．31k -<<-或13k << C ．22k -<<D ．不存在这样的实数【例7】（2022·全国·高二课时练习多选题）设函数()e ln x f x x =，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的定义域是()0,∞+B ．当()0,1x ∈时，()f x 的图象位于x 轴下方C ．()f x 存在单调递增区间D ．()f x 有两个单调区间【例8】（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数f (x )满足()()()2212e 02x f x f f x x -'=-+，则f (x )的单调递减区间为（） A ．()0,∞- B ．(1,+∞)C ．()1,∞-D ．(0,+∞)【例9】（2022·全国·高二专题练习）已知函数()1xlnx f x e +=，（其中e ＝2.71828…是自然对数的底数）．求()x f 的单调区间.【例10】【2020年新课标2卷理科】已知函数()x x x f 2sin sin 2=.（1）讨论()x f 在区间()π,0的单调性；【例11】（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知函数()ln f x x x x =-. (1)求()f x 的单调区间；【例12】（2022·陕西渭南·高二期末（文））函数()()2e x f x x ax b =++，若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为：450x y ++=. (1)求,a b 的值；(2)求函数()f x 的单调区间.【例13】【2020年新课标1卷理科】已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当1=a 时，讨论()x f 的单调性；【例14】【2019年新课标2卷理科】已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论()x f 的单调性，并证明()x f 有且仅有两个零点；【题型专练】1．（2022湖南新邵县教研室高二期末（文））函数()4ln f x x x =-的单调递减区间为（） A ．()0,∞+ B ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2．（2022·广东·东莞四中高三阶段练习）函数()()3e x f x x =-，则()f x 的单调增区间是（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．(),3-∞D ．()3,+∞3．（2022·四川绵阳·高二期末（文））函数()2ln 2x x x f -=的单调递增区间为（）A ．()1,-∞-B ．()+∞,1C ．()1,1-D ．()1,04．（2022·广西桂林·高二期末（文））函数()3213f x x x =-的单调递减区间为（）A ．()02，B ．()()02∞∞-+，，，C ．()2+∞，D ．()0-∞，5．（2022·重庆长寿·高二期末）函数()65ln f x x x x=--的单调递减区间为（）A ．（0，2）B ．（2，3）C ．（1，3）D ．（3，+∞）6．（2023·全国·高三专题练习）函数21()ln 3f x x x =-的单调减区间为__________．7．（2022·全国·高二专题练习）函数2()2x x f x =的单调递增区间为__________.8.（2022·全国·高二专题练习）函数cos y x x =+的单调增区间为_________.9.（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的单调区间(1)()211x f x x +=-；(2)()21ln 2f x x x =-； (3)()3223361f x x x x =+-+；(4)()sin ,0f x x x x π=-<<；(5)()()22e xf x x x -=+；(6)()sin 2cos xf x x=+．10．（2022·全国·高二单元测试）已知函数()()321313x x x f x =-++，求()f x 的单调区间．11.函数()x e x x f -=2的递增区间是（） A ．()0,2B ．(),0∞-C ．(),0∞-，()2,+∞D ．()(),02,-∞+∞12.【2022年新高考2卷】已知函数f(x)=x e ax −e x ． (1)当a =1时，讨论f(x)的单调性；13.（2022·四川省绵阳南山中学高二期末（理））已知函数()29ln 3f x x x x =-+在其定义域内的一个子区间()1,1m m -+上不单调，则实数m 的取值范围是（）A ．51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．51,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.（2020·河北省石家庄二中高二月考）函数1()ln f x x x=的单调递减区间为____________. 15.（2022·全国·高三专题练习（文））函数(2)e ,0()2,0x x x f x x x ⎧-≥=⎨--<⎩的单调递减区间为__________．题型二：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像【例1】（2022·河南·高三阶段练习（文））如图为函数()f x （其定义域为[],m m -）的图象，若()f x 的导函数为()f x '，则()y f x '=的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【例2】（2022·四川·遂宁中学外国语实验学校高三开学考试（理））设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图像如图所示，则()y f x =的图像最有可能的是（）A ．B ．C ．D ．【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知函数()y f x =在定义域3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内可导，其图象如图所示.记()y f x =的导函数为()y f x '=，则不等式()0xf x '≤的解集为（）A ．[][)31,0,12,323⎛⎤--⋃⋃ ⎥⎝⎦B ．[]18,01,2,333⎡⎤⎡⎫-⋃⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．[)1,12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．31148,,,323233⎛⎫⎡⎤⎡⎫--⋃⋃ ⎪⎪⎢⎥⎢⎝⎭⎣⎦⎣⎭【例4】（2022·全国·高二单元测试）已知函数()f x 的导函数()'f x 图像如图所示，则()f x 的图像是图四个图像中的（）．A ．B ．C ．D ．【例5】（2022·广东潮州·高二期末多选题）已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则下列结论正确的为（）A ．曲线m 是()f x 的图象，曲线n 是()f x '的图象B ．曲线m 是()f x '的图象，曲线n 是()f x 的图象C ．不等式组()()02f x f x x >⎧⎨<<'⎩的解集为()0,1D ．不等式组()()02f x f x x >⎧⎨<<'⎩的解集为41,3⎛⎫⎪⎝⎭【题型专练】1．（2022·江苏常州·高三阶段练习）如图是()y f x '=的图像，则函数()y f x =的单调递减区间是（）A ．()2,1-B ．()()2,0,2,-+∞C ．(),1-∞-D ．()(),1,1,-∞-+∞2．（2022·吉林·东北师大附中高三开学考试）已知函数()y f x =的部分图象如图所示，且()f x '是()f x 的导函数，则（）A ．()()()()12012f f f f ''''-=-<<<B ．()()()()21012f f f f ''''<<<-=-C ．()()()()02112f f f f ''''>>>-=-D ．()()()()21021f f f f ''''<<<-<-3．（2022·福建莆田·高二期末）定义在()1,3-上的函数()y f x =，其导函数()y f x '=图像如图所示，则()y f x =的单调递减区间是（）A ．()1,0-B ．()1,1-C ．()0,2D ．()2,34．（2022·广东广州·高二期末）已知函数()y f x =的图象是下列四个图象之一，函数()y f x ='的图象如图所示，则函数()y f x =图象是（）A ．B ．C ．D ．5．（2022·北京·牛栏山一中高二阶段练习）设()f x '是函数()f x 的导函数，在同一个直角坐标系中，()y f x =和()y f x '=的图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．6．（2022·福建宁德·高二期末多选题）设()f x 是定义域为R 的偶函数，其导函数为()f x '，若0x ≥时，()f x 图像如图所示，则可以使()()0f x f x '⋅<成立的x 的取值范围是（）A ．(),3-∞-B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,3题型三：已知含量参函数在区间上单调性求参数范围【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ax x x x f ++=2ln 的单调递减区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（）.A ．(],3a ∈-∞-B ．3a =-C ．3a =D ．(],3a ∈-∞【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()32391f x x mx mx =-++在()1,+∞上为单调递增函数，则实数m 的取值范围为（） A ．(),1-∞- B ．[]1,1- C ．[]1,3 D ．[]1,3-【例3】（2022·浙江·高二开学考试）已知函数()sin cos f x x a x =+在区间ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，则实数a 的取值范围为（）A ．1a >B ．1a ≥C ．1a >D ．1a ≥-【例4】（2022·全国·高二课时练习）若函数()2ln f x x ax x =-+在区间()1,e 上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．[)3,+∞ B ．(],3-∞C ．23,e 1⎡⎤+⎣⎦ D ．(2,e 1⎤-∞+⎦【例5】（2022·河南·荥阳市教育体育局教学研究室高二阶段练习）已知函数()321f x x x ax =+-+在R 上为单调递增函数，则实数a 的取值范围为（） A ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【例6】（2023·全国·高三专题练习）若函数1()sin 2cos 2f x x a x =+在区间(0,)π上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．(,1]-∞-B ．[1,)-+∞C ．(,1)-∞-D ．[1,)+∞【例7】（2022·山东临沂·高二期末）若对任意的()12,,x x m ∈+∞，且当12x x <时，都有121212ln ln 3x x x x x x ->-，则m 的最小值是________.【例8】（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()()0ln 232>+-=a x x axx f ，若函数()x f 在[]2,1上为单调函数，则实数a 的取值范围是________.【题型专练】1．（2023·全国·高三专题练习）若函数2()ln 5f x x ax x =+-在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增，则实数a 的取值范围为（） A ．(,3]-∞ B ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．253,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．25,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．（2022·山西·平遥县第二中学校高三阶段练习）若函数()ln 1f x x x ax =-+在[e,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．(,2)-∞ B ．(,2]-∞ C ．(2,)+∞ D ．[2,)+∞3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的取值范围为（） A ．0a ≥ B ．22a -≤≤ C ．2a ≥- D ．0a ≥或2a ≤-4.（2022·全国·高三专题练习）若函数()d cx bx x x f +++=23的单调递减区间为()3,1-，则=+c b （）A ．－12B ．－10C ．8D ．105.（2022·全国·高三专题练习）若函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是_______. 6.函数321()3f x ax x a =-+在[1,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．1a >B ．1a ≥C ．2a >D ．2a ≥7.对于任意1x ，2[1,)x ∈+∞，当21x x >时，恒有2211ln 2()x a x x x <-成立，则实数a 的取值范围是（） A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞C ．(,2]-∞D ．(,3]-∞8.若函数2()ln f x x x x=++在区间[],2t t +上是单调函数，则t 的取值范围是（） A ．[1,2] B ．[1,)+∞C ．[2,)+∞D ．(1,)+∞题型四：已知含量参函数在区间上不单调，求参数范围【例1】（2022·河南宋基信阳实验中学高三阶段练习（文））已知函数()3212132a g x x x x =-++．若()g x 在()2,1--内不单调，则实数a 的取值范围是______．【例2】（2021·河南·高三阶段练习（文））已知函数()()41xf x ax x e =+-在区间[]1,3上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（）A ．2,416e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．2,416e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．32,3616e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,416e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【题型专练】 1.函数()()2244xf x e xx =--在区间()1,1k k -+上不单调，实数k 的范围是 .2.（2022·全国·高三专题练习）若函数()324132x a f x x x =-++在区间(1，4)上不单调，则实数a 的取值范围是___________.题型五：已知含量参函数存在单调区间，求参数范围【例1】（2023·全国·高三专题练习）若函数()21()ln 12g x x x b x =+--存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是（） A ．[)3,+∞ B ．()3,+∞ C ．(),3-∞D ．(],3-∞【例2】（2022·全国·高三专题练习）若函数()313f x x ax =-+有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．【例3】（2022·河北·高三阶段练习）若函数()2()e xf x x mx =+在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在单调递减区间，则m 的取值范围是_________．【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知()2ln ag x x x x=+-. (1)若函数()g x 在区间[]1,2内单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若()g x 在区间[]1,2上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围.【题型专练】1.（2022·全国·高三专题练习（文））若函数()()0221ln 2≠--=a x ax x x h 在[]4,1上存在单调递减区间”，则实数a 的取值范围为________.2.若函数()2ln f x ax x x =+-存在增区间，则实数a 的取值范围为 .3.故函已知函数32()3()f x ax x x x =+-∈R 恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围为（） A ．()3,-+∞ B ．()()3,00,-+∞C ．()(),00,3-∞D ．[)3,-+∞4.已知函数()()R a x ax x x f ∈+++=123在⎪⎭⎫⎝⎛--31,32内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是（） A ．(0,√3] B ．(−∞,√3]C ．(√3,+∞)D ．(√3,3)。

利用导函数解决函数单调性问题

利用导函数解决函数单调性问题函数在数学中是一个非常重要的概念，在数学中广泛应用。

在学习函数的过程中，其中一个特性就是函数的单调性。

函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。

利用函数的导数可以帮助我们解决函数的单调性问题，本文将从导数的概念入手，依次介绍如何通过导数判断函数的单调性。

一、导数的概念首先，我们需要了解导数的概念。

在数学中，导数是函数在某一点的变化率。

可以理解为函数图像在某一点的切线斜率。

常见的记作方式为f'(x)，表示函数f(x)在x处的导数。

二、导数与函数单调性的关系导数与函数的单调性之间有着密不可分的联系。

一般来说，在函数的单调性问题中，我们需要判断函数的导数是否大于等于0或小于等于0，从而来判断函数的单调性。

1.导数大于0的函数如果一个函数在其定义域内的任意一点处的导数大于0，则说明该函数在该点左侧是单调递增的，在该点右侧是单调递减的。

换言之，如果一个函数在每个点的导数都大于0，则该函数是单调递增的。

2.导数小于0的函数如果一个函数在其定义域内的任意一点处的导数小于0，则说明该函数在该点左侧是单调递减的，在该点右侧是单调递增的。

换言之，如果一个函数在每个点的导数都小于0，则该函数是单调递减的。

3.导数等于0的函数如果一个函数在其定义域内的任意一点处的导数等于0，则需要进一步分析该点的特性。

如果该点左侧的导数小于0，右侧的导数大于0，则该函数在该点达到局部最小值；反之，如果该点左侧的导数大于0，右侧的导数小于0，则该函数在该点达到局部最大值。

如果该点左右两侧的导数符号相同，则该点为函数的拐点。

三、使用导数解决函数单调性问题的例题下面我们通过一个例题来演示如何利用导数解决函数单调性问题。

例题：已知函数f(x) = 2x^3 - 12x + 5，求函数f(x)的单调区间。

解题思路：1.首先求函数f(x)的一阶导数：f '(x) = 6x^2 - 12 。

2.分析一阶导数的符号：当6x^2 - 12 > 0时，即x^2 > 2，x > sqrt(2)或x < -sqrt(2)时，f(x)单调递增。

利用导数求函数的单调性-高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品

高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第六篇函数与导数专题02利用导数求函数的单调性类型对应典例不含参数的函数单调性典例1含参函数中主导函数是一次函数典例2含参函数中主导函数是类一次函数典例3含参函数中主导函数是二次函数（不能因式分解）典例4含参函数中主导函数是二次函数（能因式分解）典例5含参函数中主导函数是类二次函数典例6利用函数单调性求参数取值范围典例7【典例1】已知函数()()1ln f x x a R ax=+∈在1x =处的切线与直线210x y -+=平行．(1)求实数a 的值，并判断函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x m =有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：121x x +>．【典例2】已知函数op =−En −.（1）讨论函数op 的单调性.（2）若∀>0，op ≥0，求B 的最大值.【典例3】已知函数ln ()(,)x af x bx a b R x-=-∈.（1）当0b =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()()f x g x x=在x =e 为自然对数的底）时取得极值，且函数()g x 在(0,)e 上有两个零点，求实数b 的取值范围.【典例4】已知函数()()21ln 2f x x x ax a R =++∈，()232x g x e x x =+-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点.如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.【典例5】已知函数22()ln f x x ax a x =--.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()0f x ≥，求a 的取值范围.【典例6】已知()ln xe f x a x ax x=+-.（1）若0a <，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =-时，若不等式1()()0xf x bx b e x x+---≥在[1,)+∞上恒成立，求b 的取值范围．【典例7】已知函数()ln ()x e f x x x ax a R =-+∈.（1）若函数()f x 在[1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围；（2）若1a =，求()f x 的最大值.1.已知函数()()22122()2xf x x x e ax a R =-+-∈.（1）当a e =时，求函数()f x 的单调区间；（2）证明：当2a ≤-时，()2f x ≥.2.已知函数()1f x ax lnx =--，a R ∈．(Ⅰ)讨论函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若函数()f x 在1x =处取得极值，对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的取值范围．3.已知函数()()2()1ln 1(0)f x a x x x ax a =++-->是减函数.（1）试确定a 的值；（2）已知数列{}()()*123ln 11n n n n n a a T a a a a n N n +==∈+ ，求证：()ln 212n nn T +<-⎡⎤⎣⎦.4.已知函数()22ln .f x a x x =-()1讨论函数()f x 的单调性；()2当0a >时，求函数()f x 在区间()21,e 上的零点个数.5.已知函数()()ln f x x ax a R =-∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若1a =-，当0x >时，函数()()()220g x x mf x m =->有且只有一个零点，求m 的值.6.设22(),()11x e f x xe ax g x nx x x a=-=+-+-．（1）求()g x 的单调区间；（2）讨论()f x 零点的个数；（3）当0a >时，设()()()0h x f x ag x =-恒成立，求实数a 的取值范围．7.已知函数2()2ln ()f x x ax x a R =-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，当a ≥()()21f x f x -的最大值.参考答案【典例1】【详解】（1）函数()f x 的定义域：()0,+∞，()11112f a =-='，解得2a =，()1ln 2f x x x ∴=+，()22112122x f x x x x -∴=-='令()0f x '<，解得102x <<，故()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递减；令()0f x '>，解得12x >，故()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是单调递增.（2）由12,x x 为函数()f x m =的两个零点，得121211ln ,ln 22x m x m x x +=+=两式相减，可得121211ln ln 022x x x x -+-=即112212ln 2x x x x x x -=，1212122ln x xx x x x -=，因此1211212ln x x x x x -=，2121212ln x x x x x -=令12x t x =，由12x x <，得01t <<.则121111+=2ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=，构造函数()()12ln 01h t t t t t =--<<，则()()22211210t h t t t t -=+-=>'所以函数()h t 在()0,1上单调递增，故()()1h t h <，即12ln 0t t t--<，可知112ln t t t->.故命题121x x +>得证.【典例2】解：（1）函数op 的定义域为(0,+∞)，由op =−En −，得n(p =1−=K，当≤0时，n(p >0，所以函数op 在(0,+∞)上单调递增.当>0时，则∈(0,p 时，n(p <0，函数op 在(0,p 上单调递减；∈(s +∞)时，n(p >0，函数op 在(s +∞)上单调递增.（2）由（1）可知，当<0时，函数op 在(0,+∞)上单调递增，当→0时，op →−∞与op ≥0相矛盾；当=0时，∀>0，op ≥0，所以≤0，此时B =0.当>0时，函数op 在(0,p 上单调递减，函数op 在(s +∞)上单调递增.op min =op =−En −≥0，即−En ≥，则B ≤2−2lno >0).令op =2−2lno >0)，则n(p =o1−2lnp .令n(p >0，则0<<，令n(p <0，则>，当=时，op =2，即当=，=B 的最大值为2.综上，B 的最大值为2.【典例3】【详解】（1）当0b =时，()ln x af x x-=，()()221ln 1ln x x a a x x f x x x ⋅--+-=='，令()0f x '=，得1a x e +=，当()10,ax e+∈时，()0f x '>，当()1,ax e+∈+∞时，()0f x '<.所以函数()f x 在()10,ae+上单调递增，在()1,ae++∞上单调递减.（2）()()2ln f x x a g x b x x-==-，()()2431ln 2122ln x x a xa x x g x x x ⋅--⋅-=='+，∵()g x在x =∴0g '=即1210a +-=，∴0a =.所以()2ln x g x b x =-，()312ln xg x x-'=，函数()g x在(上单调递增，在)+∞上单调递减，得函数的极大值12gb e=-，∴当函数()g x 在()0,e 上有两个零点时，必有()0,10,2g e b e ⎧<⎪⎨->⎪⎩得2112b e e<<.当2112b e e <<时，210g e b e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭.∴()g x的两个零点分别在区间1e ⎛ ⎝与)e 中.∴的取值范围是211,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭.【典例4】【详解】(1)()f x 的定义域为()()()210,0x ax f x x x，+++∞=>'，对于函数210y x ax =++≥，①当240a ∆=-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立.()210x ax f x x++∴=≥'在()0,+∞恒成立.()f x ∴在()0,+∞为增函数；②当0∆>，即2a <-或2a >时，当2a <-时，由()0f x '>，得42a x --<或42a x ->，44022a a --<<，()f x ∴在40,2a ⎛-- ⎪⎝⎭为增函数，44,22a a ⎛--+ ⎪⎝⎭减函数.,2a ⎛⎫-++∞⎪ ⎪⎝⎭为增函数，当2a >时，由()210x ax f x x++=>'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数。

高三数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析

高三数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析1.我们把形如y＝f(x)φ(x)的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y＝φ(x)lnf(x)，两边求导得＝φ′(x)·ln f(x)＋φ(x)·，于是y′＝f(x)φ(x)[φ′(x)·ln f(x)＋φ(x)·]．运用此方法可以探求得y＝x的单调递增区间是________．【答案】(0，e)【解析】由题意知y′＝x (－ln x＋·)＝x·(1－ln x)，x>0，>0，x>0，令y′>0，则1－ln x>0，所以0<x<e.2.已知函数f(x)＝(ax＋1)e x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在区间[－2,0]上的最小值．【答案】（1）见解析（2）当a>1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为－a·；当0<a≤1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为.【解析】解：依题意，函数的定义域为R，f′(x)＝(ax＋1)′e x＋(ax＋1)(e x)′＝e x(ax＋a＋1)．(1)①当a＝0时，f′(x)＝e x>0，则f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；②当a>0时，由f′(x)>0，解得x>－，由f′(x)<0，解得x<－，则f(x)的单调递增区间为(－，＋∞)，f(x)的单调递减区间为(－∞，－)；③当a<0时，由f′(x)>0，解得x<－，由f′(x)<0解得，x>－，则f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，f(x)的单调递减区间为(－，＋∞)．(2)①当时，)上是减函数，在(－，0)上是增函数，则函数f(x)在区间[－2,0]上的最小值为f(－)＝－a·；②当时，即当0<a≤1时，f(x)在[－2,0]上是增函数，则函数f(x)在区间[－2,0]上的最小值为f(－2)＝.综上，当a>1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为－a·；当0<a≤1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为.3.函数f(x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极小值，则m＝________.【答案】1【解析】f′(1)＝0可得m＝1或m＝3.当m＝3时，f′(x)＝3(x－1)(x－3)，1<x<3，f′(x)<0；x<1或x>3，f′(x)>0，此时x＝1处取得极大值，不合题意，所以m＝1.4.设，曲线在点处的切线与直线垂直.(1)求的值；(2)若对于任意的，恒成立，求的范围；(3)求证：【解析】（1）求得函数f（x）的导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直，即可求a的值；（2）先将原来的恒成立问题转化为lnx≤m(x−)，设g(x)＝lnx−m(x−)，即∀x∈（1，+∞），g（x）≤0．利用导数研究g（x）在（0，+∞）上单调性，求出函数的最大值，即可求得实数m的取值范围．（3）由（2）知，当x＞1时，m＝时，lnx＜(x−)成立．不妨令x＝，k∈N*，得出[ln(2k+1)−ln(2k−1)]＜，k∈N*，再分别令k=1，2，，n．得到n个不等式，最后累加可得．(1) 2分由题设，∴，. 4分(2),，，即设，即.6分①若，，这与题设矛盾. 7分②若方程的判别式当，即时，.在上单调递减，，即不等式成立. 8分当时，方程，设两根为，当,单调递增，，与题设矛盾.综上所述， . 10分(3) 由(2)知,当时, 时,成立.不妨令所以，11分12分累加可得∴∴ ---------------14分【考点】1.利用导数研究曲线上某点切线方程；2.导数在最大值、最小值问题中的应用．5.已知函数.（1）当时，证明：当时，；（2）当时，证明：.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，将当时，转化为，对函数求导，利用单调递增，单调递减，来判断函数的单调性来决定函数最值，并求出最值为0，即得证；第二问，先将转化为且，利用导数分别判断函数的单调性求出函数最值，分别证明即可.(1)时，，令，，∴在上为增函数 3分，∴当时，，得证． 6分(2)令，，时，，时，即在上为减函数，在上为增函数 9分∴①令，，∴时，，时，即在上为减函数，在上为增函数∴②∴由①②得． 12分【考点】导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值.6.已知函数.（1）当a=l时，求的单调区间；（2）若函数在上是减函数，求实数a的取值范围；（3）令，是否存在实数a，当(e是自然对数的底数)时，函数g(x)最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）；（3）存在实数.【解析】（1）把代入函数解析式得，且定义域为，利用导数法可求出函数的单调区间，由，分别解不等式，，注意函数定义域，从而可求出函数的单调区间；（2）此问题利用导数法来解决，若函数在上是减函数，则其导函数在上恒成立，又因为，所以函数，必有，从而解得实数的取值范围；（3）利用导数求极值的方法来解决此问题，由题意得，则，令，解得，通过对是否在区间上进行分类讨论，可求得当时，有，满足条件，从而可求出实数的值.（1）当时，. 2分因为函数的定义域为，所以当时，，当时，.所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 4分（2）在上恒成立.令，有， 6分得，. 8分（3）假设存在实数，使有最小值3，. 9分当时，在上单调递减，，（舍去）； 10分②当时，在上单调递减，在上单调递增.，解得，满足条件； 12分③当时，在上单调递减，，（舍去）. 13分综上，存在实数，使得当时，有最小值3. 14分【考点】1.导数性质；2.不等式求解；3.分类讨论.7.设函数f(x)＝x－2msin x＋(2m－1)sin xcos x(m为实数)在(0，π)上为增函数，则m的取值范围为()A．[0，]B．(0，)C．(0，]D．[0，)【答案】A【解析】∵f(x)在区间(0，π)上是增函数，∴f′(x)＝1－2mcos x＋2(m－)cos 2x＝2[(2m－1)cos2x－mcos x＋1－m]＝2(cos x－1)[(2m－1)cos x＋(m－1)]＞0在(0，π)上恒成立，令cos x＝t，则－1＜t＜1，即不等式(t－1)[(2m－1)t＋(m－1)]＞0在(－1,1)上恒成立，①若m＞，则t＜在(－1,1)上恒成立，则只需≥1，即＜m≤，②当m＝时，则0·t＋－1＜0，在(－1,1)上显然成立；③若m＜，则t＞在(－1,1)上恒成立，则只需≤－1，即0≤m＜．综上所述，所求实数m的取值范围是[0，]．8.已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=xe x，则（）A．1是f（x）的极小值点B．﹣1是f（x）的极小值点C．1是f（x）的极大值点D．﹣1是f（x）的极大值点【答案】B【解析】f（x）=xe x⇒f′（x）=e x（x+1），令f′（x）＞0⇒x＞﹣1，∴函数f（x）的单调递增区间是[﹣1，+∞）；令f′（x）＜0⇒x＜﹣1，∴函数f（x）的单调递减区间是（﹣∞，﹣1），故﹣1是f（x）的极小值点．故选：B．9.若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1，4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．【答案】[5，7]【解析】f′(x)＝x2－ax＋(a－1)，由题意，f′(x)≤0在(1，4)恒成立且f′(x)≥0在(6，＋∞)恒成立，即a≥x＋1在(1，4)上恒成立且a≤x＋1在(6，＋∞)上恒成立，所以5≤a≤7.10.已知函数f(x)＝x2－mlnx＋(m－1)x，当m≤0时，试讨论函数f(x)的单调性；【答案】当－1<m≤0时单调递增区间是和(1，＋∞)，单调递减区间是；当m≤－1时，单调递增区间是和，单调递减区间是【解析】函数的定义域为，f′(x)＝x－＋(m－1)＝.①当－1<m≤0时，令f′(x)>0，得0<x<－m或x>1，令f′(x)<0，得－m<x<1，∴函数f(x)的单调递增区间是和(1，＋∞)，单调递减区间是；②当m≤－1时，同理可得，函数f(x)的单调递增区间是和，单调递减区间是.11.若函数f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数，则a的取值范围是________．【答案】a≥3【解析】f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，即a≥－2x在上恒成立．令g(x)＝－2x，求导可得g(x)在上的最大值为3，所以a≥3.12.函数y=(3-x2)e x的单调递增区间是()A．(-∞,0)B．(0,+∞)C．(-∞,-3)和(1,+∞)D．(-3,1)【答案】D【解析】y'=-2xe x+(3-x2)e x=e x(-x2-2x+3)>0x2+2x-3<0-3<x<1,∴函数y=(3-x2)e x的单调递增区间是(-3,1).13.若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的值为________．【答案】-4【解析】∵f(x)＝x3－x2＋ax＋4，∴f′(x)＝x2－3x＋a.又函数f(x)恰在[－1,4]上单调递减，∴－1,4是f′(x)＝0的两根，∴a＝－1×4＝－4.14.函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为 ()．A．(－1,1]B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)【答案】B【解析】由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝x－≤0，解得0<x≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．15.已知函数，（1）求函数的单调区间；（2）若方程有且只有一个解，求实数m的取值范围；（3）当且，时，若有，求证：.【答案】（1）的递增区间为，递减区间为和；（2）；（3）详见解析.【解析】（1）对求导可得，令，或，由导数与单调性的关系可知，所以递增区间为，递减区间为；（2）若方程有解有解，则原问题转化为求f（x）的值域，而m只要在f（x）的值域内即可，由（1）知，，方程有且只有一个根，又的值域为，;（3）由（1）和（2）及当，时，有，不妨设，则有，，又，即，同理，又，，且在上单调递减，，即.试题解析：（1），令，即，解得，令，即，解得，或，的递增区间为，递减区间为和. 4分（2）由（1）知，， 6分方程有且只有一个根，又的值域为，由图象知8分（3）由（1）和（2）及当，时，有，不妨设，则有，，又，即， 11分，又，，且在上单调递减，，即. 13分【考点】1.导数在函数单调性上的应用；2. 导数与函数最值.16.某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为亿元，其中用于风景区改造为亿元。

利用导数判断函数的单调性

利用导数判断函数的单调性知识要点梳理1. 函数的导数与函数的单调性的关系：（1）（函数单调性的充分条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。

（2）（函数单调性的必要条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果函数y=f(x) 在这个区间内为增函数，那么在这个区间内/y ≥0；如果函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。

那么在这个区间内/y ≤0。

2. 求可导函数的单调区间的一般步骤和方法： ①确定函数()f x 的定义域；②计算导数'()f x ，令'()0f x =，解此方程，求出它们在定义域区间内的一切实根； ③把函数()f x 的间断点（即f(x)的无定义的点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把()f x 的定义域分成若干个小区间；④确定'()f x 在各个开区间内的符号，根据'()f x 的符号判定函数()f x 在每个相应小区间的增减性（若'()f x >0,则f(x)在相应区间内为增函数；若'()f x <0,则f(x)在相应区间内为减函数。

）疑难点、易错点剖析：1.利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f ’(x)>0（或f ’(x)<0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。

在区间（a,b ）内可导的函数f(x)在（a,b ）上递增（或递减）的充要条件应是'()0('()0)f x f x ≥≤或，x (,)a b ∈恒成立，且f ’(x)在（a,b ）的任意子区间内都不恒等于0。

这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x 0处有f ’(x 0)=0,甚至可以在无穷多个点处f ’(x 0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f(x)是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令'()0('()0)f x f x ≥≤或恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f ’(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f ’(x)不恒为0，则由'()0('()0)f x f x ≥≤或，x (,)a b ∈恒成立解出的参数的取值范围确定。

高考数学：用导数研究含参函数的单调性(解析版)

专题1 用导数研究含参函数的单调性一、考情分析函数与导数一直是高考中的热点与难点,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题,这是因为单调性是解决后续问题的关键,可以说函数单调性在研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的作用.函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用更是高考中的难点.二、解题秘籍连续函数单调区间的分界点就是函数的极值点,也就是导函数的零点,即方程()0f x '=的根,所以求解含参函数的单调性问题,一般要根据()0f x '=的根的情况进行分类,下面我们根据()0f x '=的根的情况总结出8类题型及解法,帮助同学们掌握这类问题的求解方法.类型一：()f x 定义域为R ,()0f x '=可化为单根型方程思路：直接解不等式,确定函数单调区间【例1】讨论()4321111432f x x x x ax =-+-+的单调性. 分析：()()()21f x x x a '=+-, ()0f x '=根的情况转化为0x a -=根的情况,根据0,0x a x a ->-<分别确定递增区间与递减区间.类型二：()f x 定义域不是R ,()0f x '=可化为单根型方程思路：根据根是否在定义域内进行分类【例2】讨论()1ln f x x a x =--的单调性分析：()()0x a f x x x-'=>,()0f x '=根的情况转化为()00x a x -=>根的情况根据a 是否在定义域()0+∞，内进行分类(1)()0,0a f x '≤>,()f x 在()0+∞，上是增函数；(2)0a >,()f x 在()0,a 上是减函数,在()+a ∞，上是增函数.类型三：()f x 定义域是R ,()0f x '=可化为类单根型方程思路：根据方程是否有解进行分类【例3】讨论()()2e 2e +1x x f x a a x =+--的单调性分析：()()()e 12e 1x x f x a '=-+,()0f x '=根的情况转化为方程e 10x a -=根的情况,根据该方程是否有根进行分类,0a ≤,方程e 10x a -=无实根,0a >,方程e 10x a -=有一个实根ln a -,注意不要忽略0a =的情况.(1)()0,0a f x '≤<,()f x 在()+∞∞-，上是减函数；(2)0a >,()f x 在(),ln a -∞-上是减函数,在()ln +a -∞，上是增函数. 类型四：()f x 定义域不是R ,()0f x '=可化为类单根型方程思路：根据方程是否有根及根是否在定义域内进行分类【例4】讨论()()1ln +1f x ax a x =--的单调性分析：()()()10ax a f x x x --'=>,()0f x '=根的情况转化为()10ax a --=在()0+∞，上根的情况. 步骤一：讨论=0a (无实根)；步骤二：讨论0a <,由()10ax a --=得1a x a -=(不在定义域内)；步骤三：讨论0a >,根据1a a-是否在定义域内再分01,1a a <<≥. (1)()0,0a f x '=<,()f x 在()0+∞，上是减函数；(2)()0,0a f x '<<,()f x 在()0+∞，上是减函数；(3)0a >(i)1a ≥,,()0f x '>,()f x 在()0+∞，上是增函数；(ii)01a <<,()f x 在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数,在1+a a -⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上是增函数. 类型五：()f x 定义域是R ,()0f x '=可化为双根型方程思路：根据根的大小进行分类【例5】讨论()()2e x f x x ax a =++的单调性分析：()()()2e x f x x x a '=++,()0f x '=根的情况转化为()()20x x a ++=的根的情况,根据a -与2-的大小进行讨论.(1)2,a <()f x 在()(),2,,a -∞--+∞上是增函数,在()2,a --上是减函数；(2)=2a ,()f x 在()+∞∞-，上是增函数；(3)2a >,,()f x 在()(),,2,a -∞--+∞上是增函数,在(),2a --上是减函数. 类型六：()f x 定义域不是R ,()0f x '=可化为双根型方程思路：根据根是否在定义域内及根的大小进行分类【例6】讨论()2211ln 2a f x x x x a +=-+的单调性分析：()()()10x a x a f x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=>,()0f x '=根的情况转化为()10x a x a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭在()0+∞，上根的情况. 步骤一：讨论0a <(根不在定义域内).步骤二：讨论0a >(根据1,a a的大小再分01,1,1a a a <<=>) (1)0a <,()f x 在()+∞0，上是增函数；(2)01,a <<()f x 在()10,,,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数,在1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数； (3)=1a ,()f x 在()+∞0，上是增函数；(4)1a >,,()f x 在()10,,,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数,在1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数. 类型七：()f x 定义域是R ,()0f x '=可化为类双根型方程思路：根据根的个数及根的大小进行分类【例7】讨论()()()212e 12x f x a x x =---的单调性分析：()()()1e 1x f x x a '=--,()0f x '=根的情况转化为()()1e 1=0x x a --根的情况. 步骤一：讨论0a ≤(有1个根).步骤二：讨论0a >(根据1,ln a -的大小再分1110,,e e e a a a <<=>) (1)0a ≤,()f x 在(),1∞-上是增函数,在()1+∞，上是减函数；(2)10,e a <<()f x 在()(),1,ln ,a -∞-+∞上是增函数,在()1,ln a -上是减函数； (3)1=ea ,()f x 在()+∞∞-，上是增函数； (4)1ea >,,()f x 在()(),ln ,1,a -∞-+∞上是增函数,在()ln ,1a -上是减函数. 类型八：()f x 定义域不是R ,()0f x '=可化为类双根型方程思路：根据根是否在定义域内、根的个数及根的大小进行分类【例8】讨论()()211ln 2f x ax a x x =-++的单调性分析：()()()()11=0x ax f x x x --'>,()0f x '=根的情况转化为()()()11=00x ax x -->根的情况.步骤一：讨论=0a (有1个根).步骤二：讨论0a <(1a不在定义域内) 步骤三：讨论0a >(11a ，均在定义域内,根据11,a 的大小再分01,1,1a a a <<=>) (1)0a ≤,()f x 在()0,1上是增函数,在()1+∞，上是减函数；(步骤一二合并)(2)01,a <<()f x 在()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数,在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数； (3)=1a ,()f x 在()+∞0，上是增函数；(4)1a >,,()f x 在()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数,在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数. 三、典例展示【例1】（2021陕西省西安高三下学期）已知函数()1ln x f x x ax-=+（0a ≠）．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≥在（0,+∞）上恒成立,求a 的取值范围；（3）求证：1111ln 2...ln 31233n n n n <++++<+++（*n ∈N ）【解析】（1）因为函数()1ln x f x x ax -=+,其定义域为（0,+∞）所以()()211ln x ax f x x ax ax '--⎡⎤''=+=⎢⎥⎣⎦即()21ax f x ax -'= 当0a <时,()210ax f x ax -'=>,所以()f x 增区间为（0,+∞）；当0a >时,令()210ax f x ax -'==得1x a=, 当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '<,所以()f x 减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '>,所以()f x 增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；综上：当0a <时,,()f x 增区间为（0,+∞）；当0a >时,,()f x 减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）1°当0a <时,函数增区间为（0,+∞）,此时不满足()0f x ≥在（0,+∞）上恒成立；2°当0a >时,减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭, 要使()0f x ≥在（0,+∞）上恒成立,只需10f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭即可, 即11ln 0a a--≥, 令()11ln g a a a=--（0a >）则()221110a g a a a a-'=-==, 解得1a =,因此()g a 在（0,1）单调递增,在（1,+∞）上单调递减, 所以当1a =时,()g a 取最大值0,故()0f x ≥在（0,+∞）上恒成立,当且仅当1a =时成立,即1a =；（3）由（2）知,令1k x k +=时,()11ln 1ln 01k f k k k k +⎛⎫=-++-> ⎪+⎝⎭（*k ∈N ） ∴()1ln 1ln 1k k k <+-+（*k ∈N ） ∴1111...ln 31233n n n n++++<+++ 令1k x k =+,则()1ln 1ln 01k f k k k k ⎛⎫=-++> ⎪+⎝⎭（*k ∈N ） ∴()1ln 1ln k k k>+-（*k ∈N ） ∴1111ln 2...1233n n n n<+++++++ 综上：1111ln 2...ln 31233n n n n <++++<+++成立．【例2】（2022届四川省内江市高三零模）已知函数()313f x x tx t =++．（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有三个不同的零点1x 、2x 、3x ,求t 的取值范围,并证明：123x x x t ++<-．【解析】（1）∵31()3f x x tx t =++,∴2()f x x t =+', ①当0t 时,()0f x ',则()f x 在R 上单调递增,无递减区间；, ②当0t <时,令()0f x '=,得x t =±-,()0f x '>的解集为(,)(,)t t ∞∞---⋃-+,()0f x '<的解集为(,)t t ---, 则()f x 在(,)t t ---上单调递减,在(,),(,)t t ∞∞----+上单调递增（2）由（1）知函数f (x )有三个零点,则0t <,∵()f x 在(,)t t ---上单调递减,在(,),(,)t t ∞∞----+上单调递增∴()f x 的极大值为2()3f t t t t --=--,且极大值大于0,极小值为2()3f t t t t -=+-, ∵()f x 有三个不同的零点123,,x x x ,∴2()03f t t t t -=+-<, 解得94t <-,故t 的取值范围为9,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．, 又∵(0)0f t =<,当x →+∞时,有()f x →+∞,当x →-∞时,有()f x →-∞．, ∴设123x x x <<,由零点存在性定理知1230x t x t x <--<<<-<．, ∴12x x t +<--,又∵312(2)(2)(2)33f t t t t t t t t -=-+-+=--, ()0f t =-->,∴32t x t -<<-,,因此123x x x t ++<-．【例3】（2021年全国新高考II 卷数学试题）已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个,证明：()f x 只有一个零点 ①21,222e a b a <≤>； ②10,22a b a <<≤．【解析】(1)由函数的解析式可得：()()'2x f x x e a =-, 当0a ≤时,若(),0x ∈-∞,则()()'0,f x f x <单调递减, 若()0,x ∈+∞,则()()'0,f x f x >单调递增；当102a <<时,若()(),ln 2x a ∈-∞,则()()'0,f x f x >单调递增, 若()()ln 2,0x a ∈,则()()'0,f x f x <单调递减, 若()0,x ∈+∞,则()()'0,f x f x >单调递增；当12a =时,()()'0,f x f x ≥在R 上单调递增；当12a >时,若(),0x ∈-∞,则()()'0,f x f x >单调递增, 若()()0,ln 2x a ∈,则()()'0,f x f x <单调递减, 若()()ln 2,x a ∈+∞,则()()'0,f x f x >单调递增；(2)若选择条件①：由于2122e a <,故212a e <≤,则()21,010b af b >>=->, 而()()210b f b b e ab b --=---+<,而函数在区间(),0-∞上单调递增,故函数在区间(),0-∞上有一个零点.()()()()2ln 22ln 21ln 2f a a a a a b =--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()22ln 21ln 22a a a a a >--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()22ln 2ln 2a a a a =-⎡⎤⎣⎦ ()()ln 22ln 2a a a =-⎡⎤⎣⎦, 由于2122e a <,212a e <≤,故()()ln 22ln 20a a a -≥⎡⎤⎣⎦, 结合函数的单调性可知函数在区间()0,∞+上没有零点. 综上可得,题中的结论成立.若选择条件②：由于102a <<,故21a <,则()01210f b a =-≤-<, 当0b ≥时,24,42e a ><,()2240f e a b =-+>, 而函数在区间()0,∞+上单调递增,故函数在区间()0,∞+上有一个零点. 当0b <时,构造函数()1x H x e x =--,则()1x H x e '=-, 当(),0x ∈-∞时,()()0,H x H x '<单调递减, 当()0,x ∈+∞时,()()0,H x H x '>单调递增, 注意到()00H =,故()0H x ≥恒成立,从而有：1x e x ≥+,此时： ()()()()22111x f x x e ax b x x ax b =---≥-+-+()()211a x b =-+-, 当11b x a->-时,()()2110a x b -+->, 取0111b x a -=+-,则()00f x >, 即：()100,101b f f a ⎛⎫-<+> ⎪ ⎪-⎝⎭, 而函数在区间()0,∞+上单调递增,故函数在区间()0,∞+上有一个零点. ()()()()2ln 22ln 21ln 2f a a a a a b =--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()22ln 21ln 22a a a a a ≤--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()22ln 2ln 2a a a a =-⎡⎤⎣⎦ ()()ln 22ln 2a a a =-⎡⎤⎣⎦, 由于102a <<,021a <<,故()()ln 22ln 20a a a -<⎡⎤⎣⎦, 结合函数的单调性可知函数在区间(),0-∞上没有零点. 综上可得,题中的结论成立.四、跟踪检测1．（2021内蒙古呼和浩特市高三二模）已知函数(),()ln ,x f x e g x x a x a R ==+∈ （1）讨论g (x )的单调性；（2）若()()2a f x x g x x ++,对任意(1,)x ∈+∞恒成立,求a 的最大值；【解析】（1）()1(0)ax a g x x x x +'=+=>, 当0a 时,()0g x '>,()g x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时,令()0g x '>,解得x a >-,令()0g x '<,解得0x a <<-, ()g x ∴在(0,)a -上单调递减,在(,)a -+∞上单调递增；综上,当0a 时,()g x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时,()g x 在(0,)a -上单调递减,在(,)a -+∞上单调递增；（2）()2()a f x x g x x ++即为ln x a e x a x x ++,即ln ln x x a a e e x x ++, 设()ln (0)h x x x x =+>,则11()1x h x x x+'=+=, 易知函数()h x 在(0,)+∞上单调递增,而()()x a h e h x ,所以x a e x ,即ln x a x ,当1x >时,即为ln x a x, 设()(1)ln x x x x ϕ=>,则2ln 1()ln x x x ϕ-'=, 易知函数()ϕx 在(0,)e 上单调递减,在(,)e +∞上单调递增, ()x ϕϕ∴（e ）e =,a e ∴,即a 的最大值为e ．2．（2022四川省资阳市高三第一次质量检测）已知函数221()(1)2x f x x a e ax a x =---+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在(,0)-∞上只有一个极值,且该极值小于1a e --,求a 的取值范围.【解析】（1）由题意,函数221()(1)2x f x x a e ax a x =---+, 可得()2()()()x x f x x a e ax a x a e a '=--+=--, 当0a ≤时,0x e a ->,令()0f x '<,解得x a <；令()0f x '>,解得x a >, 故()f x 在(,)a -∞递减,在(,)a +∞递增,当0a >时,令()0f x '=,解得1x a =或2ln x a =, 设()ln g a a a =-,可得1()a g a a-'=, 当1a >时,()0g a '>；当01a <<时,()0g a '<, 故min ()(1)10g x g ==>,故ln a a >,由()0f x '>,解得x a >或ln x a <,由()0f x '<,解得ln a x a <<,故()f x 在(,ln )a -∞递增,在(ln ,)a a 递减,在(,)a +∞递增, 综上可得：当0a ≤时,()f x 在(,)a -∞递减,在(,)a +∞递增, 0a >时,()f x 在(,ln )a -∞递增,在(ln ,)a a 递减,在(,)a +∞递增；（2）当0a <时,由（1）知,()f x 在(,)a -∞递减,在(,)a +∞递增,故()31()12a a f x f a e a e ==-+<--极小值,解得32a <-, 当01a <<时,ln 0a <,由（1）知()f x 在ln x a =处取极大值,设221()(ln )(ln 1)ln ln 2h a f a a a a a a a a ==---+21ln 1ln 2a a a a a a ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭, 则21()ln 2ln 2h a a a a a '=-+-, 因为01a <<,可得ln 0a <,所以()0h a '<,()h a 在(0,1)递减, 所以()(1)21a h a h e >=->--,所以01a <<不合题意, 当1a ≥时,ln 0a ≥,由（1）知()f x 在(,0)-∞递增, 此时()f x 在(,0)-∞无极值,不符合题意,综上可得,实数a 的取值范围是3(,2)-∞-.3．（2021重庆市第八中学高三下学期高考适应性考试）已知函数()()()ln ,2ln a f x x x g x a x x x x =+-=-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()1,4a ∈,记()f x 的零点为1x ,()g x 的极大值点为2x ,求证：12x x <· 【解析】（1）()f x 的定义域为()0,∞+,()22211a x x af x x x x ++'=++=,当0a ≥时,()0f x >′,()f x 在()0,∞+上单调递增：当0a <时,140a ∆=->,()0f x '=在()0,∞+上有唯一正根1142a-+-,当1140,2a x ⎛⎫-+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时,()0f x <′,单调递减；当114,2a x ⎛⎫-+-∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时,()0f x >′,()f x 单调递增；综上,当0a ≥时,()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a <时,()f x 在1140,2a ⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；在114,2a ⎛⎫-+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. （2）由（1）知,当()1,4a ∈时,()f x 在()0,∞+上单调递增,且()()11022ln 202af a f =-<=+->，, 所以()f x 在()0,∞+上有唯一零点()11,2x ∈. 又()2ln 1ag x x x'=-+-,又()1,4a ∈,由单调性运算性质可知,()g x '在()0,∞+上单调递减,且()()11042ln 4104ag a g '=->'=-+-<，, 故存在()01,4x ∈,使得()00g x '=,即002ln 1ax x =+,当()00,x x ∈时,()0g x '>,()g x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时,()0g x '<,()g x 单调递增；所以0x 是()g x 唯一极大值点,所以02x x =,故222ln 1ax x =+, 因此()222222222ln ln 2ln 1ln 1af x x x x x x x x x =+-=+--=--. 设()ln 1h x x x =--,因为()()11,410x h x x∈'=->，, 所以()h x '在()1,4上单调递增,所以()()10h x h >=.故有()()210f x f x >=,又()f x 在()0,∞+上单调递增, 所以12x x <.4．（2021山东省泰安高三高考适应性训练）已知函数()ln()xf x x a x a=+-+,a R ∈ （1）讨论()f x 的单调性；（2）若4a =,()1cos (2sin )2g x x x mx x =++,0m >,用}{min ,m n 表示m ,n 的最小值,记函数}{()min ()()h x f x g x =，,[],x ππ∈-,讨论函数()h x 的零点个数．【解析】（1）由已知可得函数()f x 的定义域为)(,+a -∞,2()()xf x x a '=+, 当0a ≤时,0x a >-≥,故()0f x '>,()f x 在)(,+a -∞上单调递增；当0a >时,(,0)x a ∈-时,()0f x '<,()f x 在(,0)a -上单调递减, (0,)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 在(0,)+∞上单调递增．综上所述,当0a ≤时,()f x 的单调递增区间是)(,+a -∞,无单调递减区间；当0a >时,()f x 的单调递减区间是(,0)a -,()f x 的单调递增区间是(0,)+∞．（2）由（1）可知当4a =时,min ()(0)ln 42ln 2f f x === 所以min ()()2ln 2,f x x f ≥=所以()>0,f x所以],x ππ⎡∈-⎣时,函数()h x 的零点个数即为函数()g x 在区间],ππ⎡-⎣内的零点个数．()211cos (2sin )sin cos 22g x x x mx x x x x mx =++=++,任取[]π,πx ∈-,因()2211()sin()cos()()sin cos ()22g x x x x m x x x x mx g x -=--+-+-=++=,所以()g x 是偶函数．因为()cos (cos )g x mx x x x m x '=+=+．当m 1≥时,cos 0m x +≥在[]0,π上恒成立,所以[]0,πx ∈时,()0g x '≥．所以()g x 在[]0,π上单调递增．又因为()01g =,所以()g x 在[]0,π上没有零点．又因为()g x 是偶函数,所以()g x 在[]ππ-，上没有零点．当01m <<时,令()0g x '=,得cos x m =-．由10m -<-<可知存在唯一0π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得0cos x m =-．所以当[)00,x x ∈时,()()0,g x g x '>单调递增；, 当()0,πx x ∈时,()0g x '<,()g x 单调递减．因为()01g =,()()2011,ππ12g g x m >=-．所以当21π102m ->,即221πm <<时,()g x 在[]0,π上没有零点．由()g x 是偶函数,可知()g x 在[]π,π-上没有零点．所以当21π102m -≤,即220πm <≤时,()g x 在[]0,π上有1个零点．由()g x 是偶函数,可知()g x 在[]π,π-上有2个零点．综上,当220πm <≤时,()g x 有2个零点；当22πm >时,()g x 没有零点．即当220πm <≤时,()h x 有2个零点；当22πm >时,()h x 没有零点． 5．已知函数()212x f x xe ax ax =++,()()21ln 2g x ax a x a =-∈R ．（1）讨论()f x 在区间()0,∞+上的单调性；（2）若关于x 的不等式()()f x g x >在区间()0,∞+上恒成立,求a 的取值范围．【解析】（1）()212x f x xe ax ax =++,求导得：()()()()11x xf x x e ax a e a x =+++=++'．当1a ≥-时,0x e a +≥,10x +>,()0f x '≥,()f x 在()0,∞+上单调递增．当1a <-时,令()0f x '>,得x e a >-,()ln x a >-,()f x 单调递增；令()0f x '<,得x e a <-,()ln x a <-,()f x 单调递减．综上,当1a ≥-时,()f x 在()0,∞+上单调递增；当1a <-时,()f x 在()()0,ln a -上单调递减,在()()ln ,a -+∞上单调递增．（2）由()()f x g x >得,()ln ln x xxe ax a x xe a x x +>-⇒>-+．令(),0,xt xe t =∈+∞,则()ln ln ln x x x xe t +==,上式变为ln t a t >-．①当0a =时,上式恒成立；①当0a >时,0t →时,ln a t -→+∞,不成立；①当0a <时,()1ln t h t a t ->=,求导得：()21ln 0t h t t e t-==⇒=', 所以,()()max 1h t h e e ==,则11a e->,即e a -<<0．综上,(],0a e ∈-．6．（2021山东省烟台市高三高考适应性练习）已知函数()()()2ln f x a x x x a =--∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：当1x >时,12221ln x e x x x x-+≥-. 【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+,()()212121ax ax f x a x x x --'=--=.令()221g x ax ax =--.①当0a =时,()10g x =-<,()()0g x f x x'=<,故()f x 在()0,∞+单调递减； ①当0a ≠时,()g x 为二次函数,28a a ∆=+.若0∆≤,即80a -≤<,则()g x 的图象为开口向下的抛物线且()0g x ≤, 所以()0f x '≤,故()f x 在()0,∞+单调递减；若0∆>,即8a <-或0a >,令()0g x =,得2184a a a x a -+=,2284a a a x a++=.当8a <-时,()g x 图象为开口向下的抛物线,210x x <<,所以当()20,x x ∈或()1,x x ∈+∞时,()0g x <,所以()0f x '<,()f x 单调递减；当()21,x x x ∈时,()0g x >,所以()0f x '>,()f x 单调递增；当0a >时,()g x 图象为开口向上的抛物线,120x x <<, 所以当()20,x x ∈,()0g x ≤,所以()0f x '<,故()f x 单调递减；当()2,x x ∈+∞时,()0g x >,所以()0f x '>,()f x 单调递增.综上,当8a <-时,()f x 在280,4a a a a ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭和28,4a a a a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减, 在2288,44a a a a a a a a ⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；当0a >时,()f x 在280,4a a a a ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减,在28,4a a a a ⎛⎫+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；当80a -≤≤,()f x 在()0,∞+单调递减;（2）由（1）知,当1a =时,()f x 在()0,1单调递减,在()1,+∞单调递增, 因此对1x ∀>恒有()()1f x f >,即2ln x x x ->. 因为20ln x x x <<-,若1221x ex -≥+成立,则12221ln x e x x x x-+≥-成立. 令()()()121112x x e x x ϕ-=-+≥,则()1x x e x ϕ-'=-,()11x x e ϕ-''=-. 因为1≥x ,所以()0x ϕ''≥,所以()x ϕ'在[)1,+∞单调递增,又()01ϕ'=,所以当1≥x 时,()0x ϕ'≥,所以()x ϕ在[)1,+∞单调递增, 又()10ϕ=,所以对1x ∀>恒有()()10x ϕϕ>=,即1221x e x -≥+.当1x >时,20ln x x x <<-,则2110ln x x x >>-,由不等式的基本性质可得12221ln x e x x x x-+≥-. 因此,原不等式成立.7．（2021浙江省高三高考考前模拟）已知函数()ln x f x a x e b =++（0a >）,其中 2.71828...e =是自然对数的底数．（1）判断()f x 的单调性；（2）令()()ln xt x f x b e x =--+,记0x 为函数()t x 的零点,求证：011ax e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭；（3）令()()xm x f x e =-,1a =,若对于[)1,x ∈+∞,()()21x m x b+≤恒成立,求b 的取值范围．【解析】（1）①()()ln 0x f x a x e b x =++>,①()xx a a xe f x e x x+'=+=,令()xg x a xe =+,故只需讨论()g x 的正负性即可,①()()10xg x x e '=+>,故()g x 单调递增,故()()00g x g a >=>, 故()0f x '>,①()f x 单调递增；（2）由()()ln ln ln x t x f x b e x a x x =--+=+, 故()10a t x x+'=>,故()t x 单调递增, 当1x =时,()()010t e t x =>=,故01x <,由1aa e e -⎛⎫ ⎪⎝⎭=,代入()t x ,得()2211024a t e a a a -⎛⎫=--=-++< ⎪⎝⎭,故0a x e ->, 综上所述：011ax e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭；（3）由题意得()ln m x x b =+,即求()21ln x x b b++≤恒成立时b 的取值范围,①()10m x x'=>,故()m x 单调递增且当b x e ->时()0m x >, 又①()210x +>,故得0b >, 故只需求()22ln 1b x b x +≤+, 当1x =时,24b ≤,解得02b ≤≤（*）, 令()2221ln r x x x b x b =++--,故()22112222222x b b x x b r x x x x x⎛⎫+-- ⎪+-⎝⎭'=+-==,令()2112422x x b b ϕ⎛⎫=+--≥- ⎪⎝⎭, 故由（*）知()0x ϕ>,故()r x 单调递增,①只需()()22221ln 140r x x x b x b r b =++--≥=-≥,解得02b ≤≤,综上所述：b 的取值范围是02b ≤≤. 8．已知函数321()32m m f x x x x +=-+,其中m 为正实数．（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）设211()()22g x f x lnx mx '=+-+,若存在[1x ∈,2],使得不等式()0<g x 成立,求m 的取值范围．【解析】（1）根据题意,2()(1)1(1)(1)f x mx m x mx x '=-++=--,0m >,1()0(1)(1)0f x mx x x m'∴=⇒--=⇒=,或1x =,所以①当1m 时,11m<,则有1()0f x x m '>⇒<,或1x >；1()01f x x m '<⇒<<,此时可得,()f x 在1(,)m-∞,(1,)+∞上单调递增,在1(,1)m上单调递减． ①当01m <<时,11m>,则有1()0f x x m '>⇒>,或1x <；1()01f x x m '<⇒<<,此时可得,()f x 在(,1)-∞,1(m,)+∞上单调递增,在1(1,)m上单调递减． ①当1m =时,恒有()0f x ',此时函数()f x 在R 上单调递增．综上可得,①当1m 时,()f x 在1(,)m-∞,(1,)+∞上单调递增,在1(,1)m上单调递减． ①当01m <<时,()f x 在(,1)-∞,1(m,)+∞上单调递增,在1(1,)m上单调递减． ①当1m =时,函数()f x 在R 上单调递增．（2）根据题意,由（1）可得,2221113()(1)1(1)(0)2222g x mx m x lnx mx mx m x lnx x =-+++-+=-+++>, 若存在[1x ∈,2],使得不等式()0<g x 成立,则需使()0min g x <,()()()()()2111111mx m x mx x g x mx m x x x-++--=-++='=, 由（1）可知,①当1m 时,11m<,则有1()0g x x m '>⇒<,或1x >；1()01f x x m '<⇒<<,此时可得,()g x 在1(,)m-∞,(1,)+∞上单调递增,在1(,1)m上单调递减, 即得()g x 在[1,2]上单调递增,故有11()(1)00122min g x g m m ==-+<<⇒>； ①当01m <<时,11m>,则有1()0g x x m '>⇒>,或1x <；1()01g x x m '<⇒<<,此时可得,()g x 在(,1)-∞,1(m,)+∞上单调递增,在1(1,)m上单调递减． ()i 当12m 时,即102m <时,()g x 在[1,2]上单调递减, 则有()()12202min g x g ln ==-+>,不合题意；()ii 当112m<<时,即112m <<时,()g x 在[1,1)m 上单调递减,在1(,2]m ,则有1111()()22min g x g ln mm m ==-++, 此时令1(12)t t m =<<,则11()22h t t lnt =-++⇒11()02h t t '=-+>,即得此时()h t 在(1,2)上单调递增,所以()h t h >（1）0=恒成立,即()0min g x >恒成立,不合题意；综上可得,1m．。

2023届高考数学导数满分通关：函数的单调性

专题04 函数的单调性函数的单调性与导数的关系已知函数f (x )在区间(a ，b )上可导，(1)如果f ′(x )＞0，那么函数y ＝f (x )在(a ，b )内单调递增；(2)如果f ′(x )＜0，那么函数y ＝f (x )在(a ，b )内单调递减；(2)如果f ′(x )＝0，那么函数y ＝f (x )在(a ，b )内是常数函数．注意：1．在某区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．(1)在函数定义域内讨论导数的符号．(2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号，不用“∪”，可用“，”或用“和”．考点一不含参数的函数的单调性【方法总结】利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f ′(x )的零点；第3步，用f ′(x )的零点将f (x )的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x )在各区间上的正负，由此得出函数y ＝f (x )在定义域内的单调性．【例题选讲】[例1](1)定义在[－2，2]上的函数f (x )与其导函数f ′(x )的图象如图所示，设O 为坐标原点，A ，B ，C ，D四点的横坐标依次为－12，－16，1，43，则函数y ＝f (x )e x 的单调递减区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫－16，43B ．⎝⎛⎭⎫－12，1C ．⎝⎛⎭⎫－12，－16 D ．(1，2) 答案 B 解析若虚线部分为函数y ＝f (x )的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象(实线)与x 轴有三个交点，不符合题意；若实线部分为函数y ＝f (x )的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象(虚线)与x 轴恰好也只有两个交点，符合题意．对函数y ＝f (x )e x 求导得y ′＝f ′(x )－f (x )e x，由y ′<0，得f ′(x )<f (x )，由图象可知，满足不等式f ′(x )<f (x )的x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1，因此，函数y ＝f (x )e x 的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－12，1．故选B ． (2)已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可以是( )答案 C 解析根据导函数的正负与原函数的单调性的关系，结合导函数f ′(x )的图象可知，原函数 f (x )先单调递增，再单调递减，最后缓慢单调递增，选项C 符合题意，故选C ．(3)函数f (x )＝x 2＋x sin x 的图象大致为( )答案 A 解析函数f (x )＝x 2＋x sin x 的定义域为R ，且f (－x )＝(－x )2＋(－x )sin(－x )＝x 2＋x sin x ＝ f (x )，即函数f (x )为偶函数．当x ＞0时，x ＋sin x ＞0，故f ′(x )＝x (1＋cos x )＋(x ＋sin x )＞0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故选A ．(4)函数f (x )＝x ＋21－x 的单调递增区间是________；单调递减区间是________．答案 (－∞，0) (0，1) 解析 f (x )的定义域为{x |x ≤1}，f ′(x )＝1－11－x．令f ′(x )＝0，得x ＝0．当0<x <1时，f ′(x )<0．当x <0时，f ′(x )>0．∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，1)．(5)设函数f (x )＝x (e x －1)－12x 2，则f (x )的单调递增区间是________，单调递减区间是________．答案 (－∞，－1)，(0，＋∞) [－1，0] 解析 ∵f (x )＝x (e x －1)－12x 2，∴f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x － 1)(x ＋1)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝0．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0．当x ∈[－1，0]时，f ′(x )≤0．当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0．故f (x )在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在[－1，0]上单调递减．(6)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1，1) B ．(0，1) C ．(1，＋∞) D ．(0，＋∞)答案 B 解析 y ＝12x 2－ln x ，y ′＝x －1x ＝x 2－1x ＝(x －1)(x ＋1)x(x >0)．令y ′＜0，得0<x ＜1，∴递减区间为(0，1)．(7)设函数f (x )＝2(x 2－x )ln x －x 2＋2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1，＋∞) D ．(0，＋∞) 答案 B 解析由题意可得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2(2x －1)ln x ＋2(x 2－x )·1x－2x ＋2＝(4x －2)ln x ．由f ′(x )＜0可得(4x －2)ln x ＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x －2＞0，ln x ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧4x －2＜0，ln x ＞0，解得12＜x ＜1，故函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫12，1，选B ．(8)已知定义在区间(0，π)上的函数f (x )＝x ＋2cos x ，则f (x )的单调递增区间为．答案 ⎝⎛⎭⎫0，π6，⎝⎛⎭⎫5π6，π 解析 f ′(x )＝1－2sin x ，x ∈(0，π)．令f ′(x )＝0，得x ＝π6或x ＝5π6，当0<x <π6时，f ′(x )>0，当π6<x <5π6时，f ′(x )<0，当5π6<x <π时，f ′(x )>0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π6和⎝⎛⎭⎫5π6，π上单调递增，在⎝⎛⎭⎫π6，5π6上单调递减．(9)函数f (x )＝2|sin x |＋cos2x 在[－π2，π2]上的单调递增区间为( ) A ．[－π2，－π6]和[0，π6] B ．[－π6，0]和[π6，π2] C ．[－π2，－π6]和[π6，π2] D ．[－π6，π6] 答案 A 解析由题意，因为f (－x )＝2|sin(－x )|＋cos(－2x )＝2|sin x |＋cos2x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数，当0≤x ≤π2时，f (x )＝2sin x ＋cos2x ，则f ′(x )＝2cos x －2sin2x ，令f ′(x )≥0，得sin x ≤12，所以0≤x ≤π6，由f (x )为偶函数，可得当－π6≤x ≤0时，f (x )单调递减，则在[－π2，－π6]上单调递增，故选A ． (10)下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝sin2xB ．f (x )＝x e xC ．f (x )＝x 3－xD ．f (x )＝－x ＋ln x答案 B 解析对于A ，f (x )＝sin 2x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)；对于B ，f ′(x )＝e x (x ＋1)，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，∴函数f (x )＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数；对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )>0，得x >33或x <－33，∴函数f (x )＝x 3－x 在⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭⎫33，＋∞上单调递增；对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ＝－x －1x，令f ′(x )>0，得0<x <1，∴函数f (x )＝－x ＋ln x 在区间(0，1)上单调递增．故选B ． [例2] 已知函数f (x )＝ln x ＋k e x(k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求实数k 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解析 (1)f ′(x )＝1x －ln x －k e x (x ＞0)．又由题意知f ′(1)＝1－k e＝0，所以k ＝1． (2)由(1)知，f ′(x )＝1x －ln x －1e x (x ＞0)．设h (x )＝1x －ln x －1(x ＞0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x＜0，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递减．由h (1)＝0知，当0＜x ＜1时，h (x )＞0，所以f ′(x )＞0；当x ＞1时，h (x )＜0，所以f ′(x )＜0．综上，f (x )的单调增区间是(0，1)，单调减区间为(1，＋∞)．【对点训练】1．如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下列判断正确的是( )A ．在区间(－2，1)上f (x )单调递增B ．在区间(1，3)上f (x )单调递减C ．在区间(4，5)上f (x )单调递增D ．在区间(3，5)上f (x )单调递增1．答案 C 解析在(4，5)上f ′(x )>0恒成立，∴f (x )在区间(4，5)上单调递增．2．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )2．答案 D 解析设导函数y ＝f ′(x )与x 轴交点的横坐标从左往右依次为x 1，x 2，x 3，由导函数y ＝f ′(x ) 的图象易得当x ∈(－∞，x 1)∪(x 2，x 3)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 1，x 2)∪(x 3，＋∞)时，f ′(x )>0(其中x 1<0<x 2<x 3)，所以函数f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，x 3)上单调递减，在(x 1，x 2)，(x3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D 选项符合．3．(多选)已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函数f (x )的图象的是( )3．答案 BCD 解析由导函数图象可得：当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )在(－∞，0)上单调递增；当0<x <2 时，f ′(x )<0，即函数f (x )在(0，2)上单调递减；当x >2时，f ′(x )>0，即函数f (x )在(2，＋∞)上单调递增．故选B 、C 、D ．4．函数f (x )的导函数f ′(x )有下列信息：①f ′(x )>0时，－1<x <2；②f ′(x )<0时，x <－1或x >2；③f ′(x )＝0时，x ＝－1或x ＝2．则函数f (x )的大致图象是( )4．答案 C 解析由题意可知函数f (x )在(－1，2)上单调递增，在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递减，故选C ．5．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )5．答案 D 解析由函数f (x )的图象可知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，0)上，f ′(x )＞0；在(0，＋∞)上，f ′(x )＜0，选项D 满足．6．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的图象大致是( )A B C D 6．答案 A 解析设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ，则g ′(x )＝2－2cos x ≥0．所以函数f ′(x )在R 上单调递增，故选A ．7．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞C ．(－∞，－1)D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－12 7．答案 B 解析由y ＝4x 2＋1x (x ≠0)，得y ′＝8x －1x 2，令y ′>0，即8x －1x 2>0，解得x >12，∴函数y ＝4x 2 ＋1x的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞．故选B ． 8．函数f (x )＝(x －2)e x 的单调递增区间为．8．答案 (1，＋∞) 解析 f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝(x －1)e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(1，＋∞) 时，f ′(x )>0；当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)．9．函数f (x )＝(x －1)e x －x 2的单调递增区间为，单调递减区间为．9．答案 (－∞，0)，(ln 2，＋∞) (0，ln 2) 解析 f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝x e x －2x ＝x (e x －2)，令f ′(x ) ＝0，得x ＝0或x ＝ln 2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表，∴f (x )10．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1，1)10．答案 A 解析 ∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x(x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1，∴当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0， f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．11．函数y ＝x ＋3x＋2ln x 的单调递减区间是( ) A ．(－3，1) B ．(0，1) C ．(－1，3) D ．(0，3)11．答案 B 解析 y ′＝1－3x 2＋2x ＝x 2＋2x －3x 2(x ＞0)，令y ′＜0得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3＜0x ＞0，解得0＜x ＜1，故选B ． 12．函数f (x )＝x ln x ＋x 的单调递增区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫1e 2，＋∞B ．⎝⎛⎭⎫0，1e 2C ．⎝⎛⎭⎫e e ，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫0，e e 12．答案 A 解析因为函数f (x )＝x ln x ＋x (x ＞0)，所以f ′(x )＝ln x ＋2，由f ′(x )>0，得ln x ＋2>0，可得x >1e2，故函数f (x )＝x ln x ＋x 的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1e 2，＋∞． 13．已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递增区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12和(1，＋∞)B ．(0，1)和(2，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫0，12和(2，＋∞) D ．(1，2) 13．解析 C 答案函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x 的定义域是(0，＋∞)．f ′(x )＝2x －5＋2x ＝2x 2－5x ＋2x＝(x －2)(2x －1)x ，令f ′(x )＞0，解得0＜x ＜12或x ＞2，故函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，12和(2，＋∞)． 14．函数f (x )＝x ln x的单调递减区间是________． 14．答案 (0，1)和(1，e) 解析由f ′(x )＝ln x －1ln x 2<0得⎩⎪⎨⎪⎧ln x －1<0，ln x ≠0，解得0<x <1或1<x <e ．∴f (x )的单调递减区间为(0，1)和(1，e)．15．函数f (x )＝e x cos x 的单调递增区间为________． 15．答案 ⎣⎡⎦⎤2k π－34π，2k π＋π4(k ∈Z ) 解析 f ′(x )＝e x cos x －e x sin x ＝e x (cos x －sin x )，令f ′(x )＞0得cos x ＞sin x ，∴2k π－34π＜x ＜2k π＋π4，k ∈Z ，即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－34π，2k π＋π4(k ∈Z )． 16．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间上单调递增( )A ．⎝⎛⎭⎫π2，3π2B ．(π，2π)C ．⎝⎛⎭⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π) 16．答案 B 解析 y ′＝－x sin x ，经验证，4个选项中只有在(π，2π)内y ′>0恒成立，∴y ＝x cos x －sinx 在(π，2π)上单调递增．17．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间为________．17．答案 ⎝⎛⎭⎫－π，－π2，⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ．令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π，－π2，⎝⎛⎭⎫0，π2． 18．(多选)若函数 g (x )＝e x f (x )(e ＝2.718…，e 为自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x ) 具有M 性质．下列函数不具有M 性质的为( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝x 2＋1C ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝x 18．答案 ACD 解析对于A ，f (x )＝1x ，则g (x )＝e xx ，g ′(x )＝e x (x －1)x 2，当x <1且x ≠0时，g ′(x )<0，当 x >1时，g ′(x )>0，∴g (x )在(－∞，0)，(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；对于B ，f (x )＝x 2＋1，则g (x )＝e x f (x )＝e x (x 2＋1)，g ′(x )＝e x (x 2＋1)＋2x e x ＝e x (x ＋1)2>0在实数集R 上恒成立，∴g (x )＝e x f (x )在定义域R 上是增函数；对于C ，f (x )＝sin x ，则g (x )＝e x sin x ，g ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )＝2e x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，显然g (x )不单调；对于D ，f (x )＝x ，则g (x )＝x e x ，则g ′(x )＝(x ＋1)e x ．当x <－1时，g ′(x )<0，所以g (x )在R 上先减后增；∴具有M 性质的函数的选项为B ，不具有M 性质的函数的选项为A ，C ，D ．19．已知函数f (x )＝12x 3＋x 2． (1)求曲线f (x )在点⎝⎛⎭⎫－43，f ⎝⎛⎭⎫－43处的切线方程； (2)讨论函数y ＝f (x )e x 的单调性．19．解析 (1)∵f (x )＝12x 3＋x 2，∴f ′(x )＝32x 2＋2x ．∴f ′⎝⎛⎭⎫－43＝0．又f ⎝⎛⎭⎫－43＝1627， ∴曲线f (x )在⎝⎛⎭⎫－43，f ⎝⎛⎭⎫－43处的切线方程为y ＝1627． (2)令g (x )＝f (x )e x ＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x ，∴g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋2x e x ＋⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x ．令g ′(x )＝0，解得x ＝0，x ＝－1或x ＝－4，当x ＜－4时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；当－4＜x ＜－1时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增；当－1＜x ＜0时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；当x ＞0时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增．综上可知，g (x )在(－∞，－4)和(－1，0)上单调递减，在(－4，－1)和(0，＋∞)上单调递增．20．设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4．(1)求a ，b 的值；(2)求f (x )的单调区间．20．解析 (1)∵f (x )＝x e a －x ＋bx ，∴f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b ．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝2e ＋2，f ′(2)＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1，解得a ＝2，b ＝e ． (2)由(1)得f (x )＝x e 2－x ＋e x ，由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知，f ′(x )与1－x ＋e x－1同号．令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1．当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在(－∞，1)上递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)上递增，∴g (x )≥g (1)＝1在R 上恒成立，∴f ′(x )>0在R 上恒成立．∴f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间．考点二比较大小或解不等式【方法总结】利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．【例题选讲】[例3](1)在R 上可导的函数f (x )的图象如图所示，则关于x 的不等式xf ′(x )＜0的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－2，－1)∪(1，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案 A 解析在(－∞，－1)和(1，＋∞)上，f (x )单调递增，所以f ′(x )＞0，使xf ′(x )＜0的范围为(－∞，－1)；在(－1，1)上，f (x )单调递减，所以f ′(x )＜0，使xf ′(x )＜0的范围为(0，1)．综上，关于x 的不等式xf ′(x )＜0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)．(2)已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝⎛⎭⎫π5，f (1)，f ⎝⎛⎭⎫－π3的大小关系为( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5 B ．f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5 C ．f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3 D ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1) 答案 A 解析因为f (x )＝x sin x ，所以f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3．又当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，所以f ⎝⎛⎭⎫π5<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫π3，即f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5，故选A ． (3)已知奇函数f (x )是R 上的增函数，g (x )＝xf (x )，则( )A ．g ⎝⎛⎭⎫log 314＞g (2－32)＞g (2－23)B ．g ⎝⎛⎭⎫log 314＞g (2－23)＞g (2－32) C ．g (2－32)＞g (2－23)＞g ⎝⎛⎭⎫log 314 D ．g (2－23)＞g (2－32)＞g ⎝⎛⎭⎫log 314 答案 B 解析由奇函数f (x )是R 上的增函数，可得f ′(x )≥0，以及当x ＞0时，f (x )＞0，当x ＜0时，f (x )＜0．由g (x )＝xf (x )，得g (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )＝g (x )，即g (x )为偶函数．因为g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，所以当x ＞0时，g ′(x )＞0，当x ＜0时，g ′(x )＜0．故当x ＞0时，函数g (x )单调递增，当x ＜0时，函数g (x )单调递减．因为g ⎝⎛⎭⎫log 314＝g (log 34)，0<2－32＜2－23＜20＝1＜log 34，所以g ⎝⎛⎭⎫log 314＞g (2－23)＞g (2－32)．故选B ． (4)对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足1－x f ′(x )≤0，则必有( ) A ．f (0)＋f (2)＞2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) C ．f (0)＋f (2)＜2f (1) D ．f (0)＋f (2)≥2f (1) 答案 A 解析当x ＜1时，f ′(x )＜0，此时函数f (x )单调递减，当x ＞1时，f ′(x )＞0，此时函数f (x )单调递增，∴当x ＝1时，函数f (x )取得极小值同时也取得最小值，所以f (0)＞f (1)，f (2)＞f (1)，则f (0)＋f (2)＞2f (1)．(5)已知函数f (x )＝e x －e －x －2x ＋1，则不等式f (2x －3)>1的解集为．答案 ⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 解析 f (x )＝e x －e －x －2x ＋1，定义域为R ，f ′(x )＝e x ＋e －x －2≥2e x ·e －x －2＝0，当且仅当x ＝0时取“＝”，∴f (x )在R 上单调递增，又f (0)＝1，∴原不等式可化为f (2x －3)>f (0)，即2x －3>0，解得x >32，∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫32，＋∞． (6)设函数f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －cos x ，则不等式f (2x －1)＋f (x －2)>0的解集为( )A ．(－∞，1)B ．⎝⎛⎭⎫－∞，13C ．⎝⎛⎭⎫13，＋∞ D ．(1，＋∞) 答案 D 解析根据题意，当x ≥0时，f (x )＝e x －cos x ，此时有f ′(x )＝e x ＋sin x >0，则f (x )在[0，＋∞)上为增函数，又f (x )为R 上的奇函数，故f (x )在R 上为增函数．f (2x －1)＋f (x －2)>0⇒f (2x －1)>－f (x －2)⇒f (2x －1)>f (2－x )⇒2x －1>2－x ，解得x >1，即不等式的解集为(1，＋∞)．【对点训练】1．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )≥0的解集为．1．答案 ⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 解析由f (x )图象特征可得，在⎝⎛⎦⎤－∞，12和[2，＋∞)上f ′(x )≥0，在 ⎝⎛⎭⎫12，2上 f ′(x )<0，所以xf ′(x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，f ′(x )≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，f ′(x )≤0⇔0≤x ≤12或x ≥2，所以xf ′(x )≥0的解集为⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞)． 2．已知函数f (x )＝3x ＋2cos x ，若a ＝f (32)，b ＝f (2)，c ＝f (log 27)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a2．答案 D 解析根据题意，函数f (x )＝3x ＋2cos x ，f ′(x )＝3－2sin x ，因为f ′(x )＝3－2sin x >0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上为增函数．又由2＝log 24<log 27<3<32，则b <c <a ．故选D ．3．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x －2x ，a ＝f (－π)，b ＝f (2e )，c ＝f (ln2)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．a >b >cC ．b >a >cD ．c >b >a3．答案 A 解析 f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝cos x －sin x －2＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－2<0，∴f (x )在R 上单调递减，又2e >1，0<ln 2<1，∴－π<ln 2<2e ，故f (－π)>f (ln 2)>f (2e )，即a >c >b ．4．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a4．答案 C 解析因为当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，1)上是单调递增函数，所以a ＝f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12＝b ，又f (x )＝f (2－x )，所以c ＝f (3)＝f (－1)，所以c ＝f (－1)<f (0)＝a ，所以c <a <b ，故选C ．5．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是．5．答案 ⎣⎡⎦⎤－1，12 解析 f (－x )＝(－x )3＋2x ＋e －x －e x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．又f ′(x )＝3x 2－2 ＋e x ＋1e x ≥0－2＋2＝0，所以函数f (x )为单调递增函数．不等式f (a －1)＋f (2a 2)≤0可化为f (2a 2)≤－f (a －1)＝f (1－a )，所以2a 2≤1－a ，解得－1≤a ≤12．6．已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋2e x －2e －x ，其中e 为自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫－1，12D ．⎣⎡⎦⎤－1，12 6．答案 D 解析 f ′(x )＝x 2－4＋2e x ＋2e －x ≥x 2－4＋24e x ·e －x ＝x 2≥0，∴f (x )在R 上是增函数．又f (－ x )＝－13x 3＋4x ＋2e －x －2e x ＝－f (x )，知f (x )为奇函数．故f (a －1)＋f (2a 2)≤0⇔f (a －1)≤f (－2a 2)，∴a －1≤－2a 2，解之得－1≤a ≤12．7．若函数f (x )＝ln x ＋e x －sin x ，则不等式f (x －1)≤f (1)的解集为．7．答案 (1，2] 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝1x ＋e x －cos x ．∵x >0，∴e x >1，∴f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x －1)≤f (1)，∴0<x －1≤1，即1<x ≤2，原不等式的解集为(1，2]． 8．已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1x <2f (1)的解集为． 8．答案 ⎝⎛⎭⎫1e ，e 解析 f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝f (ln x )．则原不等式可变形为f (ln x )<f (1)⇔f (|ln x |)<f (1)．又f ′(x )＝x cos x ＋2x ＝x (2＋cos x )，由2＋cos x >0，得当x >0时，f ′(x )>0．所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∴|ln x |<1⇔－1<ln x <1⇔1e <x <e ．考点三根据函数的单调性求参数【方法总结】利用单调性求参数的两类热点问题的处理方法(1)函数f (x )在区间D 上存在递增(减)区间．方法一：转化为“f ′(x )>0(<0)在区间D 上有解”；方法二：转化为“存在区间D 的一个子区间使f ′(x )>0(<0)成立”． (2)函数f (x )在区间D 上递增(减)．方法一：转化为“f ′(x )≥0(≤0)在区间D 上恒成立”问题；方法二：转化为“区间D 是函数f (x )的单调递增(减)区间的子集”．【例题选讲】[例4](1)若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(1，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，1) C ．(－∞，2] D ．(－∞，2)答案 C 解析 f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6，由已知条件知x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，设g (x )＝6x 2－6mx ＋6，则g (x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，解法一：若Δ＝36(m 2－4)≤0，即－2≤m ≤2，满足g (x )≥0在(1，＋∞)上恒成立；若Δ＝36(m 2－4)>0，即m <－2或m >2，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2<1，g (1)＝12－6m ≥0，解得m <2，∴m <－2，综上得m ≤2，∴实数m 的取值范围是(－∞，2]．解法二：问题转化为m ≤x ＋1x 在(1，＋∞)上恒成立，而当x ∈(1，＋∞)时，函数y ＝x ＋1x >2，故m ≤2，故选C ．(2)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是．答案 (1，2] 解析易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －9x ．又x >0，由f ′(x )＝x －9x≤0，得0<x ≤3．因为函数f (x )在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，a ＋1≤3，解得1<a ≤2．(3)若函数f (x )＝e x (sin x ＋a )在区间(0，π)上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－2，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(－∞，－2] D ．(－∞，1]答案 C 解析由题意，知f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x ＋a )≤0在区间(0，π)内恒成立，即a ≤－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在区间(0，π)内恒成立．因为x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，5π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈⎝⎛⎦⎤－22，1，所以－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2，1)，所以a ≤－2．故选C ．(4)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4a 2x ＋a －4a ，0<x ≤a ，x －x ln x ，x >a 是(0，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，e 2]B ．[e ，e 2]C ．[e ，＋∞)D ．[e 2，＋∞)答案 D 解析由题意，当x >a 时，f ′(x )＝1－(ln x ＋1)＝－ln x ，则－ln x ≤0在x >a 时恒成立，则a ≥1；当0<x ≤a 时，f ′(x )＝1－4a 2(x ＋a )2，则1－4a 2(x ＋a )2≤0在0<x ≤a 时恒成立，即－3a ≤x ≤a 在0<x ≤a 时恒成立，解得a >0，且a ＋4a 2a ＋a－4a ≥a －a ln a ，解得ln a ≥2，即a ≥e 2，故⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a >0，a ≥e 2，解得a ≥e 2，故选D ．(5)若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是．答案 ⎝⎛⎭⎫－19，＋∞ 解析对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a ．由题意知，f ′(x )>0 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上有解，当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a ．令29＋2a >0，解得a >－19，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－19，＋∞． (6)若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是．答案 ⎣⎡⎭⎫1，32 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，f ′(x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，f ′(x )>0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1>k －1，k －1≥0，k ＋1>12，k －1<12，解得1≤k <32．[例5] 已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围； (3)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上不单调，求a 的取值范围．解析 (1)由h (x )在[1，4]上单调递减得，当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立．所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716且a ≠0，即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)． (2)h (x )在[1，4]上存在单调递减区间，则h ′(x )＜0在[1，4]上有解，所以当x ∈[1，4]时，a ＞1x 2－2x 有解，又当x ∈[1，4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1，所以a ＞－1且a ≠0，即a 的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞)．(3)因为h (x )在[1，4]上不单调，所以h ′(x )＝0在(1，4)上有解，即a ＝1x 2－2x 有解，令m (x )＝1x 2－2x ，x ∈(1，4)，则－1＜m (x )＜－716，所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－716． [例6] 已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b ．(1)若f (x )与g (x )的图象在x ＝1处相切，求g (x )；(2)若φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．解析 (1)由已知得f ′(x )＝1x ，所以f ′(1)＝1＝12a ，所以a ＝2．又因为g (1)＝12a ＋b ＝f (1)＝0，所以b ＝－1．所以g (x )＝x －1．(2)因为φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )＝m (x －1)x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数．所以φ′(x )＝－x 2＋(2m －2)x －1x (x ＋1)2≤0在[1，＋∞)上恒成立，即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，则2m －2≤x ＋1x ，x ∈[1，＋∞)，因为x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号，所以2m －2≤2，即m ≤2．故实数m 的取值范围是(－∞，2]．【对点训练】1．已知函数f (x )＝x 2＋ax，若函数f (x )在[2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，8)B ．(－∞，16]C ．(－∞，－8)∪(8，＋∞)D ．(－∞，－16]∪[16，＋∞) 1．答案 B 解析 f ′(x )＝2x －a x 2，∴当x ∈[2，＋∞)时，f ′(x )＝2x －ax 2≥0恒成立，即a ≤2x 3恒成立，∵x ≥2，∴(2x 3)min ＝16，故a ≤16．2．已知函数f (x )＝13ax 3－x 2＋x 在区间(0，2)上是单调增函数，则实数a 的取值范围为________．2．答案 [1，＋∞) 解析f ′(x )＝ax 2－2x ＋1≥0⇒a ≥－1x 2＋2x＝－⎝⎛⎭⎫1x －12＋1在(0，2)上恒成立，即a ≥1．3．若y ＝x ＋a 2x(a ＞0)在[2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是．3．答案 (0，2] 解析由y ′＝1－a 2x 2≥0，得x ≤－a 或x ≥a ．∴y ＝x ＋a 2x 的单调递增区间为(－∞，－a ]，[a ，＋∞)．∵函数在[2，＋∞)上单调递增，∴[2，＋∞)⊆[a ，＋∞)，∴a ≤2．又a ＞0，∴0＜a ≤2． 4．若函数f (x )＝x 2＋1＋ax 2x 在[13，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是______． 4．答案 [253，＋∞) 解析由已知得，f ′(x )＝2x ＋a －1x 2，若函数f (x )在[13，＋∞)上是增函数，则当x ∈[13，＋∞)时，2x ＋a －1x 2≥0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立，即a ≥⎝⎛⎭⎫1x 2－2x max ，设u (x )＝1x 2－2x ，x ∈[13，＋∞)，则u ′(x )＝－2x 3－2<0，即函数u (x )在[13，＋∞)上单调递减，所以当x ＝13时，函数u (x )取得最大值u ⎝⎛⎭⎫13＝253，所以a ≥253．故实数a 的取值范围是[253，＋∞)．5．已知函数f (x )＝sin2x ＋4cos x －ax 在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，3]B ．[3，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[0，＋∞)5．答案 B 解析 f ′(x )＝2cos 2x －4sin x －a ＝2(1－2sin 2x )－4sin x －a ＝－4sin 2x －4sin x ＋2－a ＝－(2sin x ＋1)2＋3－a ．由题设，f ′(x )≤0在R 上恒成立，因此a ≥3－(2sin x ＋1)2恒成立，则a ≥3． 6．若函数g (x )＝ln x ＋12x 2－(b －1)x 存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．(－∞，3]6．答案 B 解析函数g (x )＝ln x ＋12x 2－(b －1)x 的定义域为(0，＋∞)，且其导数为g ′(x )＝1x ＋x －(b －1)．由g (x )存在单调递减区间知g ′(x )＜0在(0，＋∞)上有解，即x ＋1x ＋1－b ＜0有解．因为函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，所以x ＋1x ≥2．要使x ＋1x ＋1－b ＜0有解，只需要x ＋1x 的最小值小于b －1，所以2＜b －1，即b ＞3，所以实数b 的取值范围是(3，＋∞)．故选B ．7．已知函数f (x )＝ln x ＋(x －b )2(b ∈R )在⎣⎡⎦⎤12，2上存在单调递增区间，则实数b 的取值范围是________． 7．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，94 解析由题意得f ′(x )＝1x ＋2(x －b )＝1x ＋2x －2b ，因为函数f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上存在单调递增区间，所以f ′(x )＝1x ＋2x －2b >0在⎣⎡⎦⎤12，2上有解，所以b <⎝⎛⎭⎫12x ＋x max ，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，由函数的性质易得当x ＝2时，12x ＋x 取得最大值，即⎝⎛⎭⎫12x ＋x max ＝12×2＋2＝94，所以b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，94． 8．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．8．答案 (0，1)∪(2，3) 解析由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x ＝－(x －1)(x －3)x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1，3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3．9．(多选)若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1恰好有三个单调区间，则实数a 的取值可以是( )A ．－3B ．－1C ．0D ．2 9．答案 BD 解析依题意知，f ′(x )＝3ax 2＋6x －1有两个不相等的零点，故⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝36＋12a >0解得a >－3且a ≠0．故选BD ．10．已知二次函数h (x )＝ax 2＋bx ＋2，其导函数y ＝h ′(x )的图象如图所示，f (x )＝6ln x ＋h (x )．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，m ＋12上是单调函数，求实数m 的取值范围．10．解析 (1)由已知，h ′(x )＝2ax ＋b ，其图象为直线，且过(0，－8)，(4，0)两点，把两点坐标代入h ′(x )＝2ax ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－8，8a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－8，所以h (x )＝x 2－8x ＋2，f (x )＝6ln x ＋x 2－8x ＋2． (2)由(1)得f ′(x )＝6x ＋2x －8＝2(－1)(x －3)x ．因为x ＞0，所以f ′(x )，f (x )的变化如表所示．所以f (x )的单调递增区间为(0，1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(1，3)，要使函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，m ＋12 上是单调函数，则⎩⎨⎧1＜m ＋12，m ＋12≤3，解得12＜m ≤52．故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤12，52． 11．已知函数f (x )＝x 2＋a ln x ．(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调递减区间；(2)若函数g (x )＝f (x )＋2x 在[1，＋∞)上单调，求实数a 的取值范围．11．解析 (1)由题意，知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x ，由f ′(x )<0得0<x <1，故f (x )的单调递减区间是(0，1)． (2)由题意，得g ′(x )＝2x ＋a x －2x2，∵函数g (x )在[1，＋∞)上单调，当g (x )为[1，＋∞)上的单调增函数时，则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥2x －2x 2在[1，＋∞)上恒成立，设φ(x )＝2x－2x 2．∵φ(x )在[1，＋∞)上单调递减，∴在[1，＋∞)上，φ(x )max ＝φ(1)＝0，∴a ≥0．当g (x )为[1，＋∞)上的单调减函数时，则g ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，易知其不可能成立． ∴实数a 的取值范围为[0，＋∞)． 12．已知函数f (x )＝e x －ax e x －a (a ∈R )．(1)若f (x )在(0，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围；(2)求证：x 在(0，2)上任取一个值，不等式1x －1e x －1<12恒成立(注：e 为自然对数的底数)．12．解析 (1)由已知得f ′(x )＝e x (x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x ＋1－a ．由函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减得f ′(x )≤0恒成立． ∴11＋x －a ≤0，即a ≥11＋x ，又11＋x∈(0，1)，∴a 的取值范围为[1，＋∞)．(2)要证原不等式恒成立，即证e x －1－x <12x (e x －1)，即(x －2)e x ＋x ＋2>0在x ∈(0，2)上恒成立．设F (x )＝(x －2)e x ＋x ＋2，则F ′(x )＝(x －1)e x ＋1．在(1)中，令a ＝1，则f (x )＝e x －x e x －1，f (x )在(0，2)上单调递减，∴F ′(x )＝－f (x )在(0，2)上单调递增，而F ′(0)＝0，∴在(0，2)上F ′(x )>0恒成立，∴F (x )在(0，2)上单调递增，∴F (x )>F (0)＝0，即当x ∈(0，2)时，1x －1e x －1<12恒成立．。

第03讲利用导数求函数的单调性-《高中数学选修2-2重难点解读》(解析版)

第三讲利用导数求函数的单调性1．函数单调性与导数的关系在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )＞0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )＜0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减；如果恒有f ′(x )＝0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内是常数函数．注意：在某个区间内，()0f x '>（()0f x '<）是函数()f x 在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件.函数()f x 在(,)a b 内单调递增（减）的充要条件是()0f x '≥（()0f x '≤）在(,)a b 内恒成立，且()f x '在(,)a b 的任意子区间内都不恒等于0. 2. 函数图象的变化趋势与导数值大小的关系如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化的快，其图象比较陡峭．即|f ′(x )|越大，则函数f (x )的切线的斜率越大，函数f (x )的变化率就越大考点一利用导数求单调区间【例1】求下列函数的单调区间。

（1）3()23f x x x =-；（2）2()ln f x x x =-. （3）f (x )＝2x －x 2.【答案】见解析【解析】（1）由题意得f(x)的定义域为R ，2()63f x x '=-. 令2()630f x x '=->，解得2x <或2x >. 当2(,)2x ∈-∞-时，函数为增函数；当2)2x ∈+∞时，函数也为增函数. 令2()630f x x '=-<，解得22x <<.当(x ∈时，函数为减函数.故函数3()23f x x x =-的单调递增区间为(,2-∞-和,)2+∞，单调递减区间为(22-.（2）函数2()ln f x x x =-的定义域为(0,)+∞.11)()2f x x x x-+'=-=.令()0f x '>，解得2x >；令()0f x '<，解得02x <<.故函数2()ln f x x x =-的单调递增区间为)2+∞，单调递减区间为(0,2. (3)要使函数f (x )＝2x －x 2有意义，必须2x －x 2≥0，即0≤x ≤2.∴函数的定义域为[0,2]．f ′(x )＝(2x －x 2)′＝12(2x －x 2)－12·(2x －x 2)′＝1－x 2x －x 2 .令f ′(x )＞0，则1－x2x －x 2＞0.即⎩⎨⎧1－x ＞0，2x －x 2＞0，∴0＜x ＜1.∴函数的单调递增区间为(0,1)．令f ′(x )＜0，则1－x2x －x 2＜0，即⎩⎨⎧1－x ＜0，2x －x 2＞0，∴1＜x ＜2.∴函数的单调递减区间为(1,2)．1．函数()e x f x x -=的单调递减区间是。

利用导数求函数的单调性和极值

利用导数求函数的单调性和极值函数的单调性和极值是数学中一个常见的问题，利用导数可以很方便地求解。

导数可以告诉我们函数在某一点的变化情况，从而推断函数的单调性和极值。

本文将介绍如何利用导数求函数的单调性和极值。

1. 导数的定义首先，我们需要了解导数的定义。

对于一元函数y = f(x)，其导数可以通过以下公式求得：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h其中，f'(x)表示函数f(x)在x处的导数，h表示一个无穷小的增量。

导数可以理解为函数在某一点上的变化速率。

2. 利用导数求函数的单调性函数的单调性是指函数在某个区间上的变化趋势。

利用导数可以判断函数在某个区间上的单调性。

若在区间(a, b)上，对于任意的x1, x2∈(a, b)，当x1<x2时，若f'(x1)>0，则f(x1)<f(x2)，函数单调递增；若f'(x1)<0，则f(x1)>f(x2)，函数单调递减。

例如，函数f(x) = x^2，在定义域(-∞, +∞)上处处可导。

对于任意的x1, x2∈(-∞, +∞)，都有f'(x) = 2x。

当x1<x2时，若x1>0，则函数f(x)的导数f'(x)大于0，因此f(x)在正数区间上单调递增。

若x1<0，则f'(x)小于0，因此f(x)在负数区间上单调递减。

3. 利用导数求函数的极值函数的极值包括极大值和极小值。

利用导数可以判断函数的极值点。

首先，我们需要找出函数f(x)的导数f'(x)。

然后，求导函数f'(x)的零点，即f'(x)=0的解x。

这些解x处的函数值f(x)即为函数的极值点。

例如，函数f(x) = x^3 - 3x。

首先求导数，f'(x) = 3x^2 - 3。

然后将f'(x) = 0，求解得x=±1。

考点利用导数求函数的单调性、极值、最值

考点：利用导数求函数的单调性、极值、最值知识点1.求函数单调区间的步骤：①确定f(x)的定义域；②求导数y ′；③令y ′>0(y ′<0),解出相应的x 的范围。

当y ′>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当y ′<0时，f(x)在相应区间上是减函数2.求极值常按如下步骤：① 确定函数的定义域；② 求导数；③ 求方程/y =0的根及导数不存在的点，这些根或点也称为可能极值点；④通过列表法, 检查在可能极值点的左右两侧的符号，确定极值点。

3.设函数f(x)在[a,b]上连续,在（a,b ）内可导，求f(x)在[a,b]上的最大（小）值的步骤如下：①求f(x)在(a,b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

4.最值（或极值）点必在下列各种点之中：导数等于零的点、导数不存在的点、端点。

5.求函数f (x )的极值的步骤:①确定函数的定义区间，求导数f ′(x )；②求方程f ′(x )=0的根 ③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列表.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，若左正右负，则f (x )在这个根处取得极大值；若左负右正，则f (x )在这个根处取得极小值；若左右不改变符号即都正或都负，则f (x )在这个根处无极值例题1. 函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间为_______________．2. 讨论下列函数的单调性：（1）x x a a x f --=)(（0>a 且1≠a ）；（2）)253(log )(2-+=x x x f a （0>a 且1≠a ）；3.求下列函数的极值：（1）x x x f 12)(3-=；（2）x ex x f -=2)(；（3）.212)(2-+=x x x f练习1.下列说法正确的是（）A.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极大值B.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极小值C.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极值D.当f (x 0)为函数f (x )的极值且f ′(x 0)存在时，则有f ′(x 0)=02.函数y =216x x +的极大值为（） A.3 B.4 C.2 D.53.函数y =x 3－3x 的极大值为m ,极小值为n ,则m +n 为（）A.0B.1C.2D.44.y =ln 2x +2ln x +2的极小值为（）A.e －1B.0C.－1D.15．函数y=xsinx+cosx 在下面哪个区间内是增函数（） A.(,) B.(π,2π) C.(,) D.(2π,3π)6．已知函数y=xf′(x)的图象如下图所示（其中f′（x ）是函数f （x ）的导函数）.下面四个图象中y=f （x ）的图象大致是（）7.函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y 11log 21在区间),0(+∞上是（） A ．增函数，且0>y B ．减函数，且0>yC ．增函数，且0<yD ．减函数，且0<y8．函数f (x )=x 3－3x 2+7的极大值为___________.9. 求下列函数的单调区间：（1）32)(24+-=x x x f ；（2）22)(x x x f -=；（3）).0()(>+=b xb x x f10.已知)0()(23≠++=a cx bx ax x f 在1±=x 时取得极值，且1)1(-=f ．（1）试求常数a 、b 、c 的值；（2）试判断1±=x 是函数的极小值还是极大值，并说明理由．11.已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值（1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间（2）若对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ）<c 2恒成立，求c 的取值范围．。

完整版)利用导数求函数单调性题型全归纳

完整版)利用导数求函数单调性题型全归纳利用导数求函数单调性题型全归纳一、求单调区间例1：已知函数$f(x)=ax+x^2-x\ln a(a>0,a\neq 1)$，求函数$f(x)$的单调区间。

解：$f'(x)=ax\ln a+2x-\ln a=2x+(a x-1)\ln a$。

令$g(x)=f'(x)$，因为当$a>0,a\neq 1$时，$g'(x)=2+a\ln a>0$，所以$f'(x)$在$\mathbb{R}$上是增函数，又$f'(0)=-\ln a0$的解集为$(0,+\infty)$，故函数$f(x)$的单调增区间为$(0,+\infty)$，减区间为$(-\infty,0)$。

变式：已知$f(x)=e^{-ax}$，求$f(x)$的单调区间。

解：$f(x)=e^{-ax}$，当$a\leq 0$时，$f(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$a>0$时，由$f(x)=e^{-a x}>0$得：$x>\ln a$，$f(x)$在$(\ln a,+\infty)$单调递增；由$f(x)=e^{-a x}0$时，$f(x)$的单调递增区间为$(\ln a,+\infty)$，递减区间为$(-\infty,\ln a)$。

二、函数单调性的判定与逆用例2：已知函数$f(x)=x+ax-2x+5$在$(0,+\infty)$上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，求正整数$a$的取值集合。

解：$f'(x)=3x+2ax-2$。

因为函数$f(x)=x+ax-2x+5$在$(0,+\infty)$上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，所以$f'(x)=3x+2ax-2=0$在$(0,+\infty)$上有解。

所以$f''(x)=6+2a>0$在$(0,+\infty)$上恒成立。

利用导数判断函数单调性专题

利用导数判断函数单调性专题一、用导数求函数的单调区间的基本步骤（1）确定函数)(x f 的定义域（2）求导数)(x f '（3）若0)(>'x f ，解出相应的x 的范围，则)(x f 在相应的区间上是增函数，若0)(<'x f ，则)(x f 在相应的区间上是减函数备注：注意因式分解，注意对参数的分类讨论二、典型例题例题1（不含参数型）讨论函数2)32ln()(x x x f ++=的单调性例题2（不含参数型）已知函数xx x f ln )(=，判断函数)(x f 的单调性，并求在区间]2,1[上的最值例题3（不含参数型）求函数x x x f ln )(2=的单调区间和极值例题4（含参数型、求导后研究一元二次函数）已知函数1ln )(+-=x ax x x f ，当0≥a 时，讨论函数)(x f 的单调性例题5（含参数型、求导后注意因式分解）已知函数]1,21(],,0[,)1()(2∈∈--=k k x kx e x x f x ，求函数)(x f 的单调区间例题6（因式分解解决不了的混合型函数）已知函数)10(1ln )1()(≠>-+=x x x x x x f 且，讨论函数)(x f 的单调性提升训练（含参数）1、已知函数11ln )(--+-=xa x ax x f ，试讨论)(x f 的单调性2、设函数22()(ln )x e f x k x x x=-+（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）. 当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；3、已知函数)ln()(m x e x f x +-=，其中R m ∈且m 为常数（1）试判断当0=m 时，函数)(x f 在区间],1[+∞上的单调性，并证明（2）设函数)(x f 在0=x 处取得极值，求m 的值，并讨论函数)(x f 的单调性利用导数判断函数单调性专题参考答案例题1例题2 解：2ln 1)(xx x f -=' 当e x <<0时，0)(>'x f ，)(x f 为增函数；当e x >时，0)(<'x f ，)(x f 为减函数因为函数)(x f 在),0(e 上单调递增，所以)(x f 在]2,1[上单调递增，故22ln )2()(max ==f x f ，01ln )1()(min ===f x f例题3例题4例题5解所以 )(x f 的单调递增区间为)),2(ln(k k ，减区间为))2ln(,0(k例题6：提升训练1、23。

利用导数研究函数单调性的几种类型

3.已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决.
下面我们就根据具体例题来分析一下吧！
已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决
利用导数研导数研究函数的单调性常见题型有一下三种：
1.已知函数解析式求单调区间，实质上是求f’(x)>0，f’(x)<0的解集，但是要注意定义域；
2.含参数的单调性问题要分类讨论，通过确定导数的符号，判断函数的单调性；

导数与函数的单调性-高考数学复习

间内没有单调性.
（
√
）
（3）若函数 f （ x ）在定义域上都有f'（ x ）＞0，则 f （ x ）在定义
域上一定是增函数.
（
× ）
目录
高中总复习·数学
2. 如图是函数 y ＝ f （ x ）的导函数 y ＝f'（ x ）的图象，则下列判断正
确的是（
）
A. 在区间（－2，1）上 f （ x ）单调递增
数的单调性，得出函数的极值、最值等性质，利用数形结合的方法确
定不等式的解集.
目录
高中总复习·数学
考向3 已知函数单调性求参数
【例5】（2023·新高考Ⅱ卷6题）已知函数 f （ x ）＝ a e x －ln x 在区
间（1，2）上单调递增，则实数 a 的最小值为（
A. e2
B. e
C. e－1
）
1
）在（－∞，ln

1
）上单调递减，在（ln

，＋∞）上单
调递增.
综上可知，当 a ≤0时， f （ x ）在（－∞，＋∞）上是减函数；当
a ＞0时， f （ x
1
）在（－∞，ln

1
）上单调递减，在（ln

，＋
∞）上单调递增.
目录
高中总复习·数学
解题技法
讨论函数 f （ x ）单调性的步骤
（1）确定函数 f （ x ）的定义域；
D. e－2
目录
高中总复习·数学
解析：
法一
1
1
x
x
由题意，得f'（ x ）＝ a e －，∴f'（ x ）＝ a e －

1

利用导数研究函数单调性

二、题型小结 1、求函数的单调区间。 2、已知函数单调性求参数的范围。 3、函数单调性的应用。
2x 5 的单调区间.
0,
1 2
单调增区间为（－∞，－ 2 ),(1，+∞);单调减区间为(－ 2 ，1).
3
3
4、若函数f(x)=kx－lnx在区间(1,+∞)递增,则k的取值范围是 [1,+∞) .
学情检测
5、已知函数 y xf '(x) 的图象如右图所示(其中 f '(x) 是函数 f (x)的导函数)，下面四个图象中的图象大致是 ( ③ )
y
2
1 O
-2 -1
12
-2 ①
y
2
y
4
y
4
2
1
1
2
O
x
-2 -1 -2
1 2x-2 -1 O1来自-2x-2
O
-1
2x
②
③
④
变式提升例1：求函数 f (x) xekx (k 0) 的单调区间。
变式提升
变式：（2016天津高考节选）设函数 f (x) x3 ax b ，x∈R，其中a，b∈R，求f(x)的单调区间。
知识梳理
❖ 1．函数的单调性与导数
❖ 2．利用导数求函数单调区间步骤：
①求函数定义域 ②求导数f’(x) ③解不等式f (x)＞0，得函数的单调递增区间；
解不等式f (x)＜0，得函数的单调递减区间．
递增递减
学情检测
1、判断下列结论的正误（正确打“√”，错误的打“×”）
（1）函数y=f(x)在区间（a，b）上递增是f＇(x)≥0的充要条件（ ×）
-5
则实数m的值是多少？