2020届福建省福州市高三上学期期末质量检测数学(理)试题(解析版)

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2020届福建省高三毕业班3月质量检测考试数学(理)试题(解析版)

2．若复数满足
,则
A．
B．
C．
D．1
【答案】D
【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得 z，再由复数模的计
算公式求解．
【详解】
由（z+1）i＝1+i，得 z+1
，
∴z＝﹣i，则|z|＝1．
故选：D．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
3．经统计,某市高三学生期末数学成绩
则
，解得 n
，
∵CC′∥BB′，
∴S△BB′C′＝S△BB′C
，
令 f（k）
（k
），则 f′（k）
，
令 f′（k）＝0 可得 k
或 k （舍），
∴当 k
时，f′（k）＞0，当
k
时，f′（k）＜0，
∴当 k
时，f（k）取得最大值 f（）
．
故选：D．
【点睛】本题考查了余弦定理，函数单调性判断与最值计算，考查了用解析法解决几何问题的方法，属于较难题．
2020 届福建省高三毕业班 3 月质量检测考试数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合
,
,则
A．
B．
C．
【答案】C
【解析】可求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可．
【详解】
= D．
，
；
∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．故选：C．【点睛】
考查描述法的定义，对数函数的定义域，一元二次不等式的解法，交集的运算．
14．若【答案】60
展开式的二项式系数之和为 64,则展开式中的常数项是______.
【解析】由题意利用二项式系数的性质求得 n 的值，在二项展开式的通项公式中，令 x

福州市2020届高中毕业班期末质量检测参考答案(理科数学)

2019－2020学年度第一学期福州市高三期末质量检测数学（理科）参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4．只给整数分数。

除第16题外，选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．B 2．D 3．C 4．A 5．D 6．B 7．C8．C9．A10．B11．B12．A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．2e 2-14．315．8316三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．【命题意图】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，任意三角形的面积，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解析】解法一：（1）在ABC △中，由正弦定理及题设得sin sin AC BC B A=，故1sin B =， ································································ 3分解得sin B =····················································································· 4分又030B ︒︒＜＜，所以cos B ==······················································ 6分（2）设AD CD x ==，则2BD x =．在ABC △中，由余弦定理得， 2`222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，即27916cos x x A =+-，① ··········································································· 7分在等腰ACD △中，有112cos 2ACA AD x ==，② ···················································· 8分联立①②，解得1x =或1x =-（舍去）． ························································· 9分所以ACD △为等边三角形，所以60A =︒， ···················································· 11分所以11sin 31sin 6022ABC S AB AC A =⨯⨯=⨯⨯⨯︒=△． ··································· 12分解法二：（1）同解法一． ············································································· 6分（2）设AD x =，则,2,CD x BD x == 因为ADC BDC ∠=π-∠，所以BDC ADC ∠-=∠cos cos ， ·········································································· 7分由余弦定理得，得22222472142x x x x x +--=-， ·········································································· 8分所以21x =，解得1x =或1x =-（舍去）．······················································ 9分所以ACD △为等边三角形，所以60A =︒， ···················································· 11分所以11sin 31sin 6022ABC S AB AC A =⨯⨯=⨯⨯⨯︒=△． ··································· 12分18.【命题意图】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质，错位相减法求和,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.考查的核心素养是逻辑推理与数学运算. 【解答】(1)依题意得: 2324b b b =，所以2111(6)(2)(14)a a a +=++ ， ·································································· 1分所以22111112361628,a a a a ++=++解得1 2.a = ································································································ 2分 2.n a n ∴= ································································································· 3分设等比数列{}n b 的公比为q ，所以342282,4b a q b a ==== ········································ 4分又2224,422.n n n b a b -==∴=⨯= ····································································· 5分 (2)由（1）知，2,2.n n n a n b == 因为11121212n n n n nc c c c a a a a +--++⋅⋅⋅⋅++= ① 当2n ≥时,1121212n n n c c c a a a --++⋅⋅⋅+= ② ···························································· 6分由①-②得，2n n nc a =,即12n n c n +=⋅, ································································ 7分又当1n =时，31122c a b ==不满足上式,18,1,2, 2.n n n c n n +=⎧∴=⎨⋅≥⎩···················································································· 8分数列{}n c 的前2020项的和34202120208223220202S =+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯2342021412223220202=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ·············· 9分设2342020202120201222322019220202T =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ③，则34520212022202021222322019220202T =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ④，由③-④得：234202120222020222220202T -=+++⋅⋅⋅+-⨯ ··································· 10分2202020222(12)2020212-=-⨯-2022420192=--⨯ ································································· 11分所以20222020201924T =⨯+,所以2020S = 202220204201928T +=⨯+. ··························································· 12分19.【命题意图】本题考查空间直线和直线、直线和平面、平面和平面的垂直的证明，二面角等基础知识,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力和空间想象能力.考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算.【解析】解法一：（1）因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥. ··························································································· 1分因为ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥，又因为PAAB A =，所以BC ⊥平面PAB . ····················································· 2分因为AE ⊂平面PAB ，所以AE BC ⊥. ··························································································· 3分因为PA AB =，E 为线段PB 的中点，所以AE PB ⊥， ························································································· 4分又因为PBBC B =，所以AE ⊥平面.PBC ··················································································· 5分又因为AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PBC . ·········································································· 6分（2）因为PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，以A 为坐标原点，分别以,,AB AD AP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方形ABCD 的边长为2，则()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2,1,0,1A B C D P E ，······································································································· 7分所以()()()1,0,1,2,2,2,0,2,2.AE PC PD ==-=- 设点F 的坐标为()()2,,002,λλ≤≤所以()2,,0.AF λ= 设()111,,x y z =n 为平面AEF 的法向量，则0,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以11110,20,x z x y λ+=⎧⎨+=⎩ 取12y =，则(),2,λλ=-n .……………………8分设()222,,x y z =m 为平面PCD 的法向量，则0,0,PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 所以222220,0,x y z y z +-=⎧⎨-=⎩取21y =，则()0,1,1=m . ········································································· 10分因为平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30︒，所以cos30⋅︒===⋅m n m n， ·········································· 11分解得1λ=，故当点F 为BC 中点时，平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30. ········ 12分解法二：（1）因为PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥底面ABCD ·································································· 1分又平面PAB 底面ABCD AB =，BC AB ⊥，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面.PAB ··········································································· 2分因为AE ⊂平面PAB ，所以.AE BC ⊥ ····················································· 3分因为PA AB =，E 为线段PB 的中点，所以.AE PB ⊥ ································· 4分因为PBBC B =，所以AE ⊥平面.PBC ················································· 5分又因为AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PBC ···································································· 6分（2）同解法一． ·············································································· 12分 20. 【命题意图】本题考查直线和圆的相切，椭圆的图象和性质，直线和椭圆的位置有关系,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算.【解析】（1）因为圆O所以2222:1(0)x y C a b a b +=>>= ··························· 1分所以2b =b ································································ 2分因为C ，所以c a = ①， ·············································· 3分又因为222a c b -=，所以222a c -= ②，联立①② ，解得24a =， ······································································ 4分所以所求C 的方程为221.42x y += ····························································· 5分（2）证明：证法一：①当直线l 斜率不存在时, 直线l 的方程为x =．当x =A B 所以440.33OA OB ⋅=-=········································································· 6分当x =((A B 所以44033OA OB ⋅=-=，综上，.OA OB ⊥所以AOB △为直角三角形． ·································································· 7分 ②当直线l 斜率存在时,设其方程为1122,(,),(,),y kx m A x y B x y =+ 直线l 与圆相切,= 即223440m k --=, ·············································································· 8分由22,142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，222(12)4240k x kmx m +++-=,所以2121222424,.1212km m x x x x k k -+=-=++ ······················································· 9分所以1212OA OB x x y y ⋅=+1212()()x x kx m kx m =+++221212(1)()k x x km x x m =++++ ·············································· 10分2222222(1)(24)4(12)12k m k m m k k +--++=+ 2223440,12m k k--==+ ···························································· 11分所以.OA OB ⊥综上所述:.OA OB ⊥ 所以AOB △为直角三角形． ······································ 12分证法二：①当直线方程为y =时,44(0,33A B OA OB ∴⋅=-+= 所以.OA OB ⊥所以AOB △为直角三角形． ······················································ 6分②当直线方程为y =时, 44(0,33A B OA OB ∴⋅=-+= 所以.OA OB ⊥所以AOB △为直角三角形． ······················································ 7分 ③当直线l 不与x 轴平行时,设其方程为1122,(,),(,),x ty m A x y B x y =+ 因为直线l,即223440.m t --= ······························· 8分由22,142x ty m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得,222(2)240.t y tmy m +++-=所以212122224,.22tm m y y y y t t -+=-=++ ································································ 9分 1212OA OB y y x x ⋅=+1212()()y y ty m ty m =+++221212(1)()t y y tm y y m =++++ ··························································· 10分2222222(1)(4)2(2)2t m t m m t t +--++=+ 2223440,2m t t --==+ ········································································· 11分所以,OA OB ⊥所以AOB △为直角三角形．综上所述: AOB △为直角三角形． ······························································· 12分 21. 【命题意图】本题考查函数和导数的应用，利用导数判断函数的单调性，证明不等式，函数零点个数等基础知识,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力.考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算.【解答】（1）当12a =时，()21cos 12f x x x =+-，所以()f x 的定义域为R ,且()(),f x f x -=故()f x 为偶函数． ································ 1分当0x …时,()sin f x x x '=-+，。

福州市2020届高中毕业班期末质量检测试卷(理科数学)

准考证号姓名 .（在此卷上答题无效）绝密★启用前2019—2020学年度第一学期福州市高三期末质量检测数学（理科）试题（完卷时间120分钟；满分150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分. 注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设复数()1i 1i 2z ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,则z =A BC ．52D 2. 已知集合{}|02A x x x =≤或≥，{}2|20B x x x =--≤，则A ．AB Ü B ．B A ÜC ．A B =∅D ．A B =R3. 执行如图所示的程序框图，若输入的,a b 分别为4,2,则输出的n =A ．6B ．5C ．4D ．34. 已知向量(2,),(,2)λλ==a b ,则“2λ=”是“//(2)-a a b ”的A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件5. 若5250125(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+⋅⋅⋅+-,则0a =A ．32-B ．2-C ．1D ．326. 若实数,a b 满足201,a b a ＜＜＜＜且()22log ,log ,log ,a a a m b n b p b ===则,,m n p 的大小关系为 A ．m p n ＞＞B ．p n m ＞＞C ．n p m ＞＞D ．p m n ＞＞7. 若2cos21sin2x x =+，则tan x =A ．1-B ．13C ．1-或13D ．1-或13或38. 若,x y 满足约束条件31,933,x y x y --⎧⎨-+⎩≤≤≤≤则z x y =+的最小值为A ．1B ．3-C ．5-D ．6-9. 把函数()sin cos f x x x =+图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π8个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则A ．()2g x x =B ．()32g x x π⎛⎫=+ ⎪8⎝⎭C ．()1521g x x π⎛⎫=+ ⎪6⎝⎭ D ．()1328g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10. 已知四边形ABCD 为正方形，GD ⊥平面ABCD ，四边形DGEA 与四边形DGFC 也都为正方形，连接BE FB EF ,,，点H 为BF 的中点，有下述四个结论： ①DE BF ⊥；②EF 与CH 所成角为60︒；③EC ⊥平面DBF ； ④BF 与平面ACFE 所成角为45︒．其中所有正确结论的编号是 A ．①② B ．①②③C ．①③④D ．①②③④11. 已知双曲线2222:1x y E a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，若E 上点A 满足122AF AF =，且向量12,AF AF 夹角的取值范围为,32π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦，则E 的离心率取值范围是A ．B ．⎤⎦C ．[]3,5D ．[]7,912. 已知函数21()2,()f x x ax g x x=+=-，若存在点()()()()1122,,,A x f x B x g x ，使得直线AB 与两曲线()y f x =和()y g x =都相切，当实数a 取最小值时，12x x +=A ．BCD ．绝密★启用前2019—2020学年度第一学期福州市高三期末质量检测数学（理科）试题第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13. 函数,0,()e 1,0,x x x f x x ⎧=⎨-⎩＜≥则()(2)1f f +-= ．14. 设抛物线22y px =上的三个点()12323,,1,,,32A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到该抛物线的焦点距离分别为123,,d d d ．若123,,d d d 中的最大值为3，则p 的值为． 15. 已知n S 为数列{}n a 前n 项和，若152a =，且()122n n a a +-=，则21S = ． 16. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17. （本小题满分12分）在ABC △中，1,AC BC == （1）若150A =︒，求cos B ；（2）D 为AB 边上一点，且22BD AD CD ==，求ABC △的面积．18. （本小题满分12分）等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等比数列{}n b 的第2项，第3项，第4项. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足12211+=+++n nn b a c a c a c ,求数列{}n c 的前2020项的和．19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．（1）求证：平面AEF ⊥平面PBC ．（2）试确定点F 的位置，使平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30︒．20.（本小题满分12分）已知圆22:43x y O +=，椭圆2222:1x y C a b +=（0a b ＞＞）的短轴长等于圆O倍，C．（1）求C 的方程；（2）若直线l 与C 交于,A B 两点，且与圆O 相切，证明：AOB △为直角三角形． 21.（本小题满分12分）已知函数()2cos 1.f x x ax =+- （1）当12a =时，证明：()0f x …；（2）若()f x 在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22.（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为5,12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求C 的直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为(， l 与曲线C 的交点为,A B ，求11MA MB+的值．23.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知函数1()212f x x x =-++的最小值为m ．（1）求m 的值；（2）若,,a b c 为正实数，且a b c m ++=，证明：22213a b c ++≥．2019—2020学年度第一学期福州市高三期末质量检测数学（文科）参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2020届福建省福州市高三上学期期末质量检测数学(理)试题(含详细解析)

2019—2020学年度第一学期福州市高三期末质量检测数学(理科)试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分. 注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数()1i 1i 2z ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,则z =( )A.B.2C.52D.【答案】B 【解析】【分析】先化简复数z ，再利用复数模的求法,即可得到z 的值. 【详解】()312i i 2211i z ⎛⎫=+- ⎪=+⎝⎭，||z ==故选：B.【点睛】本题主要考查的是复数的四则运算，复数模的求法，主要考查的是学生的计算能力，是基础题.2.已知集合{|0A x x =≤或}2x ≥，{}|12B x x =-≤≤，则( ) A. A B Ü B. B A Ü C. A B =∅I D. A B R =U【答案】D 【解析】【分析】根据集合间的关系逐个判断即可.【详解】集合,A B 并无包含关系,故A,B 均错误.又{|10A B x x =-≤≤I ,或}2x =故C 错误.A B R =U 正确.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合间的基本关系,属于基础题型.3.执行如图所示的程序框图，若输入的,a b 分别为4,2,则输出的n =( )A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C 【解析】【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的,,a b n 的值，当272a =，16b =时，满足条件a b ≤，退出循环，输出n 的值为4 . 【详解】第一次循环， 3462a =⨯=，4b =，2n =，此时a b >. 第二次循环3692a =⨯=，8b =，3n =，此时a b >. 第三次循环327922a =⨯=，2816b =⨯=，4n =，此时a b <，因此4n =. 故选：C .【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的,,a b n 的值是解题的关键，属于基本知识的考查，是基础题.4.已知向量(2,),(,2)r r λλ==a b ,则“2λ=”是“//(2)r r r-a a b ”的( )A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】先算出2a b -r r ，再利用向量平行的坐标运算得出λ的值，即可判断.【详解】2(22,4)a b λλ-=--rr，(2)a a b -rr r‖，28(22)0λλλ∴---=， 228λ∴=，2λ∴=±.因此“2λ=”是“//(2)-r r ra ab ”的充分不必要条件.故选：A .【点睛】本题主要考查的是充分不必要条件的判断，涉及向量平行的坐标运算，属基础题. 5.若5250125(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+⋅⋅⋅+-,则0a =( ) A. 32- B. 2-C. 1D. 32【答案】D【解析】【分析】取2x =，即可得到0a .【详解】5250125(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+⋅⋅⋅+-Q∴取2x =，032a ∴=.故选：D .【点睛】本题考查二项式定理及通项公式的运用，“赋值法"普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，是基础题.6.若实数,a b 满足201,a b a <<<<且()22log ,log ,log ,a a a m b n b p b ===则,,m n p 的大小关系为( )A. m p n >>B. p n m >>C. n p m >>D. p m n >>【答案】B 【解析】【分析】已知201a b a <<<<，所以根据对数函数的性质可知()0,∞+上为单调递减函数，得出1log 2a b << 接下来利用作差法比较,,m n p 大小，由此可以判断答案. 【详解】201a b a <<<<Q ，22log log log 1a a a a b a =>>=Q ，()()2log log log log 10a a a a n m b b b b -=-=->， n m ∴>， 2log a p b =，()2log 2log a a n p b b -=-log (log 2)0a a b b =-<，p n ∴>，因此p n m >>. 故选：B.【点睛】本题主要考查的是对数的大小比较，掌握对数函数的性质是解题的关键，是基础题.7.若2cos21sin2x x =+，则tan x =( ) A. 1- B.13C. 1-或13D. 1-或13或3 【答案】C 【解析】【分析】根据二倍角公式化简求解即可.【详解】由2cos21sin2x x =+可得()()2222cos sin sin cos x x x x -=+()()sin cos 2cos 2sin sin cos 0x x x x x x ⇒+---=()()sin cos cos 3sin 0x x x x ⇒+-=.故sin cos 0x x +=或cos 3sin 0x x -=.即tan 1x =-或1tan 3x =. 故选：C【点睛】本题主要考查了二倍角公式以及同角三角函数的公式等.属于中等题型.8.若,x y 满足约束条件31,933,x y x y -≤-≤⎧⎨-≤+≤⎩则z x y =+的最小值为( )A. 1B. 3-C. 5-D. 6-【答案】C 【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值，z x y =+表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最小值即可.【详解】画出不等式组所表示的可行域如上图(阴影部分)，由z x y =+，得y x z =-+，平移直线y x z =-+，由图像可知当直线y x z =-+经过B 时，直线y x z =-+的截距最小，此时z 最小，由139x y x y -=⎧⎨+=-⎩ ，解得23x y =-⎧⎨=-⎩，即()2,3B --，将()2,3B --代入目标函数z x y =+得5z =-，因此z x y =+的最小值为5-. 故选：C .【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，是基础题. 9.把函数()sin cos f x x x =+图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π8个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则( )A. ()2g x x =B. ()32g x x π⎛⎫+ ⎪8⎝⎭C. ()1521g x x π⎛⎫=+ ⎪6⎝⎭D. ()1328g x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由已知中函数()sin cos f x x x =+，根据辅助角公式，易将函数的解析式化为正弦型函数的形式，然后根据周期变换及平移变换法则，即可得到函数()g x .【详解】()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭Q ，函数()f x 图象上各点横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)得到：24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭Q ，再把得到的图象向左平移π8个单位长度，所得图象对应的函数为()222g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故选：A .【点睛】本题主要考查的是正弦函数图像的平移和伸缩变换，考查学生对函数的理解，同时考查辅助角公式、诱导公式的应用，是基础题.10.已知四边形ABCD 为正方形，GD ⊥平面ABCD ，四边形DGEA 与四边形DGFC 也都为正方形，连接,,EF FB BE ，点H 为BF 的中点，有下述四个结论：①DE BF ⊥； ②EF 与CH 所成角为60︒； ③EC ⊥平面DBF ； ④BF 与平面ACFE 所成角为45︒．其中所有正确结论的编号是( ) A. ①② B. ①②③C. ①③④D. ①②③④【答案】B 【解析】【分析】根据题意建立空间直角坐标系，写出所有点的坐标，利用向量法可以判断出正确的结论.【详解】由题意得，所得几何体可以看成一个正方体，因此,,,DA DC DG 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设2AD DC DG ===，(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，(0,0,2)G ，(2,0,2)E ， (0,2,2)F ，(2,2,0)B ，(1,2,1)H ， ①(2,0,2)DE =u u u r ，(2,0,2)BF =-u u u r，4040DE BF ∴⋅=-++=u u u r u u u r， DE BF ∴⊥u u u r u u u r，DE BF ∴⊥，①是正确的. ②(2,2,0)EF =-u u u r ，(1,0,1)CH =u u u r，设EF u u u r 与CH u u ur 所成的角为θ，1cos 2||||EF CH EF CH θ⋅∴==⋅u u u r u u u r u u ur u u u r ， [0,]θπ∈60θ︒∴=，②是正确的.③(2,2,2)EC =--u u u r Q ，(2,2,0)DB u u u r =，(0,2,2)DF =u u u r，设(,,)n x y z 是平面DBF 的一个法向量，DB n DF n ⎧⋅⊥∴⎨⊥⎩u u u v u u u v ，00DB n DF n ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩u u u v u u u v 00x y y z +=⎧⇒⎨+=⎩取1x =，(1,1,1)n ∴=-，2EC n =-u u u r Q ，//EC n u u u r，EC ∴⊥平面DBF ，③是正确.④(2,0,2)BF =-u u u r Q ，由图像易得：(1,1,0)m =r是平面 ACEFF 的一个法量，设BF 与平面 ACFE 所成的角为θ，0,2πθ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，sin cos ,BF m θ∴=u u u v r12||||BF m BF m ⋅==⋅u u u r r u u u r r， 30θ︒∴=，④不正确，综上：①②③正确. 故选：B .【点睛】本题考查异面直线、直线与平面所成角的求法，直线与直线、直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及转化思想的应用，是中档题．11.已知双曲线2222:1x y E a b-=(0,0a b >>)的左、右焦点分别为12,F F ，若E 上点A 满足122AF AF =，且向量12,AF AF u u u r u u u u r 夹角的取值范围为2π,π3轾犏犏臌，则E 的离心率取值范围是( )A.B. ⎤⎦C. []3,5D. []7,9【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线的定义及122AF AF =，可得出12,AF AF ，在12AF F △中由余弦定理以及向量12,AF AF u u u r u u u u r夹角的取值范围可得到关于离心率的不等式，即可得到E 的离心率取值范围. 【详解】由双曲线定义得：122AF AF a -=，2||2AF AF =Q ，22AF a ∴=， 14AF a ∴=，在12AF F △中由余弦定理得：22212121212cos 2AF AF F F F AF AF AF +-∠=⨯⨯2224164224a a c a a +-=⨯⨯ 22254a c a-=，由题意得：122,3F AF ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦， 121cos 1,2F AF ⎡⎤∴∠∈--⎢⎥⎣⎦，22251142a c a -∴-≤-…， 2511442e ∴---剟，279e≤≤，e∴∈.故选：B.【点睛】本题主要考查的是正弦函数图像，将函数化简是关键，考查学生对图像变换的理解和应用，是基础题.12.已知函数21()2,()f x x axg xx=+=-，若存在点()()()()1122,,,A x f xB x g x，使得直线AB与两曲线()y f x=和()y g x=都相切，当实数a取最小值时，12x x+=()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先分别求出函数()(),f xg x在,A B点的切线方程，再根据题意可得出4118xa x=-，构造函数4()8xh x x=-，求出()h x的最小值即可求出1x，从而得到12x x+.【详解】2()2,f x x ax=+Q∴()22f x x a'=+，∴()1122f x x a'=+，又()21112f x x ax=+，过A点切线方程为：()21122y x a x x=+-，①又1()g xx=-Q，∴21()g xx'=，即()2221g xx'=，又()221g xx=-，因此过B点的切线方程为：22212y xx x=-，②由题意知①②都为直线AB,1222121222x a x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 4118x a x =-，令4()8x h x x =-，332()122x x h x '-=-=，令()0h x '=，x =(,0)x ∈-∞和时，()h x 单调递减，且(,0)x ∈-∞时()()00h x h >=，恒成立，)x ∈+∞时，()h x 单调递增，x ∴=()min h x ，1x ∴=，则2212x x==12x x ∴+=故选：A .【点睛】本题主要考查导数的几何意义、导数与函数的单调性以及函数的极值与最值，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算，是难题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13.函数,0,()1,0,xx x f x e x <⎧=⎨-≥⎩则()(2)1f f +-=____．【答案】22e - 【解析】【分析】将2,1-分别代入分段函数，即可求得.【详解】20>Q ,()221f e ∴=-,由10-<Q ，()11f -=-， ()2(2)12f f e ∴+-=-.故答案为：22e -.【点睛】本题考查的是分段函数求值的应用，采用直接代入法求函数值，是基础题.14.设抛物线22y px =上的三个点()12323,,1,,,32A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到该抛物线的焦点距离分别为123,,d d d ．若123,,d d d 中的最大值为3，则p 的值为____．【答案】3 【解析】【分析】根据抛物线的定义可知到焦点的距离等于到准线的距离，可判断3d 最大，即可求出p 的值. 【详解】根据抛物线的几何性质可得12323,1,23222p p p d d d =+=+=+，由题意可得0p >，因此可判断3d 最大，故33322p d =+=，解得3p =. 故答案为：3.【点睛】本题考查抛物线的知识，掌握抛物线的定义和性质是解题的关键，考查学生分析问题解决问题的能力.15.已知n S 为数列{}n a 前n 项和，若152a =，且()122n n a a +-=，则21S =____．【答案】83【解析】【分析】由数列的递推公式及152a =，依次计算出数列的前5项，可得数列{}n a 是周期为4的数列，则()21123415S a a a a a =++++,即可求得.【详解】由()122n n a a +-=，得122n na a +=-，又152a =，得21242a a ==--，322123a a ==-，432625a a ==-，5142522a a a ===-，数列{}n a 是周期为4的数列，()21123415165855423523S a a a a a ⎛⎫=++++=-+++= ⎪⎝⎭.故答案为：83.【点睛】本题主要考查的是利用递推关系求数列的和，考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力，是中档题.16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____．【答案】 (1). 26(2). 86π【解析】【分析】(1)先算出正四面体的体积，六面体的体积是正四面体体积的2倍，即可得出该六面体的体积；(2)由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切时，求出球的半径，再代入球的体积公式可得答案.【详解】(1)每个三角形面积是1331224S ⎛=⨯⨯= ⎝⎭，由对称性可知该六面是由两个正四面合成的， 23613⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，故四面体体积为13623= 因此该六面体体积是正四面体的2倍，所以六面体体积是26； (2)由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为R ，163R R ⎛⎫=⨯⇒= ⎪ ⎪⎝⎭所以球的体积3344339729V R ππ⎛=== ⎝⎭.故答案为：6【点睛】本题考查由平面图形折成空间几何体、考查空间几何体的的表面积、体积计算，考查逻辑推理能力和空间想象能力求解球的体积关键是判断在什么情况下，其体积达到最大，考查运算求解能力.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分．17.在ABC ∆中，1,AC BC == (1)若150A =︒，求cos B ；(2)D 为AB 边上一点，且22BD AD CD ==，求ABC ∆的面积．【答案】(1 (2【解析】【分析】(1)根据已知条件和利用正弦定理可求出sin B ，再利用同角三角函数基本关系式可求出cos B ； (2)根据题意知ACD ∆为等腰三角形，再利用余弦定理得出ACD ∆为等边三角形可得60A =︒，从而求出ABC ∆的面积．【详解】(1)在ABC ∆中，由正弦定理及题设得sin sin AC BC B A=，故1sin B =，解得sinB =又030B ︒<<︒，所以cos 14B ==. (2)设AD CD x ==，则2BD x =．在ABC ∆中，由余弦定理得， 2`222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，即27916cos x x A =+-，①在等腰ACD ∆中，有112cos 2ACA AD x ==，② 联立①②，解得1x =或1x =-(舍去)．所以ACD ∆为等边三角形，所以60A =︒，所以11sin 31sin 6022ABC S AB AC A ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯︒=．解法二：(1)同解法一．(2)设AD x =，则,2,CD x BD x == 因为ADC BDC ∠=π-∠，所以cos cos ADC BDC ∠=-∠，由余弦定理得，得22222472142x x x x x +--=-，所以21x =，解得1x =或1x =-(舍去)．所以ACD ∆为等边三角形，所以60A =︒，所以11sin 31sin 6022ABC S AB AC A ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯︒=．【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，任意三角形的面积，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算,是中档题.18.等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等比数列{}n b 的第2项，第3项，第4项. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)若数列{}n c 满足12112n n nc c c b a a a ++++=L ,求数列{}n c 的前2020项的和．【答案】(1)2n a n =，2nn b =； (2)2022201928⨯+.【解析】【分析】(1)根据题意同时利用等差、等比数列的通项公式即可求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求出数列{}n c 的通项公式，再利用错位相减法即可求得数列{}n c 的前2020项的和. 【详解】(1)依题意得: 2324b b b =，所以2111(6)(2)(14)a a a +=++ ，所以22111112361628,a a a a ++=++ 解得1 2.a = 2.n a n ∴=设等比数列{}n b 的公比为q ，所以342282,4b a q b a ==== 又2224,422.n n n b a b -==∴=⨯= (2)由(1)知，2,2.n n n a n b == 因为11121212n n n n nc c c c a a a a +--++⋅⋅⋅⋅++= ① 当2n ≥时,1121212n n n c c c a a a --++⋅⋅⋅+= ② 由①-②得，2n nnc a =，即12n n c n +=⋅，又当1n =时，31122c a b ==不满足上式，18,12,2n n n c n n +=⎧∴=⎨⋅≥⎩. 数列{}n c 的前2020项的和34202120208223220202S =+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯2342021412223220202=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯设2342020202120201222322019220202T =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ③，则34520212022202021222322019220202T =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ④，由③-④得：234202120222020222220202T -=+++⋅⋅⋅+-⨯2202020222(12)2020212-=-⨯-2022420192=--⨯ ，所以20222020201924T =⨯+，所以2020S =202220204201928T +=⨯+.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质，错位相减法求和,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.是中档题. 19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．(1)求证：平面AEF ⊥平面PBC ．(2)试确定点F 的位置，使平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°．【答案】(1)见解析； (2)点F 为BC 中点. 【解析】【分析】(1)利用直线与平面垂直的性质、判定定理以及平面与平面垂直的判定定理证明即可.(2)找建立空间直角坐标系，分别求出平面AEF 与平面PCD 的法向量，利用数量积求出法向量间夹角，进而得到二面角的余弦值。

福州市2020届高三3月质量检查(解析版)

福州市2020届高三毕业班适应性练习卷数学(理科)详细解答及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4．只给整数分数。

选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 在复平面内，复数z 对应的点与1i +对应的点关于实轴对称，则iz=A ．i 1--B ．i 1-+C ．1i +D ．1i -【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及其几何意义等基础知识，意在考查直观想象、数学运算的数学核心素养．【答案】A ．【解析】由题得1i z =-,所以1i i i 11i 1i z +==---=-.故选A. 2. 已知集合(){},|20A x y x y =+=，(){},|10B x y x my =++=．若AB =∅，则实数m =A ．2-B ．12-C ．12D ．2【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算、解方程等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养．【答案】C ．【解析】因为A B =∅，所以直线20x y +=与直线10x my ++=平行，所以12m =.故选C. 3. 已知两个单位向量12,e e ，若()1212-⊥e e e ，则12,e e 的夹角为A ．2π3B ．π3C ．π4D ．π6【命题意图】本题主要考查平面向量的概念及运算等基础知识，意在考查逻辑推理，数学运算，直观想象的数学核心素养．【答案】B ．【解析】因为()1212-⊥e e e ，所以()12120-⋅=e e e ，所以11222=⋅e e e ，所以12cos ,=e e 12，又因为[]12,0,∈πe e ，所以12,π3=e e ，故选B. 4. 一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是 A ．这组新数据的平均数为m B ．这组新数据的平均数为a m + C ．这组新数据的方差为anD．这组新数据的标准差为【命题意图】本题主要考查统计和统计量的理解等基础知识，意在考查数据分析等数学核心素养．【答案】D ．【解析】由题意知：这组新数据的平均数为am ，方差为2a n，标准差为故选D ．5. 已知平面α平面β，直线,l mααβ，则“m l ”是“m β”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及其相互转化等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学抽象的数学核心素养．【答案】C ．【解析】若m l ，则根据面面垂直的性质定理可得m β；若m β，则由l β⊂，可得ml .故选C. 6. 若)331231log e,e ,a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>【命题意图】本题主要考查指数、对数、幂的运算及性质等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算的数学核心素养．【答案】B ．【解析】)2133221a ==>=，1311331e 2e a c -⎛⎫==> ⎪⎭=⎝，所以1a c <<，33log e log 31b =<=，故c a b >>.故选B.7. 若tan 3cos()2αα⎛⎫-=-π ⎪⎝⎭π，则cos2α=A ．1-B ．79C ．0或79D ．1-或79【命题意图】本题主要考查三角恒等变换等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算的数学核心素养．【答案】D ．【解析】由tan 3cos()2αα⎛⎫-=-π ⎪⎝⎭π得sin 23cos cos 2αααπ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-π⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以cos 3cos sin ααα=-,所以cos 0α=或sin 31α=-,故2cos22cos 11αα=-=-或2cos21279sin αα=-=.故选D.8. 抛物线2:2C y x =的焦点为F ，点P 为C 上的动点，点M 为C 的准线上的动点，当FPM △为等边三角形时，其周长为 A ．2B ．2C ．32D ．6【命题意图】本题主要考查抛物线的概念与性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理、数学运算的数学核心素养．【答案】D ．【解析】方法一、因为FPM △为等边三角形，所以PM 垂直C 的准线于M ，易知4PM OF =，因为12OF =，所以2PM =，所以FPM △的周长为326⨯=，故选D.方法二、因为FPM △为等边三角形，PF PM =，所以PM 垂直C 的准线于M ，设2,2m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1,2M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2122m PM =+，又因为102F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，且PM MF =，所以2221112222m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=++，解得23m =，所以2PM =，所以FPM △的周长为326⨯=，故选D.9. 在同一平面直角坐标系中，画出三个函数()sin 2cos2,f x x x =+5()sin 2g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π，()co 7sh x x ⎛⎫=- ⎝π⎪⎭的部分图象如图所示，则A.a 为(),f x b 为(),g x c 为()h xB.a 为(),h x b 为(),f x c 为()g xC.a 为(),g x b 为(),f x c 为()h xD.a 为(),h x b 为(),g x c 为()f x【命题意图】本题主要考查三角函数的图象和性质等基础知识，意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算的数学核心素养．【答案】A ．【解析】()2sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π，()g x ，()h x 的最大值分别为2，1，1，由于图象a 的最大值最大，故a 为()f x ；()g x ，()h x 的最小正周期分别为π,2π，图象b 的最小正周期比c 小，故b 为()g x ，c 为()h x ，故选A.10. 射线测厚技术原理公式为0e t I I ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln20.6931≈，结果精确到0.001）A ．0.110B ．0.112C ．0.114D ．0.116【命题意图】本题主要考查函数的概念与性质，在物理背景下考查学生的创新意识和应用意识，意在考查逻辑推理，数学运算，数学建模的数学核心素养．【答案】C ．【解析】依题意得7.60.81e 2μ-⨯=，所以ln 2 6.08μ=，所以ln 20.69310.1146.0860.8μ=≈≈，故选C. 11. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，,A B 是C 上关于原点对称的两点，M 是C 上异于,A B 的动点，直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，若112k ，则2k 的取值范围为A ．11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【命题意图】本题主要考查双曲线的概念与性质、直线和双曲线的位置关系等基础知识，意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算的数学核心素养．【答案】A ．【解析】∵双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，∴2a b =，则双曲线的方程为：22221(0)4x y b b b -=>, 设()11,A x y ，()00,M x y ，则()11,B x y --,所以22112222002214,14x y b bx y b b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ()()()()()()()()1010101010102210101,44x x x x y y y y y y y y x x x x b b +-+-+-∴=∴=+-，即1214k k ⋅=，∵112k ，∴211,84k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选A.12. 在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π，则球O 的表面积为A ．72πB ．86πC ．112πD ．128π【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，球体与截面等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养．【答案】C ．【解析】将三棱锥P ABC -补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O ，记三角形ABC 的中心为1O ，设球的半径为R ，2PA x =，则球心O 到平面ABC 的距离为x ，即1OO x =，连接1O A ，则15O A =，∴2225R x =+．在ABC △中，取AC 的中点为E ，连接11,O D O E ，则1132O E AB ==，124DE AC ==，所以1O D =1Rt OO D △中，OD =OD 垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为r ，则()22222251312r R OD x x =-=+-+=，所以最小截面圆的面积为12π，当截面过球心时，截面面积最大为2R π，所以21216R π-π=π，228R =，球的表面积为2112R 4π=π．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 曲线()sin f x x x =在点(),0π处的切线方程为________．【命题意图】本题主要考查函数与导数和导数几何意义等基础知识，意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算的数学核心素养．【答案】20x y π+-π=．【解析】因为()sin cos f x x x x '=+，所以()sin cos f 'π=π+ππ=-π，所以在点(),0π处的切线方程为()y x =-π-π，即20x y π+-π=.14. 勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为______．【命题意图】本题主要考查概率与几何概型、平面几何等基础知识，考查阅读能力与应用意识和创新能力，意在考查数学建模、数学运算和逻辑推理的数学核心素养．【答案】19．【解析】设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为a ，则小勒洛三角形的面积为(21223262a a S π-π=⨯-=，因为大小两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，所以大勒洛三角形的面积为(()(2222392a a S ππ-==，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为1219S S P ==． 15. 已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若()cos sin cos cos ,A C C B -=2,a c ==则角C 大小为_____．【命题意图】本题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象的数学核心素养．【答案】6π．【解析】因为()cos sin cos cos ,A C C B -=所以()()cos sin cos cos ,A C C A C -=-+ABC1O O E DP所以cos sin sin sin ,A C A C =所以()sin cos sin 0,C A A -=因为()0,,sin 0C C ∈π∴≠，所以cos sin A A =，则tan 1A =，所以4A =π，又2sin a A =，则1sin 2C =，因为c a <，所以04C <<π，故6C =π． 16. 已知函数()1f x +是定义在R 上的偶函数．[)12,1,x x ∀∈+∞，且12x x ≠，都有()()()12210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦,则不等式()()1215x f f +-+<的解集为________．【命题意图】本题主要考查函数的概念与性质及其应用、解不等式等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算和直观想象的数学核心素养．【答案】(),1-∞．【解析】因为函数()1f x +是定义在R 上的偶函数，所以()1f x +关于y 轴对称，由()y f x =向左平移1个单位得到()1f x +，所以()y f x =关于直线1x =对称. [)12,1,x x ∀∈+∞，且12x x ≠，都有()()()12210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦,所以()y f x =在[)1,+∞上单调递增，所以()y f x =在(),1-∞上单调递减，因为()()1215x f f +-+<，且()()153211,x f f +=--+<，所以1213x +-+>-，所以124x +<，解得1x <，所以原不等式的解集为(),1-∞. 三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足12a =，()()1121n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若2nb nc n =-，求数列{}n c 的前n 项和．【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养．满分12分．【解析】方法一：（1）因为nn a b n=且()()1121n n na n a n n +-+=+，所以1121n n n n a ab b n n ++-=-=+， ······························································· 2分又因为112b a ==， ············································································· 3分所以{}n b 是以2为首项，以2为公差的等差数列． ···································· 4分所以()2212n b n n =+-=． ··································································· 6分（2）由（1）及题设得，224n n n c n n =-=-， ········································· 7分所以数列{}n c 的前n 项和()()()1241424n n S n=-+-+⋅⋅⋅+-()()1244412n n =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+····················· 9分 ()1444142n n n +-⨯=-- ···································· 11分 1244323n n n ++=--． ····································· 12分方法二：（1）因为nn a b n=，所以n n a nb =，又因为()()1121n n na n a n n +-+=+，所以()()()11121n n n n b n nb n n ++-+=+， ················································· 1分即12n n b b +-=， ················································································· 3分又因为112b a ==， ············································································· 3分所以{}n b 是以2为首项，以2为公差的等差数列． ···································· 4分所以()2212n b n n =+-=． ··································································· 6分（2）略，同方法一. 18. （本小题满分12分）为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：40,50[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,[),100]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？参考公式及数据：2(),()()()()n ad bc K n ab c d a b c d a c b d -==+++++++.0【命题意图】本题主要考查概率与统计等基础知识，数学运算、数据分析的数学核心素养．满分12分．【解析】（1）由题可得()0.0050.0100.0200.0300.010101a +++++⨯=， ······ 2分解得0.025a =． ················································································· 3分因为450.05550.1650.2750.3850.25950.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯74=，所以估计这100名学生的平均成绩为74. ················································· 5分（2）由（1）知，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的有()1000.250.11000.3535⨯+=⨯=人，由此可得完整的22⨯列联表：··· ∵2K 的观测值()2100102525409009.890 6.6353565505091k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， ················ 10分 ∴有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”． ····························· 12分 19. （本小题满分12分）在底面为菱形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，111,60,2,A B A D BAD AB AA =∠==︒=,A CO A BD O =⊥平面1A BD .（1）证明：1B C ∥平面1A BD ；（2）求二面角1B AA D --的正弦值.【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，二面角等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养．满分12分．【解析】方法一：（1）依题意，11//,A B AB 且//,AB CD∴11//A B CD ， ···················································································· 1分 ∴四边形11A B CD 是平行四边形， ···························································· 2分 ∴11B C A D ∥， ··················································································· 3分 ∵1B C ⊄平面1A BD ，1A D ⊂平面1A BD ，∴1B C ∥平面1A BD ． ··········································································· 4分（2）∵AO ⊥平面1A BD ，∴1AO AO ⊥， ∵11A B A D =且O 为BD 的中点，∴1AO BD ⊥， ∵AO BD ⊂、平面ABCD 且AOBD O =，∴1A O ⊥平面ABCD ，········································································· 5分以O 为原点，分别以1,,OA OB OA 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则)A，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()10,0,1A ，∴()()()13,0,13,1,,0,3,1,0,AB AA AD =-=-=-- 设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，则1n AA n AB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，∴00z y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，取1x =，则(1,3,n =.·························· 7分设平面1A AD 的法向量为()111,,m x y z =，则1n AA n AD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，∴00z y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取1x =，则(1,m =. ······················· 9分 ∴1cos ,77m n m n m n⋅<>===⨯⋅， ·················································· 11分11设二面角1B AA D --的平面角为α，则sin α= ∴二面角1B AA D --··················································· 12分方法二：（1）证明：连接1AB 交1A B 于点Q ，因为四边形11A B BA 为平行四边形，所以Q 为1AB 中点，又因为四边形ABCD 为菱形，所以O 为AC 中点， ······································· 2分 ∴在1AB C △中，1,OQ B C ∥且112OQ B C =， ··············································· 3分 ∵OQ ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，∴1B C ∥平面1A BD . ············································································ 4分（2）略，同方法一. 20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b ＞＞)C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切．（1）求C 的方程；（2）直线y x m =+交C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x >．已知l 上存在点P ，使得PMN △是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，若P 在直线MN 的右下方，求m 的值．【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，直线和圆的位置关系等基础知识，意在考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算．满分12分.【解析】（1）依题意，1b ==， ·················································· 2分因为离心率c e a ===，解得a = ··························································· 4分所以C 的标准方程为2213xy +=． ··························································· 5分（2）因为直线y x m =+的倾斜角为45︒，且PMN △是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，P 在直线MN 的右下方，所以NP x ∥轴， ················································································· 6分过M 作NP 的垂线，垂足为Q ，则Q 为线段NP 的中点，所以()12,Q x y ，故()1222,P x x y -， ························································· 7分所以()12232450x x y -+-=，即()()12232450x x x m -++-=，整理得126450x x m ++-=．① ···································· 8分由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246330x mx m ++-=. 所以223648480m m ∆=-+>，解得22m -<<， ············ 9分所以1232x x m +=-，②()212314x x m =-，③ ············································································ 10分由①-②得，112mx =-，④ 将④代入②得21x m =--，⑤ ································································ 11分将④⑤代入③得()()()3111124m m m m ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，解得1m =-.综上，m 的值为1-. ············································································ 12分 21. （本小题满分12分）已知函数()()e 4ln,,2x x a f x ax g x x-=-=（1）求函数()f x 的极值点；（2）当0a >时,当函数()()()h x f x g x =-恰有三个不同的零点,求实数a 的取值范围. 【命题意图】本题主要考查函数和导数及其应用、函数零点等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养．满分12分.【解析】（1）因为()e ln,2x f x ax =-所以()ln 12xf x ax =-+，所以()21112ax f x a a x x x -'=⨯-=-=()0x >, ·············································· 1分当0a时，()0f x '>,所以函数()f x 无极值点； ······································· 2分当0a >时,令()0f x '=，解得1x a=.由()00f x x '⎧>⎪⎨>⎪⎩,解得10x a <<;由()00f x x '⎧<⎪⎨>⎪⎩,解得1x a >.故函数()f x 有极大值点1a ，无极小值点. ··················································· 4分综上，当0a时，函数()f x 无极值点；当0a >时,函数()f x 有极大值点1a ，无极小值点. ········································ 5分（2）当0a >时,()()()()4ln 02x ah x f x g x ax x x=-=-+>，所以()()2221440a ax x a h x a x x x x -+-'=--=>,设()24k x ax x a =-+-，则21 16,a ∆=- ①当00a ∆⎧⎨>⎩即14a 时,()0h x '，所以()h x 在()0,+∞单调递减，所以()h x 不可能有三个不同的零点； ······················································· 6分 ②当00a ∆>⎧⎨>⎩即104a <<时，()k x有两个零点1x =,2x =所以120,0.x x >>又因为()24k x ax x a =-+-开口向下，当10x x <<时,()0,0)(k x h x '<∴<,所以()h x 在()10,x 上单调递减；当12x x x <<时,()()0,0k x h x '>∴>，所以()h x 在()12,x x 上单调递增；当2x x >时,()()0,0k x h x '<∴<，所以()h x 在2(,)x +∞上单调递减. ·················· 7分因为()42ln1202ah a =-+=，又124x x =，所以122x x <<， ()()()122.0h h h x x ∴<=< ······································································ 8分 3222211141ln ln 22ln 4,12a h a a a a a a a a⎛⎫=-⋅+=---+ ⎪⎝⎭令()31ln 22ln 4,a a am a =---+则()4222221122112 120a a a m a a a a a a-+-'=-++=>>. 所以()m a 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以()3ln 211113ln 22ln 404441644m a m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<==-+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭---+，即210h a ⎛⎫ ⎪⎭<⎝. 由零点存在性定理知，()h x 在区间221,x a ⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一的一个零点0x . ·············· 10分 ()0000000044ln ln 24404241,a x h x h aa a x x x x x x -++⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭-+⎝⋅⋅=⎭又()00h x =，所以040h x ⎛⎫=⎪⎝⎭. ································································ 11分所以1040x x <<，所以()h x 在区间()10,x 上有唯一的一个零点04x , 故当104a <<时,()h x 存在三个不同的零点004,2,x x .故实数a 的取值范围是10,4⎛⎫⎪⎝⎭. ······························································· 12分（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22. （本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程已知直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3,x t y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为212cos ρρθ=+．（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 为2C 上的任意一点，求P 到1C 距离的取值范围．【命题意图】本题主要考查直线的参数方程、曲线直角坐标方程、极坐标方程的互化，圆的极坐标方程等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养．满分10分.【解析】（1）1C 的普通方程为3x y -=-，即30x y -+=． ·························· 2分 2C 的直角坐标方程为2212x y x +=+，即()2212x y -+=． ·························· 5分（2）由（1）知，2C 是以()1,0为圆心，半径r =。

2020-2021年福建省福州市质检一：福州市2020届高三第一次质量检测数学(理)试题含答案

福建省福州市2020届高三第一次质量检测
理科数学
注意事项：
1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|x﹣1＞0}，则（∁R A）∩B＝（）
A．（1，3）B．（1，3]C．[3，+∞）D．（3，+∞）2．（5分）若iz＝1+i（其中i是虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
第1页（共23页）。

福建省福州市2019—2020学年度第一学期高三期末质量检测理科数学试卷

1. 设复数 ,则
A． B．
C． D．
2.已知集合，，则
A． B．
C． D．
3.执行如图所示的程序框图，若输入的分别为 ,则输出的n
A．6B．5
C．4D．3
4.已知向量 ,则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
5.若 ,则 =
A． B． C．1D．32
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.（本小题满分12分）
在中，．
（1）若，求；
（2）为边上一点，且，求的面积．
18.（本小题满分12分）
已知函数的最小值为．
（1）求的值；
（2）若为正实数，且，证明：．
C． D．
10.已知四边形为正方形，平面，四边形与四边形也都为正方形，连接，点为的中点，有下述四个结论：
① ；② 与所成角为；
③ 平面；④ 与平面所成角为．
其中所有正确结曲线（）的左、右焦点分别为，若上点满足，且向量夹角的取值范围为，则的离心率取值范围是
准考证号姓名.
（在此卷上答题无效）
绝密★启用前
2019—2020学年度第一学期福州市高三期末质量检测
数学（理科）试题
（完卷时间120分钟；满分150分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分.
注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．

福建省福州市2020届高三数学上学期期末质量检查试题文.doc

【试题解析】福建省福州市高三数学上学期期末质量检查试题文第1卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共1 2小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确的选项涂在答题卡的相应位置上．)1．复数i(1+i)(i为虚数单位)等于A．0 B．1+i C．1-i D．-1+i2．已知全集U={a，b，c，d，e}，M={a，c，d}，N={b，d，e}，则( M)∩N等于A．{b} B．{d} C．{b，e} D．{b，d，e}3．如图是某次大赛中，7位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为A．83 B．84 C．85 D．864．“x<2”是“x2-2x<0'”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件离心率为A．132-+B．152+C．352-D．129．已知函数f (x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则函数f (x)的一个单调递增区间是A．（75,1212p p-） B．（7,1212p p--）C．（3,36p p-） D．（1117,1212p p）第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共1 6分，将答案填在答题卡的相应位置上．)13．双曲线：22916x y-=1的渐近线方程为14．如图所示，程序框图的输出值s等于15．“无字证明”(proofs without words)，就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：16．已知集合M是满足下列条件的函数f (x)八戈)的全体：(1) f (x)既不是奇函数也不是偶函数；(2)函数f (x)有零点．那么在函数①f (x)=|x| + 1 ，②f (x) =2x一1 ，③f (x)=2,2,0,2,2,2,x xxx xì->ïï=íï+<ïî④ f (x) =x2一x一1 + ln x中，属于M的有 (写出所有符合的函数序号)三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)l7．(本小题满分l 2分)已知{a n }是等比数列，a 1=2，且a 1，a 3+1，a 4成等差数列． (I)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若b n =log 2 a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ． 18．(本小题满分12分)’19．(本小题满分1 2分)(I)每套丛书定价为100元时，书商能获得的总利润是多少万元? (Ⅱ)每套丛书定价为多少元时，单套丛书的利润最大? 21．(本小题满分1 2分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (一1，1)，P 是动点，且三角形POA 的三边所在直线的斜率满足k OP +k OA =k PA ． (I)求点P 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且PQ OA l =u u u r u u u r，直线OP 与QA 交于点M ，试探究：点M 的横坐标是否为定值?并说明理由．22．(本小题满分1 4分)已知m ，t ∈R ，函数f (x ) =(x - t)3+m ． (I)当t =1时，(i)若f (1) =1，求函数f (x )的单调区间；(ii)若关于x 的不等式f (x )≥x 3—1在区间[1，2]上有解，求m 的取值范围； (Ⅱ)已知曲线y = f (x )在其图象上的两点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2)))( x 1≠x 2)处的切线分别为l 1、l 2．若直线l 1与l 2平行，试探究点A 与点B 的关系，并证明你的结论．数学(文)试卷参考答案三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17．（本小题满分12分）18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）数组(,,)x y z 的所有情形为：（1，1，1），（1，1，2），（1，2，1），（1，2，2），（2，1，1），（2，1，2），（2，2，1），（2，2，2），共8种．答：一共有8种． ························· 5分注：列出5、6、7种情形，得2分；列出所有情形，得4分；写出所有情形共8种，得1分．（Ⅱ）记“所摸出的三个球号码之和为i ”为事件i A （i =3，4，5，6）， ……6分易知，事件3A 包含有1个基本事件，事件4A 包含有3个基本事件，事件5A 包含有3个基本事件，事件6A 包含有1个基本事件，所以，由余弦定理得，2222212cos 38238492b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴ 7b =， ···························· 5分 ∴ ABC ∆的周长为38718a b c ++=++=． ············· 6分（Ⅱ）由正弦定理得，sin sin a bA B=， 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）每套丛书定价为100元时，销售量为150.11005-⨯=万套，此时每套供货价格为1030325+=元，················· 3分 ∴ 书商所获得的总利润为5(10032)340⨯-=万元． ·········· 4分（Ⅱ）每套丛书售价定为x 元时，由150.10,0,x x ->⎧⎨>⎩得，0150x <<， ··· 5分依题意，单套丛书利润10100(30)30150.1150P x x x x =-+=----············· 7分∴100(150)120150P x x ⎡⎤=--++⎢⎥-⎣⎦，（说明：学生未求出最大值不扣分）． 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设点(,)P x y 为所求轨迹上的任意一点，则由OP OA PA k k k +=得1111y y x x -+=-+， ·························· 2分整理得轨迹C 的方程为2y x =（0x ≠且1x ≠-），…4分（Ⅱ）（方法一）设22112200(,),(,),(,)P x x Q x x M x y ，由PQ OA λ=u u u v u u u v可知直线//PQ OA ，则PQ OA k k =，故2221211010x x x x --=---，即211x x +=-，…………………6分由O M P 、、三点共线可知，00(,)OM x y =u u u u r 与211(,)OP x x =u u u r共线，∴ 201100x x x y -=，由（Ⅰ）知10x ≠，故001y x x =， ·················· 8分由11x ≠-得012x =-，即点M 的横坐标为定值12-． ·········· 12分（方法二）设221122(,),(,),P x x Q x x由PQ OA λ=u u u vu u u v可知直线//PQ OA ，则PQ OA k k =，22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）(i)因为(1)1f =，所以1m =， ··············· 1分则()332()1133f x x x x x =-+=-+，而22()3633(1)0f x x x x '=-+=-≥恒成立，因为[1,2]x ∈时，[]2213333()0,624x x x -=--∈，所以m 的取值范围是[0,)+∞． ···················· 9分B 关于点(,)t m 对称． ·························· 10分对猜想证明如下：因为33223()()33f x x t m x tx t x t m =-+=-+-+ 所以222()3633()f x x tx t x t '=-+=-所以，1l ，2l 的斜率分别为2113()k x t =-，2223()k x t =-．又直线1l 与2l 平行，所以12k k =，即2212()()x t x t -=-，因为12x x ≠，所以，12()x t x t -=--， ······················ 12分。

福州第一中学2020届高三上学期期末考试数学(理)试题含解析

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设大灯下缀2个小灯为个，大灯下缀4个小灯有个,根据题意求得，再由古典概型及其概率的公式，即可求解．
【详解】设大灯下缀2个小灯为个，大灯下缀4个小灯有个,
根据题意可得，解得，
则灯球的总数为个，
故这个灯球是大灯下缀4个小灯概率为 ,故选B．
A. B。 C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由，得 ,故选D.
考点:复数的运算.
3。已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练,每人练习10组,每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示,则下列结论错误的是( )
A。甲命中个数的极差是29B。乙命中个数的众数是21
C. 甲命中率比乙高D。甲命中个数的中位数是25
【答案】①②④
【解析】
【分析】
①由，可得证；②取AC中点P，可证得平面DPB，可得正；③ 借助极限状态,当平面DCA与平面BCA重合时，三棱锥的外接球即为以三角形ABC的外接圆为圆心，半径为半径的球，二面角不为0时,外接圆的半径一定大于此半径,不正确. ④
过A在平面ABC中作交BC于H，分析H点在BC上的位置，可得证。
因为为锐角三角形，故
因此当，即时，
故：得最大值为
【点睛】本题考查了解三角形综合应用，考查了学生综合分析，转化划归,数学运算的能力，属于中档题.
18。如图，四边形为矩形，在上，且，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且在平面上的射影在上。
(1)证明: ;
（2）求直线与平面所成角的正弦值。
【点睛】本题考查投影的概念，两向量夹角余弦公式的坐标运算,数量积的坐标运算，根据向量坐标求其长度，是基础题

【期末试卷】福州市第一学期高三期末理科数学质量检查及答案

福州市度第一学期高三质量检查理科数学试卷（满分：150分;完卷时间：120分钟）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1．如图，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的距离都相等．若复数z 所对应的点为1Z ，则复数z 的共轭复数所对应的点为（）． A ．1ZBC ．3ZD ．4Z2．已知πtan()34+=α，则tan α的值是（）． A ．2B ．12C ．1-D ．3-3．已知A ⊂≠B，则“x A ∈”是“x B ∈”的（）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．某班有49位同学玩“数字接龙”游戏，具体规则按如图所示的程序框图执行（其中a 为座位号），并以输出的值作为下一个输入的值．若第一次输入的值为8，则第三次输出的值为（）． A ．8 B ．15 C ．29 D ．365．如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图第1题图第4题图中阴影部分的概率为（）． A ．1πB ．2πC ．3πD ．126．已知函数()lg(1)=-f x x 的值域为(,1]-∞，则函数()f x 的定义域为（）． A ．[9,)-+∞B ．[0,)+∞C ．(9,1)-D ．[9,1)-7．已知抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5．现采用随机模拟试验的方法估计抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率：先由计算器产生0或1的随机数，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上；再以每三个随机数做为一组，代表这三次投掷的结果．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：101 111 010 101 010 100 100 011 111 110 000 011 010 001 111 011 100 000 101 101 据此估计，抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为（）． A ．0.30B ．0.35C ．0.40D ．0.658．ABC △的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若cos cos A b Ba=C 的大小为（）． A ．60︒B ． 75︒C ．90︒D ．120︒9．若双曲线2222:1x y a bΓ-=（0,0a b >>）的右焦点()4,0到其渐近线的距离为，则双曲线Γ的离心率为（）． A．BC ．2D ．410．定义运算“*”为：,0,2,0a b ab a a b a +<⎧⎪*=⎨⎪⎩≥.若函数()(1)f x x x =+*，则该函数的图象大致是（）．AC 11．已知ABC ∆的三个顶点,,A B C 的坐标分别为())()0,1,,0,2-，O为坐标原点，动点P 满足1CP =，则OA OB OP ++的最小值是（）．A．4-B1 C1 D12．已知直线:l y ax b =+与曲线:Γ1x y y=+没有公共点．若平行于l的直线与曲线Γ有且只有一个公共点，则符合条件的直线l （）． A ．不存在B ．恰有一条C ．恰有两条D ．有无数条第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上．） 13．若变量,x y 满足约束条件0,0,2x y y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≥≤，则z x y =+的最小值为★★★ ． 14．已知6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x +=++++++，则016,,,a a a ⋅⋅⋅中的所有偶数．．的和等于 ★★★ ． 15．已知椭圆2239x y +=的左焦点为1F ，点P 是椭圆上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．若点D 是线段1PF 的中点，则1FOD ∆的周长为 ★★★ ．16. 若数列{}n a 满足112n n n a a a +-+≥（2n ≥），则称数列{}n a 为凹数列．已知等差数列{}n b 的公差为d ，12b =，且数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是凹数列，则d 的取值范围为 ★★★ ．三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的公比1q >，1a ，2a 是方程2320x x -+=的两根．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}2n n a ⋅的前n 项和n S ．18.（本小题满分12分）“ALS 冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动.假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.（Ⅰ）若某被邀请者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？（Ⅱ）假定（Ⅰ）中被邀请到的3个人中恰有两人接受挑战.根据活动规定，现记X 为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求X 的分布列和均值（数学期望）.19.（本小题满分12分）已知函数()4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭在同一半周期内的图象过点,,O P Q ，其中O 为坐标原点，P 为函数()f x 图象的最高点，Q 为函数()f x图象与x 轴的正半轴的交点．（Ⅰ）试判断OPQ ∆的形状，并说明理由．（Ⅱ）若将OPQ ∆绕原点O 转角02ααπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭时，顶点,P Q ''恰好同时落在曲k y x=()0x >上（如图所示），求实数k 的值．20.（本小题满分12分）一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用m （14m ≤≤且m ∈R ）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y （克）随着第19题图时间x （小时）变化的函数关系式近似为)(x f m y ⋅=，其中()10,06,4.4,682x xf x x x ⎧<⎪⎪+=⎨⎪-⎪⎩≤≤≤(Ⅰ)若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？(Ⅱ)若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m 个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m 的最小值．21.（本小题满分12分）已知抛物线Γ的顶点为坐标原点，焦点为(0,1)F ．（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）若点P 为抛物线Γ的准线上的任意一点，过点P 作抛物线Γ的切线PA 与PB ，切点分别为,A B ，求证：直线AB 恒过某一定点；(Ⅲ)分析(Ⅱ)的条件和结论，反思其解题过程，再对命题(Ⅱ)进行变式和推广．请写出一个你发现的真命题．．．，不要求证明（说明：本小题将根据所给出的命题的正确性和一般性酌情给分）． 22.（本小题满分14分）已知函数()()e sin cos ,cos x x f x x x g x x x =-=，其中e 是自然对数的底数．（Ⅰ）判断函数()y f x =在π(0,)2内的零点的个数，并说明理由；（Ⅱ）12ππ0,,0,22x x ⎡⎤⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使得不等式12()()f x g x m +≥成立，试求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若1x >-，求证：()()0f x g x ->．福州市第一学期高三质量检查理科数学试卷参考答案及评分细则一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．C 2．B 3．A 4．A 5．B 6．D 7．B 8．C 9．C 10．D 11．B 12．C 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分， 13．2- 14．32 15．316．(,2]-∞ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．本题主要考查一元二次方程的根、等比数列的通项公式、错位相减法求数列的和等基础知识，考查应用能力、运算求解能力，考查函数与方程思想．解：（Ⅰ）方程2320x x -+=的两根分别为1,2， ······ 1分依题意得11a =，22a =． ················ 2分所以2q =， ····················· 3分所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=． ·········· 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知22n n n a n ⋅=⋅， ············ 5分所以212222n n S n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，······· ① 23121222(1)22n n n S n n +⋅=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⨯， ··· ② 由①－②得23222n S -=+++⋅⋅⋅122n n n ++-⨯， ·············· 8分即 1222212n n n S n +-⋅-=-⨯-， ···············11分所以12(1)2n n S n +=+-⋅． ················ 12分18．本题主要考查离散型随机变量的概率、分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．解法一：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为A 、B 、C ，则,,A B C 分别表示这3个人不接受挑战．这3个人参与该项活动的可能结果为：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ．共有8种； ········· 2分其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，共有4种． ···················· 3分根据古典概型的概率公式，所求的概率为4182P ==． ··· 4分（说明：若学生先设“用(),,x y z 中的,,x y z 依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑战的情况”，再将所有结果写成(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ，(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ，不扣分．）（Ⅱ）因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，所以每个人接受挑战的概率为12，不接受挑战的概率也为12． 5分所以()060611102264P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()51611631226432P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2426111522264P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()3336112053226416P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()4246111542264P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()515611635226432P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()6661116.2264P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭··············· 9分故X10分所以()1315515310123456364326416643264E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．故所求的期望为3． ················· 12分解法二：因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，所以每个人接受挑战的概率为12，不接受挑战的概率也为12． 1分（Ⅰ）设事件M 为“这3个人中至少有2个人接受挑战”，则2323331111()2222P M C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ············ 4分（Ⅱ）因为X 为接下来被邀请的6个人中接受挑战的人数，所以1~6,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭． ·················· 5分所以()060611102264P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()51611631226432P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2426111522264P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()3336112053226416P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()4246111542264P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()515611635226432P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()6661116.2264P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭··············· 9分故X10分所以()1632E X =⨯=．故所求的期望为3． ················· 12分19．本题主要考查反比例函数、三角函数的图象与性质、三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角和的正弦公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．解法一：（Ⅰ）OPQ ∆为等边三角形． ·········· 1分理由如下：因为函数()4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2π84T ==π，所以函数()f x 的半周期为4，所以4OQ =． ···················· 2分又因为P 为函数()f x 图象的最高点，所以点P坐标为(2，，所以4OP =， ········· 4分又因为Q 坐标为(4,0)，所以4PQ ==，所以OPQ ∆为等边三角形． ·············· 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，4OP OQ ==，所以点P ',Q '的坐标分别为4cos 4sin 33αα⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,(4cos 4sin )αα,，7分代入k y x =，得216cos sin 8sin(2π)333k αααππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且16sin cos 8sin2k ααα==， ··············· 9分所以2sin 2sin(2π)3αα=+，结合22sin (2)cos (2)1αα+=，02απ<<，解得1sin 22α=， ··················· 11分所以4k =，所以所求的实数k 的值为4． ········· 12分解法二：（Ⅰ）OPQ ∆为等边三角形． ········· 1分理由如下：因为函数()4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2π84T ==π，所以函数()f x 的半周期为4，所以4OQ =， ·2分因为P 为函数()f x 的图象的最高点，所以点P坐标为(2，，所以4OP =，所以OP OQ=． ··· 4分又因为直线OP的斜率k ==，所以60POQ ∠=︒，所以OPQ ∆为等边三角形． ·············· 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，4OP OQ ==，所以点P ',Q '的坐标分别为4cos 4sin 33αα⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,,(4cos 4sin )αα,， 7分因为点P ',Q '在函数(0)k y x x=>的图象上，所以16cos sin ,3316sin cos k k ⎧ππ⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪=⎩αααα, ············· 8分所以28sin(2π),38sin 2k k ⎧=+⎪⎨⎪=⎩αα,················· 9分消去k 得， 2sin 2sin(2π)3αα=+，所以22sin 2sin 2cos πcos2sin π33ααα=+，所以3sin 222αα=，所以tan 2α=， (10)分又因为 02απ<<，所以26απ=，所以1sin 22α=， (11)分所以4k =．所以所求的实数k 的值为4． ········· 12分解法三：（Ⅰ）同解法一或同解法二；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OPQ ∆为等边三角形．因为函数(0)k y x x=>的图象关于直线y x =对称， ······ 8分由图象可知，当12απ=时，点P ',Q '恰在函数(0)k y x x=>的图象上．10分此时点Q '的坐标为(4cos 4sin )1212ππ,， ··········· 11分所以16sin cos 8sin 412126k πππ===，所以所求的实数k 的值为4． · 12分20．本题主要考查分段函数模型的应用问题、一元二次函数的最值、解不等式等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类讨论思想等．解：（I ）因为3m =，所以30,06,4312,682x xy x x ⎧<⎪⎪+=⎨⎪-⎪⎩≤≤≤． ······ 1分当06x <≤时，由3024x+≥，解得x ≤11，此时06x <≤； ··· 3分当68x ≤≤时，由31222x -≥，解得203x ≤，此时2063x ≤≤． · 5分综上所述，2003x ≤≤．故若一次服用3个单位的药剂，则有效治疗的时间可达203小时．6分（Ⅱ）当6x ≤≤8时，110102(4)[]824(6)2m y x m x x x =⨯-+=-++--， · 8分因为10822m x x -+-≥对6x ≤≤8恒成立，即281210x x m -+≥对6x ≤≤8恒成立，等价于2max 812)10x x m -+≥(，6x ≤≤8．··········· 9分令2812()10x x g x -+=，则函数2(4)4()10x g x --=在[6,8]是单调递增函数，10分当x =8时，函数2812()10x x g x -+=取得最大值为65， ····· 11分所以65m ≥，所以所求的m 的最小值为65． ········ 12分解法二：（Ⅰ）同解法一；（Ⅱ）当6x ≤≤8时，110102(4)[]824(6)2my x m x x x =⨯-+=-++--， · 8分注意到18y x =-及2102m y x =-（14m ≤≤且m ∈R ）均关于x 在[6,8]上单调递减，则1082m y x x =-+-关于x 在[6,8]上单调递减， ········ 10分故10588823m m y -+=-≥，由523m ≥，得65m ≥， (11)分所以所求的m 的最小值为65． (12)分21．本题主要考查抛物线的标准方程与性质、直线与抛物线的位置关系、归纳推理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等．解：（Ⅰ）依题意可设抛物线Γ的方程为：22x py =（0p >）． 1分由焦点为(0,1)F 可知12p =，所以2p =． ·········· 2分所以所求的抛物线方程为24x y =． ··········· 3分（Ⅱ）方法一：设切点A 、B 坐标分别为221212,,,44x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由（Ⅰ）知，12y x '=．则切线PA PB 、的斜率分别为12112211,22x x x x k y x k y x ==''====，故切线PA PB 、的方程分别为211111()42y x x x x -=-，222211()42y x x x x -=-，4分联立以上两个方程，得1212,214x x x y x x+⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故P 的坐标为12121(,)24x x x x +， 5分因为点P 在抛物线Γ的准线上，所以12114x x =-，即124x x =-． · 6分设直线AB 的方程为y kx m =+，代入抛物线方程24x y =，得2440x kx m --=，所以124x x m =-，即44m -=-，所以1m =． ········· 7分故AB 的方程为1y kx =+，故直线AB 恒过定点(0,1)． ···· 8分方法二：设切点A 、B 坐标分别为221212,,,44x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设(),1P m -，易知直线PA PB 、斜率必存在，可设过点P 的切线方程为()1y k x m +=-．由()21,4,y k x m x y ⎧+=-⎨=⎩，消去y 并整理得()24410x kx km -++=． · ①因为切线与抛物线有且只有一个交点，所以()2416(1)0k km ∆=-+=，整理得210k mk --=， ···· ② 所以直线PA PB 、斜率12k k ,为方程②的两个根，故121k k ⋅=-， · 4分另一方面，由0∆=可得方程①的解为2x k =，所以11222,2x k x k ==． ················· 5分假设存在一定点，使得直线AB 恒过该定点，则由抛物线对称性可知该定点必在y 轴上，设该定点为(0,)C c ， ··············· 6分则221212(,),(,)44x x CA x c CB x c =-=-．所以//CA CB ，所以222112()()044x x x c c x ---=，整理得121221()()4x x c x x x x -=- 所以12x x ≠，所以12124144x x k k c =-=-= ················ 7分所以直线AB 过定点()0,1． ··············· 8分（Ⅲ）结论一：若点P 为直线:l y t =（0t <）上的任意一点，过点P 作抛物线:Γ22x py =（0p >）的切线,PA PB ，切点分别为,A B ，则直线AB 恒过定点(0,)t -． 12分结论二：过点()0,Q m （0m >）任作一条直线交抛物线()2:20x py p Γ=>于,A B 两点，分别以点,A B 为切点作该抛物线的切线，两切线交于点P ，则点P 必在定直线y m =-上． ·····················12分结论三：已知点P 为直线:l y kx b =+上的一点，若过点P 可以作两条直线与抛物线:Γ22x py =（0p >）相切，切点分别为,A B ，则直线AB 恒过定点(),pk b -． 12分说明：①以上两结论只要给出其中一个即可或给出更一般性的结论； ②以上两结论中的抛物线开口方向均可改变；基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．解：（Ⅰ）函数()y f x =在π(0,)2上的零点的个数为1． ··· 1分理由如下：因为()e sin cos x f x x x =-，所以()e sin e cos sin x x f x x x x '=++． ··· 2分因为π02x <<，所以()0f x '>，所以函数()f x 在π(0,)2上是单调递增函数． ········ 3分因为(0)10f =-<，π2π()e 02f =>，根据函数零点存在性定理得函数()y f x =在π(0,)2上的零点的个数为1． ········ 4分（Ⅱ）因为不等式12()()f x g x m +≥等价于12()()f x m g x -≥，所以 12ππ[0,],[0,]22x x ∀∈∃∈，使得不等式12()()f x g x m +≥成立，等价于 ()1min 2min ()()f x m g x -≥，即1min 2max ()()f x m g x -≥． ······· 6分当π[0,]2x ∈时，()e sin e cos sin 0x x f x x x x '=++>，故()f x 在区间π[0,]2上单调递增，所以0x =时，()f x 取得最小值1-． ··············· 7分又()cos sin x g x x x x '=--，由于0cos 1,sin x x x x ≤≤≥ 所以()g x '0<，故()g x 在区间π[0,]2上单调递减，因此，0x =时，()g x 取得最大值 ········· 8分所以(1m --≥，所以1m ≤-．所以实数m 的取值范围是(,1-∞-． ········· 9分（Ⅲ）当1x >-时，要证()()0f x g x ->，只要证()()f x g x >，只要证e sin cos cos x x x x x x ->，只要证(()e sin 1cos x x x x >+，由于sin 0,10x x +>，只要证e1x x >+． ······ 10分下面证明1x >-时，不等式e1x x >+成立．令()()e 11x h x x x =>-+，则()()()()22e 1e e 11x x x x x h x x x +-'==++，当()1,0x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增．所以当且仅当0x =时，()h x 取得极小值也就是最小值为1．令k =，其可看作点()sin ,cos A x x 与点()B 连线的斜率，所以直线AB 的方程为：(y k x =+，由于点A 在圆221x y +=上，所以直线AB 与圆221x y +=相交或相切，当直线AB 与圆221x y +=相切且切点在第二象限时，直线AB 取得斜率k 的最大值为1． ··········· 12分故0x =时，()10k h =<=；0x ≠时，()1h x k >≥． ······ 13分综上所述，当1x >-时，()()0f x g x ->成立． ······· 14分。

福建省福州市2020届第一学期高三期末质量真题检测理科数学(WORD版含答案)

准考证号姓名 .（在此卷上答题无效）2019—2020学年度第一学期福州市高三期末质量检测数学（理科）试题（完卷时间120分钟；满分150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅰ卷3至4页．满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数()1i 1i 2z ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,则z =A ．5B ．10C ．52D ．5242. 已知集合{}|02A x x x =≤或≥，{}2|20B x x x =--≤，则A ．AB B ．B AC ．A B =∅D ．A B =R3. 执行如图所示的程序框图，若输入的,a b 分别为4,2,则输出的nA ．6B ．5C ．4D ．34. 已知向量(2,),(,2)λλ==a b ,则“2λ=”是“//(2)-a a b ”的A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件5. 若5250125(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+⋅⋅⋅+-,则0a =A ．32-B ．2-C ．1D ．326. 若实数,a b 满足201,a b a ＜＜＜＜且()22log ,log ,log ,a a a m b n b p b ===则,,m n p 的大小关系为 A ．m p n ＞＞B ．p n m ＞＞C ．n p m ＞＞D ．p m n ＞＞7. 若2cos21sin2x x =+，则tan x =A ．1-B ．13C ．1-或13D ．1-或13或38. 若,x y 满足约束条件31,933,x y x y --⎧⎨-+⎩≤≤≤≤则z x y =+的最小值为A ．1B ．3-C ．5-D ．6-9. 把函数()sin cos f x x x =+图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π8个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则A ．()2g x x =B ．()32g x x π⎛⎫=+ ⎪8⎝⎭C ．()1521g x x π⎛⎫=+ ⎪6⎝⎭D ．()1328g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10. 已知四边形ABCD 为正方形，GD ⊥平面ABCD ，四边形DGEA 与四边形DGFC 也都为正方形，连接BE FB EF ,,，点H 为BF 的中点，有下述四个结论： ①DE BF ⊥；②EF 与CH 所成角为60︒；③EC ⊥平面DBF ； ④BF 与平面ACFE 所成角为45︒．其中所有正确结论的编号是 A ．①② B ．①②③C ．①③④D ．①②③④11. 已知双曲线2222:1x y E a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，若E 上点A 满足122AF AF =，且向量12,AF AF 夹角的取值范围为,32π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦，则E 的离心率取值范围是A ．B ．⎤⎦C ．[]3,5D ．[]7,912. 已知函数21()2,()f x x ax g x x=+=-，若存在点()()()()1122,,,A x f x B x g x ，使得直线AB 与两曲线()y f x =和()y g x =都相切，当实数a 取最小值时，12x x +A ．BCD ．绝密★启用前2019—2020学年度第一学期福州市高三期末质量检测数学（理科）试题第Ⅰ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13. 函数,0,()e 1,0,xx x f x x ⎧=⎨-⎩＜≥则()(2)1f f +-= ． 14. 设抛物线22y px =上的三个点()12323,,1,,,32A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到该抛物线的焦点距离分别为123,,d d d ．若123,,d d d 中的最大值为3，则p 的值为． 15. 已知n S 为数列{}n a 前n 项和，若152a =，且()122n n a a +-=，则21S = ． 16. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17. （本小题满分12分）在ABC △中，1,7AC BC ==．（1）若150A =︒，求cos B ；（2）D 为AB 边上一点，且22BD AD CD ==，求ABC △的面积．18. （本小题满分12分）等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等比数列{}n b 的第2项，第3项，第4项. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足12211+=+++n nn b a c a c a c ,求数列{}n c 的前2020项的和．19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．（1）求证：平面AEF ⊥平面PBC ．（2）试确定点F 的位置，使平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30︒．20.（本小题满分12分）已知圆22:43x y O +=，椭圆2222:1x y C a b +=（0a b ＞＞）的短轴长等于圆O 半径的6倍，C 的离心率为2．（1）求C 的方程；（2）若直线l 与C 交于,A B 两点，且与圆O 相切，证明：AOB △为直角三角形．21.（本小题满分12分）已知函数()2cos 1.f x x ax =+- （1）当12a =时，证明：()0f x ；（2）若()f x 在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22.（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为5,212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求C 的直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为(， l 与曲线C 的交点为,A B ，求11MA MB+的值．23.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知函数1()212f x x x =-++的最小值为m ．（1）求m 的值；（2）若,,a b c 为正实数，且a b c m ++=，证明：22213a b c ++≥．2019－2020学年度第一学期福州市高三期末质量检测数学（理科）参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。