高中数学必修1 常见的对数函数解题策略

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1 高一数学对数函数的概念以及一些常见的解题方法

有关高一数学对数函数的概念以及一些常见的解题方法和延伸，基本的知识点及简单的例题，希望对高中生们有帮助。

1对数的概念如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.由定义知：①负数和零没有对数;②a>0且a≠1,N>0;③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN.2对数式与指数式的互化式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数)3对数的运算性质如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么(1)loga(MN)=logaM+logaN.(2)logaM/N=logaM-logaN.(3)logaM^n=nlogaM (n∈R).问：①公式中为什么要加条件a>0,a≠1，M>0,N>0?②logaan=? (n∈R)③对数式与指数式的比较.(学生填表)式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数b—N—a—对数的底数b—N—运算性质am·an=am+nam÷an=(am)n=(a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaNlogaMN=logaMn=(n∈R)(a>0,a≠1,M>0,N>0)难点疑点突破对数定义中，为什么要规定a＞0,，且a≠1?理由如下：①若a＜0，则N的某些值不存在，例如log-②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数解题方法技巧1(1)将下列指数式写成对数式：①54=625；②2-6=164；③3x=27；④（2）将下列对数式写成指数式：①log1216=-4；②log2128=7；③log327=x；④lg0.01=-2；⑤ln10=2.303；⑥lgπ=k.解析由对数定义：aN=b.解答(1)①log5625=4.②log2164=-6.③log327=x.④log135.73=m.解题方法指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：①12-4=16.②27=128.③3x=27.④10-2=0.01.⑤e2.303=10.⑥10k=π.2根据下列条件分别求x的值：(1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0；(3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1.解析(1)对数式化指数式，得：x=8-23=?(2)log5x=20=1. x=?(3)31+log32=3×3log32=?27=x?(4)2+3=x-1=1x. x=?解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.(2)log5x=20=1，x=51=5.(3)logx27=3×3log32=3×2=6，∴x6=27=33=(3)6,故x=3.(4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3.解题技巧①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化.②熟练应用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3已知logax=4,logay=5，求A=〔x·3x-1y2〕12的值.解析思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值；思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值解答解法一∵logax=4,logay=5,∴x=a4,y=a5,∴A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1.解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得logaA=loga(x512y-13)=512logax-13logay=512×4-13×5=0,∴A=1.解题技巧有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算.4设x,y均为正数，且x·y1+lgx=1(x≠110),求lg(xy)的取值范围.解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数.因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?解答∵x>0,y>0,x·y1+lgx=1,两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0.即lgy=-lgx1+lgx(x≠110,lgx≠-1).令lgx=t, 则lgy=-t1+t(t≠-1).∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t.解题规律对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得关于t的方程t2-St-S=0有实数解.∴Δ=S2+4S≥0，解得S≤-4或S≥0,故lg(xy)的取值范围是(-∞,-4〕∪〔0,+∞).5求值：(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；(2)2log32-log3329+log38-52log53；(3)设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值;(4)求7lg20·12lg0.7的值.解析(1)25=52,50=5×10.都化成lg2与lg5的关系式.(2)转化为log32的关系式.(3)所求log2a-log2b=log2ab由已知等式给出了a,b之间的关系，能否从中求出ab的值呢?(4)7lg20·12lg0.7是两个指数幂的乘积，且指数含常用对数，设x=7lg20·12lg0.7能否先求出lgx，再求x?解答(1)原式=lg52+lg2·lg(10×5)+(lg2)2=2lg5+lg2·(1+lg5)+(lg2)2=lg5·(2+lg2)+lg2+(lg2)2=lg102·(2+lg2)+lg2+(lg2)2=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2.(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59=2log32-5log32+2+3log32-9=-7.(3)由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b>0),∴ab=(a-2b)2, 即a2-5ab+4b2=0.∴ab=1或ab=4，这里a>0,b>0.若ab=1，则a-2b<0, ∴ab=1（舍去）.∴ab=4,∴log2a-log2b=log2ab=log24=2.(4)设x=7lg20·12lg0.7,则lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg12=(1+lg2)·lg7+(lg7-1)·(-lg2)=lg7+lg2=14,∴x=14, 故原式=14.解题规律①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据，对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式，运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变，为防止增根所以需要检验，如(3).②对一个式子先求它的常用对数值，再求原式的值是代数运算中常用的方法，如(4).6证明(1)logaN=logcNlogca(a>0,a≠1,c>0,c≠1,N>0)；(2)logab·logbc=logac；(3)logab=1logba(b>0,b≠1)；(4)loganbm=mnlogab.解析(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c为底的对数求出b就可能得证.(2)中logbc能否也换成以a为底的对数.(3)应用(1)将logab换成以b为底的对数.(4)应用(1)将loganbm换成以a为底的对数.解答(1)设logaN=b，则ab=N,两边取以c为底的对数得：b·logca=logcN,∴b=logcNlogca.∴logaN=logcNlogca.(2)由(1)logbc=logaclogab.所以logab·logbc=logab·logaclogab=logac.(3)由(1)logab=logbblogba=1logba.解题规律(1)中logaN=logcNlogca叫做对数换底公式，(2)(3)(4)是(1)的推论，它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用. 对于对数的换底公式，既要善于正用，也要善于逆用.(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa= mnlogab.7已知log67=a,3b=4,求log127.解析依题意a,b是常数，求log127就是要用a,b表示log127，又3b=4即log34=b，能否将log127转化为以6为底的对数，进而转化为以3为底呢?解答已知log67=a,log34=b,∴log127=log67log612=a1+log62.又log62=log32log36=log321+log32,由log34=b,得2log32=b.∴log32=b2,∴log62=b21+b2=b2+b.∴log127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b.解题技巧利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧已知x,y,z∈R+，且3x=4y=6z.(1)求满足2x=py的p值；(2)求与p最接近的整数值；(3)求证：12y=1z-1x.解析已知条件中给出了指数幂的连等式，能否引进中间量m，再用m分别表示x,y,z?又想，对于指数式能否用对数的方法去解答?解答（1）解法一∴p=log316.解法二设3x=4y=m,取对数得：x·lg3=lgm，ylg4=lgm,∴x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4.由2y=py, 得2lgmlg3=plgmlg4,∴p=2lg4lg3=lg42lg3=log316.(2)∵2=log39<log316<log327=3,∴2<p<3.又3-p=log327-log316=log32716,p-2=log316-log39=log3169,而2716<169,∴log32716<log3169,∴p-2>3-p.∴与p最接近的整数是3.解题思想①提倡一题多解.不同的思路，不同的方法，应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用，既发散了思维，又提高了分析问题和解决问题的能力，何乐而不为呢?②(2)中涉及比较两个对数的大小.这是同底的两个对数比大小.因为底3>1，所以真数大的对数就大，问题转化为比较两个真数的大小，这里超前应用了对数函数的单调性，以鼓励学生超前学习，自觉学习的学习积极性.(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于x，y，z∈R+，∴k>1，则x=lgmlg3,y=lgmlg4,z=lgmlg6,所以1z-1x=lg6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm，12y=12·lg4lgm=lg2lgm，故12y=1z-1x.解法二3x=4y=6z=m，则有3=m1x①,4=m1y②，6=m1z③，③÷①，得m1z-1x=63=2=m12y.∴1z-1x=12y.9已知正数a,b满足a2+b2=7ab.求证：logma+b3=12(logma+logmb)(m>0且m≠1).解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b的一次式，想：能否将真数中的一次式也转化为二次，进而应用a2+b2=7ab?解答logma+b3=logm(a+b3)212=解题技巧①将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一.②应用a2+b2=7ab将真数的和式转化为ab的乘积式，以便于应用对数运算性质是技巧之二.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9.∵a2+b2=7ab,∴logma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb),即logma+b3=12(logma+logmb).思维拓展发散1数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系.设真数N=a×10n.其中N>0,1≤a<10,n∈Z.这就是用科学记数法表示真数N.其科学性体现在哪里?我们只要研究数N的常用对数，就能揭示其中的奥秘.解析由已知，对N=a×10n取常用对数得，lgN=n+lga.真数与对数有何联系?解答lgN=lg(a×10n)=n+lga.n∈Z,1≤a<10，∴lga∈〔0,1).我们把整数n叫做N的常用对数的首数，把lga叫做N的常用对数的尾数，它是正的纯小数或0.小结：①lgN的首数就是N中10n的指数，尾数就是lga,0≤lga<1;②有效数字相同的不同正数它们的常用对数的尾数相同，只是首数不同；③当N≥1时，lgN的首数n比它的整数位数少1，当N∈(0，1)时，lgN的首数n是负整数，|n|-1与N的小数点后第一个不是0的有效数字前的零的个数相同.师生互动什么叫做科学记数法？N>0,lgN的首数和尾数与a×10n有什么联系？有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同？什么不同？2若lgx的首数比lg1x的首数大9，lgx的尾数比lg1x的尾数小，且lg0.203 4=1.308 3,求lgx,x,lg1x的值.解析①即lg0.203 4=1+0.308 3，1是对数的首数，0.308 3是对数的尾数，是正的纯小数；②若设lgx=n+lga，则lg1x也可表出.解答设lgx=n+lga,依题意lg1x=(n-9)+(lga+0.380 4).又lg1x=-lgx=-(n+lga),∴(n--n-lga，其中n-9是首数，是尾数，-n-lga=-(n+1)+(1-lga),-(n+1)是首数1-lga是尾数，所以：n-9=-(n+1)lga+0.380 4=1-lga n=4,lga=0.308 3.∴lgx=4+0.308 3=4.308 3,∵lg0.203 4=1.308 3,∴x=2.034×104.∴lg1x=-(4+0.308 3)=5.691 7.解题规律把lgx的首数和尾数，lg1x的首数和尾数都看成未知数，根据题目的等量关系列方程.再由同一对数的首数等于首数，尾数等于尾数，求出未知数的值，是解决这类问题的常用方法.3 计算：(1)log2-3(2+3)+log6(2+3+2-3);(2)2lg(lga100)2+lg(lga).解析(1)中.2+3与2-3有何关系?2+3+2-3双重根号，如何化简?(2)中分母已无法化简，分子能化简吗?解题方法认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法，不要被表面的繁、难所吓倒.解答(1)原式=log2-3(2-3）-1+12log6(2+3+2-3)2=-1+12log6(4+22+3·2-3)=-1+12log66=-12.(2)原式=2lg(100lga)2+lg(lga)=2〔lg100+lg(lga)〕2+lg(lga)=2〔2+lg(lga)〕2+lg(lga)=2.4已知log2x=log3y=log5z<0,比较x,3y,5z的大小.解析已知是对数等式，要比较大小的是根式，根式能转化成指数幂，所以，对数等式应设法转化为指数式.解答设log2x=log3y=log5z=m<0.则x=2m,y=3m,z=5m.x=(2)m,3y=(33)m,5z=(55)m.下面只需比较2与33,55的大小：(2)6=23=8,(33)6=32=9，所以2<33.又(2)10=25=32,(55)10=52=25,∴2>55.∴55<2<33. 又m<0,图2-7-1考查指数函数y=(2)x,y=(33)x,y=(55)x在第二象限的图像，如图2-7-解题规律①转化的思想是一个重要的数学思想，对数与指数有着密切的关系，在解决有关问题时要充分注意这种关系及对数式与指数式的相互转化.②比较指数相同，底不同的指数幂(底大于0)的大小，要应用多个指数函数在同一坐标系中第一象限(指数大于0)或第二象限(指数小于0)的性质进行比较①是y=(55)x,②是y=(2)x,③是y=(33)x.指数m<0时，图像在第二象限从下到上，底从大到小.所以(33)m<(2)m<(55)m,故3y<x<5z.潜能挑战测试1(1)将下列指数式化为对数式:①73=343;②14-2=16;③e-5=m.(2)将下列对数式化为指数式：①log128=-3;②lg10000=4;③ln3.5=p.2计算：(1)24+log23;(2)2723-log32;(3)2513log527+2log52.3(1)已知lg2=0.301 0，lg3=0.477 1，求lg45;(2)若lg3.127=a，求lg0.031 27.4已知a≠0,则下列各式中与log2a2总相等的是()A若logx+1(x+1)=1 ,则x的取值范围是()A已知ab=M(a>0,b>0,M≠1),且logMb=x，则logMa的值为()A若log63=0.673 1，log6x=-0.326 9, 则x为()A若log5〔log3(log2x)〕=0，则x=.98log87·log76·log65=.10如果方程lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2·lg3=0的两根为x1、x2,那么x1·x2的值为.11生态学指出：生物系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量流到下一个营养级.H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中(Hn表示第n个营养级，n=1，2，3，4，5，6).已知对H1输入了106千焦的能量，问第几个营养级能获得100千焦的能量?12已知x，y，z∈R+且3x=4y=6z，比较3x，4y，6z的大小.13已知a,b均为不等于1的正数，且axby=aybx=1，求证x2=y2.14已知2a·5b=2c·5d=10，证明(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).15设集合M=｛x|lg〔ax2-2(a+1)x-1〕>0｝，若，｛x|x<0｝，求实数a的取值范围.16在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为“神威Ⅰ”的计算机运算速度为每秒钟384 000 000 000次.用科学记数法表示这个数为N=,若已知lg3.840=0.584 3,则lgN=.17某工厂引进新的生产设备，预计产品的生产成本比上一年降低10%，试问经过几年，生产成本降低为原来的40%?(lg2=0.3, lg3=0.48)18某厂为适应改革开放，完善管理机制，满足市场需求，某种产品每季度平均比上一季度增长10.4%，那么经过y季度增长到原来的x倍，则函数y=f(x)的解析式f(x)=.名师助你成长1.(1)①log7343=3.②log1416=-2.③lnm=-5.(2)①12-3=8.②104=10 000.③ep=3.5.2.(1)48点拨：先应用积的乘方，再用对数恒等式.(2)98点拨：应用商的乘方和对数恒等式.(3)144点拨：应用对数运算性质和积的乘方.3.(1)0.826 6点拨：lg45=12lg45=12lg902=12(lg32+lg10-lg2).(2)lg0.031 27=lg(3.127×10-2)=-2+lg3.127=-2+a4.C点拨：a≠0,a可能是负数，应用对数运算性质要注意对数都有意义.5.B点拨：底x+1>0且x+1≠1;真数x+1>0.6.A点拨：对ab=M取以M为底的对数.7.C点拨：注意0.673 1+0.326 9=1,log61x=0.326 9，所以log63+log61x=log63x=1.∴3x=6, x=12.8.x=8点拨：由外向内.log3(log2x)=1, log2x=3, x=23.9.5点拨：log87·log76·log65=log85, 8log85=5.10.16点拨：关于lgx的一元二次方程的两根是lgx1,lgx2.由lgx1=-lg2,lgx2=-lg3，得x1=12,x2=13.11.设第n个营养级能获得100千焦的能量，依题意:106·10100n-1=100,化简得:107-n=102,利用同底幂相等，得7-n=2,或者两边取常用对数也得7-n=2.∴n=5,即第5个营养级能获能量100千焦.设3x=4y=6z=k,因为x，y，z∈R+，所以k>1.取以k为底的对数，得：x=1logk3,y=1logk4,z=1logk6.∴3x=3logk3=113logk3=1logk33,同理得：4y=1logk44,6z=1logk66.而33=1281,44=1264,66=1236,∴logk33>logk44>logk66.又k>1,33>44>66>1,∴logk33>logk44>logk66>0,∴3x<4y<6z.13.∵axby=aybx=1,∴lg(axby)=lg(aybx)=0,即xlga+ylgb=ylga+xlgb=0.(※)两式相加,得x(lga+lgb)+y(lga+lgb)=0.即(lga+lgb)(x+y)=0.∴lga+lgb=0 或x+y=0.当lga+lgb=0时,代入xlga+ylgb=0,得:(x-y)lga=0, a是不为1的正数lga≠0,∴x-y=0.∴x+y=0或x-y=0,∴x2=y2.14.∵2a5b=10,∴2a-1=51-b.两边取以2为底的对数,得：a-1=(1-b)log25. ∴log25=a-11-b(b≠1). 同理得log25=c-11-d(d≠1).即b≠1,d≠1时,a-11-b=c-11-d.∴(a-1)(1-d)=(c-1)(1-b),∴(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).当b=1,c=1时显然成立.15.设lg〔ax2-2(a+1)x-1〕=t (t>0),则ax2-2(a+1)x-1=10t(t>0).∴10t>1 ,ax2-2(a+1)x-1>1,∴ax2-2(a+1)x-2>0.①当a=0时,解集｛x|x<-1｝｛x|x<0｝;当a≠0时且｛x|x<0｝.∴方程ax2-2(a+1)x-2=0 必有两不等实根，设为x1,x2且x1<x2，则②当a>0时,M=｛x|x<x1，或x>x2｝,显然不是｛x|x<0｝的子集；③当a<0时，M=｛x|x1<x<x2｝只要：a<0，Δ=4(a+1)2+8a>0，x1+x2=2(a+1)a<0，x1·x2=-2a>0.解得3-2<a<0，综上所求，a的取值范围是：3-2<a≤0.16.N=3.840×1011, lgN=11.584 3.17.设经过x年，成本降为原来的40%.则(1-10%)x=40%,两边取常用对数，得：x·lg(1-10%)=lg40% ，即x=lg0.4lg0.9=lg4-1lg9-1=2lg2-12lg3-1=10.所以经过10年成本降低为原来的40%.18.f(x)=log1.104x〔或f(x)=lgxlg1.104〕.点拨：设原来一个季度产品为a，则a(1+10.4%)y=xa,∴y=log1.104x.。

高中数学中的指数与对数等式与不等式求解技巧

高中数学中的指数与对数等式与不等式求解技巧指数和对数在高中数学中是重要的概念和工具。

它们在各种数学领域，特别是代数方程和不等式的求解中发挥着重要作用。

本文将介绍一些解决指数和对数等式与不等式的技巧和方法，帮助学生更好地掌握这些概念。

一、指数等式的求解技巧指数等式是指含有指数的等式，常见的形式如下：a^x = b, 其中 a 和 b 是已知数，x 是未知数。

解决指数等式的关键是将等式转化为等价的对数等式。

对于上面的指数等式，可以将其改写为对数等式：x = logᵦ(a)这里的 log 表示以ᵦ为底的对数。

例如，对于指数等式 2^x = 8，可以将其转化为对数等式：x = log₂(8)求解这个对数等式，可以通过以下步骤进行：1. 将底数 2 写成以 10 为底的对数：log₂(8) = log₁₀(8) / log₁₀(2)2. 使用对数的性质将对数化简：x = log₁₀(8) / log₁₀(2)3. 使用计算器或查表方法，求得 log₁₀(8) 和 log₁₀(2) 的具体值，然后进行计算得到 x 的值。

二、对数等式的求解技巧对数等式是指含有对数的等式，常见的形式如下：logᵦ(x) = c, 其中 b 和 c 是已知数，x 是未知数。

解决对数等式的关键是将等式转化为等价的指数等式。

对于上面的对数等式，可以将其改写为指数等式：x = ᵦ^c例如，对于对数等式 log₂(x) = 3，可以将其转化为指数等式：x = 2³求解这个指数等式，可以直接计算得到 x 的值：x = 2³ = 8三、指数不等式的求解技巧指数不等式是指含有指数的不等式，常见的形式如下：a^x < b, 其中 a 和 b 是已知数，x 是未知数。

解决指数不等式的关键是将不等式转化为等价的对数不等式。

对于上面的指数不等式，可以将其改写为对数不等式：x > logᵦ(b)这里的 log 表示以ᵦ为底的对数。

高中数学对数解题方法

高中数学对数解题方法对数是高中数学中的重要概念，也是解题中常用的工具之一。

本文将介绍高中数学中一些常见的对数解题方法。

1.变底公式变底公式是对数中最基本的公式之一，它可以将对数底数不同的式子互相转化。

变底公式的形式为：loga b = logc b / logc a其中，a、b、c为正数且a≠1、b≠1、c≠1。

应用变底公式可以将不同底数的对数式子转化为同一底数的式子，从而进行计算。

2.求对数的方法在解题中，有时需要求一个数的对数。

这时可以使用换底公式或化简式子的方法来求解。

换底公式可以表示为：loga b = logc b / logc a其中，a、b、c为正数且a≠1、b≠1、c≠1。

通过换底公式，可以将需要求解的对数式子转化为以10为底或以e为底的式子，从而进行计算。

化简式子的方法可以用于求解形如loga (b^m * c^n)的对数式子。

将式子化简为loga b^m + loga c^n，然后应用对数的性质进行计算即可。

3.对数的运算法则在解题中，对数的运算法则也是需要掌握的重要知识点。

对数的运算法则包括以下几个方面：- 乘法法则：loga (b * c) = loga b + loga c- 除法法则：loga (b / c) = loga b - loga c- 幂法法则：loga (b^n) = n * loga b- 换底公式：loga b = logc b / logc a通过应用对数的运算法则，可以将复杂的对数式子化简为简单的形式，从而方便计算。

4.解对数方程对数方程是高中数学中比较常见的题型之一，它可以用于解决各种实际问题。

在解对数方程时，需要掌握以下几个步骤：- 化简式子，将对数式子转化为一般的代数式子。

- 求解一般的代数式子。

- 检查解是否满足原方程，若不满足则舍去。

通过掌握解对数方程的方法，可以更好地解决各种实际问题。

常见的对数函数解题策略

常见的对数函数解题策略一、分类讨论例1 若实数a 满足2log 13a<，求a的取值范围。

分析：需对a 进行分类讨论。

当1a >时，∵log 1a a =，∴2log log 3a a a<，∴23a >；当01a <<时，∵2log log 3aa a<，∴23a <，即203a <<。

故20,(1,)3a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭。

评注：解含有对数符号的不等式时，必须注意对数的底数是大于1还是小于1，然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答。

理解会用以下几个结论很有必要：①当1a >时，若log 0a x >，则1x >，若l o gax <，则01x <<；②当01a <<时，若log 0a x >，则01x <<，若log 0a x <，则1x >。

二、数形结合例2 若x 满足2log 3x x =-，则x 满足区间（）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（1，3）D ．（3，4）分析：本题左边是一个对数函数，右边是一个一次函数，可通过作图象求解。

解析：在同一直角坐标系中画出2log y x =，3y x =-的图象，如图所示，可观察两图象交点的横坐标满足13x <<，答案选C 。

评注：解决该类问题的关键是正确作出函数2log y x =，3y x =-的图象，从而观察交点的横坐标的取值范围。

三、特殊值法2xx-x例3 已知log (2)a y ax =-在[0,1]上为x 的减函数，则a 的取值范围为（） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．[2,)+∞ 分析：由函数的单调性求底数a 的取值范围，逆向考查，难度较大，可采用特殊值法进行判断。

解析：取特殊值0.5a =，10x =，21x =，则有10.5l o g (2)l o g 2aax -=，20.53log (2)log 2a ax -=，与y 是x 的减函数矛盾，排除A 和C ；取特殊值3a =，11x =，则2230ax -=-<，所以3a ≠，排除D 。

对数及对数函数要点及解题技巧讲解

的最大值与最小值之差为12，则 a 等于( )
人
A. 2
B．2 或12
教
B
版
C．2 2
D．4 或14
分析：∵a>1 与 0<a<1 时，f(x)的单调性不同，∴最
小值、最大值也不同，故需分类讨论．
第2章函数
高考数学总复习
解析：当 0<a<1 时，f(x)在[a,2a]上单调递减，由题意
得，logaa－loga2a＝12，∴loga2＝－12，∴a＝14.
人教
B
当 a>1 时，∴f(x)＝logax 在[a,2a]上为增函数，
版
∴loga2a－logaa＝12，解得 a＝4，故选 D.
答案：D
第2章函数
(2011·江苏四市联考)已知函数 f(x)＝|log2x|，正实数 m、n 满足 m<n，且 f(m)＝f(n)，若 f(x)在区间[m2，
高考数学总复习
二、对数函数的图象与性质
定义
y＝logax(a>0，a≠1)
人教
B
版
图象
第2章函数
高考数学总复习
(1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R
(3)过点(1,0)，即当 x＝1 时，y＝0.
人
性质 (4)当 a>1 时，在(0，＋∞)是增函数；
教
B
当 0<a<1 时，在(0，＋∞)上是减函数．
B
版
(2)原式＝llgg23＋llgg29·llgg34＋llgg38
＝llgg23＋2llgg23·2llgg32＋3llgg32＝32llgg23·56llgg32＝54.
答案：(1)2

高一数学对数函数题型及解题技巧

高一数学对数函数题型及解题技巧
随着高一数学的学习深入，对数函数也成为了学习的重点内容之一。

下面我们来了解一下对数函数的题型和解题技巧。

一、对数函数的定义和性质
对数函数是指形如y=loga(x)的函数，其中a称为底数，x称为真数，y称为对数。

对数函数有以下性质：
1. 底数a必须大于0且不等于1.
2. 若a>1，则y随着x的增大而增大；若0<a<1，则y随着x的增大而减小。

3. 对于任何正数x，loga(a^x)=x，a^loga(x)=x。

二、对数函数的题型及解题技巧
1. 求解对数方程
对数方程通常形如loga(x)=b，其解法为将等式两边用底数a进行指数运算，得到x=a^b。

2. 求解不等式
求解不等式的关键是找到等式左右两边的交点。

对于对数函数的不等式，需要注意底数的大小关系。

3. 求解复合函数
复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，形如
f(x)=g(loga(x))。

解题时需要根据函数的定义和性质进行推导。

4. 求解导数和极值
对数函数的导数可以通过链式法则求解，即f'(x)=g'(u)*u'(x)，
其中g(u)=loga(u)，u(x)为x的函数。

极值的求解需要将导数等于0，并根据函数的定义和性质进行判断。

总之，对数函数的掌握需要不断的练习和思考，希望以上内容对你有所启发。

2023年高三数学《对数函数》知识梳理与题型战法

2023年高三数学《对数函数》知识梳理与题型战法第二章函数2.5.1对数函数（题型战法）知识梳理一对数的概念1.（1）；（2）（3）2.. .二对数的运算法则（1）积（2）商（3）幂（4）换底公式：，推论:. 三对数函数的图像与性质（1）定义域是()0+∞，，因此函数图象一定在y 轴的右边. （2）值域是实数集R .（3）函数图象一定过点()1,0.（4）当a >1时，log a y x =是增函数；当0<a <1时，log a y x =是减函数. （5）对数函数的图象（6）对数函数log a y x =和1log ay x =的图象关于x 轴对称. log 10a =log 1a a =log log a b N a a Na N Nb ⎫=⇒=⎬=⎭N N lg log 10简记作log ln e N N 简记作()log log log a a a MN M N =+log log log a a a M M N N=−log log a a M M αα=)1,0(log log log ≠>=c c aM M c c a )1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab b a题型战法题型战法一对数与对数的运算典例1．计算： (1)7lg142lg lg 7lg183−+−；(2)求x 的值：5log (lg )1x =.【答案】(1)0；(2)510.【解析】【分析】（1）根据对数的运算法则计算即可；（2）根据对数的概念将对数式改为指数式即可求解.(1)原式()()()2lg 272lg7lg3lg7lg 32=⨯−−+−⨯ lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg2=+−++−−=0；(2)55log (lg )1lg 510x x x =⇒=⇒=.变式1-1．计算求值 (1)()3620189−⎛⎫−−− ⎪⎝⎭；(2)221lg lg2log 24log log 32+++；(3)已知623a b ==，求11a b−的值．【答案】(1)44 (2)92(3)1【解析】【分析】（1）由指数的运算法则计算（2）由对数的运算法则计算（3）将指数式转化为对数式后计算(1)()33622023218323172271449−⨯⎛⎫−−−=⨯−−=−−= ⎪⎝⎭；(2)221lg lg 2log 24log log 32+++()32232lg 2lg 2log 38log 3log 3=−++⨯+−2239log 33log 322=++−=； (3)6log 3a =，2log 3b =，则31log 6a =，31log 2b =；所以33311log 6log 2log 31a b−=−==．变式1-2．计算：13341log 2log 278⎛⎫−⨯+ ⎪⎝⎭．【答案】12−.【解析】【分析】根据指数与对数的运算性质即可求解.【详解】原式213321132231log 2log lg 2lg532⎡⎤⎛⎫=−⨯+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎢⎥⎣⎭⎦()3213log 2lo 132g lg 2lg522+⨯=−⨯⨯+ ()3213log 2l 13og 102lg 22+⨯=−⨯⨯ 132122=−+ =12−．变式1-3．计算： (1)ln 2ln 3ln 36+； (2)22lg 2lg 52lg 2lg5++；(3)23log 9log 4⋅；(4)414log 28log 56+； (5)154311lg log 9log 125log 10032+−−；(6)81log 32+(8)235111log log log 2589⋅⋅．【答案】(1)12(2)1(3)4 (4)12− (5)92−(6)1−(7)ln3e(8)12−【解析】【分析】根据指数幂的运算性质及换底公式逐一计算即可.(1)解：ln 2ln 3ln 61ln 362ln 62+==； (2)解：()222lg 2lg 52lg 2lg5lg 2lg51++=+=；(3)解：()2323log 9log 42log 32log 24⋅=⋅=；(4)解：2141444224111log 28log 56log 28log 56log log 2log 2222−+=−===−=−； (5)解：154311lg log 9log 125log 10032+−− 2223515231lg10log log 5log 23−−−⎛⎫=+−− ⎪⎝⎭52232=−−−+ 92=−；(6)解：81log 32+32532log 2lg10−=+52133=−+=−； (7)1ln3ln3e =+=；(8)解：235111log log log 2589⋅⋅ 232235log 5log 2log 3−−−=⋅⋅23512log 5log 2log 312=−⋅⋅=−. 变式1-4．计算：(1)230223482e lg 2lg5log 4log 927−−−⎛⎫−+++⨯ ⎪⎝⎭；(2)若3log 21x =，求22x x −+的值．【答案】(1)14(2)103 【解析】【分析】（1）根据分数指数幂、对数的运算法则及换底公式计算可得；（2）根据换底公式的性质得到2log 3x =，再根据指数对数恒等式得到2x ，即可得解；(1)解：230223482e lg 2lg5log 4log 927−−−⎛⎫−+++⨯ ⎪⎝⎭222322322lg 22lg5log 2log 2783⎛⎫=−−−+⨯ ⎪⎝⎭ ()2333239122lg2lg52log 2log 3222442⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=−−+⎢+⋅=−−⎝⎥+⎣=⎭⎦ (2)解：3log 21x =，∴231log 3log 2x ==， ∴2o 3l g 223x ==，11022333x x −∴+=+=．题型战法二对数函数的概念典例2．已知函数①4x y =；②log 2x y =；③3log y x =−；④0.2log y =⑤3log 1y x =+；⑥()2log 1y x =+.其中是对数函数的是（）A ．①②③B ．③④⑤C ．③④D ．②④⑥【答案】C【解析】【分析】依据对数函数的定义即可判断.【详解】根据对数函数的定义，只有符合log a y x =（0a >且1a ≠）形式的函数才是对数函数，其中x 是自变量，a 是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中313log log y x x =−=，是对数函数；④中0.20.04log log y x =，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数. 故选：C .变式2-1．给出下列函数： ①223log y x =；②3log (1)y x =−；③(1)log x y x +=；④log e y x =. 其中是对数函数的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的特征判断即可得答案.【详解】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x ；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．故选:A.变式2-2．下列函数是对数函数的是（）A ．y ＝ln xB ．y ＝ln(x ＋1)C ．y ＝log xeD ．y ＝log xx【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的定义判断．【详解】 A 是对数函数，B 中真数是1x +，不是x ，不是对数函数，C 中底数不是常数，不是对数函数，D 中底数不是常数，不是对数函数．故选：A ．变式2-3．函数()()25log a f x a a x =+− 为对数函数，则18f ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（） A ．3B ． 3−C ．3log 6−D ．3log 8−【答案】B【解析】【分析】可以先根据对数函数的性质来确定a 的取值范围，再带入18得出结果．【详解】因为函数()f x 为对数函数，所以函数()f x 系数为1，即251a −=，即2a =或3−，因为对数函数底数大于0，所以2a =，()2log f x x =，所以138f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭．【点睛】对数函数的系数等于一、真数大于0、底数大于0且不等于1．变式2-4．对数函数的图像过点M (125，3)，则此对数函数的解析式为（） A ．y ＝log 5xB ．y ＝15log xC ．y ＝13log xD ．y ＝log 3x【答案】A【解析】【分析】设对数函数y ＝log ax (a >0，且a ≠1)，将点代入即可求解.【详解】设函数解析式为y ＝log ax (a >0，且a ≠1)．由于对数函数的图像过点M (125，3)，所以3＝log a 125，得a ＝5.所以对数函数的解析式为y ＝log 5x .故选：A.题型战法三对数函数的图像典例3．在同一坐标系中，函数2x y =与2log y x =的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合对数函数与指数函数的性质，即可得出结果.【详解】由指数函数与对数函数的单调性知： 2x y =在R 上单调递增，2log y x =在()0+∞，上单调递增，只有B 满足.故选：B.变式3-1．函数()x f x a −=与()log a g x x =−在同一坐标系中的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】分别讨论1a >和01a <<时函数()x f x a −=与()log a g x x =−在的单调性和所过定点，利用排除法即可求解.【详解】由对数和指数函数的性质可得0a >且1a ≠，当1a >时，()x f x a −=过点()0,1在R 上单调递减，()log a g x x =−过点()1,0在()0,∞+单调递减，所以排除选项C ，当01a <<时，()x f x a −=过点()0,1在R 上单调递增，()log a g x x =−过点()1,0在()0,∞+单调递增，所以排除选项AD ，故选：B.变式3-2．如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b【答案】D【解析】【分析】根据对数函数的图象与单调性确定大小．【详解】y ＝log ax 的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a ＞1，函数y ＝log bx ，y ＝log cx 的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b ，c ∈（0，1），又易知c ＞b ，故a ＞c ＞b .故选：D ．变式3-3．已知函数()log 31a y x =++(0a >且1)a ≠，则函数恒过定点（） A ．()1,0B ．()2,0−C ．()0,1D ．()2,1−【答案】D【解析】【分析】利用对数函数过定点求解.【详解】令31+=x ，解得2x =−，1y =，所以函数恒过定点()2,1−，故选：D变式3-4．函数()log 231a y x =−+的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是（） A ．()2,1 B ．()2,0 C ．()2,1− D ．()1,1【答案】A 【解析】【分析】令真数为1，求出x 的值，再代入函数解析式可得定点P 的坐标. 【详解】令231x −=，可得2x =，此时log 111a y =+=，故点P 的坐标为()2,1. 故选：A.题型战法四对数函数的定义域典例4．函数()()ln 2f x x =−的定义域为（） A ．[)0,2 B ．(),2−∞ C ．[)0,∞+ D ．()0,2【答案】A 【解析】【分析】由对数函数的性质和二次根式的性质求解．【详解】由题意020x x ≥⎧⎨−>⎩，解得02x ≤<．故选：A ．变式4-1．使式子(31)log (3)x x −−有意义的x 的取值范围是（） A ．3x > B ．3x < C ．133x <<D ．133x <<且23x ≠【答案】D 【解析】【分析】对数函数中，底数大于0且不等于1，真数大于0，列出不等式，求出x 的取值范围. 【详解】由题意得：31031130x x x −>⎧⎪−≠⎨⎪−>⎩，解得：133x <<且23x ≠.故选：D变式4-2．函数y = ）A ．[2,)+∞B ．(,2]−∞C ．[1,2]D ．(1,2]【答案】D 【解析】【分析】根据根式、对数函数的性质有011x <−≤，即可得定义域. 【详解】由题设，12log (1)0x −≥，即011x <−≤，可得12x <≤. 所以函数定义域为(1,2]. 故选：D变式4-3．函数()()ln e 2xf x =−+）A ．()1,2B ．()ln 2,2C ．()()ln 2,11,2⋃D ．[)(]ln 2,11,2⋃【答案】C 【解析】【分析】根据使函数有意义得到不等式组，解得即可；【详解】解：因为()()ln e2xf x =−，所以e 201020x x x ⎧−>⎪−≠⎨⎪−>⎩，解得ln 22x <<且1x ≠，所以函数的定义域为()()ln 2,11,2⋃；故选：C变式4-4．已知函数()21log xf x x−=，()1f x +的定义域为M ，()2f x 的定义域为N ，则（） A ．M N = B ．M N ⋂=∅C ．M ⊆ND ．N ⊆M【答案】B【解析】【分析】分别求出()1f x +的定义域为M 和()2f x 的定义域为N 即可求解. 【详解】()21log 1xf x x −+=+，则{}10M x x =−<<， ()2122log 2xf x x −=，则102N x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，所以M N ⋂=∅，故选：B ．题型战法五对数函数的值域典例5．函数ln(2)1y x =−+的值域为（） A ．R B ．(1,)+∞ C ．[1,)+∞ D ．(2,)+∞【答案】A 【解析】【分析】由ln y x =的值域为R 可得ln(2)1y x =−+的值域为R . 【详解】由对数函数ln y x =的值域为R 2个单位得函数1ln(2)y x =−的值域为R ，则ln(2)1y x =−+的值域为R ，故选：A.变式5-1．函数()2log 21xy =+的值域是（）A ．[1,)+∞B ．(0,1)C ．(,0)−∞D ．(0,)+∞【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数的性质可求原函数的值域. 【详解】设21x t =+，则211x t =+>，故()2log 210x+>，故()2log 21xy =+的值域为(0,)+∞，故选：D.变式5-2．函数()()1lg 4211x x f x +=−+的最小值是（）．A ．10B ．1C ．11D ．lg11【答案】B 【解析】【分析】利用换元法，令14211x x t +=−+，则lg y t =，先求出t 的范围，从而可求出函数的最小值【详解】设14211x x t +=−+，则lg y t =，因为()()221421122211211010x x x x x t +=−+=−⋅+=−+≥，所以lg lg101y t =≥=，所以()()1lg 4211x x f x +=−+的最小值为1，故选：B变式5-3．若函数()()2ln ,0,2,03x a x f x x x x ⎧−−≤<=⎨−+≤≤⎩的值域为[)3,∞−+，则a 的取值范围是（）A ．)3e ,0⎡−⎣B ．31e ,e ⎡⎫−−⎪⎢⎣⎭C ．31e ,e ⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦D ．31e ,e⎛⎫−− ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】求出当03x ≤≤和0a x ≤<时的取值范围，结合值域关系建立不等式进行求解即可【详解】当03x ≤≤ 时，22()2(1)1[3,1]f x x x x =−+=−−+∈− 当0a x ≤< 时，()ln()[ln(),)f x x a =−−∈−−+∞ 要使()f x 的值域为[)3,∞−+则3ln()1a −≤−−≤ ，31e ea ∴−≤≤−故选：C变式5-4．已知函数()23log y x m =+的值域为[2,)+∞，则实数m 的值为（）A ．2B ．3C ．9D ．27【答案】C 【解析】根据对数型复合函数的性质计算可得；【详解】解：因为函数()23log y x m =+的值域为[2,)+∞，所以2y x m =+的最小值为9，所以9m =；故选：C题型战法六对数函数的单调性典例6．函数213log (2)y x x =−的单调减区间为（） A ．(0,1] B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[0,2]【答案】A 【解析】【分析】先求得函数的定义域，利用二次函数的性质求得函数的单调区间，结合复合函数单调性的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式220x x −>，即22(2)0x x x x −=−<，解得02x <<，即函数()f x 的定义域为()0,2，令()22g x x x =−，可得其图象开口向下，对称轴的方程为1x =，当(0,1]x ∈时，函数()g x 单调递增，又由函数13log y x=在定义域上为单调递减函数，结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数213log (2)y x x =−的单调减区间为(0,1].故选：A.变式6-1．函数()()212log 6f x x x =−++的单调递增区间是（） A ．1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,2⎛⎫− ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】先求出函数的定义域，进而根据“同增异减”求得答案.由题意，()2260602,3x x x x x −++>⇒−−<⇒∈−，()212125log 24f x x ⎡⎤⎛⎫=−−+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，按照“同增异减”的原则可知，函数的单调递增区间是1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A.变式6-2．已知函数()()22log 45f x x x =−−在(),a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（） A ．(],1−∞− B ．(],2−∞ C ．[)2,+∞ D ．[)5,+∞【答案】D 【解析】【分析】复合函数单调性问题，第一步确定定义域，第二步同增异减，即可得到答案. 【详解】由2450x x −−>，得1x <−或5x >，即函数()f x 的定义域为(,1)(5+)−∞−∞，，令245t x x =−−，则()229t x =−−，所以函数t 在(),1−∞−上单调递减，在(5+)∞，上单调递增，又函数lg y t =在()0,+∞上单调递增，从而函数()f x +)∞，，由题意知(+)(5+)a ∞⊆∞，，，∴5a ≥ . 故选：D.变式6-3．已知函数()log (3)a f x ax =−在[]0,1上是减函数，则a 的取值范围是（） A ．()0,1 B ．()1,3 C ．()0,3 D ．()1,+∞【答案】B 【解析】【分析】根据复合函数的单调性同增异减求得a 的取值范围. 【详解】由于0a >且1a ≠，所以3y ax =−为减函数，根据复合函数的单调性同增异减可知1a >.所以310131a a a −⨯>⎧⇒<<⎨>⎩.故选：B变式6-4．已知()()()2213,2log 23,2a x a x a x f x x x ⎧−−+≤⎪=⎨−−>⎪⎩是(),−∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（） A ．5,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[]1,6D ．51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】根据()f x 的单调性列不等式组，由此求得a 的取值范围. 【详解】因为()()()2213,2log 23,2a x a x a x f x x x ⎧−−+≤⎪=⎨−−>⎪⎩是(),−∞+∞上的减函数，所以()21221422130a a a a −⎧≥⎪⎪>⎨⎪−−+≥⎪⎩，解得562a ≤≤．故选：A题型战法七比较大小与解不等式典例7．若13π212log 3,log 3a b c ===，，则（） A ．c b a <==<<<=，所以c b a <<，故选：A变式7-1．设2log 0.3a =，122log 5b =，0.30.4c =，则（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．b a c >>【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行求解判断即可. 【详解】因为22log 0.3log 10a =<=，122225log log log 2152b ==>=，0.3000.40.41c <=<=，所以有b c a >>，故选：B变式7-2．若0.80.60.80.6log log 0.2a b c ===，8，，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】【分析】根据对数函数与指数函数的性质判断．【详解】由对数函数和指数函数性质得：0.6log 80<，0.80.8log 0.2log 0.81>=，0.800.61<<，所以b a c <<．故选：D ．变式7-3．不等式()2log 311x +<成立的一个充分不必要条件是（） A ．1133x −<< B ．0x < C ．113x −<< D ．103x <<【答案】D 【解析】【分析】先利用对数函数单调性解不等式，再判断出充分不必要条件. 【详解】由()211log 31133x x +<⇔−<<，由于1110333x x <<⇒−<<，而1133x −<<⇒103x <<，故不等式()2log 311x +<成立的一个充分不必要条件是103x <<，A 选项是充要条件，B 选项是既不充分也不必要条件，C 选项是必要不充分条件. 故选：D.变式7-4．设函数()133,12log ,1x x f x x x −⎧≤=⎨−>⎩，则满足()3f x ≤的x 的取值范围是（）A ．[)0,+∞B ．[)1,+∞C ．(),0−∞D ．[)0,1【答案】A 【解析】【分析】分1x ≤和1x >两种情况解不等式即可【详解】当1x ≤时，由()3f x ≤，得133x −≤，得11x −≤，解得01x ≤≤，当1x >时，由()3f x ≤，得32log 3x −≤，得13x ≥，所以1x >，综上，0x ≥，故选：A题型战法八对数函数的应用典例8．人们常用里氏震级e M 表示地震的强度，S E 表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为2lg 4.83e s M E =−，2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里氏4.2级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏6.0级地震，则后者释放的能量大约为前者的（）倍．(参考数据：0.30.710~2.00,10 5.01=) A ．180 B ．270 C ．500 D ．720【答案】C 【解析】【分析】设前者、后者的里氏震级分别为e e M M '''、，前者、后者释放出的能量分别为E '、E ''，根据已知关系式列式相减，利用对数运算法则可得．【详解】设前者、后者的里氏震级分别为e e M M '''、，前者、后者释放出的能量分别为E '、E ''，则其满足关系2lg 4.83e s M E ''=−和2 4.83e s M lgE ''''=−，两式作差可以得到22lg lg ,33e e s s M M E E ''''''−=−，即 2.710s sE E '''=，所以 2.730.3101010500s s E E '''==÷≈，故选：C ．变式8-1．中国的5G 技术领先世界，5G 技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C 取决于信道带宽W ，经科学研究表明：C 与W 满足2log (1)SC W N=+，其中S 是信道内信号的平均功率，N 是信道内部的高斯噪声功率，SN为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W ，而将信噪比S N从1000提升至4000，则C 大约增加了（）(附：lg 20.3010≈) A ．10% B ．20%C ．30%D ．40%【答案】B 【解析】【分析】先计算1000S N=和4000SN =时的最大数据传输速率1C 和2C ，再计算增大的百分比211C C C −即可. 【详解】当1000SN=时，122log 1001log 1000C W W =≈；当4000SN=时，222log 4001log 4000C W W =≈. 所以增大的百分比为：2122112log 4000lg 4000lg 4lg10001111log 1000lg1000lg1000C C C W CC W −+=−=−=−=−lg 42lg 220.30100.220%lg100033⨯==≈≈=. 故选：B.变式8-2．中国的5G 技术世界领先，其数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C （单位：bit/s ）取决于信道宽度W （单位：HZ ）､信道内信号的平均功率S （单位：dB ）、信道内部的高斯噪声功率N （单位：dB ）的大小，其中SN叫做信噪比，按照香农公式，若信道宽度W 变为原来2倍，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C 大约增加了（）（附：lg 20.3≈） A ．110% B ．120% C ．130% D ．140%【答案】D 【解析】【分析】利用对数减法与换底公式可求得结果. 【详解】当1000SN=时，2log 1001C W =；当40000SN=时，信道宽度W 变为原来2倍，22log 4001C W =. 因为222210002222log 4001log 10012log 400142log 10004114log 21lg 21 1.4log 1001log 1001log 10003W W W −+=−≈−=+=+≈.故选：D.变式8-3．声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W /m ）满足12()10lg110x f x −=⨯⨯. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（） A ．105倍 B ．108倍 C ．1010倍 D ．1012倍【答案】B 【解析】首先设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为12,x x ，根据题意得出()1140f x =，()260f x =，计算求12x x 的值. 【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为12,x x ，()111210lg 140110x f x −=⨯=⨯，2110x =， ()221210lg60110x f x −=⨯=⨯，6210x −=，所以81210x x =，因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的810倍. 故选：B变式8-4．某工厂2015年生产某产品2万件，计划从2016年开始每年比上一年增产20%，从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件（已知lg20.3010=，1g30.4771=）（）A ．2019年B ．2020年C ．2021年D ．2022年【答案】D 【解析】【分析】根据2016年开始每年比上一年增产20%，由()21206n+%>求解即可. 【详解】2015年为初始值，再过1年，即2016年，产品的年产量为()2120%+，再过n 年（n N ∈），这家工厂生产这种产品的年产量为()2120%n+，由()21206n+%>得，1.23n >，两边取对数得，lg1.2lg3n >，即lg3lg3lg30.47716.2lg1.2lg1212lg 2lg310.60300.47711n >===≈−+−+−，而n N ∈，故7n =，即2022年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于读懂函数模型，熟练掌握对数的运算，才能根据实际情况突破难点.题型战法九反函数典例9．已知函数()2log f x x =，其反函数为（）A ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()21log f x x=C ．()f xD ．()2xf x =【答案】D 【解析】【分析】利用反函数定义求解. 【详解】()2log f x x =的反函数为2log x y =，即2x y =，故其反函数为()2x f x =.故选：D变式9-1．函数21()1(2)2f x x x =+<−的反函数是（）A ．3)y x =≤C ．3)y x =≤<D ．3)y x =>【答案】D 【解析】【分析】设211(2)2y x x =+<−，反解后可得反函数.【详解】设211(2)2y x x =+<−，则3y >，且3)x y =>，故原函数的反函数为3)y x ==>，故选：D.变式9-2．设函数()x f x a b =+（0a >，且1a ≠）的图象过点()0,1，其反函数的图象过点()2,1，则a b +等于（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】A 【解析】【分析】反函数过点(),m n ，则原函数过点(),n m 【详解】()f x 反函数的图象过点(2,1),则()f x 的图象过点(1,2)所以0112a b a b ⎧+=⎨+=⎩,解得20a b =⎧⎨=⎩,所以2a b += 故选：A变式9-3．已知函数()3log f x x =与()g x 的图像关于y x =对称，则()1g −=（） A ．3 B ．13C ．1D ．1−【答案】B 【解析】【分析】根据同底的指数函数和对数函数互为反函数可解. 【详解】由题知()g x 是()3log f x x =的反函数，所以()3x g x =，所以()11133g −−==.故选：B.变式9-4．与函数14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于直线y x =对称的函数是（）A ．4x y =B ．4x y −=C ．14log y x =D ．4log y x =【答案】C 【解析】【分析】利用函数x y a =与log a y x =（0a >且1a ≠）互为反函数可得出结果. 【详解】因为函数x y a =与log a y x =（0a >且1a ≠）互为反函数，且这两个函数的图象关于直线y x =对称，因此，与函数14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于直线y x =对称的函数是14log y x=. 故选：C.。

高中数学对数解题方法

高中数学对数解题方法对数是数学中的一种运算方法，它可以将大数化为小数，方便计算和比较。

在高中数学中，对数有着广泛的应用，尤其是在解决指数函数、幂函数等相关问题时。

下面，我们来介绍一些高中数学对数解题的常见方法。

一、对数基本定义对数的定义是一个数a作为底数，另一个数x的对数是指以a为底数的幂等于x，记作loga(x)。

其中，a称为底数，x称为真数，loga(x)称为以a为底数的对数。

二、对数运算法则1. 乘方运算法则：loga(xy) = loga(x) + loga(y)2. 除法运算法则：loga(x/y) = loga(x) - loga(y)3. 幂运算法则：loga(x^k) = kloga(x)三、对数解题方法1. 对数变换法将一个式子用对数表示，再对其进行简化，最后得到所求解的式子。

例如，我们要求解2^x = 5，可以将其变换为x = log2(5)。

2. 对数相等法对于一个等式，如果两边的底数都相等，则可以将其转化为以同样底数的对数，进而求解。

例如，我们要求解log2(x+1) = log2(2x-1)，可以将其转化为x+1 = 2x-1。

3. 对数换底法当所求解的式子的底数与已知条件的底数不同时，可以用对数换底公式：loga(b) = logc(b)/logc(a)，将两边都换成一个新的底数。

例如，我们要求解log5(2x+1) = log2(3x-1)，可以使用对数换底公式，将其转化为log2(2x+1)/log2(5) = log2(3x-1)/log2(5)。

总之，高中数学对数解题需要掌握对数的基本定义和运算法则，以及灵活运用对数变换法、对数相等法、对数换底法等解题方法。

只有掌握了这些关键知识和技巧，才能在高中数学考试中取得优异的成绩。

考点13 对数运算和对数函数【考点通关】高一数学题型归纳与解题策略(必修第一册)(原卷版)

考点13对数运算和对数函数1、指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．2、对数式中求值的基本思想和方法(1)基本思想在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．(2)基本方法①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．②利用幂的运算性质和指数的性质计算．3、利用对数的性质求值的方法(1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论log a1＝0和log a a＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．4、对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．5、利用换底公式进行化简求值的原则和技巧6、利用对数式与指数式互化求值的方法(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解．7、判断一个函数是对数函数的方法8、求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则(1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负．(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.9、对数函数应用题的解题思路(1)依题意，找出或建立数学模型．(2)依实际情况确定解析式中的参数．(3)依题设数据解决数学问题．(4)得出结论．10、对数函数图象的变换方法(1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称．(2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可．(3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律．(4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称．11、比较对数值大小时常用的四种方法(1)同底数的利用对数函数的单调性．(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．(3)底数和真数都不同，找中间量．(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．12、对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如log a x>log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论．(2)形如log a x>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝log a a b)，再借助y＝log a x 的单调性求解．(3)形如log f(x)a>log g(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．13、形如f(x)＝log a g(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法(1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域)．(2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间．(3)当底数0<a<1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区间是f(x)的单调增区间．14、对数型函数性质的综合应用(1)已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．(2)求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．考点一对数的运算1．（2022·安徽·涡阳县第九中学高一期末）若22log log 6a b +=，则a b +的最小值为________．2．（2022·湖北黄石·高一期末）若23a =，89b =，则ba=_______．3．（2022·天津南开·高一期末）计算7log 2log 27lg125lg87+++4．（2022·云南保山·高一期末）化简求值：22lg 25lg 32lg 5lg 20(lg 2)5++⋅+；5．（2022·甘肃张掖·高一期末）化简计算：()62301log 10334++2log 2log 3639.60.189-⎛⎫---⎪⎝- ⎭；考点二换底公式的应用6．（2022·福建·福州三中高一期末）若log 86x =，则2log x =___________.7．（2022·河南安阳·高一期末（理））计算：23425log 3log 4log 5log 4⨯⨯⨯.8．（2022·河南新乡·高一期末）已知1a >，1b >，且2log log 16b a =，则ab 的最小值为（）A ．4B ．8C ．16D ．329．（2022·江西赣州·高一期末）若23m n k ==，且121+=m n，则实数k 的值为______.10．【多选】（2022·湖北武汉·高一期末）设3log 0.5m =，0.3log 0.5n =，则（）A ．0m n +>B ．0m n +<C ．m n mn+>D ．m n mn+<考点三对数函数的概念及应用11．（2022·上海·高一单元测试）若对数函数log (0a y x a =>且1a ≠）的图象经过点(4,2)，则实数=a ______.12．（2022·陕西·武功县普集高级中学高一期末）已知函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）的图象过点()9,2.(1)求函数()f x 的解析式；(2)解不等式()()315f x f x ->-+.13．（2022·广东汕尾·高一期末）已知函数lg ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨<⎩，则110f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______.14．（2022·新疆喀什·高一期末）已知函数2log ,2()2,2xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，若1()2f a =，则实数=a _________15．（2022·陕西渭南·高一期末）已知函数()()22log 4,41,,1,x x f x x ax x ⎧+-<<=⎨+≥⎩若()()04f f a =，则实数=a ___________.考点四与对数函数的有关的定义域和值域问题（一）与对数函数的有关的定义域问题16．（2022·陕西汉中·高一期末）函数()ln(1)f x x =+）A ．(1,4]-B ．(1,4)-C ．(1,)-+∞D ．(,4)-∞17．（2022·云南昆明·高一期末）函数()()2ln 56f x x x =-+-的定义域是__________．18．（2022·云南玉溪·高一期末）函数()log (2)log (2)a a f x x x =++-（0a >且1a ≠）的定义域为__________．19．（2022·河南安阳·高一期末）若函数()y f x =的定义域是[]1,3，则函数()()21ln f x h x x-=的定义域是（）A ．[]1,3B ．(]1,3C ．(]1,2D ．[]1,2（二）与对数函数的有关的值域问题20．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室高一期末）函数()212log 8y x =+的值域是________．21．（2022·云南保山·高一期末）已知函数22()log log 24x xf x =⋅．(1)求函数f （x ）的值域；(2)若12()()f x f x m ==，且2140x x >>，求实数m 的取值范围．22．（2022·河南信阳·高一期末）已知函数()23log y x m =+的值域为[2,)+∞，则实数m 的值为（）A ．2B ．3C ．9D ．2723．（2022·广西北海·高一期末）已知函数()()13,1ln 2,1a x x f x x a x ⎧-+<=⎨-≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是()A ．(],4-∞-B ．()4,1-C ．[)4,1-D ．()0,124．（2022·湖南衡阳·高一期末）已知函数()lg f x x =，若()()f a f b =且a b ¹，则9a b +的最小值为（）A ．2B ．3C ．6D ．9考点五对数函数的图象及应用（一）对数（型）函数图象的变换25．（2022·上海中学高一期末）将函数()()lg 2f x x =的图像向左、向下各平移1个单位长度，得到()g x 的函数图像，则()g x =（）A ．()lg 211x +-B ．1lg 5x +⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()lg 211x --D ．1lg 5x -⎛⎫ ⎪⎝⎭26．（2022·江西上饶·高一期末）函数()()2log 1f x x =-的图像为（）A ．B ．C ．D ．27．（2022·安徽宿州·高一期末）如图，其所对应的函数可能是（）A ．()lg 1y x =-B ．lg 1y x =-C ．()lg 1y x =+D ．lg 1y x =+（二）判断对数型函数的图象形状28．（2022·新疆巴音郭楞·高一期末）如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b 29．（2022·陕西西安·高一期末）函数()ln x f x x=的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．30．（2022·广西桂林·高一期末）在同一坐标系中，函数2x y =与2log y x =的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．31．（2022·广东汕尾·高一期末）当1a >时，在同一平面直角坐标系中，1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()log a y x =-的图象是（）A ．B ．C ．D ．32．（2022·吉林·希望高中高一期末）若0a >，0b >，且1ab =，1a ≠，则函数x y a =与函数log b y x =-在同一坐标系中的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．33．（2022·福建漳州·高一期末）函数()3x f x a =+与函数()log (0a g x x a =>且1)a ≠的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．34．（2022·浙江宁波·高一期末）已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能是（）A ．()()22x xf x x-=+B ．()()22x xf x x -=-C ．()()1222log x xf x x -=+D ．()()222log x xf xx -=+（三）根据对数型函数图象判断参数的范围35．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一期末）已知函数()()log a f x x b =+的图象如图，则ab =________．36．（2022·湖南·高一期末）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠，a ，b 为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（）A ．0a >，1b <-B ．0a >，10b -<<C ．01a <<，1b <-D ．01a <<，10b -<<37．（2022·湖南师大附中高一期末）已知函数()log (21)(01)xa f xb a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（）A ．101a b -<<≠)的图象如图，则下列结论成立的是（）A ．1a >B ．01a <<C ．1c >D ．01c <<（四）对数型函数图象过定点问题39．（2022·河南开封·高一期末）已知函数()()log 11a f x x =+-（0a >且1a ≠）的图象过定点A ，则点A 的坐标为______．40．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四中学高一期末）函数log (23)4a y x =-+的图象恒过定点M ，且点M 在幂函数()f x 的图象上，则(3)f =（）A ．9B ．8C ．6D41．（2022·安徽·六安一中高一期末）已知函数()log (2)1(0,1)a f x x a a =-+>≠的图象恒过点P ，若点P 在角α的终边上，则sin 2α=_________．42．【多选】（2022·湖南·新邵县教研室高一期末）已知函数()()log 12a f x x =-+（0a >且1a ≠）的图象过定点(),s t ，正数m 、n 满足m n s t +=+，则（）A ．4m n +=B ．228m n +≥C ．4mn ≥D ．111m n+≥43．【多选】（2022·海南·嘉积中学高一期末）若0m >，0n >且函数()2log y x m n =--过点()4,1，则下列说法中正确的是（）A2≥B ．124m n->C ．1mn ≤D ．222m n +≥（五）对数函数图象的应用44．【多选】（2022·海南·海口中学高一期末）设()33,0log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若()0f x a -=有三个不同的实数根，则实数a 的取值可以是（）A ．12B ．1C ．1-D ．245．【多选】（2022·山东滨州·高一期末）已知函数()lg f x x =，若a ＞b ＞c ，且()()()f c f a f b >>，则（）A ．a ＞1B ．b ＞1C ．0＜c ＜lD ．0＜ac ＜146．【多选】（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）已知函数2log ,04()6,4x x f x x x ⎧<<=⎨-⎩，若()()()()f a f b f c a b c ==<<，则abc 的取值可能是（）A ．4B ．92C ．5D ．6考点六对数函数单调性的应用（一）判断对数函数的单调性47．（2022·广西钦州·高一期末）下列函数中，在()0,∞+上单调递增的是（）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2xy =C ．12log y x=D ．11y x=+48．（2022·广东佛山·高一期末）下列函数中，既是奇函数，又在区间()0,∞+上单调递增的是（）A ．lg y x =B．y =C ．e e x xy -=-D ．1y x x=+49．（2022·江苏常州·高一期末）已知函数()()log 3a f x bx =+，且()11f =-，()20f =．(1)求函数()f x 的解析式；(2)设()()()g x f x f x =--，判断函数g (x )的单调性并用定义证明．（二）对数（型）函数复合函数的单调性50．（2022·河南濮阳·高一期末）函数22()log (68)f x x x =-+的单调递增区间为（）A ．()4,+∞B ．(),2-∞C ．()3,+∞D ．()3,451．（2022·上海中学高一期末）函数()()2ln 4f x x =-的单调增区间是______．（三）由对数（型）函数的单调性求参数52．（2022·山西朔州·高一期末）已知()log 83a y ax =-在[]12，上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．()0,1B ．41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．4,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,+¥53．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期末）若函数(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩在x ∈R 上是严格减函数，则实数a 的取值范围为________．54．（2022·山西太原·高一期末）已知实数1x 满足ln 2x x +=，2x 满足ln(1)1x x -=+，则12x x +=___________.（四）由对数函数的单调性解不等式55．（2022·贵州·遵义四中高一期末）不等式1122log (1)log 1x <-）A ．（-∞，1）B ．（0，1）C ．（13，1）D ．（1，+∞）56．（2022·河南新乡·高一期末）已知函数()()log 2a f x x a =+（0a >且1a ≠）的图象过点()3,2．(1)求a 的值；(2)若函数()()1,2,2x x g x f x x +<⎧=⎨≥⎩，求()2g x ≥的解集．57．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）已知函数()()log 8a f x ax =-满足1a >，若()1f x >在区间[]1,2上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．()4,+∞B ．8,43⎛⎫⎪⎝⎭C ．81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()81,4,3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭58．（2022·浙江大学附属中学高一期末）已知()f x 是在定义域()0,∞+上的单调函数，且对任意()0,x ∈+∞都满足：()()22log 4f f x x -=，则满足不等式()()22log 3f x x -<的x 的取值范围是________.（五）比较对数式的大小59．（2022·江苏·句容碧桂园学校高一期中）若212a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，12log 2b =，122c -=，则a ，b ，c的大小关系是（）A ．a b c>>B ．a c b>>C ．c a b>>D ．b c a >>60．（2022·河南濮阳·高一期末（文））已知3log 4a =，4log 5b =，32c =，则有（）A ．a b c>>B ．c b a>>C ．a c b>>D ．c a b>>61．（2022·安徽宣城·高一期末）设a ，b ，c 均为正数，且122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a c b <>D ．28lg15log 3log 12>>（六）对数函数单调性的应用63．（2022·江苏南通·高一期末）若正数a ，b 满足22ln ln a b b a -=-，则b a -的最大值为______.64．（2022·江西宜春·高一期末）已知1a >，1b >，log 2log 43+=a b ，则2ab 的最小值为____________．考点七对数函数的最值（一）求对数函数的最值65．（2022·广东茂名·高一期末）已知()222()log 2log 4,[2,4]f x x x x =-+∈．(1)设2log ,[2,4]t x x =∈，求t 的最大值与最小值；(2)求()f x 的值域．66．（2022·上海中学高一期末）函数()()()42log 4log 2f x x x =⋅的最小值为______．67．（2022·湖北·江夏一中高一阶段练习）函数()log (01)a f x m x a a =+>≠,的图像过点(9,4)和(1,2)(1)求函数()f x 的解析式；(2)当()f x 的定义域为[1,81]，求22[()]()y f x f x =+的最大值及y 取最大值时x 的值．（二）根据对数函数的最值求参数或范围68．（2022·天津河北·高一期末）已知函数()()log 1a f x x =-（0a >，且1a ≠）(1)求()2f 的值及函数()f x 的定义域；(2)若函数()f x 在[]2,9上的最大值与最小值之差为3，求实数a 的值．69．（2022·辽宁丹东·高一期末）若函数()2log 5242a y a x ax =--+⎡⎤⎣⎦有最小值，则a 的取值范围为______．70．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数()22,4,log ,4,x a x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩若()f x 存在最小值，则实数a的取值范围是（）A ．(,4]-∞B ．[2,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(,2]-∞-（三）对数函数最值与不等式的综合问题71．（2022·甘肃·兰州一中高一期末）当102x <≤时，4log xa x <，则a 的取值范围是A ．(0，2)B ．(2，1)C ．(1D ．2)72．（2022·云南楚雄·高一期末）已知函数()()4log 65x xf x m =+⋅.(1)当1m =-时，求()f x 的定义域；(2)若()2f x ≤对任意的[]0,1x ∈恒成立，求m 的取值范围.73．（2022·广西南宁·高一期末）已知函数()log (1)(0,x a f x a a =->且1)a ≠.(1)若函数的图象过点(2,1)，求a 的值；(2)当2a =时，若不等式2()log (12)xf x m -+>对任意[1,3]x ∈恒成立，求实数m 的取值范围．74．（2022·河南信阳·高一期末）已知函数()()()log 2log 2a a f x x x =+--（0a >且1a ≠）.(1)求函数()f x 的定义域，并判断()f x 的奇偶性；(2)是否存在实数m ，使得不等式()()()241og log 2f m f m <+成立？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由.考点八对数函数奇偶性的应用（一）判断对数（型）函数的奇偶性75．（2022·贵州·遵义四中高一期末）已知函数()f x =2lg 2xx-+．(1)判断()f x 的奇偶性；(2)求()f x 在[1,1]-的值域．76．（2022·河南安阳·高一期末）已知函数()()2ln e 1xf x x =+-，其中e 2.71828=．(1)判断函数()f x 的奇偶性并证明；(2)求函数()f x 的值域．77．（2022·重庆·高一期末）已知函数()lg(33)lg(33)x x f x -=-+-.(1)判断函数()f x 的奇偶性，并证明；(2)设函数()2g x mx =-，若对任意的[]22,1x ∈-，总存在1(1,1)x ∈-使得21()()g x f x ≤成立，求实数m 的取值范围.（二）已知函数奇偶性求值78．（2022·广东揭阳·高一期末）函数()f x 为R 上的奇函数，0x >时，()lg 1f x x =+，则()10f -=（）A ．6-B ．2C ．2-D ．679．（2022·广东广州·高一期末）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()42x f x m =++（m 为常数），则4(log 8)f -的值为（）A ．4B ．4-C ．7D ．7-（三）由函数的奇偶性求解析式80．（2022·云南昆明·高一期末）已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且当0x 时，()()12log 1f x x x =-+.(1)求()1f 的值；(2)求函数()y f x =的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；(3)若()lg 20f a +<，求实数a 的取值范围.81．（2022·广东深圳·高一期末）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x 时，()()2log 33f x x x =---.(1)求函数()f x 的解析式；(2)解不等式()()312f x f x -<+.（四）已知函数奇偶性求参数82．（2022·北京·清华附中高一期末）若函数()1ln 1ax f x b x +⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则=a ___________，b =___________.83．（2022·江苏省天一中学高一期末）已知()22xxaf x =+为奇函数，()()21log 2112x g x bx =+--为偶函数，则()f ab =（）A ．174B ．52C ．154-D ．32-（五）函数的单调性和奇偶性的综合84．（2022·江苏常州·高一期末）已知偶函数()g x 在[0,)+∞上单调递增，若(1)a g =-，0.2(2)b g =，31(log )2c g =，则（）A ．c<a<bB ．b<c<aC ．c b a<<D ．a c b<<85．（2022·山西吕梁·高一期末）已知函数f (x )是偶函数，在[0,)+∞上是减函数，若2(log )(2)>f x f ．则实数x 的取值范围是（）A ．(1，4)B ．1(0,)(4,)4⋃+∞C ．1(,1)(1,4)4⋃D ．1(,4)486．（2022·江西·临川一中高一期末）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(],0-∞上单调递减.若实数a 满足()()212log log 22f a f a f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（）A ．(],4∞-B ．(]0,4C ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦87．【多选】（2022·广东深圳·高一期末）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()22f x x x =-，则（）A ．()f x 的最小值为1-B ．()f x 在()2,0-上单调递减C ．()0f x ≤的解集为[]22-,D ．存在实数x 满足()()20f x f x ++-=考点九对数型函数性质的综合应用88．【多选】（2022·全国·高一期末）已知函数()()log 0,1a f x x a a =>≠图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（）A ．函数为增函数B ．函数为偶函数C ．若1x >，则()0f x >D ．若120x x <<，则()()121222f x f x x xf ++⎛⎫< ⎪⎝⎭.89．【多选】（2022·浙江·杭十四中高一期末）关于函数1()ln 1xf x x-=+，下列说法中正确的有（）A ．()f x 的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞B ．()f x 为奇函数C ．()f x 在定义域上是减函数D ．对任意1x ，()21,1x ∈-，都有()()1212121x x f x f x f x x ⎛⎫+ ⎪⎝++⎭=90．【多选】（2022·广东揭阳·高一期末）已知函数()2()lg f x x ax a =+-，下列说法中正确的是（）A ．若()f x 的定义域为R ，则40a -≤≤B ．若()f x 的值域为R ，则4a ≤-或0a ≥C ．若2a =，则()f x 的单调减区间为()1-∞-，D ．若()f x 在()21--，上单调递减，则12a ≤考点十反函数91．（2022·上海·格致中学高一期末）“函数()y f x =在区间I 上严格单调”是“函数()y f x =在I 上有反函数”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件92．（2022·全国·高一单元测试）若函数()(0,1)x f x a a a =>≠的反函数的图像经过点(4,2)，则a =_______．93．（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一期末）已知函数()f x 的图像与函数3x y =的图像关于直线y x =对称，则()9f =________．94．（2022·湖南常德·高一期末）已知1x ，2x 分别是方程e 20x x +-=，ln 20x x +-=的根，则12x x +=（）A ．1B ．2CD 195．（2022·福建师大附中高一期末）已知函数()2x f x =，2()45h x x x m =-+，g (x )与f (x )互为反函数.(1)若函数(())y g h x =在区间(32,2)m m -+内有最小值，求实数m 的取值范围；(2)若函数y =h (g (x ))在区间(1，2)内有唯一零点，求实数m 的取值范围.考点十一对数函数模型的应用96．（2022·江西·高一期末）考古科学家在测定良渚古城遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足573002tN N -=⋅（0N 表示碳14原有的质量）.经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在______年到5730年之间，则“______”为（参考数据：22log 3 1.6,log 5 2.3≈≈）（）A ．4011B ．3438C ．2865D ．229297．（2022·内蒙古赤峰·高一期末（理））基本再生数0R 与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：()e rtI t =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 近似满足01R rT =+.有学者基于已有数据估计出0 3.28R =，6T =.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数是原来的4倍需要的时间约为（参考数值：ln 20.69≈）（）A ．0.9天B ．1.8天C ．1.2天D ．3.6天98．（2022·陕西渭南·高一期末）历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数､十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特优势.已知lg 20.301≈，lg 50.699≈，则10022.5的估算值为（）A ．19910B ．69910C ．39910D ．3981099．（2022·河南驻马店·高一期末）入冬以来，雾霾天气在部分地区频发，给人们的健康和出行造成严重的影响．经研究发现，工业废气等污染排放是雾霾形成和持续的重要因素，治理污染刻不容缓．为降低对空气的污染，某工厂采购一套废气处理装备，使工业生产产生的废气经过过滤后再排放．已知过滤过程中废气的污染物数量P （单位：mg/L ）与过滤时间t （单位：h ）间的关系为0()ktP t M e -=⋅（0M ，k 均为非零常数，e 为自然对数底数），其中0M 为t =0时的污染物数量，若经过3h 处理，20%的污染物被过滤掉，则常数k 的值为（）A ．ln 52ln 233-B ．ln 53C ．1ln 23D ．ln 5ln 23-。

总结解对数不等式的方法与技巧

总结解对数不等式的方法与技巧解对数不等式是高中数学中的重要内容之一，掌握解对数不等式的方法与技巧对于提高解题效率和解题准确性具有重要意义。

本文将总结解对数不等式的方法与技巧，帮助读者更好地理解和应用于实际解题过程中。

一、利用对数的性质进行变形解对数不等式的首要步骤是观察不等式中的对数是否满足一定的性质，例如对数的单调性和对数的递增性等。

利用对数的性质进行变形是解对数不等式中最常用的方法之一。

以一个典型的例子来说明这个方法。

假设我们需要解决以下不等式：log(x+1) + log(2-x) > log10观察到不等式中的对数可以合并为一个对数，我们可以利用对数的性质将其变形为：log[(x+1)(2-x)] > log10进一步化简可得：(x+1)(2-x) > 10通过这种方式，我们将原始的不等式变形成乘积形式，从而将求解不等式的问题转换为求解方程的问题。

二、利用对数函数的图像性质进行分析对数函数的图像具有一定的特点，利用对数函数的图像性质进行分析是解对数不等式的重要方法之一。

以一个例子来说明这个方法。

假设我们需要解决以下不等式：log(x+2) - log(3-x) < 0我们可以画出对数函数y=log(x+2)和y=log(3-x)的图像，通过观察两条曲线的相对位置，找到它们交叉的区间。

当x>3时，log(x+2)和log(3-x)都是正数，不等式不成立；当-2<x<3时，log(x+2)是正数，log(3-x)是负数，不等式成立；当x<-2时，log(x+2)和log(3-x)都是负数，不等式不成立。

因此，不等式的解集为-2<x<3。

三、利用指数函数的性质进行变形指数函数与对数函数是相互关联的，利用指数函数的性质进行变形也是解对数不等式的一种重要方法。

以一个例子来说明这个方法。

假设我们需要解决以下不等式：2^x > 4我们可以将不等式中的指数函数变形为对数函数，即log(2^x) > log4。

如何应对高考数学中的指数与对数题

如何应对高考数学中的指数与对数题高考数学中，指数与对数题是常见且关键的题型之一。

它们涉及到数学中的指数和对数概念，需要考生具备一定的理论知识和解题技巧。

本文将从理论知识的梳理和解题技巧的掌握两个方面，提供一些有效的方法来应对高考数学中的指数与对数题。

一、理论知识的梳理在应对高考数学中的指数与对数题之前，首先需要对相关的理论知识进行梳理，以确保对指数和对数的定义、性质和运算规律有清晰的认识。

1. 指数的定义与性质指数是数学中表示乘方运算的一种方法，通常使用小的数字作为上标。

根据指数的定义，aⁿ 表示 n 个相同的因子 a 的连乘，其中 a 称为底数，n 称为指数。

指数的性质包括：（1）底数相同，指数相加时，底数不变，指数相加。

（2）指数相同，底数相乘时，指数不变，底数相乘。

（3）指数为 0 时，任何非零数的零次幂等于 1。

等等。

2. 对数的定义与性质对数是指数运算的逆运算。

对数的表示方法为 logᵦN = x，其中 b 为底数，N 为真数，x 为所求的对数。

对数的性质包括：（1）logᵦ1 = 0，任何数以其自身为底的对数等于 1。

（2）logᵦb = 1，任何数以其自身为底的对数等于 1。

（3）对数的底数不能为 0 或 1，底数为 0 或 1 的对数是没有意义的。

等等。

了解和熟练掌握指数与对数的定义、性质和运算规律，是应对指数与对数题的基础。

二、解题技巧的掌握在应对高考数学中的指数与对数题时，除了理论知识的掌握外，还需要灵活运用解题技巧，以提高解题效率和正确率。

1. 转化为指数形式或对数形式当遇到涉及指数与对数的题目时，有时可以将对数转化为指数形式，或者将指数转化为对数形式，来简化问题的处理。

通过相互转化，能够更好地利用指数和对数的性质进行运算和简化。

2. 运用换底公式当底数不为 10 或 e 时，可以使用换底公式将题目中的对数转化为以 10 或 e 为底的对数，以便更好地进行计算和化简。

3. 熟练运用指数与对数的运算规律指数与对数有一系列的运算规律，诸如指数的乘法法则、除法法则，对数的乘法法则、除法法则等。

活学活用对数运算——高中数学必修一教案

近年来，随着社会的快速发展和科技的不断进步，我们所面临的问题也变得越来越复杂，尤其是对于学生们来说，学习数学已经变得越来越重要，而对数运算就是高中数学必修一中极其重要的一部分。

对于很多学生来说，学习数学是一件非常枯燥，乏味的事情。

但是如果我们把书本上的知识活学活用，数学也可以变得非常有趣。

今天，我们就来探讨一下关于活学活用对数运算的方法和技巧。

一，对数运算的基本概念在开始活学活用对数运算之前，我们需要先了解对数运算的基本概念。

对数运算是数学中的一个分支，它主要研究一些数的乘法和幂运算。

对数运算可以将幂运算转化为乘法运算，从而使复杂的计算变得简单易懂，提高了计算的效率。

对数运算主要有两个重要的概念：底数和指数。

底数指的是对数运算中的基数，通常用字母 a 表示。

指数指的是用于表示底数 a 的幂的数，通常用 b 表示。

对数运算中，我们通常用 loga b 表示一个数 b 的以 a 为底的对数。

对数运算可以用以下公式表示：loga b = c 则 a的c次幂等于b二，对数运算的应用1.对数运算在科技领域的应用随着科技的不断进步，对数运算在科技领域中的应用越来越广泛。

例如，我们在计算机网络中经常使用IP地址来标识设备的位置，而在使用对数运算的基础上，我们可以将IP地址的长度从32位转化为8位，这样就可以减少网络数据传输的压力。

在科技领域的其他方面，对数运算也有着广泛的应用。

例如在机器学习、等领域的算法中，对数运算也有着非常重要的应用。

2.对数运算在经济领域的应用除了在科技领域中的应用之外，在经济领域中，对数运算也有着广泛的应用。

例如在金融领域，我们可以用对数收益率来计算投资回报率，而对数收益率又可以通过对数运算来计算。

在人口统计学和财务管理等领域中，对数运算也有着非常重要的应用。

掌握对数运算在经济领域中的应用对于我们的未来非常重要。

三，如何活学活用对数运算1.注重实际应用学习对数运算并不仅仅是为了考试，更重要的是在实际应用中应用到对数运算的知识。

必修1第三章对数函数的运算法则

必修1第三章对数函数的运算法则对数函数是数学中的一种常见函数，它与指数函数是对应关系。

在学习对数函数的运算法则之前，我们先来了解一下对数的定义及其性质。

1.对数的定义：设a为大于0且不等于1的实数，对任意正数x，称满足方程a^y = x的实数y为以a为底x的对数，记作y=log_a(x)。

其中，a称为对数的底数，x称为真数，y称为对数。

2.对数的性质：①对数的底数不为1，大于0，且不等于1② 对数的定义就是一个等式，如果a^b=x，则b=log_a(x)。

③ 对数的值域为全体实数，即：log_a(x)对任何正数x都有定义。

④ 对数函数是一个递增函数，即：当x_1<x_2时，log_a(x_1)<log_a(x_2)。

⑤对数函数的图像关于y轴对称。

⑥ 特殊的对数值：当a>1时，log_a(1)=0；当a<1时，log_a(1)=0。

了解了对数的一些基本概念之后，我们可以来学习对数函数的运算法则了：1.换底公式：log_a(b)=log_c(b)/log_c(a)换底公式是对数运算中的重要公式，它可以将一个对数转化为以另一个底数的对数。

利用这个公式，我们可以在计算对数时灵活选择适用的底数。

2.对数函数的四则运算：①和差公式：log_a(b*c)=log_a(b)+log_a(c)；log_a(b/c)=log_a(b)-log_a(c)和差公式可以将对数函数中的乘法和除法转化为加法和减法。

②幂公式：log_a(b^c)=c*log_a(b)幂公式可以将对数函数中的指数转化为乘法。

3.对数函数的指数与对数的互化：指数运算和对数运算是互为逆运算的，即：a^log_a(x)=x；log_a(a^x)=x这个性质在实际运算中经常会用到，可以帮助我们方便地进行对数函数的简化。

4.公式法则：①log_a(b^n)=n*log_a(b)；②log_a(b)=log_a(c)+log_c(b)；③log_a(b^n)=1/n*log_a(b^)；④log_a(x^n)=n*log_a(x)；⑤log_a(b)=1/log_b(a)。

人教版数学高一-人教A必修一 2.2对数运算中的常用技巧.

对数运算中的常用技巧河北梁喜涛062451初学对数的同学总是感觉对数运算既繁琐又难以入手，其实只要我们掌握了课本上的三个运算法则及对数恒等式log N a a N ，并加以灵活的运用，问题便会圆满解决。

但是，怎样才能灵活的运用？这还需要掌握一些常用技巧。

一、应用换底公式：当题中出现不同底的对数时，常用换底公式a b N b N alog log log =化为同底，然后运算。

换底时，通常以10为底,但有时也可另选它值为底。

例1、求值322798log log ⋅ 解析：910log 353log 2log log log log log log 32322723228292322798=⋅=⋅=⋅ 例2、已知714log ,145,b a ==求2835log解析：由145,b =得571414log ,log b a =∴=又 284727728141414141414353557141414log log log 2log log 2(1log )log log log log a b a b a ++-+∴====+++ 2a a b-=+ 例3、计算22333948(log log )(log log )+⋅+解：原式=lg 2lg 2lg3lg3()()lg3lg9lg 4lg8++=lg 2lg 2lg3lg3()()lg32lg32lg 23lg 2++ =3lg 25lg352lg36lg 24⋅= 评注：上述诸题中的难点在于底数不同，难以计算，所以我们要换成同底。

二、逆用法则、公式：当题中出现公式的逆用形式时，我们便可把公式逆用，还原，常常会有意想不到的收获。

例4、计算50lg 2lg 5lg 2⋅+分析：创设可逆用12lg 5lg =+的条件是解题的关键解析：50lg 2lg 5lg 2⋅+=()10lg 5lg 2lg 5lg 2+⋅+ =2lg 5lg 2lg 5lg 2+⨯+=2lg )2lg 5(lg 5lg ++=2lg 5lg +=1例5、已知22lg 2lg 52lg 2lg5,a b +=++⋅求333ab a b ++的值解析：2222lg 2lg 52lg 2lg5(lg 2lg5)lg 101a b +=++⋅=+== ∴332233()()ab a b ab a b a ab b ++=++-+2223()()1ab a ab b a b =+-+=+=评注：逆用运算法则是最重要、最常见的技巧。

人教版数学高一-人教A必修一 2.2例谈对数函数中参数问题的求解策略.

例谈对数函数中参数问题的求解策略江苏管宏斌 226300如何求对数函数中参数的值或取值范围，是高考的热点问题，更是同学们学习过程中的难点．本文略举数例谈谈该类问题的求解方法，希望对大家的学习有所帮助．一．求参数的值例1．设a ＞1，)(x f =log a x 在区间[a ，2a]上的最大值与最小值之差为12，则a ＿．解：由a ＞1，则)(x f =log a x 在区间[a ，2a]上单调递增，所以函数的最大值为log 2a a ，最小值为log a a = 1，因此有log 2a a －1=12，解得a = 4．评析：本题主要考查对数函数的单调性和简单的对数方程的解法，在解题时，一定要注意不同的底，对数函数有不同的单调性．函数最值是函数的主要内容，它在数学各个分支及实际问题中有着广泛的应用，特别是基本初等函数(二次函数、指数函数、对数函数)的最值问题，多年来一直是常考不衰的热点内容之一．例2．已知函数()()()ln 0,10x x f x a k b k a b =-⋅>>>>的定义域为()0,+∞，是否存在实数,a b 使得()f x 恰在()1,+∞上取正值，且()3ln 4f =？若存在，试求出,a b 的值，若不存在，说明理由．解：有条件入手，其定义域()0,+∞，∴0x xa kb -⋅>的定义域为()0,+∞，∴xa kb ⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴1k =．得()()ln x x f x a b =-，假设存在满足条件的,a b ，则()()333ln ln 4f a b =-=∴334a b -=，∵10a b >>>，∴1x u a =增函数，2x u b =为减函数，∴()x x g x a b =-为增函数．∴对()f x 恰在()1,+∞上取正值，可得()()1ln 0f a b =-=，∴1a b -=．解得：1122a b +-+==．点评：本题从函数的单调性入手，结合函数的定义域和值域，全面地考查了函数的性质，难点是对“恰好()1,+∞上取正值”的理解．二．求参数的范围例3．若()()log 3a f x ax =-在[]0,1上是减函数，则a 的取值范围是＿＿＿＿．解：因为由对数函数log a y x =，得底数0a >且1a ≠又∵()f x 在[]0,1上是减函数， ∴()()01f f >，即()log 3log 3a a a >-，∴13330a a a >⎧⎪>-⎨⎪->⎩ 或013330a a a <<⎧⎪<-⎨⎪->⎩解得13a <<．点评：由常规的具体函数判断单调性或求已知函数的单调区间，变换为由函数的单调性反过来确定函数中的底数a 的范围，同时要求对对数函数的概念和性质有深刻的理解．例4．若函数()()()22lg 1211f x a x a x ⎡⎤=---+⎣⎦定义域为R ，求a 的取值范围．解：若定义域为R ，则（Ⅰ）当210a -=时，1a =±（ⅰ）当1a =时，()2lg 001f x x x ⎡⎤=++⎣⎦，显然定义域为R ．（ⅱ）当1a =-时，()2lg 041f x x x ⎡⎤=++⎣⎦，此时定义域不为R ．（Ⅱ）当210a -≠时，则()()2221041410a a a ∆⎧->⎪⎨=---<⎪⎩易知1a > 由（Ⅰ）（Ⅱ）可知当定义域为R 时，a ≥1点评：本题主要考查了对数函数的定义域的概念，利用对数函数的定义域，确定参数a 的取值范围．但在求解过程中不可忽视210a -=的情形，要培养思维的严密性．。

部编版高中数学必修一第四章指数函数与对数函数解题方法技巧

(名师选题)部编版高中数学必修一第四章指数函数与对数函数解题方法技巧单选题1、若函数f(x)=ln(ax+√x2+1)是奇函数，则a的值为（）A．1B．－1C．±1D．0答案：C分析：根据函数奇函数的概念可得ln(−ax+√x2+1)+ln(ax+√x2+1)=0，进而结合对数的运算即可求出结果.因为f(x)=ln(ax+√x2+1)是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0．即ln(−ax+√x2+1)+ln(ax+√x2+1)=0恒成立，所以ln[(1−a2)x2+1]=0，即(1−a2)x2=0恒成立，所以1−a2=0，即a=±1．当a=1时，f(x)=ln(x+√x2+1)，定义域为R，且f(−x)+f(x)=0，故符合题意；当a=−1时，f(x)=ln(−x+√x2+1)，定义域为R，且f(−x)+f(x)=0，故符合题意；故选：C.2、声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：L1=10lg(I10−12).若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（）A．106倍B．105倍C．104倍D．103倍答案：B分析：设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，由声强级得95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，求出I1、I2相除可得答案.设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，因为普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，所以95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，95=10lg(I110−12)=10(lgI1+12)，解得−2.5=lgI1，所以I1=10−2.5，45=10lg(I210−12)=10(lgI2+12)，解得−7.5=lgI2，所以I2=10−7.5，两式相除得I1I2=10−2.510−7.5=105，则普通列车的声强是高速列车声强的105倍. 故选：B.3、设a=log2π，b=log6π，则（）A．a−b<0<ab B．ab<0<a−b C．0<ab<a−b D．0<a−b<ab答案：D分析：根据对数函数的性质可得a−b>0，ab>0，1b −1a<1，由此可判断得选项.解：因为a=log2π>log22=1，0=log61<b=log6π<log66=1，所以a>1,0<b<1，所以a−b>0，ab>0，故排除A、B选项；又1b −1a=a−bab=logπ6−logπ2=logπ3<logππ<1，且ab>0，所以0<a−b<ab，故选：D.4、计算：2lg√5−lg4−12=（）A．10B．1C．2D．lg5答案：B分析：应用对数的运算性质求值即可.2lg√5−lg4−12=lg(√5)2+lg√4=lg5+lg2=lg10=1.故选：B5、在同一平面直角坐标系中，一次函数y=x+a与对数函数y=log a x（a>0且a≠1）的图象关系可能是（）A．B．C．D．答案：C分析：根据对数函数的图象以及直线方程与图象关系分别进行讨论即可．A．由对数图象知0<a<1，此时直线的纵截距a>1，矛盾，B．由对数图象知a>1，此时直线的纵截距0<a<1，矛盾，C．由对数图象知0<a<1，此时直线的纵截距0<a<1，保持一致，D．由对数图象知a>1，此时直线的纵截距a<0，矛盾，故选：C．6、已知a=log20.6,b=log20.8,c=log21.2，则（）A．c>b>a B．c>a>bC．b>c>a D．a>b>c答案：A分析：由对数函数得单调性即可得出结果.∵y=log2x在定义域上单调递增，∴log20.6<log20.8<log21.2，即c>b>a.故选：A.7、若n<m<0，则√m2+2mn+n2−√m2−2mn+n2等于（）A．2m B．2n C．−2m D．−2n答案：C分析：根据根式的计算公式，结合参数范围，即可求得结果.原式=|m+n|−|m−n|，∵n<m<0，∴m+n<0，m−n>0，∴原式=−(m+n)−(m−n)=−2m．故选：C小提示：本题考查根式的化简求值，属简单题，注意参数范围即可.，b=30.3，c=1og54，则a,b,c的大小关系是（）8、已知a=ln13A．a<b<c B．b<a<c C．a<c30=1，0=log51<c=1og54<log55=1，所以可知b>c>a因为a=ln13故选：C多选题9、甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量y（个）与加工时间x（分）之间的函数关系，A点横坐标为12，B点坐标为(20,0),C点横坐标为128．则下面说法中正确的是（）A ．甲每分钟加工的零件数量是5个B ．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件C ．D 点的横坐标是200D ．y 的最大值是216 答案：ACD分析：甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A 正确；在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B 错误；设D 的坐标为(t,0)，由题得△AOB ∽△CBD ，则有1220=128−20t−20，解可得t =200，所以选项C 正确；当x =128时，y =216，所以y 的最大值是216.所以选项D 正确. 根据题意，甲一共加工的时间为(12−0)+(128−20)=120分钟，一共加工了600个零件，则甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A 正确，设D 的坐标为(t,0)，在区间(128,t)和(12，20 )上，都是乙在加工，则直线AB 和CD 的斜率相等，则有∠ABO =∠CDB ，在区间(20,128)和(0,12)上，甲乙同时加工，同理可得∠AOB =∠CBD ，则△AOB ∽△CBD ，则有1220=128−20t−20，解可得t =200；即点D 的坐标是(200,0)，所以选项C 正确；由题得乙每分钟加工的零件数为600200=3个，所以甲每分钟比乙多加工5-3=2个，在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B 错误；当x =128时，y =(128−20)×2=216，所以y 的最大值是216.所以选项D 正确. 故选：ACD10、(多选题)下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是（） A ．(-1)13和(−1)26B ．343和13-43C ．212和414D ．4−32和(12)−3答案：BC分析：根据分数指数幂的定义以及运算法则逐个验证与化简，即可判断选择.A 不符合题意，(-1)13和(−1)26不符合分数指数幂的定义，但(-1)13=√-13=-1，(-1)26=√(-1)26=1; B 符合题意，13-43=343.C 符合题意，414=√224=212;D 不符合题意，4−32和(12)−3均符合分数指数幂的定义，但4-32=1432=18，(12)−3 =23=8.故选：BC小提示：本题考查分数指数幂的定义以及运算法则，考查基本分析判断与化简能力，属基础题. 11、下列各式化简运算结果为1的是（） A ．log 53×log 32×log 25B ．lg √2+12lg5 C ．log √a a 2(a >0且a ≠1)D ．e ln3−(0.125)−13 答案：AD分析：根据指对数的运算性质依次分析各选项即可得答案. 解：对于A 选项，原式=lg3lg5×lg2lg3×lg5lg2=1；对于B 选项，原式=12lg2+12lg5=12lg(2×5)=12；对于C 选项，原式=2lg √a a =2×2=4；对于D 选项，原式=3−813=3−2=1. 故选：AD. 填空题12、计算：1634−8×(6449)−12−8×(87)−1= ________.答案：−6分析：结合指数幂的运算性质，计算即可. 由题意，1634−8×(6449)−12−8×(87)−1= (24)34−8×[(87)2]−12−8×78= 23−8×(87)−1−7=8−8×78−7=8−7−7=−6.所以答案是：−6.。

创新方案高考数学复习人教新课标对数函数高中数学

创新方案高考数学复习人教新课标对数函数高中数学对数函数是高中数学中的一个重要概念，也是高考数学中常考的内容。

为了更好地复习和掌握对数函数的知识，我提出以下创新方案：一、概念记忆对数函数是以对数为自变量，以指数函数为其函数变量的一类函数，记作y=loga x。

其中，a>0，a≠1，x>0。

对于对数函数的概念记忆，我们可以通过以下方法进行：1. 制作纸牌将对数函数的定义、性质、图像等内容分别写在纸牌上，并进行分类。

在复习时，我们可以随意拿起一张纸牌，读出该纸牌的内容，并对该内容进行解析。

通过互动参与，加强记忆效果。

2. 制作拼图将同一种类型的对数函数的定义、性质、图像等内容分别拼成一副完整的图像。

在复习时，我们可以通过观察图片，理解对数函数的特点和性质，并将其运用到解题中。

二、公式记忆对数函数中的常用公式包括换底公式、幂指公式等，这些公式对于对数函数的解题和理解都极为重要。

我们可以通过以下方法进行公式的记忆：1. 制作宝盒将对数函数的常用公式记录在小纸条上，放入一个可爱的宝盒中。

在复习时，我们可以随机拿出一张公式纸条，并将其运用到相应的题目中，巩固记忆。

2. 制作填空卡将对数函数的常用公式写在卡片上，其中一部分内容用___来代替。

在复习时，我们可以根据题目的要求填上相应的内容，并检查填写的准确性，巩固公式的记忆。

三、实际应用对数函数在实际生活中的应用非常广泛，如音乐、声音、光线等。

我们可以通过以下方法来深入理解对数函数的实际应用：1. 观察实物通过观察实体物品来了解对数函数的应用，例如我们可以观察CD、音箱等音乐设备，了解其中的对数函数原理，并能更好地理解对数函数的概念和性质。

2. 实际操作通过实际操作来体验对数函数的应用，例如使用相机的光圈值，根据对数函数来调整曝光灵敏度，使拍摄出的照片更加清晰。

以上为我提出的对数函数复习方案，通过创新的方法来加强记忆效果，提高学生的学习兴趣，并帮助学生更好地掌握对数函数的相关知识，为高考取得更好的成绩打下坚实的基础。