2019高三数学三角函数、解三角形章末复习测试语文

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第五章：三角函数章末测试(解析版)

第五章：三角函数章末测试一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022·山东·青岛中学高二阶段练习）下列与角23π的终边一定相同的角是（）A ．53πB ．2360(3k k π+∈Z ) C ．22(3k k ππ+∈Z ) D ．2(21)(3k k ππ++∈Z ) 【答案】C【解析】与角23π终边相同角可以表示为2{|2,3k k πααπ=+∈Z } 对A ，由2{|2,3k k πααπ=+∈Z }找不到整数k 让53πα=，所以A 错误对B ，表达有误，角的表示不能同时在一个表达式中既有角度制又有弧度制，B 错误，对D 项，当0k =时，角为53π，当1k =-时，角为3π-，得不到角23π，故D 错误，故选：C.2．（2021·天津·高一期末）已知扇形AOB 的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形AOB 的周长为（） A ．32 B ．24 C ．62D ．82【答案】D【解析】圆心角2α=，扇形面积212S r α=，即21822r =⨯⨯，得半径22r =所以弧长42l r α==故扇形AOB 的周长24222282L l r =+=⨯=故选：D3．（2019·江苏省新海高级中学高一期中）已知()cos305sin305,P ，则点P 在第（）象限 A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】D【解析】因为270305360<<，所以305为第四象限角，所以0cos305>，0sin305<，所以点()cos305sin305,P 位于第四象限；故选：D4．（2022·全国·高一课时练习）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为()045αα︒<<︒，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则tan α=（）A 47-B 47+C 47+D 47-【答案】A【解析】设大正方形的边长为a ，则小正方形的边长为()cos sin a αα-，故()222cos sin 14a a αα-=，故112sin c 4os αα-=，即2223sin cos 3tan 3sin cos 8sin cos 8tan 18αααααααα=⇒=⇒=++23tan 8tan 30αα⇒-+=，解得47tan α-=47tan α+= 因为045α︒<<︒，则0tan 1α<<，故47tan 3α=.故选：A 5．（2020·天津市西青区杨柳青第一中学高一阶段练习）函数()sin (0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A ．22sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．=2sin 23x y π-⎛⎫⎪⎝⎭ D ．=2sin 23y x π-⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】由函数图象可得2A =，因为5212122T πππ=+=，所以T π=，所以222T ππωπ===，由函数过点,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得2sin 2+=212π-ϕ⎡⎤⎛⎫⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以262k ππϕπ-+=+，Z k ∈，即223k πϕπ=+，Z k ∈，因为0ϕπ<<，所以23ϕπ=，所以22sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.故选：A 6．（2022·安徽省宿州市苐三中学高一期中）已知π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 2+3α⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A ．79- B ．23-C ．23D ．79【答案】D【解析】因为π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2ππcos 212sin 36171299αα⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯ ⎪ ⎭⎝⎭=⎪⎝.故选：D. 7．（2022·天津南开·高一期末）为了得到函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，可以将函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像（）A ．向左平移π6个单位 B ．向右平移π6个单位 C ．向左平移π12个单位 D ．向右平移π12个单位【答案】D【解析】因为ππsin 2sin 236y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ππsin 2sin 261y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且πππ61212-=，所以由πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像转化为πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭需要向右平移π12个单位.故选：D.8．（2020·安徽亳州·高一期末）已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于任意的)3,1a ⎡∈-⎣，方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，则m 的取值范围为（） A ．7π3π,124⎛⎤⎥⎝⎦B ．π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π5π,26⎛⎤⎥⎝⎦D ．7π3π,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，等价于函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点．当0x m <≤得：πππ2,2666x m ⎛⎤+∈+⎥⎝⎦，结合函数()y f x =的图象可知，π4π5π2,633m ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得：7π3π,124m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．（2022·全国·高一课时练习）已知直线π8x =是函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<图象的一条对称轴，则（）A ．π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数B ．3π8x =是()f x 图象的一条对称轴 C ．()f x 在ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．当π2x =时，函数()f x 取得最小值【答案】AC【解析】因为直线π8x =是函数()sin(2)(0f x x ϕϕ=+<π)<图象的一条对称轴，所以ππ2π82k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，又0πϕ<<，所以π4ϕ=，所以()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．ππsin 2cos 282f x x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是偶函数，故A 正确；令ππ2π()42x k k +=+∈Z ，解得:ππ()28k x k =+∈Z ，所以()f x 图象的对称轴方程为ππ()28k x k =+∈Z ，而3π8x =不能满足上式，故B 错误；当ππ,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2,424x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时函数()f x 单调递减，故C 正确；显然函数()f x 的最小值为1-，当π2x =时，π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ππ2sin 2242⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，故D 错误．故选：AC ．10．（2022·全国·高一课时练习）在锐角三角形ABC 中，sin 2sin sin A B C =，则下列等式中正确的是（） A ．tan tan 2tan tan B C B C += B ．tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= C ．tan()2tan tan +=B C B C D ．tan tan tan 1=A B C【答案】AB【解析】由sin 2sin sin A B C =，得sin()B C +=sin cos sin cos 2sin sin B C C B B C +=等式两边同时除以cos cos B C ，所以tan tan B C +=2tan tan B C ，故选项A正确；由tan tan tan()1tan tan ++==-A BA B A Btan()tan π-=-C C ，得tan tan A B +=tan tan tan A B C tan C -，所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故选项B 正确．假设tan()2tan tan +=B C B C ，由选项A 得tan()tan tan ,B C B C +=+tan tan tan 0A B C ∴++=,因为ABC 是锐角三角形，所以tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>tan tan tan 0A B C ∴++>，与tan tan tan 0A B C ++=矛盾，所以选项C 错误；假设tan tan tan 1=A B C ，所以1tan tan tan B C A=，由选项A 得tan tan B C +=222(1tan tan )tan tan()(tan tan )B C A B C B C -==-+-+，化简得22tan tan 2B C +=-显然不成立，所以选项D 错误.故选：AB11．（2022·浙江·高一期中）函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><图象与y 轴交于点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，且π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭为该图像最高点，则（）A ．()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 的一个对称中心为π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 图像向右平移π6个单位可得πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象D ．7π12x =是函数()f x 的一条对称轴【答案】AB【解析】因为π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭为该图像最高点，所以1A =，又函数()f x 的图象与y 轴交于点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()10sin 2f ϕ==-，又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，则()π()sin 6f x x ω=-，πππsin 1336f ω⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πππ2π,Z 362k k ω-=+∈，所以26,Z k k ω=+∈，由图可知ππ23T ω=>，所以03ω<<，所以2ω=，所以()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，因为πsin 0012f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()f x 的一个对称中心为π,012⎛⎫⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，函数()f x 图像向右平移π6个单位可得πππsin 2sin 2666y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象，故C 错误；对于D ，7π7ππsin 01266f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不是最值，所以7π12x =不是函数()f x 的一条对称轴，故D 错误.故选：AB.12．（2022·江苏·吴县中学高一期中）已知m 为整数，若函数()sin cos 1sin 22m f x x x x =++--在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，则满足题意的m 可以是下列哪些数（） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6【答案】ABC【解析】因为3π5π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,设sin cos 22,04t x x x π⎛⎫⎡⎤=+=+∈- ⎪⎣⎦⎝⎭，21sin cos 2t x x -=，则()2112m t t =+--，即221922,2224m t t t ⎛⎫⎡⎤=-++=--+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，亦即22,4m ⎡⎤∈-⎣⎦．故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2022·天津南开·高一期末）cos66cos84sin66sin84︒︒︒︒-的值是_____. 【答案】3【解析】()cos66cos84sin66sin8cos 6684co 104s 5︒︒︒︒=︒+︒=-︒()3cos 18030cos30=︒-︒=-︒= 14．（2022·上海师大附中高一期末）设α是第三象限的角，则2α的终边在第_________ 象限. 【答案】二或四【解析】因为α是第三象限角，所以3222k k ππαππ+<<+，Z k ∈，所以3224k k παπππ+<<+，Z k ∈，当k 为偶数时，2α为第二象限角，当k 为奇数时，2α为第四象限角.15．（2022·全国·高一课时练习）若函数()tan f x x =在区间ππ,32a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围是______．【答案】(]0,1 【解析】因为ππ23a a >-，所以0a >，所以0ππ32ππ22a a a ⎧⎪>⎪⎪-≥-⎨⎪⎪≤⎪⎩，解得01a <≤，即(]0,1a ∈．16．（2022·上海理工大学附属中学高一期中）函数()()()33sin 3f x x x θθ=--- [],0θπ∈-是奇函数，则θ=______；【答案】3π-【解析】()()()3133sin 32[)sin(3)]2f x x x x x θθθθ---=--- 2[coscos(3)sin sin(3)]2cos(3)666x x x πππθθθ=---=-+，它是奇函数，则,Z 62k k ππθπ-+=+∈，3k πθπ=--，Z k ∈，又[,0]θπ∈-，所以3πθ=-．四、解答题：本小题共6小题，共70分。

2019年高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式增分练

2019年高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式增分练1．[xx·洛阳模拟]下列各数中与sinxx°的值最接近的是( ) A.12 B.32 C ．－12D ．－32答案 C解析 xx°＝5×360°＋180°＋39°， ∴sinxx°＝－sin39°和－sin30°接近．选C.2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3 答案 D解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.3．[xx·华师附中月考]已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A.45 B ．－45C.35 D ．－35答案 B解析 tan(α－π)＝34⇒tan α＝34.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－45. 4．已知f (α)＝π－απ－α－π－αα，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－31π3的值为( ) A.12 B ．－13C ．－12D.13答案 C解析 ∵f (α)＝sin α·cos α－cos αtan α＝－cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫10π＋π3＝－cos π3＝－12. 5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为( )A.13 B ．－13C ．－223D.223答案 B解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋π12＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13.选B. 6．已知tan x ＝2，则sin 2x ＋1的值为( ) A ．0 B.95 C.43 D.53答案 B解析 sin 2x ＋1＝2sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x ＋1tan 2x ＋1＝95.故选B. 7．[xx·福建泉州模拟]已知1＋sin αcos α＝－12，则cos αsin α－1的值是( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2答案 A解析因为1－sin 2α＝cos 2α，cos α≠0,1－sin α≠0，所以(1＋sin α)(1－sin α)＝cos αcos α，所以1＋sin αcos α＝cos α1－sin α，所以cos α1－sin α＝－12，即cos αsin α－1＝12.故选A.8．已知角α的终边上一点P (3a,4a )(a <0)，则cos ()540°－α的值是________．答案 35解析 c os(540°－α)＝cos(180°－α)＝－cos α.因为a <0，所以r ＝－5a ，所以cos α＝－35，所以cos(540°－α)＝－cos α＝35.9．[xx·北京东城模拟]已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.答案－125解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1213，cos θ＝－513或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－513，cos θ＝1213(舍)．故tan θ＝－125.10．[xx·淮北模拟]sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3的值是________．答案－334解析原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ( －π－π3 )＝ ⎝⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334. 1．[xx·湖北荆州联考]若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵△ABC 是锐角三角形，则A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ＞0，B ＞π2－A ＞0，∴sin A ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，sin B ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝cos A ，∴cos B －sin A ＜0，sin B －cos A ＞0， ∴点P 在第二象限．选B.2．[xx·新乡模拟]若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin θcos θ＝3716，则sin θ＝( )A.35 B.45 C.74D.34答案 D解析 ∵sin θcos θ＝3716，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝8＋378，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝8－378，∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴sin θ＋cos θ＝3＋74 ①，sin θ－cos θ＝3－74 ②，联立①②得，sin θ＝34.3．已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角，则sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值为________．答案－1713解析因为cos(75°＋α)＝513>0，α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角， sin(75°＋α)＝－1－cos2＋α＝－1213.所以sin(195°－α)＋cos(α－15°) ＝sin[180°＋(15°－α)]＋cos(15°－α) ＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α)＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α) ＝－513－1213＝－1713.4．求值：sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan945°. 解原式＝－sin1200°·cos1290°＋cos1020°·(－sin1050°)＋tan 945° ＝－sin120°·cos210°＋cos300°·(－sin330°)＋tan225° ＝(－sin60°)·(－cos30°)＋cos60°·sin30°＋tan45°＝32×32＋12×12＋1＝2. 5．[xx·南京检测]已知f (α)＝π－απ－α⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－π－α.(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝π－απ－α⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－π－α＝sin αcos α－sin αsin αsin α＝－cos α.(2)因为α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，sin α＝－15.所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265.所以f (α)＝－cos α＝265.2019年高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词讲义分析解读江苏高考近五年没有考查本部分知识,在复习时主要要理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义,会写含有全称量词与存在量词的命题的否定.五年高考考点一简单的逻辑联结词(xx湖南改编,5,5分)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(¬q);④(¬p)∨q中,真命题是(填序号).答案②③考点二全称量词与存在量词1.(xx课标Ⅰ改编,3,5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为.答案∀n∈N,n2≤2n2.(xx山东,12,5分)若“∀x∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为.答案 13.(xx重庆理改编,2,5分)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为.答案存在x0∈R,使得<04.(xx四川理改编,4,5分)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则¬p 为.答案∃x∈A,2x∉B三年模拟A组xx模拟·基础题组考点一简单的逻辑联结词1.(苏教选2—1,一,2,变式)若命题p:0是偶数,命题q:2是3的约数,则下列命题中为真的是.①p且q;②p或q;③ ;④p且q.答案②2.(苏教选2—1,一,2,变式)若p、q是两个命题,且“p或q”的否定是真命题,则p、q的真假性是. 答案p假q假3.(苏教选2—1,一,2,变式)对于命题p、q,若p且q为真命题,则下列四个命题:①p或q是真命题;②p且q是真命题;③p且q是假命题;④p或q是假命题.其中真命题是.答案①③考点二全称量词与存在量词4.(xx江苏南通中学测试)若命题“存在x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是.答案(2,+∞)5.(xx江苏南京溧水中学质检,2)命题“∀x∈R,x2+2x+5>0”的否定是.答案∃x0∈R,+2x0+5≤06.(xx江苏苏州期中,2)若命题p:∃x∈R,使x2+ax+1<0,则p: .答案∀x∈R,x2+ax+1≥0B组xx模拟·提升题组(满分:30分时间:15分钟)一、填空题(每小题5分,共15分)1.(xx江苏南京师大附中期初调研,8)已知命题p:∃x∈R,x2+2x+a≤0是真命题,则实数a的取值范围是.答案(-∞,1]2.(xx江苏前黄中学第二次学情调研,8)已知下列四个命题,其中真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上).(1)命题“∃x∈R,x2+x+1>0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1<0”;(2)命题“在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B”的逆命题为真命题;(3)“f '(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处取得极值”的充分不必要条件;(4)直线y=x+b不能作为函数f(x)=图象的切线.答案(2)(4)3.(xx江苏泰州一模,5)若命题“存在x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是.答案(2,+∞)二、解答题(共15分)4.(xx江苏盐城期中,15)设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0;q:实数x满足<0.(1)若a=1,且p∨q为真,求实数x的取值范围;(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.解析(1)由x2-4ax+3a2<0,得(x-3a)(x-a)<0,因为a>0,所以a<x<3a,当a=1时,1<x<3,即p为真时,实数x的取值范围是1<x<3.<0等价于(x-2)(x-3)<0,解得2<x<3,即q为真时,实数x的取值范围是2<x<3.若p∨q为真,则实数x的取值范围是1<x<3.(2)p是q的必要不充分条件等价于q⇒p且p⇒/ q,则有或所以实数a的取值范围是1≤a≤2.C组xx模拟·方法题组方法1 含有逻辑联结词的命题的真假判断1.若命题p:不等式4x+6>0的解集为,命题q:关于x的不等式(x-4)(x-6)<0的解集为{x|4<x<6},则“p且q”“p 或q”“ ”形式的命题中的真命题是.答案p或q,p且q2.分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“ ”形式的命题的真假.(1)p:6<6,q:6=6;(2)p:梯形的对角线相等,q:梯形的对角线互相平分;(3)p:函数y=x2+x+2的图象与x轴没有公共点,q:不等式x2+x+2<0无解;(4)p:函数y=cos x是周期函数,q:函数y=cos x是奇函数.解析(1)∵p为假命题,q为真命题,∴p∧q为假命题,p∨q为真命题,p为真命题.(2)∵p为假命题,q为假命题,∴p∧q为假命题,p∨q为假命题,p为真命题.(3)∵p为真命题,q为真命题,∴p∧q为真命题,p∨q为真命题,p为假命题.(4)∵p为真命题,q为假命题,∴p∧q为假命题,p∨q为真命题,p为假命题.方法2 全称(存在性)命题真假的判定3.下列命题中的真命题的个数是.①∃x∈R,使得sin x+cos x=;②∃x∈(-∞,0),2x<3x;③∀x∈(0,π),sin x>cos x.答案04.已知命题p:∃x∈R,使tan x=1,命题q:∀x∈R,x2>0.下面结论正确的是.①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧ ”是假命题;③命题“ ∨q”是真命题;④命题“ ∧ ”是假命题.答案④方法3 全称(存在性)命题的否定5.(xx江苏姜堰中学高三期中)命题“∀x∈,sin x>0”的否定是.答案∃x∈,sin x≤06.命题“任意x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是.答案存在x∈R,使得|x-2|+|x-4|≤37.判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并写出它们的否定:(1)p:对任意的x∈R,x2+x+1=0都成立;(2)p:∃x∈R,x2+2x+5>0.解析(1)由于命题中含有全称量词“任意的”,因而是全称命题;又由于“任意的”的否定为“存在一个”,因此,p:存在一个x∈R,使x2+x+1≠0成立.(2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x,即命题中含有存在量词“存在一个”,因而是存在性命题;又由于“存在一个”的否定为“任意一个”,因此,p:∀x∈R,x2+2x+5≤0.方法4 与逻辑联结词、全称(存在性)命题有关的参数问题8.(xx江苏盐城高三(上)期中)命题“∃x∈R,使x2-ax+1<0”是真命题,则a的取值范围是.答案(-∞,-2)∪(2,+∞)9.已知p:函数y=x2+mx+1在(-1,+∞)上单调递增,q:4x2+4(m-2)x+1>0恒成立.若p或q为真,p且q为假,求m的取值范围.解析若函数y=x2+mx+1在(-1,+∞)上单调递增,则-≤-1,∴m≥2,即p:m≥2;若4x2+4(m-2)x+1>0恒成立,则Δ=16(m-2)2-16<0,解得1<m<3,即q:1<m<3.因为p或q为真,p且q为假,所以p、q一真一假,当p真q假时,解得m≥3.当p假q真时,解得1<m<2.综上可知,m的取值范围是{m|m≥3或1<m<2}.。

2019届高考数学(文)大一轮：第3章三角函数、解三角形第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第三节两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．知识点一两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1．基本公式sin(α±β)＝________， cos(α±β)＝________， tan(α±β)＝________. 2．公式变形(1)tan α±tan β＝________.(2)函数f(α)＝asin α＋bcos α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f(α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .答案1．sin αcos β±cos αsin β cos αcos β∓sin αsin β tan α±tan β1∓tan αtan β2．(1)tan(α±β)(1∓tan αtan β)1．sin75°的值为________．解析：sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24. 答案：6＋242．已知cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值是____. 解析：∵cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝45×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝4－3310.答案：4－33103．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________. 解析：∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°，∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°) ＝3－3tan20°tan40°，∴原式＝3－3tan20°tan40°＋3tan20°tan40°＝ 3. 答案： 3知识点二二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．基本公式 sin2α＝________.cos2α＝________＝________＝________. tan2α＝________. 2．有关公式的逆用、变形等(1)cos 2α＝________，sin 2α＝________. (2)1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4. 答案1．2sin αcos α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α 2tan α1－tan 2α 2.(1)1＋cos2α2 1－cos2α24．计算：tan7.5°1－tan 27.5°＝________. 解析：tan7.5°1－tan 27.5°＝12×2tan7.5°1－tan 27.5° ＝12tan15°＝12tan(45°－30°) ＝12×tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝12×1－331＋33＝2－32. 答案：2－325．(2016·浙江卷)已知2cos 2x ＋sin2x ＝Asin(ωx ＋φ)＋b(A>0)，则A ＝________，b ＝________. 解析：由于2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)＋1，所以A ＝2，b ＝1.答案： 2 1热点一三角公式的正用与逆用【例1】 (1)化简：＋sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0<θ<π)；(2)求值：sin50°(1＋3tan10°)．【解】 (1)由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，∴cos θ2>0，∴2＋2cos θ＝4cos2θ2＝2cos θ2. 又(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝2cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cosθ2＝－cos θ.(2)sin50°(1＋3tan10°) ＝sin50°(1＋tan60°·tan10°)＝sin50°·cos60°cos10°＋sin60°sin10°cos60°cos10°＝sin50°·cos 60°－10°cos60°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.(1)求sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin 15°sin8°的值；(2)求tan20°＋4sin20°的值．解：(1)原式＝－＋cos15°sin8°－－sin15°sin8°＝sin15°cos8°cos15°cos8°＝tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝1－331＋33＝3－13＋1＝2－ 3. (2)原式＝sin20°cos20°＋4sin20°＝sin20°＋4sin20°cos20°cos20°＝sin20°＋2sin40°cos20°＝－＋＋cos20°＝32cos10°＋32sin10°cos20°＝332cos10°＋12sin10°cos20°＝3－cos20°＝ 3.热点二三角函数式求值考向1 给值求值【例2】已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．【解】 (1)∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，从而－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×(－1010)＝91050.1．在本例条件下，求sin(α－2β)的值．解：∵sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010，cos β＝91050，sin β＝131050.∴sin(α－2β)＝sin[(α－β)－β]＝sin(α－β)cos β－cos(α－β)sin β＝－2425.2．若本例中“sin α＝35”变为“tan α＝35”，其他条件不变，求tan(2α－β)的值．解：∵tan α＝35，tan(α－β)＝－13，∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋α－β1－tan αα－β＝35－131＋35×13＝29.考向2 给值求角【例3】已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．【解】 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝α－β＋tan β1－α－ββ＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2.又∵tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.(1)(2016·新课标全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( )A.725B.15C ．－15D ．－725(2)已知cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求β的值．解析：(1)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin2α＝1825，所以sin2α＝－725，故选D. (2)解：∵π<α<3π2，3π2<α＋β<2π，∴0<β<π.又cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，∴sin α＝－513，sin(α＋β)＝－7226.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝17226×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－7226×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝－22，且0<β<π，所以β＝3π4.答案：(1)D热点三三角恒等变换的综合应用【例4】 (2016·天津卷)已知函数 f(x)＝4tanxsin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期；(Ⅱ)讨论f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．【解】 (Ⅰ)f(x)的定义域为{x|x≠π2＋k π，k ∈Z}．f(x)＝4tanxcosxcos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sinxcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sinx ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cosx ＋32sinx － 3＝2sinxcosx ＋23sin 2x －3＝sin2x ＋3(1－cos2x)－ 3 ＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以，f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(Ⅱ)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sinz 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z. 由－π2＋2k π≤2x－π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x≤5π12＋k π，k ∈Z.设A ＝[－π4，π4]，B ＝{x|－π12＋k π≤x≤5π12＋k π，k ∈Z}，易知A∩B＝[－π12，π4]．所以，当x ∈[－π4，π4]时，f(x)在区间[－π12，π4]上单调递增，在区间[－π4，－π12]上单调递减.已知函数f(x)＝2cos 2ωx －1＋23sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线x ＝π3是函数f(x)的图象的一条对称轴．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知函数y ＝g(x)的图象是由y ＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值．解：(1)f(x)＝cos2ωx ＋3sin2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6，由于直线x ＝π3是函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6的图象的一条对称轴，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3ω＋π6＝±1.因此2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，解得ω＝32k ＋12(k ∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝12，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.由2k π－π2≤x＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－2π3≤x≤2k π＋π3(k ∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z)．(2)由题意可得g(x)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6，即g(x)＝2cos x2，由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝65，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故π6<α＋π6<2π3，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6·cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6·sin π6＝45×32－35×12＝43－310.求值、化简、证明是三角函数中最常见的题型，其解题一般思路为“五遇六想”即：遇切割，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角．“五遇六想”作为解题经验的总结和概括，操作简便，十分有效．其中蕴含了一个变换思想(找差异，抓联系，促进转化)，两种数学思想(转化思想和方程思想)，三个追求目标(化为特殊角的三角函数值，使之出现相消项或相约项)，三种变换方法(切割化弦法，消元降次法，辅助元素法)．三角恒等变换中的解题策略三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点，其公式多、变法活的特点使不少同学在学习此知识点时感到困难重重，力不从心．本文介绍了几种常用的三角恒等变换中的解题策略，旨在帮助大家全面、系统地了解和掌握三角变换中的常规思路与基本技巧，促进同学们的推理能力和运算能力的提升．策略1 从角入手，寻找关系好解题解有关三角函数的题目时，要特别注意角与角之间的关系，只要明确了其中的关系，解题就完成了一半．【例1】已知α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则sin α＝________. 【解析】解法1：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝32cos α－12sin α＝35，①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①可得cos 2α＝13⎝⎛⎭⎪⎫sin α＋652，代入②并整理得100sin 2α＋60sin α－39＝0，解得sin α＝43－310，或sin α＝－43＋310(舍)．解法2：因为α为锐角，即α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝43－310.【答案】43－310【点评】不少同学习惯用解法1，却往往因运算量大而出现了各种问题；解法2抓住了α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6这一关系，减少了运算量，使求解轻松简捷．策略2 从函数名入手，化切为弦助解题在有关三角函数的题目中，当正弦(余弦)与正切“相遇”时，可采用化切为弦的方法，即将正切转化为正弦(余弦)．【例2】求1＋cos20°2sin20°－sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan5°－tan5°.【解】因为1tan5°－tan5°＝cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos 25°－sin 25°sin5°cos5°＝2cos10°sin10°，所以原式＝2cos 210°4sin10°cos10°－sin10°·2co s10°sin10°＝cos10°2sin10°－sin20°sin10°＝cos10°2sin10°－－sin10° ＝cos10°2sin10°－cos10°－3sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32. 策略3 从结构入手，存同化异探思路三角恒等变换中的公式较多，每个公式都有其固有的结构．解题时要善于从结构入手，存同化异，寻求结构形式的统一．【例3】 (1)已知3sin β＝sin(2α＋β)，α≠k π＋π2，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)．求证：tan(α＋β)＝2tan α；(2)已知cosxcosy ＝12，求sinxsiny 的取值范围．【解】 (1)证明：由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，整理可得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)·sin α. 因为α≠k π＋π2，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)，所以cos(α＋β)·cos α≠0，则有tan(α＋β)＝2tan α.(2)设p ＝sinxsiny ，则cos(x －y)＝cosxcosy ＋sinxsiny ＝12＋p ，cos(x ＋y)＝cosxcosy －sinxsiny ＝12－p. 因为|cos(x±y)|≤1，所以－1≤12＋p≤1，且－1≤12－p≤1，解得－12≤p≤12. 【点评】题(1)由条件向结论靠拢，从统一角的结构入手，顺利完成解题；题(2)从结构的相似(部分相似)展开联想，寻找解题突破口，亦成功解题．这两个方法都是值得重视的、从结构入手解题的常用方法．策略4 “先化简后求值”与“先局部后整体”“先化简后求值”本是初中数学中的一种题型，这里将其引申为一种解题策略．这种策略能简化解题过程，有事半功倍之功效；“先局部后整体”，则与之相反，虽其方法略显笨拙，但其逐个“击破”的策略却能降低解题难度，且解题方向明确，也是一个不错的思路．【例4】已知0<x<π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，求 cos2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值．【解】解法1(先化简后求值)：原式＝cos 2x －sin 2x22－＝2(cosx ＋sinx)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， ∵0<x<π4，∴0<π4－x<π4，则原式＝21－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2413. 解法2(先局部后整体)：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513. 下面从两个角度求cos2x ：角度1：cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ；角度2：cos2x ＝cos 2x －sin 2x ＝(cosx －sinx)·(cosx＋sinx)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x . ∵0<x<π4，∴0<π4－x<π4，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213，故cos2x ＝2×513×1213＝120169. 所以cos2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝120169÷513＝2413. 【点评】采用“先化简后求值”解题简捷流畅，采用“先局部后整体”解题思路简单，条理清晰．两种方法各有千秋，都是值得我们重视的好方法.。

高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数学案文(含解

第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数2019考纲考题考情1．角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角。

(2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角。

(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2k π＋α，k ∈Z 。

2．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

(2)角α的弧度数如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r。

(3)角度与弧度的换算①1°＝π180rad ；②1 rad ＝ ⎛⎪⎫180π°。

(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，则l ＝|α|r ，扇形的面积为S ＝12lr ＝12|α|·r 2。

3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)。

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示。

正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是点(1,0)。

如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线。

1．区分两个概念(1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角。

(2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等。

2．一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦。

3．三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r，cos α＝x r ，tan α＝y x。

一、走进教材1．(必修4P 10A 组T 7改编)角－225°＝________弧度，这个角在第________象限。

答案－5π4二2．(必修4P 15练习T 2改编)设角θ的终边经过点P (4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝________。

2019版高考数学总复习第三章三角函数解三角形20两角和与差的正弦余弦和正切公式课时作业文75

课时作业20 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1．sin68°sin67°－sin23°cos68°＝( ) A ．－22 B.22C.32D ．1 解析：sin68°sin67°－sin23°cos68°＝sin68°cos23°－sin23°cos68°＝sin(68°－23°)＝sin45°＝22. 答案：B2．(2018·四川自贡一诊)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝45，－π2<α<0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝( )A ．－435B ．－335C.335 D.435解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝45，－π2<α<0，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋23π＝cos αcos 23π－sin αsin 23π＝－12cos α－32sin α＝45，∴32sin α＋12cos α＝－45.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝32sin α＋32cos α＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α＝－435.故选A. 答案：A3．计算：cos350°－2sin160°sin －190°＝( )A ．－ 3B ．－32C.32D. 3 解析：原式＝cos360°－10°－2sin 180°－20°－sin 180°＋10°＝cos10°－2sin 30°－10°－－sin10°＝cos10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°－32sin10°sin10°＝ 3. 答案：D4．tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A.1318 B.1322 C.322 D.16解析：tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tan α＋β－tan β－π41＋tan α＋βtan β－π4＝25－141＋25×14＝322. 答案：C5．(2018·湖北荆州一检)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，则cos π3＋2α＝( )A.79B.23 C ．－23 D ．－79解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－79.答案：D 二、填空题6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝________.解析：cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－1. 答案：－17．(2018·湖南长沙一模)化简：2sin π－α＋sin2αcos 2α2＝________.解析：2sin π－α＋sin2αcos2α2＝2sin α＋2sin α·cos α121＋cos α＝2sin α1＋cos α121＋cos α＝4sin α.答案：4sin α8．(2018·广东湛江高三上学期期中调研，16)如图，角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A (x 1，y 1)，角β＝α＋2π3的终边与单位圆交于点B (x 2，y 2)，记f (α)＝y 1－y 2.若角α为锐角，则f (α)的取值范围是________．解析：由题意，得y 1＝sin α，y 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3，所以f (α)＝sin α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝sin α－32cos α＋12sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6，因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，所以3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，所以f (α)的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32 三、简答题9．(2018·广东六校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，x ∈R . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4的值； (2)若cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3的值．∴tanα－1tanα＝sinαcosα－cosαsinα＝sin2α－cos2αsinαcosα＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝2 3.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

2019届高考数学总复习分类试卷三角函数、解三角形、平面向量

2019届高考数学总复习分类试卷三角函数、解三角形、平面向量(时间:120分钟总分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知sin(88°+θ)=23,则cos(178°+θ)=()A.23B.-23C.√53D.-√532.设P是△ABC所在平面内的一点,且CP⃗⃗⃗⃗ =2PA⃗⃗⃗⃗ ,则△PAB与△PBC的面积的比值是( )A.13B.12C.23D.343.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知bsin A=3csin B,a=3,cos B=23,则b=( ) A.14 B.6 C.√14 D.√64.函数f(x)=cos(x+π4)-cos(x-π4)是( )A.周期为π的偶函数B.周期为2π的偶函数C.周期为π的奇函数D.周期为2π的奇函数5.函数y=2sin(π6-2x)(x∈[-π,0])的单调递增区间是( )A.[-π,-5π6] B.[-π3,0] C.[-2π3,-π6] D.[-π3,-π6]6.已知函数y=sin ωx(ω>0)在区间[0,π2]上为增函数,且图象关于点(3π,0)对称,则ω的取值集合为( )A.{13,23,1} B.{16,13} C.{13,23} D.{16,23}7.若把函数y=sin(ωx-π6)的图象向左平移π3个单位,所得到的图象与函数y=cos ωx的图象重合,则ω的一个可能取值是( )A.2B.32C.23D.128.在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,CM⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AM⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗ =( )A.-113B.-43C.43D.1139.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=π3,则△ABC的面积是( )A.3B.9√32C.3√32D.3√310.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,则tan C 等于( )A.34B.43C.-43D.-3411.已知△ABC是边长为1的等边三角形,则(AB⃗⃗⃗⃗⃗ -2BC⃗⃗⃗⃗ )·(3BC⃗⃗⃗⃗ +4CA⃗⃗⃗⃗ )=( )A.-132B.-112C.-6-√32D.-6+√3212.将函数f(x)=2sin(ωx-π3)(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位,得到函数y=g(x)的图象.若y=g(x)在[0,π4]上为增函数,则ω的最大值为( )A.1B.2C.3D.41 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.若单位向量e1,e2的夹角为π3,向量a=e1+λe2(λ∈R),且|a|=√32,则λ=.14.△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,若4√3S=(a+b)2-c2,则角C的大小为.15.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2),y=f(x)的部分图象如图,则f(π24)= .16.在平面四边形ABCD中,若AB=1,BC=2,∠B=60°,∠C=45°,∠D=120°,则AD= .三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=√3sin 2ωx+cos4ωx-sin4ωx+1(其中0<ω<1),若点(-π6,1)是函数f(x)图象的一个对称中心.(1)求f(x)的解析式,并求距y轴最近的一条对称轴的方程;(2)先列表,再作出函数f(x)在区间[-π,π]上的图象.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2√3sin(x+π4)·cos(x+π4)+sin 2x+a的最大值为1.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)将函数f(x)的图象向左平移π6个单位,得到函数g(x)的图象,若方程g(x)=m在x∈[0,π2]上有解,求实数m的取值范围.19.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a+1a=4cos C,b=1.(1)若A=90°,求△ABC的面积;(2)若△ABC的面积为√32,求a,c.20.(本小题满分12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足2asin A=(2sin B-√3sinC)b+(2sin C-√3sin B)c.(1)求角A的大小;(2)若a=2,b=2√3,求△ABC的面积.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2cos(2x+2π3)+√3sin 2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值;(2)设△ABC的三个内角分别是A,B,C,若f(C2)=-12,且AC=1,BC=3,求sin A的值.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2√3sin xcos x-3sin 2x-cos 2x+2. (1)当x ∈[0,π2]时,求f(x)的值域;(2)若△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且满足ba =√3,sin(2A+C)sinA=2+2cos(A+C),求f(B)的值.三角函数、解三角形、平面向量一、选择题1.B ∵sin(88°+θ)=23,∴cos(178°+θ)=cos(90°+88°+θ)=-sin(88°+θ)=-23.2.B ∵CP ⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,又△PAB 边PA 上的高与△PBC 边PC 上的高相等,∴S △PAB S△PBC=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗||CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12. 3.D 在△ABC 中,由asinA =bsinB,可得bsin A=asin B,又bsin A=3csin B,所以a=3c,又a=3,故c=1.由b 2=a 2+c 2-2accos B,cos B=23,可得b=√6.故选D.4.D f(x)=cos (x +π4)-cos (x -π4)=-√2sin x,所以函数f(x)是周期为2π的奇函数. 5.C 因为y=2sin (π6-2x)=-2sin (2x -π6),所以函数y=2sin (π6-2x)的单调递增区间就是函数y=sin (2x -π6)的单调递减区间.由π2+2kπ≤2x-π6≤3π2+2kπ(k∈Z ),解得π3+kπ≤x ≤5π6+kπ(k∈Z ),即函数y=2sin (π6-2x)的单调递增区间为[π3+kπ,5π6+kπ](k ∈Z ),又x ∈[-π,0],所以k=-1,故函数y=2sin (π6-2x)(x ∈[-π,0])的单调递增区间为[-2π3,-π6].6.A 由题意知{π2ω≥π2,3ωπ=kπ,k ∈Z,即{0<ω≤1,ω=k 3,k ∈Z,则ω=13或ω=23或ω=1.7.A 把函数y=sin (ωx -π6)的图象向左平移π3个单位得函数y=sin [ω(x +π3)-π6]=sin [ωx +(π3ω-π6)]的图象,由题意,得π3ω-π6=2kπ+π2(k ∈Z ),所以ω=6k+2(k∈Z ),所以ω的一个可能取值是2,故选A.8.C 因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13×32-23×22+13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13+13×3×2cos π3=43,故选C. 9.C c 2=(a-b)2+6,即c 2=a 2+b 2-2ab+6①.∵C=π3,∴由余弦定理得c 2=a 2+b 2-ab②,由①和②得ab=6,∴S △ABC =12absin C=12×6×√32=3√32,故选C.10.C 由2S=(a+b)2-c 2得2×12absin C=a 2+b 2-c 2+2ab,得absin C=2abcos C+2ab,sin C-2cos C=2,∴sin 2C+4cos 2C-4sin Ccos C=4, ∴tan 2C -4tanC+4tan 2C+1=4,∴tan C=-43或0(舍去),故选C.11.B (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(3BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +4CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ -6BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ -8BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 120°-6|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+4|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 120°-8|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 120°=3×1×1×(-12)-6×12+4×1×1×(-12)-8×1×1×(-12)=-32-6-2+4=-112,故选B. 12.B 将函数f(x)=2sin (ωx -π3)(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位,得g(x)=2sin ω(x +π3ω)-π3=2sin (ωx +π3-π3)=2sin ωx 的图象,当x ∈[0,π4]时,ωx∈[0,ωπ4],要使y=g(x)在[0,π4]上为增函数,需满足ωπ4≤π2,即ω≤2,故ω的最大值为2.二、填空题 13.答案 -12解析由题意可得e 1·e 2=12,|a |2=(e 1+λe 2)2=1+2λ×12+λ2=34,化简得λ2+λ+14=0,解得λ=-12. 14.答案π3解析由4√3S=a 2+b 2-c 2+2ab 可得,2√3absin C=2abcos C+2ab,即√3sin C-cos C =2sin (C -π6)=1,sin (C -π6)=12,由题意知0<C<π,∴-π6<C-π6<56π,∴C -π6=π6,解得C=π3. 15.答案 √3解析由题图可知:T=2(3π8-π8)=π2, ∴ω=2,∴2×π8+φ=kπ+π2,k ∈Z ,又|φ|<π2, ∴φ=π4.又f(0)=1,∴Atan π4=1, 得A=1,∴f(x)=tan (2x +π4),∴f (π24)=tan (π12+π4)=tan π3=√3. 16.答案√6-√22解析连接AC.在△ABC 中,AC 2=BA 2+BC 2-2BA ·BC ·cos 60°=3,所以AC=√3,又AC 2+BA 2=4=BC 2,所以△ABC 是直角三角形,且∠BAC=90°.在四边形ABCD 中,∠BAD=360°-(60°+45°+120°)=135°,因此∠CAD=∠BAD-∠BAC=45°,所以∠ACD=180°-∠CAD-∠D=15°.在△ACD 中,由ADsin ∠ACD =ACsin ∠D,即ADsin15°=√3sin120°,得AD=√3sin15°sin120°=√3×(√6-√2)4×√3=√6-√22. 三、解答题17.解析 (1)f(x)=√3sin 2ωx+(cos 2ωx -sin 2ωx)(cos 2ωx+sin 2ωx)+1=√3sin 2ωx+cos 2ωx+1 =2sin (2ωx +π6)+1.∵点(-π6,1)是函数f(x)图象的一个对称中心,∴-ωπ3+π6=kπ,k∈Z ,∴ω=-3k+12,k ∈Z . ∵0<ω<1,∴ω=12,∴f(x)=2sin (x +π6)+1.由x+π6=kπ+π2,k ∈Z ,得x=kπ+π3,k ∈Z ,令k=0,得距y 轴最近的一条对称轴方程为x=π3.(2)由(1)知, f(x)=2sin (x +π6)+1,当x ∈[-π,π]时,列表如下:x+π6-5π6-π2π2π 7π6 x-π -2π3 -π6π3 5π6 π f(x) 0 -1 13 1则函数f(x)在区间[-π,π]上的图象如图所示.18.解析 (1)f(x)=√3sin (2x +π2)+sin 2x+a=√3cos 2x+sin 2x+a=2sin (2x +π3)+a,由题意知2+a=1,解得a=-1. 由-π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ,k∈Z , 解得-5π12+kπ≤x ≤π12+kπ,k∈Z ,∴函数f(x)的单调递增区间是[-5π12+kπ,π12+kπ],k ∈Z .(2)∵将函数f(x)的图象向左平移π6个单位,得到函数g(x)的图象,∴g(x)=f (x +π6)=2sin [2(x +π6)+π3]-1=2sin (2x +2π3)-1,当x ∈[0,π2]时,2x+2π3∈[2π3,5π3],当2x+2π3=2π3时,sin (2x +2π3)=√32,g(x)取最大值√3-1; 当2x+2π3=3π2时,sin (2x +2π3)=-1,g(x)取最小值-3.∴-3≤m ≤√3-1. 19.解析 (1)∵b=1, ∴a+1a =4cos C=4×a 2+b 2-c 22ab=2(a 2+1−c 2)a,∴2c 2=a 2+1.又A=90°,∴a 2=b 2+c 2=c 2+1, ∴2c 2=a 2+1=c 2+2,解得c=√2, ∴S △ABC =12bcsin A=12bc=12×1×√2=√22.(2)∵S △ABC =12absin C=12asin C=√32, ∴sin C=√3a ,∵a+1a=4cos C,∴[14(a +1a)]2+(√3a)2=1, 化简得(a 2-7)2=0,∴a=√7, ∴cos C=2√77. 由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab ·cos C =7+1-2×√7×1×2√77=4,从而c=2.20.解析 (1)由已知及正弦定理可得2a 2=(2b-√3c)b+(2c-√3b)c,整理得b 2+c 2-a 2=√3bc,所以cos A =√32. 又A ∈(0,π),故A=π6. (2)由a sinA=b sinB ,a=2,b=2√3,A=π6, 得sin B=√32. 又B ∈(0,5π6),故B=π3或2π3. 若B=π3,则C=π2,于是S △ABC =12ab=2√3; 若B=2π3,则C=π6,于是S △ABC =12absin C=√3. 21.解析 (1)f(x)=2cos (2x +2π3)+√3sin 2x=-cos 2x,∴函数f(x)的最小正周期T=π,函数f(x)的最大值为1. (2)由(1)知f(x)=-cos 2x, ∴f (C2)=-cos C=-12,可得cos C=12. ∵C∈(0,π),∴sin C=√32. 由余弦定理可得,AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cos C=1+9-2×1×3×12=7, ∴AB=√7.第 11 页共 11 页 ∴由正弦定理可得,sin A=BC ·sinC AB =3×√32√7=3√2114. 22.解析 (1)f(x)=2√3sin xcos x-3sin 2x-cos 2x+2 =√3sin 2x-2sin 2x+1=√3sin 2x+cos 2x=2sin (2x +π6).∵x∈[0,π2],∴2x+π6∈[π6,7π6], ∴sin (2x +π6)∈[-12,1],∴f(x)在x ∈[0,π2]上的值域是[-1,2]. (2)由题意可知sin[A+(A+C)]=2sin A+2sin Acos(A+C),即sin Acos(A+C)+cos Asin(A+C)=2sin A+2sin Acos(A+C), 化简可得sin C=2sin A,由正弦定理可得c=2a,∵b=√3a,∴cos B=a 2+c 2-b 22ac =a 2+4a 2-3a 22a ·2a =12, ∵0<B<π,∴B=π3.∴f(B)=2sin (2×π3+π6)=1.。

2019版高考数学总复习第三章三角函数解三角形19函数y=Asin(ωx+φ)的图象及简单三角函数模

课时作业19 函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单三角函数模型的应用一、选择题1．(2018·四川自贡一诊)将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为f(x)，则函数f(x)的单调递增区间为( )A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π24，k π＋7π24(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋7π24，k π＋19π24(k ∈Z ) 解析：(整体代入法)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期T ＝π，所以T 4＝π4，则函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π4后所得图象的函数的解析式为f (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )，故选A.答案：A2．(2018·武汉调研)如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式可以为( )A ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]B ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋5π4＋20，x ∈[6,14]C ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －3π4＋20，x ∈[6,14]D ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋5π8＋20，x ∈[6,14] 解析：本题考查正弦函数的图象与性质．由图知A ＝10，b ＝20，T ＝2(14－6)＝16，所以ω＝2πT ＝π8，所以y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ＋20，把点(10,20)代入，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝0，则φ可以取3π4，所以这段曲线的函数解析式可以为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]，故选A.答案：A3．(2018·陕西省宝鸡市高三质检)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －4π3的图象( ) A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －4π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －4π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π12，故要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需要平移⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π12＝π4个单位长度，又π4>0，所以应向左平移，故选A.答案：A4．直线x ＝π3，x ＝π2都是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π<φ≤π)的对称轴，且函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则( ) A ．ω＝6，φ＝π2 B ．ω＝6，φ＝－π2C ．ω＝3，φ＝π2D ．ω＝3，φ＝－π2解析：因为x ＝π3，x ＝π2均为函数的对称轴，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减．所以T 2＝π2－π3＝π6，所以T ＝π3，由T ＝π3＝2πω，得ω＝6，因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，代入函数可得sin φ＝1，又φ∈(－π，π]，所以φ＝π2.答案：A5．(2018·福建福州一中1月模拟，6)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，为了得到函数g (x )＝A sin ωx 的图象，只需要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度解析：根据函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象，可得A ＝2，T 4＝2πω·14＝π3－π12，求得ω＝2.再根据五点法作图可得2·π12＋φ＝π2，求得φ＝π3， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，g (x )＝2sin2x ，故把f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度，可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin2x 的图象，故选D. 答案：D 二、填空题6．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则ω＝________.解析：∵T 2＝1112π－512π，∴T ＝π.又T ＝2πω(ω>0)，∴2πω＝π，∴ω＝2.答案：27．先将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π4个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.解析：先将函数y ＝sin x 的图象向左平移π4个单位长度得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图象，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π4＝sin π3＝32.答案：328．设函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．解析：f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4的周期T ＝2π×2π＝4， f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.答案：2 三、解答题9．(2018·郴州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值，并在下面提供的坐标系中画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象； (2)函数y ＝f (x )的图象可由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到？解析：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，因为T ＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 列表如下：2x ＋π3π3 π2 π 3π2 2π 7π3 x 0 π12 π3 7π12 5π6 π f (x )321－132y ＝f (x )在[0，π]上的图象如图所示．(2)将y ＝sin x 的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象．再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的图象．10．(2018·济南模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 22－23cos 2x2＋ 3.(1)求f (x )的单调区间； (2)求f (x )在[0，π]上的值域．解析：(1)f (x )＝1＋sin x －3cos x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3. 由2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6，k ∈Z ，由2k π＋π2≤x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋5π6，2k π＋11π6，k ∈Z .(2)x ∈[0，π]，则x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3∈[－3，2]，f (x )在[0，π]上的值域为[1－3，3]．[能力挑战]11．(2017·新课标全国卷Ⅰ，文科)函数y ＝sin2x1－cos x的部分图象大致为( )ABCD解析：令f (x )＝sin 2x1－cos x，∵ f (1)＝sin 21－cos1>0，f (π)＝sin 2π1－cosπ＝0，∴ 排除选项A ，D.由1－cos x ≠0得x ≠2k π(k ∈Z )，故函数f (x )的定义域关于原点对称．又∵ f (－x )＝sin －2x 1－cos －x ＝－sin 2x1－cos x＝－f (x )，∴ f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，∴ 排除选项B.故选C. 答案：C12．(2018·深圳调研)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，2π3的图象如图所示，若f (x 1)＝f (x 2)，且x 1≠x 2，则f (x 1＋x 2)的值为( )A ．0B ．1 C. 2 D. 3解析：本题考查三角函数的图象与性质．由题可得周期T ＝43×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π12＝π，则ω＝2πT ＝2，那么f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0，可得φ的一个值为π6，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则其对称轴为2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝12k π＋π6，k ∈Z ，而f (x 1)＝f (x 2)，则有x 1＋x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12k π＋π6＝k π＋π3，k ∈Z ，故f (x 1＋x 2)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋2π3＋π6＝2sin 5π6＝1，故选B. 答案：B13．(2018·广州市综合测试)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)是奇函数，直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增解析：f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4，因为0<φ<π且f (x )为奇函数，所以φ＝3π4，即f (x )＝－2sin ωx ，又直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π2，由2πω＝π2，可得ω＝4，故f (x )＝－2sin4x ，由2k π＋π2≤4x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π2＋π8≤x ≤k π2＋3π8，k ∈Z ，令k ＝0，得π8≤x ≤3π8，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增．答案：D。

2019年高考数学(文)一轮复习第3章三角函数、解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式学案整理

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式
[ 考纲传真 ] 1. 理解同角三角函数的基本关系式：
sin
2
2
sin
α ＋ cos α ＝ 1，cos
α α ＝ tan
α .2.
能利用单位圆中的三角函数线推导出
π 2 ±α ， π ± α 的正弦、余弦、正切的诱导公式．
( 对应学生用书第 41 页 )
[ 基础知识填充 ]
1 α cos α ＝得 2sin
2 α cos α＝－，
3
3
所以 (cos
α － sin
α ) 2＝ 1－2sin
5 α cos α ＝，
3
又 α 是第二象限角，所以 cos α － sin α ＜ 0，
15 所以 cos α － sin α ＝－ 3 ，
2
2
3
15
因此 cos 2 α ＝ cos α－ sin α ＝ (cos α ＋ sin α )(cos α － sin α ) ＝ 3 × － 3 ＝
cos_ α
余弦 cos α
－ cos α
cos α
－ cos_ α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－ tan α
－ tan_ α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变符号看象限
[ 知识拓展 ]
同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)(sin α ±cos α ) 2＝1±2s in α cos α .
( 1) A
5
3
2
cos2α ＋ 4sin α cos α
(2) － 3 [(1) ∵ tan α ＝4，则 cos α ＋ 2sin 2α ＝ sin2 α ＋cos2 α ＝

2019届高三数学课标一轮复习单元质检四三角函数、解

单元质检四三角函数、解三角形(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2017浙江湖州模拟)已知角θ的终边经过点P(4,m),且sin θ=,则m等于()A.-3B.3C.D.±32.(2017浙江杭州模拟)已知α是第四象限角,sin α=-,则tan α=()A.-B.C.-D.3.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b cos C+c cos B=a sin A,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定的值为()4.(2017浙江杭州四校联考)已知-<α<0,sin α+cos α=,则-A. B. C. D.5.已知△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且a=4,b+c=5,tan A+tan B+tan A·tan B,则△ABC的面积为()A. B.3 C. D.6.(2017浙江名校联考)下列四个函数:y=sin|x|,y=cos|x|,y=|tan x|,y=-ln|sin x|,以π为周期,在上单调递减且为偶函数的是()A.y=sin|x|B.y=cos|x|C.y=|tan x|D.y=-ln|sin x|7.(2017昆明模拟)将函数f(x)=sin x-cos x的图象沿着x轴向右平移a(a>0)个单位后的图象关于y 轴对称,则a的最小值是()A. B. C. D.8.(2017浙江绍兴期中)f(x)=A cos(ωx+φ)(A,ω>0)的图象如图所示,为得到g(x)=-A sin的图象,可以将f(x)的图象()A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度9.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1,其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π.若f(x)>1对于任意的x∈-恒成立,则φ的取值范围是()A. B. C. D.10.(2017云南师大附中模拟)已知函数f(x)=|sin x|·cos x,则下列说法正确的是()A.f(x)的图象关于直线x=对称B.f(x)的周期为πC.若|f(x1)|=|f(x2)|,则x1=x2+2kπ(k∈Z)D.f(x)在区间上单调递减二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.将答案填在题中横线上)11.(2017浙江绍兴调研)设函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0,x∈R),最小正周期T=π,则实数ω=,函数f(x)的图象的对称中心为,单调递增区间是.12.已知0<α<,sin α=,tan(α-β)=-,则tan β-=.13.函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的图象如图所示,则ω=,φ=.14.在△ABC中,D是AC边的中点,A=,cos ∠BDC=,△ABC的面积为3则sin ∠ABD=,BC=.15.下列命题:①函数y=sin的单调减区间为,kπ+,k∈Z;②函数y=x-sin 2x图象的一个对称中心为;③函数y=sin-在区间-上的值域为-;④函数y=cos x的图象可由函数y=sin的图象向右平移个单位得到;⑤若方程sin-a=0在区间上有两个不同的实数解x1,x2,则x1+x2=.其中正确命题的序号为.16.(2017福建三明质检改编)已知函数f(x)=sin(x+φ)-2cos(x+φ)(0<φ<π)的图象关于直线x=π对称,则cos 2φ=.17.(2017浙江衢州高三考试)已知△ABC的面积为1,∠A的平分线交对边BC于D,AB=2AC,且AD=kAC,k∈R,则当k=时,边BC的长度最短.三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14分)(2017浙江金华十校联考)如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于点A,B两点,x轴正半轴与单位圆交于点M,已知S△OAM=,点B的纵坐标是.(1)求cos(α-β)的值;(2)求2α-β的值.19.(15分)(2017浙江金华期末)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2cos 2B=4cos B-3.(1)求角B的大小;(2)若S△ABC=,a sin A+c sin C=5sin B,求边b.20.(15分)(2017浙江温州模拟)已知函数f(x)=x-2cos2+1.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)求f(x)在区间上的最值.21.(15分)如图,在△ABC中,AB=2,cos B=,点D在线段BC上.(1)若∠ADC=π,求AD的长;(2)若BD=2DC,△ACD的面积为,求的值.22.(15分)(2017浙江宁波高三)已知函数f(x)=cos x·(sin x-cos x)+,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)若函数g(x)=f(x+a)为偶函数,求|a|的最小值.答案：1.B sin θ=,解得m=3.2.C因为α是第四象限角,sin α=-,所以cos α=-,故tan α==-3.B由正弦定理得sin B cos C+sin C cos B=sin2A,∴sin(B+C)=sin2A,即sin(π-A)=sin2A,sin A=sin2A.∵A∈(0,π),∴sin A>0,∴sin A=1,即A=4.B∵sin α+cos α=,∴1+2sin αcos α=2sin αcos α=-,∴(cos α-sin α)2=1+,又∵-<α<0,∴cos α>0>sin α,∴cos α-sin α=,,故选B.--化简得5.C∵tan C=-tan(A+B)=--tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C,∴tan C=C=60°.cos C=(a2+b2-c2),把a=4,b+c=5,C=60°代入解得b=,所以S=ab sin C=故选C.6.D A:y=sin|x|在上单调递增,故A错误;B:y=cos|x|=cos x周期为T=2π ,故B 错误;C:y=|tan x|在上单调递增,故C错误;D:f(x+π )=-ln |sin(x+π )|=-ln|sin x|,周期为π ,当x时,y=-ln(sin x),在上单调递减,故D正确,故选D.7.B依题意得f(x)=2sin-,因为函数f(x-a)=2sin--的图象关于y轴对称,所以sin--=±1,a+=kπ+,k∈Z,即a=kπ+,k∈Z,因此正数a的最小值是,选B.8.D由题意可得A=1,T=,解得ω=2,∴f(x)=A cos(ωx+φ)=cos(2x+φ).再由五点法作图可得2+φ=,∴φ=-,∴f(x)=cos-=cos 2-,g(x)=-sin=cos=cos 2,而-,故将f(x)的图象向左平移个单位长度,即可得到函数g(x)的图象,故选D.9.A由条件可知函数f(x)的周期为π,则ω=2,f(x)=2sin(2x+φ)+1.由f(x)=2sin(2x+φ)+1>1,得sin(2x+φ)>0,从而可知2kπ<2x+φ<2kπ+π,k∈Z.故有---,即---解得10.D由函数f(x)在区间[0,2π]上的解析式可知f(x)=-(k∈Z)且f(x)是偶函数,故函数的图象关于直线x=kπ ,k∈Z对称,故A错误;f(x)的周期为2π ,故B错误;若|f(x1)|=|f(x2)|,则x1=x2+(k∈Z),故C错误;f(x)在区间上单调递减,故D正确.故选D.11.2-(k∈Z)-(k∈Z)由T==π ,∴ω=2,f(x)=2sin,令2sin=0,得2x+=kπ (k∈Z),∴x=,对称中心为-(k∈Z).由2kπ-2x+2kπ+(k∈Z),得kπ-x≤kπ+(k∈Z),∴单调递增区间为-(k∈Z).12.3∵0<α<,sin α=,∴cos α=-,tan α=∵tan(α-β)=---,解得tan β=3.=------13.2由题中图象可知T=π,ω=,则ω=2.∵函数经过点(π,1),∴1=2sin(2×π+φ),sin φ=,∵|φ|<,故φ=146过B作BH⊥AC于H,则cos∠BDH=,设DH=2k(k>0),则BD=k,∴BH=-k,在Rt△ABH中,∠A=,∴AH==k,∴AD=3k,AC=6k,又S△ABC=AC×BH=6k k=3k2=3,解得k=1,∴BC=6,在△ABD中,,,解得sin ∠ABD=故答案为:,6.15.①②⑤①令+2kπ≤2x++2kπ,解得+2kπ≤x+kπ,k∈Z,故①正确;②y=cos 2x-sin 2x=2cos,令2x+=kπ+,解得x=+kπ,k=0时函数的一个对称中心为,②正确;③y=sin-,当-x,-x-,结合正弦函数的图象可得-y≤1,③错误;④由函数y=sin的图象向右平移个单位得到y=sin x的图象,故④错误;⑤令y=sin,当x时,2x+,若使方程有两解,则两解关于x=对称,则x1+x2=,故⑤正确.16由题意可得f(x)=x+φ-γ),其中sin γ=,cos γ=, 当x=π时,x+φ-γ=π+φ-γ=kπ+2φ=2kπ-π+2γ,据此可知cos 2φ=cos(2kπ-π+2γ)=-cos 2γ=sin 2γ-cos 2γ=17设AC=a.由题意,2a·a·sin ∠BAC=1,∴sin ∠BAC=,求BC最短时k的值,考虑A为锐角或直角时即可,∴cos ∠BAC=-,∴由余弦定理可得BC2=5a2-4-,设a2=t>0,则f(t)=5t-4-,f'(t)=5--,t>,f'(t)>0,函数单调递增,0<t<,f'(t)<0,函数单调递减,∴t=时,函数f(t)取得最小值,即BC=,∴cos ∠BAC==2cos2∠CAD-1,∴cos ∠CAD=,∴k=cos ∠CAD=故答案为18.解(1)由题意,OA=OM=1,∵S△OAM=和α为锐角,∴sin α=,cos α=,又点B的纵坐标是,∴sin β=,cos β=-,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-=-(2)∵cos 2α=2cos2α-1=2-1=-,sin 2α=2sin α·cos α=2,∴2,∴2α--,∵sin(2α-β)=sin 2α·cos β-cos 2α·sin β=-,故2α-β=-19.解(1)△ABC中,2cos 2B=4cos B-3,∴2(2cos2B-1)=4cos B-3,即4cos2B-4cos B+1=0,解得cos B=,又B∈(0,π),∴B=;(2)由面积公式得S△ABC=ac sin B=ac sin ,解得ac=4,又a sin A+c sin C=5sin B,∴a2+c2=5b,由余弦定理,得b2=a2+c2-2ac cos B=5b-2×4=5b-4,∴b2-5b+4=0,解得b=1或b=4,又a2+c2=5b≥2ac=8, ∴b,故b=4.20.解(1)函数f(x)=cos 2x-2cos2+1=cos 2x-cos=cos 2x+sin 2x=2sin;令2kπ-2x+2kπ+,k∈Z,解得kπ-x≤kπ+,k∈Z,∴f(x)的单调递增区间为-(k∈Z); (2)当x时,2x+,∴sin-,∴f(x)在区间上的最大值为2,最小值为-;且x=时f(x)取得最大值2,x=时f(x)取得最小值-21.解法一`(1)在三角形中,∵cos B=,∴sin B=在△ABD中,由正弦定理得,又AB=2,∠ADB=,sin B=AD=(2)∵BD=2DC,∴S△ABD=2S△ADC,S△ABC=3S△ADC,又S△ADC=,∴S△ABC=4∵S△ABC=AB·BC sin∠ABC,∴BC=6.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC.∴AC=4∵S△ABD=AB·AD sin∠BAD,S△ADC=AC·AD·sin∠CAD,S△ABD=2S△ADC,=2,=2=4解法二(1)同解法一.(2)∵BD=2DC,∴S△ABC=3S△ADC=4,又∵S△ABD=AB·BC sin∠ABC,∴BC=6,∴BD=4,CD=2.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,∴AC=4在△ABD中,由正弦定理得,即sin∠BAD==2sin∠ADB,同理在△ACD中,由正弦定理得sin∠CAD=又∵sin∠ADB=sin∠ADC,=422.解(1)f(x)=cos x(sin x-cos x)+=sin x cos x-(2cos 2x-1)=sin 2x-cos 2x=sin-,所以函数f(x)的最小正周期T==π.由2kπ-2x-2kπ+,k∈Z,得kπ-x≤kπ+,所以函数f(x)的单调递增区间为-,k∈Z.(2)由题意,得g(x)=f(x+α)=sin-,因为函数g(x)为偶函数,所以2α-=kπ+=,k∈Z,当k=-1时,|α|的最小值为。

2019年高考数学(文)真题模拟试题专项汇编：专题04 三角函数及解三角形

专题04 三角函数及解三角形1、【2019高考天津卷文】已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A.2-B.D.22、【2019高考全国Ⅲ卷文】函数()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．53、【2019高考全国Ⅱ卷文】若123,44x x ππ==是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点，则ω=( ) A ．2B ．32C ．1D ．124、【2019高考天津卷文】已知(0,),2sin 2cos 212a ααπ∈=+,则sin α=( )A ．15B C D 5、【2019高考全国Ⅰ卷文】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则bc=( )A ．6B ．5C ．4D ．36、【济宁市2019届高三下联合考试文数】已知函数πcos()6y x =-与πsin(2)()2y x ϕϕ=+<，它们的图像有个交点的横坐标为π3，则ϕ的值为（）A.π6B.π6-C.π3D. π3- 7、【济宁市2019届高三下联合考试文数】将函数sin 2y x =的图象向右平移π4个单位，再向上平移1个单位后得到的函数图象对应的解+析式为( ) A.1cos 2y x =+B.22sin y x =C.22cos y x = D. πsin(2)14y x =-+8、【河南省顶级名校2019届高三考前押题文数】若函数()π)f x x ω=-5πsin 2x ω⎛⎫++ ⎪⎝⎭，且()2f α=，()0f β=，αβ-的最小值是π2，则()f x 的单调递增区间是（）A.2ππ2π,2π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z)k ∈ B.5ππ2π,2π66k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z)k ∈C.5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z)k ∈ D.πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z)k ∈9、【山东省邹城二中2019届高三高考模拟适应训练文数】已知函数2π()sin(2)3f x x =+，则下列结论错误的是( )A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的图象关于直线8π3x =对称 C ．()f x 的一个零点为π6D ．()f x 在区间π(0,)3上单调递减10、【江西省上饶市玉山一中2019届高三考前模拟文数】函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0A ω>>）的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度，得到()y g x =的图象，则下列说法正确的是（）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 为偶函数C ．函数()g x 的图象的对称轴为直线ππ(Z)6x k k =+∈ D ．函数()g x 的单调递增区间为5ππ[π,π](Z)1212k k k -++∈11、【2019高考全国Ⅱ卷文】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 已知sin cos 0b A a B +=，则B =______.12、【2019高考全国Ⅰ卷文】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________．13、【2019高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是________ 14、【2019高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____，cos ABD ∠=________.15、【2019高考天津卷文】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.1.求cos B 的值；2.求sin 26B ⎛⎫+⎪⎝⎭π的值. 16、【2019高考全国Ⅲ卷文】ABC △的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知sinsin 2A Ca b A +=． 1.求B ；2.若ABC △为锐角三角形，且1c =，求ABC △面积的取值范围． 17、【2019高考天津卷文】在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-．（Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）求sin （B –C ）的值．18、【2019高考江苏卷】在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 1.若23,3a cb B ===，求c 的值； 2.若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 19、【2019高考浙江卷】设函数()sin ,R f x x x =∈. 1.已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；2.求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++ 的值域.答案以及解+析1答案及详细分析：答案：C详细分析：()f x 为奇函数，可知(0)sin 0f A ϕ==，由ϕπ<可得0ϕ=；把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得1()sin 2g x A x ω=，由()g x 的最小正周期为2π可得2ω=，由()4g π=2A =，所以()2sin 2f x x =，33()2sin 84f ππ== 故选C 。

2019年高考数学(文)真题与模拟题分类训练专题06 三角函数及解三角形(学生版)

专题06 三角函数及解三角形1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=A ．−2B ．−C ．2D ．3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =−14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．34．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．125．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α= A ．15BCD6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．57．【2019年高考北京卷文数】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的2sin cos ++x xx xA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．【2019年高考北京卷文数】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β9．【2019年高考天津卷文数】已知函数()sin()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．−2 B． CD ．210．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 11．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________.12．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ . 13．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．14．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．15．【2019年高考北京卷文数】在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-．（1）求b ，c 的值；（2）求sin （B +C ）的值．16．【2019年高考天津卷文数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（1）求cos B 的值；（2）求sin 26πB ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.17．【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．18．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．19．【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域．20．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则cos2=αA B ．13C ．13-D ．3-21．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学试题】已知4cos 5=-α，()π,0∈-α，则πtan 4⎛⎫-= ⎪⎝⎭αA ．17 B ．7 C ．17-D ．7-22．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月）数学文试题】已知函数π()sin()6f x x =+ω(0)>ω的相邻对称轴之间的距离为π2，将函数图象向左平移π6个单位得到函数()g x 的图象，则()g x = A ．πsin()3x + B ．πsin(2)3x +C ．cos2xD ．πcos(2)3x +23．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学试题】已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，π0,0,2A >><ωϕ的部分图象如图所示，则使()()0f a x f a x +--=成立的a 的最小正值为A ．π12 B ．π6 C ．π4D ．π324．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试数学试题】在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC △的面积为S ，且()22a b c =+-，则πsin 4C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．1B ．2C D 25．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模）数学试题】在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =cos )cos 0A C C b A ++=，则角A =A ．2π3 B ．π3 C ．π6D ．5π626．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月）数学试题】在ABC △中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C cos sin (cos cos )A A a C c A =+.（1）求角A 的大小；（2）若a =ABC △的面积为4，求ABC △的周长．27．【北京市昌平区2019届高三5月综合练习（二模）数学试题】已知函数1(=cos cos )+2f x x x x -）. （1）求π()3f 的值；（2）当π[0,]2x ∈时，不等式()2c f x c <<+恒成立，求实数c 的取值范围．。

高三数学三角函数、解三角形章末复习测试

2019高三数学三角函数、解三角形章末复习测试为了方便同学们复习，提高同学们的复习效率，对这一年的学习有一个更好的巩固，本文整理了高三数学三角函数、解三角形章末复习，具体内容请看下文。

高三数学三角函数、解三角形章末复习测试(有答案)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知是第一象限角，tan =34，则sin 等于()A.45B.35C.-45D.-35解析 B 由2kkZ，sin cos =34，sin2+cos2=1，得sin =35.2.在△ABC中，已知sin(A-B)cos B+cos(A-B)sin B1，则△ABC 是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形解析 A sin(A-B)cos B+cos(A-B)sin B=sin[(A-B)+B]=sin A1，又sin A1，sin A=1，A=90，故△ABC为直角三角形.3.在△ABC中，A=60，AC=16，面积为2203，那么BC的长度为()A.25B.51C.493D.49解析 D 由S△ABC=12ABACsin 60=43AB=2203，得AB=55，再由余弦定理，有BC2=162+552-21655cos 60=2 401，得BC=49.4.设，都是锐角，那么下列各式中成立的是()A.sin(+sin +sinB.cos(+cos cosC.sin(+sin(-)D.cos(+cos(-)解析 C ∵sin(+)=sin cos +cos sin ，sin(-)=sin cos -cos sin ，又∵、都是锐角，cos sin 0，故sin(+sin(-).5.张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A.22 kmB.32 kmC.33 kmD.23 km解析 B 如图，由条件知AB=241560=6 .在△ABS中，BAS=30，AB=6，ABS=180-75=105，所以ASB=45.由正弦定理知BSsin 30=ABsin 45，所以BS=ABsin 30sin 45=32.故选B.(2019威海一模)若函数y=Asin(x+)+m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2，直线x=3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是()A.y=4sin4x+B.y=2sin2x+3+2C.y=2sin4x+3 +2D.y=2sin4x+6+2解析 D ∵A+m=4，-A+m=0，A=2，m=2.∵T=2，=2T=4.y=2sin(4x+)+2.∵x=3是其对称轴，sin43+=1.4=(kZ).-56(kZ).当k=1时，6，故选D.7.函数y=sin(2x+)是R上的偶函数，则的值是()A.0B.C.D.解析 C 当2时，y=sin2x+2=c os 2x，而y=cos 2x是偶函数.8.在△ABC中cos A+sin A=cos B+sin B是C=90的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 B C=90时，A与B互余，sin A=cos B，cos A=sin B，有cos A+sin A=cos B+sin B成立;但当A=B时，也有cos A+sin A=cos B+sin B成立，故cos A+sin A=cos B+sin B是C=90的必要不充分条件.9.△ABC的三边分别为a，b，c，且满足b2=ac,2b=a+c，则此三角形是()A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形解析 D ∵2b=a+c，4b2=(a+c)2，又∵b2=ac，(a-c)2=0，a=c，2b=a+c=2a，b=a，即a=b=c.10.f(x)=Asin(x+0，0)在x=1处取最大值，则()A.f(x-1)一定是奇函数B.f(x-1)一定是偶函数C.f(x+1)一定是奇函数D.f(x+1)一定是偶函数解析 D ∵f(x)=Asin(x+0，0)在x=1处取最大值，f(x+1)在x=0处取最大值，即y轴是函数f(x+1)的对称轴，函数f(x+1)是偶函数.11.函数y=sin2x-3在区间-上的简图是()解析 A 令x=0得y=sin-3=-32，排除B，D.由f-3=0，f6=0，排除C.12.若tan =lg(10a)，tan =lg1a，且+4，则实数a的值为()A.1B.110C.1或110D.1或10解析 C tan(+)=1tan +tan 1-tantan=lg10a+lg1a1-lg10alg1a=1lg2a+lg a=0，所以lg a=0或lg a=-1，即a=1或110.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)13.(2019黄冈模拟)已知函数f(x)=Acos(x+)的图象如图所示，f2=-23，则f(0)=________.解析由图象可得最小正周期为2 所以f(0)=f23，注意到22关于712对称，故f22=23.【答案】 2314.设a、b、c分别是△ABC中角A、B、C所对的边，sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C，且满足ab=4，则△ABC的面积为________.解析由sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C，得a2+b2-ab=c2，2cos C=1.C=60.又∵ab=4，S△ABC=12absin C=124sin 60=3.【答案】 315.在直径为30 m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度为________m.解析轴截面如图，则光源高度h=15tan 60=53(m).【答案】 5316. 如图所示，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等.设第i段弧所对的圆心角为i(i=1,2,3)，则cos13cos2+33-sin13sin2+33=________.解析记相应的三个圆的圆心分别是O1，O2，O3，半径为r，依题意知，可考虑特殊情形，从而求得相应的值.当相应的每两个圆的公共弦都恰好等于圆半径时，易知有1=2=3=23=43，此时cos13cos2+33-sin13sin2+33=cos1+2+33=cos43=cos3=-cos3=-12.【答案】 -12三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)在△ABC中，如果lg a-lg c=lg sin B=lg22，且B为锐角，试判断此三角形的形状.解析∵lg sin B=lg22，sin B=22，∵B为锐角，B=45.又∵lg a-lg c=lg22，ac=22.由正弦定理，得sin Asin C=22，2sin C=2sin A=2sin(135-C)，即sin C=sin C+cos C，cos C=0，C=90，故△ABC为等腰直角三角形.18.(12分)已知函数f(x)=2cos2x+2sin xcos x+1(xR，0)的最小正周期是2.(1)求的值;(2)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合.解析 (1)f(x)=1+cos 2x+sin 2x+1=sin 2x+cos 2x+2=2sin2x+4+2.由题设，函数f(x)的最小正周期是2，可得2=2，所以=2.(2)由(1)知，f(x)=2sin4x+4+2.当4x+2+2kZ)，即x=2(kZ)时，sin4x+4取得最大值1，所以函数f(x)的最大值是2+2，此时x的集合为xx=2，kZ.19.(12分)在△ABC 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Aa=3cos Cc.(1)求角C的大小;(2)如果a+b=6，CACB=4，求c的值.解析 (1)因为asin A=csin C，sin Aa=3cos Cc，所以sin C=3cos C.所以tan C=3.因为C(0，)，所以C=3.(2)因为CACB=|CA||CB|cos C=12ab=4，所以ab=8.因为a+b=6，根据余弦定理，得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab=12.所以c的值为23.20.(12分)在△ABC中，a， b，c分别是角A，B，C的对边，m=(2b-c，cos C)，n=(a，cos A)，且m∥n.(1)求角A的大小;(2)求y=2sin2B+cos3-2B的值域.解析 (1)由m∥n得(2b-c)cos A-acos C=0.由正弦定理得2sin Bcos A-sin Ccos A-sin Acos C=0. 所以2sin Bcos A-sin(A+C)=0，即2sin Bcos A-sin B=0.因为A，B(0，)，所以sin B0，cos A=12，所以A =3.(2)y=2sin2B+cos3cos 2B+sin3sin 2B=1-12cos 2B+32sin 2B=sin2B-6+1.由(1)得0所以sin2B--12，1，所以y12，2.21.(12分)设函数f(x)=sin(2x+0)的图象过点8，-1.(1)求(2)求函数y=f(x)的周期和单调增区间;(3)画出函数y=f(x)在区间[0，]上的图象.解析(1)∵f(x)=sin(2x+)的图象过点8，-1，-1=sin，4=2k2(kZ)，又(-，0)，4.f(x)=sin2x-34.(2)由题意，T=2，由(1)知f(x)=sin2x-34，由2k24+2(kZ)得增区间为k8，k8(kZ).(3)f(x)在[0，]上的图象如图：22.(12分)已知sin4=35，34.(1)求cos4的值;(2)求sin 的值.解析(1)∵sin4=35，且34，0-2，cos4= 45.(2)sin =sin4+4=sin4cos4+cos4sin4=7210.上述提供的高三数学三角函数、解三角形章末复习希望能够符合大家的实际需要!。

专题06 三角函数及解三角形-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(文)

专题06 三角函数及解三角形1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f (x )=2sin cos ++x xx x 在的图像大致为[,]-ππA．B．C．D ．【答案】D【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+()f x 排除A ．又，排除B ，C ，故选D ．22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A ，再()f x 注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=A ．B ．33C ．D ．【答案】D【解析】=tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒tan 45tan 301tan45tan 30︒+︒-︒︒故选D.2==+【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =−，则=14bc A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得，2224a b c -=由余弦定理推论可得2222214131cos ,,,422424b c a c c c A bc bc b +---==∴=-∴=，故选A ．3462b c ∴=⨯=【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若x 1=，x 2=是函数f (x )=(>0)两个相邻的极值点，则=4π43πsin x ωωωA ．2B ．32C ．1D ．12【答案】A【解析】由题意知，的周期，解得．故选A ．()sin f x x ω=232()44T ωπππ==-=π2ω=【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．利用周期公式，通过方程思想解题．5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知a ∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sin α=π2A ．B 15C D 【答案】B【解析】，，2sin 2cos 21αα=+ 24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭ sin 0,α>，又，，又，2sin cos αα∴=22sin cos 1αα+=2215sin 1,sin 5αα∴==sin 0α>sin α∴=故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数在[0，2π]的零点个数为()2sin sin2f x x x =-A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】B【解析】由，()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=得或，sin 0x =cos 1x =，．[]0,2πx ∈ 0π2πx ∴=、或在的零点个数是3，()f x ∴[]0,2π故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．令，得或，再根据x 的取值范围可求得零点.()0f x =sin 0x =cos 1x =7．【2019年高考北京卷文数】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】时，，为偶函数；0b =()cos sin cos f x x b x x =+=()f x 为偶函数时，对任意的恒成立，即，()f x ()=()f x f x -x ()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-，得对任意的恒成立，从而.从而“”是cos sin cos sin x b x x b x +=-sin 0b x =x 0b =0b =“为偶函数”的充分必要条件，故选C.()f x 【名师点睛】本题较易，注重基础知识、逻辑推理能力的考查.根据定义域为R 的函数为偶函数()f x 等价于恒成立进行判断.()=()f x f x -8．【2019年高考北京卷文数】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，是APB ∠锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B【解析】设圆心为O ，如图1，连接OA ，OB ，AB ，OP ，则，22AOB APB ∠=∠=β所以，22242OABS ⨯==扇形ββ因为，且都已确定，ABP AOBOAB S S S S=+-△△阴影扇形AOBOAB S S △扇形，所以当最大时，阴影部分面积最大.ABP S △观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时（如图2），阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π−β，面积S 的最大值为=4β+S △POB + S △POA =4β+ABP AOBOAB S S S S=+-△△阴影扇形|OP ||OB |sin （π−β）+|OP ||OA |sin （π−β）=4β+2sin β+2sin β=4β+4 sin β，故选B.1212【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.9．【2019年高考天津卷文数】已知函数是奇函数，且()sin()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><的最小正周期为π，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），()f x ()y f x =所得图象对应的函数为.若，则()g x 2π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．−2B ．2CD ．22【答案】C【解析】∵为奇函数，∴；()f x (0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=∵的最小正周期为π，∴，()f x 2ππ,T ∴==ω2ω=∴1()sin sin ,2g x A x A x ==ω又，π(4g =2A =∴，()2sin 2f x x =3π(8f =故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数，结合函数性质()g x 逐步得出的值即可.,,A ωϕ10．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数的最小值为___________．3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-【答案】4-【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+，23172(cos 48x =-++，当时，，1cos 1x -≤≤ ∴cos 1x =min ()4f x =-故函数的最小值为．()f x 4-【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视的限制，而cos x 1cos 1x -≤≤简单应用二次函数的性质，出现运算错误．11．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知ABC △b sin A +a cos B =0，则B =___________.【答案】3π4【解析】由正弦定理，得．，∴sin sin sin cos 0B A A B +=(0,),(0,)A B ∈π∈π sin 0,A ∴≠，即，sin cos 0B B +=tan 1B =-3.4B π∴=【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在范围内，化边(0,π)为角，结合三角函数的恒等变化求角．12．【2019年高考江苏卷】已知，则的值是 ▲ .tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】由，得，()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭23tan 5tan 20αα--=解得，或.tan 2α=1tan 3α=-πππsin 2sin 2cos cos 2sin444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)222222sin cos cos sin sin 2cos 2sin cos αααααααα⎫+-=+⎪+⎭，222tan 1tan tan 1ααα⎫+-⎪+⎭当时，上式tan 2α=2222212221⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭当时，上式=1tan 3α=-22112()1()2233[1()13⨯-+---+综上，π2sin 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原tan α问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.13．【2019年高考浙江卷】在中，，，，点在线段上，若ABC △90ABC ∠=︒4AB =3BC =D AC ，则___________，___________．45BDC ∠=︒BD =cos ABD ∠=【解析】如图，在中，由正弦定理有：，而,ABD △sin sin AB BD ADB BAC =∠∠3π4,4AB ADB =∠=，，所以5AC =34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 44ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.ABD △14．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知ABC △．sinsin 2A Ca b A +=（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）B =60°；（2）.33()【解析】（1）由题设及正弦定理得．sin sinsin sin 2A CA B A +=因为sin A 0，所以．≠sinsin 2A CB +=由，可得，故．180A B C ︒++=sincos 22A C B +=cos 2sin cos 222BB B=因为，故，因此B =60°．cos02B ≠1sin 22B =（2）由题设及（1）知△ABC 的面积．ABC S =△由正弦定理得．()sin 120sin 1sin sin 2C c A a C C ︒-===+由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故．122a <<ABC S <<△因此，△ABC 面积的取值范围是．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题.V ABC 15．【2019年高考北京卷文数】在△ABC 中，a =3，，cos B =．–2b c =12-（1）求b ，c 的值；（2）求sin （B +C ）的值．【答案】（1），；（27b =5c =33【解析】（1）由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-．2221323()2b c c =+-⨯⨯⨯-因为，2b c =+所以．2221(2)323()2c c c +=+-⨯⨯⨯-解得．5c =所以．7b =（2）由得．1cos 2B =-sin B =由正弦定理得．sin sin a A B b ==在中，．ABC △B C A +=π-所以sin()sin B C A +==【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．【2019年高考天津卷文数】在中，内角所对的边分别为.已知，ABC △,,A B C ,,a b c 2b c a +=.3sin 4sin c B a C =（1）求的值；cos B （2）求的值.sin 26πB ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】（1）；（2）.14-357+【解析】（1）在中，由正弦定理，得，ABC △sin sin b cB C =sin sin b C c B =又由，得，即．3sin 4sin c B a C =3sin 4sin b C a C =34b a =又因为，得到，．2b c a +=43b a =23c a =由余弦定理可得．222222416199cos 22423a a a a c b B ac a a +-+-===-⋅⋅（2）由（1）可得，从而，215sin 1cos B B =-=15sin 22sin cos B B B ==，故227cos 2cos sin 8B B B =-=-．71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=-⨯= ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．17．【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b，cos B =，求c 的值；23（2）若，求的值．sin cos 2A B ab =sin()2B π+【答案】（1）2c=【解析】（1）因为，23,3a c b B ===由余弦定理，得，即.222cos 2a c b B ac +-=23=213c =所以3c =（2）因为，sin cos 2A Bab =由正弦定理，得，所以.sin sin a b A B =cos sin 2B B b b =cos 2sin B B =从而，即，故.22cos (2sin )B B =()22cos 41cos B B =-24cos 5B =因为，所以，从而.sin 0B >cos 2sin 0B B =>25cos B =因此π25sin cos 2B B ⎛⎫+==⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.18．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+.【解析】解法一：（1）过A 作，垂足为E .AE BD ⊥由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，.'6, 8DE BE AC AE CD =====因为PB ⊥AB ，所以.84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==所以.12154cos 5BD PB PBD ===∠因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知，10AD ==从而，所以∠BAD 为锐角.2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设为l 上一点，且，由（1）知，B =15，1P 1PB AB ⊥1P 此时；11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=当∠OBP >90°时，在中，.1PPB △115PB PB >=由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.2222156321CQ QA AC =-=-=综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离321PQ =PD +CD +CQ =17+321因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.321解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为.34因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为，43-直线PB 的方程为.42533y x =--所以P （−13，9），.15PB ==因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：.36(44)4y x x =-+-……在线段AD 上取点M （3，），因为，15422221533454OM ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设为l 上一点，且，由（1）知，B =15，此时（−13，9）；1P 1PB AB ⊥1P 1P 当∠OBP >90°时，在中，.1PPB △115PB PB >=由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由，得a =Q （9），此时，线段QA 15(4)AQ a ==>4+4+上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （，9）时，d 最小，此时P ，Q两点间的距离4+.4(13)17PQ =+--=+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为（百米）.17+【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.19．【2019年高考浙江卷】设函数.()sin ,f x x x =∈R （1）已知函数是偶函数，求的值；[0,2),θ∈π()f x θ+θ（2）求函数的值域．22[([(124y f x f x ππ=+++【答案】（1）或；（2）．π2θ=3π233[1-【解析】（1）因为是偶函数，所以，对任意实数x 都有()sin()f x x θθ+=+，sin()sin()x x θθ+=-+即，sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+故，2sin cos 0x θ=所以．cos 0θ=又，因此或．[0,2π)θ∈π2θ=3π2（2）2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 2136212sin 22222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎫⎝⎭⎝⎭=+=--⎪⎪⎭．π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因此，函数的值域是．[1+【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.20．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知角的顶点在坐标原点，始边与α轴正半轴重合，终边经过点，则x (1)P cos 2=αAB ．13C ．D ．13-【答案】B【解析】因为角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，αx (21)P ，所以，26cos 21-==+α因此.故选B.21cos 22cos 13=-=αα【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.解答本题时，先由角的终边过点，求出，再由二倍角公式，即α(21)P -，cos α可得出结果.21．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学试题】已知，，则4cos 5=-α()π,0∈-απtan 4⎛⎫-=⎪⎝⎭αA ．B ．717C ．D ．17-7-【答案】C【解析】，∴，()4cos ,π,05a =-∈- αππ,2⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭α，33sin ,tan 54∴=-=αα则.故选C ．πtan 1tan 41tan -⎛⎫-= ⎪+⎝⎭ααα31143714-==-+【名师点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式及两角差的正切公式的简单应用，属于基础题．解答本题时，根据已知的值，结合同角三角函数关系式可求tan α，然后根据两角差的正切公式即可求cos α解．22．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月）数学文试题】已知函数的相π()sin()6f x x =+ω(0)>ω邻对称轴之间的距离为，将函数图象向左平移个单位得到函数的图象，则π2π6()g x ()g x =A ．B ．πsin()3x +πsin(23x +C ．D ．cos 2x πcos(23x +【答案】C【解析】由函数的相邻对称轴之间的距离为，得，即，π()sin()(0)6f x x =+>ωωπ2π22T =πT =所以，解得，2ππ=ω2=ω将函数的图象向左平移个单位，π()sin(26f x x =+π6得到的图象，故选C ．ππππ()sin[2()]sin 2cos 26636g x x x x⎛⎫=++=++= ⎪⎝⎭【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．解答本题时，首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用图象的平移变换的应用求出结果．23．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学试题】已知函数，()()sin f x A x =+ωϕ的部分图象如图所示，则使成立的的最小正值为π0,0,2A >><ωϕ()()0f a x f a x +--=aA ．B ．π12π6C ．D ．π4π3【答案】B【解析】由图象易知，，，即，且，即，2A =(0)1f =2sin 1=ϕπ2<ϕ6π=ϕ由图可知，所以，即，11π(0,12f =11ππ11ππsin()0,π,126126k k ⋅+=∴⋅+=∈Z ωω122,11k k -=∈Z ω又由图可知，周期，且，11π2π11π24,121211T >⇒>∴<ωω0>ω所以由五点作图法可知，2,2k ==ω所以函数，π()2sin(2)6f x x =+因为，所以函数关于对称，()()0f a x f a x +--=()f x x a =即有，所以可得，ππ2π,62a k k +=+∈Z ππ,26k a k =+∈Z 所以的最小正值为.a π6故选B.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，熟练运用三角函数的图象和周期对称性是解题的关键，属于中档题.解答本题时，先由图象，求出，可得函数的解析式，再由,,A ϕω()f x易知的图象关于对称，即可求得a 的值.()()0f a x f a x +--=()f x x a =24．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试数学试题】在中，，，分别为角，ABC △a b c A ，的对边，若的面积为，且，则B C ABC △S ()22a b c =+-πsin 4C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．1BCD【答案】D【解析】由，得，()2243S a b c =+-222143sin 22ab C a b c ab =+-+∵，∴，2222cos a b c ab C +-=3sin 2cos 2ab C ab C ab =+，即，则，cos 1C C -=π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π1sin 62C ⎛⎫-=⎪⎝⎭∵，∴，∴，即，0πC <<ππ5π666C -<-<ππ66C -=π3C =则，πππππππsin sin sin cos cos sin 4343434C ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3212622++=故选D ．【名师点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出的值以及利C 用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．解答本题时，根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出的值，然后利用两角和的正弦公式进行求解即可．C 25．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模）数学试题】在中，角，，的对边ABC △A B C 分别为，，，若，则角a b c 1a =cos )cos 0A C C b A ++=A =A ．B ．2π3π3C ．D ．π65π6【答案】D【解析】∵，1a=cos )cos 0A C C bA ++=，cos cos cos A C C A bA +=-，)cos A C B b A+==-，sin cos B b A =-，3sin sin cos A B B A =-∵，即，sin 0B >3cos A A =-3tan A =∵，∴.故选D ．(0,π)A ∈5π6A =【名师点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理，两角和的正弦公式即可，属于基础题．解答本，再由正弦定理得到3cos (3)cos 0A C C b A ++=3sin cos a B b A =-，结合，即可求得的值．3tan A =(0,π)A ∈A 26．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月）数学试题】在中，、、分别是内角、ABC △a b c A 、.BC 3cos sin (cos cos )b A A aC c A =+（1）求角的大小；A （2）若，，求的周长．a =ABC △ABC △【答案】（1）；（2）.π3A =【解析】（1，cos sin (cos cos )A A a C c A =+∴由正弦定理可得：，cos sin (sin cos sin cos )B A A A C C A =+sin sin()sin sin A A C A B =+=，cos B A sin sin A B =∵，sin 0B≠∴，tan A =∵，(0,π)A ∈∴．π3A =（2）∵，，，π3A =a =ABC △1353sin 2bc A ∴==∴，5bc =∴由余弦定理可得：，2222cos a b c bc A =+-即，解得：222212()3()15b c bc b c bc b c =+-=+-=+-33b c +=∴的周长为.ABC △3333a b c ++=+=【名师点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．（1，由3cos sin sin B A A B =，可求，结合，可求．sin 0B ≠tan 3A =(0,π)A ∈π3A =（2）利用三角形的面积公式可求，进而根据余弦定理可得，即可计算的5bc =b c +=ABC △周长的值．27．【北京市昌平区2019届高三5月综合练习（二模）数学试题】已知函数.1(=cos cos )+2f x x x x -）（1）求的值；π(3f（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．π[0,]2x ∈()2c f x c <<+c 【答案】（1）1；（2）.1(1,)2--【解析】（1）21(cos cos +2f x x x x -12cos 22x x -，π=sin(2)6x -所以.π(13f =（2）因为，π02x ≤≤所以，ππ5π2666x -≤-≤所以.1sin 226x π-≤-≤（）1由不等式恒成立，得，解得.()2c f x c <<+1221c c ⎧<-⎪⎨⎪+>⎩112c -<<-所以实数的取值范围为.c 1(1,)2--【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（1）首先整理函数的解析式，然后结合函数的解析式求解函数值即可；（2）首先求得函数在区间上的值域，然后结合恒成立的结论得到关于c 的不等式组，求解不()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦等式组可得c 的取值范围.。

2019高考数学(文)考前冲刺必刷卷：小题必刷卷8套解答题必刷卷3套解答必刷卷(二) 三角函数、解三角形

解答必刷卷(二)三角函数、解三角形
题组一真题集训
1.[2014·全国卷Ⅱ]四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=
2.
(1)求C和BD;
(2)求四边形ABCD的面积.
2.[2018·天津卷]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b sin A=a cos B-.
(1)求角B的大小;
(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.
3.[2016·四川卷]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.
(1)证明:sin A sin B=sin C;
(2)若b2+c2-a2=bc,求tan B.
题组二模拟强化
4.[2018·湖南三湘名校三联]如图J2-1,a,b,c分别为△ABC中角A,B,C的对边,∠ABC=,cos∠
ADC=,c=8,CD=2.
(1)求a的值;
(2)求△ADC的外接圆的半径R.
图J2-1
5.[2018·四川内江一模]△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b cos C+c sin B=0.
(1)求C;
(2)若a=,b=,点D在边AB上,CD=BD,求CD的长.
6.[2018·武汉武昌区5月调研]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知△ABC的外接圆半径R=,且tan B+tan C=.
(1)求B和b的值;
(2)求△ABC面积的最大值.。

2019年高三数学试题分类：解三角形

（北京市海淀区2019届高三4月期中练习（一模）数学文试题）10.在中，，则_______；_________.【答案】(1). 6(2).【解析】【分析】利用余弦定理可得c值，由平方关系得到，借助可得结果.【详解】解：由余弦定理，得：＝36，所以，c＝6，由得：，所以，＝【点睛】本题考查余弦定理，平方关系，以及三角形的面积公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键．（福建省2019届高三毕业班备考关键问题指导适应性练习（四）数学(文)试题）15.设锐角三角形的三个内角、、所对的边分别为、、，若，，则的取值范围为___________．【答案】【解析】【分析】由题意可得，且，解得A的范围，可得的范围，由正弦定理求得，根据的范围确定出b的范围即可.【详解】由，得，由，，故，所以，所以．【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，以及锐角三角形的条件，属于简单题目.（安徽省安庆市2019届高三模拟考试（二模）数学文试题）16.在中，为的外心，若，其中.则点的轨迹所对应图形的面积是__________．【答案】【解析】【分析】画出图形，根据余弦定理即可求出cos A，从而得出A，再根据正弦定理即可求出OB，据题意可知，点P的轨迹为以OB，OC为邻边的平行四边形及内部，从而可求出该轨迹所对应图形的面积．【详解】由余弦定理得，,所以.因此由题意知，点的轨迹对应图形是边长为的菱形,于是这个菱形的面积是故答案为：【点睛】考查正弦定理及余弦定理，向量加法的平行四边形法则，以及向量数乘的几何意义，考查三角形外心的应用，属于中档题．（广东省东莞市2019届高三第二学期第一次统考模拟考试文科数学试题）11.在中，，，则的最大值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理得出的外接圆直径，并利用正弦定理化边为角，利用三角形内角和关系以及两角差正弦公式、配角公式化简，最后利用正弦函数性质可得出答案．【详解】中，，，则，，其中由于，所以，所以最大值为．故选：A．【点睛】本题考查正弦定理以及两角差正弦公式、配角公式，考查基本分析计算能力，属于中等题．（广西梧州市、桂林市、贵港市等2019届高三（上）期末数学试题（文科））7.的内角A，B，C的对边分别为a，b，若，，，则A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】由,利用正弦定理可得,设，则，再利用余弦定理列方程求出，从而可得结果.【详解】,所以由正弦定理可得,设，则.由余弦定理得，解得（舍去），从而. 故选C.【点睛】本题考查了正弦、余弦定理的应用,属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）化简证明过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.（广西梧州市、桂林市、贵港市等2019届高三上学期期末理科数学试题）15.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则______．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理化简已知得到，利用余弦定理求得的值.【详解】，，，由正弦定理可得：，．故答案为：．【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属于基础题.（河南省郑州市2019年高三第二次质量检测数学（文）试题）15.在中，角所对的边分别为，且，，，，则_________.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理将已知条件角化边求得c，再利用余弦定理解得b即可.【详解】∵，由正弦定理可得c+2c=a，代入，，得到a=∴c=，又cos B，∴b．故答案为.【点睛】本题主要考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了计算能力，属于基础题．（吉林省吉林市普通中学2019届高中毕业班第三次调研测试数学（文科）试题）11.中，角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（）A. B. 4 C. D.【答案】C【解析】【分析】通过正弦定理化简表达式，利用余弦定理求出C的大小，进而利用余弦定理可求ab≤9，利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】∵，由正弦定理，得a2＝（a﹣b）b+c2，即a2+b2﹣c2＝ab．①由余弦定理得cos C，结合0＜C＜π，得C．∵c＝4，∴由余弦定理可得：16＝a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab＝ab，当且仅当a＝b等号成立，∴S△ABC，即△ABC面积的最大值为．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理与余弦定理的应用，考查了重要不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．（江苏省七市2019届(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三第二次调研考试数学试题）9.在△ABC中，已知C = 120°，sinB = 2 sinA，且△ABC的面积为，则AB的长为____．【答案】【解析】【分析】由sinB＝2sinA，利用正弦定理可得：b＝2a．可得S△ABC，解得a，b,再利用余弦定理可得AB【详解】在△ABC中，由sinB＝2sinA，利用正弦定理可得：b＝2a．∴S△ABC，解得a．∴b＝4．∴c2＝b2+a2﹣2bacosC＝16+4﹣2cos120°＝28，解得c,即AB=故答案为【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（山东省济南市2019届高三3月模拟考试数学（文）试题）6.在中，，，，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件可利用余弦定理将边求出，再将求出，利用三角形面积公式求出答案.【详解】在中，由余弦定理得,,整理得解得（舍）由,可得故选A项.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.（山东省泰安市2019届高三一轮复习质量检测数学（理）试题）10.在中，三边长分别为，，最小角的余弦值为，则这个三角形的面积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设最小角为α，故α对应的边长为a，然后利用余弦定理化简求解即可得a的值，再由三角形面积公式求解即可．【详解】设最小角为α，故α对应的边长为a，则cosα，解得a＝3．∵最小角α的余弦值为，∴．∴．故选：A．【点睛】本题考查余弦定理，考查三角形面积公式的应用，是基础题．（四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试文科数学试题）4.中，.其中分别为内角的对边，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得的大小.【详解】由正弦定理得，即，即，由于为三角形内角，故.所以选B.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值.（山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题）6.在中，，，的面积为则A. 13B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知利用三角形的面积公式可求的值，进而根据余弦定理可求的值．【详解】，，的面积为解得：，由余弦定理可得：本题正确选项：【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．（山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题）14.在中，，，，则的角平分线，则______．【答案】【解析】【分析】由已知及正弦定理可求，可得，利用三角形内角和定理及已知可求，进而可求的值，在中，由正弦定理即可解得的值．【详解】中，，，由正弦定理可得：，为的角平分线，在中，由正弦定理可得：本题正确结果：【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．（广东省揭阳市2019届高三一模数学（理科）试题）11.已知△ABC中，AB=AC=3，，延长AB到D使得BD=AB，连结CD，则CD的长为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据正弦定理化角为边，解得BC，再根据余弦定理列方程解得CD.【详解】因为，所以即，因为BD=AB，所以,选C.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.（陕西省四校联考2019届高三12月模拟数学试卷（文科）试题）7.在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，则角A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，可得，结合余弦定理即可得到B的大小.【详解】由，可得，根据余弦定理得，∵，∴．故应选B．【点睛】对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住，，等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.（江西省红色七校2019届高三第一次联考数学（文）试题）10.的内角的对边分别为，已知，，，则角A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式，结合范围，可求的值，进而根据正弦定理可得的值，结合大边对大角可求C为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求解．【详解】，由正弦定理可得：，又，可得：，可得：，，，可得：，又，，由正弦定理可得：，，C为锐角，．故选：D．【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．（江西省上饶市2019届高三第二次模拟考试数学（理）试题）16.在中，，是的平分线，且，则实数的取值范围_____.【答案】【解析】由三角形角平分线性质知：BD=3DC,不妨设AC=1,则AB=3,AD=m.在和中，由余弦定理得：又。

2019高三数学三角函数、解三角形章末复习测试语文

第五章：三角函数 章末测试(解析版)

2019年高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式增分练

2019届高考数学(文)大一轮：第3章 三角函数、解三角形 第3节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数学案 文(含解