河北省唐山市2017届高三第三次模拟考试数学理(含答案)word版

河北唐山市 2017届高三第三次模拟
数学（理）试题
说明：
一、本试卷共4面，包括三道大题，24道小题，共150分，其中（1）～（21）小题为
必做题，（22）～（24）小题为选做题。

二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。

三、做选择题时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑，如
需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案。

四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回。

参考公式：
样本数据12,,n x x x 的标准差
锥体的体积公式13
v sh =
s =
其中S 为底面面积，h 为高
其中x 为样本平均数 球的表面积、体积公式
234
4,3
s R V R ππ==
柱体的体积公式V sh = 其中R 为球的半径
其中S 为底面面积，h 为高
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，有且
只有一项是符合题目要求的。

1．复数43(2)
i
i +=-
（ ）
A ．1
B ．－1
C ．i
D ．－i 2．函数3
1
()(2)()2
x
f x x =+-的零点所在的一个区间是 （ ）
A ．（－2，－1）
B ．（－1，0）
C ．（0，1） `
D ．（1，2）
3．已知随机变量X 服从正态分布N 2
(1,)σ，若P （X≤2）=0.72，则P(X≤0)=
A ．0.22
B ．0.28
C ．0.36
D ．0.64
4．执行右面的程序框图，若输出的k=2，则输入x 的取值范围是（ ） A ．（21，41） B ．（21，41） C ．（21，41） D ．（21，41）
5．从6名学生中选3名分别担任数学、物理、化学科代表，若甲、乙2人
至少有一人入选，则不同有方法有 （ ） A ．40种 B ．60种 C ．96种 D ．120种
6． 六棱柱'''''''
ABCDEF A B C D E F -的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，且侧棱
长等于底面边长，则直线''B D 与'EF 所成角的余弦植为（ ）
A
B
C ．
14
`D ．
34
7．设a 、b R ∈，则“a>1且0<b<1”是“a－b>0且a
b
>1”成立的 （ ）
A ．充分面不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分且必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．函数2sin()cos()36
y x x ππ
ππ=+++的一个单调增区间是 （ ）
A ．21[,]33
-
B ．511[,]66
C ．14[,]33
D ．15
[,]66
-
9．等差数列{}n a 的前n 项和为17510,100,5770,n t S a S S S =-==已知且则
A ．100
B ．50
C ．0
D ．－50
10．椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右顶点为A 、B ，点P 是C 上不与A 、B 重合的任
意一点，设∠PAB=a，∠PBA=β，则 （ ）
A ．sin cos a β<
B ．sin cos a β>
C ．sin cos a β=
D ．sin cos a β与的大小不确定
11．函数22(),()1,(()(())[,](0)f x x g x og x f g x g f x a b a b ==<<若与的定义域都为，
值域相同，则 （ ） A ．1,4a b == B ．1,1a b =≤
C ．1,4a b ≥≤
D ．1,4a b ≥=
12．动点P （x ，y ）满足1,
25,3,y x y x y ≥⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
点Q 为（1，－1），O 为坐标原点，||OP OP OQ λ=⋅ ，
则λ的取值范围是（ ） A
．[ B
． C
．[ D
．[
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．经过点（3，0），离心率为
5
3
的双曲线的标准方程为 。

14．由直线x=1，y=1－x 及曲线y=e x
围成的封闭图形的面积为 。

15．四棱台的正视图和侧视图都是如图所示的等腰梯形，
它的表面积等于 16．设121121,,,32o o a a a a a a = 成等比数列,且，
记12101210111,,x
x a a a y a a a y
=+++=+++= 则
三、解答题：本大题共8小题，共70分。

（17～（21）小题为必做题，（22）～（24）小题
为选做题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
如图，为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离，观察者 找到一个点C ，从C 点可以观察到点A 、B ；找到一个点D ， 从D 点可以观察到点A 、C ：找到一个点E ，从E 点可以观察 到点B 、C 。

并测得以下数据：CD=CE=100m ，∠ACD=90°， ∠ACB=45°，∠BCE=75 °，∠CDA=∠CEB=60°，求A 、B 两 点 之间的距离。

18．（本小题满分12分）
金融机构对本市内随机抽取的20家微小企业的产业结构调整及生产经营情况进行评估，根据得分将企业评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级，金融机构将根据等级对企业提供相应额度的资金支持。

（1）在答题卡上．．．．．作出频率分布直方图，并由此估计该市微小企业所获资金支持的均值；
（2）从上述20家企业中随机抽抽取2家，设这2家企业获得资金支持的总额．．为X 千万．．
元．
，求X 的分布列和均值E （X ）。

19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AB=2BC=2CD=2。

（1）求证：平面PBC⊥平面PAB ；
（2）若二面角B －PC －D
的余弦值为 四棱锥P —ABCD 的体积。

20．（本小题满分12分）
抛物线2:C y x =在点P 处的切线l 分别交x 轴、y 轴于不同的两点A 、B ，
12
AM MB =。

当点P 在C 上移动时，点M 的轨迹为D 。

（1）求曲线D 的方程：
（2）设直线l 与曲线D 的另一个交点为N ，曲线D 在点M 、N 处的切线分别为m 、n
直线m 、n 相交于点Q ，证明：PQ 平行于x 轴。

21．（本小题满分12分） 已知函数(1)1()(0,1)1
x nx
f x x x x +=
>≠-且。

（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）证明：() 2.f x >
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲
如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=8，AB=10，O 为BC 上一点，以O 为圆心，OB 为半径作半圆与BC 边、AB 边分别交于点D 、E ，连接DE 。

（1）若BD=6，求线段DE 的长；
（2）过点E 作半圆O 的切线，交AC 于点F ， 证明：AF=EF 。

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的
长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为2(cos sin )p θθ=+。

（1）求C 的直角坐标方程：
（2）直线l
：1,2(1x l l y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩为参数）与曲线C 交于A 、B 两点，与y 轴交于E ，求
||||.EA EB +
24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲 设()|3||4|.f x x x =-+- （1）解不等式()2f x ≤；
（2）若存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围。

参考答案
一、选择题：
A 卷：ABDCC BADBA AD
B 卷：CBBD
C AABCA
AD
二、填空题：
（13）x 29－y 2
16
＝1
（14）e － 3
2
（15）20＋12 5 （16）2
三、解答题： （17）解：
连结AB ． 在△ACD 中，
CD ＝100m ，∠ACD ＝90︒，∠CDA ＝60︒，
则AC ＝CD tan 60︒＝1003m ； …4分 在△BCE 中，
CE ＝100m ，∠BCE ＝75︒，∠CEB ＝60︒，
则∠CBE ＝45︒，BC ＝CE sin 60︒
sin 45︒
＝506m ；…8分
在△ABC 中，
AC ＝1003m ，BC ＝506m ，∠ACB ＝45︒，
则AB ＝AC 2＋BC 2
－2AC ·BC cos 45︒＝506m ． 故A 、B 两点之间的距离为506m ．
…12分
（18）解：
（Ⅰ）频率分布直方图如下：
估计企业所获资金支持的均值为
x -＝0×320＋1×820＋3×620＋6×320
＝2.2（千万元）．
…4分
（Ⅱ）X 的可能值为0，1，2，3，4，6，7，9，12．
P (X ＝0)＝C 23 C 220＝3190，P (X ＝1)＝C 13C 18 C 220＝24
190，
P (X ＝2)＝C 28 C 220＝28190，P (X ＝3)＝C 13C 16 C 220＝18
190
，
得分
D
C
A
B
E
P (X ＝4)＝C 18C 16 C 220＝48190，P (X ＝6)＝C 13C 13＋C 2
6 C 2
20＝24
190， P (X ＝7)＝C 18C 13 C 220＝24190，P (X ＝9)＝C 16C 13 C 220＝18
190，
P (X ＝12)＝C 23 C 220＝3
190
． …8分
X 的分布列为
10分 E (X )＝(0＋12)×190＋(1＋6＋7)×190＋2×190＋(3＋9)×190＋4×48
190
＝4.4（千万元）． …12分
（19）解：
（Ⅰ）∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，
∴PA ⊥BC ，
又AB ⊥BC ，PA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面PAB ， ∵BC ⊂平面PBC ，
∴平面PBC ⊥平面PAB ． …4分 （Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴、AP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A —xyz ．
则B (2，0，0)，C (2，1，0)，D (1，1，0)．
设P (0，0，a )（a ＞0），
则BC →＝(0，1，0)，PC →＝(2，1，－a )， DC →＝(1，0，0)
…6分
设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为面BPC 的一个法向量，
则n 1·BC →＝n 1·PC →＝0， 即⎩⎨⎧y 1＝0，2x 1＋y 1－az 1＝0，取x 1＝a ，y 1＝0，z 1＝2，得n 1＝(a ，0，2)．
同理，n 2＝(0，a ，1)为面DPC 的一个法向量．
…9分
依题意，|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝2(a 2＋4)(a 2
＋1)＝2
3， 解得a 2
＝2，或a 2
＝－7（舍去），所以a ＝2．
故四棱锥P —ABCD 的体积 V ＝ 1 3· 1 2(AB ＋CD )·BC ·PA ＝2
2
．
…12分
（20）解：
（Ⅰ）对y ＝x 2
求导，得y '＝2x ．
设点P (x 0，x 20)（x 0≠0），则直线l 方程为y －x 2
0＝2x 0(x －x 0)，
在l 方程中分别令y ＝0，x ＝0，得A
(x 0
2，0)、B (0
，－x 2
)．
…3分
设M (x ，y )，AM →＝ 1 2MB →即(x －x 0 2，y )
＝ 1
2
(－x ，－x 20－y )，由此得
x 0＝3x ，x 20＝－3y ，
消去x 0，得曲线D 的方程为y ＝－3x 2
（x ≠0）．
…6分
（Ⅱ）将y ＝－3x 2
代入直线l 方程，并整理得 3x 2＋2x 0x －x 2
0＝0，
由（Ⅰ）知，M
(x 03，－x 20
3)，设N (x 1
，－3x 21
)，
则x 03·x 1＝－x 20
3
，x 1＝－x 0．
…9分
对y ＝－3x 2
求导，得y '＝－6x ，
于是直线m 、n 的方程分别为y ＋x 20
3＝－2x 0(
x －x 0
3)
和y ＋3x 2
0＝6x 0(x ＋x 0)，
即y ＝－2x 0x ＋x 20
3
和y ＝6x 0x ＋3x 2
0，
由此得点Q 纵坐标为x 2
0，故PQ 平行于x 轴． …12分
（21）解：
（Ⅰ）f '(x )＝－2ln x ＋x －
1
x
(x －1)
2
． …2分
设g (x )＝－2ln x ＋x － 1
x
，
则g (1)＝0，且g '(x )＝(x －1)
2
x
2
≥0，g (x )在(0，＋∞)单调递增． 当x ∈(0，1)时，g (x )＜0，从而f '(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＞0，从而f '(x )＞0，f (x )单调递增． 因此，f (x )在(0，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增．
…6分
（Ⅱ）原不等式就是(x ＋1)ln x x －1 －2＞0，即x ＋1x －1[ln x －2(x －1)
x ＋1]
＞0．
令h (x )＝ln x －2(x －1)
x ＋1
，
则h (1)＝0，则h '(x )＝(x －1)
2
x (x ＋1)2
≥0，h (x )在(0，＋∞)单调递增． …9分
当x ∈(0，1)时，h (x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＞0．
所以当x ＞0，且x ≠1时，f (x )＞2． …12分 （22）解：
（Ⅰ）∵BD 是直径，∴∠DEB ＝90º， ∴BE BD ＝BC AB ＝ 4 5，∵BD ＝6，∴BE ＝ 24
5
， 在Rt△BDE 中，DE ＝BD 2－BE 2
＝ 18 5
． …5分
（Ⅱ）连结OE ，∵EF 为切线，∴∠OEF ＝90º， ∴∠AEF ＋∠OEB ＝90º，
又∵∠C ＝90º，∴∠A ＋∠B ＝90º，又∵OE ＝OB ，∴∠OEB ＝∠B ， ∴∠AEF ＝∠A ，∴AF ＝EF ． …10分
（23）解：
（Ⅰ）在ρ＝2(cos θ＋sin θ)中，两边同乘以ρ，
C
A
B
E
O F
得ρ2
＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，
则C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2
＝2． …4分
（Ⅱ）将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得t 2
－t －1＝0， 点E 对应的参数t ＝0，设点A 、B 对应的参数分别为t 1、t 2，则 t 1＋t 2＝1，t 1t 2＝－1，
|EA |＋|EB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2
－4t 1t 2＝5． …10分 （24）解：
（Ⅰ）f (x )＝|x －3|＋|x －4|＝⎩
⎪⎨⎪⎧7－2x ，x ＜3，
1，
3≤x ≤4，2x －7，x ＞4． …2分 作函数y ＝f (x )的图象，它与直线y ＝2交点的横坐标为 5 2和 9
2
，由图象知
不等式f (x )≤2的解集为[ 5 2， 9
2
]
． …5分
（Ⅱ）函数y ＝ax －1当且仅当函数y ＝f (x )与直线y ＝ax －1有公共点时，存在题设的x ．
由图象知，a 取值范围为(－∞，－2)∪[ 1
2
，＋∞)
． …10分
＝ 1 2。