【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,必修3)练习：综合能力测试3]
【成才之路】高中数学 第1章 统计基础知识测试 北师大版必修3
【成才之路】2014-2015学年高中数学第1章统计基础知识测试北师大版必修3本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
时间120分钟，满分150分。
第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列哪种工作不能使用抽样方法进行( )A．测定一批炮弹的射程B．测定海洋水域的某种微生物的含量C．高考结束后，国家高考命题中心计算数学试卷中每个题目的难度D．检测某学校全体高三学生的身高和体重的情况[答案] D[解析] 抽样是为了用总体中的部分个体(即样本)来估计总体的情况，选项A、B、C 都是从总体中抽取部分个体进行检验，选项D是检测全体学生的身体状况，所以，要对全体学生的身体都进行检验，而不能采取抽样的方法．2．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位：克)：125 120 122 105 130 114 116 95 120 134则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为( )A．0.2 B．0.3C．0.4 D．0.5[答案] C[解析] 该题考查频率的计算公式．属基础题．在[114.5,124.5]范围内的频数m＝4，样本容量n＝10，∴所求频率410＝0.4.3．①某学校高二年级共有526人，为了调查学生每天用于休息的时间，决定抽取10%的学生进行调查；②一次数学月考中，某班有12人在100分以上，30人在90～100分，12人低于90分，现从中抽取9人了解有关情况；③运动会工作人员为参加4×100 m接力的6支队安排跑道．就这三个事件，恰当的抽样方法分别为( )A．分层抽样、分层抽样、简单随机抽样B．系统抽样、系统抽样、简单随机抽样C．分层抽样、简单随机抽样、简单随机抽样D．系统抽样、分层抽样、简单随机抽样[答案] D[解析] ①中人数较多，可采用系统抽样；②适合用分层抽样；③适合于简单随机抽样.4．某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样方法，抽出一个容量为n 的样本，样本中A 型号的产品有16件，则此样本的容量n 等于( )A ．100B ．200C ．90D ．80[答案] D [解析]16n＝22＋3＋5，得n ＝80.5．一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2，则样本平均值约为( ) A ．4.55 B ．4.5 C ．12.5 D ．1.64[答案] A[解析] 样本平均值为4×3＋3×2＋5×4＋2×63＋2＋4＋2＝5011≈4.55.6．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )1 2 5 2 0 2 3 3 3 1 2 4 4 8 9 4 5 5 5 7 7 8 8 9 5 0 0 1 1 4 7 9 6 1 7 8A.46,45,56 B ．46,45,53 C ．47,45,56 D ．45,47,53 [答案] A[解析] 本题考查了茎叶图的应用及其样本的中位数、众数、极差等数字特征，由茎叶图可知，中位数为46，众数为45，极差为68－12＝56.在求一组数据的中位数时，一定不要忘记先将这些数据排序再判断．7．某市场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为( )A ．6万元B ．8万元C ．10万元D ．12万元[答案] C[解析] 设11时至12时的销售额为x 万元，因为9时至10时的销售额为2.5万元，依题意得0.10.4＝2.5x，得x ＝10万元．8．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x A ．y ＝x －1 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝88＋12xD ．y ＝176[答案] C[解析] 本题主要考查线性回归方程以及运算求解能力．利用公式求系数．x ＝174＋176＋176＋176＋1785＝176，y ＝175＋175＋176＋177＋1775＝176，b ＝ni ＝1x i －xy i －yni ＝1x i －x 2＝12，a ＝y －b x ＝88， 所以y ＝88＋12x .9．(2014·山东理，7)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．6B ．8C ．12D ．18[答案] C[解析] 本题考查频率分布直方图的识读． 第一、二两组的频率为0.24＋0.16＝0.4 ∴志愿者的总人数为200.4＝50(人)．第三组的人数为：50×0.36＝18(人) 有疗效的人数为18－6＝12(人)频率分布直方图中频率与频数的关系是解题关键．10．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3 [答案] D[解析] 解法一：A 中，若连续10天甲地新增疑似病例数据分别为x 1＝x 2＝x 3＝x 4＝0，x 5＝x 6＝x 7＝x 8＝x 9＝4，x 10＝10，此时总体均值为3，中位数为4，但第10天新增疑似病例超过7，故A 错；B 中，若x 1＝x 2＝x 3＝x 4＝x 5＝x 6＝x 7＝x 8＝x 9＝0，x 10＝10，此时，总体均值为1，方差大于0，但第10天新增疑似病例超过7，故B 错；C 中，若x 1＝x 2＝x 3＝x 4＝0，x 5＝1，x 6＝3，x 7＝3，x 8＝3，x 9＝8，x 10＝9，此时，中位数为2，众数为3，但第9天、第10天新增疑似病例超过7，故C 错，故选D.解法二：由于甲地总体均值为3，中位数为4，即中间天数(第5、6天)人数的平均数为4，因此后面的人数可以大于7，故甲地不符合；乙地中总体均值为1，因此这10天的感染人数总和为10，又由于方差大于0，故这10天中不可能每天都是1，可以有一天大于7，故乙地不符合．丙地中位数为2，众数为3,3出现的最多，并且可以出现8，故丙地不符合．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．某班级有52名学生，要从中抽取10名学生调查学习情况，若采用系统抽样方法，则此班内每个学生被抽到的机会是________．[答案]526[解析] 采用系统抽样，要先剔除2名学生，确定间隔k ＝5，但是每名学生被剔除的机会一样，故虽然剔除了2名学生，这52名学生中每名学生被抽到的机会仍相等，且均为1052＝526. 12．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图所示)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2 500,3 000)(元)月收入段应抽出________人．[答案] 25[解析] 样本数据在[2 500,3 000]内的频率为0.0005×500＝0.25. 故应抽出100×0.25＝25(人)．13．青年歌手大奖赛共有10名选手参赛，并请了7名评委，如图所示的茎叶图是7名评委给参加最后决赛的两位选手甲、乙评定的成绩，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙选手剩余数据的平均成绩分别为________.[答案] 84.2,85[解析] 甲的成绩是75,78,84,85,86,88,92，去掉一个最高分92和一个最低分75后，则甲的平均成绩为84.2；乙的成绩是79,84,84,84,86,87,93，去掉一个最高分93和一个最低分79后，则乙的平均成绩为85.14．某地区有农民、工人、知识分子家庭共计2 004家，其中农民家庭1 600户，工人家庭303户．现要从中抽出容量为40的样本进行年人均收入的调查，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样方法中的________．(将你认为正确的选项的序号都填上)①简单随机抽样 ②系统抽样 ③分层抽样 [答案] ①②③[解析] 显然要用分层抽样．由于抽样比不是整数，先剔除4人，要用简单随机抽样——借助随机数表，各类家庭中抽样可用系统抽样．15．某地为了了解该地区10 000户家庭的用电情况，采用分层抽样的方法抽取了500户家庭的月平均用电量，并根据这500户家庭的月平均用电量画出频率分布直方图(如图所示)，则该地区10 000户家庭中月平均用电度数在[70,80]的家庭有________户．[答案] 1 200[解析] 由频率分布直方图可得，月平均用电度数在[70,80]的家庭占总体的12%，所以共有10 000×12%＝1 200户．三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)某公司为了了解一年内用水情况，抽查了10天的用水量如下表：(1)这10天中，该公司每天用水的平均数是多少？ (2)这10天中，该公司每天用水的中位数是多少？(3)你认为应该使用平均数和中位数中哪一个数来描述该公司每天的用水量？ [解析] (1)x ＝22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×9510＝51(t)．(2)中位数＝41＋442＝42.5(t)．(3)用中位数42.5t 来描述该公司的每天用水量较合适．因为平均数受极端数据22,95的影响较大．17．(本小题满分12分)某学校青年志愿者协会共有250名成员，其中高一学生88名，高二学生112名，高三学生50人，为了了解志愿者活动与学校学习之间的关系，需要抽取50名学生进行调查．试确定抽样方法，并写出过程.[解析] 分三种情况抽样：(1)简单随机抽样，每位同学被抽取的概率为15.(2)系统抽样，将250名同学编号001～250，编号间隔5个，将其分成50个小组，每个小组抽取1人，相邻组抽取的编号也间隔5.(3)分层抽样，高一抽取18个，高二抽取22个，高三抽取10个．18．(本小题满分12分)国家队教练为了选拔一名篮球队员入队，分别对甲、乙两名球员的10场同级别比赛进行了跟踪，将他们的每场得分记录如下表：(2)甲球员得分在区间[30,50)的频率是多少？(3)如果你是教练，你将选拔哪位球员入队？请说明理由． [解析] (1)由题表画出茎叶图，如下图所示.甲球员得分的中位数为2＝37.5，极差为56－10＝46；乙球员得分的中位数为20＋342＝27，极差为51－9＝42.(2)甲球员得分在区间[30,50)的频率为510＝12.(3)如果我是教练，我将选拔甲球员入队，原因如下：甲球员得分集中在茎叶图的下方，且叶的分布是“单峰”，说明甲球员得分平均数接近40，甲球员得分的中位数为37.5分，且状态稳定；而乙球员得分较分散，其得分的中位数为27分，低于甲球员，平均得分也小于甲球员．19．(本小题满分12分)为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：千克)，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图所示)．(1)在频率分布表中填写相应的频率；(2)估计数据落在[1.15，1.30)中的概率为多少；(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数．[解析] (1)根据频率分布直方图可知，频率＝组距×频率组距故可得下表：(2)0.30＋0.15＋0.02＝0.47，所以数据落在[1.15，1.30)中的概率约为0.47. (3)120×1006＝2000.所以水库中鱼的总条数约为2000条．20．(本小题满分13分)两台机床同时生产直径为10的零件，为了检验产品质量，质量检验员从两台机床的产品中各抽出4件进行测量，结果如下：的零件质量更符合要求？[解析] ①x 甲＝14(10＋9.8＋10＋10.2)＝10，x 乙＝14(10.1＋10＋9.9＋10)＝10，由于x 甲＝x 乙，因此，平均直径反映不出两台机床生产的零件的质量优劣． ②s 2甲＝14[(10－10)2＋(9.8－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝0.02，s 2乙＝14[(10.1－10)2＋(10－10)2＋(9.9－10)2＋(10－10)2]＝0.005.这说明乙机床生产出的零件直径波动小，因此，从产品质量稳定性的角度考虑，乙机床生产的零件质量更符合要求．21．(本小题满分14分)某个体服装店经营某种服装在某周内获纯利y (元)与该周每天销售这种服装件数x 之间有如下一组数据：(1)求x ，y ；(2)画出散点图，并用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程； (3)估计每天销售10件这种服装时可获纯利润多少元？ [解析] (1)由已知得x ＝17(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6.y ＝17(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)≈79.86.(2)散点图如图所示，∑i ＝17x 2i ＝280，∑i ＝17x i y i ＝3 487.设回归直线方程为y ＝bx ＋a ，则b ＝∑i ＝17x i y i －7x y∑i ＝17x 2i －7x 2＝3 487－7×6×79.86280－7×62≈4.75， a ＝y －b x ＝79.86－4.75×6＝51.36.∴所求回归直线方程为y ＝4.75x ＋51.36.(3)当x ＝10时，y ＝98.86，估计每天销售这种服装10件可获纯利98.86元．。
【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修2-3)练习：第1章 1 计数原理]
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第一章§1一、选择题1．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则x·y可表示成不同的值的个数是()A．1＋1＝2 B．1＋1＋1＝3C．2×3＝6 D．3×3＝9[答案] D[解析]因为按x、y在各自的取值集合中各选一个值去做积这件事，可分两步完成：第一步，x在集合{2,3,7}中任取一个值有3种方法；第二步，y在集合{－31，－24,4}中任取一个值有3种方法．根据分步乘法计数原理有3×3＝9个不同的值．故选D.2．(2014·陕西宝鸡中学高二期末)图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取一本书，共有()种不同的取法．()A．120 B．16C．64 D．39[答案] B[解析]由分类加法计数原理知，共有不同取法3＋5＋8＝16种．3．一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种类共有()A．6种B．8种C．36种D．48种[答案] D[解析]参观路线分步完成：第一步选择三个“环形”路线中的一个，有3种方法，再按逆时针或顺时针方向参观有2种方法；第二步选择余下两个“环形”路线中的一个，有2种方法，也按逆时针或顺时针方向参观有2种方法；最后一个“环形”路线，也按逆时针或顺时针方向参观有2种方法．由分步计数原理知，共有3×2×2×2×2＝48(种)方法．二、填空题4．有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有________种不同的取法．[答案]242[解析]任取两本不同的书，有三类：(1)取数学、语文各一本，(2)取语文、英语各一本，(3)取数学、英语各一本．然后求出每类取法，利用分类加法计数原理即可得解．取两本书中，一本数学、一本语文，根据分步乘法计数原理有10×9＝90种不同取法；取两本书中，一本语文、一本英语，有9×8＝72种不同取法；取两本书中，一本数学、一本英语，有10×8＝80种不同取法．综合以上三类，利用分类加法计数原理，共有90＋72＋80＝242种不同取法．故填242.5．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成“正交线面对”的个数是________．[答案]36[解析]用分类加法计算原理：第一类，正方体的一条棱与面有两个“正交线面对”，共有24个；第二类，正方体的一条面对角线与对角面有一个“正交线面对”，共有12个．所以共有“正交线面对”的个数是24＋12＝36.三、解答题6．从1到200的这二百个自然数中，各个位数上都不含数字8的共有多少个？[分析]本题涉及分类加法计数原理与分步乘法计数原理，在分类中又包含分步，“类”、“步”交融，应注意根据所学知识认真分析，及对于一些“步”中分类的问题要学会具体对待．[解析]应分三类来解决该问题．第一类：一位数中除8以外符合要求的数有8个；第二类：二位数中，十位数除0、8以外有8种选法，而个位数除8以外有9种选法，故二位数中符合要求的数有8×9＝72(个)；第三类：三位数中①百位数为1，十位数和个位数上的数字除8以外都有9种选法，故三位数中，百位数为1的符合要求的数有9×9＝81(个)．②百位数为2的只有200这一个符合要求，∴三位数中符合要求的数有81＋1＝82(个)．由分类加法计数原理，符合要求的数字共有N＝8＋72＋82＝162(个)．[点评]考虑问题的原则是先分类而后分步，要注意在分类(或分步)时，必须做到不重不漏.一、选择题1．从集合{1,2,3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程x2m2＋y2n2＝1中的m和n，则能组成落在矩形区域B＝{(x，y)||x|<11，且|y|<9}内的椭圆的个数为() A．43个B．72个C．86个D．90个[答案] B[解析]由题意，m可能的取值为1,2，…，10；n可能的取值为1,2，…，8，先确定m 有10种方法，再确定n有8种方法，按分步计数原理共有80种方法，但其中包括m＝n的情况共8种，故能组成落在矩形区域内的椭圆个数为72个．故选B.2．四个同学，争夺三项冠军，冠军获得者可能有的种类是()A．4B．24C．43D．34[答案] C[解析]依分步乘法计数原理，冠军获得者可能有的种数是4×4×4＝43.故选C.3．(2014·安徽理，8)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()A．24对B．30对C．48对D．60对[答案] C[解析]如图，上底面的一条对角线为例共4对，这样的对角线共12条，∴共有12×4＝48对．本题也可以用排除法，C212－6－12求得．4．2014年南京青奥会火炬传递在A，B，C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离(单位：百公里)见下表．若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是()A.20.6C．22 D．23[答案] B[解析]由于“以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次”，并且求“最短路线的距离”，由选项判断，A中20.6在表中只有C和E之间的距离8.6是出现小数部分的，故CE是必定经过的路线，又因为A为起点，E为终点，故如果A正确，那么线路必须是：1.A－B－D－C－E或2.A－D－B－C－E，进行验证：线路1的距离和为5＋6＋9＋8.6＝28.6，故线路1不符合；线路2的距离之和为5＋6＋7＋8.6＝26.6，线路2也不符合，故排除A；再验证选项B，发现线路A－C－D－B－E的距离之和为4＋9＋6＋2＝21符合，故选B.5．方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有()A．60条B．62条C．71条D．80条[答案] B[解析]本题考查抛物线、计数原理．由题意知a≠0，且b≠0，下面分2类：若c＝0，ay＝b2x2，不同抛物线有5×4－6＝14条，若c≠0，不同抛物线有5×4×3－12＝48，共48＋14＝62条．分类要全面，要不重不漏．二、填空题6．若一个m，n均为非负整数的有序数对(m，n)在做m＋n的加法时各位均不会进位，则称(m，n)为“简单的”有序数对，m＋n称为有序数对(m，n)的值，那么值为1942的“简单的”有序数对的个数是________．[答案]300[解析]由题意可知m＋n＝1942，当m，n中一个数确定时，另一个数也就唯一确定了，所以不妨设m＝1000x1＋100x2＋10x3＋x4，则x1有2种不同取法，x2有10种不同取法，x3有5种不同取法，x4有3种不同取法，所以所求的有序数对的个数为2×10×5×3＝300.7.如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种(用数字作答)．[答案]390[解析]给四个格子编号如答图所示，由题意①号格子有6种不同涂色方法，②号格子有5种不同的涂色方法，若③号格子与①号格子同色，则④号格子有5种不同涂色方法(可以与②号同色)，由乘法原理有6×5×5＝150(种)涂色方法；若③号格子与①号格子不同色，则③号格子有4种不同涂色方法，此时④号格子只能与①号或②号同色，因而有2种涂色方法，由乘法原理有6×5×4×2＝240(种)涂色方法，最后由加法原理共有150＋240＝390(种)不同的涂色方法，故填390.三、解答题8．甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，再各取1张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？[分析]由题目可获取以下主要信息：①有4个人、4张贺卡；②取别人写的贺卡．解答本题可根据自己写的卡的情况，最简捷的办法是用分步乘法计数原理设计完成这件事的步骤．[解析]方法一(枚举法)：(1)甲取得乙卡，分配方案如表．此时乙有甲、丙、丁3种取法．若乙取甲的卡，则丙取丁的、丁取丙的，若乙取丙的卡，则丙取丁的，丁取丙的，故有3种分配方案．(2)甲取得丙卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取贺卡如下：丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲．(3)甲取得丁卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取贺卡如下：丁甲乙丙、乙丙甲乙、丁丙乙甲．由分类加法计数原理，共有N＝3＋3＋3＝9(种)．方法二(间接法)：4人各取1张贺卡．甲先取1张贺卡有4种方法，乙再取1张贺卡有3种方法，然后丙取1张贺卡有2种方法，最后丁仅有1种方法．由分步乘法计数原理，4个人各取1张贺卡共有4×3×2×1＝24(种)．4个人都取自己写的贺卡有1种方法；2个人取自己写的贺卡，另2个人不取自己所写贺卡的方法有6种(即4个人中选出取自己写的贺卡的2人有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁)；1个人取自己写的贺卡，另3个人不取自己所写贺卡方法有8种(从4个人中选出取自己写的贺卡的1个人有4种方法．而其余3个人都不取自己所写贺卡的方法有2种方法)．因此，4个人都不取自己所写贺卡的取法有N＝24－(1＋6＋8)＝9(种)．方法三(分步法)．第一步甲取1张不是自己所写的那张贺卡，有3种取法；第二步由甲取的那张贺卡的写卡人取，也有3种取法；第三步由剩余两个中任1个人取，此时只有1种取法；第四步最后1个人取，只有1种取法．由分步乘法计数原理，共有N＝3×3×1×1＝9(种)．[点评]对于有限制条件的选取、抽取问题的计数，一般地，当数目不很大时，可用枚举法，但为保证不重不漏，可用树形图、框图及表格进行枚举；当数目较大，符合条件的情况较多时，可用间接法计数；否则直接用分类或分步计数原理计数．但一般根据选(抽)取顺序分步或根据选(抽)取元素的特点分类．9．将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点颜色不同，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数是多少？[解析]可分两步进行，先将四棱锥一侧的三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论．如图所示，由题设，四棱锥S－ABCD的顶点S，A，B所染颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60种染色方法．当S，A，B已染好时，不妨设其颜色分别为颜色1,2,3；若C颜色为2，则D可染颜色3,4,5之一，有3种染色法；若C染颜色4，则D可染颜色3或5，有2种染法；若C染颜色5，则D可染颜色3或4，也有2种染法，可见，当S，A，B已染好时，C与D还有7种染法，因此不同的染色方法共有60×7＝420种．[点评]关于涂色问题，我们一般先给涂色部位依次标上相应的序号，以便分析问题．具体涂色时，看先给哪个部位涂色较简单．本例中首先须涂顶点S，其次A→B，涂C时要分类进行，分类标准是C同A和C不同于A两类．10．如图所示的5×3方格中有多少个矩形(每个小正方形的边长为1)?[解析]标准就能做到不重不漏．(1)面积为1的矩形有15个．(2)面积为2的矩形有两类：一是横向的，有4×3＝12个；二是竖向的，有2×5＝10个，故共有12＋10＝22个．(3)面积为3的矩形有3×3＋5＝14个．(4)面积为4的矩形有：横向的有2×3＝6个；正方形的有2×4＝8个，共有6＋8＝14个．(5)面积为5的矩形有3个．(6)面积为6的矩形有3×2＋4＝10个．(7)面积为8的矩形有2×2＝4个．(8)面积为9的矩形有3个．(9)面积为10的矩形有2个．(10)面积为12的矩形有2个．(11)面积为15的矩形有1个．故共有矩形15＋22＋14＋14＋3＋10＋4＋3＋2＋2＋1＝90个．[点评]本题中，可以用直接法一一地数出这些矩形的个数，但在“数”的过程中，容易出现重复和遗漏．而在这里以“面积”的大小作为分类标准，就可以避免重复和遗漏，并且它将一个大的计数问题分解成若干个小的计数问题，从而降低了思维难度，简化了解题过程，避免了错误的发生．。
高中数学 第3章 圆锥曲线与方程检测题A 北师大版选修2
【成才之路】2014-2015学年高中数学 第3章 圆锥曲线与方程检测题A 北师大版选修2-1时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )A ．31414B ．324C ．32D ．43[答案] C[解析] 本题考查了双曲线的标准方程、焦点和离心率问题． 由双曲线的右焦点(3,0)知c ＝3，即c 2＝9， 又c 2＝a 2＋b 2，∴9＝a 2＋5，即a 2＝4，a ＝2.∴离心率e ＝c a ＝32.关于双曲线标准方程的问题，首要的是判定好a 2和b 2，若所给方程为x 2a －y 25＝1，很多同学易出现把a 和5分别当成实半轴长和虚半轴长的错误．2．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8[答案] D[解析] 由题意，得m －2>10－m ，且10－m >0，于是6<m <10.再由(m －2)－(10－m )＝22，得m ＝8.3．(2013·四川文，5)抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( ) A ．2 3 B ．2 C ． 3 D ．1[答案] D[解析] 由y 2＝8x 可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d ＝|2－3×0|12＋－32＝1.4．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点F 的距离是10，则P 点坐标为( )A ．(9,6)B ．(9，±6)C ．(6,9)D ．(6，±9)[答案] B[解析] ∵y 2＝4x ，∴抛物线的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1， 又∵P 到F 的距离为10，设P (x ，y )， ∴x ＋p2＝10，即x ＋1＝10，∴x ＝9.∴y 2＝36，y ＝±6，∴P 点坐标为(9，±6)．5．如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点，若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A ．3B ．2C ． 3D ． 2[答案] B[解析] 本题考查了椭圆与双曲线中离心率e 的求法．设椭圆长轴长为2a ，则双曲线实半轴长为2a 4＝a 2，所以离心率的比值e 1e 2＝c a2ca＝2.对于圆锥曲线要熟练掌握椭圆和双曲线的异同点．6．(2014·长春市期末调研)经过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率为( )A ．2B ． 3C ． 2D ． 5[答案] A[解析] 由条件知，双曲线的渐近线与此直线平行，∴b a＝tan60°＝3，∴b ＝3a ，代入a 2＋b 2＝c 2中得4a 2＝c 2，∴e 2＝4，∵e>1，∴e ＝2，故选A.7．若直线y ＝2(x －1)与椭圆x 25＋y 24＝1交于A ，B 两点，则|AB |＝( )A ．53B ．53 C ．553D ．33[答案] C[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1x 25＋y24＝1消去y 整理得3x 2－5x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝53，∴y 1＝－2，y 2＝43.∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝535. 8．(2014·江西文)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A 、O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 27－y 29＝1C ．x 28－y 28＝1D ．x 212－y 24＝1 [答案] A[解析] 如图设双曲线的右焦点F ，右顶点B ，设渐近线OA 方程为y ＝b ax (也可设为y ＝－b ax )，由题意知，以F 的半径的圆过点O ，A ， ∴|FA |＝|FO |＝r ＝4.∵AB ⊥x 轴，A 为AB 与渐近线y ＝b ax 的交点， ∴可求得A 点坐标为A (a ，b )．∴在Rt △ABO 中，|OA |2＝OB 2＋AB 2＝a 2＋b 2＝c ＝|OF |＝4，∴在△OAF 为等边三角形且边长为4，B 为OF 的中点，从而解得|OB |＝a ＝2，|AB |＝b＝23，∴双曲线的方程为x 24－y 212＝1，故选A.解答本题关键是要找出A 与O 、B 、F 连线的几何关系．9．将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则( )A ．n ＝0B ．n ＝1C ．n ＝2D ．n ≥3[答案] C[解析] 如图所示，根据抛物线定义，另外两顶点的横坐标必定相等，故关于x 轴对称，要使三角形为正三角形，需过焦点作斜率为33和－33的直线，则△ABF 和△CDF 满足条件，综上可知n ＝2. 10．点P 在椭圆7x 2＋4y 2＝28上，则点P 到直线3x －2y －16＝0的距离的最大值为( ) A ．121313B ．161313C ．241313D ．281313[答案] C[解析] 利用数形结合法，设与已知直线平行且与椭圆相切的直线为l ：y ＝32x ＋b ，与椭圆方程联立消一元后，令Δ＝0可求得b ＝±4，然后求直线l 与3x －2y －16＝0的距离即得所求的最大值．二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．椭圆x 24＋y 23＝1的两焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，使∠F 1PF 2＝90°的点P 有________个．[答案] 0[解析] 设a >b >0，c ＝a 2－b 2，以O 为圆心，以c 为半径画圆；当c <b 时，圆与椭圆无公共点，此时椭圆上无满足要求的点；当c ＝b 时，圆与椭圆切于短轴的两个端点，此时满足要求的点有两个，即椭圆短轴两个端点；当c >b 时，椭圆与圆有四个交点，此时满足条件的点有这四个点，这里a 2＝4，b 2＝3，∴c ＝1，b ＝3，因此这样的点P 不存在．12．在△ABC 中，已知|BC |＝8，则满足|sin C －sin B |＝12sin A 的动点A 的轨迹方程是________．[答案]x 24－y 212＝1(y ≠0) [解析] 由正弦定理得：||AB |－|AC ||＝4<|BC |，据定义可得．A 点的轨迹为双曲线(除掉顶点)由题意知2a ＝4，∴a 2＝42c ＝8，∴c 2＝16，∴b 2＝c 2－a 2＝12， ∴方程为x 24－y 212＝1(y ≠0)．13．椭圆C 1：x 24＋y 23＝1的左准线是l ，左、右焦点分别是F 1、F 2，抛物线C 2的准线也是l ，一个焦点为F 2，C 1与C 2的一个交点为P ，则|PF 2|的值等于________．[答案] 83[解析] P 是椭圆上的点，则|PF 2|e 1＝|PF 2|12＝2|PF 2|＝P 到椭圆右准线的距离，P 是抛物线上的点，则|PF 2|＝P 到左准线l 的距离，∴|PF 2|＋2|PF 2|＝2·a 2c ＝8，∴|PF 2|＝83.14．已知抛物线y 2＝4x 与直线y ＝2x －4交于A 、B 两点，如果在该抛物线上存在点C ，使得OA →＋OB →＝λOC →(O 为坐标原点)，则实数λ＝________.[答案] 15[解析] 把y ＝2x －4代入y 2＝4x 中消去y 得，x 2－5x ＋4＝0，∴x ＝4或1，∴两交点A (4,4)，B (1，－2)．设点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 234，y 3，因为OA →＋OB →＝λOC →，所以(5,2)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 234，y 3，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ4y 23＝5λy 3＝2，得λ＝15.15．(2013·辽宁理，15)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e＝________.[答案] 57[解析] 本题考查椭圆的几何性质，解三角形问题． 在△ABF 中，由余弦定理得，cos ∠ABF ＝|AB |2＋|BF |2－|AF |22|AB |·|BF |，∴|BF |2－16|BF |＋64＝0，∴|BF |＝8，设右焦点为F 1，因为直线过原点，∴|BF 1|＝|AF |＝6， ∴2a ＝|BF |＋|BF 1|＝14，∴a ＝7， ∵O 为Rt △ABF 斜边AB 的中点， ∴|OF |＝12|AB |＝5，∴c ＝5，∴e ＝57.三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．已知中心在坐标原点的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)若平行于OA 的直线l 与椭圆有公共点，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围．[解析] (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，代入点A (2,3)，4a 2＋9a 2－4＝1，解得a 2＝16.∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(2)设直线l 的方程y ＝32x ＋b ，代入x 216＋y212＝1，得3x 2＋3bx ＋b 2－12＝0，Δ＝(3b )2－12(b 2－12)≥0， ∴－43≤b ≤4 3.17．已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝9，过原点作圆C 的弦OP ，求OP 中点Q 的轨迹方程． [分析] 关键是寻找Q 点满足的几何条件，可以考虑圆的几何性质，如CQ ⊥OP ，还可考虑Q 是OP 的中点．[解析] 解法一：(直接法)如图，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°. 设Q (x ，y )，由题意，得|OQ |2＋|QC |2＝|OC |2， 即x 2＋y 2＋[x 2＋(y －3)2]＝9， 所以x 2＋(y －32)2＝94(去掉原点)．解法二：(定义法)如图所示，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°，则Q 在以OC 为直径的圆上，故Q点的轨迹方程为x 2＋(y －32)2＝94(去掉原点)．解法三：(代入法)设P (x 1，y 1)，Q (x ，y )，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x12，y ＝y 12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y .又因为x 21＋(y 1－3)2＝9， 所以4x 2＋4(y －32)2＝9，即x 2＋(y －32)2＝94(去掉原点)．18．(2014·云南景洪市一中期末)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |.(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．[解析] (1)求椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)l 的方程式为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2，设A (x 1，y 1)，B (x 1，y 1)，则A 、B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，消去y 化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0. 则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b21＋b2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|， 即43＝2|x 2－x 1|. 则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝41－b21＋b22－41－2b21＋b2＝8b 41＋b2， 解得b ＝22.19．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点K (－1,0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .(1)证明：点F 在直线BD 上； (2)设FA →·FB →＝89，求直线l 的方程．[解析] 设直线l 与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则点D 的坐标为(x 1，－y 1)，由题意得l 的方程为x ＝my －1(m ≠0)．(1)证明：将x ＝my －1代入y 2＝4x 并整理，得y 2－4my ＋4＝0， 从而y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4. ①直线BD 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1·(x －x 2)， 即y －y 2＝4y 2－y 1·(x －y 224)．令y ＝0，得x ＝y 1y 24＝1.所以点F (1,0)在直线BD 上． (2)由①，知x 1＋x 2＝(my 1－1)＋(my 2－1)＝4m 2－2， x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝1.因为FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，所以FA →·FB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4＝8－4m 2， 故8－4m 2＝89，解得m ＝±43.所以l 的方程为3x ＋4y ＋3＝0,3x －4y ＋3＝0.20．(2014·新课标Ⅰ理)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． [解析] (1)设F (c,0)， 由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又c a ＝32，所以a ＝2，b 2－a 2－c 2＝1.故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＋0. 当Δ＝16(4k 2－3)>0， 即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t. 因为t ＋4t≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0. 此时S △OPQ max ＝1，所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 21．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．[解析] (1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)解法一：设A ，B 两点的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k2，将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k 2，又由OB →＝2OA →得x 2B ＝4x 2A ， 即164＋k 2＝161＋4k2， 解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .解法二：设A ，B 两点的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k2，由OB →＝2OA →得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2，将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k21＋4k2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1. 故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .。
【成才之路】高中数学 第2章 算法初步基础知识测试 北师大版必修3
【成才之路】2014-2015学年高中数学第2章算法初步基础知识测试北师大版必修3本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
时间120分钟，满分150分。
第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列关于算法的描述中正确的是( )A．只有数学问题才会有算法B．算法过程要一步一步执行，每一步操作都是明确的C．有的算法可能无结果D．算法中有些语句可能永远不会被执行[答案] B[解析] 算法要解决的问题不仅仅是数学问题，显然A不正确；算法由一系列程序或步骤组成，这些程序或步骤首先必须是明确而有效的，因此算法一定会有结果，故C不正确；算法中的任意一个语句都能被执行到，否则这个语句就是多余的，应删掉，故D不正确．2．下面流程图描述的算法的运行结果是( )A．－5 B．5C．－1 D．－2[答案] A[解析] 根据判断框，如果x<0，则y＝3x－2，所以x＝－1时，y＝3×(－1)－2＝－5.3.给出下列流程图，欲输出给定两实数a、b中的较小的数，则判断框中应填( )A ．a >bB ．a ≥bC ．a <bD ．a ＝b[答案] C[解析] 输出的是较小的数，回答“是”时输出了a ，说明a 较小，故填a <b . 4．当a ＝1，b ＝3时，执行完下面一段程序后x 的值是( ) If a <b Then x ＝a ＋b Else x ＝a －b End IfA ．1B ．3C ．4D ．－2[答案] C[解析] 因为a <b ，所以x ＝a ＋b ＝1＋3＝4.5．(2014·福建文，4)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] 本题考查了程序框图的相关概念．S 1：n ＝1,21>12→是， S 2：n ＝2,22>22→否，输出n ＝2.关键是理解赋值语句n ＋1及条件2n>n 2.6．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是( )A ．3B ．11C ．38D ．123[答案] B[解析] 本题考查程序框图．根据赋值语句“a ＝a 2＋2”及初值a ＝1得输出的a 为11，共循环2次． 7．下面是求56个数的平均数的基本语句，在横线上应填写的内容为( )S ＝0For i ＝1 To________ 输入x ； S ＝S ＋x Ne x ta ＝S /56输出________． A ．56 a B ．56 S C ．57 a －1 D ．57 S －1[答案] A[解析] 由于是求56个数的平均数，所以循环变量的终值是56，输出的是这56个数的平均数a .8．以下给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个流程图(如下图所示)，其中判断框内应填入的条件是( )A．i>10 B．i<10C．i>20 D．i<20[答案] A[解析] 该程序满足判断框“”内条件时，循环停止，由题可知i＝10时循环进行最后一次，即sum再加上120，循环一次后，i变为11，这时应中止循环，∴循环应满足的条件是i>10.故选A.9．下列语句执行后输出的结果是( )n＝5；S＝0；DoS＝S＋nn＝n－1Loop Wh i le S<15输出n.A．－1 B．0C．1 D．2[答案] B[解析] 第一次循环S＝5，n＝4；第二次循环S＝9，n＝3；第三次S＝12，n＝2；第四次S＝14，n＝1；第五次S＝15，n＝0.故此时输出n的值为0.10.找出乘积为840的两个相邻偶数，算法流程图如右图，其中__①__，__②__，__③__处语句填写正确的是( )A．S＝i(i＋2)，输出i，输出i－2B．S＝i2＋2，输出i＋2，输出i－2C．S＝i(i＋2)，输出i，输出i＋2D．S＝i2＋2，输出i，输出i＋2[答案] C[解析] ①处所填应为相邻偶数之积，故B，D错误．若判断框执行“是”，由①处填的“S＝i(i＋2)”知②处应填“输出i”，③处应填“输出i＋2”．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．运行如图所示的程序，输出的结果是________．a ＝1b ＝2a ＝a ＋b PRINT aEND [答案] 3[解析] 本题主要考查算法知识，由于a ＝1，b ＝2，a ＝a ＋b ＝1＋2＝3.12．在求方程x (x ＋2)＝48的正整数解时，某同学给出了下列算法流程图，其结果为________．[答案] 6[解析] 因为i ＝6，i ＋2＝8时，6×8＝48，然后输出i 的值．13．某算法流程图如下图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是______________．[答案] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤1x －2，x >1[解析] 当x >1时，有y ＝x －2， 当x ≤1时，有y ＝2x，所以，y 与x 满足的关系式是y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤1x －2，x >1.14．根据下面的算法语句，可知输出的结果T为________．T＝1I＝3DoT＝T＋II＝I＋2Loop Wh i le I<50输出T[答案] 625[解析] 由算法语句知T＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋ (49)＋2＝625.故填625.15. (2014·浙江理，11)若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是________．[答案] 6[解析] 本题考查循环结构运行，第一次运行结果S＝1，i＝2第二次运行结果S＝4，i＝3，第三次运行结果S＝11，i＝4.第四次运行结果S＝26，i＝5.第五次运行结果S＝57，i＝6.此时S＝57>50，输出i＝6.注意认真写出每次运行结果．三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)画出求12＋22＋32＋…＋20142的算法流程图．[解析] 算法流程图如下．17．(本小题满分12分)如图所示，有一城市，市区半径为15k m 的圆形区域，近效区为距中心15～25k m 范围内的环形地带，距中心25k m 以外的为远郊区．市区地价每公顷100万元，近效区地价每公顷60万元，远郊区地价为每公顷20万元，输入某一点的坐标为(x ，y )，求该点的地价．请设计出相应的程序流程图．[解析] 算法流程图如图：由该点坐标(x ，y )，求其与市中心的距离r ＝x 2＋y 2，确定是市区、近郊区还是远郊区，进而确定地价的值y ＝⎩⎪⎨⎪⎧100，0<r≤15，60，15<r≤25，20，r>25.18．(本小题满分12分)用For 语句描述一个算法，找出满足以下三个条件的矩形：(1)四边形长均为整数；(2)面积值与周长值相等；(3)各边长都不超过400.[解析] 用语句描述为 For a ＝1 To 400 For b ＝1 To 400If a *b ＝2(a ＋b ) Then 输出a ，b End If Ne x t Ne x t19．(本小题满分12分)下列语句是求S ＝2＋3＋4＋…＋99的一个程序，请回答问题：i ＝1 S ＝0Do S ＝i ＋S i ＝i ＋1 Loop Wh i le i <99 输出S(1)语句中是否有错误？请加以改正； (2)把程序改为另一种类型的循环语句． [解析] (1)错误有两处 第一处：语句i ＝1应改为i ＝2.第二处：语句Loop Wh i le i <99，应改为Loop Wh i le i ≤99 (2)语句改成另一种循环类型语句应为：i ＝2 S ＝0For i ＝2 to 99S ＝S ＋iNe x t 输出S20．(本小题满分13分)如图所示，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿折线BCDA 由点B(起点)向点A(终点)运动．设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，画出流程图．[解析] 函数关系式为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ；8，x ；－x ，x流程图如图所示：21．(本小题满分14分)商场促销活动中：年历每本20元，购买5到9本按9折收费，买10本及以上8.5折收费．求购买x本时所付金额y为多少元？画流程图并用相应的语句描述．[解析] 流程图如下图用语句描述为：输入x；If x<5 theny＝20xElseIf x≥10theny＝20*0.85xElsey=20*0.9xEnd If输出y.。
【成才之路】高中数学 本册综合测试题 新人教B版必修3
【成才之路】2014-2015学年高中数学本册综合测试题时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．下列描述不是解决问题的算法的是( )A．从中山到北京先坐汽车，再坐火车B．解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1C．方程x2－4x＋3＝0有两个不等的实根D．解不等式ax＋3>0时，第一步移项，第二步讨论[答案] C[解析] 因为算法是用来解决某一问题的程序或步骤，显然C不是，故选C.2．用二分法求方程的近似解，精确度为ε，则循环结构的终止条件为( )A．|x1－x2|>εB．|x1－x2|<εC．x1<ε<x2D．x2<ε<x1[答案] B[解析] 结合二分法关于精确度的要求可知，当精确度为ε时，只要|x1－x2|<ε时，循环终止，故选B.3．一个年级有20个班，每班都是50人，每个班的学生的学号都是1～50.学校为了了解这个年级的作业量，把每个班中学号为5,15,25,35,45的学生的作业留下，这里运用的是( )A．系统抽样B．分层抽样C．简单随机抽样D．随机数表法抽样[答案] A[解析] 根据系统抽样的概念可知，该种做法运用的是系统抽样．4．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为( )A．7 B．15C．25 D．35[答案] B[解析] 由题意知青年职工人数：中年职工人数：老年职工人数＝350：250：150＝7：5：3.由样本中青年职工为7人得样本容是为15.5．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4[19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7[39.5,43.5) 3根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是( ) A ．16 B ．13 C ．12 D ．23[答案] B[解析] 由条件可知，落在[31.5,43.5)内的数据有12＋7＋3＝22(个)，故所求的概率为2266＝13. 6．将容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8个组，如下表：A ．0.14B ．114C ．0.03D ．314[答案] A[解析] 第三组的频数为14，∴频率为14100＝0.14.7．执行如图所示的程序框图，若输入n ＝10，则输出S ＝( )A ．511B ．1011C ．3655D ．7255[答案] A[解析] S ＝122－1＋142－1＋162－1＋182－1＋1102－1＝511.8．某校在“创新素质实践行”活动中，组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比，如图是将某年级60篇学生调查报告的成绩进行整理，分成5组画出的频率分布直方图．已知从左往右4个小组的频率分别是0.05,0.15,0.35,0.30，那么在这次评比中被评为优秀的调查报告有(分数大于等于80分为优秀，且分数为整数)( )A ．18篇B ．24篇C ．25篇D ．27篇[答案] D[解析] 由频率分布直方图知从左往右第5个小组的频率为0.15故优秀数为60×(0.3＋0.15)＝27.9．已知f (x )＝x 4＋2x 3－3x 2＋5x －1，则f (2)的值为( ) A ．27 B ．29 C ．32 D ．33[答案] B[解析] f (x )＝x 4＋2x 3－3x 2＋5x －1＝(((x ＋2)x －3)x ＋5)x －1，∵v 0＝1，∴v 1＝1×2＋2＝4；v 2＝4×2－3＝5；v 3＝5×2＋5＝15；v 4＝15×2－1＝29；v 5＝15×2－1＝29，∴f (2)＝29.10．如图是某次拉丁舞比赛七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a 1、a 2，则a 1、a 2的大不关系是( )m 9 3A.a 1>a 2 B ．a 2>a 1 C ．a 1＝a 2 D ．无法确定[答案] B[解析] 去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙都有5组数据，此时甲、乙得分的平均数分别为a 1＝1＋4＋5×35＋80＝84，a 2＝6＋7＋4×35＋80＝85，所以a 2>a 1.11．某人从甲地去乙地共走了500 m ，途经一条宽为x m 的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里就能找到．已知该物品能被找到的概率为2425，则河宽为( )A ．80 mB ．20 mC ．40 mD ．50 m[答案] B[解析] 这是一个与长度有关的几何概型，根据题意物品能找到的概率为500－x 500＝2425，解得x ＝20，故选B.12．一个袋内装有大小相同的6个白球和5个黑球，从中随意抽取2个球，抽到白球、黑球各1个的概率为( )A ．611 B ．15 C ．211 D ．110 [答案] A[解析] 将6个白球编号为白1、白2、白3、白4、白5、白6,5个黑球编号为黑1、黑2、黑3、黑4、黑5.从中任取两球都是白球有基本事件15种，都是黑球有基本事件10种，一白一黑有基本事件30种，故基本事件共有15＋10＋30＝55种，设事件A ＝{抽到白球、黑球各一个}，则P (A )＝3055＝611，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在题中的横线上．) 13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为________．[答案]120[解析] 简单随机抽样是等概率抽样，即每个个体在某次被抽到的概率为1N(N 指总体容量)，每个个体在整个抽样过程中被抽到的概率为n N(n 指样本容量)．14．下列程序运行的结果是________．[答案] 1 890[解析] 程序是计算2S 的值，而S ＝1×3×5×7×9＝945，∴2S＝1 890. 15．某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：如上图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填________，输出的s ＝________.(注：框图中的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”) [答案] i≤6，a 1＋a 2＋…＋a 6[解析] 考查读表识图能力和程序框图．因为是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，所以图中判断框应填i≤6，输出的s ＝a 1＋a 2＋…＋a 6.16．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：由其散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－0.7x ＋a ^，则a ^＝________.[答案] 5.25[解析] x －＝1＋2＋3＋44＝52，y －＝4.5＋4＋3＋2.54＝72.由线性回归方程知a ^＝y －－(－0.7)·x －＝72＋710·52＝5.25.三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(本题满分12分)某中学高中三年级男子体育训练小组2011年5月测试的50 m 跑的成绩(单位：s )如下：6.4,6.5,7.0,6.8,7.1,7.3,6.9,7.4,7.5，设计一个算法，从这些成绩中搜索出小于6.8 s 的成绩，并画出程序框图．[解析] 算法步骤如下：S 1 i ＝1；S 2 输入一个数据a ；S 3 如果a<6.8，则输出a ，否则，执行S 4； S 4 i ＝i ＋1；S 5 如果i>9，则结束算法，否则执行S 2.程序框图如图：18．(本题满分12分)(2014·湖南文，17)某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a ，b)，(a ，b －)，(a ，b)，(a －，b)，(a －，b －)，(a ，b)，(a ，b)，(a ，b －)，(a －，b)，(a ，b －)，(a －，b －)，(a ，b)，(a ，b －)，(a －，b)，(a ，b)其中a ，a －分别表示甲组研发成功和失败；b 、b －分别表示乙组研发成功和失败． (1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率． [解析] (1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1， 其平均数为 x －甲＝1015＝23；方差为s 2甲＝115[(1－23)2×10＋(0－23)2×5]＝29.乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1， 其平均数为 x －乙＝915＝35；方差为s 2乙＝115[(1－35)2×9＋(0－35)2×6]＝625.因为x －甲>x －乙，s 2甲<s 2乙，所以甲组的研发水平优于乙组． (2)记E ＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a ，b －)，(a －，b)，(a ，b －)，(a －，b)，(a ，b －)，(a ，b －)，(a －，b)，共7个．故事件E 发生的频率为715，将频率视为概率，即得所求概率为P(E)＝715.19．(本题满分12分)在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有100个数据，将数据分组如下表：(1)(2)估计纤度落在[1.38,1.50)中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？ [解析] (1)(2)纤度落在[1.38,1.50)中的概率均为0.30＋0.29＋0.10＝0.69，纤度小于1.40的概率约为0.04＋0.25＋12×0.30＝0.44.20．(本题满分12分)为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A 、B 、C 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人).(1)求x 、y ；(2)若从高校B 、C 抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C 的概率． [解析] (1)由题意可得，x 18＝236＝y54，∴x＝1，y ＝3.(2)记从高校B 抽取的2人为b 1，b 2，从高校C 抽取的3人为c 1，c 2，c 3，则从高校B ，C 抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共10种．设选中的2人都来自高校C 的事件为X ，则X 包含的基本事件有(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共3种，因此P(X)＝310.故选中的2人都来自高校C 的概率为310.21．(本题满分12分)一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果：(1)(2)如果y 与x 有线性相关的关系，求回归直线方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的转运速度应控制在什么范围内？[解析] (1)画出散点图，如图所示：(2)x －＝12.5，y －＝8.25，∑i ＝14x i y i ＝438，∑i ＝14x 2i ＝660，∴b ^＝∑i ＝14x i y i －4x － y－∑i ＝14x 2i －4x －2＝438－4×12.5×8.25×660－4×12.52≈0.728 6， a ^＝y －－b ^x －≈8.25－0.728×12.5＝－0.857 5. 故回归直线方程为y ^＝0.728 6x －0.857 5.(3)要使y≤10，则0.728 6x －0.857 4≤10，x≤14.901 9.故机器的转速应控制在14.9转/秒以下．22．(本题满分14分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2min的概率．(注：将频率视为概率)[解析] (1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(min)．(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2min”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1min”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5min”，“该顾客一次购物的结算时间为2min”．将频率视为概率得P(A1)＝15100＝320，P(A2)＝30100＝310，P(A3)＝25100＝14.因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝320＋310＋14＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2min的概率为710 .。
【成才之路】高中数学 本册综合测试1 北师大版必修3
【成才之路】2014-2015学年高中数学 本册综合测试1 北师大版必修3本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
时间120分钟，满分150分。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．为了了解高一1 500名新生的年龄情况，从中抽取100名新生．就这个问题，有下列说法：①1 500名新生是总体； ②每个新生是个体；③所抽取的100名新生是一个样本； ④样本容量为100；⑤每个新生被抽到的概率相等． 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] B[解析] 1500名新生的年龄情况是总体；每个新生的年龄是个体；因而④、⑤正确，其它错误．解决本题的前提是正确理解总体、个体、样本、样本容量的概念．2．一个年级有12个班，每个班有50名同学，随机编号1,2，…，50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是( )A ．抽签法B ．有放回抽样C ．随机数表法D ．系统抽样 [答案] D[解析] 因为抽取样本时间隔的距离相等，所以是系统抽样．3．(2014·湖南文，5)在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( ) A.45 B ．35 C.25 D ．15[答案] B[解析] 利用几何概型公式求解，在区间为[－2,3]上随机选取一个数x ，则x ≤1，即－2≤x ≤1的概率为P ＝35.4．甲，乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数的茎叶图如图，则甲，乙两命中个数的中位数分别为( )甲乙8 0 93 2 1 1 34 8 765420 2 0 0 1 1 373A.22,20 B ．24,18 C ．23,19 D ．23,20[答案] C[解析] 甲命中个数：8、12、13、20、22、24、25、26、27、37，中位数为12(22＋24)＝23，同理乙的中位数为12(18＋20)＝19.5．甲、乙、丙、丁4人分乘两辆车，每辆车乘两人，则甲、乙同车的概率是( ) A.12 B ．13 C.14 D ．23[答案] B[解析] 乘车的所有可能情况是甲、乙→丙、丁；甲、丙→乙、丁；甲、丁→乙、丙，所以甲、乙同车的概率为13.6．(2014·福建理，5)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值等于( )A．18 B．20C．21 D．40[答案] B[解析] 本题考查程序框图，当n＝1时，S＝3，当n＝2时，S＝3＋22＋2＝9，当n＝3时，S＝9＋23＋3＝10>15，故输出S＝20.对于较为简单的循环结构的框图问题，可直接令n＝1,2,3……进行求解．7．某中学高一、高二、高三三个年级共有学生3 000人，采用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为60的样本，已知高一年级学生为1 200人，则该年级抽取的学生数为( )A．20 B．30C．24 D．25[答案] C[解析] 抽样比：603 000＝150，∴高一抽取：1 200×150＝24.8．在箱子中装有10张卡片，分别写有1～10的10个整数，从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x，然后再放回箱子中；第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数y，则x＋y是10的倍数的概率为( )A.12B．14C.15D．110[答案] D[解析] 先后两次抽取卡片，形成的有序数对有(1,1)，(1,2)，…，(1,10)，…，(10,10)，共计100个，因为x＋y是10的倍数，这些数对应该是(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，(7,3)，(8,2)，(9,1)，(10,10)，共10对数，故x＋y是10的倍数的概率P＝10100＝110.9．(2014·湖北文，6)根据如下样本数据A．a>0，b<0 B．a>0，b>0C．a<0，b<0 D．a<0，b>0[答案] A[解析] 本题考查散点图的应用． 作出散点图如下：由图像不难得出：回归直线y ＝bx ＋a 的斜率b <0，截距a >0.所以a >0，b <0.解答本题若没有想到画出散点图，直观通过数据来判断系数b ，a 与0的大小好像无头绪，容易造成错解．10．一组数据的方差是s 2，将这组数据中的每一个数都乘以2，得到一组新数据，其方差是( )A.12s 2 B ．2s 2C ．4s 2D ．s 2[答案] C[解析] 设一组数据x 1，x 2，…，x n ， 则s 2＝x 2－x2＋x 2－x2＋…＋x n －x2n，将每一个数乘以2，则x ′＝2x .所以s ′2＝x 1－2x2＋x 2－2x2＋…＋x n －2x2n＝4n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝4s 2.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．[答案] 160[解析] 本题考查了分层抽样的特点，因抽样比为280560＋420＝27，所以男生数应为560×27＝160.分层抽样是按比例抽取，一定要先找出抽样比．12．在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是________．(结果用数值表示)[答案] 0.3[解析] 在五个数字1,2,3,4,5中，随机取出三个数字，剩下两个数字，基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，其中事件“两个数字都是奇数”＝{(1,3)，(1,5)，(3,5)}，故概率为0.3.13．(2014·辽宁文，13)执行下面的程序框图，若输入n ＝3，则输出T ＝________.[答案] 20[解析] 考查程序框图的循环结构．i ＝1时，S ＝1，T ＝1；i ＝2时，S ＝3，T ＝4；i ＝3时，S ＝6，T ＝10；i ＝4时，S ＝10，T ＝20，i ＝4>3，∴输出T ＝20.注意：找准i 与n 的关系．14．下图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为________．[答案] 9[解析] 本题考查频率分布直方图，考查阅读图表的能力．平均气温不低于25.5℃的城市T 数设为x ， 则0.12＋0.1011＝0.18x. ∴x ＝9.本题也可以利用矩形面积求解．15．某种电子元件在某一时刻是否接通的可能性是相同的，有3个这样的电子元件，则出现至少有一个接通的概率为________．[答案] 78[解析] 设电子元件接通记为1，不通记为0.设A 表示“3个电子元件至少有一个接通”，显然A 表示“3个电子元件都没有接通”，Ω表示“3个电子元件的状态”，则Ω＝{(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，(1,1,1)，(0,0,0)}．Ω中由8个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的.A ＝{(0,0,0)}．事件A 由一个事件组成，因此P (A )＝18，又因为P (A )＋P (A )＝1，所以P (A )＝1－P (A )＝1－18＝78.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)某公司在过去几年使用了某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：(1)(2)根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1 500小时的概率． [解析] (1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042. (2)样本中灯管使用寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600， 所以灯管使用寿命不足1 500小时的概率是0.6.17．(本小题满分12分)袋子中装有大小和形状相同的小球，其中红球与黑球各1个，白球n 个．从袋子中随机取出1个小球，取到白球的概率是12.(1)求n 的值；(2)记从袋中随机取出一个小球为白球得二分，为黑球得一分，为红球不得分．现从袋子中取出1个小球，求总得分为二分的概率．[解析] (1)由题意可知n 1＋1＋n ＝12，解得n ＝2.(2)设红球为a ，黑球为b ，白球为c 1，c 2，从袋中取出2个小球的所有等可能基本事件为(a ，b )，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(b ，c 1)，(b ，c 2)，(c 1，c 2)，共6个，记事件A 为“总得分为二分”，包含的基本事件为(a ，c 1)，(a ，c 2)，共2个． ∴P (A )＝26＝13.18．(本小题满分12分)已知算法如下所示：(这里S1，S2，…分别代表第一步，第二步，…)S1 输入x ；S2 若x <－2，执行S3；否则，执行S6； S3 y ＝2x ＋1； S4 输出y ； S5 执行S12；S6 若－2≤x <2，执行S7；否则执行S10； S7 y ＝x ； S8 输出y ； S9 执行S12； S10 y ＝2x －1； S11 输出y ； S12 结束．(1)指出其功能(用数学式子表达)； (2)画出该算法的算法框图．[解析] (1)该算法的功能是：x 已知时，求函数 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <－2，x ，－2≤x <2，2x －1，x ≥2的值．(2)算法程序图如下．19．(本小题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？[分析] (1)根据条件可画出图；(2)用求平均数与方差的公式可求；(3)算出不低于95的频率可求得本题．[解析] (1)(2)质量指标值的样本平均数为x＝80×0.06×＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0．38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．20．(本小题满分13分)某园林局对1 000株树木的生长情况进行调查，其中槐树600株，银杏树400株．现用分层抽样的方法从这1 000株树木中随机抽取100株，其中银杏树树干周长(单位：cm)的抽查结果如下表：(2)若已知树干周长在30 cm至40 cm之间的4株银杏树中有1株患有虫害，现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止．求排查的树木恰好为2株的概率．[解析] (1)因为用分层抽样方法从这1 000株树木中随机抽取100株，所以应该抽取银杏树100×4001 000＝40株．所以在4＋18＋x＋6＝40，所以x＝12.(2)记这4株树分别为树1，树2，树3，树4，且不妨设树4为患虫害的树，记“恰好在排查到第二株时发现患虫害树”为事件A，则A是指第二次排查到的是树4，因为求恰好在排查到第二株时发现患虫害树的概率，所以基本事件空间为：Ω＝{(树1，树2)，(树1，树3)，(树1，树4)，(树2，树1)，(树2，树3)，(树2，树4)，(树3，树1)(树3，树2)，(树3，树4)，(树4，树1)，(树4，树2)，(树4，树3)}，共12个基本事件．又事件A 中包含的基本事件有3个，所以恰好在排查到第二株时发现患虫害树的概率P (A )＝312＝14.21．(本小题满分14分)(2014·新课标Ⅱ理，19)某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y (单位：千元)的数据如下表：(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b ＝n i ＝1t i －ty i －yn i ＝1t i －t2，a ＝y －b t[解析] (1)∵t ＝1＋2＋…＋77＝4，y ＝2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.97＝4.3，设回归方程为y ＝bt ＋a ，代入公式，经计算得b ＝3×14＋2＋0.7＋0＋0.5＋1.8＋4.8＋4＋＝1414×2＝12.a ＝y －b t ＝4.3－12×4＝2.3所以，y 关于t 的回归方程为y ＝0.5t ＋2.3.∵b ＝12>0，∴2007年至2013年该区人均纯收入稳步增长，预计到2015年，该区人均纯收入y ＝0.5×9＋2.3＝6.8(千元)所以，预计到2015年，该区人均纯收入约6千8百元左右．。
【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,必修3)练习：2.1 算法的基本思想]
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第二章 §1一、选择题1．下面四种叙述能称为算法的是( ) A ．在家里一般是妈妈做饭B ．煮茶水一般分为刷茶壶、放茶叶、添水、加热这些步骤C ．在野外做饭叫野炊D ．做饭必须要有米 [答案] B[解析] 利用算法的定义求解，算法是做一件事情的方法和步骤． 2．下面的结论正确的是( ) A ．一个程序的算法步骤是可逆的 B ．一个算法可以无止境地运算下去 C ．完成一件事情的算法有且只有一种 D ．设计算法要本着简单方便的原则 [答案] D[解析] 选项A 不正确，算法只需要每一步都可以顺序进行，并且结果唯一，不能保证可逆．选项B 不正确，一个算法必须在有限步内完成，不然就不符合算法的有穷性．选项C 不正确 ，一般情况下，一个问题的解决办法不止一个．选项D 正确，设计算法要尽量使程序运算简单，节约时间，故选D.3．下面对算法描述正确的项是( ) A ．算法只能用自然语言来描述 B ．算法只能用图形方式来表示 C ．同一个问题可以有不同的算法 D ．同一个问题算法不同，结果必然不同 [答案] C[解析] 算法的描述方式不唯一，且同一个问题可以有不同算法，但无法哪个算法得到的结果都是一样的．4．下列语句表达中是算法的有( )①从济南到巴黎可以先乘火车到北京，再坐飞机抵达； ②利用公式S ＝12ah 计算底为1，高为2的三角形的面积；③12x >2x ＋4；④求M (1,2)与N (－3，－5)两点所在直线的方程，可先求MN 的斜率，再利用点斜式求方程．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] C[解析] 算法是解决某类问题的步骤与过程，这个问题并不仅仅限于数学问题，①②④都表达了一种算法，故应选C.5．对于一般的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1a 2x ＋b 2y ＝c 2，在写解此方程组的算法时，需要注意的是( )A ．a 1≠0B ．a 2≠0C ．a 1b 2－a 2b 1≠0D ．a 1b 1－a 2b 2≠0[答案] C[解析] 采用加减法解方程组，未知数x ，y 的系数是a 1b 2－a 2b 1，故a 1b 2－a 2b 1≠0才能保证方程组有解．6．下列叙述能称为算法的个数为( ) ①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；②依次进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…，99＋1＝100； ③从枣庄乘火车到徐州，从徐州乘飞机到广州； ④3x >x ＋1；⑤求所有能被3整除的正整数，即3,6,9,12，…. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 [答案] B[解析] 由算法定义，知①，②，③符合算法的定义，而④没有给出解题步骤，⑤也不符合算法定义要求，故选B.二、填空题7．写出1＋3＋5＋7＋9的算法的第一步是1＋3得4，第二步是将第一步中的运算结果4与5相加得9，第三步是__________________．[答案] 将第二步中的运算结果9与7相加得16[解析] 注意体会这种累加法的本质，把这种累加的思想进行推广． 8．下列所给问题中：①二分法解方程x 2－3＝0(精确到0.01)；②解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5＝0，x －y ＋3＝0；③求半径为2的球的体积；④判断y ＝x 2在R 上的单调性．其中可以设计一个算法求解的是________(填上你认为正确的序号)．[答案] ①②③[解析] 由算法的特征可知①②③都能设计算法．对于④，当x ≥0或x ≤0时，函数y ＝x 2是单调递增或单调递减函数，但当x ∈R 时， 由函数的图像可知在整个定义域R 上不是单调函数，因此不能设计算法求解．三、解答题9．写出求1＋2＋3＋…＋n 的一个算法．[分析] 这是一个累加求和问题，可按照逐个相加的办法计算，就得到一种解决它的步骤，即一种算法；若想到公式1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，也可运用它解决.[解析] 解法一：逐个相加，算法步骤如下： 1．计算1＋2得到3；2．将第1步的运算结果3与3相加，得到6； 3．将第2步的运算结果6与4相加，得到10； 4．将第3步的运算结果10与5相加，得到15； 5．将第4步的运算结果15与6相加，得到21. …n －1. 将第n －2步的运算结果与n 相加； n ． 第n －1步的运算结果即为所求． 解法二：利用公式，算法步骤如下： 1．给定n ； 2．计算n (n ＋1)2；3．第2步的计算结果即为所求．[点评] 一个问题可以有多个算法，可以选择其中最优的、最简单的、步骤尽量少的算法．上面的两种算法都符合题意，但算法二利用求和公式，这样步骤就比算法一少了许多，因此更为科学．本题体现了算法的特征：(1)一个算法往往具有代表性，能够解决一类问题；(2)算法不是唯一的；(3)两个算法各自体现了不同的思想内涵．一、选择题 1．已知算法： 1．输入n ； 2．判断n 是否是2， 若n ＝2，则n 满足条件； 若n >2，则执行第3步；3．依次检验从2到n －1的整数能不能整除n ，若不能整除n ，满足条件．上述满足条件的数是( )A ．质数B ．奇数C ．偶数D ．4的倍数[答案] A[解析] 由质数定义知，满足条件的数是质数．2．早晨起床后需要：洗脸刷牙(5 min)，刷水壶(2 min)，烧水(8 min)，泡面(3 min)，吃饭(10 min)，听广播(8 min)，下列选项中最好的一种算法设计是( )A.1.洗脸刷牙2.洗水壶3.烧水4.泡面5.吃饭6.听广播B ．1.洗水壶2.烧水，同时洗脸刷牙3.泡面4.吃饭5.听广播C.1.吃饭，同时听广播2.泡面3.烧水， 同时洗脸刷牙4.洗水壶 D ．1.洗水壶2.烧水，同时洗脸刷牙3.泡面4.吃饭同时听广播[答案] D[解析] 由算法的概念及特点知选D. 二、填空题3．阅读下面的算法，回答所给问题： 第一步，输入a ；第二步，若a ≥4，则执行第三步，否则执行第四步； 第三步，输出2a －1； 第四步，输出a 2－2a －1. (1)上述算法的功能是________；(2)当输入的a 值为________时，输出的数值最小，其最小值为________．[答案] (1)求分段函数f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －1，a ≥4，a 2－2a －1，a <4的函数值 (2)1 －24．一个算法步骤如下： 1 S 取值0，i 取值1.2 如果i ≤10，则执行3，否则执行6.3 计算S ＋i ，并让S 取计算结果的值．4 计算i ＋2，并让i 取计算结果的值．5 转去执行2.6 输出S .运行以上步骤输出的结果为S ＝________. [答案] 25[解析] 由以上算法可知：S ＝1＋3＋5＋7＋9＝25. 三、解答题5．用二分法设计一个求方程x 2－2＝0的近似解的算法．[解析] 假设所求近似解与精确解的差的绝对值不超过0.005，则不难设计出以下算法步骤．1 令f (x )＝x 2－2，因为f (1)<0，f (2)>0，所以设x 1＝1，x 2＝2.2 令m ＝x 1＋x 22，判断f (m )是否为0，若是，则m 即为所求；否则，继续判断f (x 1)·f (m )大于0还是小于0.3 若f (x 1)·f (m )>0，则x 1＝m ；否则，x 2＝m .4 判断|x 1－x 2|<0.005是否成立，若是，则x 1，x 2之间的任意值均为满足条件的近似解；否则，返回第二步．5 输出结果．6．试描述解下面方程组的算法： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝12， ①3x －3y －z ＝16， ②x －y －z ＝－2. ③[解析] 设计如下：1．①＋②化简得2x －y ＝14.④ 2．②－③化简得x －y ＝9.⑤ 3．④－⑤得x ＝5.⑥ 4．将⑥代入⑤得y ＝－4.5．将x ，y 代入①得z ＝11. 6．输出x ，y ，z 的值．7．(1)试描述判断圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2和直线Ax ＋By ＋C ＝0位置关系的算法． (2)写出求过点M (－2，－1)、N (2,3)的直线与坐标轴围成三角形面积的一个算法． [解析] (1)1.输入圆心的坐标(a ，b )，直线方程的系数A 、B 、C 和半径r ； 2．计算z 1＝Aa ＋Bb ＋C ； 3．计算z 2＝A 2＋B 2； 4．计算d ＝|z 1|z 2； 5．如果d >r ，则相离；如果d ＝r ，则相切；如果d <r ，则相交．(2)已知直线上的两点M 、N ，由两点式可写出直线方程，令x ＝0，得出与y 轴交点；令y ＝0，得出与直线x 轴交点，求出三角形两直角边的长，根据三角形面积公式可求出其面积．算法步骤如下：1．取x 1＝－2，y 1＝－1，x 2＝2，y 2＝3； 2．得直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1；3．令x ＝0，得y 的值m ，从而得直线与y 轴交点的坐标(0，m )； 4．令y ＝0，得x 的值n ，从而得直线与x 轴交点的坐标(n,0)； 5．根据三角形面积公式求S ＝12·|m |·|n |；6．输出算法结果．。
【成才之路】高中数学 第1章 统计综合能力测试 北师大版必修3
【成才之路】2014-2015学年高中数学第1章统计综合能力测试北师大版必修3本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
时间120分钟，满分150分。
第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．2014年的世界无烟日(5月31日)之前，小华学习小组为了了解本地区大约有多少成年人吸烟，随机调查了100个成年人，结果其中有15个成年人吸烟．对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是( )A．调查的方式是普查B．本地区约有15%的成年人吸烟C．样本是15个吸烟的成年人D．本地区只有85个成年人不吸烟[答案] B[解析] 调查方式显然是抽样调查，∴A错误．样本是这100个成年人．∴C也错误，显然D不正确．故选B.2．某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是( )A．2 B．3C．5 D．13[答案] C[解析] 各层次之比为30∶75∶195＝2∶5∶13，所抽取的中型商店数是20×52＋5＋13＝5.3．下列问题，最适合用简单随机抽样的是( )A．某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号为1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束后为听取意见，要留下32名听众进行座谈B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查C．某学校在编人员160人．其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人．教育部门为了解学校机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本D．某乡农田有：山地8 000亩，丘陵12 000亩，平地24 000亩，洼地4 000亩. 现抽取农田480亩估计全乡农田某种作物的平均亩产量[答案] B[解析] A项的总体容量较大，用简单随机抽样法比较麻烦；B项的总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；C项由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大，不宜采用简单随机抽样法；D项的总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，也不宜采用简单随机抽样法．4．一个容量为50的样本数据，分组后，组距与频数如下：[12.5,15.5)，2；[15.5,18.5)，8；[18.5,21.5)，9；[21.5，24.5)，11；[24.5,27.5)，10；[27.5,30.5)，6；[30.5,33.5)，4.根据分组情况估计小于30.5的数据占( ) A．18% B．30%C．60% D．92%[答案] D[解析] (2＋8＋9＋11＋10＋6)÷50＝92%.5．如图所示的是2004年至2013年某省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图，图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到2004年至2013年此省城镇居民百户家庭人口数的平均数为( )291158302 6310247A.304.6 B．303.6C．302.6 D．301.6[答案] B[解析]由茎叶图得到2004年至2013年城镇居民百户家庭人口数为：291,291,295,298,302,306,310,312,314,317，所以平均数为291＋291＋295＋298＋302＋306＋310＋312＋314＋31710＝3 03610＝303.6.6．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为( )A ．18B ．36C ．54D ．72[答案] B[解析] 频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，每个小矩形的面积表示样本数据落在该区间内的频率，故样本数据落在区间[10,12)内的频率为1－2×(0.02＋0.05＋0.15＋0.19)＝0.18，故样本数据落在区间[10,12)内的频数为0.18×200＝36.7．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确．．．的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg [答案] D[解析] 本题主要考查线性相关及回归方程．D 选项断定其体重必为58.79kg 不正确．注意回归方程只能说“约”“大体”而不能说“一定”“必”．8．某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1 000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如下图的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不小于90 km/h 的约有( )A ．100辆B ．200辆C ．300辆D ．400辆[答案] C[解析] 由题图可知汽车中车速在[60,90)的频率为10×(0.01＋0.02＋0.04)＝0.7， ∴在[90,110]的频率为(1－0.7)＝0.3.∴车速不小于90 km/h 的汽车数量约为0.3×1 000＝300辆． 9．设矩形的长为a ，宽为b ，其比满足b ∶a ＝5－12≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中，下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是( )A ．甲批次的总体平均数与标准值更接近B ．乙批次的总体平均数与标准值更接近C ．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D ．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 [答案] A[解析] 本小题主要考查学生的知识迁移能力和统计的有关知识．x 甲＝0.598＋0.625＋0.628＋0.595＋0.6395＝0.617，x 乙＝0.618＋0.613＋0.592＋0.622＋0.6205＝0.613，故选A.10．甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1，图2和图3，若s 甲，s 乙，s 丙分别表示他们测试成绩的标准差，则( )A ．s 甲<s 乙<s 丙B ．s 甲<s 丙<s 乙C ．s 乙<s 甲<s 丙D ．s 丙<s 甲<s 乙[答案] D[解析] 由频率分布条形图可得甲，乙，丙三名运动员的平均成绩分别为 x －甲＝0.25×(7＋8＋9＋10)＝8.5；x －乙＝0.3×7＋8×0.2＋9×0.2＋10×0.3＝8.5； x －丙＝0.2×7＋8×0.3＋9×0.3＋10×0.2＝8.5，s 2甲＝0.25×(1.52＋0.52＋0.52＋1.52)＝1.25；s 2乙＝0.3×1.52＋0.52×0.2＋0.52×0.2＋1.52×0.3＝1.45； s 2丙＝0.2×1.52＋0.52×0.3＋0.52×0.3＋1.52×0.2＝1.05，∴s 丙<s 甲<s 乙．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．一个容量为40的样本，共分成6组，第1～4组的频数分别为10,5,7,6，第5组的频率是0.10，则第6组的频率是________．[答案] 0.20[解析] 第5组的频数为40×0.10＝4，第6组的频数为40－(10＋5＋7＋6＋4)＝8，则频率为840＝0.20.12.如图是某保险公司提供的资料，在1万元以上的保险单中，821少于2.5万元，那么不少于2.5万元的保险单有________万元．[答案] 91[解析] 不少于1万元的占700万元的21%，金额为700×21%＝147万元，1万元以上的保险单中，超过或等于2.5万元的保险单占1321，金额为1321×147＝91万元，故不少于2.5万元的保险单有91万元．13．(2014·江苏，6)设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100cm.[答案] 24[解析] 本题考查频率分布直方图．由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.015＋0.025)×10×60＝24.频率分布直方图中的纵坐标为频率组距，此处经常误认为纵坐标是频率．14．下图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________.0 8 9 1 0 3 5(注：方差s 2＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]，其中x －为x 1，x 2，…，x n 的平均数)[答案] 6.8[解析] 本题考查茎叶图、方差的概念． 由茎叶图知x －＝8＋9＋10＋13＋155＝11，∴s 2＝15[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.8.15．已知x 、y 的取值如下表：从散点图分析，y 与x x ＋a ，则a ＝________. [答案] 2.6 [解析] x ＝0＋1＋3＋44＝2， y ＝2.2＋4.3＋4.8＋6.74＝184＝92.∵(x ，y )在直线y ＝0.95x ＋a 上， ∴92＝0.95×2＋a ，解得a ＝2.6. 三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)在同等条件下，对30辆同一型号的汽车进行耗油1升所行走路程的试验，得到如下数据(单位：km)：14．1 12.3 13.7 14.0 12.8 12.9 13.1 13．6 14.4 13.8 12.6 13.8 12.6 13.2 13．3 14.2 13.9 12.7 13.0 13.2 13.5 13．6 13.4 13.6 12.1 12.5 13.1 13.5 13．2 13.4以前两位数为茎画出上面数据的茎叶图(只有单侧有数据)，并找出中位数．[解析] 茎叶图如图所示.1213566789130112223445566 6 788914012 4中位数为13.35.17．(本小题满分12分)某高级中学共有学生3 000名，各年级男、女人数如下表：(1)问高二年级有多少名女生？(2)现对各年级用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，问应在高三年级抽取多少名学生？[解析] (1)由题设可知x3000＝0.17，所以x＝510.(2)高三年级人数为y＋z＝3000－(523＋487＋490＋510)＝990，现用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，应在高三年级抽取的人数为：3003000×990＝99名．答：(1)高二年级有510名女生；(2)在高三年级抽取99名学生．18．(本小题满分12分)(2014·全国新课标Ⅱ文，19)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：(1)(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．[解析] (1)由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故样本中位数为66＋682＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67. (2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为550＝0.1，850＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16.(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．19．(本小题满分12分)甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm 的零件，为了检验这两台机床加工的零件的质量，从这两台机床加工的零件中各随机抽取6件进行测量，测量直径数据如下：(单位：mm)甲：99,100,98,100,100,103 乙：99,100,102,99,100,100(2)分别计算上述两组数据的平均数和方差；(2)根据(1)的计算结果，说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求． [解析] (1)x 甲＝99＋100＋98＋100＋100＋1036＝100，x 乙＝99＋100＋102＋99＋100＋1006＝100，s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)因为s 2甲>s 2乙，说明甲机床加工的零件的直径波动比较大，因此乙机床加工的零件更符合要求．20．(本小题满分13分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)[解析] (1)由于x ＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y ＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.所以a ＝y －b x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1000 ＝－20(x －334)2＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定价为8.25元时，工厂可获得最大利润．21．(本小题满分14分)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．(1)如果按性别比例分层抽样，男、女生各抽取多少位才符合抽样要求？ (2)随机抽出8位，他们的数学、物理分数对应如下表：分数均为优秀的概率是多少？2°根据上述数据，用变量y 与x 的散点图说明物理成绩y 与数学成绩x 之间的线性回归线方程(系数精确到0.01)．参考公式：b ＝∑i ＝1nx i －x－y i －y∑i ＝1nx 21－x －2，a ＝y －－b x －回归线直线方程是y ＝bx ＋a . 参考数据：x －＝77.5，y －＝84.875.∑i ＝18(x 1－x )2＝1050，∑i ＝18(y 1－y －)2≈457，∑i ＝18(x i －x －)(y i －y －)≈688，1050≈32.4，457＝21.4，550≈23.5.[解析] (1)应选女生25×840＝5位，男生15×840＝3位．(2)1°由表中可以看出，所选出的8位同学中，数学和物理分数均为优秀的人数是3人，故所求概率是38.2°数学成绩x 为横坐标，物理成绩为纵坐标作散点图如下：从散点图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近．故物理与数学成绩相关． 设y 与x 的线性回归方程是y ＝bx ＋a ， 根据所给的数据，可以计算出b ≈6881050≈0.66， a ＝84.875－0.66×77.5≈33.73，所以y 与x 的回归方程是y ≈0.66x ＋33.73.。
成才之路春高中数学北师大必修同步练习：第章 不等式综合测试 含解析
第三章综合测试(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋ab >2中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④[答案] C[解析] 由1a <1b<0，得b <a <0，∴②③均不成立，a ＋b <0，ab >0，∴①成立． 而b a ＋ab －2＝(a －b )2ab >0， ∴b a ＋ab>2，④成立．故选C. 2．如果a ，b ，c 满足c <b <a 且ac <0，则下列选项中不一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )>0 C ．cb 2<ab 2 D ．ac (a －c )<0 [答案] C[解析] c <b <a ，ac <0⇒a >0，c <0. 对于A ：⎭⎬⎫b >c a >0⇒ab >ac ，A 正确． 对于B ：⎭⎬⎫b <a ⇒b －a <0c <0⇒c (b －a )>0，B 正确； 对于C ：⎭⎪⎬⎪⎫c <a b 2≥0⇒cb 2≤ab 2⇒ cb 2<ab 2，C 错，即C 不一定成立．对于D ：ac <0，a －c >0⇒ac (a －c )<0，D 正确．3．直线3x ＋2y ＋5＝0把平面分成两个区域．下列各点与原点位于同一区域的是( ) A ．(－3,4) B ．(－4,3) C ．(0，－3)D ．(－3,2)[答案] A[解析] 当x ＝y ＝0时，3x ＋2y ＋5＝5>0，则原点一侧对应的不等式是3x ＋2y ＋5>0， 可以验证仅有点(－3,4)满足3x ＋2y ＋5>0.4．(2016·大连高二检测)不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为{x |13<x <12}，则a ，c 的值为( )A ．a ＝6，c ＝1B ．a ＝－6，c ＝－1C ．a ＝1，c ＝1D ．a ＝－1，c ＝－6[答案] B[解析] 由已知得a <0且13，12为方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两根，故13＋12＝－5a ，13×12＝ca .解得a ＝－6，c ＝－1，故选B.5．若集合A ＝{x |x 2＋x －6<0}，B ＝{x |x ＋2x －3≤0}，则A ∩B 等于( )A ．(－3,3)B ．[－2,2)C ．(－2,2)D ．[－2,3) [答案] B[解析] A ＝{x |－3<x <2}＝(－3,2)，B ＝[－2,3)， ∴A ∩B ＝[－2,2)．6．(2015·安徽文，5)已知x ，y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝－2x ＋y 的最大值是( )A ．－1B ．－2C ．－5D ．1[答案] A[解析] 根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图．令z ＝－2x ＋y ，则y ＝2x ＋z ，可知在图中A (1,1)处，z ＝－2x ＋y 取到最大值－1，故选A. 7．已知a >0，x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14 B.12 C ．1 D ．2[答案] B[解析] 本题考查了线性规划知识． 作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3).的可行域．因为y ＝a (x －3)过定点(3,0)，故应如图所示，当过点C (1，－2a )时，z ＝2x ＋y 有最小值，∴2×1－2a ＝1，∴a ＝12.8．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72 B ．4 C.92 D ．5[答案] C[解析] 本题主要考查基本不等式在求最值中的应用． ∵a ＋b ＝2，∴a 2＋b 2＝1，∴y ＝1a ＋4b＝⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ⎝⎛⎭⎫a 2＋b 2＝52＋2a b ＋b 2a，∵a >0，b >0，∴2a b ＋b2a≥22a b ·b 2a ＝2，当且仅当2a b ＝b 2a ，且a ＋b ＝2，即a ＝23，b ＝43时取得等号，∴y的最小值是92，选C.9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73 B.37 C.43 D.34[答案] A[解析] 不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点(0，43)．因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点M (12，52)．当y ＝kx ＋43过点(12，52)时，52＝k 2＋43，∴k ＝73.10．方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0的两根都大于2，则m 的取值范围是( ) A ．(－5，－4] B ．(－∞，－4]C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－5)∪(－5，－4][答案] A[解析] 令f (x )＝x 2＋(m －2)＋5－m ，要使f (x )＝0的两根都大于2，则⎩⎨⎧Δ＝(m －2)2－4(5－m )≥0f (2)>0，－m －22>2，解得：⎩⎪⎨⎪⎧m2≥16，m >－5，m <－2.⇒－5<m ≤－4，故选A.11．已知x >0，y >0.若2y x ＋8xy >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2[答案] D[解析] ∵x >0，y >0. ∴2y x ＋8x y≥22y x ·8x y ＝8(当且仅当2y x ＝8xy时取“＝”)． 若2y x ＋8xy>m 2＋2m 恒成立，则m 2＋2m <8，解之得－4<m <2. 12．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2][答案] C[解析] 本题主要考查向量的坐标运算与线性规划知识． OA →·OM →＝(－1,1)·(x ，y )＝y －x ，画出线性约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥2x ≤1y ≤2表示的平面区域如图所示．可以看出当z ＝y －x 过点A (1,1)时有最小值0，过点C (0,2)时有最大值2，则OA →·OM →的取值范围是[0,2]，故选C.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．不等式2x 2＋2x －4≤12的解集为____________．[答案] [－3,1][解析] 不等式2x 2＋2x －4≤12化为2x 2＋2x －4≤2－1，∴x 2＋2x －4≤－1，∴x 2＋2x －3≤0， ∴－3≤x ≤1，∴原不等式的解集为[－3,1]．14．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． [答案]233[解析] 由x 2＋y 2＋xy ＝1得1＝(x ＋y )2－xy ∴(x ＋y )2＝1＋xy ≤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，解得 －233≤x ＋y ≤233，∴x ＋y 的最大值为233. 15．要挖一个面积为432m 2的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为3m,4m 的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长为________、宽为________．[答案] 24m 18m[解析] 设鱼池的长宽分别为x m ，y m ，∴xy ＝432，∴(x ＋6)(y ＋8)＝xy ＋6y ＋8x ＋48＝480＋6y ＋8x ≥480＋248xy ＝768，当且仅当6y ＝8x ，即x ＝18，y ＝24时，等号成立．16．某公司租赁甲、乙两种设备生产A 、B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元．现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元．[答案] 2 300[解析] 设甲、乙两种设备分别需要租用x 、y 天．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧5x＋6y≥5010x＋20y≥140x∈Z，y∈Z，所需租赁费为z＝200x＋300y.作出可行域如图所示，将l02x＋3y＝0向可行域平移，当直线经过M点时，z取最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧5x＋6y＝50x＋2y＝14，得M(4,5)．∴z min＝200×4＋300×5＝2 300(元)．即所需租赁费最少为2 300元．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)若函数f(x)＝lg(8＋2x－x2)的定义域为M，函数g(x)＝1－2x－1的定义域为N，求集合M，N，M∩N.[解析]由8＋2x－x2>0，即x2－2x－8<0，∴(x－4)(x＋2)<0，∴－2<x<4.∴M＝{x|－2<x<4}．由1－2x－1≥0，得x－3x－1≥0，∴x≥3或x<1.∴N＝{x|x<1或x≥3}．∴M∩N＝{x|－2<x<1或3≤x<4}．18．(本小题满分12分)当x>3时，求函数y＝2x2x－3的值域．[解析] ∵x >3，∴x －3>0.∴y ＝2x 2x －3＝2(x －3)2＋12(x －3)＋18x －3＝2(x －3)＋18x －3＋12≥22(x －3)·18x －3＋12＝24.当且仅当2(x －3)＝18x －3，即x ＝6时，上式等号成立， ∴函数y ＝2x 2x －3的值域为[24，＋∞)．19．(本小题满分12分)不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0) (1)若不等式的解集是{x |x <－3或x >－2}，求k 的值． (2)若不等式的解集为R ，求k 的取值范围． [解析] (1)因为不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}， 所以，－3，－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，且k <0 ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3－2＝2k(－3)×(－2)＝6 即k ＝－25.(2)若不等式的解集为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－4k ×6k <0，即⎩⎪⎨⎪⎧k <0，1－6k 2<0，解得：k <－66. 20．(本小题满分12分)制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？[解析]设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知⎩⎨⎧x＋y≤100.3x＋0.1y≤1.8x≥0y≥0，目标函数z＝x＋0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线l0的一组直线，x＋0.5y＝z，z∈R.与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x＋0.5y＝0的距离最大，这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝100.3x＋0.1y＝1.8，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝4y＝6.此时z＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．∴当⎩⎪⎨⎪⎧x＝4y＝6，时z取得最大值．答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能盈利最大．21．(本小题满分12分)已知关于x的方程(m＋1)x2＋2(2m＋1)x＋1－3m＝0的两根为x1、x2，若x1<1<x2<3，求实数m的取值范围．[解析]设f(x)＝(m＋1)x2＋2(2m＋1)x＋1－3m，显然m＋1≠0.(1)当m＋1>0时，可画简图：则⎩⎨⎧m＋1>0f(1)<0f(3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m>－1m<－2m>－89，不等式组无解．(2)当m＋1<0时，可画简图：则⎩⎨⎧m＋1<0f(1)>0f(3)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m<－1m>－2m<－89.得－2<m<－1.由(1)、(2)知m的取值范围是(－2，－1)．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2ax＋b(a、b为常数)，且方程f(x)－x＋12＝0有两个实根为x1＝3，x2＝4.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设k>1，解关于x的不等式f(x)<(k＋1)x－k2－x.[解析](1)将x1＝3，x2＝4分别代入方程x2ax＋b－x＋12＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧93a＋b＝－9164a＋b＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－1b＝2.∴f(x)＝x22－x(x≠2)．(2)原不等式即为x22－x<(k＋1)x－k2－x，可化为x2－(k＋1)x＋k2－x<0.即(x－2)(x－1)(x－k)>0.①当1<k<2时，1<x<k或x>2;②当k＝2时，x>1且x≠2；③当k>2时，1<x<2或x>k.综上所述，当1<k<2时，原不等式的解集为{x|1<x<k或x>2}；当k＝2时，原不等式的解集为{x|x>1且x≠2}；当k>2时，原不等式的解集为{x|1<x<2或x>k}．。
【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修1-1)练习：综合素质检测3]
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第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·北师大附中期中)已知f ′(x 0)＝a ，则lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0－3Δx )2Δx的值为( )A ．－2aB ．2aC ．aD ．－a[答案] B[解析] ∵f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝a ，∴lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0－3Δx )2Δx＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)＋f (x 0)－f (x 0－3Δx )2Δx＝12lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＋32lim Δx →0 f (x 0－3Δx )－f (x 0)－3Δx ＝a 2＋3a2＝2a ，故选B. 2．(2013·山西省太原五中月考)已知曲线y ＝x 3－1与曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为( )A.33B.333C. 3D.393[答案] D[解析] 由导数的定义容易求得，曲线y ＝x 3－1在x ＝x 0处切线的斜率k 1＝3x 20，曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处切线的斜率为k 2＝－x 0，由于两曲线在x ＝x 0处的切线互相垂直，∴3x 20·(－x 0)＝－1，∴x 0＝393，故选D. 3．f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值是( )A ．－43B ．－3C ．－1D ．3[答案] D[解析] 因为f ′(x )＝x 2＋2，所以f ′(－1)＝(－1)2＋2＝3. 4．函数y ＝x 2－1x 的导数是( )A ．y ′＝x 2－1xB ．y ′＝x 2＋1x 2C ．y ′＝x 2－1x 2D ．y ′＝1－x 2x[答案] B[解析] y ′＝(x 2－1x )′＝(x 2－1)′x －x ′(x 2－1)x 2＝2x 2－x 2＋1x 2＝x 2＋1x2.5．设正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π2附近的瞬时变化率为k 1、k 2，则k 1、k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定[答案] A[解析] ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， ∴k 1＝cos0＝1，k 2＝cos π2＝0，∴k 1>k 2.6．曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率为k ，当k ＝3时，P 点坐标为( ) A ．(－8，－2) B ．(－1，－1)或(1,1) C ．(2,8) D ．(－12，－18)[答案] B[解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，∴k ＝3x 20＝3，∴x 0＝±1，∴P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．7．物体运动方程为s ＝14t 4－3t 2，则t ＝4时的瞬时速度为( )A ．4B ．64C ．16D ．40[答案] D[解析] ∵s ′＝(14t 4－3t 2)′＝t 3－6t ，∴s ′(4)＝43－6×4＝40.8．(2014·合肥一六八中高二期中)若可导函数f (x )的图像过原点，且满足lim Δx →f (Δx )Δx＝－1，则f ′ (0)＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] B[解析] ∵f (x )图像过原点，∴f (0)＝0， ∴f ′(0)＝lim Δx →f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝lim Δx →0 f (Δx )Δx＝－1，∴选B.9．(2013·烟台质检)已知二次函数f (x )的图像如图所示，则其导函数f ′(x )的图像大致形状是( )[答案] B[解析] 依题意可设f (x )＝ax 2＋c (a <0，且c >0)，于是f ′(x )＝2ax ，显然f ′(x )的图像为直线，过原点，且斜率2a <0，故选B.10．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( ) A ．26 B ．29 C ．212D ．215[答案] C[解析] f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x ·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′ ∴f ′(0)＝a 1a 2…a 8.∵{a n }为等比数列，a 1＝2，a 8＝4， ∴f ′(0)＝a 1a 2…a 8＝(a 1a 8)4＝84＝212.二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．设f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝12，则lim Δx →0f (x 0＋3Δx )Δx ＝________.[答案] 32[解析] lim Δx →f (x 0＋3Δx )Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx ＝3lim Δx →f (x 0＋3Δx )－f (x 0)3Δx ＝3f ′(x 0)＝32.12．设f (x )＝1sin x ＋1cos x ，则f ′(π3)＝________.[答案] －23＋2 3[解析] f ′(x )＝(1sin x ＋1cos x )′＝－cos x sin 2x ＋sin xcos 2x ，∴f ′(π3)＝－12(32)2＋32(12)2＝－23＋2 3.13．(2014·杭州质检)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为________． [答案] (2，＋∞)[解析] 由f (x )＝x 2－2x －4ln x ，得函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x ＝2·x 2－x －2x ＝2·(x ＋1)(x －2)x ，f ′(x )>0，解得x >2，故f ′(x )>0的解集为(2，＋∞)．14．(2014·枣阳一中、襄州一中、宣城一中、曾都一中高二期中联考)若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是________．[答案] 4 [解析] y ′＝12x ，切线方程为y －a ＝12a (x －a )， 令x ＝0得，y ＝a2， 令y ＝0得，x ＝－a ， 由题意知12·a2·a ＝2，∴a ＝4.15．已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)，则f ′(5)＝____________. [答案] 6[解析] ∵f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)， ∴f ′(2)＝12＋2f ′(2)． ∴f ′(2)＝－12. ∴f ′(x )＝6x －24.∴f ′(5)＝30－24＝6.三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．求下列函数的导数． (1)y ＝e x ＋x ln x ； (2)y ＝sin x －x x.[答案] (1)y ′＝e x ＋ln x ＋1 (2)y ′＝x ·cos x －sin xx 2[解析] (1)y ′＝(e x )′＋(x ln x )′＝e x ＋ln x ＋x ·1x ＝e x ＋ln x ＋1.(2)y ′＝(sin x －x )′·x －x ′(sin x －x )x 2＝(cos x －1)x －sin x ＋x x 2＝x ·cos x －sin xx 2. 17．求曲线y ＝f (x )＝12x 2－3x ＋2ln x 在(3，f (3))处切线的斜率及切线方程．[答案] 斜率23 切线方程y ＝23x －132＋2ln3[解析] 由已知x >0， ∴f ′(x )＝x －3＋2x.曲线y ＝f (x )在(3，f (3))处切线的斜率为f ′(3)＝23.又f (3)＝92－9＋2ln3＝－92＋2ln3.∴方程为y －(－92＋2ln3)＝23(x －3)，即y ＝23x －132＋2ln3.18．求过原点作曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x －1的切线方程． [答案] x ＋y ＝0或23x －4y ＝0 [解析] 设切点为(x 0，y 0)， ∵y ′＝3x 2－6x ＋2，∴切线斜率为3x 20－6x 0＋2，∴切线方程为y －y 0＝(3x 20－6x 0＋2)(x －x 0)∵切点在曲线C ，∴y 0＝x 30－3x 20＋2x 0－1，①又切线过原点，∴－y 0＝(3x 20－6x 0＋2)(－x 0)，②由①②得0＝－2x 30＋3x 20－1，∴2x 30－3x 20＋1＝0，因式分解得：(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0， ∴x 0＝1或x 0＝－12，∴两个切点为(1，－1)，(－12，－238)∴两条切线方程为y ＋1＝－1(x －1)和y ＋238＝234(x ＋12)即x ＋y ＝0或23x －4y ＝0. 19．求满足下列条件的函数f (x )．(1)f (x )是一元三次函数，且f (0)＝0，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(3)＝0； (2)f ′(x )是一次函数，且x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1. [答案] (1)f (x )＝12x 3－94x 2 (2)f (x )＝2x 2＋2x ＋1[解析] (1)设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)， 则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝0＝d f ′(0)＝0＝cf ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝－3f ′(3)＝0＝27a ＋6b ＋c，解之，得a ＝12，b ＝－94，c ＝0，d ＝0.故f (x )＝12x 3－94x 2.(2)由于f ′(x )为一次函数，则f (x )必为二次函数． 令f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 代入x 2f ′(x )＋(－2x ＋1)f (x )＝1中， x 2(2ax ＋b )＋(－2x ＋1)(ax 2＋bx ＋c )＝1， 即(－b ＋a )x 2＋(b －2c )x ＋(c －1)＝0， 由多项式恒等的条件知⎩⎪⎨⎪⎧－b ＋a ＝0b －2c ＝0c －1＝0，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝2c ＝1.所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.20．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )，g (x )的表达式．[答案] f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16 [解析] ∵f (x )＝2x 3＋ax 的图像过点P (2,0)， ∴a ＝－8，∴f (x )＝2x 3－8x . ∴f ′(x )＝6x 2－8.对于g (x )＝bx 2＋c 的图像过点P (2,0)，得4b ＋c ＝0. 又g ′(x )＝2bx ，∴g ′(2)＝4b ＝f ′(2)＝16. ∴b ＝4.∴c ＝－16. ∴g (x )＝4x 2－16.综上，可知f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16.21．已知点M (0，－1)，F (0,1)，过点M 的直线l 与曲线y ＝13x 3－4x ＋4在x ＝2处的切线平行，(1)求直线l 的方程；(2)求以F 为焦点，l 为准线的抛物线C 的方程． [答案] (1)y ＝－1 (2)x 2＝4y[解析] (1)令y ＝f (x )＝13x 3－4x ＋4，得f ′(x )＝x 2－4，∴f ′(2)＝22－4＝0.∴直线l 的斜率为0，直线方程为y ＝－1.(2)抛物线以点F (0,1)为焦点，y ＝－1为准线，设抛物线方程为x 2＝2px ，则p2＝1，即p＝2，∴x 2＝4y .。
【成才之路】高中数学 第2章 平面向量综合能力检测 北师大版必修4
【成才之路】2014-2015学年高中数学 第2章 平面向量综合能力检测 北师大版必修4本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·陕西文，2)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2 B ． 2 C ．－2或 2 D ．0[答案] C[解析] 本题考查了向量的坐标运算，向量平行的坐标表示等．由a ∥b 知1×2＝m 2，即m ＝2或m ＝－ 2.2．若向量BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，则BC →＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2,4) C ．(6,10) D ．(－6，－10)[答案] A[解析] 本题考查向量的线性运算． BC →＝BA →＋AC →＝BA →－CA →＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．平面向量的坐标运算即对应坐标相加减．3．已知|a |＝63，|b |＝13，且a·b ＝－3，则a 与b 的夹角为( )A ．2π3B ．5π6C ．π3D ．π6[答案] B[解析] 设θ为向量a 与b 的夹角，则由cos θ＝a·b |a ||b |可得，cos θ＝－363×13＝－32，又θ∈[0，π]，所以θ＝5π6.选B. 4．设a ，b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b | [答案] C[解析] 本题考查向量共线的条件． 若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a 与b 方向相反． 则存在b ＝λa .反之则不然．5．(2014·重庆理，4)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3D ．152[答案] C[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算与向量的垂直，因为2a －3b ＝(2k －3，－6)，又因为(2a －3b )⊥c ，所以，(2a －3b )·c ＝0，即(2k －3，－6)·(2,1)＝0，解得k ＝3，本题根据条件也可以转化为2a ·c －3b ·c ＝0化简求解．6．直线(3－2)x ＋y ＝3和直线x ＋(2－3)y ＝2的位置关系是( ) A ．相交但不垂直 B ．垂直 C ．平行 D ．重合[答案] B[解析] 直线(3－2)x ＋y ＝3的方向向量为(1，2－3)，直线x ＋(2－3)y ＝2的方向向量为(1，2＋3)，则(1，2－3)·(1，2＋3)＝1＋(2－3)(2＋3)＝1＋(－1)＝0，所以两直线垂直．选B.7．已知作用在A 点的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，且A (1,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3终点的坐标为( )A ．(1,9)B ．(9,1)C ．(8,0)D ．(0,8)[答案] B[解析] F ＝(8,0)，设终点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝8，y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝1.8．在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是( ) A ．|AC →|2＝AC →·AB →B ．|BC →|2＝BA →·BC →C ．|AB →|2＝AC →·CD → D ．|CD →|2＝AC →·AB →BA →·BC →|AB →|2[答案] C[解析] ∵AC →·AB →＝AC →·(AC →＋CB →) ＝AC →2＋AC →·CB →＝AC →2，∴|AC |→2＝AC →·AB →成立；同理|BC →|2＝BA →·BC →成立； 而AC →·AB →|AB →|·BA →·BC→|BA →|＝|AD →|·|BD →|＝|CD |2＝|CD →|2.故选C.9．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝ 3 BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝( )A ．2 3B ．32C ．33D ． 3[答案] D[解析] 本题考查了向量的运算． ∵AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋ 3 BD →，∴AC →·AD →＝(AB →＋ 3 BD →)·AD →＝AB →·AD →＋ 3 BD →·AD →， 又∵AB ⊥AD ，∴AB →·AD →＝0，∴AC →·AD →＝ 3 BD →·AD →＝3|BD →|·|AD →|·cos∠ADB ＝3|BD →|·cos∠ADB ＝3·|AD →|＝ 3.10．对向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，定义一种新的运算“*”的意义为a *b ＝(x 1y 2，x 2y 1)，它仍是一个向量；则对任意的向量a ，b ，c 和任意实数λ，μ，下面命题中：①a *b ＝b *a ； ②(a *b )*b ＝a *(b *b )； ③(λa )*(μb )＝(λμ)(a *b )； ④(a ＋b )*c ＝a *c ＋b *c 正确命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0[答案] B[解析] 代入验证知①②不成立，③④成立，故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________.(用a ，b ，c 表示)[答案] a ＋c －b[解析] OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →＝a ＋c －b .12．(2013·江苏，10)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．[答案] 12[解析] 本题考查平面向量基本定理应用． 由已知DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，从而λ1＋λ2＝12.13．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________，DE →·DC →的最大值为________．[答案] 1 1[解析] 本题考查平面向量的数量积． 建立平面直角坐标系如图：则CB →＝(0，－1)，设E (x 0,0)， 则DE →＝(x 0，－1)，∴DE →·CB →＝(x 0，－1)·(0，－1)＝1， 又DC →＝(1,0)，∴DE →·DC →＝x 0，而0≤x 0≤1， ∴DE →·DC →最大值为1.14．在直角坐标系中，已知PA →＝(3,1)，PB →＝(5,10)，若点A 关于向量PB →所在直线的对称点是A ′，则向量PA ′→＝________.[答案] (－1,3)[解析] 设AA ′与向量PB →所在直线相交于点M ，则|PM →|＝|PA →|cos 〈PA →，PB →〉＝PA →·PB →|PB →|＝5，所以PM →＝15PB →＝(1,2)，从而AM →＝PM →－PA →＝(－2,1)，PA ′→＝PM →＋MA ′→＝PM →＋AM →＝(－1,3)．15．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________．[答案] 5[解析] 本题主要考查向量的坐标知识在解析几何中应用，如图，建立平面直角坐标系，根据题意设CD ＝a ，则A (2,0)，B (1，a )，P (0，y )，则PA →＝(2，－y )，PB →＝(1，a －y )， PA →＋3PB →＝(2，－y )＋(3,3a －3y )＝(5,3a －4y )，故|PA →＋3PB →|＝25＋a －4y2的最小值即当3a ＝4y 时，|PA →＋3PB →|min ＝5.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)如图所示，M ，N ，P 分别是△ABC 三边上的点，且BM →＝14BC →，CN →＝14CA →，AP →＝14AB →，设AB →＝a ，AC →＝b ，试将MN →，MP →，PN →用a ，b 表示，并计算MP →＋PN →－MN →.[解析] 由题设得AP →＝14AB →＝14a ，CN →＝14CA →＝－14AC →＝－14b ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ，BM →＝14BC →＝14(b －a )，所以MN →＝MC →＋CN →＝34BC →＋14CA →＝34(b －a )－14b ＝－34a ＋12b .同理可得MP →＝－12a －14b ，PN →＝－14a ＋34b .将它们代入得MP →＋PN →－MN →＝0. 17．(本小题满分12分)已知a ，b 是两个非零向量，若a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，试求a 与b 的夹角θ.[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3b a －5b ＝0，a －4ba －2b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0.①②由①－②得46a ·b －23b 2＝0， 即2a ·b －b 2＝0，即2a ·b ＝b 2， 代入①式得a 2＝b 2，∴|a |＝|b |. ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b2b 2＝12.∴a 与b 的夹角为θ＝60°.18．(本小题满分12分)已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 的夹角为3π4，且m ·n ＝－1.(1)求向量n ；(2)设向量a ＝(1,0)，向量b ＝(cos x ，sin x )，其中x ∈R ，若n ·a ＝0，试求|n ＋b |的取值范围．[解析] (1)设n ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，x ＋y 2·x 2＋y 2＝cos 3π4＝－22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.∴n ＝(－1,0)或n ＝(0，－1)． (2)∵a ＝(1,0)，n ·a ＝0， ∴n ＝(0，－1)．∴n ＋b ＝(cos x ，sin x －1)． ∴|n ＋b |＝x2＋x －2＝2－2sin x ＝2·1－sin x . ∵－1≤sin x ≤1， ∴0≤1－sin x ≤ 2. ∴0≤|n ＋b |≤2，即|n ＋b |的取值范围是[0,2]．19．(本小题满分12分)在直角坐标系中，已知OA →＝(4，－4)，OB →＝(5,1)，OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|，求MB →的坐标．[解析] 设点M 的坐标为M (x ，y )． ∵OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|， ∴OM →⊥MB →，∴OM →·MB →＝0.又OM →＝(x ，y )，MB →＝(5－x,1－y )， ∴x (5－x )＋y (1－y )＝0. 又点O 、M 、A 三点共线，∴OM →＝λOA →，∴x 4＝y －4.∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋y －y ＝0，x 4＝y－4.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.∴MB →＝OB →－OM →＝(5－2,1＋2)＝(3,3)．20．(本小题满分13分)设0<|a |≤2，f (x )＝cos 2x －|a |sin x －|b |的最大值为0，最小值为－4，且a 与b 的夹角为45°，求|a ＋b |.[解析] f (x )＝1－sin 2x －|a |sin x －|b | ＝－(sin x ＋|a |2)2＋|a |24－|b |＋1.∵0<|a |≤2，∴当sin x ＝－|a |2时，|a |24－|b |＋1＝0.当sin x ＝1时，－|a |－|b |＝－4.由⎩⎪⎨⎪⎧|a |24－|b |＋1＝0，－|a |－|b |＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝2，|b |＝2.∴|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝22＋2×2×2·cos45°＋22＝8＋42， ∴|a ＋b |＝22＋ 2.21．(本小题满分14分)如图所示，在Rt △ABC 中，已知BC ＝a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ →与BC →的夹角θ取何值时，BP →·CQ →的值最大？并求出这个最大值．[解析] 解法一：∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝0.∵AP →＝－AQ →，BP →＝AP →－AB →，CQ →＝AQ →－AC →， ∴BP →·CQ →＝(AP →－AB →)·(AQ →－AC →) ＝AP →·AQ →－AP →·AC →－AB →·AQ →＋AB →·AC → ＝－a 2－AP →·AC →＋AB →·AP → ＝－a 2＋AP →·(AB →－AC →)＝－a 2＋12PQ →·BC →＝－a 2＋a 2cos θ.当θ＝0°时，BP →·CQ →最大，其最大值为0.解法二：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．设|AB →|＝c ，|AC →|＝b ，则A (0,0)，B (c,0)，C (0，b )， 且|PQ →|＝2a ，|BC →|＝a ，设P 点的坐标为(x ，y )， 则Q (－x ，－y )．∴BP →＝(x －c ，y )，CQ →＝(－x ，－y －b )，BC →＝(－c ，b )，PQ →＝(－2x ，－2y )．∴BP →·CQ →＝－x (x －c )－y (y ＋b ) ＝－x 2－y 2＋cx －by ，cos θ＝BC →·PQ →|BC →||PQ →|＝2cx －2by 2a 2＝cx －bya 2， 即cx －by ＝a 2cos θ. ∴BP →·CQ →＝－a 2＋a 2cos θ.故当cos θ＝1时，即θ＝0°(PQ →与BC →同向)时，BP →·CQ →最大，其最大值为0.。
【成才之路】高中数学 本册综合测试1 北师大版必修4
【成才之路】2014-2015学年高中数学 本册综合测试1 北师大版必修4本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则y x的值为( ) A ． 3 B ．－ 3 C ．33D ．－33[答案] B[解析] 由三角函数的定义知y x＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－ 3. 2．(2014·陕西文，2)函数f (x )＝cos(2x ＋π4)的最小正周期是( )A ．π2B ．πC ．2πD ．4π[答案] B[解析] T ＝2π2＝π，选B.y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，ω>0，A >0的最小正周期为2πω.3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12 C ．(3,2) D ．(1,3)[答案] A[解析] 本题主要考查平面向量的坐标运算． BC →＝(3＋1,1＋2)＝(4,3)，2AD →＝2(x ，y －2)＝(2x,2y －4) ∵BC →＝2AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x 3＝2y －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝72，故选A.4．函数f (x )＝sin(x －π4)的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2[答案] C[解析] 本题考查了正弦型函数图像的对称轴问题． 函数f (x )＝sin(x －π4)的图像的对称轴是x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋3π4，k ∈Z. 当k ＝－1时，x ＝－π＋3π4＝－π4.要清楚函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的对称轴，其本质是sin(ωx ＋φ)＝±1时解出的．5．设向量a 和b 的长度分别为4和3，夹角为60°，则|a ＋b |等于( ) A ．37 B ．13 C ．37 D ．13[答案] C[解析] |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋2|a ||b |cos60°＋|b |2＝16＋2×4×3×12＋9＝37，|a ＋b |＝37，故选C.6．设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，3π2C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4π3D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3[答案] D[解析] 当α∈[0，π2)时，由sin α>3cos α，得sin αcos α＝tan α>3，解得α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2；当α∈[π2，π]时，cos α≤0，显然原式成立；当α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2时，易得tan α<3，解得α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3；当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π2，2π时，sin α<0，cos α≥0，原式不成立，综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3.7．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值为( )A ．13B ．3C ．6D ．9[答案] C[解析] 由题意得：π3为函数f (x )＝cos ωx 的最小正周期的正整数倍，∴π3＝k ·2πω(k ∈N ＋)， ∴ω＝6k (k ∈N ＋)，∴ω的最小值为6.8．△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA →＋AB →＋AC →＝0，|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →的值为( )A ．32B ． 3C ．3D ．2 3 [答案] C[解析] 如图所示，取BC 边中点M ，由2OA →＋AB →＋AC →＝0，可得2AO →＝AB →＋AC →＝2AM →， 则点M 与点O 重合．又由|OB →|＝|OC →|＝|OA →|＝|AB →|＝1， 可得|AC |＝|BC |·sin60°＝2×32＝3， 则CA →·CB →＝|CA →||CB →|·cos C ＝|CA →|2＝3.9．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)cos(ωx ＋φ)(ω>0)，以2为最小正周期，且能在x ＝2时取得最大值，则φ的一个值是( )A ．74π B ．－54πC ．－34πD ．π2[答案] C[解析] f (x )＝12sin(2ωx ＋2φ) T ＝2π2ω＝2∴ω＝π2，∴f (x )＝12sin(πx ＋2φ)，当x ＝2时，πx ＋2φ＝2π＋2φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－3π4，k ∈Z.10．已知f (x )＝sin(x ＋π2)，g (x )＝cos(x －π2)，则下列结论中不正确的是( )A ．函数y ＝f (x )g (x )的最小正周期为πB ．函数y ＝f (x )g (x )的最大值为12C ．函数y ＝f (x )g (x )的图像关于点(π4，0)成中心对称D ．将函数f (x )的图像向右平移π2个单位后得到函数g (x )的图像[答案] C[解析] f (x )＝cos x ，g (x )＝sin x ，y ＝f (x )g (x )＝cos x sin x ＝12sin2x ，∴最小正周期T ＝π，最大值为12，∴选项A ，B 正确．当x ＝π4时，y ＝12sin(2×π4)＝12≠0，∴y ＝f (x )g (x )的图像不关于点(π4，0)对称，选项C 错误．将f (x )的图像向右平移π2个单位后得y ＝cos(x －π2)，即g (x )的图像，选项D 正确．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．已知α为直线x ＋3y ＝0的倾斜角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为________．[答案] 12[解析] 因为直线x ＋3y ＝0的斜率为－13，所以tan α＝－13，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan α·tan π4＝－13＋11＋13＝12.12．(2014·重庆文，12)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________.[答案] 10[解析] 此题考查向量数量积的运算． ∵a ＝(－2，－6)，∴|a |＝4＋36＝210， ∴a ·b ＝210×10×cos60°＝10.13.下图是y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图像，则其解析式为________．[答案] y ＝3sin(2x ＋π3)[解析] 由图知T ＝11π6＋π6＝2π，∴ω＝1且A ＝2.由图像过(－π6，0)，得1×(－π6)＋φ＝0，又0<φ<π2，∴φ＝π6.∴y ＝2sin(x ＋π6)．14．已知cos(α－β)＝－45，cos(α＋β)＝45，90°<α－β<180°，270°<α＋β<360°，则cos2α＝__________.[答案] －725[解析] 由cos(α－β)＝－45，cos(α＋β)＝45，90°<α－β<180°，270°<α＋β<360°， 所以sin(α－β)＝35，sin(α＋β)＝－35，所以cos2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)·cos(α＋β)－sin(α－β)·sin(α＋β)＝－45×45－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－725.15．设f (x )＝cos x－x，则f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)＝________.[答案]5932[解析] f (x )＋f (60°－x ) ＝cos x－x＋－xx －＝cos x ＋－x－x＝3＋x－x＝3，∴f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)＝[f (1°)＋f (59°)]＋[f (2°)＋f (58°)]＋…＋[f (29°)＋f (31°)]＋f (30°)＝5932. 三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知π6<α<2π3，sin(α－π3)＝m ，求tan(4π3－α)的值． [解析] ∵π6<α<2π3，∴－π6<α－π3<π3.∴cos(α－π3)＝1－m 2.∴tan(α－π3)＝α－π3α－π3＝m1－m2.∴tan(4π3－α)＝tan[π－(α－π3)]＝－tan(α－π3)＝－m1－m2. 17．(本小题满分12分)OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)，在OC →上是否存在点M ，使MA →⊥MB →？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析] 设存在点M ，且OM →＝λOC →＝(6λ，3λ)(0<λ≤1)， ∴MA →＝(2－6λ，5－3λ)，MB →＝(3－6λ，1－3λ)． ∴45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115.∴OM →＝(2,1)或OM →＝(225，115)．∴存在M (2,1)或M (225，115)满足题意．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos2x －1π4＋x π4－x .(1)求f (－11π12)的值；(2)当x ∈[0，π4)时，求g (x )＝12f (x )＋sin2x 的最大值和最小值．[解析] (1)f (x )＝＋cos2x2－2cos2x －1π4＋x π4－x＝cos 22x π4＋x π4＋x＝2cos 22x π2＋2x ＝2cos 22xcos2x ＝2cos2x ，∴f (－11π12)＝2cos(－11π6)＝2cos π6＝ 3.(2)g (x )＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)，∵x ∈[0，π4)，∴2x ＋π4∈[π4，3π4)．∴当x ＝π8时，g max (x )＝2，当x ＝0时，g min (x )＝1.19．(本小题满分12分)已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°.(1)计算：①|a ＋b |；②|4a －2b |. (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(ka －b )?[解析] 由已知可得a ·b ＝4×8×(－12)＝－16.(1)①|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48， 所以|a ＋b |＝4 3.②|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64 ＝3×162，所以|4a －2b |＝16 3. (2)若(a ＋2b )⊥(ka －b )，则 (a ＋2b )·(ka －b )＝0，所以ka 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0， 16k －16(2k －1)－2×64＝0， 故k ＝－7.20．(本小题满分13分)(2014·重庆理，17)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图像关于直线x ＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)若f (α2)＝34(π6<α<2π3)，求cos(α＋3π2)的值．[解析] (1)因f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2，又因f (x )的图像关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…，因－π2≤φ<π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f (α2)＝3sin(2·α2－π6)＝34.所以sin(α－π6)＝14.由π6<α<2π3得0<α－π6<π2. 所以cos(α－π6)＝1－sin2α－π6＝1－142＝154. 因此cos(α＋3π2)＝sin α＝sin[(α－π6)＋π6]＝sin(α－π6)cos π6＋cos(α－π6)sin π6＝14·32＋154·12 ＝3＋158. 21．(本小题满分14分)设函数f (x )＝a ·(b ＋c )，其中向量a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(sin x ，－3cos x )，c ＝(－cos x ，sin x )，x ∈R.(1)求函数f (x )的单调减区间；(2)函数y ＝f (x )的图像可由函数y ＝sin x 的图像经过怎样变化得出？ (3)若不等式|f (x )－m |<2在x ∈[π8，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围．[解析] (1)由题意得f (x )＝a ·(b ＋c )＝(sin x ，－cos x )·(sin x －cos x ，sin x －3cos x )＝sin 2x －2sin x cos x ＋3cos 2x ＝2＋cos2x －sin2x ＝2＋2sin(2x ＋3π4)．由2k π＋π2≤2x ＋3π4≤2k π＋3π2，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z)．故f (x )的单调减区间为[k π－π8，k π＋3π8](k ∈Z)．(2)先将y ＝sin x 的图像上所有点向左平移3π4个单位，再将所得的图像上所有点横坐标压缩到原来的12，然后再将所得的图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，最后将所得图像上所有点向上平移2个单位即可得y ＝f (x )的图像．(3)∵|f (x )－m |<2在x ∈[π8，π2]上恒成立，∴f(x)－2<m<f(x)＋2，∴m>[f(x)]max－2且m<[f(x)]min＋2，即m>0且m<4－2，∴0<m<4－ 2.。
【成才之路】高中数学 3.3 指数函数课后强化作业 北师大版必修1
【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.3 指数函数课后强化作业北师大版必修1一、选择题1．若指数函数y ＝(1－a )x在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(－∞，1) D ．(－1,1)[答案] B[解析] ∵函数y ＝(1－a )x在(－∞，＋∞)上是减函数， ∴0<1－a <1，∴0<a <1.2．函数y ＝2－x的图像是下图中的( )[答案] B[解析] ∵y ＝2－x＝(12)x ，∴函数y ＝(12)x是减函数，且过点(0,1)，故选B.3．如果函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图像与函数y ＝(23)x 的图像关于y 轴对称，则a 的值为( )A.23 B ．－23C.32D ．－32[答案] C[解析] 由题意知a ·23＝1，即a ＝32.4．函数y ＝1－3x的定义域是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0] C ．[1，＋∞) D ．(－∞，＋∞)[答案] B[解析] 由题意，得1－3x ≥0，∴3x≤1，∴x ≤0， ∴函数y ＝1－3x的定义域为(－∞，0]． 5．已知函数f (x )＝a x －1＋2(a ＞0，a ≠1)的图像恒过定点P ，则点P 的坐标是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．(2,0)[答案] A[解析] 令x －1＝0，x ＝1，f (x )＝3， ∴点P 的坐标是(1,3)．6．函数y ＝a x在[0,1]上最大值与最小值的和为3，则a 等于( ) A.12 B ．2 C ．4 D ．14[答案] B[解析] 当0<a <1时，显然不合题意，故由已知得a >1，当x ＝0时，y min ＝a 0＝1， 当x ＝1时，y max ＝a 1＝a ，又∵1＋a ＝3，∴a ＝2.故正确答案为B. 二、填空题 7．函数f (x )＝a x 2＋2x －3＋m (a >1)恒过点(1,10)，则m ＝________.[答案] 9[解析] ∵函数f (x )＝a x 2＋2x －3＋m (a >1)恒过点(1,10)，∴10＝a 0＋m ，∴m ＝9.8．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋x ＋2的定义域是__________，值域为__________．[答案] [－1,2] [24，1] [解析] 由－x 2＋x ＋2≥0得－1≤x ≤2，此时－x 2＋x ＋2∈[0，94]∴u ＝－x 2＋x ＋2∈[0，32]，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u∈[24，1]．三、解答题9．若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值． [解析] 当a >1时，函数f (x )＝a x－1在[0,2)上是增函数，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝0，a 2－1＝2，解得a ＝ 3.当0<a <1时，函数f (x )＝a x－1在[0,2]上是减函数，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝2，a 2－1＝0，此时a 无解．综上所述，a ＝ 3.一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[答案] A[解析] 本题考查分段函数求值．∵f (1)＝21＝2，∴由f (a )＋f (1)＝0知 f (a )＝－2. 当a >0时 2a＝－2不成立． 当a <0时a ＋1＝－2，a ＝－3.2．定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≤b b b <a，如1]( )A ．(0,1)B ．(0，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(0,1][答案] D[解析] 由题意知函数f (x )的图像如图，∴函数的值域为(0,1]，故选D. 二、填空题 3．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．[答案] m <n [解析] ∵a ＝5－12，∴0<a <1， 函数f (x )＝a x在x ∈R 上是单调递减的且f (m )>f (n )，∴m <n .4．函数y ＝(13)x在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n ＝________.[答案] 12[解析] m ＝f (－1)＝(13)－1＝3，n ＝f (－2)＝(13)－2＝9，则m ＋n ＝3＋9＝12.三、解答题 5．已知f (x )＝12x－1＋a 是奇函数，求a 的值及函数的值域． [解析] ①∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )对定义域内的每一个x 都成立． 即12－x－1＋a ＝－[12x －1＋a ]， ∴2a ＝－12－x －1－12x －1＝1，∴a ＝12.②∵2x－1≠0，∴x ≠0.∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵2x>0且2x≠1，∴2x－1>－1且2x－1≠0， ∴12x －1<－1或12x －1>0， ∴y <－12或y >12.∴f (x )的值域为(－∞，－12)∪(12，＋∞)．6．设f (x )＝4x4x ＋2，若0<a <1，试求：(1)f (a )＋f (1－a )的值；(2)f (11001)＋f (21001)＋f (31001)＋…＋f (10001001)的值．[解析] (1)f (a )＋f (1－a ) ＝4a4a ＋2＋41－a41－a ＋2＝4a4a ＋2＋44a 44a ＋2 ＝4a4a ＋2＋44＋2·4a ＝4a4a ＋2＋22＋4a ＝4a＋24a ＋2＝1. (2)f (11001)＋f (21001)＋f (31001)＋…＋f (10001001)＝[f (11001)＋f (10001001)]＋[f (21001)＋f (9991001)]＋…＋[f (5001001)＋f (5011001)]＝500×1＝500.7．已知f (x )＝10x －10－x10x ＋10－x .(1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)证明f (x )是定义域内的增函数； (3)求f (x )的值域．[分析] 本题是一道综合题，需利用函数的有关性质，如单调性、奇偶性等知识解决． [解析] (1)∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝10－x－10x10－x ＋10x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)证法1：f (x )＝10x－10－x10x ＋10－x ＝102x－1102x＋1＝1－2102x ＋1. 令x 2>x 1，则Δx ＝x 2－x 1>0，∴Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝(1－2102x 2＋1)－(1－2102x 1＋1)＝2·.∵g (x )＝10x为增函数，∴当x 2>x 1时，102x 2－102x1>0， 又∵102x1＋1>0,102x2＋1>0，故当Δx >0时，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )是增函数． 证法2：考虑复合函数的增减性． 由f (x )＝10x －10－x10x ＋10－x ＝1－2102x＋1， ∵y ＝10x为增函数，∴y ＝102x＋1为增函数，y ＝2102x＋1为减函数，y ＝－2102x ＋1为增函数，∴f (x )＝1－2102x ＋1在定义域内是增函数．(3)令y ＝f (x )，由y ＝102x－1102x ＋1，解得102x＝1＋y 1－y .∵102x>0，∴－1<y <1，即f (x )的值域为(－1,1)．。
【成才之路】高中数学 第1章 立体几何初步综合能力检测 北师大版必修2
【成才之路】2014-2015学年高中数学 第1章 立体几何初步 综合能力检测 北师大版必修2本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1． 若P 是平面α外一点，则下列命题正确的是( ) A ．过P 只能作一条直线与平面α相交 B ．过P 可作无数条直线与平面α垂直 C ．过P 只能作一条直线与平面α平行 D ．过P 可作无数条直线与平面α平行 [答案] D[解析] 过P 点平行于α的平面内任一直线都与平面α平行．2．不同直线m 、n 和不同平面α、β，给出下列命题，其中错误命题有( ) ①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βm α⇒m ∥β； ②⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ∥β⇒n ∥β；③⎭⎬⎫m αn β⇒m 、n 异面； ④⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βm ∥α⇒m ⊥β. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个[答案] D[解析] ①对，②、③、④错．3．(2014·四川文，4)某三棱锥的左视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是( ) (锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)A ．3B ．2C ． 3D ．1[答案] D[解析] 本题考查了三视图及体积计算公式等．由图知平面PAB ⊥平面ABC ，PD ⊥AB ，PD ⊥平面ABC ，底面是边长为2的正三角形，∴V ＝13Sh ＝13×3×3＝1.由三视图找出垂直关系是关键．4．底面是菱形的直棱柱的两条体对角线长为8cm 和12cm ，侧棱长为4cm ，则它的底面边长为( )A ．11cmB ．22cmC ．211cmD ．222cm[答案] C[解析] 由题意，可求出两底面菱形的两对角线的长分别为82－42＝43cm ，122－42＝82cm ，则底面边长为12＋32＝211cm.5．(2014·陕西理，5)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )A ．32π3B ．4πC ．2πD ．4π3[答案] D[解析] 本题考查空间几何体的结构特征，球的体积计算． 如图，根据正四棱柱的特点，球心也是正四棱柱的中心O .∵AB ＝1，∴O 1A 1＝22， ∵AA 1＝2，∴OO 1＝22， ∴r ＝OA 1＝1，∴V 球＝43π.6．如图，BCDE 是一个正方形，AB ⊥平面BCDE ，则图中(侧面，底面)互相垂直的平面共有( )A ．4组B ．5组C ．6组D ．7组[答案] B[解析] 与平面BCDE 垂直的平面有2个，与平面ABC 垂直的平面有2个，(含平面ABE ，不含平面BCDE )．与平面ABE 垂直的平面有2个(含平面ABC ，不含平面BCDE )，∴2＋2＋2－1＝5.7． (浙江高考)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A ．108cm 3B ．100cm 3C ．92cm 3D ．84cm 3[答案] B[解析] 结合三视图可得几何体的直观图如图所示，其体积V ＝VABCD －A 1B 1C 1D 1－VD 1－A 1EF ，由三视图可得VABCD －A 1B 1C 1D 1＝6×6×3＝108cm 3，VD 1－A 1EF ＝13×12×4×4×3＝8cm 3，所以V ＝100cm 3，选B.8． 体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为( )A ．54B ．54πC ．58D ．58π[答案] A[解析] 设原圆锥的体积是x ， 则x －52x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133， ∴x ＝54.9．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等[答案] D[解析] 本题主要考查线线垂直、线面平行、三棱锥的体积等知识，考查学生的推理论证能力．对于选项A ，由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1得B 1B ⊥面AC ，∴AC ⊥B 1B ， 又∵AC ⊥BD ，∴AC ⊥面BDD 1B 1，BE 面BDD 1B 1， ∴AC ⊥BE .对于选项B ，由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1得B 1D 1∥BD ，B 1D 1面ABCD ，BD 面ABCD ，∴B 1D 1∥面ABCD ，∴EF ∥面ABCD .对于选项C ，V A －BEF ＝13×22×12×1×12＝224.∴三棱锥A －BEF 的体积为定值．对于选项D ，因线段B 1D 1上两个动点E ，F ，且EF ＝12，在E ，F 移动时，A 到EF 的距离与B 到EF 的距离不相等 ∴△AEF 的面积与△BEF 的面积不相等．10．一圆台上底半径为5cm ，下底半径为10cm ，母线AB 长为20cm ，其中A 在上底面上，B 在下底面上，从AB 中点M 拉一条绳子，绕圆台的侧面一周转到B 点，则这条绳子最短为( )A ．30cmB ．40cmC ．50cmD ．60cm[答案] C[解析] 如图所示，把圆台侧面展开，显然绳子的最短路线是由B 到M 的线段．其中展开图的圆环圆心角为θ＝π2，上底周长为2πR 上＝10πcm ，＝14×2πOA ′， ∴OA ′＝20cm.又A ′M ＝MB ′＝202＝10cm ，∴OM ＝30cm ，OB ＝40cm ， ∴MB ＝OM 2＋OB 2＝50cm.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________． [答案]3π3[解析] 设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，高为h ，由⎩⎪⎨⎪⎧πrl ＝2π，πr 2＝π，得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2，r ＝1.所以h ＝l 2－r 2＝ 3.于是，圆锥的体积为V ＝13πr 2h ＝3π3.12．如图所示，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为4，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 的长等于________．[答案]17[解析] 取A 1B 1的中点H ，连接EH ，FH ，则EH ＝4，FH ＝1. 由正三棱柱的性质知△EFH 为直角三角形．所以EF ＝FH 2＋EH 2＝17.13．一个正方体的各顶点均在同一个球的球面上，若该球的体积为43π，则该正方体的表面积为________．[答案] 24[解析] 设正方体的棱长为a ，球的半径为r ， 则2r ＝3a ，∴a ＝233r .∵43πr 3＝43π，∴r ＝3，∴a ＝2. ∴正方体的表面积为6a 2＝24.14．已知PA 垂直于平行四边形ABCD 所在的平面，若PC ⊥BD ，则平行四边形ABCD 一定是________．[答案] 菱形[解析] ∵PA ⊥平面ABCD ， ∴PA ⊥BD .又∵PC ⊥BD ，∴BD ⊥平面PAC . ∴BD ⊥AC .∴四边形ABCD 为菱形．15．若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，则________(写出所有正确结论的编号)．①四面体ABCD 每组对棱相互垂直； ②四面体ABCD 每个面的面积相等；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°； ④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长． [答案] ②④⑤[解析] 本题考查了空间几何体中点线面的位置关系．依题意，该四面体可看作是一个长方体截掉四个顶角后剩余部分，所以可以确定②④⑤正确．对于①，只有四面体ABCD 是正四面体时才成立．对于③，取特例正四面体知夹角和为60°＋60°＋60°＝180°知③错．三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)如图是一个几何体的主视图和俯视图．(1)试判断这个几何体是什么几何体； (2)请画出它的左视图，并求该左视图的面积．[解析] (1)由题图中的主视图和俯视图知该几何体是正六棱锥．(2)该几何体的左视图如图所示．其中两腰为斜高，底边长为3a ，三角形的高即为正六棱锥的高，且长为3a .所以该左视图的面积为123a ·3a ＝32a 2.17．(本小题满分12分)如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长为a ，D 、E 分别是BB 1、CC 1上的点，且EC ＝2BD ＝a .求证：平面ADE ⊥平面ACC 1A 1.[解析] 取AE 的中点O ，AC 中点F ，连接OF 、BF 、OD ， 则AD ＝52a . ∵四边形BDEC 为直角梯形，且EC ＝2BD ＝a ， ∴DE ＝52a .则△DAE 为等腰三角形，故DO ⊥AE . 又∵OF ∥EC ，且OF ＝12EC ＝12a ，∴OF 綊BD ，OF ⊥BF . ∴四边形BDOF 是矩形， ∴DO ⊥OF .又OF ∩AE ＝O ，∴DO ⊥平面AA 1C 1C . 又DO 平面ADE ， ∴平面ADE ⊥平面AA 1C 1C .18．(本小题满分12分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点．(1)求证：平面AB1D1∥平面EFG；(2)求证：平面AA1C⊥平面EFG.[证明] (1)连接BD，∵E、F分别为BC、CD的中点，∴EF∥BD.∵BD∥B1D1，∴EF∥B1D1.又EF平面AB1D1，B 1D1平面AB1D1∴EF∥平面AB1D1，同理EG∥平面AB1D1.∵EF∩EG＝E，∴平面AB1D1∥平面EFG.(2)∵AA1⊥平面ABCD，EF 平面ABCD，∴AA1⊥EF.又EF⊥AC，AA1∩AC＝A，∴EF⊥平面A1AC，又EF平面EFG，∴平面AA1C⊥平面EFG.19．(本小题满分12分)(2014·安徽文，19)如图，四棱锥P－ABCD的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明： GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．[解析] 思路分析：(1)依据线面平行性质求得BC ∥GH ，进而证明GH ∥EF .(2)由(1)知四边形GEFH 是梯形，则须求出上底、下底和高．EF ＝8易知．根据平面GEFH ⊥平面ABCD ，可作出高GK ，这里GK ⊥平面ABCD ，GK ⊥EF .通过三角形中比例关系求出K 为OB 中点，并求得GH 、GK .解：(1)∵BC ∥平面GEFH ，BC 平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，∴GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，∴GH ∥EF .(2)连接AC ，BD 交于一点O ，BD 交EF 于K ，连接OP 、GK . 因为PA ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ， 同理可证PO ⊥BD ，又∵BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内，∴PO ⊥平面ABCD ， 又∵平面GEFH ⊥平面ABCD ，PO ⊄平面GEFH ， ∴PO ∥平面GEFH .又∵平面GEFH ∩平面PBD ＝GK ， ∴PO ∥GK ，且GK ⊥平面ABCD ， ∴GK ⊥EF ，所以GK 是梯形GEFH 的高． ∵AB ＝8，EB ＝2， ∴EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，∴KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点，又∵PO ∥GK ，∴GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.又由已知得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6. ∴GK ＝3.∴四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF2·GK ＝4＋82×3＝18.20．(本小题满分13分)(北京高考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，E 和F 分别是CD 、PC 的中点，求证：(1)PA ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面PAD ； (3)平面BEF ⊥平面PCD .[解析] (1)因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且PA 垂直于这两个平面的交线AD ， 所以PA ⊥底面ABCD .(2)因为AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点，所以AB ∥DE ，且AB ＝DE .所以四边形ABED 为平行四边形．所以BE ∥AD . 又因为BE 平面PAD ，AD 平面PAD ， 所以BE ∥平面PAD .(3)因为AB ⊥AD ，而且ABED 为平行四边形， 所以BE ⊥CD ，AD ⊥CD .由(1)知PA ⊥底面ABCD .所以PA ⊥CD . 所以CD ⊥平面PAD .所以CD ⊥PD . 因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点， 所以PD ∥EF .所以CD ⊥EF ， 又因为CD ⊥BE ，BE ∩EF ＝E ，所以CD ⊥平面BEF . 所以平面BEF ⊥平面PCD .21．(本小题满分14分)正三棱锥高为1，底面边长为26，内有一球与四个面都相切．(1)求棱锥的全面积；(2)求球的半径及表面积．[解析] (1)设底面中心为O ，D 为AB 中点，则VD 为斜高，OD ＝36AB ＝2，在Rt △VOD 中，VO ＝1，VD ＝1＋2＝ 3.∴S 全＝34(26)2＋3×26×12×3＝63＋9 2. (2)解法一：设球的半径为R ，由△VO 1E ∽△VDO 有O 1E OD ＝VO 1VD ⇒R 2＝1－R 3⇒R ＝6－2， 故S 球＝4πR 2＝4π(6－2)2＝8(5－26)π. 解法二：V V －ABC ＝13S △ABC ·h ＝13(S △ABC ＋S △VAB ＋S △VCB ＋S △VAC )R ，而S △ABC ＝34·(26)2＝6 3. S △VAB ＋S △VCB ＋S △VAC ＝3S △VAB ＝3·12·26·3＝9 2.故63·1＝(63＋92)R ⇒R ＝6－2，故S 球＝4πR 2＝4π(6－2)2＝8(5－26)π.。
成才之路高中数学北师大,必修练习：综合能力测试
第三章综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
时间120分钟，满分150分。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．对于概率是1‰的事件，下列说法正确的是( ) A ．概率太小，不可能发生 B ．1 000次中一定发生1次C ．1 000人中，999人说不发生，1人说发生D ．1 000次中有可能发生1 000次 [答案] D[解析] 概率是1‰是说明发生的可能性是1‰，每次发生都是随机的，1 000次中也可能发生1 000次，只是发生的可能性很小，故选D.2．下列事件中，随机事件是( ) A ．向区间(0,1)内投点，点落在(0,1)区间 B ．向区间(0,1)内投点，点落在(1,2)区间 C ．向区间(0,2)内投点，点落在(0,1)区间 D ．向区间(0,2)内投点，点落在(－1,0)区间 [答案] C[解析] 选项A 为必然事件，选项B 与D 为不可能事件，只有C 为随机事件． 3．在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm ，从中任取一根，取到长度超过30 mm 的纤维的概率是( )A.3040 B ．1240C.1230 D ．以上都不对[答案] B[解析] 在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm ，即基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为1240.4．甲、乙两人随意住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是( ) A.14B ．13C.12 D ．23[答案] C[解析] 不妨设两间空房为A 、B ，则甲、乙两人随意入住的所有可能情况为：甲、乙都住A ；甲、乙都住B ；甲住A ，乙住B ；甲住B ，乙住A 共4种情况．其中甲、乙两人各住一间的情形有2种，故所求的概率P ＝24＝12.5．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是( )A.34 B ．14C.12 D ．18[答案] A[解析] 从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条总共有4种情况，依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况：2、3、4或3、4、5或2、4、5，故P ＝34.6.如图，一个矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机的撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为( )A.235 B ．215C.195 D ．165[答案] A[解析] 据题意得S 阴影S 矩形＝S 阴影2×5＝138300⇒S 阴影＝235.7．袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取3次，则下列事件中概率是89的是( )A ．颜色全相同B ．颜色不全相同C ．颜色全不相同D ．无红颜色球[答案] B[解析] 共有3×3×3＝27种可能，而颜色全相同有三种可能，其概率为19.因此，颜色不全相同的概率为1－19＝89，故选B.8．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A．1－2πB．12－1πC.2πD．1π[答案] A[解析]本题考查几何概型的计算方法．设图中阴影面积为S1，S2，令OA＝R，∴S2－S1＝πR24－π·(R2)2＝0，即S2＝S1，由图形知，S1＝2(S扇ODC－S△ODC)＝2[π·(R2)24－12·(R2)2]＝πR2－2R28，∴P＝S1＋S2S扇AOB＝(π－2)R24πR24＝1－2π，充分利用图形的对称性才能求出阴影部分的面积．9．(2014·新课标Ⅰ理，5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.18B．38C.58 D ．78[答案] D[解析] 本题主要考查古典概型概率的求法，关键是求出可能结果的种数．4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况共有24＝16种，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，∴所求概率为1－1＋116＝78.10．在边长为2的正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是正方形ABCD 四边的中点，将均匀的粒子撒在正方形中，则粒子落在下列四个图中阴影部分区域的概率依次为P 1，P 2，P 3，P 4，则关于它们的大小比较正确的是( )A ．P 1<P 2＝P 3<P 4B ．P 4<P 2＝P 3<P 1C ．P 1＝P 4<P 2<P 3D ．P 1＝P 4<P 3<P 2[答案] D[解析] 正方形ABCD 的面积为2×2＝4，对于图1，阴影部分区域的面积为4－4×12，所以概率为P 1＝24；对于图2，阴影部分区域的面积为π，所以概率为P 2＝π4；对于图3，阴影部分区域的面积为4－2×12＝3，所以概率为P 3＝34；对于图4，阴影部分区域的面积为12×2×2＝2，所以概率为P 4＝24，故选D.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．口袋中装有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23，则摸出黑球的概率是________．[答案] 0.32[解析] 白球个数为100×0.23＝23，黑球个数为100－45－23＝32，所以摸出黑球的概率为32100＝0.32.12．同时抛掷两个骰子，向上的点数之积为偶数的概率为________． [答案] 34[解析] 同时抛掷两个骰子，有6×6＝36种不同结果，朝上一面的点数之积是奇数，当且仅当两个骰子向上一面都是奇数的有3×3＝9个不同结果，∴“朝上一面点数的积为奇数”的概率P ＝936＝14，其对立事件“朝上一面点数的积为偶数”的概率为1－14＝34.13．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．[答案]1316[解析] 本题主要考查几何概型．∵去看电影的概率P 1＝π×12－π×(12)2π×12＝34； ∴去打篮球的概率P 2＝π×(14)2π×12＝116. 小波不在家看书的概率P ＝34＋116＝1316.14．从含有三件正品和一件次品的4件产品中不放回地任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是__________________．[答案] 12[解析] 从4件产品中不放回的任取两件，共有基本事件总数为4×3÷2＝6.取出的两件中恰有一件次品，则另一件为正品包括1×3＝3(种)可能结果，故恰有一件次品的概率为36＝12. 15.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是________．[答案] 13[解析] 连接AC ，则tan ∠CAB ＝13，∠CAB ＝π6，由几何概型的计算公式得P ＝π6π2＝13.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)袋中有红、黄2种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取两次．求：(1)两次全是红球的概率； (2)两次颜色相同的概率； (3)两次颜色不同的概率．[解析] 因为是有放回地抽取两次，所以每次取到的球可以都是红球，也可以都是黄球．把第一次取到红球，第二次取到红球简记为(红，红)，其他情况用类似记法，则有放回地抽取2次，所有的基本事件有4个，分别是：(红，红)，(红，黄)，(黄，红)，(黄，黄)． (1)两次全是红球的概率是P 1＝14.(2)“两次颜色相同”包含“两次都是红球”与“两次都是黄球”这两个事件互斥，因此两次颜色相同的概率是P 2＝14＋14＝12.(3)“两次颜色不同”与“两次颜色相同”是对立事件，所以两次颜色不同的概率是P 3＝1－12＝12.点拨：可用枚举的方法把所有基本事件列举出来，解(2)、(3)可以考虑用互斥、对立事件求解．17．(本小题满分12分)现从A ，B ，C ，D ，E 五人中选取三人参加一个重要会议，五人被选中的机会均等．求：(1)A 被选中的概率；(2)A 和B 同时被选中的概率； (3)A 或B 被选中的概率．[解析] 基本事件有“ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，CDE ，BCD ，BCE ，BDE ，ADE ”共10个．(1)事件A 被选中包含6个基本事件，即ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE .∴P 1＝610＝0.6.(2)事件A 和B 同时被选中包含3个基本事件， 即ABC ，ABD ，ABE ， ∴P 2＝310＝0.3.(3)A 、B 都不被选中只有事件CDE 一种，所以事件A 或B 被选中包含9个基本事件， ∴P 3＝910＝0.90.18．(本小题满分12分)(2014·陕西文，19)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．[分析] (1)当赔付金额为3000,4000元时大于投保金额，利用互斥事件求和． (2)分别求出样本车主中为新司机人数及赔付金额为4000的车辆车主人数，问题易解． [解析] (1)设A 表示事件“赔付金额为3000元”，B 表示事件“赔付金额为4000元”以频率估计概率得P (A )＝1501000＝0.15，P (B )＝1201000＝0.12.由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100辆，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆．所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24100＝0.24.由频率估计概率得P (C )＝0.24.19．(本小题满分12分)将一枚质地均匀的硬币连续投掷4次，出现“2次正面朝上，2次反面朝上”的概率是多少？[解析] 用列举法列举所有可能的情况，如下图所示：由此可知，所有可能的情况有n ＝16种．其中出现两正两反的情况有①②③④⑤⑥共6种，因此出现两正两反的概率是P ＝616＝38.20．(本小题满分13分)已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0. (1)若a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率； (2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求方程没有实根的概率． [分析] 分别利用古典概型与几何概型的概率公式求解．[解析] (1)易知基本事件(a ，b )共有36个，方程有两正根(借助根与系数的关系)等价于a －2>0,16－b 2>0，Δ≥0，即a >2，－4<b <4，(a －2)2＋b 2≥16，设“方程有两个正根”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P (A )＝436＝19.(2)试验的全部结果构成区域为{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，a ，b ∈N *}，其面积为16. 设“方程无实根”为事件B ，则构成事件B 的区域为{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，(a －2)2＋b 2<16}，其面积为14×π×42＝4π.故所求的概率为P (B )＝4π16＝π4.21．(本小题满分14分)某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13s 至18s 之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)；第二组[14,15)……第五组[17,18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)若成绩大于或等于14 s 且小于16 s 认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；(2)设m ，n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m ，n ∈[13,14)∪[17,18]．求事件“|m －n |>1”的概率．[解析] (1)由题中的直方图知，成绩在[14,16)内的人数为50×(0.16×1)＋50×(0.38×1)＝27，所以该班成绩良好的人数为27. (2)设事件M ：“|m －n |>1”由频率分布直方图知，成绩在[13,14)的人数为50×0.06×1＝3， 设这3人分别为x ，y ，z ；成绩在[17,18)的人数为50×0.08×1＝4， 设这4人分别为A ，B ，C ，D .若m ，n ∈[13,14)时，则有xy ，xz ，yz 共3种情况；若m ，n ∈[17,18]时，则有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6种情况； 若m ，n 分别在[13,14)和[17,18]内时，此时有|m －n |>1.A B C D x xA xB xC xD y yA yB yC yD zzAzBzCzD共有12种情况．所以基本事件总数为3＋6＋12＝21种，则事件“|m －n |>1”所包含的基本事件个数有12种. 所以P (M )＝1221＝47.。
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第三章综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
时间120分钟，满分150分。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．对于概率是1‟的事件，下列说法正确的是( ) A ．概率太小，不可能发生 B ．1 000次中一定发生1次C ．1 000人中，999人说不发生，1人说发生D ．1 000次中有可能发生1 000次 [答案] D[解析] 概率是1‟是说明发生的可能性是1‟，每次发生都是随机的，1 000次中也可能发生1 000次，只是发生的可能性很小，故选D.2．下列事件中，随机事件是( ) A ．向区间(0,1)内投点，点落在(0,1)区间 B ．向区间(0,1)内投点，点落在(1,2)区间 C ．向区间(0,2)内投点，点落在(0,1)区间 D ．向区间(0,2)内投点，点落在(－1,0)区间 [答案] C[解析] 选项A 为必然事件，选项B 与D 为不可能事件，只有C 为随机事件． 3．在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm ，从中任取一根，取到长度超过30 mm 的纤维的概率是( )A.3040 B ．1240C.1230 D ．以上都不对[答案] B[解析] 在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm ，即基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为1240.4．甲、乙两人随意住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是( ) A.14 B ．13C.12 D ．23[答案] C[解析] 不妨设两间空房为A 、B ，则甲、乙两人随意入住的所有可能情况为：甲、乙都住A ；甲、乙都住B ；甲住A ，乙住B ；甲住B ，乙住A 共4种情况．其中甲、乙两人各住一间的情形有2种，故所求的概率P ＝24＝12.5．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是( )A.34 B ．14C.12 D ．18[答案] A[解析] 从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条总共有4种情况，依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况：2、3、4或3、4、5或2、4、5，故P ＝34.6.如图，一个矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机的撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为( )A.235 B ．215C.195 D ．165[答案] A[解析] 据题意得S 阴影S 矩形＝S 阴影2×5＝138300⇒S 阴影＝235.7．袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取3次，则下列事件中概率是89的是( )A ．颜色全相同B ．颜色不全相同C ．颜色全不相同D ．无红颜色球 [答案] B[解析] 共有3×3×3＝27种可能，而颜色全相同有三种可能，其概率为19.因此，颜色不全相同的概率为1－19＝89，故选B.8．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．1－2πB ．12－1πC.2π D ．1π[答案] A[解析] 本题考查几何概型的计算方法．设图中阴影面积为S 1，S 2，令OA ＝R ，∴S 2－S 1＝πR 24－π·(R2)2＝0，即S 2＝S 1，由图形知，S 1＝2(S 扇ODC －S △ODC ) ＝2[π·(R 2)24－12·(R 2)2]＝πR 2－2R 28，∴P ＝S 1＋S 2S 扇AOB＝(π－2)R 24πR 24＝1－2π， 充分利用图形的对称性才能求出阴影部分的面积．9．(2014·新课标Ⅰ理，5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18 B ．38C.58 D ．78[答案] D[解析] 本题主要考查古典概型概率的求法，关键是求出可能结果的种数．4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况共有24＝16种，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，∴所求概率为1－1＋116＝78.10．在边长为2的正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是正方形ABCD 四边的中点，将均匀的粒子撒在正方形中，则粒子落在下列四个图中阴影部分区域的概率依次为P 1，P 2，P 3，P 4，则关于它们的大小比较正确的是( )A ．P 1<P 2＝P 3<P 4B ．P 4<P 2＝P 3<P 1C ．P 1＝P 4<P 2<P 3D ．P 1＝P 4<P 3<P 2[答案] D[解析] 正方形ABCD 的面积为2×2＝4，对于图1，阴影部分区域的面积为4－4×12，所以概率为P 1＝24；对于图2，阴影部分区域的面积为π，所以概率为P 2＝π4；对于图3，阴影部分区域的面积为4－2×12＝3，所以概率为P 3＝34；对于图4，阴影部分区域的面积为12×2×2＝2，所以概率为P 4＝24，故选D.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．口袋中装有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23，则摸出黑球的概率是________．[答案] 0.32[解析] 白球个数为100×0.23＝23，黑球个数为100－45－23＝32，所以摸出黑球的概率为32100＝0.32.12．同时抛掷两个骰子，向上的点数之积为偶数的概率为________． [答案] 34[解析] 同时抛掷两个骰子，有6×6＝36种不同结果，朝上一面的点数之积是奇数，当且仅当两个骰子向上一面都是奇数的有3×3＝9个不同结果，∴“朝上一面点数的积为奇数”的概率P ＝936＝14，其对立事件“朝上一面点数的积为偶数”的概率为1－14＝34.13．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．[答案]1316[解析] 本题主要考查几何概型．∵去看电影的概率P 1＝π×12－π×(12)2π×12＝34； ∴去打篮球的概率P 2＝π×(14)2π×12＝116. 小波不在家看书的概率P ＝34＋116＝1316.14．从含有三件正品和一件次品的4件产品中不放回地任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是__________________．[答案] 12[解析] 从4件产品中不放回的任取两件，共有基本事件总数为4×3÷2＝6.取出的两件中恰有一件次品，则另一件为正品包括1×3＝3(种)可能结果，故恰有一件次品的概率为36＝12. 15.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是________．[答案] 13[解析] 连接AC ，则tan ∠CAB ＝13，∠CAB ＝π6，由几何概型的计算公式得P ＝π6π2＝13.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)袋中有红、黄2种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取两次．求：(1)两次全是红球的概率； (2)两次颜色相同的概率； (3)两次颜色不同的概率．[解析] 因为是有放回地抽取两次，所以每次取到的球可以都是红球，也可以都是黄球．把第一次取到红球，第二次取到红球简记为(红，红)，其他情况用类似记法，则有放回地抽取2次，所有的基本事件有4个，分别是：(红，红)，(红，黄)，(黄，红)，(黄，黄)．(1)两次全是红球的概率是P 1＝14.(2)“两次颜色相同”包含“两次都是红球”与“两次都是黄球”这两个事件互斥，因此两次颜色相同的概率是P 2＝14＋14＝12.(3)“两次颜色不同”与“两次颜色相同”是对立事件，所以两次颜色不同的概率是P 3＝1－12＝12.点拨：可用枚举的方法把所有基本事件列举出来，解(2)、(3)可以考虑用互斥、对立事件求解．17．(本小题满分12分)现从A ，B ，C ，D ，E 五人中选取三人参加一个重要会议，五人被选中的机会均等．求：(1)A 被选中的概率；(2)A 和B 同时被选中的概率； (3)A 或B 被选中的概率．[解析] 基本事件有“ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，CDE ，BCD ，BCE ，BDE ，ADE ”共10个．(1)事件A 被选中包含6个基本事件，即ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE . ∴P 1＝610＝0.6.(2)事件A 和B 同时被选中包含3个基本事件， 即ABC ，ABD ，ABE ， ∴P 2＝310＝0.3.(3)A 、B 都不被选中只有事件CDE 一种，所以事件A 或B 被选中包含9个基本事件， ∴P 3＝910＝0.90.18．(本小题满分12分)(2014·陕西文，19)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．[分析] (1)当赔付金额为3000,4000元时大于投保金额，利用互斥事件求和． (2)分别求出样本车主中为新司机人数及赔付金额为4000的车辆车主人数，问题易解． [解析] (1)设A 表示事件“赔付金额为3000元”，B 表示事件“赔付金额为4000元”以频率估计概率得P (A )＝1501000＝0.15，P (B )＝1201000＝0.12.由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100辆，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆．所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24100＝0.24.由频率估计概率得P (C )＝0.24.19．(本小题满分12分)将一枚质地均匀的硬币连续投掷4次，出现“2次正面朝上，2次反面朝上”的概率是多少？[解析] 用列举法列举所有可能的情况，如下图所示：由此可知，所有可能的情况有n ＝16种．其中出现两正两反的情况有①②③④⑤⑥共6种，因此出现两正两反的概率是P ＝616＝38.20．(本小题满分13分)已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0. (1)若a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率； (2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求方程没有实根的概率． [分析] 分别利用古典概型与几何概型的概率公式求解．[解析] (1)易知基本事件(a ，b )共有36个，方程有两正根(借助根与系数的关系)等价于a －2>0,16－b 2>0，Δ≥0，即a >2，－4<b <4，(a －2)2＋b 2≥16，设“方程有两个正根”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P (A )＝436＝19.(2)试验的全部结果构成区域为{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，a ，b ∈N *}，其面积为16. 设“方程无实根”为事件B ，则构成事件B 的区域为{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，(a －2)2＋b 2<16}，其面积为14×π×42＝4π.故所求的概率为P (B )＝4π16＝π4.21．(本小题满分14分)某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13s 至18s 之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)；第二组[14,15)……第五组[17,18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)若成绩大于或等于14 s 且小于16 s 认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；(2)设m ，n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m ，n ∈[13,14)∪[17,18]．求事件“|m －n |>1”的概率．[解析] (1)由题中的直方图知，成绩在[14,16)内的人数为50×(0.16×1)＋50×(0.38×1)＝27，所以该班成绩良好的人数为27. (2)设事件M ：“|m －n |>1”由频率分布直方图知，成绩在[13,14)的人数为50×0.06×1＝3， 设这3人分别为x ，y ，z ；成绩在[17,18)的人数为50×0.08×1＝4， 设这4人分别为A ，B ，C ，D .若m ，n ∈[13,14)时，则有xy ，xz ，yz 共3种情况；若m ，n ∈[17,18]时，则有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6种情况； 若m ，n 分别在[13,14)和[17,18]内时，此时有|m －n |>1.共有12种情况．所以基本事件总数为3＋6＋12＝21种，则事件“|m －n |>1”所包含的基本事件个数有12种. 所以P (M )＝1221＝47.。