垂径定理及推论(各省市中考题)
垂径定理及推论(2021年各省市中考题)
EAB C DO 1. (2021 浙江省舟山市) 如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．假设AB ＝8，CD ＝2，那么EC 的长为〔 ▲ 〕〔A 〕215 〔B 〕8 〔C 〕210〔D 〕213答案：D2007539 垂径定理及推论 选择题 根底知识 2021-09-292. (2021 浙江省温州市) 如图，在⊙O 中，OC ⊥弦AB 于点C ，AB =4，OC =1，那么OB 的长是〔A 〕 3 〔B 〕 5 〔C 〕15 〔D 〕 17答案：B2086232 垂径定理及推论 选择题 根底知识 2021-09-243. (2021 湖北省宜昌市) 如图，DC 是O ⊙的直径，弦AB CD ⊥于F ，连接BC DB ，．那么以下结论错误的选．．．．项是．．〔 〕． 〔A 〕AD BD = 〔B 〕AFBF = 〔C 〕OF CF = 〔D 〕90DBC ∠=°答案：C2037704 垂径定理及推论 选择题 全然技术 2021-09-224. (2021 湖北省襄阳市) 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m ，其中水面的宽AB 为，那么排水管内水的深度为 m.答案：2059477 垂径定理及推论 填空题 全然技术 2021-09-225. (2021 湖北省黄石市) 如右图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，3AC =，4BC =，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，那么AD 的长为 A. 95 B. 245 C. 185 D. 52CA DB2084700 垂径定理及推论 选择题 根底知识 2021-09-226. (2021 湖北省黄冈市) 如图，M 是CD 的中点，EM CD ⊥，假设48CD EM ==，，那么CED 所在圆的半径为．答案：1742090698 垂径定理及推论 填空题 全然技术 2021-09-227. (2021 浙江省绍兴市) 绍兴是闻名的桥乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD 为8m ，桥拱半径OC 为5 m ，那么水面宽AB 为〔 〕 〔A 〕4m 〔B 〕5m 〔C 〕6m 〔D 〕8m答案：D2078151 垂径定理及推论 选择题 根底知识 2021-09-228. (2021 黑龙江省绥化市) 如图，在O 中，弦AB 垂直平分半径OC ，垂足为D ，假设O 的半径为2，那么弦AB的长为 ．答案：232090571 垂径定理及推论 填空题 全然技术 2021-09-229. (2021 黑龙江省齐齐哈尔市) CD 是O ⊙的一条弦，作直径AB 使AB CD ⊥，垂足为E ，假设10,8AB CD ==，那么BE 的长是〔 〕．〔A 〕８ 〔B 〕２ 〔C 〕2或８ 〔D 〕３或７答案：C2034113 垂径定理及推论 选择题 全然技术 2021-09-2210. (2021 黑龙江省哈尔滨市) 如图，直线AB 与O ⊙相切于点A ，AC 、CD 是O ⊙的两条弦，且CD AB ∥，假设O ⊙的半径为52，4CD =，那么弦AC 的长为______．答案：2093177 垂径定理及推论 填空题 全然技术 2021-09-2211. (2021 四川省泸州市) O ⊙的直径10CD =cm,AB 是O ⊙的弦，AB CD ⊥，垂足为M ,且8AB =cm,那么AC 的长为( )〔A 〕〔B 〕〔C 〕或〔D 〕或答案：C2090655 垂径定理及推论 选择题 根底知识 2021-09-1812. (2021 四川省乐山市) 如图，圆心在y 轴的负半轴上，半径为5的⊙B 与y 轴的正半轴交于点A (0,1)，过点P (0,-7)的直线l 与⊙B 相交于C 、D 两点，那么弦CD 长的所有可能的整数值有〔A 〕1个 〔B 〕2个 〔C 〕3个 〔D 〕4个答案：C2084943 垂径定理及推论 选择题 根底知识 2021-09-1813. (2021 四川省广安市) 如图，半径OD 与弦AB 相互垂直，垂足为点C ，假设AB =8cm ，CD =3cm ，那么圆O 的半径为〔 〕A. 256cm B. 5cm C. 4cm D. 196cm答案：A2025451 垂径定理及推论 选择题 根底知识 2021-09-1714. (2021 上海市) 在⊙O 中，半径长为3，弦AB 长为4，那么圆心O 到AB 的距离为___________．2078049 垂径定理及推论 填空题 根底知识 2021-09-1715. (2021 广西南宁市) 如图，AB 是O ⊙的直径，弦CD 交AB 于点E ，且8AE CD ==，12BAC BOD ∠=∠，那么O ⊙的半径为〔 〕．〔A 〕 〔B 〕5 〔C 〕4 〔D 〕3答案：B2003939 垂径定理及推论 选择题 根底知识 2021-09-1616. (2021 山东省潍坊市) 如图，O ⊙的直径12AB =，CD 是O ⊙的弦，CD AB ⊥，垂足为P ，且15BP AP =∶∶，那么CD 的长为〔 〕. 〔A 〕24〔B 〕28〔C 〕52 〔D 〕54答案：D2079380 垂径定理及推论 选择题 根底知识 2021-09-16BD的长为〔A〕2 〔B〕3 〔C〕4 〔D〕6答案：C2068633 垂径定理及推论选择题根底知识2021-09-1318. (2021 青海省西宁市) 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，假设CD=6，且AE：BE=1：3，那么AB= ．4答案：32093643 垂径定理及推论填空题根底知识2021-09-1319. (2021 浙江省丽水市) 一条排水管的截面如以下图，排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，那么截面圆心O到水面的距离OC是〔〕〔A〕4 〔B〕5〔C〕6 〔D〕8答案：C20. (2021 宁夏回族自治区) 如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好通过圆心Ｏ，那么折痕AB 的长为cm.答案：322065103 垂径定理及推论 填空题 根底知识 2021-09-1321. (2021 广西宾客市) 如图是一圆形水管的截面图，O ⊙的半径13OA =，水面宽24AB =，那么水的深度CD 是_________.答案：82097039 垂径定理及推论 填空题 根底知识 2021-09-1222. (2021 广东省广州市) 如图7，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 两点，点A 的坐标为〔6,0〕，P Θ的半径为13，在第一象限，P Θ与x 轴交于O,A____________. 那么点P 的坐标为答案：〔3，2〕2076804 垂径定理及推论 填空题 根底知识 2021-09-1223. (2021 甘肃省兰州市) 如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影局部为有水局部，若是水面AB 宽为8cm ，水的最大〔第6题图〕ODCBAB ．4cmC ．5cmD ．6cm答案：C2085227 垂径定理及推论 选择题 根底知识 2021-09-1224. (2021 福建省泉州市) 第二节三角形的内角和定理及推论〕在ABC △中，2060A B ∠=∠=°，°，那么ABC △的形状是〔 〕 〔A 〕等边三角形 〔B 〕锐角三角形〔C 〕直角三角形 〔D 〕钝角三角形答案：D2033721 垂径定理及推论 选择题 根底知识 2021-09-1125. (2021 福建省南平市) 如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，那么以下结论中正确的选项是．．．．．．A ． AD =AB B ．∠BOC =2∠DC ．∠D +∠BOC =90°D ．∠D =∠B答案：B2035416 垂径定理及推论 选择题 根底知识 2021-09-1126. (2021 江苏省徐州市) 如图，AB 是O ⊙的直径，弦CD AB ⊥，垂足为P ，假设8CD =，3OP =，那么O⊙的半径为〔 〕.答案：C2053578 垂径定理及推论 选择题 根底知识 2021-09-1027. (2021 四川省资阳市) 在⊙O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连结CD .〔1〕如图5-1，假设点D 与圆心O 重合，AC =2，求⊙O 的半径r ；〔6分〕〔2〕如图5-2，假设点D 与圆心O 不重合，∠BAC =25°，请直接写出∠DCA 的度数. 〔2分〕答案：〔1〕 过点O 作AC 的垂线交AC 于E 、交劣弧于F ，由题意可知，OE =EF ， ········· 1分∵ OE ⊥AC ，∴AE =12AC ， ····························· 3分 在Rt △AOE 中，222AO OE AE =+， ························· 4分∴2211()2r r =+，∴r =233. ···························· 6分〔2〕∠DCA =40°. ································· 8分2021594 垂径定理及推论 应用题 根底知识 2021-09-0928. (2021 吉林省长春市) 如图，MN 是⊙O 的弦，正方形OABC 的极点B 、C 在MN 上，且点B 是CM 的中点.假设正方形OABC 的边长为7，那么MN 的长为 .图5-1图5-2答案：282028054 垂径定理及推论 填空题 根底知识 2021-09-0829. (2021 吉林省) 如图，AB 是O ⊙的弦，OC AB ⊥于点C ，连接OA OB ，．点P 是半径OB 上任意一点，连接AP ．假设5cm 3cm OA OC ==，，那么AP 的长度可能是 cm 〔写出一个符合条件的数值即可〕．答案：6〔答案不唯一，大于或等于5而且小于或等于8的任意一个数值皆可〕2053816 垂径定理及推论 填空题 根底知识 2021-09-0830. (2021 四川省内江市) 在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A 〔13，0〕，直线y=kx ﹣3k+4与⊙O 交于B 、C 两点，那么弦BC 的长的最小值为 ．答案： 242072778 垂径定理及推论 填空题 根底知识 2021-09-05。
中考垂径定理专题知识点
圆的垂径定理1、（2013年潍坊市）如图，⊙O 的直径AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ，且BP ：AP=1:5,则CD 的长为（ ）.A.24B.28C.52D.543、(2013河南省)如图，CD 是O 的直径，弦AB CD ⊥于点G ，直线EF 与O 相切与点D ，则下列结论中不一定正确的是【】（A ）AG BG = （B ）AB ∥EF （C ）AD ∥BC （D ）ABC ADC ∠=∠【解析】由垂径定理可知：（A ）一定正确。
由题可知：EF CD ⊥，又因为AB CD ⊥，所以AB ∥EF ，即（B ）一定正确。
因为ABC ADC ∠∠和所对的弧是劣弧AC ，根据同弧所对的圆周角相等可知（D ）一定正确。
4、（2013•泸州）已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8cm ， cm B cm cm 或cm D cm 或cmOM==3cm ==4cm==2cm5、（2013•广安）如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8cm，CD=3cm，则圆O的半径为（）cmBcmAB=4cmx=故半径为8、（2013•嘉兴）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）2BE==6CE===212、（2013•宜昌）如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）B、，正确，故本选项错误；14、（2013•南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=∠BOD，则⊙O的半径为（）4BAC=∠∴=17、（2013•内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为．20、（2013•宁夏）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为cm．==cmAB=2AD=21、（2013•包头）如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，则∠ADB=度．=ADB=∠22、（2013•株洲）如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC 的度数是48度．23、（2013•黄冈）如图，M 是CD 的中点，EM ⊥CD ，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为．CD=2x=所在圆的半径为：故答案为：．28、（2013陕西）如图，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点， 且∠ACB=30°，点E 、F 分别是AC 、BC 的中点，直线EF 与⊙O 交于G 、H 两点，若⊙O 的半径为7， 则GE+FH 的最大值为 ．解析：本题考查圆心角与圆周角的关系应用，中位线及最值问题。
垂径定理及其推论
则OE＝3cm，AE＝BE．
∵AB＝16cm ∴AE＝8cm
在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝10cm
∴⊙O的半径为10cm．
.
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4、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD
于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。
解：连接OA，
A
∵ CD是直径，OE⊥AB
C E O·
D
∴ AE=1/2 AB=5 B
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦
③⑤ ①②④ ，并且平分弦所对的另一条弧．
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的.直线经过圆心，并且垂直平分弦．22
4． 解决有关弦的问题
经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦
的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理
创造条件．
.
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随堂练习
条件 结论
命题
①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧．
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对
①⑤ ②③④ 的另一条弧．
②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．
②④ ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平 ②⑤ ①③④ 分弦和所对的另一条弧．
知识要点
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分 弦所对的两条弧．
C
O
E
A
B
.D
1
垂径定理 C
O
E
A
B
排列CD这组是五合直条，径进会，行出AB是弦， D 现多CD少⊥个A命B题？
AE＝BE 将A题⌒C设＝与B⌒C结论调换 过A来⌒D，＝还B⌒D成立吗？
九年级数学上册专题24.3 垂径定理【十大题型】(举一反三)(人教版)(原卷版)
专题24.3 垂径定理【十大题型】【人教版】【题型1 利用垂径定理求线段长度】 (1)【题型2 利用垂径定理求角度】 (2)【题型3 利用垂径定理求最值】 (3)【题型4 利用垂径定理求取值范围】 (4)【题型5 利用垂径定理求整点】 (6)【题型6 利用垂径定理求面积】 (7)【题型7 垂径定理在格点中的运用】 (8)【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】 (10)【题型10 垂径定理的应用】 (11)【题型1 利用垂径定理求线段长度】【例1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝2√13，则CD的长为（）A．1B．3C．2D．4【变式1-1】（2022•宁津县二模）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）A．6B．6√2C．8D．8√2【变式1-2】（2022•建华区二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC ＝30°，则CD的长为（）A．5B．2√3C．4√2D．2√2+√3+1【变式1-3】（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为．【题型2 利用垂径定理求角度】【例2】（2022•泰安模拟）如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O上找一点C，使OA2+AB2＝BC2，则∠OAC的度数为（）A．15°或75°B．20°或70°C．20°D．30°̂上的【变式2-1】（2022秋•天心区期中）如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（）A．60°B．90°C．120°D．135°【变式2-2】（2022秋•青田县期末）如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，OC＝2，OE=√2．（1）求弦AB的长；（2）求∠CAB的度数．【变式2-3】（2022秋•开州区期末）如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE．（1）若AB＝6，求DE的长；（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．【题型3 利用垂径定理求最值】【例3】（2022•威海模拟）⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（）A．12B．1C．32D．2【变式3-1】（2022•河北模拟）如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接P A，PB，若⊙O的半径为1，则S△P AB的最大值为（）A．1B．2√33C．3√34D．3√32【变式3-2】（2022秋•龙凤区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD 边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为．【变式3-3】（2022秋•延平区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A．910B．65C．85D．125【题型4 利用垂径定理求取值范围】【例4】（2022•包河区校级二模）如图，在⊙O中，直径AB＝10，CD⊥AB于点E，CD＝8．点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m＝PC+PF，则m的取值范围是（）A．8＜m≤4√5B．4√5＜m≤10C．8＜m≤10D．6＜m＜10【变式4-1】（2022•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．【变式4-2】（2022秋•盐都区校级月考）如图，点P是⊙O内一定点．（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，①求过点P的弦的长度m范围；②过点P的弦中，长度为整数的弦有条．【变式4-3】（2022秋•天河区校级期中）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离OH＝3，点P是圆上一动点，设过点P且与AB平行的直线为l，记直线AB到直线l的距离为d．（1）求AB的长；（2）如果点P只有两个时，求d的取值范围；（3）如果点P有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积．【题型5 利用垂径定理求整点】【例5】（2022•山海关区一模）已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）A．1个B．3个C．6个D．7个【变式5-1】（2022秋•新昌县期末）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（）A．6B．7C．8D．9【变式5-2】（2022•桥西区校级模拟）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是3，⊙C上的整数点有个．【变式5-3】（2022秋•肇东市期末）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【题型6 利用垂径定理求面积】【例6】（2022•武汉模拟）如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（）A．√2B．1C．√32D．√22【变式6-1】（2022秋•黄州区校级月考）如图，矩形MNGH的四个顶点都在⊙O上，顺次连接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝12，DF＝4，则菱形ABCD的面积为．【变式6-2】（2022秋•西城区校级期中）如图，AB为⊙O直径，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．【变式6-3】（2022•新洲区模拟）如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC ⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（）A．125π4B．275π4C．125π9D．275π9【题型7 垂径定理在格点中的运用】【例7】（2022秋•襄都区校级期末）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）【变式7-1】（2022春•海门市期中）如图所示，⊙P过B、C两点，写出⊙P上的格点坐标．【变式7-2】（2022•商城县三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C同时也在AB̂上，若点P是BĈ的一个动点，则△ABP面积的最大值是．【变式7-3】（2017秋•靖江市校级月考）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：（1）利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为；（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为，∠ADC的度数．【题型8 垂径定理在坐标系中的运用】【例8】（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B （0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．(4−2√6，0)B．(−4+2√6，0)C．(−4+√26，0)D．(4−√26，0)【变式8-1】（2022秋•西林县期末）如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（）A．3B．4C．5D．6【变式8-2】（2022•印江县三模）如图，直线l为y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；…，按此作法进行下去，则点A2022的坐标为．【变式8-3】（2015•宜春模拟）如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y ＝﹣2x+m图象过点P，则m＝．【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】【例9】（2022秋•化德县校级期末）⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，则AB 和CD的距离为（）A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm【变式9-1】（2022•包河区二模）已知圆O的半径为5，弦AB＝8，D为弦AB上一点，且AD＝1，过点D 作CD⊥AB，交圆O于C，则CD长为（）A．1B．7C．8或1D．7或1【变式9-2】（2022秋•方正县期末）如图，⊙O的弦AB与半径OC垂直，点D为垂足，OD＝DC，AB＝2√3，点E在⊙O上，∠EOA＝30°，则△EOC的面积为．【变式9-3】（2022秋•淮南月考）如图，已知⊙O的半径为2．弦AB的长度为2，点C是⊙O上一动点，若△ABC为等腰三角形，则BC2的长为．【题型10 垂径定理的应用】【例10】（2022秋•武昌区校级期末）某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长）24m，拱高（弧的中点到弦的距离）4米，则求拱桥的半径为（）A．16m B．20m C．24m D．28m【变式10-1】（2022•望城区模拟）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A．13寸B．6.5寸C．26寸D．20寸【变式10-2】（2022秋•西城区校级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为分钟．【变式10-3】（2022•浙江）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，̂，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通∠AOB＝120°，从A到B只有路AB过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：√3≈1.732，π取3.142）。
3.3垂径定理(解析版)九年级下册
3.3垂径定理分层练习考查题型一利用垂径定理求线段长1.（2023•宜昌）如图，OA ，OB ，OC 都是O 的半径，AC ，OB 交于点D ．若8AD CD ，6OD ，则BD 的长为()A ．5B ．4C ．3D ．2【分析】根据垂径定理的推论得OB AC ，再根据勾股定理得22228610OA AD OD ，即可求出答案．【解答】解：8AD CD ∵，OB AC ，在Rt AOD 中，22228610OA AD OD ，10OB ，1064BD ．故选：B ．2.（2023•和县二模）如图，点C 是O 的弦AB 上一点．若6AC ，2BC ，AB 的弦心距为3，则OC 的长为()A．3B．4C．11D．13【分析】根据垂径定理可以得到CD的长，根据题意可知3OD ，然后根据勾股定理可以求得OC的长．【解答】解：作OD AB于点D，如图所示，由题意可知：6OD ，BC ，3AC ，2AB，8，AD BD4，2CD2222，3213OC OD CD故选：D．3.（2022秋•齐河县期末）如图，OCD ，3OE ，则BD的直径AB 弦CD于点E，连接BD．若8的长为()A10B．23C．17D．25【分析】连接OD，根据垂径定理求出DE，根据勾股定理求出OD，求出BE，再根据勾股定理求出BD即可．【解答】解：连接OD ，AB CD ∵，AB 过圆心O ，8CD ，4CE DE ，90OED DEB ，3OE ∵，2222345OD OE DE ，5OB OD ，532BE OB OE ，由勾股定理，得2222242025BD BE DE ，故选：D ．4.（2022秋•泗洪县期末）如图，O 的半径为5，弦8AB ，OC AB ，垂足为点P ，则CP 的长等于()A ．2B ．2.5C ．3D ．4【分析】如图，连接AO ，由垂径定理得，142AP AB ，由题意知5OA OC ，由勾股定理得，223OP OA AP ，根据CP OC OP ，计算求解即可．【解答】解：如图，连接AO ，由垂径定理得，142AP AB ，由题意知5OA OC ，由勾股定理得，223OP OA AP ，2CP OC OP ，故选：A ．考查题型二利用垂径定理求半径、直径长5.（2022秋•金城江区期末）如图，线段CD 是O 的直径，CD AB 于点E ，若AB 长为16，DE 长为4，则O 半径是()A ．5B ．6C ．8D ．10【分析】连接OB ，由垂径定理可得8BE AE ，设O 半径为r ，结合题意可得4OE r ，在Rt OBE 中，由勾股定理可得222OE BE OB ，然后代入求值即可获得答案．【解答】解：如下图，连接OB ，∵线段CD 是O 的直径，CD AB 于点E ，16AB ， 1116822BE AE AB ，设O 半径为r ，即OB OD r ，又4DE ∵，4OE OD DE r ，在Rt OBE 中，可有222OE BE OB ，即222(4)8r r ，解得10r ，O 半径是10．故选：D ．6.（2023秋•聊城期中）如图，AB ，CD 是O 的两条平行弦，且4AB ，6CD ，AB ，CD 之间的距离为5，则O 的直径是()A 13B ．213C ．8D ．10【分析】作OM AB 于M ，延长MO 交CD 于N ，连接OB ，OD ，由垂径定理，勾股定理即可求解．【解答】解：作OM AB 于M ，延长MO 交CD 于N ，连接OB ，OD ，设OM x ，122MB AB ，132DN CD ，222OB OM MB ∵，2222OB x ，222OD ON DN ∵，222(5)3OD x ，OB OD ∵，224(5)9x x ，3x ，223413OB ，13OB ，O 直径长是213故选：B ．7.（2023秋•福州期中）如图，已知O 的弦8AB ，半径OC AB 于D ，2DC ，则O 的半径为．【分析】设O 的半径为R ，则2OD R ，先根据垂径定理得到4AD BD ，再利用勾股定理得到222(2)4R R ，然后解方程即可．【解答】解：设O 的半径为R ，则2OD R ，OC AB ∵，142AD BD AB ，90ODA ，在Rt AOD 中，222(2)4R R ，解得5R ，即O 的半径为5．故答案为：5．考查题型三弦心距8.（2022秋•台山市期末）如图，O 的半径为2，弦23AB ，则圆心O 到弦AB 的距离为()A ．1B 2C 3D ．2【分析】过O 作OC AB 于C ，连接OA ，根据垂径定理求出AC ，再根据勾股定理求出OC 即可．【解答】解：过O 作OC AB 于C ，连接OA ，OC AB ∵，OC 过圆心O ，23AB 3AC BC 90OCA ，由勾股定理得：22222(3)1OC OA AC ，即圆心O 到弦AB 的距离为1，故选：A ．9.（2022秋•凤阳县期末）如图，在O 中，OC AB 于点C ．若O 的半径为10，16AB ，则OC 的长为()A ．4B ．5C ．6D ．8【分析】如图，连接OA ．利用垂径定理，勾股定理求解即可．【解答】解：如图，连接OA ．OC AB ∵，182AC CB AB ，10OA ∵，90ACO ，22221086OC OA AC ，故选：C ．考查题型四最值10.（2022秋•济源期末）如图，O 的半径为102，弦AB 的长为162，P 是弦AB 上一动点，则线段OP长的最小值为()A ．10B ．82C ．5D ．62【分析】过O 点作OH AB 于H ，连接OB ，如图，根据垂径定理得到8AH BH ，再利用勾股定理计算出OH ，然后根据垂线段最短求解．【解答】解：过O 点作OH AB 于H ，连接OB ，如图，111628222AH BH AB ，在Rt BOH 中，2222(102)(82)62OH OB BH ，线段OP 长的最小值为62．故选：D ．11.（2023秋•淮滨县期中）如图，O 的直径为10，弦AB 的长为8，点P 在AP 上运动，则OP 的最小值是()A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】根据“点到直线的最短距离是垂线段的长度”知当OP AB 时，OP 的值最小．连接OA ，在直角三角形OAP 中由勾股定理即可求得OP 的长度．【解答】解：当OP AB 时，OP 的值最小，则142AP BP AB ，如图所示，连接OA ，在Rt OAP 中，4AP ，5OA ，则根据勾股定理知3OP ，即OP 的最小值为3，故选：B ．12.（2023秋•鼓楼区校级期中）如图，M 的半径为4，圆心M 的坐标为(6,8)，点P 是M 上的任意一点，PA PB ，且PA 、PB 与x 轴分别交于A 、B 两点，若点A 、点B 关于原点O 对称，则AB 的最大值为()A ．13B ．14C ．12D ．28【分析】由Rt APB 中2AB OP 知要使AB 取得最大值，则PO 需取得最大值，连接OM ，并延长交M 于点P ，当点P 位于P 位置时，OP 取得最大值，据此求解可得．【解答】解：连接PO ，PA PB ∵，90APB ，∵点A 、点B 关于原点O 对称，AO BO ，2AB PO ，若要使AB 取得最大值，则PO 需取得最大值，连接OM ，并延长交M 于点P ，当点P 位于P 位置时，OP 取得最大值，过点M 作MQ x 轴于点Q ，则6OQ 、8MQ ，10OM ，又4MP r ∵，10414OP MO MP ，221428AB OP ；故选：D ．考查题型五利用垂径定理求面积13.（2023•铜梁区校级一模）如图，AB 是O 的弦，半径OC AB 于点D ，连接AO 并延长，交O 于点E ，连接BE ，DE ．若3DE DO ，65AB ，则ODE 的面积为()A ．9B ．15C 952D ．95【分析】根据垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理求出OD ，再根据三角形面积公式进行计算即可．【解答】解：AE ∵是O 的直径，90ABE ，AB OC ∵，OC 是O 的半径，12AD BD ABOA OE ∵，OD 是ABE 的中位线，12OD BE ，由于3DE DO ，可设OD x ，则3DE x ，2BE x ，在Rt BDE 中，由勾股定理得，222BD BE DE ，即222(2)(3)x x ，解得3x 或3x （舍去），即3OD ，S △12DOE OD BD 132故选：C ．14.（2023•肇源县一模）如图，O 的半径是2，直线l 与O 相交于A 、B 两点，M 、N 是O 上的两个动点，且在直线l 的异侧，若45AMB ，则四边形MANB 面积的最大值是()A ．22B ．4C ．2D ．82【分析】过点O 作OC AB 于C ，交O 于D 、E 两点，连接OA 、OB 、DA 、DB 、EA 、EB ，根据圆周角定理推出OAB 为等腰直角三角形，求得222AB OA 【解答】解：过点O 作OC AB 于C ，交O 于D 、E 两点，连接OA 、OB 、DA 、DB 、EA 、EB ，如图，45AMB ∵，290AOB AMB ，OAB 为等腰直角三角形，222AB OA ，MAB NAB MANB S S S ∵四边形，当M 点到AB 的距离最大，MAB 的面积最大；当N 点到AB 的距离最大时，NAB 的面积最大，即M 点运动到D 点，N 点运动到E 点，此时四边形MANB 面积的最大值 11111224222222DAB EAB DAEB S S S AB CD AB CE AB CD CE AB DE 四边形．故选：C ．15.（2023春•沙坪坝区校级月考）如图，AB 是O 的弦，半径OC AB 于点D ，连接AO 并延长，交O于点E ，连接BE ，DE ．若3DE DO ，5AB ，则ODE 的面积为()A ．58B ．554C ．5D ．52【分析】根据垂径定理，得出52AD BD ，再根据直径所对的圆周角为直角，得出90ABE ，再根据平行线的判定，得出//OD BE ，再根据中位线的判定，得出OD 为ABE 的中位线，再根据中位线的性质，得出2BE OD ，再根据勾股定理，得出222BD BE DE ，解出得到52OD ，根据12ODE S OD BD 即可求解．【解答】解：OC AB ∵，5AB ， 52AD BD ，AE ∵是O 的直径，90ABE ，OC AB ∵，//OD BE ，O ∵为AE 的中点，OD 为ABE 的中位线，2BE OD ，3DE DO ∵，在Rt ABE 中，222BD BE DE ∵， 2225494OD OD ，解得：52OD， 25BE OD ，11555522228ODE S OD BD ．故选：A ．考查题型六垂径定理的应用16.（2023秋•长葛市期中）如图，圆弧形桥拱的跨度24AB 米，拱高8CD 米，则拱桥的半径为()A ．6.5米B ．9米C ．13米D ．15米【分析】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O ．连接OA ．根据垂径定理和勾股定理求解．【解答】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O连接OA ．根据垂径定理，得12AD m ，设圆的半径是r m ，根据勾股定理，得22212(8)r r ，解得13r ．故选：C ．17.（2022秋•郾城区期末）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB 宽度为6米，拱高CD（弧的中点到水面的距离）为1米，若水面下降1米，则此时水面的宽度为()A ．5米B ．6米C ．7米D ．8米【分析】以O 为圆心，连接OC 、OA 、OB ，根据三线合一定理可得OD AB ，AC BC ，设OD r ，则1OC OD CD r ，再根据勾股定理即可求出半径；水面下降为EF ，连接OE ，根据水面下降1米，可得3OG m ，再根据勾股定理即可求得答案．【解答】解：如图，以O 为圆心，连接OC 、OA 、OB ，由题意可得，D 为弧AB 的中点，AOD BOD ，OA OB ∵，OD AB ，AC BC ，设OD r ，则1OC OD CD r ，在Rt AOC 中，222OA OC AC ，132AC AB ，22(1)9r r ，解得：5r ，主桥拱所在圆的半径5m ；由题意得，水面下降为EF ，连接OE ，∵水面下降1米，1413()OG OC m ，则2222534()EG OE OG m ，28EF EG m ，即水面的宽度为8m ．故选：D ．18.（2023•滕州市二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O 为圆心的圆，如图2，已知圆心O 在水面上方，且O 被水面截得弦AB 长为4米，O 半径长为3米．若点C 为运行轨道的最低点，则点C 到弦AB 所在直线的距离是()A ．1米B ．2米C ．(35) 米D ．(35) 米【分析】连接OC ，OC 交AB 于D ，由垂径定理得122AD BD AB（米)，再由勾股定理得5OD （米)，然后求出CD 的长即可．【解答】解：连接OC ，OC 交AB 于D ，由题意得：3OA OC 米，OC AB ，122AD BD AB （米)，90ADO ，2222325OD OA AD （米)，(35)CD OC OD 米，即点C 到弦AB 所在直线的距离是(35) 米，故选：C ．1.（2022秋•沈河区校级期末）如图所示，在O 中，AB 为弦，OC AB 交AB 于点D ，且OD DC ．P为O 上任意一点，连接PA ，PB ，若O 的半径为3，则PAB S 的最大值为()A ．34B ．33C ．332D ．334【分析】连接OA ，如图，利用垂径定理得到AD BD ， AC BC ，再根据OD DC 可得到132OD OA ，所以32AD ，由勾股定理，则3AB ．PAB 底AB 不变，当高越大时面积越大，即P 点到AB 距离最大时，APB 的面积最大．则当点P 为AB 所在优弧的中点时，此时13122PD PO OD，APB 的面积最大，然后根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：连接OA ，如图，OC AB ∵，AD BD ，OD DC ∵，1322OD OA ，2232AD OA OD ，23AB AD ．当点P 为AB 所对的优弧的中点时，APB 的面积最大，此时333322PD PO OD．APB 的面积的最大值为：11339332224AB PD ．故选：A ．2.（2023•碑林区校级模拟）如图，已知CD 为O 的直径，CD AB 于点F ，AE BC 于点E ．若AE 过圆心O ，1OA ．则四边形BEOF 的面积为()A 3B 3C ．3D 3【分析】根据垂径定理求出AF BF ，CE BE ， AD BD，求出2AOD C ，求出2AOD A ，求出30A ，解直角三角形求出OF 和BF ，求出OE 、BE 、BF ，根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：如图，连接OB ，CD ∵为直径，CD AB ，AD BD ，2AOD C ，CD AB ∵，AE BC ，90AFO CEO ，AOF COE ∵，OA OC ，()AFO CEO AAS ，C A ，2AOD A ，90AFO ∵，30A ，1AO ∵，1122OF AO ，332AF OF ，同理32CE ，12OE ，CD AB ∵，AE BC ，CD 、AE 过O ，由垂径定理得：32BF AF ，32BE CE ， 四边形BEOF 的面积11311332222224BFO BEO S S S．故选：B ．第21页共21页3.（2023•广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m ，拱高约为7m ，则赵州桥主桥拱半径R 约为()A ．20mB ．28mC ．35mD ．40m【分析】设主桥拱半径R ，根据垂径定理得到372AD，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．【解答】解：由题意可知，37AB m ，7CD m ，设主桥拱半径为R m ，(7)OD OC CD R m ，OC ∵是半径，OC AB ，137()22AD BD AB m ，在RtADO 中，222AD OD OA ，22237((7)2R R ，解得15652856R．故选：B ．。
4.2垂径定理及推论(2015年)
1. (2015 山东省东营市) 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB 为0.8m，则排水管内水的深度为m．答案：0.82. (2015 江苏省徐州市) 如图，AB是⊙O的直径，弦CD ⊥ AB，垂足为E，连接AC，若∠CAB=22．5°，CD=8cm，则⊙O的半径为cm．答案：4 23. (2015 四川省遂宁市) 如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm答案：分析：连接OA，先利用垂径定理得出AC的长，再由勾股定理得出OC的长即可解答．解答：解：连接OA，∵AB=6cm，OC⊥AB于点C，∴AC=AB=×6=3cm，∵⊙O的半径为5cm，∴OC===4cm，故选B．点评：本题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理的应用是解题的关键．4. (2015 贵州省黔西南州) 如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为．答案：分析：连接OC，由垂径定理得出CE=CD=2，设OC=OA=x，则OE=x﹣1，由勾股定理得出CE2+OE2=OC2，得出方程，解方程即可．解答：解：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=CD=2，∠OEC=90°，设OC=OA=x，则OE=x﹣1，根据勾股定理得：CE2+OE2=OC2，即22+（x﹣1）2=x2，解得：x=；故答案为：．点评：本题考查了垂径定理、勾股定理、解方程；熟练掌握垂径定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．5. (2015 浙江省绍兴市) 】．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结PA，PB。
若PB=4，则PA的长为▲答案：】．分析：连结CP，PB的延长线交⊙C于P′，如图，先计算出CB2+PB2=CP2，则根据勾股定理的逆定理得∠CBP=90°，再根据垂径定理得到PB=P′B=4，接着证明四边形ACBP为矩形，则PA=BC=3，然后在Rt△APP′中利用勾股定理计算出P′A=，从而得到满足条件的PA的长为3或．解答：解：连结CP，PB的延长线交⊙C于P′，如图，∵CP=5，CB=3，PB=4，∴CB2+PB2=CP2，∴△CPB为直角三角形，∠CBP=90°，∴CB⊥PB，∴PB=P′B=4，∵∠C=90°，∴PB∥AC，而PB=AC=4，∴四边形ACBP为矩形，∴PA=BC=3，在Rt△APP′中，∵PA=3，PP′=8，∴P′A==，∴PA的长为3或．故答案为3或．点评：本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了垂径定理和勾股定理．6. (2015 浙江省绍兴市) 】．如图，已知点A（0，1），B（0，-1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于▲度答案：】．分析：求出OA、AC，通过余弦函数即可得出答案．解答：解：∵A（0，1），B（0，﹣1），∴AB=2，OA=1，∴AC=2，在Rt△AOC中，cos∠BAC==，∴∠BAC=60°，故答案为60．点评：本题考查了垂径定理的应用，关键是求出AC、OA的长．7. (2015 浙江省衢州市) 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于m．分析：先根据勾股定理求出OE的长，再根据垂径定理求出CF的长，即可得出结论．解答：解：如图：∵AB=1.2m，OE⊥AB，OA=1m，∴AE=0.8m，∵水管水面上升了0.2m，∴AF=0.8﹣0.2=0.6m，∴CF=m，∴CD=1.6m．故答案为：1.6．点评：本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．8. (2015 浙江省湖州市) 如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=，则AB的长是( )A. 4B. 2C. 8D. 4答案：答案C.9. (2015 湖南省湘西市) 】．如图，在⊙O中，∠OAB=45°，圆心O到弦AB的距离OE=2cm，则弦AB的长为cm．答案：】．分析：首先由垂径定理可知：AE=BE，然后再在Rt△AOE中，由特殊锐角三角函数可求得AE=OE=2，从而可求得弦AB的长．解答：解：∵OE⊥AB，∴AE=EB在Rt△AOE中，∠OAB=45°，∴tan∠OAB=，∴AE=OE=2．∴AB=2AE=2×2=4．故答案为：4cm．点评：本题主要考查的是锐角三角函数和垂径定理的应用，掌握垂径定理和特殊锐角三角函数值是解题的关键．10. (2015 湖南省长沙市) 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD ⊥BC于点D，则OD的长为．答案：分析：根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．解答：解：∵OD⊥BC，∴BD=CD=BC=3，∵OB=AB=5，∴OD==4．故答案为4．点评：题考查了垂径定理、勾股定理，本题非常重要，学生要熟练掌握．11. (2015 黑龙江省牡丹江市) 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE= ．答案：分析：连接OC，根据垂径定理得出CE=ED=CD=3，然后在Rt△OEC中由勾股定理求出OE的长度，最后由BE=OB﹣OE，即可求出BE的长度．解答：解：如图，连接OC．∵弦CD⊥AB于点E，CD=6，∴CE=ED=CD=3．∵在Rt△OEC中，∠OEC=90°，CE=3，OC=4，∴OE==，∴BE=OB﹣OE=4﹣．故答案为4﹣．点评：本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，关键在于熟练的运用垂径定理得出CE、ED 的长度．12. (2015 黑龙江省大庆市) 在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦AB所对圆心角的大小为（）A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°答案：分析：利用等腰直角三角形的性质以及垂径定理得出∠BOC的度数进而求出．解答：解：如图所示：连接BO，AO，∵圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，∴DO=DB，DO⊥AB，∴∠BOC=∠BOC=45°，则∠A=∠AOC=45°，∴∠AOB=90°．故选：D．点评：此题主要考查了垂径定理以及等腰直角三角形的性质，得出∠BOC=∠BOC=45°是解题关键．13. (2015 贵州省黔南州) 如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，半径为OC⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径是．答案：分析：根据垂径定理求得AD=30cm，然后根据勾股定理即可求得半径．解答：解：如图，连接OA，∵CD=10cm，AB=60cm，∵CD⊥AB，∴OC⊥AB，∴AD=AB=30cm，∴设半径为r，则OD=r﹣10，根据题意得：r2=（r﹣10）2+302，解得：r=50．∴这个车轮的外圆半径长为50cm．故答案为：50cm．点评：本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．14. (2015 贵州省黔南州) 如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是（）A．∠A=∠D B．= C．∠ACB=90° D．∠COB=3∠D答案：分析：根据垂径定理、圆周角定理，进行判断即可解答．解答：解：A、∠A=∠D，正确；B、，正确；C、∠ACB=90°，正确；D、∠COB=2∠CDB，故错误；故选：D．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了圆周角定理，解集本题的关键是熟记垂径定理和圆周角定理．15. (2015 甘肃省南州市) 如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是．答案：分析：解决此题首先要弄清楚AB在什么时候最大，什么时候最小．当AB与小圆相切时有一个公共点，此时可知AB最小；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB最大，由此可以确定所以AB的取值范围．解答：解：如图，当AB与小圆相切时有一个公共点D，连接OA，OD，可得OD⊥AB，∴D为AB的中点，即AD=BD，在Rt△ADO中，OD=3，OA=5，∴AD=4，∴AB=2AD=8；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB=10，所以AB的取值范围是8＜AB≤10．故答案为：8＜AB≤10点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，以及切线的性质，其中解题的关键是抓住两个关键点：1、当弦AB与小圆相切时最短；2、当AB过圆心O时最长．16. (2015 甘肃省南州市) 如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB 于点D，交⊙O于点C，且CD=1，则弦AB的长是．答案：分析：连接AO，得到直角三角形，再求出OD的长，就可以利用勾股定理求解．解答：解：连接AO，∵半径是5，CD=1，∴OD=5﹣1=4，根据勾股定理，AD===3，∴AB=3×2=6，因此弦AB的长是6．点评：解答此题不仅要用到垂径定理，还要作出辅助线AO，这是解题的关键．17. (2015 甘肃省南州市) ⊙O过点B，C，圆心O在等腰直角△ABC内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（）A． B． 2 C． D． 3答案：分析：根据等腰三角形三线合一的性质知：若过A作BC的垂线，设垂足为D，则AD必垂直平分BC；由垂径定理可知，AD必过圆心O；根据等腰直角三角形的性质，易求出BD、AD的长，进而可求出OD的值；连接OB根据勾股定理即可求出⊙O的半径．解答：解：过A作AD⊥BC，由题意可知AD必过点O，连接OB；∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC，∴BD=CD=AD=3；∴OD=AD﹣OA=2；Rt△OBD中，根据勾股定理，得：OB==．故选C．点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．18. (2015 贵州省六盘水市) 】．赵洲桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙。
垂径定理练习题及答案
垂径定理练习题及答案垂径定理练习题及答案垂径定理是几何学中的一个重要定理，它解决了关于圆的切线和半径之间的关系问题。
在学习和应用垂径定理时，我们需要通过大量的练习题来巩固理论知识，并提高解题能力。
下面将给出一些垂径定理的练习题，并附上详细的解答，希望能对大家的学习有所帮助。
练习题一：在一个圆中，直径为10厘米，且过圆心的直径AC与切线BD相交于点E。
若AC=8厘米，求BE的长度。
解答：根据垂径定理，切线BD与半径AC垂直，所以∠BAC=90°。
由此可知，三角形BAC是一个直角三角形。
根据勾股定理可得：BA²+AC²=BC²代入已知条件，得：BA²+8²=10²化简得：BA²+64=100移项得：BA²=36开方得：BA=6由于∠BAC=90°，所以BE也是直径，即BE=10厘米。
练习题二：在一个圆中，直径为16厘米，切线AB与半径CD相交于点E。
若AE=3厘米，求BE的长度。
解答：同样地，根据垂径定理，切线AB与半径CD垂直，所以∠CAD=90°。
由此可知，三角形CAD是一个直角三角形。
根据勾股定理可得：CA²+AD²=CD²代入已知条件，得：CA²+16²=CD²化简得：CA²+256=CD²移项得：CA²=CD²-256开方得：CA=√(CD²-256)根据垂径定理，AE是半径CD的垂直平分线，所以AE=DE。
又已知AE=3厘米，所以DE=3厘米。
由于∠CAD=90°，所以BE也是直径，即BE=16厘米。
练习题三：在一个圆中，直径为12厘米，切线AB与半径CD相交于点E。
若AE=5厘米，求BE的长度。
解答：同样地，根据垂径定理，切线AB与半径CD垂直，所以∠CAD=90°。
中考会考到圆的相关定理和推论
中考会考到圆的相关定理和推论圆的相关定理和推论可太重要啦，尤其是对于中考来说呢。
一、垂径定理。
1. 内容。
- 垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
就好像是一个很公平的裁判，直径这条线垂直于弦的时候，就把弦和它对应的弧都给平分啦。
比如说有一个圆，中间有一条弦，然后有一条直径垂直于它，那么这条弦就被这个直径切成了两段一样长的部分，而且弦对应的两条弧也被平分了。
2. 推论。
- 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
这就像是一种对称的关系，如果直径把弦平分了，那这个直径肯定是垂直于弦的，而且还把弦对应的弧也平分了呢。
不过这里要注意哦，弦不能是直径，要是弦是直径的话，这个推论就不成立啦，就像特殊情况要特殊对待一样。
二、弧、弦、圆心角的关系定理。
1. 内容。
- 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
想象一下，在一个圆里，圆心就像一个大老板，圆心角就像是大老板发出的指令。
如果两个指令是一样的（圆心角相等），那么按照这个指令做出来的弧和弦都是一样的呢。
这就像是同一种规则下，产生的结果肯定是相同的。
2. 推论。
- 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
这就像是一个连锁反应，只要其中一个相等了，其他的就像被带动起来一样，也都相等了。
比如说在一个圆里，两条弧相等了，那么这两条弧所对的圆心角和弦肯定也是相等的，就像一个小团队里，有一个成员表现出一种状态，其他成员也会跟着有相应的状态呢。
三、圆周角定理。
1. 内容。
- 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
这个定理很有趣呢，就好像圆周角是圆心角的小跟班，它的大小总是圆心角的一半。
比如说有一个很大的圆心角，它对应的圆周角就只有它的一半大。
这就像是一种比例关系，不管这个圆是大是小，这个比例关系都是不变的。
2. 推论。
- 同弧或等弧所对的圆周角相等。
这就好比是同一种任务（同弧或等弧），不同的人（圆周角）来做，得到的结果（圆周角的大小）是一样的。
中考数学垂径定理
中考数学垂径定理
一、垂径定理基本形式
垂径定理是圆的基本性质之一，它指出：通过圆心且垂直于任意弦的直径将该弦平分。
用数学语言表示就是：如果一条直径通过圆心O，并且垂直于弦AB，那么它将弦AB平分于点C。
即 AC = CB。
二、圆心到弦的垂线性质
根据垂径定理，我们可以推导出圆心到弦的垂线性质。
如果一条弦通过圆心O，且圆心到弦的垂线交弦于点C，那么这条垂线将弦分为两段相等的部分。
即 AC = CB。
同时，这条垂线也是该弦所对的圆周角平分线。
三、圆心到切线的性质
圆心到切线的性质是指：通过圆心的直线与圆的切线垂直。
如果一条直线通过圆心O，且与圆相切于点P，那么这条直线与切线垂直。
即OP与AP垂直。
同时，切线与过切点的半径也垂直。
四、切线长定理
切线长定理是指：过圆上一点作圆的切线，则切线长相等。
具体来说，如果圆上有点A，且过点A分
别作圆的两条切线AB和AC，那么这两条切线的长度相等。
即 AB = AC。
这个定理可以用来证明一些与切线相关的几何问题。
垂径定理-中考数学专项训练(含解析)
垂径定理一、单选题A．82．如图，圆弧形桥拱的跨度A．2米B．43．如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其水平放置，截面是个圆，是弧AB的中点，2CD=cm，杯内水面宽A．6cm4．如图，CD是圆O长为（）A．33A ．45︒6．如图，O 的半径是A ．27．如图是一段圆弧 AB 点．若63,AB CD =A ．6πB ．4π8．如图，在O 中，半径23r =，AB 过点C 作CD OC ⊥交O 于点D ，则A ．4B的直径，11．如图，AB是O==，则CD5,3AB BC的弦，半径12．如图，AB是O中，直径13．如图，在O一点，连AE，过点C作14．如图，在圆O中，弦的直径15．如图．O为．的外接圆，16．如图，⊙O是ABC∠的度数为于点D，连接BD，则D三、解答题17．如图，AB为半圆O点D，若4，==AB AC(1)DE的长．(2)阴影部分的面积．18．如图，AB 为O 的直径，CD 为弦，CD AB ⊥于点E ，连接DO 并延长交O 于点F ，连接AF 交CD 于点G ，CG AG =，连接AC ．(1)求证：AC DF ∥；(2)若12AB =，求AC 和GD 的长．19．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C D 、两点，若16cm 6cm AB CD ==，．(1)求AC 的长；(2)若大圆半径为10cm ，求小圆的半径．∠；(1)连接AD，求OAD(2)点F在 BC上，CDF∠=参考答案：∵OA OB =，C 为弦AB 中点，∴OC AB ⊥，4AC =，∴OE 平分 AB ，∵D 为 AB 的中点，∴点,D E 重合，∴,,O C D 三点共线，设圆的半径为r ，则：2OC OD CD r =-=-，由勾股定理，得：222OA AC OC =+，∴()22242r r =+-，解得：=5r ；故选B ．4．C【分析】本题考查了勾股定理的应用，垂径定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键．连接OC ，首先根据题意可求得63OC OE ==，，根据勾股定理即可求得CE 的长，再根据垂径定理即可求得CD 的长．【详解】解：如图，连接OC ，∵123AB BE ==，，∴63OB OC OE ===，，∵AB CD ⊥，∵50BOC ∠=︒，OC ∴OCB OBC ∠=∠=∵OC AB ⊥，∴AD BD =，故选：B．7．B【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理及弧长的计算公式，先根据垂径定理求出=长，由题意得OD OAOE AB ⊥ ，132AE BE AB ∴===，22OE OA AE ∴=-=在Rt COE △中，∵AB 是O 的直径，∴152OD OB AB ===∵,6CD AB CD ⊥=，∴13,2DE CD DEO ==∠∴22OE OD DE =-=∵5AB =，∴25OE =，∵DE 切O 于点E ，∴OE DE ⊥，∴90OED ∠=︒，∵1OA =，120AOB ∠=︒，∴30A B ==︒∠∠，AC BC =∴1122OC OA ==，AC =∵直径CD 长为4，∴1422OD =⨯=，∵1OG =，∴1DG OD OG =-=，∴AB 垂直平分OD ，OH 经过圆心O ，12AH BH AB ∴===∴2AO AH OH =+故答案为：5．在Rt AOD 中，12OD OA ==，，1cos 2AOD \Ð=，60AOD ∴=︒∠，OE AC ⊥ ，由垂径定理知，点E是CD的中点，也是AB是 的直径，CD⊥AB∴垂直平分CD，M是OA的中点，∴1122OM OA OD==，OA CD于点M，⊥∴点M是CD的中点，∴垂直平分CD，ABNC ND∴=，Q，∠=︒45CDFNCD NDC∴∠=∠=︒，45∴∠=︒，90CND。
2022届中考知识点强化练习：垂径定理(解答题篇)(word版含答案)
2022届中考知识点强化练习：垂径定理（解答题篇）一、解答题（共11小题；共143分）1. ____________________________ 垂径定理：垂直于弦的直径_________ 弦，并且平分弦所对的两条__________________________________几何语言（如图）：•.•直径CD LAB,2.如图，刀B是。
的一条弦，CD经过圆心。
且与刀8交于点E,若AE = BE, AB = 2^7, ED =1,求CD的长.3.如图，48是O0的直径，交弦CZ）于点E,点E是CD的中点.（1）__________________________________________ 若 O0 的半径为 5, CD = 8,则 OE = , BE =；（2）___________________________________ 若 C D = 16, BE = 4,则 CE= ， O。
的半径为.4.如图，有一座弧形的拱桥，桥下水面的宽度AB为7.2 m,拱顶高出水面的最大高度CD的长为2.4 m,现有一艘宽 3 m,船舱顶部为长方形并且高出水面 2 m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座弧形拱桥吗？则点P坐标为(4,2)或(-4,2).②当匕PBG = 90°时，PB lx轴，则 PC 是直径，PC = 8, FC=4A/3得 PB = 4,点 P 坐标为(-2,75,4).③当匕BPG = 90。
,则是直径，这时有PC Lx轴得PC = 4，点P坐标为(2\/5,4).符合条件的点P坐标为(4,2)或(-4,2)或(-2西4)或(2V3,4).5.如图，AB是。
的弦，D为0。
上不与A, B重合的一点，DC 1 AB于点C,® = O,连接DM.求证："DM = 3DM.6.如图所示，某窗户是由矩形和弓形组成，己知弓形的跨度/!B = 3m,弓形的高EF=lm,现计划安装玻璃，请帮工程师求出徐所在。
垂径定理及其推论练习题
O
P
B
3.某圆直径是10,内有两条平行 弦，长度分别为6和8。求这两条平 行弦间的距离。
1、两条辅助线：
半径、圆心到弦的垂线段 2、一个Rt△：
A
O · C B
半径、圆心到弦的垂线段、半弦 3、两个定理： 垂径定理、勾股定理
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
第十讲 垂径定理及其推论
第十讲 垂径定理及其推论一、知识要点回顾：1、圆是_____对称图形，_______________是它的对称轴。
2、垂径定理： 文字叙述是：垂直于弦的直径_______，并且_______________________________。
符号语言：∵CD 是⊙O_____，AB 是⊙O______，且CD__AB 于M∴____=_____，_____=______，_____=______。
3、垂径定理的推论： 。
符号语言： ∵ ∴二、例题讲析：用垂径定理解决问题例1、已知：⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求：⊙O 的半径。
例2：如图，过点B 、C 的⊙O 的圆心在等腰三角形的内部，∠BAC ＝90°，OA ＝1，BC ＝6，求⊙O 的半径。
例3：如图，CD 是⊙O 的直径，AB ⊥CD 于点E ， DE=8cm,CE=2cm. 求弦AB 的长.例4：如图，某地有一圆弧开拱桥，桥下水面宽为7.2米，拱顶高出水面2.4米。
现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？三、巩固练习B ACD O M _B _A _O _垂径定理的推论中的条件要特别注意。
B A E D O CC BD OA 1．判断对错：（ ）1、垂直于弦的直径平分这条弦。
（ ）2、平分弦的直径垂直于这条弦。
（ ）3、平分弦的直线必垂直弦。
（ ）4、弦的垂直平分线经过圆心。
（ ）5、平分弧的直径平分这条弧所对的弦。
（ ）6、在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧。
（）7、分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分。
（ ）8、垂直于弦的直线必经过圆心。
2、已知如右图：AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，则BC =____，AC =____ ；CE=______ 3、 已知：AB 为⊙O 的弦，⊙O 的直径为26cm, 圆心O 到AB 的距离 为5cm, 求弦AB 的长。
中考数学分类汇编4.2垂径定理及推论(2017年)
1. (2017 AB于点青海省西宁市 ) 】．（3分）（2017?西宁, 8, 3P， AP=2， BP=6，∠ APC=30°，则 CD的长为（分）如图，）AB是⊙ O的直径，弦CD交A． B ． 2C． 2D． 8答案：】．考点 M2：垂径定理；KO：含 30 度角的直角三角形；KQ：勾股定理．剖析作 OH⊥ CD 于 H，连结OC，如图，依据垂径定原因OH⊥ CD获得 HC=HD，再利用AP=2， BP=6可计算出半径OA=4，则 OP=OA﹣ AP=2，接着在Rt △OPH中依据含30 度的直角三角形的性质计算出 OH= OP=1，而后在Rt △ OHC中利用勾股定理计算出CH=，因此CD=2CH=2．解答解：作OH⊥ CD于 H，连结O C，如图，∵OH⊥ CD，∴HC=HD，∵AP=2， BP=6，∴AB=8，∴OA=4，∴OP=OA﹣ AP=2，在 Rt △ OPH中，∵∠ OPH=30°，∴∠ POH=30°，∴OH=OP=1，在 Rt △ OHC中，∵ OC=4， OH=1，∴CH==，∴CD=2CH=2．应选 C．评论本题考察了垂径定理：垂直于弦的直径均分这条弦，而且均分弦所对的两条弧．也考察了勾股定理以及含30 度的直角三角形的性质．垂径定理及推论选择题基础知识2017-10-122. (2017湖南省长沙市)如图，AB为⊙O 的直径，弦CD AB 于点E ，已知CD6, EB1，则⊙O 的半径为．答案：答案5考点： 1、垂径定理，2、勾股定理垂径定理及推论填空题基础知识2017-10-123. (2017湖北省襄阳市)】．（ 3 分）（ 2017? 襄阳 , 15, 3分）在半径为 1 的⊙ O 中，弦AB、 AC15°或105°．的长分别为 1 和，则∠BAC的度数为答案：】． 15°或 105°．考点 M2：垂径定理；T7：解直角三角形．剖析依据题意画出图形，作出协助线，因为AC与 AB在圆心的同侧仍是异侧不可以确立，故应分两种状况进行议论．解答解：分别作OD⊥ AB， OE⊥ AC，垂足分别是D、 E．∵OE⊥ AC， OD⊥ AB，∴A E= AC= ， AD= AB= ，∴sin ∠ AOE= =，sin∠ AOD==，∴∠ AOE=45°，∠ AOD=30°，∴∠ BAO=60°，∠ CAO=90°﹣ 45° =45°，∴∠ BAC=45° +60° =105°，或∠ BAC′=60°﹣ 45° =15°．∴∠ BAC=15°或 105 °．故答案是： 15 °或 105 °．评论本题考察的是垂径定理及直角三角形的性质，解答本题时进行分类议论，不要漏解．垂径定理及推论填空题基础知识2017-10-124. (2017四川省内江市)如图， AB是O 的直径，弦 CD AB 于点E,O 的半径为3cm ，弦 CD的长为3cm ，则图中暗影部分的面积为．答案：3 3 4垂径定理及推论填空题基础知识2017-9-195.(2017 辽宁省大连市 ) 如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB，垂足为C，OC=3cm，则⊙O的半径为cm．答案：考点 M2：垂径定理；KQ：勾股定理．剖析先依据垂径定理得出AC的长，再由勾股定理即可得出结论．解答解：连结OA，∵OC⊥ AB， AB=8，∴A C=4，∵OC=3，∴OA===5．故答案为： 5．垂径定理及推论填空题基础知识2017-9-196. (2017 湖南省岳阳市) 如图，⊙O为等腰△ABC的外接圆，直径AB=12， P 为弧上随意一点（不与 B，C 重合），直线CP交 AB延伸线于点Q，⊙ O在点 P 处切线 PD 交 BQ于点 D，以下结论正确的选项是②③④．（写出全部正确结论的序号）①若∠ PAB=30°，则弧的长为π ；②若PD∥BC，则AP均分∠ CAB；③若 PB=BD，则 PD=6；④不论点P 在弧上的地点怎样变化，CPCQ为定值．答案：剖析①依据∠ POB=60°， OB=6，即可求得弧的长；②依据切线的性质以及垂径定理，即可获得= ，据此可得 AP 均分∠ CAB；③依据BP=BO=PO=6，可得△ BOP是等边三角形，据此即可得出PD=6 ；④判断△ ACP∽△ QCA，即可获得2=，即CPCQ=CA，据此可得CPCQ为定值．解答解：如图，连结OP，∵AO=OP，∠ PAB=30°，∴∠ POB=60°，∵A B=12，∴OB=6，∴弧的长为=2π，故①错误；∵P D 是⊙O 的切线，∴OP⊥ PD，∵P D∥ BC，∴OP⊥ BC，∴= ，∴∠ PAC=∠ PAB，∴AP 均分∠CAB，故②正确；若 PB=BD，则∠ BPD=∠ BDP，∵OP⊥ PD，∴∠ BPD+∠ BPO=∠ BDP+∠BOP，∴∠ BOP=∠ BPO，∴B P=BO=PO=6，即△ BOP是等边三角形，∴P D= OP=6 ，故③正确；∵A C=BC，∴∠ BAC=∠ ABC，又∵∠ ABC=∠ APC，∴∠ APC=BAC，又∵∠ ACP=∠ QCA，∴△ ACP∽△ QCA，2∴=，即CPCQ=CA（定值），故④正确；故答案为：②③④．评论本题主要考察了相像三角形的判断与性质，解决问题的重点是作协助线，结构三角形，所对的弧．垂径定理，切线的性质以及弧长公式的综合应用，解题时注意：垂直弦的直径均分这条弦，而且均分弦垂径定理及推论填空题数学思虑2017-9-187.(2017 湖北省鄂州市 ) 如图，已知 BF 是⊙ O的直径， A 为⊙ O上（异于 B、 F）一点.⊙ O的切线MA与 FB 的延伸线交于点 M； P 为 AM上一点， PB的延伸线交⊙ O于点 C， D为 BC上一点且PA =PD， AD的延伸线交⊙O于点 E.（1）求证： BE =CE ；（2）若 ED、 EA的长是一元二次方程x2－5x＋5=0的两根，求BE的长；（3）若 MA =6 21, 求AB的长 .， sin AMF3答案：答案（ 1）证明看法析（2） 5 （3） 2 3分析试题剖析：（ 1）利用垂径定理，将证明转变为证OE⊥ BC，经过角的关系可证明；（2）由题意易证△ BDE∽△ ABE，可得 BE、ED、EA的关系，再利用一元二次方程根与系数的的关系，代入可求解；（3）依据锐角三角函数，利用直角三角形求得AO的长，而后依据勾股定理可求解。
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EABC O1. (2013 浙江省舟山市) 如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．若AB ＝8，CD ＝2，则EC 的长为（ ▲ ） （A ）215 （B ）8 （C ）210（D ）213答案：D4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-09-292. (2013 浙江省温州市) 如图，在⊙O 中，OC ⊥弦AB 于点C ，AB =4，OC =1，则OB 的长是（A ） 3 （B ） 5 （C ）15 （D ） 17答案：B4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-09-243. (2013 湖北省宜昌市) 如图，DC 是O ⊙的直径，弦AB CD ⊥于F ，连接BC DB ，．则下列结论错误．．的是（ ）． （A ）»»AD BD = （B ）AF BF = （C ）OF CF = （D ）90DBC ∠=°答案：C4.2 垂径定理及推论 选择题 基本技能 2013-09-224. (2013 湖北省襄阳市) 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m ，其中水面的宽AB为0.8m，则排水管内水的深度为 m.答案：0.24.2 垂径定理及推论 填空题 基本技能 2013-09-225. (2013 湖北省黄石市) 如右图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=o ，3AC =，4BC =，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为A. 95B. 245C. 185D. 52CA DB答案：C4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-09-226. (2013 湖北省黄冈市) 如图，M 是CD 的中点，EM CD ⊥，若48CD EM ==，，则¼CED 所在圆的半径为 ．答案：1744.2 垂径定理及推论 填空题 基本技能 2013-09-227. (2013 浙江省绍兴市) 绍兴是著名的桥乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD 为8m ，桥拱半径OC 为5 m ，则水面宽AB 为（ ） （A ）4m （B ）5m （C ）6m （D ）8m答案：D4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-09-228. (2013 黑龙江省绥化市) 如图，在O e 中，弦AB 垂直平分半径OC ，垂足为D ，若O e 的半径为2，则弦AB 的长为 ．答案：234.2 垂径定理及推论 填空题 基本技能 2013-09-229. (2013 黑龙江省齐齐哈尔市) CD 是O ⊙的一条弦，作直径AB 使AB CD ⊥，垂足为E ，若10,8AB CD ==，则BE 的长是（ ）．（A ）８ （B ）２ （C ）2或８ （D ）３或７答案：C4.2 垂径定理及推论 选择题 基本技能 2013-09-2210. (2013 黑龙江省哈尔滨市) 如图，直线AB 与O ⊙相切于点A ，AC 、CD 是O ⊙的两条弦，且CD AB ∥，若O ⊙的半径为52，4CD =，则弦AC 的长为______．答案：254.2 垂径定理及推论 填空题 基本技能 2013-09-2211. (2013 四川省泸州市) 已知O ⊙的直径10CD =cm,AB 是O ⊙的弦，AB CD ⊥，垂足为M ,且8AB =cm,则AC 的长为( )（A ）25（B ）45（C ）25或45（D ）23或3答案：C4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-09-1812. (2013 四川省乐山市) 如图，圆心在y 轴的负半轴上，半径为5的⊙B 与y 轴的正半轴交于点A (0,1)，过点P (0,-7)的直线l 与⊙B 相交于C 、D 两点，则弦CD 长的所有可能的整数值有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个答案：C4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-09-1813. (2013 四川省广安市) 如图，已知半径OD 与弦AB 互相垂直，垂足为点C ，若AB =8cm ，CD =3cm ，则圆O 的半径为（ ）A. 256cm B. 5cm C. 4cm D. 196cm答案：A4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-09-1714. (2013 上海市) 在⊙O 中，已知半径长为3，弦AB 长为4，那么圆心O 到AB 的距离为___________．4.2 垂径定理及推论 填空题 基础知识 2013-09-1715. (2013 广西南宁市) 如图，AB 是O ⊙的直径，弦CD 交AB 于点E ，且8AE CD ==，12BACBOD ∠=∠，则O ⊙的半径为（ ）．（A ） （B ）5 （C ）4 （D ）3答案：B4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-09-1616. (2013 山东省潍坊市) 如图，O ⊙的直径12AB =，CD 是O ⊙的弦，CD AB ⊥，垂足为P ，且15BP AP =∶∶，则CD 的长为（ ）. （A ）24 （B ）28 （C ）52 （D ）54答案：D4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-09-1617. (2013 山东省济南市) 如图，AB 是O ⊙的直径，C 是O ⊙上一点，AB =10，AC =6，OD BC ⊥，垂足为D ，则BD 的长为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）6答案：C4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-09-1318. (2013 青海省西宁市) 如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若CD =6，且AE ：BE =1：3，则AB = ．4答案：34.2 垂径定理及推论填空题基础知识2013-09-1319. (2013 浙江省丽水市) 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是（）（A）4 （B）5（C）6 （D）8答案：C4.2 垂径定理及推论选择题基础知识2013-09-1320. (2013 宁夏回族自治区) 如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心Ｏ，则折痕AB的长为 cm.2答案：3BA 第12题图4.2 垂径定理及推论 填空题 基础知识 2013-09-1321. (2013 广西来宾市) 如图是一圆形水管的截面图，已知O ⊙的半径13OA =，水面宽24AB =，则水的深度CD 是_________.答案：84.2 垂径定理及推论 填空题 基础知识 2013-09-1222. (2013 广东省广州市) 如图7，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P 在第一象限，P Θ与x 轴交于O,A 两点，点13，则点P 的坐标为A 的坐标为（6,0），P Θ的半径为____________.答案：（3，2）4.2 垂径定理及推论 填空题 基础知识 2013-09-1223. (2013 甘肃省兰州市) 如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm ，水的最大深度为2cm ，则该输水管的半径为 A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm答案：C（第6题图）ODCBA4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-09-1224. (2013 福建省泉州市) 第二节三角形的内角和定理及推论）在ABC △中，2060A B ∠=∠=°，°，则ABC △的形状是（ ）（A ）等边三角形 （B ）锐角三角形（C ）直角三角形 （D ）钝角三角形答案：D4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-09-1125. (2013 福建省南平市) 如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，则下列结论中正确．．的是 A ． AD =AB B ．∠BOC =2∠DC ．∠D +∠BOC =90°D ．∠D =∠B答案：B4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-09-1126. (2013 江苏省徐州市) 如图，AB 是O ⊙的直径，弦CD AB ⊥，垂足为P ，若8CD =，3OP =，则O ⊙的半径为（ ）.（Ａ）10 （Ｂ）8 （Ｃ）5 （Ｄ）3答案：C4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-09-1027. (2013 四川省资阳市) 在⊙O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连结CD .（1）如图5-1，若点D 与圆心O 重合，AC =2，求⊙O 的半径r ；（6分）（2）如图5-2，若点D 与圆心O 不重合，∠BAC =25°，请直接写出∠DCA 的度数. （2分）答案：（1） 过点O 作AC 的垂线交AC 于E 、交劣弧于F ，由题意可知，OE =EF ， ········· 1分∵ OE ⊥AC ，∴AE=12AC ， ······························ 3分 在Rt △AOE 中，222AO OE AE =+， ························· 4分∴2211()2r r =+，∴r =233. ····························· 6分 （2）∠DCA =40°. ································· 8分4.2 垂径定理及推论 应用题 基础知识 2013-09-0928. (2013 吉林省长春市) 如图，MN 是⊙O 的弦，正方形OABC 的顶点B 、C 在MN 上，且点B 是CM 的中点.若正方形OABC 的边长为7，则MN 的长为 .图5-1 图5-2答案：284.2 垂径定理及推论 填空题 基础知识 2013-09-0829. (2013 吉林省) 如图，AB 是O ⊙的弦，OC AB ⊥于点C ，连接OA OB ，．点P 是半径OB 上任意一点，连接AP ．若5cm 3cm OA OC ==，，则AP 的长度可能是 cm （写出一个符合条件的数值即可）．答案：6（答案不唯一，大于或等于5并且小于或等于8的任意一个数值皆可）4.2 垂径定理及推论 填空题 基础知识 2013-09-0830. (2013 四川省内江市) 在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A （13，0），直线y=kx ﹣3k+4与⊙O 交于B 、C 两点，则弦BC 的长的最小值为 ．答案： 244.2 垂径定理及推论 填空题 基础知识 2013-09-05。