高三数学高考考前复习函数模型及其应用教案

第十节 函数模型及其应用
一、复习目标：
1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。

知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。

2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。

3．能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。

二、重难点：重点：掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等基本初等函数模型；培养阅读理解、建立数学模型和分析问题、解决问题的能力掌握解函数应用问题的基本步骤。

难点：建立数学模型和分析问题、解决问题的能力的培养。

三、教学方法：讲练结合，探析归纳。

四、教学过程
（一）、谈新课标要求及考纲要求和高考命题考查情况，促使学生积极参与。

新课标要求及考纲要求：1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；
2．收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。

高考命题考查情况及预测：函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考查即考小题又考大题，而且分值呈上升的趋势。

高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考查。

出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考查，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考查力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。

预测2010年的高考，将再现其独特的考查作用，而函数类应用题，是考查的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。

（1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题；
（2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。

（二）、知识梳理整合，方法定位。

（学生完成复资P25填空题，教师准对问题讲评）
1．我们学习过的基本初等函数主要有：一次函数、二次函数、正（反）比例函数、三角函数、指数函数、对数函数、幂函数等，我们要熟练掌握这些函数的图象与性质，以便利用它们来解决一些非基本函数的问题。

2．用基本初等函数解决非基本函数问题的途径：
（1）化整为零：即将非基本函数“拆”成基本初等函数，以便用已知知识解决问题；
（2）图象变换：某些非基本函数的图象可看成是由基本初等函数图象通过图象变换得到的，如果搞清了变换关系，便可借助基本初等函数解决非基本函数的问题。

3．函数的性质主要：周期性、有界性、单调性、奇偶性等，灵活运用这些性质，可以解决方程、不等式方面的不少问题。

4．在解决某些应用问题时，通常要用到一些函数模型，它们主要是：一次函数模型、 二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型、分式函数模型、分段函数模型等。

5.重难点问题探析：1．常见函数模型的理解：（1）直线模型，即一次函数模型，其增长特点是直线上升（x 的系数0 k ），通过图象可很直观地认识它。

（2）指数函数模型：能用指数
型函数表达的函数模型，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快)1(>a ，常形象地称之为“指数爆炸”。

（3）对数函数模型：能用对数函数表达式表达的函数模型，其增长特点是开始阶段增长得较快)1(>a ，但随着x 的逐渐增大，其函数值变化越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”。

（4）幂函数模型：能用幂函数表示表达的函数模型，其增长情况随n
x 中n 的取值变化而定，常见的有二次函数模型。

（5）“对勾” 函数模型：形如)0,0()(>>+=x a x a x x f 的函数模型，在现实生活中有着广泛的应用，常利用“基本不等式”解决，有时通过利用导数研究其单调性来求最值。

2．构建函数模型的基本步骤：（1）审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系，恰当选择数学模型；（2）建模：将文字语言、图形（或者数表）等转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义。

（三）、基础巩固训练
1.一批物资要用11辆汽车从甲地运到360千米外的乙地，若车速为v 千米/时，则两车的距离不能小于2)
10(
v 千米.运完这批物资至少需要（ ）。

A.10小时； B.11小时； C.12小时； D.13小时
[解析] C ；显然11辆汽车之间的距离之和为2)10(
10v ⨯千米，所以若车速为v 千米/时，11
辆汽车从甲地运到360千米外的乙地，需要时间为v v 360)10
(102+⨯，而
1236010236010360)10(102=⋅≥+=+⨯v v v v v v ，当且仅当v v 36010=，即60=v 时取“=”
2．甲、乙两间工厂的月产值在08年元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值.乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到08年11月份发现两间工厂的月产值又相同.比较甲、乙两间工厂08年6月份的月产值大小，则有（ ）。

A. 甲的产值<乙的产值；
B. 甲的产值=乙的产值；
C. 甲的产值>乙的产值
D.不能确定
[解析] C ；设两间工厂08年元月份的月产值为m ，甲厂每月增加的产值为d ，乙厂每个月
比前一个月增加产值的百分比为r ，则依题意得10)1(10r m d m +=+，故
m r m d 21)1(21510-+=从而甲、乙两间工厂在08年6月份的月产值的差为
0]1)1[(2)1()5(255>-+=+-+r m r m d m ，故应选C
3．计算机的价格大约每3年下降2
3，那么今年花8100元买的一台计算机，9年后的价格大约是 元.
[解析]300元；根据题意，计算机的价格大约每3年的下降率为31
，故9年后的价格大约是
300])31(1[81003=-⨯
4．(2008广东文)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、 每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用 为560+48x （单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用
建筑总面积）
[解析]设楼房每平方米的平均综合费为f （x ）元，则
()()2160100001080056048560482000f x x x x x ⨯=++
=++()10,x x Z +≥∈ ()210800
48f x x '=-, 令 ()0f x '= 得 15x =
当 15x > 时，()0f x '> ；当 015x <<时，()0f x '<
因此 当15x =时，f （x ）取最小值
()152000f =； 故为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。

5．某公司生产的品牌服装年固定成本为10万元，每生产1千件，需另投入1.9万元，设)
(x R （单位：万元）为销售收入，根据市场调查，⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-=)10(3200)100(30110)(3x x x x x R ,其中x 是年产量
（单位：千件）
（1）写出利润W 与年产量x 的函数解析式
（2）年产量为多少时，该公司在这一品牌服装的生产中获利最大？
[解析]⑴W=R(x)-10-1.9x=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤--)10(9.13170)100(10301.83
x x x x x
（2）当100<<x 时，
)81(1012x w -='。

令9,0=='x w
当90<<x 时0>'w ，当109<<x 时，0<'w ；
故x=9处w 有唯一极大值也是最大值；
当10>x 时，w 是减函数，所以年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中获利最大。

（四）、小结反思：1．将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

2．怎样选择数学模型分析解决实际问题，数学应用问题形式多样，解法灵活。

在应用题的各种题型中，有这样一类题型：信息由表格数据的形式给出，要求对数据进行合理的转化处理，建立数学模型，解答有关的实际问题。

解答此类题型主要有如下三种方法：
（1）直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解；
（2）列式比较法：若题所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较；
（3）描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决。

下面举例进行说明。

（五）、作业布置：课本P134B 组中2 C 组中1、2
课外练习：复资P25中1、2、3、4 随堂训练中2、3、4、5、6
五、教学反思：。