2001年普通高等学校春季招生考试数学试卷(北京、内蒙古、安徽卷)理(附解答)

绝密★启用前2001年普通高等学校春季招生考试（北京、内蒙古、安徽卷）数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式： 正棱台、圆台的侧面积公式 三角函数的积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin β-α+β+α=βα l c c S )'(21+=台侧)]sin()[sin(21sin cos β-α-β+α=βα其中'c 、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长)]cos()[cos(21cos cos β-α+β+α=βα 球体的体积公式 334R V π=球)]cos()[cos(21sin sin β-α-β+α-=βα其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）集体{}5,4,3,2,1=M 的子集个数是（A ）32（B ）31 （C ）16 （D ）15（2）函数)10()(≠>=a a a x f x且对于任意的实数y x ,都有 （A ）)()()(y f x f xy f = （B ）)()()(y f x f xy f +=（C ）)()()(y f x f y x f =+（D ）)()()(y f x f y x f +=+（3）=++∞→1222limn n nn n CC（A ）0 （B ）2 （C ）21 （D ）41（4）函数)1(1≤--=x x y 的反函数是 （A ）)01(12≤≤--=x x y （B ）)10(12≤≤-=x x y（C ）)0(12≤-=x x y（D ）)10(12≤≤-=x x y（5）极坐标系中，圆θ+θ=ρsin 3cos 4的圆心的坐标是（A ）)53arcsin,25(（B ）)54arcsin ,5(（C ）)53arcsin,5( （D ）)54arcsin,25(（6）设动点P 在直线1=x 上，O 为坐标原点．以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰OPQ Rt ∆，则动点Q 的轨迹是（A ）圆 （B ）两条平行直线 （C ）抛物线 （D ）双曲线（7）已知x x f 26log )(=，那么)8(f 等于（A ）34 （B ）8 （C ）18 （D ）21（8）若A 、B 是锐角ABC ∆的两个内角，则点)cos sin ,sin (cos A B A B P --在（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（9）如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是（A ）︒30（B ）︒45（C ）︒60（D ）︒90（10）若实数b a ,满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是（A ）18（B ）6（C ）32（D ）432（11）右图是正方体的平面展开图．在这个正方体．．．中， ①ED BM 与平行 ②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成︒60角 ④DM 与BN 垂直以上四个命题中，正确命题的序号是 （A ）①②③ （B ）②④（C ）③④（D ）②③④（12）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量n S （万件）近似地满足2(215)(1,2,,12)90n n S n n n =--=按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（A ）5月、6月 （B ）6月、7月 （C ）7月、8月（D ）8月、9月绝密★启用前2001年普通高等学校春季招生考试（北京、内蒙古、安徽卷）数 学（理工农医类） 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 注意事项：1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． （13（14）椭圆4422=+y x 长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是______________（15）已知α=γ+β+α(1sin sin sin 222、β、γ均为锐角），那么γβαcos cos cos 的最大值等于（16）已知m 、n 是直线， α、β、γ是平面，给出下列命题：① 若m n m ⊥=⋂⊥,,βαβα，则βα⊥⊥n n 或； ②若α∥β，nm =γ⋂β=γ⋂α,，则m ∥n ；③若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线； ④若m =⋂βα，n ∥m ，且βα⊄⊄n n ,，则n ∥n 且α∥β．其中正确的命题的序号是_______________（注：把你认为正确的命题的序号都．填上）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 设函数)0()(>>++=b a bx a x x f ，求)(x f 的单调区间，并证明)(x f 在其单调区间上的单调性．已知)1(17≠∈=z C z z 且．（Ⅰ）证明0165432=++++++z z z z z z ；（Ⅱ）设z 的辐角为α，求ααα4cos 2cos cos ++的值．已知VC 是ABC ∆ABC 上的射影，且在ABC∆的高CD 上．AB VC a AB 与,=之间的距离为VC M h ∈点,．（Ⅰ）证明∠MDC 是二面角M –AB –C 的平面角；（Ⅱ）当∠MDC =∠CVN 时，证明VC AMB 平面⊥； （Ⅲ）若∠MDC =∠CVN =)20( π<θ<θ，求四面体MABC 的体积．n 321 1与2之间插入n 个正数n b b b b ,,,,321 ，使这2+n 个数成等差数列．记n n n n b b b b B a a a a A ++++== 321321,．（Ⅰ）求数列{}n A 和{}n B 的通项；（Ⅱ）当7≥n 时，比较n A 与n B 的大小，并证明你的结论．万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为)10(<<x x ，则出厂价相应提高的比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ．已知年利润=（出厂价–投入成本）⨯年销售量．（Ⅰ）写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；（Ⅱ）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？已知抛物线)0(22>=p px y ．过动点M （a ，0）且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ，p AB 2||≤．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求NAB Rt ∆面积的最大值．绝密★启用前2001年普通高等学校春季招生考试（北京、内蒙古、安徽卷）数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分． （1）A （2）C （3）D （4）C （5）A （6）B（7）D（8）B（9）C（10）B（11）C（12）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．（13）π242S S（14）2516 （15）692 （16）②④三、解答题（17）本小题主要考查函数的单调性及不等式的基础知识，考查数学推理判断能力．满分12分．解：函数bx a x x f ++=)(的定义域为(,)(,)b b -∞--+∞)(x f 在),(b --∞内是减函数，)(x f 在),(+∞-b 内也是减函数 ……4分 证明)(x f 在),(+∞-b 内是减函数取),(,21+∞-∈b x x ，且21x x <，那么bx a x bx a x x f x f ++-++=-221121)()())(())(-( 2112b x b x x x b a ++-=……6分∵0))((,0,02112>++>->-b x b x x x b a ∴0)()(21>-x f x f即)(x f 在),(+∞-b 内是减函数 ……9分 同理可证)(x f 在),(b --∞内是减函数 ……12分（18）本小题主要考查复数的基本概念和基本运算，考查综合运用复数的知识解决问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）由 )1(65432z z z z z z z ++++++ 765432z z z z z z z ++++++=654321z z z z z z ++++++=，得0)1)(1(65432=++++++-z z z z z z z ．……4分因为 1≠z ，01≠-z ，所以 0165432=++++++z z z z z z ． ……6分（Ⅱ）因为1||,17==z z 可知，所以 1=⋅z z ，而17=z ，所以16=⋅z z ， z z =6，同理3452,z z z z ==， 65342z z z z z z ++=++．由（Ⅰ）知 165342-=+++++z z z z z z ， 即 14242-=+++++z z z z z z ， 所以 42z z z ++的实部为21-， ……8分而z 的辐角为α时，复数42z z z ++的实部为 ααα4c o s 2c o s c o s++， 所以 214c o s 2c o s c o s-=++ααα ……12分（19）本小题主要考查线面关系的基本概念，考查运用直线与直线、直线与平面的基本性质进行计算和证明的能力．满分12分．（Ⅰ）证明：由已知， ABC AB CD N ABC VN AB CD 平面平面⊂∈⊥⊥,,,，∴AB VN ⊥．∴VNC AB 平面⊥．……2分又V 、M 、N 、D 都在VNC 所在平面内，所以，DM 与VN 必相交，且CD AB DM AB ⊥⊥,，∴∠MDC 为二面角C AB M --的平面角．……4分（Ⅱ）证明：由已知，∠MDC =∠CVN ，在DMC VNC ∆∆与中， ∠NCV =∠MCD ， 又∵∠VNC =︒90， ∴∠DMC =∠VNC =︒90． 故有VC AB VC DM ⊥⊥又,， ……6分 ∴AMB VC 平面⊥．……8分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）、（Ⅱ），VC M AB D VC MD AB MD ∈∈⊥⊥,,,且，∴h MD =． 又∵∠θ=MDC ．在MDC Rt ∆中，θtg h CM ⋅=．……10分ABMC MABCV V -=三棱锥四面体a htg h S CM ABM 213131⋅⋅=⋅=∆θθtg ah 261=． ……12分（20）本小题主要考查等差数列、等比数列的基础知识，考查观察、猜想并进行证明的数学思想方法．满分12分． 解：（I ）∵2,,,,,,1321n a a a a 成等比数列，∴221123121=⨯======+--- k n k n n n a a a a a a a a ，∴nn n n n n n n a a a a a a a a a a A 2)21())(())()((121231212=⨯==---∴22nn A =……4分∵2,,,,,,1321n b b b b 成等差数列，∴3211=+=+n b b ， ∴nn b b B nn2321=⋅+=所以，数列{}n A 的通项22nn A =，数列{}n B 的通项n B n 23= ……6分（II ）∵22nn A =，n B n 23=，∴22249,2nB A n n n==，要比较n A 与n B 的大小，只需比较2n A 与2n B 的大小，也即比较当7≥n时，n 2与249n 的大小．当7=n时，1282=n ，4949492⨯=n ，得知2492nn >，经验证9,8==n n 时，均有命题2492nn >成立．猜想当7≥n 时有2492nn>．用数学归纳法证明．……9分（i ）当7=n时，已验证2492nn >，命题成立．（ii ）假设)7(≥=k k n 时，命题成立，即 2492kk>，那么 214922kk ⨯>+又当7≥k时，有122+>k k∴)12(49221++⨯>+k k k 2)1(49+=k这就是说，当1+=k n 时，命题2492nn>成立．根据（i ）、（ii ），可知命题对于7≥n 都成立．故当7≥n时，n n B A >……12分（21）本小题主要考查建立函数关系、不等式的性质和解法等内容，考查运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分． 解：（Ⅰ）由题意得)10)(6.01(1000)]1(1)75.01(2.1[<<+⨯⨯+⨯-+⨯=x x x x y ，……4分 整理得 )10( 20020602<<++-=x x x y ．……6分（Ⅱ）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当 ⎩⎨⎧<<>⨯--.10,01000)12.1(x y即 ⎩⎨⎧<<>+-.10,020602x x x……9分解不等式得 310<<x ．答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 应满足33.00<<x ．……12分（22）本小题考查直线与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力．满分14分．解：（Ⅰ）直线l 的方程为a x y -=，将 px y a x y 22=-=代入， 得 0)(222=++-a x p a x ．……2分设直线l 与抛物线两个不同交点的坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+>-+.),(2,04)(42212122a x x p a x x a p a……4分又a x y a x y -=-=2211,， ∴ 221221)()(||y y x x AB -+-= ]4)[(221221x x x x -+=)2(8a p p +=． ……6分∵ 0)2(8,2||0>+≤<a p p p AB ，∴ p a p p 2)2(80≤+<．解得 42p a p -≤<-． ……8分（Ⅱ）设AB 的垂直平分线交AB 于点Q ，令坐标为),(33y x ，则由中点坐标公式，得p a x x x +=+=2213，p a x a x y y y =-+-=+=2)()(221213．……10分∴ 22222)0()(||p p a p a QM =-+-+=． 又 MNQ ∆为等腰直角三角形， ∴2||||==QM QN ，∴ ||||21QN AB S NAB ⋅=∆．……12分22222||22ppp AB p =⋅≤=即NAB ∆面积最大值为22p……14分。