反函数例题讲解

反函数例题讲解例1．下列函数中，没有反函数的是 ( )(A) y = x 2－1（x <21-） (B) y = x 3+1（x ∈R ）(C) 1-=x xy （x ∈R ，x ≠1） (D) ⎩⎨⎧<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ，分析：一个函数是否具有反函数，完全由这个函数的性质决定．判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念．从代数角度入手，可试解以y 表示x 的式子；从几何角度入手，可画出原函数图像，再作观察、分析．作为选择题还可用特例指出不存在反函数．本题应选（D ）． 因为若y = 4，则由 ⎩⎨⎧≥=-2422x x ，得 x = 3．由 ⎩⎨⎧<=-144x x ，得 x = －1．∴ （D ）中函数没有反函数． 如果作出 ⎩⎨⎧<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ，的图像（如图），依图更易判断它没有反函数．例2．求函数 211x y --=（－1≤x ≤0）的反函数． 解：由 211x y --=，得：y x -=-112 ．∴ 1－x 2 = (1－y )2，x 2 = 1－(1－y )2 = 2y －y 2 ． ∵ －1≤x ≤0，故 22y y x --=． 又 当 －1≤x ≤0 时， 0≤1－x 2≤1， ∴ 0≤21x -≤1，0≤1－21x -≤1， 即 0≤y ≤1 ．∴ 所求的反函数为 22x x y --=（0≤x ≤1）．由此可见，对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要步骤是： ① 把给出解析式中的自变量x 当作未知数，因变量y 当作系数，求出x = φ ( y )．② 求给出函数的值域，并作为所得函数的定义域；③ 依习惯，把自变量以x 表示，因变量为y 表示，改换x = φ ( y )为y =φ ( x )．例3．已知函数 f ( x ) = x 2 + 2x + 2（x <－1），那么 f －1 (2 )的值为__________________．分析：依据f －1 (2 )这一符号的意义，本题可由f ( x )先求得f －1 ( x )，再求f －1 (2 )的值（略）．依据函数与反函数的联系，设f －1 (2 ) = m ，则有f ( m ) = 2．据此求f －1(2 )的值会简捷些．令 x 2 + 2x + 2 = 2，则得：x 2 + 2x = 0 ． ∴ x = 0 或 x =－2 ．又x <－1，于是舍去x = 0，得x =－2，即 f －1 (2 ) = －2 ． 例4．已知函数 241)(x x f +=（x ≤0），那么 f ( x )的反函数f －1 ( x )的图像是( )（A （（B （C分析：作为选择题，当然不必由f ( x )求出f －1 ( x )，再作出f －1 ( x )图像，予以比较、判断．由241)(x x f +=（x ≤0）易得函数f ( x )的定义域为(]0,∞-，值域为[)∞+,1．于是有函数f－1( x )的定义域为[)∞+,1，值域为(]0,∞-．依此对给出图像作检验，显然只有（D ）是正确的．因此本题应选（D ）．例5．给定实数a ，a ≠0，a ≠1，设函数11--=ax x y （x ∈R ，x ≠a 1）．求证：这个函数的图像关于直线y = x 成轴对称图形． 分析：本题可用证明此函数与其反函数是同一个函数的思路． 证明：先求给出函数的反函数：由 11--=ax x y （x ∈R ，x ≠a 1），得y ( ax －1) = x －1 ．∴(ay －1)x = y －1 ． ①若ay －1 = 0，则ay = 1 ． 又a ≠0，故 a y 1=．此时由①可有y = 1．于是a1=1，即a = 1， 这与已知a ≠1是矛盾的，故ay －1 ≠ 0 ． 则由①得 11--=ay y x （y ∈R ，y ≠a1）． ∴ 函数 11--=ax x y （x ∈R ，x ≠a 1）的反函数还是11--=ax x y （x ∈R ，x≠a1）．由于函数f ( x )与f －1 ( x )的图像关于直线y = x 对称，故函数11--=ax x y （x ∈R 且x ≠a1）的图像关于直线y = x 成轴对称图形． 本题证明还可依轴对称的概念进行，即证明：若点P （x ，y ）是函数f ( x )图像上任一点，则点P 关于直线的对称点Q （y ，x ）也在函数f ( x )的图像上（过程略）．例题讲解（反函数）例1．求下列函数的反函数： (1) y =3x －1 (x ∈R )； (2) y =x 3＋1 (x ∈R )； (3)1+=x y (x ≥0)； (4)132-+=x x y (x ∈R ，且x ≠1)． 通过本例，使学生掌握求反函数的方法．求反函数时，要强调分三个步骤进行．第一步将y = f (x )看成方程，解出x = f －1 (y )，第二步将x ，y 互换，得到y = f －1(x )，第三步求出原函数的值域，作为反函数的定义域．其中第三步容易被忽略，造成错误．如第(3)小题，由1+=x y 解得x = (y －1)2，再将x ，y 互换，得y = (x －1)2．到此以为反函数即y = (x －1)2，这就错了．必须根据原函数的定义域x ≥0，求得值域y ≥1，得到反函数的定义域，于是所求反函数为y = (x －1)2 (x ≥1)． 例2．求下列函数的反函数： (1) y = x 2－2x －3 (x ≤0)；(2) =y ⎪⎩⎪⎨⎧--111xx通过本例，使学生进一步掌握求反函数的方法，明确求解中三个步骤缺一不可．解：(1) 由y = x 2－2x －3， 得y = (x －1)2－4， 即 (x －1)2 = y ＋4，因为x ≤0，所以41+-=-y x ，所以原函数的反函数是41+-=x y ( x ≥－3)．(2) 当x ≤0时，得x = y ＋1且y ≤－1；(x ≤0)， (x ＞0)．当x ＞0时， 得11+=y x 且y ＞－1，所以，原函数的反函数是：=y ⎪⎩⎪⎨⎧++111x x例题讲解(反函数）［例1］若函数f (x )与g (x)的图象关于直线y =x 对称，且f (x )=(x -1)2(x ≤1)，求g (x ).选题意图：本题考查互为反函数的函数的图象间的对称关系. 解：f (x )与g (x )在定义域内互为反函数， f (x )=(x -1)2(x ≤1)的反函数是y =1-x (x ≥0)， ∴g (x )=1-x (x ≥0).说明：互为反函数的图象关于y =x 对称，反之亦然，也是判断两个函数互为反函数的方法之一，本是f (x )与g (x )互为反函数，要求g (x ),只须求f (x )在限定区间上的反函数即可.［例2］若点P (1，2)在函数y=b ax +的图象上，又在它的反函数的图象上，求a ,b 的值.选题意图：本题考查反函数的概念，反函数的图象与原函数图象的对称关系的应用.解：由题意知P (1，2)在其反函数的图象上，根据互为反函数的函数图象关于y =x 对称的性质，Ｐ′(2，1)也在函数y =b ax +的图象上，因此：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ba ba 212解得:a =-3,b =7.说明：引导学生树立创造性思考问题的方式、方法，利用互为反函数的图象的对称关系.（１，２）在反函数图象上，则(2，1)也在原函数图象上是解决该问题的关键所在，即f (2)=1,这是得到a ,b 的另一个关系式的条件，这样两个条件两个未知数，就可解出a ,b 的值.［例3］已知函数f (x )=(1+2x)2-2(x ≥-2)，求方程f (x )=f -1(x )的解集.x ≤－1， x ＞－1．选题意图：本题考查互为反函数的函数的图象关于y =x 对称的关系，灵活运用这一关系解决问题的能力.分析：若先求出f -1(x )=22+x -2(x ≥-2),再解方程(1+2x)2-2=22+x -2，整理得四次方程，求解有困难，但我们可以利用y =f (x )与y =f -1(x )的图象的关系求解.先画出y =f (x )=(1+2x)2-2的图象，如图，因为y =f (x )的图象和y =f -1(x )的图象关于直线y =x 对称，可立即画出y =f -1(x )的图象，由图象可见两图象恰有两个交点，且交点在y =x 上，因此，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=xy x y 2)21(2联立即可解得. 解：由函数f (x )=(1+2x )2-2(x ≥-2)画出图象，如图，由于函数f (x )的反函数的图象与函数f (x )的图象关于y =x 对称，故可以画出其反函数图象(如图)，由图可知两图象恰有两个交点且交点都在y =x 上.因此，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=x y x y 2)21(2的解即为f (x )=f -1(x )的解，于是解方程组得x =-2或x =2,从而方程f (x )=f -1(x )的解集为｛-2,2｝.说明：解决本题的关键是，根据互为反函数的图象关于y =x 对称，若两个函数有交点，则交点必在直线y =x 上，由此，将要解的两个较复杂的方程组转化为直线y =x 与其中y =(1+2x )2-２一个方程组的解的问题.图2—8例题讲解（练习）例1．函数f (x )=x －x 3是否存在反函数？说明理由 点评：不存在，∵ f (0)=f (－1)=f (1)=0． 例2．求下列函数的反函数． (1) ()156-+=x x x f (2) 1--=x y(3) f (x )=x 2－2x +3，x ∈(1，+∞) (4)()211x x f --=(－1≤x ≤0) 点评：(1) ()651-+=-x x x f(x ∈R 且x ≠6)(2) f －1(x )=x 2+1 (x ≤0) (3) ()121+-=-x x f (x >2)(4) ()()2111---=-x x f(0≤x ≤1)例3．求函数()()⎪⎩⎪⎨⎧<--≥-=1111x x x x y 的反函数． 点评：反函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=010122x xx x y ．例4．已知()123++=x x x f ，求f [f －1(x )]的值． 点评：22221=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ff ，注意f (x )的定义域为{x |x ∈R 且x ≠－1}，值域为{y |y ∈R 且y ≠－3}．例5．已知一次函数y =f (x )反函数仍是它自己，试求f (x )的表达式． 分析：设y =f (x )=ax +b (a ≠0)，则f －1(x )=a1(x －b )． 由a 1(x －b )=ax +b 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=bab a a1⎩⎨⎧∈-=⇒R b a 1或⎩⎨⎧==01b a ∴ f (x )=x 或f (x )=－x+b (b ∈R )例6．若函数341++=x ax y 在其定义域内存在反函数． (1) 求a 的取值范围；(2) 求此函数的值域． 解：(1)方法一：原式可化为4xy +3y =ax +1，(4y －a )x =1－3y ，当y ≠4a ，即4341a x ax ≠++时， 解得34≠a 时原函数有反函数．方法二：要使341++=x ax y 在其定义域内存在反函数，则需此函数为非常数函数，即314≠a ，所以34≠a 时函数341++=x ax y 在其定义域内存在反函数．(2) 由341++=x ax y 解得a y y x -+-=413．∴341++=x ax y 的反函数为a x x y -+-=413． ∵ax x y -+-=413的定义域是{x |x ∈R 且x =4a }故341++=x ax y 的值域是{y |y ∈R 且y ≠4a }．例7．设函数y =f (x )满足f (x －1)=x 2－2x +3(x ≤0)，求f －1(x +1)． 解：∵ x ≤0，则x －1≤－1．∵ f (x －1)=(x －1)2+2 (x ≤0) ∴ f (x )=x 2+2 (x ≤－1)．由y =x 2+2 (x ≤1)解得2--=y x (y ≥3)∴ ()21--=-x x f (x ≥3)．故()111--=+-x x f(x ≥2)．点评：f －1(x +1)表示以x +1代替反函数f －1(x )中的x ，所以要先求f －1(x )，再以x +1代x ，不能把f －1(x +1)理解成求f (x +1)的反函数． 习 题1．已知函数f (x )=x 2－1 (x ≤－2)，那么f －1(4)=______________． 2．函数y =－x 2+x －1 (x ≤21)的反函数是_________________．3．函数(][)⎪⎩⎪⎨⎧-∈∈-=0110122，，，，x x x x y 的反函数为__________________．4．函数322+-=x x y (x ≤1)的反函数的定义域是_____________． 5．已知m x y +=21与31-=nx y 是互为反函数，则m =______和n =________．答 案 1．5-2．⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤---=432341x x y3．(](]⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈+=10011，，，，，x x x x y4．[)∞+，25．61，2。