北京市朝阳区高三4月第一次综合练习数学文试题

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学学科测试（文史类） （考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项. （1）i 为虚数单位，复数

1

1i

-的虚部是 A ．12 B ．12- C ．1i 2- D . 1i 2

（2）若集合{}

23M x x =-<<，{

}

1

2

1x N x +=≥，则M

N =

A. (3,)+∞

B. (1,3)-

C. [1,3)-

D. (2,1]-- （3）已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+.若//AB OC ，则实数m 的

值为 A ．

15 B ．3- C ．35- D ．17

- （4）已知命题p ：x ∀∈R ，2

10x x +->；命题q ：x ∃∈R

，sin cos x x +=

则下列判断正确的是

A ．p ⌝是假命题

B ．q 是假命题

C ．p q ∨⌝是真命题

D ．()p q ⌝∧是真命题 （5）若直线y x m =+与圆2

2

420x y x +++=有两个不同的公共点，则实数m 的取值范围是

A

．(2 B ．()4,0-

C

．(22-- D . ()0,4

（6）“3m ≥”是“关于,x y 的不等式组0,20,10,0

x x y x y x y m ≥⎧⎪-≤⎪

⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩表示的平面区域为三角形”的

A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

（

7）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为

A. 4

B.

C.

20

3

D. 8

（8）

已知函数*

()21,f x x x =+∈N .若*

0,x n ∃∈N ，使000()(1)()63

f x f x f x n +++++=，则

称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”.函数()f x 的“生成点”共有 A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.

（9）以双曲线2

213

x y -=的右焦点为焦点，顶点在原点的抛物线的标准方程是 .

（10）执行如图所示的程序框图，输出结果S= .

正视图

侧视图

俯视图

（11） 在等比数列{}n a 中，32420a a a -=，则3a = ，若{}n b 为等差数列，且33b a =，则数列{}

n b 的前5项和等于 .

（12）在ABC ∆中，a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对的边，且满足7sin b a B =，则sin A = ，

若60B =，则sin C = .

（13） 函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=.当[0,1]x ∈时，()2f x x =.若

在区间[2,2]-上方程()0ax a f x +-=恰有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围（14A 是半圆2

2

40x x y -+=（2≤x ≤4）上的一个动点，点C

在线段OA 的延长线上．当20OA OC ⋅=时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）

已知函数21

()sin 222

x f x x ωω=

-+（0ω>）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）当[0,]2

x π∈时，求函数()f x 的取值范围.

（16） （本小题满分13分）

国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：

由全国重点城市环境监测网获得2月份某

五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据

用

茎叶图表示如下：

空气质量指数 0-50 51-100 101-150 151-200 201-300 300以上 空气质量等级 1级优 2级良 3级轻度污染 4级中度污染 5级重度污染 6级严重污染 甲城市 2 4 5 7 9 7 3 5 3 1

5 8 8

乙城市

（Ⅰ）试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系（只需写出

结果）；

（Ⅱ）试根据上面的统计数据，估计甲城市某一天空气质量等级为2级良的概率；

（Ⅲ）分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率．

(注：])()()[(1

222212

x x x x x x n

s n -++-+-=

，其中x 为数据n x x x ,,,21 的平均数.)

（17） （本小题满分14分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且P A A C ⊥， 2PA AD ==．四边形ABCD 满足BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==．E 为侧棱PB 的中点，F 为侧棱PC 上

的任意一点.

（Ⅰ）若F 为PC 的中点，求证：EF

平面PAD ；

（Ⅱ）求证：平面AFD ⊥平面PAB ；

（Ⅲ）是否存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直？若存在，

写出证明过程并求出线段PF 的长；若不存在，请说明理由．

（18） （本小题满分13分）

已知函数2

()(2)ln f x x a x a x =-++，其中a ∈R ．

（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线的斜率为1，求a 的值；

（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.

（19） （本小题满分14分）

P

D

A

B C

F

E