高三数学第一轮教案简易逻辑
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简易逻辑
二.教学目标:了解命题的概念和命题的构成;理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义;理解四
种命题及其互相关系;反证法在证明过程中的应用.
三.教学重点:复合命题的构成及其真假的判断,四种命题的关系.
四.教学过程:
(一)主要知识:
1.理解由“或”“且”“非”将简单命题构成的复合命题;
2.由真值表判断复合命题的真假;
3.四种命题间的关系.
(二)主要方法:
1.逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系,解题时注意类比;
2.通常复合命题“p 或q ”的否定为“p ⌝且q ⌝”、“p 且q ”的否定为“p ⌝或q ⌝”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等;
3.有时一个命题的叙述方式比较的简略,此时应先分清条件和结论,该写成“若p ,则q ”的形式;
4.反证法中出现怎样的矛盾,要在解题的过程中随时审视推出的结论是否与题设、定义、定理、公理、公式、法则等矛盾,甚至自相矛盾.
(三)例题分析:
例1.指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题,并判断复合命题的真假:
(1)菱形对角线相互垂直平分.
(2)“23≤”
解:(1)这个命题是“p 且q ”形式,:p 菱形的对角线相互垂直;:q 菱形的对角线相互平分, ∵p 为真命题,q 也是真命题 ∴p 且q 为真命题.
(2)这个命题是“p 或q ”形式,:p 23<;:q 23=,
∵p 为真命题,q 是假命题 ∴p 或q 为真命题.
注:判断复合命题的真假首先应看清该复合命题的构成形式,然后判断构成它的简单命题的真假,再由真值表判断复合命题的真假.
例2.分别写出命题“若220x y +=,则,x y 全为零”的逆命题、否命题和逆否命题. 解:否命题为:若220x y +≠,则,x y 不全为零
逆命题:若,x y 全为零,则220x y +=
逆否命题:若,x y 不全为零,则220x y +≠
注:写四种命题时应先分清题设和结论.
例3.命题“若0m >,则20x x m +-=有实根”的逆否命题是真命题吗?证明你的结论.
解:方法一:原命题是真命题,
∵0m >,∴140m ∆=+>,
因而方程20x x m +-=有实根,故原命题“若0m >,则20x x m +-=有实根”是真命题; 又因原命题与它的逆否命题是等价的,故命题“若0m >,则20x x m +-=有实根”的逆否命题是真命题.
方法二:原命题“若0m >,则20x x m +-=有实根”的逆否命题是“若2
0x x m +-=无实根,则0m ≤”.∵20x x m +-=无实根 ∴140m ∆=+<即104
m <-
≤,故原命题的逆否命题是真命题. 例4.(考点6智能训练14题)已知命题p :方程210x mx ++=有两个不相等的实负根,命题q :
方程2
44(2)10x m x +-+=无实根;若p 或q 为真,p 且q 为假,求实数m 的取值范围. 分析:先分别求满足条件p 和q 的m 的取值范围,再利用复合命题的真假进行转化与讨论. 解:由命题p 可以得到:2400m m ⎧∆=->⎨>⎩
∴2m > 由命题q 可以得到:2[4(2)]160m ∆=--< ∴26m -<<
∵p 或q 为真,p 且q 为假 ∴,p q 有且仅有一个为真
当p 为真,q 为假时,262,6
m m m orm >⎧⇒≥⎨≤-≥⎩ 当p 为假,q 为真时,22226m m m ≤⎧⇒-<≤⎨-<<⎩
所以,m 的取值范围为{|6m m ≥或22}m -<≤.
例5.(《高考A 计划》考点5智能训练第14题)已知函数()f x 对其定义域内的任意两个数,a b ,当a b <时,都有()()f a f b <,证明:()0f x =至多有一个实根.
解:假设()0f x =至少有两个不同的实数根12,x x ,不妨假设12x x <,
由方程的定义可知:12()0,()0f x f x ==
即12()()f x f x =①
由已知12x x <时,有12()()f x f x <这与式①矛盾
因此假设不能成立
故原命题成立.
注:反证法时对结论进行的否定要正确,注意区别命题的否定与否命题.
例6.(《高考A 计划》考点5智能训练第5题)用反证法证明命题:若整数系数一元二次方程:20(0)ax bx c a ++=≠有有理根,那么,,a b c 中至少有一个是偶数,下列假设中正确的是( )
A.假设,,a b c 都是偶数
B.假设,,a b c 都不是偶数
C.假设,,a b c 至多有一个是偶数
D.假设,,a b c 至多有两个是偶数
(四)巩固练习:
1.命题“若p 不正确,则q 不正确”的逆命题的等价命题是 ( )
A .若q 不正确,则p 不正确 B. 若q 不正确,则p 正确
C. 若p 正确,则q 不正确
D. 若p 正确,则q 正确
2.“若240b ac -<,则20ax bx c ++=没有实根”,其否命题是 ( )
A. 若240b ac ->,则20ax bx c ++=没有实根
B. 若240b ac ->,则20ax bx c ++=有实根
C. 若240b ac -≥,则20ax bx c ++=有实根
D. 若240b ac -≥,则20ax bx c ++=没有实根
五.课后作业:《高考A 计划》考点5,智能训练3,4,8,13,15,16.