高三数学第一轮教案简易逻辑
高中数学简易逻辑方法教案
高中数学简易逻辑方法教案教学目标1. 让学生理解逻辑方法在数学中的重要性。
2. 教授学生基本的逻辑思维技巧，如归纳法和演绎法。
3. 通过实例训练，提高学生运用逻辑方法解决问题的能力。
4. 培养学生的批判性思维，使他们能够评估论证的有效性。
教学内容与结构引入阶段- 活动：通过一个简单的数学谜题引起学生的兴趣，例如：“如果所有的奇数都大于0，那么所有大于0的数都是奇数吗？”- 讨论：引导学生讨论谜题的答案，并解释为什么这种推理是错误的。
基础知识讲解- 定义介绍：明确逻辑方法的定义，包括归纳法和演绎法。
- 案例分析：举例说明归纳法和演绎法在实际数学问题中的应用。
实践操作- 练习题目：提供一系列练习题，让学生尝试使用归纳法和演绎法解决问题。
- 小组合作：分组让学生合作解决更复杂的数学问题，并鼓励他们相互讨论逻辑过程。
总结提升- 课堂小结：回顾本节课所学的逻辑方法，强调其在数学解题中的作用。
- 拓展探究：布置一些具有挑战性的数学问题作为课后作业，鼓励学生独立思考。
教学方法与手段- 互动式教学：鼓励学生提问和参与讨论，以增强他们的逻辑思维能力。
- 案例教学：通过具体的数学问题案例，帮助学生理解和掌握逻辑方法。
- 分层次教学：根据学生的接受能力，逐步深入教学内容。
评价方式- 过程评价：观察学生在课堂上的参与度和讨论质量。
- 结果评价：通过课后作业和定期测验来评估学生对逻辑方法的掌握情况。
教学反思- 教师反馈：课后，教师应根据学生的表现进行反思，调整教学策略。
- 学生反馈：鼓励学生提出对教学方法的建议，以便更好地适应他们的学习需求。
高三数学第一轮复习教案(第一章集合与简易逻辑7课时)
第一章 集合与简易逻辑第1课时 集合的概念一．课题：集合的概念二．教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规处理方法．三．教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用． 四．教学过程： （一）主要知识：1．集合、子集、空集的概念；2．集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法；3．若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n个，真子集有21n-，非空子集有21n-个，非空真子集有22n-个． （二）主要方法：1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么； 2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简； 3．抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化． （三）例题分析：例1．已知集合2{1}P y x ==+，2{|1}Q y y x ==+，2{|1}E x y x ==+，2{(,)|1}F x y y x ==+，{|1}G x x =≥，则（ D ）()A P F =()B Q E = ()C E F =()D Q G =解法要点：弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简．例2．设集合{},,P x y x y xy =-+，{}2222,,0Q x y x y =+-，若P Q =，求,x y 的值及集合P 、Q ．解：∵P Q =且0Q ∈，∴0P ∈．（1）若0x y +=或0x y -=，则220x y -=，从而{}22,0,0Q x y =+，与集合中元素的互异性矛盾，∴0x y +≠且0x y -≠； （2）若0xy =，则0x =或0y =．当0y =时，{},,0P x x =，与集合中元素的互异性矛盾，∴0y ≠； 当0x =时，{,,0}P y y =-，22{,,0}Q y y =-，由P Q =得220y y y y y -=⎧⎪=-⎨≠⎪⎩ ① 或220y y y y y -=-⎧⎪=⎨≠⎪⎩ ②由①得1y =-，由②得1y =，∴{01x y ==-或{01x y ==，此时{1,1,0}P Q ==-．例3．设集合1{|,}24k M x x k Z ==+∈， 1{|,}42k N x x k Z ==+∈，则（ B ）()A M N = ()B M N ⊂≠ ()C M N ⊇ ()D MN φ=解法一：通分； 解法二：从14开始，在数轴上表示． 例4．若集合{}2|10,A x x ax x R =++=∈，集合{}1,2B =，且A B ⊆，求实数a 的取值范围．解：（1）若A φ=，则240a ∆=-<，解得22a -<<；（2）若1A ∈，则2110a ++=，解得2a =-，此时{1}A =，适合题意； （3）若2A ∈，则22210a ++=，解得52a =-，此时5{2,}2A =，不合题意； 综上所述，实数m 的取值范围为[2,2)-．例5．设2()f x x px q =++，{|()}A x x f x ==，{|[()]}B x f f x x ==， （1）求证：A B ⊆；（2）如果{1,3}A =-，求B ．解答见《高考A 计划（教师用书）》第5页．（四）巩固练习：1．已知2{|2530}M x x x =--=，{|1}N x mx ==，若N M ⊆，则适合条件的实数m 的集合P 为1{0,2,}3-；P 的子集有 8 个；P 的非空真子集有 6 个．2．已知：2()f x x ax b =++，{}{}|()22A x f x x ===，则实数a 、b 的值分别为2,4-． 3．调查100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么既带感冒药又带胃药的人数的最大值为 75 ，最小值为 55 ． 4．设数集3{|}4M x m x m =≤≤+，1{|}3N x n x n =-≤≤，且M 、N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集，如果把b a -叫做集合{}|x a x b ≤≤的“长度”，那么集合M N 的长度的最小值是112．五．课后作业：《高考A 计划》考点1，智能训练4，5，6，7，8，9，11，12．第2课时 集合的运算一．课题：集合的运算二．教学目标：理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，能利用数轴或文氏图进行集合的运算，进一步掌握集合问题的常规处理方法．三．教学重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用． 四．教学过程： （一）主要知识：1．交集、并集、全集、补集的概念；2．AB A A B =⇔⊆，A B A A B =⇔⊇；3．()U U U C A C B C A B =，()U U U C A C B C A B =．（二）主要方法：1．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题； 3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键．（三）例题分析：例1．设全集{}|010,U x x x N *=<<∈，若{}3AB =，{}1,5,7U AC B =，{}9U U C A C B =，则A ={}1,3,5,7，B ={}2,3,4,6,8． 解法要点：利用文氏图．例2．已知集合{}32|320A x x x x =++>，{}2|0B x x ax b =++≤，若{}|02A B x x =<≤，{}|2A B x x =>-，求实数a 、b 的值．解：由32320x x x ++>得(1)(2)0x x x ++>，∴21x -<<-或0x >，∴(2,1)(0,)A =--+∞，又∵{}|02A B x x =<≤，且{}|2A B x x =>-，∴[1,2]B =-，∴1-和2是方程20x ax b ++=的根， 由韦达定理得：{1212a b -+=--⨯=，∴{12a b =-=-． 说明：区间的交、并、补问题，要重视数轴的运用．例3．已知集合{(,)|20}A x y x y =-=，1{(,)|0}2y B x y x -==-，则A B =φ； A B ={(,)|(2)(1)0}x y x y y --=；（参见《高考A 计划》考点2“智能训练”第6题）．解法要点：作图．注意：化简{(,)|1,2}B x y y x ==≠，(2,1)A ∈．例4．（《高考A 计划》考点2“智能训练”第15题）已知集合222{|(1)(1)0}A y y a a y a a =-++++>，215{|,03}22B y y x x x ==-+≤≤，若A B φ=，求实数a 的取值范围． 解答见教师用书第9页．例5．（《高考A 计划》考点2“智能训练”第16题）已知集合{}2(,)|20,A x y x mx y x R =+-+=∈，{}(,)|10,02B x y x y x =-+=≤≤，若A B φ≠，求实数m 的取值范围．分析：本题的几何背景是：抛物线22y x mx =++与线段1(02)y x x =+≤≤有公共点，求实数m 的取值范围．解法一：由{22010x mx y x y +-+=-+=得2(1)10x m x +-+= ①∵A B φ≠，∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解，首先，由2(1)40m ∆=--≥，解得：3m ≥或1m ≤-． 设方程①的两个根为1x 、2x ，（1）当3m ≥时，由12(1)0x x m +=--<及121x x ⋅=知1x 、2x 都是负数，不合题意； （2）当1m ≤-时，由12(1)0x x m +=-->及1210x x ⋅=>知1x 、2x 是互为倒数的两个正数， 故1x 、2x 必有一个在区间[0,1]内，从而知方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解， 综上所述，实数m 的取值范围为(,1]-∞-．解法二：问题等价于方程组{221y x mx y x =++=+在[0,2]上有解，即2(1)10x m x +-+=在[0,2]上有解，令2()(1)1f x x m x =+-+，则由(0)1f =知抛物线()y f x =过点(0,1)，∴抛物线()y f x =在[0,2]上与x 轴有交点等价于2(2)22(1)10f m =+-+≤ ①或22(1)401022(2)22(1)10m mf m ∆=--≥⎧-⎪<<⎨⎪=+-+>⎩ ② 由①得32m ≤-，由②得312m -<≤，∴实数m 的取值范围为(,1]-∞-．（四）巩固练习：1．设全集为U ，在下列条件中，是B A ⊆的充要条件的有 （ D ）①A B A =，②U C A B φ=，③U U C A C B ⊆，④U A C B U =，()A 1个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 4个2．集合{(,)|||}A x y y a x ==，{(,)|}B x y y x a ==+，若A B 为单元素集，实数a 的取值范围为[1,1]- ．五．课后作业：《高考A 计划》考点2，智能训练3，7， 10，11，12，13．第3课时 含绝对值的不等式的解法一．课题：含绝对值的不等式的解法二．教学目标：掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法．三．教学重点：解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组），难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解过程中，集合间的交、并等各种运算．四．教学过程： （一）主要知识：1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离2．当0c >时，||ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +<⇔-<+<； 当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x φ+<⇔∈． （二）主要方法：1．解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；2．去掉绝对值的主要方法有：（1）公式法：|| (0)x a a a x a <>⇔-<<，|| (0)x a a x a >>⇔>或x a <-． （2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．（三）例题分析：例1．解下列不等式： （1）4|23|7x <-≤；（2）|2||1|x x -<+；（3）|21||2|4x x ++->． 解：（1）原不等式可化为4237x <-≤或7234x -≤-<-，∴原不等式解集为17[2,)(,5]22--． （2）原不等式可化为22(2)(1)x x -<+，即12x >，∴原不等式解集为1[,)2+∞． （3）当12x ≤-时，原不等式可化为2124x x --+->，∴1x <-，此时1x <-； 当122x -<<时，原不等式可化为2124x x ++->，∴1x >，此时12x <<； 当2x ≥时，原不等式可化为2124x x ++->，∴53x >，此时2x ≥．综上可得：原不等式的解集为(,1)(1,)-∞-+∞．例2．（1）对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是(,3)-∞； （2）对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是(4,)+∞．解：（1）可由绝对值的几何意义或|1||2|y x x =++-的图象或者绝对值不等式的性质|1||2||1||2||12|x x x x x x ++-=++-≥++-=得|1||2|3x x ++-≥，∴3a <； （2）与（1）同理可得|1||3|4x x --+≤，∴4a >．例3．（《高考A 计划》考点3“智能训练第13题”）设0,0a b >>，解关于x 的不等式：|2|ax bx -≥．解：原不等式可化为2ax bx -≥或2ax bx -≤-，即()2a bx -≥①或2()2a b x x a b+≤⇒≤+②， 当0a b >>时，由①得2x a b ≥-，∴此时，原不等式解为：2x a b ≥-或2x a b≤+； 当0a b =>时，由①得x φ∈，∴此时，原不等式解为：2x a b≤+；当0a b <<时，由①得2x a b ≤-，∴此时，原不等式解为：2x a b≤+．综上可得，当0a b >>时，原不等式解集为22(,][,)a b a b-∞+∞+-，当0a b <≤时，原不等式解集为2(,]a b-∞+． 例4．已知{||23|}A x x a =-<，{|||10}B x x =≤，且A B ⊂≠，求实数a 的取值范围． 解：当0a ≤时，A φ=，此时满足题意；当0a >时，33|23|22a ax a x -+-<⇒<<，∵A B ⊂≠， ∴3102173102aa a -⎧≥-⎪⎪⇒≤⎨+⎪≤⎪⎩， 综上可得，a 的取值范围为(,17]-∞．例5．（《高考A 计划》考点3“智能训练第15题”）在一条公路上，每隔100km 有个仓库（如下图），共有5个仓库．一号仓库存有10t 货物，二号仓库存20t ，五号仓库存40t ，其余两个仓库是空的．现在想把所有的货物放在一个仓库里，如果每吨货物运输1km 需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？解：以一号仓库为原点建立坐标轴，则五个点坐标分别为12345:0,:100,:200,:300,:400A A A A A ， 设货物集中于点:B x ，则所花的运费5||10|100|20|200|y x x x =+-+-， 当0100x ≤≤时，259000y x =-+，此时，当100x =时，min 6500y =； 当100400x <<时，57000y x =-+，此时，50006500y <<； 当400x ≥时，359000y x =-，此时，当400x =时，min 5000y =．综上可得，当400x =时，min 5000y =，即将货物都运到五号仓库时，花费最少，为5000元．（四）巩固练习：1．||11x x x x >++的解集是(1,0)-；|23|3x x ->的解集是3(,)5-∞； 2．不等式||1||||a b a b +≥-成立的充要条件是||||a b >； 3．若关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集，则a ∈(7,)+∞；4．不等式22|2log |2|log |x x x x -<+成立，则x ∈(1,)+∞ ．五．课后作业：《高考A 计划》考点3，智能训练4，5，6，8，12，14．第4课时 一元二次不等式的解法一．课题：一元二次不等式的解法二．教学目标：掌握一元二次不等式的解法，能应用一元二次不等式、对应方程、函数三者之间的关系解决综合问题，会解简单的分式不等式及高次不等式．三．教学重点：利用二次函数图象研究对应不等式解集的方法． 四．教学过程：（一）主要知识：1．一元二次不等式、对应方程、函数之间的关系；2．分式不等式要注意大于等于或小于等于的情况中，分母要不为零； 3．高次不等式要注重对重因式的处理． （二）主要方法：1．解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间； 2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； 3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解． （三）例题分析：例1．解下列不等式：（1）260x x --<；（2）23100x x -++<；（3）(1)(2)0(2)(1)x x x x x +-≥+-．解：（1）23x -<<；（2） 5 2x or x ><-； （3）原不等式可化为(1)(2)(2)(1)02 1 0 1 2(2)(1)0x x x x x x or x or x x x +-+-≥⎧⇒-<≤-≤<≥⎨+-≠⎩．例2．已知2{|320}A x x x =-+≤，2{|(1)0}B x x a x a =-++≤， （1）若A B ⊂≠，求a 的取值范围； （2）若B A ⊆，求a 的取值范围． 解：{|12}A x x =≤≤，当1a >时，{|1}B x x a =≤≤；当1a =时，{1}B =；当1a <时，{|1}B x a x =≤≤． （1）若A B ⊂≠，则122a a a >⎧⇒>⎨>⎩；（2）若B A ⊆，当1a =时，满足题意；当1a >时，2a ≤，此时12a <≤；当1a <时，不合题意． 所以，a 的取值范围为[1,2)．例3．已知2()2(2)4f x x a x =+-+，（1）如果对一切x R ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围； （2）如果对[3,1]x ∈-，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）24(2)16004a a ∆=--<⇒<<；（2）(2)3(3)0a f --<-⎧⎨->⎩或3(2)10a -≤--≤⎧⎨∆<⎩或(2)1(1)0a f -->⎧⎨>⎩，解得a φ∈或14a ≤<或112a -<<，∴a 的取值范围为1(,4)2-．例4．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|24}x x <<，则不等式20cx bx a ++<的解集为 ．解法一：∵(2)(4)0x x --<即2680x x -+->的解集为11{| }24x x or x ><，∴不妨假设1,6,8a b c =-==-，则20c x b x a ++<即为28610x x -+-<，解得11{|}42x x <<．解法二：由题意：00364188a cb b ac c a a c ⎧⎧<<⎪⎪⎪⎪⎪⎪-=⇒-=⎨⎨⎪⎪⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，∴20cx bx a ++<可化为20b a x x c c ++>即231048x x -+>，解得11{| }24x x or x ><．例5．（《高考A 计划》考点4“智能训练第16题”）已知二次函数2()f x ax bx c =++的图象过点(1,0)-，问是否存在常数,,a b c ，使不等式21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立？ 解：假设存在常数,,a b c 满足题意，∵()f x 的图象过点(1,0)-，∴(1)0f a b c -=-+= ①又∵不等式21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立， ∴当1x =时，211(1)(11)2f ≤≤+，即11a b c ≤++≤，∴1a b c ++= ②由①②可得：11,22a c b +==，∴211()()22f x ax x a =++-，由21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立得：22111()(1)222x ax x a x ≤++-≤+恒成立，∴2211()022(21)20ax x a a x x a ⎧-+-≥⎪⎨⎪-+-≤⎩的解集为R ， ∴0114()042a a a >⎧⎪⎨--≤⎪⎩且21018(21)0a a a -<⎧⎨+-≤⎩，即20(14)0a a >⎧⎨-≤⎩且212(14)0a a ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩， ∴14a =，∴14c =，∴存在常数111,,424a b c ===使不等式21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立．（四）巩固练习：1．若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈成立，则a 的取值范围是(2,2]-． 2．若关于x 的方程2210x ax a ++-=有一正根和一负根，则a ∈(1,1)-．3．关于x 的方程2(3)3m x m x -+=的解为不大于2的实数，则m 的取值范围为3(,](0,1)(1,)2-∞-+∞．4．不等式2(1)(2)0(4)x x x x +-≥+的解集为(,4)(0,2] 1or x -∞-=-．五．课后作业：《高考A 计划》考点4，智能训练3，4，5，9，13，14，15．第5课时 简易逻辑一．课题：简易逻辑二．教学目标：了解命题的概念和命题的构成；理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其互相关系；反证法在证明过程中的应用．三．教学重点：复合命题的构成及其真假的判断，四种命题的关系． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．理解由“或”“且”“非”将简单命题构成的复合命题； 2．由真值表判断复合命题的真假； 3．四种命题间的关系． （二）主要方法：1．逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比； 2．通常复合命题“p 或q ”的否定为“p ⌝且q ⌝”、“p 且q ”的否定为“p ⌝或q ⌝”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等；3．有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若p ，则q ”的形式； 4．反证法中出现怎样的矛盾，要在解题的过程中随时审视推出的结论是否与题设、定义、定理、公理、公式、法则等矛盾，甚至自相矛盾． （三）例题分析：例1．指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假： （1）菱形对角线相互垂直平分． （2）“23≤”解：(1)这个命题是“p 且q ”形式，:p 菱形的对角线相互垂直；:q 菱形的对角线相互平分， ∵p 为真命题，q 也是真命题 ∴p 且q 为真命题． （2）这个命题是“p 或q ”形式，:p 23<；:q 23=， ∵p 为真命题，q 是假命题 ∴p 或q 为真命题．注：判断复合命题的真假首先应看清该复合命题的构成形式，然后判断构成它的简单命题的真假，再由真值表判断复合命题的真假．例2．分别写出命题“若220x y +=，则,x y 全为零”的逆命题、否命题和逆否命题． 解：否命题为：若220x y +≠，则,x y 不全为零逆命题：若,x y 全为零，则220x y +=逆否命题：若,x y 不全为零，则220x y +≠ 注：写四种命题时应先分清题设和结论．例3．命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论． 解：方法一：原命题是真命题， ∵0m >，∴140m ∆=+>，因而方程20x x m +-=有实根，故原命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”是真命题； 又因原命题与它的逆否命题是等价的，故命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题是真命题．方法二：原命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题是“若20x x m +-=无实根，则0m ≤”．∵20x x m +-=无实根∴140m ∆=+<即104m <-≤，故原命题的逆否命题是真命题． 例4．（考点6智能训练14题）已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实负根，命题q ：方程244(2)10x m x +-+=无实根；若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围． 分析：先分别求满足条件p 和q 的m 的取值范围，再利用复合命题的真假进行转化与讨论．解：由命题p 可以得到：240m m ⎧∆=->⎨>⎩ ∴2m >由命题q 可以得到：2[4(2)]160m ∆=--< ∴26m -<<∵p 或q 为真，p 且q 为假 ∴,p q 有且仅有一个为真当p 为真，q 为假时，262,6m m m orm >⎧⇒≥⎨≤-≥⎩当p 为假，q 为真时，22226m m m ≤⎧⇒-<≤⎨-<<⎩所以，m 的取值范围为{|6m m ≥或22}m -<≤．例5．（《高考A 计划》考点5智能训练第14题）已知函数()f x 对其定义域内的任意两个数,a b ，当a b <时，都有()()f a f b <，证明：()0f x =至多有一个实根． 解：假设()0f x =至少有两个不同的实数根12,x x ，不妨假设12x x <， 由方程的定义可知：12()0,()0f x f x == 即12()()f x f x =①由已知12x x <时，有12()()f x f x <这与式①矛盾 因此假设不能成立 故原命题成立．注：反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题．例6．（《高考A 计划》考点5智能训练第5题）用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程：20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ） A.假设,,a b c 都是偶数 B.假设,,a b c 都不是偶数 C.假设,,a b c 至多有一个是偶数 D.假设,,a b c 至多有两个是偶数（四）巩固练习：1．命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是 （ ） A ．若q 不正确，则p 不正确 B. 若q 不正确，则p 正确 C. 若p 正确，则q 不正确 D. 若p 正确，则q 正确2．“若240b ac -<，则20ax bx c ++=没有实根”，其否命题是 （ ）A. 若240b ac ->，则20ax bx c ++=没有实根 B. 若240b ac ->，则20ax bx c ++=有实根C. 若240b ac -≥，则20ax bx c ++=有实根 D. 若240b ac -≥，则20ax bx c ++=没有实根五．课后作业：《高考A 计划》考点5，智能训练3，4，8，13，15，16．第6课时 充要条件一．课题：充要条件二．教学目标：掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系．三．教学重点：充要条件关系的判定．四．教学过程：（一）主要知识：1．充要条件的概念及关系的判定；2．充要条件关系的证明．（二）主要方法：1．判断充要关系的关键是分清条件和结论；2．判断p q ⇒是否正确的本质是判断命题“若p ，则q ”的真假；3．判断充要条件关系的三种方法：①定义法；②利用原命题和逆否命题的等价性；③用数形结合法（或图解法）．4．说明不充分或不必要时，常构造反例．（三）例题分析：例1．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答）（1）在ABC ∆中，:p A B >，:sin sin q A B >（2）对于实数,x y ，:8p x y +≠，:2q x ≠或6y ≠（3）在ABC ∆中，:sin sin p A B >，:tan tan q A B >（4）已知,x y R ∈，22:(1)(2)0p x y -+-=，:(1)(2)0q x y --=解：（1）在ABC ∆中，有正弦定理知道：sin sin a b A B= ∴sin sin A B a b >⇔> 又由a b A B >⇔>所以，sin sin A B A B >⇔> 即p 是q 的的充要条件．（2）因为命题“若2x =且6y =，则8x y +=”是真命题，故p q ⇒，命题“若8x y +=，则2x =且6y =”是假命题，故q 不能推出p ，所以p 是q 的充分不必要条件． （3）取120,30A B ==，p 不能推导出q ；取30,120A B ==，q 不能推导出p所以，p 是q 的既不充分也不必要条件．（4）因为{(1,2)}P =，{(,)|1Q x y x ==或2}y =，P Q ≠⊂， 所以，p 是q 的充分非必要条件．例2．设,x y R ∈，则222x y +<是||||x y +≤ ）、是||||2x y +<的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解：由图形可以知道选择B ，D ．（图略）例3．若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解：因为甲是乙的充分非必要条件，故甲能推出乙，乙不能推出甲，因为丙是乙的必要非充分条件，故乙能推出丙，丙不能推出乙，因为丁是丙的充要条件，故丁能推出丙，丙也能推出丁，由此可知，甲能推出丁，丁不能推出甲即丁是甲的必要不充分条件，选B ．例4．设,x y R ∈，求证：||||||x y x y +=+成立的充要条件是0xy ≥．证明：充分性：如果0xy =，那么，①0,0x y =≠②0,0x y ≠= ③0,0x y ==于是||||||x y x y +=+ 如果0xy >即0,0x y >>或0,0x y <<，当0,0x y >>时，||||||x y x y x y +=+=+，当0,0x y <<时，||()()||||x y x y x y x y +=--=-+-=+，总之，当0xy ≥时，||||||x y x y +=+．必要性：由||||||x y x y +=+及,x y R ∈得22()(||||)x y x y +=+即222222||x xy y x xy y ++=++得||xy xy =所以0xy ≥故必要性成立，综上，原命题成立．例5．已知数列{}n a 的通项1113423n a n n n =++++++，为了使不等式22(1)11log (1)log 20n t t a t t ->--对任意*n N ∈恒成立的充要条件．解：∵11111111()()02425324262526n n a a n n n n n n n +-=+-=-+->+++++++， 则1221n n n a a a a a -->>>>>， 欲使得题设中的不等式对任意*n N ∈恒成立，只须{}n a 的最小项221(1)11log (1)log 20t t a t t ->--即可， 又因为11194520a =+=， 即只须11t -≠且22911log (1)log (1)02020t t t t ----<， 解得1log (1)(1)t t t t -<-<>，即101(2)t t t t<<-<≠，解得实数t 应满足的关系为t >2t ≠． 例6．（1）是否存在实数m ，使得20x m +<是2230x x -->的充分条件？ （2）是否存在实数m ，使得20x m +<是2230x x -->的必要条件？解：欲使得20x m +<是2230x x -->的充分条件，则只要{|}{|12m x x x x <-⊆<-或3}x >，则只要12m -≤-即2m ≥， 故存在实数2m ≥时，使20x m +<是2230x x -->的充分条件． （2）欲使20x m +<是2230x x -->的必要条件，则只要{|}{|12m x x x x <-⊇<-或3}x >，则这是不可能的，故不存在实数m 时，使20x m +<是2230x x -->的必要条件．（四）巩固练习：1．若非空集合M N ≠⊂，则“a M ∈或a N ∈”是“a M N ∈”的 条件． 2．05x <<是|2|3x -<的 条件．3．直线,a b 和平面,αβ，//a b 的一个充分条件是（ ）A.//,//a b ααB.//,//,//a b αβαβC. ,,//a b αβαβ⊥⊥D. ,,a b αβαβ⊥⊥⊥五．课后作业：《高考A 计划》考点6，智能训练2，7，8，15，16．。
2019-2020年高三数学第一轮复习 第5课时-简易逻辑教案
2019-2020年高三数学第一轮复习第5课时－简易逻辑教案二．教学目标：了解命题的概念和命题的构成；理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其互相关系；反证法在证明过程中的应用．三．教学重点：复合命题的构成及其真假的判断，四种命题的关系．四．教学过程：（一）主要知识：1．理解由“或”“且”“非”将简单命题构成的复合命题；2．由真值表判断复合命题的真假；3．四种命题间的关系．（二）主要方法：1．逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比；2．通常复合命题“或”的否定为“且”、“且”的否定为“或”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等；3．有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若，则”的形式；4．反证法中出现怎样的矛盾，要在解题的过程中随时审视推出的结论是否与题设、定义、定理、公理、公式、法则等矛盾，甚至自相矛盾．（三）例题分析：例1．指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假：（1）菱形对角线相互垂直平分．（2）“”解：(1)这个命题是“且”形式，菱形的对角线相互垂直；菱形的对角线相互平分，∵为真命题，也是真命题∴且为真命题．（2）这个命题是“或”形式，；，∵为真命题，是假命题∴或为真命题．注：判断复合命题的真假首先应看清该复合命题的构成形式，然后判断构成它的简单命题的真假，再由真值表判断复合命题的真假．例2．分别写出命题“若，则全为零”的逆命题、否命题和逆否命题．解：否命题为：若，则不全为零逆命题：若全为零，则逆否命题：若不全为零，则注：写四种命题时应先分清题设和结论．例3．命题“若，则有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论．解：方法一：原命题是真命题，∵，∴，因而方程有实根，故原命题“若，则有实根”是真命题；又因原命题与它的逆否命题是等价的，故命题“若，则有实根”的逆否命题是真命题．方法二：原命题“若，则有实根”的逆否命题是“若无实根，则”．∵无实根∴即，故原命题的逆否命题是真命题．例4．（考点6智能训练14题）已知命题：方程有两个不相等的实负根，命题：方程无实根；若或为真，且为假，求实数的取值范围．分析：先分别求满足条件和的的取值范围，再利用复合命题的真假进行转化与讨论．解：由命题可以得到：∴由命题可以得到：∴∵或为真，且为假∴有且仅有一个为真当为真，为假时，262,6mmm orm>⎧⇒≥⎨≤-≥⎩当为假，为真时，222 26mmm≤⎧⇒-<≤⎨-<<⎩所以，的取值范围为或．例5．（《高考A计划》考点5智能训练第14题）已知函数对其定义域内的任意两个数，当时，都有，证明：至多有一个实根．解：假设至少有两个不同的实数根，不妨假设，由方程的定义可知：即①由已知时，有这与式①矛盾因此假设不能成立故原命题成立．注：反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题．例6．（《高考A计划》考点5智能训练第5题）用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程：有有理根，那么中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（）A.假设都是偶数B.假设都不是偶数C.假设至多有一个是偶数D.假设至多有两个是偶数（四）巩固练习：1．命题“若不正确，则不正确”的逆命题的等价命题是（）A．若不正确，则不正确 B. 若不正确，则正确C. 若正确，则不正确D. 若正确，则正确2．“若，则没有实根”，其否命题是（）A. 若，则没有实根B. 若，则有实根C. 若，则有实根D. 若，则没有实根五．课后作业：《高考计划》考点5，智能训练3，4，8，13，15，16．2019-2020年高三数学第一轮复习第63课时—空间中的角（2）教案一．复习目标：掌握二面角及二面角的平面角的概念；熟练掌握作二面角平面角的一般方法．二．知识要点：1．二面角的概念：．2．二面角的平面角：．3．求二面角平面角大小的一般方法：．三．课前预习：1．二面角内有一点，若到平面的距离分别是，且在平面的内的射影的距离为，则二面角的度数是（）2．已知分别是正方体的棱的中点，则截面与底面所成二面角的正弦值是（）3．对于平面几何中的命题：“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述的命题，可以得到命题：，这个命题的真假性是4为．四．例题分析：例1交于点，（1）求证：；C1 1（2）在任意中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．例2．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，2AB BC PB PC CD ====，侧面底面． （1）与是否相互垂直，请证明你的结论； （2）求二面角的大小； （3）求证：平面⊥平面．解：（1）与相互垂直.证明如下：取的中点，连结，交于点；连结． ∵，∴．又∵平面⊥平面，平面∩平面，∴⊥平面． 在梯形中，可得， ∴90BEO OAB DBA DBC DBA ∠=∠+∠=∠+∠=， 即， ∴ ． （2）连结，由⊥平面，，可得，∴为二面角的平面角，设22AB BC PB PC CD a =====，则在中， ∴二面角为 ．（3）取的中点，连结，由题意知：平面⊥平面， 则同“（1）”可得平面． 取的中点，连结，则由，，得四边形为平行四边形. ∴， ∴⊥平面．∴平面⊥平面．解答二：取的中点，由侧面⊥底面， 是等边三角形， 得⊥底面．以为原点，以所在直线为轴， 过点与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则在直角梯形中，，在等边三角形中，．∴(1,2,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,0,3)A B D P ---).3,2,1(),0,1,2(--=--=PA BD（1）与相互垂直.证明如下：∵,0)3(0)2()1(1)2(=-⨯+-⨯-+⨯-=⋅ ∴．（2）连结，设与相交于点；连结．由,000)1()2()2(1=⨯+-⨯-+-⨯=⋅得． 又∵为在平面内的射影， ∴，为二面角的平面角．在中，sin OE OB OBE =∠=． 在中，．∴二面角为．（3）取的中点，连结，则的坐标为． 又，，∴310(2)(02DM PA ⋅=⨯+⨯-+=3100(022DM PB ⋅=⨯+⨯+=．∴,,,DM PA DM PB DM PA DM PB ⊥⊥⊥⊥即∴⊥平面． ∴平面⊥平面．小结：三垂线定理是求二面角的平面角的又一常用方法．五．课后作业：班级学号姓名1．过正方形的顶点，引⊥平面，若，则平面和平面所成的二面角的大小是（）2．已知正三棱锥两个相邻侧面所成二面角为，那么的取值范围（）或3．已知正方形，交于点，若将正方形沿折成的二面角，并给出四个结论：（1）；（2）；（3）为正三角形；（4），则其中正确命题的序号为．4．平行六面体的底面是矩形，侧棱长为，点在底面上的射影是的中点，与底面成的角，二面角的平面角等于，求此平行六面体的表面积．5．在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是中点，作交于．（1）证明平面：（2）证明平面；（3）求二面角的大小．6．在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，，分别是的中点．（1）证明；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离．。
高中数学简易逻辑部分教案
高中数学简易逻辑部分教案
一、知识铺垫
1. 逻辑思维的定义和重要性
2. 命题、真值、逻辑运算符（非、与、或）
3. 常见逻辑连接词的含义和使用
二、教学目标
1. 理解逻辑思维的基本概念
2. 掌握命题的真值表达和逻辑连接运算
3. 能够运用逻辑思维解决实际问题
三、教学重点
1. 命题的定义和分类
2. 逻辑运算符的作用和规则
3. 真值表的绘制和分析
四、教学难点
1. 对逻辑思维的理解和应用
2. 逻辑运算符的复合运算
五、教学过程
1. 导入：请学生思考以下问题
- 什么是逻辑思维？为什么逻辑思维在数学中很重要？
2. 讲解命题和真值的概念，并举例说明
3. 介绍逻辑连接词的含义和使用方法
4. 练习：让学生完成若干逻辑连接词的练习题
5. 指导学生如何绘制真值表，分析命题的真值
6. 练习：让学生完成几个真值表的绘制和分析
7. 指导学生如何进行逻辑运算操作
8. 实例分析：通过具体例子演示逻辑运算符的运用
9. 练习：让学生完成几道逻辑运算符的练习题
10. 拓展：引导学生运用逻辑思维解决实际问题
六、课堂总结
1. 回顾本节课的重点知识内容
2. 强调逻辑思维在数学中的重要性
3. 鼓励学生多加练习，提高逻辑分析能力
七、作业布置
1. 完成指定的练习题目
2. 思考并总结逻辑思维的重要性及运用方式
八、板书设计
1. 逻辑思维的定义
2. 命题、真值、逻辑运算符
3. 逻辑连接词的含义及使用方式
教案编写人：xx老师时间：xxxx年xx月xx日。
高中数学简易逻辑教案
高中数学简易逻辑教案
一、教学目标
1. 了解逻辑的基本概念和符号表示方法；
2. 学会使用逻辑符号进行逻辑运算和推理；
3. 能够运用逻辑知识解决实际问题。
二、教学内容
1. 逻辑的基本概念：命题、逻辑联结词、命题的真值；
2. 逻辑符号：合取、析取、否定、蕴含、等价等符号的表示及意义；
3. 逻辑运算：与、或、非、蕴含、等价等逻辑运算规则；
4. 推理：假言推理、坏理论、排中律等推理方法。
三、教学过程
1. 导入：通过一个生活中的例子引发学生对逻辑的思考；
2. 讲解：介绍逻辑的基本概念和符号表示方法，讲解逻辑运算和推理规则；
3. 练习：让学生进行简单的逻辑运算和推理练习，加深对逻辑知识的理解；
4. 拓展：引导学生运用逻辑知识解决实际问题，拓展逻辑应用领域；
5. 总结：总结本节课的重点内容，强化学生对逻辑的理解。
四、教学评估
1. 日常表现：观察学生在课堂上的积极性和理解能力；
2. 练习成绩：根据学生的练习和作业成绩评估其对逻辑知识的掌握程度；
3. 案例分析：让学生分析和解决一些逻辑问题，评估其运用逻辑知识的能力。
五、教学反思
通过本节课的教学，希望学生能够初步掌握逻辑的基本概念和运用方法，提高逻辑思维能力，为以后更深入的数学学习奠定基础。
在教学中要注重激发学生的思维，引导他们主动思考和解决问题，培养其逻辑推理和分析能力。
同时要及时调整教学方法，根据学生的实际情况进行个性化教学，确保教学效果达到预期目标。
高三数学第一章 集合与简易逻辑教案
第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉．例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示．集合分有限集和无限集两种．集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法．例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集．定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆．规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等．如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集．定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集． 定义6 差集，},{\B x A x x B A ∉∈=且．定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1）);()()(C A B A C B A = （2）)()()(C A B A C B A =；（3）);(111B A C B C A C = （4）).(111B A C B C A C =【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成．（1）若)(C B A x ∈，则A x ∈，且B x ∈或C x ∈，所以)(B A x ∈或)(C A x ∈，即)()(C A B A x ∈；反之，)()(C A B A x ∈，则)(B A x ∈或)(C A x ∈，即A x ∈且B x ∈或C x ∈，即A x ∈且)(C B x ∈，即).(C B A x ∈（3）若B C A C x 11 ∈，则A C x 1∈或B C x 1∈，所以A x ∉或B x ∉，所以)(B A x ∉，又I x ∈，所以)(1B A C x ∈，即)(111B A C B C A C ⊆，反之也有.)(111B C A C B A C ⊆定理2 加法原理：做一件事有n 类办法，第一类办法中有1m 种不同的方法，第二类办法中有2m 种不同的方法，…，第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N +++= 21种不同的方法．定理3 乘法原理：做一件事分n 个步骤，第一步有1m 种不同的方法，第二步有2m 种不同的方法，…，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N ⋅⋅⋅= 21种不同的方法．二、方法与例题1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合．例1 设},,{22Z y x y x a a M ∈-==，求证：（1）)(,12Z k M k ∈∈-；（2）)(,24Z k M k ∈∈-；（3）若M q M p ∈∈,，则.M pq ∈[证明]（1）因为Z k k ∈-1,，且22)1(12--=-k k k ，所以.12M k ∈-（2）假设)(24Z k M k ∈∈-，则存在Z y x ∈,，使2224y x k -=-，由于y x -和y x +有相同的奇偶性，所以))((22y x y x y x +-=-是奇数或4的倍数，不可能等于24-k ，假设不成立，所以.24M k ∉-（3）设Z b a y x b a q y x p ∈-=-=,,,,,2222，则))((2222b a y x pq --=（因为Z ya xb Z ya xa ∈-∈-,）．2．利用子集的定义证明集合相等，先证B A ⊆，再证A B ⊆，则A =B ．例2 设A ，B 是两个集合，又设集合M 满足B A M B A B A M B M A ===,，求集合M （用A ，B 表示）． 【解】先证M B A ⊆)( ，若)(B A x ∈，因为B A M A =，所以M x M A x ∈∈, ，所以M B A ⊆)( ；再证)(B A M ⊆，若M x ∈，则.B A M B A x =∈1）若A x ∈，则B A M A x =∈；2）若B x ∈，则B A M B x =∈．所以).(B A M ⊆ 综上，.B A M =3．分类讨论思想的应用．例3 }02{},01{},023{222=+-==-+-==+-=mx x x C a ax x x B x x x A ，若C C A A B A == ,，求.,m a【解】依题设，}2,1{=A ，再由012=-+-a ax x 解得1-=a x 或1=x ，因为A B A = ，所以A B ⊆，所以A a ∈-1，所以11=-a 或2，所以2=a 或3．因为C C A = ，所以A C ⊆，若∅=C ，则082<-=∆m ，即2222<<-m ，若∅≠C ，则C ∈1或C ∈2，解得.3=m综上所述，2=a 或3=a ；3=m 或2222<<-m ．4．计数原理的应用．例4 集合A ，B ，C 是I ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若I B A = ，求有序集合对（A ，B ）的个数；（2）求I 的非空真子集的个数．【解】（1）集合I 可划分为三个不相交的子集；A \B ，B \A ，I B A , 中的每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个．（2）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合I 本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有1024210=个，非空真子集有1022个．5．配对方法． 例5 给定集合},,3,2,1{n I =的k 个子集：k A A A ,,,21 ，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求k 的值．【解】将I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得12-n 对，每一对不能同在这k 个子集中，因此，12-≤n k ；其次，每一对中必有一个在这k 个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为C 1A 与A ，并设∅=1A A ，则A C A 11⊆，从而可以在k 个子集中再添加A C 1，与已知矛盾，所以12-≥n k ．综上，12-=n k ．6．竞赛常用方法与例问题． 定理4 容斥原理；用A 表示集合A 的元素个数，则,B A B A B A -+=C B A C B C A B A C B A C B A +---++=，需要xy 此结论可以推广到n 个集合的情况，即∑定义8 集合的划分：若I A A A n = 21，且),,1(j i n j i A A j i ≠≤≤∅= ，则这些子集的全集叫I 的一个n -划分．定理5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数．定理6 抽屉原理：将1+mn 个元素放入)1(>n n 个抽屉，必有一个抽屉放有不少于1+m 个元素，也必有一个抽屉放有不多于m 个元素；将无穷多个元素放入n 个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素．例6 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数．【解】 记}）2（2,1001{},100,,3,2,1{x x x x A I 记为整除能被且≤≤== ，}5,1001{},3,1001{x x x C x x x B ≤≤=≤≤=，由容斥原理，+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+---++=31002100C B A A C C B B A C B A C B A 7430100151001010061005100=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡，所以不能被2，3，5整除的数有26=-C B A I 个．例7 S 是集合{1，2，…，2004}的子集，S 中的任意两个数的差不等于4或7，问S 中最多含有多少个元素？【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示．由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S ，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S 含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S 至多含有其中5个数．又因为2004=182×11+2，所以S 一共至多含有182×5+2=912个元素，另一方面，当},2004,10,7,4,2,1,11{N k r t t k r r S ∈≤=+==时，恰有912=S ，且S 满足题目条件，所以最少含有912个元素．例8 求所有自然数)2(≥n n ，使得存在实数n a a a ,,,21 满足：【解】 当2=n 时，1,021==a a ；当3=n 时，3,1,0321===a a a ；当4=n 时， 1,5,2,04321====a a a a ．下证当5≥n 时，不存在n a a a ,,,21 满足条件．令n a a a <<<= 210，则.2)1(-=n n a n 所以必存在某两个下标j i <，使得1-=-n j i a a a ，所以1111--=-=-n n n a a a a 或21a a a n n -=-，即12=a ，所以1,2)1(1-=-=-n n n a a n n a 或2)1(-=n n a n ，12=a ． （ⅰ）若1,2)1(1-=-=-n n n a a n n a ，考虑2-n a ，有22-=-n n a a 或22a a a n n -=-，即22=a ，设22-=-n n a a ，则121----=-n n n n a a a a ，导致矛盾，故只有.22=a 考虑3-n a ，有23-=-n n a a 或33a a a n n -=-，即33=a ，设23-=-n n a a ，则02212a a a a n n -==---，推出矛盾，设33=a ，则2311a a a a n n -==--，又推出矛盾， 所以4,22==-n a a n 故当5≥n 时，不存在满足条件的实数． （ⅱ）若1,2)1(2=-=a n n a n ，考虑2-n a ，有12-=-n n a a 或32a a a n n -=-，即23=a ，这时1223a a a a -=-，推出矛盾，故21-=-n n a a ．考虑3-n a ，有23-=-n n a a或-=-n n a a 33a ，即3a =3，于是123--=-n n a a a a ，矛盾．因此32-=-n n a a ，所以12211a a a a n n -==---，这又矛盾，所以只有22a a n =-，所以4=n ．故当5≥n 时，不存在满足条件的实数．例9 设A ={1，2，3，4，5，6}，B ={7，8，9，……，n }，在A 中取三个数，B 中取两个数组成五个元素的集合i A ，.201,2,20,,2,1≤<≤≤=j i A A i j i 求n 的最小值．【解】 .16min =n设B 中每个数在所有i A 中最多重复出现k 次，则必有4≤k ．若不然，数m 出现k 次（4>k ），则.123>k 在m 出现的所有i A 中，至少有一个A 中的数出现3次，不妨设它是1，就有集合{1，121,,,b m a a }},,,,1{},,,,,1{365243b m a a b m a a ，其中61,≤≤∈i A a i ，为满足题意的集合．i a 必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以.4≤k 20个i A 中，B 中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以16≥n ．当16=n 时，如下20个集合满足要求：{1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}， {1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {1，4，5，7，9}， {1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}， {2，3，6，14，16}， {2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}， {3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}， {3，5，6，7，10}， {4，5，6，14，15}． 例10 集合{1，2，…，3n }可以划分成n 个互不相交的三元集合},,{z y x ，其中z y x 3=+，求满足条件的最小正整数.n【解】 设其中第i 个三元集为,,,2,1},,,{n i z y x i i =则1+2+…+∑==n i i zn 1,43 所以∑==+n i i z n n 142)13(3．当n 为偶数时，有n 38，所以8≥n ，当n 为奇数时，有138+n ，所以5≥n ，当5=n 时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，7}，{10，14，8}满足条件，所以n 的最小值为5．三、基础训练题1．给定三元集合},,1{2x x x -，则实数x 的取值范围是___________．2．若集合},,012{2R x R a x ax x A ∈∈=++=中只有一个元素，则a =___________．3．集合}3,2,1{=B 的非空真子集有___________个．4．已知集合}01{},023{2=+==+-=ax x N x x x M ，若M N ⊆，则由满足条件的实数a 组成的集合P =___________．5．已知}{},2{a x x B x x A ≤=<=，且B A ⊆，则常数a 的取值范围是___________．6．若非空集合S 满足}5,4,3,2,1{⊆S ，且若S a ∈，则S a ∈-6，那么符合要求的集合S 有___________个．7．集合}14{}12{Z k k Y Z n n X ∈±=∈+=与之间的关系是___________．8．若集合}1,,{-=xy xy x A ，其中Z x ∈，Z y ∈且0≠y ，若A ∈0，则A 中元素之和是___________．9．集合}01{},06{2=-==-+=mx x M x x x P ，且P M ⊆，则满足条件的m 值构成的集合为___________．10．集合},9{},,12{2R x x y y B R x x y x A ∈+-==∈+==+，则 =B A ___________．11．已知S 是由实数构成的集合，且满足1）2;1S ∉）若S a ∈，则S a∈-11．如果∅≠S ，S 中至少含有多少个元素？说明理由． 12．已知B A C a x y y x B x a y y x A =+====},),{(},),{(，又C 为单元素集合，求实数a 的取值范围．四、高考水平训练题1．已知集合},,0{},,,{y x B y x xy x A =+=，且A =B ，则=x ___________，=y ___________．2．},9,1{)()(},2{,,},9,8,7,6,5,4,3,2,1{11==⊆⊆=B C A C B A I B I A I}8,6,4{)(1=B A C ，则=)(1B C A ___________．3．已知集合}121{},0310{2-≤≤+=≥-+=m x m x B x x x A ，当∅=B A 时，实数m 的取值范围是___________．4．若实数a 为常数，且=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+-=∈a x ax x A a 则,1112___________． 5．集合}1,12,3{},3,1,{22+--=-+=m m m N m m M ，若}3{-=N M ，则=m ___________．6．集合},27{},,35{++∈+==∈+==N y y b b B N x x a a A ，则B A 中的最小元素是___________．7．集合}0,,{},,,{2222y x y x B xy y x y x A -+=+-=，且A =B ，则=+y x ___________．8．已知集合}04{},021{<+=<-+=px x B xx xA ，且AB ⊆，则p 的取值范围是___________．9．设集合},05224),{(},01),{(22=+-+==--=y x x y x B x y y x A }),{(b kx y y x C +==，问：是否存在N b k ∈,，使得∅=C B A )(，并证明你的结论．10．集合A 和B 各含有12个元素，B A 含有4个元素，试求同时满足下列条件的集合C 的个数：1）B A C ⊆且C 中含有3个元素；2）∅≠A C ．11．判断以下命题是否正确：设A ，B 是平面上两个点集，}),{(222r y x y x C r ≤+=，若对任何0≥r ，都有B C A C r r ⊆，则必有B A ⊆，证明你的结论．五、联赛一试水平训练题1．已知集合A B B x mx x m z z B x x A ⊆∅≠>+-==<=且,},2,11{},0{2，则实数m 的取值范围是___________．2．集合}12,2,,3,2,1{+=n n A 的子集B 满足：对任意的B y x B y x ∉+∈,,，则集合B 中元素个数的最大值是___________．3．已知集合}2,,{},,,{2d a d a a Q aq aq a P ++==，其中0≠a ，且R a ∈，若P =Q ，则实数=q ___________．4．已知集合}1),{(},0,),{(y x xy y x B a a y x y x A +=+=>=+=，若B A 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则=a ___________．5．集合},,,4812{Z n l m l n m u u M ∈++==，集合},,,121620{Z r q p r q p u u N ∈++==，则集合M 与N 的关系是___________．6．设集合}1995,,3,2,1{ =M ，集合A 满足：M A ⊆，且当A x ∈时，A x ∉15，则A 中元素最多有___________个．7．非空集合}223{},5312{≤≤=-≤≤+=x x B a x a x A ，≤则使B A A ⊆成立的所有a 的集合是___________．8．已知集合A ，B ，aC （不必相异）的并集},,2,1{n C B A =, 则满足条件的有序三元组（A ，B ，C ）个数是___________．9．已知集合}1),{(},1),{(},1),{(22=+==+==+=y x y x C ay x y x B y ax y x A ，问：当a 取何值时，C B A )(为恰有2个元素的集合？说明理由，若改为3个元素集合，结论如何？10．求集合B 和C ，使得}10,,2,1{ =C B ，并且C 的元素乘积等于B 的元素和．11．S 是Q 的子集且满足：若Q r ∈，则0,,=∈-∈r S r S r 恰有一个成立，并且若S b S a ∈∈,，则S b a S ab ∈+∈,，试确定集合S ．12．集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的若干个五元子集满足：S 中的任何两个元素至多出现在两个不同的五元子集中，问：至多有多少个五元子集？六、联赛二试水平训练题1．321,,S S S 是三个非空整数集，已知对于1，2，3的任意一个排列k j i ,,，如果i S x ∈，j S y ∈，则i S y x ∈-．求证：321,,S S S 中必有两个相等．2．求证：集合{1，2，…，1989}可以划分为117个互不相交的子集)117,,2,1( =i A i ，使得（1）每个i A 恰有17个元素；（2）每个i A 中各元素之和相同．3．某人写了n 封信，同时写了n 个信封，然后将信任意装入信封，问：每封信都装错的情况有多少种？4．设2021,,,a a a 是20个两两不同的整数，且整合{120}i j a a i j +≤≤≤中有201个不同的元素，求集合{120}i j a a i j -<≤≤中不同元素个数的最小可能值．5．设S 是由n 2个人组成的集合．求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶数．6．对于整数4≥n ，求出最小的整数)(n f ，使得对于任何正整数m ，集合}1,,1,{-++n m m m 的任一个)(n f 元子集中，均有至少3个两两互质的元素．7．设集合S={1，2，…，50}，求最小自然数k ，使S 的任意一个s 元子集中都存在两个不同的数a 和b ，满足ab b a )(+．8．集合+∈=N k k X },6,,2,1{ ，试作出X 的三元子集族&，满足：（1）X 的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含；（2））k 的元素个数表示&&(6&2=． 9．设集合}21{，m ，，A =，求最小的正整数m ，使得对A 的任意一个14-分划1421,,,A A A ，一定存在某个集合)141(≤≤i A i ，在i A 中有两个元素a 和b 满足43b a b <≤．。
高三数学专题复习教案
第1讲 简易逻辑 一、高考要求①理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义； ②理解四种命题及其相互关系；③掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义． 二、两点解读重点：①逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；②充要条件的概念；③反证法的应用． 难点：①充要条件的判断；②以简易逻辑为载体命制的开放性问题、新情景问题． 三、课前训练1．设q p ,为简单命题，则“p 且q 为假”是“p 或q 为假”的 （ B ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分又不必要条件2．条件甲：“a a <”是条件乙：“1<a ”的 （ A ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 3．|1|(0)x εε-<>的充要条件是)0(11>+<<-εεεx4．命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的逆否命题是：“若b a +不是偶数，则b a ,不都是偶数．”四、典型例题例1.直线22x ay a +=+与1ax y a +=+平行（不重合）的充要条件是（ ）(A)21=a (B) 21-=a (C) 1=a (D) 1=a 或1-=a 解：12211++≠=a a a a ，所以1=a ；故选C ． 例2．命题p ：若a 、b ∈R ，则1>+b a 是1>+b a 的充要条件； 命题q ：函数21--=x y 的定义域是),3[]1,(+∞--∞ 则 （ ）（A ）“p 或q ”为假 （B ）“p 且q ”为真 （C ）p 真q 假 （D ）p 假q 真 解：由三角形不等式1>+≥+b a b a 知：1>+b a 是1>+b a 的必要不充分条件，即p 为假命题；由21≥--x 可得1-≤x 或3≥x ，即q 为真命题．故选D ．例3． 在空间中：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中逆命题为真命题的是解：①的逆命题为：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．例如：正方形的四个顶点不共线但共面，故其不正确；②的逆命题为：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点．由异面直线定义知，异面直线没有公共点，故②的逆命题为真命题． 例4 .关于x 的一次函数()y m x n =-的图象过第二、三、四象限的充要条件是______解：直线b kx y +=过二、三、四象限，则0,0><b k ，故本题中⎩⎨⎧<-<00mn m ，即0,0<<n m例5． 已知：三个方程2224430,(1)0,x ax a x a x a +-+=+-+=2220x ax a +-=中至少有一个方程有实数解，试求实数a 的取值范围．解：假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即： 123021312123024)2(04)1(0)34(4)4(2222-<<-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--<><<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<⨯+<--<+--a a a a a a a a a a a 或，至少有一个方程有实数解为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-123|a a 的补集，所以a 的范围是23-≤a 或1-≥a 例6． 已知p ：)(1x f-是x x f 31)(-=的反函数，且2)(1<-a f；q ：集合},01)2(|{2R x x a x x A ∈=+++=，B = { x | x >0}，且A B=∅．求实数a 的取值范围，使“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题． 解：先考虑p ：∵)(1x f -是f (x )=1—3x 的反函数，∴31)(1xx f-=- ，由2)(1＜a f - ，可得2|31|＜a-，解得：75<<-a ；再考虑q ：①当△＜0时，Φ=A ，Φ=B A ，此时：由04)2(2<-+a 得04<<-a ； ②当△≥0时，由Φ=B A 可得：⎪⎩⎪⎨⎧>=<+-=+≥-+=∆010)2(04)2(21212x x a x x a ，解得0≥a ．由①②可知4->a ．要使p 真q 假，则45475-≤<-⇒⎩⎨⎧-≤<<-a a a ；要使p 假q 真，则7475≥⇒⎩⎨⎧->≥-≤a a a a 或，综上所述，当a 的范围是),7[]4,5(+∞-- 时，p 、q 中有且只有一个为真命题．第2讲 函数的概念与性质 一、高考要求①了解映射的概念，理解函数的概念；②了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数单调性奇偶性的方法； ③了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数； ④理解分数指数幂的概念，掌握有理数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质； ⑤理解对数函数的概念、图象和性质；⑥能够应用函数的性质、指数函数和对数函数性质解决某些简单实际问题．二、两点解读重点：①求函数定义域；②求函数的值域或最值；③求函数表达式或函数值；④二次函数与二次方程、二次不等式相结合的有关问题；⑤指数函数与对数函数；⑥求反函数；⑦利用原函数和反函数的定义域值域互换关系解题．难点：①抽象函数性质的研究；②二次方程根的分布．三、课前训练 1．函数2log )(2-=x x f 的定义域是 （ D ）（A ）),3(+∞ （B ）),3[+∞ （C ）),4(+∞ （D ）),4[+∞ 2．函数)0(1ln >+=x x y 的反函数为 （ B ）（A ）)(1R x e y x ∈=+ （B ）)(1R x e y x ∈=- （C ）)(1R x e y x ∈=+ （D ）)1(1>=-x e y x 3．设⎪⎩⎪⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x e x g x 则=))21((g g 21 ．4．设1,0≠>a a ，函数x a x f -=)(是增函数，则不等式0)75(log 2>+-x x a 的解集为 (2,3)四、典型例题设x x x f -+=22lg )(，则)2()2(x f x f +的定义域为 （ ） （A ）)4,0()0,4( - （B ）)4,1()1,4( --（C ）)2,1()1,2( -- （D ）)4,2()2,4( --解：∵在x x x f -+=22lg)(中，由022>-+x x，得0)2)(2(<-+x x ， ∴22<<-x ，∴在)2()2(x f x f +中，4114,11,44,222,222<<-<<-⇒⎩⎨⎧>-<<<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-x x x x x x x或或．故选B已知⎩⎨⎧≥<+-=1,log ,1,4)13()(x x x a x a x f a 是),(+∞-∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）（A ）)1,0(（B ）)31,0(（C ）)31,71[（D ）)1,71[解：∵)(x f 是),(+∞-∞上的减函数，当1≥x 时，x x f a log )(=，∴10<<a ；又当1<x 时，a x a x f 4)13()(+-=，∴013<-a ，∴31<a ，且1log 41)13(a a a ≥+⨯-，解得：71≥a ．∴综上，3171<≤a ，故选C 函数)(x f 对于任意实数x 满足条件)(1)2(x f x f =+，若5)1(-=f ，则=))5((f f解：∵函数)(x f 对于任意实数x 满足条件)(1)2(x f x f =+，∴)()(11)2(1)22()4(x f x f x f x f x f ==+=++=+，即)(x f 的周期为4，∴5)1()5(-==f f ，∴)45()5())5((+-=-=f f f f 51)1(1)21(1)1(-==+-=-=f f f设3()log (6)f x x =+的反函数为1()f x -,若]6)([1+-m f ×27]6)([1=+-n f，则()f m n += 2解：,63)(1-=-x x f,63)(,63)(11-=-=∴--n m n fm f,27333]6)([]6)([11==⋅=+⋅+∴+--m m n m n fm f∴m+n=3，f(m+n)=log3(3+6)=log39=2（另解∵11333log (()6)log (()6)log 273m n f m f n --+=+++==, ∴3()log 92f m n +==）已知βα,是关于x 的方程042)3(22=++++k x k x 的两个实根，则实数k 为何值时，α大于3且β小于3？解：令42)3(2)(2++++=k x k x x f ，则方程42)3(22=++++k x k x 的两个实根可以看成是抛物线)(x f 与x 轴的两个交点（如图所示），故有：0)3(<f ，所以：042)3(69<++++k k ，解之得：831-<k已知函数x ax y +=有如下性质:如果常数0>a,那么该函数在],0(a 上是减函数,在),[+∞a 上是增函数．如果函数)0(2>+=x x x y b的值域为),6[+∞，求b 的值；解：函数)0(2>+=x x x y b的最小值是b 22，则b22＝6，∴9log 2=b ；第3讲 函数图象与变换 一、高考要求①给出函数的解析式或由条件求出函数的解析式，判断函数的图象； ②给出函数的图象求解析式；③给出含有参数的解析式和图象，求参数的值或范围； ④考查函数图的平移、对称和翻折；⑤和数形结合有关问题等．函数的图象是函数的直观体现,运用函数的图象研究函数的性质非常方便．函数的图象正成为高考命题的热点之一． 二、两点解读 重点：①已知解析式判断函数图象或已知图象判断解析式中参数的范围；②函数图的平移、对称和翻折；③从基本函数的图象变换到复合函数的图象等． 难点：①利用函数性质识图；②和数形结合有关问题． 三、课前训练1．函数)(x f y =的图象与函数2()log (0)g x x x =>的图象关于原点对称，则()f x 的表达式为（ D ）（A ）21()(0)log f x x x=> （B ）21()(0)log ()f x x x =<-（C ）2()log (0)f x x x =-> （D ）2()log ()(0)f x x x =--<2．函数)(x f y =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点(0,2)P （如图2所示），则方程()0f x =在[1,4]上的根是x =（ C ）（A ）4 （B ）3（C ）2 （D ）13．若函数)1(+=x f y 是偶函数，则函数)(x f y =的图象关于 x=1 对称． 4．若函数)10(1≠>-+=a a b a y x 且的图象经过第二、三、四象限，则一定有010<<<b a 且四、典型例题函数)(x f 的图象无论经过平移还是沿直线翻折后仍不能与xy 21log =的图象重合，则)(x f 是（ ） （A ）x-2（B ）x 4log 2 （C ）)1(log 2+x （D ）x421⋅解：将xxy ⎪⎭⎫ ⎝⎛==-212的图象沿直线x y =翻折即可与x y 21log =的图象重合，排除A ；将xx y 214log log 2-==沿x 轴翻折即可与xy 21log =图象重合，排除B ；将)1(log )1(log 212+-=+=x x y 的图象向右平移1个单位，在沿x 轴翻折即可与xy 21log =的图象重合，排除C ，故选D设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象下列之一：(A) (B) (C) (D) 则a 的值为 （ ）（A ）1 （B ）－1 （C ）251-- （D ）251+-解：前两个函数图象关于y 轴对称，故0=b ，与条件不符，后两个函数图象都过定点（0，0），故012=-a ，即1±=a ，又由对称轴大于零，即02>-=a bx ，由0>b 得0<a ，所以取1-=a ，故选B设函数)(x f 的图象关于点(1,2)对称，且存在反函数)(1x f -,0)4(=f ,则)4(1-f = ．解：由0)4(=f ，即)(x f 过点（4，0），又)(x f 的图象关于点(1,2)对称，可知：)(x f 过点（2-，4），∴4)2(=-f ，故)4(1-f =2-在同一平面直角坐标系中，函数)(x f y =和)(x g y =的图像关于直线x y =对称．现将)(x g y =图像沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移１个单位，所得的图像是由两条线段组成的折线（如图所示），则函数)(x f 的表达式为 ．解：将原图象沿y 轴向下平移１个单位，再沿x 轴向右平移２个单位得)(x g 的图象（如右图），求得：⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-=32,4220,12)(x x x xx g ．又∵函数)(x f y =和)(x g y =的图像关于直线x y =对称，∴求)(x g 反函数得： ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+=-20,2201,22)(1x xx x x g ，故⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+=20,2201,22)(x xx x x f已知函数2))(()(---=b x a x x f ，m、n 是方程0)(=x f 的两根，且b a <，n m <试判断实数a ，b ，m ，n 的大小关系．解：∵2))(()(---=b x a x x f ，∴2)(-=a f ， 2)(-=b f ，∴a ，b 是方程2)(-=x f 的两根，即为函数)(x f y =的图象与直线2-=y 交点的横坐标．而m ，n 是方程0)(=x f 的两根，∴m ，n 为函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．又b a <，n m <，故如图所示可得n b a m <<<．已知函数)1,0)(1(log )(≠>-=a a a x f xa ，（1）证明：函数)(x f 的图象在y 轴一侧；（2）设),(11y x A ，))(,(2122x x y x B <是图象上的两点，证明直线AB 的斜率大于零；（3）求函数)2(x f y =与)(1x f y -=的图象交点坐标．解：（1）由01>-x a 即1>xa ，①当1>a 时，0>x ，函数图象在y 轴右侧；②当10<<a 时，0<x ，函数图象在y 轴左侧，故函数图象总在y 轴一侧．（2）由于2121x x y y k AB --=，又由21x x <，故只需证012>-y y 即可．因为11log )1(log )1(log 121212--=---=-x x ax a x a a a a a y y ，当1>a 时，由210x x <<得210x x a a <<，即11021-<-<x x a a ，故有11112>--x x a a ，11log 12>--x x aaa ，即012>-y y ；当10<<a 时，由210x x <<得121>>x x a a ，即01121>->-x x a a ，故有111012<--<x x a a ，11log 12>--x x aa a ，即012>-y y ．综上直线AB 的斜率总大于零.（3）=-)(1x f )1(log +x a a ，)1(log )2(2-=x a a x f ，当它们图象相交时： =+1x a 12-x a 可解得：2=x a ，所以2log a x =，3log a y =，即交点坐标为：2(log a ，)3log a第4讲 函数性质的综合应用 一、高考要求函数的综合应用在高考中的分值大约为20分左右，题型的设置有小题也有大题，其中大题有简单的函数应用题、函数与其它知识综合题，也有复杂的代数推理题，可以说函数性质的综合应用是高考考查的主要着力点之一．二、两点解读 重点：①函数的奇偶性、单调性和周期性；②函数与不等式结合；③函数与方程的综合；④函数与数列综合；⑤函数与向量的综合；⑥利用导数来刻画函数． 难点：①新定义的函数问题；②代数推理问题，常作为高考压轴题． 三、课前训练 1．已知a ∈R ，函数ax x f -=sin )(，x ∈R 为奇函数，则=a（ B ）（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）1±2． “1=a ”是“函数||)(a x x f -=在区间),1[+∞上为增函数”的（ A ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 3．若函数42212+-=x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b 的值为 24．已知)(46)(R k x kx x f ∈-+=，0)2(lg =f ，则=)21(lg f -8 ． 四、典型例题设函数)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若1)1(>f ，143)2(+-=a a f ，则a 的取值范围是 （ ） （A ）43<a （B ）43<a 且1-≠a （C ）43>a 或1-<a （D ）431<<-a 解：∵)(x f 以3为周期，所以)1()2(-=f f ，又)(x f 是R 上的奇函数，∴)1()1(f f -=-，则)1()1()2(f f f -=-=，再由1)1(>f ，可得1)2(-<f ，即1143-<+-a a ，解之得431<<-a ，故选D 设)(1x f -是函数1()() (1)2x x f x a a a -=->的反函数，则使1)(1>-x f成立的x 的取值范围为 （ ）（A ）),21(2+∞-a a （B ） )21,(2a a --∞ （C ） ),21(2a a a - （D ） ),[+∞a解：∵)(x f 是R 上的增函数，∴1()1f x ->，即x > f(1). 又a a a a f 21)(21)1(21-=-=-，∴a a x 212->，故选A ． 已知函数x bxx f 32)(-=，若方程x x f 2)(-=有两个相等的实根，则函数f(x)的解析式为 ． 解：∵x bxx f 32)(-=，∴方程x x f 2)(-=即为xx bx 232-=-，则)4(62=+-x b x ．因为方程有两个相等的实数根，所以b = - 4时x=0，符合题意．∴234)(-=x xx f对a ，b ∈R ，记{,,max{,},.a ab a b b a b =<≥函数()max{1,3}f x x x =+-（x ∈R ）的最小值是 ．解：⎩⎨⎧-<+--≥++=-+=.31,3,31,1}3,1max{)(x x x x x x x x x f 化简得：⎩⎨⎧<-≥+=.1,3,1,1)(x x x x x f 在坐标系中作出)(x f 的图象，可知：当1≥x ，时)(x f 为增函数，2)1()(min ==f x f ；当1<x ，时)(x f 为减函数。
高中数学的简易逻辑教案
高中数学的简易逻辑教案
课程：高中数学
主题：基本逻辑
教学目标：
1. 了解逻辑的基本概念和符号表示方法
2. 掌握基本逻辑运算规则
3. 能够应用逻辑知识解决问题
教学内容：
1. 逻辑的基本概念
2. 逻辑符号及其表示方法
3. 逻辑运算规则
4. 逻辑问题的解决方法
教学步骤：
1. 导入：通过引入一个简单的逻辑问题引起学生的兴趣，如“如果今天下雨，那么明天就
会晴天吗？”引导学生思考逻辑的重要性。
2. 概念讲解：介绍逻辑的基本概念，如命题、联结词、逻辑符号等，让学生了解逻辑是研
究命题之间关系的学科。
3. 符号表示：教授逻辑符号及其表示方法，如“∧”表示“且”、“∨”表示“或”、“→”表示“蕴含”等，让学生熟练掌握逻辑符号的意义。
4. 运算规则：讲解逻辑的基本运算规则，包括合取、析取、蕴含和等价等四种逻辑运算规则，引导学生掌握逻辑运算的基本技巧。
5. 练习演练：设计一些逻辑练习题，让学生通过实际操作来巩固所学内容，提高逻辑推理
能力。
6. 拓展应用：引导学生将逻辑知识应用到实际问题中，如通过逻辑判断解决生活中的疑问
或困惑，促进学生在实践中灵活运用逻辑知识。
7. 总结复习：对本节课所学内容进行总结，并强调逻辑知识在日常生活和学习中的重要性，激发学生对数学学习的兴趣。
教学评估：
通过课堂练习、小组讨论等方式对学生的掌握程度进行评估，同时鼓励学生在课后自主学习和总结，提高逻辑推理能力。
教学反思：
根据学生的反馈和表现情况，及时调整教学内容和方法，帮助学生更好地理解和应用逻辑知识，进一步提升课堂效果。
简易逻辑高中数学教案
简易逻辑高中数学教案
教学目标：
1.了解逻辑的基本概念和原理
2.学习逻辑中常见的命题和推理形式
3.掌握用逻辑推理解决问题的方法
教学内容：
一、逻辑的基本概念
1. 逻辑的定义
2. 形式逻辑与实证逻辑的区别
二、命题和命题的关系
1. 命题的定义
2. 命题的分类
3. 命题的连接词及其含义
三、推理形式
1. 排中律
2. 矛盾律
3. 接物律
4. 假言推理
5. 否定推理
6. 归谬法
教学方法：
1.讲解逻辑的基本概念和原理，引导学生思考逻辑在日常生活中的应用
2. 以案例分析和练习的形式，帮助学生理解命题和推理形式
3.组织小组讨论和互动，激发学生的思维和探究兴趣
教学过程：
1. 导入：通过一个有趣的案例或问题引入逻辑的概念，引发学生的学习兴趣
2. 讲解逻辑的基本概念和原理，帮助学生建立逻辑思维的基础
3. 分组讨论命题与命题的关系，训练学生分析和判断的能力
4. 组织学生进行命题推理的练习，引导学生运用逻辑方法解决问题
5. 总结与讨论：回顾本节课的内容，引导学生总结所学知识并展开深入讨论
教学反思：
通过这堂课的教学，学生不仅能够了解逻辑的基本概念和原理，还能够掌握逻辑推理的方法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
希望学生在以后的学习和生活中能够运用逻辑思维解决各种问题，提高自己的分析和判断能力。
高中数学简易逻辑方法教案
高中数学简易逻辑方法教案教学目标：1. 了解基本逻辑概念，包括命题、命题联结词、真值表等；2. 掌握基本逻辑运算规则，包括析取、合取、蕴涵、等价等；3. 能够进行逻辑运算的推理和证明；4. 提高逻辑思维能力和解题能力。
教学内容：1. 逻辑概念：命题、命题联结词、真值表；2. 逻辑运算规则：析取、合取、蕴涵、等价等；3. 逻辑运算推理和证明；4. 逻辑思维与解题方法。
教学重点：1. 掌握命题的基本概念和运算规则；2. 熟练运用逻辑运算的法则进行推理和证明。
教学难点：1. 理解逻辑运算中的一些抽象概念；2. 进行逻辑运算的推理和证明。
教学方法：1. 教师讲解与示范；2. 学生讨论与合作；3. 练习与演练；4. 系统归纳与总结。
教学过程：1. 导入：通过一个简单有趣的例子引入逻辑概念，激发学生的兴趣；2. 授课：介绍命题、命题联结词、真值表等概念，讲解逻辑运算规则，示范逻辑运算的推理过程；3. 演练：让学生进行一些基础的逻辑运算练习，加深理解；4. 实践：让学生自己设计一些逻辑问题并进行推理和证明；5. 总结：对本节课所学的知识进行总结归纳，强化学生对逻辑方法的理解。
教学评估：1. 学生课堂表现；2. 练习题成绩；3. 课后作业完成情况。
教学反思：1. 教学内容是否能够引起学生兴趣，是否能够达到预期的教学目标；2. 学生学习过程中存在的问题和困难，如何解决。
课后作业：1. 完成相关练习题；2. 设计一个逻辑问题并进行推理和证明；3. 总结本节课所学的知识。
教学反馈：1. 对学生作业进行批改和评价；2. 观察学生学习情况，及时调整教学方法。
高三数学一轮复习常用逻辑知识教案高三全册数学教案
城东蜊市阳光实验学校常用逻辑知识假设第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；假设一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否认，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；假设一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否认，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。
两个互为逆否命题的真假是一样的，即两个互为逆否命题是等价命题.假设判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假。
4．条件一般地，假设p q，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件。
可分为四类：〔1〕充分不必要条件，即p q,而q⇒p；(2)必要不充分条件，即p⇒q,而q p；(3)既充分又必要条件，即p q，又有q p；(4)既不充分也不必要条件，即p⇒q，又有q⇒p。
一般地，假设既有p q，又有q p，就记作：p⇔q.“⇔〞叫做等价符号。
p⇔q表示p q 且q p。
这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，那么p是q的充分必要条件，简称充要条件。
5．全称命题与特称命题这里，短语“所有〞在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号∀表示。
含有全体量词的命题，叫做全称命题。
短语“有一个〞或者者“有些〞或者者“至少有一个〞在陈述中表示所述事物的个体或者者部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号∃表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。
典例解析：1．(教材习题改编)以下命题是真命题的为()A．假设＝，那么x＝y B．假设x2＝1，那么x＝1C．假设x＝y，那么＝D．假设x<y，那么x2<y2解析：选A由＝得x＝y，A正确，易知B、C、D错误．2．(2021·高考)命题“假设α＝，那么tanα＝1”的逆否命题是()A．假设α≠，那么tanα≠1 B．假设α＝，那么tanα≠1C．假设tanα≠1，那么α≠D．假设tanα≠1，那么α＝四种命题的关系及真假判断典题导入以下命题中正确的选项是()①“假设x2＋y2≠0，那么x，y不全为零〞的否命题；②“正多边形都相似〞的逆命题；③“假设m>0，那么x2＋x－m＝0有实根〞的逆否命题；④“假设x－3是有理数，那么x是无理数〞的逆否命题．A．①②③④B．①③④C．②③④D．①④①中否命题为“假设x2＋y2＝0，那么x＝y＝0”，正确；③中，Δ＝1＋4m，当m>0时，Δ>0，原命题正确，故其逆否命题正确；②中逆命题不正确；④中原命题正确故逆否命题正确．B由题悟法在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题〞“否命题〞“逆否命题〞；断定命题为真命题时要进展推理，断定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的断定要从概念本身入手．以题试法1．以下关于命题的说法正确的有________(填写上上所有正确命题的序号)．①“假设log2a>0，那么函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数〞是真命题；②命题“假设a＝0，那么ab＝0”的否命题是“假设a≠0，那么ab≠0”；③命题“假设x，y都是偶数，那么x＋y也是偶数〞的逆命题为真命题；④命题“假设a∈M，那么b∉M〞与命题“假设b∈M，那么a∉M〞等价．解析：对于①，假设log2a>0＝log21，那么a>1，所以函数f(x)＝logax在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，根据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“假设x＋y是偶数，那么x、y都是偶数〞，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“假设a∈M，那么b∉M〞与命题“假设b∈M，那么a∉M〞是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.答案：②④充分必要条件的断定学生对四种命题，逻辑联接词和全称命题、特称命题总体掌握情况还好，但对充分条件、必要条典题导入(1)(2021·质检)“x<2”是“x2－2x<0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2021·高考)设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数〞的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(1)取x＝0，那么x2－2x＝0，故由x<2不能推出x2－2x<0；由x2－2x<0得0<x<2，故由x2－2x<0可以推出x<2.所以“x<2”是“x2－2x<0”的必要而不充分条件．(2)当a＝0，且b＝0时，a＋bi不是纯虚数；假设a＋bi是纯虚数，那么a＝0.故“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数〞的必要而不充分条件．(1)B(2)B由题悟法充要条件的判断，重在“从定义出发〞，利用命题“假设p，那么q〞及其逆命题的真假进展区分，在详细解题中，要注意分清“谁是条件〞“谁是结论〞，如“A是B的什么条件〞中，A 是条件，B是结论，而“A的什么条件是B〞中，A是结论，B是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．以题试法2．以下各题中，p是q的什么条件？(1)在△ABC中，p：A＝B，q：sinA＝sinB；(2)p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.解：(1)假设A＝B，那么sinA＝sinB，即p⇒q.又假设sinA＝sinB，那么2RsinA＝2RsinB，即a＝b.故A＝B，即q⇒p.所以p是q的充要条件．(2)p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A，q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0，或者者x≤－1}＝B，∵A B，∴p是q的充分不必要条件．充分必要条件的应用典题导入方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是()A．0<a≤1B．a<1C．a≤1D．0<a≤1或者者a<0法一：当a＝0时，原方程变形为一元一次方程2x＋1＝0，有一个负实根；件，特别是判断还存在一定困难。
(新人教A)高三数学教案简易逻辑
高三总复习辅导材料（第6讲）主讲：李旭禾（金陵中学高级教师奥赛教练）一、教学进度高考总复习之二-------简易逻辑命题，四种命题的关系，充要条件二、复习指导逻辑是正确解题的基础，逻辑错误会导致全功尽弃是否命题的关键是看它能否判定真假，是否复合命题的标准在于该命题是否含有逻辑联结词：或、且、非，如果……，那么……原命题：若p，则q：逆命题：若q，则p：否命题：若非p，则非q，逆否命题：若非q，则非p原命题与逆否命题互为逆否，同真假逆命题与否命题互为逆否，同真假.反证法就是从原命题的否定出发，推出矛盾（这个矛盾，指的是与已知条件矛盾，或与公理，定理矛盾，或与假设矛盾）从而说明原命题的否定是错误的，这样就确立了原命题的正确性。
要分清充分条件和必要条件，在证明充要条件时要分清充分性和必要性，若p⇒q，则p 是q 的充分条件，q是p的必要条件，即“推出人者为充分，被人推出者为必要”三、典型例题讲评例1．在△ABC中，P：∠A＞∠B，q1=sinA＞sinB，q2：cosA＜cosB，q3：cotA＜cotB，q4：sinA＞cosBq：（i=1，2，3，4）的什么条件？其中p是iP是q1的充要条件，原因如下：∠A＞∠B⇔a＞b⇔2RsinA＞2RsinB，⇔sinA＞sinB；P是q2的充要条件，原因如下：函数y=cosx在[0，π]上单调递减，而A，B∈[0，π]，∴∠A＞∠B⇔cosA＜cosB；P是q3的充要条件，理由类似②P既不是q4的充分条件，也不是q4的必要条件，理由如下：若△ABC，A=900，B=600，则sinA＞cosB，若△ABC中，A=1350，B=300，则sinA＜cosB 例2．P为△ABC内（含边界）任一点，“p到三边距离之和为定值”是“△ABC是正三角形”的什么条件？证明你的结论。
充要条件.充分性，分别取p为A、B、C，则它到三边距离之和分别为h a，h b，h c，由题设ha=h b=h c，由面积公式，a=b=c，△ABC为正三角形必要性，若p 在顶点处（不妨设p 在A 点），则p 到三边距离之和即h a （当然与h a ，h c相等，为定值）；若p 点在边上（不妨设在BC 上），则P 到三边距离之和即p 到b ，c 两边距离之和d b +d c ，∵S △ABC =S △ABP +S △ACP .故有ah a =a(d b +d b +d c )，∴d b +d c 当定值h a ；若P 点在三角形内部则S △ABC =S △ABP +S △BCP +S △ACP ，从而有ah a =a(d a +d b +d c )，即d a +d b +d c =h a .例3．已知函数f(x)在（－∞，+∞）上单调递增，a 、b ∈R ，对命题“若a+b ≥0，则f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)，则a+b ≥0”（1）写出其逆命题，并证明它的真假. （2）写出其逆否命题，并证明它的真假.（1）逆命题：“若f(a)+f(b) ≥f(－a)+f(－b)，则a+b ≥0”这是一个真命题，我们用反证法证明：假设a+b ＜0，即a ＜－b ，b ＜－a ，而f(x)单调递增.故f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a). 从而f(a)+f(b)＜f(－a)+ f(－b).与已知矛盾，说明假设错误. ∴a+b ≥0(2)逆否命题：“f(a)+f(b)＜f(－b)+ f(－a)，则a+b ＜ 0” 这也是一个真命题，可类（1）用反证法证明. 例4．已知p ：321--x ≤2，q ：x 2―2x+1―m 2≤0（m ＞0） 又知非p 是非q 的必要条件，但不是充分条件，求取m 的取值范围。
高中数学简易逻辑问题教案
高中数学简易逻辑问题教案
教学目标：
1. 掌握逻辑问题解题的基本方法和思路；
2. 提高学生的逻辑思维能力和推理能力；
3. 培养学生的分析问题和解决问题的能力。
教学内容：
逻辑问题解题方法及实例分析
教学过程：
一、引入
老师用一个简单的逻辑问题引入，例如：如果今天是星期五，那么明天是星期几？
二、概念讲解
1. 逻辑问题的定义：逻辑问题是指通过推理和分析找出正确答案的问题。
2. 逻辑问题解题的基本方法：逻辑问题解题的基本方法包括条件分析、逆否命题、排除法等。
三、实例讲解
老师以几个具体的逻辑问题为例，引导学生学习如何运用条件分析、逆否命题、排除法等方法解题。
四、练习
老师设计一些逻辑问题让学生练习，帮助学生巩固所学知识。
五、总结
老师总结本节课的内容，强调逻辑问题解题方法的重要性，并鼓励学生多多练习，提高逻辑思维能力。
六、作业
布置作业，要求学生选择几个逻辑问题进行解答，加深对逻辑问题解题方法的理解。
教学反思：
通过本节课的教学，学生能够初步掌握逻辑问题解题的基本方法和思路，培养其逻辑思维和推理能力。
同时，通过实例讲解和练习，加深学生对逻辑问题解题方法的理解，提高其解决问题的能力。
高三数学第一轮复习 第5课时-简易逻辑教案
一．课题：简易逻辑二．教学目标：了解命题的概念和命题的构成；理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其互相关系；反证法在证明过程中的应用．三．教学重点：复合命题的构成及其真假的判断，四种命题的关系．四．教学过程：（一）主要知识：1．理解由“或”“且”“非”将简单命题构成的复合命题；2．由真值表判断复合命题的真假；3．四种命题间的关系．（二）主要方法：1．逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比；2．通常复合命题“p 或q ”的否定为“p ⌝且q ⌝”、“p 且q ”的否定为“p ⌝或q ⌝”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等；3．有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若p ，则q ”的形式；4．反证法中出现怎样的矛盾，要在解题的过程中随时审视推出的结论是否与题设、定义、定理、公理、公式、法则等矛盾，甚至自相矛盾．（三）例题分析：例1．指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假：（1）菱形对角线相互垂直平分．（2）“23≤”解：(1)这个命题是“p 且q ”形式，:p 菱形的对角线相互垂直；:q 菱形的对角线相互平分，∵p 为真命题，q 也是真命题 ∴p 且q 为真命题．（2）这个命题是“p 或q ”形式，:p 23<；:q 23=，∵p 为真命题，q 是假命题 ∴p 或q 为真命题．注：判断复合命题的真假首先应看清该复合命题的构成形式，然后判断构成它的简单命题的真假，再由真值表判断复合命题的真假．例2．分别写出命题“若220x y +=，则,x y 全为零”的逆命题、否命题和逆否命题． 解：否命题为：若220x y +≠，则,x y 不全为零逆命题：若,x y 全为零，则220x y +=逆否命题：若,x y 不全为零，则220x y +≠注：写四种命题时应先分清题设和结论．例3．命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论． 解：方法一：原命题是真命题，∵0m >，∴140m ∆=+>，因而方程20x x m +-=有实根，故原命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”是真命题；又因原命题与它的逆否命题是等价的，故命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题是真命题．方法二：原命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题是“若20x x m +-=无实根，则0m ≤”．∵20x x m +-=无实根∴140m ∆=+<即104m <-≤，故原命题的逆否命题是真命题．例4．（考点6智能训练14题）已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实负根，命题q ：方程244(2)10x m x +-+=无实根；若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围．分析：先分别求满足条件p 和q 的m 的取值范围，再利用复合命题的真假进行转化与讨论．解：由命题p 可以得到：2400m m ⎧∆=->⎨>⎩ ∴2m >由命题q 可以得到：2[4(2)]160m ∆=--< ∴26m -<<∵p 或q 为真，p 且q 为假 ∴,p q 有且仅有一个为真当p 为真，q 为假时，262,6m m m orm >⎧⇒≥⎨≤-≥⎩当p 为假，q 为真时，22226m m m ≤⎧⇒-<≤⎨-<<⎩所以，m 的取值范围为{|6m m ≥或22}m -<≤．例5．（《高考A 计划》考点5智能训练第14题）已知函数()f x 对其定义域内的任意两个数,a b ，当a b <时，都有()()f a f b <，证明：()0f x =至多有一个实根．解：假设()0f x =至少有两个不同的实数根12,x x ，不妨假设12x x <，由方程的定义可知：12()0,()0f x f x ==即12()()f x f x =①由已知12x x <时，有12()()f x f x <这与式①矛盾因此假设不能成立故原命题成立．注：反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题．例6．（《高考A 计划》考点5智能训练第5题）用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程：20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ）A.假设,,a b c 都是偶数B.假设,,a b c 都不是偶数C.假设,,a b c 至多有一个是偶数D.假设,,a b c 至多有两个是偶数（四）巩固练习：1．命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是 （ ）A ．若q 不正确，则p 不正确 B. 若q 不正确，则p 正确C. 若p 正确，则q 不正确D. 若p 正确，则q 正确 2．“若240b ac -<，则20ax b x c ++=没有实根”，其否命题是 （ ） A. 若240b ac ->，则20ax bx c ++=没有实根 B. 若240b ac ->，则20ax bx c ++=有实根 C. 若240b ac -≥，则20ax bx c ++=有实根 D. 若240b ac -≥，则20ax bx c ++=没有实根五．课后作业：《高考A 计划》考点5，智能训练3，4，8，13，15，16．。
高三数学一轮复习教案(集合与简易逻辑)(最新编写)
． 图1
既有电话又有农用三轮车的家庭有 一种的家庭数为
20 家，则电话和农用三轮车至少有
(
)
A. 60
B. 70
C. 80
D. 90
图2
解：画出 Venn 图，如图 2，画图可得到有一种物品的家庭数为： 15+20+45=80. 故选（ C）。 例 5、（2008 广东卷） 第二十九届夏季奥林匹克运动会将于 2008 年 8 月 8 日在北京举行， 若
个 D. 6 个
（）
解： A U B {3,4,5,7,8,9} ， A I B {4,7,9} CU ( A I B) {3,5,8} 故选 A。也可用摩
根律： CU ( A I B) (CU A) U (CU B )
答案 A
3. （ 2009 浙江理）设 U R ， A { x | x 0} ， B { x | x 1} ，则 A I eU B ( ) A． { x | 0 x 1} B ． { x | 0 x 1} C ． { x | x 0} D ． { x | x 1}
A. x R 是 x Q 的充分条件，不是 x Q 的必要条件
B. x R 不是 x Q 的充分条件，是 x Q 的必要条件
Cx R是 x Q 的充分条件，又是 x Q 的必要条件 .
D. x R既不是 x Q 的充分条件，又不是 x Q 的必要条件
解： x P x Q 反之不然故选 A
三、复习建议
例 2、已知集合 A ＝ { － 1，3，2 m －1 } ，集合 B ＝ { 3，m 2 } ．若 B A ，则实数 m ＝
解： 由 B A ，且 m 2 不可能等于－ 1，可知 m2 ＝ 2 m － 1，解得： m ＝ 1。
【精品】高考数学一轮复习必备第06课时：第一章集合与简易逻辑-充要条件教案
例 2．设 x, y R ，则 x2 y2 2 是 | x | | y | 2 的（
）、是 | x | | y | 2 的（
）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解：由图形可以知道选择 B，D．（图略）
例 3．若命题甲是命题乙的充分非必要条件， 命题丙是命题乙的必要非充分条件， 命题丁是命题丙的充要条
第 06 课时：第一章 集合与简易逻辑——充要条件
一．课题：充要条件 二．教学目标：掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系． 三．教学重点：充要条件关系的判定． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．充要条件的概念及关系的判定； 2．充要条件关系的证明． （二）主要方法： 1．判断充要关系的关键是分清条件和结论；
得 | xy | xy 所以 xy 0 故必要性成立，
综上，原命题成立．
11 例 5．已知数列 { an } 的通项 an n 3 n 4
1
an
log2t (t
1)
11
log
2 (t
1) t
2n 3，为了使不等式
20
对任意
n N * 恒成立的充要条件．
解：
an 1 an
1
1
1 (1
1 )( 1
1)0
即只须 t
1
1
且
log
2 t
(t
1)
9
log
2 t
(
t
20
1)
11 20
0
，
解得 1 log t (t 1) t(t 1) ，
1
0
t 1 t(t 2)
即t
，
2020届高三数学一轮复习教学案：简易逻辑
简易逻辑考纲导读1．理解逻辑联络词“或” 、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充足条件、必需条件及充要条件的意义．2．学会运用数形联合、分类议论的思想方法剖析和解决相关会合问题，形成优秀的思想品质；学会判断和推理，解决简略逻辑问题，培育逻辑思想能力．知识网络逻辑联结词命题高考导航简单命题与复合命题1 ．简四种命题及其关系易逻辑是一个新增简略逻辑性据其内容的特色，内容，在高充足必需条件考取应一般在选择题、填空题中出现，假如在解答题中出现，则只会是中低档题．2．会合、简略逻辑知识，作为一种数学工具，在函数、方程、不等式、摆列组合及曲线与方程等方面都有宽泛的运用，高考题中常以上边内容为载体，以会合的语言为表现形式，联合简略逻辑知识考察学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现．第 1 课时逻辑联络词和四种命题基础过关一、逻辑联络词1．能够的语句叫做命题．命题由两部分组成；命题有之分；数学中的定义、公义、定理等都是命题．2．逻辑联络词有，不含的命题是简单命题．由的命题是复合命题．复合命题的组成形式有三种：，( 其中，q 都是简单命题 ) ．p3．判断复合命题的真假的方法—真值表：“非p”形式的复合命题真假与p 的当 p 与 q 都真时， p 且 q 形式的复合命题，其余情况；当 p 与 q 都时，“ p 或 q”复合形式的命题为假，其余情况．二、四种命题1．四种命题：原命题：若p 则 q；抗命题：、否命题：逆否命题：.2．四种命题的关系：原命题为真，它的抗命题、否命题、逆否命题．原命题与它的逆否命题同、否命题与抗命题同．3．反证法：欲证“若p 则 q”为真命题，从否认其出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，进而判断原命题为真，这样的方法称为反证法．典型例题）例 1. 以下各组命题中，知足“ p 或 q”为真，“ p 且 q”为假，“非 p”为真的是（A ． p :0 ＝ ； q :0 ∈B ． p ：在 ABC 中，若 cos2A ＝ cos2B ，则 A ＝ B ； q : y ＝ sin x 在第一象限是增函数 C ． p : a b 2ab (a,b R) ； q : 不等式 xx 的解集为 ,0D ． p ：圆 x 1 2 ( y 2)21的面积被直线 x 1 均分； q ：椭圆 x2y 2 1 的一条准线方程是x4 3＝ 4解： 由已知条件，知命题 p 假且命题 q 真 . 选项 (A) 中命题 p 、 q 均假，清除；选项 (B) 中，命题 p 真而命题 q 假，清除；选项 (D) 中，命题 p 和命题 q 都为真，清除；应选 (C) ．变式训练1：假如命题“ p 或 q ”是真命题，“ p 且 q ”是假命题 . 那么（ ）A ．命题 p 和命题 q 都是假命题B ．命题 p 和命题 q 都是真命题C ．命题 p 和命题“非 q ”真值不一样D ．命题 q 和命题 p 的真值不一样 解： D例 2. 分别写出以下命题的抗命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假 :(1) 若 q <1，则方程 x 2＋ 2x ＋q ＝ 0 有实根； (2) 若 ab ＝ 0，则 a ＝ 0 或 b ＝ 0； (3) 若 x 2＋y 2＝ 0，则 x 、 y 全为零 .解： (1) 抗命题：若方程 x 2＋ 2x ＋q ＝ 0 有实根，则 q ＜ 1，为假命题．否命题：若 q ≥ 1，则 方程 x 2＋ 2 ＋ q ＝ 0 无实根，为假命题．逆否命题：若方程x 2＋ 2 ＋ ＝ 0 无实根，则 q ≥1， x x q为真命题．(2) 抗命题：若 a ＝0 或 b ＝ 0，则 ab ＝0，为真命题． 否命题：若 ab ≠ 0，则 a ≠0 且 b ≠ 0，为真命题． 逆否命题：若 a ≠ 0 且 b ≠ 0，则 ab ≠0，为真命题． (3) 抗命题：若 x 、y 全为零，则 x 2＋ y 2＝ 0，为真命题． 否命题：若 x 2＋ y 2≠ 0，则 x 、 y 不全为零，为真命题． 逆否命题：若 x 、 y 不全为零，则 x 2＋y 2≠0，为真命题．变式训练 2：写出以下命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：（ 1）假如一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等； （ 2）矩形的对角线相互均分且相等；（ 3）相像三角形必定是全等三角形.解：（ 1）否命题是： “假如一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等” .原命题为真命题，否命题也为真命题 .（ 2）否命题是： “假如四边形不是矩形，那么对角线不相互均分或不相等”原命题是真命题，否命题是假命题.（ 3）否命题是： “不相像的三角形必定不是全等三角形”.原命题是假命题，否命题是真命题.例 3. 已知 p ： x 2 mx1 0有两个不等的负根，q ： 4 x 2 4( m 2)x 1 0 无实根．若 p 或 q 为真， p 且 q 为假，求 m 的取值范围．剖析： 由 p 或 q 为真，知 、 必有其一为真， 由p 且 q 为假，知 、 必有一个为假， 所以，p q p q“ p 假且 q 真”或“ p 真且 q 假” . 可先求出命题 p 及命题 q 为真的条件，再分类议论．解： p ： x 2 mx1 0有两个不等的负根．1 m24m 0m 2q ： 4x 2 4(m 2) x 10 无实根．2 16(m 2)216 0 1m 3 由于 p 或 q 为真， p 且 q 为假，所以 p 与 q 的真值相反．( ⅰ) 当 p 真且 q 假时，有m2m 3 ；m 1或 m 3( ⅱ ) 当 p 假且 q 真时，有m22 ．1 m 1 m3综合，得 m 的取值范围是 { m1 m 2 或 m 3 } ．变式训练 3：已知 a>0, 设命题 p: 函数 y=a x在 R 上单一递减， q ：不等式 x+|x-2a|>1 的解集为 R, 若 p 和 q 中有且只有一个命题为真命题，求 a 的取值范围 .解 ：由函数 y=a x 在 R 上单一递减知 0<a<1，所以命题 p 为真命题时 a 的取值范围是 0<a<1, 令 y=x+|x-2a|,则 y=2x2a （x2a),不等式 x+|x-2a|>1 的解集为 R ，只需 y min >1 即可，而函数 y 在 R 上2a ( x 2a).的最小值为 2a ，所以 2a>1，即 a> 1. 即 q 真a> 1 . 若 p 真 q 假, 则 0<a ≤ 1; 若 p 假 q 真，222则 a ≥ 1, 所以命题 p 和 q 有且只有一个命题正确时a 的取值范围是 0<a ≤ 1或 a ≥ 1.2例 4. 若 a ， b ，c 均为实数，且 a ＝ x 2－ 2y ＋，b ＝ y 2－2z ＋ ，c ＝ z 2－ 2x ＋ ．求证： a 、236b 、c 中起码有一个大于 0．证明： 假定 a, b, c 都不大于 0，即 a 0, b 0, c 0 ，则 a b c 0而 a b c x 2 2 yy 22z z22x23 6 ＝ (x 1)2( y 1)2 ( z 1) 2 3( x 1)2( y 1)2(z 1)2 0 ，3 0 ．a b c 0这与a b c 0 相矛盾．所以 a, b, c 中起码有一个大于 0．变式训练 4：已知以下三个方程：① x 2＋ 4ax － 4a ＋3＝ 0，② x 2＋( a － 1) x ＋a 2＝ 0，③ x 2＋ 2ax－ 2a ＝ 0 中起码有一个方程有实根，务实数a 的取值范围 .解： 设已知的三个方程都没有实根．1(4a) 2 4(4a 3) 0 则 2 (a 1)2 4a 2 03(2a) 2 8a 0 解得31 ．a2故所求 a 的取值范围是a≥－1或 a≤－3．2小结概括1．相关“p或q”与“p且q”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈说中搞清含义进而分清是“p 或 q”仍是“ p 且 q”形式．2．当一个命题直接证明出现困难时，往常采纳间接证明法，反证法就是一种间接证法．3．反证法的第一步为否认结论，需要掌握常用词语的否认（如“起码”等），并且推理过程中，必定要把否认的结论当条件用，进而推出矛盾．用反证法证明命题的一般步骤为：（ 1）假定命题的结论不建立，即假定命题结论的反面建立；（ 2）从这个假定出发，经过正确的推理论证得出矛盾；（3）由矛盾判断假定不正确，进而必定所证命题正确．第 2 课时充要条件基础过关1．充足条件：假如p q 则p叫做q的条件， q 叫做 p 的条件．2．必需条件：假如q p 则p叫做q的条件， q 叫做 p 的条件．3．充要条件：假如p q 且 q p 则p叫做q的条件．典型例题A 是B 的什么条件，并说明原因．例1．在以下各题中，判断1． A ：p 2, p R ，B：方程 x 2 px p 3 0 有实根；2． A ：2k , (k Z ) ，B： sin( ) sin sin ；3． A：2x 3 1 ；B：x2 1 0 ；x 64． A：圆x2 y 2 r 2与直线 ax by c 0 相切， B：c2 ( a2 b2 )r 2 .剖析：要判断 A 是 B 的什么条件，只需判断由 A 可否推出 B 和由 B 可否推出 A 即可．解： (1) 当 p 2 ，取 p 4 ，则方程x2 4x 7 0 无实根；若方程x2 px p 3 0 有实根，则由0 推出 p2 4( p 3) 0 p 2或 p 6，由此可推出p 2 ．所以A是B的必需非充足条件．(2) 若2k 则 sin sin sin sin(2k ) sin sin 0, 又 sin( ) sin 2k 0所以 sin( ) sin sin 建立若 sin( ) sin sin 建立取0, ，知2k 不必定建立，故 A 是 B 的充足不用要条件．(3) 由 2 x 3 1 x 1或x 2 ，由 1 0 解得 x 3或x 2 ，所以 A 推不出 B，但 B 能够x2 x 6推出 A，故 A 是 B 的必需非充足条件．(4) 直线 ax by c 0 与圆x2 y2 r 2 相切圆 (0 ， 0) 到直线的距离 dc＝r ，即a 2 b2r c2＝ (a2 b2 ) r 2.所以A是B的充要条件.变式训练 1：指出以下命题中， p 是 q 的什么条件（在“充足不用要条件” 、“必需不充足条件”、“充要条件” 、“既不充足也不用要条件”中选出一种作答） .（ 1）在△ ABC 中， p ：∠ A=∠ B ， q ： sinA=sinB ； （ 2）对于实数 x 、y ， p ： x+y ≠ 8,q:x ≠ 2 或 y ≠ 6; （ 3）非空会合 A 、B 中， p ： x ∈ A ∪ B ， q ： x ∈ B ；（ 4）已知 x 、 y ∈ R ， p ：（ x-1 ） 2+（ y-2 ） 2=0， q ：（x-1 ）（ y-2 ） =0.解： （ 1）在△ ABC 中，∠ A=∠ B sinA=sinB ，反之，若 sinA=sinB ，由于 A 与 B 不行能互补（由于三角形三个内角和为 180° ), 所以只有 A=B. 故 p 是 q 的充要条件 . (2) 易知 :p:x+y=8,q:x=2 且 y=6, 明显qp. 但pq, 即q 是 p 的充足不用要条件 , 依据原命题和逆否命题的等价性知 ,p 是 q 的充足不用要条件.(3) 明显 x ∈ A ∪ B 不必定有 x ∈B, 但 x ∈B 必定有 x ∈ A ∪ B, 所以 p 是 q 的必需不充足条件 .(4) 条件 p:x=1 且 y=2, 条件 q:x=1 或 y=2, 所以 pq 但 qp, 故 p 是 q 的充足不用要条件.例 2. 已知 p ：－ 2＜ m ＜0，0＜ n ＜1；q ：对于 x 的方程 x 2＋mx ＋ n ＝0 有两个小于 1 的正根，试剖析 p 是 q 的什么条件 .解： 若方程 x 2＋ mx ＋ n ＝0 有两个小于 1 的正根，设为 x 1、 x 2． 则 0＜ x 1＜ 1、 0＜ x 2＜ 1，∵ x 1＋ x 2＝－ m ， x 1x 2＝ n∴ 0＜－ m ＜2， 0＜ n ＜ 1 ∴－ 2＜ m ＜ 0， 0＜ n ＜1∴ p 是 q 的必需条件．又若－ 2＜m ＜ 0， 0＜n ＜ 1，不如设 m ＝－ 1， n ＝ 1．2则方程为 x 2－ x ＋1＝ 0，∵△＝ ( － 1) 2－ 4× 1＝－ 1＜ 0． ∴方程无实根 ∴p 是 q 的非充22 分条件．综上所述， p 是 q 的必需非充足条件．变式训练 2：证明一元二次方程 ax 2+bx+c=0 有一正根和一负根的充要条件是 ac<0.证明 ：充足性：若2ac<0, 则 b -4ac>0, 且 c<0,a ∴方程 ax 2+bx+c=0 有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根.2 2x = c <0, ∴ ac<0.必需性： 若一元二次方程 ax +bx+c=0 有一正根和一负根， 则 =b -4ac>0,x1 2a综上所述，一元二次方程ax 2+bx+c=0 有一正根和一负根的充要条件是 ac<0.例 3. 已知 p ： |1 －x1| ≤ 2， q ：: x － 2x +1－ m ≤ 0( m >0) ，若 p 是 q 的必需而不充足条223 件，务实数 m 的取值范围 .解： 由题意知：命题：若┒ p 是┑ q 的必需而不充足条件的等价命题即逆否命题为：p 是 q的充足不用要条件 .p : |1 －x 1| ≤ 2－ 2≤x 1－ 1≤2 －1≤x 1≤ 3 － 2≤ x ≤ 1033322［ x － (1 － m ) ］［ x － (1+ m ) ］≤ 0*q : x － 2x +1－ m ≤ 0 ∵ p 是 q 的充足不用要条件，∴不等式 |1 － x 1 | ≤ 2 的解集是 x － 2x ＋1－ m ≤ 0( m >0) 解集的子集 .223又∵ m >0，∴不等式 * 的解集为 1－ m ≤ x ≤ 1＋ m∴ 1 m2 m 3，∴ m≥9，1 m 10 m 9∴实数 m的取值范围是［9，+∞ )变式训练3：已知会合 M { x || x 1| | x 3| 8} 和会合P { x | x2 (a 8) x 8a 0} ，求a的一个取值范围，使它成为M P { x | 5 x 8} 的一个必需不充足条件.解： M { x | x 3或x 5} ， P { x | ( x a)( x 8) 0}由 M P {x |5 x 8} 时, 5 a 3,此时有 a 3,但 a 3 M P { x | 5 x 8}所以 a 3是M P { x |5 x 8} 是必需但不充足条件. 说明：本题答案不独一 .例 4. “函数y＝( a2＋ 4a－5) x2－ 4( a－ 1) x＋ 3 的图象全在x轴的上方”，这个结论建立的充足必需条件是什么？解：函数的图象全在 x 轴上方，若 f ( x) 是一次函数，则a 2 4a 5 01 4(a 1) 0a若函数是二次函数，则：a 2 4a 5 01 a 19224(a 1) 12(a 4a 5) 0反之若 | a 19 ，由以上推导，函数的图象在x 轴上方，综上，充要条件是| a 19 ．变式训练4：已知 P＝ {x | |x － 1| | >2} ， S＝ {x | x2 ＋( a 1) x a 0 ，且x P的充要条件是x S，务实数a的取值范围．剖析：x P的充要条件是x S，即任取xP x SP S，反过来，任取x S x PS P S P据此可求得 a 的值．解：x P的充要条件是x SP S.∵ P＝{x || x －1| ＞ 2}} ＝ ( , 1) (3, )S＝ {x | x2 ＋ (a ＋ 1)x ＋ a＞ 0)} ＝ {x | (x ＋ a)(x ＋ 1) ＞ 0}a 3.概括小结1．办理充足、必需条件问题时，第一要分清条件与结论，而后才能进行推理和判断．不单要深刻理解充足、必需条件的观点，并且要熟知问题中所波及到的知识点和相关观点．2．确立条件为不充足或不用要的条件时，常用结构反例的方法来说明．3．等价变换是判断充足、必需条件的重要手段之一，特别是对于否认的命题，常经过它的等价命题，即逆否命题来考察条件与结论间的充足、必需关系．4．对于充要条件的证明题，既要证明充足性，又要证明必需性，从命题角度出发，证原命题为真，抗命题也为真；求结论建立的充要条件能够从结论等价变形（换）而获得，也能够从结论推导必需条件，再说明拥有充足性．5．对一个命题而言，使结论建立的充足条件可能不只一个，必需条件也可能不只一个．简略逻辑章节测试题一、选择题1．设会合M { x x 2},P { x x 3}, 那么 " xM 或x P" 是 " x M I P" 的（ ）A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足又不用要条件2. 已知 p 是 r 的充足不用要条件， s 是 r 的必需条件， q 是 s 的必需条件， 那么 p 是 q 的（）A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充要条件D.既不充足也不用要条件3. （2020 ·合肥模拟）已知条件 p ：（ x+1）2 >4，条件 q:x>a, 且 p 是 q 的充足而不用要条件， 则 a 的取值范围是≥ 1≤ 1≥ -3≤ -3（）4. “ a=2”是“直线 ax+2y=0 平行于直线 x+y=1”的 ( )A. 充足而不用要条件B. 必需而不充足条件C. 充足必需条件D. 既不充足也不用要条件5. 设会合 M={x|x>2} ， P={x|x<3},那么“ x ∈ M 或 x ∈ P ”是“ x ∈ M ∩ P ”的（ ）A. 充足不用要条件B.必需不充足条件C. 充要条件D.既不充足也不用要条件6. 在以下电路图中，表示开关A 闭合是灯泡B 亮的必需但不充足条件的线路图是 （ ）7.(2020 ·浙江理， 3) 已知 a,b 都是实数，那么“ 2 2（ ）a >b ”是“ a>b ”的 A. 充足而不用要条件 B.必需而不充足条件 C. 充足必需条件D.既不充足也不用要条件8. （ 2020·北京海淀模拟）若会合 2，会合 B={2 ， 4} ，则“ m=2”是“ A ∩ B={4} ”A={1 ， m} 的 （ ）A. 充足不用要条件B.必需不充足条件C. 充足必需条件D.既不充足也不用要条件29. 若数列 {a n } 知足 an21=p （ p 为正常数， n ∈ N * ），则称 {a n } 为“等方比数列” .a n甲：数列 {a n } 是等方比数列； 乙：数列 {a n } 是等比数列，则 (）A. 甲是乙的充足条件但不是必需条件B. 甲是乙的必需条件但不是充足条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充足条件也不是乙的必需条件 10. 命题 p: 若 a 、 b R, 则 |a|+|b|>1 是 |a+b|>1 的充足而不用要条件y=|x 1| 2的定义域是， 13，. 命题，q: 函数则（）A．“ p 或 q”为假 B ．“ p 且 q”为真C． p 真 q 假 D ． p 假 q 真二、填空题11．已知数列{a}，那么“对随意的n∈N*，点P (n, a ) 都在直线y 2x 1 上”是“ { a } 为等n nn n差数列”的条件．12. 设会合 A={5,log 2（ a+3）} ，会合 B={a， b} ，若 A∩ B={2} ，则 A∪ B=.13. 已知条件 p： |x+1|>2, 条件 q:5x-6>x 2，则非 p 是非 q 的条件 .14. 不等式 |x|<a 的一个充足条件为0<x<1, 则 a 的取值范围为.15. 已知以下四个命题：① a 是正数；② b 是负数；③ a+b 是负数；④ ab 是非正数 .选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的复合命题.三、解答题16．设命题 p：（ 4x-3 ）2≤1; 命题 q:x 2-(2a+1)x+a(a+1) ≤ 0, 若 p 是 q 的必需不充足条件，务实数 a 的取值范围 .17．求对于x 的方程 ax2-(a 2+a+1)x+a+1=0 起码有一个正根的充要条件.18．设 p：实数 x 知足 x2-4ax+3a 2<0, 此中 a<0； q：实数 x 知足 x2-x-6 ≤0，或 x2+2x-8 ＞ 0，且 p 是 q 的必需不充足条件，求a的取值范围.19． (1) 能否存在实数p, 使“ 4x+p<0”是“ x2-x-2>0 ”的充足条件？假如存在，求出p 的取值范围；（ 2）能否存在实数 p，使“ 4x+p<0 ”是“ x2 -x-2>0 ”的必需条件？假如存在，求出 p 的取值范围 .20．已知c 0，设p :函数y c x在R上单一递减， q ：不等式 x | x 2c | 1 的解集为R，假如 p 和 q 有且仅有一个正确，求 c 的取值范围．简略逻辑章节测试题答案1． B7.10. D11．充足而不用要条件 12.{1 ， 2，5} 13. 充足不用要 14.a ≥ 115. 若①③则②（或若①②则④或若①③则④）16．解设 A={x|(4x-3)2≤ 1},B={x|x 2-(2a+1)x+a(a+1) ≤ 0},易知 A={x|1≤ x ≤ 1},B={x|a ≤ x ≤ a+1}.2由 p 是q 的必需不充足条件，进而p 是 q 的充足不用要条件，即A B ，∴a12 ,a 1 1故所务实数 a 的取值范围是［0， 1］ .217．解方法一 若 a=0，则方程变成 -x+1=0,x=1知足条件，若 a ≠ 0，则方程起码有一个正根等价于a 1a 1 00 或 a 2a 1aaa 2 a 1a或a1-1<a<0 或 a>0.a(a 2 a 1)2 4a( a 1) 0综上：方程起码有一正根的充要条件是 a>-1.方法二若 a=0，则方程即为 -x+1=0,∴ x=1 知足条件；22222若 a ≠ 0，∵Δ =(a +a+1) -4a(a+1)=(a +a) +2(a +a)+1-4a(a+1)2222=(a +a) -2a(a+1)+1=(a+a-1) ≥ 0，∴方程必定有两个实根.a 2 a 1a故而当方程没有正根时，应有a , 解得 a ≤ -1,1 0a∴起码有一正根时应知足 a>-1 且 a ≠0, 综上：方程有一正根的充要条件是 a>-1.18．解 设 A={x|p}={x|x 2-4ax+3a 2<0,a<0}={x|3a<x<a,a<0},B={x|q}={x|x2-x-6 ≤ 0 或 x 2+2x-8>0}={x|x 2-x-6 ≤ 0} ∪ {x|x2+2x-8>0}={x|-2 ≤ x ≤ 3} ∪ {x|x<-4 或 x>2}= x | x 4或x 2 .方法一 ∵ p 是 q 的必需不充足条件 , ∴qp,且 p q .则x | q x | p . 而x| qB=x | 4 x2 , x | p= A=x | x 3a 或x a, a 0 ,RR∴ x | 4 x2 x | x 3a 或 x a, a 0 ,则 3a0, 2,或 a 4,综上可得 - 2 a或a4.aa 0.3方法二 由 p 是 q 的必需不充足条件， ∴ p 是 q 的充足不用要条件，∴ A B ，∴ a ≤ -4 或 3a ≥ -2, 又∵ a<0, ∴ a ≤ -4 或- 2≤ a<0.319．解（ 1）当 x>2 或 x<-1 时， x 2-x-2>0,由 4x+p<0, 得 x<-p, 故 - p≤ -1 时，44“ x<- p ”“x<-1 ”“ x 2-x-2>0 ” . ∴p ≥ 4 时，“ 4x+p<0”是“ x 2-x-2>0 ”的充足条件 .4（ 2）不存在实数 p 知足题设要求 .20．解：函数 y c x在 R 上单一递减0 c 1不等式 x | x 2c | | 的解集为 R函数y x | x 2c | ，在 R 上恒大于 1 x | x 2c |2 x 2c, x 2c2c, x 2c函数 y x | x 2c | 在 R 上的最小值为 2c不等式 x | x 2c | 1 的解集为 R2c 1c1，假如 p 正确，且 q 不正确2则 0 c1，假如 p 不正确，且 q 正确，则 c1，所以 c 的取值范围为 0,11,．22。
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简易逻辑
二．教学目标：了解命题的概念和命题的构成；理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四
种命题及其互相关系；反证法在证明过程中的应用．
三．教学重点：复合命题的构成及其真假的判断，四种命题的关系．
四．教学过程：
（一）主要知识：
1．理解由“或”“且”“非”将简单命题构成的复合命题；
2．由真值表判断复合命题的真假；
3．四种命题间的关系．
（二）主要方法：
1．逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比；
2．通常复合命题“p 或q ”的否定为“p ⌝且q ⌝”、“p 且q ”的否定为“p ⌝或q ⌝”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等；
3．有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若p ，则q ”的形式；
4．反证法中出现怎样的矛盾，要在解题的过程中随时审视推出的结论是否与题设、定义、定理、公理、公式、法则等矛盾，甚至自相矛盾．
（三）例题分析：
例1．指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假：
（1）菱形对角线相互垂直平分．
（2）“23≤”
解：(1)这个命题是“p 且q ”形式，:p 菱形的对角线相互垂直；:q 菱形的对角线相互平分， ∵p 为真命题，q 也是真命题 ∴p 且q 为真命题．
（2）这个命题是“p 或q ”形式，:p 23<；:q 23=，
∵p 为真命题，q 是假命题 ∴p 或q 为真命题．
注：判断复合命题的真假首先应看清该复合命题的构成形式，然后判断构成它的简单命题的真假，再由真值表判断复合命题的真假．
例2．分别写出命题“若220x y +=，则,x y 全为零”的逆命题、否命题和逆否命题． 解：否命题为：若220x y +≠，则,x y 不全为零
逆命题：若,x y 全为零，则220x y +=
逆否命题：若,x y 不全为零，则220x y +≠
注：写四种命题时应先分清题设和结论．
例3．命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论．
解：方法一：原命题是真命题，
∵0m >，∴140m ∆=+>，
因而方程20x x m +-=有实根，故原命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”是真命题； 又因原命题与它的逆否命题是等价的，故命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题是真命题．
方法二：原命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题是“若2
0x x m +-=无实根，则0m ≤”．∵20x x m +-=无实根 ∴140m ∆=+<即104
m <-
≤，故原命题的逆否命题是真命题． 例4．（考点6智能训练14题）已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实负根，命题q ：
方程2
44(2)10x m x +-+=无实根；若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围． 分析：先分别求满足条件p 和q 的m 的取值范围，再利用复合命题的真假进行转化与讨论． 解：由命题p 可以得到：2400m m ⎧∆=->⎨>⎩
∴2m > 由命题q 可以得到：2[4(2)]160m ∆=--< ∴26m -<<
∵p 或q 为真，p 且q 为假 ∴,p q 有且仅有一个为真
当p 为真，q 为假时，262,6
m m m orm >⎧⇒≥⎨≤-≥⎩ 当p 为假，q 为真时，22226m m m ≤⎧⇒-<≤⎨-<<⎩
所以，m 的取值范围为{|6m m ≥或22}m -<≤．
例5．（《高考A 计划》考点5智能训练第14题）已知函数()f x 对其定义域内的任意两个数,a b ，当a b <时，都有()()f a f b <，证明：()0f x =至多有一个实根．
解：假设()0f x =至少有两个不同的实数根12,x x ，不妨假设12x x <，
由方程的定义可知：12()0,()0f x f x ==
即12()()f x f x =①
由已知12x x <时，有12()()f x f x <这与式①矛盾
因此假设不能成立
故原命题成立．
注：反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题．
例6．（《高考A 计划》考点5智能训练第5题）用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程：20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ）
A.假设,,a b c 都是偶数
B.假设,,a b c 都不是偶数
C.假设,,a b c 至多有一个是偶数
D.假设,,a b c 至多有两个是偶数
（四）巩固练习：
1．命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是 （ ）
A ．若q 不正确，则p 不正确 B. 若q 不正确，则p 正确
C. 若p 正确，则q 不正确
D. 若p 正确，则q 正确
2．“若240b ac -<，则20ax bx c ++=没有实根”，其否命题是 （ ）
A. 若240b ac ->，则20ax bx c ++=没有实根
B. 若240b ac ->，则20ax bx c ++=有实根
C. 若240b ac -≥，则20ax bx c ++=有实根
D. 若240b ac -≥，则20ax bx c ++=没有实根
五．课后作业：《高考A 计划》考点5，智能训练3，4，8，13，15，16．。