数学归纳法典型例题分析

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(完整版)数学归纳法经典例题详解

例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n Λ．请读者分析下面的证法：证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k Λ．那么当n =k +1时，有：()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k Λ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立．由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．正确方法是：当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k Λ ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式：a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立，并证明你的结论．分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性．解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组．⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=60322426321211a a a a a a ，解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立．下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．因为起始值已证，可证第二步骤．假设n =k 时，等式成立，即a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2)那么当n =k +1时，a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1= k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3]=(k +1)(k 2+2k +3k +6)=(k +1)(k +2)(k +3)=(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2]这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立．综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．例3．证明不等式n n 2131211<++++Λ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++Λ．那么当n =k +1时，11131211++++++k k Λ1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k Λ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．例4．已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=1，当n ∈N 时，a n +2=a n +1+a n ．求证：数列{a n }的第4m +1项(m ∈N )能被3整除．分析：本题由a n +1=a n +1+a n 求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法．①当m =1时，a 4m +1=a 5=a 4+a 3=(a 3+a 2)+(a 2+a 1)=a 2+a 1+a 2+a 2+a 1=3，能被3整除．②当m =k 时，a 4k +1能被3整除，那么当n =k +1时，a 4(k +1)+1=a 4k +5=a 4k +4+a 4k +3=a 4k +3+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=a 4k +2+a 4k +1+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=3a 4k +2+2a 4k +1由假设a 4k +1能被3整除，又3a 4k +2能被3整除，故3a 4k +2+2a 4k +1能被3整除．因此，当m =k +1时，a 4(k +1)+1也能被3整除．由①、②可知，对一切自然数m ∈N ，数列{a n }中的第4m +1项都能被3整除．例5．n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？分析：设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证．当n=2时，由图(1)．两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=22．当n=3时，由图(2)．三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=32．由n=4时，由图(3)．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=42．由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f (n)=n2．用数学归纳法证明如下：①当n=2时，上面已证．②设n=k时，f (k)=k2，那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧．∴ f (k+1)=k2+k+(k+1)=k2+2k+1=(k+1)2∴满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧．由①、②可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧．说明：这里要注意；增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f (4)=f (3)+3+4中发现规律：f (k+1)=f (k)+k+(k+1)．。

第6章数列与数学归纳法(6.4-6.8)

6.4数学归纳法例题精讲【例1】用数学归纳法证明22>n n ,5n N n ∈≥,则第一步应验证n = ．【参考答案】n =5（注：跟学生说明0n 不一定都是1或2，要看题目）【例2】设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的是（）A ．若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立；B ．若4)2(<f 成立，则1)1(<f 成立；C ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立；D ．若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立．【参考答案】B【例3】用数学归纳法证明命题：若n 是大于1的自然数，求证：n n <-++++12131211Λ，从k 到+1k ，不等式左边添加的项的项数为．【参考答案】当k n =时，左边为1214131211-+++++k Λ．当1+=k n 时，左边为1212211212112141312111-+++++++-++++++k k k k k ΛΛ．左边需要添的项为121221121211-+++++++k k k k Λ，项数为k k k 212121=+--+．【例4】用数学归纳法证明：422135n n +++能被14整除*n N ∈（）．【参考答案】当=1n 时，8545353361224=+=+++n n 能被14整除．假设当k n =时原命题成立，即422135n n +++能被14整除*n N ∈（）．当1+=k n 时，原式为4(1)22(1)1442221353355k k k k +++++++=⋅+⋅4422121423(35)5(35)k k k +++=+--44221213(35)565k k k +++=+-⋅．422135n n +++能被14整除，56也能被14整除，所以上式能被14整除，所以当1+=k n 时原命题成立．综上所述，原命题成立．【例5】是否存在常数,a b 使得()()2112233413n n n an bn +⨯+⨯+⨯+++=+L 对一切正整数n 都成立？证明你的结论．【参考答案】先用1n =和2n =探求1,2a b ==，再用数学归纳法证明【例6】若*n N ∈,求证:23sin coscoscoscos 22222sin2n n nαααααα=L ．【参考答案】① 1n =时,左=cos2α, 右=sin cos22sin2ααα=,左=右② 设n k =时, 23sin coscoscoscos 22222sin2k k kαααααα=L1n k =+时, 2311sin (coscoscoscos )cos cos2222222sin2k k k k kαααααααα++⋅=⋅L=111111sin sin cos22sincos2sin222k k k k k k αααααα++++++⋅=过关演练1．等式22222574123 (2)n n n -+++++=（）．A ． n 为任何正整数时都成立B ．仅n ＝1，2，3时成立C ． n ＝4时成立，n ＝5时不成立D ． n ＝4时不成立，其他成立． 2．用数学归纳法证明22111...(1)1n n a a a a a a++-++++=≠-，在验证1n =时，左端计算所得项为．3．利用数学归纳法证明“对任意偶数*()n n N ∈，nna b -能被a b +整除”时，其第二步论证应该是．4．若*1111...()23n S n N n =++++∈，用数学归纳法证明*21(2,)2n nS n n N >+≥∈，n 从k 到1k +时，不等式左边增加的项为． 5．若21*718,,n m m n N -+=∈，则21718n m ++=+ ．6．利用数学归纳法证明22nn >，第一步应该论证． 7．数学归纳法证明：111111111......234212122n n n n n-+-++-=+++-++（*n N ∈）时，当n 从k 到1k +时等式左边增加的项为；等式右边增加的项为． 8．用数学归纳法证明：221(1)n n a a ++++可以被21a a ++整除（*n N ∈）．9．用数学归纳法求证: （1）(1)123 (2)n nn +++++=；（2）222123+++ (2)1(1)(21)6n n n n +=++；（3）333123+++ (3)221(1)4n n n +=+． 10．在数列{}n a 中，已知111,6(123...)1n a a n +==+++++，*n N ∈，若数列{}n a 前n项和为n S ，求证：3n S n =．6.5数学归纳法的运用例题精讲【例1】已知11=a ，)(*2N n a n S n n ∈=（1）求5432,,,a a a a ；（2）猜想它的通项公式n a ，并用数学归纳法加以证明【参考答案】解：（1）151,101,61,315432====a a a a （2）)1(2+=n n a n ，证明：（1）当n=1时，11=a 成立；（2）当n>1时，假设n=k 时，命题成立，即)1(2+=k k a k ，则当n=k+1时，⇒+=++121)1(k k a k S )2)(1(2222]1)1[(2221122++=+•+=+=⇒-+=++k k k k k k k k a k a a k a k k k k k 综上所述，对于所有自然数*N n ∈，)1(2+=n n a n 成立。

(完整版)数学归纳法经典例题及

数学概括法（）一、用数学法明与正整数相关命的步是：（ 1）明当n取第一个n0（如 n0 1或2等）正确；（ 2）假当n k( k N , k n0 ) 正确，明n k 1也正确．合（ 1）、（ 2），⋯⋯注意：数学法使用重点：两步 ,一。

二、型：型 1.明朝数恒等式例 1．用数学概括法证明：1111n1335572n12n12n111，右侧11证明：① n=1 时，左侧，左侧 =右侧，等式建立．123313②假定 n=k 时，等式建立，即：1111k．1335572k12k12k1当n=k+1 时．111111335572k 1 2k12k12k3k12k12k12k 32k 23k12k1 k12k12k32k12k3k1k12k3 2 k11这就说明，当n=k+1 时，等式亦建立，由①、②可知，对全部自然数n 等式建立．题型 2.证明不等式例 2．明不等式111n (n∈N)．1322n明：①当 n=1 ，左 =1，右 =2．左 <右，不等式建立．②假 n=k ，不等式建立，即111k ．1322k那么当 n=k+1 ，1111 13k k 1 22k1 2 k k11 k1k1k k11 2 k12k 1k1k1就是，当n=k+1 ，不等式建立．由①、②可知，原不等式随意自然数n 都建立．明：里要注意，当n=k+1 ，要的目是1111 13k 2 k 1 ，今世入假后，就是要明：2k 11k 1 ．2 k2k1了个目，于是便可朝个目下去，并行相关的形，达到个目．题型 3.证明数列问题例3 ( x＋1) n＝a0＋a1(x－1)＋ a2(x－ 1)2＋ a3(x－ 1)3＋⋯＋ a n( x－1)n (n≥ 2， n∈ N* ) ．(1)当 n＝ 5 ，求 a0＋ a1＋ a2＋ a3＋ a4＋a5的．a2(2)b n＝2n－3， T n＝ b2＋ b3＋ b4＋⋯＋ b n.用数学法明：当n≥ 2 ， T n＝n(n＋1)(n－1).3解：(1)当 n＝ 5 ，原等式 (x＋ 1)5＝ a0＋ a1(x－ 1)＋ a2(x－ 1)2＋ a3( x－ 1)3＋a4(x－ 1)4＋ a5(x－ 1)5令 x ＝ 2 得 a 0＋ a 1＋ a 2＋ a 3＋ a 4＋ a 5＝ 35 ＝243.(2)由于 (x ＋ 1)n ＝ [2＋ (x － 1)]n ，因此 a 2＝ C n 2·2n －2b n ＝a 2＝ 2C n 2＝ n(n － 1)(n ≥ 2)2n－3① 当 n ＝ 2 时．左侧＝ T 2＝ b 2 ＝ 2，右侧＝2(2＋ 1)(2－1)＝ 2，左侧＝右侧，等式建立．3② 假定当 n ＝ k(k ≥ 2，k ∈ N * ) 时，等式建立，即T k ＝ k(k ＋ 1)(k － 1)建立3那么，当 n ＝ k ＋1 时，左侧＝ T k ＋ b k ＋ 1＝k(k ＋1)(k －1)＋(k ＋1)[( k ＋ 1)－ 1]＝k(k ＋1)(k － 1)＋ k(k ＋ 1)33＝ k(k ＋ 1)k － 1＋ 1 ＝ k(k ＋ 1)(k ＋ 2)33＝(k ＋ 1)[( k ＋1)＋ 1][( k ＋ 1)－1]＝右侧． 3故当 n ＝ k ＋ 1 时，等式建立．n( n ＋ 1)( n － 1)综上 ①② ，当 n ≥ 2 时， T n ＝.3。

(完整版)数学归纳法经典例题及答案(2)

数学归纳法（2016.4.21）一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确．综合（1）、（2），……注意：数学归纳法使用要点：两步骤,一结论。

二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n 证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ．当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++．那么当n =k +1时， 11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．题型3.证明数列问题例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值．(2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3. 解： (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2b n ＝a 22n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3成立那么，当n ＝k ＋1时，左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)⎝⎛⎭⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边．故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.。

数学归纳法及应用举例

数学归纳法及应用举例重点难点分析：（1）数学归纳法的第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，两个步骤密切相关，缺一不可。

（2）归纳思想充分体现了辩证唯物主义的特殊与一般的思想，是数学的基本思想，数学归纳法体现了有限与无限的辩证关系与转化思想。

（3）归纳——猜想——证明是经常运用的数学方法，观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理的猜想，从而达到解决问题的目的。

（4）数学归纳法的应用通常与数学的其它方法联系在一起，如比较法，放缩法，配凑法，分析法和综合法等。

典型例题：例1．用数学归纳证明：=-n(n+1)(4n+3)。

证明：①当n=1时，左边，右边=-1(1+1)(4+3)=-14，等式成立。

②假设n=k时等式成立，即=-k(k+1)(4k+3)。

那么n=k+1时，+[(2k+1)(2k+2)2-(2k+2)(2k+3)2] =-k(k+1)(4k+3)-2(k+1)(4k2+12k+9-4k2-6k-2)=-(k+1)[4k2+3k+2(6k+7)]=-(k+1)(4k2+15k+14)=-(k+1)(k+2)(4k+7)=-(k+1)[(k+1)+1][4(k+1)+3]，等式也成立。

由①②知，当n∈N′时等式成立，∴原命题成立。

例2．试证S n=n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除。

证明：①n=1时，S1=4×9，能9整除。

②假设，n=k时，S k能被9整除，则S k+1=(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=S k+(k+3)3-k3=S k+9(k3+3k+3)由归纳假设知S k+1能被9整除，也就是说n=k+1时命题也成立。

综上所述：命题成立。

点评：用数学归纳法证明整除问题时，关键是把n=k+1时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除。

例3．通过一点有n个平面，其中没有任何3个平面交于同一条直线，用数学归纳法证明这些平面把空间分成(n2-n+2)个部分。

数学归纳法经典例题及答案

二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n 证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ．当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++．那么当n =k +1时， 11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．题型3.证明数列问题例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值．(2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.解： (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5 令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2 b n ＝a 22n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3成立那么，当n ＝k ＋1时，左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)⎝⎛⎭⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边．故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.。

数学归纳法经典例题及参考答案

由①、②可知，对一切自然数 n 等式成立．题型 2.证明不等式
例 2．证明不等式1 1 1 1 2 n (n∈N)．
23
n
证明：①当 n=1 时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．
②假设 n=k 时，不等式成立，即1 1 1 1 2 k ．
认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．
题型 3.证明数列问题例 3(x＋1)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋an(x－1)n(n≥2，
n∈N*)． (1)当 n＝5 时，求 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5 的值． (2)设 bn＝，Tn＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法证明：当 n≥2 时，Tn
＝. 解： (1)当 n＝5 时，原等式变为(x＋1)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－
1)5 令 x＝2 得 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243. (2)因为(x＋1)n＝[2＋(x－1)]n，所以 a2＝Cn2·2n－2 bn＝＝2Cn2＝n(n－1)(n≥2) ①当 n＝2 时．左边＝T2＝b2＝2，右边＝＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当 n＝k(k≥2，k∈N*)时，等式成立，即 Tk＝成立那么，当 n＝k＋1 时，左边＝Tk＋bk＋1＝＋(k＋1)[(k＋1)－1]＝＋k(k＋1) ＝k(k＋1)＝＝＝右边．故当 n＝k＋1 时，等式成立．综上①②，当 n≥2 时，Tn＝.
例 1．用数学归纳法证明：
证明：①n=1 时，左边 1 1 ，右边 1 1 ，左边=右边，等式成立．

数学归纳法经典示例详解

数学归纳法经典示例详解数学归纳法是一种证明数学命题的常用方法。

它通过以下两个步骤来进行证明：基础步骤和归纳步骤。

基础步骤基础步骤是证明命题在某个特定情况下成立的步骤。

在使用数学归纳法时，我们需要首先证明命题在某个最小的自然数上成立。

例如，假设我们要证明命题P(n)对于所有的自然数n成立，我们需要证明P(1)成立。

归纳步骤归纳步骤是在基础步骤的基础上进行推导，证明命题在n+1的情况下也成立。

假设我们已经证明了P(n)成立，那么我们需要证明P(n+1)成立。

这一步骤通常包括一个归纳假设和一系列的推理步骤。

经典示例下面是一个经典的使用数学归纳法进行证明的示例：示例命题对于任意正整数n，命题P(n)为：1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2。

基础步骤我们首先证明命题在n=1时成立：\[1 = \frac{1(1+1)}{2}\]归纳步骤假设命题在n=k时成立，即：\[1 + 2 + ... + k = \frac{k(k+1)}{2}\]我们需要证明命题在n=k+1时也成立：\[1 + 2 + ... + k + (k+1) = \frac{(k+1)(k+1+1)}{2}\]通过归纳假设，我们可以将左边的式子替换为\(\frac{k(k+1)}{2}\)：\[\frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}\]通过化简，我们可以证明这个等式成立。

因此，命题P(n)对于任意正整数n成立。

总结数学归纳法是一种很强大的数学证明方法，它可以用来证明一些命题在所有自然数上成立。

通过基础步骤和归纳步骤，我们可以逐步推导出命题的正确性。

在使用数学归纳法时，我们需要确保基础步骤正确，并进行详细的推导步骤来证明归纳步骤的正确性。

数学归纳法在解决一些数学问题时具有很大的帮助，我们可以通过它来发现并证明一些有关数列、函数等的性质。

(完整版)数学归纳法典型例题分析

数学归纳法证题步骤与技巧1.数学归纳法的范围因此，数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关的命题。

它能帮助我们判断种种与自然数n 有关的猜想的正确性。

2.数学归纳法两个步骤的关系第一步是递推的基础，第二步是递推的根据，两个步骤缺一不可。

3.第一、二数学归纳法第一数学归纳法可以概括为以下三步：(1)归纳奠基：证明n=1时命题成立；(2)归纳假设：假设n=k 时命题成立；(3)归纳递推：由归纳假设推出n=k+1时命题也成立。

从而就可断定命题对于从所有正整数都成立第二数学归纳法的证明步骤是： 1、证明当n=1时命题是正确的；2、k 为任意自然数，假设n ＜k 时命题都是正确的，如果我们能推出n=时命题也正确，就可以肯定该命题对一切自然数都正确。

数学归纳法和第二归纳法是两个等价的归纳法，我们把数学归纳法也叫做第一归纳法。

有些命题用第一归纳法证明不大方便，可以用第二归纳法证明。

2.(2012·济南高二检测)用数学归纳法证明1+2+3+…+n 2=42n n ,2+则当n=k+1时左端应在n=k 的基础上加上( )(A)k 2+1(B)(k+1)2(C)()()42k 1k 12+++(D)(k 2+1)+(k 2+2)+…+(k+1)24.若数列{a n }的通项公式a n =()21n 1+(n ∈N *),记f(n)=(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n )，试通过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)为( ) (A)n 2n 3++ (B)n 22n 2++(C)n 22n 1++ (D)n2n 1+ 5.(2012·徐州高二检测)用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n+y n能被x+y 整除”，当第二步假设n=2k-1(k ∈N *)命题为真时，进而需证n=__________时，命题亦真.6.(易错题)若f(n)=12+22+32+…+(2n)2，则f(k+1)与f(k)的递推关系式是______ _____________________________. 7.用数学归纳法证明：21111n n 1n 2n+++⋯+++＞1(n ∈N *,n ＞1).8.求证：()()()()222n n 112n 13352n 12n 122n 1+++⋯+=⨯⨯-++,(n ∈N *)9.用数学归纳法证明a n+1+(a+1)2n-1能被a 2+a+1整除(n ∈*N )答案解析2.【解析】选D.当n=k 时，左端=1+2+3+…+k 2，当n=k+1时，左端=1+2+3+…+k 2+(k 2+1)+(k 2+2)+…+(k+1)2,故当n=k+1时，左端应在n=k 的基础上加上(k 2+1)+(k 2+2)+…+(k+1)2,故应选D.4.【解析】选B.∵f(n)=(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n ), f(1)=1-a 1=1-13,44= f(2)=(1-a 1)(1-a 2)=f(1)×(1-19)=3824,4936⨯== f(3)=(1-a 1)(1-a 2)(1-a 3)=()12155f 2(1).163168⨯-=⨯=根据其结构特点可得：f(n)=()n 2.2n 1++故选B.5.【解析】因为n 为正奇数，且与2k-1相邻的下一个奇数是2k+1，故进而需证n=2k+1时，命题亦真. 答案：2k+16.【解题指南】写出f(k)和f(k+1)，采用作差法.【解析】∵f(k)=12+22+…+(2k)2,f(k+1)=12+22+…+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2，∴f(k+1)-f(k)=(2k+1)2+(2k+2)2，即f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.答案：f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)27.【证明】(1)当n=2时，左边=11113.23412++= 右边=1，不等式成立.(2)假设当n=k(k ≥2,k ∈N *)时，不等式成立，即21111k k 1k 2k+++⋯+++＞1. 那么当n=k+1时，()()()()()()()()2222222222222111111k 1k 2k k 1k 2k 111111111()k k 1k 2k k 1k 2k 2k 1k 1112k 1k 2k 1k2k 1k k 1k k 111.k k 1k k 1++⋯++++⋯++++++=+++⋯++++⋯+-++++++++-+++-+--=+=+++＞∵k ≥2,∴k 2-k-1＞0,1+()22k k 1k k 1--+＞1.这就是说，当n=k+1时，不等式也成立.由(1)和(2)可知，原不等式对任意大于1的正整数n 都成立. 【变式训练】用数学归纳法证明：2221113n 123n 2n 1+++⋯+≥+(n ∈N *). 【证明】①当n=1时，左边＝1，右边＝1，左边≥右边，结论成立；②假设n=k 时，不等式成立，即2221113k 1.23k 2k 1+++⋯+≥+ 当n=k+1时，()()2222211113k 11,23k 2k 1k 1k 1+++⋯++≥++++ 下面证：()()()23k 13k 1,2k 12k 11k 1++≥++++ 作差得()()()()()()()223k 1k k 23k 10,2k 12k 11k 1k 12k 12k 3+++-=+++++++＞得结论成立，即当n ＝k+1时，不等式也成立.由①和②知，不等式对一切n ∈N *都成立.8.(2012·开封高二检测)在数列{a n },{b n }中，a 1=2,b 1=4,且a n ,b n ,a n+1成等差数列，b n ,a n+1,b n+1成等比数列(n ∈N *),求a 2,a 3,a 4与b 2,b 3,b 4的值，由此猜测{a n },{b n }的通项公式，并证明你的结论.8.【解题指南】采用“归纳——猜想——证明”的思想方法. 【解析】由条件得2b n =a n +a n+1,2n 1a+ =b n b n+1.又a 1=2,b 1=4,由此可得a 2=6,b 2=9, a 3=12,b 3=16,a 4=20,b 4=25,猜测a n =n(n+1),b n =(n+1)2. 用数学归纳法证明.①当n=1时，a 1=2,b 1=4,结论成立. ②假设n=k 时结论成立，即a k =k(k+1),b k =(k+1)2.那么n=k+1时，a k+1=2b k -a k =2(k+1)2-k(k+1) =(k+1)［(k+1)+1］,b k+1=2k 1ka b +=(k+2)2=［(k+1)+1］2,∴n=k+1时，结论也成立.由①和②知，a n =n(n+1),b n =(n+1)2对一切正整数都成立. 【挑战能力】【解题指南】此题是式子的整除问题，与正整数n 有关，用数学归纳法解决是较好的选择.【解析】(1)当n=1时，左边=a 2+(a+1)1=a 2+a+1，可被a 2+a+1整除；(2)假设n=k(k ≥1，k ∈N *)时，a k+1+(a+1)2k-1能被a 2+a+1整除，则当n=k+1时，a k+1+1+(a+1)2(k+1)-1=a k+2+(a+1)2k+1 =aa k+1+(a+1)2(a+1)2k-1 =aa k+1+a(a+1)2k-1+(a 2+a+1)(a+1)2k-1=a ［a k+1+(a+1)2k-1］+(a 2+a+1)(a+1)2k-1，由假设可知a ［a k+1+(a+1)2k-1］能被a 2+a+1整除.又(a 2+a+1)(a+1)2k-1也能被a 2+a+1整除，所以a k+2+(a+1)2k+1能被a 2+a+1整除，即 n=k+1时，命题成立.由(1)和(2)知，对一切n ∈N *命题都成立. 【方法技巧】用数学归纳法证明整除问题技巧应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法.也可以说将式子“硬提公因式”，即将n=k 时的项从n=k+1时的项中“硬提出来”，构成n=k 时的项，后面的式子相对变形，使之与n=k+1时的项相同，从而达到利用假设的目的.一、选择题(每题4分，共16分)1.(2011·马鞍山高二检测)用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=()()n 3n 42++ (n ∈N *)时，第一步验证n=1时，左边应取的项是( )(A)1 (B)1+2 (C)1+2+3 (D)1+2+3+42.设S k =1111k 1k 2k 32k +++⋯++++，则S k+1为( ) (A)S k +12k 2+ (B)S k +12k 1++12k 2+ (C)S k +12k 1+-12k 2+ (D)S k +12k 2+-12k 1+3.某个命题与正整数n 有关，如果当n=k(k ∈N *)时，命题成立，那么n=k+1时，命题也成立，即已知当n=4时该命题不成立，那么可推得( )(A)当n=5时命题不成立(B)当n=5时命题成立(C)当n=3时命题不成立(D)当n=3时命题成立 4.*n 1(n N )+∈”的过程如下：证明：(1)当n=1时，显然命题是正确的；(2)假设n=kk 1+,则当n=k+1=()k 11=++所以当n=k+1时命题是正确的，由(1)(2)可知对于(n ∈N *)命题都是正确的.以上证法是错误的，错误在于( ) (A)从k 到k+1的推理过程没有使用归纳假设(B)归纳假设的写法不正确 (C)从k 到k+1的推理不严密(D)当n=1时，验证过程不具体二、填空题(每题4分，共8分)5.用数学归纳法证明“n 3+5n ”能被6整除的过程中，当n=k+1时，式子(k+1)3+5(k+1)应变形为__________________________. 6.在数列{a n }中，a 1=2,a n+1n n a 3a 1=+(n ∈N *)，依次计算出a 2,a 3,a 4后，归纳猜想得出a n 的表达式为_______________________. 三、解答题(每题8分，共16分)7.求证：()()()()222n n 112n 13352n 12n 122n 1+++⋯+=⨯⨯-++,(n ∈N *) 8.平面上有n(n ≥2)条直线，其中无两条直线平行，也无三线共点，求证：这n 条直线互相分割成n 2条线段或射线.【挑战能力】(10分)在1与2之间插入n 个正数a 1,a 2,a 3,…,a n ，使这n+2个数成等比数列；又在1与2之间插入n 个正数b 1,b 2,b 3,…,b n ，使这n+2个数成等差数列.记A n =a 1a 2a 3…a n ,B n =b 1+b 2+b 3+…+b n .试比较A n 与B n 的大小(n ∈N *)，并证明你的结论.答案解析1.【解析】选D.由所给等式可知，当n=1时，左边应有四项，即1+2+3+4.2.【解析】选C.∵k 111111S k 11k 122k 2k 12k 2+=++⋯+++++++++ k 1k k 111S S 2k 12k 2k 111S .2k 12k 2+∴=++-+++=+-++ 独具【易错提醒】在由n=k 到n=k+1的转化过程中，必须搞清式子的结构，即弄清楚增加和减少的项，本题易误选B.3.【解析】选C.判断其逆否命题,若n=3时，该命题成立，则n=3+1=4时，命题也一定成立.4.【解析】选A.由推理过程可知，在第二步证明n=k+1的结论时，没有使用归纳假设.5.【解析】(k+1)3+5(k+1)=k 3+1+3k 2+3k+5k+5=(k 3+5k)+3k 2+3k+6=(k 3+5k)+3k(k+1) +6∵k(k+1)为偶数，∴3k(k+1)+6能被6整除.答案：(k 3+5k)+3k(k+1)+6 6.【解析】∵a 1=2,3n 12n 1234n 123a a a a 222a a ,a ,a 3a 13a 173a 1133a 119+=∴======++++ ,于是猜想a n =2.6n 5- 答案：a n =26n 5-(n ∈N *)7.【证明】(1)当n=1时，左边=11133=⨯，右边=121233⨯=⨯, ∴左边=右边.∴当n=1时，等式成立.(2)假设当n=k(k ≥1,k ∈N *)时，等式成立，即()()()()222k k 112k 13352k 12k 122k 1+++⋯+=⨯⨯-++成立, 当n=k+1时，()()()()()()()()()()22222k 1k k 1k 112k 13352k 12k 12k 12k 322k 12k 12k 3+++++⋯++=+⨯⨯-++++++ ()()k(2k 3)2(k 1)(k 1)22k 12k 3+++=+++()()()()()()k 1k 2(2k 1)k 1(k 2)22k 12k 322k 3+++++==+++ ()()()k 1[k 11].22k 11+++=++［］∴当n=k+1时，等式也成立.由(1)(2)可知，等式对任意n ∈N *都成立.8.【证明】(1)当n=2时，两条相交直线互相分割成4=22条射线，命题成立.(2)假设当n=k(k ∈N *且k ≥2)时，命题成立，即k 条直线互相分割成k 2条线段或射线. 则当n=k+1时，第k+1条直线与前k 条直线有k 个交点，这k 个交点把第k+1条直线分成k-1条线段和2条射线，这k 个交点又把它原来所在的线段或射线分成2段，所以线段或射线又增加了k 段.加进第k+1条直线后，共增加了k-1+2+k 条线段或射线，这时有k 2+k-1+2+k=(k+1)2条线段或射线，所以n=k+1时命题也成立，由(1)(2)可知，结论成立. 【挑战能力】独具【解题提示】先由等差、等比数列的性质，求出A n 与B n ，再由特殊到一般猜想A n 与B n 的大小，用数学归纳法证明.【解析】∵1,a 1,a 2,a 3,…,a n ,2成等比数列， ∴a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…=a k a n-k+1=…=1×2=2, ∴2n A =(a 1a n )(a 2a n-1)(a 3a n-2)…(a n-1a 2)(a n a 1)=2n,∴A n =2n 2.又1,b 1,b 2,b 3,…,b n ,2成等差数列， ∴b 1+b n =1+2=3, ∴B n =()1n n b b 3n 22+=. 要比较A n 与B n 的大小，只需比较2n A 与2n B 的大小，即比较2n与94n 2的大小. 当n=1,2,3,…6时，容易计算出2n＜94n 2, 当n=7时，27=128，94×72=4414, ∵128＞4414,∴2n＞94n 2.当n=8时，28=256, 94×82=144,∵256＞144,∴2n＞94n 2.猜想：当n ≥7时，有2n＞94n 2.以下用数学归纳法加以证明： ①当n=7时，已验证猜想正确.②假设n=k(k ≥7)时猜想正确，即2k＞94k 2. 那么n=k+1时，2k+1=2·2k＞2·94k 2=94·2k 2, 又当k ≥7时，2k 2-(k+1)2=k 2-2k-1=(k-1)2-2＞0, ∴2k+1＞94(k+1)2. 即当n=k+1时，猜想也正确.由①②知，对一切n ≥7(n ∈N *)，都有2n＞94n 2, 即2n A ＞2n B ，也即A n ＞B n .综上，当1≤n ≤6(n ∈N *)时,A n ＜B n ; 当n ≥7(n ∈N *)时，A n ＞B n .高考题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1.归纳法证明下述等式问题：)1)(1(41)()2(2)1(12222222+-=-++-⋅+-⋅n n n n n n n n . 练习：用数学归纳法证明 ()()()114253153n n n n n ⨯+⨯+++=++题型2.证明不等式例2. 用数学归纳法证明下述不等式；).2,(10931312111≥∈>+++++++*n N n n n n n 且练习：用数学归纳法证明()11121,,22322n n n N n +++++>∈≥题型3.证明整除练习：用数学归纳法证明2166n --能被7整除题型4.解决几何问题例4.有n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆将平面分成()22f n n n =-+个部分用数学归纳法证明几何问题，关键在于分析由n ＝k 到n ＝k ＋1的变化情况，即分点(或顶点)增加了多少，直线的条数(或划分区域)增加了几部分等，或先用f(k ＋1)－f(k)得出结果，再结合图形给予严谨的说明，几何问题的证明：一要注意数形结合；二要注意要有必要的文字说明．。

数学归纳法经典例题及答案

二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n 证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ．当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++．那么当n =k +1时， 11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．题型3.证明数列问题例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值．(2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.解： (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5 令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2b n ＝a 22n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3成立那么，当n ＝k ＋1时，左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边．故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。

数学归纳法经典例题及答案

二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n 证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ．当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++．那么当n =k +1时， 11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．题型3.证明数列问题例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值．(2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.解： (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5 令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2b n ＝a 22n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3成立那么，当n ＝k ＋1时，左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边．故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。

数学归纳法证明例题

例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n ．请读者分析下面的证法：证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ．那么当n =k +1时，有：()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3211211211217151513131121k k k k 322221321121++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立．由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．正确方法是：当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式：a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立，并证明你的结论．分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性．解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组．⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=60322426321211a a a a a a ，解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立．下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．因为起始值已证，可证第二步骤．假设n =k 时，等式成立，即a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2)那么当n =k +1时，a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1= k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3]=(k +1)(k 2+2k +3k +6)=(k +1)(k +2)(k +3)=(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2]这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立．综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．例3．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N )．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++．那么当n =k +1时， 11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．例4．已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=1，当n ∈N 时，a n +2=a n +1+a n ．求证：数列{a n }的第4m +1项(m ∈N )能被3整除．分析：本题由a n +1=a n +1+a n 求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法． ①当m =1时，a 4m +1=a 5=a 4+a 3=(a 3+a 2)+(a 2+a 1)=a 2+a 1+a 2+a 2+a 1=3，能被3整除． ②当m =k 时，a 4k +1能被3整除，那么当n =k +1时，a 4(k +1)+1=a 4k +5=a 4k +4+a 4k +3=a 4k +3+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=a 4k +2+a 4k +1+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=3a4k+2+2a4k+1由假设a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4k+2+2a4k+1能被3整除．因此，当m=k+1时，a4(k+1)+1也能被3整除．由①、②可知，对一切自然数m∈N，数列{a n}中的第4m+1项都能被3整除．例5．n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？分析：设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证．当n=2时，由图(1)．两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=22．当n=3时，由图(2)．三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=32．由n=4时，由图(3)．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=42．由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f (n)=n2．用数学归纳法证明如下：①当n=2时，上面已证．②设n=k时，f (k)=k2，那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧．∴ f (k+1)=k2+k+(k+1)=k2+2k+1=(k+1)2∴满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧．由①、②可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧．说明：这里要注意；增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f (4)=f (3)+3+4中发现规律：f (k+1)=f (k)+k+(k+1)．N的4K+1次方-N为何是10的倍数？先证明n^5-n一定是10 的倍数再用数学归纳法证明n^(4k+1)-n也是10的倍数n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)显然n,n-1中必有一个数是偶数所以n^5-1是2的倍数下面分情况讨论n=5t 5t+1 5t+2 5t+3 5t+4 都能得到n^5-n 是5的倍数而(2,5)互质所以n^5-n是10 的倍数所以当k=1时成立假设当k=r时成立即n^(4r+1)-n=10s则当k=r+1 时n^(4r+4+1)-n=(n^4r+1-n)*n^4+(n^5-n)=n^4*10s+n^5-n由于n^5-n是10的倍数所以当k=r+1时也成立证明:2的n次方大于2n+1,n是大于3的整数n=3时，2^3=8>2*3+1,2的n次方大于2n+1成立设n≤k,k>3时成立则：2^(k+1)=2*2^k>2*(2k+1)=4k+2>2k+8>2(k+1)+1n=k+1时成立所以，2的n次方大于2n+1,n是大于2的整数证明：当且仅当指数n不能被4整除时，1n＋2n＋3n＋4n能被5整除证明设A=1^n＋2^n＋3^n＋4^n，当n=4k(k为整数)时，1^n、3^n的个位数均为1，2^n、4^n的个位均为6，1+1+6+6=14，A的个位为4，显然A不能被5整除当n≠4k时，⑴若n=4k+1，易知A的个位=（1+2+3+4）的个位=0，∴A能被5整除⑵当n=4k+2时，A的个位=（1+4+9+16）的个位=0，∴A能被5整除⑶当n=4k+3时，A的个位=（1+8+27+64）的个位=0，∴A能被5整除综上所述，当且仅当指数n不能被4整除时，A能被5整除，也即当且仅当指数n不能被4整除时，1^n＋2^n＋3^n＋4^n能被5整除。

数学归纳法经典例题及答案

数学归纳法（2016.4.21）之杨若古兰创作一、用数学归纳法证实与正整数有关命题的步调是：（1）证实当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论准确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论准确，证实1n k =+时结论也准确．综合（1）、（2），……留意：数学归纳法使用要点：两步调,一结论.二、题型归纳：例1．用数学归纳法证实：证实：①n=1时，右边31311=⨯=，右侧31121=+=，右边=右侧，等式成立．②假设n=k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ．当n=k+1时．这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切天然数n 等式成立．例2．证实不等式n n 2131211<++++ (n∈N)．证实：①当n=1时，右边=1，右侧=2．右边<右侧，不等式成立．②假设n=k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ．那么当n=k+1时，这就是说，当n=k+1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意天然数n 都成立．说明：这里要留意，当n=k+1时，要证的目标是 1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证实：12112+<++k k k ．认识了这个目标，因而就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．例3 (x ＋1)n ＝a0＋a1(x －1)＋a2(x －1)2＋a3(x －1)3＋…＋an(x －1)n(n≥2，n∈N*)．(1)当n ＝5时，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值．(2)设bn ＝a22n －3，Tn ＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法证实：当n≥2时，Tn ＝n(n ＋1)(n －1)3. 解：(1)当n ＝5时，原等式变成(x ＋1)5＝a0＋a1(x －1)＋a2(x －1)2＋a3(x －1)3＋a4(x －1)4＋a5(x －1)5令x ＝2得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243.(2)由于(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a2＝Cn2·2n－2bn ＝a22n －3＝2Cn2＝n(n －1)(n≥2) ①当n ＝2时．右边＝T2＝b2＝2，右侧＝2(2＋1)(2－1)3＝2，右边＝右侧，等式成立． ②假设当n ＝k(k≥2，k∈N*)时，等式成立，即Tk ＝k(k ＋1)(k －1)3成立那么，当n ＝k ＋1时，右边＝Tk ＋bk ＋1＝k(k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k(k ＋1)(k －1)3＋k(k ＋1) ＝k(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k －13＋1＝k(k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右侧．故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n≥2时，Tn ＝n(n ＋1)(n －1)3.。

数学归纳法经典例题及答案

数学归纳法（2016.4.21）之吉白夕凡创作一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步调是：（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确,证明1n k =+时结论也正确．综合（1）、（2）,……注意：数学归纳法使用要点：两步调,一结论. 二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：证明：①n=1时,左边31311=⨯=,右边31121=+=,左边=右边,等式成立．②假设n=k 时,等式成立,即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ．当n=k+1时．这就说明,当n=k+1时,等式亦成立,由①、②可知,对一切自然数n 等式成立．题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 2131211<++++ (n∈N)．证明：①当n=1时,左边=1,右边=2．左边<右边,不等式成立．②假设n=k 时,不等式成立,即k k 2131211<++++．那么当n=k+1时,这就是说,当n=k+1时,不等式成立．由①、②可知,原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意,当n=k+1时,要证的目标是1211131211+<++++++k k k ,当代入归纳假设后,就是要证明：12112+<++k k k ．认识了这个目标,于是就可朝这个目标证下去,并进行有关的变形,达到这个目标．题型3.证明数列问题例3 (x ＋1)n ＝a0＋a1(x －1)＋a2(x －1)2＋a3(x －1)3＋…＋an(x －1)n(n≥2,n∈N*)．(1)当n ＝5时,求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值．(2)设bn ＝a22n －3,Tn ＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法证明：当n≥2时,Tn ＝n(n ＋1)(n －1)3. 解：(1)当n ＝5时,原等式变成(x ＋1)5＝a0＋a1(x －1)＋a2(x －1)2＋a3(x －1)3＋a4(x －1)4＋a5(x －1)5令x ＝2得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n,所以a2＝Cn2·2n－2bn ＝a22n －3＝2Cn2＝n(n －1)(n≥2) ①当n ＝2时．左边＝T2＝b2＝2,右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2,左边＝右边,等式成立． ②假设当n ＝k(k≥2,k∈N*)时,等式成立,即Tk ＝k(k ＋1)(k －1)3成立那么,当n ＝k ＋1时,左边＝Tk ＋bk ＋1＝k(k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k(k ＋1)(k －1)3＋k(k ＋1) ＝k(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫k －13＋1＝k(k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边．故当n ＝k ＋1时,等式成立．综上①②,当n≥2时,Tn ＝n(n ＋1)(n －1)3.。

数学归纳法典型例题分析

(完整版)数学归纳法经典例题详解

第6章 数列与数学归纳法(6.4-6.8)

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数学归纳法及应用举例

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第6章数列与数学归纳法(6.4-6.8)