利用三角代换法求函数的值域
高一数学解题技巧1——巧求函数值域
高一数学解题技巧1——巧求函数值域
亲爱的高一同学们，你们现在应该都进入函数的学习了吧？相信大家现在都有同感——“高中数学真难呀！”而函数是高中数学的重要基本概念之一，它与代数式、方程、不等式等都有着密切联系，应用十分广泛。所以要学好高中数学，必须很好地掌握函数这章的内容。
首先我们先来复习初中所学过的几种函数的定义域和值域
下面就介绍几种求函数值域的常见方法：
这只是求函数值域常用的一些方法，随着知识的不断积累，还有比如不等式法、三角代换法、导数法等。有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷。同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法。
求函数值域的方法汇编
简析求函数值域的方法
求函数的值域没有通性解法，只能依据函数解析式的结构特征来确定相应的解法。
一、配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如])()([2c x bf x f a y --=的函数的值域问题，均可使用配方法。
例．求函数562---=x x y 的值域
[解析]：配方法
由562---=x x y 44)3(2≤---=x
]4,(-∞∈∴y
练习：(1)求函数]22[2，，-∈+-=x x x y 的值域。
(2)求函数]23
1[27，，∈-=x x x y 的值域。 二、换元法：利用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如)0,,,(≠-±-=a d c b a d cx b ax y 均为常数且
。 例1：求函数x x y 41332-+-=的值域。
解析：令t x =-413，0≥t ，则4
132
t x -=， 44)1(2
1272122≤+--=++-=∴t t t y ，当且仅当时取等号，1=t 故 所求函数的值域为 ]4(，
-∞∈y 。 例2：求函数21x x y -+=的值域
解：（三角代换法） 11≤≤-x ∴设[]πθθ,0cos ∈=x [][]
2,12,1)4sin(2sin cos sin cos -∴-∈+=+=+=原函数的值域为πθθθθθy
小结：（1）若题目中含有1≤a ，则可设
)0,cos (22,sin πθθπ
θπ
θ≤≤=≤≤-=a a 或设 （2）若题目中含有122=+b a
则可设θθsin ,cos ==b a ，其中πθ20<≤
求函数值域的几种常用方法
的最值 ． 得 一３ ＋４ ｙ＝０ ，显然 函数的定义域为
令￡ （ ） ＝０得 ｌ ＝ ４ ， ２ ＝３ ６ ，
解 ：由 ｙ
Ｒ．
又因为 （ ０ ） ＝ 一 ３ ０ ０ ，Ｌ （ ４ ） ＝一 ３ ６ ９ ，Ｌ （ ３ ６ ） ＝９ ９ ６ ，且 当 ４＜
ｊ
因此工厂生 产 ３ ６单位产品时有最大利润 ９ ９ ６元． 总之 ，只要掌握 了求 函数值 域 的常用方 法 ，求 函数 的值域
一
例
某产 品生产 单位时的总成本 函数为 ｃ （ ） ＝３ ０ ０＋
５ ｚ ＋１ ７ ０ ｘ ．每单位产品的价格是 １ ３ ４元 ，求使 利润 最大时的
因 为 ｅ ［ ｏ ， 仃 ］ ， 所 以 ｝≤ ０ ＋ ｝≤ 孚，
所 以 一 １ ≤ ｃ 。 ｓ 孚） ≤ 丁 Ｖ ２ － ，
例 ２ 求函数 Ｙ ＝ 一、 ／ Ｔ ＝ ｒ的最大值和最小值．
解 ：利用 三角代换 ，
即 （ ｝） ＝ ．
答案为 Ｄ ．
九 、 导 函 数 法
因为 Ｉ ｌ ≤１ ，所以设 ＝ Ｃ Ｏ Ｓ ０ ， ０ Ｅ［ ０ ， 盯 ］ ，
则Ｙ ＝ ｃ ｏ ｓ ０ 一 ｓ ｉ ｎ ０ ＝ ｃ ｏ ｓ （ ＋ ） ，
利用 函数所表示 的几何 意义 ，借助 几何方法 或图像求 函数 的最 值 ．
函数的值域怎么求
函数的值域怎么求
其没有固定的方法和模式。但常用方法有:
(1)直接法:从变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围;
(2)配方法:配方法是求“二次函数类”值域的基本方法,形如f(x)=af^(x)+bf(x)+c的函数的值域问题,均可使用配方法
(3)反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过反函数的定义域,得到原函数的值域。形如y=cx+d/ax+b(a≠0)的函数均可使用反函数法。此外,这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解。
(4)换元法:运用代数或三角代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域。形如y=ax+b±根号cx+d(a、b、c、d均为常数,且a≠0)的函数常用此法求解。举些例子吧!
(1)y=4-根号3+2x-x^
此题就得用配方法:由3+2x-x^≥0,得-1≤x≤3.
∵y=4-根号-1(x-1)^+4,∴当x=1时,ymin=4-2=2.
当x=-1或3时,ymax=4.
∴函数值域为[2,4]
(2)y=2x+根号1-2x
此题用换元法:
令t=根号1-2x(t≥0),则x=1-t^/2
∵y=-t^+t+1=-(t-1/2)^+5/4,
∵当t=1/2即x=3/8时,ymax=5/4,无最小值.
∴函数值域为(-∞,5/4)
(3)y=1-x/2x+5
用分离常数法
∵y=-1/2+7/2/2x+5,
7/2/2x+5≠0,
∴y≠-1/2
值域的表示方法
值域的表示方法
值域，数学名词，在函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。如：f(x)=x，那么f(x)的取值范围就是函数f(x)的值域。在实数分析中，函数的值域是实数，而在复数域中，值域是复数。
常见函数值域：
y=kx+b （k≠0）的值域为R
y=k/x 的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)
y=√x的值域为y≥0
y=ax^2+bx+c 当a>0时，值域为 [4ac-b^2/4a,+∞) ；
当a<0时，值域为（-∞，4ac-b^2/4a]
y=a^x 的值域为 (0,+∞)
y=lgx的值域为R
图像法
根据函数图象，观察最高点和最低点的纵坐标。
配方法
利用二次函数的配方法求值域，需注意自变量的取值范围。
单调性法
利用二次函数的顶点式或对称轴，再根据单调性来求值域。
反函数法
若函数存在反函数，可以通过求其反函数，确定其定义域就是原函数的值域。
换元法
包含代数换元、三角换元两种方法，换元后要特别注意新变量的范围。
判别式法
判别式法即利用二次函数的判别式求值域。
复合函数法
设复合函数为f[g(x)，]g(x) 为内层函数, 为了求出f的值域，先求出g(x)的值域, 然后把g(x) 看成一个整体，相当于f(x)的自变量x，所以g(x)的值域也就是f[g(x)]的定义域，然后根据 f(x)函数的性质求出其值域。
三角代换法
利用基本的三角关系式，进行简化求值。例如：a的平方+b的平方=1，c的平方+d的平方=1，求证：ac+bd小于或等于1. 直接计算麻烦用三角代换法比较简单：做法：设a=sin x ,b=cos x ,c=sin y , d=cos y,则 ac+bd= sin x*sin y + cos x * cos y =cos (y-x),因为我们知道cos (y-x)小于等于1，所以不等式成立。
求函数值域(最值)的方法大全
求函数值域（最值）的方法大全
函数是中学数学的一个重点,而函数值域(最值)的求解方法更是一个常考点, 对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，因此能熟练掌握其值域(最值)求法就显得十分的重要，求解过程中若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文旨在通过对典型例题的讲解来归纳函数值域(最值)的求法，希望对大家有所帮助。
一、值域的概念和常见函数的值域
函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域：
一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.
二次函数()2
0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
，当0a <时的
值域为24,4ac b a ⎛⎤
--∞ ⎥⎝⎦.，
反比例函数()0k
y k x
=
≠的值域为{}0y R y ∈≠. 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.
正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 二、求函数值域（最值）的常用方法 1. 直接观察法
适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域(最值)的简单函数
例1、求函数y =
2
1
1x +的值域 解： 221
11,011
x x +≥∴<≤+ 显然函数的值域是：(]0,1
例2、求函数y =2－x 的值域。
浅谈求函数值域的几种常用方法
浅谈求函数值域的几种常用方法
在函数的三要素中，对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用．本文就函数值域求法归纳如下.
一、观察法
通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1：求函数y= 的值域。
解：由算术平方根的性质知≥0，故≥3。
∴函数的值域为y≥3.
小结：本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
二、反函数法
利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。形如的函数的值域，均可使用反函数法。此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解。
例2：求函数的值域
解法一：（反函数法）
解法二：（分离常数法）由，可得值域
小结：已知分式函数，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。
三、配方法
配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如的函数的值域问题，均可使用配方法。
例3、求函数的值域
解：由
四、换元法
利用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域，形如的函数均可使用换元法。
例4、求函数的值域
解：（换元法）设，则
五、判别式法
把函数转化成关于x的二次方程，通过方程有实根，判别式，从而求得原函数的值域，形如均可用判别式法.
积分的三角代换法
积分的三角代换法
在高中数学中，积分是一个重要的概念。在积分的学习中，经常会遇到比较复杂的函数，这时就需要运用一些技巧，如三角代换法。三角代换法是一种通过三角函数来代换变量的技巧，使得被积函数化为更加简单的形式，从而更容易求解积分。
一、什么是三角代换法
三角代换法是指通过三角函数来替换变量进行积分。三角代换法可以将被积函数中的需要用到三角函数的变量用三角函数表示出来，将原本复杂的被积函数转化为三角函数的组合形式。
例如，当我们遇到以下形式的积分时：
看到分母中根号内含有x^2,a^2这类项，此时即可使用三角代换法。假设将x表示成a*sin t，则x^2=a^2*sin^2t，从而得到：
代入原式，得到：
这样简化后的形式就可以使用代换法进一步求解积分。
二、如何进行三角代换法
1、确定代换式
当遇到需要用到三角代换法的积分时，首先需要根据被积函数中的变量的形式来确定代换式，通常选择满足以下条件的代换：
1）分母中含有平方根的项。
2）被积函数中含有a^2-x^2 这类项，
3）被积函数中含有x^2+a^2这类项，但同时还含有平方根的项。
确定代换式后，需要考虑如何将原函数中的变量用代换式表示出来。
2、确定三角函数的形式
一般情况下，我们要将被积函数中的变量表示成三角函数的形式，而三角函数一般有sinx,cosx,tanx等形式，因此需要根据代换式中的变量形式选择出最为适合的三角函数。通常情况下，我们选择最为常见的sinθ,cosθ。
例如，假设代换式为x=a*sinθ,则要将变量x表示成为sinθ的形式，可以利用三角函数的基本公式sin^2θ+cos^2θ=1推导出cosθ，从而得到：
高三数学下册《函数值域》知识点讲解
高三数学下册《函数值域》知识点讲解
高三数学下册《函数值域》知识点讲解
(1)配方法:
若函数为一元二次函数，则可以用这种方法求值域，关键在于正确化成完全平方式。
(2)换元法：
常用代数或三角代换法，把所给函数代换成值域容易确定的另一函数，从而得到原函数值域，如y=ax+b+_cx-d(a,b,c,d均为常数且ac不等于0)的函数常用此法求解。
(3)判别式法：
若函数为分式结构，且分母中含有未知数x，则常用此法。通常去掉分母转化为一元二次方程，再由判别式△0，确定y的范围，即原函数的值域
(4)不等式法：
借助于重要不等式a+bab(a0)求函数的值域。用不等式法求值域时，要注意均值不等式的'使用条件一正，二定，三相等。
(5)反函数法：
若原函数的值域不易直接求解，则可以考虑其反函数的定义域，根据互为反函数的两个函数定义域与值域互换的特点，确定原函数的值域，如y=cx+d/ax+b(a0)型函数的值域，可采用反函数法，也可用分离常数法。
(6)单调性法：
首先确定函数的定义域，然后在根据其单调性求函数值域，常用到函数y=x+p/x(p0)的单调性：增区间为(-,-p)的左开右闭区间和(p,+)的左闭右开区间，减区间为(-p,0)和(0,p)
(7)数形结合法：
分析函数解析式表达的集合意义，根据其图像特点确定值域。
练习题：
1．函数y＝x＋1x的定义域为________．
解析：利用解不等式组的方法求解．
要使函数有意义，需x＋1≥0，x≠0，解得x≥－1，x≠0.
∴原函数的定义域为{x|x≥－1且x≠0}．
答案：{x|x≥－1且x≠0}
换元法求函数值域
换 元 法 求 函 数 值 域
某些函数可以利用代数或三角代换将其化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的 值域，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。形如
y ax b . cx d （a 、b 、c 、 d 均为常数，且0）,可以令t 二Jex d （t 0）,则有t 2 cx d
值域就是原函数的值域，值得一提的是要注意参数 t 的取值范围。换元法是数学方法中几种 最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥着重要的作用。
例1、求函数y 3x ,1 3x 的值域。
1 t 2
…x
3
••• t 0 .•.当
t 0
时，即x -时，y 取得最小值y min =5，无最大值。
2
•函数y 4x 1 ,2x 3的值域为［5，+^）0
t 2 d a c
b t ;从而就把原函数化成了关于 t 的二次函数，求出这个函数
分析：函数y 3x - 1 3x 形如y 此，可以考虑用换元法。 ax b . cx d (a 、
b 、
c 、
d 均为常数，且a ^0），因
解：令 t J 3x(t
0)，则 t 2 1
3x
•原函数可化为y .••其函数图像如图 •当 t 1
时，
2
y 取得最大值
y
max
3 上 t = t 2
3
1所示 丄时
4
5，无最小值。 4
1= (t
•••函数y 3x 、、1 3x 的值域为（-x ， 5] 例2、求函数y 4x 1
. 2x 3的值域。
2- ,，/ 戶d-i 心亞砧M
\ 1 /
! a-
*7 \
解：［换元法］令t t 2
3 .2x 3 (t 0)，则 x -
3
2
•原函数可化为y 4— 1 t 店 t 5 2(t
求函数值域的几种常见方法详解
求函数值域的几种常见方法
1．直接法：利用常见函数的值域来求。
一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=k x
k y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，
当a>0时，值域为{a b ac y y 44|2-≥}；当a<0时，值域为{a
b a
c y y 44|2-≤}. 例1．求下列函数的值域
① y=3x+2 (-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1
+=
x x y 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3，
∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5]
②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f 即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2}
③1111111+-=+-+=+=
x x x x x y ∵01
1≠+x ∴1≠y 即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法）（思考：如何使用口算法？）
2．二次函数在给定区间上的值域(最值)。
例2． 求下列函数的最大值、最小值与值域：
①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ；
③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；
解：①∵抛物线的开口向上，对称轴2x =，函数的定义域R ，
∴x=2时，y min =-3 ,
∴函数的值域是{y|y ≥-3 }.
求分式函数值域的几种方法
求分式函数值域的几种方法
摘要：在高中数学教学、乃至高中毕业会考题和高考中，经常遇到求分式函数值域的问
题.关于分式函数的值域的求法，是高中数学教学中的一个难点.通过对分式函数的研究总结了求其值域的常见几种方法：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等.
关键词：分式函数 值域 方法.
1 引言
求分式函数值域是函数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且是解决函数最值问题的一个重要工具．关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，归纳起来，常用的方法有：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等.本文就中学阶段出现的各种类型的分式函数值域问题运用以上初等方法进行分析．
2 求分式函数值域的常见方法 2.1 用配方法求分式函数的值域
如果分式函数变形后可以转化为2
122
a
y b a x b x c =+++的形式则我们可以将它的分母配方，用直接法求得函数的值域.
例1 求2
1
231
y x x =-+的值域. 解：2
131248y x =
⎛
⎫--
⎪⎝
⎭，
因为2
31248x ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭≥18-，
所以函数的值域为：(],8-∞-∪()0,+∞.
例2 求函数221
x x
y x x -=-+的值域.
解：2
1
11
y x x -=
+-+， 因为2
2112x x x ⎛
⎫-+=- ⎪⎝⎭34+≥34，
所以34-
≤21
01
x x -<-+， 故函数的值域为1,13⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
.
先配方后再用直接法求值域的时候，要注意自变量的取值范围.取“=”的条件.
巧用三角代换求值域
巧用三角代换求值域
三角代换是一种数学方法，用于将一个复杂的数学表达式转化为更简单的形式。它通常用于求解三角函数，因为三角函数的运算比较简单，而且可以通过三角代换将复杂的数学表达式转化为纯三角函数的形式。
域是指一个数学函数定义的范围，也就是函数的输入值的集合。例如，对于函数y=x^2，它的域就是实数集合，因为这个函数的输入值可以是任意实数。如果要求出三角代换的域，则需要考虑三角函数的域。
对于三角函数sin(x)，它的域是实数集合，因为它的输入值可以是任意实数。但是，对于另一个三角函数cot(x)，它的域就不是实数集合了，因为当x=0 时，cot(x) 无意义。所以，cot(x) 的域就是实数集合除去{0}，也就是{x | x∈R, x≠0}。
通常情况下，三角函数的域是实数集合，但是有一些特殊情况，域就不是实数集合了。例如，对于函数y=arctan(x)，它的域是{x | x∈R}，因为arctan(x) 的输入值可以是任意实数。但是，对于函数y=arcsin(x)，它的域就不是实数集合了，因为arcsin(x) 的输入值必须在区间[-1,1] 内。也就是说，arcsin(x) 的域是{x | x∈R, -1≤x≤1}。
另外，还有一些三角函数是有周期性的，这意味着它们的值在一个周期内重复出现。例如，对于函数y=sin(x)，它的周期是2π，也就是说，当x 从0 开始增加2π 后，sin(x) 的值会重复出现。所以，在求解三角代换的域时，还需要考虑周期性。
总的来说，要求出三角代换的域，需要考虑三角函数的域、周期性以及其他特殊情况。可以根据题目具体情况来分析，以确定三角代换的域。
高中数学-函数值域的求法及应用
高中数学-函数值域的求法及应用
高考要求
函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一本文主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题
1.重难点归纳
(1)求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域
(2)函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目
此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强
(3)运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力
2.值域的概念和常见函数的值域
函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.
常见基本函数的值域：
一次函数的值域为R.
二次函数，当时的值域为
，当时的值域为.，
反比例函数
的值域为.
指数函数的值域为.
对数函数
的值域为R.
正，余弦函数的值域为，正，余切函数的值域为R.
3.求函数值域（最值）的常用方法
3.1.基本函数法
对于基本函数的值域可通过它的图像性质直接求解.
3.2配方法
对于形如或
类的函数的值域问题，均可用配方法求解.
例1：求函数的值域：
3.3换元法
利用代数或三角换元，将所给函数转换成易求值域的函数：
（1）形如的
函数，令；
（2）形如
的函数，令；
（3）形如含的结构的函数，可利用三角代换，令，或
巧用三角代换 妙求函数值域
、想方法2020年第10期
中学数学教学参考（下旬）巧用三角代换妙求函数值域
王威（安徽省天长中学）
摘要：无理函数一般由几个初等函数复合而成，解题时需要先变形，再转化求解。本文针对双根号一次型无理函数、单根号简单型无理函数、双根号二次型无理函数、双根号复杂型无理函数四种类型，研究利用 三角函数代换求无理函数值域的策略，以提高学生解决无理函数值域的能力。
关键词：三角函数；无理函数；值域
文章编号：1002-2171(2020) 10-0037-02
无理函数通常是指根号下含有自变量的函数，一
般是由几个初等函数复合而成，如/(■!•)=
3 ^/^T是由二次函数、一次函数和幂函数复合而成。在初等函数中，这类函数比较复杂，尤其是其值 域问题一直是难点。学生只有认真分析无理函数表达式的特征，并与其他知识进行链接，才可以找到合 理的解决方法。实际上，求无理函数的值域问题时，最关键的步骤是去根号，化无理函数为有理函数或其 他类型的函数来求解。对于有些无理函数，我们则可 以灵活应用三角代换的方法，把无理函数的值域问题 转化为三角函数的值域问题来求解。下面笔者结合 例题予以阐释。
1双根号一次型无理函数
这类无理函数的特征是未知数分别含在两个根号下，且两个根号下的函数是一次项系数互为相反数 的一次函数，具有将这两个根式同时平方并相加就可 消去未知数的特征。这类无理函数适合利用三角代换法求值域。
例1求函数710—j r—2#的 值域。
分析：题目中含有两个一次函数的根式，符合同 时平方并相加可消去未知数的特征。
解：因为 y/x—l^-0 , \/l〇—且（1)2+ (V l〇_Jr)2==9,所以可令 \A r—1=3cos Q,V^IO-x=
函数值域之换元法
综合理论
课程教育研究
292 学法教法研究
换元法是数学中一个非常重要且应用十分广泛的解题方
法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。换元法又称辅助元素法、变量代换法。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
然而换元法在高考求值域问题中也是相当重要的。一、一般换元法【例1】求函数的值域. 解：令，则
且
，
函数的值域为【变式.重要公式： 有着本质的联系！
【例2】(2005福建)已知实数满足
，求
.
● 反思: 角的范围为什么这么取？【变式1】 求函数的最大值.
答案：
.
【例4】(2009辽宁竞赛) 函数
解：
，令
所以答案是
.三、双换元【例5】求函数的值域.
解：方法1：平方 当
时，
；当或1时，.
函数的值域为. 方法2：双换元 令
，则
，其中
，则
解函数值域之换元法
谢金辉
（福建省晋江市内坑中学 福建 晋江 362200）
【中图分类号】G633.6
【文献标识码】A
【文章编号】2095-3089（2018） 11-0292-02
综合理论
课程教育研究
学法教法研究 293
五、结论换元
当待解题目的条件较繁而结论形式简单时，可考虑改变常规的习惯，逆向思考，结论换元，化未知为已知，获得简单方法。
【例8】已知
，且，求的取值范围. 解：设，令，
六、小结
通过结论换元为用三角代换创造了条件，而且整体代入已知等式，转化为三角问题，十分巧妙，值得一学.【变式1】实数