高中数学椭圆的简单几何性质教案
高中数学椭圆的性质教案
高中数学椭圆的性质教案
教学目标：
1. 理解椭圆的基本概念
2. 掌握椭圆的标准方程
3. 熟练运用椭圆的性质进行问题解答
教学重点：
1. 椭圆的定义及数学性质
2. 椭圆的标准方程
3. 椭圆的焦点、长短轴、离心率等性质
教学难点：
1. 椭圆的属性与其他几何图形的比较
2. 椭圆的运用问题解决
教学过程：
一、导入（5分钟）
通过提问引导学生回顾圆的性质，并引入椭圆的概念，让学生猜测椭圆与圆的异同点。
二、讲解（15分钟）
1. 讲解椭圆的定义及性质，介绍椭圆的标准方程及主要属性。
2. 通过示意图讲解椭圆的焦点、长短轴、离心率等概念。
三、练习（20分钟）
1. 完成课堂练习，巩固椭圆的基本算法。
2. 组织学生进行小组讨论，解决椭圆相关问题。
四、拓展（10分钟）
探讨椭圆在实际生活中的应用，如卫星轨道、天文测量等。
五、作业布置（5分钟）
布置课后作业，要求学生继续复习椭圆相关知识，并尝试解决相关问题。
教学反思：
在教学过程中，要注重引导学生思考，让他们通过实际问题解决来理解椭圆的性质和应用。
同时，要注重椭圆与其他几何图形的比较，帮助学生更好地理解椭圆的特点。
椭圆的简单几何性质 精品教案
椭圆的简单几何性质第五课时（一）教学目标理解直线与椭圆的位置关系，能判定直线与椭圆的位置关系，会求直线截椭圆所得的弦长，处理与弦长、弦的中点有关的问题．（二）教学过程 【情境设置】问题一：直线与圆的位置关系有几种？（相交、相切、相离），那么直线与椭圆的位置关系有几种？（仍是相交、相切、相离）问题二：如何判断直线与圆的位置关系？又怎样判定直线与椭圆的位置关系呢？（直线与圆位置关系有两种判定方法：一是根据圆心到直线的距离与圆的半径比较当r d <时相交，当r d =时相切，当r d >时相离，另一种判别方法是直线与圆联立方程组，转化为一元二次方程根的判别式来解决，当0>∆时，直线与圆相离直线与椭圆的位置关系应用一元二次方程根的判别式来解决．）【探索研究】1．练习：已知直线和椭圆的方程如下，求它们的交点坐标并说明位置关系．（1）025103=-+y x ，142522=+y x （2）023=+-y x ，141622=+y x 答案：（1）⎪⎭⎫⎝⎛583， 相切 （2）()20，，⎪⎭⎫⎝⎛--37703748，，相交． 2．例题分析例1 中心在原点，一个焦点为()5001，F 的椭圆截直线23-=x y 所得弦的中点横坐标为21，求椭圆的方程． 由于学生接触类似的问题不多，可教师讲解．解：设所求的椭圆方程为12222=+by a x ，()0>>b a由()5001，F 得5022=-b a ① 把直线方程23-=x y 代入椭圆方程，整理得()()0412*******=-+-+a b x b x b a设弦的两个端点为()11y x A ，，()22y x B ，，则由根与系数关系得22221912b a b x x +=+．又AB 中点的横坐标为21． ∴2196222221=+=+b a b x x ．得223b a = ② 解①，②得752=a ，252=b ．故所求椭圆的方程为1257522=+x y ． 例 2 过椭圆141622=+y x 内一点()12，M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程．分析：本例与例1有相似之征，可让一位学生板演，再提问学生是否有不同的解法，然后教师归纳出以下三种解法：解法一：设所求直线的方程为()21-=-x k y ，代入椭圆方程并整理，得()()()0161242142222=--+--+k x k k x k．设直线与椭圆的交点为()11y x A ，、()22y x B ，，则2x ，2y 是上述方程的两根，于是()14282222+-=+k kk y x ． 又M 为AB 的中点∴()2142422221=+-=+k kk x x ． 解得21-=k ．故所求直线的方程为042=-+y x ．解法二：设直线与椭圆的交点为()11y x A ，、()22y x B ，．∵()12，M 为AB 的中点 ∴421=+x x ，221=+y y ． 又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642222=+y x两式相减得()()0422212221=-++y y x x于是()()()()0421212121=-++-+y y y y x x x x ．∴()()21244421212121-=⨯-=-+-=--y y x x x x y y即21-=AB k 故所求直线的方程为042=-+y x ．解法三 设所求直线与椭圆的一个交点为()y x A ，，由于中点为()12，M ，则另一个交点为()y x B --24，．∵A 、B 两点都在椭圆上． ∴16422=+y x ． ①()()1624422=-+-y x ②①－②得042=-+y x ．由于过A 、B 的直线只有一条，故所求直线的方程为042=-+y x ．例3 椭圆122=+ny mx ，与直线1=+y x 相交于A 、B 两点，C 是AB 的中点．若22=AB ，斜率为22（O 为原点），试确定椭圆的方程．（如图） 分析：注意利用弦长公式2121x x k AB -+=，因为计算比较复杂，可由教师讲解． 解法一：由方程组⎩⎨⎧=+=+1122y x ny mx 得()0122=-+-+n nx x n m 设()11y x A ，、()22y x B ，、()00y x C ，，则n m n x x +=+221 nm n x x +-=121 ()nm nn m n x x y y +=+-=+-=+22222121．∴n m n x x x +=+=2210，n m ny y y +=+=2210 由题设得22=n m ① 又()2122121422x x x x x x AB -+=-=()n m n n m n +--⎪⎭⎫⎝⎛+=142222222=+-+⋅=nm mnn m ②解①、②得31=m ，32=n ．∴椭圆方程为132322=+y x ．解法二：由22=OC k 得OC 的方程为x y 22=， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=122y x x y 解得()1222--，C ． 又由⎩⎨⎧=+=+1122ny mx y x 得()()0122=-+-+n nx x n m ．所以22221-=+=+nm nx x 即m n 2= ①． 又因为()[]()22112212=--+=x x AB 得()12=+-+n m mnn m ②， 由①、②求出31=m ，32=n 故所求椭圆方程为1323122=+y x ．解法三：由⎪⎩⎪⎨⎧=+=122y x x y 得()1222--，C ．因为1-=AB k ，所以直线的l 的倾斜角为135°． 又知C 是AB 的中点，22=AB ，所以2==BC AC ．即()221，-A 同理求出点()2223--，B ． 将A 、B 坐标代入椭圆方程122=+ny mx ，得()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-1222312212222n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3231n m ．所以所求椭圆方程为1323122=+y x ． 点拨：椭圆的两种形式的标准方程可统一写成()b a b a by ax ≠>>=+，，00122，强以避免对焦点位置的讨论，且使运算过程简化，而弦中点问题常使用韦达定理来解决．（三）随堂练习1．如果椭圆193622=+y x 的弦被点()24，平分，那么这条弦所在的直线的方程是（ ） A ．02=-y x B ．042=-+y x C ．01232=-+y x D ．082=-+y x2．已知直线m x y l +=2：，椭圆1422=+y x C ：（1）当m 为何值时，l 与C 有两个不同的交点？没有交点？ （2）当m 为何值时，直线l 被椭圆C 所截的弦长为1720？ 答案：1．D 2．（1）1717<<-m ，17>m 或17-<m （2）32±m （四）总结提炼1．直线与椭圆的位置关系，一般是通过方程组转化为一元二次方程，运用一元二次方程的知识（如求根、判别式、根与系数关系）求得．2．要注意二次曲线与二次方程，二次函数三个二次之间的关系． （五）布置作业1．过点()02，-M 的直线l 与椭圆1222=+y x 交于1P 、2P 两点，线段1P 2P 的中点为P ，设直线l 的斜率为()011≠k k ，直线OP 的斜率为2k ，则21k k 的值等于（ ）A ．2B ．－2C ．21 D ．21- 2．直线1+=kx y 与椭圆1522=+my x 恒有公共点，则m 的取值范围是（ ） A ．()10， B ．()50， C ．[)()∞+，，551 D ．()∞+，13．已知椭圆C 的方程为()0116222>=+m m y x ，如果直线x y 22=与椭圆的一个交点P 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为（ ）A ．2B ．22C ．32D ．84．求与椭圆14922=+y x 相交于A 、B 两点，并且线段AB 的中点为()11，M 的直线方程．5．已知椭圆204522y x +的焦点分别是1F 、2F ，过中心O 作直线与椭圆相交于A 、B 两点，若要使2ABF ∆的面积是20，求该直线方程．答案：1．D 2．C 3．B4．设A 、B 的坐标分别为()11y x ，，()22y x ， ∵点A 、B 都在椭圆上∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+②149①14922222121y x y x①－②得()()04921212121=-++++y y y y x x x x ∵AB 的中点为()11，M ∴221=+x x ，221=+y y∴942121-=--x x y y ，即直线AB 的斜率为94-．∴所求直线方程为()1194+--=x y 即01394=-+y x 5．易求得()052，F ，设直线AB 方程为my x =，代入椭圆方程得：()900452022=+y my 即()0900452022=-+y m∴452060221+=-m y y ．∴45201502122122+=-⋅=∆m y y OF S ABF ． 由2045201502=+m 得43±=m ，∴直线AB 的方程为y x 43±=即034=±y x ． （六）板书设计。
椭圆的简单几何性质教学教案
椭圆的简单几何性质教学教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握椭圆的定义，理解椭圆的基本几何性质，如焦点、半长轴、半短轴等概念；2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，让学生发现并证明椭圆的几何性质；3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学内容1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为定值的点的轨迹。
2. 椭圆的基本几何性质：a. 焦点：椭圆的焦点距离为2c，其中c为半焦距，c^2=a^2-b^2；b. 半长轴：椭圆的半长轴为a，表示椭圆的长轴的一半；c. 半短轴：椭圆的半短轴为b，表示椭圆的短轴的一半；d. 椭圆的面积：S=πab。
三、教学重点与难点1. 教学重点：椭圆的定义及其基本几何性质；2. 教学难点：椭圆的焦点、半长轴、半短轴等概念的理解与应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法发现椭圆的几何性质；2. 利用数形结合法，让学生直观地理解椭圆的定义及其几何性质；3. 运用实例讲解法，让学生掌握椭圆在实际问题中的应用。
五、教学过程1. 导入新课：通过介绍椭圆的起源和发展，激发学生的学习兴趣；2. 讲解椭圆的定义：结合图形，解释椭圆的定义，让学生理解椭圆的概念；3. 探索椭圆的基本几何性质：引导学生观察椭圆的图形，发现焦点、半长轴、半短轴等性质；4. 证明椭圆的几何性质：引导学生运用数学方法证明椭圆的基本几何性质；5. 应用实例：让学生运用椭圆的性质解决实际问题，巩固所学知识。
本教案为椭圆的简单几何性质教学教案的第一部分，后续章节将陆续呈现。
希望能对您的教学有所帮助！六、教学练习1. 基本概念练习：a. 定义椭圆的焦点；b. 解释椭圆的半长轴和半短轴；c. 计算椭圆的面积。
2. 应用题练习：a. 已知椭圆的半长轴为5cm，半短轴为3cm，求椭圆的焦点距离；b. 已知椭圆的面积为36πcm²，半长轴为6cm，求椭圆的半短轴；c. 一个椭圆的焦点在x轴上，半长轴为4cm，半短轴为3cm，求椭圆的标准方程。
高中数学 2-1 2.2.2椭圆的简单几何性质 教案
2.2.2椭圆的简单几何性质（一）教学目标1。
知识与技能：(1）通过对椭圆图形的研究，让学生熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）以及离心率的大小对椭圆形状的影响，进一步加强数形结合的思想。
(2）熟练掌握椭圆的几何性质,会用椭圆的几何性质解决相应的问题2.过程与方法：通过讲解椭圆的相关性质，理解并会用椭圆的相关性质解决问题。
3.情感、态度与价值观：(1) 学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题;（2）培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力. （二）教学重点与难点重点：椭圆的几何性质,数形结合思想的贯彻,运用曲线方程研究几何性质难点:数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质。
(三）教学过程活动一：创设情景、引入课题（5分钟)问题1：前面两节课，说一说所学习过的内容?1、椭圆的定义？ 2、 两种不同椭圆方程的对比?问题2：观察椭圆12222=+b y a x (a 〉b>0）的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊?点题：今天我们学习“椭圆的简单几何性质"活动二:师生交流、进入新知，（20分钟）1．范围：-a x a ≤≤,b y b -≤≤由标准方程知，椭圆上点的坐标(,)x y 满足不等式22221,1x y a b≤≤， ∴22x a ≤,22y b ≤，∴||x a ≤，||y b ≤，∴-a x a ≤≤,b y b -≤≤ 说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里.2．对称性：椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。
在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时,点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称.若同时以x -代替x ,y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称.所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。
教案2：椭圆的简单几何性质(2课时)
椭圆的简单几何性质（一）教学目标：知识与技能：掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握c b a ,,几何意义以及c b a ,,的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。
过程与方法：利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力。
情感、态度与价值观：通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质。
重点难点：重点：从知识上来讲，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法。
难点：椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质。
教学过程（一）复习与引入过程：引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④探究椭圆的扁平程度量----椭圆的离心率．〖板书〗椭圆的简单几何性质．（二）新课探析（1）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质．（2）椭圆的简单几何性质：①范围：由椭圆的标准方程可得，222210y x b a=-≥，进一步得：a x a -≤≤，同理可得：b y b -≤≤，即椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框图里；②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；④离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ac e =叫做椭圆的离心率（10<<e ），⎩⎨⎧→→→椭圆图形越扁时当01a ，，b ，c e ；⎩⎨⎧→→→椭圆越接近于圆时当a ，b ，c e 00 ．（3）例题讲解与引申、扩展例1、 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．扩展：已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为e =m 的值． 解法剖析：依题意，0,5m m >≠，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有a b c ====得3m =；②当焦点在y 轴上，即5m >时，有a b c ===253m =⇒=． 例2、如图，设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l ：254x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹方程．分析：若设点(),M x y ，则MF =l ：254x =的距离254d x =-，则容易得点M 的轨迹方程． 引申：（用《几何画板》探究）若点(),M x y 与定点(),0F c 的距离和它到定直线l ：2a x c=的距离比是常数c e a =()0a c >>，则点M 的轨迹方程是椭圆．其中定点(),0F c 是焦点，定直线l ：2a x c=相应于F 的准线；由椭圆的对称性，另一焦点(),0F c '-，相应于F '的准线l '：2a x c=-． （三）课堂练习：（四）反思小结：（1）利用方程研究椭圆的几何性质时，若椭圆的方程不是标准方程，首先应将方程化为标准方程，然后找出相应的c b a ,,。
人教版高中数学选修一3.1.2 椭圆的简单几何性质(二)教案
3.1.2椭圆的简单几何性质（2）本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习椭圆的简单几何性质教材的地位和作用地位：本节课是在椭圆的概念和标准方程的基础上，运用代数的方法，研究椭圆的简单几何性质及简单应用 . 本节课内容的掌握程度直接影响学习双曲线和抛物线几何性质。
作用：提高学生的数学素质,培养学生的数形结合思想，及分析问题和解决问题的能力。
因此，内容在解析几何中占有非常重要的地位。
重点：椭圆的方程及其性质的应用 难点：直线与椭圆的位置关系多媒体典例解析例7. 已知直线l：y＝2x＋时，直线l与椭圆C：法二：由已知可设2F B n =，则两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴ 所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．5．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．35 [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6. ∴弦长|MN |＝1＋k 2 |x 1－x 2|＝54[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝544＋24＝35.]6．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点的坐标．[解] (1)将(0,4)代入C 的方程，得16b 2＝1，∴b ＝4.由e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，通过椭圆几何性质的应用，培养学生数学建模能力，并介绍椭圆的定义二定义，体会圆锥曲线的统一性。
椭圆的简单几何性质 精品教案
椭圆的简单几何性质【教学目标】1．了解椭圆的参数方程，了解参数方程中系数b a ,的含义。
2．通过学习椭圆的参数方程，进一步完善对椭圆的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系。
并能相互转化。
提高综合运用能力。
【教学重难点】教学重点：进一步巩固和掌握由曲线求方程及由方程研究曲线的方法及椭圆参数方程的推导。
教学难点：深入理解推导方程的过程。
灵活运用方程求解问题。
【课时安排】1课时【教学过程】一、复习引入1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹。
2．标准方程：2222 1 x y a b +=，2222 1 y x a b += （0>>b a ）3．椭圆的性质：由椭圆方程2222 1 x y a b+=(0>>b a )（1）范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-，椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中。
（2）对称性：图像关于y 轴对称。
图像关于x 轴对称。
图像关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心。
x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴。
从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。
（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。
椭圆共有四个顶点：)0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点。
21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴。
长分别为b a 2,2，b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。
椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。
（4）离心率： c e a =⇒e =，10<<e 。
椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例。
,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例。
椭圆的简单几何性质教案
椭圆的简单几何性质教案教案标题：椭圆的简单几何性质教学目标：1. 理解椭圆的定义和特点。
2. 掌握椭圆的几何性质，如长轴、短轴、焦点、离心率等。
3. 能够应用椭圆的性质解决相关几何问题。
教学重点：1. 椭圆的定义和性质。
2. 椭圆的几何性质的应用。
教学准备：1. 教材：提供相关椭圆的定义和性质的教材。
2. 工具：黑板、彩色粉笔、直尺、圆规等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入椭圆的概念，通过问题启发学生思考：什么是椭圆？它有什么特点和性质？2. 学生回答后，教师简要介绍椭圆的定义和特点。
二、椭圆的定义和性质（15分钟）1. 教师在黑板上绘制一个椭圆，并解释椭圆的定义：平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
2. 教师解释椭圆的几何性质：a. 长轴：通过两个焦点且垂直于短轴的直线段。
b. 短轴：通过两个焦点且垂直于长轴的直线段。
c. 焦点：椭圆上到两个焦点的距离之和等于常数。
d. 离心率：离心率是一个衡量椭圆形状的参数，定义为焦点到椭圆中心的距离与长轴的比值。
三、椭圆的简单几何性质应用（20分钟）1. 教师通过例题演示椭圆的性质应用：a. 例题1：已知椭圆的长轴长度为10cm，短轴长度为6cm，求其焦点坐标。
b. 例题2：已知椭圆的长轴长度为12cm，离心率为0.8，求其焦点距离。
2. 学生进行个别或小组练习，解决类似的椭圆性质应用问题。
3. 学生上台展示解题思路和答案，并进行讨论。
四、总结与拓展（10分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，强调椭圆的定义和几何性质。
2. 教师提供一些拓展问题，让学生进一步思考和探索椭圆的性质。
五、课堂作业（5分钟）布置课后作业：完成教材上的相关练习题，并提醒学生复习本节课的内容。
教学反思：在教学过程中，教师应该注重激发学生的兴趣，通过问题启发和实例演示帮助学生理解椭圆的定义和性质。
在巩固阶段，教师可以设计一些拓展问题，激发学生思考和探索椭圆的更多性质。
椭圆的简单几何性质(第2课时)高中数学获奖教案
3.1.2椭圆的简单几何性质（第二课时）(人教A版选择性必修数学第一册第三章圆锥曲线的方程)一、教学目标1.掌握椭圆的第二定义；2.能够自主探究椭圆的简单几何性质.二、教学重难点1.推导椭圆的第二定义和焦半径公式；2.研究椭圆几何性质的思路与方法.三、教学过程1.复习巩固活动：完成下表【活动预设】由学生完成上表【设计意图】带领学生复习上节课学习的椭圆的简单几何性质. 2.课堂探究 2.1 探究1活动：已知椭圆E:x 216+y 212=1，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点，O 为坐标原点.探究：当P 在何位置时，|OP|最小？P 又在何位置时，|OP|最大？【活动预设】由学生自主完成问题1：如果椭圆方程变为一般方程：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，结论又会如何呢？ 【预设的答案】当P 在短轴顶点时，|OP|min =b ；当P 在长轴顶点时，|OP|max =a . 【设计意图】渗透从特殊到一般的思想 2.2 探究2活动：已知椭圆E:x 216+y 212=1，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，|PF 1|最小？P 又在何位置时，|PF 1|最大？【活动预设】由学生自主完成问题2：上述|PF 1|=12|x 0+8|，|x 0+8|有什么几何意义？【预设的答案】代表P(x 0,y 0)到直线x =−8的距离 【设计意图】渗透数形结合的思想问题3：也就是说|PF 1|=12|PM|，椭圆上任意一点P(x 0,y 0)，它到左焦点的距离和它到直线x =−8的距离之比为常数12，那么对于一般的椭圆是否有类似的性质呢？我们考虑下面的一般情况：已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，|PF 1|最小？P 又在何位置时，|PF 1|最大？【预设的答案】设P(x 0,y 0)，则PF 12=(x 0+c)2+y 02 因为y 02=b 2(1−x 02a 2) 所以PF 12=(x 0+c)2+b 2(1−x 02a 2)=(a 2−b 2)x 02a2+2cx 0+b 2+c 2=c 2a 2 x 02+2cx 0+a 2=c 2a 2(x 0+a 2c )2即|PF 1|=ca |x 0+a 2c |设直线l 1:x =−a 2c ，P 到直线l 1的距离为PM ，则|PF 1|=ca |PM|，|PF 1||PM|=ca =e 【设计意图】渗透从特殊到一般的思想. 2.3 概念形成椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点，P(x 0,y 0)为椭圆E 上一动点.左准线l 1:x =−a 2c ，右准线l 2:x =a 2c 椭圆第二定义：P 到左焦点的距离|PF 1|与它到左准线l 1:x =−a 2c 的距离|PM 1|的比为离心率e ，即|PF 1||PM 1|=e =ca ； P 到右焦点的距离|PF 2|与它到右准线l 2:x =a 2c 的距离|PM 2|的比为离心率e ，即|PF 2||PM 2|=e =ca .焦半径公式：|PF 1|=c a (a 2c +x 0)= a +ex 0，|PF 2|=c a (a 2c −x 0)= a−ex 0|PF 1|min =a−c ， |PF 1|max =a +c .3.课堂巩固例：动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M 到定直线l:x =254的距离的比是常数45，求动点M 的轨迹.(x−4)2+y 2|x−254|=45所以25[(x−4)2+y 2]=16(x−254)2化简得：9x 2+25y 2=225 所以x 225+y 29=1【设计意图】引出椭圆第二定义拓展：动点M 到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比是一个常数，动点M 的轨迹是否也是椭圆呢？【设计意图】留给学生课后自主研究 4.课后探究探究1：已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，∠F 1PF 2最大？P 又在何位置时，∠F 1PF 2最小？探究2：已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，A 1、A 2分别为椭圆E 的左、右顶点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，∠A 1PA 2最大？P 又在何位置时，∠A 1PA 2最小？【设计意图】鼓励学生利用课余时间自主探究 5.课堂小结思考：这节课我们主要学习了什么内容？体现了哪些数学思想方法？【设计意图】梳理本节课所学内容，总结数学思想方法.。
高中数学1-1 2.1.2椭圆的简单的几何性质 教案
2。
1。
2 椭圆的简单几何性质一、教学目标：1.知识与技能目标:(1）掌握椭圆的简单几何性质。
初步学习利用方程研究曲线几何性质的方法。
（2)掌握方程中a、b、c的几何意义及三者之间的关系.2．过程与方法目标：(1)能够运用椭圆的简单几何性质解决实际问题。
（2)培养学生观察分析，类比猜想，逻辑推理的思维能力及用数形结合思想解决问题的能力。
3。
情感态度价值观目标：通过自主探究、合作交流激发学习兴趣和探索问题的勇气,培养良好的思维品质.二、教学重点。
难点重点：掌握椭圆的范围、对称性、顶点的概念、离心率及其应用难点：椭圆几何性质的形成过程。
三、学情分析学生已熟悉和掌握椭圆的定义及其标准方程，有亲历体验发现和探究的兴趣；具有一定的动手操作、归纳猜想和逻辑推理的能力；有分组讨论、合作交流的习惯。
在教师的指导下能够主动与同学探究、发现归纳数学知识.四、教学过程新课引入引例：2010年10月1日下午十八时,随着一声巨响，我国研制的嫦娥二号载人飞船，从西昌卫星发射中心顺利升空，不久，飞船进入了以近地点200公里，远地点347公里的椭圆轨道围绕地球运行，举世瞩目，万众欢腾.请问你能利用所学的知识求出椭圆轨道的方程吗?你想知道椭圆有哪些重要的几何性质吗？今天这一节课我们就来探讨这些问题设计意图:通过同学们熟悉的例子,引入新课，激发学生的爱国热情和好奇心，激起他们强烈的求知欲，从而引入课题。
五、自主学习1．椭圆的简单几何性质位置图形标准方程错误!＋错误!＝1 （a〉b〉0)y2a2＋错误!＝1 (a〉b>0）范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2（0,b）A1（0，－a）,A2（0，a），B1(－b，0),B2（b，0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点（±错误!，0)(0,±a2－b2)焦距|F1F2｜＝2错误!对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：原点离心率e＝错误!∈（0，1）椭圆的离心率越接近1,则椭圆越扁;椭圆离心率越接近0,则椭圆越接近于圆．六、合作探究 探究一观察椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的形状，你能从图形上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 1 、范围 ：（1)从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是_________________.椭圆上点的纵坐标的范围是.____________________.（2）由椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x 知① 22a x ____1，即____≤≤x ____； ②22by ____ 1；即____≤≤y ___。
(完整word版)高中数学《椭圆的简单几何性质》教案
高中数学教课设计第 8 章圆锥曲线方程（第 4 课时）课题：8． 2 椭圆的简单几何性质（一）教课目标：1．娴熟掌握椭圆的范围，对称性，极点等简单几何性质2．掌握标准方程中a,b, c 的几何意义，以及a, b, c,e 的互相关系3．理解、掌握坐标法中依据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法教课要点：椭圆的几何性质教课难点：如何贯彻数形联合思想，运用曲线方程研究几何性质讲课种类：新讲课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪内容剖析：依据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是分析几何的基本问题之一，依据曲线的条件列出方程，假如说是分析几何的手段，那么依据曲线的方程研究它的性质、绘图就是分析几何的目的如何用代数的方法来研究曲线原性质呢？本节内容为系统地依据方程来研究曲线的几何性质供给了一个典范，所以，本节内容在分析几何中据有特别重要的地位经过本节的学习，使学生掌握应从哪些方面来议论一般曲线的几何性质，进而对曲线的方程和方程的曲线相互之间的相辅相成的辩证关系，对分析几何的基本思想有更深的认识经过对椭圆几种画法的学习，能深入对椭圆定义的认识，提升绘图能力；经过几何性质的简单的应用，认识到如何应用几何性质去解决实质问题，提升学生用数学知识解决实质问题的能力本节内容的要点是椭圆的几何性质――范围、对称性、极点、离心率、准线方程；依据方程研究曲线的几何性质的思路与方法；椭圆的几种画法。
难点是椭圆的离心率、准线方程及椭圆的第二定义的理解，要点是掌握椭圆的标准方程与椭圆图形的对应关系，理解关掌握两种椭圆的定义的等价性依据教课纲领的安排，本节内容分 4 个课时进行教课，本节内容的课时分配作以下设计：第一课时，椭圆的范围、对称性、极点坐标、离心率、椭圆的画法；第二课时，椭圆的第二定义、椭圆的准线方程；第三课时，焦半径公式与椭圆的标准方程；第四课时，椭圆的参数方程及应用教课过程：一、复习引入：1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2．标准方程：x2y 21，y2x2 1 （a b 0 ）a 2 b 2a2b23．问题：（1）椭圆曲线的几何意义是什么？（2）“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的地点的范围，椭圆的标准方程中的 x, y 取值范围是什么？其图形地点是如何的？（3）标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是如何的？（4）椭圆的极点是如何的点？椭圆的长轴与短轴是如何定义的？长轴长、短轴长各是多少？a, b, c 的几何意义各是什么？（5）椭圆的离心率是如何定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？（6）画椭圆草图的方法是如何的？二、解说新课：x2y 2yP′B2P由椭圆方程2b 2 1(a b 0)研a究椭圆的性质 .(利用方程研究 ,说明结论与F F2 A2x由图形察看一致 )A1O1(1) 范围 :x2y 21 ,即有Q B P″从标准方程得出 1 ,1a2b2a x a ,b y b ，可知椭圆落在 x a, yb 构成的矩形中．(2) 对称性 :x 方程不变，图象对于y轴对称．y换成y 方程把方程中的 x 换成不变，图象对于x 轴对称．把x, y同时换成x, y 方程也不变，图象对于原点对称．假如曲线拥有对于x 轴对称，对于y 轴对称和对于原点对称中的随意两种，则它必定拥有第三种对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心． x 轴、y轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接能够看出它的范围，对称的截距（ 3）极点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的极点在椭圆x2y 21的方程里，令 y0 得x a ，所以椭圆和x 轴有两a2b2个交点 A ( a,0),A2 (a,0)x2y 21 的极点，它们是椭圆2b2a令 x0，得y b ，所以椭圆和y轴有两个交 B (0,b), B (0,b) ，2它们也是椭圆x2y 21的极点所以椭圆共有四个极点：a 2b 2A( a,0), A2 (a,0) ， B (0, b), B2 (0,b)加两焦点 F1 ( c,0), F2 (c,0) 共有六个特别点.A1 A2叫椭圆的长轴， B1B2叫椭圆的短轴．长分别为2a,2ba, b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的极点即为椭圆与对称轴的交点 .至此我们从椭圆的方程中直接能够看出它的范围 , 对称性 , 极点．因此只要少许描点就能够较正确的作图了．(4)离心率 :发现长轴相等，短轴不一样，扁圆程度不一样这类扁平性质由什么来决定呢？观点：椭圆焦距与长轴长之比定义式： e c e1( b )2a a范围： 0e1观察椭圆形状与 e 的关系：ye0, c0 ，椭圆变圆，直至成为极限地点B2e0 时的特例圆，此时也可以为圆为椭圆在e1,c a, 椭圆变扁，直至成为极限地点线A1O A2x 段 F1 F2，此时也可以为圆为椭圆在 e 1时的特例B1三、解说典范：例 1 求椭圆16 x225 y2400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和极点的坐标，并用描点法画出它的图形．解：把已知方程化成标准方程x2y2 51242所以， a 5,b 4, c5242 3 ，所以，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为 2a10,2b8 ，离心率e c3F1 ( 3,0), F2 (3,0)a，两个焦点分别为，椭圆的四个极点是5A (5,0), A2 (5,0) ，B (0,4), B2 (0,4)将已知方程变形为y 425x2，依据 y425x 2，在550x 5 的范围内算出几个点的坐标( x, y) ：x012345 y4 3.9 3.7 3.2 2.40先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆：y4-5O5x-4例 2 在同一坐标系中画出以下椭圆的简图：（1） x2y 21（2） x2y 212516259答：简图以下：y43-5O5x-3-4例 3 分别在两个坐标系中，画出以下椭圆的简图：（1） x2y21（2） x2y 21944936答：简图以下：yy 62-3O3x -7O7x-2-6四、讲堂练习：1．已知椭圆的一个焦点将长轴分为 3 : 2 两段，求其离心率解：由题意， ( a c) : (a c) = 3 :2, 即1e3, 解得e 5 2 6 1e2x2y21,(a b0 )内接正方形ABCD的面积2．如图，求椭圆ba 22解由椭圆和正方形的中心对称性知，正方形 BFOEy 的面积是所求正方形面积的1/4,且 B 点横纵坐标相等，故设B（t,t ), 代入椭圆方程求得t 2a2 b22,AB2B a2b EF2 2A O A2x 即正方形 ABCD面积为4a b1a 2b 2D B1C五、小结：这节课学习了用方程议论曲线几何性质的思想方法；学习了椭圆的几何性质：对称性、极点、范围、离心率；学习了椭圆的描点法绘图及徒手画椭圆草图的方法六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。
高中数学《椭圆的简单几何性质》教案
高中数学《椭圆的简单几何性质》教案本节课程主要讲解椭圆的几何性质，包括范围、对称性、顶点、离心率、准线方程等内容。
通过研究，学生能够掌握标准方程中a、b、c的几何意义，以及它们之间的相互关系。
同时，学生也能够掌握根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法。
在课程设计上，本节内容分为四个课时进行教学。
第一课时主要讲解椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离心率和椭圆的画法；第二课时主要讲解椭圆的第二定义和准线方程；第三课时主要讲解焦半径公式与椭圆的标准方程；第四课时主要讲解椭圆的参数方程及其应用。
在教学过程中，我们首先进行了复引入，回顾了椭圆的定义和标准方程。
接着，我们介绍了本节课程的主要内容和研究目标。
通过研究椭圆的几何性质，学生能够更深刻地理解解析几何的基本思想，并提高自己的数学能力。
本节课程的难点在于椭圆的离心率、准线方程以及第二定义的理解。
为了帮助学生掌握这些难点，我们着重讲解了椭圆的标准方程与椭圆图形的对应关系，以及两种椭圆定义的等价性。
总之，本节课程的重点在于讲解椭圆的几何性质和根据曲线方程研究曲线的方法，帮助学生更好地理解解析几何的基本思想，并提高他们的数学能力。
椭圆的离心率是一个衡量椭圆扁平程度的参数，用e表示，定义为焦距之差与长轴长度的比值，即e=c/a。
其中c是椭圆的两个焦点之间的距离，a是椭圆的长半轴长。
离心率的范围是0<e<1，当e=0时，椭圆退化成为一个圆；当e接近于1时，椭圆的扁平程度越来越大，形状越接近于一个线段。
离心率越大，椭圆的形状越扁平，离心率越小，椭圆的形状越接近于一个圆形。
5)画椭圆草图的方法：首先确定椭圆的中心和长短轴长度，然后画出对称轴和顶点，再根据离心率确定焦点位置，最后用曲线连接各特殊点，即可得到椭圆的草图。
也可以根据方程的范围和对称性来描点，然后用曲线连接点。
本节课主要研究了讨论曲线几何性质的思想方法和椭圆的几何性质。
其中，我们了解到椭圆具有对称性、顶点、范围和离心率等特点。
高中数学 2.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质教案 选修1-1
2.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义，明确其相互关系．2．过程与方法能够画出椭圆的图形，会利用椭圆的几何性质解决相关的简单问题．3．情感、态度与价值观从离心率大小变化对椭圆形状的影响，体现数形结合，体会数学的对称美、和谐美．●重点、难点重点：由标准方程分析出椭圆几何性质．难点：椭圆离心率几何意义的导入和理解．对重难点的处理：为了突出重点，突破难点，应做好①让学生自主探索新知，②重难点之处进行反复分析，③及时巩固(教师用书独具)●教学建议根据教学内容并结合学生所具备的逻辑思维能力，为了体现学生的主体地位，遵循学生的认知规律，宜采用这样的教学方法：启发式讲解，互动式讨论，研究式探索，反馈式评价．●教学流程创设问题情境，引出问题：椭圆有哪些简单几何性质？⇒引导学生结合椭圆的图形，观察、比较、分析，导出焦点在x轴上的椭圆的简单几何性质.⇒引导学生类比导出焦点在y轴上椭圆的简单几何性质.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握已知椭圆方程求几何性质的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握由椭圆的几何性质求其标准方程的方法.⇒探究离心率对椭圆形状的影响及求解方法，完成例3及其变式训练，从而解决如何求离心率问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第22页)课标解读1.掌握椭圆的简单几何性质及应用．(难点)2．掌握椭圆离心率的求法及a ，b ，c 的几何意义．(难点)3．理解长轴长、短轴长、焦距与长半轴长、短半轴长、半焦距的概念．(易混点)椭圆的简单几何性质已知两椭圆C 1、C 2的标准方程：C 1：x 225＋y 216＝1，C 2：y 225＋x 216＝1.1．椭圆C 1的焦点在哪个坐标轴上，a 、b 、c 分别是多少？椭圆C 2呢？ 【提示】 C 1：焦点在x 轴上，a ＝5，b ＝4，c ＝3，C 2：焦点在y 轴上，a ＝5，b ＝4，c ＝3.2．怎样求C 1、C 2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？【提示】 对于方程C 1：令x ＝0，得y ＝±4，即椭圆与y 轴的交点为(0,4)与(0，－4)；令y ＝0得x ＝±5，即椭圆与x 轴的交点为(5,0)与(－5,0)．同理得C 2与y 轴的交点(0,5)，(0，－5)，与x 轴的交点(4,0)(－4,0). 焦点的 位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴长 短轴长＝2b ，长轴长＝2a焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距 |F 1F 2|＝2c对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)离心率e ＝ca椭圆的离心率观察不同的椭圆，其扁平程度各不一样，如何刻画椭圆的扁平程度呢？ 【提示】 利用椭圆的离心率． 1．定义椭圆的焦距与长轴长的比e ＝c a，叫做椭圆的离心率． 2．性质离心率e 的范围是(0,1)．当e 越接近于1，椭圆越扁，当e 越接近于0，椭圆就越接近于圆．(对应学生用书第23页)由椭圆方程研究几何性质已知椭圆16x 2＋9y 2＝1，求椭圆的顶点坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长、焦距和离心率．【思路探究】 (1)所给椭圆方程是标准形式吗？(2)怎样由椭圆的标准方程求得a 、b 、c 的值进而写出其几何性质中的基本量？【自主解答】 将椭圆方程化为x 2116＋y 219＝1，则a 2＝19，b 2＝116，椭圆焦点在y 轴上，c2＝a 2－b 2＝19－116＝7144，所以顶点坐标为(0，±13)，(±14，0)，焦点坐标为(0，±712)，长轴长为23，短轴长为12，焦距为76，离心率为74.1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准a 与b ，正确利用a 2＝b 2＋c 2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长，焦距不是a ，b ，c ，而应是a ，b ，c 的两倍．本例中，若把椭圆方程改为“25x 2＋16y 2＝400”，试求其长轴长、短轴长、离心率、焦点与顶点坐标．【解】 将方程变形为y 225＋x 216＝1，得a ＝5，b ＝4，所以c ＝3.故椭圆的长轴长和短轴长分别为2a ＝10和2b ＝8，离心率e ＝c a ＝35，焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，顶点坐标为A 1(0，－5)，A 2(0,5)，B 1(－4,0)，B 2(4,0).由椭圆的几何性质求其标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)过(3,0)点，离心率e ＝63. 【思路探究】 (1)椭圆的焦点位置确定了吗？(2)你将怎样求得a 2、b 2并写出标准方程？【自主解答】 (1)由题意知2a ＝4b ，∴a ＝2b .设椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b2＝1，代入点(2，－6)得，4a 2＋36b 2＝1或36a 2＋4b2＝1，将a ＝2b 代入得，a 2＝148，b 2＝37或a 2＝52，b 2＝13， 故所求的椭圆标准方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 213＝1. (2)当椭圆焦点在x 轴上时，有a ＝3，c a ＝63， ∴c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3， ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1； 当椭圆焦点在y 轴上时，b ＝3，c a ＝63， ∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27，∴椭圆的标准方程为x 29＋y 227＝1.故所求椭圆标准方程为x 29＋y 227＝1或x 29＋y 23＝1.求标准方程的常用方法是待定系数法，基本思路是“先定位、再定量”． 1．定位即确定椭圆焦点的位置，若不能确定，应分类讨论．2．定量即通过已知条件构建关系式，用解方程(组)的方法求a 2、b 2.其中a 2＝b 2＋c 2，e ＝c a是重要关系式，应牢记．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是6，离心率是23；(2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 【解】 (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由已知得2a ＝6，a ＝3.e ＝c a ＝23，∴c ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴ 椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．如图所示，△B 1FB 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|B 1B 2|＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18， 故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.求椭圆的离心率(1)已知椭圆的焦距与短轴长相等，求其离心率．(2)若一个椭圆长轴长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率． 【思路探究】 (1)由焦距与短轴长相等，你能得出a 、b 、c 的关系吗？可以用离心率公式求离心率吗？(2)由题意得2b ＝a ＋c ，如何使用这一关系式求e? 【自主解答】 (1)由题意得：b ＝c ，∴e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝c 22c 2＝12.∴e ＝22. (2)∵椭圆的长轴长度、短轴长度与焦距成等差数列， ∴2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2.又∵a 2＝b 2＋c 2，∴4(a 2－c 2)＝a 2＋2ac ＋c 2， 即3a 2－2ac －5c 2＝0， ∴(a ＋c )(3a －5c )＝0.∵a ＋c ≠0，∴3a －5c ＝0，∴3a ＝5c ，∴e ＝c a ＝35.求椭圆离心率的常用方法：1．直接法：求出a 、c 后用公式e ＝ca求解；或求出a 、b 后，用公式e ＝1－b 2a2求解． 2．转化法：将条件转化为关于a 、b 、c 的关系式，用b 2＝a 2－c 2消去b ，构造关于c a的方程来求解．(1)求椭圆x 216＋y 28＝1的离心率．(2)已知椭圆的两个焦点F 1、F 2，点A 为椭圆上一点，且AF 1→·AF 2→＝0，∠AF 2F 1＝60°，求椭圆的离心率．【解】 (1)e ＝1－b 2a2＝1－816＝12＝22. (2)设F 1F 2＝2c ，由题意知，△AF 1F 2中，∠A ＝90°，∠AF 2F 1＝60°，∴|AF 1|＝3c ，|AF 2|＝c .∵|AF 1|＋|AF 2|＝3c ＋c ＝2a ， 即(3＋1)c ＝2a ，∴e ＝ca＝23＋1＝3－1.(对应学生用书第25页)混淆长轴长与长半轴长、短轴长与短半轴长的概念致误 求椭圆25x 2＋y 2＝25的长轴长和短轴长．【错解】 将方程化为标准方程得：x 2＋y 225＝1，∴a ＝5，b ＝1，∴长轴长是5，短轴长是1.【错因分析】 错解中将长半轴长、短半轴长与长轴长、短轴长混淆了，从而导致错误． 【防范措施】 根据定义，长轴长为2a ，短轴长为2b ，往往与长半轴长a 、短半轴长b 混淆，解题时要特别注意．【正解】 将已知方程化成标准方程为x 2＋y 225＝1.∴a ＝5，b ＝1，∴2a ＝10,2b ＝2. 故长轴长为10，短轴长为2.1．通过椭圆方程可讨论椭圆的简单几何性质；反之，由椭圆的性质也可以通过待定系数法求椭圆的方程．2．椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，离心率可以从关于a 、b 、c 的一个方程求得，也可以用公式求得．(对应学生用书第25页)1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴的顶点坐标是( ) A ．(－1,0)、(1,0) B ．(－6,0)、(6,0)C ．(－6，0)、(6，0)D ．(0，－6)、(0，6)【解析】 椭圆的标准方程为x 2＋y 26＝1，焦点在y 轴上，其长轴的端点坐标为(0，±6)．【答案】 D2．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( ) A.32 B.34 C.22 D.23【解析】 椭圆方程可化为x 2＋y 214＝1，∴a 2＝1，b 2＝14，∴c 2＝34，∴e 2＝c 2a 2＝34，∴e ＝32. 【答案】 A3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A. 3B.32C.83D.23【解析】 ∵椭圆焦点在x 轴上， ∴0＜m ＜2，a ＝2，c ＝2－m ，e ＝c a ＝2－m 2＝12. 故2－m 2＝14，∴m ＝32.【答案】 B4．已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为45，一个焦点是(0,4)，求此椭圆的标准方程．【解】 由题意：c ＝4，e ＝45，∴a ＝5，∴b 2＝a 2－c 2＝9. 又椭圆的焦点在y 轴上，∴其标准方程为y 225＋x 29＝1.一、选择题1．(2013·济南高二检测)若椭圆的长轴长为10，焦距为6，则椭圆的标准方程为( ) A.x 2100＋y 236＝1 B.x 225＋y 216＝1 C.x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1 D.x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1 【解析】 由题意2a ＝10,2c ＝6，∴a ＝5，b 2＝16，且焦点位置不确定，故应选D. 【答案】 D2．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有( )A ．相同短轴B ．相同长轴C ．相同离心率D ．以上都不对【解析】 由于椭圆x 2a 2＋y 29＝1中，焦点的位置不确定，故无法确定两椭圆的长轴、短轴、离心率的关系．【答案】 D3．曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系是( )A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对【解析】 曲线x 225＋y 29＝1焦距为2c ＝8，而曲线x 29－k ＋y 225－k (10＜k ＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B.【答案】 B4．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.22 B.33C.12D.13【解析】 Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝60°，∴|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c3，∴|PF 1|＋|PF 2|＝6c3＝2a ，a ＝3c . ∴e ＝ca＝13＝33. 【答案】 B5．设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴，若把线段AB 分为100等份，过每个分点作AB 的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P 1，P 2，…，P 99，F 1为椭圆的左焦点，则|F 1A |＋|F 1P 1|＋|F 1P 2|＋…＋|F 1P 99|＋|F 1B |的值是( )A ．98aB ．99aC ．100aD ．101a【解析】 由椭圆的定义及其对称性可知，|F 1P 1|＋|F 1P 99|＝|F 1P 2|＋|F 1P 99|＝…＝|F 1F 49|＋|F 1P 51|＝|F 1A |＋|F 1B |＝2a ，F 1P 50＝a ，故结果应为50×2a ＋|F 1P 50|＝101a .【答案】 D 二、填空题6．(2013·兰州高二检测)若椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率为23，则k 的值为________． 【解析】 若焦点在x 轴上，则9k ＋8＝1－(23)2＝59，k ＝415；若焦点在y 轴上，则k ＋89＝59，∴k ＝－3. 【答案】415或－3 7．椭圆的一个顶点和两个焦点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为________． 【解析】 如图所示，△AF 1F 2为等腰直角三角形． ∴OA ＝OF 1，即c ＝b ， 又∵a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴c a ＝22. 【答案】228．一个顶点为(0,2)，离心率e ＝12，坐标轴为对称轴的椭圆方程为________．【解析】 (1)当椭圆焦点在x 轴上时，由已知得b ＝2，e ＝c a ＝12，∴a 2＝163，b 2＝4，∴方程为3x 216＋y 24＝1.(2)当椭圆焦点在y 轴上时，由已知得a ＝2，e ＝c a ＝12，∴a 2＝4，b 2＝3，∴方程为y 24＋x 23＝1.【答案】 3x 216＋y 24＝1或y 24＋x23＝1三、解答题9．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．【解】 (1)∵c ＝9－4＝5，∴所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)．设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵e ＝c a ＝55，c ＝5，∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝20. ∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 220＝1.(2)因椭圆的焦点在x 轴上，设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵2c ＝8，∴c ＝4， 又a ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝20. ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.10．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，求该椭圆的离心率．【解】 如图，不妨设椭圆的焦点在x 轴上， ∵AB ⊥F 1F 2，且△ABF 2为正三角形， ∴在Rt △AF 1F 2中，∠AF 2F 1＝30°. 令|AF 1|＝x ，则|AF 2|＝2x .∴|F 1F 2|＝|AF 2|2－|AF 1|2＝3x ＝2c . 由椭圆定义，可知|AF 1|＋|AF 2|＝2a .∴e ＝2c 2a ＝3x 3x ＝33.图2－1－211．如图2－1－2所示，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝22，一曲线E 过点C ，动点P 在曲线E 上运动，且保持|PA |＋|PB |的值不变．(1)建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；(2)试判断该方程是否为椭圆方程，若是，请写出其长轴长、焦距、离心率．【解】 (1)以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点O 为原点建立直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)，由题设可得|PA |＋|PB |＝|CA |＋|CB |＝22＋22＋222＝2 2.由椭圆定义知动点P 的轨迹为椭圆．不妨设动点P 的轨迹方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则a ＝2，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝1， ∴曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)的求解过程知曲线E 的方程是椭圆方程，其长轴长为22，焦距为2，离心率为22. (教师用书独具)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在一点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，求该椭圆的离心率的取值范围．【解】 在△PF 1F 2中，由正弦定理得|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1，则结合已知，得a|PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1|＝c a |PF 2|.由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，则ca|PF 2|＋|PF 2|＝2a ，即|PF 2|＝2a 2c ＋a ，由椭圆的几何性质和已知条件知|PF 2|＜a ＋c ，则2a 2c ＋a ＜a ＋c ，即c 2＋2ac －a 2＞0，所以e 2＋2e －1＞0，解得e ＜－2－1或e ＞2－1.又e ∈(0,1)，故椭圆的离心率e ∈(2－1,1)．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆M 上任一点，且PF 1→·PF 2→的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是( )A ．[14，12]B ．[12，22]C ．(22，1) D ．[12，1)【解析】 设P (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )，PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－c 2.又x 2＋y 2可看作P (x ，y )到原点的距离的平方，所以(x 2＋y 2)max ＝a 2，所以(PF 1→·PF 2→)max ＝b 2，所以c 2≤b 2＝a 2－c 2≤3c 2，即14≤e 2≤12，∴12≤e ≤22. 【答案】 B。
高二数学教案：椭圆的简单几何性质
高二数学教课设计：椭圆的简单几何性质2.1.2 椭圆的简单几何性质教课目的：(1)经过对椭圆标准方程的议论，使学生掌握椭圆的几何性质，并正确地画出它的图形;领悟每一个几何性质的内涵，并学会运用它们解决一些简单问题。
(2)培育学生察看、剖析、抽象、归纳的逻辑思想能力;运用数形联合思想解决实质问题的能力。
教课要点：椭圆的简单几何性质及其研究过程。
教课难点：利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率是用来刻画椭的扁平程度的给出过程教课过程：一、复习引入：1.椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间的距离)的动点的轨迹2.标准方程：，( )二、新课解说：1.范围：由标准方程知，椭圆上点的坐标知足不等式，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里.2.对称性：在曲线方程里，若以取代方程不变，因此若点在曲线上时，点也在曲线上，因此曲线对于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线对于轴对称。
若同时以取代，代替方程也不变，则曲线对于原点对称.因此，椭圆对于轴、轴和原点对称 .这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.3.极点：确立曲线在座标系中的地点，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标 .在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。
同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点 . 因此，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的极点 .同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为;在中，，，，且，即.4.离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率.∵ ，，且越靠近，就越靠近，进而就越小，对应的椭圆越扁 ;反之，越靠近于，就越靠近于，进而越靠近于，这时椭圆越靠近于圆。
当且仅当时，，两焦点重合，图形变成圆，方程为.5.填写以下表格：方程图像a、 b、c焦点范围对称性椭圆对于 y 轴、 x 轴和原点都对称极点长、短轴长长轴 : A1A2 长轴长短轴： B1B2 短轴长离心率例 1. 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和极点的坐标.解：把已知方程化为标准方程，，，椭圆长轴和短轴长分别为和，离心率，焦点坐标，，极点，，，.例 2.过合适以下条件的椭圆的标准方程：(1)经过点、;(2)长轴长等于，离心率等于.解： (1)由题意，，，又∵长轴在轴上，因此，椭圆的标准方程为.(2)由已知，，因此，椭圆的标准方程为或 .照本宣科是一种传统的教课方式,在我国有悠长的历史。
3.1.3 椭圆的简单几何性质(教学设计)(水涛)-高中数学新教材选择性必修第一册小单元教学+专家指
3.1.3 椭圆的简单几何性质（教学设计）（水涛）-高中数学新教材选择性必修第一册小单元教学+专家指导（视频+教案）教学目标：1. 理解椭圆在平面直角坐标系中的定义；2. 掌握椭圆的标准方程与一般方程的相互转化；3. 理解椭圆的离心率与几何性质；4. 能够应用椭圆的几何性质解决初步问题。
教学重点：1. 理解椭圆的定义和性质；2. 掌握椭圆的标准方程和一般方程的相互转化。
教学难点：1. 掌握椭圆参数（长轴、短轴、离心率等）之间的关系；2. 理解椭圆的离心率对椭圆形状的影响。
教学方法：1. 讲授法：介绍椭圆定义、标准方程和一般方程的推导过程；2. 演示法：通过图示演示椭圆的参数关系，解决问题；3. 经验法：引导学生通过多次的实例反复演练，掌握椭圆的相关特性。
教学过程：Step 1 导入（5分钟）1. 引入椭圆的概念，询问学生对椭圆的认识；2. 介绍椭圆的历史背景和应用。
Step 2 讲解（35分钟）1. 推导椭圆的标准方程；2. 解释椭圆参数之间的关系；3. 推导椭圆的一般方程；4. 介绍椭圆的离心率与椭圆形状的关系。
Step 3 演示（20分钟）1. 在平面直角坐标系中演示椭圆的图形，让学生观察椭圆的特性；2. 基于图示解决椭圆相关问题；3. 演示离心率对椭圆形状的影响。
Step 4 练习（30分钟）1. 将学生分成小组，让小组内的学生互相讨论探究椭圆的各项特性；2. 布置练习题，让学生个人或团队完成。
Step 5 总结（10分钟）1. 总结本节课的重点和难点，询问学生对本节课的掌握情况；2. 强调椭圆相关特性，并指出椭圆在实际应用中的重要性。
教学资源：1. PowerPoint讲义；2. 图表等实物物品；3. 椭圆的模拟练习题。
教学评价：采用多元化的教学方法，重视学生实践操作能力的培养，通过多次的实际操作演练，可以提高学生对椭圆的理解和应用，发扬人民教师的创新精神，提高学生的学习兴趣。
如果有必要，可以邀请相关领域的专家来给予指导和点评，提高教育质量。
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课题：椭圆的简单几何性质
设计意图：本节内容是椭圆的简单几何性质，是在学习了椭圆的定义和标准方程之后展开的，它是继续学习双曲线、抛物线的几何性质的基础。
因此本节内容起到一个巩固旧知，熟练方法，拓展新知的承上启下的作用，是发展学生自主学习能力，培养创新能力的好素材。
本教案的设计遵循启发式的教学原则，以培养学生的数形结合的思想方法，培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力。
教学目标：了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义．培养学生的数形结合的思想方法。
教学重点：椭圆的简单几何性质的应用。
教学难点：椭圆的简单几何性质的应用。
二过程与方法目标
（1）复习与引入过程
引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．
〖板书〗椭圆的简单几何性质．
（2）新课讲授过程
（i）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．
提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？
通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质．
（ii）椭圆的简单几何性质
①范围：由椭圆的标准方程可得，
22
22
10
y x
b a
=-≥，进一步得：a x a
-≤≤，同理可
得：b y b -≤≤，即椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框图里；
②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；
③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；
④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比a
c e =叫做椭圆的离心率（10<<e ），⎩⎨⎧→→→椭圆图形越扁时当01a ，，b ，c e ；⎩⎨⎧→→→椭圆越接近于圆
时当a ，b ，c e 00 ． （iii ）例题讲解与引申、扩展
例1 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生
用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量．
扩展：已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为105
e =求m 的值．
解法剖析：依题意，0,5m m >≠，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有5,,5a b m c m ===-，∴52
55m
-=，得
3m =；②当焦点在y 轴上，即5m >时，有,5,5a m b c m ===-，∴5
102553
m m m -=⇒=． 例2 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ．已知12BC F F ⊥，1 2.8F B cm =，12 4.5F F cm =．建立适当的坐标系，求截口BAC 所在椭圆的方程．
解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为22
221x y a b
+=，算出,,a b c 的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于,,a b c 的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．
引申：如图所示， “神舟”截人飞船发射升空，进入预定
轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心2F 为一个焦点的椭
圆，近地点A 距地面200km ，远地点B 距地面350km ，已知
地球的半径6371R km =．建立适当的直角坐标系，求出椭圆
的轨迹方程．
例3如图，设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l ：254
x =的距离的比是常数45
，求点M 的轨迹方程． 分析：若设点(),M x y ，则()224MF x y =-+，到直线l ：254x =的距离254
d x =-，则容易得点M 的轨迹方程． 引申：（用《几何画板》探究）若点(),M x y 与定点()
,0F c 的距离和它到定直线l ：2
a x c
=的距离比是常数c e a
=()0a c >>，则点M 的轨迹方程是椭圆．其中定点(),0F c 是焦点，定直线l ：2a x c =相应于F 的准线；由椭圆的对称性，另一焦点(),0F c '-，相应于F '的准线l '：2
a x c
=-． (3)小结
1．知识总结：椭圆的几何性质
2．思想方法总结：
教师根据学生的总结做适当补充、归纳、点评。