平面及表示法-P

合集下载

工程制图 (5)

4.平面的迹线表示法
从前述可知，特殊位置面的积聚性投影即可确定平面的空间位置，而平面投影的目的主要是表达平面的空间位置，因此对于特殊位置面，我们完全可以只用平面有积聚性的一面投影来表达。此时用有积聚性的平面迹线表示特殊位置平面就相当简单。
PV
X
SV
X
铅垂面T
X
TH
正垂面P
水平面S
为了表明该积聚直线表达的是平面而不是直线，我们规定用一个大写字母加上投影面字母作为角标表示所表达的平面。
正平面水平面侧平面正垂面铅垂面侧垂面
3.各类平面的投影特征
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
规定：平面与H、V、W投影面的夹角α、β、γ
3.各类平面的投影特征
正平面
位置特点平行于V面，垂直于H、W面
投影特征
正面投影反映平面实形，水平投影、侧面投影都积聚为Y轴的垂直线，即正平面上所有点的Y坐标都相等。
迹线在投影图上应加上迹线符号
正面迹线
侧面迹线
水平迹线
平面P与H面的交线称为平面P的水平迹线(H面迹线)，用PH表示平面P与V面的交线称为平面P的正面迹线(V面迹线)，用PV表示平面P与W面的交线称为平面P的侧面迹线(W面迹线)，用PW表示
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
各类平面的投影特征
《工程制图》
目录
1.平面的几何表示法 2.平面的分类 3.各类平面的投影特征 4.平面的极限表示法
1.平面几何表示法
2.平面的分类
根据平面在三投影面体系中的位置不同，将平面分为三类
倾斜面 ∠H、V、W
投影面平行面

平面表示法

平面表示法
介绍平面表示法的概念、种类和应用
平面表示法是一种用数学符号和图形来表示平面的方法。

在几何学中，平面是一个没有厚度的、无限大的、平直的表面。

平面表示法可以用于描述平面的性质、定义平面上的点、线、面等几何对象，并在几何学中广泛应用。

平面表示法包括两种类型：符号表示法和图形表示法。

符号表示法使用数学符号来表示平面。

常用的符号表示法包括以下几种：
1. 用两个大写字母表示平面。

例如，平面 P 表示为 PP。

2. 用一个大写字母和一个小写字母表示平面。

例如，平面 P 表示为 Pp。

3. 用三个大写字母表示平面。

例如，平面 P 表示为 PPP。

图形表示法使用图形来表示平面。

常用的图形表示法包括以下几种：
1. 直线表示法。

用一条直线来表示平面。

例如，平面 P 可以表示为一条水平直线。

2. 矩形表示法。

用一个矩形来表示平面。

例如，平面 P 可以表示为一个水平的矩形。

3. 箭头表示法。

用一个箭头来表示平面。

例如，平面 P 可以表
示为一个水平方向的箭头。

平面表示法在几何学中有广泛的应用。

例如，在立体几何中，可以用平面表示法来描述几何体的表面和形状；在平面几何中，可以用平面表示法来定义平面上的点、线、面等几何对象；在工程制图中，可以用平面表示法来表示建筑物、机械零件等物体的形状和结构。

工程制图平面分解

一般位置平面：
★
和三个投影面均不垂直也不平行的平面。
特殊位置平面:
投影面垂直面：垂直于一个投影面而与其它两个投影面倾斜。
★
铅垂面
★
正垂面
侧垂面
投影面平行面：平行于一个投影面且与其它两个投影面垂直。
水平面
01:57:12
正平面
侧平面
14
东华大学机械工程学院
§2.1 平面的投影-各类平面的投影特性-例子

b c
a" YV
C A
c" a"
X
投影特性 (1) abc重影为一条线 YH (2) abc、 abc为 ABC的类似形 (3) abc与OZ、OY的夹角反映α、β的真实大小
01:57:12 东华大学机械工程学院 8
Y a
§2.1 平面的投影-各类平面的投影特性－投影面平行面－水平面 Z a' A X b' c' B a b" a" C c" b' c Z
c b b b a a b a a c b b
b
a a c a d b b d
三点五种类型可相互转换
c
点和直线
c c
两相交直线
c c
a
两平行直线
01:57:12 东华大学机械工程学院
平面图形
3
§2.1 平面的投影-各类平面的投影特性
1. 一般位置平面：
★
和三个投影面均不垂直也不平行的平面。投影面垂直面：垂直于一个投影面而与其它两个投影面倾斜。
b
c Y a
c
YH 投影特性 (1) abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形 (2) 、、的真实角度不能直观的得到

平面的表示法

1"
new
2" 3"
实形
水平面
2 侧平面
Ⅱ
Ⅲ
铅垂平面
三、一般位置平面
b
a
B
b
A
b a
a C c
c
b a
b a
b
a
c
c
c
投ห้องสมุดไป่ตู้特性
1 、 abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形 2 、不反映、、的真实角度
§2-4-3 属于平面的点和直线
一、属于一般位置平面的点和直线二、属于特殊位置平面的点和直线三、属于平面的投影面平行线四、属于平面的最大斜度线
基本要求
1 掌握平面的几何元素表示法和特殊位置平面的迹线表示法。 2 熟练掌握各种位置平面的投影特性及作图方法，能由已知平面的两个投影求作其第三投影。 3 掌握平面内的点和直线的几何条件及作图方法。 4 掌握平面内投影面平行线及投影面最大斜度线的投影特性和作图方法。
§2-4-1 平面的表示法
V P W
H PH
PH
2、正垂面
V
b
QV
a
A
c
C H
b
c
W B
a
α
Q
c
a
b c
a
投影特性：1、 abc 积聚为一条线b 2 、 abc、abc ABC的类似形 3 、 abc与OX、 OZ的夹角反映α、角的真
实大小
正垂面的迹线表示法
V QV W Q
QV γ α
H
3 、侧垂面
V
S B
b
b
SW
d
a
e

工程制图04第二章平面

侧垂面的迹线表示法
V S Sw W X
Z β
O
Sw α
Y
Y
1．水平面．
a′ b" a" C b a c c a c" b b' c′ b" a" c"
a' A
b' c' B
投影特性：投影特性：
(1) 正面投影和侧面投影积聚为直线；正面投影和侧面投影积聚为直线； (2) 水平投影反映∆ ABC实形。水平投影反映∆ 实形。实形
二、一般位置平面
1．铅垂面．
b' P B A a b C PH c a a' c' a" c" b"
β
b
γ
c
投影特性：投影特性：
(1) 水平投影积聚为直线，且反映β、γ角的真实大小；水平投影积聚为直线， (2) 另外两投影具有类似性。另外两投影具有类似性类似性。
铅垂面迹线表示法
P
β
PH PH
投影特性：投影特性：
(1) 正面投影和水平投影积聚为直线；正面投影和水平投影积聚为直线； (2) 侧面投影反映∆ ABC实形。侧面投影反映∆ 实形。实形
二、一般位置平面
b' a' B b" a' c' A C c" b c a a c a" b c" b' b" a"
投影特性：投影特性：

[例题例题1] 例题
已知点D 两点在∆ 已知点、E两点在∆ ABC上，试求其另一投影。两点在上试求其另一投影。
[例题试判断点是否属于∆ ABC平面。例题2] 试判断点D是否属于是否属于∆ 平面。例题平面

平面及其表示方法

平面及其表示方法平面其表及法示一平面.的概念：滑的桌面光平静的、湖面都是等我们熟的悉面形象，平学中数的面平念概是实现面平加抽象的结果以。

二.平的特征面:面平有没大小厚、薄宽和，窄面平空在间无限是延的。

伸.三平的面法画:1)水(平置的放面平：()2垂放直置的面：平ßa通常把表平示面平行四的边的形角锐画成4053)(在画图时，果如形的一图分部被一另部分住，遮以可把住部遮分成虚线，也可画以不画。

四.平面表的方示：法平面以用希可腊母表字示，可也以代用表表示平的面行四边平形四的顶个或点对相两的顶点个母字示表。

DC BA如平：面α平，面，平面AβCBD,平A面平面CD等B。

五.用数学符来表示点、号、线之面的位间置系：(1)关点与直线的置关位系:点在A线a上直记：:A∈a为点B不在直线上a:为：记Ba∈()点2与面的平置位系：点关在平面α上：记A:A为α∈为：B∈α记B点在平面不上：αAαAaBB()直线与平3面位置的关：系线直上a的有点都所平面α上在称，线a在直面α内，或称平平面α过通线直.记为：aaα直线与平a面α只有一公共点A个时称，线a直与平α面相交。

记：a∩α为A=直线a 平与α面没公有点共，称直时a与线平α面行。

记为：a平α∩=φa 或∥αaa.ααaAα(4)平与面面的位置关系：平当平面α上所有点都的平在面上时β,平面称α与平β重合。

面当两个不平同α面与面平有公共点β,时它的们共公组成集合点a称平面α,与平面β交。

记相：α∩β=当a面α与平面β平有没公点时，共称平α面平与β平面。

记：行α∩β=或φα∥。

ββaαααββ.用数学五符号表示点来、线、面间之位置关的系:BaBαab AαaAAαA∈aB∈aAα∈B∈βαaaαb∩α=Aa∩=φα或aα∥αβαβαΑβ与合α重∩β=a∩αβ=或φ∥α例1β画.出两竖个直放的相交平面置。

例.把下2列语句集用合号表示符并画出，直观。

图()点1A在面平内，αB点在不面α平，内A,点B都在线直a上；(2)平面α与平β相交于直面线，m线直a在平α面且内平于直线行m.BααAmaaβ例.把3下图列中形点、线的面、关用集系合符表号示出来laαaAααAlβBABlaβ练习根：下据列件作图条:1)(∈A,aαα,A∈a;(2)aα,bαc,αa且b=∩Ab∩,=Bc,c∩a=C()3∩αβl=,∈Aα且Aβ∈4()A∈α,A∈l,∩βl=B,α∩β=,B∈mm作业:P48练习4P56习题1练习：“纪世P”021、2。

平面直角坐标系与表示方法

1 2 3 4 5 x 横轴
· （+，－）（－，－）
-2
E ( 1，- 2 )
-3
· · D ( -4，- 3 ) 平法面-4直角G坐标（系0和，表-示4）方
所有x轴上的点，坐标的特点是：纵坐标均为0，可记作（x,0）。所有y轴上的点，坐标的特点是：横坐标均为0，可记作（0,y）。
平面直角坐标系和表示方法
平面直角坐标系和表示方法
❖ 例如，××同学在第3行第4排．这样教室里座位也可以用一对实数表示．
平面直角坐标系和表示方法
学习目标：
1.知道并能画出平面直角坐标系； 2.会在平面直角坐标系中找出任意点的坐标； 3.明确数轴上点的坐标特征和四个象限内的点的坐标符号特征； 4.能利用象限点和坐标轴上点的特点解决有关问题。
不属于任何象限第_二__象限 1
y
( ＋，＋ ) 第_一__象限
各坐＋象标、限与－符中纵号点坐特的标点横的。第-_三3__-象2 限- 1 --
0
1
2
( －，－ )- 3
1 2 3x
第_四__象限
(＋，－ )
平面直角坐标系和表示方法
有了平面直角坐标系,平结论面内的点就可能用一个
有序数对来表示了
原点 -2 -3
-4
在平面内取互相垂直的有公共原点的两条数轴；取向右，向上的方向为正方向；一般两条数轴的单位长度相同．
1 2 3 4 5 x 横轴
平面直角坐标系和表示方法
3、对平面内任意一点P，过点P向x轴，y轴
作垂线，垂足在__x_轴__上___对应的数叫做点P 的横坐标，在_y_轴__上____对应的数叫做点P的
8号”如何表示？（5，6）表示什么含义？

14.1 平面及其基本性质

二、典型习题
（一）概念的辨析 1．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
(1)可画一个平面，使它的长为4cm，宽为2cm。（）
(2)一条直线把它所在的平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分．
（）
(3)一个平面的面积为20 cm2．
（）
(4) 一条直线和任意一点确定一个平面
（）
2、在下列命题正确的是（
• 2、习题14.1A组1 习题14.1B组1，2
• 3、画一个正方体
2．根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形．
(2)l , m A
(3) l
思考题：
几位同学一次野炊活动，带去一张折叠方桌，不小心弄坏了桌脚，有一生提议可将几根一样长的木棍，在等高处用绳捆扎一下作桌脚（如图所示），
类比思考：
如果两个不重合的平面有公共点，其公共点有多少个？
如图，把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在的平面与桌面所在的平面是否只相交于一点B？为什么？
BB
两相交平面的公共部分的特点：有无穷多点，而且是直线。
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个点的公共直线．
P l, Pl
同理,P∈平面CBD. ∴P在平面ABD与平面CBD的交线BD上, 即B、D、P三点在同一条直线上.
题型：证明多线共面
【例3】求证:两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.
分析由题知，四条直线两两相交且不共点，故有两种情况：一种是三条交于一点，另一种是任何三条都不共点，故分两种情况证明. 要证明四线共面，先根据公理2的推论证两条直线共面，然后再证第三条直线在这个平面内，同理第四条直线也在这个平面内，故四线共面.

平面的概念及画法

l 平面与相交于直线
l
例1.将下列符号语言转化为图形语言：
（1） A，B ，A l，B l
（2） a ，b ， c，a / /c，b
c p
说明：画图的顺序:先画大件(平面),再画小件(点、线)
1、判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的题号
后打，否则打 :
(1)、一个平面长4米，宽2米；
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直
线在此平面内．
l
•
B
•A
Al, Bl, A, B l
作用：判定直线是否在平面内．
图形、文字、符号
l
•A
点A在直线l上： A l
l
•A
直线l在平面外:
l
B•
l
点A在直线l外: B l
•A l
•B
直线l在平面内; 平面经过直线l．
l
一个平面把空间分成两部分.
二、常见的点、线、面的基本位置关系
图形
符号语言
文字语言(读法)
A a Aa
点在直线上
A
a Aa
点不在直线上
A
A
A
A
点在平面内点不在平面内
A ab
a b A 直线a、b交于点A
图形
a
a
a A
符号语言
a
文字语言(读法)
直线a在平面内
a 直线a与平面平行
a A 直线a与平面交于点A
观察活动室里的地面，它呈现出怎样的现象？
观察海面，它又呈现出怎样的现象？
一、平面
1、平面的概念：几何里的平面是无限延展的．
2.平面的画法常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平

平面的概念及表示

D1 A1
C1 B1
D A
C B
三、点、线、面的基本位置关系的符号表示
从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系亦可借用集合中的符号来表示。
图形语言符号语言文字语言(读法)
·A
a A∈ a 点A在直线a上
·A a A a 点A不在直线a上
观察下图，你能得到什么结论？
B
A
C
观察下图，你能得到什么结论？
B
B
A
C
A
C
观察下图，你能得到什么结论？
B
B
A
C
A
C
公理2 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
公理2：过不在一条直线上的三点，有且
只有一个平面. .C
图形表示：
α .A .B
说明：
①可以叙述为:不共线的三点确定一平面；
②这是确定一个平面的依据; ③“有且只有”和“确定”的含义包括两方面,一是存在性,二是唯一性;
2.1.1 平面
一、平面的特征 “平面”是最基本的几何概念，对它只能描述而不加定义。
特点：“平”,“无限伸展”,“无大小”,“无厚
薄【”练习】判断下列说法是否正确？
(1)平行四边形是一个平面. × (2)一个平面的面积是100cm2. × (3)两个平面叠在一起比一个平面厚×. (4)一个平面把空间分成了两部分. √
(7)直线a经过平面α外一点M；M a, M (8)直线l在平面α内，又在平面β内l 。 ,l
长方体是我们非常熟悉的空间几何图形.你能发现图中的点、线、面之间有哪些位置关系呢？
D1
C1

混凝土结构施工图平面整体表示方法制图规则和构造详图

答：
不需要了，只需要按一般箍筋加密区范围要求加密即可。Hn/3加密区范围由根底顶面嵌固部位所在位置确定。
22
咨询：
P34，受拉钢筋抗震锚固长度LaE，要是是HPB235级钢，是否已包括弯钩长度了？180度的弯钩长度取多少？
答：
LaE不包括弯钩长度。一个180度的弯钩长度为6.25d。
23
咨询：
1：P33，钢筋保卫层指什么？
答：
Hn应从根底顶面-1.500m开始算起。
7
咨询：
P56，本页中梁柱端节点上下有两个，区不何在？
答：
本页表示顶层抗震框架梁柱端节点构造，梁上部纵筋在柱内与柱纵筋搭接锚固做法。当梁上部纵筋配筋率小于等于1.2%时，可按本页上图构造要求施工；当梁上部纵筋配筋率大于1.2%时应按以如下面图构造要求施工。
8
咨询：
框架梁与边缘端柱连接，梁的纵筋锚固从何处开始算起?
答：
aEa)。
9
咨询：
aEaE就满足要求了；本人有所迷惑，柱外边是否按柱中线外都称为外边的范围，如是如此，钢筋不一定要伸至柱纵筋处；同时伸至纵筋内侧，内侧范围也较大，甚至可理解为柱中线以内范围。另外，P67框支梁钢筋“伸至对边柱纵筋内侧〞请咨询外边与对边概念是否相同，为何不统一？
答：
1：如预埋U形插筋有困难，可做成两个L形插筋，端部直钩长度应大于等于10d。
2：LaE的长度从框支柱边缘算起。
11
咨询：
P36，抗震框架柱，上柱配筋大于下柱〔根数多于下柱，钢筋直径也大于下柱〕。咨询：采纳图1连接型式是否能够？
答：
当上柱纵筋直径不大于下柱时能够采纳图1的连接构造；当上柱纵筋直径大于下柱时不应采纳图1的连接构造，而应采纳图2的连接构造。

平面的投影

平面的投影平面的表示法平面的投影特性平面上的点和直线平面的表示法1. 几何元素表示法空间一平面可以用确定该平面的几何元素的投影来表示:不在同一直线上的三点一直线与该直线外一点相交两直线平行两直线一有限的平面图形2. 迹线表示法平面与投影面的交线称为平面的迹线:平面P与V面的交线称为平面P的表示正面迹线(V面迹线)，用PV平面P与H面的交线称为平面P的表示水平迹线(V面迹线)，用PH平面P与W面的交线称为平面P的表示侧面迹线(W面迹线)，用PW平面的投影特性平面的投影特性是由平面相对于投影面的位置决定:1. 平面对一个投影面的投影特性投影面垂直面:投影积聚成直线投影面平行面:投影反映平面实形投影面倾斜面:投影为平面类似形2. 平面在三投影面体系中的投影特性投影面垂直面铅垂面(垂直于H面)在三投影面体系中，平面按其与投影面的相对位置，可以分为三类：正垂面(垂直于V面)侧垂面(垂直于W面)投影面平行面水平面(平行于H面)正平面(平行于V面)侧平面(平行于W面)一般位置平面平行于某一投影面的平面垂直于某一投影面而与其余两投影面倾斜的平面与三个投影面都倾斜的平面2. 平面在三投影面体系中的投影特性1) 投影面垂直面2. 平面在三投影面体系中的投影特性2) 投影面平行面2. 平面在三投影面体系中的投影特性3) 一般位置平面平面的投影特性2. 平面在三投影面体系中的投影特性[例]正垂面ABC 与H 面的夹角为45°，已知其水平投影及顶点B 的正面投影，求△ABC 的正面投影及侧面投影。

a 'c 'b "c "a "●abcb '45°此题有几个解呢?平面上的点和直线1. 在平面上取点和直线点和直线在平面上的几何条件是：若点在平面内的某一直线上则此点必在该平面内若直线通过平面内的两点，或通过平面的一点并平行于平面内的一直线，则此直线必在该平面内1. 在平面上取点和直线[例] 已知点K 在平面ABC 上，求点K 的水平投影。

平面及表示法

平面及其表示法
一.平面的概念：光滑的桌面、平静的湖面等都是我
们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。
二.平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。
三.平面的画法：（1）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：
ß a
通常把表示平面的平行四边形的锐角画成450
a
a
a
A
α
α
α
(4)平面与平面的位置关系：
当平面α上的所有点都在平面β上时，称平面α与平面β重合。
当两个不同平面α与平面β有公共点时，它们的公
共点组成集合a，称平面α与平面β相交。
记：
α∩ β＝a。
当平面α与平面β没有公共点时，称平面α与平面β 平行。记： α∩ β＝φ或α ∥ β。
β
a
α
α
α
β
（3）在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。

；宁波出海捕鱼宁波出海捕鱼
；
，我何以摆脱猎物的命运？一桩新闻小女孩和家长失散了，便衣警察走过来，小朋友我送你回家吧，小女孩怒斥：“走开，骗子！”便衣很委屈，我不是骗子我是警察啊，小女孩更怕了，“骗子都说自己是警察！”便衣晃晃件，你看我是真的，小女孩撇撇嘴，朝向栏杆上的小广告，“妈妈说，最骗人的就是件”。一则笑话窃贼用入室偷的钱去买烟，烟是假的。烟主乐滋滋去买水果，秤是黑的。果商替家里去买肉，肉注过水。肉贩子正数钞票，制服从天而降，罚款。城管拿罚来的钱去药店，药是过期的。药老板正准备打烊，手机响，老婆哭家里失窃谁酝酿了这样的活法？谁制造了这样的游戏？谁能说服大家换个逻辑，取消饥饿的欲望和抢劫的眼神？谁来平息这场你中有我、我中有你的精神

平面与直线平行表示方法

平面与直线平行表示方法平面与直线的关系在几何学中是非常重要的一个概念。

平行是指两个物体在同一个平面中永远不会相交。

平面与直线平行的表示方法有多种，下面将逐一介绍。

1. 符号表示法在几何学中，我们可以使用符号来表示平面与直线平行的关系。

常用的符号是“∥”，即两个平行物体之间画上两条平行线。

当我们说直线l与平面P平行时，可以写作l ∥ P。

2. 平行线的性质平行线的性质是指两条平行线之间的关系。

根据几何学的定理，平行线具有以下性质：- 平行线在同一个平面内，永远不会相交；- 平行线与同一个直线的交角相等；- 平行线的两个内角和等于180度；- 平行线的两个外角和等于180度。

3. 垂直线的性质与平行线相对的概念是垂直线。

垂直线是指两条直线之间的交角为90度。

当我们说直线l与平面P垂直时，可以写作l ⊥ P。

垂直线与平行线是两种互补关系，它们在几何学中起着重要的作用。

4. 使用坐标表示法在平面几何中，我们可以使用坐标表示法来描述平面与直线平行的关系。

假设平面上有一条直线l，其方程为y = mx + b，其中m是斜率，b是y轴截距。

如果另一条直线的方程也是y = mx + b，那么这两条直线是平行的。

5. 使用向量表示法向量是平面几何中常用的表示方法之一。

我们可以使用向量来表示平面与直线平行的关系。

如果平面上有一条直线l，其法向量为n，那么与该平面平行的直线的法向量也是n。

6. 使用几何构造几何构造是一种直观的表示平面与直线平行关系的方法。

我们可以使用直尺和圆规等工具，在平面上进行几何构造，通过构造平行线来表示平面与直线平行的关系。

7. 使用投影投影是一种常用的表示方法，可以通过投影来判断平面与直线是否平行。

如果直线上的点在平面上的投影都在直线上，那么这条直线与平面平行。

总结：平面与直线平行的表示方法有符号表示法、坐标表示法、向量表示法、几何构造和投影等多种方法。

每种方法都有其独特的特点和适用场景。

通过熟练掌握这些表示方法，我们可以更好地理解和应用平面与直线平行的概念，进一步拓展我们的几何学知识。