初二数学难题30道
(完整版)八年级数学经典难题
经典难题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥C O．求证：CD＝GF．（初二）2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝15度求证：△PBC是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA 1、BB1、CC1、DD1的中点．求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．经典难题（二）1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二）经典难题（三）1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．求证：CE＝CF．（初二）2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．求证：AE＝AF．（初二）3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．求证：PA＝PF．（初二）4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO 相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）经典难题（四）1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．求：∠APB的度数．（初二）2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）经典难题（五）1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：√3≤L＜2．2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80度，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA ＝30度，∠EBA＝20度，求∠BED的度数．答案经典难题（一）4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠D EN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。
(完整版)八年级数学经典难题
经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C、E 是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．（初二）2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点，∠PAD＝∠PDA＝15 度求证：△PBC是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形 ABCD、A1B1C1D1 都是正方形，A2、B2、C2、D2 分别是 AA 1、BB1、CC1、DD1 的中点．求证：四边形 A2B2C2D2 是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD＝BC，M、N 分别是 AB、CD 的中点，AD、BC 的延长线交 MN 于E、F．求证：∠DEN＝∠F．经典难题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM⊥BC 于 M．（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）2、设 MN 是圆 O 外一直线，过 O 作OA⊥MN 于 A，自 A 引圆的两条直线，交圆于B、C 及D、E，直线 EB 及CD 分别交 MN 于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设 MN 是圆 O 的弦，过 MN 的中点 A 任作两弦 BC、DE，设 CD、EB 分别交 MN 于 P 、Q．求证：AP＝AQ．（初二）4、如图，分别以△ABC的AC 和BC 为一边，在△ABC的外侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG，点P 是EF 的中点．求证：点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半．（初二）经典难题（三）1、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE 与 CD 相交于 F．求证：CE＝CF．（初二）2、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE∥AC，且 CE＝CA，直线 EC 交 DA 延长线于F．求证：AE＝AF．（初二）3、设 P 是正方形 ABCD 一边BC 上的任一点，PF⊥AP，CF 平分∠DCE．求证：PA＝PF．（初二）4、如图，PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE、AF 与直线 PO 相交于 B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）经典难题（四）1、已知：△ABC是正三角形，P 是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．求：∠APB的度数．（初二）2、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）3、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）4、平行四边形 ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点，AE 与CF 相交于 P，且AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）经典难题（五）1、设 P 是边长为 1 的正△ABC 内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：√3≤L＜2．2、已知：P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求 PA＋PB＋PC 的最小值．3、P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC＝∠ACB＝80 度，D、E 分别是 AB、AC 上的点，∠DC A＝30 度，∠EBA＝20 度，求∠BED 的度数．答案经典难题（一）4.如下图连接 AC 并取其中点 Q，连接 QN 和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠ DEN 和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。
初二数学难题30道
初二数学难题30道1. 解析几何：在直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(1, 2)，求线段AB的中点坐标。
2. 代数方程：解方程 2x + 5 = 3x 4。
3. 函数问题：给定函数 f(x) = x^2 2x + 1，求 f(3) 的值。
4. 不等式求解：解不等式 5x 2 > 3。
5. 平行四边形：已知平行四边形ABCD，AB = 6cm，BC = 8cm，求对角线AC的长度。
6. 解析几何：在直角坐标系中，点A(1, 2)，点B(3, 4)，求线段AB的长度。
7. 代数方程：解方程 3x^2 4x + 1 = 0。
8. 函数问题：给定函数 g(x) = 2x + 3，求 g(2) 的值。
9. 不等式求解：解不等式 2x 5 < 1。
10. 平行四边形：已知平行四边形ABCD，AB = 7cm，BC = 9cm，求对角线BD的长度。
11. 解析几何：在直角坐标系中，点A(4, 5)，点B(2, 1)，求线段AB的长度。
12. 代数方程：解方程 4x^2 9x + 2 = 0。
13. 函数问题：给定函数 h(x) = x^3 3x^2 + 2x，求 h(1) 的值。
14. 不等式求解：解不等式3x + 4 ≤ 7。
15. 平行四边形：已知平行四边形ABCD，AB = 8cm，BC = 10cm，求对角线AC的长度。
16. 解析几何：在直角坐标系中，点A(3, 2)，点B(1, 1)，求线段AB的中点坐标。
17. 代数方程：解方程 5x 3 = 2x + 7。
18. 函数问题：给定函数 f(x) = x^2 + 4x + 4，求 f(0) 的值。
19. 不等式求解：解不等式4x 8 ≥ 2。
20. 平行四边形：已知平行四边形ABCD，AB = 9cm，BC = 11cm，求对角线BD的长度。
21. 解析几何：在直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(1, 4)，求线段AB的长度。
22. 代数方程：解方程 6x^2 5x 1 = 0。
初二数学难题30道
1 已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．2 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是 AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交 MN 于 E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．B 如图，分别以△ABC 的 AC 和 BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与 CD 相交于 F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）E5、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线 EC 交DA 延长线于 F ． 求证：AE ＝AF ．（初二） 求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、4、 DCF6、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF⊥AP，求证：PA＝PF．（初二）PC＝5．7、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，求：∠APB 的度数．（初二）C 8、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠ PBA ＝∠ PDA ．求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）9、已知：P是边长为1的正方形ABCD 内的一点，10、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC=3a 正方形的边长．1.如图 1，已知△ABC，∠ACB=90°，分别以 AB、BC 为边向外作△ABD 与且DA=DB ， BE=EC ，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，连接 DE 交 AB 于点 F ，试探究线段 DF 与EF 的数量关系，并加以证明。
B3：如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形.（1）当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形；（2） 当AB = AC 时，顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪4：如图，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边 BC 、AC CD=CE ，连结 DE 并延长至点 F ，使 EF=AE ，连结AF 、BE B 和 CF 。
(完整版)初二数学经典难题(带答案及解析)
初二数学经典难题、解答题（共 10 小题，满分 100 分）2．（10分）已知：如图，在四边形 ABCD 中， AD=BC ，M 、N 分别是 AB 、CD 的中点， AD 、BC 的延长线交 MN 于 E 、 F ．求证： ∠DEN= ∠F ．3．（ 10分）如图，分别以 △ABC 的边 AC 、BC 为一边，在 △ABC 外作正方形 ACDE 和CBFG ，点 P 是EF 的中点，4．（10 分）设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且 ∠PBA=∠PDA ． 求证： ∠PAB= ∠PCB ．5．（10 分） P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PA=a ， PB=2a ， PC=3a ，求正方形的边长．P 是正方形 ABCD 内点 ∠PAD=∠PDA=15 °．求证： △ PBC 是正三角形． 初二） 10 分）已知：如图，求证：点 P 到 AB 的距离是 AB 的一半．6．（10 分）一个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管 2 倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t 分．求两根水管各自注水的速度．7．（10分）（2009?郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q，使得△ OBQ 与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；8．（10分）（2008?海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P与A、C 不重合），点E在线段BC 上，且PE=PB ．（1）求证：① PE=PD ；② PE⊥PD；（2）设AP=x ，△ PBE 的面积为y．① 求出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；② 当x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值．9．（10分）（2010?河南）如图，直线y=k 1x+b 与反比例函数（x>0）的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．（1）求k1、k2 的值．2）直接写出 时 x 的取值范围；3）如图，等腰梯形 OBCD 中，BC ∥OD ，OB=CD ，OD 边在 x 轴上，过点 C 作 CE ⊥OD 于点函数的图象交于点 P ，当梯形 OBCD 的面积为 12 时，请判断 PC 和 PE 的大小关系，并说明理由．E ，CE 和反比例10．（10 分）（ 2007?福州）如图，已知直线与双曲线交于 A ， B 两点，且点 A 的横坐标为 4．1）求 k 的值； 2）若双曲线上一点 C 的纵坐标为 8，求 △AOC 的面积；3）过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 于 P ，Q 两点（ P 点在第一象限） ，若由点A ，B ，P ，Q 为P 的坐标．求点初二数学经典难题参考答案与试题解析、解答题（共 10 小题，满分 100 分）考点 ： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定。
初中数学难题精选(附问题详解)
3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．
求证：PA＝PF．（初二）
4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）
经典难题（四）
1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．
经典难题（一）
1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．
求证：CD＝GF．（初二）
2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．
求证：△PBC是正三角形．（初二）
3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．
2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．
求证：AP＝AQ．（初二）
3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．
求证：AP＝AQ．（初二）
经典难题（四）
1.顺时针旋转△ABP 600，连接PQ，则△PBQ是正三角形。
可得△PQC是直角三角形。
所以∠APB=1500。
2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC.
可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：
AEBP共圆（一边所对两角相等）。
可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。
经典难题（一）
1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,
(完整版)初中数学经典难题(含答案)
经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．A P C DB A F G CE BO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1 A N FE CDMBP CG FB QA D E1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二）· A D HE M C B O · GAO D B EC Q P NM · O Q PB DEC N M · A1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）D AF D E C B E DA CB F A E PC B A OD BFAECP1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、Ptolemy （托勒密）定理：设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ． （初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）AP C B P A D CB C B DAF PD E C B A1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，l ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：3≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．APCBACBPDEDCB AA CBPD经典难题（一）1、2、3、4、经典难题（二）1、2、4、经典难题（三）1、3、4、1、2、3、4、证明：过D 作DQ ⊥AE ，DG ⊥CF,并连接DF 和DE ，如右图所示 则S △ADE =21S ABCD =S △DFC ∴21 AE ﹒DQ = 21 DG ﹒FC 又∵AE=FC,∴DQ=DG,∴PD 为∠APC 的角平分线，∴∠DPA=∠DPC1、2、3、3、4、。
初二数学难题目练习题
初二数学难题目练习题难题一：平方差公式的应用已知 a=5，b=3，求 a²-b²的值。
解答：根据平方差公式：a²-b² = (a+b)(a-b)代入已知的 a=5 和 b=3：a²-b² = (5+3)(5-3)= 8*2= 16因此，a²-b²的值为 16。
难题二：二次方程的求解解方程：2x²+3x-9=0解答：首先，我们可以应用二次方程求根公式：对于一般形式的二次方程 ax²+bx+c=0，求根公式为：x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)代入已知的 a=2，b=3，c=-9：x=(-3±√(3²-4*2*(-9)))/(2*2)=(-3±√(9+72))/(4)=(-3±√81)/(4)=(-3±9)/(4)得到两个解：x₁ = (-3+9)/(4) = 6/4 = 3/2x₂ = (-3-9)/(4) = -12/4 = -3因此，方程 2x²+3x-9=0 的解为 x₁=3/2 和 x₂=-3。
难题三：三角函数的计算已知∠A 为直角，且 sinA=3/5，求 cosA 的值。
解答：根据三角函数性质，对于直角三角形，sinA=a/cosA，其中 a 为直角边的对边，c 为直角边的斜边。
代入已知的 sinA=3/5：3/5 = a/cosA根据勾股定理，直角三角形中的斜边 c 可以用直角边的长度表示：c = √(a²+b²)又因为直角三角形中的∠A 为直角，根据三角函数性质，sinA=a/c，代入已知的 sinA=3/5：3/5 = a/√(a²+b²)平方两边，并移项整理得：9/25 = a²/(a²+b²)由此，我们可以用一个方程求解 cosA 的值。
初二数学经典难题(带答案与解析)
初二数学经典难题(带答案与解析)1. 一位农夫要过一条河，他只有一艘小船，船只能支持他和一件物品的重量。
他需要把他自己，一只狼，一只绵羊和一束青菜都安全地运送到对岸。
但是，他不能让狼和绵羊在船上单独相处，因为狼会吃掉绵羊，而他也不能把青菜留在对岸，因为狼会吃掉青菜。
请问，农夫应该如何安全地将这些物品都运送到对岸？答案:农夫的运输过程，可以分为3个阶段:第一次船过去，农夫把绵羊放在岸边，然后把狼和青菜带到对岸。
第二次船会回来，这一次农夫只带绵羊回对岸，留下狼和青菜。
第三次船过去，农夫把青菜放在岸边，把狼带到对岸，然后返回把绵羊也带到对岸。
解析:这是一个相当著名的数学难题，考验玩家的逻辑思维和解决问题的能力。
农夫需要分别带着“绵羊、狼、青菜”三个物品过河，但是船只能支撑一人和一样物品的质量。
如果让“狼”单独和“绵羊”在一起，绵羊就会被吃掉，如果让“青菜”单独和“狼”在一起，青菜就会被吃掉。
怎么办呢？我们需要一步一步来想象这个过程。
首先，农夫需要把狼在非常安全的状态下到对岸。
所以，他需要先把绵羊放在岸边，然后带上狼和青菜一起过河。
这样，在对岸靠岸后，他可以先把青菜放在岸边，回来把狼送过去，并且把青菜留在对岸。
最后再回到原来的岸边，带上绵羊将其送往对岸即可。
这样，农夫就能够安全地将三个物品都运送到了对岸，而他没有违反任何规则。
这个问题是一个“二进制数学问题”，要求玩家发挥他们的逻辑思维和判断能力，找出最好的解决方案。
2. 一支队伍从A地出发向北行走360英里后到达B地，并停留了5天。
然后他们又向北行走280英里，到达C地，他们在C地停留了10天。
然后他们又向北行走400英里，到达D地。
他们在D地停留了15天，然后再向北前进60英里就到达他们的终点E地。
请问他们总共行走的距离以及他们在路途上平均每天行走的距离是多少？答案:他们总共行走的距离是: 1100 英里。
他们在路途上平均每天行走的距离是: 22 英里。
初中数学经典难题(含问题详解)
经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．A PC D B A FG C EBO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1 C B DA A 1 BF经典难题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ．（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典难题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）经典难题（四）E1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、Ptolemy （托勒密）定理：设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ． （初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，l ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：3≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA＝200，求∠BED 的度数．经典难题（一）1、2、3、4、经典难题（二）1、2、3、4、经典难题（三）1、2、3、4、经典难题（四）2、3、4、证明：过D 作DQ ⊥AE ，DG ⊥CF,并连接DF 和DE ，如右图所示 则S △ADE =21S ABCD =S △DFC∴21 AE ﹒DQ = 21 DG ﹒FC 又∵AE=FC,∴DQ=DG,∴PD 为∠APC 的角平分线，∴∠DPA=∠DPC经典难题（五）2、3、3、4、。
初中的数学难的题目精选(附问题详解)
经典难题〔一〕1、：如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO．求证：CD＝GF．〔初二〕2、：如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD＝∠PDA＝150求证：△PBC是正三角形．〔初二〕3、如图,四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形,A2、B2DD1的中点．求证：四边形A2B2C2D2是正方形．〔初二〕4、：如图,在四边形ABCD中,AD＝BC,M、N分别是MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．经典难1、：△ABC中,H为垂心〔各边高线的交点〕,O为外心,〔1〕求证：AH＝2OM；〔2〕假如∠BAC＝600,求证：AH＝AO．〔初二〕2、设MN是圆O外一直线,过O作OA⊥MN于A,自AE,直线EB与CD分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．〔初二〕3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内,设MN是圆O的弦,过MN的中点A任作两弦P、Q．F求证：AP ＝AQ ．〔初二〕4、如图,分别以△ABC 的AC 和BC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG,点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典难1、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC,AE ＝AC,AE 求证：CE ＝CF ．〔初二〕2、如图,四边形ABCD 为正方形求证：AE ＝AF ．〔初二〕3、设P 是正方形ABCD 一边求证：PA ＝PF ．〔初二〕4、如图,PC 切圆O 于C,AC 证：AB ＝DC,BC ＝AD ．1、：△ABC 是正三角形,P 求：∠APB 的度数．〔初二〕2、设P 是平行四边形ABCD 求证：∠PAB ＝∠PCB ．3、设ABCD 为圆内接凸四边形,4、平行四边形ABCD 中,设E 、AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠经典难题〔五〕1、设P是边长为1的正△ABC内任一点,L＝PA＋PB＋PC,求证：≤L＜2．2、：P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PA＋PB＋PC的最小值．3、P为正方形ABCD内的一点,并且PA＝a,PB＝2a,PC＝3a,求正方形的边长．4、如图,△ABC中,∠ABC＝∠ACB＝800,D、E分别是AB、AC上的点,∠DCA＝300,∠EBA＝200,求∠BED的度数．经典难题〔一〕1.如如下图做GH⊥AB,连接EO.由于GOFE四点共圆,所以∠GFH OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF =GOGH=COCD,又CO=EO,所以CD=GF得证.2. 如如下图做△DGC使与△ADP全等,可得△PDG为等边△,从而可得△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150所以∠DCP=300 ,从而得出△PBC是正三角形3.如如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点, 连接EB2并延长交C2Q于H点,连接FB2并延长交A2Q于G点,由A2E=12A1B1=12B1C1= FB2 ,EB2=12AB=12BC=F C1 ,又∠GFQ+∠Q=900和FPDE CBAAPCBACBPDEDCBAACBPD∠GE B 2+∠Q=900,所以∠GE B 2=∠GFQ 又∠B 2FC 2=∠A 2EB 2 , 可得△B 2FC 2≌△A 2EB 2 ,所以A 2B 2=B 2C 2 , 又∠GFQ+∠HB 2F=900和∠GFQ=∠EB 2A 2 , 从而可得∠A 2B 2 C 2=900 , 同理可得其他边垂直且相等, 从而得出四边形A 2B 2C 2D 2是正方形.4.如如下图连接AC 并取其中点Q,连接QN 和QM,所以可得∠QMF=∠F,∠QNM=∠DEN 和∠QMN=∠QNM,从而得出∠DEN ＝∠F.经典难题〔二〕1.<1>延长AD 到F 连BF,做OG ⊥AF,又∠F=∠ACB=∠BHD,可得BH=BF,从而可得HD=DF,又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2<GH+HD>=2OM<2>连接OB,OC,既得∠BOC=1200,从而可得∠BOM=600, 所以可得OB=2OM=AH=AO,得证.3.作OF ⊥CD,OG ⊥BE,连接OP ,OA,OF,AF,OG,AG,OQ.由于22AD AC CD FD FDAB AE BE BG BG, 由此可得△ADF ≌△ABG,从而可得∠AFC=∠AGE.又因为PFOA 与QGOA 四点共圆,可得∠AFC=∠AOP 和∠AGE=∠AOQ, ∠AOP=∠AOQ,从而可得AP=AQ.4.过E,C,F 点分别作AB 所在直线的高EG,CI,FH.可得PQ=2EGFH.由△EGA ≌△AIC,可得EG=AI,由△BFH ≌△CBI,可得FH=BI. 从而可得PQ=2AI BI=2AB,从而得证. 经典难题〔三〕1.顺时针旋转△ADE,到△ABG,连接CG. 由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350从而可得B,G,D 在一条直线上,可得△AGB ≌△CGB. 推出AE=AG=AC=GC,可得△AGC 为等边三角形. ∠AGB=300,既得∠EAC=300,从而可得∠A EC=750. 又∠EFC=∠DFA=450+300=750. 可证：CE=CF.2.连接BD 作CH ⊥DE,可得四边形CGDH 是正方形.由AC=CE=2GC=2CH,可得∠CEH=300,所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150, 又∠FAE=900+450+150=1500, 从而可知道∠F=150,从而得出AE=AF.3.作FG ⊥CD,FE ⊥BE,可以得出GFEC 为正方形.令AB=Y ,BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X . tan ∠BAP=tan ∠EPF=X Y =Z Y XZ,可得YZ=XY-X 2+XZ,即Z<Y-X>=X<Y-X> ,既得X=Z ,得出△ABP ≌△PEF , 得到PA ＝PF ,得证 .经典难题〔四〕1. 顺时针旋转△ABP 600 ,连接PQ ,如此△PBQ 是正三角形.可得△PQC 是直角三角形.所以∠APB=1500 .2.作过P 点平行于AD 的直线,并选一点E,使AE ∥DC,BE ∥PC. 可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP ,可得：AEBP 共圆〔一边所对两角相等〕. 可得∠BAP=∠BEP=∠BCP ,得证.3.在BD 取一点E,使∠BCE=∠ACD,既得△BEC ∽△ADC,可得：BE BC =ADAC,即AD •BC=BE •AC, ① 又∠ACB=∠DCE,可得△ABC ∽△DEC,既得AB AC =DEDC,即AB •CD=DE •AC, ② 由①+②可得: AB •CD+AD •BC=AC<BE+DE>= AC ·BD ,得证.4.过D 作AQ ⊥AE ,AG ⊥CF ,由ADE S=2ABCDS=DFCS,可得：2AE PQ =2AE PQ,由AE=FC. 可得DQ=DG,可得∠DPA ＝∠DPC 〔角平分线逆定理〕.经典难题〔五〕1.〔1〕顺时针旋转△BPC 600 ,可得△PBE 为等边三角形.既得PA+PB+PC=AP++PE+EF 要使最小只要AP ,PE,EF 在一条直线上, 即如如下图：可得最小L=；〔2〕过P 点作BC 的平行线交AB,AC 与点D,F.由于∠APD>∠ATP=∠ADP ,推出AD>AP ① 又BP+DP>BP ② 和PF+FC>PC ③ 又DF=AF ④由①②③④可得：最大L< 2 ； 由〔1〕和〔2〕既得：≤L ＜2 .2.顺时针旋转△BPC 600 ,可得△PBE 为等边三角形.既得PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要AP ,PE,EF 在一条直线上, 即如如下图：可得最小PA+PB+PC=AF.既得213(1)42= 23=4232=2(31)2 = 231) =622 .3.顺时针旋转△ABP 900 ,可得如如下图：既得正方形边长L = 2222(2)()22a = 522a .4.在AB 上找一点F,使∠BCF=600 ,连接EF,DG,既得△BGC 为等边三角形,可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE ≌△ACF , 得到BE=CF , FG=GE .推出 ： △FGE 为等边三角形 ,可得∠AFE=800 ,既得：∠DFG=400①又BD=BC=BG ,既得∠BGD=800 ,既得∠DGF=400②推得：DF=DG ,得到：△DFE≌△DGE ,从而推得：∠FED=∠BED=300 .。
初二数学上册试卷难题
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，那么f(2)的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 72. 在直角坐标系中，点A(-3, 2)，点B(2, 4)，那么线段AB的中点坐标为（）A. (-1, 3)B. (1, 3)C. (1, -1)D. (-1, -1)3. 若一个等差数列的前三项分别为a，b，c，且a + b + c = 15，那么该数列的公差为（）A. 1B. 2C. 3D. 54. 已知一个梯形的上底长为3cm，下底长为5cm，高为4cm，那么该梯形的面积为（）A. 14cm^2B. 16cm^2C. 18cm^2D. 20cm^25. 若一个三角形的三边长分别为3，4，5，那么该三角形是（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形6. 已知一次函数y = kx + b的图象经过点(1, 2)，且与y轴的交点坐标为(0, 3)，那么该函数的解析式为（）A. y = 2x + 3B. y = 3x + 2C. y = 2x - 3D. y = 3x - 27. 若一个平行四边形的对角线长度分别为5cm和10cm，那么该平行四边形的面积为（）A. 25cm^2B. 50cm^2C. 75cm^2D. 100cm^28. 已知一个圆的半径为r，那么该圆的面积为（）A. πr^2B. 2πr^2C. 3πr^2D. 4πr^29. 若一个正方形的边长为a，那么该正方形的对角线长度为（）A. aB. a√2C. 2aD. 2a√210. 已知一个等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，那么该三角形的面积为（）A. 24cm^2B. 32cm^2C. 40cm^2D. 48cm^2二、填空题（每题5分，共50分）1. 已知等差数列的前三项分别为1，3，5，那么该数列的公差为______。
2. 若一个梯形的上底长为4cm，下底长为6cm，高为3cm，那么该梯形的面积为______cm^2。
初二数学难题30道
1已知：如图，P是正方形ABCg点，/ PAD= Z PD/A= 150.求证：△ PBC是正三角形.（初二）2已知：如图，在四边形ABCD43, AD= BC, MBC的延长线交MNT E、F. 求证：/ DEN= / F.3、如图，分别以△ ABC的AC和BC为一边，在^ ABC的外侧作正方形ACD臣口正方形CBFG点P是EF的中点.求证：点P到边AB的距离等于AB的一半.（初二）4、如图，四边形ABC型正方形，DE// AC AE= AC AE与CD相交于F.求证：CE= CF.（初二）5、如图，四边形ABC型正方形，DE// AC且CE= CA直线EC交DA延长线于F. 求证：AE= AF.（初二）6、设P 是正方形 ABCD-边BC 上的任一点，PFL AP, CF 平分/ DCE 求证：PA= PF.（初二）7、已知：△ ABC 是正三角形，P 是三角形内一点,求：/ APB 的度数.（初二） 8、设P 是平行四边形 ABCD^J 部的一点，且/ PBA=/ PDA 求证：/ PAB= / PCB （初二）10、P 为正方形 ABC 呐的一点，并且PA^= a, PB= 2a, PC=3aiE 方形的边长.3:如图，z\ACDz\ABE △BCF 匀为直线BC 同侧的等边三角形（1）当A 5AC 时，证明四边形 ADFE^I 平行四边形；9、已知：P 是边长为1的正方形ABC*的一点，求PA= 3,(2) 当AB = AC 时，顺次连结 A D F 、E 四点所构成的图形4:如图，已知△ ABC 是等边三角形，D E 分别在边上，且CD=CE 连结DE 并延长至点F,使EF=AE 连结AF 、BE 和CF 请在图中找出一对全等三角形，用符号“二”表示，并加 以证明。
(1)当点P 在线段ED 上时(如图1),求证：BE= PA 近PQ 3(2)若BC=6,设PQ 长为x,以P 、Q D 三点为顶点所构成的三角形面积为y,求y 与x 的函数关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围)；(3)在②的条件下，当点P 运动到线段ED 的中点时，连接QC有哪几类直接写出构成图形的类型和相应的条件(1) (2) 判断四边形ABDFM 怎样的四边形，并说明理由。
初二数学难题目练习题
初二数学难题目练习题1. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c米，它的表面积是多少？解析：一个长方体有六个面，每个面的面积等于对应边长的乘积。
所以该长方体的表面积为2ab + 2ac + 2bc 平方米。
2. 如果一条蛇爬行的速度是每小时3米，那么它爬行1440米需要多长时间？解析：根据速度等于距离除以时间公式，时间等于距离除以速度。
所以蛇爬行1440米需要 1440 ÷ 3 = 480小时。
3. 若x + 5 = 9，那么x的值是多少？解析：将已知条件代入方程，得到x + 5 = 9. 使用逆运算，将5从等式两边减去，得到x = 9 - 5 = 4，所以x的值为4。
4. 一个三角形的两边分别为5厘米、12厘米，夹角为60度，求第三边的长度。
解析：根据余弦定理可以求得第三边的长度。
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab* cosC，将已知条件代入公式，得到c^2 = 5^2 + 12^2 - 2 * 5 * 12 *cos60°。
计算后得到c^2 = 169，所以第三边的长度为平方根的169，即13厘米。
5. 若7x + 1 = 29，那么x的值是多少？解析：将已知条件代入方程，得到7x + 1 = 29. 使用逆运算，将1从等式两边减去，得到7x = 29 - 1 = 28. 再将等式两边除以7，得到x = 28 ÷ 7 = 4，所以x的值为4。
6. 如果一个圆的半径为5厘米，求它的周长和面积。
解析：圆的周长等于2πr，面积等于πr^2。
所以这个圆的周长等于2 * 3.14 * 5 = 31.4厘米，面积等于3.14 * 5^2 = 78.5平方厘米。
7. 若3x - 2 = 7，那么x的值是多少？解析：将已知条件代入方程，得到3x - 2 = 7. 使用逆运算，将2从等式两边加上，得到3x = 7 + 2 = 9. 再将等式两边除以3，得到x = 9 ÷3 = 3，所以x的值为3。
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F1已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．（初二）2已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．3、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．4、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，求证：CE ＝CF ．（初二）5、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）A P C D BB E6、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．（初二）7、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB 求：∠APB 的度数．（初二）8、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）9、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．10、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC=3a 正方形的边长． ?1.如图1，已知△ABC ，∠ACB=90°，分别以AB 、BC 为边向外作△ABD 与△BCE ，且DA=DB ，BE=EC ，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC ，连接DE 交AB 于点F ，试探究线段DF 与EF 的数量关系，并加以证明。
3：如图，△ACD 、△ABE 、△BCF 均为直线BC 同侧的等边三角形.(1) 当AB ≠AC 时，证明四边形ADFE 为平行四边形；D AEP CB A AP CB P A DCB ACBPD(2) 当AB = AC 时，顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件.4：如图，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD=CE ，连结DE 并延长至点F ，使EF=AE ，连结AF 、BE 和CF 。
（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明。
（2）判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。
（3）若AB=6，BD=2DC ，求四边形ABEF 的面积。
5：如图，在△ABC 中，∠A 、∠B 的平分线交于点D ，DE ∥AC 交BC于点E ，D ∥BC 交AC 于点F ． （1）点D 是△ABC 的________心； （2）求证：四边形DECF 为菱形．6：在矩形ABCD 中，点E 是AD 边上一点，连接BE ，且∠ABE ＝30°，BE ＝DE ，连接BD ．点P 从点E 出发沿射线ED 运动，过点P 作PQ ∥BD 交直线BE 于点Q ． (1) 当点P 在线段ED 上时（如图1），求证：BE ＝PD ＋33PQ ；（2）若 BC ＝6，设PQ 长为x ，以P 、Q 、D 三点为顶点所构成的三角形面积为y ，求y 与 x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（3）在②的条件下，当点P 运动到线段ED 的中点时，连接QC ，过点P 作PF ⊥QC ，垂足为F ，PF 交对角线BD 于点G （如图2），求EFDA BC线段PG 的长。
解：7：如图,矩形纸片ABCD 中,AB =8,将纸片折叠,使顶点B 落在边AD 的E 点上,BG =10.(1)当折痕的另一端F 在AB 边上时,如图(1).求△EFG 的面积. (2)当折痕的另一端F 在AD 边上时,如图(2).证明四边形BGEF 为菱形,并求出折痕GF 的长.HA BCD EF G8：如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在射线BC 上，且PE=PB . （1）求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ； （2）设AP =x , △PBE 的面积为y .① 求出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； ② 当x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值图（2）ABCDE FG H (A)(B)ABCDE F G图（1）ABPDE9：如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G 与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb(a≠b，k>0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第(2)题图5中，连结DG 、BE ，且a =3，b =2，k =12，求22BE DG +的值．10．如图，在□ABCD 中，EF ∥BD ，分别交BC 、CD 于点P 、Q ，分别交AB 、AD 的延长线于点E 、F ．已知BE=BP ． 求证：（1）∠E=∠F ．（2）□ABCD 是菱形．11．如图10，分别以△ABC 的边AB ，AC 向外作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，线段BE 与CD 相交于点O ，连结OA ． （1）求证：BE = DC ；（2）求∠BOD 的度数； （3）求证：OA 平分∠DOE ．12．如图，点P 是正方形ABCD 边AB 上一点（不与点A B ，重合），连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针方向旋转90°得到线段PE ，PE 交边BC 于点F ，连接BE DF ，．（1）求证：ADP EPB ∠=∠； （2）求CBE ∠的度数； （3）当APAB的值等于多少时，PFD BFP △∽△？并说明理由 13．某天然气供应站根据实际情况，每天从零点开始至凌晨4点，只打开进气阀,在以后 的16小时(4：00—20：00),同时打开进气阀和供气阀, 20：00—24：00只打开供气阀．已知气站每小时的进气量和供气量是一定的，图11反映了气站某天的储气量y (米3)与x (小时)之间的关系．（1）①0：00—4：00之间气站每小时增加的储气量为________米3，②4：00—20：00（2）求20：00—24：00时，y 与x 函数图象．14、已知：如图，Rt ABC ∆中，ACB ∠，将OE D CBA图10时）直角三角板中45o角的顶点放在点C处．并将三角板绕点C旋转，三角板的两边分别交AB边于D、E两点(点D在点E的左侧，并且点D 不与点A重合，点E不与点B重合)，设AD=m,DE=x,BE=n.(1)判断以m、x、n为三边长组成的三角形的形状，并说明理由；(2)当三角板旋转时，找出AD DE BE、、三条线段中始终最长的线段，并说明理由．15、直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°,AC≤BC,如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A 落在直角边BC上，记落点为D,设折痕与AB、AC边，分别交与点E、点F.探究：如果折叠后的△CDF与BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后．．．的图形。
解：16、已知如图，△ABC中，AB=AC，∠A=120°，DE垂直平分仙于D，交BC于E点．求证：CE=2BE．17、已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，若CD⊥BD于D点，且BD 交AC 于E 点，问当BD 满足什么条件时CD=12BE?并证明你的判断．18、如图，在直角坐标系xOy 中，直线y=kx+b 交x 轴正半轴于A(-1,0),交y 轴正半轴于B,C 是x 轴负半轴上一点，且CA=43CO,△ABC 的面积为6。
（1）求C 点的坐标。
（2）求直线AB 的解析式。
（3）D 是第二象限内一动点，且OD ⊥BD,直线BE 垂直射线CD 于额，OF ⊥CD 交直线BE 于F .当线段OD,BD 的长度发生改变时，∠BDF 的大小是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请证明并求出其值。
19、某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD （AB ＜BC ）的对角线交点O 旋转（如图①→②→③），图中M 、N 分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD 的边CD 、BC 的交点.（1边与OD 重合）中，BN 2＝CD 2＋CN 2；在图③（三角板的一直角边与OC 重合）中，CN 2＝BN 2＋CD 2.请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一．．．．说明理由. （2）试探究图②中BN 、CN 、CM 、DM 这四条线段之间的关系，写出你的结论，并说明理由.20、已知如图，射线CB ∥OA ，∠C=∠OAB=100?,E 、F 在CB 上，且满足∠FOB=∠AOB ，OE 平分∠COF. （1）求∠EOB 的度数；（2）若平行移动AB ，那么∠OBC ∶∠OFC 的值是否随之变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；（3）在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由；→ A B 图①A B 图②图③→FO ECBA。