高等代数专题研究模拟试题及答案(05春)

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高三数学5月模拟试题含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校华东师范大学第二附属2021届高三数学5月模拟试题〔含解析〕z满足1zi i=--1+2i，那么z等于_____．【答案】1+i【解析】【分析】由题得iz+i＝﹣1+2i，利用复数的乘除运算化简即可【详解】∵1zi i=-iz+i∴iz+i＝﹣1+2i∴z＝1+i故答案为：1+i．【点睛】此题考察行列式，复数的运算，准确计算是关键，是根底题2.计算：3381nnClimn→∞=+_____【答案】1 48【解析】【分析】由二项式定理得()()323123266nn n n n n nC---+==，再求极限即可【详解】()()323123266nn n n n n n C---+ ==；∴33223333213216814864848nn n nC n n n n nlim lim limn nn→∞→∞→∞-+-+===+++．故答案为：1 48．【点睛】此题考察极限，考察二项式定理，是根底题的时间是〔单位：分钟〕分别为x，y，10，11，9．这组数据的平均数为10，方差为2，那么x2+y2＝_____．【答案】4【解析】试题分析：利用平均数、方差的概念列出关于x、y的方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x-y|即可，故可设x=10+t，y=10-t，求解即可。

解：由题意可得：x+y=20，〔x-10〕2+〔y-10〕2=8，设x=10+t，y=10-t，那么2t2=8，解得t=±2，∴|x-y|=2|t|=4，故答案为4.考点：平均值点评：此题考察统计的根本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，比较简单．x，y的二元一次方程的增广矩阵为32111m⎛⎫⎪⎝⎭．假设D x＝5，那么实数m＝_____．【答案】-2【解析】【分析】由题意，D x1232m-==-5，即可求出m的值．【详解】由题意，D x1232m-==-5，∴m＝-2，故答案为-2．【点睛】此题考察x，y的二元一次方程的增广矩阵，考察学生的计算才能，比较根底．x 、y 满足不等式组22000x y x y y --≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，那么11y w x -=+的取值范围是_____【答案】1,12⎡-⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】画出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用w 的几何意义即可得到结论．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：〔阴影局部〕．11y w x -=+的几何意义为阴影局部的动点〔x ，y 〕到定点P 〔﹣1，1〕连线的斜率的取值范围．由图象可知当点与OB 平行时，直线的斜率最大，当点位于A 时，直线的斜率最小，由A 〔1，0〕，∴AP 的斜率k 12=- 又OB 的斜率k ＝1 ∴12-≤w <1．那么11y w x -=+的取值范围是：112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，．故答案为：112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，．【点睛】此题主要考察线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．101)2x展开式中，含x 的负整数指数幂的项一共有_____项．【答案】4 【解析】【分析】先写出展开式的通项：103211012rrr r T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭由0≤r ≤10及532r -为负整数，可求r 的值，即可求解【详解】1012x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为103211012rrr r T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭其中r ＝0，1，2…10 要使x 的指数为负整数有r ＝4，6，8，10 故含x 的负整数指数幂的项一共有4项故答案为：4【点睛】此题主要考察了二项展开式的通项的应用，解题的关键是根据通项及r 的范围确定r 的值 7.一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的外表积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_____．【答案】【解析】试题分析：设圆柱的高为2，由题意圆柱的侧面积为2×2π=4π，圆柱的体积为2122ππ⋅⋅=，那么球的外表积为4π，故球的半径为1；球的体积为43π，∴这个圆柱的体积与这个球的体积之比为23423ππ=，故填考点：此题考察了球与圆柱的体积、外表积公式点评：此类问题主要考察学生的计算才能，正确利用题目条件，面积相等关系，挖掘题设中的条件，解题才能得心应手m ，n ，作向量a=〔m ，n 〕，那么a 与b =〔1，﹣1〕的夹角成为直角三角形内角的概率是_____．【答案】712【解析】【分析】根据分步计数原理可以得到试验发生包含的所有事件数，满足条件的事件数通过列举得到即可求解【详解】由题意知此题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数6×6， ∵m ＞0，n ＞0， ∴a=〔m ，n 〕与b =〔1，﹣1〕不可能同向．∴夹角θ≠0． ∵θ∈〔0，2π] a •b ≥0，∴m ﹣n ≥0，即m ≥n ．当m ＝6时，n ＝6，5，4，3，2，1；当m ＝5时，n ＝5，4，3，2，1；当m ＝4时，n ＝4，3，2，1；当m ＝3时，n ＝3，2，1；当m ＝2时，n ＝2，1；当m ＝1时，n ＝1．∴满足条件的事件数6+5+4+3+2+1∴概率P 65432176612+++++==⨯．故答案为：712【点睛】此题考察古典概型，考察向量数量积，考察分类讨论思想，准确计算是关键A ＝{〔x ，y 〕||x ﹣a |+|y ﹣1|≤1}，B ＝{〔x ，y 〕|〔x ﹣1〕2+〔y ﹣1〕2≤1}，假设A ∩B ≠∅，那么实数a 的取值范围为_____．【答案】[﹣1，3] 【解析】【分析】先分别画出集合A ＝{〔x ，y 〕||x ﹣a |+|y ﹣1|≤1}，B ＝{〔x ，y 〕|〔x ﹣1〕2+〔y ﹣1〕2≤1}，表示的平面图形，集合A 表示是一个正方形，集合B 表示一个圆．再结合题设条件，欲使得A ∩B ≠∅，只须A 或者B 点在圆内即可，将点的坐标代入圆的方程建立不等式求解即可．【详解】分别画出集合A ＝{〔x ，y 〕||x ﹣a |+|y ﹣1|≤1}，B ＝{〔x ，y 〕|〔x ﹣1〕2+〔y ﹣1〕2≤1}，表示的平面图形，集合A 表示是一个正方形，集合B 表示一个圆．如下列图．其中A 〔a +1，1〕，B 〔a ﹣1，1〕，欲使得A ∩B ≠∅，只须A 或者B 点在圆内即可，∴〔a +1﹣1〕2+〔1﹣1〕2≤1或者〔a ﹣1﹣1〕2+〔1﹣1〕2≤1，解得：﹣1≤a ≤1或者1≤a ≤3，即﹣1≤a ≤3．故答案为：[﹣1，3]．【点睛】本小题主要考察二元一次不等式〔组〕与平面区域、集合关系中的参数取值问题、不等式的解法等根底知识，考察运算求解才能，考察数形结合思想、化归与转化思想．属于根底题．ABC ∆中，1BC AC ==，以AB 为边作等腰直角三角形ABD 〔B 为直角顶点，C D 、两点在直线AB 的两侧〕，当C ∠变化时，线段CD 长的最大值为__________．【答案】3 【解析】试题分析：设CBA α∠=，AB BD a==，那么在三角形BCD 中，由余弦定理可知222CD a α=++，在三角形ABC 中，由余弦定理可知2cosα=，可得sinα=，所以222CD a =+，令22t a =+，那么2CD t t ==59≤=，当2(5)4t -=时等号成立．考点：解三角形11.如图，B 是AC 的中点，2BEOB =，P 是平行四边形BCDE 内〔含边界〕的一点，且()OP xOA yOB x y R =+∈，．有以下结论：①当x ＝0时，y ∈[2，3]； ②当P 是线段CE 的中点时，1522xy =-=，；③假设x +y 为定值1，那么在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段； ④x ﹣y 的最大值为﹣1；其中你认为正确的所有结论的序号为_____．【答案】②③④ 【解析】【分析】利用向量一共线的充要条件判断出①错，③对；利用向量的运算法那么求出OP ，求出x ，y 判断出②对,利用三点一共线解得④对【详解】对于①当OPyOB =，据一共线向量的充要条件得到P 在线段BE 上，故1≤y ≤3，故①错对于②当P 是线段CE 的中点时，()132OP OE EP OB EB BC =+=++ ()11532222OB OB AB OA OB =+-+=-+故②对对于③x +y 为定值1时，A ，B ，P 三点一共线，又P 是平行四边形BCDE 内〔含边界〕的一点，故P 的轨迹是线段，故③对对④，()OPxOA yOB xOA y OB=+=--，令OB OF -=，那么()xOA y OF OP =-，当,,P A F 一共线，那么1x y -=，当AF 平移到过B 时，x ﹣y 的最大值为﹣1，故④对故答案为②③④【点睛】此题考察向量的运算法那么、向量一共线的充要条件,考察推理才能，是中档题x 和任意02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，恒有221(32)()8x sin cos x asin acos θθθθ+++++≥，那么实数a 的取值范围为_____．【答案】a ≤a 72≥【解析】【分析】原不等式等价于〔3+2sinθcosθ﹣a sinθ﹣a cosθ〕214≥，θ∈[0，2π]，从而可得a1322sin cos sin cos θθθθ++≥+，或者a 1322sin cos sin cos θθθθ+-≤+，于是问题转化为求函数的最值问题加以解决，对上述分式进展合理变形，利用函数单调性、根本不等式即可求得最值．【详解】原不等式等价于〔3+2sin θcos θ﹣a sin θ﹣a cos θ〕214≥，θ∈[0，2π]①，由①得a 1322sin cos sin cos θθθθ++≥+②，或者a 1322sin cos sin cos θθθθ+-≤+③，在②中，1sin cos θθ≤+≤，1322sin cos sin cos θθθθ++=+〔sin θ+cos θ〕()52sin cos θθ++，显然当1≤x ≤f 〔x 〕＝x 52x+为减函数，从而上式最大值为f 〔1〕＝15722+=，由此可得a 72≥；在③中，1322sin cos sin cos θθθθ+-=+〔sin θ+cos θ〕()32sin cos θθ+≥=+ 当且仅当sin θ+cosθ=时取等号，所以1322sin cos sin cos θθθθ+-+，由此可得a ≤综上，a ≤a 72≥．故答案为：a ≤a 72≥．【点睛】此题考察函数恒成立问题，转化为函数最值问题是解决该类题目的常用方法，解决此题的关键是先对不等式进展等价变形去掉x ，变为关于θ的恒等式处理．{}2=540A x x x -+<{}B=1x x a -<，那么“()2,3a ∈〞是“B A ⊆〞的〔〕A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】()()1,4,1,1A B a a ==-+，假设B A ⊆，那么1114a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得[]2,3a ∈，所以()2,3a ∈是[]2,3a ∈的充分不必要条件，应选A 。

高三数学五月模拟试卷答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 【答案】A解析：由题意知，函数的定义域为R，且当x<0时，f(x)=x+2，当x≥0时，f(x)=x-2。

因此，f(x)在x=0处不连续。

2. 【答案】C解析：由三角函数的性质知，sin(π/6) = 1/2，cos(π/6) = √3/2，tan(π/6) = √3/3。

代入选项计算，只有C选项满足条件。

3. 【答案】B解析：由二次函数的性质知，当a>0时，函数开口向上，且顶点为函数的最小值点。

计算得a=1，b=-4，c=4，顶点坐标为(2, 0)。

4. 【答案】D解析：由复数的性质知，若z是复数，则|z|^2 = z·z，其中z是z的共轭复数。

计算得|z|^2 = 4，即|z| = 2。

5. 【答案】C解析：由数列的性质知，若数列{an}是等差数列，则an = a1 + (n-1)d，其中d是公差。

计算得d = 2，a6 = a1 + 5d = 3 + 10 = 13。

6. 【答案】B解析：由排列组合的性质知，从n个不同元素中取出m个元素的组合数C(n, m) = n! / [m!(n-m)!]，其中n!表示n的阶乘。

计算得C(10, 3) = 10! / [3!(10-3)!] = 120。

7. 【答案】A解析：由向量的性质知，若向量a和向量b垂直，则a·b = 0。

计算得a·b = 3×(-1) + 4×2 = 5 ≠ 0，因此a和b不垂直。

8. 【答案】C解析：由函数的性质知，若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在区间[a, b]上一定存在最大值和最小值。

计算得f(x)在区间[0, 2π]上连续，因此一定存在最大值和最小值。

解析：由概率的性质知，若事件A和事件B互斥，则P(A∪B) = P(A) + P(B)。

计算得P(A∪B) = 1/4 + 1/6 = 5/12。

10. 【答案】B解析：由数列的性质知，若数列{an}是等比数列，则an = a1·r^(n-1)，其中r是公比。

高等代数习题及答案

⾼等代数习题及答案⾼等代数试卷⼀、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每⼩题1分，共10分）1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。

（）2、若线性⽅程组的系数⾏列式为零，由克莱姆法则知，这个线性⽅程组⼀定是⽆解的。

（）3、实⼆次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。

（）4、 321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i 是线性空间3R 的⼀个⼦空间。

（） 5、数域F 上的每⼀个线性空间都有基和维数。

（）6、两个n 元实⼆次型能够⽤满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。

（）7、零变换和单位变换都是数乘变换。

（） 8、线性变换的属于特征根0 的特征向量只有有限个。

（）9、欧⽒空间V 上的线性变换是对称变换的充要条件为关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。

（）10、若n ,,,21 是欧⽒空间V 的标准正交基，且 ni i i x 1，那么 ni ix12。

（）⼆、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出⼀个正确答案，并将其号码写在题⼲后⾯的括号内。

答案选错或未作选择者，该题⽆分。

每⼩题1分，共10分）1、关于多项式的最⼤公因式的下列命题中，错误的是（）① n n nx g x f x g x f,, ；② n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 ；③ x g x g x f x g x f ,, ；④若 1,1, x g x f x g x f x g x f 。

2、设D 是⼀个n 阶⾏列式，那么（）①⾏列式与它的转置⾏列式相等；②D 中两⾏互换，则⾏列式不变符号；③若0 D ，则D 中必有⼀⾏全是零；④若0 D ，则D 中必有两⾏成⽐例。

3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（）①A 中每个s s (<)r 阶⼦式都为零；②A 中每个r 阶⼦式都不为零；③A 中可能存在不为零的1 r 阶⼦式；④A 中肯定有不为零的r 阶⼦式。

海事05年高代

大连海事大学2005年硕士研究生招生考试试题考试科目：高等代数适用专业：应用数学考生须知：１、所有答案必须写在答纸上，写在试题纸上无效；２、考生不得在答题上作与答题内容无关的标记，否则试卷作废。

一、（共20分）设向量β可由向量组r αα,,1 线性表出，证明：表法唯一的充分必要条件是向量组r αα,,1 线性无关。

二、（共15分）设A 是一个n 阶方阵，n I 是n 阶单位阵。

若A 满足下面三个条件中的两个，则一定也满足第三个：(1) A 2=n I ；(2)AA T =n I ；(3) A T ＝A 。

三、（共20分）设H 是一个Euclid 空间，x ，y 是H 中的两个向量。

(1) 证明：x 与y 正交的充分必要条件为x y +＝x －y ；(2) 在2维欧氏空间中，对(1)的结论给出几何解释。

四、（共20分）设线性方程组Ax=b 有解，但不唯一。

(1)求a 的值；(2)求正交矩阵Q ，使得Q T AQ 为对角阵。

这里，A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111111a a a ，b ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-211。

五、（20分）设A 是n 阶实对称阵，证明：存在一个n 阶正定阵B ，使得对于任意一个实n 维向量x ，都有Bx x Ax x T T ≤。

如果A 不是对称阵，上述结论是否成立？说明理由。

六、（共20分）设n P 是n 维实向量空间，a ∈n P ，a ≠0。

令{}0| T n =∈=x a P x π， l ={}R k ka x P x ∈=∈，| n 。

证明：(1) π和l 均为n P 的子空间；(2) l ⊥π；(3)当n =3时，l P ⊕=π3。

七、（共15分）设A ，B 均为n 阶实矩阵，并且A ，B ，AB －n I ，均可逆，n I 为n 阶单位阵。

证明：A －B 1－，(A －B 1－)1－－A 1－也可逆。

八、（共20分）设T 是线性空间n V 的线性变换，构造子空间{}n n V x x T x V ∈==，0|1，{}n n V x x T x V ∈==+，0|12。

高等代数试题及参考答案

高等代数试题及参考答案The document was prepared on January 2, 2021高等代数一考试试卷一、单选题每一小题备选答案中,只有一个答案是正确的,请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中.错选、多选、不选均不给分,6小题,每小题4分,共24分 1. 以下乘积中是4阶行列式ij D a =展开式中取负号的项.A 、11223344a a a a .B 、14233142a a a a .C 、12233144a a a a .D 、23413214a a a a .2．行列式13402324a --中元素a 的代数余子式是 .A 、0324-. B 、0324--. C 、1403-. D 、1403. 3．设,A B 都是n 阶矩阵,若AB O =,则正确的是 . A 、()()r A r B n +≤. B 、0A =. C 、A O =或B O =. D 、0A ≠.4．下列向量组中,线性无关的是 .A 、{}0.B 、{},,αβ0.C 、{}12,,,r ααα,其中12m αα=.D 、{}12,,,r ααα,其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合. 5．设A 是n 阶矩阵且()r A r n =<,则A 中 .A 、必有r 个行向量线性无关.B 、任意r 个行向量线性无关.C 、任意r 个行向量构成一个极大线性无关组.D 、任意一个行向量都能被其它r 个行向量线性表出.6．n 阶矩阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的条件. A 、充要. B 、充分非必要. C 、必要非充分. D 、非充分非必要. 二、判断题正确的打√,错误的打×,5小题,每小题2分,共10分.1．若A 为n 阶矩阵,k 为非零常数,则kA k A =. 2．若两个向量组等价,则它们包含的向量个数相同. 3．对任一排列施行偶数次对换后,排列的奇偶性不变. 4．正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵. 5．任何数域都包含有理数域. 三、填空题每空4分,共24分.1．行列式000100201000D n n==- . 2．已知5(1,0,1)3(1,0,2)(1,3,1),(4,2,1)αβ---=--=-,则α= ,(,)αβ= .3．矩阵12311211022584311112A ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦,则()r A = . 4．设线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解,其系数矩阵A 与增广矩阵A 的秩分别为s 和t ,则s 与t 的大小关系是 .5．设111123111,124111051A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,则1A B -= . 四、计算题4小题,共42分1．计算行列式1111111111111a a a a；2111116541362516121612564.每小题6分,共12分2．用基础解系表出线性方程组123451234512345123452321236222223517105x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+--+=⎩的全部解.10分3．求与向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)ααα==-=-等价的正交单位向量组.10分4．求矩阵211020413A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征根和特征向量.10分一、单选题每题4分,共24分二、判断题每题2分,共10分三、填空题每空4分,共24分1．(1)2(1)!n n n --⋅； 2． 20；3．3； 4．s t =；5.351222312212112-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 四、计算题共42分1．12分,每小题各6分 1解：11131111111111311111(3)111311111111311111a a a a a a a a a a a aa a a++==+++ ..............3分31111010(3)(3)(1)001001a a a a a a -=+=+--- ...................3分注：中间步骤形式多样,可酌情加分 2解：222233331111111116541654136251616541216125641654=,此行列式为范德蒙行列式 ......3分进而2222333311111654=(61)(51)(41)(56)(46)(45)12016541654=------=-原式 .......3分2．10分解：用初等变换把增广矩阵化为阶梯形1213211213211213212111360317740115411122220115410317742351710501711630171163---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎣⎦⎣⎦⎣⎦1213211213210115410115410317740048510171163000000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦ ..................3分得同解方程组取45,x x 为自由未知量,得方程的一般解为12345234534521321544185x x x x x x x x x x x x++=+-⎧⎪-=+-⎨⎪=--+⎩其中45,x x 为自由未知量将450,0x x ==代入得特解01551(,,,0,0)444γ=--. ................3分用同样初等变换,得到与导出组同解的方程组12345234534523205404850x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩仍取45,x x 为自由未知量,得一般解12345234534523254485x x x x x x x x x x x x++=-⎧⎪-=-⎨⎪=-+⎩,将451,0x x ==和450,4x x ==分别代入得到一个基础解系：12(1,3,2,1,0),(9,11,5,0,4)ηη=--=- ...............3分所以,原方程组的全部解为01122k k γηη++,12,k k 为数域P 中任意数. ............1分注：答案不唯一,但同一齐次方程组的基础解系必等价. 3．10分解：因123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)ααα==-=-是线性无关向量组,现将 123,,ααα正交化,令11βα=,αβαββαββββββ-=--=-----=-313233121122(,)(,)814(3,5,1,1)(1,1,1,1)(0,2,1,3)(,)(,)414(1,1,2,0)............................6分再将向量组123,,βββ单位化,得βγβ==1111111(,,,)2222,βγβ==--2222,1,3)14,βγβ==-3332,0)6. 即123,,γγγ就是与123,,ααα等价的正交单位向量组. ....................4分注：答案不唯一. 4．10分解：A 的特征多项式为所以A 的特征值为1,2-2重. ....................4分1λ=-对应的齐次线性方程组为它的基础解系是1101η⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 11k η10k ≠为A 的属于特征值1-的特征向量； .................3分2λ=对应的齐次线性方程组为它的基础解系是1144231,001ηη⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；2233k k ηη+23,k k 不同时为零为A 的属于特征值2的特征向量. ...............3分注：答案不唯一.。

高等代数模拟试题

高等代数模拟试题一选择题（每小题2分，共16分）1 哪个向量组是线性相关的? (A) P[x]中, 1 , 2n, ,,x x x .(B) 2 2P ⨯中, 任意5个矩阵A ，B ，C ，D ，E(C) 在次数≤2的全体多项式以及零多项式所成线性空间3[]P x 中, 1 , 22 1 , 1 x x +-.(D) 3P 中, 123(1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)ααα===2在数域P 上 ,下列集合关于通常的加法和数乘是线性空间的有（） (1) {}(, 0 , ,0 , ),V a b a b P =∈ . (2) {}1212(, , ,)0n V a a a a a =+= (3) {} ()0n nV A Ptr A ⨯=∈=(4) {}()[] (0)0V f x P x f =∈=(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个3下述结论错误的是(A) [,]a b V C = 是实数域上的无限维线性空间. (B) {} n nV A P A A ⨯'=∈=是P 上(1)2n n +维线性空间. (C) {} n nV A P A A ⨯'=∈=-是P 上(1)2n n -维线性空间.(D) ,a b V a b P b a ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭是P 上4维线性空间. 4．设V ＝3R ，123123(,,),(,,)x x x y y y αβ==，二元实函数是(,)'A αβαβ=，其中(A)101010100A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， (B) 101010102A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，(C)101000100A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， (D) 111110101A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭第1页选取上述那个矩阵A 能使V 成为欧氏空间。

5 设A , B ，C 都是n×n 矩阵，且0C ≠，那么(1) CAC ~ A 2C (2) 22~ CB B C (3) ~ CAB ABC (4) ~ CA AC (A) (1) , (2) , (3) , (4) 都正确 (B) (1) , (4) 正确 (C) (1) , (2) , (3) 正确 (D) 都不正确6 下列结论错误的是(A) 如果n 阶复数矩阵A 的最小多项式无重根，那么A 相似于一个对角矩阵 (B) 如果n 阶矩阵A 有n 个线性无关的特征向量，那么A 相似于对角矩阵 (C) 如果n 阶矩阵A 相似于一个对角矩阵，那么A 有n 个不同的特征值 (D) 相似矩阵有相同的特征值 7 能与对角矩阵相似的矩阵是(1) 实对称矩阵 (2) 满足220A A E --= (3) 幂等矩阵 (4) 102003a b c ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(A) (1) , (2) , (3) (B) (1) , (2) , (3) ,(4)(C) (1) , (3) , (4) (D) (1), (2) 8 如果四个线性变换1234A A A A ,,,在标准正交基下的矩阵分别是(A)100010001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ (B)011011100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭(C)00100⎛⎫⎪⎪⎪-⎝⎭(D) 1000cos sin 0sin cos θθθθ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭那么（）不是正交变换。

2005高等代数试卷答案

2005高等代数试卷A答案一、单项选择题（63=18分）1．设A是n阶实矩阵，且秩R(A)=n，则二次型X’ (A’A)X是（ C ）A．不定二次型 B．半负定二次型C．正定二次型 D．负定二次型2．设A、B为n阶方阵, 则下列各式成立的是（ C ）A．|A+B|=|A|+|B|; B．(AB)k=A k B k ;C．|AB|=|BA|; D．A T B=B T A.3．设A为n阶方阵, A的秩R(A)=r<n, 那么在A的n个行向量中（ A ）A．必有r个行向量线性无关;B．任意r个行向量线性无关;C．任意r个行向量都构成最大线性无关组;D．任何一个行向量都可以由其它r个行向量线性表出.4．若A是方阵且方程组AX=0只有零解, 则AX=β(≠0)（ B ）A．必有无穷多组解;B．必有唯一解;C．必定没有解;D．A、B、C都不对.5．n阶方阵A与B相似的充分必要条件是（ C ）A．矩阵A与B的行列式的值相等;B．矩阵A与B有相同的特征值;C．存在n阶满秩矩阵P, 使P -1AP=B;D．存在n阶满秩矩阵P, 使P T AP=B.6．设A =,B =,则A与B（ A ）A．合同且相似；B．合同但不相似；C．不合同但相似；D．不合同且不相似.二、填空题（83=24分）1. 若n阶方阵A 中每行元素之和为定值S, 则A 的一个特征向量可写成x =（ 1, 1, · · · 1 ）’2. 设x, y R n (标准内积), 则x y与 |x|2 +| y|2 = | x+y|2 是 _等价__ 关系..3 设4．从的基，到基，的过渡矩阵为 .5.. 设n阶矩阵A的最小多项式为g(λ) = λ 2 - 3λ + 2, 则A-1 = ( 3I – A ) , 且A必相似于 ( _对角阵 ) .6. 设V是实数域上次数小于3 的多项式构成的线性空间, D: VV是求导变换, 则D的核Ker(D)= { c | c是实数} = R_D在基{1, X 1,X 2 }下的表示阵A =三、（10分）设3阶方阵A,B满足A* BA = 2BA - 8I, 为A的伴随阵且A=,求B .四、（8分）设7阶方阵A的特征阵(λI - A)相抵(等价)于下面对角阵D = diag { λ2 – 3, λ2 – 1, λ- 2, (λ – 2)2, 1, 1, 1}(1) 写出A 的初等因子与不变因子;(2) 求A 的若当标准形.五、（8分）设A写出特征阵λI - A的法式与A的最小多项式;六、（10分）讨论 λ 取何值时，下面方程组有解; 当方程组有无穷多解时求其通解.七、（12分）设列向量（1）求A的特征多项式|λI – A|；（2）求正交阵Q 使Q’AQ为对角阵.八、（10分）设A, B均为n阶正定矩阵，且A B = BA, 证明:(1) AB为正定矩阵 ;(2) 存在可逆阵P, 使 P-1AP 与 P-1BP 都是对角阵;(3) |A+B | | A | + | B |答案三. (10分)由A*BA=2BA–8I, 两边同时左乘A,右乘A-1,整理得即左乘得四.(8分)答案：（1）矩阵A的初等因子组为。

《高等代数专题研究》作业参考答案

EMBED Equation.DSMT4 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 ，即“ EMBED Equation.DSMT4 ”满足结合律。
3、证明：当n=2时， EMBED Equation.DSMT4 ，因此命题对n=2正确。
当n=4时， EMBED Equation.DSMT4 ，因此命题对n=4正确。
且 EMBED Equation.DSMT4 ，故 EMBED Equation.DSMT4 是有单位元素1的数环，因而是整环。
2） EMBED Equation.DSMT4 为 EMBED Equation.DSMT4 中全部可逆元素。 EMBED Equation.DSMT4 为奇素）为 EMBED Equation.DSMT4 中全部不可约元素。
3、证明：因为 EMBED Equation.DSMT4 是等差数列，则 EMBED Equation.DSMT4 ，则均值不等式，得
EMBED Equation.DSMT4 ，
又： EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，
5、对于一个与自然数有关的命题T，若i：若n=1时命题T正确；ii：假设命题T对n<k正确，就能推出命题T对n=k正确。则命题T对一切自然数正确。
三、计算题
1、解： EMBED Equation.DSMT4 到 EMBED Equation.DSMT4 的映射一共有 EMBED Equation.DSMT4 个，它们是：
五、简述题
1、答： EMBED Equation.DSMT4 ，给予证明如下：

华中科技大学2005高等代数解答

华中科技大学2005年硕士研究生入学考试《高等代数》试题以下各题每题15分,共150分博士家园解答顾问：fenggaol 欢迎提供更多试题，我们会竭力帮助您！1．解线性方程组 231232312323123,,,x ax a x a x bx b x b x cx c x c ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩ 其中,,a b c 为互不相等的数．2．证明: 任一n 阶方阵可以表成一个数量矩阵(具有kE 形式的矩阵)与一个迹为0的矩阵之和.3．设A 为m n ⨯实矩阵,E 为n 阶单位阵,TB E A A λ=+, 证明: 当0λ>时,B 为正定矩阵.4. 设A 为n 阶不可逆方阵,证明:A 的伴随矩阵*A 的特征值至少有1n -个为0,另一个非零特征值(如果存在)等于1122nn A A A +++ .5. 证明: 相似的矩阵有相同的最小多项式.6. 设A 为m n ⨯矩阵,b 为m 维列向量,证明AX b =有解的充分必要条件是对满足0T A z =的m 维列向量z 也一定满足0T b z =.7. 证明: 任一n 阶实可逆矩阵A 可以分解成一个正交阵Q 与一个正定阵S 之积, 即A QS =.8. 设n nM P⨯∈,(),()[]f x g x P x ∈, 且((),())1f x g x =. 令()A f M =,()B g M =,12,,W W W 分别为线性方程组0ABX =,0AX =,0BX =的解空间.证明12W W W =⊕.9. 设Ω是一些n 阶方阵组成的集合, 其中元素满足,A B ∀∈Ω, 都有AB ∈Ω,且3()AB BA =, 证明:(1) 交换律在Ω中成立.(2) 当E ∈Ω时,Ω中矩阵的行列式的值只可能为0,1±. 10. 证明: 不存在n 阶正交阵,A B , 使得22A AB B =+.华中科技大学2005年硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答博士家园解答顾问：fenggaol 欢迎提供更多试题，我们会竭力帮助您！ 1. 所给线性方程组的系数行列式为范德蒙行列式222111a a D b b cc =()()()b a c a c b =---因为,,a b c 互不相等,故0D ≠.由克莱姆法则知,方程组有唯一解.取3232132a a a Db b bc c c ==()()()abc b a c a c b --- 3232232111a a D bb c c =()()()(a b a c b c b a c a c b =++---3333111a a D b b cc =()()()()a b c b a c a c b =++---那么方程组的唯一解为11D x abc D ==, 12D x ab ac bc D ==++, 13Dx a b c D==++. ■2. 设A 是任一个n 阶方阵,()ij n n A a ⨯=.假设A 可以写成A kEB =+的形式,其中k 为数域P 中的一个数,()ij n n B b ⨯=是一个迹为0的矩阵.那么11220,1,2,,,,,1,2,,.nn ii ii ij ij b b b a k b i n a b i j i j n +++==+==≠=于是111(),nnniiiiiii i i a k b nk bnk ====+=+=∑∑∑即11.nii i k a n ==∑从ii ii a k b =+得11.nii ii ii jj j b a k a a n ==-=-∑取11,nii i k a n ==∑1,1,,,n ii jj j ij ij a a i j n b a i j =⎧-=⎪=⎨⎪≠⎩∑若若那么()ij n n B b ⨯=是一个迹为0的矩阵,且A kE B =+. ■3. 对于任一个非零实n 维列向量1n c C c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,有12211(,,)0T n n n c C C c c c c c ⎛⎫ ⎪==++> ⎪ ⎪⎝⎭.令1n d AC d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,那么12211()()()(,,)0T T T n n n d C A A C AC AC d d d d d ⎛⎫ ⎪===++≥ ⎪ ⎪⎝⎭.由于0λ>,故222211221()()()()()0T T T T T T n n n C BCC E A A C C C C A A C c c d d c c λλλλ=+=+=+++++≥++>由正定矩阵的定义知,B 是正定矩阵. ■4. 设A 是数域P 上的n 阶不可逆方阵, 则rank A n <, ||0A =.若rank 1A n <-,则A 的所有1n -阶子式都为0,从而A *的元素0ij A =.这时0A *=. 显然,A *的n 个特征值都是0,结论成立.若rank 1A n =-,则A 至少有一个1n -阶子式不为0,故0A *≠,rank 1A *≥. (1)由||00AA A E E *===知,A *的每个列向量都是齐次线性方程组0AX =的解向量.设{|0}n V X P AX =∈=,12(,,,)n A ααα*= .由线性空间的理论和线性方程组的理论知rank A *=dim 12(,,,)n L ααα≤ dim V n =-rank (1)1A n n =--=. (2)由(1),(2)知rank 1A *=.因为rank 1A *=,故存在可逆矩阵n nT P⨯∈,使得12000,000n c c c TA *⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中12,,n c c c P ∈ ,且不全为零.这时121000,000n d d d TA T *-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中11212(,,)(,,)n n d d d c c c T-= ,而12,,n d d d 不全为零.注意A *的特征多项式为1211100||||()0nn d d d E A E TA T d λλλλλλλ**------=-==-.因此,当10d =时,A *的n 个特征值都为0；当10d ≠时,A *的特征值为0(1n -重),1d (一重).注意,对于一般的n 阶矩阵()ij n n A a ⨯=来说,若A 的特征值为12,,,n λλλ ,则121122n nn a a a λλλ+++=+++ .因此,对于本题来说,当A *有1n -个特征值为0,而另一个特征值10d ≠时,有11122nn d A A A =+++ . ■5．设,A B 都是数域P 上的n n ⨯矩阵,且A 与B 相似.那么存在P 上n n ⨯可逆矩阵T 使得1T AT B -=.设A 的最小多项式为()f x ,B 的最小多项式为()g x ,则()0f A =,()0g B =.由多项式带余除法知,存在(),()[]q x r x P x ∈使得()()()()g x f x q x r x =+, (1)其中()0r x =,或(())(())r x f x ∂<∂.将x A =代入上式,得()()()()0()()()g A f A q A r A q A r A r A =+=+=,即()()g A r A =.于是1111()()()()()()g B g T AT T g A T T r A T r T AT r B ----=====,但()0g B =,故()0r B =,即有 11()()()0T r A T r T AT r B --===.于是有()0r A =.由于()f x 是满足()0f A =的次数最低的多项式,故()0r x =.由(1)知()()()g x f x q x =,即()|()f x g x .同理可证()|()g x f x .注意(),()f x g x 都是最高次项系数为1的非零多项式,故()()f x g x =. ■6. 必要性.设AX b =有解,即存在0n X P ∈使得0AX b =.记10n a X a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.设10n c z c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为0TA z =的任一解,即00T A z =,则12(,,,)0n c c c A = .于是112(,,,)0n n a c c c A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,即12(,,,)0n c c c b = .因此10T n c b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 即00T b Z =,这说明0Z 是0Tb Z =的解. ■7. 因为A 是n 阶实可逆矩阵,则TA A 是正定矩阵.于是存在n n ⨯正交矩阵U 使得1(),0,1,2,,T T i n U A A U R i n λλλ⎛⎫ ⎪=<∈= ⎪ ⎪⎝⎭.于是T T U A AU E ⎫⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎝. (1)令1Q AU ⎫⎪⎪⎪= ⎪ ⎝,从(1)式知,1Q 是正交矩阵.令1,TT Q QU AU U ⎫⎪⎪⎪== ⎪⎝,T S U U ⎫⎪= ⎪ ⎝那么Q 是正交矩阵,S 是正定矩阵,且1Q AS -=,即A QS =. ■8. 因为((),())1f x g x =,由多项式互素的充要条件知,存在(),()[]u x v x P x ∈使得()()()()1u x f x v x g x +=.将x M =代入上式,得()()()()u M f M v M g M E +=,即()()u M A v M B E +=.任取W α∈,则0AB α=,()()u M A v M B ααα+=.取1()v M B αα=,2()u M A αα=.由于,A B 都是M 的多项式,故AB BA =,进而有()(),()().Av M v M A Bu M u M B ==于是12()()()()00,()()()()()()00A Av MB v M AB v M B Bu M A u M BA u M AB u M ααααααα=========即11W α∈,22W α∈.因此12ααα=+,11W α∈,22W α∈,从而有12W W W ⊆+.注意到AB BA =,容易看出,1W W ⊆,2W W ⊆,从而12W W W +⊆.因此12W W W =+. (1)任取12W W β∈⋂,则0A β=,0B β=.于是(()())()()000E u M A v M B u M A v M B βββββ==+=+=+=,故12{0}W W ⋂=. (2)由(1),(2)式可得12W W W =⊕. ■9. (1) 任取,A B ∈Ω,由所给条件知AB ∈Ω,BA ∈Ω.令X AB =,2()Y AB =,则,X Y ∈Ω.于是32323333()()()()(()())(())()BAAB AB AB XY YX AB AB AB BA AB========即交换律在Ω中成立.(2) 任取A ∈Ω, 若E ∈Ω, 则33()A EA AE A ===.对上式两边取行列式, 得3||||A A =, 即2||(||1)0A A -=. 于是||0A =或2||10A -=,即||0A =或||1A =±. ■10. 反证法.假设存在正交矩阵,A B ,使22A AB B =+,则22TTTA A A AB A B =+. 由于正交矩阵A 满足1TA A -=,故2T A B A B =+注意2TA B 是正交矩阵,且2TA B A B =-,故A B -是正交矩阵.于是()()()()2T T T T T T T T T E A B A B A B A B AA BB AB BA E AB BA =--=--=+--=--即T T E AB BA =+. (1)从22A AB B =+得22TTTA B ABB B B A B =+=+.由于2TA B 也是正交矩阵,故A B +是正交矩阵,且()()()()2T T T T T T T T TE A B A B A B A B AA BB AB BA E AB BA =++=++=+++=++即T T E AB BA =--. (2)将(1),(2)左右两端分别相加,得20E =, 这显然是不可能的. ■。

北京大学2005年研究生入学考试——高等代数与解析几何_试题与答案2

北京大学 2005 数学专业研究生高等代数与解析几何。

2x y z 0 1．在直角坐标系中，求直线l :到平面: 3x By z 0 的正交投影轨迹的方程。

x y 2z1其中 B 是常数解：可以验证点12 1 2 5,0,l , ,0,，从而 l555x 1 3k把 l 写成参数方程：y 2 5k ，任取其上一点 P : ( 1 3k,2 5k, k) ，设该点到上的投影为zk点 P ' : ( x, y, z)PP 'x 1 3k z kx 3z 1 03 1 P3x By z整理即知， l 到x 3z 1上的正交投影轨迹满足方程Byz 03x由于11 ，上述方程表示一条直线，而 2*3 B 1 0 和 3B 2 0 不同时成立，因此 l 到3 1上的正交投影轨迹是一条直线x 3z 1 0从而 l 到上的正交投影轨迹的方程就是3x By z 02．在直角坐标系中对于参数的不同取值，判断下面平面二次曲线的形状：x 2 y 2 2 xy0 .对于中心型曲线，写出对称中心的坐标；对于线心型曲线，写出对称直线的方程。

解：1 , 1 x *x记 T2 2 ，容易验证 TT 'E ，因此直角坐标变换T 是一个正交变换1 , 1 y *y2 2在这个变换下，曲线方程变为 (1)x * 2(1 ) y * 21) 1 时， 1 0,1 0,0 ，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为(0,0)2)1 时，曲线方程为y * 21 ，是一对平行直线，是线心型曲线，对称直线为 y *0 ，即yx 23) 1 0时， 10,1 0,0 ，曲线为椭圆，是中心型曲线，对称点为 (0,0)4) 0 时，曲线方程为x * 2y * 20 ，是一个点，是中心型曲线，对称点为(0,0)5) 01时， 1 0,1 0, 0 ，曲线为虚椭圆，是中心型曲线，对称点为(0,0) 6)1 时，曲线方程为 x * 21 ，是一对虚平行直线，是线心型曲线，对称直线为 x *0 ，即 y x27)1时， 1 0,1 0,0 ，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为(0,0)3n级矩阵 A 的 (i , j )元为 a i b j．设数域 K 上的（ 1）.求 A ;(2). 当 n2 时， a 1 a 2 , b 1 b 2 .求齐次线性方程组 AX解：(1)若 n1， | A | a 1 b 1若 na 1b 1 a 1 b 2 (a 2 a 1 )(b 2 b 1 )2，|A|b 1 a 2 b 2a 2a 1b 1 a 1 b 2 a 1 b 3a 2b 1a 2b 2a 2b 3若 n2，|A|a n 1b 1 an 1b 2a nb 1a nb 2 a n b 3a 1b 1 a 1 b 2 a 1 b 3 R nRn 1 a 2 b 1a 2b 2a 2b 3R n 1Rn 20 的解空间的维数和一个基。

大学_高等代数模拟试题及答案

高等代数模拟试题及答案高等代数模拟试题及答案(一)26.如果矩阵rankAr,则 ( )A. 至多有一个r阶子式不为零;B.所有r阶子式都不为零C. 所有r1阶子式全为零，而至少有一个r阶子式不为零;D.所有低于r阶子式都不为零27. 设A为方阵，满足AA1A1AI，则A的行列式|A|应该有 ( )。

A. |A|0B. |A|0C. |A|k,k1D. |A|k,k128. A是n阶矩阵，k是非零常数，则kA ( )。

A. kA;B. kA;C. knAD. |k|nA29. 设A、B为n阶方阵，则有( ).A.A，B可逆，则AB可逆B.A，B不可逆，则AB不可逆C.A可逆，B不可逆，则AB不可逆D.A可逆，B不可逆，则AB不可逆30. 设A为数域F上的n阶方阵，满足A2A0，则下列矩阵哪个可逆( )。

2A.AB.AIC.AI DA2I31. A,B为n阶方阵，AO，且R(AB)0，则( )。

A.BO;B.R(B)0;C.BAO;D.R(A)R(B)n32. A，B，C是同阶方阵，且ABCI，则必有( )。

A. ACBI;B. BACI;C.CABID. CBAI33. 设A为3阶方阵，且R(A)1，则( )。

A.R(A__)3;B.R(A__)2;C.R(A__)1;D.R(A__)034. 设A,B为n阶方阵，AO，且ABO，则( ).A.BOB.B0或A0C.BAOD.ABA2B2 20040000035. 设矩阵A1000，则秩A=( )。

00000200A.1B.2C.3D.436. 设A是mn矩阵，若( )，则AXO有非零解。

A.mn;B.R(A)n;C.mnD.R(A)m37. A，B是n阶方阵，则下列结论成立得是( )。

A.ABOAO且BO;B. A0AO;C.AB0AO或BO;D. AI|A|1高等代数模拟试题及答案(二)38. 设A为n阶方阵，且RAr<n，则a中( p="">A.必有r个行向量线性无关B.任意r个行向量线性无关C.任意r个行向量构成一个极大无关组D.任意一个行向量都能被其他r个行向量线性表示39. 设A为34矩阵，B为23矩阵，C为43矩阵，则下列乘法运算不能进行的是( )。

苏州大学考研真题高等代数2005

苏州大学
2005年攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目：高等代数
1、（20分）设A,B均为n阶方阵,A中的所有元素均为1,B中的除元素为1外,其余元素均为0.问A,B是否等价?是否合同?是否相似?为什么?
2、（20分）设A=。

v是的A最大的特征值。

求A的属
于v的特征子空间的基。

3、（20分）设f（x）是一个整系数多项式。

证明：如果存在一个偶数m和一个奇数n使得f（m）和f（n）都是奇数，则f（x）没有整数根。

4、（20分）设A是一个2n×2n的矩阵。

证明：如果对于任意的2n×2矩阵B，矩阵方程AX=B都有解，则A是可逆的。

5、（20分）证明实系数线性方程组AX=B有解的充要条件是用它的常数项依次构成的列向量B与它所对应的齐次线性方程组AX=0的解空间正交。

6、（20分）设A，B是n×n实对称矩阵，且A+B=E,E为单位矩阵。

证明下列结论等价：
（1）AB=O,O为零矩阵
（2）秩(A)+秩(B)=n
7、（20分）设V是复数域上的n维线性空间，q，p是V上的两个可对角化的线性变换，且qp=pq。

证明：
（1）如果k是q的特征值，那么V（k）是的不变子空间。

（2）存在一组基使得q、p在这组基下的矩阵都是对角矩阵。

8、（10分）设A，B，C分别是m×m,n×n,m×n矩阵（m>n）,且AC=CB,C的秩为r.
证明: A和B至少有r个相同的特征值。

注意：7题中V(k)在原题中k为V的下标。

南开大学2005硕士研究生入学考试高等代数试题

Α (α i ) = β i ,
i = 1,2,3,4
解：由题显然有 α 4 = α1 + α 2 + α 3 ,
β 4 = β 1 + β 2 + β 3 ，且 α 1 ,α 2 ,α 3 线性无关，
β 1 , β 2 , β 3 也线性无关. 故可添加一个向量 γ ，η 使得 α 1 ,α 2 ,α 3 , γ ， β 1 , β 2 , β 3 ,η 均线形
2
0 O 0
故 λ1 = L λ r = 1 ，此时， λi = λi ,1 ≤ i ≤ r 从而有 A = A 2 ，这与题意矛盾从而不存在 V 的一组基使 Α 在这组基下的矩阵为对角矩阵七、设 A 为 n 阶正定实对称矩阵， α 1 , α 2 , L , α n , β 为 n 维欧式空间 R n （标准度量）中的 n+1 个向量.若已知
博士 5
家园
博士家园
λ1 O λr A=
(λ1 ,K , λ r 均不为0) 0 O 0
3 2 2
由 284 页定理 2 及 Α = Α 但Α ≠ Α ，知， A 3 = A 2 , A ≠ A 2
3 λ1 O λ3 3 r 对前式，有 A = 2 λ1 O λ2 2 r =A = 0 O 0
L 1 1 L xn +1 x1 2 2 L x n + x n = x1 L L L n −1 n −2 n −1 L xn + xn x1
1 x2 x2 2 L= ∏ (a i − a j ) 1≤ j< i ≤ n L L −1 L xn n

2005年研究生入学考试数学四模拟试题参考答案 .doc

2005年研究生入学考试数学四模拟试题参考答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 设曲线y=f(x)与y=sinx 在原点相切，则极限)2(lim nnf n ∞→ =______________.[解] 由题设，f(0)=0,1)0(='f ,于是)2(lim n nf n ∞→=.2)0(222)0()2(lim ='=⋅-∞→f nf n f n (2) 由拉格朗日中值定理有)(1x x xxe e θ=-，其中1)(0<<x θ，则=→)(lim 0x x θ__________.[解] =→)(lim 0x x θ.21)11(lim ln )1ln(lim00=--=--→→x e e x x e x x x x x (2) 设其他20,0,sin )(≤≤⎩⎨⎧=x x x f ，D 是全平面，则⎰⎰=-Ddxdy x y f x f )()(___________.[解]⎰⎰=-Ddxdy x y f x f )()(⎰⎰+-=-222.)2cos 1()sin(sin x xdy x y x dx(3) 设A=)2(,)(≥⨯n a n n ij ，A 的伴随矩阵A*的秩为1，且∑===nj ijn i a1),,2,1(0 ，则Ax=0的通解为_____________.[解] 由题设，秩r(A)=n-1, 于是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为n-r(A)=1, 而∑===nj ijn i a1),,2,1(0 表明Ax=0有解T ），，，（111 ，故Ax=0的通解为Tk ），，，（111 .(5) 已知-2是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=b x A 2222220的特征值，其中b 为不等于零的任意常数，则x= .[解] 由题设，有0)4(2222222222=+=-------=--x b bx A E ，知x=-4.(6) 设P(A)=0.5, P(B)=0.6，4.0)(=A B P ，则)(B A B A P -= . [解] 由题设知P(AB)=0.2, 于是)(B A B A P -=)()}({B A P B A B A P ++=)()(B A P B A P +=.31)()()()()(=-+-AB P B P A P AB P A P二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7) 设 .0,0,0,sin 1,0,1sin )1ln(1)(0232>=<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⎰x x x dt t x x x x x f x 则f(x)(A) 极限不存在. (B) 极限存在但不连续.(C) 连续但不可导. (D) 可导. [ ] [解] 应选C.因为 )0(0)(lim ),0(0)(lim 0f x f f x f x x ====+-→→，所以f(x)在x=0处连续.而 )0(-'f 不存在，故应选(C).(8) 设f (x )有连续导数且0)(lim≠=→a xx f x ，又⎰-=x dt t f t x x F 022)()()(. 当0→x 时，)(x F '与nx 是同阶无穷小，则n 等于(A) 1. （B ） 2. (C) 3. (D) 4. [ ][解] 应选C.)(x F '=⎰xdt t f x 0)(2，于是.3120)1()(2lim )(2lim )(lim20100=⇒=-⇒≠-=='-→-→→⎰n n x n x f x dt t f x x F n x n xx n x (9) 设a 和b 为常数，且b a dt e e xt x x =+⎰-+∞→][lim 02，则(A) a=0，b=1 (B) a=-1，b=1 (C) 1,2-=-=b a π(D) 0,2=-=b a π[ ][解] 应选D由于⎰⎰-=-=-=∞+--+∞→xt t x dt e dt e a 02lim22π，021lim 21lim][lim 02=-=-⋅=+=+∞→--+∞→-+∞→⎰xe xe a dt e e b x x x x xt xx故应选(D).(10) 设)1sin(sin 1cos )1(2cos sin ),(-++--+==y x x y y xy y x f z ，则)1,0(y z∂∂等于(A) -1 (B) 3cos (C) 1 (D) 0 [ ] [解] 应选(A).当x=0时，)1sin(1)1(),0(-+--==y y y f z ，于是)1,0(yz ∂∂=1)]1sin(1[)1cos()1()1sin(112-=-+--+---=y y y y y(11) 若在[0，1]上有0)(,0)(,0)1()1(,0)0()0(<''>''>====x g x f a g f g f 且，则⎰=101,)(dx x f I ⎰=102,)(dx x g I ⎰=13axdx I 的大小比较关系是(A) .321I I I ≥≥ (B) .123I I I ≥≥(C) .132I I I ≥≥ (D) .312I I I ≥≥ [ ][解] 应选(C).凸凹，)(,0)()(,0)(x g x g x f x f <''>'', 于是]1,0[),()(∈≥≥x x f ax x g ，从而有 .132I I I ≥≥(12) 设A 为n m ⨯阶矩阵，考虑以下命题：①Ax=0只有零解；② Ax=b 有唯一解；③A 的行向量组线性无关；④A 的列向量组线性无关. 则有 (A) ①⇒②⇒④ . （B ） ②⇒①⇒④.(C) ④⇒①⇒③. (D) ③⇒②⇒①. [ ] [解] 应选(B).Ax=b 有唯一解，知n b A r A r ==)()( ，于是Ax=0只有零解，进而可推知A 的列向量组线性无关，故应选(B).(13) 设A,B,C 两两独立且P(A),P(B),P(C)），（10∈, 则A,B,C 不相互独立的充分条件是(A) A 与BC 独立 (B) C 与B A 独立.(C) B 与C A -独立. (D) AB 与AC 独立. [ ] [解] 应选(D).若AB 与AC 独立，则P()()()AC P AB P AC AB =⋅, 即 )()()(AC P AB P ABC P ==)()()(2C P B P A P )()()(C P B P A P ≠可见此时A,B,C 不相互独立。

华南理工大学2005年高等代数试卷解答

华南理工大学2005年硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答∗一.证明因为((),())1f x g x =，所以((),()())1f x f x g x +=，同理，((),()())1g x f x g x +=，从而有(()(),()())1f x g x f x g x +=，我们设()()()m x f x g x =+，()()()n x f x g x =，即有((),())1m x n x =，由上面的讨论我们可以知道(()(),()())1m x n x m x n x +=，即(()()(()()),()()()())1f x g x f x g x f x g x f x g x +++=.■二.解方程组对应的增广矩阵，经过初等行变换，化为阶梯矩阵，得到222111111101121100(2)(1)(1)(1)λλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟→−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟++++−+−⎝⎠⎝⎠由此可以知道(1)当2λ=−时，方程组无解；(2)无论1λ=时，方程组有无数组解，且1231x x x ++=，令23,x n x m ==，,n m 任意，则11x m n =−−；(3)当1λ≠且2λ≠−，方程组有唯一解，且解的结构为212311(1,,222x x x λλλλλ−−+===+++）.■三.解矩阵A 的特征方程为366020(2)(3)3126E A λλλλλλλ−−−−=−=−++求得特征值为0,2,3λλλ===−下面来求属于特征值0λ=的特征向量，将特征值0λ=代入下面的方程组1232123(3)660(2)0312(6)0x x x x x x x λλλ−−−=⎧⎪−=⎨⎪+++=⎩(1)求得基础解系为'1(2,0,1)β=−∗解答人:再求属于特征值2λ=的特征向量，将特征值2λ=代入方程组(1)，求得基础解系为2(12,5,3)'β=−，最后再求属于特征值3λ=−的特征向量，将特征值3λ=−代入方程组(1)，求得基础解系为'3(1,0,1)β=−，我们取矩阵T 为1122050131T −−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠于是得到，300'020000T AT −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，故矩阵A 可以对角化.■四.解设矩阵A 是一个s n ×的矩阵，其秩为r ，则存在初等矩阵,P Q ,使得000rEA P Q ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，我们知道，矩阵000rE ⎛⎞⎜⎟⎝⎠可以表成r 个秩为1的矩阵之和，分别记为1122,,rr E E E ⋅⋅⋅，即1122000rrr E E E E ⎛⎞=++⋅⋅⋅+⎜⎟⎝⎠，从而有1122rr A PE Q PE Q PE Q=++⋅⋅⋅+由于,P Q 是初等矩阵，故他们为可逆矩阵，从而()() 1 i=1,2,...,r ii ii rank PE Q rank E ==，所以，矩阵A 可表成r 个秩为1的矩阵之和.■五.解因为A 为实对称矩阵，所以存在正交矩阵P ，使得121n P AP λλλ−⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⋅⋅⋅⎜⎟⎝⎠，(其中12n λλλ≤≤⋅⋅⋅≤)，我们知道，,λµ分别为其最大与最小特征根，所以12n µλλλλ=≤≤⋅⋅⋅≤=故11()P AP E P A E P µµ−−−=−的特征根为0，2,,n λµλµ−⋅⋅⋅−，都是非负实数，从而A E µ−是半正定的。

高三数学5月模拟考试拟试题含解析试题

复兴高级中学2021届高三数学5月模拟考试拟试题〔含解析〕一、填空题U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，那么=U A _____【答案】{2，4，5}【解析】【分析】根据补集的定义直接求解：∁U A 是由所有属于集合U 但不属于A 的元素构成的集合．【详解】因为全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，所以根据补集的定义得{}2,4,5U A = 故答案为：{2，4，5}【点睛】此题考察了补集的定义以及简单求解，属于根底题．z 满足1iz i =+〔i 为虚数单位〕，那么z = ..【解析】试题分析：因为1iz i =+，所以11,i z i i+==-+z =，也可利用复数模的性质求解：11iz i i z i z =+⇒⋅=+⇒=考点：复数的模3.251()x x+的展开式中，4x 的系数为。

〔用数字答题〕【答案】10.【解析】解：因为由二项式定理的通项公式可知103425510342=10r r C x r r x C -∴-=∴=∴的系数为{}n a 〔n ∈*N 〕是等差数列，假设2a 和2018a 是方程24830x x -+=的两根，那么数列{}n a 的前2021项的和2019S =________【答案】2021【解析】【分析】根据二次方程根与系数的关系得出220182a a +=，再利用等差数列下标和的性质得到1201922018a a a a +=+，然后利用等差数列求和公式可得出答案.【详解】由二次方程根与系数的关系可得220182a a +=，由等差数列的性质得出12019220182a a a a +=+=，因此，等差数列{}n a 的前2019项的和为()120192019201920192201922a a S +⨯===，故答案为：2019.【点睛】此题考察等差数列的性质与等差数列求和公式的应用，涉及二次方程根与系数的关系，解题的关键在于等差数列性质的应用，属于中等题.5.将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，那么此圆锥的体积为________【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，根据圆锥底面圆周长等于展开后半圆的弧长得出r ，由题意得出2l =，再由勾股定理得出h 的值，最后利用锥体的体积公式计算出圆锥的体积.【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，那么2l =，由题意可知，2l r ππ=，12l r ∴==，由勾股定理得223h l r =-=，因此，该圆锥的体积为2211313333r h πππ=⨯⨯=，故答案为：33π. 【点睛】此题考察圆锥体积的计算，涉及圆锥的侧面展开图问题，解题时要注意扇形弧长等于圆锥底面圆周长这一条件的应用，考察空间想象才能，属于中等题.22(0)y px p =>的焦点与双曲线221610x y -=的右焦点重合，那么实数的值是 . 【答案】8【解析】试题分析：221610x y -=的右焦点为，所以考点：本小题主要考察双曲线和抛物线中根本量的计算，考察学生的运算求解才能. 点评：椭圆和双曲线、抛物线经常结合出题，要注意它们之间根本量的联络和区别.7.如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA == ，2AD =，它的外接球是球O ，那么A ，1A 这两点的球面间隔等于_________．【答案】3π 【解析】由题意，()222111212R OA ==++=，所以13AOA π∠=，所以3l R πα==。

2021年硕士研究生入学考试《高等代数》模拟试题

3.(4分)设是一个3阶方阵，若，则的伴随矩阵的秩等于
。
4.(4分)与任意阶方阵乘法可交换的矩阵一定是。
5.(4分)给出2阶对称矩阵全体所构成的线性空间的一个基。
6.(4分) 是线性空间的一组基，上线性变换在此基下的矩阵为，则在的另一组基下的矩阵为。
7.(4分) -矩阵的不变因子是______________。
2021年硕士研究生入学考试《高等代数》模拟试题
报考专业：基础数学考试科目：高等代数
科目代码：851
注意事项：本试题的答案必须写在规定的答题纸上，写在试题上不给分。
一、填空题（共32分，每小题4分）
1.(4分)将表成方幂和的形式
。
2.(4分)设阶方阵的各行元素之和为，，则齐次线性方程组
的通解是。
8.(4分) 是3维欧氏空间的一组基，写出此基的度量矩阵
。
二、计算题（共90分，每小题15分）
1．（15分）设，求使得。
2．（15分）计算阶行列式
。
3．（15分）讨论取何值时线性方程组有解，并求解。
4．（15分）求解矩阵方程。
5．（15分）将二次型化为标准型，并求所用的非退化的线性替换。
6．（15分）设 ,求正交矩阵和对角矩阵 ,使得。
三、证明题（共28分，每小题14分）
1. （14分）设为数域，证明：
(1) 是的子空间；（4分）
(2) 。（10分）
2．（14分）设是维向量空间的一个线性变换，若是幂等的（即），证明：
（1）；（6分）
（2）。（8分）