高中数学 3.1.2 用二分法求方程的近似解学案新人教A版必修1(1)

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高中数学3.1.2用二分法求方程近似解教学设计新人教A版必修1

《用二分法求方程的近似解》教学设计一．教学目标情感态度和价值观目标：培养探索问题的能力和合作交流的精神，体会数学在实际生活中的应用价值，感受精确与近似的相对统一。

知识与技能目标：能够借助计算器用二分法求方程的近似解，了解二分法是求方程近似解的常用方法，理解二分法的步骤和思想。

过程与方法目标：进一步体会方程和函数的转化思想，在应用二分法求解方程的近似解的过程中，体会算法的思想和“逐步逼近”的思想。

二．教学重点掌握用二分法求给定方程的近似解三．教学难点二分法的概念，精确度的概念，二分法实施步骤中的算法思想四．教学准备（前置作业）五．教学过程精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

高中数学人教A版必修1导学案：3.1.2用二分法求方程的近似解

§3.1.2 用二分法求方程的近似解班级姓名组别代码评价【使用说明与学法指导】1.先精读一遍教材P89-P90,用红色笔对重点内容及有疑问的地方进行勾画；再针对导学案二次阅读并解决预习探究案中的问题；训练案在自习或自主时间完成。

2. 预习时可对合作探究部分认真审题，做不完或者不会的正课时再做，对于选做部分BC层可以不做。

3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题并记录下来，准备课上讨论质疑。

【学习目标】1、通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用；2、能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备；3、体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一。

【学习重点】通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识【学习难点】恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解【知识链接】1：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？对于函数，我们把使的实数x 叫做函数的零点。

方程有实数根函数的图象与x 轴函数。

如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点.2：一元二次方程求根公式？三次方程？四次方程？【预习探究案】【自主探究】1、思考：一条高压电缆上有15个接点，现某一接点发生故障，如何可以尽快找到故障接点？2、试用计算器完成课本89页求函数62ln )(-+=x x x f 在区间(2,3)上近似解的过程，体会用二分法的思想，并试着对二分法下一个定义。

()y f x =()y f x =()0f x =⇔()y f x =⇔()y f x =()y f x =[,]a b ()y f x =(,)ab3、写出给定精度ε，用二分法求函数)(x f 零点近似值的步骤。

【合作交流】1、借助计算器或计算机用二分法求方程 732=+x x 的近似解（精确到1.0）．2、借助计算机或计算器求函数4.19.01.1)(23--+=x x x x f 的一个正数零点（精确到1.0）．【巩固练习】1、下列图象中，不能用二分法求函数零点的是（）（D ）（A ）（B ）（C ）2、)1.0((2,3)3lg 精确到上的近似解在区间利用计算器，求方程=+x x【课堂小结】我的疑问：（至少提出一个有价值的问题）今天我学会了什么？【训练案】（时间：10分钟）1. 若函数在区间上为减函数，则在上（）.A. 至少有一个零点B. 只有一个零点C. 没有零点D. 至多有一个零点2. 下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（）.()f x [],a b ()f x [],a b x3. 函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.4. 用二分法求方程在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得，，，那么下一个有根区间为。

高中数学 3.1.2用二分法求方程的近似解导学案新人教A版必修1

课题：3.1.2用二分法求方程的近似解一、三维目标：知识与技能: 能够借助计算器用二分法求方程的近似解，了解二分法是求方程近似解的常用方法；理解二分法的步骤与思想。

过程与方法：了解用二分法求方程的近似解的特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想。

情感态度与价值观: 回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历史，激发学习的热情和学习的兴趣。

二、学习重、难点：用二分法求方程的近似解。

三、学法指导：认真阅读教材P89—90，了解用二分法求方程近似解的步骤与思想。

四、知识链接：1函数零点的概念：2．等价关系：方程f(x)＝0 ⇔函数y＝f(x)的图象⇔函数y＝f(x)3．函数零点存在定理：4.30枚硬币中含有一枚质量稍轻的假币，用天平最少需几次称量才能将假币区分出来？（请写出具体过程）五、学习过程：今天想同大家一起探讨一个熟悉的问题——解方程．请学生们思考下面的问题：能否求解下列方程：（1）x2-2x-1=0；（2）lg x=3-x；（3）x3-3x-1=0。

实际工作中求方程的近似值往往有更大的实用价值，学完本节课，你将对如何求一元方程的近似解有新的收获。

认真阅读P89—90页，回答下面问题：1、什么叫做二分法：2、用二分法可求所有函数零点的近似值吗？利用二分法求函数零点必须满足什么条件？A例1、下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是 ( )注：(1)准确理解“二分法”的含义：二分就是平均分成两部分；二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点。

(2)“二分法”与判定函数零点的定理密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点。

3．给定精确度ε，用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤如下：(1)确定，验证，给定； (2)求区间；(3)计算；①若，则c 就是函数的零点；②若，则令 (此时零点x 0∈(a ，c ))；③若，则令 (此时零点x 0∈(c ，b ))。

高中数学 3.1.2 用二分法求方程的近似解教案新人教版必修1(2021年最新整理)

黑龙江省鸡西市高中数学3.1.2 用二分法求方程的近似解教案新人教版必修1
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§3.1.2用二分法求方程的近似解
教学过程设计意
图
四、例题讲解
例1 求解方程ln x+2x—6=0
解：首先将方程等价转化为求y=ln x+2x-6的零点
y=ln x+2x-6中f(2）〈0，f(3）>0
思考：如何防止上述步骤出现周而复始的计算? 给定精确度ε
从例1引出
二分法的定义
对于在区间［a,b］上连续不断且f(a) f（b）〈0的函数y=f（x)，通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。

思考1:求函数f(x）的零点近似值第一步应做什么？通过一个点的画法引出正弦曲线的画法
举例说明这样做可以把正弦函数有代表性的取值都包含在内。

高中数学人教A版必修1学案：3.1.2用二分法求方程的近似解课堂导学案(含答案)

3.1.2 用二分法求方程的近似解课堂导学三点剖析一、用二分法求相应方程的近似解【例1】证明方程x3-3x+1=0在区间（1，2）内必有一根，并求出这个根的近似值（精确到0.01）.证明：令f(x)=x3-3x+1，则f(x)在区间［1，2］上的图象是一条连续不断的曲线.∵f(1)=1-3+1=-1＜0,f(2)=8-6+1=3＞0,∴f(1)·f(2)＜0,∴函数f(x)在区间（1，2）内必有一零点，∴方程x3-3x+1=0在区间（1，2）内必有一根x0.取区间(1,2)的中点x1=1.5，用计算器算得f(1.5)=-0.125.因为f(1.5)·f(2)＜0,所以x0∈(1.5,2).再取(1.5,2)的中点x2=1.75，用计算器算得f(1.75)=1.109 375.因为f(1.5)·f(1.75)＜0，所以x0∈（1.5,1.75）.又取（1.5,1.75）的中点x3=1.625.用计算器算得f(1.625)=0.416 015 625.因为f(1.5)·f(1.625)＜0,所以x0∈(1.5,1.625).取（1.5,1.625）的中点x4=1.562 5,用计算器算得f(1.562 5)=0.127 197 265 625.因为f(1.5)·f(1.562 5)＜0,所以x0∈(1.5,1.562 5).取（1.5,1.562 5）的中点x5=1.531 25时，用计算器算得f(1.531 25)=-0.003 387 451 171 875.因为f(1.531 25)·f(1.562 5)＜0,所以x0∈(1.531 25,1.562 5).取（1.531 25,1.562 5）的中点x6=1.546 875时，用计算器算得f(1.546 875)=0.060 771 942 138 671 875.因为f(1.531 25)·f(1.546 875)＜0,所以x0∈(1.531 25,1.546 875).同理，可算得 f(1.531 25)·f(1.539 062 5)＜0，x0∈(1.531 25,1.539 062 5);f(1.531 25)·f(1.535 156 25)＜0,x0∈(1.531 25,1.535 156 25).又当取（1.531 25,1.535 156 25）的中点x9=1.533 203 125时，f(1.531 25)·f(1.533 203 125)＜0，即x 0∈(1.531 25,1.533 203 125).由于|1.531 25-1.533 203 125|=0.001 953 125＜0.01,此时区间（1.531 25,1.533 203 125）的两个端点精确到0.01的近似值都是1.53，所以原方程精确到0.01的近似值为1.53. 二、对二分法再理解【例2】有一块边长为30 cm 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，如果要做成一个容积是1 200 cm 3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x 是多少厘米（精确到0.1 cm ）？解析：盒子的体积y 和以x 为自变量的函数解析式为y=(30-2x)2x.如果要做成一个容积是1 200 cm 3的无盖盒子，那么有方程(30-2x)2x=1 200,其定义域为{x|0＜x ＜15＝.令f(x)=(30-2x)2x-1 200，借助计算机画出函数图象.由图象可以看出，函数f(x)分别在区间（1，2）和（9，10）内各有一个零点，即方程(30-2x)2x=1 200分别在区间（1，2）和（9，10）内各有一个解.下面用二分法求方程的近似解.取区间（1，2）的中点x 1=1.5，用计算器算得f(1.5)=-106.5＜0. 因为f(1.5)·f(2)＜0，所以x 0∈(1.5,2). 同理可得x 0∈(1.5,1.75)，x 0∈(1.625,1.75),x 0∈(1.687 5,1.75),x 0∈(1.687 5,1.718 75),x 0∈(1.687 5,1.703 125),x 0∈(1.687 5,1.695 312 5). 由于|1.695 312 5-1.687 5|=0.007 812 5＜0.1，此时区间（1.687 5,1.695 312 5）的两个端点精确至0.1的近似值都是1.7，所以方程在区间（1，2）内精确到0.1的近似解为1.7.同理可得方程在区间（9，10）内精确到0.1的解为9.4.故如果要做成一个容积是1 200cm 3的无盖盒子，截去的小正方形的边长大约是1.7 cm 或9.4 cm. 温馨提示用二分法求方程的近似解的过程有两点须注意：1.计算量大；2.重复相同的计算步骤.因此，常借助计算器或通过设计一定的计算程序，借助计算机完成计算，在模块三同学们可以学到. 三、“精确度为ε”与“精确到ε” 【例3】借助计算器，分别按下面两种要求，用二分法求函数f(x)=lnx-x2在区间（2，3）内的零点：（1）精确度为0.1；（2）精确到0.1.解析：可证得函数在区间（2，3）上为增函数，由题设有f(2)≈-0.31＜0,f(3)≈0.43＞0, 由于f(2)·f(3)＜0，故函数f(x)在区间（2，3）内有一个零点x 0，即x 0∈(2,3). 下面用二分法求函数f(x)=lnx-x2在区间（2，3）内零点的近似值：取区间（2，3）的中点x 1=2.5，用计算器算得f(2.5)≈0.12＞0，由于f(2)·f(2.5)＜0,所以x0∈(2,2.5);再取区间（2，2.5）的中点x2=2.25，用计算器算得f(2.25)≈-0.08＜0,由于f(2.25)·f(2.5)＜0，所以x0∈(2.25,2.5).同理可得x0∈(2.25,2.375)，x0∈(2.312 5,2.375).(*)（1）由于|2.312 5-2.375|=0.062 5＜0.1，所以区间［2.312 5,2.375］上任意一个实数x0′均可作为f(x)在区间（2，3）内且精确度为0.1的零点的近似值（比如，可取x0′=2.35,2.342,2.375等）；（2）接（*），同理可得，x0∈(2.343 75,2.375),x0∈(2.343 75,2.359 375),x0∈(2.343 75,2.351 562 5),x0∈(2.343 75,2.347 656 25).由于区间(2.343 75,2.347 656 25)的两个端点精确到0.1的近似值都是2.3，所以函数f(x)在区间（2，3）内精确到0.1的零点的近似值为2.3.各个击破类题演练1求方程x3+x2-2x-2=0的一个正实数解（精确到0.1）.解析：列表：由表可知，f(1)·f(2)＜0，说明该方程在区间（1，2）内有正实数解.取区间（1，2）的中点x1=1.5，由计算器可算得f(1.5)=0.625＞0,因为f(1)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1,1.5).再取(1,1.5)的中点x2=1.25,由计算器可算得f(1.25)=-0.984＜0，因为f(1.25)·f(1.5)＜0,所以x0∈(1.25,1.5).同理可知x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375,1.438),而|1.375-1.438|=0.063＜0.1，此时区间（1.375,1.438）的两个端点精确到0.1的近似值都为1.4，所以方程的一个正实数解为1.4.变式提升1用二分法求33的近似值（精确到0.01）.解析：设y=x3-3，则y=x3-3在（1，2）上是一条连续不断的曲线，∴y=x3-3在（1，2）上必有一零点x0.取（1，2）的中点x1=1.5,f(1.5)=0.375＞0,∴x0∈(1,1.5).再取（1，1.5）的中点x2=1.25,f(1.25)=-1.046 875＜0,∴x0∈(1.25,1.5).再取（1.25,1.5）的中点x3=1.375,f(1.375)=-0.400 390 625＜0,∴x0∈(1.375,1.5).这样反复计算下去，直到x0∈(1.441 406 25,1.443 359 375).∵区间两个端点精确到0.01都是1.44，∴y=x3-3的一个零点为1.44.即33精确到0.01的近似值为1.44.温馨提示1.使用二分法的前提是：y=f(x)在［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)·f(b)＜0.2.使用二分法求函数零点的步骤：①可以结合函数图象来初步判断根的分布区间；②利用二分法算下去，直到满足题目的精确度要求为止；③根据精确度要求写出方程的近似解.3.二分法求解零点的缺点：二分法的思想虽然简单，但是一方面若函数y=f(x 0)在［a,b ］上有几个零点时，只算出其中一个零点；另一方面，即使函数y=f(x)在［a,b ］上有零点，也未必有f(a)·f(b)＜0，即用二分法不能求函数的不变号零点，这就限制了二分法的使用范围.类题演练2一元二次方程可以用求根公式求根，但在没有求根公式的情况下，如何求方程2x 3+3x-3=0的一个实数解？(精确度为0.01) 解析:∵f(0)=-3<0,f(2)=19>0,∴函数f(x)=2x 3+3x-3在［0,2］内存在零点，即方程2x 3+3x-3=0在(0,2)内有解. 取(0,2)的中点1，f(1)=2>0.又f(0)<0,∴2x 3+3x-3=0在(0,1)内有解.如此继续下去，得到方程2x 3+3x-3=0的解在区间［0.742 187 5,0.746 093 75］，而|0.746 093 75-0.742 187 5|=0.003 906 25<0.01.∴方程2x 3+3x-3=0精确度为0.01的近似解是0.74. 变式提升2 已知函数f(x)=a x+12+-x x (a ＞1), (1)求证:f(x)在(-1,+∞)上为增函数; （2）求证当a=3时，f(x)=a x+12+-x x 在（0，1）内必有零点； (3)若a=3,求方程f(x)=0的正根.(精确到0.01) 解析：（1）可设g(x)=a x,h(x)=12+-x x ，由指数函数的性质可知：当a ＞1时，y=a x在（-1，+∞）上单调递增. 下面证明h(x)=12+-x x 在（-1，+∞）上单调递增.设x 1、x 2∈(-1,+∞)且x 1＜x 2，则h(x 1)-h(x 2)=1211+-x x -1222+-x x =131+x -132+x =)1)(1()(32121++-x x x x .∵-1＜x 1＜x 2，∴x 1-x 2＜0，x 1+1＞0,x 2+1＞0， ∴h(x 1)＜h(x 2),∴h(x)在（-1，+∞）上单调递增.∴f(x)=g(x)+h(x)在（-1，+∞）上单调递增.（2）由（1）可知：函数f(x)在（-1，+∞）上是增函数. 又f(0)=30-2=-1＜0,f(1)=31-21=25＞0,即f(0)·f(1)＜0，说明函数f(x)在区间（0，1）内有零点，且只有一个. （3）由二分法可求得，当a=3时，f(x)=0的正根为0.28. 类题演练3函数f(x)=x 2-5的零点的近似值为（精确到0.1）（）A.2.0B.2.1C.2.2D.2.3解析：∵f(2)·f(3)＜0.∴f(x)在（2，3）内必有一零点.可用二分法求得近似解为2.1. 变式提升3用二分法求2x=x+2负的近似解（精确到0.1）. 解析：设f(x)=2x-x-2,由于f(-2)=41, f(-1)=-21,f(-2)·f(-1)＜0. 故f(x)在（-2，-1）上必有一零点. 可用二分法求得近似解为-1.7. 温馨提示1.按“精确度为ε”要求得到的近似值不是唯一的，即若|a-b|＜ε，则［a,b ］上任何一个实数值x 0均可作为所求的近似值.2.按“精确到ε”要求得到的近似值是唯一的，即判断区间（a,b ）两端点精确到ε的近似值是否相同.若相同，则该值x 0即为所求的近似值.如例3（2）中(2.343 75,2.347 656 25)的两个端点精确到0.1时的近似值都是2.3，故2.3即为所求.。

高中数学人教A版必修1《3.1.2用二分法求方程的近似解》教学案2

必修一《3.1.2用二分法求方程的近似解》教学案教学目的：(1)通过用”二分法”求方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成函数观点处理问题的意识；(2)通过”二分法”的学习使学生初步接触算法的思想；教学重点：”二分法”求方程的近似解．教学难点：“二分法”求方程的近似解的思想和步骤．教学过程：一、复习引入①零点的概念:对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点②连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f (x)在区间(a，b)内有零点.即存在c∈(a，b)，使得f(c )=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.③一元二次方程可以用公式求根，但没有公式来求Inx+2x-6=0的根.联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求它的根呢？二、新课教学(一)用二分法求方程的近似解1．用二分法求方程Inx+2x-6=0的近似解想法:如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.一般地，我们把2ba x +=称为区间(a，b)的中点.2．二分法概念对于在区间[a，b]上连续不断、且f(a)*f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法思考:为什么由|a-b|< ε，便可判断零点的的似值为a(或b)？①、确定区间[a，b]，验证f (a)*f(b)<0，给定精确度ε②、求区间(a，b)的中点x1③、计算f(x1)；(1) 若f(x1)= 0，则x1就是函数的零点(2) 若f(x1)<0，则令b= x1(此时零点x0∈(a，x1))(3) 若f(x1)>0，则令a= x1(此时零点x0∈(x1，b))④、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|< ε，则得到零点的近似值a(或b)；否则得复2～4(二)典型例题例2、借助电子计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精确到0.1) 解：原方程即2x+3x=7，令f(x)=2x+3x-7，用计算器或计算机作出函数f(x)=2x+3x-7对应值表与图象(如下):此时区间(1.375，1.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精确到0.1的近似解为1.4.巩固练习：(教材P106练习1)。

2017人教a版数学必修一3.1.2用二分法求方程的近似解学

重庆市万州分水中学高中数学 3.1.2 用二分法求方程的近似解学案新人教A版必修1学习目标1. 按照具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；2. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处置问题的意识.学习进程一、课前预备（预习教材P89~ P91，找出疑惑的地方）温习1：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？对于函数()=的零点.y f xy f x=，咱们把使的实数x叫做函数()方程()0y f x=的图象与x轴⇔函数f x=有实数根⇔函数()= .y f x()若是函数()=在区间[,]a b上的图象是持续不断的一条曲线，而且有，y f x那么，函数()a b内有零点.y f x=在区间(,)温习2：一元二次方程求根公式？三次方程？四次方程？二、新课导学※学习探讨探讨任务：二分法的思想及步骤问题：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几回能够找出那个球的，要求次数越少越好.解法：第一次，两头各放个球，低的那一端必然有重球；第二次，两头各放个球，低的那一端必然有重球；第三次，两头各放个球，若是平衡，剩下的就是重球，不然，低的就是重球.试探：以上的方式其实这就是一种二分法的思想，采用类似的方式，如何求=+-的零点所在区间？如何找出那个零点？y x xln26新知：对于在区间[,]=，通过不断的把函数的y f xa b上持续不断且()()f a f b<0的函数()零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点慢慢逼近零点，进而取得零点近似值的方式叫二分法(bisection).反思：给定精度ε，用二分法求函数()f x 的零点近似值的步骤如何呢？①肯定区间[,]a b ，验证()()0f a f b <，给定精度ε；②求区间(,)a b 的中点1x ；③计算1()f x ：若1()0f x =，则1x 就是函数的零点；若1()()0f a f x <，则令1b x =（现在零点01(,)x a x ∈）；若1()()0f x f b <，则令1a x =（现在零点01(,)x x b ∈）；④判断是不是达到精度ε；即若||a b ε-<，则取得零点零点值a （或b ）；不然重复步骤②~④．※ 典型例题例1 借助计算器或运算机，利用二分法求方程237x x +=的近似解.变式：求方程237x x +=的根大致所在区间.※ 动手试试练1. 求方程3log 3x x +=的解的个数及其大致所在区间.练2.求函数32=+--的一个正数零点（精准到0.1）f x x x x()22零点所在区间中点函数值符号区间长度练3. 用二分法求33的近似值.三、总结提升※学习小结①二分法的概念；②二分法步骤；③二分法思想.※知识拓展高次多项式方程公式解的探索史料在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的尽力却一直没有成功，到了十九世纪，按照阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们熟悉到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即便对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并非适宜作具体计算．解的方式，这是一个在计算数学中十分重要的课题.学习评价※自我评价你完本钱节导学案的情形为（）.A. 专门好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 若函数()f x在[],a b上（）.f x在区间[],a b上为减函数，则()A. 至少有一个零点B. 只有一个零点C. 没有零点D. 最多有一个零点2. 下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（）.3. 函数()2ln(2)3f x x x =--的零点所在区间为（）.A. (2,3)B. (3,4)C. (4,5)D. (5,6)4. 用二分法求方程3250x x --=在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得(2)1f =-，(3)16f =，(2.5)5.625f =，那么下一个有根区间为 . 5. 函数()lg 27f x x x =+-的零点个数为，大致所在区间为 . 课后作业1. 求方程0.90.10x x -=的实数解个数及其大致所在区间.2. 借助于运算机或计算器，用二分法求函数3()2f x x =-的零点（精准到0.01）.。

高中数学 3.1.2 用二分法求方程的近似解导学案新人教A版必修1

2. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.8991复习1：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？对于函数()y f x =，我们把使的实数x 叫做函数()y f x =的零点.方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴 ⇔函数()y f x = . 如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点.复习2：一元二次方程求根公式？三次方程？四次方程？二、新课导学※ 学习探究探究任务：二分法的思想及步骤问题：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好. 解法：第一次，两端各放个球，低的那一端一定有重球；第二次，两端各放个球，低的那一端一定有重球；第三次，两端各放个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.思考：以上的方法其实这就是一种二分法的思想，采用类似的方法，如何求ln 26y x x =+-的零点所在区间？如何找出这个零点？新知：对于在区间[,]a b 上连续不断且()()f a f b <0的函数()y f x =，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).反思：给定精度ε，用二分法求函数()f x 的零点近似值的步骤如何呢？①确定区间[,]a b ，验证()()0f a f b <，给定精度ε；②求区间(,)a b 的中点1x ；③计算1()f x ：若1()0f x =，则1x 就是函数的零点；若1()()0f a f x <，则令1b x =（此时零点01(,)x a x ∈）；若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）；④判断是否达到精度ε；即若||a b ε-<，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤②~④．※ 典型例题例1 借助计算器或计算机，利用二分法求方程237x x +=的近似解.变式：求方程237x x +=的根大致所在区间.※ 动手试试练1. 求方程3log 3x x +=的解的个数及其大致所在区间.练2.求函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点（精确到0.1）练3. .三、总结提升※学习小结①二分法的概念；②二分法步骤；③二分法思想.※知识拓展高次多项式方程公式解的探索史料在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点近似解.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 若函数()f x在[],a b上（）.f x在区间[],a b上为减函数，则()A. 至少有一个零点B. 只有一个零点C. 没有零点D. 至多有一个零点2. 下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（）.3. 函数()2ln(2)3f x x x =--的零点所在区间为（）.A. (2,3)B. (3,4)C. (4,5)D. (5,6)4. 用二分法求方程3250x x --=在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得(2)1f =-，(3)16f =，(2.5)5.625f =，那么下一个有根区间为 .5. 函数()lg 27f x x x =+-的零点个数为，大致所在区间为 . 课后作业1. 求方程0.90.10x x -=的实数解个数及其大致所在区间.2. 借助于计算机或计算器，用二分法求函数3()2f x x =-的零点（精确到0.01）.。

高中数学 3.1.2用二分法求方程的近似解教案新人教A版必修1 教案

课题：§用二分法求方程的近似解
教学目标：
知识与技能通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常
用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．
过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准
备．情感、态度、价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
教学重点：
重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
教学程序与环节设计：
教学过程与操作设计：
由二分查找及高次多项式方程的求问题引入．
二分法的意义、算法思想及方法步骤．
X 围．
初步应用二分法解
．二分法为什么可以逼近零点的再分析；
．追寻阿贝尔和伽罗瓦．。

高中数学必修一导学案 3.1.2用二分法求方程的近似解教案新人教版必修1

3.1.2用二分法求方程的近似解（教学设计）教学目标：知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．过程与方法：能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．情感、态度、价值观：体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．教学重点：重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．一、复习回础，新课引入：高次多项式方程公式解的探索史料由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数)(x f y =的零点（即0)(=x f 的根），对于)(x f 为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel ）和伽罗瓦（Galois ）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题．二、师生互动，新课讲解：1、二分法：上节（P88例1）课我们已经知道，函数62ln )(-+=x x x f 在区间（2，3）内有零点，问题是：如何找出这个零点呢？如果能够把零点所在的区间范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值．下面介绍一种求近似解的方法．我们知道，函数)(x f 的图象与直角坐标系中x 轴交点的横坐标就是方程0)(=x f 的解，利用上节课学过的函数零点存在的条件，我们用逐步逼近的方法，来求方程的近似解．（1）在区间（2，3）内，方程有解，取区间（2，3）中点2.5；（2）用计算器计算084.0)5.2(-≈f ，因为0)3()5.2(<⋅f f ，所以零点在区间)3,5.2(内；（3）再取区间)3,5.2(中点2.75，用计算器计算512.0)75.2(≈f ，因为0)75.2()5.2(<⋅f f ，所以零点在区间)75.2,5.2(内．（4）重复上面的过程，在有限次重复相同步骤后，零点所在区间长度在一定精度控制范围内，零点所在区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值．本例中，把取中点和判断零点的过程，用表格列出（课本第89页表3-2）．当精确度为0.01时，由于0078125.053125.25390625.2=-01.0<，所以，我们可将53125.2=x 作为函数62ln )(-+=x x x f 零点的近似值，也即方程062ln =-+x x 根的近似值．对于在区间],[b a 上连续不断且0)()(<⋅b f a f 的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection ）．给定精确度ε，用二分法求函数)(x f 零点近似值的步骤如下：1）确定区间],[b a ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε；2）求区间),(b a 的中点c ；3）计算)(c f ；4）判断：（1）若0)(=c f ，则c 就是函数的零点；（2）若0)()(<⋅c f a f ，则令c b =（此时零点),(0c a x ∈）；（3）若0)()(<⋅b f c f ，则令c a =（此时零点),(0b c x ∈）．5）判断：区间长度是否达到精确度ε？即若ε<-b a ，则得到零点近似值；否则重复2——5．说明：由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．由于都是重复性的工作，所以可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算．例1（课本P90例2）借助计算器或计算机用二分法求方程732=+x x的近似解（精确到1.0）．小结：1）结论：图象在闭区间a [，]b 上连续的单调函数)(x f ，在a (，)b 上至多有一个零点．2）函数零点的性质从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数；从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点；若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点．3）用二分法求函数的变号零点二分法的条件)(a f ·)(b f 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．变式训练1：求方程x 2＝2x ＋1的一个近似解(精确度0.1)．解设f (x )＝x 2－2x －1.∵f (2)＝－1<0，f (3)＝2>0，∴在区间(2,3)内，方程x 2－2x －1＝0有一解，记为x 0.取2与3的平均数2.5，∵f (2.5)＝0.25>0，∴2<x 0<2.5；再取2与2.5的平均数2.25，∵f (2.25)＝－0.437 5<0，∴2.25<x 0<2.5；再取2.25与2.5的平均数为2.375，f (2.375)＝－0.109 4<0，∴2.375<x 0<2.5，再取2.375与2.5的平均数为2.437 5，f (2.437 5)＝0.066 4>0.∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，∴方程x 2＝2x ＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.点评对于求形如f (x )＝g (x )的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F (x )＝f (x )－g (x )＝0的方程的近似解，然后按照二分法求函数零点近似值的步骤求之．例2：已知函数()f x 在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，判断下列结论，正确的是① 若()()0f a f b ⋅<，则函数()f x 在(,)a b 内有且只有一个零点② 若()()0f a f b ⋅>，则函数()f x 在(,)a b 内无零点③ 若()f x 在(,)a b 内有零点，则()()0f a f b ⋅<④ 若()()0f a f b ⋅≤，则函数()f x 在(,)a b 内有零点⑤ 若()()0f a f b ⋅<，则函数()f x 在(,)a b 内有零点【解析】①有条件()()0f a f b ⋅<，则函数()f x 在(,)a b 内可能不止一个零点，如3()4f x x x =-有（－3，3）内有三个零点；②在()()0f a f b ⋅>下函数()f x 在(,)a b 内未必没有零点，如2()4f x x =-在（－3，3）内有两个零点；③()f x 在(,)a b 内有零点，()()0f a f b ⋅<未必成立，如2()4f x x =-在（－3，3）内有零点，但(3)(3)0f f ->；④注意端点问题，可能,a b 恰好使得()f x ＝0．本题从多角度、多侧面考查对定理的理解，对培养学生思维的严密性很有帮助．答案：⑤变式训练2：（课本P92习题3.1 A 组：NO ：1）例3：已知函数2()21f x kx x =-+，当k 为何值时，函数()f x 在R 上有一个零点？两个零点？无零点？【解析】当k ＝０时，()f x 是一次函数，在R 上有且只有一个零点；当0k ≠时，()f x 是二次函数，其零点个数由∆的符号决定．又44k ∆=-，当1k >时，0∆<，()f x 无零点；当1k =时，0∆=，()f x 有一个零点；当1,0k k <≠时，0∆>，()f x 有两个零点．综上所述，当k ＝０或1k =时，函数有一个零点；当1,0k k <≠时，函数有两个零点；当1k >时，函数没有零点．变式训练3：函数2()f x x ax b =++的零点是－１和２，求函数3()g x ax bx =+的零点．解：由已知得1,2-是方程20x ax b ++=的两根, 10420a b a b -+=⎧∴⎨++=⎩,解得:1,2a b =-=- 由320x x --=得:2(2)0x x +=,即0x =.故函数()g x 的零点是0.三、课堂小结，巩固反思：1．二分法的理论依据是什么？二分法的理论依据是：如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续不断，且0)()(<⋅b f a f ，那么一定存在),(b a c ∈，使0)(=c f ．2．二分法的实施要点是什么？二分法寻找零点的过程是将一个含有零点的区间],[b a 平分为两个小区间，判断哪个小区间内含有零点，再将该小区间平分，……，通过n 次的平分、判断，使零点存在于一个长度na b l 2-=的小区间．当n 适当大时，l 满足精确度的允许范围，于是小区间内的值可作为函数零点的近似值．四、布置作业：A 组：1．下列函数中不能用二分法求零点的是( )A ．f (x )＝3x －1B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝ln x答案 C解析对于选项C 而言，令|x |＝0，得x ＝0，即函数f (x )＝|x |存在零点；当x >0时，f (x )>0，当x <0时，f (x )>0，∴f (x )＝|x |的函数值非负，即函数f (x )＝|x |有零点但零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点．2．若函数y ＝f (x )在R 上递增，则函数y ＝f (x )的零点( B )．A ．至少有一个B ．至多有一个C ．有且只有一个D ．可能有无数个3．(2011·新课标全国)在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 解析因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14＋4×14－3＝e 14－2＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12＋4×12－3＝e 12－1＞0，所以f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12. 答案 C4.若函数f (x )=x 3+x 2-2x -2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：那么方程x 3+x 2-2x -2=0的一个近似根为。

高中数学 3.1.2 用二分法求方程的近似解学案 新人教A版必修1(1)

高中数学3.1.2用二分法求方程近似解教学设计新人教A版必修1

高中数学人教A版必修1导学案：3.1.2用二分法求方程的近似解

高中数学 3.1.2用二分法求方程的近似解导学案 新人教A版必修1

高中数学 3.1.2 用二分法求方程的近似解教案 新人教版必修1(2021年最新整理)