12-第一章第二节(概率统计简明版)
浙大《概率论与数理统计(第四版)简明本》盛骤著 课后习题解答
{
2
}
------------------------------------------------------------------------------2．设 A，B，C 为三个事件，用 A，B，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与 C 不发生； （2）A 与 B 都发生，而 C 不发生； （3）A，B，C 中至少有一个发生； （4）A，B，C 都发生； （5）A，B，C 都不发生； （6）A，B，C 中不多于一个发生； （7）A，B，C 中不多于两个发生； （8）A，B，C 中至少有两个发生。 解 此题关键词： “与， ” “而” ， “都”表示事件的“交” ； “至少”表示事件的“并” ； “不多 于”表示“交”和“并”的联合运算。 （1） ABC 。
概率论与数理统计作业习题解答（浙大第四版）
第一章 概率的基本概念 习题解析 第 1、2 题 随机试验、 随机试验、样本空间、 样本空间、随机事件 ------------------------------------------------------------------------------1．写出下列随机试验的样本空间： （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分） 。 （2）生产产品直到有 10 件正品为止，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品” ，不合格的记上“次品” ，如连续 查出 2 个次品就停止检查，或检查 4 个产品就停止检查，记录检查的结果。 （4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。 解 （1）高该小班有 n 个人，每个人数学考试的分数的可能取值为 0，1，2，…，100，n 个人分数这和的可能取值为 0，1，2，…，100n，平均分数的可能取值为 样本空间为 S=
概率论第一章 概率论的基本概念
P( A1 A2 An ) = P( A1) P( A2) P( An ).
概率的有限可加性
证明 令 An1 = An2 = = , Ai Aj = , i j, i, j = 1,2,.
由概率的可列可加性得
P(A1
A2
An )
=
P(
Ak
)
=
P( Ak ) =
n
P( Ak ) 0
概率论
第一章 概率论的基本概念
第一节 随机试验 第二节 样本空间、随机事件 第三节 频率与概率 第四节 等可能概型(古典概型) 第五节 条件概率 第六节 独立性
概率论
第一节 随机试验
几个具体试验 随机试验 小结
概率论
上一讲中，我们了解到，随机现象有其偶 然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然 性表现在大量重复试验或观察中呈现出的固有 规律性，称为随机现象的统计规律性.而概率 论正是研究随机现象统计规律性的一门学科.
nH
f
22 0.44
n = 500 nH f
251 0.502
15124
123 4 5 6 7
随3 n的增0.6大, 频率25 f 呈现0.5出0 稳定24性9 0.498
0.2 21 0.42 256 0.512
1.0
25 0.50 247 0.494
ห้องสมุดไป่ตู้
0.2
24 0.48 251 0.502
0.4
(3) 若 A1, A2, , Ak 是两两互不相容的事件,则 f ( A1 A2 Ak ) = fn( A1) fn( A2 ) fn( Ak ).
实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做
7 遍, 观察正面出现的次数及频率.
概率统计各章节知识点总结.ppt
第一章
概率的计算
1）统计定义： fn ( A) n 稳定值 P( A)
2）概率的性质：1~5
3）等可能概型：P(
A)
m n
4）条件概率：P(B
A)
k m
P( AB) P( A)
独立
5）乘法定理： P( AB) P( A)P(B A) P(A)P(B)
1 P(A B)
A AB1 U AB2
1 n
n k 1
Xk
P
p
X1, X 2 , , X n , 相互独立
E( Xk ) 同分布
1
n
n k 1
Xk
P
n
X1 , X 2 , , X n , 相互独立
X k n 近似
同分布E( X k ) D( X k ) 2 k1 n
~ N (0,1)
Xn ~ B(n, p)
Xn np
X ~ N (, 2 ) Th1 X ~ N (, 2 n),
Th2
X1, X 2 , , X n (n 1)S 2 2 ~ 2(n 1) 独立
X , S 2
1n X n i1 X i
S 2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
X ~ t(n 1)
Sn
第六章
常用统计量及抽样分布
2统计量
6）全概率公式：P( A) P(B1 )P( A B1 ) P(B2 )P( A B2 )
7）贝叶斯公式：P(B1
A)
P(B1 )P( A B1 ) P( A)
A
B1
互斥
B2
第二章
随机变量概率分布
离散型随机变量
连续型随机变量
概率统计的课件(茆诗松)1-2
排列 从 n 个不同的元素中取出 r个 (不放
回地）按一定的次序排成一列,称为一个排列. 不同的排法共有
n! ( r n) P n(n 1)(n 2) L (n r 1) (n r )! n
r n
注: 全排列
Pn n !
可重复排列 从 n 个不同的元素中有放回地
取出 r 个排成一列, 不同的排法有 n 种.
（1）A=“某指定的 n 个盒子中各有一球”； （2）B=“恰有 n 个盒子中各有一球”； （3）C=“至少有两个球在同一盒子中”.
n! P( A) n ; N
C n! N! P( B) n n N N ( N n)!
n n N
n N
N C n! P(C ) 1 P( B) n N
m1 m2 f n ( A B) f n ( A) f n ( B ) n
注: 1. 频率稳定于概率, 但不能说成
“频率的极限是概率” 2. 当试验次数较大时有
事件发生 的概 率
事件发生 的频 率
对本定义的评价 缺点：粗糙 不便 优点：直观 模糊 使用 易懂
三、概率的古典定义
练习 两船欲停同一码头但不能同时停泊, 两船在一昼夜内到达的时间是等可能的. 若两船到达后需在码头停留的时间分别是 1 小时与 2 小 时，试求在一昼夜内，任一 船到达时，不需 要等待空出码头的概率. （P31）
例9（蒲丰投针）平面上 有间隔为a（a>0) 的等距平行线，向平面任意投掷一枚长 为l (l<a)的针，求针与任一平行线相交的 概率.（P24）
m min(n, M ).
例5 (有放回抽样) ：设N件产品中有M 件
是次品,N-M 件是正品。现从N件中随机地 有放回地抽取n件产品。求:事件Bm ={所 取的n件产品中恰有m 件次品}的概 率.(P20)
概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)
《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 A B 则称事件 B 包含事件 A ，指事件 A 发生必然导致事件 B 发生A B {x x A或x B} 称为事件 A 与事件 B 的和事件，指当且仅当 A ，B 中至少有一个发生时，事件 A B 发生A B {x x A且x B} 称为事件 A 与事件 B 的积事件，指当A，B 同时发生时，事件A B 发生A—B {x x A且x B} 称为事件A 与事件 B 的差事件，指当且仅当 A 发生、B 不发生时，事件 A — B 发生A B ，则称事件 A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件 A 与事件 B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的A B S A B ，则称事件 A 与事件 B 互为逆事件，又称事件 A 与事件 B 互为且对立事件2．运算规则交换律 A B B A A B B A结合律(A B) C A (B C) ( A B)C A(B C)分配律 A （B C）(A B) ( A C)A (B C)(A B)( A C)—徳摩根律 A B A B A B A B§3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件 A 发生的次数n称为事件AA 发生的频数，比值n nA 称为事件 A 发生的频率概率：设E是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率1．概率P( A)满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件 A 0 P( A) 1（2）规范性：对于必然事件S P (S) 11（3）可列可加性：设A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，有nn nP A k ) P( A) ( （n可kk 1 k 1以取）2．概率的一些重要性质：（i ）P( ) 0（ii ）若A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，则有n Pn n( （n可以取）A k ) P( A )kk 1 k 1（iii ）设A，B 是两个事件若 A B ，则P(B A) P( B) P( A) ，P( B) P(A) （iv）对于任意事件A，P(A) 1（v）P( A) 1 P(A) （逆事件的概率）（vi）对于任意事件A，B 有P(A B) P( A) P( B) P( A B)§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件 A 包含k 个基本事件，即{e i } {e } {e }A ，里1 i i k] 2，k是，中某个不同的数，则有i1 i 2, ，i k 1,2 nP( A)j k1P { eij}knA包含的基本事件数S中基本事件的总数§5．条件概率（1）定义：设A,B 是两个事件，且P( A) 0 ，称P( A B)P(B | A) 为事件 A 发生的条P(A)件下事件 B 发生的条件概率（2）条件概率符合概率定义中的三个条件。
107521-概率统计随机过程课件-第一章(第二节)古典概率
第一章随机事件的概率第二节概率的定义及性质所谓随机事件的概率,概括地说就是用来描述随机事件出现（或发生）的可能性大小的数量指标.其实概率的思想术语在我们日常生活中经常出现.对未来的不确定事件,我们经说有把握、希望、机会有多大,高考上线率,各种升学率等.“不怕一万，就怕万一”，就是人们对确定事件和不确定事件的认识，为此提前作出的思想准备，表明人类的智慧与先见之明。
古代智人（周文王，姜子牙，诸葛亮，刘伯温等）的掐指一算，就是算的样本空间和随机事件的概率。
数学上只能对简单的随机现象进行概率定义,复杂的随机现象有待于研究.随机事件在一次试验中既可能发生，也可能不发生，似乎无什么规律。
如果在相同的条件下，把一个试验重复做许多次，我们一定会发现，某些事件发生的次数多一些，而另一些事件发生的次数少一些。
表现出一定的规律性。
例如买彩票时投注号码，有极少一部分人能预感到中奖号码的规律。
例如，将一颗骰子重复投掷100次，毫无疑问，事件“出现奇数点”比事件“出现1点”发生的次数会多得多。
那么，发生次数多的事件在每次试验中发生的可能性大一些，而发生次数少的事件在每次试验中发生的可能性小一些。
问题是：如何度量事件发生可能性的大小？对于事件A ，如果实数)(A P 满足：（1）数)(A P 的大小表示事件A 发生可能性的大小；（2）)(A P 是事件A 所固有的，不随人们主观意志而改变的一种度量。
那么数)(A P 称为事件A 的概率。
它是事件A 发生可能性的度量。
在本节中，我们首先介绍一类最简单的概率模型，然后逐步引出概率的一般定义。
一、 概率的古典定义古典型随机试验:如果试验E 的样本空间S 只包含有限个基本事件，设},,,{21n e e e S ，并且每个基本事件发生的可能性相等，即)()()(21n e P e P e P === ，则称这种试验为古典型随机试验，简称古典概型。
下面我们来讨论古典概型中事件A 的概率)(A P 。
概率论与数理统计 第一章 第二节
1. 2. 3. 4.
古典概型的几类基本问题
抽球问题 分球入盒问题 分组问题 随机取数问题
求解关键：古典概型定义式：
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一 项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午 的活动，有多少种不同的选法？ 问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项 活动，有多少种不同的选法？ 问题三：设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个 球，求取到一红一白的概率。 全班200个同学至少有两个人一天生日的概率？
• 不同点:
排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.
• 联系:构造排列分成两步完成，先取后排； 而构造组合就是其中一个步骤.第1步，先求 出从这n个不同元素中取出m个元素的组合 数 第2步，求每一个组合中m个元素 的全排列数 • 根据乘法原理
• 例6:两封信随机地向标号1、2、3、4的四个邮筒投 寄，求第二个邮筒恰好被投入1封信的概率。 首先，对于两封信而言（两个步骤），都有可能被 投入任意的一个邮筒，即每封信都有四个可能的选 择，因而两封信投递到四个邮筒的可能性有？种 其次，令事件A表示第二个邮筒被投入1封信，相当 于从两封信中选择一封投入到第二个邮筒，情况有？ 种。选择之后另一封信被投入其他三个邮筒中的一个 ，共?种情况，根据乘法原理，组成事件A的不同 投法共?种。 根据古，十
人依次从袋中各取一球(不放回)，问：第一个人取
得红球的概率是多少？第二个人取得红球的概率是 多少？
• 研究范围：作为条件的事件B具有正概率的情况； 条件概率也是一种概率，具有概率的三个性质； (1)对于任一事件A,有P(A|B)≥0; (2)P(Ω|B)=1 (3)可列可加性:设A1,A2,…是两两互不相容的事件,则有 P[(A1|B）∪（A2|B）∪ …]=P(A1|B)+P(A2|B)+… 一般有：
概率统计简明教程 第一章 随机事件及其概率
第一章随机事件及其概率概率论是研究随机现象统计规律性的数学学科，它的理论与方法在自然科学、社会科学、工程技术、经济管理等诸多领域有着广泛的应用.从17世纪人们利用古典概型来研究人口统计、产品检查等问题到20世纪30年代概率论公理化体系的建立，概率论形成了自己严格的概念体系和严密的逻辑结构.本章重点介绍概率论的两个最基本的概念：随机事件与概率.主要内容包括：随机事件与概率的定义，古典概型与几何概型，条件概率，乘法公式，全概率公式与贝叶斯公式以及事件的独立性等.§1 随机事件1.1随机现象在自然界和人类社会生活中普遍存在着两类现象：必然现象和随机现象.在一定条件下必然出现的现象称为必然现象.例如，没有受到外力作用的物体永远保持原来的运动状态，同性电荷相互排斥等，都是必然现象.在相同的条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象.例如，抛掷一枚硬币出现正面还是出现反面，检查产品质量时任意抽取的产品是合格品还是次品等，都是随机现象.在对随机现象进行大量重复观测时我们发现，一方面，在每次观测之前不能预知哪个结果出现，这是随机现象的随机性；另一方面，在进行了大量重复观测之后，其结果往往会表现出某种规律性.例如，抛掷一枚硬币，可能出现正面也可能出现反面，抛掷之前无法预知哪个结果出现，但在反复多次抛掷之后，正面出现的频率（即正面出现的次数与抛掷总次数的比值）在0.5附近摆动，这表明随机现象存在其固有的量的规律性.我们把随机现象在大量重复观测时所表现出来的量的规律性称为随机现象的统计规律性.表1.1记录了历史上研究随机现象统计规律性的最著名的试验——抛掷硬币的试验结果.表1.11.2 随机事件为了研究和揭示随机现象的统计规律性，我们需要对随机现象进行大量重复的观察、测量或者试验.为了方便，将它们统称为试验.如果试验具有以下特点，则称之为随机试验，简称为试验：1. 可重复性 试验可以在相同的条件下重复进行；2. 可观测性 每次试验的所有可能结果都是明确的、可观测的，并且试验的可能结果有两个或更多个；3. 随机性 每次试验将要出现的结果是不确定的，试验之前无法预知哪一个结果出现.我们用字母E 表示一个随机试验，用ω表示随机试验E 的可能结果，称为样本点，用Ω表示随机试验E 的所有可能结果组成的集合，称为样本空间.例1.1 抛掷一枚硬币，观察正面H 和反面T 出现的情况（将这两个结果依次记作1ω和2ω）,则试验的样本空间为1Ω ={出现H ，出现T } = {1ω,2ω}.例1.2 将一枚硬币抛掷三次，观察正面H 和反面T 出现的情况，则试验的样本空间为{,,,,,,,}2H H H H H T H TH TH H H TT TH T TTH TTT Ω=. 例 1.3 将一枚硬币抛掷三次，观察正面出现的次数，则试验的样本空间为3Ω =}{3,2,1,0.例1.4 抛掷一枚骰子，观察出现的点数，则试验的样本空间为4Ω = }{6,5,4,3,2,1.例 1.5 记录某机场问讯处一天内收到的电话次数，则试验的样本空间为5Ω = }{ ,2,1,0.例 1.6 从一批电子元件中任意抽取一个，测试它的寿命（单位：小时），则试验的样本空间为6Ω = {t +∞<≤t 0}[0,)=+∞.在随机试验中，我们常常关心试验的结果是否满足某种指定的条件.例如，在例1.6中，若规定电子元件的寿命小于5000小时为次品，那么我们关心试验的结果是否有5000≥t .满足这一条件的样本点组成6Ω的子集{}5000≥=t t A ，我们称A 为该试验的一个随机事件.显然，当且仅当子集A 中的一个样本点出现时，有5000≥t .一般地，我们称随机试验E 的样本空间Ω的子集为E 的随机事件，简称为事件，用大写字母A ,B ,C 等表示.在每次试验中，当且仅当子集中的一个样本点发生时，称这一事件发生.特别地，由一个样本点组成的单点子集，称为基本事件.样本空间Ω作为它自身的子集，包含了所有的样本点，每次试验总是发生，称为必然事件.空集∅作为样本空间的子集，不包含任何样本点，每次试验都不发生，称为不可能事件.例1.7 在例1.3中，子集}0{=A 表示事件“三次均不出现正面”， 子集}3{=B 表示事件“三次均出现正面”，A 与B 都是基本事件.子集}1,0{=C 表示事件“正面出现的次数小于2”，子集}3,2,1{=D 表示事件“正面至少出现一次” .而事件“正面出现的次数不大于3”为必然事件，事件“正面出现的次数大于3”为不可能事件.1.3 随机事件的关系及运算在一个随机试验中，往往存在很多随机事件，每一事件具有各自的特征，彼此之间可能存在某种联系.为了通过对简单事件的研究来掌握复杂事件，我们需要研究事件间的关系及运算.由于事件是一个集合，因此事件的关系及运算与集合的关系及运算是相互对应的.在以下的讨论中，试验E 的样本空间为Ω，A ，B ，),2,1( =k A k 是试验E 的事件，也是Ω的子集.1. 事件的包含如果事件A 发生必然导致事件B 发生，即属于A 的每一个样本点一定也属于B ，则称事件B 包含事件A ，记作B A ⊂.显然，事件B A ⊂的含义与集合论中的含义是一致的，并且对任意事件A ,有A Ω∅⊂⊂.在例1.7中，有C A ⊂. 2. 事件的相等如果事件A 包含事件B ，事件B 也包含事件A ，即A B ⊂且B A ⊂，则称事件A 与事件B 相等（或等价），记作B A =.显然，事件A 与事件B 相等是指A 和B 所含的样本点完全相同，这等同于集合论中的相等，实际上事件A 和事件B 是同一事件.3．事件的和“事件A 和事件B 至少有一个发生”这一事件称为事件A 和事件B 的和（或并），记作B A ，即B A ={事件A 发生或事件B 发生}={}B A ∈∈ωωω或.在例1.7 中，{}3,1,0=C B . 事件的和可以推广到多个事件的情形：ni iA1=={事件n A A A ,,,21 中至少有一个发生}，∞=1i iA={事件12,,,,n A A A 中至少有一个发生}.4. 事件的积“事件A 和事件B 同时发生”这一事件称为事件A 与事件B 的积（或交），记作B A (或AB )，即B A ={事件A 发生且事件B 发生}={}B A ∈∈ωωω且，这与集合论中的交集的含义一致.在例1.7中，{}3=BD .事件的积可以推广到多个事件的情形：ni iA1=={事件n A A A ,,,21 同时发生}，∞=1i iA={事件 n A A A ,,,21同时发生}.5. 事件的差“事件A 发生而事件B 不发生”这一事件称为事件A 与事件B 的差，记作B A -，即B A -={事件A 发生但事件B 不发生}={}B A ∉∈ωωω但. 在例1.7中，{}3,2=-CD .6. 事件的互不相容如果事件A 与事件B 不能同时发生，也就是说，AB 是不可能事件，即A B =∅，则称事件A 与事件B 是互不相容的（或互斥的）.在例1.7中，事件B 与事件C 是互不相容的. 7. 事件的互逆如果在每一次试验中事件A 与事件B 都有一个且仅有一个发生，则称事件A 与事件B 是互逆的（或对立的），并称其中的一个事件为另一个事件的逆事件（或对立事件）,记作B A =或A B =.显然互逆的两个事件A ，B 满足A B Ω= ， A B =∅.在例1.7中，事件A 与事件D 是互逆的.图1.1（文氏图）直观地表示了上述关于事件的各种关系及运算.B A ⊂ B A B AB A - A 与 B 互不相容 A B =图1.1与集合的运算类似，事件的运算有如下的运算规律：（1）交换律 A B B A =,BA AB =；（2）结合律 )()(C B A C B A =,)()(BC A C AB =； （3）分配律 )()()(AC AB C B A =,）（C A B A BC A )()(=； （4）对偶律 B A B A = ，AB A B = . 上述各种事件运算的规律可以推广到多个事件的情形.例１.８ 甲，乙，丙三人射击同一目标，令1A 表示事件“甲击中目标”， 2A 表示事件“乙击中目标”， 3A 表示事件“丙击中目标” .用1A ,2A ,3A 的运算表示下列事件.（1） 三人都击中目标；（2） 只有甲击中目标； （3） 只有一人击中目标； （4） 至少有一人击中目标； （5） 最多有一人击中目标.解 用E D C B A ,,,,分别表示上述（1）~（5）中的事件. （1）三人都击中目标，即事件1A ,2A ,3A 同时发生，所以321A A A A =；（2）只有甲击中目标，即事件1A 发生，而事件2A 和3A 都不发生，所以321A A A B =；（3）只有一人击中目标，即事件1A ,2A ,3A 中有一个发生，而另外两个不发生，所以321321321A A A A A A A A A C =；（4）至少有一人击中目标，即事件1A ,2A ,3A 中至少有一个发生，所以321A A A D =；“至少有一人击中目标”也就是恰有一人击中目标，或者恰有两人击中目标，或者三人都击中目标，所以事件D 也可以表示成 )(321321321A A A A A A A A A D =)()(321321321321A A A A A A A A A A A A ；（5）最多有一人击中目标，即事件1A ,2A ,3A 或者都不发生，或者只有一个发生，所以)()(321321321321A A A A A A A A A A A A E =；“最多有一人击中目标”也可以理解成“至少有两人没击中目标”，即事件321,,A A A 中至少有两个发生，所以313221A A A A A A E =.§2 随机事件的概率对于随机事件而言，在一次试验中可能发生也可能不发生，那么我们希望知道一个随机事件A 在一次试验中发生的可能性有多大，也就是事件A 在一次试验中出现的机会有多大.我们把用来表征事件A 在一次试验中发生的可能性大小的数值p 称为事件A 的概率.2.1 频率将随机试验在相同的条件下重复进行n 次，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，而比值nn A 称为事件A 发生的频率，记作)(A f n ，即nn A f A n =)(.容易证明，频率)(A f n 满足下列性质： (1) 对于任一事件A ，0)(≥A f n ； (2) 对于必然事件Ω，()1n f Ω=；(3) 对于两两互不相容的事件 n A A A ,,,21（即当j i ≠时，有i j A A =∅， ,2,1,=j i ），有∑∞=∞==11)()(i i n i i n A f A f .事件A 的频率反映了在n 次试验中事件A 发生的频繁程度.频率越大，表明事件A 的发生越频繁，这意味着事件A 在一次试验中发生的可能性越大；频率越小，意味着事件A 在一次试验中发生的可能性越小.然而频率)(A f n 依赖于试验次数以及每次试验的结果，而试验结果具有随机性，所以频率也具有随机性.大量试验表明，当n 较小时，频率的波动性较大，当n 增大时，频率的波动幅度随之减小，即频率)(A f n 呈现出稳定性，稳定地在某一常数p 附近摆动，而且摆动幅度越来越小.我们用p 这一数值表征事件A 在一次试验中发生的可能性的大小，称为事件A 的概率，记作()P A ，即()P A p =.表1.1是历史上几位著名的科学家重复抛掷硬币的试验结果.不难看出，随着n 的增大，“正面朝上”这一事件的频率)(A f n 呈现出稳定性，在数值5.0附近摆动，所以事件“正面朝上”的概率为5.0.这种用频率的稳定值定义事件的概率的方法称之为概率的统计定义.随着对概率研究的深入，经过近三个世纪的漫长探索， 1933年前苏联数学家柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov ）提出了概率的公理化体系，明确定义了基本概念，使得概率论成为严谨的数学分支，推动了概率论研究的发展.2.2 概率定义2.1 设试验E 的样本空间为Ω，如果对E 的每一个事件A ，都有唯一的实数)(A P 与之对应，并且)(A P 满足下列条件：（1）非负性 对于任一事件A ，有0)(≥A P ； （2）规范性 对于必然事件Ω，()1P Ω=；（3）可列可加性 对于两两互不相容的事件 n A A A ,,,21（即当j i ≠时，有i j A A =∅，（ ,2,1,=j i ），有 ∑∞=∞==11)()(i ii i A P A P ，则称)(A P 为事件A 的概率.概率的这一定义称为公理化定义，它高度抽象因而具有广泛的适应性.在第五章我们将证明，当∞→n 时，频率)(A f n 在一定意义下收敛于概率)(A P ，可见概率的公理化定义涵盖了概率的统计定义.根据定义 2.1，我们可以推出概率的重要性质，这些性质有助于我们进一步理解概率的概念，同时它们也是概率计算的重要依据.性质1 对于不可能事件∅，有()0P ∅=.证明 令(1,2,)i A i =∅= ，则 n A A A ,,,21是两两互不相容的事件，且1i i A ∞==∅ ，根据概率的可列可加性有111()()()()i ii i i P P A P A P ∞∞∞===∅===∅∑∑ .由于实数()P 0∅≥，因此()0P ∅=.性质2 对于两两互不相容的事件n A A A ,,,21 （即当j i ≠时，有i j A A =∅，,1,2,,i j n = ），有11()()nni ii i P A P A ===∑ .证明 令(1,2,)i A i n n =∅=++ ，根据概率的可列可加性有∑∑=∞=∞=====ni ii ii i ni i AP AP A P A P 1111)()()()( .性质3 对于任一事件A ，有)(1)(A P A P -=.证明 因为A A Ω= ,A A =∅,由概率的规范性和性质2，有 1)()(=+A P A P ， 于是)(1)(A P A P -=.性质4 如果事件B A ⊂,则有)()(B P A P ≤,且APBP--.=)B)(P()(A证明因为BA⊂，所以)A B A-=∅,由= ,且()B-BA(A性质2，有PABP-=.+P))B(((A)又0)(BP≤，并且AP(P, 所以))(≥-ABAPB-.=BP-))P(()(A对于任意两个事件A与B，由于ABAB⊂,根据=-,且BABB-性质4，可得ABPB-AB-.==P-B()()P)P((AB)上式称为概率的减法公式.性质5 对任一事件A，有1P.)A(≤证明因为AΩ⊂，由性质4和概率的规范性，可得P.A(≤)1性质6 对于任意两个事件A与B，有ABAP-+).=PP)B)((()P(AB证明因为)AB⊂,,且()A B AB-=∅,B=AA-(ABBB由性质2和性质4，可得ABABPABP=.A=++-P-P)(()P())PB((AB))(上式称为概率的加法公式.加法公式可以推广到有限个事件的情形.例如，对任意三个事件C,，有A,BBCPAAP+=+B()(P))(P(C)PPABBC-AC-.-P+()())((ABC)P例2.1 设C B A ,, 是同一试验E 的三个事件，)()()(C B P A P ==31=,=)(AB P 81)(=AC P ,()P BC 0=.求：（1）)(A B P -； （2）)(C B P ；（3）)(C B A P . 解 由概率的性质，可得 (1) 2458131)()()(=-=-=-AB P B P A B P ；(2) 3203131)()()()(=-+=-+=BC P C P B P C B P ；(3) 由于A B C B C ⊂,所以()()P ABC P BC ≤,亦即()P ABC 0=. 于是)()()()(C P B P A P C B A P ++=)()()()(ABC P AC P BC P AB P +---0810*******1+---++=43=.例2.2 已知4.0)(,2.0)(,5.0)(===B P B A P A P ，求： (1) )(AB P ； （2）)(B A P .解 （1）由题意，,2.0)()()()(=-=-=AB P B P A B P B A P)(B P 4.0=， 所以2.02.04.0)(=-=AB P ；（2） 由于5.05.01)(=-=A P ,2.0)(=AB P ，所以()()()()0.5+0.4-0.2=0.7P A B P A P B P AB =+-= ，再由对偶律，有3.07.01)(1)()(=-=-==B A P B A P B A P .2.3 古典概型概率的公理化定义只规定了概率必须满足的条件，并没有给出计算概率的方法和公式.在一般情形之下给出概率的计算方法和公式是困难的.下面我们讨论一类最简单也是最常见的随机试验，它曾经是概率论发展初期的主要研究对象.如果随机试验E 满足下列两个条件：（1）有限性 试验E 的基本事件总数是有限个；（2）等可能性 每一个基本事件发生的可能性相同，则称试验E 为古典概型（或等可能概型）.下面我们讨论古典概型中事件概率的计算公式.设试验E 的样本空间为{},,,12n Ωωωω= .显然基本事件{}1ω，{}2ω，··· ，{}nω是两两互不相容的，且 {}{}{}12n Ωωωω= .由于()1P Ω=及)()()(21n P P P ωωω=== ，根据概率的性质，有)()()()(121i n nP P P P ωωωω=+++= （n i ,2,1=）， 即nP P P n 1)()()(21====ωωω .如果事件A 包含k 个基本事件，即{}{}{}ki ii A ωωω 21=，其中ki i i i ,,21是n ,,2,1 中的某k 个数，则有nk P P P A P ki i i =+++=)()()()(21ωωω ，即()A P A Ω=包含的基本事件包含的基本事件. (2.1)按公式（2.1），要计算古典概型中事件A 的概率，只需计算样本空间Ω所包含的基本事件总数n 以及事件A 所包含的基本事件个数k .这时常常要用到加法原理、乘法原理和排列组合公式.例2.3 将一枚硬币抛掷三次，求“恰有一次出现正面”的概率. 解 设A 表示事件“恰有一次出现正面” .由于试验的样本空间为 {,,,,,,,H H H H H T H T H T H H H T T T H T T T H T T T Ω= ， 所以,基本事件总数8=n .又},,{TTH THT HTT A =, 即A 所包含的基本事件个数3=k .因此83)(=A P .在例2.3中，我们写出了试验的样本空间以及事件A 的集合表示，从而得到基本事件总数n 和事件A 所包含的基本事件个数k ，最后算出事件A 的概率.其实很多时候我们并不需要写出样本空间来，只要算出基本事件总数n 和A 所包含的基本事件数k ，就可以利用（2.1）式计算事件A 的概率.例2.4 一只箱子中装有10个同型号的电子元件，其中3个次品，7 个合格品.(1) 从箱子中任取1个元件，求取到次品的概率；(2) 从箱子中任取2个元件，求取到1个次品1个合格品的概率.解 （1）从10个元件中任取1个，共有110C n =种不同的取法，每一种取法所得到的结果是一个基本事件，所以110C n =. 又10个元件中有3个次品，所以取到次品有13C 种不同的取法，即13C k =.于是取到次品的概率为131110C 3C10p ==；(2) 从10个元件中任取2个，共有210C 种不同的取法, 所以210C n =.而恰好取到1个次品1个合格品的取法有1137C C 种，即1137C C k =,于是取到1个次品1个合格品的概率为 11372210C C 217C4515p ===.一般地，在N 件产品中有M 件次品，从中任取)(N n n ≤件，则其中恰有}),min{(M n k k ≤件次品的概率为C C Ckn kM N Mn N p --=.例2.5 某城市电话号码从七位数升至八位数，方法是在原先号码前加 6或8，求：（1）随机取出的一个电话号码是没有重复数字的八位数的概率1p ； （2）随机取出的一个电话号码末尾数是8的概率2p .解 电话号码的第一位数字只能是6或8，第一位有2种可能结果，而其余各位数字都可以是0到9这十个数中的任何一个，因此，每一位数字均有10种可能结果，于是基本事件总数7102⨯=n .（1） 取到没有重复数字的八位数号码有34567892⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯种不同的结果，所以0181.01023456789271=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=p ；（2）取到尾数是8的号码有11026⨯⨯种不同的结果，所以1.0102102762=⨯⨯=p .例2.6 从9,8,7,6,5,4,3,2,1,0中任取三个数字，求下列概率： （1） 取到的三个数字不含0和5； （2） 取到的三个数字不含0或5.解 设A 表示事件“取到的三个数字不含0和5”，B 表示事件“取到的三个数字不含0或5”，基本事件总数为310C .（1）事件A 包含了38C 个基本事件，所以38310C 7()C 15P A ==；（2）设C 表示事件“取到的三个数字不含0”，D 表示事件“取到的三个数字不含5”，则D C B =， 所以，事件B 发生的概率为)()()()()(CD P D P C P D C P B P -+== )()()(A P D P C P -+=333998333101010C C C C C C =+-1514=.在例2.6中我们看到，计算古典概型中事件的概率，有时需要和概率的性质结合在一起.事实上，题中事件B 的概率还有更简单的计算方法：B 表示事件“取到的三个数字既含0也含5”，从而18310C 14()1()1C 15P B P B =-=-=.例 2.7 将n 个球随机地放入N （n N ≥）个箱子中，其中每个球都等可能地放入任意一个箱子，求下列事件的概率：（1）每个箱子最多放入1个球； （2）某指定的箱子不空.解 将n 个球随机地放入N 个箱子中，共有n N 种不同的放法，记（1）和（2）中的事件分别为A 和B .（1） 事件A 相当于在N 个箱子中任意取出n 个，然后再将n 个球放入其中，每箱1球，所以共有C !n Nn ⋅ 种不同的放法，于是 C !()nN n n P A N⋅=；（2） 事件B 的逆事件B 表示“某指定的箱子是空的”，它相当于将n 个球全部放入其余的1-N 个箱子中，所以nnNN B P )1()(-=，进而(1)(1)()1()1nn nnnN N N P B P B NN---=-=-=.例2.7的问题可以应用到其他不同的情形.例如，某班级有50名学生，一年按365天计算，则这50名学生生日各不相同的概率为P （生日各不相同）=()!.5036550C 50003365⋅=.这里，50名学生的生日相当于“50个球”，一年365天相当于“365个箱子”，那么“50名学生生日各不相同”相当于 “每个箱子中最多放入1个球” .需要指出的是，人们在长期的实践活动中总结出这样的事实：小概率事件在一次试验中几乎不可能发生.这一事实通常被称作实际推断原理.由于上述50名学生生日各不相同的概率仅为03.0，所以我们可以预测这50名学生中至少有2人生日相同.例 2.8 某商场为促销举办抽奖活动，投放的n 张奖券中有)(n k k <张是有奖的，每位光临的顾客均可抽取一张奖券，求第)(n i i ≤位顾客中奖的概率.解 设A 表示事件“第i 位顾客中奖” .到第i 位顾客为止，试验的基本事件总数为(1)(2)(1)n n n n i ⋅-⋅-⋅⋅-+ ，而第i 个顾客中奖可以抽到k 张有奖券中的任意一张，其他顾客在剩余的1-n 张奖券中任意抽取，所以事件A 包含的基本事件数为(1)(2)(1)n n n i -⋅-⋅⋅-+ k ⨯,于是nk i n n n n k i n n n A P =+---+---=)1()2)(1()1()2)(1()( .在上述解题过程中，我们只考虑了前i 个顾客的情形.如果把所有顾客的情形都考虑进去，那么试验的基本事件总数为!n .第i 个顾客中奖有k 种取法，其余1-n 位顾客将余下来的1-n 张奖券抽完，所以事件A 所包含的基本事件个数为)!1(-n k ，进而事件A 的概率为nk n n k A P =-=!)!1()(.例2.8的结果表明，顾客中奖与否同顾客出现的次序i 无关，也就是说抽奖活动对每位参与者来说都是公平的，进而说明在现实生活中普遍存在的抽签活动是公平的：一组签中有若干好签和若干坏签，不论是先抽还是后抽，抽到好签的概率总是相同的.2.4 几何概型以有限性和等可能性为前提我们讨论了古典概型中事件概率的计算公式，下面我们将其推广到无限多个基本事件的情形，而这些基本事件也具有某种等可能性.如果试验相当于向面积为()S Ω的平面区域Ω内任意投掷一点（如图2.1），而这个点（称为随机点）落在Ω内任意一点的可能性相等，进而随机点落在Ω内任意子区域A 的可能性大小与A 的面积成正比，而与A 的位置和形状无关，我们称这样的试验为平面上的几何概型.设A 表示事件“随机点落在区域A 内”，)(A S 为区域A 的面积，并且事件A 的概率为)()(A kS A P =，其中k 为比例系数.由于()1P Ω=，所以()()1P k S ΩΩ==,于是1()k S Ω=，进而有()()()S A P A S Ω= ，即 图2.1 ()A P A Ω=的面积的面积. （2.2）需要指出的是，如果试验相当于向直线上的区间内投掷随机点，则只需将（2.2）式中的面积改为长度，上述讨论依然成立；如果试验相当于向空间区域内投掷随机点，则只需将面积改成体积.例2.9 某人午觉醒来发现自己的表停了，便打开收音机收听电台报时.已知电台每个整点报时一次，求他（她）能在10分钟之内听到电台报时的概率.解 由于上一次报时和下一次报时的时间间隔为60分钟，而这个人可能在)60,0(内的任一时刻打开收音机，所以这是一个直线上的几何概型问题.用x 表示他（她）打开收音机的时刻，A 表示事件“他（她）能在10分钟之内听到电台报时”，则{060}x x Ω=<<，{5060}A x x Ω=<<⊂.于是610605060)(=--=A P .例 2.10 甲、乙两船在某码头的同一泊位停靠卸货，每只船都可能在早晨七点至八点间的任一时刻到达，并且卸货时间都是20分钟，求两只船使用泊位时发生冲突的概率.解 因为甲、乙两船都在七点至八点间的60分钟内任一时刻到达，所以甲到达的时刻x 和乙到达的时刻y 满足600<<x ，600<<y ，AΩ即),(y x 为平面区域{(,)060,060}x y x y Ω=<<<<概型问题.泊位时{(,A x y =（如图2.2=)(A P§3 条件概率3.1 条件概率假设A 和B 是随机试验E 的两个事件，那么事件A 或B 的概率是确定的，而且不受另一个事件是否发生的影响.但是，如果已知事件A 已经发生，那么需要对另一个事件B 发生的可能性的大小进行重新考虑. 例3.1 一只盒子中装有新旧两种乒乓球，其中新球有白色4个和黄色3个，旧球有白色2个和黄色1个.现从盒子中任取一球.（1） 求取出的球是白球的概率1p ；（2）已知取出的球是新球，求它是白球的概率2p .解 设A 表示“取出的球是新球”，B 表示“取出的球是白球” .由古典概型有（1）53106)(1===B P p ；（2）2p 是在事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率.由于新球共有7个，其中有4个白球，因此，742=p .由此可见，21p p ≠.为了区别，称2p 为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率，记作)(A B P ，即74)(2==A B P p .由于AB 表示事件”取出的球是新球并且是白球”，而在10个球中，是新球并且是白球共有4个，所以104)(=AB P .又107)(=A P ,所以有)(A B P =74=107104=)()(A P AB P . 容易验证，在一般的古典概型中，只要0)(>A P ，总有)(A B P =)()(A P AB P .在几何概型中（以平面的情形为例），如果向平面区域Ω内投掷随机点（图3.1），A 表示事件“随机点落在区域A 内”，B 表示事件“随机点落在区域B 内”，那么图3.1)(A B P =的面积的面积的面积的面积的面积的面积ΩΩ=A AB A AB =)()(A P AB P .一般地，我们有下面的定义.定义3.1 设A 和B 是试验E 的两个事件，且0)(>A P ，称)(A B P =)()(A P AB P （3.1）为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率.容易验证，条件概率)(A B P 满足概率定义中的三个条件，即 (1) 非负性 对于任意事件B ，有0)(>A B P ； (2) 规范性 对于必然事件Ω，有()1P A Ω=； (3) 可列可加性 对于两两互不相容的事件,,,21 B B 有{()}()i ii 1i 1P B A P BA ∞∞===∑ ，进而也满足概率的重要性质，例如()0P A ∅=； )(1)(A B P A B P -=；121212(())()()()P B B A P B A P B A P B B A =+- .在计算条件概率时，有时可以根据试验的结构，从条件概率的本质含义直接得到条件概率，有时则需要用定义3.1来计算条件概率.例3.2 口袋中有10个乒乓球，3个黄球，7个白球，从中任取一球观察颜色后不放回，然后再任取一球.（1）已知第一次取到的是黄球，求第二次取到的仍是黄球的概率； （2）已知第二次取到的是黄球，求第一次取到的也是黄球的概率. 解 设i A 表示“第i 次取到黄球”（2,1=i ），则1A 表示“第一次取到白球” .（1）已知1A 发生，即第一次取到的是黄球，那么第二次就在剩余的2个黄球和7个白球中任取一个，根据古典概型概率的计算公式，取到黄球的概率为92，即有92)(12=A A P ；（2）已知2A 发生，即第二次取到的是黄球.由于第一次取球发生在第二次取球之前，所以问题的结构不像（1）那么直观，我们采用（3.1）式计算)(21A A P .15191023)(21=⨯⨯=A A P )()()()(121212122A A P A A P A A A A P A P +===1039103791023=⨯⨯+⨯⨯，所以92103151)()()(22121===A P A A P A A P . 在例3.2中我们发现，“已知第一次取到的是黄球，第二次取到的仍是黄球”的概率与“已知第二次取到的是黄球，第一次取到的也是黄球” 的概率相等.事实上，尽管第一次取球时，可能取到的是10个球中的任意一个，但当我们知道第二次取到的是黄球之后，反过来推断，第一次取到的是2个黄球和7个白球中的一个，从而结果与（1）相同.例3.2中的这一现象是具有一般性的，作为练习，读者可以考虑a 个黄球和b 个白球的情形.3.2 乘法公式由条件概率的定义 3.1可知，对于任意两个事件A 和B ，如果0)(>A P ，则有)()()(A B P A P AB P =. （3.2）对称地，如果0)(>B P ，由)()()(B P AB P B A P = 有()()()P AB P B P A B =. （3.3） （3.2）和（3.3）式称为概率的乘法公式.对于有限个事件n A A A ,,,21 ，当0)(121≠-n A A A P 时，有。
大学概率论与数理统计第一章(2)-56页PPT资料
练习
等可能概型
解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。
设 A= “ 取到的两只都是白球 ”，
B= “ 取到的两只球颜色相同 ”，
C= “ 取到的两只球中至少有一只是白球”。
有放回抽取:
42
4222
P(A) 62 0.444 P(B) 62 0.556
22 P(C)1P(C)1620.889
例(会面问题) 两人约定在早上8点至9点在某地会
面，先到者等15分钟离去。假定每人在1小时的任 何时刻到达都是等可能的，求两人会面的概率。
解：设两人的到达时刻分别为x和y,则
0 x 6,0 0 y 60
两人能会面的充要条件是
xy 15
如图，问题转化为平面区域：
{x ( ,y)0x 6,0 0 y 6}0
n! n 1 !.... n m !
4 随机取数问题
例4 从1到200这200个自然数中任取一个,
(1)求取到的数能被6整除的概率 (2)求取到的数能被8整除的概率 (3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率
解:N(S)=200, N(1)=[200/6]=33,
N(2)=[200/8]=25
频率的性质
(1) 0 fn(A) 1； (2) fn(S)＝1； fn( )=0 (3) 可加性：若AB＝ ，则
fn(AB)＝ fn(A) ＋fn(B).
实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，即可将 P(A)作为事件A的概率
四. 概率的公理化定义（数学定义）
练习
等可能概型
例 2 一口袋装有6只球,其中4只白球、2只红球。从 袋中取球两次，每次随机的取一只。考虑两种取球方 式：
概率统计每章知识点总结
概率统计每章知识点总结第一章：基本概念1.1 概率的概念1.2 随机变量及其分布1.3 大数定律和中心极限定理第一章主要介绍了概率统计的基本概念，包括概率的定义、随机变量的概念以及大数定律和中心极限定律。
概率是描述事物发生可能性的数学工具，是对随机事件发生规律的度量和描述。
随机变量是描述随机现象的数学模型，可以用来描述随机现象的特征和规律。
大数定律和中心极限定律则是概率统计中重要的两个定律，它们描述了大量独立随机变量的和的分布规律。
第二章：随机事件的概率计算2.1 古典概型2.2 几何概型2.3 等可能概型2.4 条件概率2.5 独立性第二章主要介绍了随机事件的概率计算方法，包括古典概型、几何概型、等可能概型、条件概率和独立性。
古典概型是指实验的样本空间是有限的且每个样本点的概率相等的情形，可以直接计算出随机事件的概率。
几何概型是指随机事件的概率与其所在的几何形状有关，需要通过几何方法来计算。
等可能概型是指实验的样本空间是有限的，但不同样本点的概率不一定相等，需要通过计算总体概率来计算随机事件的概率。
第三章：随机变量及其分布3.1 随机变量及其分布3.2 数学期望3.3 方差3.4 常用离散型随机变量的分布3.5 常用连续型随机变量的分布第三章主要介绍了随机变量及其分布的知识，包括随机变量的概念、数学期望、方差以及常用的离散型和连续型随机变量的分布。
随机变量是描述随机现象的数学模型，可以是离散型的也可以是连续性的。
数学期望和方差是描述随机变量分布特征的重要指标，它们能够描述随机变量的集中程度和离散程度。
离散型随机变量常用的分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布；连续型随机变量常用的分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
第四章：多维随机变量及其分布4.1 二维随机变量4.2 多维随机变量4.3 边际分布4.4 条件分布4.5 独立性第四章主要介绍了多维随机变量及其分布的知识，包括二维随机变量、多维随机变量、边际分布、条件分布和独立性。
第一章第二节概率的定义及其确定方法
设试验结果共有n个基本事件ω1，ω2，...，ωn ， 而且这些事件的发生具有相同的可能性
确定事件A包含的基本事件数 事件Ａ由其中的m个基本事件组成
P( A) = A所含的基本事件个数 基本事件总数
= A 所含样本点的数目 样本空间的样本点总数
m n
古典概率的计算：抛掷骰子
抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数 , 求“出现的 点数是不小于3的偶数”的概率．
所求概率为 P(1) 1 , P(2) 2
5
9
所以 P( A) 11 , P(B) 5 .
36
36
4、包括甲，乙在内的10个人随机地排成一行，求甲与 乙相邻的概率。若这10个人随机地排成一圈，又如何呢？
解： 总的基本事件数为 10!
排成行时，事件“甲乙相邻”的基本事件数为 P88C91C21
排成圈时，事件“甲乙相邻”的基本事件数为 P88C91C21 P88C21
0xT，0yT。
（1）则样本空间是由点(x，y)构成的边长为T正 方形。
（2）依题意，收音机受到干扰的充分必要条件是
|x-y|t .
T 由等可能性知，所求
概率为
t
A
P(A) S A S
Ot
T
x
阴影部分面积 正方形面积
T 2 (T t)2 T2
1 1 t T
2
一楼房共15层，假设电梯在一楼启动时有10名乘 客，且乘客在各层下电梯是等可能的。试求下列事件 的概率：A1={10个人在同一层下}；A2={10人在不同 的楼层下}；A3={10人都在第15层下}；A4={10人恰有 4人在第8层下}。 解：
P( A)
A 的度量 S的度量
( A) (S)
概率统计各章节总结(1)
概率统计各章节总结(1)
概率统计各章节总结
概率统计是数学的一个分支，它研究随机事件的发生规律。
在实际生
活中，概率统计有着广泛的应用，如医学、金融、工程等领域。
以下
是对概率统计各章节的总结：
第一章：概率的基本概念
概率是描述随机事件发生的可能性的数值，它的取值范围在0到1之间。
而随机事件是指在实验和观察中，不确定性因素所引起的事件。
第二章：概率分布函数
概率分布函数是指离散或连续型随机变量取某个值或某个区间的概率。
常用的概率分布有二项分布、正态分布等。
第三章：随机变量与概率密度函数
随机变量是指随机事件的数值表示，概率密度函数是连续型随机变量
的概率分布函数。
它对应的图像为概率密度曲线。
第四章：多维随机变量及其概率分布
多维随机变量是指两个或两个以上的随机变量组成的随机变量，它们
的取值可以是一个向量。
多维随机变量的概率分布可用联合概率分布
来表示。
第五章：大数定律和中心极限定理
大数定律指的是随着试验次数的增加，样本均值趋近于总体均值。
中心极限定理是指，样本均值的分布在n趋近于无穷大时逐渐趋近于正态分布。
第六章：参数估计
参数估计是利用样本数据来推断总体参数的方法。
它分为点估计和区间估计两种方法。
第七章：假设检验
假设检验是对总体参数是否符合我们提出的假设进行检验。
它分为单侧检验和双侧检验。
综上所述，概率统计的各章节涵盖面广，从概率的基本概念到假设检验，均有重要的理论和方法。
在实际生活和科学研究中，概率统计的应用和意义不可忽视。
概率论与数理统计简明版
概率论与数理统计简明版1. 引言概率论与数理统计是数学的一个重要分支，涉及了许多实际问题的模型和方法。
本文将简要介绍概率论与数理统计的基本概念、原理和应用，并给出一些示例，以帮助读者快速了解和掌握这一领域的基础知识。
2. 概率论2.1 概率的定义概率是一个事件发生的可能性大小的度量。
在概率论中，事件被定义为一个可能发生的结果集合，而概率则是对这些结果发生的可能性进行量化的数值。
2.2 概率的基本性质概率具有以下基本性质：•非负性：任何事件的概率都大于等于0；•规范性：样本空间中的所有结果的概率之和为1；•可加性：对于互斥事件（即不可能同时发生的事件），其概率可以相加。
2.3 概率的计算方法概率的计算方法包括：•经典概型方法：适用于样本空间元素数量有限的情况；•频率方法：根据大量实验的频率来估计事件的概率；•主观方法：基于个人主观判断和经验来确定事件的概率。
2.4 随机变量随机变量是概率论中的重要概念，它可以用来描述随机试验的结果。
随机变量可以是离散的（取有限或无限个离散值）或连续的（取连续值）。
2.5 概率分布函数概率分布函数描述了随机变量的取值和对应的概率之间的关系。
常见的概率分布函数包括离散型分布（如伯努利分布、二项分布）和连续型分布（如正态分布、指数分布）。
3. 数理统计3.1 统计量统计量是对总体的某种特征进行度量的指标。
常见的统计量包括样本均值、样本方差等。
3.2 抽样分布抽样分布是指在相同抽样方式下，不同样本所对应的统计量的分布。
中心极限定理是数理统计中的重要概念，它指出当样本容量足够大时，样本均值呈现出正态分布。
3.3 参数估计参数估计是指利用样本数据来估计总体参数的方法。
常用的参数估计方法包括极大似然估计和最小二乘估计。
3.4 假设检验假设检验是通过收集样本数据，利用统计方法来判断总体参数是否符合某个假设。
常用的假设检验方法包括t检验、F 检验等。
4. 应用示例下面通过一个简单的实例来说明概率论与数理统计在实际问题中的应用。
概率论与数理统计李小明版 第一章
则由乘法公式，所求的概率为
10 90 1 P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 A1 ) . 100 99 11
注：换成求“第二次取得正品”的概率，又是怎样 ？
多个事件乘法公式的推广: 当 P(AB)>0 时，有 P(ABC) =P(A)P(B|A)P(C|AB) 当 P(A1A2…An-1) > 0 时，有 P (A1A2…An） = P(A1) P(A2|A1) …P(An| A1A2…An-1) .
考虑上边例子：
记 Bi = {球取自 i 号箱}， i =1, 2, 3; A = {取得红球}。
所求为 P(B1|A)。
P( AB1 ) P( B1 | A) P( A)
运用全概率公式 计算P(B)
P( B1 ) P( A | B1 )
P( B ) P( A｜B )
k 1 k k
3
例8：8支步枪中有5支已校准过,3支未校准。 一名射手用校准过的枪射击时，中靶概率为 0.8；用未校准的枪射击时，中靶概率为0.3。 现从8支枪中任取一支用于射击，结果中靶。 求：所用的枪是校准过的概率。 解：设 A={射击时中靶}，B1={枪校准过}, B2={枪未校准}， 则 B1,B2 是Ω 一个划分，由贝叶斯公式，得 P( A | B1 ) P( B1 ) P( B1 | A) P( A | B1 ) P( B1 ) P( A | B2 ) P( B2 )
由此可以形象地把全概率公式看成是： 由原因推结果，每个原因对结果的发生有 一定的“作用”，即结果发生的可能性与 各种原因的“作用”大小有关。全概率公 式表达了因果之间的关系 。 诸Bi是原因 A是结果
概率统计第1,2章
二、 概率的古典定义
有许多随机试验具有下列两个特点： 1. 试验的全部可能结果（即基本事件）是有限个,即样本空间是有 限集； 2. 各基本事件出现（发生）的可能性相同 . 这种随机试验称为古典随机试验或古典概型.
定义2 在古典概型中,如果基本事件总数为n,事件A包含其中的m
个基本事件,则事件A的概率为
第一章 随机事件及其概率
第1节 随机事件
—、随机事件的概念
确定性现象和随机现象. 确定性现象 在一定条件下必然会出现某一结果，这 种现象称为确定性现象. 随机现象 在一定条件，可能出现的结果不止一个， 且预先无法确定出现哪个结果，这种现象称为随机现象. 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一个 数学分支.
1.事件的包含 如果事件A发生必然导致事
件B发生，即A中的样本点都在B中,则称A包含
于B,或B包含A,记为A B.
B A
A B
2.事件的相等 如果A B 且B A ,即A与B 包含完全相同的样本点，则称事件A与事件B
相等，记为A=B.
3.事件的和 “事件A与事件B至少有一个发生”这一 事件称为A与B的和，记为A+B. A+B是由A与B的所有样本点构成的集合. 类似地,―事件 A1 , A2 ,..., An 至少有一个发生”这一事 件称为 A1 , A2 ,..., An 的和，记为 .
例2 一袋中有十个外形相同的球,分别标有号 码1,2,…,10,),从袋中任取一球,用ω 1表示“取得第 i号球”（i=1,2,…10,),则这个试验的样本空间为 Ω ={ω 1,ω 2 ,…,ω 10}.
例3 测量某种电子元件的使用寿命，用t表示 “电子元件的寿命为t小时”,则这一试验的样本空 间为 Ω =(0,+∞).
十二讲概率统计ppt课件共54页文档
n2 = 0.0591 1.7971 0.2641 0.8717 -1.4462 >>n3 = normrnd([1 2 3;4 5 6],0.1,2,3) %mu为均值矩阵
n3 = 0.9299 1.9361 2.9640
4.1246 5.0577 5.9864
>> R=normrnd(10,0.5,[2,3]) %mu为10，sigma为0.5的2行3 列个正态随机数
自由度为N的t分布随机数
16.03.2021
mathworks
8
Frnd gamrnd
frnd(N1, N2,m,n) gamrnd(A, B,m,n)
第一自由度为N1,第二自由度为N2的F分布随机 数 参数为A, B的gamma分布随机数
betarnd lognrnd nbinrnd
betarnd(A, B,m,n) lognrnd(MU,SIGMA, m,n) nbinrnd(R, P,m,n)
均匀分布（离散）随机数
Exprnd Normrnd chi2rnd Trnd
exprnd(Lambda,m,n) 参数为Lambda的指数分布随机数
normrnd(MU,SIGM A,m,n)
chi2rnd(N,m,n)
参数为MU，SIGMA的正态分布随机数 自由度为N的卡方分布随机数
trnd(N,m,n)
ncx2rnd
ncx2rnd(N, delta,m,n) 参数为N，delta的非中心卡方分布随机数
raylrnd
raylrnd(B,m,n)
参数为B的瑞利分布随机数
weibrnd
weibrnd(A, B,m,n)
参数为A, B的韦伯分布随机数
概率统计简明教程(全套课件)-第一讲PPT课件
ABC
A6 “: 三人均未命中目标:” A B C
第18页/共23页
1.3 古典概型与概率
从直观上来看，事件A的概率是指事件A发 生的可能性
P（A）应具有何种性质？
抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ 向目标射击，命中目标的概率有多大？
三、事件之间的关系
第9页/共23页
1.包含关系“ A发生必导致B发生”记为AB A＝B AB且BA.
第10页/共23页
2.和事件： “事件A与B至少有一个发生”，记 作AB
2’n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作
第11页/共23页
n
Ai
i1
3.积事件 :A与B同时发生，记作 AB＝AB
A B A B, AB A B
可推广 Ak Ak , Ak Ak .
k
k
k
k
第16页/共23页
随
样本空间
机
试
验
随机事件
,∪,-,互不相容，互逆
第17页/共23页
EX：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A 、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、 C的运算关系表示下列事件：
序言
概率论是研究什么的？
随机现象：不确定性与统计规律性
概率论——研究和揭示随机现象 的统计规律性的科学
第1页/共23页
第一章 随机事件及其概率
• 随机试验 • 样本空间、随机事件 • 古典概型与概率 • 频率与概率 • 条件概率 • 独立性
第2页/共23页
1.1 随机试验(简称“试验”)
随机试验的特点 1.试验所有可能结果已知或可以确定； 2.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。 随机试验可表为E
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（4） 事件的差 “事件A发生但事件 B不发生”，这样的事件 称为A与B的差事件. 记为A–B. A-B是由所有属 于在A中而不属于B 的样本点组成. 例如,若A={2,4,6,8,10},B={1,2,3,4}, 则A-B={6,8,10}, B-A={1,3}.
(5) 事件的互不相容(互斥)
(1) 事件的包含与相等 若“事件A发生必然导致事件B发生”, 亦即A的样本点都是B的样本点,则称A包含 于B或B包含A,也称A是B的子事件 . S 记做 A B或B A.
注意 对任一事件A, 都 有子事件关系 A S
如果有A B且 B A, 则称事件A与事件B相等,记做 A B.
AB ——A与B互斥
A、B不可能同时 发生.
A1 , A2 ,, An 两两互斥
Ai Aj , i j, i, j 1,2,, n.
A1 , A2 ,, An , 两两互斥
Ai Aj , i j , i, j 1,2,
(6)对立事件(逆事件)
i i 1
(3) 事件的交(积)
“事件A与事件B 同时发生”，这样的事件 称为A与B的积事件.
记作 A B 或 AB. AB由既属于在A中又属
于在B的样本点组成.
A1 , A2 ,, An 的积事件 —— A .
i i 1
n
A1 , A2 ,, An , 的积事件 —— A .
AB , A B S
——A与B互相对立
每次试验，A，B中有
且只有一个发生.
称B为A的对立事件(or逆事件)，记为
注意 “A与B 互相对立”与“A与B 互 斥”是不同的概念.
B A.
(7) 完备事件组
若 A1 , A2 ,, An 两两互斥 ,且 S
A
i 1
n
i
Байду номын сангаас
则称 A1 , A2 ,, An 为完备事件组. 或称 A1 , A2 ,, An为S的一个划分(或剖分).
讲评 完备事件组A1,A2,…,An概念说明: 在每次试验中,事件A1,A2,…,An中有一个发
生, 并且只有一个发生.建立这个概念的目
的是, 把错综复杂的关系分解成彼此没有
影响的各种基本因素之和.概念的关键是:
事件交为不可能事件，同时，事件和为必
然事件.
七、习题布置
P10：1、2、3、4.
B
A=B等价于它们是由相同的样本点构成的.
(2) 事件的和(并) “事件A与事件B至少有一个发生”的事件
记做 A B 或 A + B.
叫做A与B的和事件.
可见, A∪B是由所有 属于A中的或属于B中 的样本点组成.
A1 , A2 ,, An 的和事件 A .
i i 1
n
A1 , A2 ,, An , 的和事件 A .
第一章
第二节
随机事件与概率
样本空间及随机事件
第一章
随机事件与概率
第二节 样本空间及随机事件 内容简介: 分析了随机试验发生后产 生的结果,借助于集合论的有关概念和方法, 通过将日常语言与数学符号建立的对应关
系,建立了样本空间、随机事件、和事件、
积事件、差事件、对立事件、互斥事件及
其运算性质的理论体系.