高中数学复习考点知识专题练习18 等差数列与等比数列

+ (2n)2 ⋅ 22n 4
= (4n −1) ⋅ 22n−2
= (4n −1) ⋅ 4n−1
T2n = 3× 40 + 7 × 41 +11× 42 +……+ (4n −1) ⋅ 4n−1 4T2n = 3× 41 + 7 × 42 +11× 43 +……+ (4n −1) ⋅ 4n −3T2n = 3× 40 + 4× 41 + 4× 42 + 4× 43 +……+ 4 ⋅ 4n−1 − (4n −1) ⋅ 4n ,
12
5× (32 + 0) + 7 × (8 + 56) = 80 + 224 = 304 .
2
2
7．（函数与数列）已知函数 f ( x) = 3 x + 5 − 2 x + 2 ，数列{an}满足 a1 < −2 ，an+1 = f (an ) ，n ∈ N* 若
要使数列{an}成等差数列，则a1的取值集合为（ ）
(Sn
+
9)2 4
的最小值为（
）
2an
1/7
．A 4
．B 6
．C 8
．D 12
【答案】C
【解析】因为 a2a6 = 4，且等比数列{an}各项均为正数，所以 a42 = 4,a4 = 2
公比 首项 q = a4 = 2, a3
a1
=
1 4
所以 ，通项 Sn
=
a1(1− qn 1− q
)
=
2n −1 4
6/7
② 2Sn = 1⋅ 21 + 2 ⋅ 22 +L + n ⋅ 2n
由① ②得， -
−Sn = 20 + 21 + L + 2n−1 − n ⋅ 2n
= 20 − 2n−1 × 2 − n ⋅ 2n 1− 2
= −1+ (1− n) ⋅ 2n
∴ Sn = 1+ (n −1) ⋅ 2n
∵
cn
>
9．（分段函数和错位相减法求和）已知等比数列{an}的前n项和为 Sn ，公比
数列 满足 ( ) q > 0, S2 = 2a2 − 2, S3 = a4 − 2 . {bn} a2 = 4b1, nbn+1 − (n +1)bn = n2 + n n ∈ N* .
4/7
（1）求数列{an}的通项公式；
【解析】证法一：解：（Ⅰ）由条件知， 1 = an +1 = 1 +1，
an+1
an
an
所以， ，所以 ， 1 − 1 =1 an+1 an
bn+1 − bn = 1
又
b1
=
1 a1
=
1
，所以，数列{bn}是首项为
1，公差为
1
的等差数列，
故数列{bn}的通项公式为：bn = n .
证法二：由条件，得bn+1 − bn
高中数学复习考点知识专题练习
专题 18 等差数列和等比数列
一、选择题 1．（等比数列的性质）已知正项等比数列{an}的前n项和为 Sn ，且7S2 = 4S4 ，则公比q的值为（ ）
A．1
B．1或 1
C． 3
．D ± 3
2
2
2
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ， 7S2 = 4S4
3(a1 + a2 ) = 4( S4 − S2 ) = 4(a3 + a4 )
是等差数列．因为
S12 12
−
S10 10
=
2，
所以
Sn n
的公差为1，又
S1 1
=
a1 1
=
−2015
，
所以
Sn n
是以
−2015
为首项，1为公差的等差数列，
所以 ，所以 故选 S2018 = −2015 + 2017 ×1 = 2 2018
S2018 = 4036 . C.
6．（含绝对值的数列问题）已知等差数列{an}满足 a1 = 32,a2 + a3 = 40 ，则{ an }前 12 项之和为（ ）
．A −144
．B 80
．C 144
．D 304
【答案】D
【解析】
因为 ，所以 所以 a2 + a3 = 2a1 + 3d = 64 + 3d = 40 ⇒ d = −8
an = 40 − 8n .
所以前 项之和为 an
=
40 − 8n
= 40 − 8n, n„ 5， 8n − 40, n > 6，
∵ ， nbn+1 − (n +1)bn = n2 + n
∴ bn+1 − bn = 1, n+1 n
n
∈
N*
，综上，
bn
n
是首项为
b1 1
=
1，公差是
1
的等差数列.
∵ ，∴ bn = n n
bn = n2 .
（ ）令 3
pn
= c2n−1 + c2n
= − (2n −1)2 ⋅ 22n−1 2
n
项和的性质）在等差数列{an}中，
a1
=
−2015
，其前
n
项和为
Sn
，若
S12 12
−
S10 10
=
2
，
则 ＝ S2018 (
)
．A 2018
．－ B 2018
．C 4036
．－ D 4036
【答案】C
【解析】设等差数列{an}的前
n
项和为
Sn
=
An2 +Bn
，则
Sn n
=
An+B
，
所以
S
n
n
及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀
形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二
百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（ ）
A． 23岁
B． 32 岁
C．35 岁
an
=
a1q n −1
=
2n−1 4
所以 (Sn
+
9 )2 4
2an
=
2n 4
+ 16 2n
+4≥
2
2n 4
⋅ 16 2n
+
4
=
8
当且仅当 2n 4
=
16 2n
,∴
n
=3
所以当
n
=
时，
Sn
+
9 4
2
的最小值为
8
2an
故选 C
4．（传统文化与等比数列）《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普
a1
为直线
y
=
x
+
11与直
线 y = −x −11交点横坐标时，即a1 = −11.此时数列{an}以 −11为首项，11为公差的等差数列；当
f
{a1}
=
a1
，即
5a1
+ 19
=
a1
或
−a1
−11
=
a1
即
a1
=
−
19 4
或
a1
=
−
11 2
，数列{an
}
以
0
为公差的等差数列，
因此
a1
的取值集合为
−11,
a1
=
1，
an+1
=
an an +1
，设
bn
=
1 an
，
n
∈
N
*
（Ⅰ）求证数列{bn}是等差数列，并求通项公式bn ；
（Ⅱ）设 cn = bn ⋅ 2n−1，且数列{cn}的前 n 项和 Sn ，若 λ ∈ R ，求使 Sn −1≤ λcn 恒成立的 λ 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；bn = n （Ⅱ）λ ≥ 2
【答案】A
【解析】Q an+1 − an = an+2 − an+1
∴ 2an+1 = an + an+2
∴{an} 为等差数列
Q a1010 = 1
( ) 2019
∴ S2019 =
a1 + a2019 2
= 2019 × 2a1010 = 2019 2
3．（等比数列与基本不等式）各项均为正数的等比数列{an}的前n 项和 Sn ，若a2a6 = 4， a3 =1，则
−
11 2
,
−
19 4
.
二、填空题
8．（双曲线与数列）已知一族双曲线
En
:
x2
−
y2
=
n 2019
（
n
∈
N
*
，且
n
≤
2019
），设直线
x
=
2
与
En
在
第一象限内的交点为 An ，点 An 在 En 的两条渐近线上的射影分别为 Bn ，Cn .记 ∆AnBnCn 的面积为 an ，则
a1 + a2 + a3 + …+ a2019 = __________.