北京市各区2012年初三第一学期期末试题按难度分类(三)难题

难题

（朝阳）8. 如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，P 是斜边

上一动点（不与点A 、B 重合）

，PQ ⊥AB 交△ABC 的直角边于 点Q ，设AP 为x ，△APQ 的面积为y ，则下列图象中，能表示 y 关于x 的函数关系的图象大致是

(通县)10．如图，AB 为半圆的直径，点P 为AB 上一动点.动点P 从点A 出发，沿AB 匀速运动到点B ，运动时间为t ．分别以AP 与PB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S 与时间t 之间的函数图象大致为（ ）

A

B

C D

（西城北）8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A ，(0,2)B ，⊙C 的圆心为点(1,0)C -，半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最大值是 A ．2 B ． 8

3

C ．2+

D ．2- （朝阳）12. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10 ，… 这样的数称为―三角形数‖（如图①），而把1，4，9，16，…这样的数称为―正方形数‖（如图②）． 如果规定11a =，23a =，

36a =，410a =，…；11b =，24b =，39b =，416b =，…；1112y a b =+，2222y a b =+，3332y a b =+，4442y a b =+，…，那么，按此规定，=6y ，n y ＝ （用含n 的

式子表示，n 为正整数）．

y

5

O

x

y

5

O

149

16

图②

图①

1063

1

AB

D C

（昌平）21. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，点H 在⊙O 上，E 是 的中点，过点E 作EC ⊥AH ，交AH 的延 长线于点C ．连结AE ，过点E 作EF ⊥AB 于点F ．

（1）求证：CE 是⊙O 的切线；

（2）若FB=2, tan ∠CAE =2

2

，求OF 的长．

（朝阳）23.（本小题满分6分）

如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，O 为BC 边上一点， 以O 为圆心，OB 为半径作半圆与AB 边和BC 边分别 交于点D 、点E ，连接CD ，且CD =CA ，BD =56， tan ∠ADC =2．

（1）求证：CD 是半圆O 的切线； （2）求半圆O 的直径； （3）求AD 的长.

(房山)22. 如图，点D 是⊙O 的直径CA ⊙O

上，且AB=AD=AO.（1）求证：BD 是⊙O 的切线. （2）若点E 是劣弧上一点，AE 与BC 相交于点F ，且∠ABE=105°，

（西城北）21．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线与 ⊙O 的交点为D ，DE ⊥AC ，与AC 的延长线交于点E ． （1）求证：直线DE 是⊙O 的切线； （2）若OE 与AD 交于点F ，4cos 5BAC ∠=，求DF AF

的值．

（朝阳）22. （本小题满分6分）

某超市销售一款进价为50元/个的书包，物价部门规定这款书包的售价不得高于70元/个，市场调查发现：以60元/个的价格销售，平均每周销售书包100个；若每个书包的销售价格每提高1元，则平均每周少销售书包2个.

（1）求该超市这款书包平均每周的销售量y （个）与销售价x （元/个）之间的函数关系

式；

（2）求该超市这款书包平均每周的销售利润w （元）与销售价x （元/

个）之间的函数关

B

C

A

系式； （3）当每个书包的销售价为多少元时，该超市这款书包平均每周的销售利润最大？最大

利润是多少元？ （东城）23．已知：关于x 的方程2(1)(1)20a x a x --++=.

（1） 当a 取何值时，方程2(1)(1)20a x a x --++=有两个不相等的实数根； （2） 当整数a 取何值时，方程2(1)(1)20a x a x --++=的根都是正整数. （西城北）22．阅读下列材料：

题目：已知实数a ，x 满足a ＞2且x ＞2，试判断ax 与a x +的大小关系，并加以说明. 思路：可用“求差法”比较两个数的大小，先列出ax 与

a x +的差()y ax a x =-+，再

说明y 的符号即可.

现给出如下利用函数解决问题的方法：

简解：可将y 的代数式整理成(1)y a x a =--，要判断

y 的符号可借助函数(1)y a x a =--的图象和性质解决.

参考以上解题思路解决以下问题：

已知a ，b ，c 都是非负数，a ＜5，且 2220a a b c ---=，2230a b c +-+=． （1）分别用含a 的代数式表示4b ，4c ； （2）说明a ，b ，c 之间的大小关系．

（西城北）23．已知抛物线2(2)2y kx k x =+--（其中0k >）．

（1）求该抛物线与x 轴的交点坐标及顶点坐标(可以用含k 的代数式表示)； （2）若记该抛物线的顶点坐标为(,)P m n ，直接写出n 的最小值； （3）将该抛物线先向右平移

12个单位长度，再向上平移1

k

个单位长度，随着k 的变化，平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求这个新函数的解析式（不要

求写自变量的取值范围）．

(石景山)25．如图，矩形'

'

'

O BC A 是矩形ABCO 绕点B 顺时针旋转得到的．其中点C O ,'在

x 轴负半轴上，线段OA 在y 轴正半轴上，B 点的坐标为()3,1-．

（1）如果二次函数()02

≠++=a c bx ax y 的图象经过'

O O 、两点且图象顶点M 的纵