函数概念及其表示(教师版)--高三

则上述对应法则 f 中，能构成 A 到 B 的映射的个数是（ ）
A． 3
【答案】C
B． 2
C．1
D． 0
【考点 2】函数的表示
1, x 0
1.设 x R ，定义符号函数 sgn x 0, x 0 ，则下列正确的是（ ）
1, x 0
A． sin x sgn x sin x
1.代入法：如已知 f (x) x2 1, 求 f (x x2 ) 时，有 f (x x2 ) (x x2 )2 1 . 2.待定系数法：已知 f (x) 的函数类型，要求 f (x) 的解析式时，可根据类型设其解析式，确定其系数即可.
3.拼凑法：已知 f [g(x)] 的解析式，要求 f (x) 的解析式时，可从 f [g(x)] 的解析式中拼凑出“ g(x) ”， 即用 g(x) 来表示，，再将解析式的两边的 g(x) 用 x 代替即可. 4.换元法：令 t g(x) ，在求出 f (t) 的解析式，然后用 x 代替 f (t) 解析式中所有的 t 即可.
解答：取
x


1 2
，则化为
f
(1) 2

f
(1)
，满足，排除
A, B ；
取 x 1 ，则化为 f (0) f (2) ，满足，排除 C ，故选 D .
3.（2018 全国新课标Ⅰ理）已知函数
f
(x)

ex，x ln x，x
0，0，g
(
x)

f
(x) x a ．若 g（x）存在
数），若 g f x 与 y f f x 的值域相同，则 a 的取值范围是（ ）
A. a 0 B. a 1 C. 0 a 4 D. a 0 或 0 a 4
【应试技巧点拨】 １． 在判断两个函数是否为同一函数时,要紧扣两点:一是定义域是否相同;二是对应关系是否相同． ２． 定义域优先原则:函数定义域是研究函数的基础依据,对函数性质的讨论,必须在定义域上进行． ３． 求函数解析式的几种常用方法:待定系数法、换元法、配凑法、消去法．
A B={x | 2 x 2}{x | x 1} {x | 2 x 1} ，选 D.
x 不同，∴④也不正确．故选 A .
2. 设集合 A, B 是两个集合，① A R, B y y 0 , f : x y x ；② A x x 0, B y y R, f : x y x ；③ A x1 x 2, B y1 y 4, f : x y 3x 2 .

4
2 3

a

a

8 3
，若
a

8 3
1 ，即
a


5 3
时，
a8
23

4 ，即
a

8

2

a


2


5
（成立）；若
a

8

1
，即
a


5
时，则
4a

32

a

4
，即
a


4


5
（舍
3
33
3
3
3
33
去），综上 a 2 ，应选答案 A. 3
【考点 4】定义域和值域
1. 已知函数 f x 的定义域为 0, ，则函数 y
2.对于复合函数求定义域问题，若已知 f (x) 的定义域[a, b] ，则复合函数 f (g(x)) 的定义域由不等式
a g(x) b 得到.
3.函数值 域的求法:
利用函数的单调性:利用三角函数的有界性,如 sin x [1,1], cos x [1,1] .
ax b
利用“分离常数”法:形如 y=
【考点 3】分段函数及其应用 1．分段函数是一个函数，而不是几个函数； 2．分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集； 【考点 4】定义域和值域 1. 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围. 2．求函数定义域的步骤：①写出使函数有意义的不等式（组）；②解不等式（组）；③写出函数的定义域（注 意用区间或集合的形式写出）
【高考真题】
1.（2019 全国 2 理，12）．设函数 f (x) 的定义域为 R，满足 f (x 1) 2 f (x) ，且当 x (0,1] 时，
f (x) x(x 1) ．若对任意 x (, m] ，都有 f (x) 8 ，则 m 的取值范围是 9
A．

【解析】(消去法)当 x (1,1) 时，有 2 f (x) f (x) lg(x 1) ，①
以 x 代替 x 得 2 f (x) f (x) lg(x 1) ，②
由①②消去 f (x) 得， f (x) 2 lg(x 1) 1 lg(1 x) ， x (1,1) .
B． sin x sgn x sin x
C． sin x sgn x sin x
D． sin x sgn x sin x
【答案】A
2.定义在 (1,1) 内的函数 f (x) 满足 2 f (x) f (x) lg(x 1) ，求 f (x)
3
3
【考点 3】分段函数及其应用
f x 2,x 3
1.已知函数
f
x




1 2

x
,
x

3
则 f 4 （
）
A. 1 16
B. 1 8
C. 1 4
D. 1 2
【解析】
f
4

f
2
f
0
f
2

f
4


1 2

4
1 16
f x 1 的定义域是__________．
x2 3x 4
【解析】由题意{
x2
x 1 3x

0 4

0
，解得
1

x

1 ，即定义域为
1,1
．
x2 2x 5 ,x 1
2.
已知函数
f
x


4
log
1 3
x

1 4
.(
x

1)
g x A 2 sinx x R ，若对任意的 x1 、 x2 R ，都有
y＝2x(x N) 的图象是一条直线；④ f (x) x2 与 g x＝x 是同一个函数．其中正确的有( )
x
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解析】(1)由函数的定义知①正确．②中满足 f (x) x 3 2 x 的 x 不存在，所以②不正确．③中
y＝2x(x N) 的图象是一条直线上的一群孤立的点，所以③不正确．④中 f (x) x2 与 g x＝x 的定义域
【解析】当 x≤1 时，f(x)∈ 0, ，当 x>1 时，f(x)=x+ 4
x
取最小值 1；所以 f(x)的值域为 0, .选 B.
-3≥1，当且仅当 x= 4 ，即 x= 2 时，f(x) x
4. 【湖北省武汉市 2017 届高三四月调研】已知函数 f x ex a ex 2 （ a R ， e 为自然对数的底
3.在函数 y f (x) 中与自变量 x 相对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域..函数的值域
与最值均在定义域上研究.函数值域的几何意义是对应函数图像上纵坐标的变化范围. 【规律方法技巧】 1.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真 数大于零，底数大于零且不等于 1.
4
1 A 2 , A 2 1 ， 1 A 2 1 , 7 A 9 .选 C。
4
44
44
4
3.
已知函数
f
x


x2, x 1
x

4
3,
x
，则
1
f

x 的值域是
x
A. 1, B. 0, C. 1, D. 0,1 1,
,
9 4

B．

,
7 3

C．

,
5 2

D．

,
8 3

答案：B
2.（2018
全国新课标Ⅰ文）设函数
f
x
2 x 1
，x≤0 ，则满足 ，x 0
f
x 1
f
2x 的
x
的取值范围是（
）
A． ，1 B． 0， C． 1，0 D． ，0
第二章 函数概念与基本初等函数
专题 1 函数的概念及其表示
【考点 1】函数的概念与映射的概念
1.近代定义： 设 A、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中的每一个数 x ，在集 合 B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函数，通常记为 y f (x), x A
2
个零点，
则 a 的取值范围是（ ）
A．[–1，0）
B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
解答：∵ g(x) f (x) x a 存在 2 个零点，即 y f (x) 与 y x a 有两个交点， f (x) 的图象