2014年高考数学理科(高考真题+模拟新题)分类汇编:A单元 集合与常用逻辑用语
专题01 集合—2014年高考数学理科试题分类解析(学生版)

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10 【2014 四川高考理第 1 题】已知集合 A {x | x 2 x 2 0} ,集合 B 为整数集,则 A B ( ) A. {1,0,1, 2} B. {2, 1,0,1} C. {0,1} D. {1,0}
“高中数学师生群”QQ 群号码:341383390,欢迎各位在读高中学生加入,欢迎各位一线高 中数学教师加入 “高中数学教师俱乐部”QQ 群号码:44359573,欢迎各位一线高中数学教师加入 注:该群 为教师群,拒绝学生申请 6 【2014 大纲高考理第 2 题】设集合 M {x | x2 3x 4 0} , N {x | 0 x 5} ,则 M ( ) A. (0, 4] B. [0, 4) C. [1,0) D. (1,0]
专题 01 集合—2014 年高考理科数学试题分类解析 一.列举法 §11 交集
1 【2014 高考江苏卷第 1 题】已知集合 A 2, 1,3, 4 , B 1, 2,3 ,则 A B
§12
并集
N (
2 【2014 高考广东卷理第 1 题】已知集合 M 1, 0,1 , N 0,1, 2 ,则 M A 1, 0,1 B 1, 0,1, 2 C 1, 0, 2 D 0,1
N
§22
补集
7 【2014 辽宁高考理第 1 题】已知全集 U R , A {x | x 0} , B {x | x 1} ,则集合
CU ( A B) (
)
A. {x | x 0}
B. {x | x 1}
C. {x | 0 x 1}
D. {x | 0 x 1}
2014全国名校高中数学试题分类解析汇编:A单元 集合与常用逻辑术语

A 单元 集合与常用逻辑用语目录A1 集合及其运算 ............................................................................................................................ 1 A2 命题及其关系、充分条件、必要条件 .................................................................................... 4 A3 基本逻辑联结词及量词 .......................................................................................................... 14 A4 单元综合 . (14)A1 集合及其运算【数学(理)卷·2015届浙江省重点中学协作体高考摸底测试(201408)】A11.已知全集R U =,集合},12|{},0|{2Z n n x x N x x x M ∈+===-=,则N M( )。
A .{0}B .{1}C .{0,1}D .φ 【知识点】集合的交集.【答案解析】B 解析 :解:由题意可知集合{}0,1M =,集合{}N =奇数,所以{}1MN =,故选B.【思路点拨】先求出两个集合在求交集即可.【数学(文)卷·2015届湖北省部分重点中学高三上学期起点考试(201408)】A11.若全集U ={1,2,3,4,5,6},M ={1,4},N ={2,3},则集合{5,6}等于( ) A .M ∪N B .M∩N C .(∁UM)∪(∁UN) D .(∁UM)∩(∁UN) 【知识点】补集及其运算;并集及其运算. 【答案解析】D 解析 :解:由题意全集{}1,2,3,4,5,6{1,4}{2,3}U M N =,=,=,观察知,集合(){56}U C M N =?,,又()()()U UUC M N C M C N ?∴()(){56}UUC M C N =,.故选D .【思路点拨】利用直接法求解.观察发现,集合{56},恰是M N È的补集,再由()()()U UUC M N C M C N ?选出答案.【数学(文)卷·2015届浙江省重点中学协作体高考摸底测试(201408)】A11.已知集合{}{}()12,1R A x x B x x A C B =-≤≤=<⋂,则=( )。
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题1集合与简易逻辑1(集合)

2014-2019年高考数学真题分类汇编专题01:集合与简易逻辑(集合) (一)集合的基本运算选择题1.(2014•新课标Ⅰ文)已知集合{|13}M x x =-<<,{|21}N x x =-<<,则(MN =B ) A .(2,1)- B .(1,1)- C .(1,3) D .(2,3)-2.(2014•大纲版文)设集合{1M =,2,4,6,8},{1N =,2,3,5,6,7},则M N 中元素的个数为(B )A .2B .3C .5D .73.(2014•上海文)已知互异的复数a ,b 满足0ab ≠,集合{a ,2}{b a =,2}b ,则(a b +=D )A .2B .1C .0D .1-4.(2014•北京文)若集合{0A =,1,2,4},{1B =,2,3},则(AB =C ) A .{0,1,2,3,4}B .{0,4} C .{1,2}D .{3}5.(2014•福建文)若集合{|24}P x x =<…,{|3}Q x x =…,则P Q 等于( A ) A .{|34}x x <… B .{|34}x x << C .{|23}x x <… D .{|23}x x 剟6.(2014•广东文)已知集合{2M =,3,4},{0N =,2,3,5},则(MN = B ) A .{0,2} B .{2,3} C .{3,4} D .{3,5}7.(2014•广东理)已知集合{1M -,0,1},{0N =,1,2},则(MN = B ) A .{0,1} B .{1-,0,1,2} C .{1-,0,2} D .{1-,0,1}8.(2014•湖北文)已知全集{1U =,2,3,4,5,6,7},集合{1A =,3,5,6},则(U A =ð C )A .{1,3,5,6}B .{2,3,7}C .{2,4,7}D .{2,5,7}9.(2014•湖南文)已知集合{|2}A x x =>,{|13}B x x =<<,则(AB =C ) A .{|2}x x > B .{|1}x x > C .{|23}x x <<D .{|13}x x <<10.(2014•辽宁文理)已知全集U R =,{|0}A x x =…,{|1}B x x =…,则集合()(U AB =ð D ) A .{|0}x x … B .{|1}x x …C .{|01}x x 剟D .{|01}x x <<11.(2014•浙江文)设集合{|2}S x x =…,{|5}T x x =…,则(ST = D ) A .(-∞,5] B .[2,)+∞ C .(2,5) D .[2,5]12.(2015•新课标Ⅰ文)已知集合{|32A x x n ==+,}n N ∈,{6B =,8,10,12,14},则集合A B 中元素的个数为( D )A .5B .4C .3D .213.(2015•新课标Ⅱ文)已知集合{|12}A x x =-<<,{|03}B x x =<<,则(AB = A ) A .(1,3)- B .(1,0)-C .(0,2)D .(2,3)14.(2015•北京文)若集合{|52}A x x =-<<,{|33}B x x =-<<,则(AB = A ) A .{|32}x x -<< B .{|52}x x -<<C .{|33}x x -<<D .{|53}x x -<<15.(2015•福建文)若集合{|22}M x x =-<…,{0N =,1,2},则(MN = D ) A .{0} B .{1} C .{0,1,2} D .{0,1}16.(2015•广东文)若集合{1M =-,1},{2N =-,1,0}则(MN = C ) A .{0.1}- B .{0} C .{1} D .{1-,1}17.(2015•四川文)设集合{|12}M x x =-<<,集合{|13}N x x =<<,则(MN = A ) A .{|13}x x -<< B .{|12}x x -<< C .{|13}x x << D .{|12}x x <<18.(2015•天津文)已知全集{1U =,2,3,4,5,6},集合{2A =,3,5},集合{1B =,3,4,6},则集合(U AB =ð B ) A .{3} B .{2,5}C .{1,4,6}D .{2,3,5}19.(2015•天津理)已知全集{1U =,2,3,4,5,6,7,8},集合{2A =,3,5,6},集合{1B =,3,4,6,7},则集合(U AB =ð A ) A .{2,5} B .{3,6}C .{2,5,6}D .{2,3,5,6,8}20.(2015•浙江文)已知集合2{|23}P x x x =-…,{|24}Q x x =<<,则(P Q = A ) A .[3,4) B .(2,3] C .(1,2)- D .(1-,3]21.(2015•浙江理)已知集合2{|20}P x x x =-…,{|12}Q x x =<…,则()(R P Q =ð C ) A .[0,1) B .(0,2] C .(1,2) D .[1,2]22.(2015•重庆文)已知集合{1A =,2,3},{1B =,3},则(AB =C ) A .{2} B .{1,2} C .{1,3}D .{1,2,3}23.(2015•重庆理)已知集合{1A =,2,3},{2B =,3},则( D )A .AB = B .A B =∅C .A B ⊂≠D .B A ⊂≠24.(2015•安徽文)设全集{1U =,2,3,4,5,6},{1A =,2},{2B =,3,4},则()(U A B =⋂ðB )A .{1,2,5,6}B .{1}C .{2}D .{1,2,3,4}25.(2016•新课标Ⅰ文)设集合{1A =,3,5,7},{|25}B x x =剟,则(AB = B ) A .{1,3} B .{3,5}C .{5,7}D .{1,7}26.(2016•新课标Ⅱ文)已知集合{1A =,2,3},2{|9}B x x =<,则(AB = D ) A .{2-,1-,0,1,2,3}B .{2-,1-,0,1,2}C .{1,2,3}D .{1,2}27.(2016•新课标Ⅱ理)已知集合{1A =,2,3},{|(1)(2)0B x x x =+-<,}x Z ∈,则A B 等于(C ) A .{1} B .{1,2} C .{0,1,2,3} D .{1-,0,1,2,3}28.(2016•新课标Ⅲ文)设集合{0A =,2,4,6,8,10},{4B =,8},则(A B =ð C )A .{4,8}B .{0,2,6}C .{0,2,6,10}D .{0,2,4,6,8,10}29.(2016•浙江文)已知全集{1U =,2,3,4,5,6},集合{1P =,3,5},{1Q =,2,4},则()(U PQ =ðC ) A .{1} B .{3,5} C .{1,2,4,6} D .{1,2,3,4,5}30.(2016•天津文)已知集合{1A =,2,3},{|21B y y x ==-,}x A ∈,则(AB = A ) A .{1,3} B .{1,2}C .{2,3}D .{1,2,3}31.(2016•天津理)已知集合{1A =,2,3,4},{|32B y y x ==-,}x A ∈,则(AB = D ) A .{1} B .{4}C .{1,3}D .{1,4}32.(2016•四川文)设集合{|15}A x x =剟,Z 为整数集,则集合A Z 中元素的个数是( B ) A .6 B .5 C .4 D .333.(2016•四川理)设集合{|22}A x x =-剟,Z 为整数集,则A Z 中元素的个数是( C ) A .3 B .4 C .5 D .634.(2016•山东文)设集合{1U =,2,3,4,5,6},{1A =,3,5},{3B =,4,5},则()(U AB =ðA ) A .{2,6} B .{3,6}C .{1,3,4,5}D .{1,2,4,6}35.(2016•北京文)已知集合{|24}A x x =<<,{|3B x x =<或5}x >,则(AB =C ) A .{|25}x x << B .{|4x x <或5}x > C .{|23}x x <<D .{|2x x <或5}x >36.(2017•新课标Ⅱ文)设集合{1A =,2,3},{2B =,3,4},则(AB = A )A .{1,2,3,4}B .{1,2,3}C .{2,3,4}D .{1,3,4}37.(2017•新课标Ⅲ文)已知集合{1A =,2,3,4},{2B =,4,6,8},则A B 中元素的个数为(B ) A .1 B .2 C .3 D .438.(2017•新课标Ⅲ理)已知集合22{(,)|1}A x y x y =+=,{(,)|}B x y y x ==,则A B 中元素的个数为(B )A .3B .2C .1D .0 39.(2017•天津文)设集合{1A =,2,6},{2B =,4},{1C =,2,3,4},则()(AB C = B ) A .{2} B .{1,2,4} C .{1,2,4,6} D .{1,2,3,4,6}40.(2017•天津理)设集合{1A =,2,6},{2B =,4},{|15}C x R x =∈-剟,则()(AB C = B ) A .{2} B .{1,2,4} C .{1,2,4,5} D .{|15}x R x ∈-剟41.(2017•浙江)已知集合{|11}P x x =-<<,{|02}Q x x =<<,那么(PQ = A ) A .(1,2)- B .(0,1) C .(1,0)- D .(1,2)42.(2017•北京文)已知全集U R =,集合{|2A x x =<-或2}x >,则(U A =ð C )A .(2,2)-B .(-∞,2)(2-⋃,)+∞C .[2-,2]D .(-∞,2][2-,)+∞43.(2017•北京理)若集合{|21}A x x =-<<,{|1B x x =<-或3}x >,则(AB = A ) A .{|21}x x -<<- B .{|23}x x -<<C .{|11}x x -<<D .{|13}x x <<44.(2018•天津文)设集合{1A =,2,3,4},{1B =-,0,2,3},{|12}C x R x =∈-<…,则()(A B C =C ) A .{1-,1} B .{0,1} C .{1-,0,1}D .{2,3,4}45.(2018•天津理)设全集为R ,集合{|02}A x x =<<,{|1}B x x =…,则()(R A B =⋂ð B )A .{|01}x x <…B .{|01}x x <<C .{|12}x x <…D .{|02}x x <<46.(2018•浙江)已知全集{1U =,2,3,4,5},{1A =,3},则(U A =ð C )A .∅B .{1,3}C .{2,4,5}D .{1,2,3,4,5}47.(2018•新课标Ⅰ文)已知集合{0A =,2},{2B =-,1-,0,1,2},则(AB = A ) A .{0,2} B .{1,2}C .{0}D .{2-,1-,0,1,2}48.(2018•新课标Ⅱ文)已知集合{1A =,3,5,7},{2B =,3,4,5},则(AB =C ) A .{3} B .{5} C .{3,5}D .{1,2,3,4,5,7}49.(2018•新课标Ⅱ理)已知集合22{(,)|3A x y x y =+…,x Z ∈,}y Z ∈,则A 中元素的个数为( A )A .9B .8C .5D .450.(2018•新课标Ⅲ理)已知集合{|10}A x x =-…,{0B =,1,2},则(AB =C ) A .{0} B .{1} C .{1,2}D .{0,1,2}51.(2018•天津理)设全集为R ,集合{|02}A x x =<<,{|1}B x x =…,则()(R A B =⋂ð B )A .{|01}x x <…B .{|01}x x <<C .{|12}x x <…D .{|02}x x <<52.(2018•天津文)设集合{1A =,2,3,4},{1B =-,0,2,3},{|12}C x R x =∈-<…,则()(A B C =C ) A .{1-,1} B .{0,1} C .{1-,0,1}D .{2,3,4}53.(2018•浙江)已知全集{1U =,2,3,4,5},{1A =,3},则(U A =ð C )A .∅B .{1,3}C .{2,4,5}D .{1,2,3,4,5}54.(2019北京文科)已知集合{|12}A x x =-<<,{|1}B x x =>,则(AB =C ) A .(1,1)- B .(1,2) C .(1,)-+∞D .(1,)+∞55.(2019•新课标Ⅰ文)已知集合{1U =,2,3,4,5,6,7},{2A =,3,4,5},{2B =,3,6,7},则(U B A =ðC )A .{1,6}B .{1,7}C .{6,7}D .{1,6,7}56.(2019新课标Ⅱ文)已知集合{|1}A x x =>-,{|2}B x x =<,则(AB =C ) A .(1,)-+∞ B .(,2)-∞ C .(1,2)-D .∅57.(2019•天津文理 )设集合{1A =-,1,2,3,5},{2B =,3,4},{|13}C x R x =∈<…,则()(A C B =D ) A .{2} B .{2,3} C .{1-,2,3} D .{1,2,3,4}58.(2019•浙江)已知全集{1U =-,0,l ,2,3},集合{0A =,1,2},{1B =-,0,1},则()(U A B =ðA )A .{1}-B .{0,1}C .{1-,2,3}D .{1-,0,1,3}填空题 1.(2014•江苏)已知集合{2A =-,1-,3,4},{1B =-,2,3},则A B = {1-,3} .2.(2014•重庆文)已知集合{3A =,4,5,12,13},{2B =,3,5,8,13},则A B = {3,5,13} .3.(2014•重庆理)设全集{|110}U n N n =∈剟,{1A =,2,3,5,8},{1B =,3,5,7,9},则()U A B =ð {7,9} .4.(2015•湖南文)已知集合{1U =,2,3,4},{1A =,3},{1B =,3,4},则()U A B =ð {1,2,3} .5.(2015•上海文理)设全集U R =,若集合{1A =,2,3,4},{|23}B x x =剟,则AB = {2,3} . 6.(2015•江苏)已知集合{1A =,2,3},{2B =,4,5},则集合A B 中元素的个数为 5 .7.(2016•江苏)已知集合{1A =-,2,3,6},{|23}B x x =-<<,则A B = {1-,2} .8.(2017•上海)已知集合{1A =,2,3,4},集合{3B =,4,5},则A B = {3,4} .9.(2017•江苏)已知集合{1A =,2},{B a =,23}a +.若{1}A B =,则实数a 的值为 1 .10.(2018•江苏)已知集合{0A =,1,2,8},{1B =-,1,6,8},那么A B = {1,8} .11.(2019•上海)已知集合{1A =,2,3,4,5},{3B =,5,6},则A B = {3,5} .12.(2019江苏)已知集合{1A =-,0,1,6},{|0B x x =>,}x R ∈,则A B = {1,6} .(二)集合的基本运算(含方程)选择题1.(2014•新课标Ⅱ文)已知集合{2A =-,0,2},2{|20}B x x x =--=,则(A B = B )A .∅B .{2}C .{0}D .{2}-2.(2014•北京理)已知集合2{|20}A x x x =-=,{0B =,1,2},则(A B = C )A .{0}B .{0,1}C .{0,2}D .{0,1,2}3.(2015•广东理)若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=,{|(4)(1)0}N x x x =--=,则(M N = D )A .{1,4}B .{1-,4}-C .{0}D .∅4.(2017•新课标Ⅱ理)设集合{1A =,2,4},2{|40}B x x x m =-+=.若{1}A B =,则(B = C) A .{1,3}- B .{1,0} C .{1,3} D .{1,5}(三)集合的基本运算(含不等式)选择题1.(2014•新课标Ⅰ理)已知集合2{|230}A x x x =--…,{|22}B x x =-<…,则(A B = D )A .[1,2)B .[1-,1]C .[1-,2)D .[2-,1]-2.(2014•新课标Ⅱ理)设集合{0M =,1,2},2{|320}N x x x =-+…,则(M N = D )A .{1}B .{2}C .{0,1}D .{1,2}3.(2014•大纲版理)设集合2{|340}M x x x =--<,{|05}N x x =剟,则(M N = B )A .(0,4]B .[0,4)C .[1-,0)D .(1-,0]4.(2014•山东文)设集合2{|20}A x x x =-<,{|14}B x x =剟,则(AB =C ) A .(0,2] B .(1,2) C .[1,2)D .(1,4)5.(2014•山东理)设集合{||1|2}A x x =-<,{|2x B y y ==,[0x ∈,2]},则(AB =C ) A .[0,2] B .(1,3) C .[1,3)D .(1,4)6.(2014•江西文)设全集为R ,集合2{|90}A x x =-<,{|15}B x x =-<…,则()(R A B =⋂ð C )A .(3,0)-B .(3,1)--C .(3-,1]-D .(3,3)-7.(2014•陕西文理)设集合{|0M x x =…,}x R ∈,2{|1N x x =<,}x R ∈,则(MN = D ) A .[0,1] B .(0,1) C .(0,1] D .[0,1)8.(2014•四川文)已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-…,集合B 为整数集,则(AB = D ) A .{1-,0} B .{0,1}C .{2-,1-,0,1}D .{1-,0,1,2}9.(2014•四川理)已知集合2{|20}A x x x =--…,集合B 为整数集,则(AB = A ) A .{1-,0,1,2} B .{2-,1-,0,1}C .{0,1}D .{1-,0}10.(2014•浙江理)设全集{|2}U x N x =∈…,集合2{|5}A x N x =∈…,则(U A =ð B )A .∅B .{2}C .{5}D .{2,5}11.(2015•新课标Ⅱ理)已知集合{2A =-,1-,0,1,2},{|(1)(2)0}B x x x =-+<,则(AB =A ) A .{1-,0} B .{0,1}C .{1-,0,1}D .{0,1,2}12.(2015•山东文)已知集合{|24}A x x =<<,{|(1)(3)0}B x x x =--<,则(AB =C )A .(1,3)B .(1,4)C .(2,3)D .(2,4) 13.(2015•山东理)已知集合2{|430}A x x x =-+<,{|24}B x x =<<,则(AB =C )A .(1,3)B .(1,4)C .(2,3)D .(2,4) 14.(2015•四川理)设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<,集合{|13}B x x =<<,则(AB = A ) A .{|13}x x -<< B .{|11}x x -<<C .{|12}x x <<D .{|23}x x <<15.(2016•新课标Ⅰ理)设集合2{|430}A x x x =-+<,{|230}B x x =->,则(AB = D ) A .3(3,)2-- B .3(3,)2-C .3(1,)2D .3(2,3) 16.(2016•新课标Ⅲ理)设集合{|(2)(3)0}S x x x =--…,{|0}T x x =>,则(ST = D )A .[2,3]B .(-∞,2][3,)+∞C .[3,)+∞D .(0,2][3,)+∞17.(2016•浙江理)已知集合{|13}P x R x =∈剟,2{|4}Q x R x =∈…,则()(R P Q =⋃ð B ) A .[2,3] B .(2-,3] C .[1,2) D .(-∞,2][1-,)+∞18.(2016•北京理)已知集合{|||2}A x x =<,集合{1B =-,0,1,2,3},则(AB =C ) A .{0,1} B .{0,1,2} C .{1-,0,1}D .{1-,0,1,2}19.(2017•新课标Ⅰ文)已知集合{|2}A x x =<,{|320}B x x =->,则( A )A .3{|}2AB x x =< B .A B =∅C .3{|}2A B x x =<D .A B R =20.(2017•山东文)设集合{||1|1}M x x =-<,{|2}N x x =<,则(MN = C ) A .(1,1)- B .(1,2)- C .(0,2) D .(1,2)21.(2018•新课标Ⅰ理)已知集合2{|20}A x x x =-->,则(R A =ð B )A .{|12}x x -<<B .{|12}x x -剟C .{|1}{|2}x x x x <->D .{|1}{|2}x x x x -剠22.(2018•新课标Ⅲ文理)已知集合{|10}A x x =-…,{0B =,1,2},则(AB =C ) A .{0} B .{1} C .{1,2}D .{0,1,2}23.(2018•北京文理)已知集合{|||2}A x x =<,{2B =-,0,1,2},则(AB = A ) A .{0,1} B .{1-,0,1}C .{2-,0,1,2}D .{1-,0,1,2}24.(2019•新课标Ⅰ理)已知集合{|42}M x x =-<<,2{|60}N x x x =--<,则(MN = C ) A .{|43}x x -<< B .{|42}x x -<<- C .{|22}x x -<< D .{|23}x x <<25.(2019新课标Ⅱ理1)设集合2{|560}A x x x =-+>,{|10}B x x =-<,则(AB = A ) A .(,1)-∞ B .(2,1)-C .(3,1)--D .(3,)+∞26.(2019•新课标Ⅲ文理)已知集合{1A =-,0,1,2},2{|1}B x x =…,则(AB = A ) A .{1-,0,1}B .{0,1}C .{1-,1}D .{0,1,2}(四)集合综合题 1.(2016•北京文)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种,则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有 16 种;②这三天售出的商品最少有 29 种.2.(2018•北京理20)设n 为正整数,集合1{|(A t αα==,2t ,)n t ⋯,{0k t ∈,1},1k =,2,⋯,}n ,对于集合A 中的任意元素1(x α=,2x ,⋯,)n x 和1(y β=,2y ,)n y ⋯,记(M α,111122221)[(||)(||)(||)]2n n n n x y x y x y x y x y x y β=+--++--+⋯+-- (Ⅰ)当3n =时,若(1α=,1,0),(0β=,1,1),求(,)M αα和(,)M αβ的值; (Ⅱ)当4n =时,设B 是A 的子集,且满足:对于B 中的任意元素α,β,当α,β相同时,(,)M αβ是奇数;当α,β不同时,(,)M αβ是偶数.求集合B 中元素个数的最大值; (Ⅲ)给定不小于2的n ,设B 是A 的子集,且满足:对于B 中的任意两个不同的元素α,β,(,)0M αβ=,写出一个集合B ,使其元素个数最多,并说明理由.。
2014年高考数学(理)试题分项版解析:专题01-集合与常用逻辑用语(分类汇编)Word版含解析

2014年高考数学(理)试题分项版解析:专题01-集合与常用逻辑用语(分类汇编)Word版含解析D【解析】由题意得{1,3}A B =-.【考点】集合的运算8. 【2014辽宁高考理第1题】已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥,则集合()U C A B =( )A .{|0}x x ≥B .{|1}x x ≤C .{|01}x x ≤≤D .{|01}x x <<9. 【2014全国1高考理第1题】已知集合{}{}22|,032|2<≤-=≥--=x x B x x x A ,则=B A ( )A .]1,2[--B . )2,1[- C..]1,1[- D .)2,1[10. 【2014全国2高考理第1题】设集合M={0,1,2},N={}2|320x x x -+≤,则M N ⋂=( )A. {1}B. {2}C. {0,1}D. {1,2}题目的关键。
11. 【2014山东高考理第2题】设集合{}{}]2,0[,2|,2|1||∈==<-=x y y B x x A x ,则=B A ( )A.]2,0[B. )3,1(C. )3,1[D. )4,1(12. 【2014四川高考理第1题】已知集合2{|20}A x xx =--≤,集合B 为整数集,则A B ⋂=( ) A .{1,0,1,2}- B .{2,1,0,1}-- C .{0,1} D .{1,0}-13. 【2014浙江高考理第1题】设全集{}2|≥∈=x N x U ,集合{}5|2≥∈=x N x A ,则=A C U ( )A. ∅B. }2{C. }5{D. }5,2{14. 【2014重庆高考理第6题】已知命题:p 对任意x R ∈,总有20x >;:"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件则下列命题为真命题的是( ) .A p q ∧ .B p q ⌝∧⌝.C p q ⌝∧.D p q ∧⌝15. 【2014重庆高考理第11题】设全集{|110},{1,2,3,5,8},{1,3,5,7,9},()U U n N n A B A B =∈≤≤===则______.16. 【2014陕西高考理第1题】已知集合2{|0,},{|1,}M x x x R N x x x R =≥∈=<∈,则M N =( ).[0,1]A .[0,1)B .(0,1]C .(0,1)D17. 【2014陕西高考理第8题】原命题为“若12,z z 互为共轭复数,则12z z =”,关于逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )(A)真,假,真(B)假,假,真(C)真,真,假(D)假,假,假18.【2014天津高考理第7题】设,a b R,则|“a b”是“a a b b”的()(A)充要不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充要也不必要条件19.【2014大纲高考理第2题】设集合2=--<,M x x x{|340}=≤≤,则M N=()N x x{|05}A.(0,4]B.[0,4)C.[1,0)--D.(1,0]。
2014年高考数学(理)三轮专项模拟(通用)试卷集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数(含新题详解)

集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2013·山东高考)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+1x,则f(-1)=()A.-2B.0C.1D.2【解析】当x>0时,f(x)=x2+1x,∴f(1)=12+11=2.∵f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-2.【答案】 A2.(2013·北京高考)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当φ=π时,y=sin(2x+φ)=sin(2x+π)=-sin 2x,此时曲线y=sin(2x +φ)必过原点,但曲线y=sin(2x+φ)过原点时,φ可以取其他值,如φ=0.因此“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的充分而不必要条件.【答案】 A3.(2013·韶关模拟)设a=log0.32,b=log0.33,c=20.3,d=0.32,则这四个数的大小关系是()A.a<b<c<d B.b<a<d<cC.b<a<c<d D.d<c<a<b【解析】由函数y=log0.3x是减函数知,log0.33<log0.32<0.又20.3>1,0<0.32<1,所以b <a <d <c . 【答案】 B4.下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A .y =cos 2x ,x ∈R B .y =log 2|x |,x ∈R 且x ≠0 C .y =e x -e -x2,x ∈R D .y =x 3+1,x ∈R【解析】 A 中,y =cos 2x 在(0,π2)上递减,A 不满足题意. C 中函数为奇函数,D 中函数非奇非偶.对于B :y =log 2|x |(x ≠0)是偶函数,在(1,2)内是增函数. 【答案】 B5.设f (x )=⎩⎨⎧2e x -1, x <2,log 3(x 2-1),x ≥2,则不等式f (x )<2的解集为( ) A .(10,+∞) B .(-∞,1)∪[2,10) C .(1,2]∪(10,+∞) D .(1,10)【解析】 原不等式等价于⎩⎨⎧x ≥2,log 3(x 2-1)<2, 或⎩⎨⎧ x <2,2e x -1<2,即⎩⎨⎧ x ≥2,0<x 2-1<9,或⎩⎨⎧x <2,x -1<0, 解得2≤x <10或x <1. 【答案】 B6.(2013·山东高考)函数y =x cos x +sin x 的图象大致为( )【解析】 函数y =x cos x +sin x 为奇函数,则排除B ;当x =π2时,y =1>0,排除C ;当x =π时,y =-π<0,排除A ,故选D.【答案】 D7.(2013·江西高考)若S 1=⎠⎛12x 2d x ,S 2=⎠⎛121x d x ,S 3=⎠⎛12e x d x ,则S 1,S 2,S 3的大小关系为( )A .S 1<S 2<S 3B .S 2<S 1<S 3C .S 2<S 3<S 1D .S 3<S 2<S 1【解析】 S 1=⎠⎛12x 2d x =13x 3⎪⎪⎪21=13×23-13=73,S 2=⎠⎛121x d x =ln x ⎪⎪⎪21=ln 2,S 3=⎠⎛12e x d x =e x ⎪⎪⎪21=e 2-e =e(e -1),ln 2<ln e =1,且73<2.5<e(e -1),所以ln 2<73<e(e-1),即S 2<S 1<S 3.【答案】 B8.(2012·重庆高考)设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f ′(x ),且函数y =(1-x )f ′(x )的图象如图1所示,则下列结论中一定成立的是( )图1A .函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B .函数f (x )有极大值f (-2)和极小值f (1)C .函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (-2)D .函数f (x )有极大值f (-2)和极小值f (2)【解析】 当x <-2时,y =(1-x )f ′(x )>0,得f ′(x )>0; 当-2<x <1时,y =(1-x )f ′(x )<0,得f ′(x )<0; 当1<x <2时,y =(1-x )f ′(x )>0,得f ′(x )<0; 当x >2时,y =(1-x )f ′(x )<0,得f ′(x )>0,∴f (x )在(-∞,-2)上是增函数,在(-2,1)上是减函数,在(1,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数,∴函数f (x )有极大值f (-2)和极小值f (2). 【答案】 D第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上) 9.(2013·烟台模拟)已知第一象限的点(a ,b )在直线2x +3y -1=0上,则代数式2a +3b 的最小值为________.【解析】 由题意知2a +3b =1,a >0,b >0,则2a +3b =⎝ ⎛⎭⎪⎫2a +3b (2a +3b )=4+9+6b a +6ab ≥13+26b a ·6a b =25,当且仅当a =b =15时取等号,即2a +3b 的最小值为25.【答案】 2510.已知y =f (x )+x 2是奇函数,且f (1)=1,若g (x )=f (x )+2,则g (-1)=________.【解析】 ∵y =f (x )+x 2是奇函数,且f (1)=1, ∴f (-1)+(-1)2=-[f (1)+12],∴f (-1)=-3. 因此g (-1)=f (-1)+2=-1. 【答案】 -111.设变量x ,y满足约束条件⎩⎨⎧x +2y -5≤0,x -y -2≤0,x ≥0,则目标函数z =2x +3y +1的最大值为________.【解析】 作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分所示.又z =2x +3y +1可化为y =-23x +z 3-13,结合图形可知z =2x +3y +1在点A 处取得最大值.由⎩⎨⎧ x +2y -5=0,x -y -2=0,得⎩⎨⎧x =3,y =1,故A (3,1). 此时z =2×3+3×1+1=10. 【答案】 1012.(2013·孝感模拟)已知符号函数sgn(x )=⎩⎨⎧1,x >0,0,x =0,-1,x <0,则函数f (x )=sgn(lnx )-ln 2x 的零点个数为________.【解析】 当x >1时,ln x >0,sgn(ln x )=1,∴f (x )=1-ln 2x ,令f (x )=0,得x =e. 当x =1时,ln x =0,sgn(ln x )=0, ∴f (x )=-ln 2x ,令f (x )=0,得x =1满足. 当0<x <1时,ln x <0,sgn(ln x )=-1, ∴f (x )=-1-ln 2x <0,f (x )=0无解. ∴函数f (x )的零点为x =1与x =e. 【答案】 213.定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=⎩⎨⎧log 2(1-x ),x ≤0,f (x -1)-f (x -2),x >0,则f (2 013)=________.【解析】 当x >0时,∵f (x )=f (x -1)-f (x -2), ∴f (x +1)=f (x )-f (x -1),∴f (x +1)=-f (x -2),即f (x +3)=-f (x ), ∴f (x +6)=f (x ),即当x >0时, 函数f (x )的周期是6.又∵f (2 013)=f (335×6+3)=f (3), 由已知得f (-1)=log 22=1,f (0)=0, f (1)=f (0)-f (-1)=0-1=-1, f (2)=f (1)-f (0)=-1-0=-1, f (3)=f (2)-f (1)=-1-(-1)=0, ∴f (2 013)=0. 【答案】 014.已知函数f (x )的导数f ′(x )=a (x +1)(x -a ),若f (x )在x =a 处取得极大值,则a 的取值范围是________.【解析】 若a =0,则f ′(x )=0,函数f (x )不存在极值;若a =-1,则f ′(x )=-(x +1)2≤0,函数f (x )不存在极值;若a >0,当x ∈(-1,a )时,f ′(x )<0,当x ∈(a ,+∞)时,f ′(x )>0,所以函数f (x )在x =a 处取得极小值;若-1<a <0,当x ∈(-1,a )时,f ′(x )>0,当x ∈(a ,+∞)时,f ′(x )<0,所以函数f (x )在x =a 处取得极大值;若a <-1,当x ∈(-∞,a )时,f ′(x )<0,当x ∈(a ,-1)时,f ′(x )>0,所以函数f (x )在x =a 处取得极小值,所以a ∈(-1,0).【答案】 (-1,0)三、解答题(本大题共6小题,共80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分12分)已知集合A ={y |y 2-(a 2+a +1)y +a (a 2+1)>0},B ={y |y =12x 2-x +52,0≤x ≤3}.(1)若A ∩B =∅,求a 的取值范围;(2)当a 取使不等式x 2+1≥ax 恒成立的a 的最小值时,求(∁R A )∩B . 【解】 A ={y |y <a 或y >a 2+1},B ={y |2≤y ≤4}.(1)当A ∩B =∅时,⎩⎨⎧a 2+1≥4,a ≤2,∴3≤a ≤2或a ≤- 3.∴a 的取值范围是(-∞,-3]∪[3,2]. (2)由x 2+1≥ax ,得x 2-ax +1≥0, 依题意Δ=a 2-4≤0, ∴-2≤a ≤2. ∴a 的最小值为-2.当a =-2时,A ={y |y <-2或y >5}. ∴∁R A ={y |-2≤y ≤5}. ∴(∁R A )∩B ={y |2≤y ≤4}.16.(本小题满分12分)已知函数f (x )=2x +k ·2-x ,k ∈R . (1)若函数f (x )为奇函数,求实数k 的值;(2)若对任意的x ∈[0,+∞)都有f (x )>2-x 成立,求实数k 的取值范围. 【解】 (1)∵f (x )=2x +k ·2-x 是奇函数, ∴f (-x )=-f (x ),x ∈R , 即2-x +k ·2x =-(2x +k ·2-x ),∴(1+k )+(k +1)·22x =0对一切x ∈R 恒成立, ∴k =-1.(2)∵x ∈[0,+∞),均有f (x )>2-x , 即2x +k ·2-x >2-x 成立,∴1-k<22x对x≥0恒成立,∴1-k<(22x)min,∵y=22x在[0,+∞)上单调递增,∴(22x)min=1,∴k>0.∴实数k的取值范围是(0,+∞).17.(本小题满分14分)(2013·北京高考)设L为曲线C:y=ln xx在点(1,0)处的切线.(1)求L的方程;(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.【解】(1)设f(x)=ln xx,则f′(x)=1-ln xx2.所以f′(1)=1,所以L的方程为y=x-1.(2)证明:令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1).g(x)满足g(1)=0,且g′(x)=1-f′(x)=x2-1+ln xx2.当0<x<1时,x2-1<0,ln x<0,所以g′(x)<0,故g(x)单调递减;当x>1时,x2-1>0,ln x>0,所以g′(x)>0,故g(x)单调递增.所以,g(x)>g(1)=0(∀x>0,x≠1).所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.18.(本小题满分14分)(2013·济南模拟)已知函数f(x)=13ax3+(a-2)x+c的图象如图2所示.图2(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)若g(x)=kf′(x)x-2ln x在其定义域内为增函数,求实数k的取值范围.【解】(1)∵f′(x)=ax2+a-2,由图可知函数f (x )的图象过点(0,3),且f ′(1)=0. 得⎩⎨⎧ c =3,2a -2=0,即⎩⎨⎧c =3,a =1. ∴f (x )=13x 3-x +3. (2)∵g (x )=kf ′(x )x -2ln x =kx -kx -2ln x ,∴g ′(x )=k +k x 2-2x =kx 2+k -2xx 2.∵函数y =g (x )的定义域为(0,+∞),∴若函数y =g (x )在其定义域内为单调增函数,则函数g ′(x )≥0在(0,+∞)上恒成立,即kx 2+k -2x ≥0在区间(0,+∞)上恒成立.即k ≥2xx 2+1在区间(0,+∞)上恒成立.令h (x )=2xx 2+1,x ∈(0,+∞), 则h (x )=2x x 2+1=2x +1x≤1(当且仅当x =1时取等号). ∴k ≥1.∴实数k 的取值范围是[1,+∞).19.(本小题满分14分)(2013·烟台模拟)某幼儿园准备建一个转盘,转盘的外围是一个周长为k 米的圆.在这个圆上安装座位,且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算,转盘上的每个座位与支点相连的钢管的费用为3k 元/根,且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时,相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2+(128x +20)x 25k 元.假设座位等距分布,且至少有两个座位,所有座位都视为点,且不考虑其他因素,记转盘的总造价为y 元.(1)试写出y 关于x 的函数关系式,并写出定义域; (2)当k =50米时,试确定座位的个数,使得总造价最低? 【解】 (1)设转盘上总共有n 个座位,则x =k n 即n =kx , y =3k 2x +⎣⎢⎡⎦⎥⎤2+(128x +20)x 25k 2x,定义域⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x ≤k 2,k x ∈Z. (2)y =f (x )=k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5x +(128x +20)25, y ′=-125+64x 3225x2k 2,令y ′=0得x =2516.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,2516时,f ′(x )<0,即f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,2516上单调递减,当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2516,25时,f ′(x )>0,即f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2516,25上单调递增,y 的最小值在x =2516时取到,此时座位个数为502516=32个.20.(本小题满分14分)(2013·鄂州模拟)已知函数f (x )=13x 3-ax +1. (1)求x =1时,f (x )取得极值,求a 的值; (2)求f (x )在[0,1]上的最小值;(3)若对任意m ∈R ,直线y =-x +m 都不是曲线y =f (x )的切线,求a 的取值范围.【解】 (1)因为f ′(x )=x 2-a ,当x =1时,f (x )取得极值,所以f ′(1)=1-a =0,a =1. 又当x ∈(-1,1)时,f ′(x )<0,x ∈(1,+∞)时,f ′(x )>0, 所以f (x )在x =1处取得极小值,即a =1符合题意. (2)当a ≤0时,f ′(x )>0对x ∈(0,1)成立,所以f (x )在[0,1]上单调递增,f (x )在x =0处取最小值f (0)=1, 当a >0时,令f ′(x )=x 2-a =0,x 1=-a ,x 2=a , 当0<a <1时,a <1,x ∈(0,a )时,f ′(x )<0,f (x )单调递减, x ∈(a ,1)时,f ′(x )>0,f (x )单调递增, 所以f (x )在x =a 处取得最小值f (a )=1-2a a 3. 当a ≥1时,a ≥1,x∈[0,1]时,f′(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在x=1处取得最小值f(1)=43-a.综上所述,当a≤0时,f(x)在x=0处取最小值f(0)=1;当0<a<1时,f(x)在x=a处取得最小值f(a)=1-2a a 3;当a≥1时,f(x)在x=1处取得最小值f(1)=43-a.(3)因为∀m∈R,直线y=-x+m都不是曲线y=f(x)的切线,所以f′(x)=x2-a≠-1对x∈R成立,只要f′(x)=x2-a的最小值大于-1即可,而f′(x)=x2-a的最小值为f(0)=-a,所以-a>-1,即a<1.所以a的取值范围是(-∞,-1).。
2014年高考数学分类汇编(高考真题+模拟新题)数列 理

D 单元 数列D1 数列的概念与简单表示法17.、、[2014·某某卷] 已知首项都是1的两个数列{a n },{b n }(b n ≠0,n ∈N *)满足a n b n+1-a n +1b n +2b n +1b n =0.(1)令=a n b n,求数列{}的通项公式; (2)若b n =3n -1,求数列{a n }的前n 项和S n .17.解:(1)因为a n b n +1-a n +1b n +2b n +1b n =0,b n ≠0(n ∈N *),所以a n +1b n +1-a nb n=2,即+1-=2,所以数列{}是以c 1=1为首项,d =2为公差的等差数列,故=2n -1.(2)由b n =3n -1,知a n =(2n -1)3n -1,于是数列{a n }的前n 项和S n =1×30+3×31+5×32+…+(2n -1)×3n -1,3S n =1×31+3×32+…+(2n -3)×3n -1+(2n -1)×3n,将两式相减得-2S n =1+2×(31+32+…+3n -1)-(2n -1)×3n =-2-(2n -2)×3n,所以S n =(n -1)3n+1. 17.、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n ≠0,a n a n +1=λS n -1,其中λ为常数.(1)证明:a n +2-a n =λ.(2)是否存在λ,使得{a n }为等差数列?并说明理由.17.解:(1)证明:由题设,a n a n +1=λS n -1,a n +1a n +2=λS n +1-1, 两式相减得a n +1(a n +2-a n )=λa n +1. 因为a n +1≠0,所以a n +2-a n =λ.(2)由题设,a 1=1,a 1a 2=λS 1-1,可得 a 2=λ-1, 由(1)知,a 3=λ+1.若{a n }为等差数列,则2a 2=a 1+a 3,解得λ=4,故a n +2-a n =4. 由此可得{a 2n -1}是首项为1,公差为4的等差数列, a 2n -1=4n -3;{a 2n }是首项为3,公差为4的等差数列,a 2n =4n -1. 所以a n =2n -1,a n +1-a n =2.因此存在λ=4,使得数列{a n }为等差数列. 17.、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=3a n +1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +12是等比数列,并求{a n }的通项公式;(2)证明1a 1+1a 2+…+1a n <32.17.解:(1)由a n +1=3a n +1得a n +1+12=3⎝⎛⎭⎪⎫a n +12.又a 1+12=32,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +12是首项为32,公比为3的等比数列,所以a n +12=3n2,因此数列{a n }的通项公式为a n =3n-12.(2)证明:由(1)知1a n =23n -1.因为当n ≥1时,3n -1≥2×3n -1,所以13n -1≤12×3n -1,即1a n =23n -1≤13n -1. 于是1a 1+1a 2+…+1a n ≤1+13+…+13n -1=32⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13n <32.所以1a 1+1a 2+…+1a n <32.22.,,[2014·某某卷] 设a 1=1,a n +1=a 2n -2a n +2+b (n ∈N *). (1)若b =1,求a 2,a 3及数列{a n }的通项公式.(2)若b =-1,问:是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n +1对所有n ∈N *成立?证明你的结论. 22.解:(1)方法一:a 2=2,a 3=2+1. 再由题设条件知(a n +1-1)2=(a n -1)2+1.从而{(a n -1)2}是首项为0,公差为1的等差数列,故(a n -1)2=n -1,即a n =n -1+1(n ∈N *). 方法二:a 2=2,a 3=2+1.可写为a 1=1-1+1,a 2=2-1+1,a 3=3-1+1.因此猜想a n =n -1+1. 下面用数学归纳法证明上式. 当n =1时,结论显然成立.假设n =k 时结论成立,即a k =k -1+1,则a k +1=(a k -1)2+1+1=(k -1)+1+1=(k +1)-1+1, 这就是说,当n =k +1时结论成立.所以a n =n -1+1(n ∈N *).(2)方法一:设f (x )=(x -1)2+1-1,则a n +1=f (a n ).令c =f (c ),即c =(c -1)2+1-1,解得c =14.下面用数学归纳法证明命题 a 2n <c <a 2n +1<1.当n =1时,a 2=f (1)=0,a 3=f (0)=2-1,所以a 2<14<a 3<1,结论成立.假设n =k 时结论成立,即a 2k <c <a 2k +1<1. 易知f (x )在(-∞,1]上为减函数,从而 c =f (c )>f (a 2k +1)>f (1)=a 2,即 1>c >a 2k +2>a 2.再由f (x )在(-∞,1]上为减函数,得c =f (c )<f (a 2k +2)<f (a 2)=a 3<1,故c <a 2k +3<1,因此a 2(k +1)<c <a 2(k +1)+1<1,这就是说,当n =k +1时结论成立.综上,存在 c =14使a 2n <C <a 2a +1对所有n ∈N *成立.方法二:设f (x )=(x -1)2+1-1,则a n +1=f (a n ).先证:0≤a n ≤1(n ∈N *). ① 当n =1时,结论明显成立.假设n =k 时结论成立,即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(-∞,1]上为减函数,从而 0=f (1)≤f (a k )≤f (0)=2-1<1.即0≤a k +1≤1.这就是说,当n =k +1时结论成立.故①成立.再证:a 2n <a 2n +1(n ∈N *). ②当n =1时,a 2=f (1)=0,a 3=f (a 2)=f (0)=2-1,所以a 2<a 3,即n =1时②成立. 假设n =k 时,结论成立,即a 2k <a 2k +1. 由①及f (x )在(-∞,1]上为减函数,得 a 2k +1=f (a 2k )>f (a 2k +1)=a 2k +2,a 2(k +1)=f (a 2k +1)<f (a 2k +2)=a 2(k +1)+1.这就是说,当n =k +1时②成立.所以②对一切n ∈N *成立.由②得a 2n <a 22n -2a 2n +2-1,即(a 2n +1)2<a 22n -2a 2n +2,因此a 2n <14.③又由①②及f (x )在(-∞,1]上为减函数,得f (a 2n )>f (a 2n +1),即a 2n +1>a 2n +2.所以a 2n +1>a 22n +1-2a 2n +1+2-1,解得a 2n +1>14. ④综上,由②③④知存在c =14使a 2n <c <a 2n +1对一切n ∈N *成立.D2 等差数列及等差数列前n 项和 12.、[2014·某某卷] 数列{a n }是等差数列,若a 1+1,a 3+3,a 5+5构成公比为q 的等比数列,则q =________.12.1 [解析] 因为数列{a n }是等差数列,所以a 1+1,a 3+3,a 5+5也成等差数列.又 a 1+1,a 3+3,a 5+5构为公比为q 的等比数列,所以a 1+1,a 3+3,a 5+5为常数列,故q =1.12.[2014·卷] 若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n =________时,{a n }的前n 项和最大.12.8 [解析] ∵a 7+a 8+a 9=3a 8>0,a 7+a 10=a 8+a 9<0,∴a 8>0,a 9<0,∴n =8时,数列{a n }的前n 项和最大.3.[2014·某某卷] 等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于( ) A .8 B .10 C .12 D .143.C [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ,由等差数列的前n 项和公式,得S 3=3×2+3×22d =12,解得d =2,则a 6=a 1+(6-1)d =2+5×2=12. 18.、、[2014·某某卷] 已知等差数列{a n }满足:a 1=2,且a 1,a 2,a 5成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式.(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和,是否存在正整数n ,使得S n >60n +800?若存在,求n 的最小值;若不存在,说明理由.18.解:(1)设数列{a n }的公差为d ,依题意得,2,2+d ,2+4d 成等比数列,故有(2+d )2=2(2+4d ),化简得d 2-4d =0,解得d =0或d =4. 当d =0时,a n =2;当d =4时,a n =2+(n -1)·4=4n -2.从而得数列{a n }的通项公式为a n =2或a n =4n -2. (2)当a n =2时,S n =2n ,显然2n <60n +800, 此时不存在正整数n ,使得S n >60n +800成立.当a n =4n -2时,S n =n [2+(4n -2)]2=2n 2.令2n 2>60n +800,即n 2-30n -400>0, 解得n >40或n <-10(舍去),此时存在正整数n ,使得S n >60n +800成立,n 的最小值为41. 综上,当a n =2时,不存在满足题意的正整数n ;当a n =4n -2时,存在满足题意的正整数n ,其最小值为41.20.、[2014·某某卷] 已知数列{a n }满足a 1=1,|a n +1-a n |=p n ,n ∈N *. (1)若{a n }是递增数列,且a 1,2a 2,3a 3成等差数列,求p 的值;(2)若p =12,且{a 2n -1}是递增数列,{a 2n }是递减数列,求数列{a n }的通项公式.20.解:(1)因为{a n }是递增数列,所以a n +1-a n =|a n +1-a n |=p n.而a 1=1,因此 a 2=p +1,a 3=p 2+p +1.又a 1,2a 2,3a 3成等差数列,所以4a 2=a 1+3a 3,因而3p 2-p =0,解得p =13或p =0.当p =0时,a n +1=a n ,这与{a n }是递增数列矛盾,故p =13.(2)由于{a 2n -1}是递增数列,因而a 2n +1-a 2n -1>0,于是(a 2n +1-a 2n )+(a 2n -a 2n -1)>0.①因为122n <122n -1,所以|a 2n +1-a 2n |<|a 2n -a 2n -1|.②由①②知,a 2n -a 2n -1>0,因此a 2n -a 2n -1=⎝ ⎛⎭⎪⎫122n -1=(-1)2n 22n -1.③ 因为{a 2n }是递减数列,同理可得,a 2n +1-a 2n <0,故a 2n +1-a 2n =-⎝ ⎛⎭⎪⎫122n =(-1)2n +122n.④ 由③④可知,a n +1-a n =(-1)n +12n. 于是a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1)=1+12-122+…+(-1)n2n -1=1+12·1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -11+12=43+13·(-1)n2n -1. 故数列{a n }的通项公式为a n =43+13·(-1)n2n -1. 8.[2014·某某卷] 设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列,则( ) A .d <0 B .d >0 C .a 1d <0 D .a 1d >08.C [解析] 令b n =2a 1a n ,因为数列{2a 1a n }为递减数列,所以b n +1b n =2a 1a n +12a 1a n=2a 1(a n +1-a n )=2a 1d <1,所得a 1d <0.18.、[2014·全国卷] 等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1=10,a 2为整数,且S n ≤S 4.(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和T n .18.解:(1)由a 1=10,a 2为整数知,等差数列{a n }的公差d 为整数. 又S n ≤S 4,故a 4≥0,a 5≤0, 于是10+3d ≥0,10+4d ≤0, 解得-103≤d ≤-52,因此d =-3.故数列{a n }的通项公式为a n =13-3n . (2)b n =1(13-3n )(10-3n )=13⎝ ⎛⎭⎪⎫110-3n -113-3n .于是T n =b 1+b 2+…+b n =13⎝ ⎛⎭⎪⎫17-110+⎝ ⎛⎭⎪⎫14-17+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫110-3n -113-3n =13⎝ ⎛⎭⎪⎫110-3n -110=n 10(10-3n ). 17.、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n ≠0,a n a n +1=λS n -1,其中λ为常数.(1)证明:a n +2-a n =λ.(2)是否存在λ,使得{a n }为等差数列?并说明理由.17.解:(1)证明:由题设,a n a n +1=λS n -1,a n +1a n +2=λS n +1-1, 两式相减得a n +1(a n +2-a n )=λa n +1. 因为a n +1≠0,所以a n +2-a n =λ.(2)由题设,a 1=1,a 1a 2=λS 1-1,可得 a 2=λ-1, 由(1)知,a 3=λ+1.若{a n }为等差数列,则2a 2=a 1+a 3,解得λ=4,故a n +2-a n =4. 由此可得{a 2n -1}是首项为1,公差为4的等差数列, a 2n -1=4n -3;{a 2n }是首项为3,公差为4的等差数列,a 2n =4n -1. 所以a n =2n -1,a n +1-a n =2.因此存在λ=4,使得数列{a n }为等差数列. 19.,,[2014·某某卷] 已知等差数列{a n }的公差为2,前n 项和为S n ,且S 1,S 2,S 4成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)令b n =(-1)n -14na n a n +1,求数列{b n }的前n 项和T n .19.解: (1)因为S 1=a 1,S 2=2a 1+2×12×2=2a 1+2,S 4=4a 1+4×32×2=4a 1+12, 由题意得(2a 1+2)2=a 1(4a 1+12),解得a 1=1, 所以a n =2n -1. (2)由题意可知,b n =(-1)n -14na n a n +1=(-1)n -14n(2n -1)(2n +1)=(-1)n -1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1+12n +1. 当n 为偶数时,T n =⎝⎛⎭⎪⎫1+13-⎝ ⎛⎭⎪⎫13+15+…+⎝⎛12n -3+⎭⎪⎫12n -1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1+12n +1=1-12n +1=2n2n +1. 当n 为奇数时,T n =⎝⎛⎭⎪⎫1+13-⎝ ⎛⎭⎪⎫13+15+…-⎝⎛⎭⎪⎫12n -3+12n -1+⎝⎛⎭⎪⎫12n -1+12n +1=1+12n +1=2n +22n +1. 所以T n=⎩⎪⎨⎪⎧2n +22n +1,n 为奇数,2n2n +1,n 为偶数.⎝ ⎛⎭⎪⎫或T n=2n +1+(-1)n -12n +116.,,[2014·某某卷] △ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . (1)若a ,b ,c 成等差数列,证明:sin A +sin C =2sin(A +C ); (2)若a ,b ,c 成等比数列,求cos B 的最小值. 16.解:(1)∵a ,b ,c 成等差数列,∴a +c =2b . 由正弦定理得sin A +sin C =2sin B . ∵sin B =sin[π-(A +C )]=sin(A +C ), ∴sin A +sin C =2sin(A +C ).(2)∵a ,b ,c 成等比数列,∴b 2=ac . 由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2+c 2-ac 2ac ≥2ac -ac 2ac =12,当且仅当a =c 时等号成立, ∴cos B 的最小值为12.11.、[2014·某某卷] 设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1的值为________.11.-12 [解析] ∵S 2=2a 1-1,S 4=4a 1+4×32×(-1)=4a 1-6,S 1,S 2,S 4成等比数列,∴(2a 1-1)2=a 1(4a 1-6),解得a 1=-12.22.,,[2014·某某卷] 设a 1=1,a n +1=a 2n -2a n +2+b (n ∈N *). (1)若b =1,求a 2,a 3及数列{a n }的通项公式.(2)若b =-1,问:是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n +1对所有n ∈N *成立?证明你的结论. 22.解:(1)方法一:a 2=2,a 3=2+1. 再由题设条件知(a n +1-1)2=(a n -1)2+1.从而{(a n -1)2}是首项为0,公差为1的等差数列,故(a n -1)2=n -1,即a n =n -1+1(n ∈N *). 方法二:a 2=2,a 3=2+1.可写为a 1=1-1+1,a 2=2-1+1,a 3=3-1+1.因此猜想a n =n -1+1. 下面用数学归纳法证明上式. 当n =1时,结论显然成立.假设n =k 时结论成立,即a k =k -1+1,则a k +1=(a k -1)2+1+1=(k -1)+1+1=(k +1)-1+1,这就是说,当n =k +1时结论成立.所以a n =n -1+1(n ∈N *).(2)方法一:设f (x )=(x -1)2+1-1,则a n +1=f (a n ).令c =f (c ),即c =(c -1)2+1-1,解得c =14.下面用数学归纳法证明命题 a 2n <c <a 2n +1<1.当n =1时,a 2=f (1)=0,a 3=f (0)=2-1,所以a 2<14<a 3<1,结论成立.假设n =k 时结论成立,即a 2k <c <a 2k +1<1. 易知f (x )在(-∞,1]上为减函数,从而 c =f (c )>f (a 2k +1)>f (1)=a 2,即 1>c >a 2k +2>a 2.再由f (x )在(-∞,1]上为减函数,得c =f (c )<f (a 2k +2)<f (a 2)=a 3<1,故c <a 2k +3<1,因此a 2(k +1)<c <a 2(k +1)+1<1,这就是说,当n =k +1时结论成立.综上,存在 c =14使a 2n <C <a 2a +1对所有n ∈N *成立.方法二:设f (x )=(x -1)2+1-1,则a n +1=f (a n ).先证:0≤a n ≤1(n ∈N *). ① 当n =1时,结论明显成立.假设n =k 时结论成立,即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(-∞,1]上为减函数,从而 0=f (1)≤f (a k )≤f (0)=2-1<1.即0≤a k +1≤1.这就是说,当n =k +1时结论成立.故①成立.再证:a 2n <a 2n +1(n ∈N *). ②当n =1时,a 2=f (1)=0,a 3=f (a 2)=f (0)=2-1,所以a 2<a 3,即n =1时②成立. 假设n =k 时,结论成立,即a 2k <a 2k +1. 由①及f (x )在(-∞,1]上为减函数,得 a 2k +1=f (a 2k )>f (a 2k +1)=a 2k +2,a 2(k +1)=f (a 2k +1)<f (a 2k +2)=a 2(k +1)+1.这就是说,当n =k +1时②成立.所以②对一切n ∈N *成立.由②得a 2n <a 22n -2a 2n +2-1,即(a 2n +1)2<a 22n -2a 2n +2,因此a 2n <14.③又由①②及f (x )在(-∞,1]上为减函数,得f (a 2n )>f (a 2n +1),即a 2n +1>a 2n +2.所以a 2n +1>a 22n +1-2a 2n +1+2-1,解得a 2n +1>14. ④综上,由②③④知存在c =14使a 2n <c <a 2n +1对一切n ∈N *成立.D3 等比数列及等比数列前n 项和2.[2014·某某卷] 对任意等比数列{a n },下列说法一定正确的是( ) A .a 1,a 3,a 9成等比数列 B .a 2,a 3,a 6成等比数列 C .a 2,a 4,a 8成等比数列 D .a 3,a 6,a 9,成等比数列2.D [解析] 因为在等比数列中a n ,a 2n ,a 3n ,…也成等比数列,所以a 3,a 6,a 9成等比数列.12.、[2014·某某卷] 数列{a n }是等差数列,若a 1+1,a 3+3,a 5+5构成公比为q 的等比数列,则q =________.12.1 [解析] 因为数列{a n }是等差数列,所以a 1+1,a 3+3,a 5+5也成等差数列.又 a 1+1,a 3+3,a 5+5构为公比为q 的等比数列,所以a 1+1,a 3+3,a 5+5为常数列,故q =1.13.、[2014·某某卷] 若等比数列{a n }的各项均为正数,且a 10a 11+a 9a 12=2e 5,则ln a 1+ln a 2+…+ln a 20=________.13.50 [解析] 本题考查了等比数列以及对数的运算性质.∵{a n }为等比数列,且a 10a 11+a 9a 12=2e 5,∴a 10a 11+a 9a 12=2a 10a 11=2e 5,∴a 10a 11=e 5, ∴ln a 1+ln a 2+…+ln a 20=ln(a 1a 2…a 20)=ln(a 10a 11)10=ln(e 5)10=ln e 50=50. 10.[2014·全国卷] 等比数列{a n }中,a 4=2,a 5=5,则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A .6 B .5 C .4 D .310.C [解析] 设数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,根据题意可得,⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3=2,a 1q 4=5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=16125,q =52,所以a n =a 1q n -1=16125×⎝ ⎛⎭⎪⎫52n -1=2×⎝ ⎛⎭⎪⎫52n -4,所以lg a n =lg 2+(n -4)lg 52,所以前8项的和为8lg 2+(-3-2-1+0+1+2+3+4)lg 52=8lg 2+4lg 52=4lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×52=4.18.、、[2014·某某卷] 已知等差数列{a n }满足:a 1=2,且a 1,a 2,a 5成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式.(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和,是否存在正整数n ,使得S n >60n +800?若存在,求n 的最小值;若不存在,说明理由.18.解:(1)设数列{a n }的公差为d ,依题意得,2,2+d ,2+4d 成等比数列,故有(2+d )2=2(2+4d ),化简得d 2-4d =0,解得d =0或d =4. 当d =0时,a n =2;当d =4时,a n =2+(n -1)·4=4n -2.从而得数列{a n }的通项公式为a n =2或a n =4n -2. (2)当a n =2时,S n =2n ,显然2n <60n +800, 此时不存在正整数n ,使得S n >60n +800成立.当a n =4n -2时,S n =n [2+(4n -2)]2=2n 2.令2n 2>60n +800,即n 2-30n -400>0, 解得n >40或n <-10(舍去),此时存在正整数n ,使得S n >60n +800成立,n 的最小值为41. 综上,当a n =2时,不存在满足题意的正整数n ;当a n =4n -2时,存在满足题意的正整数n ,其最小值为41.17.、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=3a n +1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +12是等比数列,并求{a n }的通项公式;(2)证明1a 1+1a 2+…+1a n <32.17.解:(1)由a n +1=3a n +1得a n +1+12=3⎝⎛⎭⎪⎫a n +12.又a 1+12=32,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +12是首项为32,公比为3的等比数列,所以a n +12=3n2,因此数列{a n }的通项公式为a n =3n-12.(2)证明:由(1)知1a n =23n -1.因为当n ≥1时,3n -1≥2×3n -1,所以13n -1≤12×3n -1,即1a n =23n-1≤13n -1. 于是1a 1+1a 2+…+1a n ≤1+13+…+13n -1=32⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13n <32.所以1a 1+1a 2+…+1a n <32.19.,,[2014·某某卷] 已知等差数列{a n }的公差为2,前n 项和为S n ,且S 1,S 2,S 4成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)令b n =(-1)n -14na n a n +1,求数列{b n }的前n 项和T n .19.解: (1)因为S 1=a 1,S 2=2a 1+2×12×2=2a 1+2,S 4=4a 1+4×32×2=4a 1+12, 由题意得(2a 1+2)2=a 1(4a 1+12),解得a 1=1, 所以a n =2n -1. (2)由题意可知,b n =(-1)n -14na n a n +1=(-1)n -14n(2n -1)(2n +1)=(-1)n -1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1+12n +1. 当n 为偶数时,T n =⎝⎛⎭⎪⎫1+13-⎝ ⎛⎭⎪⎫13+15+…+⎝⎛12n -3+⎭⎪⎫12n -1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1+12n +1=1-12n +1=2n2n +1.当n 为奇数时,T n =⎝⎛⎭⎪⎫1+13-⎝ ⎛⎭⎪⎫13+15+…-⎝⎛⎭⎪⎫12n -3+12n -1+⎝⎛⎭⎪⎫12n -1+12n +1=1+12n +1=2n +22n +1. 所以T n=⎩⎪⎨⎪⎧2n +22n +1,n 为奇数,2n2n +1,n 为偶数.⎝ ⎛⎭⎪⎫或T n=2n +1+(-1)n -12n +116.,,[2014·某某卷] △ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . (1)若a ,b ,c 成等差数列,证明:sin A +sin C =2sin(A +C ); (2)若a ,b ,c 成等比数列,求cos B 的最小值. 16.解:(1)∵a ,b ,c 成等差数列,∴a +c =2b . 由正弦定理得sin A +sin C =2sin B . ∵sin B =sin[π-(A +C )]=sin(A +C ), ∴sin A +sin C =2sin(A +C ).(2)∵a ,b ,c 成等比数列,∴b 2=ac . 由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2+c 2-ac 2ac ≥2ac -ac 2ac =12,当且仅当a =c 时等号成立, ∴cos B 的最小值为12.11.、[2014·某某卷] 设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1的值为________.11.-12 [解析] ∵S 2=2a 1-1,S 4=4a 1+4×32×(-1)=4a 1-6,S 1,S 2,S 4成等比数列,∴(2a 1-1)2=a 1(4a 1-6),解得a 1=-12.19.、、[2014·某某卷] 已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合M ={0,1,2,…,q -1},集合A ={x |x =x 1+x 2q +…+x n q n -1,x i ∈M ,i =1,2,…,n }. (1)当q =2,n =3时,用列举法表示集合A .(2)设s ,t ∈A ,s =a 1+a 2q +…+a n q n -1,t =b 1+b 2q +…+b n q n -1,其中a i ,b i ∈M ,i =1,2,…,n .证明:若a n <b n ,则s <t .19.解:(1)当q =2,n =3时,M ={0,1},A ={x |x =x 1+x 2·2+x 3·22,x i ∈M ,i =1,2,3},可得A ={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明:由s ,t ∈A ,s =a 1+a 2q +…+a n q n -1,t =b 1+b 2q +…+b n q n -1,a i ,b i ∈M ,i =1,2,…,n 及a n <b n ,可得s -t =(a 1-b 1)+(a 2-b 2)q +…+(a n -1-b n -1)q n -2+(a n -b n )q n -1≤(q -1)+(q -1)q +…+(q -1)q n -2-q n -1=(q -1)(1-q n -1)1-q-q n -1=-1<0, 所以s <t .D4 数列求和17.、、[2014·某某卷] 已知首项都是1的两个数列{a n },{b n }(b n ≠0,n ∈N *)满足a n b n+1-a n +1b n +2b n +1b n =0.(1)令=a n b n,求数列{}的通项公式; (2)若b n =3n -1,求数列{a n }的前n 项和S n .17.解:(1)因为a n b n +1-a n +1b n +2b n +1b n =0,b n ≠0(n ∈N *),所以a n +1b n +1-a nb n=2,即+1-=2,所以数列{}是以c 1=1为首项,d =2为公差的等差数列,故=2n -1.(2)由b n =3n -1,知a n =(2n -1)3n -1,于是数列{a n }的前n 项和S n =1×30+3×31+5×32+…+(2n -1)×3n -1,3S n =1×31+3×32+…+(2n -3)×3n -1+(2n -1)×3n,将两式相减得-2S n =1+2×(31+32+…+3n -1)-(2n -1)×3n =-2-(2n -2)×3n,所以S n =(n -1)3n+1. 18.、[2014·全国卷] 等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1=10,a 2为整数,且S n ≤S 4.(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和T n .18.解:(1)由a 1=10,a 2为整数知,等差数列{a n }的公差d 为整数. 又S n ≤S 4,故a 4≥0,a 5≤0, 于是10+3d ≥0,10+4d ≤0, 解得-103≤d ≤-52,因此d =-3.故数列{a n }的通项公式为a n =13-3n . (2)b n =1(13-3n )(10-3n )=13⎝ ⎛⎭⎪⎫110-3n -113-3n .于是T n =b 1+b 2+…+b n =13⎝ ⎛⎭⎪⎫17-110+⎝ ⎛⎭⎪⎫14-17+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫110-3n -113-3n =13⎝ ⎛⎭⎪⎫110-3n -110=n 10(10-3n ). 19.,,[2014·某某卷] 已知等差数列{a n }的公差为2,前n 项和为S n ,且S 1,S 2,S 4成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)令b n =(-1)n -14na n a n +1,求数列{b n }的前n 项和T n .19.解: (1)因为S 1=a 1,S 2=2a 1+2×12×2=2a 1+2,S 4=4a 1+4×32×2=4a 1+12,由题意得(2a 1+2)2=a 1(4a 1+12),解得a 1=1, 所以a n =2n -1. (2)由题意可知,b n =(-1)n -14na n a n +1=(-1)n -14n(2n -1)(2n +1)=(-1)n -1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1+12n +1. 当n 为偶数时,T n =⎝ ⎛⎭⎪⎫1+13-⎝ ⎛⎭⎪⎫13+15+…+⎝ ⎛12n -3+⎭⎪⎫12n -1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1+12n +1 =1-12n +1=2n2n +1. 当n 为奇数时,T n =⎝ ⎛⎭⎪⎫1+13-⎝ ⎛⎭⎪⎫13+15+…-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -3+12n -1+⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1+12n +1=1+12n +1=2n +22n +1. 所以T n=⎩⎪⎨⎪⎧2n +22n +1,n 为奇数,2n2n +1,n 为偶数.⎝ ⎛⎭⎪⎫或T n=2n +1+(-1)n -12n +1D5 单元综合20.、[2014·某某卷] 已知数列{a n }满足a 1=1,|a n +1-a n |=p n ,n ∈N *. (1)若{a n }是递增数列,且a 1,2a 2,3a 3成等差数列,求p 的值;(2)若p =12,且{a 2n -1}是递增数列,{a 2n }是递减数列,求数列{a n }的通项公式.20.解:(1)因为{a n }是递增数列,所以a n +1-a n =|a n +1-a n |=p n.而a 1=1,因此 a 2=p +1,a 3=p 2+p +1.又a 1,2a 2,3a 3成等差数列,所以4a 2=a 1+3a 3,因而3p 2-p =0,解得p =13或p =0.当p =0时,a n +1=a n ,这与{a n }是递增数列矛盾,故p =13.(2)由于{a 2n -1}是递增数列,因而a 2n +1-a 2n -1>0,于是(a 2n +1-a 2n )+(a 2n -a 2n -1)>0.①因为122n <122n -1,所以|a 2n +1-a 2n |<|a 2n -a 2n -1|.②由①②知,a 2n -a 2n -1>0,因此a 2n -a 2n -1=⎝ ⎛⎭⎪⎫122n -1=(-1)2n 22n -1.③因为{a 2n }是递减数列,同理可得,a 2n +1-a 2n <0,故a 2n +1-a 2n =-⎝ ⎛⎭⎪⎫122n=(-1)2n +122n.④由③④可知,a n +1-a n =(-1)n +12n.于是a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1)=1+12-122+…+(-1)n2n -1=1+12·1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -11+12=43+13·(-1)n2n -1. 故数列{a n }的通项公式为a n =43+13·(-1)n2n -1.21.、、[2014·某某卷] 设实数c >0,整数p >1,n ∈N *.(1)证明:当x >-1且x ≠0时,(1+x )p>1+px ;(2)数列{a n }满足a 1>c 1p ,a n +1=p -1p a n +c p a 1-p n ,证明:a n >a n +1>c 1p.21.证明:(1)用数学归纳法证明如下.①当p =2时,(1+x )2=1+2x +x 2>1+2x ,原不等式成立.②假设p =k (k ≥2,k ∈N *)时,不等式(1+x )k>1+kx 成立.当p =k +1时,(1+x )k +1=(1+x )(1+x )k >(1+x )(1+kx )=1+(k +1)x +kx 2>1+(k +1)x .所以当p =k +1时,原不等式也成立.综合①②可得,当x >-1,x ≠0时,对一切整数p >1,不等式(1+x )p>1+px 均成立.(2)方法一:先用数学归纳法证明a n >c 1p.①当n =1时,由题设知a 1>c 1p成立.②假设n =k (k ≥1,k ∈N *)时,不等式a k >c 1p 成立.由a n +1=p -1p a n +c pa 1-p n 易知a n >0,n ∈N *. 当n =k +1时,a k +1a k =p -1p +c pa -pk = 1+1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p k -1.由a k >c 1p >0得-1<-1p <1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p k-1<0.由(1)中的结论得⎝ ⎛⎭⎪⎫a k +1a k p=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1+1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p k -1p>1+p ·1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p k -1=ca p k . 因此a pk +1>c ,即a k +1>c 1p,所以当n =k +1时,不等式a n >c 1p也成立.综合①②可得,对一切正整数n ,不等式a n >c 1p均成立.再由a n +1a n =1+1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p n -1可得a n +1a n<1, 即a n +1<a n .综上所述,a n >a n +1>c 1p,n ∈N *.方法二:设f (x )=p -1p x +c p x 1-p ,x ≥c 1p,则x p ≥c , 所以f ′(x )=p -1p +c p (1-p )x -p=p -1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-c x p >0.由此可得,f (x )在[c 1p,+∞)上单调递增,因而,当x >c 1p时,f (x )>f (c 1p)=c 1p. ①当n =1时,由a 1>c 1p>0,即a p1>c 可知a 2=p -1p a 1+c p a 1-p 1=a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1+1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p 1-1<a 1,并且a 2=f (a 1)>c 1p ,从而可得a 1>a 2>c 1p , 故当n =1时,不等式a n >a n +1>c 1p成立.②假设n =k (k ≥1,k ∈N *)时,不等式a k >a k +1>c 1p成立,则当n =k +1时,f (a k )>f (a k +1)>f (c 1p),即有a k +1>a k +2>c 1p,所以当n =k +1时,原不等式也成立.综合①②可得,对一切正整数n ,不等式a n >a n +1>c 1p均成立.18.、、[2014·某某卷] 已知等差数列{a n }满足:a 1=2,且a 1,a 2,a 5成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式.(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和,是否存在正整数n ,使得S n >60n +800?若存在,求n 的最小值;若不存在,说明理由.18.解:(1)设数列{a n }的公差为d ,依题意得,2,2+d ,2+4d 成等比数列,故有(2+d )2=2(2+4d ),化简得d 2-4d =0,解得d =0或d =4. 当d =0时,a n =2;当d =4时,a n =2+(n -1)·4=4n -2.从而得数列{a n }的通项公式为a n =2或a n =4n -2. (2)当a n =2时,S n =2n ,显然2n <60n +800, 此时不存在正整数n ,使得S n >60n +800成立.当a n =4n -2时,S n =n [2+(4n -2)]2=2n 2.令2n 2>60n +800,即n 2-30n -400>0, 解得n >40或n <-10(舍去),此时存在正整数n ,使得S n >60n +800成立,n 的最小值为41. 综上,当a n =2时,不存在满足题意的正整数n ;当a n =4n -2时,存在满足题意的正整数n ,其最小值为41.17.、、[2014·某某卷] 已知首项都是1的两个数列{a n },{b n }(b n ≠0,n ∈N *)满足a n b n+1-a n +1b n +2b n +1b n =0.(1)令=a n b n,求数列{}的通项公式; (2)若b n =3n -1,求数列{a n }的前n 项和S n .17.解:(1)因为a n b n +1-a n +1b n +2b n +1b n =0,b n ≠0(n ∈N *),所以a n +1b n +1-a nb n=2,即+1-=2,所以数列{}是以c 1=1为首项,d =2为公差的等差数列,故=2n -1.(2)由b n =3n -1,知a n =(2n -1)3n -1,于是数列{a n }的前n 项和S n =1×30+3×31+5×32+…+(2n -1)×3n -1,3S n =1×31+3×32+…+(2n -3)×3n -1+(2n -1)×3n,将两式相减得-2S n =1+2×(31+32+…+3n -1)-(2n -1)×3n =-2-(2n -2)×3n,所以S n =(n -1)3n+1. 17.、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=3a n +1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +12是等比数列,并求{a n }的通项公式;(2)证明1a 1+1a 2+…+1a n <32.17.解:(1)由a n +1=3a n +1得a n +1+12=3⎝⎛⎭⎪⎫a n +12.又a 1+12=32,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +12是首项为32,公比为3的等比数列,所以a n +12=3n2,因此数列{a n }的通项公式为a n =3n-12.(2)证明:由(1)知1a n =23n -1.因为当n ≥1时,3n -1≥2×3n -1,所以13n -1≤12×3n -1,即1a n =23n-1≤13n -1. 于是1a 1+1a 2+…+1a n ≤1+13+…+13n -1=32⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13n <32.所以1a 1+1a 2+…+1a n <32.19.,[2014·某某卷] 设等差数列{a n }的公差为d ,点(a n ,b n )在函数f (x )=2x的图像上(n ∈N *).(1)若a 1=-2,点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图像上,求数列{a n }的前n 项和S n ;(2)若a 1=1,函数f (x )的图像在点(a 2,b 2)处的切线在x 轴上的截距为2-1ln 2,求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和T n . 19.解:(1)由已知得,b 7=2a 7,b 8=2a 8=4b 7,所以 2a 8=4×2a 7=2a 7+2,解得d =a 8-a 7=2, 所以S n =na 1+n (n -1)2d =-2n +n (n -1)=n 2-3n .(2)函数f (x )=2x在点(a 2,b 2)处的切线方程为y -2a 2=(2a 2ln 2)(x -a 2),其在x 轴上的截距为a 2-1ln 2. 由题意有a 2-1ln 2=2-1ln 2,解得a 2=2.所以d =a 2-a 1=1.从而a n =n ,b n =2n,所以数列{a n b n }的通项公式为a n b n =n2n ,所以T n =12+222+323+…+n -12n -1+n2n ,2T n =11+22+322+…+n2n -1,因此,2T n -T n =1+12+122+…+12n -1-n 2n =2-12n -1-n 2n =2n +1-n -22n. 所以,T n =2n +1-n -22n. 19.[2014·某某卷] 已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n =(2)b n (n ∈N *).若{a n }为等比数列,且a 1=2,b 3=6+b 2.(1)求a n 与b n .(2)设=1a n -1b n(n ∈N *).记数列{}的前n 项和为S n .(i)求S n ;(ii)求正整数k ,使得对任意n ∈均有S k ≥S n .19.解:(1)由题意a 1a 2a 3…a n =(2)b n ,b 3-b 2=6, 知a 3=(2)b 3-b 2=8.又由a 1=2,得公比q =2(q =-2舍去),所以数列{a n }的通项为a n =2n (n ∈N *).所以,a 1a 2a 3…a n =2n (n +1)2=(2)n (n +1).故数列{b n }的通项为b n =n (n +1)(n ∈N *).(2)(i)由(1)知=1a n -1b n =12n -⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1(n ∈N *). 所以S n =1n +1-12n (n ∈N *).(ii)因为c 1=0,c 2>0,c 3>0,c 4>0,当n ≥5时,=1n (n +1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n +1)2n -1, 而n (n +1)2n -(n +1)(n +2)2n +1=(n +1)(n -2)2n +1>0, 得n (n +1)2n ≤5×(5+1)25<1, 所以,当n ≥5时,<0.综上,若对任意n ∈N *恒有S k ≥S n ,则k =4.3.[2014·闽南四校期末] 若数列{a n }的前n 项和为S n =23a n +13,则数列{a n }的通项公式为( )A .a n =-2n -1B .a n =(-2)n -1C .a n =(-2)nD .a n =-2n3.B [解析] 由a n =S n -S n -1(n≥2),得a n =23a n -23a n -1.∴a n =-2a n -1.又a 1=1,∴a n=(-2)n -1(n≥2).又a 1=(-2)1-1=1,∴a n =(-2)n -1.6.[2014·某某联考] 已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=a n a n +2(n ∈N *).若b n +1=(n -λ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n +1,b 1=-λ,且数列{b n }是递增数列,则实数λ的取值X 围为( ) A .λ<2 B .λ>3 C .λ>2 D .λ<36.A [解析] 易知1a n +1=2a n +1,∴1a n +1+1=21a n+1.又a 1=1,∴1a n +1=1a 1+12n -1=2n ,∴b n +1=(n -λ)2n,∴b n +1-b n =(n -λ)2n -(n -1-λ)2n -1=(n -λ+1)2n -1>0,∴n-λ+1>0.又n∈N *,∴λ<2.4.[2014·某某调研] 已知数列{a n }满足a 1=35,a n +1=3a n 2a n +1,n ∈N *.(1)求证:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n-1为等比数列.(2)是否存在互不相等的正整数m ,s ,t ,使m ,s ,t 成等差数列,且a m -1,a s -1,a t-1成等比数列?如果存在,求出所有符合条件的m ,s ,t ;如果不存在,请说明理由.4.解:(1)证明:因为a n +1=3a n 2a n +1,所以1a n +1=13a n +23,所以1a n +1-1=131a n-1.因为a 1=35,所以1a 1-1=23,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n -1是首项为23,公比为13的等比数列. (2)由(1)知,1a n -1=23×13n -1=23n ,所以a n =3n3n +2.假设存在互不相等的正整数m ,s ,t 满足条件,则有⎩⎪⎨⎪⎧m +t =2s ,(a s -1)2=(a m -1)(a t -1). 由a n =3n 3n +2与(a s -1)2=(a m -1)(a t -1),得3s 3s +2-12=3m 3m +2-13t 3t +2-1, 即3m +t +2×3m +2×3t =32s +4×3s.因为m +t =2s ,所以3m +3t =2×3s.又3m +3t ≥2 3m +t =2×3s,当且仅当m =t 时,等号成立, 这与m ,s ,t 互不相等矛盾,所以不存在互不相等的正整数m ,s ,t 满足条件.2.[2014·某某质检] 已知递增数列{a n }满足a 1+a 2+a 3+…+a n =12(a 2n +n ).(1)求a 1及数列{a n }的通项公式;(2)设=⎩⎪⎨⎪⎧a n +1,n 为奇数,a n -1·2a n -1+1,n 为偶数,求数列{}的前2n 项和T 2n .2.解:(1)当n =1时,a 1=12(a 21+1),解得a 1=1.当n ≥2时,a 1+a 2+a 3+…+a n -1=12(a 2n -1+n -1),a 1+a 2+a 3+…+a n =12(a 2n +n ),所以a n =12(a 2n -a 2n -1+1),即(a n -1)2-a 2n -1=0,所以a n -a n -1=1或a n +a n -1=1(n ≥2).又因为数列{a n }为递增数列,所以a n -a n -1=1, 所以数列{a n }是首项为1,公差为1的等差数列, 所以a n =n .(2)由=⎩⎪⎨⎪⎧a n +1,n 为奇数,a n -1·2a n -1+1,n 为偶数,得=⎩⎪⎨⎪⎧n +1,n 为奇数,(n -1)2n -1+1,n 为偶数,则T 2n =(2+4+…+2n )+[1×21+3×23+…+(2n -1)×22n -1]+n =n (n +1)+[1×21+3×23+…+(2n -1)×22n -1]+n .记S n =1×21+3×23+…+(2n -1)×22n -1,①则4S n =1×23+3×25+…+(2n -1)×22n +1.② 由①-②,得-3S n =2+24+26+…+22n -(2n -1)22n +1, =22+24+26+…+22n -(2n -1)22n +1-2,所以-3S n =4(1-4n)1-4-(2n -1)22n +1-2,所以S n =4(1-4n )9+(2n -1)22n +13+23,即S n =(6n -5)22n +19+109,故T 2n =(6n -5)22n +19+n 2+2n +109.7.[2014·某某闽南四校期末] 已知数列{a n }是公差为2的等差数列,且a 1,a 2,a 5成等比数列,则a 2的值为( )A .3B .-3C .2D .-27.A [解析] ∵a 1,a 2,a 5成等比数列,∴a 22=a 1·a 5, ∴a 22=(a 2-2)(a 2+6),解得a 2=3.10.[2014·某某质检] 已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4-2a 27+3a 8=0,数列{b n }是等比数列,且b 7=a 7,则b 2b 8b 11等于( )A .1B .2C .4D .810.D [解析] 由已知,得2a 27=a 4+3a 8=a 1+3d +3a 1+21d =4a 1+24d =4(a 1+6d )=4a 7,∴a 7=2或a 7=0(舍去),∴b 7=2,∴b 2b 8b 11=b 1q ·b 1q 7·b 1q 10=b 31q 18=(b 1q 6)3=b 37=8.17.[2014·某某十校联考] 已知二次函数f (x )=ax 2+bx 的图像过点(-4n ,0),且f ′(0)=2n ,n ∈N *,数列{a n }满足1a n +1=f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ,且a 1=4.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)记b n =a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和T n .17.解:(1)f ′(x )=2ax +b .由题意知f ′(0)=b =2n ,16n 2a -4nb =0,∴a =12,b =2n ,∴f (x )=12x 2+2nx ,n ∈N *.又数列{a n }满足1a n +1=f ′1a n,f ′(x )=x +2n ,∴1a n +1=1a n +2n , ∴1a n +1-1a n=2n .由叠加法可得1a n -14=2+4+6+…+2(n -1)=n 2-n ,化简可得a n =4(2n -1)2(n ≥2).当n =1时,a 1=4也符合上式,∴a n =4(2n -1)2(n ∈N *).(2)∵b n =a n a n +1=4(2n -1)(2n +1)=212n -1-12n +1,∴T n =b 1+b 2+…+b n =a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=21-13+13-15+…+12n -1-12n +1=21-12n +1=4n 2n +1.。
2014年全国高考理科数学试题分类汇编1集合(有答案)

2014年全国高考理科数学试题分类汇编1:集合一、选择题1已知全集{}1,2,3,4U =,集合{}=12A ,,{}=23B ,,则()=U A B ð( ) A.{}134,, B.{}34, C. {}3 D. {}4 【答案】D2已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=,则A.()01,B.(]02,C.()1,2D.(]12, 【答案】D3已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1]【答案】D4设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( )A.*,A N B N ==B.{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或C.{|01},A x x B R =<<=D.,A Z B Q ==【答案】D5设常数a R ∈,集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ⋃=,则a 的取值范围为( )(A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞【答案】B.6已知集合A ={0,1,2},则集合B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是(A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9【答案】C7设全集为R , 函数()f x =M , 则C M R 为 (A) [-1,1] (B) (-1,1)(C) ,1][1,)(∞-⋃+∞- (D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞-【答案】D8设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数为(A)3 (B)4 (C)5 (D)6【答案】B9设集合{|20}A x x =+=,集合2{|40}B x x =-=,则A B =( )(A){2}- (B){2} (C){2,2}- (D)∅【答案】A10已知集合{}{2|20,|A x x x B x x =->=<<,则 ( )A.A∩B=∅B.A∪B=RC.B ⊆AD.A ⊆B【答案】B.11已知全集为R ,集合112x A x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,{}2|680B x x x =-+≤,则R A C B =( ) A.{}|0x x ≤ B.{}|24x x ≤≤C. {}|024x x x ≤<>或D.{}|024x x x <≤≥或【答案】C12已知集合{}{}2|(1)4,,1,0,1,2,3M x x x R N =-<∈=-,则=N M(A){}2,1,0 (B){}2,1,0,1- (C){}3,2,0,1- (D){}3,2,1,0【答案】A13设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则M N =( )A . {}0 B.{}0,2 C.{}2,0- D.{}2,0,2-【答案】D14设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ,则=⋃T S C R )(A.(2,1]-B. ]4,(--∞C. ]1,(-∞D.),1[+∞【答案】C15设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立,若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉ B.(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C.(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D.(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈(一)必做题(9~13题)【答案】B16已知集合A={-1,0,1},B={x |-1≤ x <1},则A∩B= ( )A.{0}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1}【答案】B17设全集U R =,下列集合运算结果为R 的是( )(A)u Z N ð (B)u N N ð (C)()u u ∅痧 (D){0}u ð【答案】A二、填空题1集合}1,0,1{-共有___________个子集.【答案】8三、解答题2对正整数n ,记{}1,2,3,,m I n =,,m m m P I k I ⎫=∈⎬⎭. (1)求集合7P 中元素的个数; (2)若m P 的子集A 中任意两个元素之和不是..整数的平方,则称A 为“稀疏集”.求n 的最大值,使m P 能分成两人上不相交的稀疏集的并.【答案】。
2014年高考数学真题分类汇编理科-集合与常用逻辑用语(理科)

集合与常用逻辑用语一、选择题.1.(2014 安徽理 2)“0x <”是“()ln 10x +<”的( ).A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.(2014 北京理 1)已知集合{}{}220,0,1,2A x x x B =-==,则AB =( ). A.{}0 B.{}0,1 C.{}0,2 D.{}0,1,23.(2014 北京理 8)有语文、数学两学科,成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B 同学,且至少有一科成绩比B 高,则称“A 同学比B 同学成绩好”.现有若干同学,他们之间没有一个人比另一个成绩好,且没有任意两个人语文成绩一样,数学成绩也一样的.问满足条件的最多有学生( ).A.2人B.3人C.4人D.5人4.(2014 大纲理 2)设集合{}2340M x x x =--<,{}05N x x =剟,则M N =( ).A .(]04,B .[)04,C .[)10-,D .(]10-,5.(2014 福建理 6)直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点,则“1k =”是“ABC △的面积为12”的( ). A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件6.(2014 广东理 1)已知集合{}{}1,0,1,0,1,2,M N =-=则MN =( ). A .{}1,0,1- B. {}1,0,1,2- C. {}1,0,2- D. {}0,17.(2014 广东理 8)设集合(){}{}12345=,,,,1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=,那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ++++剟”的元素个数为( ).A .60 B.90 C. 120 D. 130 8.(2014 湖北理 3) 设U 为全集,,AB 是集合,则“存在集合C 使得,U A C B C ⊆⊆ð是“A B =∅”的( ).A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.(2014 湖南理 5)已知命题:p 若x y >,则x y -<-;命题:q 若x y <,则22x y >.在命题①p q ∧;②p q ∨;③()p q ∨⌝;④()p q ⌝∨中,真命题是( ).A.①③B.①④C.②③D. ②④10.(2014 辽宁理1)已知全集U =R ,{}0A x x =…,{}1B x x =…,则集合()U AB =ð( ). A .{}0x x … B .{}1x x … C .{}01x x 剟 D .{}01x x << 11.(2014 辽宁理5)设,,a b c 是非零向量,已知命题p :若0⋅=a b ,0⋅=b c ,则0⋅=a c ;命题q :若//a b ,//b c ,则//a c ,则下列命题中真命题是( ).A .p q ∨B .p q ∧C .()()p q ⌝∧⌝D .()p q ∨⌝12.(2014 山东理2)设集合{}[]{}12,2,0,2x A x x B y y x =-<==∈,则=B A ( ).A. []0,2B.()1,3C.[)1,3 D. ()1,413.(2014 山东理4)用反证法证明命题“设,a b ∈R ,则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是( ).A.方程02=++b ax x 没有实根B.方程02=++b ax x 至多有一个实根C.方程02=++b ax x 至多有两个实根D.方程02=++b ax x 恰好有两个实根 14.(2014 陕西理1) 已知集合{}0,M x x x =∈R …,{}21,N x x x =<∈R ,则MN =( ).A. []0,1 B. [)0,1 C. (]0,1 D. ()0,1 15.(2014 陕西理8)原命题为若12,z z 互为共轭复数,则“12z z =”,关于逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( ). A. 真,假,真 B. 假,假,真 C. 真,真,假 D. 假,假,假16.(2014 四川理1)已知集合{}220A x x x =--…,集合B 为整数集,则AB =( ).A .{}1,0,1,2-B .{}2,1,0,1--C .{}0,1D .{}1,0-17.(2014 天津理7)设,a b R Î,则“a b >”是“a a b b >”的( ).A.充要不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充要也不必要条件18.(2014 新课标1理1)已知集合{}2230A x x x =--…,{}22B x x =-<…,则A B =( ).A.[]2,1--B.[)1,2-C.[]1,1-D. [)1,219.(2014 新课标1理9)不等式组124x y x y +⎧⎨-⎩……的解集记为D .有下面四个命题:1p :(),x y D ∀∈,22x y +-…;2p :(),x y D ∃∈,22x y +…;3p :(),x y D ∀∈,23x y +…; 4p :(),x y D ∃∈,21x y +-….其中真命题是( ).A. 2p ,3pB. 1p ,4pC. 1p ,2pD. 1p ,3p20.(2014 新课标2理1)设集合{}0,1,2M =,{}2320x x x N -+=…,则M N =( ).A.{}1B.{}2C.{}0,1D. {}1,221.(2014 浙江理1)设全集{}2U x x =∈N …,集合{}25A x x =∈N …,则U A =ð( ). A.∅ B. {}2 C. {}5 D. {}2,522.(2014 浙江理 2)已知i 是虚数单位, ,a b ∈R ,则“1a b ==”是“()2i 2i a b +=”的( ).A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件23.(2014 重庆理 6)已知命题:p 对x ∀∈R ,总有20x >;:q “1x >”是“2x >”的充分不必要条件则下列命题为真命题的是( ).A. p q ∧B. p q ⌝∧⌝C. p q ⌝∧D. p q ∧⌝ 二、填空题.1.(2014 福建理 15)若集合{}{},,,1,2,3,4a b c d =,且下列四个关系:①1=a ;②1≠b ;③2=c ;④4≠d 有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(),,,a b c d 的个数是_________.2.(2014 江苏理 1) 已知集合{}2,1,3,4A =--,{}1,2,3B =-,则A B = .3.(2014 重庆理11)设全集{}{}{}110,1,2,3,5,8,1,3,5,7,9U n n A B =∈==N 剟,则()U A B =ð______.4.(2014 四川理 15)以A 表示值域为R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合:对于函数()x ϕ,存在一个正数M ,使得函数()x ϕ的值域包含于区间[],M M -.例如,当()31x x ϕ=,()2sin x x ϕ=时,()1x A ϕ∈,()2x B ϕ∈.现有如下命题: ①设函数()f x 的定义域为D ,则“()f x A ∈”的充要条件是“b ∀∈R ,a D ∃∈,()f a b =”; ②函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值;③若函数()f x ,()g x 的定义域相同,且()f x A ∈,()g x B ∈,则()()f x g x B +∉; ④若函数()()2ln 21x f x a x x =+++()2,x a >-∈R 有最大值,则()f x B ∈. 其中的真命题有 .(写出所有真命题的序号)5.(2014 重庆理 11)设全集{}{}{}110,1,2,3,5,8,1,3,5,7,9U n n A B =∈==N 剟,则()U A B =ð______.三、解答题1.(2014 辽宁理 24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数()211f x x x =-+-,()21681g x x x =-+,记()1f x …的解集为M ,()4g x …的解集为N .(1)求M ;(2)当x M N ∈时,证明:()()2214x f x x f x +⎡⎤⎣⎦….2. (2014 天津理 19)(本小题满分14分)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合{}0,1,2,,1M q =-,集合{}112,,1,2,,n n i A x x x x q x q x M i n -+∈===++. (1)当2q =,3n =时,用列举法表示集合A ;(2)设,s t A Î,112n n s a a q a q -=+++,112n n t b b q b q -=+++,其中 ,i i a b M ∈,1,2,i n =.证明:若n n a b <,则s t <.。
(00)《2014年全国各地高考数学试题分类汇编大全》目录

2014年全国各地高考数学试题分类汇编大全目录01--集合((1)集合的含义与表示;(2)集合间的基本关系;(3)集合的基本运算)02--常用逻辑用语((1)命题以及关系;(2)充分条件与必要条件;(3)简单的逻辑联结词;(4)全称量词与存在量词)03--函数的性质及其应用((1)函数;(2)指数函数;(3)对数函数; (4)幂函数;(5)函数与方程;(6)函数模型及其应用;)04--导数及其应用((1)导数概念及其几何意义;(2)导数的运算;(3)导数在研究函数中的应用;(4)生活中的优化问题;(5)定积分与微积分基本定理)05--不等式((1)不等关系;(2)一元二次不等式;(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题;(4)基本不等式)06--数列((1)数列的概念和简单表示法;(2)等差数列、等比数列;(3)数学归纳法。
)07--数系的扩充与复数的引入((1)复数的概念;(2)复数的四则运算)08--三角函数三角恒等变换((1)任意角的概念、弧度制;(2)三角函数;(3)和与差的三角函数公式;(4)简单的三角恒等式)09--解三角形((1)正弦定理和余弦定理;(2)应用(解决一些与测量和几何计算有关的实际问题))10--平面向量((1)平面向量的实际背景及基本概念;(2)向量的线性运算;(3)平面向量的基本定理及坐标表示;(4)平面向量的数量积;(5)向量的应用)11--解析几何初步((1)直线与方程;(2)圆与方程;(3)空间直角坐标系)12--圆锥曲线与方程((1)圆锥曲线;(2)曲线与方程)13--立体几何((1)空间几何体;(2)点、直线、平面之间的位置关系;(3)空间向量及其运算;(4)空间向量的应用)14-- 算法初步、框图((1)算法的含义、程序框图;(2)基本算法语句;(3)流程图;(4)结构图;)15--统计、统计案例、推理与证明((1)事件与概率;(2)古典概型;(3)随机数与几何概型;(4)随机抽样;(5)总体估计;(6)变量的相关性;(7)独立性检验;(8)回归分析;(9)合情推理与演绎推理; (10)直接证明与间接证明; )16--随机变量及其分布((1)离散型随机变量及其分布;(2)均值与方差;(3)正态分布)17--计数原理、二项式定理((1)分类加法计数原理、分步乘法计数原理;(2)排列与组合;(3)二项式定理)18--选修4:((1)几何证明选讲;(2)坐标系与参数方程;(3)不等式选讲;(4)矩阵与变换)本套资料是对2014年全国各地的全部37套高考数学试题,按新课标的知识单元所做的分类汇编。
2014年高考数学(理)试题分项版解析:专题01 集合与常用逻辑用语(分类汇编)Word版含解析-推荐下载

13. 【2014 浙江高考理第 1 题】设全集U x N | x 2,集合 A x N | x2 5,则 CU A ( )
A.
B. {2}
C. {5}
D. {2,5}
14. 【2014 重庆高考理第 6 题】已知命题 p : 对任意 x R ,总有 2x 0 ; q : " x 1" 是" x 2" 的充分不
)
A.{x | x 0} B.{x | x 1} C.{x | 0 x 1} D.{x | 0 x 1}
9. 【2014 全国 1 高考理第 1 题】已知集合 A x | x2 2x 3 0 ,B x | 2 x 2,则 A B (
必要条件则下列命题为真命题的是( )
A.p q
B.p q
对全部高中资料试卷电气设备,在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验;通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关,系电通,力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置,机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2,荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷,管调需路控要习试在题验最到;大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资,常料要工试加况卷强下安看与全22过,22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资;中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整,高核或中对者资定对料值某试,些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位,卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置,地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中,案资要,料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气,设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术,技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式;资,对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资,件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调,并试合且技理进术利行,用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活:。。在对对分于于线调差盒试动处过保,程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试,题技应,术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进,变行需压隔要器开在组处事在理前发;掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时,、,强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试,卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用,关高要技中进术资行资料检料试查,卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况,然后根据规范与规程规定,制定设备调试高中资料试卷方案。
2014年高考数学理科(高考真题+模拟新题)分类汇编:A单元++集合与常用逻辑用语

数学A单元集合与常用逻辑用语A1 集合及其运算1.[2014·北京卷] 已知集合A={x|x2-2x=0},B={0,1,2},则A∩B=( )A.{0} B.{0,1}C.{0,2} D.{0,1,2}1.C [解析] ∵A={0,2},∴A∩B={0,2}∩{0,1,2}={0,2}.15.、[2014·福建卷] 若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一个是准确的,则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是________.15.6 [解析] 若①准确,则②③④不准确,可得b≠1不准确,即b=1,与a=1矛盾,故①不准确;若②准确,则①③④不准确,由④不准确,得d=4;由a≠1,b≠1,c≠2,得满足条件的有序数组为a=3,b=2,c=1,d=4或a=2,b=3,c=1,d=4.若③准确,则①②④不准确,由④不准确,得d=4;由②不准确,得b=1,则满足条件的有序数组为a=3,b=1,c=2,d=4;若④准确,则①②③不准确,由②不准确,得b=1,由a≠1,c≠2,d≠4,得满足条件的有序数组为a=2,b=1,c=4,d=3或a=3,b=1,c=4,d=2或a=4,b=1,c=3,d=2;综上所述,满足条件的有序数组的个数为6.1.[2014·广东卷] 已知集合M={-1,0,1},N={0,1,2,},则M∪N=( )A.{0,1} B.{-1,0,2}C.{-1,0,1,2} D.{-1,0,1}1.C [解析] 本题考查集合的运算.因为M={-1,0,1},N={0,1,2},所以M∪N ={-1,0,1,2}.3.[2014·湖北卷] U为全集,A,B是集合,则“存有集合C使得A⊆C,B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.C [解析] 若存有集合C使得A⊆C,B⊆∁U C,则能够推出A∩B=∅;若A∩B=∅,由维思图可知,一定存有C=A,满足A⊆C,B⊆∁U C,故“存有集合C使得A⊆C,B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的充要条件.故选C.1.[2014·辽宁卷] 已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=( ) A.{x|x≥0} B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1}1.D [解析] 由题意可知,A∪B={x|x≤0或x≥1},所以∁U(A∪B)={x|0<x<1}.2.、[2014·全国卷] 设集合M={x|x2-3x-4<0},N={x|0≤x≤5},则M∩N=( )A.(0,4] B.[0,4)C.[-1,0) D.(-1,0]2.B [解析] 因为M={x|x2-3x-4<0}={x|-1<x<4},N={x|0≤x≤5},所以M∩N={x|-1<x<4}∩{0≤x≤5}={x|0≤x<4}.1.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B =( )A.[-2,-1] B.[-1,2)B.[-1,1] D.[1,2)1.A [解析] 集合A=(-∞,-1]∪[3,+∞),所以A∩B=[-2,-1].1.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则M∩N=( ) A.{1} B.{2} C.{0,1} D.{1,2}1.D [解析] 集合N=[1,2],故M∩N={1,2}.2.,[2014·山东卷] 设集合A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B=( ) A.[0,2] B.(1,3) C.[1,3) D.(1,4)2.C [解析] 根据已知得,集合A={x|-1<x<3},B={y|1≤y≤4},所以A∩B={x|1≤x <3}.故选C.1.[2014·陕西卷] 设集合M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则M∩N=( )A.[0,1] B.[0,1) C.(0,1] D.(0,1)1.B [解析] 由M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R}={x|-1<x<1,x∈R},得M∩N =[0,1).1.[2014·四川卷] 已知集合A={x|x2-x-2≤0},集合B为整数集,则A∩B=( ) A.{-1,0,1,2} B.{-2,-1,0,1}C.{0,1} D.{-1,0}1.A [解析] 由题意可知,集合A={x|-1≤x≤2},其中的整数有-1,0,1,2,故A∩B ={-1,0,1,2},故选A.19.、、[2014·天津卷] 已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n-1,x i∈M,i=1,2,…,n}.(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A.(2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n-1,t=b1+b2q+…+b n q n-1,其中a i,b i∈M,i=1,2,…,n.证明:若a n<b n,则s<t.19.解:(1)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,x i∈M,i=1,2,3},可得A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明:由s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n-1,t=b1+b2q+…+b n q n-1,a i,b i∈M,i =1,2,…,n及a n<b n,可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(a n-1-b n-1)q n-2+(a n-b n)q n-1≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)q n-2-q n-1=(q -1)(1-q n -1)1-q-q n -1 =-1<0,所以s <t .1.[2014·浙江卷] 设全集U ={x ∈N |x ≥2},集合A ={x ∈N |x 2≥5},则∁U A =( )A .∅B .{2}C .{5}D .{2,5}1.B [解析] ∁U A ={x ∈N |2≤x <5}={2},故选B.11.[2014·重庆卷] 设全集U ={n ∈N |1≤n ≤10},A ={1,2,3,5,8},B ={1,3,5,7,9},则(∁U A )∩B =________.11.{7,9} [解析] 由题知∁U A ={4,6,7,9,10},∴(∁U A )∩B ={7,9}.A2 命题及其关系、充分条件、必要条件2.[2014·安徽卷] “x <0”是“ln(x +1)<0”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件2.B [解析] ln(x +1)<0⇔0<1+x <1⇔-1<x <0,而(-1,0)是(-∞,0)的真子集,所“x <0”是“ln(x +1)<0”的必要不充分条件.5.[2014·北京卷] 设{a n }是公比为q 的等比数列,则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件5.D [解析] 当a 1<0,q >1时,数列{a n }递减;当a 1<0,数列{a n }递增时,0<q <1.故选D.6.、[2014·福建卷] 直线l :y =kx +1与圆O :x 2+y 2=1相交于A ,B 两点,则“k =1”是“△OAB 的面积为12”的( ) A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件6.A [解析] 由直线l 与圆O 相交,得圆心O 到直线l 的距离d =1k 2+1<1,解得k ≠0. 当k =1时,d =12,|AB |=2r 2-d 2=2,则△OAB 的面积为12×2×12=12; 当k =-1时,同理可得△OAB 的面积为12,则“k =1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件.3.[2014·湖北卷] U 为全集,A ,B 是集合,则“存有集合C 使得A ⊆C ,B ⊆∁U C ”是“A ∩B =∅”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.C [解析] 若存有集合C 使得A ⊆C ,B ⊆∁U C ,则能够推出A ∩B =∅;若A ∩B =∅,由维思图可知,一定存有C =A ,满足A ⊆C ,B ⊆∁U C ,故“存有集合C 使得A ⊆C ,B ⊆∁U C ”是“A ∩B =∅”的充要条件.故选C.8.[2014·陕西卷] 原命题为“若z 1,z 2互为共轭复数,则|z 1|=|z 2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,准确的是( )A .真,假,真B .假,假,真C .真,真,假D .假,假,假8.B [解析] 设z 1=a +b i ,z 2=a -b i ,且a ,b ∈R ,则|z 1|=|z 2|=a 2+b 2,故原命题为真,所以其否命题为假,逆否命题为真.当z 1=2+i ,z 2=-2+i 时,满足|z 1|=|z 2|,此时z 1,z 2不是共轭复数,故原命题的逆命题为假.7.[2014·天津卷] 设a ,b ∈R ,则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件7.C [解析] 当ab ≥0时,可得a >b 与a |a |>b |b |等价.当ab <0时,可得a >b 时a |a |>0>b |b |;反之,由a |a |>b |b |知a >0>b ,即a >b .2.、[2014·浙江卷] 已知i 是虚数单位,a ,b ∈R ,得“a =b =1”是“(a +b i)2=2i ”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件2.A [解析] 由a ,b ∈R ,(a +b i)2=a 2-b 2+2ab i =2i, 得⎩⎪⎨⎪⎧a 2-b 2=0,2ab =2,所以⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =1或⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =-1.故选A. 6.[2014·重庆卷] 已知命题p :对任意x ∈R ,总有2x >0,q :“x >1”是“x >2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( )A .p ∧qB .綈p ∧綈qC .綈p ∧qD .p ∧綈q6.D [解析] 根据指数函数的图像可知p 为真命题.因为“x >1”是“x >2”的必要不充分条件,所以q 为假命题,所以綈q 为真命题,所以p ∧綈q 为真命题.A3 基本逻辑联结词及量词5.[2014·湖南卷] 已知命题p :若x >y ,则-x <-y ,命题q :若x >y ,则x 2>y 2.在命题①p ∧q ;②p ∨q ;③p ∧(綈q );④(綈p )∨q 中,真命题是( )A .①③B .①④C .②③D .②④5.C [解析] 依题意可知,命题p 为真命题,命题q 为假命题.由真值表可知p ∧q 为假,p ∨q 为真,p ∧(綈q )为真,(綈p )∨q 为假.5.、[2014·辽宁卷] 设a ,b ,c 是非零向量,已知命题p :若a ·b =0,b ·c =0,则a ·c =0,命题q :若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ,则下列命题中真命题是( )A .p ∨qB .p ∧qC .(綈p )∧(綈q )D .p ∨(綈q )5.A [解析] 由向量数量积的几何意义可知,命题p 为假命题;命题q 中,当b ≠0时,a ,c 一定共线,故命题q 是真命题.故p ∨q 为真命题.9.、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≥1,x -2y ≤4的解集记为D ,有下面四个命题:p 1:∀(x ,y )∈D ,x +2y ≥-2,p 2:∃(x ,y )∈D ,x +2y ≥2,p 3:∀(x ,y )∈D ,x +2y ≤3,p 4:∃(x ,y )∈D ,x +2y ≤-1.其中的真命题是( )A .p 2,p 3B .p 1,p 2C .p 1,p 4D .p 1,p 39.B [解析] 不等式组表示的区域D 如图中的阴影部分所示,设目标函数z =x +2y ,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A (2,-1)处取得最小值,且z min =2-2=0,即x +2y 的取值范围是[0,+∞),故命题p 1,p 2为真,命题p 3,p 4为假.A4 单元综合2.[2014·福州期末] 已知全集U =R ,集合A ={1,2,3,4,5},B =[3,+∞),则图X11中阴影部分所表示的集合为( )图X11 A .{0,1,2} B .{0,1}C .{1,2}D .{1}2.C [解析] 由题意,阴影部分表示A ∩(∁U B ).因为∁U B ={x |x <3},所以A ∩(∁U B )={1,2}.4.[2014·湖南十三校一联] 下列说法准确的是( )A .命题“若x 2=1,则x =1”的否命题为“若x 2=1,则x ≠1”B .命题“∃x 0∈R ,x 20+x 0-1<0”的否定是“∀x ∈R ,x 2+x -1>0”C .命题“若x =y ,则sin x =sin y ”的逆否命题为假命题D .若“p 或q ”为真命题,则p ,q 中至少有一个为真命题4.D [解析] A 中否命题应为“若x 2≠1,则x ≠1”;B 中否定应为“∀x ∈R ,x 2+x -1≥0”;C 中原命题为真命题,故逆否命题为真命题;易知D 准确.6.[2014·郑州质检] 已知集合A ={x |x >2},B ={x |x <2m },且A ⊆(∁R B ),则m 的值能够是( )A .1B .2C .3D .46.A [解析] 易知∁R B ={x |x ≥2m },要使A ⊆(∁R B ),则2m ≤2,∴m ≤1,故选A.9.[2014·湖北八市联考] 已知集合M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ,y )⎪⎪⎪y -3x -2=3,N ={(x ,y )|ax +2y +a =0},且M ∩N =∅,则a =( )A .-6或-2B .-6C .2或-6D .-29.A [解析] 易知集合M 中的元素表示的是过(2,3)点且斜率为3的直线上除(2,3)点外的所有点.要使M ∩N =∅,则N 中的元素表示的是斜率为3且不过(2,3)点的直线,或过(2,3)点且斜率不为3的直线,∴-a 2=3或2a +6+a =0,∴a =-6或a =-2. 11.[2014·吉林实验中学模拟] 已知集合A ={1,2a },B ={a ,b }.若A ∩B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫12,则A ∪B =____________.11.{-1,12,1} [解析] ∵A ∩B =12,∴2a =12,∴a =-1,∴b =12,∴A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫1,12,B =-1,12,∴A ∪B ={-1,12,1}. 12.[2014·杭州一模] “λ<0”是“数列{a n }(a n =n 2-2λn ,n ∈N *)为递增数列”的____________条件.12.充分不必要 [解析] ∵{a n }为递增数列⇔a n +1>a n ⇔2n +1-2λ>0⇔2n +1>2λ⇔3>2λ⇔λ<32,∴“λ<0”是“数列{a n }(a n =n 2-2λn ,n ∈N *)为递增数列”的充分不必要条件.。
2014年高考数学理科(高考真题+模拟新题)分类汇编:L单元-算法初步与复数

2014年高考数学理科(高考真题+模拟新题)分类汇编:L单元-算法初步与复数D由a2=693⇒b2=963-369=594≠693⇒a3=594;由a3=594⇒b3=954-459=495≠594⇒a4=495;由a4=495⇒b4=954-459=495=a4⇒b=495.6.[2014·湖南卷] 执行如图1-1所示的程序框图.如果输入的t∈[-2,2],则输出的S属于()A.[-6,-2] B.[-5,-1]C.[-4图1-16.D[解析] (特值法)当t=-2时,t=2×(-2)2+1=9,S=9-3=6,所以D正确.7.[2014·江西卷] 阅读如图1-3所示的程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为()图1-3A.7 B.9 C.10 D.117.B[解析] 由程序框图可知,运算过程如下表:S S<-1i输出赋初值01开始S=0+lg13=-lg 3>-1否 3S=-lg 3+lg35=-lg 5>-1否 5S=-lg 5+lg57=-lg 7>-1否7S=-lg 7+lg79=-lg 9>-1否9S=-lg 9+lg911=是9-lg 11<-113.[2014·辽宁卷] 执行如图1-2所示的程序框图,若输入x =9,则输出y =________.图1-213.299[解析] 当x =9时,y =5,则|y -x |=4;当x =5时,y =113,则|y -x |=43;当x =113时,y =299,则|y -x |=49<1.故输出y =299.7.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 执行如图1-2所示的程序框图,若输入的a ,b ,k 分别为1,2,3,则输出的M =( )图1-2A.203B.165C.72D.1587.D [解析] 逐次计算,依次可得:M =32,a =2,b =32,n =2;M =83,a =32,b =83,n =3;M =158,a =83,b =158,n =4.此时输出M ,故输出的是158.7.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 执行如图1-2所示的程序框图,如果输入的x ,t 均为2,则输出的S =( )图1-2A.4 B.5 C.6 D.77.D[解析] 逐次计算,可得M=2,S=5,k=2;M=2,S=7,k=3,此时输出S=7.11.[2014·山东卷] 执行如图1-2所示的程序框图,若输入的x的值为1,则输出的n的值为____.图1-211.3[解析] x=1满足不等式,执行循环后,x=2,n=1;x=2满足不等式,执行循环后,x=3,n=2;x=3满足不等式,执行循环后,x=4,n=3;x=4不满足不等式,结束循环,输出的n的值为3.4.[2014·陕西卷] 根据如图1-1所示的框图,对大于2的整数N,输出的数列的通项公式是()图1-1A.a n=2nB.a n=2(n-1)C.a n=2nD.a n=2n-14.C[解析] 阅读题中所给的程序框图可知,对大于2的整数N,输出数列:2,2×2=22,2×22=23,2×23=24,…,2×2N-1=2N,故其通项公式为a n=2n.5.,[2014·四川卷] 执行如图1-1所示的程序框图,如果输入的x,y∈R,那么输出的S的最大值为( )图1-1A .0B .1C .2D .35.C [解析] 题中程序输出的是在⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤1,x ≥0,y ≥0的条件下S =2x +y 的最大值与1中较大的数.结合图像可得,当x =1,y =0时,S =2x +y 取得最大值2,2>1,故选C.3.[2014·天津卷] 阅读如图11所示的程序框图,运行相应的程序,输出S 的值为( )图1-1A.15B.105C.245D.9453.B[解析] 第1次循环,i=1,T=3,S =1×3;第2次循环,i=2,T=5,S=1×3×5;第3次循环,i=3,T=7,S=1×3×5×7.执行完后,这时i变为4,退出循环,故输出S=1×3×5×7=105.11.[2014·浙江卷] 若某程序框图如图1-3所示,当输入50时,则该程序运行后输出的结果是________.11.6 [解析] 第一次运行,S =1,i =2;第二次运行,S =4,i =3;第三次运行,S =11,i =4;第四次运行,S =26,i =5;第五次运行,S =57,i =6,此时S >n ,输出i =6.5.[2014·重庆卷] 执行如图1-1所示的程序框图,若输出k 的值为6,则判断框内可填入的条件是( )图1-1A .s >12B .s >35C .s >710D .s >455.C [解析] 第一次循环结束,得s =1×910=910,k=8;第二次循环结束,得s=910×89=45,k=7;第三次循环结束,得s=45×78=710,k=6,此时退出循环,输出k=6.故判断框内可填s>710.L2 基本算法语句L3 算法案例L4 复数的基本概念与运算1.[2014·重庆卷] 复平面内表示复数i(1-2i)的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限1.A[解析] i(1-2i)=2+i,其在复平面内对应的点为(2,1),位于第一象限.2.、[2014·浙江卷] 已知i是虚数单位,a,b∈R,得“a=b=1”是“(a+b i)2=2i”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.A[解析] 由a,b∈R,(a+b i)2=a2-b 2+2ab i =2i, 得⎩⎨⎧a 2-b 2=0,2ab =2,所以⎩⎨⎧a =1,b =1或⎩⎨⎧a =-1,b =-1.故选A.1.[2014·全国卷] 设z =10i 3+i,则z 的共轭复数为( )A .-1+3iB .-1-3iC .1+3iD .1-3i1.D [解析] z =10i 3+i =10i (3-i )(3+i )(3-i )=10(1+3i )10=1+3i ,根据共轭复数的定义,其共轭复数是1-3i.1.[2014·安徽卷] 设i 是虚数单位,z -表示复数z 的共轭复数.若z =1+i ,则z i+i ·z -=( )A .-2B .-2iC .2D .2i1.C [解析] 因为z =1+i ,所以z i+i ·z -=(-i +1)+i +1=2.9.[2014·北京卷] 复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1+i 1-i 2=________. 9.-1 [解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+i 1-i 2=⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1+i )2(1-i )(1+i )2=⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2i 22=-1. 1.[2014·福建卷] 复数z =(3-2i)i 的共轭复数z 等于( )A .-2-3iB .-2+3iC .2-3iD .2+3i1.C [解析] 由复数z =(3-2i)i =2+3i ,得复数z 的共轭复数z =2-3i.2.[2014·广东卷] 已知复数z 满足(3+4i)z=25,则z =( )A .-3+4iB .-3-4iC .3+4iD .3-4i2.D [解析] 本题考查复数的除法运算,利用分母的共轭复数进行求解.因为(3+4i)z =25,所以z =253+4i =25(3-4i )(3-4i )(3+4i )=3-4i.1.[2014·湖北卷] i 为虚数单位,⎝ ⎛⎭⎪⎫1-i 1+i 2=( )A .-1B .1C .-iD .i1.A [解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-i 1+i 2=-2i 2i =-1.故选A. 1.[2014·湖南卷] 满足z +i z=i(i 为虚数单位)的复数z =( )A.12+12iB.12-12i C .-12+12i D .-12-12i1.B[解析] 因为z+iz=i,则z+i=z i,所以z=ii-1=i(-1-i)(i-1)(-1-i)=1-i2.1.[2014·江西卷] z-是z的共轭复数,若z +z-=2,(z-z-)i=2(i为虚数单位),则z=()A.1+i B.-1-iC.-1+i D.1-i1.D[解析] 设z=a+b i(a,b∈R),则z-=a-b i,所以2a=2,-2b=2,得a=1,b=-1,故z=1-i.2.[2014·辽宁卷] 设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z=()A.2+3i B.2-3i C.3+2i D.3-2i2.A[解析] 由(z-2i)(2-i)=5,得z-2i=52-i,故z=2+3i.2.[2014·新课标全国卷Ⅰ] (1+i)3(1-i)2=()A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i2.D[解析] (1+i)3(1-i)2=(1+i)2(1+i)(1-i)2=2i(1+i)-2i=-1-i.2.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=()A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i2.A[解析] 由题知z2=-2+i,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.1.[2014·山东卷] 已知a,b∈R,i是虚数单位,若a-i与2+b i互为共轭复数,则(a+b i)2=()A.5-4i B.5+4i C.3-4i D.3+4i 1.D[解析] 因为a-i与2+b i互为共轭复数,所以a=2,b=1,所以(a+b i)2=(2+i)2=3+4i.故选D.11.[2014·四川卷] 复数2-2i1+i=________.11.-2i [解析] 2-2i 1+i =2(1-i )2(1+i )(1-i )=-2i.1.[2014·天津卷] i 是虚数单位,复数7+i 3+4i=( )A .1-iB .-1+iC.1725+3125i D .-177+257i 1.A [解析] 7+i 3+4i =(7+i )(3-4i )(3+4i )(3-4i )=25-25i 32+42=1-i.L5 单元综合2.[2014·合肥质检] 已知复数z =3+4i ,z表示复数z 的共轭复数,则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪z i =( ) A. 5 B .5C. 6 D .62.B [解析] 因为|z|=|z|=5,所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪z i =5. 4.[2014·闽南四校期末] 已知复数z 的共轭复数z =1+2i(i 为虚数单位),则z 在复平面内对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限4.D [解析] 由题意知,z =1-2i ,故其所对应的点(1,-2)在第四象限.9.[2014·石家庄质检] 运行如图G122所示的程序框图,则输出k 的值是( )图G122A .4B .5C .6D .79.A [解析] 运行程序框图可知,输出k 的值为4.10.[2014·江西名校调研] 运行如图G123所示的程序框图,若输出的S =120,则判断框内应为( )图G123A .k >4?B .k >5?C .k >6?D .k >7?10.B [解析] ∵S =1,k =1;k =2,S =4;k =3,S =11;k =4,S =26;k =5,S =57;k =6,S =120.故选B.12.[2014·湖北部分重点中学期末] 若z =sin θ-35+i ⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos θ-45是纯虚数,则tan θ的值为( )A.34B.43 C .-34D .-4312.C [解析] 由题意知sin θ=35,cos θ≠45,所以cos θ=-45,所以tan θ=-34.14.[2014·自贡模拟] 如图G127所示的四个程序框图都是为了计算S=1+13+15+17+19的值,其中,错误的算法是()图G12714.C[解析] 根据程序框图,易知选项A,B,D正确;对于选项C,由该框图可知当i=1时,S=1;当i=7时,S=1+13+15+17,程序结束,不符合题意.。
2014届高三模拟数学(理工类)试题卷(含答案)

2014届高三模拟数学(理工类)试题卷本试题卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题).第一部分1至2页,第二部分3至4页,共4页.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.注意事项:1.选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上. 2.本部分共10小题,每小题5分,共50分.第一部分(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.i 是虚数单位,复数ii+12等于( ) A. i +-1 B. i +1 C. i --1 D.i -12.已知集合},9{},0103{22x y x N x x x M -==<--=且N M ,都是全集R 的子集,则如图所示韦恩图中阴影不封所表示的集合为( )A. }53{≤<x xB. }53{>-<x x x 或C. }23{-≤≤-x xD.}53{≤≤-x x3.已知幂函数)(x f y =的图像过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,21,则)4(f 的值为() A. 41 B. 2 C. 4 D. 1614.已知31)4sin(=-πα,则)4cos(απ+的值等于()A. 31-B. 322±C. 322 D. 31 5.已知y x ,为正实数,则()A. y x y x 2lg 2lg )22lg(+=+B. y x y x 2lg 2lg 2lg ∙=+C. y x xy 2lg 2lg 2lg +=D. y x y x 2lg 2lg 2lg +=+6.已知1,6,()2,a b a a b ==-=则向量a 与向量b的夹角是() A. 6π B. 4π C. 3π D. 2π7.函数错误!未找到引用源。
的部分图象如图示,则将错误!未找到引用源。
2014年高考模拟试题-理科数学试题

f
x 满足 f
x
y
数),则称 f x 为 R 上的线性变换,现有下列命题:①f f x x f y ,(x, y, , 均为实 若 f x 是 R 上的显性变换,则 f kx kf x k R ③若 f x2x与是gR x上的均线为性R变上换的②线
性变换,则 f x g x 是 R 上的线性变换④ f x 是 R 上的线性变换的充要条件为
⑤ sin2 ( 25 ) cos2 55 sin( 25 ) cos 55 .(1)从上述五个式子中选择一个,求出常数 a ;
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.
17、已知集合 A {x | x2
2ax
a2
1
0}, B
{x |
若复合命题“ p 或 q ”为真命题,“ p 且 q ”为假命题axx,1求2}实,数命a题的P取:值2 范A围,。命题 q :1 B ,
D.21
1
A. 2
B.1
3
C. 2
D.2
9、 已 知 函 数 的 导 函 数 为
,且
,如果
,则实数 a 的取值范围是 ( )
A. (0,1)B. NhomakorabeaC.
D.
10、 对 于 实 数 x , 定 义 [x] 表 示 不 超 过 x 大 整 数 ,已 知 正 数 数 列 {an } 满 足 :
a1 1,S n
A. m 3
B. m 0
C. m 3 或 m 0 D. m 3 或 m 0
11 7、等比数列{an}的公比 q>1,第 17 项的平方等于第 24 项,则使 a1+a2+…+an>a +a
+…+a1 恒成立的正整数 n 的最小值为( )
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历年(2014)高考真题分类汇编(共14套)含答案精品打包下载.doc数学A单元集合与常用逻辑用语A1 集合及其运算1.A1[2014·北京卷] 已知集合A={x|x2-2x=0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0} B.{0,1}C.{0,2} D.{0,1,2}1.C[解析] ∵A={0,2},∴A∩B={0,2}∩{0,1,2}={0,2}.15.A1、M1[2014·福建卷] 若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是________.15.6[解析] 若①正确,则②③④不正确,可得b≠1不正确,即b=1,与a=1矛盾,故①不正确;若②正确,则①③④不正确,由④不正确,得d=4;由a≠1,b≠1,c≠2,得满足条件的有序数组为a=3,b=2,c=1,d=4或a=2,b=3,c=1,d=4.若③正确,则①②④不正确,由④不正确,得d=4;由②不正确,得b=1,则满足条件的有序数组为a=3,b=1,c=2,d=4;若④正确,则①②③不正确,由②不正确,得b=1,由a≠1,c≠2,d≠4,得满足条件的有序数组为a=2,b=1,c=4,d=3或a=3,b=1,c=4,d=2或a=4,b=1,c=3,d=2;综上所述,满足条件的有序数组的个数为6.1.A1[2014·广东卷] 已知集合M={-1,0,1},N={0,1,2,},则M∪N=()A.{0,1} B.{-1,0,2}C.{-1,0,1,2} D.{-1,0,1}1.C[解析] 本题考查集合的运算.因为M={-1,0,1},N={0,1,2},所以M∪N ={-1,0,1,2}.3.A1 A2[2014·湖北卷] U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.C[解析] 若存在集合C使得A⊆C,B⊆∁U C,则可以推出A∩B=∅;若A∩B=∅,由维思图可知,一定存在C=A,满足A⊆C,B⊆∁U C,故“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的充要条件.故选C.1.A1[2014·辽宁卷] 已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=()A.{x|x≥0} B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1}1.D[解析] 由题意可知,A∪B={x|x≤0或x≥1},所以∁U(A∪B)={x|0<x<1}.2.A1、E3[2014·全国卷] 设集合M={x|x2-3x-4<0},N={x|0≤x≤5},则M∩N=() A.(0,4] B.[0,4)C.[-1,0) D.(-1,0]2.B[解析] 因为M={x|x2-3x-4<0}={x|-1<x<4},N={x|0≤x≤5},所以M∩N ={x|-1<x<4}∩{0≤x≤5}={x|0≤x<4}.1.A1[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B =()A.[-2,-1] B.[-1,2)B.[-1,1] D.[1,2)1.A[解析] 集合A=(-∞,-1]∪[3,+∞),所以A∩B=[-2,-1].1.A1[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则M∩N =()A.{1} B.{2} C.{0,1} D.{1,2}1.D[解析] 集合N=[1,2],故M∩N={1,2}.2.A1,B6[2014·山东卷] 设集合A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B =()A.[0,2] B.(1,3) C.[1,3) D.(1,4)2.C[解析] 根据已知得,集合A={x|-1<x<3},B={y|1≤y≤4},所以A∩B={x|1≤x <3}.故选C.1.A1[2014·陕西卷] 设集合M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则M∩N=()A.[0,1] B.[0,1) C.(0,1] D.(0,1)1.B[解析] 由M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R}={x|-1<x<1,x∈R},得M∩N =[0,1).1.A1[2014·四川卷] 已知集合A={x|x2-x-2≤0},集合B为整数集,则A∩B=() A.{-1,0,1,2} B.{-2,-1,0,1}C.{0,1} D.{-1,0}1.A[解析] 由题意可知,集合A={x|-1≤x≤2},其中的整数有-1,0,1,2,故A∩B ={-1,0,1,2},故选A.19.A1、D3、E7[2014·天津卷] 已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n-1,x i∈M,i=1,2,…,n}.(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A.(2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n-1,t=b1+b2q+…+b n q n-1,其中a i,b i∈M,i=1,2,…,n.证明:若a n<b n,则s<t.19.解:(1)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,x i∈M,i=1,2,3},可得A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明:由s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n-1,t=b1+b2q+…+b n q n-1,a i,b i∈M,i =1,2,…,n及a n<b n,可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(a n-1-b n-1)q n-2+(a n-b n)q n-1≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)q n-2-q n-1=(q-1)(1-q n-1)1-q-q n-1=-1<0,所以s<t.1.A1[2014·浙江卷] 设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则∁U A=()A.∅B.{2} C.{5} D.{2,5}1.B[解析] ∁U A={x∈N|2≤x<5}={2},故选B.11.A1[2014·重庆卷] 设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(∁U A)∩B=________.11.{7,9}[解析] 由题知∁U A={4,6,7,9,10},∴(∁U A)∩B={7,9}.A2 命题及其关系、充分条件、必要条件2.A2[2014·安徽卷] “x<0”是“ln(x+1)<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.B[解析] ln(x+1)<0⇔0<1+x<1⇔-1<x<0,而(-1,0)是(-∞,0)的真子集,所“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件.5.A2[2014·北京卷] 设{a n}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{a n}为递增数列”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件5.D [解析] 当a 1<0,q >1时,数列{a n }递减;当a 1<0,数列{a n }递增时,0<q <1.故选D.6.A2、H4[2014·福建卷] 直线l :y =kx +1与圆O :x 2+y 2=1相交于A ,B 两点,则“k =1”是“△OAB 的面积为12”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件6.A [解析] 由直线l 与圆O 相交,得圆心O 到直线l 的距离d =1k 2+1<1,解得k ≠0. 当k =1时,d =12,|AB |=2r 2-d 2=2,则△OAB 的面积为12×2×12=12;当k =-1时,同理可得△OAB 的面积为12,则“k =1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件.3.A1 A2[2014·湖北卷] U 为全集,A ,B 是集合,则“存在集合C 使得A ⊆C ,B ⊆∁U C ”是“A ∩B =∅”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.C [解析] 若存在集合C 使得A ⊆C ,B ⊆∁U C ,则可以推出A ∩B =∅;若A ∩B =∅,由维思图可知,一定存在C =A ,满足A ⊆C ,B ⊆∁U C ,故“存在集合C 使得A ⊆C ,B ⊆∁U C ”是“A ∩B =∅”的充要条件.故选C.8.A2[2014·陕西卷] 原命题为“若z 1,z 2互为共轭复数,则|z 1|=|z 2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )A .真,假,真B .假,假,真C .真,真,假D .假,假,假 8.B [解析] 设z 1=a +b i ,z 2=a -b i ,且a ,b ∈R ,则|z 1|=|z 2|=a 2+b 2,故原命题为真,所以其否命题为假,逆否命题为真.当z 1=2+i ,z 2=-2+i 时,满足|z 1|=|z 2|,此时z 1,z 2不是共轭复数,故原命题的逆命题为假.7.A2[2014·天津卷] 设a ,b ∈R ,则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分又不必要条件 7.C [解析] 当ab ≥0时,可得a >b 与a |a |>b |b |等价.当ab <0时,可得a >b 时a |a |>0>b |b |;反之,由a |a |>b |b |知a >0>b ,即a >b .2.L4、A2[2014·浙江卷] 已知i 是虚数单位,a ,b ∈R ,得“a =b =1”是“(a +b i)2=2i ”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件2.A [解析] 由a ,b ∈R ,(a +b i)2=a 2-b 2+2ab i =2i, 得⎩⎪⎨⎪⎧a 2-b 2=0,2ab =2,所以⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =1或⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =-1.故选A. 6.A2[2014·重庆卷] 已知命题p :对任意x ∈R ,总有2x >0,q :“x >1”是“x >2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( )A .p ∧qB .綈p ∧綈qC .綈p ∧qD .p ∧綈q6.D [解析] 根据指数函数的图像可知p 为真命题.由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件,所以q 为假命题,所以綈q 为真命题,所以p ∧綈q 为真命题.A3 基本逻辑联结词及量词 5.A3[2014·湖南卷] 已知命题p :若x >y ,则-x <-y ,命题q :若x >y ,则x 2>y 2.在命题①p ∧q ;②p ∨q ;③p ∧(綈q );④(綈p )∨q 中,真命题是( ) A .①③ B .①④ C .②③ D .②④5.C [解析] 依题意可知,命题p 为真命题,命题q 为假命题.由真值表可知p ∧q 为假,p ∨q 为真,p ∧(綈q )为真,(綈p )∨q 为假.5.A3、F1[2014·辽宁卷] 设a ,b ,c 是非零向量,已知命题p :若a ·b =0,b ·c =0,则a ·c =0,命题q :若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ,则下列命题中真命题是( )A .p ∨qB .p ∧qC .(綈p )∧(綈q )D .p ∨(綈q ) 5.A [解析] 由向量数量积的几何意义可知,命题p 为假命题;命题q 中,当b ≠0时,a ,c 一定共线,故命题q 是真命题.故p ∨q 为真命题.9.E5、A3[2014·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≥1,x -2y ≤4的解集记为D ,有下面四个命题:p 1:∀(x ,y )∈D ,x +2y ≥-2, p 2:∃(x ,y )∈D ,x +2y ≥2, p 3:∀(x ,y )∈D ,x +2y ≤3, p 4:∃(x ,y )∈D ,x +2y ≤-1. 其中的真命题是( ) A .p 2,p 3 B .p 1,p 2 C .p 1,p 4 D .p 1,p 39.B [解析] 不等式组表示的区域D 如图中的阴影部分所示,设目标函数z =x +2y ,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A (2,-1)处取得最小值,且z min =2-2=0,即x +2y 的取值范围是[0,+∞),故命题p 1,p 2为真,命题p 3,p 4为假.A4 单元综合2.[2014·福州期末] 已知全集U =R ,集合A ={1,2,3,4,5},B =[3,+∞),则图X11中阴影部分所表示的集合为(A .{0,1,2}B .{0,1}C .{1,2}D .{1}2.C [解析] 由题意,阴影部分表示A ∩(∁U B ).因为∁U B ={x |x <3},所以A ∩(∁U B )={1,2}.4.[2014·湖南十三校一联] 下列说法正确的是( )A .命题“若x 2=1,则x =1”的否命题为“若x 2=1,则x ≠1”B .命题“∃x 0∈R ,x 20+x 0-1<0”的否定是“∀x ∈R ,x 2+x -1>0” C .命题“若x =y ,则sin x =sin y ”的逆否命题为假命题 D .若“p 或q ”为真命题,则p ,q 中至少有一个为真命题4.D [解析] A 中否命题应为“若x 2≠1,则x ≠1”;B 中否定应为“∀x ∈R ,x 2+x -1≥0”;C 中原命题为真命题,故逆否命题为真命题;易知D 正确.6.[2014·郑州质检] 已知集合A ={x |x >2},B ={x |x <2m },且A ⊆(∁R B ),则m 的值可以是( )A .1B .2C .3D .46.A [解析] 易知∁R B ={x |x ≥2m },要使A ⊆(∁R B ),则2m ≤2,∴m ≤1,故选A.9.[2014·湖北八市联考] 已知集合M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ,y )⎪⎪⎪y -3x -2=3,N ={(x ,y )|ax +2y +a =0},且M ∩N =∅,则a =( )A .-6或-2B .-6C .2或-6D .-29.A [解析] 易知集合M 中的元素表示的是过(2,3)点且斜率为3的直线上除(2,3)点外的所有点.要使M ∩N =∅,则N 中的元素表示的是斜率为3且不过(2,3)点的直线,或过(2,3)点且斜率不为3的直线,∴-a2=3或2a +6+a =0,∴a =-6或a =-2.11.[2014·吉林实验中学模拟] 已知集合A ={1,2a },B ={a ,b }.若A ∩B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫12,则A ∪B=____________.11.{-1,12,1} [解析] ∵A ∩B =12,∴2a =12,∴a =-1,∴b =12,∴A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫1,12,B=-1,12,∴A ∪B ={-1,12,1}.12.[2014·杭州一模] “λ<0”是“数列{a n }(a n =n 2-2λn ,n ∈N *)为递增数列”的____________条件.12.充分不必要 [解析] ∵{a n }为递增数列⇔a n +1>a n ⇔2n +1-2λ>0⇔2n +1>2λ⇔3>2λ⇔λ<32,∴“λ<0”是“数列{a n }(a n =n 2-2λn ,n ∈N *)为递增数列”的充分不必要条件.数 学B 单元 函数与导数B1 函数及其表示 6.B1[2014·安徽卷] 设函数f (x )(x ∈R )满足f (x +π)=f (x )+sin x .当0≤x <π时,f (x )=0,则f ⎝⎛⎭⎫23π6=( )A.12B.32 C .0 D .-126.A [解析] 由已知可得,f ⎝⎛⎭⎫23π6=f ⎝⎛⎭⎫17π6+sin 17π6=f ⎝⎛⎭⎫11π6+sin 11π6+sin 17π6 =f ⎝⎛⎭⎫5π6+sin 5π6+sin 11π6+sin 17π6=2sin 5π6+sin ⎝⎛⎭⎫-π6=sin 5π6=12.2.B1、B3[2014·北京卷] 下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A .y =x +1B .y =(x -1)2C .y =2-x D .y =log 0.5(x +1)2.A [解析] 由基本初等函数的性质得,选项B 中的函数在(0,1)上递减,选项C ,D 中的函数在(0,+∞)上为减函数,所以排除B ,C ,D ,选A.7.B1、B3、B4[2014·福建卷] 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,x >0,cos x , x ≤0,则下列结论正确的是( )A .f (x )是偶函数B .f (x )是增函数C .f (x )是周期函数D .f (x )的值域为[-1,+∞)7.D [解析] 由函数f (x )的解析式知,f (1)=2,f (-1)=cos(-1)=cos 1,f (1)≠f (-1),则f (x )不是偶函数;当x >0时,令f (x )=x 2+1,则f (x )在区间(0,+∞)上是增函数,且函数值f (x )>1; 当x ≤0时,f (x )=cos x ,则f (x )在区间(-∞,0]上不是单调函数,且函数值f (x )∈[-1,1];∴函数f (x )不是单调函数,也不是周期函数,其值域为[-1,+∞). 2.B1[2014·江西卷] 函数f (x )=ln(x 2-x )的定义域为( ) A .(0,1] B .[0,1]C .(-∞,0)∪(1,+∞)D .(-∞,0]∪[1,+∞) 2.C [解析] 由x 2-x >0,得x >1或x <0.3.B1,B7[2014·山东卷] 函数f (x )=1(log 2x )2-1的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫0,12 B .(2,+∞)C. ⎝⎛⎭⎫0,12∪(2,+∞)D. ⎝⎛⎦⎤0,12∪[2,+∞) 3.C [解析] 根据题意得,⎩⎪⎨⎪⎧x >0,(log 2)2-1>0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x >0,x >2或x <12.故选C.B2 反函数 12.B2[2014·全国卷] 函数y =f (x )的图像与函数y =g (x )的图像关于直线x +y =0对称,则y =f (x )的反函数是( )A .y =g (x )B .y =g (-x )C .y =-g (x )D .y =-g (-x )12.D [解析] 设(x 0,y 0)为函数y =f (x )的图像上任意一点,其关于直线x +y =0的对称点为(-y 0,-x 0).根据题意,点(-y 0,-x 0)在函数y =g (x )的图像上,又点(x 0,y 0)关于直线y =x 的对称点为(y 0,x 0),且(y 0,x 0)与(-y 0,-x 0)关于原点对称,所以函数y =f (x )的反函数的图像与函数y =g (x )的图像关于原点对称,所以-y =g (-x ),即y =-g (-x ).B3 函数的单调性与最值 2.B1、B3[2014·北京卷] 下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A .y =x +1 B .y =(x -1)2C .y =2-x D .y =log 0.5(x +1)2.A [解析] 由基本初等函数的性质得,选项B 中的函数在(0,1)上递减,选项C ,D 中的函数在(0,+∞)上为减函数,所以排除B ,C ,D ,选A.7.B1、B3、B4[2014·福建卷] 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,x >0,cos x , x ≤0,则下列结论正确的是( )A .f (x )是偶函数B .f (x )是增函数C .f (x )是周期函数D .f (x )的值域为[-1,+∞)7.D [解析] 由函数f (x )的解析式知,f (1)=2,f (-1)=cos(-1)=cos 1,f (1)≠f (-1),则f (x )不是偶函数;当x >0时,令f (x )=x 2+1,则f (x )在区间(0,+∞)上是增函数,且函数值f (x )>1; 当x ≤0时,f (x )=cos x ,则f (x )在区间(-∞,0]上不是单调函数,且函数值f (x )∈[-1,1];∴函数f (x )不是单调函数,也不是周期函数,其值域为[-1,+∞).21.B3、B12[2014·广东卷] 设函数f (x )=1(x 2+2x +k )2+2(x 2+2x +k )-3,其中k <-2.(1)求函数f (x )的定义域D (用区间表示); (2)讨论函数f (x )在D 上的单调性;(3)若k <-6,求D 上满足条件f (x )>f (1)的x 的集合(用区间表示). 12.B3[2014·四川卷] 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[-1,1)时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-4x 2+2,-1≤x <0,x , 0≤x <1,则f ⎝⎛⎭⎫32=________.12.1 [解析] 由题意可知,f ⎝⎛⎭⎫32=f ⎝⎛⎭⎫2-12=f ⎝⎛⎭⎫-12=-4⎝⎛⎭⎫-122+2=1. 15.B3,B14[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合:对于函数φ(x ),存在一个正数M ,使得函数φ(x )的值域包含于区间[-M ,M ].例如,当φ1(x )=x 3,φ2(x )=sin x 时,φ1(x )∈A ,φ2(x )∈B .现有如下命题:①设函数f (x )的定义域为D ,则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ,∃a ∈D ,f (a )=b ”; ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值;③若函数f (x ),g (x )的定义域相同,且f (x )∈A ,g (x )∈B ,则f (x )+g (x )∉B ;④若函数f (x )=a ln(x +2)+xx 2+1(x >-2,a ∈R )有最大值,则f (x )∈B .其中的真命题有________.(写出所有真命题的序号)15.①③④ [解析] 若f (x )∈A ,则f (x )的值域为R ,于是,对任意的b ∈R ,一定存在a ∈D ,使得f (a )=b ,故①正确.取函数f (x )=x (-1<x <1),其值域为(-1,1),于是,存在M =1,使得f (x )的值域包含于[-M ,M ]=[-1,1],但此时f (x )没有最大值和最小值,故②错误.当f (x )∈A 时,由①可知,对任意的b ∈R ,存在a ∈D ,使得f (a )=b ,所以,当g (x )∈B 时,对于函数f (x )+g (x ),如果存在一个正数M ,使得f (x )+g (x )的值域包含于[-M ,M ],那么对于该区间外的某一个b 0∈R ,一定存在一个a 0∈D ,使得f (a 0)=b -g (a 0),即f (a 0)+g (a 0)=b 0∉[-M ,M ],故③正确.对于f (x )=a ln(x +2)+xx 2+1 (x >-2),当a >0或a <0时,函数f (x )都没有最大值.要使得函数f (x )有最大值,只有a =0,此时f (x )=xx 2+1(x >-2).易知f (x )∈⎣⎡⎦⎤-12,12,所以存在正数M =12,使得f (x )∈[-M ,M ],故④正确. 21.B3,B12[2014·四川卷] 已知函数f (x )=e x -ax 2-bx -1,其中a ,b ∈R ,e =2.718 28…为自然对数的底数.(1)设g (x )是函数f (x )的导函数,求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值; (2)若f (1)=0,函数f (x )在区间(0,1)内有零点,求a 的取值范围. 21.解:(1)由f (x )=e x -ax 2-bx -1,得g (x )=f ′(x )=e x -2ax -b . 所以g ′(x )=e x -2a .当x ∈[0,1]时,g ′(x )∈[1-2a ,e -2a ].当a ≤12时,g ′(x )≥0,所以g (x )在[0,1]上单调递增,因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)=1-b ; 当a ≥e2时,g ′(x )≤0,所以g (x )在[0,1]上单调递减,因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)=e -2a -b ;当12<a <e2时,令g ′(x )=0,得x =ln(2a )∈(0,1),所以函数g (x )在区间[0,ln(2a )]上单调递减,在区间(ln(2a ),1]上单调递增,于是,g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))=2a -2a ln(2a )-b .综上所述,当a ≤12时,g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)=1-b ;当12<a <e2时,g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))=2a -2a ln(2a )-b ; 当a ≥e2时,g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)=e -2a -b .(2)设x 0为f (x )在区间(0,1)内的一个零点,则由f (0)=f (x 0)=0可知,f (x )在区间(0,x 0)上不可能单调递增,也不可能单调递减. 则g (x )不可能恒为正,也不可能恒为负. 故g (x )在区间(0,x 0)内存在零点x 1. 同理g (x )在区间(x 0,1)内存在零点x 2. 故g (x )在区间(0,1)内至少有两个零点.由(1)知,当a ≤12时,g (x )在[0,1]上单调递增,故g (x )在(0,1)内至多有一个零点;当a ≥e2时,g (x )在[0,1]上单调递减,故g (x )在(0,1)内至多有一个零点,都不合题意.所以12<a <e 2.此时g (x )在区间[0,ln(2a )]上单调递减,在区间(ln(2a ),1]上单调递增. 因此x 1∈(0,ln(2a )],x 2∈(ln(2a ),1),必有 g (0)=1-b >0,g (1)=e -2a -b >0. 由f (1)=0得a +b =e -1<2,则g (0)=a -e +2>0,g (1)=1-a >0, 解得e -2<a <1.当e -2<a <1时,g (x )在区间[0,1]内有最小值g (ln(2a )). 若g (ln(2a ))≥0,则g (x )≥0(x ∈[0,1]),从而f (x )在区间[0,1]内单调递增,这与f (0)=f (1)=0矛盾,所以g (ln(2a ))<0. 又g (0)=a -e +2>0,g (1)=1-a >0.故此时g (x )在(0,ln(2a ))和(ln(2a ),1)内各只有一个零点x 1和x 2.由此可知f (x )在[0,x 1]上单调递增,在(x 1,x 2)上单调递减,在[x 2,1]上单调递增. 所以f (x 1)>f (0)=0,f (x 2)<f (1)=0, 故f (x )在(x 1,x 2)内有零点.综上可知,a 的取值范围是(e -2,1).B4 函数的奇偶性与周期性7.B1、B3、B4[2014·福建卷] 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,x >0,cos x , x ≤0,则下列结论正确的是( )A .f (x )是偶函数B .f (x )是增函数C .f (x )是周期函数D .f (x )的值域为[-1,+∞)7.D [解析] 由函数f (x )的解析式知,f (1)=2,f (-1)=cos(-1)=cos 1,f (1)≠f (-1),则f (x )不是偶函数;当x >0时,令f (x )=x 2+1,则f (x )在区间(0,+∞)上是增函数,且函数值f (x )>1; 当x ≤0时,f (x )=cos x ,则f (x )在区间(-∞,0]上不是单调函数,且函数值f (x )∈[-1,1];∴函数f (x )不是单调函数,也不是周期函数,其值域为[-1,+∞). 3.B4[2014·湖南卷] 已知f (x ),g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且f (x )-g (x )=x 3+x 2+1,则f (1)+g (1)=( )A .-3B .-1C .1D .33.C [解析] 因为f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,所以f (1)+g (1)=f (-1)-g (-1)=(-1)3+(-1)2+1=1. 3.B4[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f (x ),g (x )的定义域都为R ,且f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,则下列结论中正确的是( )A .f (x )g (x )是偶函数B .|f (x )|g (x )是奇函数C .f (x )|g (x )|是奇函数D .|f (x )g (x )|是奇函数3.C [解析] 由于偶函数的绝对值还是偶函数,一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数,故正确选项为C.15.B4[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知偶函数f (x )在[0,+∞)单调递减,f (2)=0,若f (x -1)>0,则x 的取值范围是________.15.(-1,3) [解析] 根据偶函数的性质,易知f (x )>0的解集为(-2,2),若f (x -1)>0,则-2<x -1<2,解得-1<x <3.B5 二次函数16.B5、C6[2014·全国卷] 若函数f (x )=cos 2x +a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6,π2是减函数,则a的取值范围是________.16.(-∞,2] [解析] f (x )=cos 2x +a sin x =-2sin 2x +a sin x +1,令sin x =t ,则f (x )=-2t 2+at +1.因为x ∈⎝⎛⎭⎫π6,π2,所以t ∈⎝⎛⎭⎫12,1,所以f (x )=-2t 2+at +1,t ∈⎝⎛⎭⎫12,1.因为f (x )=cos 2x +a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6,π2是减函数,所以f (x )=-2t 2+at +1在区间⎝⎛⎭⎫12,1上是减函数,又对称轴为x =a 4,∴a 4≤12,所以a ∈(-∞,2].B6 指数与指数函数 4.B6、B7、B8[2014·福建卷] 若函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图像如图1-1所示,则下列函数图像正确的是( )图1-1A BC D图1-24.B [解析] 由函数y =log a x 的图像过点(3,1),得a =3.选项A 中的函数为y =⎝⎛⎭⎫13x,则其函数图像不正确;选项B 中的函数为y =x 3,则其函数图像正确;选项C 中的函数为y =(-x )3,则其函数图像不正确;选项D 中的函数为y =log 3(-x ),则其函数图像不正确.3.B6[2014·江西卷] 已知函数f (x )=5|x |,g (x )=ax 2-x (a ∈R ).若f [g (1)]=1,则a =( ) A .1 B .2 C .3 D .-13.A [解析] g (1)=a -1,由f [g (1)]=1,得5|a -1|=1,所以|a -1|=0,故a =1.3.B6、B7[2014·辽宁卷] 已知a =2-13,b =log 213,c =log 1213,则( )A .a >b >cB .a >c >bC .c >a >bD .c >b >a3.C [解析] 因为0<a =2-13<1,b =log 213<0,c =log 1213>log 1212=1,所以c >a >b .2.A1,B6[2014·山东卷] 设集合A ={x ||x -1|<2},B ={y |y =2x ,x ∈[0,2]},则A ∩B =( )A .[0,2]B .(1,3)C .[1,3)D .(1,4) 2.C [解析] 根据已知得,集合A ={x |-1<x <3},B ={y |1≤y ≤4},所以A ∩B ={x |1≤x <3}.故选C.5.B6,B7,E1[2014·山东卷] 已知实数x ,y 满足a x <a y (0<a <1),则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2+1>1y 2+1B. ln(x 2+1)>ln(y 2+1)C. sin x >sin yD. x 3>y 35.D [解析] 因为a x <a y (0<a <1),所以x >y ,所以sin x >sin y ,ln(x 2+1)>ln(y 2+1),1x 2+1>1y 2+1都不一定正确,故选D.7.B6[2014·陕西卷] 下列函数中,满足“f (x +y )=f (x )·f (y )”的单调递增函数是( ) A .f (x )=x 12 B .f (x )=x 3C .f (x )=⎝⎛⎭⎫12xD .f (x )=3x7.B [解析] 由于f (x +y )=f (x )f (y ),故排除选项A ,C.又f (x )=⎝⎛⎭⎫12x为单调递减函数,所以排除选项D.11.B6[2014·陕西卷] 已知4a =2,lg x =a ,则x =________.11.10 [解析] 由4a =2,得a =12,代入lg x =a ,得lg x =12,那么x =1012 =10.B7 对数与对数函数 5.B6,B7,E1[2014·山东卷] 已知实数x ,y 满足a x <a y (0<a <1),则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2+1>1y 2+1B. ln(x 2+1)>ln(y 2+1)C. sin x >sin yD. x 3>y 35.D [解析] 因为a x <a y (0<a <1),所以x >y ,所以sin x >sin y ,ln(x 2+1)>ln(y 2+1),1x 2+1>1y 2+1都不一定正确,故选D.3.B1,B7[2014·山东卷] 函数f (x )=1(log 2x )2-1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0,12 B .(2,+∞) C. ⎝⎛⎭⎫0,12∪(2,+∞) D. ⎝⎛⎦⎤0,12∪[2,+∞) 3.C [解析] 根据题意得,⎩⎪⎨⎪⎧x >0,(log 2)2-1>0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x >0,x >2或x <12.故选C.4.B6、B7、B8[2014·福建卷] 若函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图像如图1-1所示,则下列函数图像正确的是( )图1-1A BC D图1-24.B [解析] 由函数y =log a x 的图像过点(3,1),得a =3.选项A 中的函数为y =⎝⎛⎭⎫13x,则其函数图像不正确;选项B 中的函数为y =x 3,则其函数图像正确;选项C 中的函数为y =(-x )3,则其函数图像不正确;选项D 中的函数为y =log 3(-x ),则其函数图像不正确.13.D3、B7[2014·广东卷] 若等比数列{a n }的各项均为正数,且a 10a 11+a 9a 12=2e 5,则ln a 1+ln a 2+…+ln a 20=________.13.50 [解析] 本题考查了等比数列以及对数的运算性质.∵{a n }为等比数列,且a 10a 11+a 9a 12=2e 5,∴a 10a 11+a 9a 12=2a 10a 11=2e 5,∴a 10a 11=e 5, ∴ln a 1+ln a 2+…+ln a 20=ln(a 1a 2…a 20)= ln(a 10a 11)10=ln(e 5)10=ln e 50=50.3.B6、B7[2014·辽宁卷] 已知a =2-13,b =log 213,c =log 1213,则( )A .a >b >cB .a >c >bC .c >a >bD .c >b >a3.C [解析] 因为0<a =2-13<1,b =log 213<0,c =log 1213>log 1212=1,所以c >a >b .4.B7[2014·天津卷] 函数f (x )=log 12(x 2-4)的单调递增区间为( )A .(0,+∞)B .(-∞,0)C .(2,+∞)D .(-∞,-2)4.D [解析] 要使f (x )单调递增,需有⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4>0,x <0,解得x <-2.7.B7、B8[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中,函数f (x )=x a (x >0),g (x )=log a x 的图像可能是( )AC D图1-2 图1-27.D [解析] 只有选项D 符合,此时0<a <1,幂函数f (x )在(0,+∞)上为增函数,且当x ∈(0,1)时,f (x )的图像在直线y =x 的上方,对数函数g (x )在(0,+∞)上为减函数,故选D.12.B7[2014·重庆卷] 函数f (x )=log 2x ·log 2(2x )的最小值为________.12.-14 [解析] f (x )=log 2 x ·log 2(2x )=12log 2 x ·2log 2(2x )=log 2x ·(1+log 2x )=(log 2x )2+log 2x =⎝⎛⎭⎫log 2x +122-14,所以当x =22时,函数f (x )取得最小值-14.B8 幂函数与函数的图像 4.B6、B7、B8[2014·福建卷] 若函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图像如图1-1所示,则下列函数图像正确的是( )图1-1A BC D图1-24.B [解析] 由函数y =log a x 的图像过点(3,1),得a =3.选项A 中的函数为y =⎝⎛⎭⎫13x,则其函数图像不正确;选项B 中的函数为y =x 3,则其函数图像正确;选项C 中的函数为y =(-x )3,则其函数图像不正确;选项D 中的函数为y =log 3(-x ),则其函数图像不正确.10.B8[2014·湖北卷] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=12(|x -a 2|+|x -2a 2|-3a 2).若∀x ∈R ,f (x -1)≤f (x ),则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤-16,16B.⎣⎡⎦⎤-66,66C.⎣⎡⎦⎤-13,13D.⎣⎡⎦⎤-33,33 10.B [解析] 因为当x ≥0时,f (x )=12()||x -a 2+||x -2a 2-3a 2,所以当0≤x ≤a 2时,f (x )=12()a 2-x +2a 2-x -3a 2=-x ;当a 2<x <2a 2时,f (x )=12()x -a 2+2a 2-x -3a 2=-a 2;当x ≥2a 2时,f (x )=12()x -a 2+x -2a 2-3a 2=x -3a 2.综上,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x ,0≤x ≤a 2,-a 2,a 2<x <2a 2,x -3a 2,x ≥2a 2.因此,根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f (x )在R 上的大致图象如下,观察图象可知,要使∀x ∈R ,f (x -1)≤f (x ),则需满足2a 2-(-4a 2)≤1,解得-66≤a ≤66.故选B. 8.B8[2014·山东卷] 已知函数f (x )=|x -2|+1,g (x )=kx ,若方程f (x )=g (x )有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫0,12B. ⎝⎛⎭⎫12,1 C. (1,2) D. (2,+∞) 8.B [解析] 画出函数f (x )的图像,如图所示.若方程f (x )=g (x )有两个不相等的实数,则函数f (x ),g (x )有两个交点,则k >12,且k <1.故选B.7.B7、B8[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中,函数f (x )=x a (x >0),g (x )=log a x 的图像可能是( )AC D图1-2 图1-27.D [解析] 只有选项D 符合,此时0<a <1,幂函数f (x )在(0,+∞)上为增函数,且当x ∈(0,1)时,f (x )的图像在直线y =x 的上方,对数函数g (x )在(0,+∞)上为减函数,故选D.B9 函数与方程10.B9、B14[2014·湖南卷] 已知函数f (x )=x 2+e x -12(x <0)与g (x )=x 2+ln(x +a )的图像上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( )A .(-∞,1e) B .(-∞,e)C.⎝⎛⎭⎫-1e ,eD.⎝⎛⎭⎫-e ,1e10.B [解析] 依题意,设存在P (-m ,n )在f (x )的图像上,则Q (m ,n )在g (x )的图像上,则有m 2+e -m -12=m 2+ln(m +a ),解得m +a =ee -m -12,即a =ee -m -12-m (m >0),可得a ∈(-∞,e).14.B9[2014·天津卷] 已知函数f (x )=|x 2+3x |,x ∈R .若方程f (x )-a |x -1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围为________.14.(0,1)∪(9,+∞) [解析] 在同一坐标系内分别作出y =f (x )与y =a |x -1|的图像如图所示.当y =a |x -1|与y =f (x )的图像相切时,由⎩⎪⎨⎪⎧-ax +a =-x 2-3x ,a >0,整理得x 2+(3-a )x+a =0,则Δ=(3-a )2-4a =a 2-10a +9=0,解得a =1或a =9.故当y =a |x -1|与y =f (x )的图像有四个交点时,0<a <1或a >9.6.B9[2014·浙江卷] 1)=f (-2)=f (-3)≤3,则( )A .c ≤3B .3<c ≤6C .6<c ≤9D .c >96.C [解析] 由f (-1)=f (-2)=f (-3)得⎩⎪⎨⎪⎧-1+a -b +c =-8+4a -2b +c ,-8+4a -2b +c =-27+9a -3b +c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧-7+3a -b =0,19-5a +b =0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a =6,b =11,则f (x )=x 3+6x 2+11x +c ,而0<f (-1)≤3,故0<-6+c ≤3, ∴6<c ≤9,故选C.B10 函数模型及其应用 8.B10[2014·湖南卷] 某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p +q 2B.(p +1)(q +1)-12C.pqD.(p +1)(q +1)-18.D [解析] 设年平均增长率为x ,则有(1+p )(1+q )=(1+x )2,解得x =(1+p )(1+q )-1. 10.B10[2014·陕西卷] 如图1-2,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为 ( )图1-2A .y =1125x 3-35xB .y =2125x 3-45xC .y =3125x 3-xD .y =-3125x 3+15x10.A [解析] 设该三次函数的解析式为y =ax 3+bx 2+cx +d .因为函数的图像经过点(0,0),所以d =0,所以y =ax 3+bx 2+cx .又函数过点(-5,2),(5,-2),则该函数是奇函数,故b =0,所以y =ax 3+cx ,代入点(-5,2)得-125a -5c =2.又由该函数的图像在点(-5,2)处的切线平行于x 轴,y ′=3ax 2+c ,得当x =-5时,y ′=75a +c =0.联立⎩⎪⎨⎪⎧-125a -5c =2,75a +c =0,解得⎩⎨⎧a =1125,c =-35.故该三次函数的解析式为y =1125x 3-35x .B11 导数及其运算 18.B11、B12[2014·安徽卷] 设函数f (x )=1+(1+a )x -x 2-x 3,其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性;(2)当x ∈[0,1]时 ,求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值. 18.解: (1)f (x )的定义域为(-∞,+∞), f ′(x )=1+a -2x -3x 2.令f ′(x )=0,得x 1=-1-4+3a3,x 2=-1+4+3a 3,x 1<x 2,所以f ′(x )=-3(x -x 1)(x -x 2). 当x <x 1或x >x 2时,f ′(x )<0; 当x 1<x <x 2时,f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-1-4+3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-1+4+3a 3,+∞内单调递减,在⎝⎛⎭⎪⎫-1-4+3a 3,-1+4+3a 3内单调递增.(2)因为a >0,所以x 1<0,x 2>0,①当a ≥4时,x 2≥1.由(1)知,f (x )在[0,1]上单调递增,所以f (x )在x =0和x =1处分别取得最小值和最大值. ②当0<a <4时,x 2<1.由(1)知,f (x )在[0,x 2]上单调递增,在[x 2,1]上单调递减, 所以f (x )在x =x 2=-1+4+3a3处取得最大值.又f (0)=1,f (1)=a ,所以当0<a <1时,f (x )在x =1处取得最小值;当a =1时,f (x )在x =0和x =1处同时取得最小值; 当1<a <4时,f (x )在x =0处取得最小值. 21.B11、M3、D5[2014·安徽卷] 设实数c >0,整数p >1,n ∈N *. (1)证明:当x >-1且x ≠0时,(1+x )p >1+px ;(2)数列{a n }满足a 1>c 1p ,a n +1=p -1p a n +c p a 1-p n ,证明:a n >a n +1>c 1p. 21.证明:(1)用数学归纳法证明如下.①当p =2时,(1+x )2=1+2x +x 2>1+2x ,原不等式成立. ②假设p =k (k ≥2,k ∈N *)时,不等式(1+x )k >1+kx 成立.当p =k +1时,(1+x )k +1=(1+x )(1+x )k >(1+x )(1+kx )=1+(k +1)x +kx 2>1+(k +1)x . 所以当p =k +1时,原不等式也成立.综合①②可得,当x >-1,x ≠0时,对一切整数p >1,不等式(1+x )p >1+px 均成立. (2)方法一:先用数学归纳法证明a n >c 1p .①当n =1时,由题设知a 1>c 1p成立.②假设n =k (k ≥1,k ∈N *)时,不等式a k >c 1p成立. 由a n +1=p -1p a n +c p a 1-p n 易知a n >0,n ∈N *. 当n =k +1时,a k +1a k =p -1p +c p a -p k =1+1p ⎝⎛⎭⎫c a p k-1. 由a k >c 1p >0得-1<-1p <1p ⎝⎛⎭⎫c a p k-1<0.由(1)中的结论得⎝⎛⎭⎫a k +1a k p =⎣⎡⎦⎤1+1p ⎝⎛⎭⎫c a p k -1p>1+p · 1p ⎝⎛⎭⎫c a p k -1=c a p k . 因此a p k +1>c ,即a k +1>c 1p, 所以当n =k +1时,不等式a n >c 1p也成立.综合①②可得,对一切正整数n ,不等式a n >c 1p 均成立.再由a n +1a n =1+1p ⎝⎛⎭⎫c a p n -1可得a n +1a n <1, 即a n +1<a n .综上所述,a n >a n +1>c 1p,n ∈N *.方法二:设f (x )=p -1p x +c p x 1-p ,x ≥c 1p ,则x p ≥c ,所以f ′(x )=p -1p +c p (1-p )x -p =p -1p ⎝⎛⎭⎫1-c x p >0. 由此可得,f (x )在[c 1p ,+∞)上单调递增,因而,当x >c 1p 时,f (x )>f (c 1p )=c 1p .①当n =1时,由a 1>c 1p>0,即a p 1>c 可知 a 2=p -1p a 1+c p a 1-p 1=a 1⎣⎡⎦⎤1+1p ⎝⎛⎭⎫c a p 1-1<a 1,并且a 2=f (a 1)>c 1p ,从而可得a 1>a 2>c 1p , 故当n =1时,不等式a n >a n +1>c 1p成立.②假设n =k (k ≥1,k ∈N *)时,不等式a k >a k +1>c 1p 成立,则当n =k +1时,f (a k )>f (a k +1)>f (c 1p ),即有a k +1>a k +2>c 1p,所以当n =k +1时,原不等式也成立.综合①②可得,对一切正整数n ,不等式a n >a n +1>c 1p均成立.20.B11、B12[2014·福建卷] 已知函数f (x )=e x -ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ,曲线y =f (x )在点A 处的切线斜率为-1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值; (2)证明:当x >0时,x 2<e x ;(3)证明:对任意给定的正数c ,总存在x 0,使得当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x 2<c e x . 20.解:方法一:(1)由f (x )=e x -ax ,得f ′(x )=e x -a . 又f ′(0)=1-a =-1,得a =2. 所以f (x )=e x -2x ,f ′(x )=e x -2. 令f ′(x )=0,得x =ln 2.当x <ln 2时,f ′(x )<0,f (x )单调递减; 当x >ln 2时,f ′(x )>0,f (x )单调递增. 所以当x =ln 2时,f (x )取得极小值,且极小值为f (ln 2)=e ln 2-2ln 2=2-ln 4, f (x )无极大值.(2)证明:令g (x )=e x -x 2,则g ′(x )=e x -2x . 由(1)得,g ′(x )=f (x )≥f (ln 2)=2-ln 4>0, 故g (x )在R 上单调递增,又g (0)=1>0, 所以当x >0时,g (x )>g (0)>0,即x 2<e x .(3)证明:①若c ≥1,则e x ≤c e x .又由(2)知,当x >0时,x 2<e x . 故当x >0时,x 2<c e x .取x 0=0,当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x 2<c e x .②若0<c <1,令k =1c >1,要使不等式x 2<c e x 成立,只要e x >kx 2成立.而要使e x >kx 2成立,则只要x >ln(kx 2),只要x >2ln x +ln k 成立. 令h (x )=x -2ln x -ln k ,则h ′(x )=1-2x =x -2x.所以当x >2时,h ′(x )>0,h (x )在(2,+∞)内单调递增.取x 0=16k >16,所以h (x )在(x 0,+∞)内单调递增.又h (x 0)=16k -2ln(16k )-ln k =8(k -ln 2)+3(k -ln k )+5k , 易知k >ln k ,k >ln 2,5k >0,所以h (x 0)>0. 即存在x 0=16c,当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x 2<c e x .综上,对任意给定的正数c ,总存在x 0,当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x 2<c e x . 方法二:(1)同方法一. (2)同方法一.(3)对任意给定的正数c ,取x 0=4c ,由(2)知,当x >0时,e x>x 2,所以e x=e x 2·e x 2>⎝⎛⎭⎫x 22·⎝⎛⎭⎫x 22,当x >x 0时,e x>⎝⎛⎭⎫x 22⎝⎛⎭⎫x 22>4c ⎝⎛⎭⎫x 22=1c x 2,因此,对任意给定的正数c ,总存在x 0,当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x 2<c e x . 方法三:(1)同方法一. (2)同方法一.(3)首先证明当x ∈(0,+∞)时,恒有13x 3<e x .证明如下:令h (x )=13x 3-e x ,则h ′(x )=x 2-e x .由(2)知,当x >0时,x 2<e x ,从而h ′(x )<0,h (x )在(0,+∞)上单调递减, 所以h (x )<h (0)=-1<0,即13x 3<e x .取x 0=3c ,当x >x 0时,有1c x 2<13x 3<e x .因此,对任意给定的正数c ,总存在x 0,当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x 2<c e x .10.B11、H7[2014·广东卷] 曲线y =e -5x +2在点(0,3)处的切线方程为________. 10.y =-5x +3 [解析] 本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法.因为y ′=-5e -5x ,所以切线的斜率k =-5e 0=-5,所以切线方程是:y -3=-5(x -0),即y =-5x +3.13.B11[2014·江西卷] 若曲线y =e -x 上点P 处的切线平行于直线2x +y +1=0,则点P 的坐标是________.13.(-ln 2,2) [解析] 设点P 的坐标为(x 0,y 0),y ′=-e -x .又切线平行于直线2x +y +1=0,所以-e -x 0=-2,可得x 0=-ln 2,此时y =2,所以点P 的坐标为(-ln 2,2).18.B11、B12[2014·江西卷] 已知函数f (x )=(x 2+bx +b )1-2x (b ∈R ). (1)当b =4时,求f (x )的极值;(2)若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0,13上单调递增,求b 的取值范围. 18.解:(1)当b =4时,f ′(x )=-5x (x +2)1-2x ,由f ′(x )=0,得x =-2或x =0.所以当x ∈(-∞,-2)时,f ′(x )<0,f (x )单调递减;当x ∈(-2,0)时,f ′(x )>0,f (x )单调递增;当x ∈⎝⎛⎭⎫0,12时,f ′(x )<0,f (x )单调递减,故f (x )在x =-2处取得极小值f (-2)=0,在x =0处取得极大值f (0)=4.(2)f ′(x )=-x [5x +(3b -2)]1-2x ,易知当x ∈⎝⎛⎭⎫0,13时,-x1-2x<0, 依题意当x ∈⎝⎛⎭⎫0,13时,有5x +(3b -2)≤0,从而53+(3b -2)≤0,得b ≤19. 所以b 的取值范围为⎝⎛⎦⎤-∞,19. 7.B11[2014·全国卷] 曲线y =x e x -1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A .2eB .eC .2D .17.C [解析] 因为y ′=(x e x -1)′=e x -1+x e x -1,所以y =x e x -1在点(1,1)处的导数是y ′|x =1=e 1-1+e 1-1=2,故曲线y =x e x -1在点(1,1)处的切线斜率是2.8.B11[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线y =ax -ln(x +1)在点(0,0)处的切线方程为y =2x ,则a =( )A .0B .1C .2D .38.D [解析] y ′=a -1x +1,根据已知得,当x =0时,y ′=2,代入解得a =3.21.B11,B12,E8,M3[2014·陕西卷] 设函数f (x )=ln(1+x ),g (x )=xf ′(x ),x ≥0,其中f ′(x )是f (x )的导函数.(1)令g 1(x )=g (x ),g n +1(x )=g (g n (x )),n ∈N +,求g n (x )的表达式; (2)若f (x )≥ag (x )恒成立,求实数a 的取值范围;(3)设n ∈N +,比较g (1)+g (2)+…+g (n )与n -f (n )的大小,并加以证明.21.解:由题设得,g (x )=x1+x (x ≥0).(1)由已知,g 1(x )=x 1+x,g 2(x )=g (g 1(x ))=x 1+x 1+x 1+x =x1+2x ,g 3(x )=x 1+3x ,…,可得g n (x )=x 1+nx. 下面用数学归纳法证明.①当n =1时,g 1(x )=x 1+x ,结论成立.②假设n =k 时结论成立,即g k (x )=x1+kx.那么,当n =k +1时,g k +1(x )=g (g k (x ))=g k (x )1+g k (x )=x 1+kx 1+x 1+kx =x1+(k +1)x ,即结论成立.由①②可知,结论对n ∈N +成立.(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立,即ln(1+x )≥ax1+x恒成立. 设φ(x )=ln(1+x )-ax1+x (x ≥0),则φ′(x )=11+x -a(1+x )2=x +1-a (1+x )2, 当a ≤1时,φ′(x )≥0(仅当x =0,a =1时等号成立), ∴φ(x )在[0,+∞)上单调递增,又φ(0)=0, ∴φ(x )≥0在[0,+∞)上恒成立,∴a ≤1时,ln(1+x )≥ax1+x 恒成立(仅当x =0时等号成立).当a >1时,对x ∈(0,a -1]有φ′(x )<0, ∴φ(x )在(0,a -1]上单调递减, ∴φ(a -1)<φ(0)=0.即a >1时,存在x >0,使φ(x )<0, 故知ln(1+x )≥ax1+x不恒成立. 综上可知,a 的取值范围是(-∞,1].(3)由题设知g (1)+g (2)+…+g (n )=12+23+…+nn +1,比较结果为g (1)+g (2)+…+g (n )>n -ln(n +1).证明如下:方法一:上述不等式等价于12+13+…+1n +1<ln(n +1),在(2)中取a =1,可得ln(1+x )>x1+x,x >0.。
2014年高考数学(理)试题分项版解析:专题01-集合与常用逻辑用语(分类汇编)Word版含解析

1.【2014高考北京版理第1题】已知集合2{|20}A x x x =-=,{0,1,2}B =,则AB =( )A.{0} B .{0,1} C .{0,2} D .{0,1,2}2. 【2014高考福建卷第6题】直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点,则"1"k =是“O A B∆的面积为12”的( ) .A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件3.【2014高考湖北卷理第3题】设U 为全集,B A ,是集合,则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析:4.【2014高考安徽卷理第2题】“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.【2014高考广东卷理第1题】已知集合{}1,0,1M =-,{}0,1,2N =,则M N =( )A.{}1,0,1-B.{}1,0,1,2-C.{}1,0,2-D.{}0,16.【2014高考湖南卷第5题】已知命题.,:,:22y x y x q y x y x p ><-<->则若;命题则若在命题 ①q p q p q p q p ∨⌝⌝∧∨∧)④(③②);(;;中,真命题是( ) A ①③ B.①④ C.②③ D.②④【答案】C7.【2014高考江苏卷第1题】已知集合{}2,1,3,4A =--,{}1,2,3B =-,则A B ⋂=.【答案】{1,3}-【解析】由题意得{1,3}AB =-. 【考点】集合的运算8.【2014辽宁高考理第1题】已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥,则集合()U C AB =( )A .{|0}x x ≥B .{|1}x x ≤C .{|01}x x ≤≤D .{|01}x x <<9.【2014全国1高考理第1题】已知集合{}{}22|,032|2<≤-=≥--=x x B x x x A ,则=B A ( ) A .]1,2[-- B . )2,1[- C..]1,1[- D .)2,1[10.【2014全国2高考理第1题】设集合M={0,1,2},N={}2|320x x x -+≤,则M N ⋂=( )A. {1}B. {2}C. {0,1}D. {1,2}题目的关键。
2014年高考数学模拟试题(带答案理科)

2014年高考数学模拟试题(带答案理科)2013-2014学年度高考模拟试题数学(理)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,1.若集A={x|-1≤2x+1≤3},B={x|≤0},则A∪B=() A.{x|-1≤x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|0≤x≤2}D.{x|0≤x≤1}2.函数的零点是()A.B.和C.1D.1和3.复数与复数在复平面上的对应点分别是、,则等于()A、B、C、D、4.已知函数的定义域为,集合,若:是Q:”充分不必要条件,则实数的取值范围是()A.B.C.D.5.已知等差数列中,,记,S13=()A.78B.68C.56D.526.要得到一个奇函数,只需将的图象()A、向右平移个单位B、向右平移个单位C、向左平移个单位D、向左平移个单位7.已知x>0,y>0,若恒成立,则实数m的取值范围是() A.m≥4或m≤-2B.m≥2或m≤-4C.-2<m<4D.-4<m<28.已知双曲线的左、右焦点分别为,以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为,则此双曲线的方程为()A.B.C.D.9.设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当时,.且.则不等式的解集是()A.(-3,0)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)10.已知函数,若有四个不同的正数满足(为常数),且,,则的值为() A、10B、14C、12D、12或2011.已知定义在R上的函数对任意的都满足,当时,,若函数至少6个零点,则取值范围是()A.B.C.D.12.在平面直角坐标系xOy中,点A(5,0),对于某个正实数k,存在函数f(x)=a(a>0).使得=λ·(+)(λ为常数),这里点P、Q 的坐标分别为P(1,f(1)),Q(k,f(k)),则k的取值范围为() A.(2,+∞)B.(3,+∞)C.4,+∞)D.8,+∞)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)13.过点的直线与圆截得的弦长为,则该直线的方程为。
2014年高考数学理科模拟试卷(附答案)

2014年高考数学理科模拟试卷(附答案)2014年高考模拟数学(理)试卷第Ⅰ卷(选择题共40分)一、本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合,,那么(A)或(B)(C)或(D)2.的展开式中常数项是(A)-160(B)-20(C)20(D)1603.已知平面向量,的夹角为60°,,,则(A)2(B)(C)(D)4.设等差数列的公差≠0,.若是与的等比中项,则(A)3或-1(B)3或1(C)3(D)15.设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面.有下列四个命题:①若,,则;②若//,,则m//;③若,,,则;④若,,,则.其中正确命题的序号是(A)①③(B)①②(C)③④(D)②③6.已知函数若f(2-x2)>f(x),则实数x的取值范围是(A)(B)(C)(D)7.从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点,则点M取自阴影部分的概率为(A)(B)(C)(D)8.对于定义域和值域均为0,1]的函数f(x),定义,,…,,n=1,2,3,….满足的点x∈0,1]称为f的阶周期点.设则f的阶周期点的个数是(A)2n(B)2(2n-1)(C)2n(D)2n2第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,角α的终边与单位圆交于点A,点A的纵坐标为,则cosα=.10.双曲线的焦点在x轴上,实轴长为4,离心率为3,则该双曲线的标准方程为,渐近线方程为.11.已知圆M:x2+y2-2x-4y+1=0,则圆心M到直线(t为参数)的距离为.12.如图所示,过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C,D两点,AB 切⊙O于B,弦MN过CD的中点P.已知AC=4,AB=6,则MP·NP=.13.对某种花卉的开放花期追踪调查,调查情况如下:花期(天)11~1314~1617~1920~22个数20403010则这种卉的平均花期为天.14.将全体正奇数排成一个三角形数阵:135791113151719……按照以上排列的规律,第n行(n≥3)从左向右的第3个数为.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(本小题共13分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且b2+c2-a2=bc.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)设函数,当取最大值时,判断△ABC的形状.16.(本小题共14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.(Ⅰ)若点M是棱PC的中点,求证:PA//平面BMQ;(Ⅱ)求证:平面PQB⊥平面PAD;(Ⅲ)若二面角M-BQ-C为30°,设PM=tMC,试确定t的值.17.(本小题共13分)某商场在店庆日进行抽奖促销活动,当日在该店消费的顾客可参加抽奖.抽奖箱中有大小完全相同的4个小球,分别标有字“生”“意”“兴”“隆”.顾客从中任意取出1个球,记下上面的字后放回箱中,再从中任取1个球,重复以上操作,最多取4次,并规定若取出“隆”字球,则停止取球.获奖规则如下:依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖;不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球,为二等奖;取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖.(Ⅰ)求分别获得一、二、三等奖的概率;(Ⅱ)设摸球次数为,求的分布列和数学期望.18.(本小题共13分)已知函数,为函数的导函数.(Ⅰ)设函数f(x)的图象与x轴交点为A,曲线y=f(x)在A点处的切线方程是,求的值;(Ⅱ)若函数,求函数的单调区间.19.(本小题共14分)已知点,,动点P满足,记动点P的轨迹为W.(Ⅰ)求W的方程;(Ⅱ)直线与曲线W交于不同的两点C,D,若存在点,使得成立,求实数m的取值范围.20.(本小题共13分)已知,或1,,对于,表示U和V中相对应的元素不同的个数.(Ⅰ)令,存在m个,使得,写出m的值;(Ⅱ)令,若,求证:;(Ⅲ)令,若,求所有之和.2014年高考模拟数学(理)试卷参考答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.题号12345678答案BACCDDBC二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.10.,11.212.13.16天(15.9天给满分)14.n2-n+5注:两个空的填空题第一个空填对得3分,第二个空填对得2分.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(本小题共13分)解:(Ⅰ)在△ABC中,因为b2+c2-a2=bc,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA 可得cosA=.(余弦定理或公式必须有一个,否则扣1分)……………3分∵0∴.……………………5分(Ⅱ)………………7分,……………………9分∵∴∴(没讨论,扣1分)………10分∴当,即时,有最大值是…………………11分又∵,∴∴△ABC为等边三角形.………………13分16.(本小题共14分)证明:(Ⅰ)连接AC,交BQ于N,连接MN.……………………1分∵BC∥AD且BC=AD,即BCAQ.∴四边形BCQA为平行四边形,且N为AC中点,又∵点M是棱PC的中点,∴MN//PA……………………2分∵MN平面MQB,PA平面MQB,…………………3分∴PA//平面MBQ.……………………4分(Ⅱ)∵AD//BC,BC=AD,Q为AD的中点,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD//BQ.……………………6分∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面P AD∩平面ABCD=AD,……………………7分∴BQ⊥平面PAD.……………………8分∵BQ平面PQB,∴平面PQB⊥平面PAD.…………………9分另证:AD//BC,BC=AD,Q为AD的中点∴BC//DQ且BC=DQ,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD//BQ.∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD.…………………6分∵PA=PD,∴PQ⊥AD.……………………7分∵PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PBQ.…………………8分∵AD平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD.……………………9分(Ⅲ)∵PA=PD,Q为AD的中点,∴PQ⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD.……………10分(不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分)如图,以Q为原点建立空间直角坐标系.则平面BQC的法向量为;,,,.………11分设,则,,∵,∴,∴……………………12分在平面MBQ中,,,∴平面MBQ法向量为.……………………13分∵二面角M-BQ-C为30°,,∴.……14分17.(本小题共13分)解:(Ⅰ)设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A,B,C. (1)分则P(A)=,(列式正确,计算错误,扣1分)………3分P(B)(列式正确,计算错误,扣1分)………5分三等奖的情况有:“生,生,意,兴”;“生,意,意,兴”;“生,意,兴,兴”三种情况.P(C).…7分(Ⅱ)设摸球的次数为,则.……8分,,,.(各1分)故取球次数的分布列为1234…12分.(约为2.7)…13分18.(本小题共13分)解:(Ⅰ)∵,∴.……………………1分∵在处切线方程为,∴,……………………3分∴,.(各1分)…………………5分(Ⅱ)..………………7分①当时,,-0+极小值的单调递增区间为,单调递减区间为.………………9分②当时,令,得或……………10分(ⅰ)当,即时,-0+0-极小值极大值的单调递增区间为,单调递减区间为,;……11分(ⅱ)当,即时,,故在单调递减;……12分(ⅲ)当,即时,-0+0-极小值极大值在上单调递增,在,上单调递减………13分综上所述,当时,的单调递增区间为,单调递减区间为;当时,的单调递增区间为,单调递减区间为,当时,的单调递减区间为;当时,的单调递增区间为,单调递减区间为,.(“综上所述”要求一定要写出来)19.(本小题共14分)解:(Ⅰ)由椭圆的定义可知,动点P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为的椭圆.2分∴,,.……3分W的方程是.…………4分(另解:设坐标1分,列方程1分,得结果2分)(Ⅱ)设C,D两点坐标分别为、,C,D中点为.由得.……6分所以…………7分∴,从而.∴斜率.………9分又∵,∴,∴即…10分当时,;……11分当时,.……13分故所求的取范围是.……14分20.(本小题共13分)解:(Ⅰ);………3分(Ⅱ)证明:令,∵或1,或1;当,时,当,时,当,时,当,时,故∴………8分(Ⅲ)解:易知中共有个元素,分别记为∵的共有个,的共有个.∴==……13分∴=.法二:根据(Ⅰ)知使的共有个∴==两式相加得=(若用其他方法解题,请酌情给分)。
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数学A单元集合与常用逻辑用语A1 集合及其运算1.[2014·北京卷] 已知集合A={x|x2-2x=0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0} B.{0,1}C.{0,2} D.{0,1,2}1.C[解析] ∵A={0,2},∴A∩B={0,2}∩{0,1,2}={0,2}.15.、[2014·福建卷] 若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是________.15.6[解析] 若①正确,则②③④不正确,可得b≠1不正确,即b=1,与a=1矛盾,故①不正确;若②正确,则①③④不正确,由④不正确,得d=4;由a≠1,b≠1,c≠2,得满足条件的有序数组为a=3,b=2,c=1,d=4或a=2,b=3,c=1,d=4.若③正确,则①②④不正确,由④不正确,得d=4;由②不正确,得b=1,则满足条件的有序数组为a=3,b=1,c=2,d=4;若④正确,则①②③不正确,由②不正确,得b=1,由a≠1,c≠2,d≠4,得满足条件的有序数组为a=2,b=1,c=4,d=3或a=3,b=1,c=4,d=2或a=4,b=1,c=3,d=2;综上所述,满足条件的有序数组的个数为6.1.[2014·广东卷] 已知集合M={-1,0,1},N={0,1,2,},则M∪N=()A.{0,1} B.{-1,0,2}C.{-1,0,1,2} D.{-1,0,1}1.C[解析] 本题考查集合的运算.因为M={-1,0,1},N={0,1,2},所以M∪N ={-1,0,1,2}.3.[2014·湖北卷] U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件[来源:学。
科。
网]D.既不充分也不必要条件3.C[解析] 若存在集合C使得A⊆C,B⊆∁U C,则可以推出A∩B=∅;若A∩B=∅,由维思图可知,一定存在C=A,满足A⊆C,B⊆∁U C,故“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的充要条件.故选C.1.[2014·辽宁卷] 已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=() A.{x|x≥0} B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1}1.D[解析] 由题意可知,A∪B={x|x≤0或x≥1},所以∁U(A∪B)={x|0<x<1}.2.、[2014·全国卷] 设集合M={x|x2-3x-4<0},N={x|0≤x≤5},则M∩N=() A.(0,4] B.[0,4) [来源:学科网]C.[-1,0) D.(-1,0]2.B[解析] 因为M={x|x2-3x-4<0}={x|-1<x<4},N={x|0≤x≤5},所以M∩N ={x|-1<x<4}∩{0≤x≤5}={x|0≤x<4}.1.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B =()A.[-2,-1] B.[-1,2)B.[-1,1] D.[1,2)1.A[解析] 集合A=(-∞,-1]∪[3,+∞),所以A∩B=[-2,-1].1.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则M∩N=() A.{1} B.{2} C.{0,1} D.{1,2}1.D[解析] 集合N=[1,2],故M∩N={1,2}.2.,[2014·山东卷] 设集合A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B=() A.[0,2] B.(1,3) C.[1,3) D.(1,4)2.C[解析] 根据已知得,集合A={x|-1<x<3},B={y|1≤y≤4},所以A∩B={x|1≤x <3}.故选C.1.[2014·陕西卷] 设集合M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则M∩N=()A.[0,1] B.[0,1) C.(0,1] D.(0,1)1.B[解析] 由M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R}={x|-1<x<1,x∈R},得M∩N =[0,1).1.[2014·四川卷] 已知集合A={x|x2-x-2≤0},集合B为整数集,则A∩B=() A.{-1,0,1,2} B.{-2,-1,0,1}C.{0,1} D.{-1,0}1.A[解析] 由题意可知,集合A={x|-1≤x≤2},其中的整数有-1,0,1,2,故A∩B ={-1,0,1,2},故选A.19.、、[2014·天津卷] 已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n-1,x i∈M,i=1,2,…,n}.(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A.(2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n-1,t=b1+b2q+…+b n q n-1,其中a i,b i∈M,i=1,2,…,n.证明:若a n<b n,则s<t.19.解:(1)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,x i∈M,i=1,2,3},可得A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明:由s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n-1,t=b1+b2q+…+b n q n-1,a i,b i∈M,i =1,2,…,n及a n<b n,可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(a n-1-b n-1)q n-2+(a n-b n)q n-1≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)q n-2-q n-1=(q -1)(1-q n -1)1-q -q n -1[来源:Z&xx&] =-1<0,所以s <t .1.[2014·浙江卷] 设全集U ={x ∈N |x ≥2},集合A ={x ∈N |x 2≥5},则∁U A =( )A .∅B .{2}C .{5}D .{2,5}1.B [解析] ∁U A ={x ∈N |2≤x <5}={2},故选B.11.[2014·重庆卷] 设全集U ={n ∈N |1≤n ≤10},A ={1,2,3,5,8},B ={1,3,5,7,9},则(∁U A )∩B =________.11.{7,9} [解析] 由题知∁U A ={4,6,7,9,10},∴(∁U A )∩B ={7,9}.A2 命题及其关系、充分条件、必要条件2.[2014·安徽卷] “x <0”是“ln(x +1)<0”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件2.B [解析] ln(x +1)<0⇔0<1+x <1⇔-1<x <0,而(-1,0)是(-∞,0)的真子集,所“x <0”是“ln(x +1)<0”的必要不充分条件.5.[2014·北京卷] 设{a n }是公比为q 的等比数列,则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件 [来源:学§科§网]D .既不充分也不必要条件5.D [解析] 当a 1<0,q >1时,数列{a n }递减;当a 1<0,数列{a n }递增时,0<q <1.故选D.6.、[2014·福建卷] 直线l :y =kx +1与圆O :x 2+y 2=1相交于A ,B 两点,则“k =1”是“△OAB 的面积为12”的( ) A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件[来源:]6.A [解析] 由直线l 与圆O 相交,得圆心O 到直线l 的距离d =1k 2+1<1,解得k ≠0. 当k =1时,d =12,|AB |=2r 2-d 2=2,则△OAB 的面积为12×2×12=12; 当k =-1时,同理可得△OAB 的面积为12,则“k =1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件.3.[2014·湖北卷] U 为全集,A ,B 是集合,则“存在集合C 使得A ⊆C ,B ⊆∁U C ”是“A ∩B =∅”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件[来源:学科网ZXXK]C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.C [解析] 若存在集合C 使得A ⊆C ,B ⊆∁U C ,则可以推出A ∩B =∅;若A ∩B =∅,由维思图可知,一定存在C =A ,满足A ⊆C ,B ⊆∁U C ,故“存在集合C 使得A ⊆C ,B ⊆∁U C ”是“A ∩B =∅”的充要条件.故选C.[来源:学科网]8.[2014·陕西卷] 原命题为“若z 1,z 2互为共轭复数,则|z 1|=|z 2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )A .真,假,真B .假,假,真C .真,真,假D .假,假,假8.B [解析] 设z 1=a +b i ,z 2=a -b i ,且a ,b ∈R ,则|z 1|=|z 2|=a 2+b 2,故原命题为真,所以其否命题为假,逆否命题为真.当z 1=2+i ,z 2=-2+i 时,满足|z 1|=|z 2|,此时z 1,z 2不是共轭复数,故原命题的逆命题为假.7.[2014·天津卷] 设a ,b ∈R ,则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件7.C [解析] 当ab ≥0时,可得a >b 与a |a |>b |b |等价.当ab <0时,可得a >b 时a |a |>0>b |b |;反之,由a |a |>b |b |知a >0>b ,即a >b .[来源:学科网]2.、[2014·浙江卷] 已知i 是虚数单位,a ,b ∈R ,得“a =b =1”是“(a +b i)2=2i ”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件2.A [解析] 由a ,b ∈R ,(a +b i)2=a 2-b 2+2ab i =2i, 得⎩⎪⎨⎪⎧a 2-b 2=0,2ab =2,所以⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =1或⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =-1.故选A. 6.[2014·重庆卷] 已知命题p :对任意x ∈R ,总有2x >0,q :“x >1”是“x >2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( )A .p ∧qB .綈p ∧綈qC .綈p ∧qD .p ∧綈q6.D [解析] 根据指数函数的图像可知p 为真命题.由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件,所以q 为假命题,所以綈q 为真命题,所以p ∧綈q 为真命题.A3 基本逻辑联结词及量词5.[2014·湖南卷] 已知命题p :若x >y ,则-x <-y ,命题q :若x >y ,则x 2>y 2.在命题①p ∧q ;②p ∨q ;③p ∧(綈q );④(綈p )∨q 中,真命题是( )A .①③B .①④C .②③D .②④5.C [解析] 依题意可知,命题p 为真命题,命题q 为假命题.由真值表可知p ∧q 为假,p ∨q 为真,p ∧(綈q )为真,(綈p )∨q 为假.5.、[2014·辽宁卷] 设a ,b ,c 是非零向量,已知命题p :若a ·b =0,b ·c =0,则a ·c =0,命题q :若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ,则下列命题中真命题是( )A .p ∨qB .p ∧qC .(綈p )∧(綈q )D .p ∨(綈q )5.A [解析] 由向量数量积的几何意义可知,命题p 为假命题;命题q 中,当b ≠0时,a ,c 一定共线,故命题q 是真命题.故p ∨q 为真命题.9.、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≥1,x -2y ≤4的解集记为D ,有下面四个命题: p 1:∀(x ,y )∈D ,x +2y ≥-2,p 2:∃(x ,y )∈D ,x +2y ≥2,p 3:∀(x ,y )∈D ,x +2y ≤3,p 4:∃(x ,y )∈D ,x +2y ≤-1.其中的真命题是( )A .p 2,p 3B .p 1,p 2[来源:学科网ZXXK]C .p 1,p 4D .p 1,p 39.B [解析] 不等式组表示的区域D 如图中的阴影部分所示,设目标函数z =x +2y ,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A (2,-1)处取得最小值,且z min =2-2=0,即x +2y 的取值范围是[0,+∞),故命题p 1,p 2为真,命题p 3,p 4为假.A4 单元综合2.[2014·福州期末] 已知全集U =R ,集合A ={1,2,3,4,5},B =[3,+∞),则图X11中阴影部分所表示的集合为(A .{0,1,2}B .{0,1}C .{1,2}D .{1}2.C [解析] 由题意,阴影部分表示A ∩(∁U B ).因为∁U B ={x |x <3},所以A ∩(∁U B )={1,2}.4.[2014·湖南十三校一联] 下列说法正确的是( )A .命题“若x 2=1,则x =1”的否命题为“若x 2=1,则x ≠1”B .命题“∃x 0∈R ,x 20+x 0-1<0”的否定是“∀x ∈R ,x 2+x -1>0”C .命题“若x =y ,则sin x =sin y ”的逆否命题为假命题D .若“p 或q ”为真命题,则p ,q 中至少有一个为真命题4.D [解析] A 中否命题应为“若x 2≠1,则x ≠1”;B 中否定应为“∀x ∈R ,x 2+x -1≥0”;C 中原命题为真命题,故逆否命题为真命题;易知D 正确.6.[2014·郑州质检] 已知集合A ={x |x >2},B ={x |x <2m },且A ⊆(∁R B ),则m 的值可以是( )A .1B .2C .3D .46.A [解析] 易知∁R B ={x |x ≥2m },要使A ⊆(∁R B ),则2m ≤2,∴m ≤1,故选A.9.[2014·湖北八市联考] 已知集合M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ,y )⎪⎪⎪y -3x -2=3,N ={(x ,y )|ax +2y +a =0},且M ∩N =∅,则a =( )A .-6或-2B .-6C .2或-6D .-29.A [解析] 易知集合M 中的元素表示的是过(2,3)点且斜率为3的直线上除(2,3)点外的所有点.要使M ∩N =∅,则N 中的元素表示的是斜率为3且不过(2,3)点的直线,或过(2,3)点且斜率不为3的直线,∴-a 2=3或2a +6+a =0,∴a =-6或a =-2. 11.[2014·吉林实验中学模拟] 已知集合A ={1,2a },B ={a ,b }.若A ∩B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫12,则A ∪B =____________.11.{-1,12,1} [解析] ∵A ∩B =12,∴2a =12,∴a =-1,∴b =12,∴A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫1,12,B =-1,12,∴A ∪B ={-1,12,1}. 12.[2014·杭州一模] “λ<0”是“数列{a n }(a n =n 2-2λn ,n ∈N *)为递增数列”的____________条件.12.充分不必要 [解析] ∵{a n }为递增数列⇔a n +1>a n ⇔2n +1-2λ>0⇔2n +1>2λ⇔3>2λ⇔λ<32,∴“λ<0”是“数列{a n }(a n =n 2-2λn ,n ∈N *)为递增数列”的充分不必要条件.。