函数的单调性重难点突破案例
《函数的单调性》教学案例
《函数的单调性》教学案例清河中学刘金焕教学目标认识目标：掌握函数单调性的概念；会判断一些简单函数的单调性。
能力目标：培养学生观察问题、发现问题、提出问题、探究和解决问题的能力以及分析、归纳和总结能力；培养学生运动变化和数形结合的数学思想。
情感目标：营造亲切、活跃的课堂气氛，实施多元化评价，激励学生，使学生尝试成功，点燃学生的学习热情，培养学生理论联系实际的辩证唯物主义思想。
教学重点、难点重点：函数单调性概念和函数单调性的判断。
难点：判断函数的单调性。
课时安排：一课时。
教学过程设计一、创设问题情境提出问题：学校准备建造一个长方形的花坛，面积设计为16平方米。
由于周围环境的限制，其中一边的长度长不能超过10米，短不能少于4米，求花坛半周长的最小值和最大值。
提出问题后，让学生思考、讨论下列问题：如何把实际问题归结为数学问题？经过思考、讨论，估计学生可以把问题归结为：设受限制一边长为 x米，4≤x≤10，则另一边为16/x米，求半周长y＝x＋16/x（4≤x≤10）的最小值和最大值。
如何求最小值和最大值？经过思考、讨论，最后大家一致认为利用y＝x＋16/x（4≤x≤10）的图像可以得出结论。
多媒体：利用Flash演示y＝x＋16/x（4≤x≤10）的图像,如图1所示。
设计说明：利用Flash给出函数的图像，从函数图像可以直观地得出结论，但是缺乏理论依据。
指出缺乏理论依据的结论是站不住脚的，所以问题转化为寻找其理论依据，从而引入课题。
这样可以培养学生严谨的治学态度。
二、学生活动，建构数学1.几何画板演示，点明课题。
多媒体：利用几何画板演示y＝x＋16/x（4≤x≤10）的动态的变化过程。
用鼠标从左向右缓慢拖动y＝x＋16/x（4≤x≤10）上的A点，引导学生观察A点的纵坐标的变化情况（随着自变量x的增大，函数值y也在增大），如图2所示。
2.请学生根据自己的理解给出增函数定义。
一般地，设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I A ，如果对于 区间．．I ．内的 任意两个值．．．．．x ．1．和．x ．2．，当x 1＜x 2时，都有．． f （x 1）＜f (x 2)那么就说函数f(x)在这个区间I 上是单调增函数 区间I 称为函数f(x)的单调增区间如果对于 区间．．I ．内的 任意两个值．．．．．x ．1．和．x ．2．，当x 1＜x 2时，都有．． f （x 1）﹤f (x 2)那么就说函数f(x)在这个区间I 上是单调减函数 区间I 称为函数f(x)的单调减区间三、运用数学：先,通过两个例题加深对单调性的理解和认识.例1 画出下列函数图象，并写出函数的单调区间：（1）y=-x 2+2 (2)y=x1例1引申：函y=1/x 在整个定义域上是否为单调函数？学生活动得出结论：函数在某个区间上是单调函数，并不能说明函数在整个定义域上也是单调的．巩固练习：课本32页练习第1、2题例2 证明函数f(x)＝3x ＋2在区间(－∞，＋∞)上是增函数。
函数单调性的教学案例
函数单调性的教学案例【学生】中专一某班.【教学环境】电脑教室，每生一台机，教师机可以控制学生机，例如观察某一台学生机学生的操作，让某一学生机学生观看教师机的操作，让所有学生观看教师机的操作，等等。
【理论指导】建构主义学习理论强调的是学生的认知主体作用，也就是认为学生是信息加工的主体，是意义的主动建构者，教师扮演组织者、指导者、帮助者和促进者的角色。
数学课堂生态化研究，强调的是一种动态的、生长的、可持续发展的课堂教学氛围，而不是以牺牲学生个性为代价追求效率的做法。
数学课堂生态化研究，注重在教学过程中，教师、学生、内容和环境各个要素内部以及各个要素之间的相互沟通。
多媒体信息具有直观性强的特点，对学生形成多感官刺激，能引起学生的强烈兴趣和注意。
利用多媒体的交互性，学生获得了对信息的完全控制，能激发学生的求知欲、创造欲。
所以，以学生为中心、教师为主导的多媒体辅助教学往往能营造出一个让学生发现问题、讨论问题的全新的学习环境。
【构想及教学目的】在建构主义学习理论及生态学理论的指导下，我们的课堂教学应该为学生创造一个全新的学习环境，指导学生自主学习，让学生更注重知识的发生过程，为学生营造出一个在体验中发现、在发现中讨论、在讨论中解决的学习环境。
为了深入学习函数单调性，我利用电脑辅助，创设问题情境，激发学习兴趣，让学生在充实背景下分析问题，思考问题，从而发现规律，抓住问题的本质。
本节课的教学目的是：(1)要求学生掌握函数单调性的定义，并激发学生思考函数单调性的判断方法。
(2)渗透数形结合思想，了解数形结合方法。
【教学过程】创设情境引入新课师：上节课，我们学习了函数的三种表示法，分别为：（师语音拉长，师生一块儿回答）生：列表法、公式法、图像法。
师：它们的区别是什么？生：列表法就是用表格来表示函数的方法；公式法是用函数解析式来表示函数的方法；图像法是使用平面直角坐标系里的图形来表示函数的方法。
师：这三者之间又有密切的联系，它们之间可以相互转化。
函数的单调性——教学案例
创设意图：这道例题是用函数的单调性的定义来证明此函数在指定区间上
的单调性，诠译了从一般到特殊的数学思想，使学生认识到自变量不可能穷举， 要学会用图形语言和文字语言进行辨析。
（三）强化训练，巩固新知 判断下列说法是否正确 1、 函数 y=f(x)是 (0,2)上的单调增函数， 则此函数的单调增区间为(0,2)； 2、定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-1)<（2） ，则函数 f(x)是 R 上的单调 增函数。 （四）归纳小结 教师引导学生总结： 1、在区间 I 内 单调增函数 单调减函数
3.了解单调函数。 （二）能力目标： 1.培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力； 2.培养学生数形结合的思想。 情感态度与价值观： 通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维 习惯，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程． 教学重点和难点 重点：函数单调性定义； 难点：利用函数单调性定义讨论（证明）函数单调性。 教学流程示意 1、情景设置，形成概念 2、例题讲解，深化概念 3、强化训练，巩固新知 4、归纳小结 5、课堂练习 6、布置作业 教学过程 教学环节 教师活动 预设学生行为 设计意图
《1.3.1 函数的单调性》教学案例
案例名称：《1.3.1 函数的单调性》 所属课程：《普通高中课程标准实验教科书・数学（1）》 （人教 A 版）第一章第三节第一课 所属专业：高一数学 授课课时：1 课时 设计人：张玉洁 工作单位：河北省廊坊市大厂回民中学
《1.3.1 函数的单调性》教学案例
教材内容分析 本节课《函数的单调性》是《高中数学必修 1》第一章第三节的内容，函 数单调性的实质是对函数运动趋势的研究，它既是函数基本特征之一，又为后 面基本初等函数的研究提供了一般方法，为研究不等关系提供了重要依据。研 究函数单调性是从观察具体图象特征入手，定量分析数值关系，最终抽象出形 式化定义的基本研究方法入手， 体现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法， 反映了从特殊到一般的数学归纳思维方式，这对培养学生以图识数、发展学生 的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。 学生情况分析 本节内容学生在初中已有了较为粗略的认识，即主要根据观察图像得出结 论。本节课中函数增减性的定义，是运用数学符号将自然语言的描述提升到形 式化的定义，学生接受起来可能比较困难。在引入定义时，要始终结合具体函 数的图像来进行，以增强直观性，采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维 方法，便于学生理解．对于定义，要注意对区间上所取两点 x1，x2 的“任意性” 的理解，多给学生操作与思考的时间和空间． 教学目标 (一) 知识目标 1.理解函数单调性的概念，并根据函数图像指出单调性，找出单调区间； 2.掌握函数单调性定义，能用定义讨论（证明）简单函数的单调性；
突破10 函数的单调性与最值(重难点突破)(解析版)
突破10 函数的单调性与最值重难点突破一、考情分析二、经验分享【知识点一、函数的单调性】 1．函数单调性的定义一般地，设函数f （x ）的定义域为I ：①如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有___________，那么就说函数f （x ）在区间D 上是增函数；②如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有___________，那么就说函数f （x ）在区间D 上是减函数． 名师解读：对函数单调性的理解：（1）定义中的x 1，x 2有三个特征：①任意性，即不能用特殊值代替；②属于同一个区间；③有大小，一般令x 1<x 2．（2）增、减函数的定义实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化：若()f x 是增函数，则()()1212f x f x x x ⇔<<；若()f x 是减函数，则()()1212f x f x x x ⇔<>．2．函数的单调区间如果函数y =f （x ）在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y =f （x ）在这一区间具有（严格的）___________，区间D 叫做y =f （x ）的___________． 名师解读：对函数单调区间的理解（1）一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接．（2）函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集．（3）函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性． （4）并非所有的函数都具有单调性．如函数()1,0,x x f x ⎧=⎨⎩是有理数是无理数就不具有单调性．名师解读：常见函数的单调性【知识点二、函数的最大值与最小值】 1．最大值一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有___________；（2）存在0x I ∈，使得___________． 那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值．函数的最大值对应图象最高点的纵坐标． 2．最小值一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有___________；（2）存在0x I ∈，使得___________． 那么，我们称m 是函数()y f x =的最小值．函数的最小值对应图象最低点的纵坐标． 名师解读：函数的最值与单调性的关系如果函数()y f x =在区间(],a b 上是增函数，在区间[),b c 上是减函数，则函数()y f x =，,()x a c ∈在x b =处有最大值()f b ．如果函数()y f x =在区间(],a b 上是减函数，在区间[),b c 上是增函数，则函数()y f x =，,()x a c ∈在x b =处有最小值()f b ．如果函数()y f x =在区间[],a b 上是增（减）函数，则在区间[],a b 的左、右端点处分别取得最小（大）值和最大（小）值．三、题型分析(一) 证明或判断函数的单调性 例1、证明：函数21()f x x x=-在区间（0，＋∞）上是增函数． 【答案】证明详见解析．【变式训练1】．用单调性定义证明：函数在（﹣∞，1）上为增函数．【思路分析】利用单调性的定义进行证明，设x 1＜x 2＜1，再作差、变形、判断符号，证f （x 2）＞f （x 1），把x 1和x 2分别代入函数f （x ）进行证明．【答案】解：设x 1＜x 2＜1， 则f （x 1）﹣f （x 2）∵x 1＜x 2＜1，∴x 2﹣x 1＞0，x 1+x 2＜2，x 1+x 2﹣2＜0 ∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2），∴函数f （x ）在（﹣∞，1）上是增函数．【变式训练2】．用定义法证明函数f （x ）在（，+∞）上是增函数；【思路分析】利用函数单调性的定义即可证明函数f （x ）在（，+∞）上是增函数；【答案】解：f （x ）1任意设x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）（）[]＝（），∵x 1＜x 2，∴x 1﹣x 2＜0，x 1，x 20，∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）， ∴函数f （x ）在（，+∞）上是增函数；【名师点睛】函数单调性判断的等价变形：()f x 是增函数⇔对任意12x x <，都有12()()f x f x <，或1212()()0f x f x x x ->-，或1212(()())()0f x f x x x -->；()f x 是减函数⇔对任意12x x <，都有12()()f x f x >，或1212()()0f x f x x x -<-，或1212(()())()0f x f x x x --<．(二) 函数单调性的应用例2、若函数()223()1f x ax a x a -+=-在[1，＋∞）上是增函数，求实数a 的取值范围．【答案】0≤a ≤1【变式训练1】．已知函数f （x ）的定义域为R ，且对任意的x 1，x 2且x 1≠x 2都有[f （x 1）﹣f （x 2）]（x 1﹣x 2）＞0成立，若f （x 2+1）＞f （m 2﹣m ﹣1）对x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，2）B ．[﹣1，2]C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）【思路分析】本题可根据题干判断出函数f（x）在定义域R上为增函数，然后根据f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立，得出x2+1＞m2﹣m﹣1，则m2﹣m﹣1＜1，可得实数m的取值范围．【答案】解：由题意，可知：∵对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，∴函数f（x）在定义域R上为增函数．又∵f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立，∴x2+1＞m2﹣m﹣1，∴m2﹣m﹣1＜1，即：m2﹣m﹣2＜0．解得﹣1＜m＜2．故选：A．【变式训练2】．若函数f（x）是R上的减函数，则下列各式成立的是（）A．f（a）＞f（2a）B．f（a2）＜f（a）C．f（a2+2）＜f（2a）D．f（a2+1）＞f（a）【思路分析】由a和2a，a2和a无法确定大小关系，结合函数的单调性判断出A、B错误；由a2+2﹣2a平方后判断出a2+2＞2a，结合函数的单调性判断出C正确；与判断C一样的方法判断出D错误．【答案】解：因为a和2a，a2和a无法确定大小关系，所以不能确定相应函数值的大小关系，故A、B错误；因为a2+2﹣2a＝（a﹣1）2+1＞0，所以a2+2＞2a，又因函数f（x）是R上的减函数，所以f（a2+2）＜f（2a），故C正确；因为a2+1﹣a0，所以a2+1＞a，又因函数f（x）是R上的减函数，所以f（a2+1）＜f（a），故D错误．故选：C．【变式训练3】．设f（x）＝|x﹣a|a，x∈[1，6]，若a∈（1，2]，求f（x）的单调区间；【思路分析】运用绝对值的定义，将f（x）转化，讨论a∈（1，2]，函数f（x）在[1，a]上，在[a，6]上的单调性即可得到；【答案】解：首先f （x ），因为当1＜a ≤2时，f （x ）在[1，a ]上是增函数，在[a ，6]上也是增函数． 所以当1＜a ≤2时，y ＝f （x ）在[1，6]上是增函数；【名师点睛】本题中()223()1f x ax a x a -+=-不一定是二次函数，所以要对a 进行讨论．另外，需熟练掌握一次函数、反比例函数和二次函数的单调性，并能灵活应用． (三) 求函数的最大值与最小值例3、已知函数()223f x x x =--，若x ∈[t ，t ＋2]，求函数f （x ）的最值．【答案】答案详见解析．【解析】易知函数()223f x x x =--的图象的对称轴为直线x ＝1，（1）当1≥t ＋2，即t ≤－1时，f （x ）max ＝f （t ）＝t 2－2t －3，f （x ）min ＝f （t ＋2）＝t 2＋2t －3．（2）当22t t ++≤1<t ＋2，即－1<t ≤0时，f （x ）max ＝f （t ）＝t 2－2t －3，f （x ）min ＝f （1）＝－4． （3）当t ≤1<22t t ++，即0<t ≤1时，f （x ）max ＝f （t ＋2）＝t 2＋2t －3，f （x ）min ＝f （1）＝－4．（4）当1<t ，即t >1时，f （x ）max ＝f （t ＋2）＝t 2＋2t －3，f （x ）min ＝f （t ）＝t 2－2t －3．设函数f （x ）的最大值为g （t ），最小值为φ（t ），则有2223,0()23,0t t t g t t t t ⎧--≤⎪=⎨+->⎪⎩ ，2223,1()4,1123,1t t t t t t t t ϕ⎧+-≤-⎪=--<≤⎨⎪-->⎩． 【变式训练1】．对a ，b ∈R ，记max {a ，b }，函数f （x ）＝max {|x +1|，|x ﹣2|}（x ∈R ）的最小值是（ ） A ．0B ．C ．D ．3【思路分析】根据题中所给条件通过比较|x +1|、|x ﹣2|哪一个更大先求出f （x ）的解析式，再求出f （x ）的最小值．【答案】解：当x ＜﹣1时，|x +1|＝﹣x ﹣1，|x ﹣2|＝2﹣x ，因为（﹣x ﹣1）﹣（2﹣x ）＝﹣3＜0，所以2﹣x ＞﹣x ﹣1； 当﹣1≤x 时，|x +1|＝x +1，|x ﹣2|＝2﹣x ，因为（x +1）﹣（2﹣x ）＝2x ﹣1＜0，x +1＜2﹣x ；当x ＜2时，x +1＞2﹣x ；当x≥2时，|x+1|＝x+1，|x﹣2|＝x﹣2，显然x+1＞x﹣2；故f（x）据此求得最小值为．故选：C．【变式训练2】．已知函数f（x），x∈[1，+∞），（1）当a时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．【思路分析】（1）a时，函数为，f在[1，+∞）上为增函数，故可求得函数f（x）的最小值（2）问题等价于f（x）＝x2+2x+a＞0，在[1，+∞）上恒成立，利用分类参数法，通过求函数的最值，从而可确定a的取值范围【答案】解：（1）因为，f（x）在[1，+∞）上为增函数，所以f（x）在[1，+∞）上的最小值为f（1）．…（6分）（2）问题等价于f（x）＝x2+2x+a＞0，在[1，+∞）上恒成立．即a＞﹣（x+1）2+1在[1，+∞）上恒成立．令g（x）＝﹣（x+1）2+1，则g（x）在[1，+∞）上递减，当x＝1时，g（x）max＝﹣3，所以a＞﹣3，即实数a的取值范围是（﹣3，+∞）．…（6分）【名师点睛】求二次函数的最大（小）值有两种类型：一是函数定义域为实数集R，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大（小）值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大（小）值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置（在区间上，在区间左侧，还是在区间右侧）来决定，若含有参数，则要根据对称轴与x轴的交点与区间的位置关系对参数进行分类讨论，解题时要注意数形结合．四、迁移应用1．集合{x|x≥2}表示成区间是A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（–∞，2）D．（–∞，2]【答案】B【解析】集合{x|x≥2}表示成区间是[2，+∞），故选B．2．集合{x|x>0且x≠2}用区间表示出来A．（0，2）B．（0，+∞）C．（0，2）∪（2，+∞）D．（2，+∞）【答案】C【解析】集合{x|x>0且x≠2}用区间表示为：（0，2）∪（2，+∞）．故选C．3．函数f（x）=（x–1）2的单调递增区间是A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（–∞，0] D．（–∞，1]4．已知函数f（x）=–1+11x（x≠1），则f（x）A．在（–1，+∞）上是增函数B．在（1，+∞）上是增函数C．在（–1，+∞）上是减函数D．在（1，+∞）上是减函数5．函数y=f（x），x∈[–4，4]的图象如图所示，则函数f（x）的所有单调递减区间为A．[–4，–2] B．[1，4]C．[–4，–2]和[1，4] D．[–4，–2]∪[1，4]【答案】C【解析】由如图可得，f（x）在[–4，–2]递减，在[–2，1]递增，在[1，4]递减，可得f（x）的减区间为[–4，–2]，[1，4]．故选C ．6．函数g （x ）=|x |的单调递增区间是A ．[0，+∞）B ．（–∞，0]C ．（–∞，–2]D ．[–2，+∞）【答案】A【解析】x ≥0，时，g （x ）=x ，x <0时，g （x ）=–x ，故函数在[0，+∞）递增，故选A ．7．已知f （x ）是定义在[0，+∞）上单调递增的函数，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 取值范围是A ．1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．23⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，C ．1223⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．23⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【答案】C【解析】∵f （x ）是定义在[0，+∞）上单调递增的函数，∴不等式()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭等价为0≤2x –1<13，即12≤x <23，即不等式的解集为1223⎡⎫⎪⎢⎣⎭，，故选C ． 8．函数f （x ）=–|x –2|的单调递减区间为A ．（–∞，2]B ．[2，+∞）C ．[0，2]D ．[0，+∞）【答案】B【解析】∵y =|x –2|=2222x x x x -≥⎧⎨-+<⎩，，，∴函数y =|x –2|的单调递减区间是（–∞，2]，∴f （x ）=–|x –2|的单调递减区间是[2，+∞），故选B ． 9．函数f （x ）=x +2x（x >0）的单调减区间是A ．（2，+∞）B ．（0，2）C +∞）D ．（0）【答案】D【解析】函数f （x ）=x +2x （x >0），根据对勾函数图象及性质可知，函数f （x ）=x +2x（x >0），+∞）单调递增，函数f （x ）在（0）单调递减．故选D ． 10．函数f （x ）=x +bx（b >0）的单调减区间为A ．（）B ．（–∞，，+∞）C ．（–∞，）D ．（，0），（0）【答案】D【解析】函数f （x ）=x +b x （b >0），的导数为f ′（x ）=1–2bx，由f ′（x ）<0，即为x 2<b ，解得<x <0或0<x ，则f （x ）的单调减区间为（，0），（0）．故选D ． 11．函数f （x ）=x +3|x –1|的单调递增区间是A ．（–∞，+∞）B ．（1，+∞）C ．（–∞，1）D ．（0，+∞）【答案】B【解析】函数f （x ）=x +3|x –1|，当x ≥1时，f （x ）=x +3x –3=4x –3，可得f （x ）在（1，+∞）递增；当x <1时，f （x ）=x +3–3x =3–2x ，可得f （x ）在（–∞，1）递减．故选B ．。
《函数的单调性》教学重难点分析
《函数的单调性》教学重难点
教学重难点：
重点：函数单调性的概念、判断及证明.
难点：归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性.
依据：
函数的单调性是函数的重要特性之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性地联系在一起．在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．这节内容的重点是理解函数单调性的概念以及利用函数的单调性的概念证明函数的单调性，难点是理解函数单调性的概念。
这节内容学生在初中已有了较为粗略的认识，即主要根据观察图像得出结论．这节函数增减性的定义，是运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，学生接受起来可能比较困难．在引入定义时，要始终结合具体函数的图像来进行，以增强直观性，采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，便于学生理解．对于定义，要注意对区间上所取两点的“任意性”的理解，多给学生操作与思考的时间和空间。
函数的单调性判断教学案例分析(精品、经典)
函数的单调性判断教学案例分析一、教学内容分析本节课所要讲述的内容为函数的单调性判断，这一章节的内容主要选自人教版数学教材必修一第一章节第三节中的第一课时，在这一节课程的讲解内容中，主要的可以分为两部分，分别为定义法证明函数单调性与根据图像判断函数单调性。
在这三部分教学内容中，都是对于函数单调性的研究，其中包含着重要的数形结合、由简到难的数学思想，有效地培养了学生的思想与能力。
这部分内容的学习，对于学生在之后函数的相关学习中，起到了重要的作用。
二、学生学情分析在学生进行这部分内容的学习时，学生在初中就已经完成了对于一次函数与二次函数的学习，并且在必修一之前课程的学习中，学生已经成功建立了函数与集合之间的相互联系，并学会运用集合的思想去思考函数问题。
并且在之前的学习中，教师帮助学生已经初步了解了增减函数之间的概念与特点，同时通过对于函数图像的分析已经大致了解如何简单判断函数的增减性，但是对于计算的过程并不熟练，对于其中所蕴含的数学思想与数学行为并不熟练，因此还需要教师多加引导，运用适当的习题帮助其稳固。
三、设计思想在进行课程分析时，教师首先明确这一课程在高中教学的影响地位，并思考学生在课堂学习中，可能会遇到的各种思维困难，以及在进行课程讲解过程中，如何有效的培养学生能力与思想。
在进行教学设计时，也需要思考更新颖的教学方式，帮助学生进行案例分析，使学生建立知识与问题之间的联系。
四、教学目标第一，掌握定义法进行函数单调性求解，并运用数学语言表达出来。
第二，掌握图像法对函数单调性的求解，并建立起图像与函数之间的联系。
第三，引导学生进行自主学习，主动进行体会数学知识的形成过程，体会数学知识由一般到特殊再到一般的整个过程，让学生有学习的兴趣。
五、教学重难点教学重点：可以简单运用定义法与图像法判断函数的单调性。
教学难点：如何让学生可以自主的进行知识的探讨，并可以深刻的理解定义法与图像法。
六、过程设计（一）课堂引入教师：展示生活中所存在的一些具有增减特点的图像，如股票的增长图、公司日营业额图等等，让学生根据之前所了解并学习的增减函数定义，重新进行知识点的复习与学习。
函数单调性重难点突破
函数单调性重难点突破
函数的单调性重难点突破案例
1、给出函数值的变化趋势
突破建议：
画出下列函数的图象，根据图象思考当⾃变量x的值增⼤时,函数值是如何变化的？（利⽤好⼯具，做⼀个动图，让学⽣更直观的看出，函数值随⾃变量的变化趋势）
问题1
通过上⾯的观察，如何⽤图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势？
师⽣活动：⼩组讨论，给出结果，培养学⽣的团队合作意识。
问题2
如何⽤数学符号描述这种上升或下降的趋势？
师⽣活动：教师点拨，学⽣尝试归纳，培养学⽣⽤数学语⾔概括问题的能⼒。
2、函数单调性的证明：例题讲解，学以致⽤
例1主要是对函数单调区间的巩固运⽤，通过观察函数定义在（—
5，5）的图像来找出函数的单调区间。
这⼀例题主要以学⽣个别回
答为主，学⽣回答之后通过互评来纠正答案，检查学⽣对函数单调
区间的掌握。
强调单调区间⼀般写成半开半闭的形式
例题讲解之后可让学⽣⾃⾏完成课后练习4，以学⽣集体回答的⽅
式检验学⽣的学习效果。
例2是将函数单调性运⽤到其他领域，通过函数单调性来证明物理
学的波意尔定理。
这是历年⾼考的热点跟难点问题，这⼀例题要采
⽤教师板演的⽅式，来对例题进⾏证明，以规范总结证明步骤。
⼀设⼆差三化简四⽐较，注意要把f(x1)-f(x2)化简成和差积商的形式，再⽐较与0的⼤⼩。
学⽣在熟悉证明步骤之后，做课后练习3，并以⼩组为单位找部分同学上台板演，其他同学在下⾯⾃⾏完成，并通过⾃评、互评检查证明步骤。
专题3.2.1 重难点之导数与函数单调性(重难点突破)(解析版)
专题3.2.1 重难点之导数与函数单调性重难点突破一、考情分析1、结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；2、能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．二、经验分享三、考点梳理知识点1. 利用导数研究函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)≥0且在(a，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)≤0且在(a，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．知识点2. 判定函数单调性的一般步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数的单调区间．知识点3. 已知函数单调性求参数的值或参数的范围(1)函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，可转化为f′(x)≥0在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a，b)⊆增区间．函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，可转化为f′(x)≤0在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a，b)⊆减区间．(2)函数y＝f(x)的增区间是(a，b)，可转化为(a，b)＝增区间，也可转化为f′(x)＞0的解集是(a，b)；函数y＝f(x)的减区间是(a，b)，可转化为(a，b)＝减区间，也可转化为a，b是f′(x)＝0的两根．四、题型分析重难点题型突破1 求函数的单调区间 例1、求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x 3－12x 2－2x ＋3；(2)g(x)＝x 2－2ln x.(3)f (x )＝x 3－6x 2的单调递减区间．【解析】 (1)∵f′(x)＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，定义域为R ， ∴当f ′(x )>0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪(1，＋∞)；当f ′(x )＜0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1. ∴函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)，单调减区间为⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)g ′(x )＝2x －2x ＝2（x ＋1）（x －1）x，定义域为(0，＋∞)，令g ′(x )＝0，解得：x ＝1或x ＝－1(舍去)，列表：∴函数的单调增区间是(1，＋∞)，单调减区间是(0，1)． (3)f ′(x )＝3x 2－12x ＝3x (x －4)，由f ′(x )<0，得0<x <4， ∴函数f (x )的单调递减区间为(0,4)．【变式训练1】．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年期中）已知函数23()4ln 2f x x x x =-+，则函数()f x 的单调递减区间是（ ）A ．1(0,)3，(1,)+∞ B ．(0,1)，(3,)+∞ C ．1(0,)3，(3,)+∞ D ．1(1)3， 【答案】D【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()()()()2311314ln 342x x f x x x x f x x x x--=-+⇒-'=+=， 当()0f x '<时，函数单调递减，即()()3110x x x--<而0x >，解不等式得：113x <<，故本题选D 。
高一数学 函数的单调性 重难点解析 人教版
数学 函数的单调性【重点难点解析】1．本单元的知识结构函数的性质——函数的单调性——定义及判断方法——图象特征2．理解并掌握函数的单调性(在定义域的某区间上是增函数或减函数)的定义，并以此为依据掌握判断函数单调性的方法(粗略估计：代值检验与图象观察；严格据定义论证)．3．这些性质相互间有内在联系，统一应用这些性质才能全面地认识函数，才能解决关于函数的复杂问题．【考点】函数的单调性的判断和用定义证明，是历年高考的常考内容，利用函数的这些性质来比较两个量的大小，几乎是每年高考必有的题目．【典型热点考题】例1 判断下列各函数在给定的其单调区间上是增函数还是减函数． (1)x 2y =，x ∈(0，＋∞) (2)1x 1y += x ∈(－1，0](3)y ＝－2x ＋1，x ∈R (4)1x x y +=，x ∈(－∞，－1) 思路分析因为题目的条件已指明给定的区间是函数的单调区间，因此给定的相应的函数在此区间上要么是增函数，要么是减函数，所以只需用函数单调性定义给出的方法，在区间上取两个自变量值(有大小)，计算它们相应的函数值并比较大小，将两者大小关系相配合，就可据单调性定义作出判断．解：(1)在(0，＋∞)上取2x 1x 21==， ∴212x 2)x (f y 111==== 122x 2)x (f y 222==== ∵21x x <，)x (f )x (f 21>，(0，＋∞)是函数x2y =的单调区间 ∴函数x2y =在(0，＋∞)上是减函数． (2)在区间(－1，0]上取0x 21x 21=-=， ∴21211)x (g y 11=+-==1101)x (g y 22=+==∵21x x <，)x (g )x (g 21>，(－1，0)是函数1x 1y +=的单调区间 ∴函数1x 1y +=在(－1，0]上是减函数．(3)取实数1x 0x 21==，∴1102)x (h y 11=+⨯-==1112)x (h y 22-=+⨯-==∵21x x <时，)x (h )x (h 21>，R ＝(－∞，＋∞)是函数y ＝－2x ＋1的单调区间∴函数y ＝－2x ＋1在R 上是减函数．(4)在区间(－∞，－1)上取2x 3x 21-=-=， ∴23)3(13)x (k y 11=-+-== 2)2(12)x (k y 22=-+-== ∴21x x <时，)x (k )x (k 21<，区间(－∞，－1)是函数x 1x y +=的单调区间 ∴函数x1x y +=在(－∞，－1)上是增函数． 点评 这种代值判断只有在确知区间是函数的单调区间时，才可以这样作，这不是“证明”，只是验证．但这种方法对解答有关单调性的选择题，却不失为一种有效的方法．例2 判断函数x1x )x (f y 2-==在区间(0，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论． 思路分析判断函数在给定的单调区间上是增函数还是减函数，除据定义用代值法判断(如上面例2)外，还可由已掌握的基本初等函数在给定区间上的单调性，结合运算性质的分析作出判断．这也说明基础知识的掌握越熟练、准确，解题的思路也越灵活、顺畅．解法一：代值法判断(略)．解法二：因为二次函数2x u =在区间(0，＋∞)上是增函数，反比例函数x1v -=在区间(0，＋∞)上也是增函数． ∴在区间(0，＋∞)上，随自变量x 值增大，2x u =与x 1v -=的函数值也增大，则函数x 1x y 2-+=的函数值也增大∴函数x1x )x (f y 2-==在(0，＋∞)上是增函数． 证明：设21x x 、是区间(0，＋∞)上任意的两个值，且21x x <∴+∞<<<21x x 0 12122212x 1x x 1x )x (f )x (f +--=- 21212211)(x x x x ++-= 21121212x x x x )x x )(x x (-++-= ]x x 1x x )[x x (211212++-= ∵+∞<<<21x x 0∴0x x 12>-，0x x 1x x 2112>++ ∴0)x (f )x (f 12>-∴)x (f )x (f 12> ∴x1x )x (f 2-=在区间(0，＋∞)上是增函数． 点评 上述两个例题介绍的两种判断函数在给定的单调区间上单调性的方法，在解答需判定函数单调性而又不要求证明的选择题或填空题时，很有实用价值，但千万要注意，它们不能代替证明！例3 用定义证明函数x 1x )x (f y 2-+==是减函数．思路分析处理带算术根的根式或无理数，通常的要求是有理化分母；但在一些情况下，为了进一步实施恒等变形或寻找关系，也需要去掉“整式型”的根式的根号，这时可将含根式的代数式看作分母是1的分式，利用分母有理化的原理将分子有理化，这种方法在高中数学中常常用于恒等变形等运算之中．可见对数学方法贵在理解其原理，掌握其实质，这样才能按实际需要灵活运用于解题过程．解：∵01x 2>+对任何实数x 均成立 ∴函数x 1x )x (f y 2-+==的定义域是R设R x R x 21∈∈，，且21x x <12122212x 1x x 1x )x (f )x (f ++--+=-)x x (1x 1x 122122--+-+=)x x (11x 1x 122122--+-+= )x x (1x 1x )1x (1x 1221222122--++++-+=)x x (1x 1x )x x )(x x (1221221212--++++-=)1x 1x x x (1x 1x )x x (212212212212+-+-++++-=∵R x R x 21∈∈，，且21x x <∴0x x 12>-，112121x |x |x 1x ≥=>+ ∴01x x 211<+-， 同理01x x 222<+- ∴01x 1x x x 222121<+-+-+0|x ||x |1x 1x 212221>+>+++∴0)x (f )x (f 12<- ∴x 1x )x (f y 2-+==在R 上是减函数．点评 1x x 211+-不必再化为1x x 1211++-，因为化之后依然还得讨论1x 21+与1x -的大小，还是112121x |x |x 1x -≥=>+．例4 已知：函数2ax 2x )x (f 2++=，x ∈[－5，5]．(1)当a ＝－1时，求函数f(x)的最大值与最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数．思路分析此题考查有界区间(m ，n)(或[m ，n])上的二次函数c bx ax y 2++=(a ≠0)及其性质；同时，渗透数形结合、分类讨论的数学思想．解：(1)由a ＝－1，可得：2x 2x )x (f 2+-=从而，得对称轴方程：x ＝1∵开口向上，1∈[－5，5]∴)1(f )]x (f [min =21212+⨯-=＝1∵|－5－1|>|5－1|依据抛物线的对称性，可得：)5(f )]x (f [max -=2)5(2)5(2+-⨯--=＝37．(2)∵对称轴方程：x ＝－a当a ≤－5时，如图2－7，根据二次函数的单调性，y ＝f(x)是单调递减的；当a ≥5时，如图2－7，根据二次函数的单调性，y ＝f(x)是单调递增的．综上所述，当a ∈(－∞，－5]∪[5，＋∞)时，y ＝f(x)是单调函数点评1．对称轴是二次函数的重要的几何特征．2．讨论二次函数的最值与单调性，关键是讨论对称轴与定义区间的联系．例5 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，且当x ≥0时，x 2x )x (f 2-=，求当x<0时，f(x)的解析式．思路分析涉及函数性质的问题，所求哪个自变量区间的问题，必须在哪个区间设出任意的x 值(自变量值)，这样才能满足有关性质定义要求的，对所求区间的“任意的”值均成立的条件．本题问x<0的解析式，利用偶函数的定义就可以得到相应的解析关系式．解法一：设x<0，则－x>0∵x>0时，x 2x )x (f 2-=∴)x (2)x ()x (f 2---=-∴x x x f 2)(2+=-∵f(x)满足：f(－x)＝f(x)∴x 2x )x (f 2+=(x<0)∴⎪⎩⎪⎨⎧<+≥-=0)(xx 2x 0)(x x 2x )x (f 22 解法二：∵x>0时，x 2x )x (f 2-=∴1)1x ()x (f 2--= (x ≥0)∴函数f(x)在x ≥0时的图象是开口向上，对称轴方程x ＝1，顶点为(1，－1)的抛物线的部分曲线(在y 轴右侧部分)．∵f(x)满足f(－x)＝f(x)，图象关于y 轴对称∴f(x)在x<0时的图象是开口向上，对称轴方程x ＝－1，顶点为(－1，－1)的抛物线的部分曲线(在y 轴左侧的部分)，其解析式为1)1x (a )x (f 2-+=∵此曲线过点(－2，0)，则a ＝1∴1)1x ()x (f 2-+=(x<0)．点评 函数的图象关于y 轴对称，是函数满足f(－x)＝f(x)的充要条件；函数的图象关于原点对称，是函数满足f(－x)＝－f(x)的充要条件．例6 如果函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，且在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是( )A ．是增函数且最小值是－5B ．是增函数且最大值是－5C ．是减函数且最小值是－5D ．是减函数且最大值是－5思路分析两区间[3，7]与[－7，－3]关于原点对称，且满足f(－x)＝－f(x)的函数的图象关于原点对称，回答选择题不需说明理由，所以构造符合题目条件的图象，可以很直观地快速得到结论．但平时练习是为了理解、巩固所学的知识，除得到结论外，建议还应从道理上弄明白为好．解法一：作出符合题目条件要求的图象，如图2－8由图可知f(3)＝5，f(－3)＝－5∴选B ．解法二：设21x x 、是区间[－7，－3]内任意的两个值且21x x <∴3x x 721-≤<≤-∴3x x 721≥->-≥∵f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，∴5)3(f )x (f )x (f )7(f 21=≥->-≥∵f(x)满足：f(－x)＝－f(x)∴)x (f )x (f 11-=-，)x (f )x (f 22-=-∴5)x (f )x (f )7(f 21≥->-≥∴5)x (f )x (f 21-≤<∴f(x)在区间[－7，－3]上是增函数且最大值为－5．例7 已知：函数y ＝f(x)是定义域为(0，＋∞)的增函数，且满足f(x ·y)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1．(1)求f(1)；(2)求满足f(x)＋f(x －3)≤2的x 的取值范围．思路分析(1)考查由一般到特殊的推理能力；(2)利用函数的单调性，对两个自变量的大小与函数值的大小进行转化．解：(1)令x ＝y ＝1由f(x ·y)＝f(x)＋f(y)，可得：f(1)＝f(1)＋f(1)∴f(1)＝0．(2)∵f(2)＝1∴2＝f(4)由f(x)＋f(x －3)≤2，可得：f(x)＋f(x －3)≤f(4)∴⎪⎩⎪⎨⎧>->≤-03x 0x )4(f ))3x (x (f从而，得：⎩⎨⎧>≤-3x 4)3x (x 解之得：⎩⎨⎧>≤≤-3x 4x 1 ∴3<x ≤4也就是：x 的取值范围是(3，4]．点评 数学培养学生的逻辑思维能力．逻辑思维是推理，而不是证明．此题由f(x ·y)＝f(x)＋f(y)，得出f(1)＝f(1)＋f(1)，f(x)＋f(x －3)＝f(x(x －3))就是推理．。
《函数单调性》教学案例
《函数单调性》教学案例第一篇：《函数单调性》教学案例《函数单调性》教学案例1.【案例背景】“函数的单调性”是新课标人教版《数学·1》第一章第三节的教学内容。
“课标”规定两个课时，所选案例为第一课时。
函数的单调性是函数的一条基本性质，从知识结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究基本初等函数、三角函数等内容的基础。
在这之前，学生已经学过函数的定义，函数的表示，学习过一次函数，二次函数，反比例函数等，函数单调性是学生研究函数整体性质的开始，之后还有奇偶性周期性等，所以本节内容承前启后，解决有关的函数问题，这一节学好了，学生获得的知识就会对后面几节的知识产生正迁移作用。
2.【教学内容分析】首先，从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段，第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识；第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高三利用导数为工具研究函数的单调性.高一单调性的学习，既是初中学习的延续和深化，又为高三的学习奠定基础．其次，从函数角度来讲.函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，以函数解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.3.【学情分析】高一的学生正处于经验逻辑思维发展阶段，具备了一定的逻辑思维但要想使学生“以一系列的行动队一系列的条件作出反应”却需要很大的努力的。
函数单调性的本质是利用定量的方法来研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一．另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达．因此首先要重视学生的亲身体验：将新知识与学生的已有知识建立了联系．如：学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识。
函数的单调性教学案例分析
函数的单调性教学案例分析第一篇：函数的单调性教学案例分析函数的单调性教学案例分析一、内容介绍 1.教材内容分析“函数的单调性”是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修一》第一章第三节的内容，本节课的实质是对函数运动趋势的研究，函数的单调性既是函数的基本特征之一，这一知识也为基本初等函数的研究提供了方法。
对于函数单调性的研究过程，我们需要经历从观察具体图像入手，然后进行定量分析，最后抽象出形式化的定义，这个过程中体现了数学中数形结合和归纳转化的重要数学思想方法，反映了从特殊到一般的数学思维方式，这有助于培养学生根据图认识数学问题、发展学生的思维能力，掌握学生的思想方法有重大意义。
2.学生分析本节课是在学生初中已有粗略的认识的基础上进行，即主要根据观察图像得出结论。
本节课中对于函数单调性的定义，是应用数学符号将自然语言的描述提升到了形式化的定义，学生接受起来可能相对有些困难。
在得出函数单调性的定义的过程中，始终要结合具体函数的图像进行，这样可以增强直观性，由具体到抽象，再由抽象到具体，方便学生的理解。
在定义中要注意对自变量取值的任意性的理解，留给学生更多的思考空间。
二、教学目标 1.知识与技能理解函数的单调性的定义，了解增函数、减函数以及单调区间等概念的形成过程。
2.过程与方法掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤，掌握利用函数的图像去判断函数单调性，经历从直观到抽象、从图形语言到数学语言的过程。
3.情感态度与价值观通过自主探究活动，体验数学概念形成的过程，体会从特殊到一般的过程。
三、教学重难点 1.教学重点形成增函数和减函数的形式化定义。
2.教学难点：在概念形成的过程中，从图像的变化趋势的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表示；用定义证明函数的单调性。
四、教学基本流程 1.创设情境，引入概念通过具体有实际意义函数问题，抽象出函数图像，提问：图像有什么特点？师生互动：教师引导学生观察图像的升降变化，说出自己的看法。
函数的单调性教学案例分析
函数的单调性教学案例分析一、内容介绍1.教材内容分析“函数的单调性”是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修一》第一章第三节的内容，本节课的实质是对函数运动趋势的研究，函数的单调性既是函数的基本特征之一，这一知识也为基本初等函数的研究提供了方法。
对于函数单调性的研究过程，我们需要经历从观察具体图像入手，然后进行定量分析，最后抽象出形式化的定义，这个过程中体现了数学中数形结合和归纳转化的重要数学思想方法，反映了从特殊到一般的数学思维方式，这有助于培养学生根据图认识数学问题、发展学生的思维能力，掌握学生的思想方法有重大意义。
2.学生分析本节课是在学生初中已有粗略的认识的基础上进行，即主要根据观察图像得出结论。
本节课中对于函数单调性的定义，是应用数学符号将自然语言的描述提升到了形式化的定义，学生接受起来可能相对有些困难。
在得出函数单调性的定义的过程中，始终要结合具体函数的图像进行，这样可以增强直观性，由具体到抽象，再由抽象到具体，方便学生的理解。
在定义中要注意对自变量取值的任意性的理解，留给学生更多的思考空间。
二、教学目标1.知识与技能理解函数的单调性的定义，了解增函数、减函数以及单调区间等概念的形成过程。
2.过程与方法掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤，掌握利用函数的图像去判断函数单调性，经历从直观到抽象、从图形语言到数学语言的过程。
3.情感态度与价值观通过自主探究活动，体验数学概念形成的过程，体会从特殊到一般的过程。
三、教学重难点1.教学重点形成增函数和减函数的形式化定义。
2.教学难点：在概念形成的过程中，从图像的变化趋势的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表示；用定义证明函数的单调性。
四、教学基本流程1.创设情境，引入概念通过具体有实际意义函数问题，抽象出函数图像，提问：图像有什么特点？师生互动：教师引导学生观察图像的升降变化，说出自己的看法。
设计意图：通过学生的直观认识引入新课，让学生对函数的单调性产生感性认识，为引出单调性的定义打好基础，有利于定义的自然生成，也揭示了单调性最本质的东西。
函数单调性教学案例分析
“函数的单调性”案例分析数学概念的教学是培养学生创新精神和实践能力的一个很好的切入点，重视数学概念的发生、发展、形成的过程的体验，让学生进行深入的思考和全方位的探索。
对于提高学生学习数学的兴趣，培养学生创新精神和实践能力将是十分有利的。
现以《函数的单调性》教学实例来进行分析：一、案例课题：函数的单调性（第一课时）二、实施过程（注：课堂实录已经简化）1．问题引入师：我们观察某自来水厂在一天24小时内，水压Y随时间X的的变化情况。
不妨设其函数解析式：y=f(x); x [0,24]师：“在哪些时间段内，水压在逐渐上升?在哪能些时间段内，水压在下降?”（很快得出正确答案。
）师：在某一时间段内水压在上升，实际上是水压Y的值随时间X的增大在逐渐增大，于是我说函数y=f(x)在区间[0，3]上，是单调递增函数。
同理，函数y=f(x)在区间[3,9]上是单调递减函数。
这就是我们要研究的函数的又一特性——函数的单调性。
2．定义探究师：在某个区间上：①函数值Y随X的增大而增大（图象从左——右，呈上升趋势），就说这个函数在这个区间上是增函数。
②函数值Y随X的增大而减小（图象从左——右，呈下降趋势），就说这个函数在这个区间上是减函数。
提出问题1：请同学仔细阅读课本中函数单调性的定义，思考课本定义方法和上面定义方法是否一致？如果一致，定义中哪一句表达了该意思？生：我认为是一致的．定义中的“当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y随x的增大而增大；“当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y随x的增大而减少．师：说得非常正确．定义中用了两个简单的不等关系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质．这就是数学的魅力！定义中只用了两个简单的不等关系，就刻划出了单调递增和单调递减的性质特征，把文字语言表达为数学语言，简单明了。
师：提出问题2：我们思考这样一个问题：定义中有哪些关键的词语或句子至关重要？能不能把它找出来。
函数单调性教案函数单调性教学设计(6篇)
函数单调性教案函数单调性教学设计（6篇）为你细心整理了6篇《函数的单调性教学设计》的范文，但愿对你的工作学习带来帮忙，盼望你能喜爱！固然你还可以在搜寻到更多与《函数的单调性教学设计》相关的范文。
《函数的单调性》教学设计【教材分析】《函数单调性》是高中数学新教材必修一其次章第三节的内容。
在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
本节内容是高中数学中相当重要的一个根底学问点，是讨论和争论初等函数有关性质的根底。
把握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论根底，还有利于培育学生的抽象思维力量及分析问题和解决问题的力量.【学生分析】从学生的学问上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简洁函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应当连续讨论什么,从各种函数关系中讨论它们的共同属性，应当是顺理成章的。
从学生现有的学习力量看，通过初中对函数的熟悉与试验，学生已具备了肯定的观看事物的力量，积存了一些讨论问题的阅历，在肯定程度上具备了抽象、概括的力量和语言转换力量。
从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给函数性质以数学描述?如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。
函数的单调性是学生从已经学习的函数中比拟简单发觉的一共性质，学生也简单产生共鸣，通过比照产生顿悟，渴望获得这种学习的.积极心向是学生学好本节课的情感根底。
【教学目标】1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念.2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培育学生观看、归纳、抽象的力量和语言表达力量.3．通过学问的探究过程培育学生细心观看、仔细分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经受从详细到抽象，从特别到一般，从感性到理性的认知过程．【教学重点】函数单调性的概念.【教学难点】从形与数两方面理解函数单调性的概念.【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习．【教学手段】计算机、投影仪．【教学过程】教学根本流程1、视频导入------营造气氛激发兴趣2、直观的熟悉增（减）函数-----问题探究3、定量分析增（减）函数）-----归纳规律4、给出增（减）函数的定义------展现结果5、微课教学设计函数的单调性定义重点强调 ------ 稳固深化 7、课堂收获 ------提高升华（一）创设情景，提醒课题1．钱江潮，自古称之为“天下奇观”。
函数的单调性破疑案
函数的单调性2
一、学习目标：理解增函数、减函数，会判断函数的单调性，数形结合的数学思想
二、重点：函数单调性概念的理解及应用。
难点：函数单调性的判定及证明。
三、学法指导：利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃。
从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力.
四、自主学习过程
函数单调性的概念及判定
例1：下图是定义在]5,5[-上的函数)(x f y =的图像，根据图像说出单调区间，以及 在每一个区间上函数()y f x =
例2．证明函数1()f x x =
在(0,)+∞上是减函数。
练习：1．根据单调函数的定义，证明函数3()1f x x =+的单调性。
2．根据单调函数的定义，证明函数
()f x =的单调性。
函数单调性的应用
例3．定义在]4,1[上的函数)(x f 为减函数，求满足不等式2(12)(4)0f a f a --->的a 的值的集合。
练习：定义在R 上的函数)(x f 是减函数，求满足)22()(2->-x f x x f 的x 的取值范围；
例4．已知函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]3,(-∞上是减函数，求实数a 的取值范 围；
变式：已知2)1(2)(2+-+=x a x x f 的单调递减区间是]3,(-∞，求实数a 的取值范围。
练习：已知函数f(x)=ax 2+2x 在区间[0，4]上是增函数，求实数a 的取值范围.。
教案二中的函数单调性问题解决方法及实例演练。
函数单调性是初中数学中一个重要的概念，表示函数的增减性质。
在教学中，怎样让学生更好地掌握函数单调性问题，是每一位教师需要解决的问题。
教案二提供了一种解决函数单调性问题的方法，并通过实例演练来加深学生对函数单调性的理解。
下面将从教案中提供的方法和实例演练中的案例进行说明。
方法一：图像法函数单调性问题的解决方法之一是图像法。
通过绘制函数的图像，可以直观地看出函数的单调性质。
在图像上，单调增函数的图像从左向右逐渐上升，单调减函数的图像从左向右逐渐下降。
对于凸函数和凹函数，通过二次函数图像中的顶点位置可以判断函数的单调性质（凸函数左侧单调增、右侧单调减；凹函数左侧单调减、右侧单调增）。
实例演练一：绘制函数图像判断单调性例如，有以下一道函数单调性问题：已知函数 $f(x)=-2x^2+12x-14$ ，判断函数的单调性质。
我们可以通过一元二次方程求解公式得到函数 $f(x)$ 的极值点（即二次函数的顶点）：$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-12}{2(-2)}=3$将 $x=3$ 代入函数中，得到 $f(3)=-8$ 。
于是，可以知道该二次函数的图像在$x=3$ 处有一个极小值点，即函数的单调性变化点。
通过绘制该函数的图像，可以直观地观察到该函数在 $(-\infty,3)$ 区间内单调减，在$(3,+\infty)$ 区间内单调增。
因此，该函数单调性质为单调减，单调增。
实例演练二：联合绘图判断单调性例如，有以下一道函数单调性问题：已知函数 $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ ，判断函数的单调性质。
该函数是定义在 $[-1,1]$ 区间上的二次函数，其图像是以原点为圆心、半径为 $1$ 的一个上半圆。
由于 $\sqrt{1-x^2}$ 的偏导数 $\frac{df(x)}{dx}=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ ，在定义域内，当 $-1<x<0$ 时 $\frac{df(x)}{dx}<0$ ，当 $0<x<1$ 时$\frac{df(x)}{dx}>0$ 。
从易到难，循序渐进，分层指导，有效提升———《函数的单调性与导数》教学案例
课程篇从易到难，循序渐进，分层指导，有效提升———《函数的单调性与导数》教学案例王桓（山西省太原市第二中学校）教学目标：1.经历对具体函数（y=x2，y=x3，y=1x等）的导数与函数单调性的关系的探究过程，理解并能灵活运用导数判断函数的单调性，体会数形结合的数学思想在研究函数中的应用，感受数学的图形美。
2.经历用导数方法求函数单调区间例题的解决过程，归纳出用导数求函数单调区间的方法步骤，进一步提高归纳概括能力，养成善于归纳方法的习惯。
教学重点：导数正负与函数单调性的关系。
教学策略：这节课是规律探究课，但是学生的基础普遍偏弱，因此我在我校“导学练”课堂模式的基础上，辅助几何画板，运用学生自主探究、教师释疑的方法来进行这节课。
同时，我自己编了一部分比较简单的实例，以突出本节课的重点，轻松突破本节课的难点，帮助学生建立自信。
教学过程：一、复习导入师：导数的几何意义是什么？生：函数f（x）在x=x0处的导数f′（x0）表示函数f（x）在x=x0处的切线的斜率。
师：通过章引言，我们知道导数的应用是研究函数的性质。
今天我们来发现导数与函数单调性之间的关系。
师：研究函数的一般方法是什么？生：数形结合、从特殊到一般、从具体到抽象。
师：如何把导数与函数的单调性联系在一起？生：通过图象来研究，研究函数的图象变化规律与导数的关系。
师：再具体点。
生：研究函数图象在其上任意一点处的切线的斜率与函数单调性的关系。
二、探究结论师：请同学们以简单、具体的函数为实例，探究函数的单调性与导数的关系。
（分组进行，分别以一次函数、二次函数、反比例函数、三次函数为实例进行探究，要求A、B层次学生完成自己的任务，并再选一类函数探究。
）生：函数图象的切线在函数单调增区间内恒正，在单调减区间内恒负。
（四位学生用实物投影展示，口述过程和结论。
图示过程示例如图1。
）图1师：对于每一个函数都具有这样的关系吗？生举出相应实例，师用几何画板动态演示。
函数的单调性教学案例_于岚
2019 年
函数的单调性教学案例
于岚
（ 江苏省南京市第二十七高级中学，210001）
函数的单调性是高中函数研究的重要性 质，历来是教师们重点研究的课例． 笔者发现 历年来学 生 都 容 易 在 几 个 节 点 处 产 生 困 惑． 本文拟就这几个重点问题的教学片断进行分 析、研究、反思，力求突破难点，为学生解惑．
生 2： 函数 f（ x） 在定义域内单调递减．
生 3： 函数 f（ x） 在区间（ － ∞ 43; ∞ ） 上也单调递减．
师： 他们的答案对吗？ （ 学生七嘴八舌，似
乎都不太确定）
师： 本题有几个减区间？一个还是两个？
生 4： 函数在两个断开的区间上单调递
减，应该算两个减区间吧．
断符号． 单调性证明的教学，很容易变成模式
化教学，教师直接告诉学生要用定义法，再告
诉学生证明 过 程 分 那 几 个 步 骤，最 后 再 重 点
讲一下变形过程中的注意事项． 学生被动接
受，往往印象并不 深 刻 ，在 以 后 的 证 明 过 程 中
还是会出现各种各样的错误．
二、课后反思
1． 关于数学概念的教学
（ 0，+ ∞ ） ，也不能说函数在定义域内递减． 两
个断开的单调减区间之间可以写“，”“和”，不
能写“∪”．
设计意图 从定义入手，抓住本质，举出
反例，再次 体 现 学 习 函 数 单 调 性 定 义 的 重 要
性和必要性．
片段 3 证明函数的单调性
求证： 函数 f（ x）
=
－
1 x
－ 1 在区间（ － ∞ ，
生 4： 比大小常用作差的方法．
f（ x1 ）
－ f（ x2 ）
函数的单调性教学案例25
函数的单调性教学案例【案例背景】《函数单调性》是高中数学新教材必修一第二章第三节的内容。
在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。
掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。
在教学过程中，教师设置问题情景让学生想办法解决；通过教师的启发点拨，学生的不断探索，最终把解决问题的核心归结到判断函数的单调性。
然后通过对函数单调性的概念的学习理解，最终把问题解决。
整个过程学生主动参与、积极思考、探索尝试的动态活动之中；同时让学生体验到了学习数学的快乐，培养了学生自主学习的能力和以严谨的科学态度研究问题的习惯。
【案例描述】（一）问题情境1．海宁潮，又名钱江潮，自古称之为“天下奇观”。
“八月十八潮，壮观天下无”。
海宁潮是一个壮观无比的自然动态奇观，当江潮从东面来时，似一条银线，“则玉城雪岭际天而来，大声如雷霆，震撼激射，吞天沃日，势极雄豪”。
潮起潮落，牵动了无数人的心。
如何用函数形式来表示，起和落？2．教师和学生一起举出生活中描述上升或下降的变化规律的成语：蒸蒸日上、每况愈下、此起彼伏。
如何用学过的函数图象来描绘这些成语？设计意图：创设海宁潮潮起潮落，成语→图象的问题情境，让学生用朴素的生活语言描述他们对变化规律的理解，并请学生将文字语言转化为图形语言，这样做可使教学过程富有情趣，可激发学生的学习热情，教学起点的设定也比较恰当，学生的参与度较高。
（二）温故知新1．问题1：观察学生绘制的函数的图象（实际教学中可根据学生回答的情况而定），指出图象的变化的趋势。
观察得到：随着x 值的增大，函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，在另一区间内呈下降趋势。
2．问题2：对“图象呈逐渐上升趋势”这句话初中是怎样描述的？例如：初中研究2y x =时，我们知道，当x <0时，函数值y 随x 的增大而减小，当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大。
高中数学新北师大版精品教案《函数的单调性教学重点、难点突破方法》
《函数的单调性》---教学重点、难点突破方法与解说尊敬的各位领导、专家、评委：您好！《函数的单调性》，是北师大版必修一第二章第3节内容。
对于函数的单调性,学生的认知困难主要在两个方面:首先，要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降,把对单调性直观感性的认识上升到理性的高度, 这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说比较困难其次，单调性的证明是学生在函数学习中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的所以，本节课的教学重点是函数单调性的概念,判断、证明函数的单调性；难点是引导学生归纳并抽象出函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性二、教学目标的确定根据教材的特点和教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，我从3个方面确定以下目标：①理解函数的单调性概念，掌握用定义判断和证明函数的单调性方法。
②培养学生观察、归纳、推理论证的逻辑思维能力。
③体会感悟数学结合、分类讨论、特殊到一般的数学思想。
三、教学方法的选择多媒体投影，计算机辅助教学；教师启发讲授，学生探究学习。
四、教学过程的设计为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计如下：1．创设情境，引入课题；2．归纳探索，形成概念；3．掌握证法，适当延展；4．归纳小结，提高认识。
1．创设情境，引入课题本环节的教学先从学生熟悉的歌曲《小苹果》出发，让学生体会数学就在身边。
然后给出“艾宾浩斯的记忆遗忘曲线”。
在本环节的教学中，我设计了以下问题：问题1：分别作出函数2()1;()f x x f x x =+=的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？（主要是从学生的已有认知出发，即从学生熟悉的常见函数的图象出发，直观感知函数的单调性，完成对函数的单调性定义的第一次认识。
）在学生画图的基础上，引导学生观察图象，获得信息。
对与第二个函数图象的上升与下降要分段说明，通过讨论使学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．对于概念教学，若学生能用自己的语言来表述概念的相关属性，则能更好的理解和掌握概念，因此我设计了问题2问题2：根据自己的理解，怎样用数学语言表达函数值的增减变化呢？教学中，我引导学生用自己的语言描述函数增减性的定义：如果函数()f x在某个区间上的图象从左到右是上升的，或者如果函数()f x在某个区间上随自变量的增大，也越来越大，我们称函数()f x在该区间上为增加的．然后让学生类比描述函数减少的定义至此，学生对函数单调性就有了一个直观、描述性的认识．2．归纳探索，形成概念此环节中，通过对二次函数研究、交流、讨论，将函数的单调性研究从研究函数的图像过渡到研究函数的解析式，使学生对单调性的认识由感性的认识上升到理性认识的高度，使学生完成对概念的第二次认识；并归纳得出，判定函数单调性的方法：⑴图像法：从左往右看图像的升降情况⑵定义法：利用定义判定证明函数的增、减性3掌握方法，适当延展本阶段的教学主要是通过对例题和练习的思考交流、分析讲解以及反思小结，使学生初步掌握根据单调性定义证明函数单调性的方法，同时引导学生探究定义的等价形式，对证明方法做适当延展观察:下图是定义在闭区间[－6,9]上的函数= f的图象,根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上,函数是增加的还是减少的？强调：1函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，不存在单调性问题,故区间端点处若有定义写开写闭均可；2明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．从而加深学生对定义的理解，完成本阶段的教学例1 画函数()32f x x =+的图像，判断它的单调性，并加以证明我引导学生归纳利用定义证明函数单调性的方法和步骤取值→作差变形→定号→下结论通过对证明过程的分析，使学生明确每一步的必要性和目的，特别是第三步，让学生明确变形的方法以及变形的程度，帮助学生掌握方法，提高学生的推理论证能力．证明过程的教学分为三个环节：难点突破、详细板书、归纳步骤【设计意图】给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习做好铺垫变式：判断函数23)(+=x x f 在下面给定区间或集合上的单调性。
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函数的单调性重难点突破案例
一、教学目标：
1.使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，能判断一些简单函数在给定区间上的单调性。
2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；利用函数单调性定义判断函数单调性，提高学生的推理论证能力．
3．通过学生之间、师生之间的交流、合作与评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离，培养学生对数学的兴趣。
二、教学重点、难点
1、重点：函数单调性的概念
2、难点：归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义判断函数的单调性
三、教学方法：
教师启发讲授，学生探究学习．
四、教学手段：
计算机、多媒体
五、重难点突破：
1、给出函数值的变化趋势
突破建议：
画出下列函数的图象，根据图象思考当自变量x的值增大时,函数值是如何变化的？（利用好工具，做一个动图，让学生更直观的看出，函数值随自变量的变化趋势）
问题1
通过上面的观察，如何用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势？
师生活动：小组讨论，给出结果，培养学生的团队合作意识。
问题2
如何用数学符号描述这种上升或下降的趋势？
师生活动：教师点拨，学生尝试归纳，培养学生用数学语言概括问题的能力。
2、函数单调性的证明：例题讲解，学以致用
例1主要是对函数单调区间的巩固运用，通过观察函数定义在（—5，5）的图像来找出函数的单调区间。
这一例题主要以学生个别回
答为主，学生回答之后通过互评来纠正答案，检查学生对函数单调
区间的掌握。
强调单调区间一般写成半开半闭的形式
例题讲解之后可让学生自行完成课后练习4，以学生集体回答的方
式检验学生的学习效果。
例2是将函数单调性运用到其他领域，通过函数单调性来证明物理
学的波意尔定理。
这是历年高考的热点跟难点问题，这一例题要采用教师板演的方式，来对例题进行证明，以规范总结证明步骤。
一
设二差三化简四比较，注意要把f(x1)-f(x2)化简成和差积商的形式，再比较与0的大小。
学生在熟悉证明步骤之后，做课后练习3，并以小组为单位找部分同学上台板演，其他同学在下面自行完成，并通过自评、互评检查证明步骤。