【全国百强校】江苏省盐城中学2016-2017学年高二5月阶段性检测数学试题解析(解析版)

高二年级阶段性检测数学试题（2017.5）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）
1. 已知复数，则__________．
【答案】
【解析】由题意得，复数的模.
2. 设为空间的一个基底，是三个非零向量，则是的__________条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）
【答案】充分不必要
【解析】由题意得，根据空间基底的概念，向量是三个不共线的向量，所以向量是三个非零向量，而三个非零向量，当其中两个向量共线时，不能构成空间的基底，所以是的充分不必要条件.
3. 为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本.其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人.若其他年级共有学生2000人，则该校学生总人数是
__________．
【答案】
【解析】由题意得，设该校总人数为，根据，所以.
4. 已知，，且，则__________．
【答案】
5. 执行如图所示的伪代码，若输出的值为1，则输入的值为__________.
【答案】-1
【解析】执行此程序框图可知，当时，，此时方程无解；
当时，，解得，所以输入的值为.
6. 若，则__________.
【答案】
【解析】令，得，
令，可得，所以.
7. 除以5的余数为__________.
【答案】
【解析】由题意得,
其中各项都能被整除，
又，所以除以的余数为.
8. 已知，，，…，，则
__________....
【答案】
【解析】由题意得，根据上述等式的计算规律，利用归纳推理可知，
所以第个式子中，
所以.
9. 已知，则当取得最小值时，双曲线的渐近线方程为__________.【答案】
【解析】由题意得，可得，所以，
当且仅当时等号成立，所以双曲线的方程为，
所以其渐近线的方程为.
10. 设随机变量，，若，则__________.
【答案】
【解析】由题意得，因为随机变量且，
所以，解得，
所以随机变量，所以.
11. 已知椭圆的左焦点为，点是椭圆上一点，点是的中点，是椭圆的中心，，则点到椭圆的左准线的距离为__________.
【答案】
【解析】试题分析:设右焦点为,则由椭圆的定义,依据题设可得,即,,所以,由椭圆的第二定义可得,故,应填答案.
考点：椭圆的定义与几何性质的综合运用．
【易错点晴】椭圆是圆锥曲线的重要代表曲线之一,也是高中数学的重要内容和高考必考的重要考点.本题以椭圆的标准方程所满足的条件为背景,考查的是椭圆的第一第二定义及焦点三角形的中位线的性质等有关知识和方法技巧.解答时先用三角形的中位线定理及椭圆的第一定义求出焦半径,再运用椭圆的第二定义求出点到椭圆的左准线的距离为,从而使得问题巧妙获解.
12. 某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为，，则椭圆的离心率的概率是__________.
【答案】
【解析】由题意得，同时抛掷两颗骰子，共有种情况，
又椭圆的离心率为，即，
解得，
当时，则，共有种情况；当时，则，共有种情况；
当时，则，共有种情况；当时，则，共有种情况，
共计情况，所以概率为.
13. 已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由题意得，函数与的图象上存在关于轴对称的点，则可转化为与的图象上存在关于轴对称的点，...
则函数只需将函数向下平移个单位，
函数只需将函数的图象向左或向右平移个单位，
如图所示，可得，解得 .
14. 已知，，为正实数，且，，则的取值范围为__________.
【答案】
二、解答题（本大题共6小题，计90分）
15. 已知的展开式中前三项的系数成等差数列.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中的有理项.
【答案】（1）；（2），.
【解析】试题分析：（1）
（1）根据题意，求得，写出二项式的通项，即可确定展开式的系数最大的项；
（2）由二项式的通项中，可得的值，即可得到展开式的有理项.
试题解析：，，成等差，
，.
（1），
项式系数最大项为.
（2）由，知或，
有理项为..
16. （1）设有6个不同的小球，放入3个不同的盒子里，允许有盒子为空，有多少种不同的放法？
（2）设有6个不同的小球，放入3个不同的盒子里，盒子不允许为空，有多少种不同的放法？.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由题意得，利用分步计数原理，即可求得不同放法的种数.
（2）分成三类：，，；，，；，，.先分组再排列，即可求解不同的放法.
试题解析：
（1）乘法原理：36种不同的放法.
（2）分成三类：，，；，，；，，.先分组再排列.
第一类：；...
第二类：；
第三类：，
共有540种.
17. 本着健康、低碳的生活理念，租用公共自行车的人越来越多.租用公共自行车的收费标准是每车每次不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）.甲乙两人相互独立租车（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时.
（1）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求随机变量的概率分布和期望.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】试题分析：（1）根据题意，可得所付费用相同即为元，根据相互独立事件的概率，即可求解甲乙所付租车费用相同的概率；
（2）先确定的取值为，根据相互独立事件的概率，求解取每个值的概率，列出分布列，利用公式求解数学期望.
试题解析：（1）所付费用相同即为元.
.
（2）的取值为，
，
，
，
，
.
.
18. 某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐（上下底面及侧面的厚度不计）.易拉罐的体积为，设圆柱的高度为，底面半径为，且.假设该易拉罐的制造费用仅与其表面积有关.已知易拉罐侧面制造费用为元/，易拉罐上下底面的制造费用均为元/（，为常数，且）.
（1）写出易拉罐的制造费用（元）关于的函数表达式，并求其定义域；
（2）求易拉罐制造费用最低时的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由题意，体积，得，得到函数的解析式，并确定其定义域；（2）令，求得，确定出函数的单调区间，即可求解函数的最小值.
试题解析：
（1）由题意，体积，得.
.
因为，即，即所求函数定义域为.
（2）令，则.
由，解得.
当时，，由，
得，当时，有最小值，此时易拉罐制造费用最低.
19. 如图，椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上，
且....
（1）若点坐标为，求椭圆的方程；
（2）延长交椭圆与点，若直线的斜率是直线的斜率的3倍，求椭圆的离心率；（3）是否存在椭圆，使直线平分线段？
【答案】（1）；（2）；（3）存在.
【解析】试题分析：（1）由椭圆的标准方程，可得，进而得到，再把点
代入椭圆的方程，即可求解椭圆的标准方程；
（2）由直线的方程与椭圆的方程联立，利用根据与系数的关系，得到的坐标，再由，化简即可求解椭圆的离心率.
（3）设与交于点，用直线的方程与联立，求解点坐标，再把点的坐标代入椭圆的方程，令，转化为函数恒成立，利用二次函数的性质，即可求解结论.
试题解析：（1），，，.
.又，.
，.方程为.
（2）：与联立，得，
.，.
又，.
，，.
（3）：.设与交于点，
由，得.
代入椭圆方程，得，
，令，
得，设，
恒成立，在上递增.
又，，
在存在，使，
存在椭圆，使平分线段.
20. 已知函数，其中为常数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求零点的个数；
（3）若为整数，且当时，恒成立，求的最大值.
（参考数据，，）...
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】试题分析：（1）当时，由，且，即可求解再点处的切线方程；（2）当时，，求得，从而得到在，单调递减，当
时，单调递增，确定函数的极值，再根据零点的存在定理，即可得到函数有两个不同的零点. （3）由题意知，对恒成立，即对恒成立，令，得，从而判定出函数的单调性，进而得到存在，，即
，得到函数的最小值，再由
，所以的取值范围，得出结论.
试题解析：
（1）当时，.因为，从而.
又，所以曲线在点处的切线方程，
即.
（2）当时，.因为，从而，
当，，单调递减；当时，，单调递增.
所以当时，有极小值.
因，，所以在之间有一个零点.
因为，所以在之间有一个零点.
从而有两个不同的零点.
（3）由题意知，对恒成立，
即对恒成立.
令，则.
设，则.
当时，，所以在为增函数.
因为，，
所以存在，，即.
当时，，单调递减，当时，，单调递增. 所以当时，的最小值.
因为，所以.
故所求的整数的最大值为.。