§3.2 函数极限的性质 数学分析(华师大 四版)课件 高教社ppt 华东师大教材配套课件

数学分析 第三章 函数极限
高等教育出版社
1 例 2 求 lim x . x 0 x
§2 函数极限概的性质
lim f ( x ) A 的基本性质 x x
0
范例
例 3 求极限 lim( x tan x 1).
x π 4
解 因为
lim tan x tan
x π 4
00
范例
定理3.7（四则运算法则）
lim g( x ) 都存在, 则 若 lim f ( x ) , x x x x
0
f g , f g 在点 x0 的极限也存在, 且
x x0 x x0 x x0
0
(1) lim [ f ( x ) g( x )] lim f ( x ) lim g( x ) ; ( 2) lim f ( x ) g( x ) lim f ( x ) lim g( x ) ;
1 a
x 0

1 N
ax
1 aN
1 ,
即 lim a x 1 得证 .
数学分析 第三章 函数极限
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复习思考题
1. 设 lim f ( x ) a 存在 , lim g( x ) 不存在 , 试问
x x0 x x0
极限 lim f ( x ) g( x ) 是否必定不存在 ?
0 0
数学分析 第三章 函数极限
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§2 函数极限概的性质
lim f lim f( (x x) ) A A的基本性质 x x x x
00
范例
从而有 A B 2 . 因为 是任意正数, 所以证得
A B.
数学分析 第三章 函数极限
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§2 函数极限概的性质
§2 函数极限概的性质
lim f lim f( (x x) ) A A的基本性质 x x x x
00
Hale Waihona Puke Baidu范例
| f ( x) B | . 2

(2)
令 min{ 1 , 2 } , 当 0 | x x0 | 时 , (1) 式与
(2) 式均成立，所以
| A B | | A f ( x) | | f ( x) B | .
§§ 22 函数极限概的性质 函数极限的性质
lim f ( x ) A 的基本性质 x x
0
lim f lim f( (x x) ) A A的基本性质 x x x x
00
范例
定理3.2（唯一性）
若 lim f ( x ) 存在, 则此极限唯一.
x x0
证 不妨设 lim f ( x ) A 以及 lim f ( x ) B.
数学分析 第三章 函数极限
§2 函数极限的性质
一、 lim f ( x ) A 的 在前面一节中引进的 x x0 六种类型的函数极限，它们 基本性质 都有类似数列极限的一些性 二、范例 质. 这里仅以 为代表叙述并证明这些性质， 至于其他类型的性质与证明， 只要相应作一些修改即可.
*点击以上标题可直接前往对应内容
lim f lim f( (x x) ) A A的基本性质 x x x x
00
范例
定理3.6（迫敛性）
设 lim f ( x ) lim g( x ) A , 且在 x0 的某个空心
x x0 x x0
邻域 U ( x0 ) 内有 f ( x ) h( x ) g( x ). 那么 lim h( x ) A .
由 的任意性，推得 A = B.
这就证明了极限是唯一的.
| f ( x) A | , 2
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(1)
§2 函数极限概的性质
lim f lim f( (x x) ) A A的基本性质 x x x x
00
范例
定理3.3（局部有界性）
若 lim f ( x ) A , 则存在 U ( x0 ) , f ( x ) 在 U ( x0 )上
x x0 x x0
由极限的定义，对于任意的正数 , 存在正数 1 , 2 , 当 0 | x x0 | 1 时 , | f ( x) A | , (1) 2 当 0 | x x0 | 2 时 ,
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x x 0
有界. 证 取 1, 存在 0, 当0 x x0 时，
| f ( x) A | 1 .
由此得
| f ( x) | | A | 1 .
这就证明了 f ( x )在某个空心邻域 U ( x0 , ) 上有界.
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x x0
lim f ( x ) lim g( x ) A, 所以对于任意 0, 证 因为 x x x x
存在 0, 当 0 | x x0 | 时, 有 A f ( x ) A , A g( x ) A .
0
0
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§2 函数极限概的性质
lim f lim f( (x x) ) A A的基本性质 x x x x
00
范例
这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理, 这
里将证明留给读者. 在下一节学过归结原则之后,
就可以知道这些定理是显然的.
数学分析 第三章 函数极限
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范例
§2 函数极限概的性质


2
0 0
数学分析 第三章 函数极限
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§2 函数极限概的性质
lim f ( x ) A 的基本性质 x x
0
范例
1 1 1 当 x 0 解 由取整函数的性质， 1 . x x x 1 时, 有 1 x x 1 , 由于 lim (1 x ) lim 1 1 , x 0 x 0 x 1 因此由迫敛性得 lim x 1 ; 又当 x 0 时 , 有 x 0 x 1 1 1 x 1 x , 同理得 lim x 1 . 于是求得 x 0 x x 1 lim x 1 . x 0 x
x x0 x x0 x x0
f ( 3) 又若 lim g ( x ) 0 , 则 g 在点 x0 的极限也存在, x x0
并有
f ( x) x x0 lim . x x0 g ( x ) lim g ( x )
x x0
lim f ( x )
数学分析 第三章 函数极限
n
1 证 因为 lim a 1 , lim n 1 , 所以 0 , N , n n a
当 n N 时, 有 1 a
1 n
a 1 , 特别又有
1 .
1 n
1 a

1 N

1 aN
1 取 , 当 0 | x 0| 时, N
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§2 函数极限概的性质
lim f lim f( (x x) ) A A的基本性质 x x x x
00
范例
定理3.4（局部保号性）
若 lim f ( x ) A 0 (或 0) , 则对任何正数
r A ( 或 r A ) , 存在 U ( x0 ) , 使得
x x0
2. 设 lim g( x ) u0 , lim f ( u) A , 这时是否必有
x x0 u u0
x x0
lim f ( g( x )) A ?
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lim f ( x ) A 的基本性质 x x
0
范例
arctan x . 例1 求 lim x x
π 1 解 因为 lim arctan x , lim 0, 所以 x 2 x x arctan x 1 lim = lim arctan x lim x x x x x

4
1,
所以
π π lim( x tan x 1) 1 1 1 . π 4 4 x 4
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§2 函数极限概的性质
lim f ( x ) A 的基本性质 x x
0
范例
例4 求证 lim a x 1 ( a 1) .
x 0
由此证得 f ( x ) A r .
数学分析 第三章 函数极限
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§2 函数极限概的性质
lim f lim f( (x x) ) A A的基本性质 x x x x
00
范例
定理3.5（保不等式性）
设 lim f ( x ) 与 lim g( x ) 都存在，
且在某邻域 U ( x0 ) 内有 f ( x ) g( x ) , 则
再由定理的条件，又得 A f ( x) h( x) g( x ) A . 这就证明了 h( x ) 在点 x0 的极限存在，并且就是 A .
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§2 函数极限概的性质
lim f lim f( (x x) ) A A的基本性质 x x x x
对一切 x U ( x0 ) , 有
x x0
f ( x) r 0 ( 或 f ( x) r 0 ) .
证 不妨设 A 0. 对于任何 r (0, A), 取 A r ,
存在 0, 当 0 | x x0 | 时， 有
| f ( x) A | .
§2 函数极限概的性质
lim f lim f( (x x) ) A A的基本性质 x x x x
00
范例
注 (1) 试与数列极限的有界性定理（定理 2.3）作一 比较； (2) 有界函数不一定存在极限； 1 1 ( 3) lim 1 , 但 在 ( 0 , 2 ) 上并不是有界的 . 这 x 1 x x 说明定理中 “局部” 这两个字是关键性 的.
x x0
x x0
x x0
lim f ( x ) lim g( x ).
x x0
证 设 lim f ( x ) A , lim g( x ) B, 则对于任意 0, x x x x 分别存在正数 1 , 2 , 使当 0 | x x0 | 1 时, 有 f ( x) A ; 而当 0 | x x0 | 2 时 , 有 g ( x ) B . 令 min{ 1 , 2 } , 则当 0 | x x0 | 时 , 满足 A f ( x ) g( x ) B ,