最新人教版八年级数学上册 专题复习：全等三角形与角平分线
人教版八年级数学上册 第十二章 全等三角形知识归纳与题型突破(12类题型清单)
第十二章全等三角形知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图02知识速记一、全等图形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.三、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.四、全等三角形的判定五、全等三角形的证明思路SAS HL SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边六、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.1．证明线段相等的方法：(1)证明两条线段所在的两个三角形全等.(2)利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3)等式性质.2．证明角相等的方法：(1)利用平行线的性质进行证明.(2)证明两个角所在的两个三角形全等.(3)利用角平分线的判定进行证明.(4)同角（等角）的余角（补角）相等.(5)对顶角相等.3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.4．辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.5.证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.七、角平分线概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
人教版数学八年级上册知识分类训练-12.3-角平分线的性质(含详案)
人教版八年级上册知识分类训练12.3 角平分线的性质1、角平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
2、角平分线的性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
用数学语言表示为：∵ QD⊥OA，QE⊥OB，点Q在∠AOB的平分线上∴ QD＝QE4、角平分线的判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为：∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．5、尺规作角的平分线：画法：①以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．②分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．③作射线ＯＣ．所以，射线ＯＣ即为所求．针对训练1．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是（ ）A．4B．3C．2D．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC 于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于DE的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB＝12，CG＝3，则△ABG的面积是（ ）A．12B．18C．24D．363．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝4，则PQ的长不可能是（ ）A．3.9B．4C．4.3D．5.54．如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P 到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（ ）A．1B．2C．3D．45．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，BC＝6，对角线BD平分∠ABC，则△BCD 的面积为（ ）A．15B．12C．8D．66．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（ ）cm2．A．24B．27C．30D．337．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，若BA＝5，AC＝2，S△ABC＝14，则S△ABD ＝ ．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的角平分线，如果AB＝10，△ADB的面积是15，则CD的长为 ．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，若CD＝4，则点D到AB的距离为 ．10．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝5，若点Q是射线OB上一点，OQ＝4，则△ODQ的面积是 ．11．如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2．AB＝6．BC＝4，求△ABC的面积．12．如图在△ABC中，∠B＝∠C，点D是BC的中点，DE⊥AB于点，DF⊥AC于点F．求证：AD是△ABC的角平分线．13．如图，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E，CF⊥AB交AB的延长线于点F．求证：AC平分∠DAB．14．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．（1）求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）证明AP＝AQ．15．已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF＝EF．16．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．（1）求证：DE平分∠ADC；（2）求证：AB+CD＝AD．17．如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝110°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝55°．（1）求∠ACE的度数；（2）求证：AE平分∠CAF；（3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积．参考答案1．解：过P作PE⊥AO于E，∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，∴PE＝PD＝2，∴点P到OA的距离是2．故选：C．2．解：过点G作GH⊥AB于点H，根据题意得，AF是∠CAB的角平分线，∵∠C＝90°，∴AC⊥CG，∵GH⊥AB，∴CG＝GH，∵CG＝3，∴，故选：B．3．解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，PA＝4，∴当PQ⊥AM时，PQ＝PA＝4，∴PQ≥4，∴PQ的长不可能3.9．故选：A．4．解：过P作PQ⊥AC于Q，PW⊥BC于W，PR⊥AB于R，∵△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，∴PQ＝PW，PW＝PR，∴PR＝PQ，∵点P到AC的距离为3，∴PQ＝PR＝3，则点P到AB的距离为3，故选：C．5．解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，∴DE＝DA＝4，∵BC＝6，∴△BCD的面积＝BC•DE＝×6×4＝12，故选：B．6．解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝3，同理可得OF＝OD＝3，∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC＝（AB+BC+AC），∵△ABC的周长是18，∴S△ABC＝×18＝27（cm2）．故选：B．7．解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC于点E，F，∵AD是∠BAC的角平分线，∴DE＝DF，设DE＝DF＝h，∵BA＝5，AC＝2，S△ABC＝14，∴AB•h+AC•h＝14，即×5h+×2h＝14，解得h＝4，∴S△ABD＝AB•DE＝×5×4＝10．故答案为：10．8．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AB＝10，△ADB的面积是15，∴，∴DE＝3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的角平分线，∴CD＝DE＝3，故答案为：3．9．解：过点D，作DE⊥AB，交AB于点E，∵∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，∴DE＝CD＝4，故答案为：4．10．解：作DH⊥OB于点H，∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DH⊥OB，∴DH＝DP＝5，∴△ODQ的面积＝OQ•DH＝4×5＝10，故答案为：10．11．解：如图，过点D作DF⊥BC于点F．∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE＝2，又∵AB＝6，BC＝4，∴＝．12．证明：∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF，即点D到AB和AC的距离相等，∴AD是△ABC的角平分线．13．证明：∵CE⊥AD于E，CF⊥AB，∴∠DEC＝∠CFB＝90°，∵∠D+∠ABC＝180°，∠CBF+∠ABC＝180°，∴∠D＝∠CBF，在△CDE与△CBF中，，∴△CDE≌△CBF（AAS），∴CE＝CF，∴AC平分∠DAB．14．（1）解：如图所示，BQ为所求作；（2）证明：∵BQ平分∠ABC，∴∠ABQ＝∠CBQ，∵∠BAC＝90°∴∠AQP+∠ABQ＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠CBQ+∠BPD＝90°，∵∠ABQ＝∠CBQ，∴∠AQP＝∠BPD，又∵∠BPD＝∠APQ，∴∠AQP＝∠APQ，∴AP＝AQ．15．证明：∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，在Rt△OPD和Rt△OPE中，，∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL），∴OD＝OE，∵OC是∠AOB的平分线，∴∠DOF＝∠EOF，在△ODF和△OEF中，，∴△ODF≌△OEF（SAS），∴DF＝EF．16．证明：（1）如图，过点E作EF⊥AD于F，∵∠B＝90°，AE平分∠DAB，∴BE＝EF，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，∴CE＝EF，又∵∠C＝90°，EF⊥AD，∴DE是∠ADC的平分线．（2）∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，EF⊥AD，∠B＝∠C＝90°，∴AB＝AF，DC＝DF，∴AB+CD＝AF+FD＝AD．17．（1）解：∵∠ACB＝110°，∴∠ACD＝180°﹣110°＝70°，∵EH⊥BD，∴∠CHE＝90°，∵∠CEH＝55°，∴∠ECH＝90°﹣55°＝35°，∴∠ACE＝180°﹣35°﹣110°＝35°；（2）证明：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，∵BE平分∠ABC，∴EM＝EH，∵∠ACE＝∠ECH＝40°，∴CE平分∠ACD，∴EN＝EH，∴EM＝EN，∴AE平分∠CAF；（3）解：∵AC+CD＝14，S△ACD＝21，EM＝EN＝EH，∴S△ACD＝S△ACE+S△CED＝AC•EN+CD•EH＝（AC+CD）•EM＝21，即，解得EM＝3，∵AB＝8.5，∴S△ABE＝AB•EM＝．。
【微专题】2023学年八年级数学上册常考点提分精练(人教版) 角平分线与全等三角形结合(解析版)
角平分线与全等三角形结合1．如图 A B 两点分别在射线OM ON 上 点C 在MON ∠的内部且CA CB = CD OM ⊥ CE ON ⊥ 垂足分别为D E 且AD BE =．(1)求证：OC 平分MON ∠；(2)如果10AO = 4BO = 求OD 的长．【答案】(1)见解析(2)7【解析】【分析】（1）证明Rt △ACD ≌Rt △BCE （HL ） 得CD =CE ．再由角平分线的判定即可得出结论；OC 平分∠MON ；（2）证Rt △ODC ≌Rt △OEC （HL ） 得OD =OE 设BE =AD =x ．则OE =OD =4+x 再由AO =OD +AD =4+2x =10 得x =3．即可得出答案．(1)证明：∵CD OM ⊥ CE ON ⊥∴90CDA CEB ∠=∠=︒．在Rt ACD △与Rt BCE 中 CA CB AD BE =⎧⎨=⎩∴Rt ACD △≌Rt BCE （HL ）∴CD CE =．又∵CD OM ⊥ CE ON ⊥∴OC 平分MON ∠．(2)解：在Rt ODC △与Rt OEC △中 CD CE OC OC =⎧⎨=⎩∴Rt ODC △≌Rt OEC △（HL ）∴OD OE =设BE AD x ==．∵4BO = ∴4OE OD x ==+∵AD BE x == ∴4210AO OD AD x =+=+=∴3x = ∴437OD =+=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定等知识 证明Rt △ACD ≌Rt △BCE 和Rt △ODC ≌Rt △OEC 是解题的关键．2．已知∠MAN AC 平分∠MAN D 为AM 上一点 B 为AN 上一点．（1）如图①所示 若∠MAN ＝120° ∠ABC ＝∠ADC ＝90° 求证：AB +AD ＝AC ；（2）如图②所示 若∠MAN ＝120° ∠ABC +∠ADC ＝180° 则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）成立 见解析【解析】【分析】（1）根据AC 平分∠MAN 可得CB ＝CD ∠CAB ＝60° 即可证明RT △ACD ≌RT △ACB 可得AD ＝AB 再根据AC ＝2AB 即可解题；（2）根据AC 平分∠MAN 可得CB ＝CD ∠CAB ＝60° 易证∠FCD ＝∠BCE 即可证明△CDF ≌△CBE 可得BE ＝DF 再根据（1）中证明AC ＝AE +AF 即可解题．【详解】解：（1）证明：∵AC 平分∠MAN∴CB ＝CD ∠CAB ＝60°在Rt △ACD 和Rt △AC B 中AC AC CD CB =⎧⎨=⎩∴Rt △ACD ≌Rt △ACB （HL ）∴AD ＝AB∵∠ACB ＝90°﹣∠CAB ＝30°∴AC ＝2AB∴AD +AB ＝AC ；（2）成立 过C 作CE ⊥AN 于E CF ⊥AM 于F∵AC 平分∠MAN∴CB ＝CD ∠CAB ＝60°∵∠ABC +∠ADC ＝180°∴∠DCB ＝60°∵∠FCE ＝180°﹣∠BAD ＝60°∴∠FCE ＝∠BCD∵∠FCD +∠DCE ＝∠FCE ∠BCE +∠DCE ＝∠BCD∴∠FCD ＝∠BCE在△CDF 和△CBE 中90FCD BCE CF CE CFD CEB ︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩∴△CDF ≌△CBE （ASA ）∴BE ＝DF∴AD +AB ＝AD +AE +BE ＝AD +DF +AE ＝AE +AF∵AC ＝AE +AF∴AD +AB ＝A C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质 考查了全等三角形对应边相等的性质 本题中求证△CDF ≌△CBE 是解题的关键．3．如图：在直角△AB C 中 ∠ABC ＝90° 点D 在AB 边上 连接C D ．（1）如图1 若CD 是∠ACB 的角平分线 且AD ＝CD 探究BC 与AC 的数量关系 说明理由； （2）如图2 若BC ＝BD BF ⊥AC 于点F 交CD 于点G 点E 在AB 的延长线上且AD ＝BE 连接GE 求证：BG +EG ＝A C ．【答案】（1）12BC AC =理由见解析；（2）见解析 【解析】【分析】 （1）如图1 过点D 作DM AC ⊥于点M 证明()Rt CDM Rt CDB HL ≌ 由全等三角形的性质得出CM CB = 则可得出结论；（2）作DK AB ⊥交BF 的延长线于点K 证明()Rt CAB Rt BKD AAS ≌ 得出BK AC = DK AB = 证明()DKG DEG SAS ∆≅∆ 得出KG EG = 则结论可得出．【详解】解：（1）12BC AC =． 理由如下：如图1 过点D 作DM AC ⊥于点MAD CD =M ∴为AC 的中点12CM AM AC ∴== CD 平分ACB ∠DM DB ∴=在Rt CDM 和Rt CDB 中CD CD DM DB=⎧⎨=⎩ ()Rt CDM Rt CDB HL ∴≌CM CB ∴=12BC AC ∴=； （2）证明：如图2 作DK AB ⊥交BF 的延长线于点KBF AC ⊥90AFK ∴∠=︒A K ∴∠=∠又90BDK ABC ∠=∠=︒ BC BD =()Rt CAB Rt BKD AAS ∴≌BK AC ∴= DK AB =AD BE =AD BD BE BD ∴+=+即AB DE =DK DE ∴=又DB BC = 90ABC ∠=︒45CDB ∴∠=︒45KDG EDG ∴∠=∠=︒又DG DG =()DKG DEG SAS ∴∆≅∆KG EG ∴=AC BK KG BG EG BG ∴==+=+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质 角平分线的性质 等腰三角形的性质 等腰直角三角形的性质等知识 解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．4．观察、猜想、探究：在△AB C 中 ∠ACB ＝2∠B ．（1）如图① 当∠C ＝90° AD 为∠BAC 的角平分线时 过D 作AB 的垂线DE,垂足为E 可以发现AB 、AC 、CD 存在的数量关系是 ；（2）如图② 当∠C ≠90° AD 为∠BAC 的角平分线时 线段AB 、AC 、CD 是否还存（1）中的数量关系？如果存在 请给出证明．如果不存在 请说明理由；（3）如图③ 当AD 为△ABC 的外角平分线时 线段AB 、AC 、CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想 并对你的猜想给予证明．【答案】（1）AB ＝AC +CD ；（2）存在 理由见解析；（3）AB ＝CD ﹣AC 理由见解析【解析】【分析】（1）根据∠ACB =90° ∠ACB =2∠B 得到∠B =45° CD ⊥AC 由线段垂直平分线的性质可得DE =CD 再证明∠B =∠EDB 得到BE =ED =CD 最后证明Rt △AED ≌Rt △ACD 得到AE =AC 即可得到结论；（2）在AB 上截取AG ＝AC 证明△ADG ≌△ADC 得到CD ＝DG ∠AGD ＝∠ACB 再由∠ACB ＝2∠B 得到∠B ＝∠GDB 则BG ＝DG ＝DC 即可得到AB ＝BG +AG ＝CD +AC ；（3）在AF 上截取AG ＝AC 由AD 为∠F AC 的平分线 得到∠GAD ＝∠CAD 可证△ADG ≌△ACD 得到CD ＝GD ∠AGD ＝∠ACD 即可推出∠ACB ＝∠FGD 再由∠ACB ＝2∠B 推出∠B ＝∠GDB 得到BG ＝DG ＝DC 则AB ＝BG ﹣AG ＝CD ﹣A C ．【详解】解：（1）AB ＝AC +CD 理由如下：∵∠ACB =90° ∠ACB =2∠B∴∠B =45° CD ⊥AC∵DE ⊥AB AD 平分∠BAC∴DE =CD ∠DEB =∠DEA =90°∴∠EDB =180°-∠B -∠DEB =45°∴∠B =∠EDB∴BE =ED =CD在Rt △AED 和Rt △AD C 中DE DC AD AD =⎧⎨=⎩∴Rt △AED ≌Rt △ACD （HL ）∴AE =AC∴AB +AE +BE =AC +CD ；（2）还存在AB ＝CD +AC 理由如下：在AB 上截取AG ＝AC 如图2所示∵AD 为∠BAC 的平分线∴∠GAD ＝∠CAD∵在△ADG 和△AD C 中AG AC GAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADG ≌△ADC （SAS ）∴CD ＝DG ∠AGD ＝∠ACB∵∠ACB ＝2∠B∴∠AGD ＝2∠B又∵∠AGD ＝∠B +∠GDB∴∠B ＝∠GDB∴BG ＝DG ＝DC则AB ＝BG +AG ＝CD +AC ；（3）AB ＝CD ﹣AC 理由如下：在AF 上截取AG ＝AC 如图3所示∵AD 为∠F AC 的平分线∴∠GAD ＝∠CAD∵在△ADG 和△AC D 中AG AC GAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADG ≌△ACD （SAS ）∴CD ＝GD ∠AGD ＝∠ACD∵∠FGD =180°-∠AGD ∠ACB =180°-∠ACD∴∠ACB ＝∠FGD∵∠ACB ＝2∠B∴∠FGD ＝2∠B又∵∠FGD ＝∠B +∠GDB∴∠B ＝∠GDB∴BG ＝DG ＝DC则AB ＝BG ﹣AG ＝CD ﹣A C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定 角平分线的性质与定义 三角形外角的性质 三角形内角和定理 解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．5．已知：如图1 在ABC 中 AD 是BAC ∠的平分线．E 是线段AD 上一点（点E 不与点A 点D 重合） 满足2∠=∠ABE ACE ．（1）如图2 若18∠=︒ACE 且EA EC = 则DEC ∠=________︒ AEB ∠=_______︒． （2）求证：AB BE AC +=．（3）如图3 若BD BE = 请直接写出ABE ∠和BAC ∠的数量关系．【答案】（1）36 126；（2）见解析；（3）3180∠+∠=︒ABE BAC【解析】【分析】（1）18∠=︒ACE 且EA EC = 再结合三角形的外角定理即可求DEC ∠ 18∠=︒ACE 且EA EC = AD 是BAC ∠的平分线 2∠=∠ABE ACE 再结合三角形内角和定理即可求解AEB ∠； （2）在AC 上截取AF AB = 连接FE 可证()≌AEF AEB SAS 故EF EB = AFE ABE 从而可得FEC FCE ∠=∠ 所以EF FC =进而可证得：=+=+AC AF FC AB BE （3）由BD BE = 可得BED BDE ∠=∠ BED ABE BAE ∠=∠+∠ ∠=∠+∠BDE DAC ACD 又AD 是BAC ∠的平分线 可得ABE ACD ∠=∠ 故CE 是ACD ∠的平分线 所以BE 是ABD ∠的平分线 故∠=∠=∠ABE ACD DBE 又180ACB ABC BAC ∠+∠+∠=︒ 所以ABE ∠和BAC ∠的数量关系即可求解．【详解】（1）∵18∠=︒ACE 且EA EC =∴∠EAC =∠ACE =18°∴∠DEC =∠EAC +∠ACE =36°又∵AD 是BAC ∠的平分线∴∠BAD =∠CAD =18°∵2∠=∠ABE ACE∴∠ABE =36°∴1801836126∠=︒-︒-︒=︒AEB ；故答案为：36 126（2）在AC 上截取AF AB = 连接FE又∵AE =AE EAF EAB ∠=∠∴()≌AEF AEB SAS∴EF EB = AFE ABE∵∠AFE =∠ACE +∠FEC ∠ABE =2∠ACE∴FEC FCE ∠=∠∴EF FC =∴=+=+AC AF FC AB BE ；（3）∵BD BE =∴BED BDE ∠=∠∵BED ABE BAE ∠=∠+∠ ∠=∠+∠BDE DAC ACD∠CAD =∠BAE∴∠ACD =∠ABE∵∠ABE =2∠ACE∴∠ACD =2∠ACE∴CE 平分∠ACB∴点E 到CA 、CB 的距离相等又∵AD 是BAC ∠的平分线∴点E 到AC 、AB 的距离相等∴点E 到BA 、BC 的距离相等∴BE 是ABD ∠的平分线∴∠ABE =∠CBE∴∠=∠=∠ABE ACD DBE又∵180ACB ABC BAC ∠+∠+∠=︒∴2180∠+∠+∠=︒ABE ABE BAC即3180∠+∠=︒ABE BAC ．【点睛】本题考查了三角形外角的性质、三角形的内角和定理、角平分线的性质、三角形全等的判定和性质 解题的关键是熟练掌握各知识点 准确作出辅助线 熟练运用数形结合的思想．6．已知：如图 D 为△ABC 外角∠ACP 平分线上一点 且DA ＝DB DM ⊥BP 于点M ．（1）若AC ＝6 DM ＝2 求△ACD 的面积；（2）求证：AC ＝BM ＋CM ．【答案】（1）6；（2）见解析【解析】【分析】（1）如图作DN ⊥AC 于N ．根据角平分线的性质定理可得DM ＝DN ＝2 由此即可解决问题； （2）由Rt △CDM ≌Rt △CDN 推出CN ＝CM 由Rt △ADN ≌Rt △BDM 推出AN ＝BM 由此即可解决问题．【详解】（1）解：如图作DN ⊥AC 于N ．∵DC 平分∠ACP DM ⊥CP DN ⊥CA∴DM ＝DN ＝2∴S △ADC ＝12•AC •DN ＝12×6×2＝6．（2）∵CD ＝CD DM ＝DN∴Rt △CDM ≌Rt △CDN∴CN ＝CM∵AD ＝BD DN ＝DM∴Rt △ADN ≌Rt △BDM∴AN ＝BM∴AC ＝AN ＋CN ＝BM ＋CM ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识 解题的关键是学会添加常用辅助线 构造全等三角形解决问题 属于中考常考题型．7．如图 在∠EAF 的平分线上取点B 作BC ⊥AF 于点C 在直线AC 上取一动点P ．在直线AE 上取点Q 使得BQ=BP ．（1）如图1 当点P 在点线段AC 上时 ∠BQA +∠BP A = °；（2）如图2 当点P 在CA 延长线上时 探究AQ 、AP 、AC 三条线段之间的数量关系 说明理由； （3）在满足（1）的结论条件下 当点P 运动到在射线AC 上时 直接写出AQ 、AP 、PC 三条线段之间的数量关系为： ．【答案】（1）180；（2）2AQ AP AC -=；理由见解析；（3）2AQ AP PC -=或2AP AQ PC -=．【解析】【分析】（1）作BM ⊥AE 于点M 根据角平分线的性质得到BM =BC 证明Rt BMQ ∆Rt ()BPC HL ∆≌,继而证明BQA BPC ∠=∠解题即可；（2）作BM AE ⊥于M 先证明Rt Rt ABM ABC ∆∆≌（HL ） 继而得到ABM ABC ∠=∠ AM AC = BM BC = 再证明Rt Rt BMQ BCP ∆∆≌（HL ） 从而得到PC QM = 据此解题即可；（3）分两种情况讨论 当点P 在线段AC 上时 或当点P 在线段AC 的延长线上时 分别画出适合的图 再由QBM PBC ∆∆≌（AAS ）可得QBM PBC ∠=∠ QM PC = BM BC = 再由Rt Rt ABM ABC ∆∆≌（HL ）可得AM AC = 利用线段和差计算即可．【详解】（1）证明：过点B 作BM AE ⊥于M∵BA 平分EAF ∠ BC AF ⊥∴BM BC =在Rt BMQ ∆和Rt BPC ∆中BQ BP BM BC =⎧⎨=⎩∴Rt Rt BMQ BPC ∆∆≌（HL ）∴BQA BPC ∠=∠又∵180BPC BPA ∠+∠=︒∴180BQA BPA ∠+∠=︒故答案为180；（2）解：2AQ AP AC -=理由如下：如图2 作BM AE ⊥于M∵AB 平分∠EAF BC AF ⊥∴BM =BC 90BMA BCA ∠=∠=︒在Rt ABM ∆和Rt ABC ∆中BM BC AB AB=⎧⎨=⎩ ∴Rt Rt ABM ABC ∆∆≌（HL ）∴ABM ABC ∠=∠ AM AC =在Rt BMQ ∆和Rt BCP ∆中BQ BP BM BC =⎧⎨=⎩∴Rt Rt BMQ BCP ∆∆≌（HL ）∴PC QM =∴()()2AQ AP AM QM PC AC AM AC AC -=+--=+=（3）当点P 在线段AC 上时 如图 2AQ AP PC -=理由如下：作BM AE ⊥于M∵BC ⊥AF∴90BMA BCA ∠=∠=︒∵180BQA BPA ∠+∠=︒ ∠BPC +∠BP A =180°∴∠BPC =∠BQM在QBM ∆和PBC ∆中BMQ BCP BQM BPC QB PB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴QBM PBC ∆∆≌（AAS ）∴QBM PBC ∠=∠ QM PC = BM BC =在Rt ABM ∆和Rt ABC ∆中BM BC AB AB =⎧⎨=⎩∴Rt Rt ABM ABC ∆∆≌（HL ）∴AM AC =∴()2AQ AP AM QM AC PC QM PC PC -=+--=+=当点P 在线段AC 的延长线上时 如图 2AP AQ PC -=理由如下：作BM AE ⊥于M∵BC ⊥AF∴90BMA BCA ∠=∠=︒∵180BQA BPA ∠+∠=︒ ∠BQM +∠BQA =180°∴∠BPC =∠BQM在QBM ∆和PBC ∆中BMQ BCPBQM BPCQB PB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴QBM PBC ∆∆≌（AAS ）∴QBM PBC ∠=∠ QM PC = BM BC =在Rt ABM ∆和Rt ABC ∆中BM BCAB AB =⎧⎨=⎩∴Rt Rt ABM ABC ∆∆≌（HL ）∴AM AC =∴()2AP AQ AC CP AM QM MQ PC PC -=+--=+=故答案为：2AQ AP PC -=或2AP AQ PC -=．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质 角平分线性质 分类讨论思想等知识 掌握相关知识利用辅助线画出准确图形是解题关键．8．如图 在ABC 中 BAD DAC ∠=∠ DF AB ⊥ DM AC ⊥ 10AF cm = 14AC cm = 动点E 以2/cm s 的速度从A 点向F 点运动 动点G 以1/cm s 的速度从C 点向A 点运动 当一个点到达终点时 另一个点随之停止运动 设运动时间为t ．（1）CM = :AE CG = ；（2）当t 取何值时 DFE △和DMG △全等；（3）在（2）的前提下 若:119:126BD DC = 228cm AED S =△ 求BFD S ．【答案】（1）4 2；（2）143；（3）293cm 2．【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质可证Rt △AFD ≌Rt △AMD 得AF =AM 从而求出即可；（2）分两种情况进行讨论：①当0＜t ＜4时 ②当4≤t ＜5时 分别根据△DFE ≌△DMG 得出EF =GM 据此列出关于t 的方程 进行求解即可．（3）利用等高三角形的面积比等于对应底的比 即可求得答案．【详解】（1）∵∠BAD =∠DAC DF ⊥AB DM ⊥AC ∴DF =DM在Rt △AFD 和Rt △AM D 中DF DMAD AD =⎧⎨=⎩∴Rt △AFD ≌Rt △AMD （HL ）；∴10AF AM cm ==14104CM AC AM cm ∴=-=-=2AE t = CG t = :2AE CG ∴=（2）①当0＜t ＜4时 点G 在线段CM 上 点E 在线段AF 上．EF ＝10﹣2t MG ＝4﹣t∴10﹣2t＝4﹣t∴t＝6（不合题意舍去）；②当4＜t＜5时点G在线段AM上点E在线段AF上．EF＝10﹣2t MG＝t﹣4∴10﹣2t＝t﹣4∴t＝143；综上所述当t＝143时△DFE与△DMG全等；（3）∵t＝14 3∴AE＝2t＝28 3∵DF＝DM∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝BD：CD＝119：126 ∵AC＝14∴AB＝119 9∴BF＝AB﹣AF＝1199﹣10＝299∵S△ADE：S△BDF＝AE：BF＝283：299S△AED＝28cm2∴S△BDF＝293cm2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形的面积公式以及动点问题解题的难点在于第二问中求运动的时间此题容易漏解和错解．9．在平面直角坐标系中A（﹣3 0）、B（0 7）、C（7 0）∠ABC＋∠ADC＝180° BC⊥C D．（1）如图1①求证：∠ABO＝∠CAD；②AB与AD是否相等？请说明理由；（2）如图2 E为∠BCO的邻补角的平分线上的一点且∠BEO＝45° OE交BC于点F求BF 的长．【答案】（1）①见解析；②AB＝AD见解析；（2）7【解析】【分析】(1）根据四边形的内角和定理、直角三角形的性质证明；(2)过点A作AF⊥BC于点F作AE⊥CD的延长线于点E△ABF≌△ADE得到AB＝AD(3)过点E作EH⊥BC于点H作EG⊥x轴于点G根据角平分线的性质得到EH=EG证明△ABF ≌△ADE得到EB=EO根据等腰三角形的判定定理解答.【详解】证明：①在四边形ABC D中∵∠ABC＋∠ADC＝180°∴∠BAD＋∠BCD＝180°∵BC⊥CD∴∠BCD＝90°∴∠BAD＝90°∴∠BAC＋∠CAD＝90°∵∠BAC＋∠ABO＝90°∴∠ABO＝∠CAD；解：②AB＝AD如图：过点A 作AF ⊥BC 于点F 作AE ⊥CD 的延长线于点E ∵B （0 7） C （7 0）∴OB ＝OC∴∠BCO ＝45°∵BC ⊥CD∴∠BCO ＝∠DCO ＝45°∵AF ⊥BC AE ⊥CD∴AF ＝AE ∠F AE ＝90°∴∠BAF ＝∠DAE在△ABF 和△ADE 中BAF DAE AF AEAFB AED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABF ≌△ADE （ASA ）∴AB ＝AD（3）过点E 作EH ⊥BC 于点H 作EG ⊥x 轴于点G∵E 点在∠BCO 的邻补角的平分线上∴EH ＝EG∵∠BCO ＝∠BEO ＝45°∴∠EBC ＝∠EOC在△EBH 和△EOG 中EBH EOG EHB EGO EH EG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EBH ≌△EOG （AAS ）∴EB ＝EO∵∠BEO ＝45°∴∠EBO ＝∠EOB ＝67.5° 又∠OBC ＝45°∴∠BOE ＝∠BFO ＝67.5°∴BF ＝BO ＝7.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质 掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.10．如图所示 直线AB 交x 轴于点A （a 0） 交y 轴于点B （0 b ）且a 、b2(4)0a -= C 的坐标为（﹣1 0） 且AH ⊥BC 于点H AH 交OB 于点P ．（1）如图1 写出a 、b 的值 证明△AOP ≌△BOC ；（2）如图2 连接OH 求证：∠OHP ＝45°；（3）如图3 若点D 为AB 的中点 点M 为y 轴正半轴上一动点 连接MD 过D 作DN ⊥DM 交x 轴于N 点 当M 点在y 轴正半轴上运动的过程中 求证：S △BDM ﹣S △ADN ＝4．【答案】（1）a ＝4 b ＝﹣4 见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）先依据非负数的性质求得a 、b 的值从而可得到OA OB = 然后再90COB POA ∠=∠=︒OAP OBC ∠=∠ 最后 依据ASA 可证明OAP OBC ∆∆≌；（2）要证45OHP ∠=︒ 只需证明HO 平分CHA ∠ 过O 分别作OM CB ⊥于M 点 作ON HA ⊥于N 点 只需证到OM ON = 只需证明COM PON ∆∆≌即可；（3）连接OD 易证ODM ADN ∆∆≌ 从而有ODM ADN S S ∆∆= 由此可得12BDM ADN BDM ODM BOD AOB S S S S S S ∆∆∆∆∆∆-=-==． 【详解】（1）解：2(4)0a -=0a b ∴+= 40a -=4a ∴= 4b =-则4OA OB ==．AH BC ⊥即90AHC ∠=︒ 90COB ∠=︒90HAC ACH OBC OCB ∴∠+∠=∠+∠=︒HAC OBC ∴∠=∠．在OAP ∆与OBC ∆中90COB POA OA OBOAP OBC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()OAP OBC ASA ∴∆∆≌；（2）证明：过O 分别作OM CB ⊥于M 点 作ON HA ⊥于N 点．在四边形OMHN 中 36039090MON ∠=︒-⨯︒=︒90COM PON MOP ∴∠=∠=︒-∠．OAP OBC ∆∆≌OC OP ∴=在COM ∆与PON ∆中90COM PON OMC ONP OC OP ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()COM PON AAS ∴∆∆≌OM ON ∴=．OM CB ⊥ ON HA ⊥HO ∴平分CHA ∠1452OHP CHA ∴∠=∠=︒； （3）证明：如图：连接OD ．90AOB ∠=︒ OA OB = D 为AB 的中点OD AB ∴⊥ 45BOD AOD ∠=∠=︒ OD DA BD ==45OAD ∴∠=︒ 9045135MOD ∠=︒+︒=︒135DAN MOD ∴∠=︒=∠．MD ND ⊥即90MDN ∠=︒90MDO NDA MDA ∴∠=∠=︒-∠．在ODM ∆与ADN ∆中MDO NDA DOM DAN OD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ODM ADN ASA ∴∆∆≌ODM ADN S S ∆∆∴=．11114442222BDM ADN BDM ODM BOD AOB S S S S S S AO BO ∆∆∆∆∆∆∴-=-===⨯⋅=⨯⨯⨯=． 【点睛】本题是一次函数综合题 考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的判定、二次根式及完全平方式的非负性等知识 在解决第（3）小题的过程中还用到了等积变换而运用全等三角形的性质则是解决本题的关键．11．在△AB C 中 ∠BAC ＝90° AB ＝A C ．（1）如图1 若A 、B 两点的坐标分别是A （0 4） B （﹣2 0） 求C 点的坐标；（2）如图2 作∠ABC 的角平分线BD 交AC 于点D 过C 点作CE ⊥BD 于点E 求证： BD ＝2CE【答案】（1）（4 2）；（2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）作CM ⊥OA 垂足为M 证明△ABO ≌△CAM 即可得解；（2）延长CE 、BA 相交于点F 证明△ABD ≌△ACF （ASA ） 得到BD =CF 证明△BCE ≌△BFE （ASA ） 即可得解；【详解】（1）作CM ⊥OA 垂足为M∵∠AOB =∠BAC =90°∴∠BAO +∠CAM =90° ∠BAO +∠ABO =90°∴∠ABO =∠CAM在ABO 和CAM 中AOB CMA ABO CAM AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABO ≌△CAM∴MC =AO =4 AM =BO =2 MO =AO -AM =2∴点C 坐标（4 2）；（2）如图2 延长CE 、BA 相交于点F∵∠EBF+∠F =90° ∠ACF+∠F =90°∴∠EBF =∠ACF在ABD △和ACF 中ABD ACF AB ACBAD CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABD ≌△ACF （ASA ）∴BD=CF在BCE 和BFE △中CBE FBE BE BEBEF BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BCE ≌△BFE （ASA ）∴CE =EF∴BD =CF =2 CE ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质 角平分线的性质 准确分析证明是解题的关键． 12．如图1 点A 、D 在y 轴正半轴上 点B 、C 分别在x 轴上 CD 平分∠ACB 与y 轴交于D 点 ∠CAO ＋∠BDO ＝90°．（1）求证：AC ＝BC ；（2）如图2 点C 的坐标为(6 0) 点E 为AC 上一点 且∠DEA ＝∠DBO 求BC +EC 的值；（3）如图3 过D 作DF ⊥AC 于F 点 点H 为FC 上一动点 点G 为OC 上一动点 当H 在FC 上移动、点G 在OC 上移动时 始终满足∠GDH ＝∠GDO +∠FDH ．试判断FH 、GH 、OG 这三者之间的数量关系 写出你的结论并加以证明．【答案】（1）证明见解析；（2）BC +EC =12；（3）GH =FH +OG 证明见解析．【解析】【分析】（1）由题意∠CAO ＋∠BDO ＝90° 可知∠CAO =∠CBD 再结合CD 平分∠ACB 所以可由AAS 定理证明△ACD ≌△BCD 由全等三角形的性质可得AC =BC ；（2）过D 作DN ⊥AC 于N 点 可证明Rt △BDO ≌Rt △EDN 、△DOC ≌△DNC 因此 BO =EN 、OC =NC 所以 BC +EC =BO +OC +NC -NE =2OC 即可得BC +EC 的长；（3）在x 轴的负半轴上取OM =FH 可证明△DFH ≌△DOM 、△HDG ≌△MDG 因此 MG =GH 所以 GH =OM +OG =FH +OG 即可证明所得结论．【详解】（1）证明：∵x 轴⊥y 轴∴∠CBD ＋∠BDO ＝90°∵∠CAO ＋∠BDO ＝90°∴∠CAO =∠CB D ．∵CD 平分∠ACB∴ACD BCD ∠=∠在△ACD 和△BC D 中ACD BCD CAO CBD CD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCD （AAS ）．∴AC =BC AD =DE ；（2）解：由（1）知∠CAD =∠DEA =∠DBO∴BD =AD =DE过D 作DN ⊥AC 于N 点 如右图所示：∵∠ACD =∠BCD∴DO =DN在Rt △BDO 和Rt △EDN 中BD DE DO DN=⎧⎨=⎩ ∴Rt △BDO ≌Rt △EDN （HL ）∴BO =EN ．在△DOC 和△DN C 中90DOC DNC OCD NCD DC DC ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DOC ≌△DNC （AAS ）可知：OC =NC ；∴BC +EC =BO +OC +NC -NE =2OC =12；（3）GH =FH +OG ．证明：由（1）知：DF =DO在x 轴的负半轴上取OM =FH 连接DM 如图所示： 在△DFH 和△DOM 中90DF DO DFH DOM OM FH ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴△DFH ≌△DOM （SAS ）．∴DH =DM ∠1=∠ODM ．∴∠GDH =∠1+∠2=∠ODM +∠2=∠GDM ． 在△HDG 和△MDG 中DH DMGDH GDM DG DG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△HDG ≌△MDG （SAS ）．∴MG =GH∴GH =OM +OG =FH +OG ．【点睛】本题考查坐标与图形 全等三角形的性质和判定 角平分线的性质．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．。
人教版八年级数学上册全等三角形的复习
角的内部到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。
用法： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
例.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE 的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE 的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，
FH⊥AD于H，FM⊥BC于M
∴EF=CE
A
B
又∵E是BC的中点
证明:作EF⊥AD,垂足为F ∴EB=EC
∵DE平分∠ADC AB//CD,∴∠C=∠B 又∵∠B=90º∴∠C=90º
∴EF=EB ∵∠B=90º ∴EB⊥AB ∴AE平分∠DAB
如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上， 另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩 离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。
《数学》( 北师大.七年级 下册 )
知识框架
图
形 能够完全重合
的 全
大小，形状相同
全等三角形
等
性质
判定
对
对
应
应
边
角
相
相
等
等
1.如果有三条边对应相等,那么这两个 三角形全等(简记SSS)
∵在△ABC与△DEF中, AB=DE
BC=EF
AC=DF ∴ △ABC≌△DEF（SSS）
2,如果有两条边及它们的夹角对 应相等,那么这两个三角形全等 (简记为SAS)
如图，在等腰Rt△ABC中，P是斜边BC的重点， 以P为顶点的直角的两边分别与边AB，AC交与 点E，F，连接EF。当∠EPF绕顶点P旋转时， △PEF也始终是等腰直角三角形，请你说明理 由。
分类例题——全等的应用
例：用直尺和圆规作一个角等于已知角的示
人教版八年级数学上册第十二章《全等三角形的综合、角平分线》讲义(带答案)
第7讲全等三角形的综合、角平分线⑴平移全等型⑵对称全等型⑶旋转全等型⑴、角平分线上的点到角的两边的距离相等；⑵、到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，3．OA OB，这种对称的图形应用得也较为普遍，角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．考点1、三角形全等综合1、如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过B点的AB的垂线L 上取两点C、D，使CD=BC，再在过D点的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，ED=AB这时，测ED的长就得AB得长，判定△ACB≌△ECD的理由是（）A. SASB. ASAC. SSS D .AAS2、如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（B）A．PO B．PQ C．MO D．MQ（1）（2）3、如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚是35cm，点B与点O的垂直距离AB长是20cm，在点O处作一直线平行于地面，在直线上截取OC=35cm，过C作OC的垂线，在垂线上截取CD=20cm，连接OD，然后，沿着D0的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出．这是什么道理？4、1805年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战．德军在莱茵河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌营．聪明的拿破仑站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营Q 处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点0处，让士兵丈量他所站立位置B与0点的距离，并下令按照这个距离炮轰德军．试问：法军能命中目标吗？请说明理由．用帽舌边缘视线法还可以怎样测量，也能测出河岸两边的距离吗？5、某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如下几种方案：甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的长即为A，B的距离．乙：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B 的距离．丙：如图③，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC=∠BDA，这时只要测出BC的长即为A，B的距离．（1）以上三位同学所设计的方案，可行的有______；（2）请你选择一可行的方案，说说它可行的理由．1、已知: 如图,AB=AE,BC=ED, ∠B= ∠E,AF ⊥CD,F 为垂足, 求证:CF=DF.2、已知：如图，AB=CD，BC=DA，AE=CF．求证：BF=DE．3、如图，AB=AD，BC=DE，且BA⊥AC，DA⊥AE，你能证明AM=AN吗？1、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC. 求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF.2、已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E是AD上一点，BE的延长线交AC 于F，若BD=AD，DE=DC。
角平分线的性质(4种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(人教版)(解析版)
角平分线的性质（4种题型）【知识梳理】一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.二、角的平分线的逆定理角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D 、E 为圆心，大于DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C. （3）画射线OC.射线OC 即为所求. 【考点剖析】题型一：角平分线性质定理 例1.（2023春·陕西榆林·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD 中，90B C ∠=∠=︒，点E 为BC 的中点，且AE 平分BAD ∠．求证：DE 是ADC ∠的平分线．【详解】证明：如图，过点E 作EF AD ⊥于点F ，∴90B Ð=°，AE 平分BAD ∠，∴BE EF =．∴点E 是BC 的中点，∴BE CE =，∴CE EF =．又∵90C ∠=︒，EF AD ⊥，∴DE 是ADC ∠的平分线．【变式1】（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）如图，ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，5AB =，2CD =，求ABD △的面积．12【答案】5【详解】解：作DE AB ⊥如图，∵AD 平分BAC ∠，90C ∠=︒，2CD =，∴=2CD DE =，1152522ABD S AB DE ∴=⨯⨯=⨯⨯=△．【变式2】（2023春·湖南常德·八年级统考期末）如图，点P 是ABC 的三个内角平分线的交点，若ABC 的周长为24cm ，面积为236cm ，则点P 到边BC 的距离是（ ）A ．8cmB ．3cmC ．4cmD ．6cm【答案】B 【详解】解：过点P 作PD AB ⊥于，PE BC ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，如图，∵点P 是ABC 的内角平分线的交点，∴PE PF PD ==，又ABC 的周长为24cm ，面积为236cm ，∴()11112222ABC S AB PD BC PE AC PF PE AB BC AC =⋅+⋅+⋅=++，∴124363PE ⨯⨯=∴3cm PE =【变式3】（湖南省郴州市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥于点E ．如果8AC =，那么AD DE +=______．【答案】8【详解】解：∵在ABC 中，90ACB ∠=︒，BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥，∴CD DE =，∵8AC =，∴8AD DE AD CD AC +=+==， 【变式4】（2023春·广东深圳·七年级统考期末）把两个同样大小的含30︒角的三角尺像如图所示那样放置，其中M 是AD 与BC 的交点，若4CM =，则点M 到AB 的距离为______．【答案】4【详解】解：由题意，得：90,30D C ABC DAB ∠=∠=︒∠=∠=︒，∴,60MC AC CAB ⊥∠=︒，∴30MAC BAC MAB MAB ∠=∠−∠=︒=∠，∴AM 平分DAB ∠，过点M 作MN AB ⊥，交AB 于点N ，∴4MN MC ==．故答案为：4．【变式5】如图，P 为ABC 三条角平分线的交点，PH 、PN 、PM 分别垂直于BC 、AC 、AB ，垂足分别为H 、N 、M ．已知ABC 的周长为15cm ，3cm PH =，则ABC 的面积为______2cm ．【答案】22.5【详解】解：连接PM 、PN 、PH ，P 为ABC 三条角平分线的交点，PH 、PN 、PM 分别垂直于BC 、AC 、AB ，3cm PM PN PH ∴===，ABC ∴∆的面积ΔAPB =的面积ΔBPC +的面积ΔAPC +的面积111222AB PM BC PH AC PN =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 1()32AB BC AC =++⨯222.5(cm )=．七年级校考期末）如图，在ABC 中，【答案】(1)32︒ (2)6【详解】（1）解：∵40B ∠=︒，76C ∠=︒，∴180407664BAC ∠=︒−︒−︒=︒，∵AD 平分BAC ∠， ∴1322BAD BAC ∠=∠=︒；（2）如图，过点D 作DF AB ⊥于点F ，∵AD 平分BAC ∠，DE AC ⊥，∴DF DE =，∵2DE =，6AB =，∴2DF =， ∴ABD △的面积12662=⨯⨯=.题型二：角平分线性质定理及证明 ，且PMN 与OMN 的面积分别是【答案】(1)证明过程见详解(2)20OM ON +=【详解】（1）证明：如图所示，过P 作PC MN PD OA PE OB ⊥⊥⊥，，，∵MP 平分AMN ∠，NP 平分MNB ∠，∴PD PE =，PC PE =，∴PD PE =，∵PD AO PE BO ⊥⊥，，∴OP 平分AOB ∠．（2）解：如图所示，过P 作PC MN PD OA PE OB ⊥⊥⊥，，，连接OP ，∵18162PMN MN S MN PC ===△，，∴4PC =，由（1）可知4PD PE PC ===，∵1624PMN OMN S S ==△△，，∴40MONP S =四边形，即1122OPM ONP MONP S S S OM PD ON PE =+=+△△四边形，∴1140442222OM ON OM ON =⨯+⨯=+，∴20OM ON +=． 【变式1】（2022秋·河南安阳·八年级校考阶段练习）如图，点E 是BC 的中点，AB BC DC BC ⊥⊥，，AE 平分BAD ∠．求证：(1)DE 平分ADC ∠；(2)AD AB CD +＝．【详解】（1）证明：如下图，过E 作EF AD ⊥于F ，∵AB BC ⊥，AE 平分BAD ∠，∴EB EF ＝，∵点E 是BC 的中点，∴EB EC ＝，∴EF EC ＝，∵DC BC EF AD ⊥⊥，，∴90EFD ECD ∠∠︒＝＝，在Rt EFD 和Rt ECD △中，EF EC ED ED =⎧⎨=⎩，∴Rt Rt HL EFD ECD ≌（），∴FDE CDE ∠∠＝，∴DE 平分ADC ∠；（2）解：由（1）知，Rt Rt EFD ECD ≌，∴FD CD ＝，在Rt AEF 和Rt AEB 中，EF EB AE AE =⎧⎨=⎩，∴Rt Rt HL AEF AEB ≌（），∴AF AB ＝，∵AD AF FD +＝，∴AD AB CD +＝．【变式2】（2022秋·北京朝阳·八年级校考期中）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，DE AB ⊥，于点E ，AD 平分CAB ∠，点F 在AC 上，BD DF =．求证：BE FC =．【详解】证明：∵AD 平分CAB ∠，90C ∠=︒，DE AB ⊥，∴DE DC =，90C DEB ∠=∠=︒，∴在Rt DEB ∆和Rt DCF ∆中，∵DE DC BD DF =⎧⎨=⎩，∴()HL DEB DCF ∆≅∆，∴BE FC =．(1)求证：BE ＝CD ；(2)判断点O 是否在∠BAC 的平分线上，并说明理由．（1）证明：BE 、CD 是ABC ∆的高，且相交于点O ，90∴∠=∠=︒BEC CDB ，在BDO ∆和CEO ∆中，90CDB BEC BOD COEBD CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BOD COE ∴∆≅∆(AAS)，OD OE ∴=，OB OC =，OD OC OE OB ∴+=+，即CD BE =；（2）解：点O 在BAC ∠的平分线上，理由如下： 连接AO ，如图所示：BE 、CD 是ABC ∆的高，且相交于点O ， 90ADC AEB ∴∠=∠=︒，由（1）得BE CD =，∴在ABE ∆和ACD ∆中，90ADC AEB CAD BAE CD BE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ACD ABE ∴∆≅∆(AAS)， AD AE ∴=，由（1）得OD OE =，∴在AOD ∆和AOE ∆中，90AD AE ADC AEB OD OE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，AOD AOE ∴∆≅∆(SAS)，DAO EAO ∴∠=∠， ∴点O 在BAC ∠的平分线上．题型三：角平分线的判定定理 例3.如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，AM 平分DAB ∠，求证：DM 平分ADC ∠．【详解】证明：如图：过点M 作ME AD ⊥，垂足为E ，AM 平分DAB ∠，MB AB ⊥，ME AD ⊥，ME MB =∴（角平分线上的点到角两边的距离相等），又MC MB =，ME MC ∴=，MC CD ⊥，ME AD ⊥，DM ∴平分ADC ∠（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．【详解】（1）证明：如图，过点E 作EF DA ⊥于点F ，∵90C ∠=︒，DE 平分ADC ∠，∴CE EF =，∵E 是BC 的中点，∴BE CE =，∴BE EF =，又∵90B Ð=°，EF DA ⊥，∴AE 平分DAB ∠．（2）解：∵EF DA ⊥，90C ∠=︒，∴EFD △和ECD 都为Rt △，又∵DE 平分ADC ∠，∴EC EF =，在Rt EFD 和Rt ECD △中，ED ED EC EF =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL EFD ECD △≌△， ∴EFD ECD S S =△△，CED FED ∠=∠，∵EF DA ⊥，90B Ð=°，∴EFA △和EBA △都为Rt △，又∵AE 平分DAB ∠，∴EF EB =，在Rt EFA △和Rt EBA △中，EA EA EF EB =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL EFA EBA △≌△， ∴EFA EBA S S =△△，FEA BEA ∠=∠， ∴()111809022DEA DEF AEF CEF BEF ∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， ∵4AE =，3DE =， ∴1143622AED S AE DE =⋅=⨯⨯=△， ∴EFD ECD EFA EBA ABCD S S S S S =+++△△△△四边形EFD EFD EFA EFA S S S S =+++△△△△()2EFD EFA S S =+△△2AED S =△ 26=⨯12=．∴四边形ABCD 的面积为12． 【变式2】如图，在AOB 和COD △中，OA OB =，OC OD =（OA OC <），AOB COD α∠=∠=，直线AC ，BD 交于点M ，连接OM ．(1)求证：AC BD =；(2)用α表示AMB ∠的大小；(3)求证：OM 平分AMD ∠．【详解】（1）证明：AOB COD α∠=∠=，AOB BOC COD BOC ∴∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC 和BOD 中，OA OB AOC BODOC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS AOC BOD ∴≌， ∴AC BD =，（2）解：由三角形的外角性质得：AMB OBD OAC AOB ∠+∠=∠+∠，由（1）得()SAS AOC BOD ≌△△，∴OAC OBD ∠=∠，AMB AOB α∴∠=∠=，（3）证明：作OG AM ⊥于G ，OH DM ⊥于H ，如图所示，则90OGA OHB ∠=∠=︒，在OAG △和OBH △中，OGA OHB OAC OBDOA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS OAG OBH ∴≌， OG OH ∴=，OG AM ⊥于G ，OH DM ⊥于H ，MO ∴平分AMD ∠，是ABC 的角平分线，且交于点(1)APB ∠=______．(2)求证：点P 在C ∠的平分线上．【详解】（1）解：证明：60C ∠=︒，AE ，BD 是ABC 的角平分线，12ABP ABC ∴∠=∠，12BAP BAC ∠=∠，11()(180)6022BAP ABP ABC BAC C ∴∠+∠=∠+∠=︒−∠=︒， 120APB ∴∠=︒；（2）如图，过P 作PF AB ⊥，PG AC ⊥，PH BC ⊥，AE ，BD 分别平分CAB ∠，CBA ∠，PF PG ∴=，PF PH =，PH PG ∴=，∴点P 在C ∠的平分线上；（3）如图，在AB 上取点M 使AM AD =，连接PM ，AE 是BAC ∠的平分线，PAM PAD ∴∠=∠， 在AMP 与ADP △中，AP AP PAM PADAM AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS AMP ADP ∴≌， 18060APM APD APB ∴∠=∠=︒−∠=︒，180()60BPM APM APD ∴∠=︒−∠+∠=︒，60BPE APD ∠=∠=︒，BPM BPE ∴∠=∠，BD Q 是ABC ∠的角平分线，MBP EBP ∴∠=∠，在BPM △与BPE 中，MBP EBP BP BPBPE BPM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA BPM BPD ∴≌，BM BE ∴=， AB AM BM AD BE ∴=+=+． (1)如图1，连接AC BD ，，交点为G ，连接OG ，求证：①AC BD =；②OG 平分DGC ∠；(2)如图2，若90AOD BOC ∠=∠=︒，E 是CD 的中点，过点在同一条直线上．∴AOD AOB BOC AOB ∠+∠=∠+∠，∴AOB AOC ∠=∠，又∵OA OD =，OB OC =，∴()SAS DOB AOC V V ≌，∴AC BD =；②如图所示，过点O 作OH DB ⊥于点H ，OF AC ⊥于点F ，∵DOB AOC ≌，OH DB ⊥，OF AC ⊥∴OH OF =，∴点O 在DGC ∠的角平分线上，∴OG 是DGC ∠的角平分线，∴OG 平分DGC ∠；（2）证明：连接OE ，并延长到N ，使NE OE =，连接CN ，∵E 是CD 的中点，∴CE DE =，又∵CEN DEO ∠=∠，NE OE =，∴()SAS CEN DEO ∠V V ≌，∴NCE ODE ∠=∠，CN OD =，∴CN OD ∥，∴180OCN COD CN OA ∠+∠=︒=，，90AOD BOC ∠=∠=︒，180AOB COD ∴∠+∠=︒，OCN AOB ∴∠=∠，在ONC 和BAO 中，OC OB OCN AOBCN OA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ONC BAO ∴≌， NOC ABO ∴∠=∠，OF AB ⊥，90ABO BOF ∴∠+∠=︒，90NOC BOF ∴∠+∠=︒，180NOC BOF BOC ∴∠+∠+∠=︒，∴点E O F ，，在同一条直线上．题型四：尺规作图—作角平分线 例4．（2023春·陕西榆林·七年级校考期末）如图，已知ABC ，利用尺规，在AC 边上求作一点D ，使得ABD DBC ∠=∠.（保留作图痕迹，不写作法）【详解】解：如图点D 即为所求..【变式1】（2023春·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期末）如图，Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AD 为BC 边上的高．(1)尺规作图，在AB 边上求作点P ，使得点P 到边BC 的距离等于AP （保留作图痕迹，不写做法）：(2)连接CP （P 为所求作的点）交AD 于点Q ，若30B ∠=︒，求AQC ∠的度数．【详解】（1）解：如图：点P 即为所求；作法：作ACB ∠的角平分线，与AB 的交点P 即为所求；理由：∵CP 是ACB ∠的角平分线，∴点P 到AC 的距离等于点P 到BC 的距离，∵90BAC ∠=︒，∴点P 到AC 的距离即为PA 的值，故点P 到边BC 的距离等于AP ．（2）解：如图：∵90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，∴180903060ACB ∠=︒−−︒=︒，又∵AD 为BC 边上的高，∴90ADC ∠=︒，∴180906030DAC ∠=︒−−︒=︒，由（1）可知CP 是ACB ∠的角平分线， ∴1302ACQ QCD ACB ∠=∠=∠=︒，∴1803030128001ACQ DAC AQC ∠−∠=︒−︒−︒=︒∠=︒−． 【变式2】（2023·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA 和OB 上分别取点C 和D ，使得OC OD =，连接CD ，以CD 为边作等边三角形CDE ，则OE 就是AOB ∠的平分线．请写出OE 平分AOB ∠的依据：____________；类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：CDE 不一定必须是等边三角形，只需CE DE =即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在AOB ∠的边OA ，OB 上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M ，N 重合，则过角尺顶点C 的射线OC 是AOB ∠的平分线，请说明此做法的理由；拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB 和AC ，汇聚形成了一个岔路口A ，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E ，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E 到岔路口A 的距离和休息椅D 到岔路口A 的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规．．．．．．．．．．在对应的示意图5中作出路灯E 的位置．（保留作图痕迹，不写作法）【详解】解：（1）∵OC OD =，CE DE =，DE DE =，∴()SSS OCE ODE ≌，∴AOE BOE ∠=∠，∴OE 是AOB ∠的角平分线；故答案为：SSS（2）∵OM ON =，CM CN =，OC OC =，∴()SSS OCM OCN ≌，∴AOC BOC ∠=∠，∴OC 是AOB ∠的角平分线；（3）如图，点E 即为所求作的点；． 【变式3】（2023春·重庆九龙坡·七年级校考期末）如图，已知在ABC 中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ．（1）尺规作图：作ABC ∠的平分线交AC 于点E ，交AD 于点F ；（要求：保留作图痕迹，不写作法，不下结论）（2）在（1）的条件下，求证：AFE AEF ∠=∠．AD BC ⊥90ADB ∴∠=︒∴__________90BFD +∠=︒又BFD ∠=__________FBD ∴∠+__________90=︒90BAC ∠=︒ABF ∴∠+__________90=︒BF 平分ABC ∠ABF ∴∠=__________AFE AEF ∴∠=∠．【详解】（1）如图所示，（2）AD BC ⊥90ADB ∴∠=︒∴FBD ∠90BFD +∠=︒又BFD ∠=AEF ∠FBD ∴∠+AEF ∠90=︒90BAC ∠=︒ABF ∴∠+AFE ∠90=︒ BF 平分ABC ∠ABF ∴∠=FBD ∠AFE AEF ∴∠=∠．故答案为：FBD ∠；AEF ∠；AEF ∠；AFE ∠；FBD ∠．【过关检测】一、单选题 1．（2023春·四川泸州·八年级统考期末）如图，70AOB ∠=︒，点C 是AOB ∠内一点，CD OA ⊥于点D ，CE OB ⊥于点E ．且CD CE =，则DOC ∠的度数是（ ）A ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．45︒【答案】B【分析】根据角平分线的判定定理可得OC 平分AOB ∠，再计算角度．【详解】解：∵CD OA ⊥，CE OB ⊥，CD CE =，∴OC 平分AOB ∠， ∴1352DOC AOB ∠=∠=︒，故选C ．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，注意：到角的两边距离相等的点在角平分线上． 2．（陕西省榆林市高新区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）如图，在Rt ABC △中，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，过点D 作DE AB ⊥交AB 于点E ．若9cm CD =，则点D 到AB 的距离是（ ）A ．9cmB ．6cmC ．4.5cmD ．3cm【答案】A 【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可求解．【详解】∵BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥，AC BC ⊥，∴9DC DE ==，∴点D 到AB 的距离是9cm ．故选：A ．【点睛】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．3．（2023春·河南焦作·七年级校考期末）如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，3AD =，连接BD ，BD CD ⊥，ADB C ∠=∠．若P 是BC 边上一动点，则DP 的长不可能是（ ）【答案】A【分析】根据余角的性质可得ABD CBD ∠=∠，即BD 平分ABC ∠，作DE BC ⊥于E ，则3AD DE ==，再根据垂线段最短即可得到答案．【详解】解：∵90A ∠=︒，BD CD ⊥，∴90,90ABD ADB CBD C ∠+∠=︒∠+∠=︒，∵ADB C ∠=∠，∴ABD CBD ∠=∠，即BD 平分ABC ∠，作DE BC ⊥于E ，则3AD DE ==，∵P 是BC 边上一动点，则DP DE ≥，即3DP ≥，∴DP 的长不可能是52；故选：A ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质和角平分线的性质，得出BD 平分ABC ∠是解题的关键．A ．12∠=∠且CM DM =B ．13∠=∠且CM DM =C ．12∠=∠且OD DM =D ．23∠∠=且OD DM =【答案】A 【分析】由作图过程可得：,OD OC CM DM ==，再结合DM DM =可得()SSS COM DOM ≌，由全等三角形的性质可得12∠=∠即可解答．【详解】解：由作图过程可得：,OD OC CM DM ==，∵DM DM =，∴()SSS COM DOM ≌．∴12∠=∠．∴A 选项符合题意；不能确定OC CM =,则13∠=∠不一定成立，故B 选项不符合题意；不能确定OD DM =,故C 选项不符合题意，OD CM ∥不一定成立，则23∠∠=不一定成立，故D 选项不符合题意．故选A ．【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键． ，ABC 的面积为，则ABC 的周长为（ A ．4B ．6C ．24D ．12【答案】C 【分析】过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ，过点E 作EG AC ⊥，垂足为G ，根据角平分线的性质可得1EG EF ED ===，然后根据三角形的面积公式进行计算即可解答．【详解】解：过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ，过点E 作EG AC ⊥，垂足为G ，∵BE 平分ABC ∠，ED BC ⊥，EF AB ⊥，∴1EF ED ==，∵CE 平分ACB ∠，ED BC ⊥，EG AC ⊥，∴1ED EG ==，∴ABC 的面积ABE =的面积BEC +△的面积AEC +△的面积()11111122222AB EF BC ED AC EG AB BC AC =⋅+⋅+⋅=⨯⨯++=，∴24AB BC AC ++=，即ABC 的周长为24．故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．A ．3PD =B ．3PD <C ．3PD ≤ D ．3PD ≥【答案】D 【分析】根据角平分线的性质得到3PF =，再根据垂线段最短即可解答．【详解】解：过点P 作PE AB ⊥于点E ，过点P 作PF BC ⊥于点F ，∵点P 在ABC ∠的平分线上，∴PE PF =， ∵3PE =，∴3PF =，∴根据垂线段最短可知：3PD ≥，故选D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，掌握角平分线的性质是解题的关键． 八年级统考期末）如图，在ABC 中， A ．83 B ．43 【答案】D【分析】由题意可求DC 的长，由角平分线的性质可求解．【详解】解：如图，过点D 作DH AB ⊥，垂足为H ，∵143AC DC AC ==，，∴1DC =，∵BD 平分ABC ∠，90C DH AB =︒∠，⊥，∴1CD DH ==，∴点D 到AB 的距离等于1，故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练运用角平分线的性质是本题的关键．8．（2023春·湖南娄底·八年级统考期末）如图，三条公路把A ，B ，C 三个村庄连成一个三角形区域，现决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）A ．三角形三个内角的角平分线的交点B ．三角形三条边的垂直平分线的交点C ．三角形三条高的交点D ．三角形三条中线的交点【答案】A 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．【详解】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处．故选：A ．【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．9．（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）如图，OD 平分AOB ∠，DE AO ⊥于点E ，5DE =，F 是射线OB 上的任意一点，则DF 的长度不可能是（ ）【答案】A 【分析】过Ｄ点作DH OB ⊥于H ，根据角平分线的性质得5DH DE ==，再利用垂线段最短得到5DF ≥，然后对各个选项进行判断即可，【详解】过Ｄ点作DH OB ⊥于H ，OD 平分AOB ∠，DE OA ⊥，DH OB ⊥，5DH DE ∴==，DF DH ≥，5DF ∴≥，故选A【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，也考查了垂线段最短，掌握角平分线的性质是解题的关键． 10．（2023春·河南开封·七年级统考期末）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，则下列结论：①DE CD =；②AD 平分CDE ∠；③BAC BDE ∠=∠；④BE AC AB +=，其中正确的是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】①根据角平分线的性质得出结论：DE CD =；②证明ACD AED △≌△，得AD 平分CDE ∠；③由四边形的内角和为360︒得180CDE BAC ∠+∠=︒，再由平角的定义可得结论是正确的；④由ACD AED ∆≅∆得AC AE =，再由AB AE BE =+，得出结论是正确的．【详解】解：①90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DE CD ∴=；所以此选项结论正确；②DE CD =，AD AD =，90ACD AED ∠=∠=︒，ACD AED ∴≌，ADC ADE ∴∠=∠，AD ∴平分CDE ∠，所以此选项结论正确；③90ACD AED ∠=∠=︒，3609090180CDE BAC ∴∠+∠=︒−︒−︒=︒，180BDE CDE ∠+∠=︒，BAC BDE ∴∠=∠，所以此选项结论正确；④ACD AED ≌，AC AE ∴=，AB AE BE =+，BE AC AB ∴+=，所以此选项结论正确；本题正确的结论有4个，故选D ．【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，同时运用角平分线的性质得出两条垂线段相等；本题难度不大，关键是根据HL 证明两直角三角形全等，根据等量代换得出线段的和，并结合四边形的内角和与平角的定义得出角的关系．二、填空题 七年级统考期末）如图，在ABC 中，ABC 的内部相交于点 【答案】5【分析】先根据尺规作图描述得出AD 为BAC ∠的角平分线，再根据角平分线的性质得到点D 到AB 的距离5DE =，进而求出三角形的面积．【详解】由作法得AD 平分BAC ∠，如图所示，过点D 作DE AB ⊥于E ，∵90ACB ∠=︒，根据角平分线的性质，得43DC DE ==，ABD ∴的面积114102233AB DE AB =⋅⋅=⨯⨯=． ∴5AB =，故答案为：5．【点睛】本题考查角平分线的性质，解决本题的关键是熟知角平分线的性质并灵活应用．【答案】2【分析】根据尺规作图可得BF 平分ABC ∠，再利用角平分线的性质定理可得出2DF CF ==，最后根据垂线段最短即可得出FH 的最小值是2．【详解】解：如图，过点F 作FD AB ⊥于D ．由作图可知，BF 平分ABC ∠，∵FC BC ⊥，FD AB ⊥，∴2DF CF ==．根据垂线段最短可知，FH 的最小值为DF 的长，即为2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，垂线段最短，解题的关键在于能够准确判断出BF 是ABC ∠的角平分线．13．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期末）如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，E 为线段AC 上一点，连接DE ，且B CED ∠=∠．若16AB =，6CE =，则AE 的长为________．【答案】4【分析】过点D 作DF AB ⊥于点F ，由角平分线的性质得出DC DF =，证明DCE DFB ≌，得出BF CE =，求出AF ，由HL 证明Rt Rt ADC ADF ≌，得出AC AF =，即可求出结果．【详解】解：过点D 作DF AB ⊥于点F ，如图所示：∵90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，，∴DC DF =，在DCE △和DFB △中，90=BFD DCE B CEDDC DF ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩，∴()AAS DCE DFB ≌，∴6BF CE ==，∴10AF AB BF =−=，在Rt ADC 与Rt ADF 中，==DC DF AD AD ⎧⎨⎩，∴Rt Rt ADC ADF ≌，∴10AC AF ==，∴1064AE AC CE =−=−=．故答案为：4．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质和角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，根据HL 证明直角三角形的全等解答．【答案】30【分析】由作图可知OC 是AOB ∠的角平分线，根据角平分线的定义即可得到答案．【详解】解：由题意可知，OC 是AOB ∠的角平分线，∴11603022AOC AOB ∠=∠=⨯︒=︒．故答案为：30【点睛】此题考查角平分线的作图、角平分线相关计算，熟练掌握角平分线的作图是解题的关键．，则POD 的面积是【答案】6【分析】过点P 作PF OB ⊥交OB 于点F ，由作图可知OP 是AOB ∠的平分线，根据角平分线的性质得3PF PC ==，即可求得POD 的面积．【详解】解：如图，过点P 作PF OB ⊥交OB 于点F ，由作图可知，OP 是AOB ∠的平分线，∵PC OA ⊥，PF OB ⊥，∴3PF PC ==，∴POD 的面积为：162OD PF ⋅=，故答案为：6．【点睛】本题考查了尺规作角平分线以及角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．16．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，在锐角ABC 中，60BAC ∠=︒，BE 、CD 为ABC 的角平分线．且BE 、CD 交于点F ，连接AF ．有下列四个结论：①120BFC ∠=︒；②BD CE =；③BC BD CE =+；④FBD FEC FBC S S S +=△△△．其中结论正确的序号是__________ ．【答案】①③④【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理求出BFC ∠；在BC 上取BM BD =，证明()SAS DBF MBF ≌△△，再证明()ASA MCF ECF ≌△△；过点F 作FG AB ⊥于点G ，FH AC ⊥于点H ，FK BC ⊥于点K ，根据角平分线的性质和三角形面积公式分别对各个结论进行判断即可．【详解】解：∵ABC 的两条角平分线BE 和CD 交于点F ，60BAC ∠=︒，∴FBC FCB∠+∠()12ABC ACB =∠+∠()11802BAC ︒=−∠()1180602=⨯︒−︒60=︒， ∴()180********BFC FBC FCB ∠=︒−∠+∠=︒−︒=︒，故结论①正确； ∴18060BFD BFC CFE Ð=°-Ð=°=Ð，在BC 上取BM BD =，∵BE 平分ABC ∠，∴DBF MBF Ð=Ð，在DBF 和MBF V 中，BD BM DBF MBFBF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS DBF MBF ≌△△， ∴60BFD BFM ∠=∠=︒，∴1206060CFM BFC BFM ∠=∠−∠=︒−︒=︒，∴60CFM CFE ∠=∠=︒，∵CD 平分ACB ∠，∴MCF ECF ∠=∠，在MCF △和ECF △中，CFM CFE CF CFMCF ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()ASA MCF ECF ≌△△， ∴CM CE =，∴BC BM CM BD CE =+=+，故结论③正确；∵没有条件得出点M 是BC 的中点，∴不能得出BD 与CE 一定相等，故结论②错误；过点F 作FG AB ⊥于点G ，FH AC ⊥于点H ，FK BC ⊥于点K ，∵BE 、CD 为ABC 的角平分线，∴FG FK =，FK FH =，∴FG FK FE ==， ∵12FBD S BD FG =⋅△，12FEC S EC FH =⋅△，12FBC S BC FK =⋅△，∴FBD FEC S S +△△1122BD FG EC FH =⋅+⋅ 1122BM FK MC FK =⋅+⋅ ()12BM MC FK =+⋅ 12BC FK =⋅FBC S =△，∴FBD FEC FBC S S S +=△△△，故结论④正确，∴结论正确的序号是①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的面积，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．三、解答题 17．（2023春·重庆江北·七年级统考期末）完成下面的解答过程，并填上适当的理由．已知：如图，DE BC ∥，BD 平分ABC ∠，EF 平分AED ∠．解： ∵DE BC ∥（已知）∴ABC AED ∠=∠（ ① ）．∵BD 平分ABC ∠，EF 平分∠∴112ABC ∠=∠，122AED ∠=∠【答案】两直线平行，同位角相等 2∠ 等量代换 同位角相等，两直线平行【分析】先分析角的位置关系，根据平行线的性质及判定定理，即可写出答案．【详解】证明：∵DE BC ∥（已知），∴ABC AED ∠=∠．∵BD 平分ABC ∠，EF 平分AED ∠，∴112ABC ∠=∠，122AED ∠=∠．∴12∠=∠（等量代换）．∴EF BD ∥（同位角相等，两直线平行）．故答案为：两直线平行，同位角相等 ； 2∠ ；等量代换 同位角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查平行线的性质（两直线平行，同位角相等），及平行线的判定方法（同位角相等，两直线平行）．牢记平行线的性质和判定方法是解题的关键．18．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，在AOB 和COD △中，OA OB =，OC OD =，OA OC <，36AOB COD ∠=∠=︒，连接AC 、BD 交于点M ，连接OM ．求证：(1)36AMB ∠=︒；(2)MO 平分AMD ∠．【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）证明()SAS AOC BOD ≌△△，由三角形全等的性质得出OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OBD OAC AOB ∠+∠=∠+∠，可得出AMB ∠的度数；（2）作OG AC ⊥于G ，OH BD ⊥于H ，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG OH =，由角平分线的判定方法即可得证．【详解】（1）证明：∵36AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB BOC COD BOC ∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC 和BOD 中，OA OB AOC BODOC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS AOC BOD ≌△△， ∴OAC OBD ∠=∠，∵AEB ∠是AOE △和BME 的外角∴AEB AMB OBD AOB OAC ∠=∠+∠=∠+∠，∴36AMB AOB ∠=∠=︒；（2）如图所示，作OG AC ⊥于G ，OH BD ⊥于H ，∴OG 是AOC 中AC 边上的高，OH 是BOD 中BD 边上的高，由（1）知：AOC BOD ≌，∴OG OH =，∴点O 在AMD ∠的平分线上，即MO 平分AMD ∠．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识．证明三角形全等是解题的关键． 七年级统考期末）如图，在ABC 中， (2)18【分析】（1）根据BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠得12DBC ABC ∠=∠，12DCB ACB ∠=∠，根据40ABC ∠=︒，70ACB ∠=︒得140202DBC ∠=⨯︒=︒，170352DCB ∠=⨯︒=︒，根据三角形内角和定理即可得；（2）过点D 作DF BC ⊥于点F ，根据BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥，DF BC ⊥得DE DF =，根据4DE =得4DF =，即可得．【详解】（1）解：∵BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠，∴12DBC ABC ∠=∠，12DCB ACB ∠=∠，∵40ABC ∠=︒，70ACB ∠=︒，∴140202DBC ∠=⨯︒=︒，170352DCB ∠=⨯︒=︒，∴在BCD △中，1802035125BDC ∠=︒−︒−︒=︒；（2）解：过点D 作DF BC ⊥于点F ，∵BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥，DF BC ⊥，∴DE DF =，∵4DE =，∴4DF =，∵9BC =， ∴11S 941822BCD BC DF =⨯⨯=⨯⨯=△．【点睛】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形的面积，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 八年级假期作业）如图，在ABC 中， 【答案】6cm CD =，34B ∠=︒【分析】根据角平分线的性质可得CD DE =，28BAD CAD ∠=∠=︒，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求出B ∠的度数．【详解】解：∵ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，∴6cm CD DE ==，28BAD CAD ∠=∠=︒，∴256BAC CAD ∠=∠=︒，∴9034B CAD ∠=︒−∠=︒．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和直角三角形的两个锐角互余，属于基础题型，熟练掌握角平分线的点到一个角的两边距离相等是解题关键．21．（2023春·广西南宁·七年级南宁十四中校考期末）如图，已知ABC ．(1)尺规作图：作BAC ∠的角平分线交BC 于点G （不写作法，保留作图痕迹）；(2)如果6AB =，10AC =，ABG 的面积为18，求ACG 的面积．【答案】(1)见解析(2)30【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；（2）如图所示，过点G 作GE AB GF AC ⊥⊥，垂足分别为E 、F ，证明AEF AFG △≌△，得到EG FG =，根据面积法求出6EG FG ==，再根据三角形面积公式求解即可．【详解】（1）解：如图所示：（2）解：如图所示，过点G 作GE AB GF AC ⊥⊥，垂足分别为E 、F ，∴90AEG AFG ∠=∠=︒，∵AG 是BAC ∠的角平分线，∴EAG FAG ∠=∠，又∵AG AG =，∴()AAS AEF AFG △≌△，∴EG FG =；∵6AB =，ABG 的面积为18，∴1182AB EG ⋅=，即16182EG ⨯=，∴6EG =，∴6EG FG ==，∴111063022ACG S AC FG =⋅=⨯⨯=△．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形面积，角平分线的尺规作图，角平分线的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 22．（2023春·山西太原·七年级统考期末）如图，在ABC 中，AD 是它的角平分线，DE AB ⊥于点,E DF AC ⊥于点F ，且BE CF =．线段BD 与CD 相等吗？说明理由．【答案】BD CD =，见解析【分析】根据角平分线的性质得出DE DF =，根据垂直定义得出90DEB DFC ∠=∠=︒，根据SAS 证明DFC △D E B ≌△，得出BD CD =即可．【详解】解：BD CD =；理由如下：∵AD 是BAC ∠的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴DE DF =，∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴90DEB DFC ∠=∠=︒，又∵BE CF =，∴DFC △DE B ≌△， ∴BD CD =．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂线定义理解，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明DFC △DE B ≌△． 23．（重庆市大渡口区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）如图，AD BC ∥，180B BCD ∠+∠=︒．(1)用直尺和圆规完成以下基本作图：过点A 作BAD ∠的角平分线，交CD 于点F ，与BC 的延长线交于点E ；（不写做法，保留作图痕迹）(2)求证：CFE FEC ∠=∠．证明：∵AD BC ∥（已知），∴DAF FEC ∠=∠（①__________）． ∵AE 平分BAD ∠，∴②__________（角平分线的定义）． ∴BAE FEC ∠=∠（③__________）． ∵180B BCD ∠+∠=︒（已知）， ∴④__________（⑤__________）． ∴BAE CFE ∠=∠（两直线平行，同位角相等）． ∴CFE FEC ∠=∠（等量代换）． 【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用基本作图作BAD ∠的平分线即可；（2）先根据平行线的性质得到DAF FEC ∠=∠，再利用角平分线的定义得到BAE DAF ∠=∠，则BAE FEC ∠=∠，接着证明AB CD ∥得到BAE CFE ∠=∠，然后利用等量代换得到CFE FEC ∠=∠．【详解】（1）解：如图，BE 为所作；（2）证明：AD BC ∥（已知）， DAF FEC ∴∠=∠（两直线平行，内错角相等）．AE 平分BAD ∠，BAE DAF ∴∠=∠（角平分线的定义），BAE FEC ∴∠=∠（等量代换）．180B BCD ∠+∠=︒（已知），AB CD ∴∥（同旁内角互补，两直线平行）．BAE CFE ∴∠=∠（两直线平行，同位角相等）．CFE FEC ∴∠=∠（等量代换）．【点睛】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和平行线的判定与性质． 七年级校考阶段练习）如图，ABC 中， 若BCG 的面积为，则ABC 的面积为【答案】(1)120︒(2)3(3)6【分析】（1）根据作图方法可得BG 是ABC ∠的角平分线，则1302ABG ABC ==︒∠∠，再由三角形外角的性质可得120BGC A ABG =+=︒∠∠；（2）如图所示，过点G 作GD BC ⊥于D ，先求出3AG AC CG =−=，再证明ABG DBG △≌△，得到3DG AG ==，根据垂线段最短可知线段H G 的最小值为3；（3）证明BDG CDG △≌△，得到122BDG CDG BCG S S S ===△△△，进而求出2BDG ABG S S ==△△，则6ABC ABG CBG S S S =+=△△△．【详解】（1）解：由作图方法可知BG 是ABC ∠的角平分线， ∴1302ABG ABC ==︒∠∠，∵90A ∠=︒，∴120BGC A ABG =+=︒∠∠，故答案为：120︒；（2）解：如图所示，过点G 作GD BC ⊥于D ，∴90BAG BDG ==︒∠∠，∵96AC CG ==，，∴3AG AC CG =−=，∵BG 是ABC ∠的角平分线，∴ABG DBG ∠=∠，又∵BG BG =，∴()AAS ABG DBG △≌△，∴3DG AG ==，∵H 是边BC 上一动点，∴当点H 与点D 重合时，HG 最小，∴线段HG 的最小值为3， 故答案为：3；（3）解：∵BG 是ABC ∠的角平分线，∴30ABG DBG ==︒∠∠，∵9030C ABC ∠=︒−∠=︒，∴GBD C ∠=∠，又∵90DG DG BDG CDG ===︒，∠∠，∴()AAS BDG CDG △≌△， ∴122BDG CDG BCG S S S ===△△△，∵ABG DBG △≌△，∴2BDG ABG S S ==△△，∴6ABC ABG CBG S S S =+=△△△，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，角平分线的尺规作图等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 七年级统考期末）ABC 中， (2)如图2，若ABC 是锐角三角形．过点FED ∠，EDB ∠与ABC ∠ (3)若ABC 是钝角三角形，其中FED ∠，EDB ∠与ABC ∠之间的数量关系．【答案】(1)45 (2)12BDE FED ABC ∠=∠+∠，证明见解析 (3)12ABC BDE DEF ∠=∠+∠【分析】（1）首先证明AED ABC ∠=∠得到DE BC ∥，得到EDB DBC ∠=∠，再根据角平分线的定义得到1452DBC ABC ∠=∠=︒，即可证明；（2）延长ED 、BC 交于G ，利用平行线的性质得FED G ∠=∠，再利用三角形外角的性质可得结论；（3）由（2）同理解决问题．【详解】（1）解：DE AB ∵⊥，90AED ∴∠=︒．90ABC ∠=︒，AED ABC ∴∠=∠．DE BC ∴∥．EDB DBC ∴∠=∠．BD Q 平分ABC ∠，1452DBC ABC ∴∠=∠=︒．45EDB ∴∠=︒．（2）如图，12BDE FED ABC ∠=∠+∠，理由如下：延长ED 、BC 交于G ，EF BC ∥，FED G ∴∠=∠，BD Q 平分ABC ∠，。
人教八上：专题三--角平分线的性质与判定(含解析)
专题三角平分线的性质与判定一、单选题1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=15，且BD:CD=3:2，则点D到AB的距离为（）2345．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，AB+BC+CA=18，过O作OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是．6．如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE7得8910．如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，过O点作MN∥BC分别交AB，AC于M，N 两点，AB=6，ΔAMN的周长是15．则AC的长为．三、解答题11．如图1，△ABC的两条外角平分线AO，BO相交于点O，∠ACB=50°．(1)直接写出∠AOB的大小；(2)如图2，连接OC交AB于K．①求∠BCK的大小；②如图3，作AF⊥OC于F，若∠BAC=105°，求证：AB=2CF．12．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，若∠ABC=60°，FD=10，求DC的长．13．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M是BC边上的一点，且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,求证：(1)BM=MC；(2)AM⊥MD．14．定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．(1)如图1，△ABC中，AB=AC,∠A=36°，求证：△ABC是倍角三角形；(2)如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE=AB，若AB+AC=BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．15．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，设∠ABC=α．(1)α=50°时，求∠DFC的度数；(2)证明：BE∥DF．16．在△ABC中，AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC．(1)如图1，若∠C=32°，则∠AOB=________；(2)如图2，连结OC，求证：OC平分∠ACB；(3)如图3，若∠ABC=2∠ACB，AB=4，AC=7，求OB的长．17．如图，在△ABC中，D在BC边的延长线上，∠ACD的平分线CE交BA的延长线于点E，已知∠B=30°，∠E=40°，求证：AE=CE．18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，点E为BC的中点，DE平分∠CDA.(1)求证：AD=AB+CD；(2)若S△CDE=3，S△ABE=4，则四边形ABCD的面积为______.（直接写出结果）19．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O与AB，AC分别相交于点M，N，且MN∥BC．(2)已知AB=7，AC=6，求△AMN的周长．参考答案题号12答案B B1．B【分析】本题考查的是角平分线的性质，作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到CD=DE，根据题意求出CD的长即可．∵∴∵∴2∴3【详解】试题分析：本题需要分两种情况进行讨论：如图1所示：根据∠B=40°，∠C=70°可得：∠BAC=70°，根据高线以及角平分线的性质可得：∠DAC=20°，∠EAC=35°，则∠DAE=35°-20°=15°；如图2所示：根据∠B=40°，∠ACD=70°可得：∠BAC=30°，根据高线以及角平分线的性质可得：∠DAC=20°，∠EAC=15°，则∠DAE=15°+20°=35°.点睛：对于这种在三角形中求角度问题的时候，如果题目中没有给出图形，我们首先一定要根据题意画出图形，然后根据图形求出角的度数.特别要注意分类讨论的思想，在画图时一定要注意锐角三角形和钝角三角形两种情况.在画垂线的时候要注意高线在三角形内部和三角形外部两种情况.4．3：2【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质得到DE=CD，再根据三角形面积公式解答即可．【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，∵AD是Rt△ABC的角平分线，CD⊥AC,DE⊥AB∴DE=CDS△ABD S△ACD =12AB⋅DE12AC⋅CD=ABAC=128=32故答案为：3：2．【点睛】本题考查角平分线的性质、三角形面积公式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．5．27【分析】作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质求出OE=OD=3和OF=OD=3，根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F，连接OA，∵OB是∠ABC的平分线，OD⊥BC,OE⊥AB，∴OE=OD=3，同理OF=OD=3，∵AB+BC+CA=18．∴△ABC的面积=12×AB×3+12×AC×3+12×BC×3=27．故答案为：27．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．6．4【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM =PE =2，PE =PN =2，即可得出答案．【详解】解：过点P 作MN ⊥AD ，∵AD ∥BC ，∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交于点P ，PE ⊥AB 于点E ，∴AP ⊥BP ，PN ⊥BC ，∴PM =PE =2，PE =PN =2，∴MN =2+2=4．故答案为：4．7．2【分析】连接PC 、PB 、PA ，作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】连接PC 、PB 、PA ，作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ，由题意得，PE=PD=PF ， S △APC +S △APB +S △BPC =S △ACB ，∴12AC·PE+12AB·PD+12BC·PF=12AC·BC ，即12×12·PD+12×13•PD+12×5•PD=12×5×12，解得，PD=2，故答案为：2．【点睛】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式是解题的关键．8．60【分析】根据五边形的内角和求出∠BCD和∠CDE的和，再根据角平分线及三角形内角和求出∠CPD．【详解】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝300°，∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣300°＝240°，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，（∠BCD+∠CDE）＝120°，∴∠PDC+∠PCD＝12∴∠CPD＝180°﹣120°＝60°．故答案是：60．【点睛】本题解题的关键是知道多边形内角和定理以及角平分线的性质．9．5【分析】本题考查角平分线的性质定理，过点P作PE⊥OB，垂足为E，过点P作PF⊥MN，垂足为F，过点P作PG⊥OA，垂足为G，连接OP，利用角平分线的性质可得PF=PG=PE，然后根据三角形的面积求出PF=PE=PG=2，再利用△OMP的面积+△ONP的面积−△PMN的面积=4，进行计算即可解答．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【详解】解：过点P作PE⊥OB，垂足为E，过点P作PF⊥MN，垂足为F，过点P作PG⊥OA，垂足为G，连接OP，∵MP平分∠AMN，NP平分∠MNB，∴PF=PG=PE，∵MN=1，△PMN的面积是1，∴ 12MN ⋅PF =1，∴PF =2，∴PG =PE =2，∵△OMN 的面积是4，∴△OMP 的面积+△ONP 的面积−△PMN 的面积=4，∴ 12OM ⋅PG +12ON ⋅PE−1=4，∴OM +ON =5．故答案为：5．10．9【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可得△MOB 和△NOC 是等腰三角形，从而可得MO =MB ，NO =NC ，然后利用等量代换可得ΔAMN 的周长=AB +AC ，从而进行计算即可解答．【详解】解：∵BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，∴∠ABO =∠OBC ，∠ACO =∠OCB ，∵MN ∥BC ，∴∠MON =∠OBC ，∠NOC =∠OCB ，∴∠ABO =∠MON ，∠ACO =∠NOC ，∴MO =MB ，NO =NC ，∵△AMN 的周长是15，∴AM +MN +AN =15，∴AM +MO +ON +AN =15∴AM +MB +NC +AN =15，∴AB +AC =15，∵AB =6，∴AC =15−6=9，故答案为：9．11．(1)65°；(2)①25°；②证明见解析．【分析】（1）根据三角形内角和定理求得∠CBA +∠CAB =130°，则∠EBA +∠BAD =230°，再由角平分线的定义求出∠OBA +∠OAB =115°，根据四边形内角和求出∠AOB 即可；（2）①过点O作OM⊥AD于点M，ON⊥BE于点N，OP⊥AB于点P，根据角平分线的性质求解即可；②先求出KB=KC，过点A作AH∥BC交CO于点H，再求出KA=KH，则AB=CH，分别求出AH=AC，HF=CF，即可得出结论．【详解】（1）解：∵AO平分∠BAD，∴∠DAO=∠OAB，∵BO平分∠EOA，∴∠EBO=∠OBA，∵∠ACB=50°，∴∠CBA+∠CAB=130°，∴∠EBA+∠BAD=360°−130°=230°，∴∠OBA+∠OAB=115°，∴∠AOB=360°−50°−115°−130°=65°；（2）解：如图2，①过点O作OM⊥AD于点M，ON⊥BE于点N，OP⊥AB于点P，∵AO、BO分别平分∠DAB、∠EBA，∴OM=OP，OP=ON，∴OM=ON，∴CO平分∠ACB，∵∠ACB=50°，∴∠BCK=∠ACK=25°；②证明：∵∠BAC=105°，∠ACB=50°，∴∠ABC=25°，∵∠KCB=25°，∴∠KBC=∠KCE，∴KB=KC，如图3，过点A作AH∥BC交CO于点H，∴∠AHK=∠KCB，∠HAK=∠KBC，∴∠AHK=∠HAK，∴KA=KH，∴AB=CH，∵∠AHK=∠ACH，∴AH=AC，∵AF⊥CO，∴HF=CF，∴CH=2CF，∴AB=CH=2CF．12∴∵∴∴∵∴∴故DC=5．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，四边形内角和定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，解题关键是熟练掌握各性质与定理．13．(1)见详解(2)见详解【分析】（1）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM=MN,MN=CM，等量代换得到答案．（2）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC=180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM=90°，根据垂直的定义得到答案；【详解】（1）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°,AB∥CD,∴BM⊥AB,CM⊥CD,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴BM=MN,MN=CM,∴BM=CM；（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴2∠MAD+2∠ADM=180°,∴∠MAD+∠ADM=90°,∴∠AMD=90°,即AM⊥DM；【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．14．(1)见解析(2)△ADC和△ABC是倍角三角形，见解析【分析】（1）利用等边对等角及三角形的内角和求出∠B=∠C=72°，得到2∠A=∠C即可；（2）根据SAS证明△ABD≌△AED，得到∠ADE=∠ADB，BD=DE，证明CE=DE，得出∠C=∠BDE=2∠ADC，可得出∠ABC=2∠C．则结论得证．【详解】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=36°，∴∠B=∠C=72°，∴2∠A=∠C，即△ABC是倍角三角形；（2）解：△ADC和△ABC是倍角三角形，证明如下：∵AD平分∠BAE，∴∠BAD=∠EAD，∵AB=AE，AD=AD，∴∴又∴∴∴∴∵15(2)∠EBC=∠DFC即可得出结论．【详解】（1）解：在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=α，α=50°，∴∠ADC=360°−∠A−∠C−∠ABC=130°，∵DF平分∠CDA，∠ADC=65°，∴∠FDC=12∴∠DFC =90°−65°=25°；（2）证明：在四边形ABCD 中，∠A =∠C =90°，∠ABC =α，∴∠ADC =360°−∠A−∠C−∠ABC =180°−α，∵DF 平分∠CDA ，∴∠FDC =12∠ADC =12(180°−α)，∴∠DFC =90°−12(180°−α)=12α，∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBC =12α，∴∠EBC =∠DFC ，∴BE ∥DF ．16．(1)106°；(2)见解析；(3)3；【分析】（1）本题考查与角平分线有关的三角形内角和关系，根据∠C =32°得到∠CAB +∠CBA ，再结合角平分线求出∠CAO +∠CBO ，即可得到答案；（2）本题考查角平分线判定与性质，过O 作OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，根据角平分线性质得到OD =OF =OE ，结合角平分线的判定即可证明；（3）本题主要考查三角形全等的性质与判定，解题的关键是根据截长补短作出辅助线，在AC 上截取一点D ，使AD =AB ，连OD ，证明△ABO≌△ADO ，即可得到答案；【详解】（1）解：∵∠C =32°，∴∠CAB +∠CBA =180°−32°=148°，∵AO 、BO 分别平分∠BAC 、∠ABC ，∴∠CAO +∠CBO =148°2=74°，∴∠AOB =180°−74°=106°；（2）证明：过O 作OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，∵AO 、BO 分别平分∠BAC 、∠ABC ，∴OD =OF ，OD =OE ，∴OC 平分∠ACB ；（3）解：在AC 上截取一点D ，使AD =AB ，连OD ，设∠ACO =∠BCO =α，∵∠ABC =2∠ACB ，∴∠ABC =4α，∵BO 平分∠ABC ，∴∠ABO =∠CBO =2α，∵AO 平分∠BAC ，∴∠BAO =∠DAO ，在△ABO 与△ADO 中，AO =AO ∠BAO =∠DAO AB =AD，∴△ABO≌△ADO(SAS)，∴∠ABO =∠ADO =2α，OB =OD,AB =AD =4，又∵∠ACO =α，∴∠ACO =∠DCO =α，∴OD =OC =AC−AD =7−4=3，∴OB =3．17．证明见解析【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质以及等腰三角形的判定和三角形内角和定理的应用，根据外角的性质求出∠ECD=702，由角平分线的定义得∠ACE=∠ECD=70°，根据三角形内角和定理求出∠CAE=70°，可得∠ACE=∠CAE，从而可得结论．【详解】证明：∠B=30°，∠E=40°，∴∠ECD=∠B+∠E=70°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ECD=70°，在△ABE中，∠ACE+∠E+∠CAE=180°，∴∠CAE=180°−∠ACE−∠E=180°−70°−40°=70°，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE．18．(1)见解析(2)14【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．（1）过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线的性质得出CE=EF，再证明△ABE≌△AFE，△CED≌△FED，根据全等三角形的性质得出AB=AF，DC=DF，进而得出结论；（2）由△ABE≌△AFE，△CED≌△FED，推出S△CED=S△FED，S△ABE=S△AFE，据此求解即可．【详解】（1）证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，∵∠C=90°，AB∥CD，∴∠B=90°，∵DE平分∠CDA，∴CE=EF，∴Rt△CED≌Rt△FED(HL)，∴DC=DF，∵E是BC的中点，∴BE=CE，∴BE=EF，∵AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AFE(HL)，∴AD=AF+FD=AB+CD；（2）解：∵△CED≌△FED，△ABE≌△AFE，∴S△CED=S△FED，S△ABE=S△AFE，∵S∴19(2)（（∴∴∴（∴∵∴∴∠BOM=∠ABO，∴BM=OM，同理可得：CN=ON，∴MN=OM+ON=BM+CN，∵AB=7，AC=6，∴△AMN的周长是AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=13．。
人教版八年级数学上册全等三角形总复习人教版
E
即 2AD < AB+AC
∴ AD 1 ( AB AC) 2
课堂练习
1.已知BD＝CD，∠ABD＝∠ACD，DE、
DF分别垂直于AB及AC交延长线于E、F，
求证：DE＝DF
证明：∵∠ABD＝∠ACD（已知） ∴∠EBD＝∠FCD（等角的补角相等）
又∵DE⊥AE，DF⊥AF（已知）
∴∠E＝∠F＝900（垂直的定义 ） 在△DEB和△DFC中
▪ 例6：求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。
已知：如图，AD是△ABC
的中线，求证：AD
1 2
(
AB
AC)
证明： 延长AD到E，使DE＝AD，连结BE
A
∵ AD是△ABC 的中线
∴ BD＝CD
又 ∵ DE＝AD
ADC EDB ∴ △ADC ≌ △EDB
B
D
C
∴ AC = EB
在△ABE中，AE < AB+BE＝AB+AC
AEB ≌ CFD
A C
AB∥CD
3、如图：在△ABC中，∠C =900，AD 平分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E， BC=30，BD：CD=3：2，则 DE= 12 。
c
D
A
B E
4.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条
直线上求证：BE=AD 证明：
E
∵ △ABC和△ECD都是等边三角形
A
∴ AC=BC DC=EC ∠BCA=∠DCE=60°
∴ ∠BCA+∠ACE=∠DCE+ ∠ACE
B
D
即∠BCE=∠DCA
C
在△ACD和△BCE中
人教版八年级初中数学上册第十二章全等三角形角的平分线性质
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练习：请用同样的方法证明：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD交边BC于D，求证：BD/DC=BM/MC，其中M是BC的 中点。
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解析：首先，由题目已知，AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD = ∠CAD。然后，根据角平分线的性质和三角形的面 积比等于底的比，有BD/DC = S△BAD/S△CAD。接着，由于M是BC的中点，所以BM=MC。最后，根据三角形的 面积比等于高的比，有S△BMD/S△CMD = BM/MC。因此，我们得出BD/DC = BM/MC。
全等三角形的判定方法包括SSS、 SAS、ASA、AAS、HL。
全等三角形的性质
对应角相等
面积和周长 相等
对应边相等
形状和大小 完全相同
全等三角形的判定方法
角边角（ASA）： 两个角和它们的 夹边分别相等
边角边（SAS）： 两边和它们的夹 角分别相等
斜边直角边 （HL）：斜边 和一条直角边分 别相等
的距离相等。
角的平分线的判定方法：到 角的两边的距离相等的点在
角的平分线上。
全等三角形与角的
04
平分线的综合应用
利用全等三角形和角的平分线证明线段相等
掌握全等三角形和角的平分线的 性质
理解并掌握全等三角形和角的平 分线的综合应用
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学会利用全等三角形和角的平分 线证明线段相等的方法
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人教版八年级初中数学上册第十 二章全等三角形角的平分线性质
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汇报人：
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01 单 击 添 加 目 录 项 标 题
人教版数学八年级上册第十二章全等三角形复习课件-课件
件不变，请问∠PCB与∠PAB有
∴ ∠PCB+ ∠BAP=180 °.
怎样的数量关系呢？
课堂小结
性质
全等 三角形
判定
作用
基本性质和其他重要性质
判定方法 基本思路
寻找现有条件（包 括图中隐含条件）
选定判定方法 证明准备条件
是证明两条线段相等 和角相等的常用方法
角的平分线 的性质定理
角的平分线 的判定定理
(1)解：∵∠ACB=90°，
B
∴BC⊥AC.
E
∵AO平分∠BAC，
又DE⊥AB，BC⊥AC.
O
∴OE=OC（角平分线上的点到角
两边的距离相等）.
A
CD
(2)6对. AC=AE,CD=BE,AD=AB,EO=OC,OB=OD,ED=BC.
天每
开个
放孩
；子
有的
的花
孩期
子不
是一
菊样
花，
，有
选的
择孩
在子
AC=BC，
∠BCE=∠DCA，
DC=EC，
∴ △ACD≌△BCE (SAS)， ∴ BE=AD.
4.如图,在△ABC中, ∠ACB=90°,AO是角平分线,点D在AC的
延长线上,DE过点O且DE⊥AB,垂足为E.
(1) 请你找出图中一对相等的线段,并说明它们相等的理由;
（2）图中共有多少对相等线段，一一把它们找出来.
∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.
∴PE=PF, ∠PEA=∠PFC=90 °.
∵ ∠PCB+ ∠BAP=180 °,又知∠BAP+∠EAP=180 °.
∴ ∠EAP=∠PCB.
人教版数学八年级上册专题复习：全等三角形与角平分线
专题全等三角形与角平分线☞解读考点知识点名师点晴全等三角形全等图形理解全等图形的定义，会识别全等图形全等三角形的判定理解并掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，并会判定两个三角形全等直角三角形的判定会利用HL判定两个三角形全等角平分线角平分线的性质理解并掌握角平分线的性质角平分线的判定利用角平分线的判定解决有关的实际问题☞2年中考【2015年题组】1．（2015六盘水）如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD 【答案】D．【解析】试题分析：A．可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B．可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C．利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意；D．SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；故选D．考点：全等三角形的判定．2．（2015贵阳）如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（）A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE【答案】B．考点：全等三角形的判定与性质．3．（2015义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C 画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【答案】D．【解析】试题分析：在△ADC和△ABC中，∵AD=AB，DC=BC，AC=AC，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．故选D．考点：全等三角形的应用．4．（2015泰州）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】D．。
人教版八年级数学上册第十二章全等三角形章末复习课件共58张
章末复习
例3 如图12-Z-7, 在△ABC和△DEF中, 点B,E, C, F在同一直线上, 下面 有四个条件, 请你从中选三个作为题设, 余下的一个作为结论, 写出 一个正确的命题, 并加以证明. ①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF.
章末复习
分析
条件 结论 是否正确
章末复习
例2 如图12-Z-4, ∠B=∠C=90°, E是BC的中点, DE平分∠ADC. 求证：AD=AB+CD.
章末复习
分析
角平分线 的性质
作EF⊥AD
EC=EF
E是BC的中点
EF=EB Rt△AFE≌Rt△ABE
AF=AB
CD=DF
AD=AB+CD
同理
章末复习
证明：如图 12-Z-4, 过点 E 作 EF⊥AD 于点 F. ∵∠C=90°, DE 平分∠ADC, ∴EC=EF. ∵E 是 BC 的中点, ∴EC=EB, ∴EF=EB. 在 Rt△AFE 与 Rt△ABE 中, AE=AE, EF=EB, ∴Rt△AFE≌Rt△ABE,∴AF=AB. 同理可得 FD=CD, ∴AD=AF+FD=AB+CD.
全等三角 形的性质
应用
角的平 分线
全等三角形
章末复习
全等三 角形
角的平 分线
全等三角形
边边边(SSS)
一般三 角形
直角三 角形
性质
边角边(SAS) 角边角(ASA) 角角边(AAS)
角的平分线上 的点到角的两 边的距离相等
SSS, SAS, ASA, AAS
HL(只适用于判定两 个直角三角形全等)
∴△AOD≌△BOC(SAS)．
人教版八年级数学上册考点与题型归纳第十二章全等三角形12.3角的平分线性质(含解析)
人教版八年级数学上册考点与题型归纳第十二章全等三角形12.3 三角的平分线性质一：考点归纳考点一、角平分线的定义把一个角分成两个相等的角的射线叫做这个角的平分线。
考点二、三角的平分线性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.（三角形三条角平分线的交点到三边距离相等）考点三、三角的平分线判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
考点四、角平分线的尺规作图已知： ∠AOB ,求作： ∠AOB 的角平分线作法：（1）以顶点 O 为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角两边于点 M 、N ；（2）分别以点 M 、N 为圆心，以大于21 MN 的长度为半径画弧，两弧交与点 P ；（3）连接顶点 O 和点 P ，则射线即 OP 为∠AOB 的角平分线。
如图所示：二：【题型归纳】题型一：角平分线的判定1．在锐角三角形ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF，求证：AD是∠BAC 的平分线；题型二：、三角的平分线性质2．已知：如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB，∠1＝∠2，BD＝FD．求证：BE＝FC．考点三、角平分线的尺规作图3．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°．（1）作∠B的平分线BM，交AC于点M(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；（2）若CM=5，AB=12，求△ABM的面积．三：基础巩固和培优一、单选题1．如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，且120ADC =∠︒，则MAB ∠的度数为（ ）A ．30B ．35︒C ．45︒D ．60︒2．如图，在ABC ∆中，50,60ABC ACB ∠=︒∠=︒，点E 在BC 的延长线上，ABC ∠的平分线BD 与ACE ∠的平分线CD 相交于点D ，连接AD ，下列结论中不正确的是（ ）A ．70BAC ∠=︒B ．35BDC ∠=︒ C ．70ADC ∠=︒D ．55DAC ∠=︒3．如图，在△OAB 和△OCD 中，OA=OB ，OC=OD ，OA ＞OC ，∠AOB=∠COD=40°，连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC=BD ；②∠AMB=40°；③OM 平分∠BOC ；④MO 平分∠BMC ．其中正确的是（ ）A ．①②④B ．②③④C ．①③④D ．①②③④4．如图，已知AB=AC ，BE ⊥AC 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，BE 与CF 交于点D ，则下列结论中错误的是（ ）A ．△ABE ≌△ACFB ．△BDF ≌△CDEC ．点D 是BE 的中点 D ．点D 在∠BAC 的平分线上5．如图，AB=AD ，AC=AE ，∠DAB=∠CAE=50°，以下四个结论：①△ADC ≌△ABE ；②CD=BE ；③∠DOB=50°；④点A 在∠DOE 的平分线上，其中结论正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，在ABC 中， ∠ C=90 ° ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，BC ＝7，DE ＝3．则BD 的长（ ）A ．4B ．5C ．6D ．107．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AO ，BO 分别平分BAC ∠和ABC ∠，若10AB =，8AC =，6BC =，则点O 到AB 的距离为（ ）A．2B．1.5C．1D．0.58．如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC，连接AB．若OA＝5，AB＝6，则点B到AC的距离为（）A．4.8B．4C．2.4D．59．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB=4，AC=3，S△ACD=3，则S△ABD=（）A．3B．4C．9D．1210．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为( )A ．40°B ．55°C ．65°D ．75°二、填空题 11．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为点F ，DE=DG ,若△ADG 和△AED 的面积分别为50和30，则△EDF 的面积为_________．12．如图，∠B =90°，AD 平分∠BAC ，DB =3，则点D 到AC 的距离是________．13．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，BC 10cm =，6BD cm =，则点D 到AB 的距离是___________．14．如图，O 是△ABC 内一点，且O 到三边AB ，BC ，CA 的距离OF ＝OD ＝OE ，若∠BAC ＝80°，则∠BOC的度数为_________．15．如图，ABC 中，A 60∠=︒，AB>AC ，两内角的平分线CD 、BE 交于点O ，OF 平分BOC ∠交BC 于F ，（1）BOC 120∠=︒；（2）连AO ，则AO 平分BAC ∠；（3）A 、O 、F 三点在同一直线上；（4）OD=OE ；（5）BD+CE=BC ． 其中正确的结论是__________．（填序号）三、解答题16．已知如图，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE ，CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，求证：AE ＝DE17．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠DAB．（2）求证AM⊥DM．18．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．求证：（1）CF＝EB；（2）AB＝AF＋2EB．19．如图，在△ABC中，∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF＝10cm，AC＝14cm，动点E以2cm/s 的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为．（1）求证：在运动过程中，不管取何值，都有S△AED＝2S△DGC；（2）当取何值时，△DFE与△DMG全等；（3）在（2）的前提下，若119126BDDC=，228AEDS cm∆=，求S△BFD．参考答案题型归纳1．证明：∵D是BC 的中点，∴BD=DC，∵DE⊥AB于E ，DF⊥AC于F ，∴△BED与△CFD都是直角三角形，又BE=CF ，∴RT△BED≌RT△CFD（HL ），∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线（角平分线的判定定理）．2．解：∵∠1＝∠2，∴AD 是BAC ∠的角平分线，∵∠C ＝90°，DE ⊥AB ，∴DE CD =，在Rt BDE △和Rt FDC 中，BD FD DE DC=⎧⎨=⎩， ∴Rt BDE △≌Rt FDC ，∴BE FC =．3．解：（1）∠B 的平分线BM 如图所示：∵BM 平分∠ABC ，∠C=90°，∴MC=MH ，∵CM=5，AB=12，∴MH=5， ∴111253022ABM S AB MH =⋅=⨯⨯=．三：基础巩固和培优1．A解：作MN AD ⊥于N ，90B C ∠=∠=︒，//AB CD ∴，又120ADC ∠=︒，18060DAB ADC ∴∠=︒-∠=︒， DM 平分ADC ∠，MN AD ⊥，MC CD ⊥，MN MC ∴=， M 是BC 的中点，MC MB ∴=，MN MB ∴=，又MN AD ⊥，MB AB ⊥，1302MAB DAB ∴∠=∠=︒， 故选：A ．2．C解：A 选项:在ABC ∆中，50,60ABC ACB ︒︒∠=∠=，18070BAC ABC ACB ︒︒∴∠=-∠-∠=，故A 选项不符合题意;B 选项:60ACB ︒∠=，18060120ACE ︒︒︒∴∠=-=， CD 平分ACE ∠，BD 平分ABC ∠，1602DCE ACE ︒∴∠=∠=，1252DBC ABC ︒∠=∠= 602535BDC DCE DBC ︒︒︒∴∠=∠-∠=-=故B 选项不符合题意;C 选项:在ADC ∆中，1801805560ADC DAC ACD ︒︒︒︒∠=-∠-∠=--故C 选项符合题意;D 选项:,BD CD 分别是ABC ∠和ACE ∠的平分线D ∴到AB AC BC ，，的距离相等，AD ∴是ABC ∆的外角平分线，118070552()DAC ︒︒︒∴∠=⨯-=， 故D 选项不符合题意．故选C ．3．A【详解】∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD ，即∠AOC=∠BOD ，在△AOC 和△BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△BOD （SAS ），∴∠OCA=∠ODB ，∠OAC=∠OBD ，AC=BD ，①正确；由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD ，∴∠AMB=∠AOB=40°，②正确；作OG ⊥MC 于G ，OH ⊥MB 于H ，如图2所示：则∠OGC=∠OHD=90°，在△OCG和△ODH中，90OGC OHDOCA ODBOC OD∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG=OH，∴MO平分∠BMC，④正确；∵OA＞OC，∴∠OAC<∠OCA，∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC=∠OBD<∠OCA，∵MO平分∠BMC，∴∠OMC=∠OMB，∵∠OMC+∠OCA +∠COM =∠OMB+∠OBD+∠BOM=180︒，∴∠COM<∠BOM，∴MO并不平分∠BOC，③错误；综上，正确的是：①②④；故选：A．4．C解：A、∵AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠A=∠A∴△ABE≌△ACF（AAS），正确；B∵△ABE≌△ACF，AB=AC∴BF=CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC=90°∴△BDF≌△CDE（AAS），正确；C、无法判定，错误；D、∵△ABE≌△ACF，AB=AC∴BF=CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC=90°∴DF=DE故点D在∠BAC的平分线上，正确；故选：C．5．D【详解】∵∠DAB=∠CAE∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC∴∠DAC=∠EAB∵AB=AD，AC=AE∴△ADC≌△ABE∴CD=BE，故①②正确；∵△ADC≌△ABE∴∠ADC =∠ABE设AB与CD交于G点，∵∠AGD =∠BGC∴∠DOB=∠DAB=50°,故③正确；过点A作AF⊥CD于F点，过点A作AH⊥BE于H点，则AF、AH分别是△ADC与△ABE边上的高∵△ADC≌△ABE∴AF=AH∴点A在∠DOE的平分线上，④正确故选D．6．A【详解】解：∵∠ C=90 °，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ， ∴3DE CD ==，∴734BD BC CD =-=-=，故选：A ．7．A解：过点O 分别作AC 、BC 、AB 的垂线分别交于点F 、D 、E ； AO 平分BAC ∠，CAO BAO ∴∠=∠OF AC ⊥，OE AB ⊥OE OF ∴= BO 平分ABC ∠，ABO CBO ∴∠=∠，OD BC ⊥，OE AB ⊥OD OE ∴=OD OE OF ∴==，ABC ACO BCO ABO S S S S ∆∆∆∆=++111222AC OE BC OE AB OE =⋅+⋅+⋅1()2OE AC BC AB =⋅++，8AC =，6BC =，10AB =，1(8610)2ABC S OE ∆∴=⨯++12OE =⋅，90C ∠=︒，11862422ABC S AC BC ∆∴=⋅=⨯⨯=1224OE ∴⋅=，2OE ∴=，∴点O 到AB 的距离为2故选A ．8．A解：由题意可得，OC 为∠MON 的角平分线，∵OA ＝OB ，OC 平分∠AOB ，∴OC⊥AB，设OC与AB交于点D，作BE⊥AC于点E，∵AB＝6，OA＝5，AC＝OA，OC⊥AB，∴AC＝5，∠ADC＝90°，AD＝3，∴CD＝4，∵•2AB CD＝•2AC BE，∴624⨯＝52BE⨯，解得，BE＝4.8，故选：A．9．B解：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD是∠BAC的平分线，∴DE=DF∴S△ABD：S△ACD=12AB•DE：12AC•DF=AB：AC=4：3∵S△ACD=3∴S△ABD=4．故选：B．10．C【解析】试题分析：由作图方法可得AG是∠CAB的角平分线，∵∠CAB=50°，∴∠CAD=∠CAB=25°，∵∠C=90°，∴∠CDA=90°﹣25°=65°，故选C．二：填空题11．10解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF＝DH，在Rt△DEF和Rt△DGH中DE DG DF DH⎧⎨⎩＝＝，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴S△EDF＝S△GDH，设面积为S，同理Rt △ADF ≌Rt △ADH ，∴S △ADF ＝S △ADH ，即30＋S ＝50−S ，解得S ＝10．12．3.解：如图，过D 作DH AC ⊥于H ， AD 平分90BAC B ∠∠=︒，，DH DB ∴=，3DB =，3DH ∴=，即D 到AC 的距离是3.故答案为：3.13．4cm解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵∠C=90°，AD 平分∠CAB ，∴DE=CD ，∵BC=10cm ，BD=6cm ，∴CD=BC-BD=10-6=4cm ，∴DE=4cm ．故答案为：4cm ．14．130°解：∵O 到三边AB 、BC 、CA 的距离OF=OD=OE ，∴点O 是三角形三条角平分线的交点，∵∠BAC=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB ）=12×100°=50°， 在△OBC 中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-50°=130°．故答案为：130°．15．①②④⑤．解：∵∠A=60°，∴18060120ABC ACB ∠+∠=︒-︒=︒，∴ ()1602ABC ACB ∠+∠=︒， ∵BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ， ∴1122EBC ABC DCB ACB ∠=∠∠=∠，， ∴()1602EBC DCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=︒， ∴()180120BOC EBC DCB ∠=︒-∠+∠=︒，∴①正确；过O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，∴OM=ON，ON=OQ，∴OQ=OM，∴O在∠A平分线上，∴②正确；A O F三点共线，如图，若,,，，∴∠=∠+∠∠=∠+∠BOF BAO ABO COF OAC OCA，，BOF COF BAO CAO∠=∠∠=∠∴∠=∠，ABO ACO∴∠=∠，ABC ACB∵AB＞AC，∴∠ABC＜∠ACB，所以：A、O、F不在同一直线上，∴③错误；∵120BOC ∠=︒，∴120DOE ∠=︒，OM ⊥AB ，OQ ⊥AC ，ON ⊥BC ，∴∠AMO=∠AQO=90°，∵∠A=60°，∴∠MOQ=120°，∴∠DOM=∠EOQ ，在OMD 和OQE 中，MOD EOQOMD OQE OM ON∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴OMD OQE ≌（AAS ），∴OE=OD ，∴④正确；在Rt BNO 与Rt BMO 中，BO BOON OM =⎧⎨=⎩∴()Rt BNO Rt BMO HL ≌，BN BM BD DM ∴==+同理，Rt CNO Rt CQO ≌，CN CQ CE EQ∴==-，∴BN CN BD DM CE EQ+=++-，∵DM=EQ，∴BC=BD+CE，∴⑤正确；故答案为：①②④⑤．16证明：如图，过点P作PH⊥AB于H，∵BP平分∠ABC，PD⊥BC，∴PD＝PH，在Rt△BDP和Rt△BHP中BP BP PD PH⎧⎨⎩＝＝，∴Rt△BDP≌Rt△BHP（HL），∴BD＝BH，∵BF＋BE＝2BD，∴BD−BF＝BE−BD，即BH−BF＝BE−BD，∴FH＝DE，在△ODE 和△PHF 中FH DE PDE PHF PD PH ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△ODE ≌△PHF （SAS ），∴∠BEP ＝∠PFH ，∵∠BFP ＋∠PFH ＝180°，∴∠BFP ＋∠BEP ＝180°．17.证明：过点E 分别作EG ⊥BC 于G ，EH ⊥CD 于H ，EF ⊥BA 交BA 延长线于F ， 则∠AFE=∠DHE=90°，∵BE ，CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，EG ⊥BC ， EH ⊥CD ，EF ⊥BA∴EF=EG ，EG=EH ，∴EF=EH ，∵AB ∥CD ，∴∠FAE=∠D ，在△AFE 和△DHE 中，AFE DHE FAE DEF EH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AFE ≌△DHE （AAS ），∴AE=DE ．18．（1）证明见解析；（2）证明见解析．（1）证明：如图：过M作ME⊥AD于E∵DM平分∠ADC，∠C＝90°，ME⊥AD∴MC=ME∵MB=MC∴MB=ME∵∠B＝90°，ME⊥AD∴AM平分∠DAB；（2）证明：∵∠B＝∠C＝90°∴DC//AB∴∠BAD+ ∠ADC=180°∵DM平分∠ADC，AM平分∠DAB∴∠DAM=12∠BAD,∠ADM=12∠ADC,∴∠ADM+∠MAD=12（∠BAD+ ∠ADC）=90°∴∠AMD=90°，即AM⊥DM．19证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC ，在Rt △CFD 和Rt △EBD 中，,DF BD CD ED =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CFD ≌Rt △EBD （HL ），∴CF=EB ；（2）在△ACD 和△AED 中，90,,CAD EAD ACD AED AD AD ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△AED （AAS ），∴AC=AE ，∴AB=AE+EB=AC+EB=AF+FC+EB=AF+2EB ．20.（1）证明：∵∠BAD ＝∠DAC ，DF ⊥AB ，DM ⊥AC ，∴DF ＝DM ，∵S △AED ＝12AE •DF ，S △DGC ＝12CG •DM ， ∴ADE DGCS S ∆∆＝AE CG ， ∵点E 以2cm /s 的速度从A 点向F 点运动，动点G 以1cm /s 的速度从C 点向A 点运动， ∴AE ＝2tcm ，CG ＝tcm ， ∴AE CG＝2， 即ADE DGCS S ∆∆＝2， ∴在运动过程中，不管取何值，都有S △AED ＝2S △DGC ．（2）解：①当0＜t ＜4时，点G 在线段CM 上，点E 在线段AF 上．EF＝10﹣2t，MG＝4﹣t∴10﹣2t＝4﹣t，∴t＝6（不合题意，舍去）；②当4＜t＜5时，点G在线段AM上，点E在线段AF上．EF＝10﹣2t，MG＝t﹣4，∴10﹣2t＝t﹣4，∴t＝143；综上，t＝143．综上所述当t＝143时，△DFE与△DMG全等．（3）解：∵t＝143，∴AE＝2t＝283（cm），∵DF＝DM，∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝BD：CD＝119：126，∵AC＝14cm，∴AB＝1199（cm），∴BF＝AB﹣AF＝1199﹣10＝299（cm），∵S△ADE：S△BDF＝AE：BF＝283：299，S△AED＝28cm2，∴S△BDF＝293（cm2）．。
八年级数学上册12.3角的平分线的性质知识点新版新人教版
角平分线的性质一、本节学习指点角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关题型。
其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形标题有效的途径。
本节有配套免费学习视频。
二、知识要点1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。
如下图：OC平分∠AOB∵OC平分∠AOB∴∠AOC=∠BOC2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
【重点】如第一个图：∵OC平分∠AOB（或∠1=∠2），PE⊥OA,PD⊥OB∴PD=PE,此时我们知道△OPE≌△OPD（直角三角形斜边是OP 即公共边，直角边斜边）3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
如第一个图：∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE∴OC平分∠AOB（或∠1=∠2）4、线段的中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点。
如下图：∵C是AB的中点∴AC=BC5、垂直的定义：两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，这两条直线互相垂直。
如图：【重点】∵AB⊥CD∴∠AOC=∠AOD=∠BOC =∠BOD=90°或∵∠AOC=90°∴AB⊥CD留意：要判断两条直线垂直，只需知道这两条相交直线所构成的四个角中的一个角是直角就可以了。
反过来，两条直线互相垂直，它们的四个交角都是直角。
6、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
∵△ABC≌△A'B'C'∴AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C'; ∠A=∠A', ∠B=∠B', ∠C=∠C'三、经验之谈：本节的重点是第2点，角平分线的性质，这条性质在以后的几何题型中用的非常多，本章的三角形全等也不例外，如果我们碰到标题中出现角平分线，我们要会利用它的性质。
告诉大家一个秘密：在几何题型中，99%的标题给出的条件都是要用到的，除非此题属于难题范围，故意给些误导性条件。
八年级数学上册第十二章全等三角形12.3角的平分线的性质1课件新版新人教版
问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为 什么？ 问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角 的两边有何关系，它们的长度有何关系？
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典例精讲 归纳：角平分线上的点到角的两边的距离相等 题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E. 求证：PD=PE.
· 2.在角平分线作法的第二步中，B
去掉“大于MN的长”这个条
·D
件行吗 3.第二步中所作的两弧交点一
C·
定在∠AOB的内部吗？
探索新知
1.用圆规和直尺作已知角的平
A·
分线的依据是什么？
· 2.在角平分线作法的第二步中，
去掉“大于MN的长”这个条 B
·D
件行吗 3.第二步中所作的两弧交点一
C·
定在∠AOB的内部吗？
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已知：如图，OP是∠AOB的平分线，点P在 OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E 求证：PD=PE
证明: ∵∠1=∠2 , OP=OP
∠PDO=∠PEO=90°
∴⊿PDO≌⊿PEO (AAS) ∴PD=PE (全等三角形的对应 O
边相等)
A
D
C
1
P
2
EB
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典例精讲
例1:如图，在△ABC中，∠C＝900，AD平 分∠BAC交BC于点D，若BC＝8,BD＝5， 则点D到AB的距离为？
A
E E
C
D
B
典例精讲
例2：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于 点P。求证：点P到三角形三边的距离均相等。
A
F N
G
人教版八年级上册数学三角形全等知识点
千里之行，始于足下。
人教版八年级上册数学三角形全等知识点
八年级上册数学人教版涉及到的三角形全等的知识点包括：
1. 三角形全等的概念：若两个三角形的三边分别相等，则称这两个三角形全等。
2. 三角形全等的判定条件：
a. SSS判定法：若两个三角形的三边长度分别相等，则这两个三角形全等。
b. SAS判定法：若两个三角形的一个角度和其对应边的长度分别相等，
则这两个三角形全等。
c. ASA判定法：若两个三角形的两个角度和其对应边的长度分别相等，
则这两个三角形全等。
d. RHS判定法：若两个直角三角形的一个直角边长和斜边长度分别相等，则这两个直角三角形全等。
3. 三角形全等的性质：
a. 对应角相等性质：若两个三角形全等，则它们的对应角相等。
b. 对应边相等性质：若两个三角形全等，则它们的对应边相等。
c. 对边夹角相等性质：若两个三角形全等，则它们的对边所夹的角相等。
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锲而不舍，金石可镂。
4. 三角形全等的运用：
a. 通过三角形全等的判定条件判断两个三角形是否全等。
b. 利用三角形全等的性质进行角度、边长的求解。
以上是《人教版》八年级上册数学中关于三角形全等的主要知识点。
【晨鸟】新人教版八年级上册数学专题复习：全等三角形与角平分线复习资料(001)
专题全等三角形与角平分线?解读考点知识点名师点晴全等图形理解全等图形的定义，会识别全等图形全等三理解并掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA 、AAS ，角形全等三角形的判定并会判定两个三角形全等直角三角形的判定会利用 HL 判定两个三角形全等角平分线的性质理解并掌握角平分线的性质角平分线角平分线的判定利用角平分线的判定解决有关的实际问题? 2 年中考【2015 年题组】1．（ 2015 六盘水）如图，已知∠ABC ＝∠ DCB ，下列所给条件不能证明△ABC ≌△ DCB 的是（）A ．∠ A ＝∠ D B． AB ＝ DC C．∠ ACB ＝∠ DBC D． AC ＝ BD【答案】 D ．【解析】试题分析： A ．可利用AAS 定理判定△ ABC ≌△ DCB ，故此选项不合题意；B ．可利用SAS 定理判定△ ABC ≌△ DCB ，故此选项不合题意；C．利用 ASA 判定△ ABC ≌△ DCB ，故此选项不符合题意；D ． SSA 不能判定△ ABC ≌△ DCB ，故此选项符合题意；故选 D．考点：全等三角形的判定．2．（ 2015 贵阳）如图，点E，F 在 AC 上， AD=BC ， DF=BE ，要使△ ADF ≌△ CBE ，还需要添加的一个条件是（）【答案】 B ．考点：全等三角形的判定与性质．3．（ 2015 义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ，C 画一条射线AE ， AE 就是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ ABC ≌△ ADC ，这样就有∠QAE= ∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A ． SAS B． ASA C． AAS D． SSS【答案】 D ．【解析】试题分析：在△ADC 和△ABC 中，∵ AD=AB ，DC=BC ，AC=AC ，∴△ ADC ≌△ ABC（ SSS），∴∠ DAC= ∠ BAC ，即∠ QAE= ∠PAE．故选 D．考点：全等三角形的应用．4．（ 2015 泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、 AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（）A ． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对【答案】 D ．【答案】 B ．考点：全等三角形的判定与性质．3．（ 2015 义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ，C 画一条射线AE ， AE 就是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ ABC ≌△ ADC ，这样就有∠QAE= ∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A ． SAS B． ASA C． AAS D． SSS【答案】 D ．【解析】试题分析：在△ADC 和△ABC 中，∵ AD=AB ，DC=BC ，AC=AC ，∴△ ADC ≌△ ABC（ SSS），∴∠ DAC= ∠ BAC ，即∠ QAE= ∠PAE．故选 D．考点：全等三角形的应用．4．（ 2015 泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、 AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（）A ． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对【答案】 D ．【答案】 B ．考点：全等三角形的判定与性质．3．（ 2015 义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ，C 画一条射线AE ， AE 就是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ ABC ≌△ ADC ，这样就有∠QAE= ∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A ． SAS B． ASA C． AAS D． SSS【答案】 D ．【解析】试题分析：在△ADC 和△ABC 中，∵ AD=AB ，DC=BC ，AC=AC ，∴△ ADC ≌△ ABC（ SSS），∴∠ DAC= ∠ BAC ，即∠ QAE= ∠PAE．故选 D．考点：全等三角形的应用．4．（ 2015 泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、 AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（）A ． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对【答案】 D ．【答案】 B ．考点：全等三角形的判定与性质．3．（ 2015 义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ，C 画一条射线AE ， AE 就是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ ABC ≌△ ADC ，这样就有∠QAE= ∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A ． SAS B． ASA C． AAS D． SSS【答案】 D ．【解析】试题分析：在△ADC 和△ABC 中，∵ AD=AB ，DC=BC ，AC=AC ，∴△ ADC ≌△ ABC（ SSS），∴∠ DAC= ∠ BAC ，即∠ QAE= ∠PAE．故选 D．考点：全等三角形的应用．4．（ 2015 泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、 AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（）A ． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对【答案】 D ．【答案】 B ．考点：全等三角形的判定与性质．3．（ 2015 义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ，C 画一条射线AE ， AE 就是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ ABC ≌△ ADC ，这样就有∠QAE= ∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A ． SAS B． ASA C． AAS D． SSS【答案】 D ．【解析】试题分析：在△ADC 和△ABC 中，∵ AD=AB ，DC=BC ，AC=AC ，∴△ ADC ≌△ ABC（ SSS），∴∠ DAC= ∠ BAC ，即∠ QAE= ∠PAE．故选 D．考点：全等三角形的应用．4．（ 2015 泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、 AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（）A ． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对【答案】 D ．【答案】 B ．考点：全等三角形的判定与性质．3．（ 2015 义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ，C 画一条射线AE ， AE 就是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ ABC ≌△ ADC ，这样就有∠QAE= ∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A ． SAS B． ASA C． AAS D． SSS【答案】 D ．【解析】试题分析：在△ADC 和△ABC 中，∵ AD=AB ，DC=BC ，AC=AC ，∴△ ADC ≌△ ABC（ SSS），∴∠ DAC= ∠ BAC ，即∠ QAE= ∠PAE．故选 D．考点：全等三角形的应用．4．（ 2015 泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、 AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（）A ． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对【答案】 D ．【答案】 B ．考点：全等三角形的判定与性质．3．（ 2015 义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ，C 画一条射线AE ， AE 就是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ ABC ≌△ ADC ，这样就有∠QAE= ∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A ． SAS B． ASA C． AAS D． SSS【答案】 D ．【解析】试题分析：在△ADC 和△ABC 中，∵ AD=AB ，DC=BC ，AC=AC ，∴△ ADC ≌△ ABC（ SSS），∴∠ DAC= ∠ BAC ，即∠ QAE= ∠PAE．故选 D．考点：全等三角形的应用．4．（ 2015 泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、 AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（）A ． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对【答案】 D ．【答案】 B ．考点：全等三角形的判定与性质．3．（ 2015 义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ，C 画一条射线AE ， AE 就是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ ABC ≌△ ADC ，这样就有∠QAE= ∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A ． SAS B． ASA C． AAS D． SSS【答案】 D ．【解析】试题分析：在△ADC 和△ABC 中，∵ AD=AB ，DC=BC ，AC=AC ，∴△ ADC ≌△ ABC（ SSS），∴∠ DAC= ∠ BAC ，即∠ QAE= ∠PAE．故选 D．考点：全等三角形的应用．4．（ 2015 泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、 AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（）A ． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对【答案】 D ．【答案】 B ．考点：全等三角形的判定与性质．3．（ 2015 义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ，C 画一条射线AE ， AE 就是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ ABC ≌△ ADC ，这样就有∠QAE= ∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A ． SAS B． ASA C． AAS D． SSS【答案】 D ．【解析】试题分析：在△ADC 和△ABC 中，∵ AD=AB ，DC=BC ，AC=AC ，∴△ ADC ≌△ ABC（ SSS），∴∠ DAC= ∠ BAC ，即∠ QAE= ∠PAE．故选 D．考点：全等三角形的应用．4．（ 2015 泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、 AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（）A ． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对【答案】 D ．【答案】 B ．考点：全等三角形的判定与性质．3．（ 2015 义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ，C 画一条射线AE ， AE 就是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ ABC ≌△ ADC ，这样就有∠QAE= ∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A ． SAS B． ASA C． AAS D． SSS【答案】 D ．【解析】试题分析：在△ADC 和△ABC 中，∵ AD=AB ，DC=BC ，AC=AC ，∴△ ADC ≌△ ABC（ SSS），∴∠ DAC= ∠ BAC ，即∠ QAE= ∠PAE．故选 D．考点：全等三角形的应用．4．（ 2015 泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、 AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（）A ． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对【答案】 D ．【答案】 B ．考点：全等三角形的判定与性质．3．（ 2015 义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ，C 画一条射线AE ， AE 就是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ ABC ≌△ ADC ，这样就有∠QAE= ∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A ． SAS B． ASA C． AAS D． SSS【答案】 D ．【解析】试题分析：在△ADC 和△ABC 中，∵ AD=AB ，DC=BC ，AC=AC ，∴△ ADC ≌△ ABC（ SSS），∴∠ DAC= ∠ BAC ，即∠ QAE= ∠PAE．故选 D．考点：全等三角形的应用．4．（ 2015 泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、 AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（）A ． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对【答案】 D ．【答案】 B ．考点：全等三角形的判定与性质．3．（ 2015 义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ，C 画一条射线AE ， AE 就是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ ABC ≌△ ADC ，这样就有∠QAE= ∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A ． SAS B． ASA C． AAS D． SSS【答案】 D ．【解析】试题分析：在△ADC 和△ABC 中，∵ AD=AB ，DC=BC ，AC=AC ，∴△ ADC ≌△ ABC（ SSS），∴∠ DAC= ∠ BAC ，即∠ QAE= ∠PAE．故选 D．考点：全等三角形的应用．4．（ 2015 泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、 AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（）A ． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对【答案】 D ．【答案】 B ．考点：全等三角形的判定与性质．3．（ 2015 义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ，C 画一条射线AE ， AE 就是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ ABC ≌△ ADC ，这样就有∠QAE= ∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A ． SAS B． ASA C． AAS D． SSS【答案】 D ．【解析】试题分析：在△ADC 和△ABC 中，∵ AD=AB ，DC=BC ，AC=AC ，∴△ ADC ≌△ ABC（ SSS），∴∠ DAC= ∠ BAC ，即∠ QAE= ∠PAE．故选 D．考点：全等三角形的应用．4．（ 2015 泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、 AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（）A ． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对【答案】 D ．【答案】 B ．考点：全等三角形的判定与性质．3．（ 2015 义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ，C 画一条射线AE ， AE 就是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ ABC ≌△ ADC ，这样就有∠QAE= ∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A ． SAS B． ASA C． AAS D． SSS【答案】 D ．【解析】试题分析：在△ADC 和△ABC 中，∵ AD=AB ，DC=BC ，AC=AC ，∴△ ADC ≌△ ABC（ SSS），∴∠ DAC= ∠ BAC ，即∠ QAE= ∠PAE．故选 D．考点：全等三角形的应用．4．（ 2015 泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、 AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（）A ． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对【答案】 D ．【答案】 B ．考点：全等三角形的判定与性质．3．（ 2015 义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ，C 画一条射线AE ， AE 就是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ ABC ≌△ ADC ，这样就有∠QAE= ∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A ． SAS B． ASA C． AAS D． SSS【答案】 D ．【解析】试题分析：在△ADC 和△ABC 中，∵ AD=AB ，DC=BC ，AC=AC ，∴△ ADC ≌△ ABC（ SSS），∴∠ DAC= ∠ BAC ，即∠ QAE= ∠PAE．故选 D．考点：全等三角形的应用．4．（ 2015 泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、 AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（）A ． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对【答案】 D ．【答案】 B ．考点：全等三角形的判定与性质．3．（ 2015 义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ，C 画一条射线AE ， AE 就是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ ABC ≌△ ADC ，这样就有∠QAE= ∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A ． SAS B． ASA C． AAS D． SSS【答案】 D ．【解析】试题分析：在△ADC 和△ABC 中，∵ AD=AB ，DC=BC ，AC=AC ，∴△ ADC ≌△ ABC（ SSS），∴∠ DAC= ∠ BAC ，即∠ QAE= ∠PAE．故选 D．考点：全等三角形的应用．4．（ 2015 泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、 AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（）A ． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对【答案】 D ．【答案】 B ．考点：全等三角形的判定与性质．3．（ 2015 义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ，C 画一条射线AE ， AE 就是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ ABC ≌△ ADC ，这样就有∠QAE= ∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A ． SAS B． ASA C． AAS D． SSS【答案】 D ．【解析】试题分析：在△ADC 和△ABC 中，∵ AD=AB ，DC=BC ，AC=AC ，∴△ ADC ≌△ ABC（ SSS），∴∠ DAC= ∠ BAC ，即∠ QAE= ∠PAE．故选 D．考点：全等三角形的应用．4．（ 2015 泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、 AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（）A ． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对【答案】 D ．【答案】 B ．考点：全等三角形的判定与性质．3．（ 2015 义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ，C 画一条射线AE ， AE 就是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ ABC ≌△ ADC ，这样就有∠QAE= ∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A ． SAS B． ASA C． AAS D． SSS【答案】 D ．【解析】试题分析：在△ADC 和△ABC 中，∵ AD=AB ，DC=BC ，AC=AC ，∴△ ADC ≌△ ABC（ SSS），∴∠ DAC= ∠ BAC ，即∠ QAE= ∠PAE．故选 D．考点：全等三角形的应用．4．（ 2015 泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、 AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（）A ． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对【答案】 D ．【答案】 B ．考点：全等三角形的判定与性质．3．（ 2015 义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ，C 画一条射线AE ， AE 就是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ ABC ≌△ ADC ，这样就有∠QAE= ∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A ． SAS B． ASA C． AAS D． SSS【答案】 D ．【解析】试题分析：在△ADC 和△ABC 中，∵ AD=AB ，DC=BC ，AC=AC ，∴△ ADC ≌△ ABC（ SSS），∴∠ DAC= ∠ BAC ，即∠ QAE= ∠PAE．故选 D．考点：全等三角形的应用．4．（ 2015 泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、 AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（）A ． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对【答案】 D ．【答案】 B ．考点：全等三角形的判定与性质．3．（ 2015 义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ，C 画一条射线AE ， AE 就是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ ABC ≌△ ADC ，这样就有∠QAE= ∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A ． SAS B． ASA C． AAS D． SSS【答案】 D ．【解析】试题分析：在△ADC 和△ABC 中，∵ AD=AB ，DC=BC ，AC=AC ，∴△ ADC ≌△ ABC（ SSS），∴∠ DAC= ∠ BAC ，即∠ QAE= ∠PAE．故选 D．考点：全等三角形的应用．4．（ 2015 泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、 AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（）A ． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对【答案】 D ．【答案】 B ．考点：全等三角形的判定与性质．3．（ 2015 义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ，C 画一条射线AE ， AE 就是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ ABC ≌△ ADC ，这样就有∠QAE= ∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A ． SAS B． ASA C． AAS D． SSS【答案】 D ．【解析】试题分析：在△ADC 和△ABC 中，∵ AD=AB ，DC=BC ，AC=AC ，∴△ ADC ≌△ ABC（ SSS），∴∠ DAC= ∠ BAC ，即∠ QAE= ∠PAE．故选 D．考点：全等三角形的应用．4．（ 2015 泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、 AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（）A ． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对【答案】 D ．【答案】 B ．考点：全等三角形的判定与性质．3．（ 2015 义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ，C 画一条射线AE ， AE 就是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ ABC ≌△ ADC ，这样就有∠QAE= ∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A ． SAS B． ASA C． AAS D． SSS【答案】 D ．【解析】试题分析：在△ADC 和△ABC 中，∵ AD=AB ，DC=BC ，AC=AC ，∴△ ADC ≌△ ABC（ SSS），∴∠ DAC= ∠ BAC ，即∠ QAE= ∠PAE．故选 D．考点：全等三角形的应用．4．（ 2015 泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、 AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（）A ． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对【答案】 D ．【答案】 B ．考点：全等三角形的判定与性质．3．（ 2015 义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ，C 画一条射线AE ， AE 就是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ ABC ≌△ ADC ，这样就有∠QAE= ∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A ． SAS B． ASA C． AAS D． SSS【答案】 D ．【解析】试题分析：在△ADC 和△ABC 中，∵ AD=AB ，DC=BC ，AC=AC ，∴△ ADC ≌△ ABC（ SSS），∴∠ DAC= ∠ BAC ，即∠ QAE= ∠PAE．故选 D．考点：全等三角形的应用．4．（ 2015 泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、 AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（）A ． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对【答案】 D ．【答案】 B ．考点：全等三角形的判定与性质．3．（ 2015 义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ，C 画一条射线AE ， AE 就是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ ABC ≌△ ADC ，这样就有∠QAE= ∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A ． SAS B． ASA C． AAS D． SSS【答案】 D ．【解析】试题分析：在△ADC 和△ABC 中，∵ AD=AB ，DC=BC ，AC=AC ，∴△ ADC ≌△ ABC（ SSS），∴∠ DAC= ∠ BAC ，即∠ QAE= ∠PAE．故选 D．考点：全等三角形的应用．4．（ 2015 泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、 AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（）A ． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对【答案】 D ．【答案】 B ．考点：全等三角形的判定与性质．3．（ 2015 义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ，C 画一条射线AE ， AE 就是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ ABC ≌△ ADC ，这样就有∠QAE= ∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A ． SAS B． ASA C． AAS D． SSS【答案】 D ．【解析】试题分析：在△ADC 和△ABC 中，∵ AD=AB ，DC=BC ，AC=AC ，∴△ ADC ≌△ ABC（ SSS），∴∠ DAC= ∠ BAC ，即∠ QAE= ∠PAE．故选 D．考点：全等三角形的应用．4．（ 2015 泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、 AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（）A ． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对【答案】 D ．【答案】 B ．考点：全等三角形的判定与性质．3．（ 2015 义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ，C 画一条射线AE ， AE 就是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ ABC ≌△ ADC ，这样就有∠QAE= ∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A ． SAS B． ASA C． AAS D． SSS【答案】 D ．【解析】试题分析：在△ADC 和△ABC 中，∵ AD=AB ，DC=BC ，AC=AC ，∴△ ADC ≌△ ABC（ SSS），∴∠ DAC= ∠ BAC ，即∠ QAE= ∠PAE．故选 D．考点：全等三角形的应用．4．（ 2015 泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、 AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（）A ． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对【答案】 D ．【答案】 B ．考点：全等三角形的判定与性质．3．（ 2015 义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ，C 画一条射线AE ， AE 就是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ ABC ≌△ ADC ，这样就有∠QAE= ∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A ． SAS B． ASA C． AAS D． SSS【答案】 D ．【解析】试题分析：在△ADC 和△ABC 中，∵ AD=AB ，DC=BC ，AC=AC ，∴△ ADC ≌△ ABC（ SSS），∴∠ DAC= ∠ BAC ，即∠ QAE= ∠PAE．故选 D．考点：全等三角形的应用．4．（ 2015 泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、 AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（）A ． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对【答案】 D ．【答案】 B ．考点：全等三角形的判定与性质．3．（ 2015 义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ，C 画一条射线AE ， AE 就是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ ABC ≌△ ADC ，这样就有∠QAE= ∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A ． SAS B． ASA C． AAS D． SSS【答案】 D ．【解析】试题分析：在△ADC 和△ABC 中，∵ AD=AB ，DC=BC ，AC=AC ，∴△ ADC ≌△ ABC（ SSS），∴∠ DAC= ∠ BAC ，即∠ QAE= ∠PAE．故选 D．考点：全等三角形的应用．4．（ 2015 泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、 AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（）A ． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对【答案】 D ．【答案】 B ．考点：全等三角形的判定与性质．3．（ 2015 义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ，C 画一条射线AE ， AE 就是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ ABC ≌△ ADC ，这样就有∠QAE= ∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A ． SAS B． ASA C． AAS D． SSS【答案】 D ．【解析】试题分析：在△ADC 和△ABC 中，∵ AD=AB ，DC=BC ，AC=AC ，∴△ ADC ≌△ ABC（ SSS），∴∠ DAC= ∠ BAC ，即∠ QAE= ∠PAE．故选 D．考点：全等三角形的应用．4．（ 2015 泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、 AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（）A ． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对【答案】 D ．【答案】 B ．考点：全等三角形的判定与性质．3．（ 2015 义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ，C 画一条射线AE ， AE 就是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ ABC ≌△ ADC ，这样就有∠QAE= ∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A ． SAS B． ASA C． AAS D． SSS【答案】 D ．【解析】试题分析：在△ADC 和△ABC 中，∵ AD=AB ，DC=BC ，AC=AC ，∴△ ADC ≌△ ABC（ SSS），∴∠ DAC= ∠ BAC ，即∠ QAE= ∠PAE．故选 D．考点：全等三角形的应用．4．（ 2015 泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、 AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（）A ． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对【答案】 D ．【答案】 B ．考点：全等三角形的判定与性质．3．（ 2015 义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ，C 画一条射线AE ， AE 就是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ ABC ≌△ ADC ，这样就有∠QAE= ∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A ． SAS B． ASA C． AAS D． SSS【答案】 D ．【解析】试题分析：在△ADC 和△ABC 中，∵ AD=AB ，DC=BC ，AC=AC ，∴△ ADC ≌△ ABC（ SSS），∴∠ DAC= ∠ BAC ，即∠ QAE= ∠PAE．故选 D．考点：全等三角形的应用．4．（ 2015 泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、 AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（）A ． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对【答案】 D ．【答案】 B ．考点：全等三角形的判定与性质．3．（ 2015 义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ，C 画一条射线AE ， AE 就是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ ABC ≌△ ADC ，这样就有∠QAE= ∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A ． SAS B． ASA C． AAS D． SSS【答案】 D ．【解析】试题分析：在△ADC 和△ABC 中，∵ AD=AB ，DC=BC ，AC=AC ，∴△ ADC ≌△ ABC（ SSS），∴∠ DAC= ∠ BAC ，即∠ QAE= ∠PAE．故选 D．考点：全等三角形的应用．4．（ 2015 泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、 AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（）A ． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对【答案】 D ．【答案】 B ．考点：全等三角形的判定与性质．3．（ 2015 义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ，C 画一条射线AE ， AE 就是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ ABC ≌△ ADC ，这样就有∠QAE= ∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A ． SAS B． ASA C． AAS D． SSS【答案】 D ．【解析】试题分析：在△ADC 和△ABC 中，∵ AD=AB ，DC=BC ，AC=AC ，∴△ ADC ≌△ ABC（ SSS），∴∠ DAC= ∠ BAC ，即∠ QAE= ∠PAE．故选 D．考点：全等三角形的应用．4．（ 2015 泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、 AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（）A ． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对【答案】 D ．。
人教版数学八年级上册12.3.2 角平分线的判定课件(共22张PPT)
E
B
D
┐
A
FC
DB=DC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）. ∴DE=DF.
∴即AD是∠BAC的平分线.
12.3.2 角平分线的判定
二 三角形的内角平分线
探究1
分别画出以下三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？
A
A
A
B
C
┐
B
C
B
C
三角形的三条角平分线相交于一点，且交点位于三角形的内部.
针对训练
1.如图，在直角△ABC 中，AC＝BC，∠C ＝90°，AP 平分∠BAC，BD
平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，过点 O 作 OM⊥AC 于点 M，若 OM
＝4.
(1) 求点 O 到△ABC 三边的距离和；
B
解：如图，过点 O 作 ON⊥BC 于点 N,过点
O 作 OE⊥AB 于点 E,
A. 110° B. 120° C. 130°
D. 140°
解析：由于 O 到△ABC 三边的距离相等， 故 O 是三条内角平分线的交点， 即 BO，CO 都是内角的平分线，
12.3.2 角平分线的判定
则∠OBC＝1∠ABC，∠OCB＝1∠ACB.
2
2
∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－40°＝140°，
∴FG=FM.
G
同理可得∴FM=FH. ∴FG=FH， ∴点F在∠BAC的平分线上．
M H
12.3.2 角平分线的判定
3.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC. 求证：AM是∠DAB的平分线. 解：如图，作MN⊥AD于N，
∵DM平分∠ADC，∠C=∠DNM=90°
人教版八上数学全等三角形与角平分线
第8讲全等三角形与角平分线知识点归纳1．角平分线的性质(1)角的平分线上的点到角的两边的距离相等；(2)角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．2．三角形三内角平分线交于一点（三角形的内心），这点到三角形三边的距离相等．基础回顾例1如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P是BD上一点，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN.分析：要证PM＝PN，联想角平分线性质，可考虑证DP平分∠ADC. 注意到BD平分∠ABC和AB ＝BC的条件，易证△ABD≌△CBD.于是问题解决．证明：例2. 设P为∆ABC中∠B与∠C两个外角平分线的交点，试探讨点P与∠A的平分线的关系.【练习1】如图，已知∠ACB ＝090，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，BD ＝DF 交CA 的延长线于F 点，求证：BE ＝AE ＋AF .【练习2】如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，且AE ＝21(AB ＋AD )．求∠ABC ＋∠ADC 的度数.例3 如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE ⊥BC 交∠BAC 的平分线AE 于E ，EF ⊥AB于F ，EG ⊥AC 交AC 延长线于G ，求证：AB ＋AC ＝2AF .分析：由DE 垂直平分BC ，连结EB 、EC ，得EB ＝EC .由AE 平分∠BAC ，过E 作∠BAC 两边的垂线段，得EF ＝EG .于是Rt △BEF ≌Rt △CEG ，得BF ＝CG .易证△AFE ≌△AGE ，得AF ＝AG .问题得证.证明：点评：当遇到角平分线时，过角平分线上一点向角的两边作垂线段是一个很好的方向，这样一来就可 以运用“角平分线的性质”，得到相等的线段，往往容易形成全等形，为寻找证题思路作好了铺垫．例4 如图，△AOB 为等腰直角三角形，点P 为动点，P A ⊥PB .(1) 如图(1)，为P 点在第一象限时，求∠OP A ；(2) 如图(2)，为P 点在第四象限时，求∠OP A .解：点评：本例中辅助线的本质，运用角平分线的逆定理作垂线【练习1】如图，在∆ABC 中，∠ABC ＝0100，∠ACB ＝020，CE 平分∠ACB 交AB 于E ，D 在AC 上，且∠CBD ＝020，求∠CED 的度数.【练习2】如图，已知，∆ABC 中，∠A ＝060，BD 、CE 是△ABC 的两条角平分线，求证：BC ＝CD ＋BE .例5如图，正方形ABOC ，点M 、N 分别在AB 、AC 上．(1)若∠NMO ＝∠MOC ，问△AMN 的周长是否变化，若不变，请求其值；(2)若点M 在AB 延长线上，点N 在CA 的延长线上，其它条件不变，问CN 、MN 、BM 三者存在怎样的关系，试证明，解：点评：(1)直角坐标系背景下的几何问题，注意挖掘点的坐标所隐含的几何关系：(2)强化通过证角平分线达到证垂线段相等的意识．例6 如图，∠C ＝090．AM ⊥AB ，MA ⊥AC ，PQ ⊥AB ，且AQ ＝MN .求证：PC ＝AN .【练习1】分别以∆ABC 的AB 、AC 为边向外作等边∆ABD 和等边∆ACE ，连结CD 、BE 交于F ．求证：AF 平分∠DFE【练习2】如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α.60，且点D在AC上，连BD、AE，相交于点G，如图①，求∠BGA；(1) 当α＝090，如图②，求∠BGC.(2) 若00＜α＜0【练习3】如图所示，点A为∠MON的角平分线上一点，过A任作一直线分别与∠MON的两边交于B、C，P为BC的中点，过P作BC的垂线交OA于点D．90，如图1，则∠BDC＝___________;(1) 若∠MON＝060，如图2，则∠BDC＝___________;(2) 若∠MON＝0(3) 若∠MON＝α，如图3，∠BDC＝___________，请给予证明.。
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专题 全等三角形与角平分线☞解读考点☞2年中考【2015年题组】 1．（2015六盘水）如图，已知∠ABC ＝∠DCB ，下列所给条件不能证明△ABC ≌△DCB 的是（）A ．∠A ＝∠DB ．AB ＝DC C ．∠ACB ＝∠DBCD ．AC ＝BD 【答案】D ． 【解析】试题分析：A ．可利用AAS 定理判定△ABC ≌△DCB ，故此选项不合题意； B ．可利用SAS 定理判定△ABC ≌△DCB ，故此选项不合题意； C ．利用ASA 判定△ABC ≌△DCB ，故此选项不符合题意； D ．SSA 不能判定△ABC ≌△DCB ，故此选项符合题意； 故选D ．考点：全等三角形的判定． 2．（2015贵阳）如图，点E ，F 在AC 上，AD=BC ，DF=BE ，要使△ADF ≌△CBE ，还需要添加的一个条件是（ ）A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE【答案】B．考点：全等三角形的判定与性质．3．（2015义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C 画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）SSSA．SAS B．ASA C．AAS D．【答案】D．【解析】试题分析：在△ADC和△ABC中，∵AD=AB，DC=BC，AC=AC，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．故选D．考点：全等三角形的应用．4．（2015泰州）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】D．考点：1．全等三角形的判定；2．线段垂直平分线的性质；3．等腰三角形的性质；4．综合题．5．（2015宜昌）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO=12AC；③△ABD≌△CBD，其中正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D．【解析】试题分析：在△ABD与△CBD中，∵AD=CD，AB=BC，DB=DB，∴△ABD≌△CBD（SSS），故③正确；∴∠ADB=∠CDB，在△AOD与△COD中，∵AD=CD，∠ADB=∠CDB，OD=OD，∴△AOD≌△COD（SAS），∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC，∴AC⊥DB，故①②正确；故选D．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．新定义；3．阅读型．6．（2015宜昌）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C．考点：全等三角形的判定．7．（2015荆门）如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的判定与性质；3．综合题；4．压轴题．8．（2015柳州）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=12GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC，∵AG=CE，∴BG=BE，由勾股定理得：GE，∴①错误；∵BG=BE，∠B=90°，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°，∴∠GAE+∠AEG=45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∵∠BEG=45°，∴∠AEG+∠FEC=45°，∴∠GAE=∠FEC，在△GAE和△CEF中，∵AG=CE，∠GAE=∠CEF，AE=EF，∴△GAE≌△CEF，∴②正确；∴∠AGE=∠ECF=135°，∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确；∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；即正确的有2个．故选B．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．相似三角形的判定与性质；4．综合题．9．（2015柳州）如图，△ABC≌△DEF，则EF= ．【答案】5．【解析】试题分析：∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，则EF=5．故答案为：5．考点：全等三角形的性质．10．（2015盐城）如图，在△ABC与△ADC中，已知AD=AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是．【答案】DC=BC或∠DAC=∠BAC．考点：1．全等三角形的判定；2．开放型．11．（2015贵港）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE，BE，则∠AEB的度数为．【答案】30°．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰三角形的性质；3．正方形的性质；4．综合题．12．（2015常州）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是．【答案】（400，800）．【解析】试题分析：连接AC，由题意可得：AB=300m，BC=400m，在△AOD和△ACB中，∵AD=AB，∠ODA=∠ABC，DO=BC，∴△AOD≌△ACB（SAS），∴∠CAB=∠OAD，∵B、O在一条直线上，∴C，A，D也在一条直线上，∴AC=AO=500m，则CD=AC=AD=800m，∴C点坐标为：（400，800）．故答案为：（400，800）．考点：1．勾股定理的应用；2．坐标确定位置；3．全等三角形的应用．13．（2015福州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是．【答案】1考点：1．旋转的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．角平分线的性质；4．等边三角形的判定与性质；5．等腰直角三角形；6．综合题．14．（2015鄂尔多斯）如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=12∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG= cm．【答案】4．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形；3．综合题．15．（2015长春）如图，在平面直角坐标系中，点P 在函数6y x =（0x >）的图象上．过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，取线段OB 的中点C ，连结PC 并延长交x 轴于点D ．则△APD 的面积为 ．【答案】6． 【解析】试题分析：∵PB ⊥y 轴，PA ⊥x 轴，∴APBDS 矩形=|k|=6，在△PBC 与△DOC 中，∵∠PBC=∠DOC=90°，BC=BC ，∠PCB=∠DCO ，∴△PBC ≌△DOC ，∴S △APD=S 矩形APBO=6．故答案为：6．考点：1．反比例函数系数k 的几何意义；2．全等三角形的判定与性质． 16．（2015江西省）如图，OP 平分∠MON ，PE ⊥OM 于E ，PF ⊥ON 于F ，OA=OB ，则图中有 对全等三角形．【答案】3．考点：1．全等三角形的判定；2．角平分线的性质；3．综合题．17．（2015贺州）如图，在△ABC中，AB=AC=15，点D是BC边上的一动点（不与B、C重合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于点E，且tan∠α=34．有以下的结论：①△ADE∽△ACD；②当CD=9时，△ACD与△DBE全等；③△BDE为直角三角形时，BD为12或214；④0＜BE≤245，其中正确的结论是（填入正确结论的序号）．【答案】②③．若△BDE为直角三角形，则有两种情况：（1）若∠BED=90°，∵∠BDE=∠CAD，∠B=∠C，∴△BDE∽△CAD，∴∠CDA=∠BED=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=12BC=12；（2）若∠BDE=90°，如图2，设BD=x，则DC=24－x，∵∠CAD=∠BDE=90°，∠B=∠C=∠α，∴cos∠C=cosB=45，∴154245ACDC x==-，解得：214x=，∴若△BDE为直角三角形，则BD为12或214，故③正确；设BE=x，CD=y，∵△BDE∽△CAD，∴BE CDBD CA=，∴2415x yy=-，∴21524x y y=-，∴215144(12)x y=--，∴15144x≤，∴485x≤，∴0＜BE≤485，∴故④错误；故答案为：②③．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质．18．（2015南宁）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE=CF，（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠DEB=90°，求证：四边形DEBF是矩形．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．矩形的判定．19．（2015崇左）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE．求证：BE=CD．【答案】证明见试题解析．【解析】试题分析：根据两边及其夹角对应相等可以判断△ADE≌△AEB，再由全等三角形对应边相等可说明结论．证明：在△ADE和△AEB中，∵AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，∴△ADE≌△AEB，∴BE=CD．考点：全等三角形的判定与性质．20．（2015来宾）如图，在▱ABCD中，E、F为对角线AC上的两点，且AE=CF，连接DE、BF，（1）写出图中所有的全等三角形；（2）求证：DE∥BF．【答案】（1）△ABC≌△CDA，△ABF≌△△CDE，△ADE≌△CBF；（2）证明见试题解析．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质．21．（2015百色）如图，AB∥DE，AB=DE，BF=EC．（1）求证：AC∥DF；（2）若CF=1个单位长度，能由△ABC经过图形变换得到△DEF吗？若能，请你用轴对称、平移或旋转等描述你的图形变换过程；若不能，说明理由．【答案】（1）证明见试题解析；（2）能，△ABC先向右平移1个单位长度，再绕点C旋转180°即可得到△DEF．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．几何变换的类型；3．网格型．22．（2015常州）如图，在▱ABCD中，∠BCD=120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．（1）求证：AE=AF；（2）求∠EAF的度数．【答案】（1）证明见试题解析；（2）60°．【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质得到∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，根据等边三角形的性质得到BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，即可证出∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，由SAS证明△ABE≌△FDA，得出对应边相等即可；（2）根据全等三角形的性质得到∠AEB=∠FAD，求出∠AEB+∠BAE=60°，得出∠FAD+∠BAE=60°，即可得出∠EAF的度数．试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，∵△BCE和△CDF都是正三角形，∴BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，∴∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，在△ABE和△FDA中，∵AB=DF，∠ABE=JIAO FDA，BE=AD，∴△ABE≌△FDA（SAS），∴AE=AF；（2）∵△ABE≌△FDA，∴∠AEB=∠FAD，∵∠ABE=60°+60°=120°，∴∠AEB+∠BAE=60°，∴∠FAD+∠BAE=60°，∴∠EAF=120°﹣60°=60°．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质；3．平行四边形的性质．23．（2015乐山）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E．（1）求证：△DCE≌△BFE；（2）若CD=2，∠ADB=30°，求BE的长．【答案】（1）证明见试题解析；（2．试题解析：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，根据折叠的性质∠ADB=∠BDF，∠F=∠A=∠C=90°，∴∠DBC=∠BDF，∴BE=DE，在△DCE和△BFE中，∵∠BEF=∠DEC，∠F=∠C，BE=DE，∴△DCE≌△BFE；（2）在Rt△BCD中，∵CD=2，∠ADB=∠DBC=30°，∴BC=23在Rt△BCD中，∵CD=2，∠EDC=30°，∴DE=2EC，∴222(2)EC EC CD-=，∴23，∴BE=BC﹣43．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．全等三角形的判定与性质；3．综合题．24．（2015潜江）已知∠MAN=135°，正方形ABCD绕点A旋转．（1）当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部（顶点A除外）时，AM，AN分别与正方形ABCD的边CB，CD的延长线交于点M，N，连接MN．①如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是；②如图2，若BM≠DN，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部（顶点A除外）时，AM，AN分别与直线BD交于点M，N，探究：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．【答案】（1）①MN=BM+DN；②成立；（2）直角三角形．（2）如图3，将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，连结NE．由旋转的性质得到DE=BM，AE=AM，∠EAM=90°，∠NDE=90°．先证明△AMN≌△AEN．得到MN=EN．由DN，DE，NE为直角三角形的三边，得到以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．②如图2，若BM≠DN，①中的数量关系仍成立．理由如下：延长NC到点P，使DP=BM，连结AP．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABM=∠ADC=90°．在△ABM与△ADP中，∵AB=AD，∠ABM=∠ADP，BM=DP，∴△ABM≌△ADP（SAS），∴AM=AP，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠4=90°，∴∠3+∠4=90°，∵∠MAN=135°，∴∠PAN=360°﹣∠MAN﹣（∠3+∠4）=360°﹣135°﹣90°=135°．在△ANM与△ANP中，∵AM=AP，∠MAN=∠PAN，AN=AN，∴△ANM≌△ANP（SAS），∴MN=PN，∵PN=DP+DN=BM+DN，∴MN=BM+DN；（2）以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．理由如下：如图3，将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，连结NE．由旋转的性质得：DE=BM，AE=AM，∠EAM=90°，∠NDE=90°．∵∠MAN=135°，∴∠EAN=360°-∠MAN-∠EAM =135°，∴∠EAN =∠MAN．在△AMN与△AEN中，∵AM=AE，∠MAN=∠EAN，AN=AN，∴△AMN≌△AEN．∴MN=EN．∵DN，DE，NE为直角三角形的三边，∴以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．考点：1．几何变换综合题；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理的逆定理；4．和差倍分；5．探究型；6．综合题；7．压轴题．【2014年题组】1．（2014年贵州黔西南）如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°【答案】C．考点：全等三角形的判定．2．（2014年湖南益阳）如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能是（）A ．AE=CFB ．BE=FDC ．BF=DED ．∠1=∠2 【答案】A ． 【解析】试题分析：根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别作出判断：A 、当AE=CF 时，构成的条件是SSA ，无法得出△ABE ≌△CDF ，故此选项符合题意；B 、当BE=FD 时，构成的条件是SAS ，可得△ABE ≌△CDF ，故此选项不符合题意；C 、当BF=ED 时，由等量减等量差相等得BE=FD ，构成的条件是SAS ，可得△ABE ≌△CDF ，故此选项不符合题意；D 、当∠1=∠2时，构成的条件是ASA ，可得△ABE ≌△CDF ，故此选项不符合题意． 故选A ．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定．3．（2014年江苏连云港）如图，若△ABC 和△DEF 的面积分别为1S 、2S ，则（ ）A ．1212S S =B ．1272S S =C ．12S S =D ．1285S S =【答案】C ．考点：1．全等三角形的判定和性质；2．等底等高三角形的性质．4．（2014年福建福州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使12CF BC=．.若AB=10，则EF的长是_______ ．【答案】5．【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，AB=10，∴AD=5，AE=EC，12DE BC=，∠AED=90°．∵12CF BC=，∴DE=FC．在Rt△ADE和Rt△EFC中，∵AE=EC，DE=FC，∴Rt△ADE≌Rt△EFC（SAS）．∴EF=AD=5．考点：1．三角形中位线定理；2．全等三角形的判定和性质．5．（2014年湖南长沙）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF= __________ ．【答案】6．考点：1．平行的性质；2．全等三角形的判定和性质．6．（2014年湖南常德）如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，则∠BCA的度数为______．【答案】60°．【解析】试题分析：∵△ABC三个内角的平分线交于点O，∴∠ACO=∠BCO．在△COD和△COB中，∵CD=CB，∠OCD=∠OCB，CO=CO，∴△COD≌△COB（SAS）．∴∠D=∠CBO．∵∠BAC=80°，∴∠BAD=100°，∠BAO=40°．∴∠DAO=140°．∵AD=AO，∴∠D=20°．∴∠CBO=20°．∴∠ABC=40°．∴∠BCA=60°．考点：1．角的平分线定义；2．全等三角形的判定和性质；3．等腰三角形的性质．7、（2014年福建福州7分）如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．【答案】证明见试题解析．考点：全等三角形的判定和性质．8．（2014年湖北宜昌）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB．（1）求∠CAD的度数；（2）延长AC至E，使CE=AC，求证：DA=DE．【答案】（1）30°；（2）证明见试题解析．【解析】试题分析：（1）利用“直角三角形的两个锐角互余”的性质和角平分的性质进行解答．（2）由ASA证明△ACD≌△ECD来推知DA=DE．试题解析：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．又∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=12∠CAB=30°，即∠CAD=30°．（2）证明：∵∠ACD+∠ECD=180°，且∠ACD=90°，∴∠ECD=90°．∴∠ACD=∠ECD．在△ACD与△ECD中，∵AC=EC，∠ACD=∠ECD，CD=CD，∴△ACD≌△ECD（SAS）．∴DA=DE．考点：1．直角三角形两锐角的关系；2．全等三角形的判定与性质．☞考点归纳归纳1：全等三角形的性质基础知识归纳：全等三角形的对应边相等，对应角相等基本方法归纳：利用全等三角形的性质解决有关线段相等和角的计算的有关问题注意问题归纳：利用全等三角形的性质时，关键是找准对应点，利用对应点得到相应的对应边以及对应角．【例1】如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，则∠BCA的度数为．【答案】60°．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰三角形的性质．归纳2：全等三角形的判定方法基础知识归纳：三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）．基本方法归纳：证明三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，还有直角三角形的HL 定理．注意问题归纳：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）【例2】如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、角∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（）A．AC∥DF B．∠A=∠D C．AC=DF D．∠ACB=∠F【答案】C．考点：全等三角形的判定与性质．归纳3：角平分线基础知识归纳：角平分线上的点到角的两边的距离相等，到角两边距离相等的点在角平分线上．基本方法归纳：角平分线的性质是证明线段相等的重要工具，角平分线的性质经常用来解决点到直线的距离以及三角形的面积问题．注意问题归纳：注意区分角平分线的性质与判定，角平分线的性质和判定都是由三角形全等得到的．【例3】如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF．【答案】证明见试题解析．考点：1．全等三角形的判定和性质；2．角平分线的性质． ☞1年模拟 1．（2015届北京市平谷区中考二模）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出A O B AOB '''∠=∠的依据是（ ）A ．（SAS ）B ．（SSS ）C ．（AAS ）D ．（ASA ） 【答案】B ． 【解析】试题分析：由题意可知，利用尺规作图法，可知OC=O ′C ′，OD=O ′D ′，CD=C ′D ′，根据全等三角形的判定定理（SSS ）可得△OCD ≌△O ′C ′D ′，得出A O B AOB '''∠=∠．故选B ．考点：1．全等三角形的判定；2．尺规作图． 2．（2015届安徽省安庆市中考二模）如图，等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上的一点，当PA=CQ 时，连接PQ 交AC 于点D ，下列结论中不一定正确的是（ ）A ．PD=DQB ．DE=21AC C ．AE=21CQ D ．PQ ⊥AB【答案】D ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的判定与性质；3．平行线的性质． 3．（2015届山东省日照市中考模拟）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC 固定不动，△AFG 绕点A 旋转，AF 、AG 与边BC 的交点分别为D 、E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合），设BE=m ，CD=n ．下列结论： （1）图中有三对相似而不全等的三角形； （2）m•n=2；（3）BD2+CE2=DE2； （4）△ABD ≌△ACE ； （5）DF=AE ．其中正确的有（ ）A、2个B、3个C、4个D、5个【答案】A．（5）当AF与AB重合时，AE=12AF，2AF，得到DF≠12AF，于是由AE与DF不一定相等；试题解析：（1）△ABE∽△DAE，△ABE∽△DCA，故（1）错误；（2）∵△ABE∽△DCA，∴BE BAAC CD=，由题意可知2，22=，∴m=2n，∴mn=2；（1＜n＜2）；故（2）正确；（3）证明：将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置，则CE=HB，AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°．连接HD，在△EAD和△HAD中，∵AE=AH，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD，AD=AD，∴△EAD≌△HAD，∴DH=DE．又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，∴BD2+CE2=DH2，即BD2+CE2=DE2；故（3）正确；（4）若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，∴∠BAD≠∠CAE，∴△ABD与△ACE不一定全等，∴（4）错误；（5）当AF与AB重合时，AE=12AF，AF，∴DF≠12AF，∴AE与DF不一定相等；∴（5）错误．故选A．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．等腰直角三角形．4．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5【答案】A．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质．5．（2015届河北省中考模拟二）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（）A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定【答案】A．考点：1．角平分线的性质；2．全等三角形的判定与性质．6．（2015届北京市平谷区中考二模）如图，点A，B，D，E在同一直线上，AB=ED，AC ∥EF，∠C=∠F．求证：AC=EF．【答案】证明见解析．【解析】试题分析：根据全等三角形的片对于性质，再由原子条件即可证明△ABC≌△EDF（AAS），推出AC=EF即可．试题解析：证明：∵AC∥EF，∴∠A=∠E．在△ABC和△DEF中，A EC FAB ED∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△EDF．∴AC=EF．考点：全等三角形的判定与性质．7．（2015届北京市门头沟区中考二模）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，F为AC 的中点，连接DF并延长至E，使得EF=DF，连接AE和EC．（1）求证：四边形ADCE 为平行四边形；（2）如果DF=FCD=30°，∠AED=45°，求DC 的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）2+．（2）解：如图，过点F 作FG ⊥DC 与G ． ∵四边形ADCE 为平行四边形，∴AE ∥CD ．∴∠FDG=∠AED=45°，在Rt △FDG 中，∠FGD=90°，∠FDG=45°，DF=2cos ∠FDG=DGDF ，∴DG=GF=cos DF FDG ⋅∠=22cos ⋅︒=2．在Rt △FCG 中，∠FGC=90°，∠FCG=30°，GF=2，∵tan ∠FCG=FGGC ，∴23tan tan 30FG CG FCG ===∠︒∴DC=DG+GC=223+考点：1．解直角三角形；2．平行四边形的判定与性质；3．全等三角形的判定与性质． 8．（2015届北京市门头沟区中考二模）如图1，在△ABC 中，CA=CB ，∠ACB=90°，D 是△ABC 内部一点，∠ADC=135°，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，连接DE ．（1）①依题意补全图形；②请判断∠ADC 和∠CDE 之间的数量关系，并直接写出答案； （2）在（1）的条件下，连接BE ，过点C 作CM ⊥DE ，请判断线段CM ，AE 和BE 之间的数量关系，并说明理由；（3）如图2，在正方形ABCD中，，如果PD=1，∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．【答案】（1）①作图见解析；②∠ADC+∠CDE=180°；（2）AE=BE+2CM，理由解析；（3）31-（2）线段CM，AE和BE之间的数量关系是AE=BE+2CM，理由如下：∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，∴CD=CE，∠DCE=90°，∴∠CDE=∠CED=45°．又∵∠ADC=135°，∴∠ADC+∠CDE=180°，∴A、D、E三点在同一条直线上，∴AE=AD+DE．又∵∠ACB=90°，∴∠ACB－∠DCB=∠DCE－∠DCB，即∠ACD=∠BCE．又∵AC=BC，CD=CE，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE．∵CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE，∴DE=2CM，∴AE=BE+2CM．（3）点A到BP．考点：1．作图—旋转变换；2．探究型；3．和差倍分；4．全等三角形的判定与性质．9．（2015届安徽省安庆市中考二模）如图，点D是等边△ABC中BC边上一点，过点D分别作DE∥AB，DF∥AC，交AC，AB于E，F，连接BE，CF，分别交DF，DE于点N，M，连接MN．试判断△DMN的形状，并说明理由．【答案】△DMN为等边三角形，理由见解析．考点：1．等边三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质．10．（2015届山东省日照市中考一模）如图，已知，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点，将△ECF绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△MCN，连接AM，BN．（1）求证：AM=BN；（2）当MA∥CN时，试求旋转角α的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）1 3．（2）∵MA ∥CN ，∴∠ACN=∠CAM ，∵∠ACN+∠ACM=90°，∴∠CAM+∠ACM=90°，∴∠AMC=90°，∴cosα=1CM CE AC AC ==考点：1．全等三角形的判定与性质；2．旋转的性质；3．锐角三角函数的定义．11．（2015届山东省日照市中考模拟）已知四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN 绕B 点旋转，它的两边分别交AD ，DC （或它们的延长线）于E ，F ． 当∠MBN 绕B 点旋转到AE=CF 时（如图1），易证AE+CF=EF ；当∠MBN 绕B 点旋转到AE≠CF 时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE ，CF ，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【答案】证明见解析．∴△ABE≌△CBF（SAS）；∴∠ABE=∠CBF，BE=BF；∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE=∠CBF=30°，∴AE=12BE，CF=12BF；∵∠MBN=60°，BE=BF，∴△BEF为等边三角形；∴AE+CF=12BE+12BF=BE=EF；则△BAE≌△BCK，∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，∵∠FBE=60°，∠ABC=120°，∴∠FBC+∠ABE=60°，∴∠FBC+∠KBC=60°，∴∠KBF=∠FBE=60°，在△KBF和△EBF中，BK BEKBF EBF BF BF⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝∴△KBF≌△EBF，∴KF=EF，∴KC+CF=EF，即AE+CF=EF．图3不成立，AE、CF、EF的关系是AE-CF=EF．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．和差倍分；3．存在型；4．探究型；5．综合题．12．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OD=12AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．【答案】（1）证明见解析，（2）四边形ABCD是矩形，理由见解析．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．平行四边形的判定与性质；3．矩形的判定；4．探究型．13．（2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．（无需写证明过程）（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．【答案】（1）BD=DP成立．证明见解析；（2）BD=DP．证明见解析．∵∠1+∠ADB=90°，∠ADB+∠2=90°，∴∠1=∠2．在△BDF 与△PDA 中，⎪⎩⎪⎨⎧︒=∠=∠=∠=∠4521DAP DFB DADF ，∴△BDF ≌△PDA （ASA ），∴BD=DP ．（2）BD=DP ．证明如下：如答图3，过点D 作DF ⊥MN ，交AB 的延长线于点F ，则△ADF 为等腰直角三角形，∴DA=DF ．在△BDF 与△PDA 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=︒=∠=∠PDA BDF DADF PAD F 45，∴△BDF ≌△PDA （ASA ），∴BD=DP ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形；3．平行四边形的性质；4．探究型．14．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，在△ABC与△ABD中，BC与AD 相交于点O，∠1=∠2，CO=DO．求证：∠C=∠D．【答案】证明见解析．考点：全等三角形的判定与性质．15．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）已知：如图，在▱ABCD中，线段EF分别交AD．AC．BC于点E、O、F，EF⊥AC，AO=CO．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）在本题的已知条件中，有一个条件如果去掉，并不影响（1）的证明，你认为这个多余的条件是（直接写出这个条件）．【答案】（1）证明见解析；（2）EF⊥AC．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质．16．（2015届河北省中考模拟二）如图，已知正方形ABCD，E是AB延长线上一点，F是DC延长线上一点，连接BF、EF，恰有BF=EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，过点B作EF的垂线，交EF于点M，交DA的延长线于点N，连接NG．（1）求证：BE=2CF；（2）试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明．【答案】（1）证明见解析．（2）四边形BFGN为菱形，证明见解析．（2）解：四边形BFGN 为菱形，证明如下：∵MN ⊥EF ，∴∠E+∠EBM=90°，且∠EBM=∠ABN ，∴∠ABN+∠E=90°，∵BF=EF ，∴∠E=∠EBF ，∴∠ABN+∠EBF=90°，又∵∠EBC=90°，∴∠CBF+∠EBF=90°，∴∠ABN=∠CBF ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=BC ，∠NAB=∠CBF=90°，在△ABN 和△CBF 中ABN CBF AB BCNAB BCF ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABN ≌△CBF （ASA ），∴BF=BN ，又由旋转可得EF=FG=BF ，∴BN=FG ，∵∠GFM=∠BME=90°，∴BN ∥FG ，∴四边形BFGN 为菱形．考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的判定；4．旋转的性质；5．和差倍分．。